1 Overzicht voorkennis algebraïsch rekenen

WPP 5.1 Overzicht voorkennis

1 Overzicht voorkennis algebraïsch rekenen 1

Merkwaardige producten, ontbinden in factoren

1.1 Merkwaardige producten

( a + b ) = a 2 + 2ab + b2 3 ( a + b ) = a 3 + 3a 2 b + 3ab2 + b3

( a − b ) = a 2 − 2ab + b2 3 ( a − b ) = a 3 − 3a 2 b + 3ab2 − b3

2

2

( a − b )( a + b ) = a 2 − b2 ( a − b ) ( a 2 + ab + b2 ) = a 3 − b3 ( a + b ) ( a 2 − ab + b2 ) = a 3 + b3 ( a − b ) ( a n −1 + a n −2 b + ... + abn −2 + b n −1 ) = a n − bn ( a + b ) ( a n −1 − a n −2 b + ... − abn −2 + bn −1 ) = a n + bn ( n oneven ) 1.2 Ontbinden in factoren

a 2 + 2ab + b 2 = ( a + b )

a 2 − 2ab + b 2 = ( a − b )

2

a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b3 = ( a + b )

2

a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b3 = ( a − b )

3

3

a 2 − b 2 = ( a − b )( a + b ) a 3 − b3 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 )

a 3 + b3 = ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 )

a n − b n = ( a − b ) ( a n −1 + a n − 2 b + ... + ab n − 2 + b n −1 ) a n + b n = ( a + b ) ( a n −1 − a n − 2 b + ... − ab n − 2 + b n −1 )

( n oneven )

De drieterm ax 2 + bx + c ontbinden : 1. D > 0 ⇒ ax 2 + bx + c = a ⋅ ( x − x1 ) ⋅ ( x − x 2 ) met x1 en x 2 de oplossingen van ax 2 + bx + c = 0. 2. D = 0 ⇒ ax 2 + bx + c = a ⋅ ( x − x1 )

2

met x1 de oplossing van ax 2 + bx + c = 0 3. D < 0 ⇒ ax 2 + bx + c is niet te ontbinden

1


2

Eerstegraadsvergelijkingen Definitie Een vergelijking van de vorm ax + b = 0 met a ∈ lR 0 en b ∈ lR noemt men een eerstegraadsvergelijking in x. Het oplossen van een eerstegraadsvergelijking

ax + b = 0 ⇔ ax = − b −b ⇔x= a ⎧ −b ⎫ Oplv.V = ⎨ ⎬ ⎩a ⎭ 3

Tweedegraadsvergelijkingen Definities Een vergelijking van de vorm ax² + bx + c = 0 met a ∈ lR 0 en b,c ∈ lR noemt men een tweedegraadsvergelijking in x.

Een vergelijking van de vorm ax4 + bx² + c = 0 met a ∈ lR 0 en b,c ∈ lR noemt men een bikwadratische vergelijking in x. Benamingen

-

Vierkantsvergelijking of kwadratische vergelijking in x: een tweedegraadsvergelijking in x

-

Standaardvorm van een tweedegraadsvergelijking: ax² + bx + c = 0 met a, b en c als coëfficiënten.

-

Oplossing van een (tweedegraads)vergelijking: een reëel getal dat aan de (tweedegraads)vergelijking voldoet

-

Oplossingenverzameling van een (tweedegraads)vergelijking: de verzameling van alle oplossingen van de (tweedegraads)vergelijking

-

Gelijkwaardige vergelijkingen: vergelijkingen met dezelfde oplossingenverzameling

Formules

D = b² − 4ac noemen we de discriminant van de tweedegraadsvergelijking ax² + bx + c = 0. ⎧⎪ − b + D − b − D ⎫⎪ Als D > 0, dan is Oplv.V = ⎨ , ⎬. 2a ⎪⎭ ⎪⎩ 2a ⎧ −b ⎫ Als D = 0, dan is Oplv.V = ⎨ ⎬ . ⎩ 2a ⎭ Als D < 0, dan is Oplv.V = ∅ .

2


Eigenschappen

-

-

Als x1 en x2 de oplossingen zijn van de tweedegraadsvergelijking ax² + bx + c = 0, −b c dan is de som S = x1 + x 2 = en het product P = x1 ⋅ x 2 = . a a Als x1 en x2 de oplosssingen zijn van de tweedegraadsvergelijking ax² + bx + c = 0, dan kan de drieterm ax² + bx + c ontbonden worden in a(x – x1)(x – x2).

Vergelijkingen die herleidbaar zijn tot een tweedegraadsvergelijking

-

-

4

Een bikwadratische vergelijking ax4 + bx² + c = 0 kunnen we noteren als a(x²)² + bx² + c = 0. Door x² te vervangen door y bekomen we de tweedegraadsvergelijking ay² + by + c = 0. Een vergelijking van de vorm a ⋅ [f(x)] 2 + b ⋅ f(x) + c = 0 kan herleid worden naar een tweedegraadsvergelijking door f(x) te vervangen door y.

Het delen van veeltermen

4.1 De Euclidische deling

-

Veelterm in één veranderlijke: a n x n + a n −1 x n −1 + ... + a1 x + a 0 met n ∈ IN en a n , a n −1 , ..., a1 , a 0 ∈ lR. In deze veelterm is x de veranderlijke.

-

Coëfficiëntenrij van de veelterm: de rij getallen a n , a n −1 , ..., a1 , a 0 . In deze rij is a 0 de constante term.

-

Een veelterm herleiden: de gelijksoortige termen in een veelterm optellen

-

Een veelterm rangschikken: de termen in een herleide veelterm zo opschrijven dat de opeenvolgende exponenten van de veranderlijke ofwel dalen, ofwel stijgen

-

Graad van een herleide veelterm in één veranderlijke: de hoogste exponent van de veranderlijke.

-

Volledige veelterm in één veranderlijke: alle exponenten van de veranderlijke van de hoogste exponent tot en met de exponent nul komen in de veelterm voor en alle coëfficiënten zijn verschillend van nul.

Formule voor de Euclidische deling van veeltermen

Als A(x) en B(x) twee veeltermen zijn, waarbij B(x) verschillend is van de nulveelterm, dan is de veelterm Q(x) het quotiënt en de veelterm R(x) de rest van de deling van A(x) door B(x) a.s.a A(x) = B(x) ⋅ Q(x) + R(x) met gr R(x) < gr B(x) of met R(x) = 0. Een deling van een veelterm door een veelterm waarbij de rest nul is, noemen we een opgaande deling. Bij een opgaande deling is de veelterm A(x) deelbaar door de veelterm B(x).

3


4.2 Deelbaarheid door x – a

-

Quotiëntbepaling bij deling door x – a

De coëfficiëntenrij van het quotiënt bij de deling van a 3 x 3 + a 2 x 2 + a1 x + a 0 door x − a, bepalen we met de regel van Horner. a3 a

q2

a2

a1

a0

aq 2

aq1

aq 0

q1

q0

→ coefficientenrij van het deeltal

R → rest

↓

coefficientenrij van het quotient

Het quotiënt is q 2 x 2 + q1 x + q 0 en de rest is R.

a 3 x 3 + a 2 x 2 + a1 x + a 0 = ( x − a ) ( q 2 x 2 + q1 x + q 0 ) + R

-

Kenmerk van deelbaarheid door x − a

De veelterm A(x) is deelbaar door x – a 8 A(a) = 0 -

Eigenschappen

De rest van de deling van een veelterm A(x) door x − a is gelijk aan de getalwaarde van A(x) voor x = a. Deze eigenschap noemen we de reststelling. Als de coëfficiëntenrij a n , a n −1 , ..., a1 , a 0 van een veelterm A(x) uitsluitend gehele getallen bevat en x – a een deler is van A(x) waarbij a een geheel getal is, dan is a een deler van de constante term a 0 . Voor twee verschillende getallen a en b geldt: A(x) is deelbaar door x – a en door x – b a.s.a. A(x) is deelbaar door (x – a)(x – b). -

Voorbeeld Los 6x 3 − 11x 2 − 19x − 6 = 0 op naar x in lR. Oplossing Via het rekentoestel zoeken we een deler van de vorm x − a. Met de regel van Horner delen we 6x 3 − 11x 2 − 19x − 6 door x − 3.

4


6

−11

−19

−6

18

21

6

7

2

0

3 6

6x 3 − 11x 2 − 19x − 6 = 0 ⇔ ( x − 3) ( 6x 2 + 7x + 2 ) = 0 ⇔ x − 3 = 0 of

6x 2 + 7x + 2 = 0 −1 −2 of x = ⇔ x = 3 of x = 2 3 ⎧ −2 −1 ⎫ Oplv.V = ⎨ , , 3⎬ ⎩3 2 ⎭ Nog even dit!

Sommige hogeregraadsvergelijkingen kunnen vlot opgelost worden via ontbinding in factoren. Voorbeeld

Los x 3 − 4x 2 − x + 4 = 0 op naar x in lR. Oplossing

x 3 − 4x 2 − x + 4 = 0 ⇔ x2 ( x − 4) − ( x − 4) = 0 ⇔ ( x − 4 ) ⋅ ( x 2 − 1) = 0 ⇔ x − 4 = 0 of ⇔ x = 4 of ⇔ x = 4 of

( een product is nul a.s.a. minstens één van de factoren is nul )

x −1 = 0 2

x =1 x = 1 of x = −1 2

Oplv.V = {−1, 1, 4}

5


2 Overzicht voorkennis reële functies 1

Functies

1.1 Definities

-

Een verband tussen twee veranderlijken zo dat bij elke waarde van de onafhankelijk veranderlijke hoogstens één waarde van de afhankelijk veranderlijke behoort, noemt men een functie. Als twee grootheden met elkaar in verband staan, dan noemen we de grootheid waarvoor men waarden kiest, de onafhankelijk veranderlijke en de grootheid waarvan men de waarden bepaalt de afhankelijk veranderlijke. Een functie waarbij de twee veranderlijken reële getallen zijn, noemen we een reële functie. In het functievoorschrift f(x) = y is x de invoerwaarde en y de functiewaarde.

-

De verzameling van alle invoerwaarden van een functie waarvoor de functiewaarde bestaat, noemt men het domein van de functie.

-

De verzameling van alle functiewaarden van een functie, noemt men het bereik van de functie.

1.2 Benamingen

-

Nulwaarde: een invoerwaarde waarvoor de functiewaarde nul is

-

Nulpunt: een snijpunt van de grafiek van de functie met de x-as

-

Als in een interval bij toenemende invoerwaarden de functiewaarden groter worden, zeggen we dat de functie stijgend is in dit interval. Als in een interval bij toenemende invoerwaarden de functiewaarden kleiner worden, zeggen we dat de functie dalend is in dit interval. Als in een interval al de functiewaarden gelijk zijn, zeggen we dat de functie constant is in dit interval.

2

Eerstegraadsfuncties

-

Een functie met een voorschrift van de vorm f(x) = mx + q, met m ∈ lR 0 en q ∈ lR noemt men een eerstegraadsfunctie. m is de coëfficiënt van x en q is de constante.

-

Een functie met een voorschrift van de vorm f(x) = q is een constante functie.

-

Eerstegraadsfuncties en constante functies zijn lineaire functies.

6


-

Grafiek van f(x) = mx + q

De grafiek van f(x) = mx + q met m, q ∈ lR is een rechte. Een functie f(x) = mx + q met m > 0 is stijgend. Een functie f(x) = mx + q met m < 0 is dalend. De grafiek van een functie f(x) = mx ligt dichter bij de y-as, naarmate |m| groter wordt. In de grafiek van de functie f(x) = mx + q is m de richtingscoëfficiënt, is ( 0, q ) de coördinaat

−q m

q

⎛ −q ⎞ van het snijpunt met de y-as en is ⎜ , 0 ⎟ de ⎝m ⎠ coördinaat van het nulpunt.

-

Tekenschema

Voor elke eerstegraadsfunctie f(x) = mx + q geldt volgend tekenschema: -∞

x f(x) = mx + q -

tegengesteld teken van m

−q m 0

+∞ teken van m

Verloopschema

m>0 x f(x)

m<0 x f(x)

Ê

f is stijgend in lR. -

Ì

f is dalend in lR.

Voorbeeld

f(x) = −3x + 6 dom f = lR en ber f = lR

Grafiek van f

De nulwaarde van f is 2. Het nulpunt van f is het punt met coördinaat (2, 0). Tekenschema

x −∞ f(x) +

2 0

+∞ –

Verloopschema

x f(x)

Ì y = −3x + 6 is de vergelijking van de grafiek van f .

f is dalend in lR.

7


3

Tweedegraadsfuncties

-

Een functie met een voorschrift van de vorm f(x) = ax² + bx + c, met a ∈ lR 0 en b, c ∈ lR noemt men een tweedegraadsfunctie.

-

Grafiek van f(x) = ax² + bx + c

De grafiek is een parabool. Als a > 0, dan is de parabool een dalparabool. Als a < 0, dan is de parabool een bergparabool. Een dalparabool heeft een positieve kromming en een bergparabool heeft een negatieve kromming. De parabool wordt smaller naarmate |a| groter wordt. De parabool snijdt de y-as in het punt met coördinaat (0,c). De symmetrieas is de rechte met vergelijking x =

−D 4a

−b . 2a

−b 2a

De top van de parabool heeft als coördinaat ⎛ −b ⎛ −b ⎞ ⎞ ⎛ −b −D ⎞ 2 ⎟⎟. ⎜ , ⎟ met D = b − 4ac , of nog, ⎜ , f ⎜ ⎝ 2a 4a ⎠ ⎝ 2a ⎝ 2a ⎠ ⎠ -

Ligging van de top ten opzichte van de assen

a>0 D=0

D>0

x1

D<0

x2

x1 = x 2

a<0 D=0

D>0

x1 = x 2

x1

x2

8

D<0


-

-

Bereik

f (x) = ax 2 + bx + c met a > 0

f (x) = ax 2 + bx + c met a < 0

⎡ ⎛ −b ⎞ ⎡ ber f = ⎢ f ⎜ ⎟ , + ∞ ⎢ , of nog, ⎣ ⎝ 2a ⎠ ⎣ ⎡ −D ⎡ ber f = ⎢ , + ∞⎢ ⎣ 4a ⎣

⎤ ⎛ −b ⎞⎤ ber f = ⎥ −∞, f ⎜ ⎟ ⎥ , of nog, ⎝ 2a ⎠ ⎦ ⎦ −D ⎤ ⎤ ber f = ⎥ −∞, 4a ⎥⎦ ⎦

Verloopschema

f (x) = ax 2 + bx + c met a > 0 -∞ x f(x)

-

Ì

f (x) = ax 2 + bx + c met a < 0

−b 2a ⎛ −b ⎞ f⎜ ⎟ ⎝ 2a ⎠ min.

+∞

-∞ x

Ê

Ê

f(x)

−b 2a ⎛ −b ⎞ f⎜ ⎟ ⎝ 2a ⎠ max.

Tekenschema

f(x) = ax² + bx + c met D > 0 x f(x)

-∞ teken van a

x1 0

tegengesteld teken van a

x2 0

f(x) = ax² + bx + c met D = 0 x -∞ f(x) teken van a

x1 0

+∞ teken van a

f(x) = ax² + bx + c met D < 0 x -∞ f(x) -

+∞ teken van a

Voorbeeld

f(x) = –x² – 2x + 3 a = −1 ⇒ de parabool een bergparabool De symmetrieas is de rechte met vergelijking s: x = −1 . De top van de parabool heeft als coördinaat (−1, 4). De parabool snijdt de y-as in het punt met coördinaat (0, 3).

ber f = ]−∞, 4]

9

+∞ teken van a

+∞

Ì


Verloopschema

x

–1

-∞ Ê

f(x)

+∞ Ì

4 max.

Tekenschema

D = (−2)² – 4.(−1).3 = 16 x1 = −3 en x2 = 1 x f(x)

−3 0

-∞ –

1 0

+

+∞ –

Grafiek van f

y = –x² – 2x + 3 is de vergelijking van de grafiek van f. -

Toepassing

Los de ongelijkheid −2x 3 + x 2 + 15x − 18 > 0 op naar x. Oplossing

De veelterm − 2x 3 + x 2 + 15x − 18 bepaalt de functie f (x) = −2x 3 + x 2 + 15x − 18. We bepalen de nulwaarden van f . f (x) = 0 ⇔ −2x 3 + x 2 + 15x − 18 = 0 Om het linkerlid van deze derdegraadsvergelijking te ontbinden, maken we gebruik van het rekenschema van Horner. −2 2 −2

1

15

−18

−4

−6

18

−3

9

0

10


− 2x 3 + x 2 + 15x − 18 = 0 ⇔ (x − 2)(−2x 2 − 3x + 9) = 0 ⇔ x − 2 = 0 of

− 2x 2 − 3x + 9 = 0

3 2 3 De nulwaarden van f zijn − 3, en 2. 2 ⇔ x = 2 of

x = −3 of x =

Tekenschema

x x−2 −2x − 3x + 9 f(x) 2

−3

-∞ − − +

2

3 2

− 0 0

− + −

− 0 0

− − +

0 − 0

+∞ + − −

⎤3 ⎡ Besluit : Oplv.O = ]−∞, − 3[ ∪ ⎥ , 2 ⎢ ⎦2 ⎣

~

4

Studie van enkele functies

-

Een functie waarbij alle tegengestelde invoerwaarden dezelfde functiewaarde hebben, noemt men een even functie. Een functie waarbij alle tegengestelde invoerwaarden tegengestelde functiewaarden hebben, noemt men een oneven functie.

-

Buigpunt van een grafiek: het punt van de grafiek waar de kromming van teken verandert Buigraaklijn van een grafiek: de raaklijn aan de grafiek waarbij het raakpunt een buigpunt is

-

Grafieken

De grafiek van de functie f (x) = x 3

De grafiek van de functie f (x) = 3 x

De grafiek van de functie f (x) = x

De grafiek van de functie f (x) =

11

1 x


-

Symmetrie in de grafiek van functies

• symmetrie t.o.v. de y-as De y-as is een symmetrieas van de grafiek van f 8

∀x ∈ dom f : f ( − x ) = f ( x ) • symmetrie t.o.v. de oorsprong De oorsprong van het assenstelsel is een symmetriecentrum van de grafiek van f 8

∀x ∈ dom f : f ( − x ) = −f ( x ) -

Een grafiek transformeren • Als we de grafiek van een functie f verticaal verschuiven met een waarde k, dan is

f

g(x) = f(x) + k het functievoorschrift van het schuifbeeld.

g

• Als we de grafiek van een functie f horizontaal

f

verschuiven met een waarde k, dan is g(x) = f(x - k) het functievoorschrift van het

g

schuifbeeld. • Als we de grafiek van een functie f verticaal uitrekken of samendrukken met een waarde k ( k ∈ lR 0 ) dan is g(x) = k ⋅ f(x) het functievoorschrift van de vervormde grafiek. Als k > 1 dan wordt de grafiek van f verticaal uitgerokken. Als k < 1 dan wordt de grafiek van f verticaal samengedrukt. Bij de transformatie van f naar g volgens de formule g(x) = k ⋅ f (x) blijven de nulpunten behouden.

12

f g

f g


3 Overzicht voorkennis goniometrie 1

De goniometrische cirkel Kwadrant: één van de gebieden waarin het vlak verdeeld is door een cartesiaans assenstelsel

I, II, III en IV duiden respectievelijk het eerste, het tweede, het derde en het vierde kwadrant aan. Goniometrische cirkel: een georiënteerde cirkel die als middelpunt de oorsprong van het assenstelsel heeft en als straal de lengte-eenheid. Beeldpunt van een hoek: het snijpunt van de goniometrische cirkel en het eindbeen van de middelpuntshoek waarvan het beginbeen samenvalt met het positief deel van de x-as n In de goniometrische cirkel is B is het beeldpunt van de hoek AOB.

~ 2

Goniometrische getallen van een hoek Cosinus van een hoek: het eerste coördinaatgetal van het beeldpunt van de hoek op de goniometrische cirkel Sinus van een hoek: het tweede coördinaatgetal van het beeldpunt van de hoek op de goniometrische cirkel

Tangens van een hoek: het quotiënt van de sinus en de cosinus van de hoek tan α =

sin α cos α

tan α is niet gedefinieerd indien cos α gelijk is aan nul, dus als α = 90° + k ⋅ 180°, k ∈ ].

Cotangens van een hoek: het quotiënt van de cosinus en de sinus van de hoek cot α =

cos α sin α

cot α is niet gedefinieerd indien sin α gelijk is aan nul, dus als α = k ⋅ 180°, k ∈ ].

Gevolg

tan α =

1 cot α

cot α =

1 tan α

13


Hoofdformule

Voor elke hoek α geldt: cos α + sin α = 1 2

3

2

Grenswaarden en teken van de goniometrische getallen van een hoek

α

0°

eerste kwadrant

90°

tweede kwadrant

180°

derde kwadrant

270°

vierde kwadrant

360°

cos α

1

+

0

–

–1

–

0

+

1

sin α

0

+

1

+

0

–

–1

–

0

tan α

0

+

–

0

+

–

0

cot α

+

0

–

+

0

−1 ≤ cos α ≤ 1

−∞ < tan α < +∞

−1 ≤ sin α ≤ 1

−∞ < cot α < +∞

–

Ook onderstaande waardentabel is nuttig (vanwege zijn exacte mode).

~

4

α

0°

cos α

1

sin α

0

tan α

0

30°

45°

3 2 1 2

2 2 2 2

3 3

1

Meetkundige betekenis van de tangens van een hoek

In een vergelijking van de vorm y = mx is de richtingscoëfficiënt m van de rechte v gelijk aan de tangens van de hoek bepaald door het positief deel van de x-as en de rechte v.

14

60° 1 2 3 2

3

90° 0 1


~

5

Goniometrische getallen van verwante hoeken

•

Gelijke hoeken

Gelijke hoeken hebben dezelfde goniometrische getallen. cos(α + k ⋅ 360°) = cos α sin(α + k ⋅ 360°) = sin α tan(α + k ⋅ 360°) = tan α

X

cot(α + k ⋅ 360°) = cot α met k ∈ ]

•

Tegengestelde hoeken

Tegengestelde hoeken hebben dezelfde cosinus en een tegengestelde sinus. cos(−α ) = cos α sin(−α) = − sin α tan(−α ) = − tan α cot(−α ) = − cot α

•

Supplementaire hoeken

Supplementaire hoeken hebben een tegengestelde cosinus en dezelfde sinus. cos(180° − α ) = − cos α sin(180° − α) = sin α tan(180° − α ) = − tan α cot(180° − α ) = − cot α

•

Complementaire hoeken

De sinus van een hoek is gelijk aan de cosinus van zijn complement. De cosinus van een hoek is gelijk aan de sinus van zijn complement. cos(90° − α ) = sin α sin(90° − α ) = cos α tan(90° − α ) = cot α cot(90° − α) = tan α

15


6

Driehoeksmeting van de rechthoekige driehoek

• Sinus van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek: het quotiënt van de overstaande rechthoekszijde van die scherpe hoek en de schuine zijde. • Cosinus van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek: het quotiënt van de aanliggende rechthoekszijde van die scherpe hoek en de schuine zijde. • Tangens van een scherpe hoek in een rechtoekige driehoek: het quotiënt van de overstaande rechthoekszijde en de aanliggende rechthoekszijde van die scherpe hoek.

~

7

b a c cos β = a b tan β = c

sin β =

Driehoeksmeting van de willekeurige driehoek

•

Sinusregel

In een driehoek ABC met omgeschreven cirkel c (O, r ) geldt: a b c = = = 2r sin α sin β sin γ •

Cosinusregel

In een driehoek ABC geldt: c(O, r)

a² = b² + c² − 2bc ⋅ cos α b² = a² + c² − 2ac ⋅ cos β c² = a² + b² − 2ab ⋅ cos γ

16

Erratum bij de theorie van WPP 5.1 Reële functies Bladzijde 12, lijn 16 : 1 − 5 = −4 ; Op de grafiek van h ontbreekt het bolletje in (1, −4). Bladzijde 20, opdracht 9, Gegeven : f ( x ) = 2x 2 − 3x + 1 in plaats van 2x 3 − 3x + 1 Bladzijde 179, lijn 12, blz. 262 in plaats van blz. 000 Bladzijde 180 blokje 2 'Anticomplementaire hoeken' moet blokje 3 zijn Bladzijde 198, bovenaan de twee kolommen : 'Verschuif je van f(x) = sin x' moet worden 'Vervorm je van f(x) = sin x' Onderaan bladzijde 206 : afschrappen van de zin 'Omdat het gaat over een horizontale samendrukking is b positief '. Vervangen door : 'Omdat b ∈ lR 0+ is b = 2'. α α Bladzijde 226, lijn 16 : Zo is sin α = 2 ⋅ sin ⋅ cos . 2 2 2 2 Bladzijde 256 punt 1.2 : a − b = ( a + b )( a − b ) Bladzijde 258 punt 2.2 : boven de drie bergparabolen moet a < 0 staan Bladzijde 259 : in het rechter verloopschema moeten de pijltjes omgewisseld worden Bladzijde 260 : Als k > 0 dan verschuift de grafiek van f naar boven. Als k < 0 dan verschuift de grafiek van f naar onder. Als k > 0 dan verschuift de grafiek van f naar rechts. Als k < 0 dan verschuift de grafiek van f naar links.

Erratum bij de eindoplossingen van WPP 5.1 Reële functies blz 263 – 284 1.1 Reële functies Opdracht 3 nummer 2. afschrappen van : maar f ( x ) = −g ( x ) 2.2 Homografische functies ⎤4 ⎤ Opdracht 8 nummer 3. dom k = ⎥ , 7 ⎥ ⎦3 ⎦

2.3 Rationale functies Opdracht 9 : de gegeven oplossingen zijn juist, maar de nummeringen zijn fout.

100 100 100 100 PE = PS = + t t−4 t t−4 ⎛ 100 100 ⎞ + 2. 14 ⋅ ⎜ ⎟ = 100 ⇒ t = 30 t −4⎠ ⎝ t 3. P (16 ) ≈ 204 en ...

1. PH =

15 ⎡ ⎤ Opdracht 14 nummer 5. x ∈ ⎥ −∞, ⎢ ∪ ]5, + ∞[ 4⎣ ⎦

Opdracht 15 nummer 2. x ∈ ]−3, − 2[ ∪ ]3, + ∞[ en nummer 3. x ∈ ]−∞, − 4[ ∪ ]3, + ∞[

Opdracht 18 nummer 3. V ( 4 ) is 5, 6 maal groter dan v ( 4 ) 3.1 Rekenen met wortelvormen en machten

Opdracht 4 nummer 4. 5 ⋅ 4 5 Opdracht 13 nummer 7. a

231 80

en nummer 9. a11

Opdracht 17 nummer 2. 8,614271241.1044 3.3 Irrationale functies

Opdracht 3 nummer 3. k ≥ 0,92582

6V 30t + 60 en nummer 2. d ( t ) = 3 π π Opdracht 5 nummer 2. Er zijn twee onafhankelijk veranderlijken.

Opdracht 4 nummer 1. d ( V ) =

3

4.1 Goniometrische getallen van een hoek π 13π rad 2. rad 3. 3π rad 12 6 2. − tan 2 α 3. − cos α Opdracht 19 1. 0 Opdracht 22 1. x = 31°26 '7, 27"+ k ⋅ 180° of .... 4.2 Goniometrische functies

Opdracht 8

1.

4.

− 5π rad 6

5. − 5π rad

Opdracht 24 het laatste koppel moet zijn (4,913 ; −4,913) Toevoegen : Opdracht 25 B Toevoegen : Opdracht 26 D 4.3 Goniometrisch rekenen

Opdracht 22 3. 2 sin 50° sin 65°

6. − 2 cos 67° cos 33°

Opdracht 34 3. cos130° + cos100° 4.4 Goniometrische vergelijkingen en ongelijkheden

Opdracht 1 in nummer 1 en nummer 5 : telkens 0 toevoegen Opdracht 12 nummer 5 : toevoegen van 0, 615 + kπ ; − 0, 615 + kπ Opdracht 13 nummer 3 : afschrappen van wat er staat en schrijven 2kπ en Opdracht 13 nummer 5 : toevoegen van 0, 570 + kπ ; 1, 001 + kπ

π + 2kπ met k ∈ ] 2

1 Overzicht voorkennis algebraïsch rekenen

Recommend Documents