1 P E N D A H U L U A N

1

PENDAHULUAN

Pemetaan (fungsi) f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu hubuungan yang memasangkan setiap unsur di A dengan tepat satu unsur di B. Jika a ∈ A dan pasangannya b ∈ B, maka ditulis f(a) = b, dengan b dinamakan peta a oleh f dan sebaliknya a disebut prapeta b. himpunan A disebut daerah asal dan himpunan B disebut daerah kawan. Himpunan bagian B yang setiap unsurnya merupakan peta unsur-unsur A disebut daerah hasil pemetaan f. Selanjutnya, pemetaan f dikatakan surjektif (onto atau pada) jika untuk setiap b ∈ B, terdapat a ∈ A sedemikian sehingga f(a) = b. artinya, setiap unsur B mempunyai prapeta. Pemetaan f disebut injektif (satu-satu) jika untuk sebarang a1, a2 ∈ A dengan a1 ≠ a2 dan f(a1) = b1 dan f(a2) = b2, maka b1 ≠ b2. Dengan kata lain, kalau f(a1) = f(a2) amak a1 = a2. Suatu pemetaan f dikatakn bijektif jika f surjektif dan injektif. 1.1.Transformasi pada Bidang Definisi 1. Transformasi pada bidang V adalah pemetaan ada V yang bijektif. ■ Contoh 1. Misalkan A ∈ V. Terdapat relasi T : V → V, yang didefenisikan oleh: a. T(A) = A b. Jika P ≠ A, maka T(P) = Q, dengan Q titik tengah 𝐴𝑃. Periksa apakah T suatu transformasi? Penyelesaian: Dari (a), jelas bahwa A memiliki peta yaitu A itu sendiri.

1 | Geometri Transformasi Blog: aswhat.wordpress.com E-mail: [email protected]

Dari (b), ambil sebarang titik R ≠ A dengan R ∈ V. maka ada satu garis yang melalui A dan R, 𝐴𝑅 sehingga terdapat dengan tunggal S, dengan S adalah titik antara A dan R, sehingga 𝐴𝑆 = 𝑆𝑅 . Selanjutnya, T trasnformasi jika T surjektif dan injektif. 1). Akan ditunjukkan T surjektif Diketahui A ∈ V. Misal R ∈ V. Maka ada dua kemungkinan yaitu: 1. R = A, maka T(R) = A atau T(A) = R. 2. R ≠ A , maka terdapat M yang merupakan titik tengah 𝐴𝑅 sehingga T(R) = M. Artinya, R adalah prapeta dari M. Dari point (1) dan (2) dapat dikatakan bahwa setiap titik di V memiliki prapeta yang juga di V. Kesimpulannya, T surjektif. 2). Akan ditunjukkan T injektif. Untuk menyelidiki T injektif, ambil dua titik P dan Q, dengan P ≠ A, Q ≠ A, dan P ≠ Q, dan P, Q, dan A tidak segaris atau kolinear (tidak linear). Akan dilihat apakah T(P) ≠ T(Q)? Andaikan T(P) = T(Q). Berdasarkan point (b), maka T(P) ∈ 𝐴𝑃 dan T(Q) ∈ 𝐴𝑄 . 𝐴𝑃 dan 𝐴𝑄 memiliki dua titik sekutu yaitu A dan T(P) = T(Q). Artinya, 𝐴𝑃 dan 𝐴𝑄 berimpit. Perhatikan bahwa T(P) = Q ∈ 𝐴𝑃 dan T(Q) = P ∈ 𝐴𝑄 . Artinya, garis A, P, dan Q segaris. Hal ini berlawanan dengan permisalan bahwa P, Q, dan A tidak segaris. Jadi pengandaian T(P) = T(Q) tidak tepat. Haruslah T(P) ≠ T(Q). Kesimpulan, T injektif. Karena T surjektif dan injektif maka T bijektif. Jadi T transformasi. ■


Contoh 2. Diketahui suatu bidang V. Misalkan T adalah padanan yang mengaitkan setiap titik P dengan P* yang letaknya satu satuan dari P dengan arah sumbu-x positif. Selidiki apakah T suatu transformasi? Penyelesaian

Misalkan P = (x, y). Maka T(P) = P*, dan P* = (x + 1, y). Jelas daerah asal T adalah seluruh bidang V. 1). Akan ditunjukkan T surjektif Misalkan A (x, y) sebarang, maka akan ditunjukkan apakah A memiliki prapeta oleh T. Misalkan B = (x*, y*) adalah prapeta dari A oleh T. Maka haruslah berlaku T(B) = (x* + 1, y*). Sehingga

x = x* + 1 ⇒ x* = x – 1. y = y* ⇒ y* = y

Jadi, T(B) = T(x*, y*) = T((x – 1) + 1, y) = (x, y). Karena x* dan y* selalu ada untuk setiap nilai x dan y maka B pasti selalu ada, sehingga T(B) = A. Karena A (x, y) adalah sebarang titik dalam V maka setiap titik di V memiliki prapeta. Kesimpulan T surjektif. 2). Akan ditunjukkan T injektif Misalkan P(x1, y1) dan Q(x2, y2) dengan P ≠ Q. Akan diperiksa apakah T(P) ≠ T(Q). Jelas bahwa T(P) = (x1 + 1, y1) dan T(Q) = (x2 + 1, y2).


Untuk T(P) = T(Q), maka (x1 + 1, y1) = (x2 + 1, y2) x1 + 1 = x2 + 1, dan y1 = y2. ⇒ x1 = x2 dan y1 = y2. Artinya P = Q. Hal ini bertentangan dengan permisalan P ≠ Q. Jadi haruslah T(P) ≠ T(Q). Kesimpulan T injektif. Karena T surjektif dan injektif maka T bijektif. Jadi T transformasi. ■ Contoh 3. Suatu fungsi F: R2 → R2, dinyatakan dengan F(x, y) = (2x, y +3). Buktikan F adalah suatu transformasi. Bukti 1). F surjektif sebab jika diambil sebarang (c, d) ∈ R2 maka terdapat (a, b) ∈ R2 yaitu

 a, b   

1  c, d  3  , sedemikian sehingga 2 

1   1  F  a , b   F  c , d  3    2  c, d  3  3    c , d  2   2 

Kseimpulan F surjektif. 2). F injektif sebab jika F(a, b) = F(c, d) maka (2a, b + 3) = (2c, d + 3) 2a = 2c ⇒ a = c, dan b + 3 = d + 3 ⇒ b = d. Sehingga (a, b) = (c, d). Kesimpulan F injektif. Karena F surjektif dan injektif maka F bijektif. Jadi F transformasi. ■


1.2.Notasi Geometri Beberapa notasi geometri yang lazim digunakan dalam geometri (dalam hal ini geometri Euclid) adalah sebagai berikut:  1. AB adalah sebuah garis tunggal yang ditentukan oleh dua titik A dan B. 2. A – B – C dibaca “titik B diantara titik A dan titik C”, yang artinya A – B – C merupakan tiga titik yang berbeda yang segaris sehingga mempunyai urutan A, B, C atau C, B, A. 3. AB adalah ruas garis dan merupakan himpunan yang memuat titik A, titik B, dan semua titik diantara A dan B. 4. AB adalah sebuah bilangan yang menyatakan jarak dari titik A ke titik B.  5. AB adalah sebuah sinar dan merupakan himpunan yang memuat semua titik pada AB dan sebuah titik P sehingga A – B – P.

 6. ABC adalah sudut ABC dan merupakan gabungan dari sinar BA dan sinar  BC .

7. ABC adalah segitiga ABC dan merupakan gabungan tiga ruas garis yang tidak segaris yaitu AB , BC , dan AC . 8. u ABC adalah ukuran derajat ABC . 9. ≅ dibaca “kongruen dengan” dan digunakan untuk berbagai keperluan. Misalnya AB ≅ CD jika dan hanya jika AB = CD.


1 P E N D A H U L U A N

Recommend Documents