MATEMATIKA
OBSAH: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATICKÉ LOGIKY A TEORIE MNOŽIN ..............................................................................................1 MATEMATICKÉ DŮKAZY ....................................................................................................................................................................................2 MOCNINY A ODMOCNINY, MOCNINNÉ FUNKCE ........................................................................................................................................3 ÚPRAVY ALGEBRAICKÝCH VÝRAZŮ .............................................................................................................................................................3 FUNKCE A JEJICH ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI .................................................................................................................................................4 LINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ FUNKCE.............................................................................................................................................................4 LINEÁRNÍ FUNKCE, ROVNICE A NEROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU .........................................................................................5 KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE.......................................................................................................................................................6 VZTAHY MEZI KOŘENY A KOEFICIENTY KVADRATICKÉ ROVNICE ...................................................................................................6 IRACIONÁLNÍ ROVNICE ......................................................................................................................................................................................7 KOMPLEXNÍ ČÍSLA................................................................................................................................................................................................7 ŘEŠENÍ ROVNIC V OBORU KOMPLEXNÍCH ČÍSEL ......................................................................................................................................8 ROVNICE S PARAMETREM .................................................................................................................................................................................8 SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC ...................................................................................................................................................................8 EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÉ FUNKCE .............................................................................................................................................9 EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE A NEROVNICE .................................................................................................................................................10 LOGARITMICKÉ ROVNICE A NEROVNICE ...................................................................................................................................................11 GONIOMETRICKÉ FUNKCE ...............................................................................................................................................................................11 VZTAHY MEZI GONIOMETRICKÝMI FUNKCEMI.......................................................................................................................................12 GONIOMETRICKÉ ROVNICE A NEROVNICE ................................................................................................................................................13 TRIGONOMETRIE .................................................................................................................................................................................................14 SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ ....................................................................................................................................................................14 PODOBNOST A STEJNOLEHLOST....................................................................................................................................................................14 PYTHAGOROVA VĚTA, EUKLIDOVY VĚTY.................................................................................................................................................14 ROVINNÉ ÚTVARY ..............................................................................................................................................................................................15 NEROTAČNÍ TĚLESA...........................................................................................................................................................................................15 ROTAČNÍ TĚLESA ................................................................................................................................................................................................16 MATICE A DETERMINANTY .............................................................................................................................................................................16 LINEÁRNÍ ALGEBRA...........................................................................................................................................................................................17 VEKTORY ...............................................................................................................................................................................................................18 ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ .............................................................................................................18 ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V PROSTORU .......................................................................................................19 POLOHOVÉ A METRICKÉ VZTAHY ÚTVARŮ V ROVINĚ .........................................................................................................................20 POLOHOVÉ A METRICKÉ VLASTNOSTI ÚTVARŮ V PROSTORU ..........................................................................................................20 ANALYTICKÁ GEOMETRIE KRUŽNICE A ELIPSY......................................................................................................................................21 ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY .......................................................................................................................................................22 ANALYTICKÁ GEOMETRIE HYPERBOLY.....................................................................................................................................................22 VZÁJEMNÁ POLOHA PŘÍMKY A KUŽELOSEČKY ......................................................................................................................................22 VARIACE A PERMUTACE ..................................................................................................................................................................................23 KOMBINACE ..........................................................................................................................................................................................................23 ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI ...................................................................................................................................................................24 ZÁKLADY STATISTIKY ......................................................................................................................................................................................25 ARITMETICKÁ POSLOUPNOST ........................................................................................................................................................................26 GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST.......................................................................................................................................................................26 ŘADY........................................................................................................................................................................................................................26 LIMITA, SPOJITOST A DERIVACE FUNKCE..................................................................................................................................................27 GEOMETRICKÝ A FYZIKÁLNÍ VÝZNAM DERIVACE ................................................................................................................................29 VYŠETŘOVÁNÍ PRŮBĚHU FUNKCE ...............................................................................................................................................................29 PRIMITIVNÍ FUNKCE, URČITÝ INTEGRÁL ...................................................................................................................................................31 UŽITÍ INTEGRÁLNÍHO POČTU K VÝPOČTU OBSAHŮ ROVINNÝCH OBRAZCŮ A OBJEMŮ ROTAČNÍCH TĚLES ...................33
1 ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATICKÉ LOGIKY A TEORIE MNOŽIN Výrok (p): Každé sdělení, o kterém můžeme rozhodnout, zda je či není pravdivé. Je-li výrok pravdivý, přiřazujeme mu 1. Není-li pravdivý, přiřazujeme mu 0. Negace výroku (p'): tvoříme ji pomocí „není pravda, že“ nebo „neplatí, že“. 1.1
LOGICKÉ SPOJKY Konjunkce ( p ∧ q ): „a“, „i“, „a zároveň“ – je pravdivá, když jsou pravdivé oba výroky Disjunkce (alternativa) ( p ∨ q ): „nebo“ – je pravdivá, je-li pravdivý alespoň 1 výrok Implikace ( p ⇒ q ): „jestliže …, pak“ – není pravdivá jen tehdy, vyplývá-li z pravdy nepravda Ekvivalence (oboustranná implikace) ( p ⇔ q ): „…právě tehdy, když …“ – je pravdivá, mají-li oba výroky stejnou pravdivostní hodnotu A B A∧ B A∨ B A⇒ B A⇔B 1 1 0 0
1.2
1 0 1 0
1 1 1 0
1 0 0 0
KVANTIFIKOVANÉ VÝROKY Obecný kvantifikátor ( ∀ ):
„V
každém…“,
1 0 1 1
„Pro
∀x ∈ R; ( x + 1) = x + 2 x + 1 Existenční kvantifikátor ( ∃ ): „Existuje…“ – např. ∃x ∈ R; x < 0 2
1 0 0 1
každé…“
–
např.
2
1.3
DEFINICE, VĚTY Definice: zavádí základní matematické pojmy Věty: musíme je na rozdíl od definic dokázat. Skládají se z předpokladu a tvrzení. Např. ∀a ∈ Z + ; a = liché č. ⇒ a 2 = liché č. – předpoklad: celé kladné liché č. – tvrzení: a2 je liché č. q' ⇒ p' věta obměněná p ⇒ q
1.4
MNOŽINY Množina (A,B,…): soubor určitých prvků – konečná (žáci), nekonečná (R), prázdná ({}) Určení množin: výčtem ( A = {a, b, c, d} ), symbolicky ( A = {x ∈ N ;10 < x ≤ 20} )
1.5
VZTAHY MEZI MNOŽINAMI Podmnožina ( A ⊂ B ): „A je podmnožinou B“ – inkluze – def. A ⊂ B ⇔ ∀x ∈ A; x ∈ B Rovnost ( A = B ): def. A = B ⇔ A ⊂ B ∧ B ⊂ A
1.6
OPERACE MEZI MNOŽINAMI Vennovy diagramy: U – základní (universální) množina U
Sjednocení ( A ∪ B ): def. C = A ∪ B = {x ∈ U ; x ∈ A ∨ x ∈ B} A
B U
Průnik ( A ∩ B ): def. C = A ∩ B = {x ∈ U ; x ∈ A ∧ x ∈ B} A zákon komutativní (o záměně): A∪B = B∪ A zákon asociativní (o sdružování): zákon distributivní (o roznásobení):
B
A∩B = B∩ A ( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ) ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ) A ∩ (B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) A ∪ (B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) 1
U
Rozdíl ( A − B ): def. C = A − B = {x ∈ U ; x ∈ A ∧ x ∉ B} A
B U A
Doplněk ( A' B ): def. A ⊂ B ⇒ A' B = { x ∈ U ; x ∈ B ∧ x ∉ A}
( A ∪ B )l ( A ∩ B )l
de Morganova pravidla:
1.7
B
= A'∩ B' = A'∪ B'
ČÍSELNÉ INTERVALY Otevřený: (a, b ) = {x ∈ R; a < x < b}
Uzavřený: a, b = {x ∈ R; a ≤ x ≤ b}
Polouzavřený: zleva uzavřený: a, b ) = {x ∈ R; a ≤ x < b}
(
zprava uzavřený: a, b = {x ∈ R; a < x ≤ b}
S intervaly pracujeme stejně jako s množinami, a proto pro ně platí stejné operace. 1.8
SPOLEČNÝ NÁSOBEK A DĚLITEL Nejmenší spol. násobek: n(12,28,42 ) = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 7 = 84 , v prvočíselném rozkladu má každé prvočíslo obsažené v nejvyšší mocnině. Největší spol. dělitel: D(12, 28,42 ) = 2 , v prvočíselném rozkladu má pouze spol. prvočíslo.
2 MATEMATICKÉ DŮKAZY
Přímý důkaz ( A ⇒ B ): vycházíme z předpokladu dané věty a musíme se dopracovat k jejímu tvrzení Např. ∀a ∈ Z + ; a = liché č. ⇒ a 2 = liché č.
(
)
(
)
liché č.: 2k + 1 , potom (2k + 1) = 4 k 2 + k + 1 , kde 4 k 2 + k je sudé. Nepřímý důkaz ( A ⇒ B ⇔ B ' ⇒ A' ): dokazujeme větu obměněnou pomocí přímého důkazu. 2
Např. ∀m ∈ Z + ; m 2 dělitelné 3 ⇒ m dělitelné 3 nedělitelné
3k + 1 ∨ 3k + 2 ,
3:
(3k + 2) = 3(3k + 4k ) + 4 , kde 3(3k Důkaz sporem ( ( A ⇒ B )' ⇔ A ∧ B ' ): 2
2
potom 2
(3k + 1)2 = 3(3k 2 + 2k ) + 1
) (
)
nebo
+ 4k a 3 3k + 2k jsou dělitelná 3. 2
a+b ≥ ab 2 a+b 2 předpokládáme ∃a, b ∈ R + ; < ab , po úpravách rovnice: (a − b ) < 0 , protože x2 2 Např. ∀a, b ∈ R + ;
nemůže být <0 – spor s předpokladem a daná věta platí. Matematická indukce: Dokážeme, že platí V(1), potom že pro k ≥ 1; V (k ) ⇒ V (k + 1) . Např. ∀n ∈ N ; 12 + 2 2 + 3 2 + ... + n 2 = 16 n(n + 1)(2n + 1) 1) ověření n=1; L=P 2) předpoklad k ≥ 1; L = 12 + 2 2 + ...n 2 P = 16 k (k + 1)(2k + 1) máme dokázat k + 1; 12 + 2 2 + 3 2 + ....k 2 + (k + 1) =
(k + 1)(k + 2)(2k + 3) L = 16 k (k + 1)(2k + 1) + (k + 1) = 16 (k + 1)[k (2k + 1) + 6(k + 1)] = = 16 (k + 1)(2k 2 + 7 k + 6) = 16 (k + 1)(k + 2 )(2k + 3) 2
2
3) platí pro ∀k ∈ N 2
1 6
3 MOCNINY A ODMOCNINY, MOCNINNÉ FUNKCE 3.1
MOCNINY S CELOČÍSELNÝM EXPONENTEM
a r a s = a r +s r
a = a r −s s a
(a )
r s
(ab )r
∀a, b ∈ R, ∀r , s ∈ Z
n
a≠0
a 2 = a = ±a ab = n a ⋅ n b
n
=a
rs
= arbr
n
a = b
( a)
r
ar a = r b b 1 a −r = r a
a = x ⇔ xn = a
m
n
b≠0
n m
a ≠ 0, r > 0
np
n n
a b
∀a, b ∈ R0+ , ∀m, n, p ∈ N
b≠0
= n am
a = nm a
a mp = n a m
Slučovat lze pouze souhlasné odmocniny, odmocnit součet a rozdíl nelze. Částečné odmocňování: Usměrňování zlomků:
3
128 = 3 2 7 = 3 2 6 ⋅ 3 2 = 2 2 ⋅ 3 2 = 4 ⋅ 3 2
1 2
=
1 2
Mocniny s reálným exponentem: 3.2
⋅ n
2 2
=
2 2
a m = a m n ∀m ∈ Z , ∀n ∈ N , ∀a ∈ R +
MOCNINNÉ FUNKCE
y = x2
y = x3
vyšší parabola
kubická parabola
y = x −2
y = x −1 rovnoosá hyperbola
4 ÚPRAVY ALGEBRAICKÝCH VÝRAZŮ 4.1
MNOHOČLENY
(a ± b )2 = a 2 ± 2ab + b 2 (a + b )(a − b ) = a 2 − b 2
3
(a + b + c )2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ac a 3 ± b 3 = (a ± b )(a 2 m ab + b 2 ) (a ± b )3 = a 3 ± 3a 2 b + 3ab 2 ± b 3 4.2
LOMENÉ VÝRAZY Definiční obor – obor proměnnosti – (D) je množina, ve které má daný výraz řešení.
x 2 − 2x − 1 x −1
D = R − {1}
DĚLENÍ MNOHOČLENU MNOHOČLENEM
4.3
(x − (x
2
)
− 2 x − 1 : ( x − 1) = x − 1 −
)
−x − x −1 − (− x + 1) −2 2
2 x −1
zbytek
5 FUNKCE A JEJICH ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI Funkce: předpis, který každé hodnotě nezávislé proměnné x z def. oboru přiřadí právě jednu hodnotu závislé proměnné y. Graf funkce: množina všech bodů o souřadnicích [x, f ( x )] . Obor hodnot (H): množina řešení (y) dané funkce. 5.1
VLASTNOSTI FUNKCÍ Rostoucí: ∀x ∈ D; x1 < x 2 ⇒ f ( x1 ) < f (x 2 ) – např. y = x
Klesající: ∀x ∈ D; x1 < x 2 ⇒ f ( x1 ) > f (x 2 ) – např. y = − x
Konstantní: ∀x ∈ D; x1 < x 2 ⇒ f ( x1 ) = f (x 2 ) – např. y = 0
f (− x ) = f ( x ) – např. y = cos( x ) Lichá: ∀x ∈ D; f (− x ) = − f ( x ) – např. y = sin ( x ) Sudá: ∀x ∈ D;
Periodická: průběh funkce se v určitých cyklech opakuje – např. y = sin (x ) = sin ( x + 2kπ ) Prostá (monotónní): ∀x ∈ D; x1 ≠ x 2 ⇒ f ( x1 ) ≠ f (x 2 ) – např. y = x
Inverzní: graf funkce (f) a funkce inverzní ( f
f : y = x2 ⇒ f 5.2
−1
−1
) je souměrný podle osy I. a III. kvadrantu. Např.
: x = y 2 (zaměníme x a y). Pro D = R0+ platí y = x
TYPY FUNKCÍ Jednouchá: y = f ( x ) – např. y = sin ( x )
Složená: y = g [ f (x )] – např. y = sin 2 x
6 LINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ FUNKCE 6.1
LINEÁRNÍ
y = ax + b a ≠ 0 D = R H = R pro a = 0 ⇒ y = b – funkce konstantní pro a > 0 – funkce rostoucí pro a < 0 – funkce klesající 4
y=x
6.2
KVADRATICKÁ
y = ax 2 + bx + c a > 1 – sevřená a < 1 – rozevřená a > 0 – v horní polorovině (konvexní) a < 0 – v dolní polorovině (konkávní)
y = x2
7 LINEÁRNÍ FUNKCE, ROVNICE A NEROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU 7.1
ROVNICE Obor proměnnosti: obor, v němž chceme danou rovnici řešit. Definiční obor (D): obor, v němž má rovnice smysl. Obor pravdivosti (P=K): množina kořenů. Řešit rovnici znamená najít takové x, které dané rovnici vyhovuje. Nutno provést zkoušku. Ekvivalentní úpravy rovnic: 1) Rovnice lze převádět z jedné strany na druhou, ale s opačným znaménkem. 2) Rovnice se nezmění, když k oběma jejím stranám přičteme nebo odečteme stejný výraz. 3) Rovnice se nezmění, když obě její strany vynásobíme nebo vydělíme stejným výrazem.
7.2
NEROVNICE ostré znaky nerovnosti: neostré znaky nerovnosti:
< >
≤ ≥
menší než větší než menší nebo rovno než větší nebo rovno než
Ekvivalentní úpravy nerovnic: 1) Nerovnice se nezmění, když k oběma jejím stranám přičteme nebo odečteme stejný výraz. 2) V nerovnici lze převádět z jedné strany na druhou, ale s opačným znaménkem. 3) Nerovnice se nezmění, jestliže její obě strany vynásobíme stejným výrazem, který je kladný na celém definičním oboru. 4) Násobíme-li nerovnici výrazem, který je záporný na celém def. oboru, pak musíme převrátit znak nerovnosti. 7.3
ROVNICE A NEROVNICE V SOUČINOVÉM TVARU Rovnice: (x − 2 )(3 − x ) = 0 – Součin je nulový, je-li nulový alespoň 1 činitel – x = 2 ∨ x = 3 .
x−2 = 0 – Podíl je nulový, je-li čitatel roven nule – x = 2 3− x x−2 Nerovnice: (x − 2 )(3 − x ) < 0 nebo < 0 ( x ≠ 3) – pomocí nulových bodů 3− x x−2 = 0 3− x = 0 x=2 x=3
2 3 -∞ +∞ x–2 –– + + 3–x ++ + – Pozn.: V nulových bodech mění dvojčlen znaménko. Je-li u x koeficient kladný, pak od nulového bodu nalevo je dvojčlen záporný a napravo kladný. x ∈ (− ∞;2 ) ∪ (3;+∞ ) – při neostrém znaku nerovnosti by byl interval uzavřený. 7.4
ABSOLUTNÍ HODNOTA Absolutní hodnota: vzdálenost bodu od počátku na číselné ose. Funkce, rovnice a nerovnice řešíme pomocí nulových bodů. 5
y = x +1 + 1− x
Např.
x +1 = 0 x = −1
1− x = 0 x =1
-1 x+1 1–x
– +
x ∈ (− ∞;−1) y = −( x + 1) + (1 − x ) y = −2 x
1 + +
x ∈ − 1;1)
+ –
x ∈ 1; ∞ )
y = (x + 1) + (1 − x ) y = (x + 1) − (1 − x ) y=2 y = 2x
Pozor u rovnic a nerovnic musíme vždy výsledek porovnat s intervalem – např. x ∈ 1; 3) a výsledek je x = 4 , proto rovnice nemá v tomto intervalu řešení.
8 KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE ax 2 + bx + c = 0 b c x 2 + x + = 0 ⇔ x 2 + px + q = 0 a a Neúplná kvadratická rovnice: b, c = 0 ∨ c = 0 Ryze kvadratická rovnice: b = 0 x2 = a x=
a =± a
Řešení kvadratické rovnice:
ax 2 + bx + c = 0 − b ± D − b ± b 2 − 4ac = 2a 2a D > 0 2 reálná řešení D = 0 1 reálné řešení D < 0 2 komplexní řešení x1, 2 =
GRAFICKÉ ŘEŠENÍ KVADRATICKÉ ROVNICE
8.1
x2 − 4 = 0
2 x 2 + 3x + 4 = 0
y = x2 − 4 K = {± 2}
y = x 2 ∧ y = −1,5 x − 2 K ={ }
9 VZTAHY MEZI KOŘENY A KOEFICIENTY KVADRATICKÉ ROVNICE x1 + x 2 = − p = − x1 ⋅ x 2 = q =
6
c a
b a
Rozklad kvadratického dvojčlenu: ax 2 + bx + c = 0 ⇔ a (x − x1 )(x − x 2 ) = 0 Diskuse kvadratické rovnice s parametrem: viz. otázka č. 13
10 IRACIONÁLNÍ ROVNICE tzn. neznámá je pod odmocninou provádíme zkoušku
6 − x + 3x − 2 = 4
(6 − x ) + 2
6 − x 3 x − 2 + (3 x − 2 ) = 16
/(
)2
2 (6 − x )(3x − 2) = 12 − 2 x
(6 − x )(3x − 2) = 6 − x / ( )2 (6 − x )(3 x − 2 ) = (6 − x )2 / (6 − x ) 3x2 − 2 = 6 − x2
6 − x1 = 0
∨
x1 = 6
4x2 = 8 x2 = 2
L1 = 0 + 16 = 4
L2 = 4 + 4 = 4
P1 = 4
P2 = 4
L1 = P1 ⇒ K 1 = {6}
L2 = P2 ⇒ K 2 = {2}
11 KOMPLEXNÍ ČÍSLA Komplexní – složené, imaginární – neskutečné, vymyšlené a = [a1 + a 2 ] – Gausova rovina, a – vzdálenost v G. rovinně od počátku Absolutní hodnota: a =
a1 + a 2 – reálné číslo 2
2
Komplexní jednotka: číslo, jehož absolutní hodnota se rovná 1 Algebraický tvar: a = a1 + a 2 i Opačné číslo: − a = − a1 − a 2 i Komplexně sdružené č.: a = a1 − a 2 i , 1 1 Převrácené číslo: = Goniometrický tvar: a = a (cosα + i sin α ) Exponenciální tvar: a = a ⋅ e iα – α v radiánech
a
a1 + a 2 i
11.1 OPERACE S KOMPLEXNÍMI ČÍSLY
i 2 = −1
Sčítání: a + b = (a1 + b1 ) + (a 2 + b2 )i Násobení:
Dělení:
a ⋅ b = (a1 + a 2 i )(b1 + b2 i ) a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ [cos(α + β ) + i sin (α + β )] = a ⋅ b ⋅ e i (α + β )
a a1 + a 2 i b1 − b2 i = ⋅ b b1 + b2 i b1 − b2 i a a a = ⋅ [cos(α − β ) + i sin (α − β )] = ⋅ e i (α − β ) b b b
11.2 MOIVREOVA VĚTA
(cosα + i sin α )n = (cos nα + i sin nα ) n n Mocniny: a = a ⋅ (cos nα + i sin nα ) 7
Odmocniny:
n
a = n a ⋅ (cos α +n2 kπ + i sin α +n2 kπ )
12 ŘEŠENÍ ROVNIC V OBORU KOMPLEXNÍCH ČÍSEL 12.1 KVADRATICKÉ ROVNICE S DISKRIMINANTEM MENŠÍM 0
x = ± − m = ±i m ax 2 + bx + c = 0
(D < 0 )
⇒ x=
−b±i D 2a
12.2 BINOMICKÉ ROVNICE
x n = m ⇒ x = n m = n m ⋅ (cos 0 + 2nkπ + i sin
0 + 2 kπ n
)
Je-li binomická rovnice s reálnými kořeny stupně sudého, pak má 2 reálné kořeny (čísla opačná) a komplexní kořeny jsou vždy 2 a 2 komplexně sdružené. Je-li stupně lichého, pak má jeden reálný kořen a 2 a 2 komplexně sdružené.
13 ROVNICE S PARAMETREM
(
)
x t 2 −1 = t −1 x(t − 1)(t + 1) = t − 1 t ≠1 ∨ t =1 x(t + 1) = 1 0=0⇒ K = R t ≠ −1 ∨ t = −1 1 x= 0 ≠1 t +1 K = {t 1+1} K ={}
Lineární rovnice s parametrem:
Diskuse:
pro t ≠ 1,−1 má K = {t 1+1} pro t = 1 má K = R pro t = −1 má K = {
Kvadratická rovnice s parametrem:
} px 2 + bx + c = 0 ⇒ D = b 2 − 4 pc b2 D>0⇒ p< x má 2 řešení 4c b2 D=0 ⇒ p= x má 1 řešení 4c b2 D<0⇒ p> x nemá řešení v R 4c
U parametrických rovnic s neznámou ve jmenovateli nebo u rovnic, kde umocníme či odmocníme, děláme zkoušku.
14 SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC 14.1 SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC O DVOU A VÍCE NEZNÁMÝCH Metody: sčítací, dosazovací
8
2 3 + = 13 x+z x+ y 1 2 − = −16 x+ z y+z 3 1 + = 15 x+ y y+z 2a + 3b = 13 a − 2c = −16 3b + c = 15 / ⋅ 2 2a + 3b = 13 a + 6b = 14 / (− 2 ) − 9b = −15 b=
c=
1 =c y+z
a 4 + 8 = + 8 = 10 2 2
a = 14 − 6b = 14 − 10 = 4
5 3
1 =4 x+z 1 5 = x+ y 3 1 = 10 y+z x + z = 14 / (− 1) x+ y=
x, y, z ∈ R x ≠ − y ,− z y ≠ −z
1 =a x+z 1 substituce: =b x+ y
x = 28 − z =
3 8
3 5
y + z = 101 y − z = 207 z=
y + z = 101 2y =
9 20
y=
9 40
4 40
− y = − 18
Soustavy lineárních nerovnic o jedné neznámé Vyřešíme každou zvlášť, potom uděláme průnik výsledků. 14.2 GRAFICKÉ ŘEŠENÍ LINEÁRNÍCH ROVNIC A NEROVNIC O DVOU NEZNÁMÝCH Nakreslíme graf funkcí. Výsledkem je průnik grafů. 14.3 SOUSTAVY LINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ ROVNICE Řešíme dosazovací metodou – z lineární vyjádříme a dosadíme do kvadratické.
15 EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÉ FUNKCE 15.1 GRAFY FUNKCÍ Exponenciální funkce: y = a x
a >1
a > 0, a ≠ 1 a <1
9
Logaritmická funkce: y = log a x
a > 0, a ≠ 1
a >1
D = R+ a <1
15.2 VĚTY O LOGARITMECH
a x = b ⇒ x = log a b
b>0
nejde logaritmovat součet ani rozdíl
log a (r ⋅ s ) = log a r + log a s
log a rs = log a r − log a s log a r s = s ⋅ log a r log b x log a x = log b a log a a = 1 log a 1 = 0 a log a x = x
Pokud je základ e = 2,71828... , jedná se o přirozený logaritmus a značí se ln x Při základu rovnému 10 se jedná o dekadický logaritmus – log x
16 EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE A NEROVNICE rovnice x+ 2
3
−5 = 3 x
x+4
nerovnice
−5
x+2
3 x ⋅ 32 − 5 x = 3 x ⋅ 34 − 5 x ⋅ 52
(
)
(
3 x 32 − 34 = 5 x 1 − 5 2 72 ⋅ 3 = 24 ⋅ 5 x
)
x
( ) ≤ (18 )x + 2 ( 12 )4 x + 6 ≤ ( 12 )3 x +6 1 2 x +3 4
4 x + 6 ≥ 3x + 6 x≥0
Základ < 1 převrací se nerovnost
3 ⋅ 3x = 5x 3 x +1 = 5 x (x + 1)log 3 = x ⋅ log 5 x(log 3 − log 5) = − log 3 log 3 x= log 5 − log 3
2 x ≥ 3 x +1 x ⋅ log 2 ≥ x ⋅ log 3 + log 3 x(log 2 − log 3) ≥ log 3 x≤ log 2 − log 3 <0 převrací se nerovnost
27 = 12 – substitucí a = x 81 81 a 2 − 12a + 27 = 0 ⇒ x 81 = 9 ∨ x 81 = 3 x
81 +
4
x
4
3 x = 32 ∨ 3 x = 31 ⇒ x = 2 ∨ x = 4
10
log 3 log 2 − log 3
17 LOGARITMICKÉ ROVNICE A NEROVNICE Podmínky pro logaritmus i pro jmenovatele. Odlogaritmovat mohu pouze tehdy, pokud mají logaritmy stejný základ. rovnice: podmínky: log x
=1 x > 0 ∧ 3x + 5 > 0 ∧ log(3 x + 5) ≠ 0 log (3x + 5) 5 log x = log (3 x + 5) x >−3 log(3 x + 5) ≠ log 1 x = 3x + 5 x ≠ − 43 x = −2,5 K ={ } nerovnice: při 0 < a < 1 se u exponenciálních a logaritmických nerovnic převrací nerovnost log 0, 5 ( x + 2 ) > 3 log 2 ( x + 2) > 3 log 0, 5 ( x + 2 ) > log 0,5
log 2 ( x + 2) > log 2 8 x>6
1 8
Podmínky:
x < − 158
x+2>0 x > −2
Základ < 1 převrací se nerovnost
18 GONIOMETRICKÉ FUNKCE 18.1 DEFINICE NA PRAVOÚHLÉM TROJÚHELNÍKU
a c b cosα = c
sin α =
c a
α b
18.2 DEFINICE NA JEDNOTKOVÉ KRUŽNICI II
cos α3
α3 sin α3
cos α4
α4 sin α4
III
b a
c b
cosecα =
c a
α 2= 180° − α1
II. kvadrant: sin α 2 = sin α 1 cos α1
α1
cot gα =
sec α =
α 4= 360° − α 1
sin α1
α2
cos α2
a b
α 3= 180° + α 1
I sin α2
tg α =
IV
cotg α
cos α 2 = − cos α1 III. kvadrant: sin α 3 = − sin α 1 cosα 3 = − cos α1 IV. kvadrant: sin α 4 = − sin α 1 cos α 4 = cos α sin (− α ) = − sin α cos(− α ) = cos α
lichá funkce sudá funkce
perioda je 2π α
tg α
tg(− α ) = − tg α cot g (− α ) = − cot g α
funkce lichá funkce lichá
perioda je π
11
18.3 ZÁKLADNÍ ÚHLY 0° 30° α
45°
60°
90°
2 2
3 2
1
1 2
0
sin α
0
1 2
cos α
1
3 2
2 2
tg α
0
3 3
1
cotg α
E
1
3
3 3 3
E 0
Doplňkový úhel: α ' = 90° − α
sin α = cos α ' cosα = sin α ' tg α = cotgα ' cotgα = tg α '
18.4 OBLOUKOVÁ MÍRA 1 rad je středový úhel, který přísluší oblouku jednotkové kružnice, jehož délka je 1. 1 rad = 57° 17’ 44,81’’ 360°=2π 18.5 GRAFY FUNKCÍ sin x
cos x
tg x
cotg x
x 2
sin 2 x
sin
sin (x + π3 )
19 VZTAHY MEZI GONIOMETRICKÝMI FUNKCEMI sin x cos x , cotg x = cos x sin x 2 2 sin x + cos x = 1 , tg x ⋅ cotg x = 1 Součtové vzorce: sin ( x ± y ) = sin x ⋅ cos y ± cos x ⋅ sin y cos( x ± y ) = cos x ⋅ cos y m sin x ⋅ sin y tg x =
tg x ± tg y 1 m tg x ⋅ tg y ± cotg x ⋅ cotg y − 1 cot g ( x ± y ) = cotg x m cotg y tg( x ± y ) =
12
2 sin x
Dvojnásobný úhel: sin 2 x = 2 sin x ⋅ cos x
cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x 2 tg x tg 2 x = 1 − tg 2 x Poloviční úhel:
Součtové věty:
x 1 − cos x znaménko se určí =± podle kvadrantu 2 2 x 1 + cos x cos = ± 2 2 x 1 − cos x sin x tg = = 2 sin x 1 + cos x sin x + sin y = 2 ⋅ sin x +2 y ⋅ cos x −2 y
sin
sin x − sin y = 2 ⋅ cos x +2 y ⋅ sin
x− y 2
cos x + cos y = 2 ⋅ cos x +2 y ⋅ cos x −2 y cos x − cos y = −2 ⋅ sin x +2 y ⋅ sin x−2 y Převody přes liché násobky π/2: sin (π2 − α ) = cos α cos(π2 − α ) = sin α
tg(π2 − α ) = cotgα
cotg(π2 − α ) = tg α
20 GONIOMETRICKÉ ROVNICE A NEROVNICE 20.1 ZÁKLADNÍ GONIOMETRICKÉ ROVNICE A NEROVNICE
sin x = a, cos x = a tg x = a
a∈R
cotg x = a a ∈ R
a ∈ − 1,1
x∈R
interval se určí podle jednotkové kružnice nebo grafu
x ∈ R − {kπ + π2 } x ∈ R − {kπ }
Př. rovnice
sin x = −0,5 x1 = 210°, x 2 = 330°
K = k ∈ Z ∪ {210° + 2kπ ,330° + 2kπ }
nerovnice
sin x ≤ −0,5 x1 = 210°, x 2 = 330° K = k ∈ Z ∪ 210° + 2kπ , 330° + 2kπ
20.2 SLOŽITĚJŠÍ GONIOMETRICKÉ ROVNICE Pokud je v rovnici více goniometrických funkcí, převedeme je na jednu goniometrickou funkci. Pokud odmocňujeme, musíme provést zkoušku.
sin 3 x = cos 2 x sin 3 x − sin (90° − 2 x ) = 0 3x + 90° − 2 x 3x − 90° + 2 x 2 ⋅ cos ⋅ sin =0 2 2 x + π2 5 x − π2 cos =0 ∨ sin =0 2 2 x + π2 π 5 x − π2 = 2 + kπ = kπ 2 2 x = π2 + 2kπ x = 10π + 25 kπ
13
21 TRIGONOMETRIE 21.1 PRAVOÚHLÝ TROJÚHELNÍK Goniometrické funkce 21.2 OBECNÝ TROJÚHELNÍK Sinova věta: 2r =
a b c = = sin α sin β sin γ
– poměr strany a protilehlého vnitřního úhlu je kon-
stantní a je roven průměru kružnice opsané. Použití: známe stranu a 2 úhly nebo 2 strany a úhel jedné z nich.
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab ⋅ cos γ Kosinova věta: b 2 = a 2 + c 2 − 2ac ⋅ cos β
– Použití: známe 3 strany nebo 2 strany a úhel jimi
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc ⋅ cos α sevřený.
22 SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ Samodružný bod – bod X je totožný se svým obrazem X’=X Samodružný útvar – útvar U, jehož obrazem U’ je U Osová souměrnost: osa souměrnosti Středová souměrnost: střed souměrnosti Posunutí (translace): vektor posunutí Otočení (rotace): střed otočení, úhel otočení Totožnost (identita)
23 PODOBNOST A STEJNOLEHLOST 23.1 PODOBNOST Pro každé body X,Y a jejich obrazy X’,Y’ platí: X ' Y ' = k XY k>1 zvětšení k=1 shodnost k<1 zmenšení V podobném trojúhelníku platí, že ve stejném poměru jsou i výšky, těžnice, střední příčky, poloměry kružnice opsané i vepsané, … 2 trojúhelníky jsou si podobné shodují-li se ve dvou úhlech nebo v 1 úhlu a poměru stran svírajících tento úhel. 23.2 STEJNOLEHLOST H (S ;κ ) Pro každé X platí: X ' S = κ ⋅ XS , kde S je střed stejnolehlosti a κ je koeficient stejnolehlosti. Přímka se zobrazí na přímku rovnoběžnou.
24 PYTHAGOROVA VĚTA, EUKLIDOVY VĚTY Platí pro pravoúhlý trojúhelník ACB. 2 I. Euklidova věta: vc = c a ⋅ cb – obsah čtverce sestrojeného nad výškou trojúhelníka se rovná obsahu obdélníka sestrojeného z obou úseků na přeponě. Odvození:
CD
BD
v c R∆ ACB ⇒ ∠DAC = ∠DCB ⇒ = ⇒ c = a AD CD cb v c
14
C α vc
b α A cb
a ca
D
B
C b A
a
vc cb
D
ca
B
II. Euklidova věta: b 2 = c ⋅ cb , a 2 = c ⋅ c a – obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou se rovná obsahu obdélníka sestrojeného z celé přepony a úseku přilehlého k dané odvěsně. Odvození:
R∆ ACB a R∆ ADC ⇒
AD AC
=
AC AB
⇒
Pythagorova věta: a + b = c – součet obsahů čtverců nad odvěsnami se rovná obsahu čtverce nad přeponou. Odvození: sečtením Euklidových vět. a2 + b2 = c2 2
2
cb b = b c
2
c ⋅ ca + c ⋅ cb = c
C
2
b
a c
ca + cb = c
A
B
25 ROVINNÉ ÚTVARY
O = a+b+c b a ⋅ va c va S= a 2 Heronův vzorec: S = s (s − a )(s − b )(s − c ) a+b+c s= 2 c Obdélník: O = 2(a + b ) b d a S = ab Rovnoběžník: O = 2(a + b ) c b d a v S = a ⋅ va Lichoběžník: O = a + b + c + d c b d a v ( a + c )v S= 2 Pravidelný n-úhelník: S = n ⋅ S ∆ABS – n-krát obsah jednoho trojúhelníka Kruh: O = 2π r r S = π r2 Trojúhelník:
Mezikruží: S = π r1 − π r2 2
2
Oblouk: O = rϕ – úhel v radiánech
r1 r2
r
r2 r ϕ 2 1 r2 Úseč: S = ϕ − ⋅r 2 ⋅ sin ϕ – obsah výseče mínus obsah trojúhelníka 2 2
Výseč: S =
r
26 NEROTAČNÍ TĚLESA Hranol: Kvádr: Jehlan:
V = Sp ⋅v
S V S V
= 2 S p + S pl = abc = 2(ab + bc + ac ) = 13 S p ⋅ v
b a
c
15
S = S p + S pl Komolý jehlan:
(
V = 13 v S p1 + S p 2 + S p1 ⋅ S p 2
)
S = S p1 + S p 2 + S pl
27 ROTAČNÍ TĚLESA Válec: Kužel:
V = π r 2v S = 2π r 2 + 2π rv V = 13 π r 2 v S = π r 2 + π rs , kde s = r 2 + v 2 – délka pláště
(
Komolý kužel: V = 13 π v r1 + r2 + r1 r2 2
2
)
S = π r1 +π r2 + (π r1 + π r2 )s Koule: V = 43 π r 3 2
2
S = 4π r 2
Kulová úseč: V = π r1 ⋅ 2v + 43 π ( v2 ) objem válce plus objem koule 3
2
v
r1 = r 2 − (r − v )
2
r
r1 S
S = πr1 + 2π rv – obsah podstavy plus obsah 2
r2
kulového vrchlíku
Kulová vrstva: V = π r1 ⋅ + π r2 ⋅ v2 + 43 π ( v2 ) objem dvou válců a objem koule 2
v 2
3
2
aij …
i = 1,2,3...m j = 1, 2,3...n
a12 a 22 a32 am 2
r
r1 S
28 MATICE A DETERMINANTY a11 a 21 … a 31 a m1
v
a13 a 23 a33 am3
a1n a2n a3 n a mn
Společný název pro řádek a sloupec je řada. Typ matice: Obdélníková, čtvercová (m=n), sloupcová (m,1) a řádková (1,n), diagonální (samé nuly, jen na hlavní diagonále ne), jednotková (samé nuly, na diagonále jedničky) Hlavní diagonála: z LH do PD rohu, vedlejší diagonála: z PH do LD rohu Transponovaná matice: zaměněné sloupce a řádky Symetrická matice: matice je stejná jako transponovaná Hodnost matice: počet lineárně nezávislých řádků v matici (maximálně rovna menšímu z m a n) 28.1 OPERACE S MATICEMI Hodnost matice se nemění, když 1) matici transponujeme 2) nějakou řadu vynásobíme nenulovým číslem 3) k některé řadě přičteme lineární kombinaci (násobek) jiné řady s ní rovnoběžné 4) v matici vynecháme nebo přidáme řadu, která je lineární kombinací jiné řady s ní rovnoběžné Matice téhož typu se stejnou hodností jsou ekvivalentní A ≅ B
16
Hodnost matice:
4 11 1 − 12 7 − 3 − 8 5 ≅ − 3 − 8 1 − 12 21 7 4 1 2 4 = Násobení matice: 4 ⋅ 3 4 12
21 1 − 12 21 1 − 12 21 5 ≅ 0 − 44 68 ≅ 0 − 11 17 h=2 11 0 88 − 136 0 0 0 8 16
1 2 5 6 6 8 = + 3 4 7 8 10 12
Součet matic:
28.2 DETERMINANT
a11 a 21
a12 a 22
a11 Determinant 3. stupně: a 21 a31
a12 a 22 a 32
Determinant 2. stupně:
–
–
a11 a 22 − a12 a 21 a13 a11 a 23 a 21 a 33 a 31
–
+
a12 a 22 a32 +
= a11 a 22 a33 + a12 a 23 a31 + a13 a 21 a 32 − − a13 a 22 a31 − a11 a 23 a32 − a12 a 21 a33 +
29 LINEÁRNÍ ALGEBRA soustava m rovnic o n neznámých
a11 x1 + a12 x2 + ...a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + ...a2 n xn = b2
h je hodnost matice (aij )
M hr je hodnost matice (aij bi ) am1 x1 + am 2 x2 + ...amn xn = bm pokud bi = 0 i = 1,2,...m je soustava homogenní, jinak je nehomogenní podmínka řešitelnosti 1) h ≠ hr – nemá řešení 2) h = hr • h = n – jedno řešení • h < n – nekonečně mnoho řešení ( n − h neznámých volíme a ostatní dosadíme – např. x 4 = t1 , x3 = t 2 , x 2 = t1 + t 2 , x1 = 2t 2 ) Příklad:
− x1 2 x1 x1 x1
+ 7 x2 − x2 − x2 − x2
+ x3 = −1 =1 3x 3 = 2
+ 3x3 + 4 x3 30 x3
− 1 0 1 − 1 1 − 1 3 2 2 7 0 1 ≅ 0 −1 4 1 1 − 1 3 2 0 0 30 6
h = hr = n
=2 x1 = 1 15 = 1 ⇒ x2 = − 15 =6 x3 = 15
Cramerovo pravidlo: m=n, pokud determinant A ≠ 0 – 1 řešení x k =
Ak A
, kde Ak je matice, ve
které jsme k. sloupec nahradil sloupcem pravé strany.
17
Příklad:
− x1 2 x1 x1
+ 7 x2 − x2
+ x3 = −1 =1 3x 3 = 2
−1 0 1 A = 2 7 0 1 −1 3
−1 0 1 7 0 A1 = −36 A1 = 1 2 − 1 3 −1 −1 1 A2 = 2 1 0 A2 = 6 1 2 3 − 1 0 − 1 1 A3 = 2 7 1 −1 2
A3 = −6
x1 =
A1
x2 =
A2
x3 =
A3
A
A
A
A = −30
=
1 − 36 =1 5 − 30
=
6 −1 = 5 − 30
=
−6 1 = − 30 5
30 VEKTORY Vektor je množina všech souhlasně orientovaných úseček, které mají stejnou velikost. Vektory rovnoběžné jsou kolineární. (souhlasně, nesouhlasně kolineární)
AB = ( X B − X A , YB − YA ) AB =
( X B − X A )2 + (YB − Y A )2
u = u1 + u 2 2
2
Vektor opačný: − u = (−u1 , −u 2 )
Součet vektorů: u ± v = (u1 ± v1 , u 2 ± v 2 )
Násobení vektoru skalárem: k ⋅ u = (k ⋅ u1 , k ⋅ u 2 ) Dva vektory jsou lineárně závislé, jestliže jeden z nich je lineárním násobkem druhého. Tři vektory jsou lineárně závislé, je-li alespoň jeden z nich lineární kombinací ostatních dvou. Tři vektory jsou lineárně nezávislé, pokud ani jeden není lineární kombinací zbývajících dvou. Skalární součin: u ⋅ v = u ⋅ v ⋅ cos α = u1v1 + u 2 v 2 – výsledkem je skalár Úhel dvou vektorů: cos α =
u⋅v u⋅v
Rovnoběžné vektory: u v ⇒ u = k ⋅ v ,
kolmé vektory: u⊥ v ⇒ u ⋅ v = 0
Vektorový součin: u × v = u ⋅ v ⋅ sin ϕ – velikost. Směr: kolmo k oběma vektorům, pravotočivá báze (prsty – u,v, palec ukazuje směr).
u × v = − v × u – opačná orientace k u× v = k ⋅u × v
( ) ( ) w × (u + v ) = (w × u ) + (w × v )
u × u = 0 – nulový vektor
31 ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Přímka: 18
•
parametrické vyjádření:
x = X 1 + t ⋅ u1 y = Y1 + t ⋅ u 2 pro přímku – t ∈ R pro úsečku – t ∈ 0,1 pro polopřímku – t ∈ 0, ∞ )
•
obecná rovnice přímky:
ax + by + c = 0
n = (a, b ) – normálový (kolmý) vektor s = (− b, a ) – směrový vektor p O x ⇒ by + c = 0 p O y ⇒ ax + c = 0 •
•
úsekový tvar rovnice přímky:
x y + =1 p q c p=− a c q=− b
q 0
p
směrový tvar:
y = kx + q a k = − = tg α b Polorovina: ax + by + c ≥ 0
α 0
q
32 ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V PROSTORU Přímka definována pouze parametricky. Rovina: • parametrická rovnice:
x = X 1 + t ⋅ u1 + s ⋅ v1 y = Y1 + t ⋅ u 2 + s ⋅ v 2
z = Z 1 + t ⋅ u 3 + s ⋅ v3 kde A = [X 1 , Y1 , Z 1 ] je bod roviny a u,v jsou nekolineární vektory vycházející z bodu A a ná•
ležející do roviny. obecná rovnice roviny:
ax + by + cz + d = 0
získáme ji: 1) pomocí dvou vektorů náležejících rovině – přes normálový vektor
i j n = (a, b, c ) = u × v = u1 u 2 v1 v 2
k u 3 – normálový vektor v3
2) z parametrické rovnice – vyloučením t, s 3) pomocí 3 bodů náležejících do roviny – dosazením bodů za x, y, z a dopočítáním a, b, c, d, přičemž za jednu neznámou volíme zvláštní případy rovnice: 19
ρ O x ⇒ a = 0, b ≠ 0, c ≠ 0 ρ O y ⇒ a ≠ 0, b = 0, c ≠ 0 ρ O z ⇒ a ≠ 0, b ≠ 0, c = 0 ρ O x ∧ ρ O y ⇒ a = 0, b = 0, c ≠ 0
33 POLOHOVÉ A METRICKÉ VZTAHY ÚTVARŮ V ROVINĚ Vzájemná poloha dvou přímek: rovnoběžné různé – žádný společný bod shodné – nekonečně mnoho společných bodů různoběžné – jeden společný bod Odchylka dvou přímek:
cos α = tg α =
Vzdálenost bodu od přímky:
u⋅v u⋅v
=
u1v1 + u 2 v 2 u1 + u 2 ⋅ v1 + v 2 2
2
2
2
k 2 − k1 1 + k1 k 2 aX 0 + bY0 + c
Ap =
a2 + b2
A = [X 0 ,Y0 ]
34 POLOHOVÉ A METRICKÉ VLASTNOSTI ÚTVARŮ V PROSTORU Vzájemná poloha dvou přímek: rovnoběžné různé – žádný společný bod shodné – nekonečně mnoho společných bodů různoběžné – jeden společný bod mimoběžné – žádný společný bod, neleží v jedné rovině Vzájemná poloha dvou rovin: rovnoběžné různé – žádný společný bod shodné – nekonečně mnoho společných bodů různoběžné – jedna společná přímka – průsečnice Příklad: ρ : 2 x − y − z − 1 = 0
σ : x + y + 2z − 3 = 0 Jednu neznámou nahrap: 3 x + z − 4 = 0 díme parametrem x=t z = 4 − 3 x = 4 − 3t y = 3 − x − 2 z = −5 + 5t Odchylka dvou přímek: stejné jako v rovině Odchylka přímky od roviny: sin α =
Odchylka dvou rovin: cos α =
20
sp ⋅ n ρ sp ⋅ n ρ
n ρ ⋅ nτ n ρ ⋅ nτ
Vzdálenost bodu a roviny: v =
aX 0 + bY0 + cZ 0 + d
A = [X 0 , Y0 , Z 0 ]
a2 + b2 + c2
Vzdálenost bodu od přímky: vytvoříme rovinu kolmou k přímce tak, aby procházela bodem A a spočítáme vzdálenost mezi A a průsečíkem přímky a roviny. s p = n ρ , v = A ρ ∩ p
Vzdálenost dvou rovnoběžných přímek: v( p, q ) = v( A, q ); A ∈ p
Vzdálenost přímky od roviny s ní rovnoběžné: v( p, ρ ) = v( A, ρ ); A ∈ p Vzdálenost dvou rovnoběžných rovin: v( ρ , τ ) = v ( A, τ ); A ∈ ρ
35 ANALYTICKÁ GEOMETRIE KRUŽNICE A ELIPSY y y’ n
X r S=0’ Transformační rovnice:
0
x' = x − m y' = y − n
m x x’
35.1 KRUŽNICE Množina všech bodů, které mají od středu (S) stejnou vzdálenost r.
S = [m, n]
Středová rovnice:
X r S
(x − m)2 + ( y − n )2 = r 2
Vnitřek kružnice: x 2 + y 2 < r 2 Obecná rovnice:
x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 a = −2m, b = −2n, c = m 2 + n 2 − r 2
35.2 ELIPSA Množina bodů, které mají od dvou daných pevných bodů (ohnisek) stálý součet vzdáleností, který se rovná 2a ( F1 X + F2 X = 2a ). A,B – hlavní vrcholy C,D – vedlejší vrcholy S – střed F1, F2 – ohniska a = AS = CF – hlavní poloosa
b = CS = DS
X F1
S
F2
– vedlejší
poloosa (vždy menší než hlavní poloosa) 2b = CD – vedlejší osa
SF1 = SF2 = e
–
excentricita
2a = AB – hlavní osa a 2 = e2 + b 2 Osová rovnice elipsy: Pro 2a O x :
(x − m)2 + ( y − n )2 2
2
a =1
a b 2 (x − m) + ( y − n )2 = 1 Pro 2a O y : b2 a2 Obecná rovnice elipsy: Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0
A
F1 e
C b S
F2 a
B
D
21
36 ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY Množina všech bodů, které mají stejnou vzdálenost od pevného bodu (ohniska) a dané přímky (řídící přímka), která daným bodem neprochází. F – ohnisko d – řídící přímka V – vrchol VF – osa paraboly p p – parametr: 2 = DV = FV
D
( y − n )2 = 2 p ( x − m ) ( y − n )2 = −2 p (x − m) ( x − m )2 = 2 p ( y − n ) (x − m)2 = −2 p( y − n )
Vrcholová rovnice: O ≡ O x , F ∈ O +
O ≡ Ox , F ∈ O
d
−
O ≡ Oy , F ∈ O + O ≡ Oy , F ∈ O −
V
F
inverzní kvadratická fce
graf kvadratické funkce graf záporné kvadr. fce
37 ANALYTICKÁ GEOMETRIE HYPERBOLY Množina všech bodů, které mají tu vlastnost, že absolutní hodnota rozdílu jejich vzdáleností od 2 daných pevných bodu (ohnisek) je konstantní ( XF1 − XF2 = 2a ). A,B – vrcholy paraboly AB = 2a – hlavní osa ( AS = a ) b – vedlejší poloosa F1,F2 – ohniska e – excentricita = SF , e 2 = a 2 + b 2
X
nemusí platit a>b
(x − m)
2
( y − n)
=1 a b2 ( y − n )2 − (x − m)2 = 1 Pro 2a ≡ O y : a2 b2 Obecná rovnice: Ax 2 − By 2 + Cx + Dy + E = 0
Osové rovnice:
Pro 2a ≡ O x :
2
2
−
F1
A S
e
B
Rovnice asymptot:
y = ± kx + q
každá hyperbola má 2 asymptoty
k = tg α
pro 2a ≡ O x :
Rovnoosá hyperbola: a=b Větve leží v I. a III. kvadrantu: Větve leží v II. a IV. kvadrantu:
b a , pro 2a ≡ O y : a b xy = 12 a 2 – graf lomené funkce
xy = − 12 a 2 – graf záporné lomené fce
38 VZÁJEMNÁ POLOHA PŘÍMKY A KUŽELOSEČKY Počet průsečíků kuželosečky s přímkou: kružnice a elipsa: 2 body sečna 1 bod tečna 0 bodů vnější přímka parabola: 2 body sečna 1 bod rovnoběžná s osou protíná v 1 bodě 22
asymptoty
F2
protíná osu tečna 0 bodů vnější přímka hyperbola: 2 body sečna 1 bod rovnoběžná s asymptotou protíná v 1 bodě protíná asymptotu tečna 0 bodů vnější přímka 38.1 TEČNA KUŽELOSEČKY V JEJÍM BODĚ Bod dotyku: [ X 1 ,Y1 ]
Kružnice: ( x − m )( X 1 − m ) + ( y − n )(Y1 − n ) = r 2
(x − m)( X 1 − m) ( y − n )(Y1 − n )
+ =1 a2 b2 Parabola: ( y − n )(Y1 − n ) = p ( x − m ) + p ( X 1 − m ) (x − m)( X 1 − m) ( y − n )(Y1 − n ) Hyperbola: − =1 a2 b2 Elipsa:
39 VARIACE A PERMUTACE n!= 1 ⋅ 2 ⋅ ...(n − 1) ⋅ n – faktoriál Kombinatorické pravidlo součinu: počet všech uspořádaných dvojic, u nichž pro volbu prvního prvku máme n1 možností a druhého n2 možností, je roven součinu n1⋅n2. Variace: Vk (n ) =
n! (n − k )!
je k-tice vytvořená z n prvků tak, že každý se v ní vyskytuje nejvýše
jednou. Záleží na pořadí ( '123' ≠ '321' ). Permutace: P (n ) = n! je zvláštní případ variace, kdy se k=n. Variace s opakováním: V ' k (n ) = n k vyskytovat nejvýše k-krát.
je k-tice vytvořená z n prvků tak, že každý se v ní může
Permutace s opakováním: P ' n1 ,n2 ,... n p (n ) =
n! n1 !⋅n2 !⋅...n p !
, kde n1 je počet prvků 1. druhu, n2 2.
druhu a … np p. druhu, přičemž platí, že n1+n2+…np=n. Všechny prvky téhož druhu jsou stejné a žádné 2 prvky různých druhů nejsou stejné.
40 KOMBINACE Kombinace: C k (n ) =
n! je k-tice vytvořená z n prvků tak, že každý z prvků se v ní vysky(n − k )!⋅k! tuje nejvýše jednou. Nezáleží na pořadí ( '123' ≡ '321' ). Vztah mezi kombinacemi a variacemi: V (n ) C k (n ) = k k! n Kombinační číslo: = C k (n ) k n + k − 1 (n + k − 1)! = Kombinace s opakováním: C ' k (n ) = je k-tice vytvořená z n prvků k (n − 1)!⋅k! tak, že každý prvek se v ní může opakovat maximálně k-krát.
23
40.1 VLASTNOSTI KOMBINAČNÍCH ČÍSEL
n n = = 1 0 n n = n 1 n n = k n − k n n n + 1 = + k k + 1 k + 1 40.2 PASCALŮV TROJÚHELNÍK 0 0 1 1 0 1
n=0 n =1 n=2 n=3 n=4
1 1 1
2 2 2 0 1 2 3 3 3 3 0 1 2 3 4 0
4 1
4 2
4 3
1 2 1 1 3 3 1
4 4
1 4 6 4 1
40.3 BINOMICKÁ VĚTA
n n n n n = a n + a n −1b1 + a n− 2 b 2 + ... + a n − k b k + ... + b n 0 1 2 k n n n −k +1 k −1 ⋅ a k-tý člen binomického rozvoje: c k = ⋅b k − 1
(a + b )n
Pro výpočet mnohočlenu n-tého stupně. Příklad: V mnohočlenu
(
1 3x
− x3
)
11
vypočítej koeficient u x 25 .
11 k k ⋅ (3 x )−(12 − ) ⋅ (− x )3( −1) c ⋅ x 25 = k − 1 11 k −12 k −12 3 k −3 ⋅ 3 c ⋅ x 25 = ⋅x ⋅ (− 1) ⋅ x 3 k −3 k − 1 x 25 = x 4 k −15 ⇒ k = 10 11 27 c = ⋅ 3 −2 ⋅ (− 1) = − 559 9
41 ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI Náhodný pokus: ovlivněn náhodnými činiteli. Náhodný jev: výsledek náhodného pokusu, o kterém můžeme rozhodnout zda je či není pravdivý. Deterministický pokus: při dodržování daných podmínek vede vždy ke stejnému výsledku. Pravděpodobnost náhodného jevu: P ( A) =
mA n
, kde mA je počet výsledků příznivých jevu A
a n je počet všech možných výsledků daného pokusu.
24
nA n
Statistická definice pravděpodobnosti: P ( A) =
, kde nA je absolutní četnost a n je celkový
počet (z n provedených pokusů je nA příznivých). Pravděpodobnost sjednocení jevů: jevy musejí být neslučitelné A ∩ B = 0
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P (B ) A ∩ A' = 0 ⇒ P( A ∪ A') = 1 ⇒ P( A') = 1 − P( A)
Pravděpodobnost
průniku
jevů:
Pokud
P( A ∩ B ∩ C ) = P( A) ⋅ P( B ) ⋅ P(C )
jsou
jevy
A,
B,
C
nezávislé,
platí
Binomická rozdělení: mějme n nezávislých pokusů, z nichž každý skončí buď zdarem s pravděpodobností p nebo nezdarem s pravděpodobností q, potom pravděpodobnost, že k jevů
n k
skončí zdárně vypočítáme: P ( Ak ) = p k q n − k .
42 ZÁKLADY STATISTIKY
Jednotka: každá musí být přesně určena místně, časově, věcně Soubor: tvořen všemi jednotkami Rozsah souboru: počet všech jednotek Znak: vlastnosti, které u dané jednotky sledujeme (kvalitativní – odpovídáme slovně, kvantitativní – odpovídáme číslem) Absolutní četnost: počet všech jednotek v souboru, u nichž byl daný jev zjištěn Relativní četnost: P ( A) =
nA n
42.1 CHARAKTERISTIKY POLOHY Aritmetický průměr: x a =
∑x
i
n
∑x n ∑n
Vážený aritmetický průměr: x a =
i
i
i
Modus xˆ : je střední hodnota, která odpovídá hodnotě údaje nejčastěji se vyskytujícího v daném souboru. Medián ~ x : hodnota prostředního členu seřazeného statistického souboru. 42.2 CHARAKTERISTIKY VARIABILITY Průměrná odchylka: průměrná odchylka od průměru: d = Vážená průměrná odchylka: d = Rozptyl: var x =
∑ (x
i
− x)
n
Vážený rozptyl: var x =
∑ x − x ⋅n ∑n i
∑x
i
−x
n
i
i
2
∑ (x − x ) ∑n i
2
⋅ ni
i
Směrodatná odchylka: σ =
var x
25
43 ARITMETICKÁ POSLOUPNOST 43.1 POSLOUPNOST Posloupnost je zobrazení všech přirozených čísel do množiny všech reálných čísel (nekonečná po∞ sloupnost reálných čísel) {a n }n =1 = a1 , a 2 ,...a n ,... . Posloupnost je zobrazení prvních n přirozených čísel do R (konečná posloupnost R) {a n }kn=1 = a1 , a 2 ,...a k . Posloupnost rostoucí: r < s ⇔ a r < a s Posloupnost klesající: r < s ⇔ a r > a s
r, s ∈ N r, s ∈ N
43.2 ARITMETICKÁ POSLOUPNOST a n+1 = a n + d , d diferenciál
an =
a n −1 + a n +1 2
– jakýkoliv člen posloupnosti je aritmetickým průměrem členu předcházejícího
a následujícího N-tý člen posloupnosti: a n = a1 + (n − 1)d Součet prvních n členů: s n =
n(a1 + a n ) 2
44 GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST a n+1 = a n ⋅ q
q≠0
a n = a n −1 ⋅ a n +1 N-tý člen posloupnosti: a n = a1 ⋅ q n −1 Součet prvních n členů: s n = a1 ⋅
qn −1 q −1
q ≠1
44.1 VYUŽITÍ POSLOUPNOSTI Úročitel: r = 1 + p , p přírůstek (%) Pravidelný růst: a n = ar n , a počátek Růst s příspěvky: a n = ar n + b ⋅
r n −1 , b příspěvky r −1
Jednoduché úrokování (vkládáme po měsíci): a n = n ⋅ a + a ⋅ p ⋅ 121 ⋅ Složité úrokování (roční): a n = a ⋅
n(1 + n ) 2
r n −1 r −1
45 ŘADY
Nekonečná geometrická řada: geometrická posloupnost {a n }n =1 ∞
Součet geometrické řady: lim s n = n →∞
nak je divergentní.
26
a1 1− q
q < 1,
existuje-li tato limita je konvergentní, ji-
46 LIMITA, SPOJITOST A DERIVACE FUNKCE 46.1 LIMITA ∞ Limita posloupnosti: Posloupnost {a n }n =1 má konečnou (vlastní) limitu a právě tehdy, když ke každému libovolně zvolenému kladnému ε existuje číslo n0 takové, že pro každé n>n0 platí a n − a < ε . Zápis: lim a n = a a ∈ R . Je-li konečné číslo reálné, tedy jedná se o vlastní n →∞
limitu, je posloupnost konvergentní. Nemá-li konečnou limitu je divergentní. Limita funkce: Funkce f má v bodě a limitu L, jestliže k libovolně zvolenému okolí bodu L existuje okolí bodu a takové ∀x ∈ U (a ) − {a}; f ( x ) ∈ U (L ) . Zápis: lim f ( x ) = L x→a
x x = 1 , zprava: lim+ = 1 x →0 x x →0 x x x x Nevlastní limita: lim− = 1 ∧ lim+ = 1 ⇒ lim = 1 x 0 → x →0 x x→0 x x 1 1 Limita v nevlastním bodě: lim = 0, lim = 0 x → +∞ x x → −∞ x Věty o limitách: lim (a n ± bn ) = lim a n ± lim bn Limita zleva: lim−
n →∞
n→∞
n →∞
lim (a n ⋅ bn ) = lim a n ⋅ lim bn
n →∞
a lim n n →∞ b n
n →∞
n→∞
n →∞ = bn lim n →∞
lim a n
lim (konst. ⋅ a n ) = konst. ⋅ lim a n n →∞
n →∞
lim = 0 1 n →∞ n
lim f ( x ) = f (a ) x →a
sin (kx ) =1 kx ex −1 lim =1 x→0 x 0 ∞ Neurčité výroky: , ,0 ⋅ ∞,0 0 , ∞ 0 , ∞ − ∞ 0 ∞ lim
x→0
46.2 SPOJITOST FUNKCE Okolí bodu: (a − δ , a + δ )
(
Levé okolí bodu: a − δ , a
δ > 0 nebo x − a < δ , zápis U (a, δ ) δ >0
Funkce f je spojitá v bodě a, jestliže k libovolně zvolenému okolí f(a) existuje okolí bodu a takové, že ∀x ∈ U (a ); f ( x ) ∈ U ( f (a )) . Funkce f je spojitá v intervalu (a,b), je-li spojitá v každém bodě tohoto intervalu. Funkce f je spojitá na
, je-li spojitá na (a,b) a v bodě a je spojitá zprava a v bodě b je spojitá zleva. Funkce f je spojitá v bodě a, má-li v tomto bodě limitu.
f
46.3 DERIVACE FUNKCE
f ( x0 + ∆x ) − f ( x 0 ) f (x ) − f (x0 ) ∆y = lim = lim ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 x → x0 ∆x x − x0 dy y ' ( x0 ) = dx f ' ( x0 ) = lim
t
∆y ∆x
27
y‘ … 1. derivace y‘‘ … 2. derivace y(6) … 6. derivace Jestliže má funkce f v bodě x0 derivaci je v bodě x0 spojitá. Obrácená věta neplatí Funkce f má derivaci v , má-li derivaci v každém bodě (a,b), v bodě a má derivaci zprava a v bodě b zleva. Je-li funkce f definována v nějakém okolí bodu x0 a existuje-li lim− x → x0
f (x ) − f (x0 ) , má funkce f x − x0
v bodě x0 derivaci zleva. (Obdobně platí pro derivaci zprava). Derivace: c'= 0
(x )' = n ⋅ x n
n −1
goniometrické fce: (sin x )' = cos x
(cos x )' = − sin x
1 x ∈ R − {π2 + kπ } cos 2 x (cotg x )' = − 21 x ∈ R − {kπ } sin x (arcsin x )' = 1 2 1− x (arccos x )' = − 1 2 1− x (arctg x )' = 1 2 1+ x (arccotg x )' = − 1 2 1+ x [c ⋅ f (x )]' = c ⋅ f ' (x ) (u ± v )' = u '±v' (uvz )' = u ' vz + uv' z + uvz '
(tg x )' =
s konstantou: sčítání: násobení:
u ' v − uv' u = v2 v ( f [g (x )])' = f ' [g (x )]⋅ g ' (x ) složená fce: exponenciální fce: e x ' = e x a x ' = a x ⋅ ln a logaritmické fce: (ln x )' = 1x x>0 (log a x )' = x⋅ln1 a x > 0, a > 0, a ≠ 1 l
dělení:
( ) ( )
implicitní funkce:
y = x sin x ln y = sin x ⋅ ln x 1 y
vyšší derivace:
28
y ' = cos x ⋅ ln x + sin x ⋅ 1x
y ' = (cos x ⋅ ln x + sin x ⋅ 1x ) ⋅ y
y ' = (cos x ⋅ ln x + sin x ⋅ 1x ) ⋅ x sin x y ' ' = ( y ')'
Derivujeme tak, že členy obsahující x derivujeme normálně a členy obsahující y derivujeme podle y a násobíme y‘.
47 GEOMETRICKÝ A FYZIKÁLNÍ VÝZNAM DERIVACE Fyzikální: derivace dráhy podle času je okamžitá rychlost, 2. derivace dráhy podle času je okamžité zrychlení Geometrický: 1. derivace funkce v bodě dotyku je směrnice tečny y ' ( x0 ) = k t
y − y0 = k (x − x0 ) k t k n = −1
48 VYŠETŘOVÁNÍ PRŮBĚHU FUNKCE 48.1 MONOTÓNNOST FUNKCE Rostoucí: jestliže je v každém bodě intervalu první derivace kladná ( f ( x )'> 0 ) Klesající: je-li v každém bodě 1.derivace záporná ( f (x )'< 0 )
y = x 3 − 3x y ' = 3x 2 − 3 rostoucí: 3 x 2 − 3 > 0 ⇒ (− ∞,−1), (1,+∞ ) klesající: 3 x 2 − 3 < 0 ⇒ (− 1,1)
Příklad:
48.2 EXTRÉMY FUNKCE Funkce má v x0 maximum právě tehdy, existuje-li okolí bodu x0 takové, že pro každé x náležející do tohoto okolí platí, že funkční hodnota je menší nebo rovna funkční hodnotě funkce v x0. Obdobně platí i pro minimum funkce. Stacionární body: f ( x )' = 0 – v těchto bodech má funkce lokální minimum (pokud je
f ' ' ( x ) > 0 ) nebo maximum ( f ' ' ( x ) < 0 ). Pokud je druhá derivace ve stacionárním bodě rovna nule, nejedná se o extrém. Inflexní bod: f ( x )' ' = 0 – nelze udělat tečnu, funkce konkávní přechází na konvexní. konkávní funkce: f ( x )' ' < 0 konvexní funkce: f ( x )' ' > 0
– celý graf leží pod tečnou – celý graf leží nad tečnou
48.3 VYŠETŘENÍ PRŮBĚHU FUNKCE 1) Určit definiční obor funkce funkce sudá, lichá, periodická 2) Body, v nichž není definována, ale má v nich limitu zprava a zleva Limita v nevlastních bodech 3) Průsečíky s osami x,y Znaménka funkčních hodnot 4) Výpočet I. derivace Nulové body I. derivace – stacionární body Body, v nichž není derivace definována 5) Intervaly monotónnosti 6) Výpočet II. derivace Nulové body II. derivace – inflexní body Body, v nichž není derivace definována 7) Lokální extrémy Intervaly konvexnosti a konkávnosti 8) Asymptoty
y = ax + b
f (x ) x→∞ x b = lim [ f ( x ) − ax ] a = k as = lim x→∞
29
9) Obor hodnot funkce 10) Graf funkce Příklad: f : y = x 3 − 6 x 2 + 9 x 1) D=R
(
)
f (− x ) = − x 3 − 6 x 2 − 9 x = − x 3 + 6 x 2 + 9 x – ani sudá, ani lichá 6 9 2) lim x 3 − 6 x 2 + 9 x = lim x 3 1 − + 2 = +∞ x →∞ x →∞ x x 6 9 lim x 3 − 6 x 2 + 9 x = lim x 3 1 − + 2 = −∞ x → −∞ x → −∞ x x 3) průsečík s x: y = 0 x3 − 6x 2 + 9x = 0 x=0∨ x=3 [0,0], [3,0] průsečík s y: x = 0 y=0 [0,0]
(
)
(
)
y ' = 3x 2 − 12 x + 9 stacionární body: y ' = 0 ⇒ x1 = 1, x 2 = 3 5) rostoucí: y ' > 0 ⇒ (− ∞,1), (3, +∞ ) 6) y ' ' = 6 x − 12 inflexní body: y ' ' = 0 ⇒ x = 2 7) y ' '(1) = −6 – lokální maximum [1,4] 4)
konvexní: y ' ' > 0 ⇒ (2, +∞ )
8) k as = lim b = lim x →∞
x→∞
klesající: y ' < 0 ⇒ (1,3)
y ' '(3) = 6 – lokální minimum [3,0]
konkávní: y ' ' < 0 ⇒ (− ∞,2 )
f (x ) x3 − 6x 2 + 9x = lim = lim x 2 = +∞ x → ∞ x →∞ x x
9) H=R
10) 48.4 GLOBÁLNÍ EXTRÉMY Příklad: Do koule o poloměru R vepište válec největšího objemu.
V = π r 2v r 2 + v 2 = 4R 2 ⇒ r 2 = 4R 2 − v 2 V = π 4R 2 − v 2 v V ' = 4πR 2 − 3πv 2 4πR 2 − 3πv 2 = 0 ⇒ v = 43 ⋅ R
(
)
r 2 = 4 R 2 − v 2 ⇒ r = 4 R 2 − 43 R 2 = R 83 V ' ' = −6πv V ' ' R 43 = −πR 48 < 0 ⇒ v tomto bodě je maximum funkce
(
30
)
r v
R R
49 PRIMITIVNÍ FUNKCE, URČITÝ INTEGRÁL 49.1 DIFERENCIÁL FUNKCE dx – diferenciál argumentu dy – diferenciál funkce
f
∆y dy = ∆x → 0 ∆ x dx dy = f ' ( x 0 ) ⋅ dx
t
∆y
f ' ( x0 ) = lim
∆x
Výpočet absolutních chyb: dy Výpočet relativních chyb:
dy y
Příklad: Válec má průměr i výšku 80 ± 0,5 cm. Jaká bude relativní chyba při výpočtu objemu? D=80, dD = ±0,5
π D3 V =π( ) ⋅D = 4 2 π dV = 4 3D ⋅ dD dV 3dD 1,5 = = = 1,87% V D 80 D 2 2
49.2 NEURČITÝ INTEGRÁL Primitivní funkce: F ' ( x ) = f ( x ) , F(x) je funkce primitivní k f(x) Neurčitý integrál:
∫ f (x ) ⋅ dx = F (x ) + C
, kde
∫ f (x ) ⋅ dx
je neurčitý integrál, f (x ) ⋅ dx je in-
tegrant a F ( x ) + C je primitivní funkce. Integrál je opak derivace. 49.3 ZÁKLADNÍ INTEGRÁLY
∫ 0 ⋅ dx = C
x n +1 +C n +1 ∫ 1x ⋅ dx = ln x + C n ∫ x ⋅ dx =
x2 +C 2 ∫ c ⋅ dx = c ⋅ ∫ dx = cx + C
∫ x ⋅ dx =
∫ dx = x + C ∫ e ⋅ dx = e x
x
+C
ax +C ln a ∫ sin x ⋅ dx = − cos x + C x ∫ a ⋅ dx =
∫ cos x ⋅ dx = sin x + C 1 ∫ cos x ⋅ dx = tg x + C 2
1
∫ sin
2
x
⋅ dx = − cotg x + C
31
∫
1
⋅ dx = arcsin x + C = − arccos x + C 1− x2 1 ∫ 1 + x 2 ⋅ dx = arctg x + C = − arccotg x + C ∫ [ f (x ) ± g (x )]⋅ dx = ∫ f (x ) ⋅ dx ± ∫ g (x ) ⋅ dx +C
∫ c ⋅ f (x ) ⋅ dx = c ⋅ ∫ f (x ) ⋅ dx 49.4 INTEGRAČNÍ METODY Substituční metody:
∫ f (ax + b) ⋅ dx = ∫ f (t ) ⋅ dx = 1 a
1 a
⋅ F (ax + b ) + C
t = ax + b
dt = t '⋅dx = a ⋅ dx ⇒ dx = f ' (x )
∫ f (x ) ⋅ dx = ∫
1 t
dt a
⋅ dt = ln t + C = ln f ( x ) + C
t = f (x ) dt = f ' ( x ) ⋅ dx
∫ f [g (x )]⋅ g ' (x ) ⋅ dx = ∫ f (t ) ⋅ dt = F [g (x )] + C t = g (x ) dt = g ' ( x ) ⋅ dx
Metoda per partes: (po částech)
(uv )' = u ' v + uv' ∫ (uv )'⋅dx = ∫ u ' v ⋅ dx + ∫ uv'⋅dx
uv = ∫ u ' v ⋅ dx + ∫ uv'⋅dx
∫ u ' v ⋅ dx = uv − ∫ uv'⋅dx Příklad:
∫ x ⋅ cos x ⋅ dx =
u ' = cos x u = sin x = x ⋅ sin x − ∫ sin x ⋅ 1 ⋅ dx = v=x v' = 1
= x ⋅ sin x + cos x + C Příklad:
∫ ln x ⋅ dx = ∫ 1 ⋅ ln x ⋅ dx =
u' = 1 u = x = x ⋅ ln x − ∫ x ⋅ 1x ⋅ dx = v = ln x v' = 1x
= x ⋅ ln x − x + C u' = e x u = ex = e x ⋅ sin x − ∫ e x ⋅ cos x ⋅ dx = Příklad: ∫ e ⋅ sin x ⋅ dx = v = sin x v ' = cos x x
=
u' = e x u = ex = e x ⋅ sin x − e x ⋅ cos x − ∫ e x ⋅ sin x ⋅ dx v = cos x v ' = − sin x
∫e
x
⋅ sin x ⋅ dx = e x ⋅ sin x − e x ⋅ cos x − ∫ e x ⋅ sin x ⋅ dx
x ∫ e ⋅ sin x ⋅ dx =
32
e x ⋅ sin x − e x ⋅ cos x +C 2
49.5 VÝPOČET URČITÉHO INTEGRÁLU b
∫ f (x )⋅ dx = [F (x )]
= F (b ) − F (a )
b a
a
Funkce f(x) musí být v intervalu spojitá. b
c
b
a
a
c
∀c ∈ a, b ; a < c < b ⇒ ∫ f ( x ) ⋅ dx = ∫ f ( x ) ⋅ dx + ∫ f ( x ) ⋅ dx b
a
a
b
∫ f (x )⋅ dx = − ∫ f (x )⋅ dx Při substituci musíme přepočítat meze pro t: π 2
1
t = sin x t1 = sin π6 = 12 1 2 t 3 7 = ⋅ = = t dt Příklad: ∫ sin x ⋅ cos x ⋅ dx = ∫ π dt = cos x ⋅ dx t 2 = sin 2 = 1 1 π 3 1 24 2
6
2
2
Při metodě per partes: π
∫ x ⋅ sin x ⋅ dx =
Příklad:
0
= [− x ⋅ cos x + sin x ]0 = π
π u ' = sin x u = − cos x = [− x ⋅ cos x ]π0 + ∫ cos x ⋅ dx = v=x v' = 1 0
π
50 UŽITÍ INTEGRÁLNÍHO POČTU K VÝPOČTU OBSAHŮ ROVINNÝCH OBRAZCŮ A OBJEMŮ ROTAČNÍCH TĚLES 50.1 OBSAH OBRAZCE
y
f(x)
y
a
y
b
f(x)
x a
b x
f(x)
b
S = ∫ f ( x ) ⋅ dx
a
c
d
b x
b
c
d
b
a
a
c
d
S = − ∫ f ( x ) ⋅ dx S = ∫ f ( x ) ⋅ dx − ∫ f ( x ) ⋅ dx + ∫ f ( x ) ⋅ dx
a
Příklad: Vypočti obsah obrazce vymezeného křivkami: y = sin x, y = 0, x = 0, x = 2π π
2π
0
π
S = ∫ sin x − ∫ sin x = [− cos x ]π0 − [− cos x ]π2π = 4 Pro
y f(x)
obrazce
vymezeného
dvěma
křivkami
platí
vztah:
b
S = ∫ [ f ( x ) − g ( x )]⋅ dx , tento vzorec platí i v případě, že část plochy
g(x) a
plochu
a
leží pod osou x.
b x
Příklad: f : y = 2 − x 2 , g : y = x
2 − x 2 = x ⇒ x1 = −2, x 2 = 1
∫ (2 − x 1
S=
2
)
− x ⋅ dx = 4,5
−2
33
Příklad: f : y 2 = 4 x, p : 2 x − y − 4 = 0 1) Derivujeme podle x
f : y = ±2 x , p : y = 2 x − 4 Průsečíky: y 2 = 4 x ⇒ 4 x 2 − 16 x + 16 = 4 x ⇒ x = 1 ∨ x = 4 1
4
(
)
S = 2 ∫ 2 x ⋅ dx + ∫ 2 x 2 − 2 x + 4 ⋅ dx = 9 1 2
0
1
1
2) Derivujeme podle y
y2 y , p:x =2+ 4 2 2 y y Průsečíky: x = x ⇒ = 2 + ⇒ y = −2 ∨ y = 4 4 2 4 2 y y ⋅ dy = 9 S = ∫ 2 + − 2 4 − 2 f :x =
50.2 OBJEMY ROTAČNÍCH TĚLES b
Pro tělesa rotovaná kolem osy x: V = π
b
∫ f (x ) ⋅ dx = π ∫ y 2
a
∫ a
⋅ dx
a
b
Pro tělesa rotovaná kolem osy y: V = π
2
b
f
2
( y ) ⋅ dy = π ∫ x 2 ⋅ dy a
Příklad: Vypočti objem kulové úseče o výšce v, která je částí koule o poloměru r. Kružnice: x 2 + y 2 = r 2 ⇒ y 2 = r 2 − x 2 r
x3 v3 V = π ∫ r − x ⋅ dx = π r 2 x − = πrv 2 − π 3 r −v 3 r −v 3 2 Vzorec pro objem kulové úseče: V = π r1 ⋅ 2v + 43 π ( 2v ) , r
(
2
2
)
ρ1 = ρ2 − (ρ − ϖ)2 .
kde
V = πrv 2 − π
Po
dosazení
a
úpravách:
y r r-v x
v r1
r
3
v 3
50.3 DÉLKA OBLOUKU ROVINNÉ KŘIVKY
s=∫
1 + [ f ' ( x )] ⋅ dx
b
2
a
a
Příklad: Vypočti obvod kruhu o poloměru r. kruh: r
s = 4 ⋅ ∫ 1+ 0
r r r x2 r2 1 1 dx dx r dx ⋅ = 4 ⋅ ⋅ = 4 ⋅ ⋅ = 4 ⋅ ⋅ dx = 2 2 2 2 ∫ ∫ ∫ x 2 r −x r −x r 2 − x2 0 0 0 1− ( ) r
1 t = xr t1 = 1 1 1 = = 4r ⋅ ∫ ⋅ dx = 4r ⋅ [arcsin t ]0 = 2πr 1 2 dt = r ⋅ dx t 2 = 0 1− t 0
1999 Petr Řezka
[email protected] Nekomerční využití pro studijní potřeby povoleno v plném rozsahu.
34
