1/7
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Základní pojmy: • Parametrické vyjádření přímky, roviny • Obecná rovnice roviny • Vzájemná poloha přímek a rovin • Odchylka přímek a rovin • Vzdálenosti www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/jan_koncel/ 1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje. p: A[a 1 ; a 2 ; a 3 ], u = (u 1 ; u 2 ; u 3 ): x = a 1 + t.u 1 y = a 2 + t.u 2 y = a 3 + t.u 3, t ∈ R.
kde [x; y, z] jsou souřadnice všech bodů ležících na přímce p
Příklad: Určete parametrické vyjádření přímky AB, je-li A[2; 3; -1] a B[0; -1; 5].
Příklad: Zjistěte, zda body A[1; 5; -2], B[2; 3; 0] a C[0; 7; -3] leží na jedné přímce.
PRACOVNÍ LISTY
3. ROČNÍK
Analytická geometrie v prostoru
2/7
2. Parametrické vyjádření roviny Rovina je určena: třemi nekolineárními body (body neležícími na 1 přímce), nebo dvěma různými přímkami, které nejsou mimoběžné, nebo
ρ: A[a 1 ; a 2 ; a 3 ], u = (u 1 ; u 2 ; u 3 ), v = (v 1 ; v 2 ; v 3 ): x = a 1 + s.u 1 + t.v 1 y = a 2 + s.u 2 + t.v 2 y = a 3 + s.u 3 + t.v 3 , s, t∈ R. kde [x; y, z] jsou souřadnice všech bodů ležících v rovině ρ
Příklad: Určete parametrickou rovnici roviny ABC, jestliže A[0; 2; 1], B[-1; 3; 2] a C[4; -1; 3].
Příklad: Rozhodněte, zda bod K[3; 2; 0] leží v rovině určené bodem A[2; 1; 5] a přímkou p(B, u), jestliže B[2; -1; 2] a u = (1; 3; 3).
3. Obecná rovnice roviny Vektor n, který je kolmý ke všem vektorům ležícím v rovině, nazýváme normálovým vektorem této roviny. V obecné rovnici ax + by + cz + d = 0 roviny ρ, určené bodem P[p 1 ; p 2 ; p 3 ] a normálovým vektorem n = (n 1 ; n 2 ; n 3 ), odpovídají koeficienty a, b, c souřadnicím jejího normálového vektoru n = (a, b, c). Příklad: Určete obecnou rovnici roviny ABC, kde A[2; -2; 1], B[1; -1; 4] a C[0; 0; 1]. normálový vektor roviny: vektorový součin vektorů AB a AC. AB = ( ; ; ), AC = ( ; ; ) a= a b c b= AB x AC = c=
PRACOVNÍ LISTY
3. ROČNÍK
Analytická geometrie v prostoru
3/7
Příklad: Převeďte obecnou rovnici roviny: 5x - 8y - 6z + 11 = 0 na parametrické vyjádření.
Příklad: Určete obecnou rovnici roviny, která je dána parametricky:
4.
x = 2 + 2t - s, y = 3 - t + 3s, z = -1 - 2t – s.
Vzájemná poloha přímek v prostoru
Dvě přímky p, q v prostoru mohou mít 4 vzájemné polohy a)
rovnoběžné různé
p∩q=∅
mimoběžné
b) p ∩ q = {P} c) p ∩ q = p Příklad:
různoběžné totožné
žádný společný bod a u = k.v, kde u, v jsou směrové vektory přímek žádný společný bod a zároveň nejsou rovnoběžné (neleží v 1 rovině), jeden společný bod, bod P, společná je celá přímka.
Určete vzájemnou polohu přímek p(A, u) a q(B, v), je-li A[1; 3; 5], B[-1; -2; 2], u = (2; 1; 1) a v = (-1; 2; 1).
PRACOVNÍ LISTY
3. ROČNÍK
Analytická geometrie v prostoru 5.
4/7
Vzájemná poloha přímky a roviny
V prostoru rozlišujeme tři možné vzájemné polohy roviny ρ a přímky p. a) b) c)
p∩ρ=∅ p ∩ ρ = {P} p∩ρ=p
přímka p je s rovinou ρ rovnoběžná různá přímka p a rovina ρ jsou různoběžné přímka p leží v rovině ρ.
žádný společný bod, jeden bod, bodě P, všechny body přímky p.
Příklad: Určete vzájemnou polohu přímky p(A, u) a roviny δ určené bodem B a jejím normálovým vektorem n, je-li A[1; 4; 2], B[4; 1; 0], u = (1; 1; 2) a n = (1; -1; 2). Jsouli různoběžné, najděte jejich průsečík.
6.
Vzájemná poloha dvou rovin
Vzájemné polohy dvou rovin ρ a ψ jsou stejné jako u přímek v rovině.
1. 2. 3.
ρ∩ψ=∅ ρ∩ψ=p ρ∩ψ=ρ
PRACOVNÍ LISTY
rovnoběžné různé. různoběžné. totožné
žádný společný bod, přímka p – průsečnice, celá rovina.
3. ROČNÍK
Analytická geometrie v prostoru
5/7
Příklad: Určete vzájemnou polohu rovin ρ: x - y + z = 0 a σ: 2x - 3y + z - 1 = 0. Jsou-li různoběžné, určete jejich průsečnici.
7.
Odchylka 2 přímek
Stejné jako odchylka 2 přímek v rovině: Odchylka přímek p(P, u), q(Q, v) je číslo φ ∈ <0, π/2>, pro které platí: cos ϕ = Příklad:
8.
u.v u .v
Spočítejte odchylku dvou přímek p(A; u) a q(B; v), je-li A[-9; -8; 7], B[6; 6; -4], u = (3; 0; 1) a v = (8; -9; -8).
Odchylka přímky a roviny
Odchylka přímky p(P, u) a roviny ρ danou obecnou rovnicí (normálovým vektorem n) je číslo u.n φ ∈ <0, π/2>, pro které platí: sin ϕ = u.n Příklad:
9.
Spočítejte odchylku přímky p(A; u) a roviny ρ: 8x - 7y + 5z - 4 = 0, je-li A[-6; 2; 9], a u = (-8; 4; 9).
Odchylka 2 rovin
Odchylka roviny ρ(A, n 1 ) a ψ(B, n 2 ) je číslo φ ∈ <0, π/2>, pro které platí: cos ϕ = Příklad:
n1 .n2
n1 . n2 Spočítejte odchylku rovin ρ: 4x - 9y + 5z - 2 = 0 a σ: -3x + 3y - 7y - 1 = 0.
PRACOVNÍ LISTY
3. ROČNÍK
Analytická geometrie v prostoru
6/7
10. Vzdálenost bodu od přímky Vzdálenost d bodu B od přímky p(A, u) – hledáme kolmici, tj. najdeme bod X přímky p, pro který platí (B - X)u = 0. Vzdálenost bodu B od přímky p je potom rovna |XB|. Příklad: Určete vzdálenost bodu B od přímky p(A, u), je-li A[3; 0; -1], B[1; 2; 1] a u = (-1;0;1).
11. Vzdálenost bodu od roviny Vzdálenost d bodu P[p 1 ; p 2 ; p 3 ] od roviny ρ: ax + by + cz + e = 0 je vyjádřena vzorcem: ap + bp 2 + cp3 + e d= 1 a2 + b2 + c2 Příklad: Spočítejte vzdálenost bodu B[9; 6; -7] od roviny ρ: 6x - 1y - 3y - 3 = 0.
Příklady: 1. Určete obecnou roviny ρ, která je dána body A[2; 1; 3], B[-1; 2; -1], C[3; 4; 2]. 2. Určete obecnou rovnici roviny ρ, která prochází bodem B[3; 2; -3] a která je kolmá na přímku x = 1 - t, y = 2 + 2t, z = -t; t ∈ . 3. Jsou dány body A[-1; 0; 3], B[-1; 3; -2] a vektory u = (1; 2; 2) a v = (-2; 3; 1). Určete vzájemnou polohu přímek p(A, u) a q(B, v). 4. Určete vzájemnou polohu přímky p(A, u) a roviny δ: 3x - y + 2z - 4 = 0, je-li A[2; -1; 2] a u = (2; 3; 2). 5. Určete vzájemnou polohu přímky p(A, u) a roviny ρ: 3x - 2y - z + 2 = 0, je-li A[1; 2; 1] a u = (3; 3; 3). 6. Určete vzájemnou polohu rovin ρ: 2x - 6y + z + 1 = 0 a φ: x + 3y + 2z - 4 = 0. 7. Najděte průsečnici p rovin ρ: x - 4y + 4z = 0 a φ: 2x - y + z - 7 = 0. 8. Spočítejte odchylku dvou přímek p(A; u) a q(B; v), je-li A[3; -5; -6], B[3; 0; 1], u = (-6; 3; 7) a v = (7; 2; -7).
PRACOVNÍ LISTY
3. ROČNÍK
Analytická geometrie v prostoru
7/7
9. Spočítejte odchylku přímky p(A; u) a roviny ρ: -4x - 5y + 2z - 9 = 0, je-li A[-4; 5; 2], a u = (-7; 9; 8). 10. Spočítejte odchylku rovin ρ: -2x + 4y - 7y - 7 = 0 a σ: -9x + 6y + 1z + 2 = 0. 11. Určete vzdálenost bodu B od přímky p(A, u), jestliže A[-2; 1; -2], B[3; 4; -3] a u = (2; 1; 1). 12. Spočítejte vzdálenost bodu B[-9; 4; -6] od roviny ρ: -5x - 8y - 7y + 2 = 0. 13. Vypočítejte vzdálenost rovin ρ: 2x - y + z - 5 = 0 a ψ: 4x - 2y + 2z - 13 = 0. 14. Vypočítejte vzdálenost přímek p(A, u), q(B, v), jestliže A[2; -1; -1], B[5; 1; 3], u = (2; 0; 1) a v = (4; 0; 2). 15. Vypočítejte vzdálenost přímek p(A, u), q(B, v), je-li A[2; 2; 0], B[4; -1; 3], u = (-2; 3; 1) a v = (-1; 2; 1).
Výsledky: 1. 11x - 7y - 10z + 15 = 0 3. mimoběžky 5. přímka p leží v rovině ρ 7. p: x = 4, y = t, z = -1 + t 11. d = 35 d=
15.
2. ρ: x - 2y + z + 4 = 0. 4. různoběžné P[0; -4; 0] 6. různoběžné, průsečnice p: x = -2 + 5t, y = t, z = 3 - 4t 8. φ ≈ 8° 9. φ ≈ 1° 10. φ ≈ 67° 12. d ≈ 4,85
13. d ≈ 1,63
14. d = 3
4 3 3
PRACOVNÍ LISTY
3. ROČNÍK
