1. Termodinamika
1.1.
Az ideális gázok állapotváltozásai
1.1.1. Egy hengerben 1000 cm3 térfogatú, 1 atm nyomású, 27 oC hõmérsékletû levegõ van. Mekkora lesz a levegõ nyomása,ha hõmérsékletét állandó térfogaton -23 oC-ra csökkentjük? (0,83 atm) Mekkora lesz a nyomása, ha térfogatát 200 cm3-re csökkentjük és a hõmérsékletét 327 oC-ra növeljük? (10 atm) 1.1.2. Egy 100 cm hosszú, vízszintes helyzetû, mindkét végén leforrasztott csõben 10 oC hõmérsékletû levegõ van. Az üvegcsõben az egyik végétõl 30 cm-re 20cm hosszú higanyzár helyezkedik el. A 30 cm-es levegõoszlopot 37 oC-ra melegítjük fel. Mekkora a higany elmozdulása, ha az üvegcsõ hõtágulását nem vesszük figyelembe ? (1,73 cm) 1.1.3. Egy 25 dm3 térfogatú gáztartályban 1,4 kg tömegû, 5 MPa nyomású nitrogéngáz van. Mekkora a gáz hõmérséklete? (300,6 K) Mekkora lesz a palackban maradt gáz nyomása,ha ezen a hõmérsékleten a gáz felét elhasználjuk ? (2,5 MPa) 1.1.4. Egy 20 dm3 térfogatú térfogatú gázpalackban 260 g tömegû, 0,3 MPa nyomású gáz van. A gáz egy részét elhasználtuk. Miután a gáz újra felvette a szobahõmérsékletet a nyomásmérõ 0,24 MPa nyomást mutat. Hány g gázt használtunk el? (52 g) 1.1.5. 20 dm3 térfogatú gázpalackban 0 oC hõmérsékletû, 1 MPa nyomású oxigéngáz van. Az oxigénbõl elhasználtunk 82 g-ot. Mekkora a palackban maradt gáz nyomása, ha a hõmérséklet nem változik? (0,709 MPa) Hány oC hõmérsékletre kell a gáznak felmelegednie, hogy a palackban a nyomás újra 1 MPa legyen? (385 K)
1
1.1.6. 50 dm3 térfogatú gázpalackban 0 oC hõmérsékletû, 1 MPa nyomású oxigén gáz van. Elhasználunk belõle 250 g-ot. Mekkora a palackba zárt gáz nyomása? (0,64 MPa) Mekkora hõmérsékletre kell felmelegíteni, hogy a nyomása újra 1 MPa legyen? (423 K) 1.1.7. Két liter térfogatú palackban 96 kPa nyomású gáz van. Mekkora volt a gáz sûrüsége,ha változatlan hõmérséklet mellett 2 g gázt eltávolítva a nyomás 6700 Pa lesz? (1,08 kg/m3) 1.1.8. Hányszorosára növekszik egy 40 m mély tó aljáról felszálló levegõbuborék térfogata, mire a víz felszínéhez ér? A tó mélyén a víz hõmérséklete 7 oC, közvetlenül a vízfelszín alatt 17 oC. (5,17)
1.2.
A Termodinamika elsõ fõtétele
1.2.1. Egy belsõégésû motor hengerében 1 MPa nyomásra összesûrített keverék található,melynek hõmérséklete 104 oC.A keverék állandó térfogaton mért fajhõje 714 J/kgK. Állandó térfogatú égésfolyamat közben 1 kg keverékkel mennyi hõt kell közölni, ha az égés végén a keverék nyomása 4MPa? (0,807 MJ) 1.2.2. 1 kg tömegû, 20 oC hõmérsékletû oxigén gázzal állandó térfogatú folyamat közben mekkora hõmennyiséget kell közölni, hogy a nyomása 1,5-szeresére növekedjen? (98,14 kJ) 1.2.3. Állandó térfogaton 5 kg tömegû, normál állapotú hidrogén gázzal 15 MJ hõmennyiséget közlünk. Mekkora a gáz hõmérséklete és nyomása? (296,1 K, 0,21 MPa) 1.2.4 Hét kg tömegû levegõ hõmérsékletét 27 oC-ról 77 oC-ra növeljük hõközléssel, állandó nyomáson. Mekkora a végzett munka? (102,59 kJ) 1.2.5. 6,5 g tömegû, 27 oC hõmérsékletû hidrogén gáz a felvett hõmennyiség hatására állandó nyomáson térfogatának kétszeresére terjed ki. 2
Mekkora a közölt hõmennyiség, a belsõ energia megváltozása, és a végzett munka? (27,84 kJ, 19,76 kJ, 8,08 kJ) 1.2.6. Tíz gramm tömegû oxigén gáz hõmérséklete 10 oC , nyomása 0,3 MPa. Állandó nyomáson addig melegítjük, amíg térfogata 10 l lesz. Mekkora a közölt hõmennyiség, a belsõ energia változása, és a végzett munka? (8104,2 J, 5839,5 J, 2264,7 J) 1.2.7. Állandó nyomáson 50 g tömegû hidrogén gázzal 98,5 kJ hõmennyiséget közlünk. Mekkora munkavégzés történt? (28,6 kJ) 1.2.8. Állandó nyomáson 5 l, 25 oC hõmérsékletû nitrogén gáz térfogatát felére csökkentjük úgy, hogy közben 750 J munkát végzünk. Mekkora a gáz által leadott hõmennyiség? (2651,3 J) 1.2.9. Egy liter normál állapotú gáz térfogatának kétszeresére terjed ki izotermikusan. Számítsuk ki a végzett munkát, a közölt hõt, és a belsõ energia megváltozását! (69,2 J, 69,2 J, 0 J) 1.2.10. Állandó, 20 oC hõmérsékleten 2 kg tömegû oxigén gáz térfogatát felére csökkentjük. Mekkora a közölt hõ és a végzett munka? (-105,5 kJ) 1.2.11. 50 g tömegû, 0 oC hõmérsékletû hidrogén gáz izotermikus kiterjedés közben 39 kJ munkát végez. Hányszorosára változik a gáz térfogata? (1,99) 1.2.12. 10 kW teljesítményû levegõkompresszor 1 óra alatt 200 m3 levegõt nyom össze izotermikusan 0,1 MPa kezdeti nyomásról . Mennyi a végsõ nyomás, ha a kompresszor hatásfoka 85 % ? (0,46 MPa)
1.2.13. Egy hengerben a 400 cm2 keresztmetszetû, súrlódásmentesen mozgatható dugattyút 20 cm-rel hirtelen benyomjuk. A bezárt levegõ nyomása adiabatikusan megkétszerezõdik. Mekkora a gáz eredeti térfogata? (20,6 l)
3
1.2.14. Egy mól normálállapotú nitrogén gázt eredeti térfogatának ötszörösére terjesztünk ki adiabatikusan. Mekkora a végzett munka, és a belsõ energia megváltozása? (2686,3 J, -2686,3 J) 1.2.15. Két mól normál állapotú oxigén gáz adiabatikusan kitágul úgy, hogy eredeti nyomása a harmadrészére csökken. Mekkora a végzett munka és a belsõ energia változás? (3172,6 J, -3172,6 J) 1.2.16. Egy kg tömegû, 20 oC hõmérsékletû hidrogén gázt adiabatikusan összenyomunk, úgy, hogy térfogata a felére csökken. Mekkora a belsõ energia változás és mennyi munkavégzés történt? (975,7 kJ, -975,5 kJ) 1.2.17. 0,05 m3 térfogatú gáz nyomása 0,1 MPa. A pV3=áll. összefüggésnek megfelelõen 0,06 m3 térfogatra terjed ki. Mekkora munkát végzett a gáz? (7,64 kJ) 1.2.18. 1 kg tömegû gáz belsõ energiája 800 kJ, térfogata 0,06 m3. A pV1,5=áll. összefüggés alapján a nyomása 5,5 MPa-ról 0,14 MPa-ra csökken. A gáz belsõ energiája 230 kJ-ra változott. Mekkora munkát végzett és mennyi hõt adott le? (467 kJ, 103 kJ) 1.2.19. Egy mól normálállapotú levegõt izotermikusan eredeti térfogatának felére összenyomunk, majd adiabatikusan kitágul eredeti nyomására. Számítsuk ki a folyamat során végzett összes munkát, a gáz által leadott hõt, és a belsõ energia csökkenését! (ρ=1,293 kg/m3 ) (-577,2 J, 1573,2 J, 996 J)
1.2.20. Két kg tömegû, 100 oC hõmérsékletû, 0,1 MPa nyomású levegõ izotermikusan kitágul kétszeresére. Majd adiabatikusan továbbtágul az eredeti térfogat háromszorosára. Mennyi a gáz által felvett hõ, a végzett munka, és a belsõ energia megváltozása? (151,56 kJ, 232,88 kJ, -81,32 kJ)
4
1.2.21. Két kg tömegû normálállapotú levegõ állandó nyomáson eredeti térfogatának kétszeresére tágul. Majd adiabatikusan továbbtágul eredeti térfogata háromszorosára. Számítsuk ki a végzett összes munkát, a gáz által felvett hõmennyiséget és a belsõ energia megváltozását! (269,56 J, 548,6 J, 279,04 J)
1.3.
Körfolyamat hatásfoka
1.3.1. 1 kg levegõ Carnot körfolyamatot végez 627 oCés 27 oC hõmérsékleti határok között. A nyomás legnagyobb értéke 6MPa, a legkisebb értéke 0,1 MPa. Számítsuk ki a betáplált és az elvont hõmennyiségeket, a körfolyamat által végzett munkát és a hatásfokát! (86,176 kJ, 28,75 kJ, 0,667) 1.3.2. Ideális Carnot körfolyamat szerint müködõ hõerõgép egy ciklus alatt a hõtartályból 6 kJ hõmennyiséget vesz fel. A hõtartály hõmérséklete 127 oC, a hûtöé 27 oC. Mennyi munkát végez a gép egy ciklus alatt, és mekkora hõmennyiséget ad le a hûtõnek? (1500 J, 4500 J) 1.3.3. Egy 25 oC hõmérsékletû helyiségben elhelyezett hûtõgép belsejébõl 336 kJ hõmennyiséget kell elvonni ahhoz, hogy a hûtõgépben O oC hõmérséklet alakuljon ki. Mekkora munkát kell ehhez végeznünk és mennyi hõt ad át a környezetének? (30,8 kJ, 366,8 kJ) 1.3.4. Hõszivattyú segítségével fûtünk egy helyiséget, melyben a hõmérsékletnek 22 oC-nak kell lennie, átlagos 2 oC külsõ hõmérséklet mellett. Mennyi munkát kell végeznünk, hogy a helyiségben 1 kJ hõ szabaduljon fel? (67,8 J) 1.3.5. Egy gázkazán óránként 500 MJ hõt termel, 300 oC hõmérséklet mellett. Hány kW teljesítményt tudna egy Carnot körfolyamat szerint dolgozó hõerõgép hasznosítani, ha a hûtõvíz hõmérséklete 20 oC? Mennyi hõ adódik át a hûtõvíznek? (67,9 kW, 255,5 MJ)
5
1.3.6. Egy gõzgép fûtõterében óránként 1000 MJ hõmennyiség szabadul fel. A gõzgép az elméleti hatásfok 35 %-át éri el , a dinamó hatásfoka 60 %. A fûtõtér hõmérséklete 300 oC, a távozó hûtõvíz 20 oC-os. Mekkora elektromos teljesítményt biztosíthat a dinamó, amelyet ez a gõzgép hajt meg? (28,5 kW)
1.4.
Az entrópia
1.4.1. Állandó hõmérsékletû kiterjedés közben 15 kg levegõvel 2 MJ hõt közlünk. Számítsuk ki 1 kg levegõ entrópiájának változását, ha a kiterjedés alatt a hõmérséklet 15 oC! (463 J/K) 1.4.2. Egy mól ideális gáz 227 oC hõmérsékleten izotermikusan terjed ki 10 kPa nyomásról 1 kPa nyomásra . Mennyi a betáplált hõmennyiség, és az entrópiaváltozás ? (9571,8 J, 19,14 J/K) 1.4.3. Izotermikusan összenyomunk 10 l térfogatú, 0,1 MPa nyomású 20 oC hõmérsékletû gázt 1 MPa nyomásra. Határozzuk meg az összenyomáshoz szükséges munkát, és az entrópia megváltozását! (2302,6 J, -7,859 J/K) 1.4.4. Öt gramm tömegû , 27 oC hõmérsékletû oxigén gáz állandó nyomáson kitágul, miközben a belsõ energiája 800 J-lal növekszik. Mennyi hõmennyiségre van szükség az állapotváltozáshoz, és mennyi az entrópiaváltozás? (1103,26 J, 2,705 J/K) 1.4.5. 1 m3, 15 oC hõmérsékletû levegõt állandó 0,105 MPa nyomáson felmelegítjük 300 oC-ra. Ezután állandó térfogaton lehûtjük a kezdeti hõmérsékletre. Számítsuk ki az entrópia megváltozását! (251,5 J/K) 1.4.6. 0,02 m3 levegõ nyomása 0,105 MPa. Állandó térfogaton melegítjük addig, hogy a nyomása 0,42 MPa legyen. Ezután állandó nyomáson lehûtjük a kezdeti hõmérsékletre. Mekkora entrópiaváltozás történt? (-10,32 J/K)
6
1.4.7. Hogyan változik a víz entrópiája, ha 100 kg tömegû, 120 oC hõmérsékletû, 0,1013 MPa nyomású vízgõzt 80 oC hõmérsékletû vízzé hûtünk le? (-637,69 kJ/K) 1.4.8. Mekkora entrópiaváltozás jön létre, ha 10 g tömegû -20 oC hõmérsékletû jeget 100 oC hõmérsékletû gõzzé alakítunk? (87,51 J/K)
Gáz neve
cp (J/kgK)
cv (J/kgK)
M (kg/mól)
Hidrogén
14277
10132
0,002
Levegõ
1004,8
711,7
0,029
Nitrogén
1046,7
753,7
0,028
Oxigén
924
669,9
0,032
A víz különbözõ halmazállapotai: cvíz=4,2 kJ/kgK cjég=2,1 kJ/kgK cvízgõz=1,67 kJ/kgK Lolv.=335 kJ/kg Lforrás=2260 kJ/kg
7
Megoldások
1. Termodinamika
1.1 Az ideális gázok állapotegyenlete 1.1.1. pV/T=áll. összefüggés alapján: p2=0,83 atm, p3=10 atm. 1.1.2. A 37 oC hõmérsékletû térrészre:
30 pA p'(30 + x ) A . = 283 310
A 10 oC hõmérsékletû térrészre a Boyle-Mariotte törvény szerint: 50pA= p'(50-x)A. A két egyenletbõl: x=1,73 cm. 1.1.3. A pVM=mRmT törvény felhasználásával T=300,6 K és p=2,5 MPa. 1.1.4. p1V=m1RT és p2V=m2RT egyenletekbõl: p1/p2=m1/m2 . Így: m2=208g és ∆m=52 g. 1.1.5. A pVM=mRmT egyenletet háromszor alkalmazva: m=0,282 kg , p=0,709 MPa és T=385 K . 1.1.6. Az elõzõ feladat alapján: m=0,705 kg, p=0,64 MPa és T=423 K. 1.1.7. Az 1.1.4. feladat mintájára: m=0,00216 kg. Ezért: ρ=m/V=0,00108 kg/dm3. 1.1.8. A tó alján a nyomás a külsõ nyomásból és a vízoszlop súlyából származó nyomásból (p=ρgh ) tevõdik össze. Így p=0,5 MPA. A pV/T=áll.-ból adódik,hogy a térfogat 5,17-szeresére növekszik.
1.2. A Termodinamika elsõ fõtétele 1.2.1. V=áll. esetén p/T=áll. Ebbõl ∆T=1131 K. Az 1. fõtétel alapján: Q=∆U=cvm ∆T=0,807 MJ.
8
1.2.2. Az elõzõ feladat mintájára: Q=98,14 kJ. 1.2.3. ∆T=Q/cvm=296,1 K. A p/T=áll.-ból p2=0,21 MPa. 1.2.4. Q=cpm∆T=351,68 kJ, ∆U=cvm ∆T=249,09 kJ . Az 1. fõtétel alapján: W=Q-∆U=102,59 kJ. 1.2.5. V/T=áll., így ∆T=300 K. Az elõzõ feladat mintájára: Q=27,84 kJ, ∆U=19,76 kJ és W=8,08 kJ. 1.2.6. p1V1M=mRmT1-bõl V1=2,45*10-3 m3. Mivel V/T=áll., így T2=1154,7 K. W=p∆V=2264,7 J, ∆U=cvm ∆T=5839,5 J és Q=W+ ∆U=8104,2 J. 1.2.7. ∆T=Q/cpm=138 K, ∆U=cvm ∆T=69,9 kJ, W=Q-∆U=28,6 kJ. 1.2.8. p=W/∆V=0,3 MPa. Mivel V/T=áll., így T2=149 K. A pVM=mRmT egyenletbõl m=0,017 kg. Q=cpm∆T=-2651,3 J. 1.2.9. A normál állapotú gáz hõmérséklete 273 K, nyomása 0,1 MPa. pV=n RmT-bõl n=0,044 mól. Az izotermikus munka W=n RmTln( V2/V1)=69,2 J. Az elsõ fõtétel szerint: Q=W=69,2 J. 1.2.10. Q=W=n RmTln( V2/V1)=-105,5 kJ, és n=m/M. 1.2.11. n=m/M, W=n RmTln( V2/V1) összefüggésekbõl V2/V1=1,99. 1.2.12. A levegõkompresszor által végzett munka 1 óra alatt: W=ηPt. Izotermikus állapotváltozás esetén a munka: W=-p1V1ln(p1/p2). A negatív elõjel abból adódik, hogy a munkát a kompresszor végzi. Megállapodás szerint a gáz által végzett munkát tekintjük pozitívnak. A két egyenletbõl p2=0,46 MPa. 1.2.13. Adiabatikus állapotváltozásra pVκ=áll., ahol κ=cp/cv. A dugattyú eredeti hosszát jelöljük x-szel. Így: p(400x)κ =2p(400(x-20))κ. Az egyenletbõl x=51,5 cm és V=20,6 l.
9
1.2.14. Adiabatikus állapotváltozásra TVκ-1=áll. Ebbõl T2=145,7 K. Az 1. fõtétel alapján: W=- ∆U=-cvm ∆T=2686,3 J és ∆U=-2686,3 J. 1.2.15. Két mól normál állapotú gáz térfogata V1=44,8 l. A pVκ=áll. összefüggésbõl V2=0,099 m3. p2=p1/3 =0,033 MPa. A p2V2=nRmT2 összefüggés alapján T2 =199 K. W=- ∆U=-cvm ∆T=3172,6 J, és ∆U=3172,6 J. 1.2.16. TVκ-1=áll.-ból T2=389,3 K, W=- ∆U=-cvm ∆T=-975,7 kJ, ∆U=975,7 kJ. V
⎡V −2 ⎤ 2 c 1.2.17. W = ∫ pdV = ∫ 3 dV = c ⎢ ⎥ , V ⎣ − 2 ⎦ V1 V1 V1 V2
V2
ahol c=pV3. W=7,64 kJ. 1.2.18. pV1,5=áll.-ból V2=0,693 m3. Az elõzõ feladat mintájára elvégezve az integrálást W=467 kJ. Q=W+∆U=-103 kJ, ahol ∆U=-570 kJ. 1.2.19. Az 1-2 szakasz izotermikus állapotváltozás: Q=W=n RmTln( V2/V1)=-1573,2 J. p2=0,2 MPa, és m=ρV=0,029 kg. A 2-3 szakasz adiabatikus állapotváltozás: A pVκ=áll. összefüggésbõl V3=0,018 m3. TVκ-1=áll.-ból T3=224,74 K. W=- ∆U=-cvm ∆T=996 J. ∑Q=-1573,2 J, ∑W=-577,2 J, és ∑(∆U)=-996 J. 1.2.20. Megoldás az elõzõ feladat mintájára történik. ∑Q=151,56 kJ, ∑W=232,88 kJ, ∑(∆U)=-81,32 kJ. 1.2.21. 1-2 állandó nyomáson végbemenõ állapotváltozás: V/T=áll., így T2=546 K. Q=cpm∆T=548,6 kJ, ∆U=cvm ∆T=388,6 kJ, W=160 kJ. 2-3 adiabatikus állapotváltozás: TVκ-1=áll.-ból T3=462,4 K. W=- ∆U=-cvm ∆T=119,04 kJ, ∆U=-119,04 kJ. ∑Q=548,6 J, ∑W=269,56 J, és ∑(∆U)=279,04 J.
10
1.3. Körfolyamatok hatásfoka 1.3.1. A p1V1=mRT1 és a R=cp-cV egyenletekbõl V1=0,044 m3.Hasonlóan V3=0,8793 m3. A 2-3 adiabatikus szakaszra: TVκ-1=áll.-ból V2=0,061 m3. A 4-1 adiabatikus szakaszra: TVκ-1=áll.-ból V4=0,634 m3. Q1=mRT1ln(V2/V1)=86,176 kJ, Q2=mRT2ln(V4/V3)=-28,75 kJ, η=
T1 − T2 Q1 − Q2 =0,667. = T1 Q1
1.3.2. Carnot körfolyamat hatásfoka:η=
T1 − T2 Q1 − Q2 =0,25. = T1 Q1
Az egyenletbõl: Q2=4500 J. W=Q1-Q2=1500 J. 1.3.3. A hûtõgép jósági tényezõje: ε=
Q2 T2 =10,92. = T1 − T2 Q1 − Q2
Az egyenletbõl:Q1=366,8 kJ. W=Q1-Q2=30,8 kJ. 1.3.4. A hõszivattyú jósági tényezõje: ε=
T1 Q = 1 =14,75. T1 − T2 W
Az összefüggésbõl: W=67,8 J. 1.3.5. η=
T1 − T2 Q1 − Q2 =0,489 összefüggésbõl Q2=255,5 MJ. = T1 Q1
P=W/t=67,9 kW. 1.3.6. η=0,489, W=0,35*0,6*ηQ1=171 MJ. P=W/t=28,5 kW.
1.4. Az entrópia 1.4.1. ∆S=∆Q/mT=463 J/K. 1.4.2. ∆Q=W=nRmTln(p1/p2)=9571,8 J. ∆S=∆Q/T=19,14 J/K. 1.4.3. W=p1V1ln(p1/p2)=-2302,6 J. ∆S=∆Q/T=-7,859 J/K.
11
T2
1.4.4. ∆T=∆U/cvm=238,8 K. ∆S= ∫
T1
c p mdT T
=cpmln(T2/T1)=2,705 J/K.
Q=1103,26 J. 1.4.5. Az ideális gázok állapotegyenletébõl: m=Mp1V1/RMT1=1,247 kg. Az elõzõ feladat mintájára: ∆S1=cpmln(T2/T1)=862 J/K. A lehûtés folyamatára: ∆S2=cvmln(T1/T2)=-610,5 J/K. Σ(∆S)=251,5 J/K. 1.4.6. Mivel V=áll. p/T is állandó Ebbõl T2=1152 K. A megoldás további menete az elõzõ feladat mintájára történik: m=0,0254 kg, ∆S1=25,06 J/K, ∆S2=-35,38 J/K, Σ(∆S)=-10,32 J/K. 1.4.7. 1. A 120 oC hõmérsékletû vízgõz 100 oC vízgõzzé alakul: ∆S=cmln(T2/T1)=-8,72 kJ/K 2. A vízgõzbõl lecsapódással 100 oC-os víz keletkezik: ∆S=-Lfm/T=-605,9 kJ/K. 3. A 100 oC-os víz 80 oC-ra hül le: ∆S=cmln(T2/T1)=-23,07 kJ/K. ∑(∆S)=-637,69 kJ/K. 1.4.8. A megoldás menete hasonló, mint az elõzõ feladaté: ∆S1=1,59 J/K, ∆S2=12,27 J/K, ∆S3=13,06 J/K, ∆S4=60,59 J/K, ∑(∆S)=87,51 J/K.
12
