1 Pendahuluan Latar belakang Rumusan masalah Tujuan... 6

1

2

KATA PENGANTAR Segala puji dan syukur kami panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa karena atas berkat dan rahmat dan karunia nya serta dorongan doa restu, dan dorongan dari berbagai pihak sehingga kelompok kami dapat menyelesaikan tugas penulisan buku ini dengan judul Surface Modelling. Kami penulis ingin mengucapkan banyak terimakasih kepada Bapak I Made Wiryana S. Kom. MApp Sc yang telah memberikan bimbingan maupun arahan kepada kelompok kami sehingga kami bisa memahami tugas yang diberikan oleh bapak dan mengerjakanya dengan baik. Kami mengucapkan terimakasih kepada teman-teman kelas 3IA15 yang telah turut membantu dalam memberikan informasi seputar pengerjaan tugas ini. Kami sebagai penulis menyadari buku yang kami susun ini masih jauh dari nilai sempurna, sehingga apabila ada penulisan nama maupun materi yang salah mohon dimaklumi. Dengan disusunnya buku ini, besar harapan kami dari tim penulis dapat membantu sekaligus memberikan informasi pada pembaca agar dapat dimanfaatkan dikemudian hari.

3

Daftar Isi 1 Pendahuluan 1.1 Latar belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 1.3

6 6

Rumusan masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 6

2 Tehnik Dasar Surface Modelling 2.1 Model Parametric Surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 8

2.1.1

Definisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.1.2

Contoh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2.1 Permukaan parametrik didefinisikan oleh satu set tiga fungsi . .

8 9

2.1.2.2 2.1.2.3

Mengansumsikan U, V di kisaran 0 dan 1 . . . . . . . . . . . . . Identifikasi tambalan pada permukaan . . . . . . . . . . . . . .

9 10

2.1.2.4 Cara menambalkan bagian permukaan . . . . . . . . . . . . . . . Regular parametric Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 12

2.1.4 Properti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Model Bézier Surface Patch(tambalan) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12 12

2.2.1 2.2.2

Contoh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fungsi dasar dari Patch Permukaan Bezier . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 14

2.2.3 2.2.4

Penggabungan Bézier Tambalan Permukaan . . . . . . . . . . . . . . . . . Properti Permukaan Bezier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14 15

B-Spline Surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Fungsi dasar B-Spline Surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16 17

2.3.2

Penjepit, Tertutup dan Terbuka Permukaan B-Spline . . . . . . . . . . . .

17

2.3.3 Permukaan Property dari B-Spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Implisit Surface Modelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19 20

2.4.1 2.4.2

Definisi Implisit Surface Modelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . thin-plate interpolasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21 22

2.4.3 2.4.4

Kegiatan yang terkait di Permukaan Implisit . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Varisional Metode Dan Radial Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23 24

2.1.3 2.2

2.3

2.4

3 Kesimpulan

26

4

Daftar Gambar

5

Bab 1

Pendahuluan 1.1

Latar belakang

Dalam dunia desain grafis sering kali kita membuat suatu objek dengan dasar ialah suatu permukaan objek itu sendiri yang dimana suatu objek tersebut dapat berdiri di satu permukaan yang solid, nah permukaan yang solid itulah dapat di buat dengan teknik Surface Modelling. Surface Modelling tidak memiliki ketebalan yang tetap justru ketebalannya diatur oleh penggunanya, hal ini yang membuat para ilustrator atau arsitektur design dalam memuat objek menjadi lebih banyak terinspirasi. Metode ini juga lebih komplex untuk mewakili objek dari wireframe. Dan tidak sebegitu canggih dengan Permukaan solid karena metode Surface lebih kompleks. Menurut seorang ahli enginering, metode pemodelan permukaan dan alat penciptaan fitur sama dengan yang ada di pemodelan solid. Sebuah model solid dari bentuk umum dapat pula dibuat dari pemodelan permukaan. Satu-Satunya perbedaan antara pemodelan solid dan pemodelan permukaan adalah bahwa pemodelan solid akan memiliki sifat massa sedangkan pemodelan permukaan tidak ada. Bentuk yang rumit kadang kadang dibuat dengan metode pemodelan permukaan dan kemudian model permukaan dapat dikonversi ke dalam model solid. Hal ini menjadi mudah bagi seseorang yang belajar pemodelan permukaan jika ia juga mengetahui software untuk memodelkannya.

1.2

Rumusan masalah

Teknik pemodelan yang kurang tepat Banyak unsur - unsur daripada grafik yang kompleks Grafik yang kompleks tersebut dapat dikerjakan dengan software yang mampu mengerjakan

pemodelan tingkat lanjut Apa saja teknik dasar dalam Surface Modelling atau teknik pemodelan grafik ? Bagaimana cara membuat objek yang sesuai keinginan dengan teknik surface modelling

dan sebuah software pengolah gambar(Processing) ?

1.3

Tujuan

agar penulis dan peembaca mengetahui bagaimana cara pemodelan permukaan yang benar serta cara cara agar suatu objek dapat terlihat bagus. 6

Bab 2

Tehnik Dasar Surface Modelling Model permukaan adalah jenis tiga dimensi (3D) model tanpa ketebalan. Model ini banyak digunakan dalam industri seperti otomotif, aerospace, plastik, medis, dan sebagainya. Model permukaan tidak memiliki ketebalan sedangkan model tebal atau padat memiliki ketebalan yang ditetapkan pengguna. Dalam Modelling, teknik pemodelan permukaan dan alat penciptaan fitur yang sama dapat digunakan dalam pemodelan solid. Sebuah model solid dari setiap bentuk yang dibuat juga dapat dibuat dengan menggunakan teknik pemodelan permukaan. Satu-satunya perbedaan antara model padat dan permukaan Model akan bahwa model solid akan memiliki sifat massa tetapi model permukaan tidak akan. Kadang-kadang, bentuk kompleks yang sulit untuk membuat menggunakan pemodelan solid. Model tersebut dapat mudah dibuat menggunakan pemodelan permukaan dan kemudian model permukaan dapat dikonversi ke dalam model solid. Menjadi mudah bagi seseorang untuk belajar pemodelan permukaan jika ia akrab dengan solid alat penciptaan fitur pemodelan.

Ada macam-macam jenis permukaan yang biasa digunakan dalam sistem modeling, yaitu parametric, implisit, Bezier.

7

2.1. MODEL PARAMETRIC SURFACEBAB 2. TEHNIK DASAR SURFACE MODELLING

2.1

Model Parametric Surface

Dalam statistik, model parametrik atau model terbatas-dimensi adalah kelompok distribusi yang dapat digambarkan dengan menggunakan jumlah terbatas parameter. Parameter ini biasanya dikumpulkan bersama-sama untuk membentuk k-dimensi parameter vektor θ tunggal = (θ1, θ2, ..., θk). Permukaan parametrik didefinisikan oleh satu set tiga fungsi, satu untuk setiap koordinat x = f (u, v), y = f (u, v), z = f (u, v). Model parametrik dikontraskan dengan semi-parametrik, model semi-nonparametrik, dan non-parametrik, yang semuanya terdiri dari seperangkat tak terbatas ”parameter” untuk deskripsi. Perbedaan antara empat kelas adalah sebagai berikut : Kelas Parametric, adalah mode semua parameter dalam ruang parameter dimensi terbatas. Kelas non-parametric , jika semua parameter berada dalam ruang parameter dimensi tak

terbatas. Kelas semi-parametrik, model mengandung parameter dimensi terbatas kepentingan dan

tak terbatas - dimensi parameter gangguan Kelas semi-nonparametric, model memiliki kedua parameter yang tidak diketahui hingga

dimensi dan dimensi tak terbatas yang menarik. Beberapa ahli statistik percaya bahwa konsep ” parametrik ” , ” non - parametrik ” , dan ” semiparametrik ” yang ambigu . Hal ini juga dapat dicatat bahwa himpunan semua kemungkinan langkah-langkah memiliki kardinalitas kontinum , dan oleh karena itu mungkin untuk parametrize model apapun sama sekali oleh satu nomor di ( 0,1 ) interval. Kesulitan ini dapat dihindari dengan mempertimbangkan hanya ” halus ” model parametrik .

2.1.1

Definisi

Sebuah model parametrik adalah kumpulan distribusi probabilitas sehingga setiap anggota koleksi ini, Pθ, digambarkan oleh parameter berdimensi berhingga θ. Himpunan semua nilai yang diijinkan untuk parameter dilambangkan Θ ⊆ Rk, dan model itu sendiri ditulis sebagai

Ketika model terdiri dari distribusi benar-benar terus menerus , sering ditentukan dalam hal yang sesuai fungsi kepadatan probabilitas : Model parametrik disebut diidentifikasi jika pemetaan θ 7→ Pθ dibalik, yang tidak ada dua nilai parameter yang berbeda θ1 dan θ2 seperti Pθ1 = Pθ2.

2.1.2

Contoh

Poisson bagian distribusi ditentukan parameternya dengan satu nomor λ > 0:

di mana pλ adalah fungsi massa probabilitas . Bagian ini adalah bagian eksponensial . Bagian normal paramaternya sebagai θ = (μ,σv), dimana μ ∈ R adalah lokasi parameter, dan σv > 0 adalah sebuah skala parameter. Keluarga parameter ini adalah baik keluarga eksponensial dan keluarga lokasi - skala : 8


Model terjemahan Weibull memiliki tiga parameter θ = (λ, β, μ):

Model ini tidak biasa ( lihat definisi di bawah ) kecuali kita membatasi β berbaring dalam interval (2, +∞). 2.1.2.1

Permukaan parametrik didefinisikan oleh satu set tiga fungsi

satu untuk setiap koordinat x=f(u,v), y=f(u,v), z=f(u,v) 2.1.2.2

Mengansumsikan U, V di kisaran 0 dan 1

9

2.1. MODEL PARAMETRIC SURFACEBAB 2. TEHNIK DASAR SURFACE MODELLING 2.1.2.3

Identifikasi tambalan pada permukaan

Permukaan parametrik atau tambalan permukaan parametrik tidak digunakan secara individual. Banyak tambalan permukaan parametrik bergabung bersama sisi- sisi oleh- untuk membentuk bentuk yang lebih rumit

2.1.2.4

Cara menambalkan bagian permukaan

Setiap patch ditentukan oleh titik kontrol bersih (Control Polyhedron ) .

10


Sebuah patch permukaan parametrik dapat dianggap sebagai kesatuan ( jumlah tak terbatas ) dari kurva. Mengingat permukaan f parametrik ( u , v ) , jika u adalah tetap untuk nilai , dan biarkan v bervariasi , ini menghasilkan kurva pada permukaan yang u koordinat konstan . Ini adalah kurva isoparametric dalam arah v.

11

´ 2.2. MODEL BEZIER SURFACE PATCH(TAMBALAN) BAB 2. TEHNIK DASAR SURFACE MODELLING

2.1.3

Regular parametric Model

Menjadikan μ sebagai ukuran σv - terbatas tetap pada ruang probabilitas (Ω, F ), dan koleksi semua kemungkinan langkah-langkah didominasi oleh μ . Kemudian kita akan memanggil model parametrik biasa jika persyaratan berikut dipenuhi : 1. Θ merupakan bagian terbuka Rk. 2. Peta dari Θ untuk L2(μ) adalah frechet terdiferensiasi: terdapat vector seperti berikut Dimana menunjukkan matrix transpose. 3. Peta di definisikan di atas adalah lanjutan pada Θ. 4. kÖk fisher informasi matriks Adalah non singular .

2.1.4

Properti

Kondisi yang cukup untuk keteraturan model parametrik dalam hal perbedaan kemampuan densitas dari fungsi kepadatan θ adalah sebagai berikut: Fungsi kepadatan θ (x) secara terus menerus terdiferensiasi pada θ untuk μ-hampir semua

x, dengan ∇θ gradien. Fungsi skor,

ruang L2 (Pθ) dari fungsi persegi terintegral sehubungan dengan ukuran Pθ. The Fisher informasi matriks I (θ), yang didefinisikan sebagai

Artinya tidak bersingular dan berkelanjutan dalam θ. Jika kondisi (i) - (iii) terus maka model parametrik teratur. Normalitas asimtotik lokal. Jika model parametrik biasa tidak dapat diidentifikasi maka terdapat lebih seragam Kon-

sisten dan nilai efisiensi parameter θ nya.

2.2

Model B´ ezier Surface Patch(tambalan)

Permukaan Bezier didefinisikan oleh satu set dua dimensi titik kontrol pj, k, di mana j berada dalam kisaran 0 dan m, dan k adalah di kisaran 0 dan n.

12


2.2.1

Contoh

Contoh: permukaan Bezier didefinisikan oleh 3 baris dan 3 kolom (yaitu, 9) titik kontrol dan karenanya permukaan Bezier derajat (2,2).

Pengaruh dari ”mengangkat” salah satu ialah titik kontrol dari patch Bezier.

13


2.2.2

Fungsi dasar dari Patch Permukaan Bezier

Fungsi dasar dua dimensi adalah produk dari satu sampai dua dimensi Bézier fungsi dasar. Fungsi dasar permukaan Bezier adalah permukaan parametrik dari dua variabel u dan v didefinisikan pada unit persegi.

2.2.3

Penggabungan B´ ezier Tambalan Permukaan

Kelangsungan C0 membutuhkan menyelaraskan kurva batas.

Kontinuitas C1 membutuhkan menyelaraskan kurva batas dan turunannya.

14


2.2.4

Properti Permukaan Bezier

-p ( u , v ) melewati titik kontrol pada empat sudut jaring kontrol : p0,0 , pm , 0 , pm , n

dan p0 , n . Nonnegativity : Bm , i ( u ) Bn , j ( v ) adalah nonnegatif untuk semua m , n , i , j , dan

u dan v di kisaran 0 dan 1 . Partisi Persatuan : Jumlah semua Bm , i ( u ) Bn , j ( v ) adalah 1 untuk semua u dan v

di kisaran 0 dan 1 . -Convex Hull Properti : a Bézier permukaan p ( u , v ) terletak pada convex hull didefini-

sikan oleh jaring kontrol . invarian affine

15

2.3. B-SPLINE SURFACE

2.3

BAB 2. TEHNIK DASAR SURFACE MODELLING

B-Spline Surface

Satu set m + 1 baris dan n + 1 titik kontrol pi, j, di mana 0 <= i <= m dan 0 <= j <= n; Sebuah vektor simpul h + 1 knot dalam arah u, U = {u0, u1, ...., eh}; Sebuah vektor simpul k + 1 knot di v-arah, V = {v0, v1, ...., vk}; Tingkat p dalam arah u; Tingkat q dalam arah v;

16



Tambalan Permukaan B-Spline merupakan batas pada wilayah dekat empat titik kontrol pusat (tidak interpolasi titik kontrol mereka).

2.3.1

Fungsi dasar B-Spline Surface

Koefisien titik kontrol Pi,j adalah produk dari dua satu dimensi B-spline fungsi dasar, satu di-arah u, Ni, p (u), dan yang lainnya di v-arah, Nj, q (v ).

Fungsi dasar dari titik kontrol p2,0, p2,1, p2,2, p2,3, p2,4 dan p2,5.The dasar fungsi dalam arah u adalah tetap sedangkan fungsi dasar dalam perubahan v-arah

2.3.2

Penjepit, Tertutup dan Terbuka Permukaan B-Spline

Penjepit Permukaan B-Spline: Jika B-spline dijepit di kedua arah, maka permukaan ini melewati meskipun titik kontrol p0,0, pm, 0, p0, n dan pm, n dan bersinggungan dengan delapan kaki dari jaring kontrol di empat titik kontrol. 17



Tertutup Permukaan B-Spline: Jika permukaan B-spline ditutup dalam satu arah, maka semua kurva isoparametric arah ini adalah kurva tertutup dan permukaan menjadi sebuah tabung.

Terbuka Permukaan B-Spline: Jika permukaan B-spline terbuka di kedua arah, maka permukaan tidak melewati titik kontrol p0,0, pm, 0, p0, n dan pm, n.

Tiga permukaan B-spline dijepit, tertutup dan terbuka di kedua arah. Ketiga permukaan didefinisikan pada set yang sama titik kontrol; namun, seperti dalam kurva B-spline, vektor simpul mereka berbeda.

18


2.3.3


Permukaan Property dari B-Spline

Nonnegativity: Ni, p (u) Nj, q (v) adalah nonnegatif untuk semua p, q, i, j, dan u dan v

di kisaran 0 dan 1. Partisi Persatuan: Jumlah semua Ni, p (u) Nj, q (v) adalah 1 untuk semua u dan v di

kisaran 0 dan 1. Properti Kuat Convex Hull. Skema Modifikasi lokal. p (u, v) adalah Cp-s (resp., Cq-t) terus menerus dalam u (resp., v) arah jika u (resp., v)

adalah keserbaragaman s (resp., t). invarian affine

19

2.4. IMPLISIT SURFACE MODELLINGBAB 2. TEHNIK DASAR SURFACE MODELLING

2.4

Implisit Surface Modelling

Komputer grafis, desain dibantu komputer dan vi- komputer literatur sion diisi dengan array biasa beragam proaches ap- ke permukaan deskripsi. Alasan untuk varietas ini adalah bahwa tidak ada representasi tunggal permukaan yang memenuhi kebutuhan setiap masalah di setiap daerah aplikasi. Tulisan ini adalah tentang pemodelan dengan interpolasi permukaan implisit, permukaan Representasi yang kami percaya akan berguna di beberapa daerah di eling 3D mod-. Ini permukaan implisit yang halus, persis melewati serangkaian diberikan poin kendala, dan bisa menggambarkan permukaan tertutup topologi sewenang-wenang. Untuk menggambarkan pendekatan dasar kita, Gambar 1 (kiri) menunjukkan kurva implisit interpolasi, 2D analog dari permukaan implisit interpolasi. Lingkaran terbuka kecil pada gambar ini menunjukkan lokasi di mana kendala fungsi implisit 2D harus mengambil nilai nol. Tanda plus tunggal sesuai dengan kendala dan tambahan di mana fungsi implisit harus mengambil nilai dari beberapa konstanta positif sewenang-wenang, yang untuk contoh ini adalah salah satu. Kendala ini diteruskan kepada interpolasi rutin data yang tersebar yang menghasilkan pertemuan fungsi 2D mulus kendala yang diberikan. Kurva yang diinginkan didefinisikan sebagai lokus titik di mana fungsi mengambil nilai nol. Kurva persis melewati setiap kendala nol-nilai, dan fungsinya mendefinisikan positif dalam kurva ini dan di luar negatif. untuk ini Contoh 2D, kita menggunakan teknik variational yang meminimalkan kelengkungan gregate Ag fungsi yang menciptakan, dan teknik ini untuk membuat fungsi ini sering disebut sebagai tipis-piring tion interpola-. Kita bisa membuat permukaan 3D dengan cara yang persis sama seperti kurva 2D pada Gambar 1. kendala Zero-dihargai didefinisikan oleh Eler mod- di lokasi 3D, dan nilai-nilai positif yang ditentukan pada satu atau lebih tempat-tempat yang menjadi interior untuk permukaan. Sebuah teknik tion interpola- variational kemudian dipanggil yang menciptakan fungsi skalar bernilai lebih dari satu domain 3D. Permukaan yang diinginkan hanyalah himpunan semua titik di mana fungsi skalar ini mengambil nilai nol. Gambar 2 (kiri) menunjukkan permukaan yang diciptakan dengan cara ini dengan menempatkan empat kendala nol senilai simpul dari tetrahedron biasa dan menempatkan kendala positif tunggal di pusat tetrahedron. Hasilnya adalah permukaan hampir bulat. Permukaan yang lebih kompleks seperti bentuk percabangan pada Gambar 2 (kanan) dapat didefinisikan ply sim- dengan menentukan lebih kendala. Gambar 3 menunjukkan contoh permukaan implisit interpolasi yang dibuat dari data poligonal. 20

2.4. IMPLISIT SURFACE MODELLINGBAB 2. TEHNIK DASAR SURFACE MODELLING Sisa dari makalah ini disusun sebagai berikut. Pada Bagian tion 2 kita kaji kerja terkait, termasuk permukaan implisit dan teknik interpolasi tipis-piring. Kami menjelaskan dalam Bagian 3 kerangka matematika untuk memecahkan masalah variational menggunakan fungsi dasar panggilan ra-. Bagian 4 menyajikan tiga strategi yang dapat digunakan bersama dengan metode variational untuk membuat wajah sur- implisit. Strategi-strategi ini berbeda dalam mana mereka menempatkan non-nol kendala. Bab 5 akan menunjukkan bahwa interpolasi permukaan implisit sangat cocok untuk patung interaktif. Dalam Pasal 6 kami menyajikan metode baru untuk menciptakan campuran lembut antara objek, berdasarkan implicits terpolating in. Bagian 7 menjelaskan dua teknik rendering, yang bergantung pada ubin poligonal dan lain berdasarkan ray tracing. Dalam Bagian 8 kita membandingkan interpolasi permukaan implisit dengan tradisi pemodelan permukaan tipis-piring nasional dan dengan fungsi implisit yang dibuat menggunakan fungsi Gaussian ellipsoidal. Akhirnya, Bagian 9 menunjukkan potensi aplikasi dan arah untuk penelitian masa depan. Gambar 1: Kurva didefinisikan dengan menggunakan interpolasi fungsi implisit. Kurva di sebelah kiri didefinisikan oleh empat zero-dihargai dan satu kendala yang positif. Kurva ini disempurnakan dengan menambahkan tiga kendala nol bernilai baru (ditampilkan dalam warna merah di sebelah kanan). Gambar 2: Permukaan didefinisikan oleh interpolasi fungsi implisit. Permukaan kiri didefinisikan dengan nol bernilai kendala di sudut-sudut tetrahedron dan satu kendala yang positif di tengahnya. Percabangan permukaan pada sebelah kanan dibuat menggunakan kendala dari simpul objek poligonal inset. Interpolasi permukaan implisit memanfaatkan dua bidang modeling: permukaan implisit dan interpolasi tipis-piring. Pada bagian ini kita review singkat bekerja di dua sub-daerah. interpolasi implisit permukaan tidak baru untuk grafis, dan pada penutupan bagian ini kami akan menjelaskan metode sebelumnya diterbitkan menciptakan interpolasi permukaan implisit.

2.4.1

Definisi Implisit Surface Modelling

Permukaan implisit didefinisikan oleh fungsi implisit, skalar bernilai fungsi kontinu atas domain R3. Permukaan implisit fungsi seperti adalah kedudukan titik-titik di mana fungsi mengambil nilai nol. Misalnya, unit bola dapat didefinisikan dengan menggunakan fungsi fx implisit 1 x, untuk titik-titik x R3. Poin pada bola adalah lokasi-lokasi di mana fx 0. fungsi implisit ini mengambil nilai-nilai positif dalam bola dan negatif di luar permukaan, karena akan menjadi konvensi dalam tulisan ini. Sebuah kelas penting dari permukaan implisit adalah Blobby atau bola meta permukaan [2, 20]. Fungsi implisit dari permukaan ini adalah jumlah dari fungsi radial simetris yang memiliki profil Gaussian. Berikut adalah bentuk umum seperti fungsi implisit:

Dalam persamaan di atas, fungsi gi tunggal menggambarkan profil dari ”bola Blobby” (fungsi Gaussian) yang memiliki pusat tertentu dan standar deviasi. Berani surat x merupakan titik dalam domain fungsi implisit kita, dan dalam makalah ini kita akan menggunakan huruf tebal untuk mewakili titik-titik tersebut, baik dalam 2D dan 3D. Nilai t adalah ambang batas isopermukaan, dan menentukan satu permukaan tertentu dari keluarga permukaan bersarang yang ditentukan oleh jumlah Gaussians. Ketika pusat dua bidang Blobby cukup dekat satu sama lain, permukaan implisit tampak seolah-olah dua daerah telah meleleh bersama-sama. Bentuk khas 21

2.4. IMPLISIT SURFACE MODELLINGBAB 2. TEHNIK DASAR SURFACE MODELLING untuk fungsi lingkup Blobby gi adalah sebagai berikut:

Dalam persamaan ini, saya terus-menerus menentukan standar deviasi dari fungsi Gaussian, dan dengan demikian merupakan kontrol atas radius lingkup Blobby. Pusat bola Blobby diberikan oleh ci. For- uating fungsi eksponensial adalah komputasi mahal, sehingga beberapa penulis telah menggunakan piecewise ekspresi polinomial bukan eksponensial untuk menentukan fungsifungsi lingkungan Blobby [20, 33]. Berbagai besar bentuk dapat dibuat dengan pendekatan Blobby dengan menggunakan elips daripada fungsi bola. Kelas lain yang penting dari permukaan implisit adalah permukaan aljabar. Ini adalah permukaan yang dijelaskan oleh pressions mantan polinomial dalam x, y dan z. Jika permukaan cukup sederhana, dapat dijelaskan oleh ekspresi polinomial tunggal. Banyak yang baik dari tion atten telah dikhususkan untuk pendekatan ini, dan kami sarankan Gabriel Taubin [28] dan Keren dan Gotsman [16] sebagai titik awal di daerah ini. Sebagian besar bekerja pada metode ini telah dikhususkan untuk cocok-ting suatu permukaan aljabar untuk koleksi tertentu poin. Biasanya tidak mungkin untuk interpolasi semua titik data, sehingga kesalahan teknik imizing min dicari. Permukaan juga dapat dijelaskan dengan mengumpulkan banyak patch permukaan aljabar terpisah, dan di sini lagi ada banyak literatur pada subjek. Perkenalan yang baik untuk permukaan ini dapat ditemukan di bab oleh Chanddrajit Bajaj dan bab oleh Alyn Rockwood dalam. Hal ini lebih mudah untuk menciptakan kompleks permukaan menggunakan koleksi patch aljabar daripada menggunakan permukaan aljabar tunggal. Tradeoff, bagaimanapun, adalah bahwa banyak dari mesin diperlukan untuk membuat halus bergabung melintasi batas-batas Patch. Kami hanya dijelaskan beberapa tions perwakilan permukaan implisit yang paling erat kaitannya dengan pekerjaan kita sendiri. Ada banyak topik lain dalam bidang yang luas permukaan implisit, dan kami merujuk pembaca yang tertarik dengan buku yang sangat bagus oleh Bloomenthal dan rekan-penulis. Gambar 3: permukaan Polygonal dari kepalan tangan manusia dengan 750 simpul (kiri) dan permukaan implisit interpolasi dibuat dari poligon (kanan).

2.4.2

thin-plate interpolasi

Tipis-plate spline permukaan adalah kelas bidang ketinggian yang erat kaitannya dengan permukaan implisit interpolasi dari makalah ini. Tipis interpolasi plate adalah salah satu pendekatan untuk memecahkan masalah interpolasi data yang tersebar. Versi dua dimensi prob lem ini dapat dinyatakan sebagai berikut: Mengingat koleksi k kendala poin c1 c2 ck yang tersebar di bidang xy, bersama-sama dengan nilai tinggi skalar pada setiap titik-titik ini h2 h1 hk, membangun ”smooth” permukaan yang cocok setiap ketinggian ini di lokasi yang diberikan. Kita bisa memikirkan permukaan solusi ini sebagai scalar- fungsi bernilai fx sehingga f ci hi, untuk 1 i k. Jika kita mendefinisikan kata halus dalam cara tertentu, ada solusi unik untuk masalah seperti itu, dan solusi ini adalah interpolasi tipis-piring poin. Mempertimbangkan fungsi energi E f yang mengukur kelancaran fungsi f:

Notasi fxx berarti turunan parsial kedua di arah x, dan dua istilah lain adalah turunan parsial yang sama, salah satu dari mereka dicampur. Fungsi energi ini pada dasarnya adalah ukuran

22

2.4. IMPLISIT SURFACE MODELLINGBAB 2. TEHNIK DASAR SURFACE MODELLING dari kelengkungan agregat f(x) atas wilayah bunga Ω (porsi pesawat). Setiap lipatan atau mencubit di permukaan akan menghasilkan dalam nilai yang lebih besar dari E. Fungsi halus yang tidak memiliki daerah seperti kelengkungan tinggi akan memiliki nilai yang lebih rendah dari E. Perhatikan bahwa karena ada hanya kuadrat istilah dalam integral, nilai untuk E dapat tidak pernah negatif. Solusi tipis-piring untuk masalah interpolasi adalah fungsi f(x) yang terpenuhi es semua kendala dan memiliki nilai terkecil yang mungkin dari E. Perhatikan bahwa permukaan tipis plate adalah tinggi medan, dan dengan demikian mereka sebenarnya parametrik permukaan. Metode interpolasi ini mendapatkan namanya karena banyak seperti mengambil lembaran tipis logam, peletakan secara horisontal dan menekuk sehingga hanya menyentuh ujung koleksi tiang vertical yang ditetapkan pada posisi dan ketinggian yang diberikan oleh kendala masalah interpolasi. Pelat logam tahan lentur sehingga lancar mengubah puncaknya di posisi antara kutub. ini resistensi kenyal yang menirukan oleh fungsi energi E. Piringan Tipis interpolasi sering digunakan dalam domain visi komputer, di mana sering ada kendala permukaan jarang [12, 29]. Di atas skr Proses vature minimalisasi kadang-kadang disebut sebagai tion regulariza-, dan dapat dianggap sebagai kendala tambahan yang memilih permukaan yang unik dari jumlah tak terbatas permukaan yang cocok dengan set kendala ketinggian tertentu. Memecahkan masalah dibatasi seperti menarik dari cabang matematika yang disebut kalkulus variasional, sehingga teknik tipis plate kadang-kadang disebut sebagai metode variational. Tersebar masalah interpolasi data dapat dirumuskan dalam sejumlah dimensi. Ketika poin diberikan ci adalah posisi di n-dimensi daripada di 2D, ini disebut tersebar masalah interpolasi data n dimensi. Ada alizations genersesuai dengan fungsi energi dan tipis pelat interpolasi untuk dimensi apapun. Dalam tulisan ini kita akan menggunakan variational polation antar dalam dua dan tiga dimensi.

2.4.3

Kegiatan yang terkait di Permukaan Implisit

Publikasi pertama pada interpolasi implicits yang kita menyadari adalah bahwa Savchenko et al. [24]. Kami menganggap hal ini menjadi perintis sebuah kertas permukaan implisit, dan merasa layak untuk diketahui lebih banyak daripada saat ini. Penelitian mereka berada di penciptaan permukaan implisit dari data yang diukur seperti jangkauan data atau kontur. Pekerjaan mereka tidak, bagaimanapun, menjelaskan teknik untuk modeling. Pendekatan mereka untuk fungsi penciptaan implisit mirip dengan Metode kami di koran hadir dalam kedua memecahkan sistem linear untuk mendapatkan bobot untuk fungsi basis radial. Karya [24] berbeda dari kita sendiri dalam bahwa mereka menggunakan pembawa padat untuk menunjukkan bagian mana ruang harus interior ke permukaan yang sedang dibuat. kita percaya bahwa tiga metode yang kami jelaskan untuk de fi ning interior dari permukaan dalam Bagian 4 dari makalah ini memberikan kontrol pengguna lebih dari pembawa padat dan karena itu lebih tepat untuk pemodelan. Penciptaan metode implisit permukaan dijelaskan dalam makalah ini adalah hasil dari pekerjaan sebelumnya dalam transformasi bentuk dengan Turk dan O’Brien [30]. Mereka menciptakan fungsi tersirat dalam n+1 dimensi interpolasi antara pasangan bentuk-n dimensi. implisit ini fungsi diciptakan dengan menggunakan kendala formuliasi yang normal dari interpolasi permukaan implisit, seperti yang dijelaskan dalam Bagian 4.3 makalah ini. Tulisan ini berbeda dari [30] dalam diperkenalkan beberapa teknik untuk de fi ning interpolasi implisit permukaan yang sangat berguna untuk pembuatan model. Baru-baru ini telah mengembangkan teknik yang memungkinkan metode yang dibahas di atas menjadi berlaku untuk sistem dengan sejumlah besar kendala [19, 6]. Karya Morse et al. [19] menggunakan Gaussian seperti kompak mendukung fungsi basis radial untuk mempercepat permukaan Proses membangun, dan mereka mampu menciptakan permukaan yang memiliki puluhan ribu kendala. Carr et al. menggunakan

23

2.4. IMPLISIT SURFACE MODELLINGBAB 2. TEHNIK DASAR SURFACE MODELLING evaluasi cepat metode untuk merekonstruksi permukaan menggunakan sampai secara setengah juta fungsi [6]. Mereka menggunakan radial basis function φ (x) = jxj, yang biharmonic fungsi dasar. Kedua perbaikan ini untuk menciptakan permukaan dengan banyak kendala yang melengkapi karya kertas ini, dan teknik-teknik baru yang kami jelaskan di Bagian 4, 5 dan 6 harus bekerja anggun dengan metode di kedua makalah ini.

2.4.4

3 Varisional Metode Dan Radial Basis

Pada bagian ini kita meninjau latar belakang matematika yang diperlukan untuk interpolasi tipis-piring. Hal ini akan memberikan alat-alat yang kita akan kemudian gunakan dalam Bagian 4 untuk membuat interpolasi permukaan implisit. Tersebar tugas interpolasi data seperti yang dirumuskan di atas adalah masalah variational mana solusi yang diinginkan adalah fungsi, f(x), yang akan meminimalkan persamaan 3 tunduk pada kendala interpolasi f(ci s) = hi. Ada beberapa metode numerik yang dapat digunakan untuk memecahkan jenis masalah. Dua metode yang umum digunakan, berhingga elemen dan teknik differencing berhingga, discretize wilayah bunga, Ω, menjadi satu set sel atau elemen dan mendefinisikan local fungsi dasar di atas elemen. Fungsi f(x) maka dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari fungsi dasar sehingga solusi dapat ditemukan, atau didekati, dengan menentukan cocok bobot untuk masing-masing fungsi dasar. Pendekatan ini telah banyak digunakan untuk tinggi-lapangan interpolasi dan model mampudeformasi, dan contoh penggunaannya dapat ditemukan dalam [29, 27, 7, 31]. Sementara berhingga elemen dan teknik fi nite differencing telah terbukti berguna untuk banyak masalah, fakta bahwa mereka bergantung pada diskritisasi dari domain fungsi ini tidak selalu ideal. Masalah yang dapat timbul akibat untuk diskritisasi termasuk terlihat permukaan tangga-melangkah dan ketidakmampuan untuk mewakili fi rincian ne. Selain itu, biaya menggunakan seperti Metode tumbuh cubically sebagai resolusi yang diinginkan tumbuh. Pendekatan alternatif adalah untuk mengekspresikan solusi dalam hal radial fungsi dasar yang berpusat di lokasi kendala. secara radial fungsi yang radial simetris tentang satu titik, atau pusat, dan mereka telah banyak digunakan untuk fungsi perkiraan. Hebatnya, adalah mungkin untuk memilih fungsi-fungsi radial adalah sedemikian rupa bahwa mereka secara otomatis akan menyelesaikan persamaan diferensial, seperti salah satu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan persamaan 3, tunduk pada batasan yang terletak di pusat mereka. Untuk masalah interplation 2D, persamaan 3 dapat dipecahkan menggunakan biharmonic fungsi basis radial: Hal ini umumnya dikenal sebagai thin-plate secara radial fungsi. Untuk interpolasi 3D, salah satu yang umum digunakan fungsi basis radial adalah φ(x) = |x|3, Dan ini adalah fungsi dasar yang kita gunakan. Kami mencatat bahwa Carr et al. [6] menggunakan fungsi dasar φ(x) = |x|. Duchon melakukan banyak pekerjaan awal interpolasi variational [8], dan laporan Girosi, Jones dan Poggio adalah titik masuk yang baik dalam matematika interpolasi variational [11]. Menggunakan fungsi basis radial yang tepat, kita dapat menulis Fungsi interpolasi dalam bentuk ini:

Dalam persamaan di atas, c adalah lokasi dari kendala, wj adalah bobot, dan P (x) adalah gelar satu polinomial yang menyumbang untuk bagian linear dan konstan f. Pemecahan untuk bobot w dan koefisien koe fi P (x) tunduk pada batasan yang diberikan menghasilkan fungsi yang baik interpolates kendala dan meminimalkan Persamaan 3. Fungsi yang dihasilkan persis interpolasi kendala (jika kita mengabaikan masalah presisi numerik), dan tidak subjek untuk

24

2.4. IMPLISIT SURFACE MODELLINGBAB 2. TEHNIK DASAR SURFACE MODELLING pendekatan atau kesalahan diskritisasi. Juga, nomor bobot yang ditentukan tidak tumbuh dengan ukuran wilayah bunga Ω. Sebaliknya, itu hanya tergantung pada jumlah kendala. Untuk memecahkan set w yang akan memuaskan kendala interpolasi, kita mulai dengan kriteria bahwa permukaan harus interpolasi pada kasus kami: Kami sekarang menggantikan sisi kanan persamaan 5 untuk f(ci) Memberi diri kita:

Karena persamaan di atas adalah linear sehubungan dengan tidak diketahui, wi dan koefisien koe fi P (x), maka dapat dirumuskan sebagai linear sistem. Untuk interpolasi 3D, biarkan φ (ci –cj). Maka sistem linear ini dapat ditulis sebagai berikut:

25

Bab 3

Kesimpulan Objek Pemodelan Surface Subdivision surface Subdivision adalah teknik yang dapat menyelesaikan masalah diatas dengan kemampuannya menampilkan bentuk yang halus dari sebuah objek tiga dimensi yang kasar (low polygon). Ketika proses dilakukan, aturan yang berhubungan dengan skema subdivision digunakan secara rekursif untuk membangun urutan model poligon. Jika aturan tersebut direpresentasikan dengan operator S, bentuk proseks tersebut adalah: P{}ˆ{k}=Spˆ{k-1} menambahkan S pada model awal Pˆ{0} menghasilkan urutan model poligon Pˆ{1}, Pˆ{2} , . . . aturan S menjelaskan bagaimana suatu face dari poligon Pˆ{k-1} dibagi sambil menghitung posisi vertex yang terbentuk. Jika aturan tersebut diterapkan dengan benar maka batas dari proses subdivision tersebut adalah Pˆ{\infinity}.

Fig 1. Kubus Subdivision model Catmull-Clark Subdivision surface dapat diterapkan pada objek apa saja baik objek yang berbasiskan segitiga (triangular mesh) ataupun objek yang berbasiskan segiempat (quadrilateral mesh), teknik dasar dari proses ini adalah dengan membagi tiap segitiga atau poligon sehingga dari segitiga awal tadi didapatkan segitiga baru yang lebih kecil, proses itu juga menghasilkan garis (edge) dan vertex tambahan, dalam proses subdivision tersebut tentu saja terdapat aturan-aturan tertentu. 26

BAB 3. KESIMPULAN Skema dalam subdivision surface ada berbagai macam yang antara lain : skema Loop, Butterfly, Catmull-Clark, Kobbelt, Doo-Sabin dan Biquartic masing-masing dengan karakteristik yang berbeda. Metode subdivision surface memungkinkan pembuatan model tiga dimensi dari suatu objek dibuat lebih mudah, karena untuk mendapatkan suatu model dengan resolusi mesh yang tinggi kita hanya cukup menambahkan subdivision surface pada model awal.

Fig 2.

Polygonal modelling

Sebuah model dibentuk dengan untaian poligon Polygonal modeling adalah sebuah teknik pemodelan dalam bentuk 3D yang paling banyak digunakan di dalam membuat objek-objek 3D. Ini merupakan tipe pemodelan yang terdiri atas sekumpulan polygonal dengan minimal 3 titik atau vertex dari setiap polygon, sekumpulan dari polygon tersebut akan menghasilkan sebuah model objek 3D. Teknik Polygonal modeling merupakan penerapan teknik objek-objek geometri dasar yang kemudian dikembangkan menjadi objek model yang lebih kompleks. Umumnya memakai bentuk objek geometri box (kotak) yang kemudian dihaluskan lagi permukaannya (smooth). Model poligonal sangat fleksibel dan dapat ditampilkan oleh komputer dengan sangat cepat. Kekurangannya polygonal modeling adalah tidak dapat membuat permukaan melengkung secara akurat sesuai dengan ukuran geometris yang tepat. Permukaan melengkung biasanya dibentuk melalui metode penghalusan (smoothing) yang dibentuk dari satu garis ke garis lainnya, atau dari satu poligon ke poligon lainnya. Oleh karena itu, polygonal modeling biasa dipergunakan untuk membuat model-model 3 Dimensi objek non geometris, seperti pada kartun, mahluk hidup, dan lain-lain. Obyek dasar yang digunakan dalam pemodelan poligon ini adalah simpul (vertices), titik dalam ruang tiga dimensi. Dua simpul dihubungkan oleh sebuah garis lurus menjadi tepi (edge). Tiga simpul, terhubung satu sama lain dengan tiga tepi, mendefinisikan sebuah segitiga, yang merupakan poligon sederhana dalam ruang Euclidean. Ruang Euclidean adalah sebuah ruang tiga dimensi dimana setiap titik yang berada di dalam ruang tersebut memiliki alamat berdasarkan koordinat (X, Y, Z). Ini merupakan generalisasi dari konsep-konsep dimensi yang tinggi yang sebelumnya telah di jabarkan Euclidean pada teori geometri ruang tiga dimensinya.

27

BAB 3. KESIMPULAN

Fig 3. Basis ruang Euclidean

Non-uniform rational B-spline 4. Permukaan 3D pemodelan NURBS yang kompleks, dalam bentuk original Non-Uniform, Rational B-spline Surface adalah cara pemodelan permukaan secara parametrik yang umumnya digunakan dalam grafik komputer. NURBS bersifat lebih universal dari Bezier Spline atau B-spline karena selain bisa memodelkan sembarang permukaan ia bisa memodelkan juga geometri analitik seperti lingkaran, elipsis, bola, dan lain-lain. Pengembangan NURBS (Non Uniform Rational Basis Spline) berawal pada tahun 1950-an oleh teknisi yang membutuhkan gambaran matematis yang tepat dari permukaan berbentuk bebas seperti pada lambung kapal, permukaan pesawat terbang dan body mobil, dimana harus bisa menyajikan kebutuhan teknis lebih lanjut. Sebelumnya gambaran permukaan seperti ini hanya disajikan sebagai model utuh yang dibuat oleh desainer. Pelopor pengembangan NURBS adalah Pierre Bézier yang bekerja sebagai teknisi di Renault, dan Paul de Casteljau yang bekerja di Citroën, Prancis. Bézier bekerja hampir bersamaan dengan Paul de Casteljau, tanpa saling mengetahui satu sama lain. Tapi karena Bézier menpublikasikan hasil temuannya, ratarata pengguna komputer grafis hari ini mengenali splines — yang diwakili dengan kontrol titik terhadap kurva — sebagai Bézier spline, sementara nama Paul de Casteljau hanya dikenal dan algoritma yang dirancangnya untuk mengevaluasi permukaan parametric. Pada tahun 1960-an 28

Fig

BAB 3. KESIMPULAN menjadi jelas bahwa non-uniform Rational B-splines adalah generalisasi dari Bézier spline, yang bisa dianggap sebagai uniform, non-rational B-splines. Awalnya NURBS hanya digunakan pada paket CAD milik perusahaan mobil. Kemudian NURBS menjadi bagian dari paket standar komputer grafis. Pada tahun 1985, Pemodel NURBS interaktif untuk PC, disebut Macsurf (yang kemudian disebut Maxsurf), dikembangkan oleh Formation Design Systems, sebuah perusahaan kecil yang baru dibangun di Australia. Maxsurf adalah sistem desain marine hull yang dimaksudkan untuk pembuatan kapal, perahu dan kapal pesiar, dimana desainer membutuhkan akan rautan bentuk permukaan yang sangat akurat. Realtime, rendering kurva dan permukaan NURBS inteaktif pertama kali diterapkan pada Silicon Graphics workstations tahun 1989. Saat ini hampir seluruh aplikasi komputer grafis profesional sudah dilengkapi teknologi NURBS, yang seringkali diwujudkan dengan mengintegrasikan mesin NURBS dari perusahaan tertentu. Polygon mesh Polygon mesh adalah obyek dengan banyak polygon atau obyek yang dibentuk dari gabungan ratusan segitiga. Oleh karena proses perhitungan warna hanya dilakukan untuk setiap obyek geometri, maka pewarnaan polygon mesh dilakukan satu-persatu untuk setiap segitiga pembentuknya. Hal ini menyebabkan waktu yang dibutuhkan untuk polygon mesh lebih banyak dari pada obyek geometri. Sedangkan obyek geometri bentuknya tidak kompleks. Untuk mendapatkan obyek yang bentuknya lebih kompleks tetapi waktu perhitungannya tidak terlalu lama maka digunakan Constructive Solid Geometry (CSG). Constructive Solid Geometry (CSG) adalah gabungan beberapa obyek solid yang dibentuk secara geometry dengan menggunakan operator. Operator – operator yang digunakan untuk membentuk obyek CSG adalah pengabungan (union), perpotongan (intersection), dan perbedaan (difference).

Fig 5. Pemindaian objek dengan teknik polygonal mesh Voxel

Voxel adalah singkatan dari volume dan pixel, jadi sebuah voxel adalah elemen dasar

yang memiliki ruang (pixel hanya titik). Bayang kan sebuah kotak lego yang bila digabungkan akan membentuk berbagai bangun baru. Voxel memiliki prinsip serupa dengan kotak mainan Lego yaitu berupa sebuah kotak utuh dan padat sementara pada polygon triangle melambangkan kulit bangun di luarnya saja. Voxel sendiri pada umumnya dipakai pada bidang medis, bentuk aslinya sangat sesuai untuk penggambaran bentuk ruang dari gambar bagian perbagian seperti yang dihasilkan MRI. Meskipun begitu menggambarkan ruang dengan voxel bukanlah pendekatan yang paling sempurna karena dunia disekitar kita tidak terbuat dari sekumpulan kotakkotak kecil.

29

BAB 3. KESIMPULAN

Fig 6. Model voxel Meskipun begitu kekurangan ini bisa dimaklumi apabila digunakan pada game, karena triangle pada sebuah bangun polygon pada saat ini pun juga hanya merupakan pendekatan dari bangun ruang sebenarnya yang bisa diperhalus dengan memperbanyak lebih banyak triangle. Pada voxel, penghalusan ini bisa juga dilakukan dengan penggunaan voxel yang berukuran lebih kecil, yang berakibat pada kebutuhan memori yang lebih besar. Apabila dihitung, sebuah kotak yang terdiri dari 1024 voxel tiap bidang (bidang X, Y, Z) membutuhkan memori 1024 x 1024 x 1024 * 4 byte dalam nilai RED, GREEN, BLUE dan ALPHA (RGBA) yang setara dengan memory sebesar 4 GB. Jawaban dari masalah besarnya kebutuhan memori ini adalah penggunaan octal trees. Contoh Dari processing, Permukaan Berzier /** * Bezier. * * The first two parameters for the bezier() function specify the * first point in the curve and the last two parameters specify * the last point. The middle parameters set the control points * that define the shape of the curve. */ void setup() { size(640, 360); stroke(255); noFill(); } void draw() { background(0); for (int i = 0; i < 200; i += 20) { bezier(mouseX-(i/2.0), 40+i, 410, 20, 440, 300, 240-(i/16.0), 300+(i/8.0)); } }

30

BAB 3. KESIMPULAN

31

Daftar Pustaka http://en.wikipedia.org/wiki/Parametric model www.cadlab.tuc.gr/courses/cad/surface-modeling-proe-wf-2.pdf www3.cs.stonybrook.edu/˜qin/courses/.../8.pdf www.cs.jhu.edu/˜misha/Fall05/.../turk04.pdf

32

33

BAB 3. KESIMPULAN

34

1 Pendahuluan Latar belakang Rumusan masalah Tujuan... 6

Recommend Documents