N´ eh´ any t¨ ort´ enelmi m´ erf¨ oldk˝ o
Mezopot´amia a II. ´evezred el˝ott.
´ nak algebra ´ ja. Hammurapi kora
1
M´ar a I.e.. VIII. ´evezred elej´en is lakott volt a kellemetlen ¨ okol´ ogiai viszonyok ellen´ere.
2
Kev´es ´asv´anyi nyersanyag, puszt´ıt´ o ´arvizek: ¨ oz¨ onvizek. Az els˝ o v´arosok (falvak) kultikus helyeken 7000-t˝ ol:
3
1
Klukovits Lajos
2 3
Dzsarmo (Kurdiszt´an) kb. 150 lakos, Jerico (Palesztina) kb. 2000 lakos 6000 k¨ or¨ ul, Ur (D´el-Mezopot´amia) kb. 34.000 (!) lakos 2800 k¨or¨ ul.
SZTE TTIK Bolyai Int´ ezet
Az itt ´el˝ o n´epek 1.
2013. febru´ar 13.
Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Int´ ezet)
Algebra t¨ ort´ enet
2013. febru´ ar 13.
1 / 44
1
Az ˝ oslak´ ok ismeretlenek.
2
Az els˝ o ismert bev´andorl´ ok a SUMEROK.
3
Nem tudjuk merr˝ ol j¨ ottek,
4
biztosan nem tartoztak a semi-, ill. az indoeur´ opai n´epek csal´adj´aba.
Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Int´ ezet)
N´ eh´ any t¨ ort´ enelmi m´ erf¨ oldk˝ o
Algebra t¨ ort´ enet
Mezopot´amia a II. ´evezred el˝ott.
Az itt ´el˝o n´epek 2.
Az itt ´el˝ o n´epek kult´ ur´aja.
2 3
V´aros´allamokat alap´ıtottak, a IV. ´evezred v´eg´en ¨osszeolvadtak az ˝ oslak´ okkal. Megb´ızhat´o r´eg´eszeti (´ır´asos) forr´asok kb. 2750-t˝ ol vannak, z¨ ommel a v´aros´allamok harcair´ol a hegem´ oni´a´ert.
1
Ismeretlen eredet˝ u k´ep´ır´as.
2
2600 k¨ or¨ ul: a Gilgames eposz, az els˝ o irodalmi alkot´as. ¨ onv´ız legend´ak. Oz¨
3
1 2
4
P´eld´aul Uruk ↔ Kis, ´es Ur ↔ Lagas.
5
2500-t´ ol Ur, a kor legnagyobb lakoss´ag´ u v´arosa, hegem´ oni´aja.
6
2400 k¨ or¨ ul Lagas a vezet˝o hatalom, az els˝ o t´arsadalmi reform: Urukagina a kistermel˝ok ´erdek´eben, majd az els˝ o k´ıs´erlet egys´eges birodalom l´etrehoz´as´ara. ´ h´ 2370 k¨ or¨ ul Sarrukin (Szargon) vezet´es´evel AKKAD od´ıt´ ok, az els˝ o ´ s´emi n´ep e t´ajon. Atveszik ´es terjesztik a sum´er kult´ ur´at.
7
Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Int´ ezet)
Algebra t¨ ort´ enet
2 / 44
N´ eh´ any t¨ ort´ enelmi m´ erf¨ oldk˝ o
Mezopot´amia a II. ´evezred el˝ott.
1
2013. febru´ ar 13.
3
2013. febru´ ar 13.
4
3 / 44
4
Fontos tal´alm´anyaik. 1 2 3
5
Mintegy 250 ilyen legenda ismert. G¨ or¨ og¨ ok: Zeusz bossz´ uja az emberi romlotts´ag miatt. Maj´ak: A gy´ek´enyen u ¨l˝ o b¨ olcsek k¨ onyve. A klasszikus” bibliai t¨ ort´enet. ” fazekaskorong, lovak haszn´alata, l´ o vontatta kerekes j´arm˝ uvek.
Kezdetleges, helyi´ert´ekes jegyeket is hordoz´ o, sz´am´ır´as: jele az 1-nek ´es a 10-nek, meg a 60 hatv´anyainak volt.
Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Int´ ezet)
Algebra t¨ ort´ enet
2013. febru´ ar 13.
4 / 44
N´ eh´ any t¨ ort´ enelmi m´ erf¨ oldk˝ o
N´ eh´ any t¨ ort´ enelmi m´ erf¨ oldk˝ o
Mezopot´amia a II. ´evezred els˝o harmad´aban
Hammurapi t¨orv´enyoszlopa.
1
2000 k¨ or¨ ul t¨obb hull´amban u ´jabb, nom´ad, h´ od´ıt´ o s´emi n´epek j¨ onnek: (ism´et) akk´adok, el´amiak, amurok/amorit´ak ´es m´asok.
2
Letelepednek, u ´jabb v´arosokat alap´ıtanak, k¨ ozt¨ uk BABILONT. Gyors lakoss´agcsere”, a sumer holt nyelv lesz, az akk´ad v´alik ´altal´anosan ” haszn´altt´a. ´ A XVIII. sz´azad elej´en HAMMURAPI megalap´ıtja az Obabiloni Birodalmat.
3
4
Hammurapi t¨orv´enyei, a XVIII. vagy a XIX sz. elej´en tal´alt´ak meg a t¨orv´enyoszlop´at Susa-ban (a forr´asok sok elt´er˝ o d´atumot tartalmaznak).
5
Ma is ´erv´enyes ´es haszn´alt matematikai eredm´enyek.
6
1600 k¨ or¨ ul a hettita h´od´ıt´ok megd¨ ontik a birodalmat. R¨ ovidesen a kassuk is j¨onnek, elterjesztik a l´ oteny´eszt´est.
7
Asszir h´od´ıt´ok.
Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Int´ ezet)
Algebra t¨ ort´ enet
2013. febru´ ar 13.
5 / 44
N´ eh´ any t¨ ort´ enelmi m´ erf¨ oldk˝ o
Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Int´ ezet)
Algebra t¨ ort´ enet
2013. febru´ ar 13.
6 / 44
2013. febru´ ar 13.
8 / 44
N´ eh´ any t¨ ort´ enelmi m´ erf¨ oldk˝ o
Mezopot´amia a II. ´evezred els˝o harmad´aban
A Behistum k˝ot´abla.
´Ir´asos eml´ekek. 1 Az els˝ o sz´amottev˝o leletegy¨ uttes: Asszurbanipal asszir uralkod´ o Ninive-i k¨onyvt´ara. 2
1870. A Behistum k˝ot´abla megtal´al´asa:
3
perzsa, asszir ´es m´ed nyelven tud´ os´ıt I. Dareiosz perzsa uralkod´ o Kamb¨ uzesz f¨ol¨otti gy˝ozelm´er˝ ol
4
A perzsa ismeret´eben megfejtett´ek a m´asik kett˝ ot, majd az asszir alapj´an az akk´adot.
Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Int´ ezet)
Algebra t¨ ort´ enet
2013. febru´ ar 13.
7 / 44
Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Int´ ezet)
Algebra t¨ ort´ enet
Aritmetika
Aritmetika
Mezopot´amiai aritmetika.
A mezopot´amiai sz´am´ır´as.
´ A mezopot´amiai sz´am´ır´as az Obabiloni Birodalom kor´aban. 60-as alap´ u — k¨ovetkezetesen helyi´ert´ekes — sz´am´ır´ast alkalmaztak. Mind¨ossze k´et jelet haszn´altak: saj´at jele az 1-nek ´es a 10-nek volt. Hi´anyoss´aga: nem volt jele a sz´amjegy hi´any´anak. A sz´amjegyek ´ır´asa. Az 1 jele, az ´ek”: ”
Egy p´elda. H
J | | | < HH J < | |
Ha eg´esz sz´am, akkor lehet p´eld´aul 1 × 603 + 10 × 602 + 20 × 60 + 5 = 253.205,
H
|
Nemcsak az 1-et, hanem a 60 b´armely eg´esz kitev˝ os hatv´any´at jel¨olhette.
vagy
A 10 jele, a sarokp´ant”: ”
vagy ak´ar
1 × 602 + 30 × 60 + 5 = 5.405,
J <
60 + 35 = 95
Ez szolg´alt a 60 b´armely eg´esz kitev˝ os hatv´anya t´ızszeres´enek jel¨ol´es´ere is. Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Int´ ezet)
HHH
J |<
Algebra t¨ ort´ enet
2013. febru´ ar 13.
is. 9 / 44
Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Int´ ezet)
Algebra t¨ ort´ enet
2013. febru´ ar 13.
10 / 44
Aritmetika
Aritmetika
A mezopot´amiai sz´am´ır´as.
A mezopot´amiai sz´am´ır´as.
´ DE ˝ok hatvanados t¨ortekkel is sz´amoltak. Ujabb hi´anyoss´ag: hatvanados vessz˝o nincs. A lehets´eges jelent´esek sz´ama n¨ ovekszik.
Neugebauer ¨ otlete. A 60-as sz´amrendszerben megadott sz´amok decim´alis jegyekkel val´ o f¨ ol´ır´as´ara Neugebauer adott meg egy m´ odszert: a 60-ados jegyeket decim´alisan ´ırjuk, ´es vessz˝ ovel v´alasztjuk el egym´ast´ ol. A hatvanados-vessz˝ ot” pontosvessz˝ ovel jel¨ olj¨ uk. ´Igy az el˝obbi sz´amok a ” k¨ ovetkez˝ ok´epp ´ırhatjuk:
T¨ ortek. N´eh´any lehets´eges jelent´es:
Az ´at´ır´as. 1 + 10 × 60−1 + 20 × 60−2 + 5 × 60−3 1 1 1 =1+ + + , 6 180 43.200 60 +
Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Int´ ezet)
1 × 603 + 10 × 602 + 20 × 60 + 5 = 1, 10, 20, 5 = 253.205, 1 × 602 + 30 × 60 + 5 = 1, 30, 5 = 5.405, 1 + 10 × 60−1 + 20 × 60−2 + 5 × 60−3 = 1; 10, 20, 5 1 1 1 =1+ + + 6 180 43.200
35 7 = 60 . 60 12
Algebra t¨ ort´ enet
2013. febru´ ar 13.
11 / 44
Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Int´ ezet)
Algebra t¨ ort´ enet
2013. febru´ ar 13.
12 / 44
Mezopot´ amiai algebra
Mezopot´ amiai algebra
M´asodfok´u egyenlet.
Az eredeti sz¨oveges megold´as. Elj´ar´asod ez legyen:
1. Feladat. (Szenkereh). Hossz´ us´ag ´es sz´eless´eg. A hossz´ us´agot ´es a sz´eless´eget ¨ osszeszoroztam, ´es ´ıgy megkaptam a ter¨ uletet. Amennyivel pedig a hossz´ us´ag meghaladja a sz´eless´eget, azt hozz´aadtam a ter¨ ulethez, ´es 3, 3 [-at kaptam]. Hossz´ us´ag ´es sz´eless´eg ¨osszeadva pedig 27. Mi a hossz´ us´ag, sz´eless´eg, ter¨ ulet? Az eredm´eny k¨ozl´ese.
Algebra t¨ ort´ enet
29-b˝ ol let¨ or¨ od a fel´et; 14; 30-szor 14; 30 [az] 3, 30; 15. Levonsz 3, 30-at 3, 30; 15-b˝ ol; 0; 15 a k¨ ul¨ onbs´eg. 0; 15 n´egyzetgy¨ oke 0; 30. Az els˝ o 14; 30-hoz add hozz´a a 0; 30-at: a hossz´ us´ag 15. 0; 30-at a m´asodik 14; 30-b´ ol kivonsz: a sz´eless´eg 14. Azt a 2-t, amit a 27-hez hozz´aadt´al, 14-b˝ ol, a sz´eless´egb˝ ol levonod: 12 a v´egleges sz´eless´eg. A 15 hossz´ us´agot ´es a 12 sz´eless´eget osszeszoroztam. 15-sz¨ ¨ or 12 [az] 3, 0 [ennyi a] ter¨ ulet.
27 3, 3 az ¨ osszegek 15 a hossz´ us´ag 12 a sz´eless´eg 3, 0 a ter¨ ulet
Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Int´ ezet)
27-et, a hossz´ us´ag ´es a sz´eless´eg ¨ osszeg´et 3, 3-hoz add hozz´a; 3, 30 [az eredm´eny]. 2-t a 27-hez add hozz´a; 29 [az eredm´eny].
A 15 hossz´ us´ag a 12 sz´eless´egen mennyivel ny´ ulik t´ ul? 3[-mal] haladja meg. 3-at a 3, 0-hoz, a ter¨ ulethez adj hozz´a: 3, 3[-at kapsz]. 2013. febru´ ar 13.
13 / 44
Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mezopot´ amiai algebra
Algebra t¨ ort´ enet
2013. febru´ ar 13.
14 / 44
Mezopot´ amiai algebra
Elemz´es 1.
Elemz´es 2.
Mai jel¨ol´esekkel az
Az eredeti megold´as l´ep´esei ´es k¨ ovetkezm´enyei ezen egyenletrendszer alak´ıt´as´aban. xy + x − y = 3, 3
P´arhuzamos sz´amol´as 1.
x + y = 27
A sz´amol´as m´asodik l´ep´es´eb˝ ol l´atszik, hogy az y sz´eless´eg helyett egy u ´j y 0 = y + 2 sz´eless´eg bevezet´es´evel kapjuk, hogy
29 : 2 = 14; 30
0
x + y = 29. 3, 30; 15 − 3, 30 = 0; 15 Algebra t¨ ort´ enet
x + y 0 = 29
2 + 27 = 29
14; 30 × 14; 30 = 3, 30; 15
xy 0 = 3, 30
Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Int´ ezet)
xy 0 = 3, 30
27 + 3, 3 = 3, 30
egyenletrendszert kapjuk.
2013. febru´ ar 13.
15 / 44
Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Int´ ezet)
x + y0 = 14; 30 2 2 0 x +y = 3, 30; 15 2 x + y0 2 − xy 0 = 0; 15 2
Algebra t¨ ort´ enet
2013. febru´ ar 13.
16 / 44
Mezopot´ amiai algebra
Mezopot´ amiai algebra
Elemz´es 3.
Elemz´es 4.
P´arhuzamos sz´amol´as 2.
Az 1. Feladat megold´as´anak ¨ osszegz´ese. Mai szimbolik´aval a sz¨ oveges probl´ema egy
√
s 0; 15 = 0; 30
2
− xy 0 =
x − y0 = 0; 30 2
xy = P
x + y0 x − y0 + = x = 15 2 2 0 0 x +y x −y − = y 0 = 14 2 2 y 0 − 2 = y = 12
14; 30 + 0; 30 = 15 14; 30 − 0; 30 = 14 14 − 2 = 12
Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Int´ ezet)
x + y0 2
Algebra t¨ ort´ enet
2013. febru´ ar 13.
x +y =a alak´ u egyenletrendszerre vezet. Ennek megold´asakor bevezettek egy u ´j w hat´arozatlant (a k´et eredeti hat´arozatlan sz´amtani k¨ ozep´et˝ ol val´ o elt´er´est), amelynek r´ev´en egyhat´arozatlanoss´a v´alt a probl´ema:
17 / 44
Mezopot´ amiai algebra
Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Int´ ezet)
Algebra t¨ ort´ enet
2013. febru´ ar 13.
18 / 44
Mezopot´ amiai algebra
Elemz´es 5.
M´asodfok´u egyenletek.
Az 1. Feladat megold´as´anak ¨osszegz´ese. 1 x = a+w 2 1 y = − w, a
s w=
1 a 2
Fontos megjegyz´esek. Hangs´ ulyozni kell, hogy formul´akat kiz´ar´ olag a mai olvas´ o k¨ onnyebbs´eg´ere ´ırtunk ´es ´ırunk f¨ ol.
2 − P.
Nyomat´ekosan hangs´ ulyozzuk, hogy a korabeli ´ırnok minden probl´ema megold´as´at sz¨ ovegesen ´ırta le.
Mit kellene ehhez tudni? Egyr´eszt ismerni¨ uk kellett az al´abbi azonoss´agokat:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b 2
(1)
(a − b)2 = a2 − 2ab + b 2 ,
(2)
m´asr´eszt tudniuk kellett n´egyzetgy¨ ok¨ ot vonni. Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Int´ ezet)
Algebra t¨ ort´ enet
2013. febru´ ar 13.
19 / 44
Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Int´ ezet)
Algebra t¨ ort´ enet
2013. febru´ ar 13.
20 / 44
Mezopot´ amiai algebra
Mezopot´ amiai algebra
Tov´abbi m´asodfok´u egyenletek.
Tov´abbi m´asodfok´u egyenletek.
2. Feladat. VAT 6598. Megoldand´o az
El˝ oretekint´es. A k´et ismertetett feladat megold´asi m´ odszere szerepel I.sz. 250 k¨ or¨ ul ´elt alexandriai Diophantosz Aritmetik´aj´aban, mint az ¨ osszeg ´es k¨ ul¨ onbs´eg m´ odszere. xy = P Tov´abbi probl´em´ak: BM 13901. 8. Probl´ema: Megoldand´ o az
x −y =d egyenletrendszer.
x 2 + y 2 = S = 21, 40 Megold´as. Most a hat´arozatlanok sz´amtani k¨ ozep´ere vezettek be u ´j hat´arozatlant, mi w -vel jel¨ olj¨ uk. d x =w+ , 2
d y =w− , 2
Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Int´ ezet)
x + y = a = 50 egyenletrendszer. A sz´amol´as az mutatja, hogy a m´asodik egyenlet n´egyzet´eb˝ ol kivont´ak az els˝ o egyenletet, ´es ezzel ugyanolyan egyenletrendszert kaptak, mint az 1. Feladatban szerepl˝ o, s az ott megismert m´ odon a
s d 2 ahol w = + P. 2
Algebra t¨ ort´ enet
2013. febru´ ar 13.
21 / 44
Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mezopot´ amiai algebra
Algebra t¨ ort´ enet
2013. febru´ ar 13.
22 / 44
Mezopot´ amiai algebra
BM 13901.
BM 13901.
9. Probl´ema. A m´asodik egyenlet most x − y = d = 10 alak´ u, s a megold´as az el˝ obbiekhez hasonl´ o s 2 S d w= + , 2 2 d x =w+ , 2 d y =w− . 2
8. Probl´ema. r w=
S a 2 , − 2 2
a + w, 2 a y = − w, 2 x=
formul´ak ´altal le´ırt u ´ton haladtak.
formul´akkal adhat´ o meg.
Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Int´ ezet)
Algebra t¨ ort´ enet
2013. febru´ ar 13.
23 / 44
Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Int´ ezet)
Algebra t¨ ort´ enet
2013. febru´ ar 13.
24 / 44
Mezopot´ amiai algebra
Mezopot´ amiai algebra
BM 13901.
BM 13901. 2. Probl´ema elemz´ese. A probl´ema az x 2 − x = 14, 30 egyenlet, egy x 2 − ax = b alak´ u egyenlet, megold´as´at k´ıv´anja.
2. Probl´ema. Kivontam a n´egyzetet a ter¨ ulet´eb˝ ol ´es az 14, 30.
L´athat´ o, a bal oldalt teljes n´egyzett´e alak´ıtott´ak (a (2) azonoss´ag alkalmaz´asa), ´es
Az eredeti megold´as.
a ma m´erlegelvnek” nevezett m´ odszert alkalmazt´ak. ” Az ut´ obbi els˝ o alkalmaz´as´at az 1930-as ´evekig a I.sz. VIII. sz´azadban ´elt al-Khwarizminek tulajdon´ıtott´ak.
Vedd az 1-et [az egy¨ utthat´ ot] ´es osszad k´et r´eszre. A 0; 30-at szorozd ¨onmag´aval, az 0; 15. Ezt add hozz´a a 14, 30-hoz. A 14, 30; 15 [n´egyzet]gy¨oke 29; 30.
A sz´amol´as eredm´enye.
Ezt add hozz´a a 0; 30-hoz, amit ¨ onmag´aval szorozt´al.
Az x 2 − ax = b alak´ u egyenlet megold´asa: s 1 1 2 x = a+ +b 2 2
Ez 30, ami a n´egyzet [oldala].
Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Int´ ezet)
Algebra t¨ ort´ enet
2013. febru´ ar 13.
25 / 44
Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Int´ ezet)
Mezopot´ amiai algebra
Algebra t¨ ort´ enet
2013. febru´ ar 13.
26 / 44
Mezopot´ amiai algebra
BM 13901.
Itt a gy¨okk´eplet”? ”
7. Probl´ema. A n´egyzet h´etszeres´ehez hozz´aadtam a ter¨ ulet tizenegyszeres´et ´es ez 6; 15.
A megold´as mai jel¨ ol´esekkel. A megoldand´ o egyenlet ax 2 + bx = c
A megold´as elve. A
alak´ u. Sz´amol´asuk az
11x 2 + 7x = 6; 15 egyenletet kell megoldanunk.
s 2 1 b x= ca + − a 2
b 2
Ism´et n´egyzett´e alak´ıtott´ak az egyenlet bal oldal´at, de formul´aval ´ırhat´ o le.
ehhez el˝obb 11-gyel megszorozt´ak az egyenlet, azaz a
´ Eszrev´ etel. Az el˝ obbi k´et megold´as azt tan´ us´ıtja, hogy tulajdonk´eppen ismert´ek a m´asodfok´ u egyenletek gy¨ okk´eplet´et”, hiszen aszerint sz´amoltak. ”
2, 1x 2 + 1, 17x = 1, 8; 45 egyenlettel dolgoztak. Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Int´ ezet)
Algebra t¨ ort´ enet
2013. febru´ ar 13.
27 / 44
Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Int´ ezet)
Algebra t¨ ort´ enet
2013. febru´ ar 13.
28 / 44
Mezopot´ amiai algebra
Gy¨ ongyszemek.
BM 13901. M´eg n´eh´any feladat m´ odszereik erej´enek demonstr´al´as´ara. 14. Probl´ema. K´et n´egyzetem ter¨ ulet´et ¨ osszeadtam, [az] 25,25. A m´asodik n´egyzet [oldala] k´etharmada az els˝ o n´egyzet[´e]nek ´es m´eg 5.
´ Vil´agos azonban, hogy NEM a KEPLETET ismert´ek, hanem azt az elj´ar´ast, amivel az megkaphat´o.
A megold´as 1. Ha x, y jel¨ oli a k´et n´egyzet oldal´at, akkor az
x 2 + y 2 = 25, 25 y = 0; 40x + 5 egyenletrendszert kell megoldani. Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Int´ ezet)
Algebra t¨ ort´ enet
2013. febru´ ar 13.
29 / 44
Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Int´ ezet)
Gy¨ ongyszemek.
Algebra t¨ ort´ enet
2013. febru´ ar 13.
30 / 44
Gy¨ ongyszemek.
BM 13901.
BM 13901/14. A megold´as 2. Az agyagt´abl´an tal´alhat´ o sz´amol´as ezt a v´eleked´est is c´afolja, ugyanis a k¨ ovetkez˝ ok´epp sz´amoltak:
14. Probl´ema. A m´asodik egyenletb˝ol y -t az els˝ obe helyettes´ıtve,
1 + 0; 40 · 0; 40 = 1; 26, 40,
a1 x 2 + a2 x = a3
5 · 0; 40 = 3; 20,
alak´ u m´asodfok´ u egyenletet kapunk.
25, 25 − 5 · 5 = 25, 0
DE, e m´odszer — a behelyettes´ıt´es — bevezet´es´et szint´en al-Khwarizminek tulajdon´ıtott´ak.
Ez pedig nem m´as, mint azon egyenlet egy¨ utthat´ oi kisz´am´ıt´asa, amit az eml´ıtett behelyettes´ıt´essel kapunk, azaz x 2 + (0; 40x + 5)2 = 25, 25.
Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Int´ ezet)
Algebra t¨ ort´ enet
2013. febru´ ar 13.
31 / 44
Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Int´ ezet)
Algebra t¨ ort´ enet
2013. febru´ ar 13.
32 / 44
Gy¨ ongyszemek.
Gy¨ ongyszemek.
BM 13901/14.
BM 13901/14.
A megold´as 3. Rendezve
A megold´as 4. (erdeti)
(1 + 0; 402 )x 2 + 2 · 5 · 0; 40x = 25, 25 − 52 = 25, 0.
A gy¨ oknek ´es annak, amit ¨ onmag´aval szorozt´al a k¨ ul¨ onbs´ege 43; 40. Ha ezt megszorzod 1; 26, 40 reciprok´aval, megkapod az egyik n´egyzetet [a n´egyzet oldal´at], ami 30. A m´asik n´egyzet [oldala] pedig 25.
Ezen egyenlet megold´as´at az al´abbi sz´amol´asokkal v´egezt´ek el:
1; 26, 40 · 25, 0 = 36, 6; 40,
Megjegyz´ es. Hasznos lehet az ´erdekl˝ od˝ ok sz´am´ara a reciprok meghat´aroz´asa hatvanados t¨ ort alakban, mi nem r´eszletezz¨ uk. Az azonban vil´agos, hogy korrekt megold´ast kaptak.
3; 20 · 3; 20 = 11; 6, 40, 36, 6; 40 − 11; 6, 40 = 36, 17; 46, 40. Ezut´an megadt´ak a 36, 17; 46, 40 n´egyzetgy¨ ok´et, ami 46; 40, majd ´ıgy folytatt´ak. Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Int´ ezet)
Algebra t¨ ort´ enet
2013. febru´ ar 13.
33 / 44
Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Int´ ezet)
Gy¨ ongyszemek.
Algebra t¨ ort´ enet
2013. febru´ ar 13.
34 / 44
Gy¨ ongyszemek.
BM 13901/14.
A mezopot´amiai algebra.
Elemz´es. Vil´agos, hogy a behelyettes´ıt´es ut´an kapott
Tanuls´agok. ´ Az Obabiloni Birodalom ´ırnokai ismert´ek az (1) ´es (2) azonoss´agokat.
ax 2 + 2bx = c
Ismert´ek m´ar az al Khwarizminek tulajdon´ıtott al-muqabla ´es al-jabr m´ odszert.
alak´ u egyenletet el˝obb a-val megszorozt´ak,
Minden olyan (pozit´ıv egy¨ utthat´ os) m´asodfok´ u egyenletet meg tudtak oldani, amelyiknek volt pozit´ıv gy¨ oke (k´et pozit´ıv gy¨ ok eset´en csak a nagyobbikat adt´ak meg). ´Igy az egyenletek 3 t´ıpus´aval foglalkoztak:
ism´et egy olyan l´ep´es, aminek els˝ o alkalmaz´as´at al-Khwarizminek szok´as tulajdon´ıtani, majd az egyenlet bal oldal´at teljes n´egyzett´e alak´ıtott´ak, (ax + b)2 = ac + b 2 .
x 2 + px = q x 2 = px + q
ezut´an gy¨okvon´assal kapt´ak a megold´ast: √ ac + b 2 − b x= . a Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Int´ ezet)
Algebra t¨ ort´ enet
2
x + q = px
2013. febru´ ar 13.
35 / 44
Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Int´ ezet)
Algebra t¨ ort´ enet
2013. febru´ ar 13.
36 / 44
Gy¨ ongyszemek.
Gy¨ ongyszemek.
A mezopot´amiai algebra.
A mezopot´amiai algebra.
Egy igazi gy¨ongyszem A sz¨oveges probl´ema a
¨ Otletek. 1 A m´ asodik egyenletb˝ ol kifejezz¨ uk az egyik hat´arozatlant, majd behelyettes´ıtj¨ uk azt az els˝ obe. Ez azonban teljes harmadfok´ u egyenletre vezet, ami eddigi ismereteink szerint m´ar meghaladja a korabeli ismereteket.
0; 20(x + y ) + 0; 1(x − y )2 = 15 xy = 10, 0
2
egyenletrendszerre vezet.
Egy m´asik lehet˝ os´eg az, hogy a m´asodik egyenlet 4 · 0; 1-szeres´et hozz´aadva az els˝ o egyenlethez az 0; 20(x + y ) + 0; 1(x + y )2 = 6, 55
E feladatot tartalmaz´o, a Yale Egyetem gy˝ ujtem´eny´eben ˝ orz¨ ott, agyagt´abla csak egy t¨ored´ek, a feladat megold´asa m´ar hi´anyzik r´ ola. Az el˝obbiekben ismertetett megold´asi technik´ak k¨ oz¨ ul azonban t¨ obb is k´ın´alkozik.
Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Int´ ezet)
Algebra t¨ ort´ enet
2013. febru´ ar 13.
37 / 44
(x + y )-ban m´asodfok´ u egyenletet kapjuk, amely m´ar kezelhet˝ o lehetne az ismert m´ odszerekkel.
Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Int´ ezet)
Gy¨ ongyszemek.
38 / 44
A mezopot´amiai algebra. Elemz´es 2. Neugebauer egy ¨ otlete, amely j´ ol illeszkedik gondolkod´asm´ odjukhoz: vezess¨ unk be k´ et u ´j hat´ arozatlant, a k¨ ovetkez˝ o meggondol´assal.
Elemz´es 1. 1 Csak speci´ alis, p´eld´aul vagy
Sz´amos feladatban szerepel a hat´arozatlanok o ¨sszege vagy k¨ ul¨ onbs´ege, ´es a hat´arozatlanok szorzata. Itt az a t¨ obblet, hogy mind az ¨ osszeg, mind a k¨ ul¨ onbs´eg szerepel.
x3 + x = B
alak´ u harmdfok´ u egyenleteket tartalmaz´ o t´abl´ak ismeretesek. A teljes harmadfok´ u egyenletek bizonyos t´ıpusainak megold´as´ara el˝ osz¨ or a k¨ozel h´arom ´evezreddel k´es˝ obbi iszl´am matematikusok adtak meg geometriai m´odszereket. E lehet˝ os´ eget ´ıgy el kell vetn¨ unk. 2
2013. febru´ ar 13.
Gy¨ ongyszemek.
A mezopot´amiai algebra.
x 3 = A,
Algebra t¨ ort´ enet
Mindk´et esetben c´elszer˝ u volt u ´j hat´arozatlank´ent az eredetiek sz´amtani k¨ ozep´et, ´es az att´ ol val´ o elt´er´est bevezetni. Most is tegy¨ unk ´ıgy, azaz alkalmazzuk az x =u+v
Ez az u ´t elk´epzelhet˝o ugyan, de v´elem´enyem szerint kev´ess´e val´ osz´ın˝ u. Nem ismertek (m´eg) e m´odszert tartalmaz´ o t´abl´ak.
y =u−v
helyettes´ıt´eseket. Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Int´ ezet)
Algebra t¨ ort´ enet
2013. febru´ ar 13.
39 / 44
Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Int´ ezet)
Algebra t¨ ort´ enet
2013. febru´ ar 13.
40 / 44
Gy¨ ongyszemek.
N´ egyzetgy¨ okvon´ o algoritmus
A mezopot´amiai algebra.
Egy megmaradt k´erd´es.
Elemz´es 3. A helyettes´ıt´esekkel az
Hogyan sz´amolt´ak ki (pozit´ıv) sz´amok n´egyzetgy¨ ok´et? 0; 2u + 0; 4v 2 = 15
A Yale Egyetem gy˝ ujtem´eny´enek YBC 7289-es agyagt´abl´aj´an szerepel a √ 2 kisz´am´ıt´asa 3 hatvanados t¨ ort helyi´ert´ekre:
u 2 − v 2 = 10, 0
1; 24, 51, 10. egyenletrendszert kapjuk, amely m´ar k¨onnyen megoldhat´ o, csak a m´asodik egyenletb˝ ol v 2 - et az els˝obe kell helyettes´ıten¨ unk,
E sz´am decim´alisan k¨ ozel´ıt˝ oleg 1, 41421296, ami csak kb. 6 · 10−7 -nel t´er el a helyes ´ert´ekt˝ ol.
vagy a m´asodik egyenlet 0; 4-szeres´et hozz´a kell adnunk az els˝ oh¨ oz.
Ezt a pontoss´agot a renesz´ansz kor v´ege fel´e tudt´ak u ´jra el´erni az eur´ opai, valamint az iszl´am matematikusok.
Ez annak ellen´ere szimpatikus ¨ otlet, hogy m´as ismert feladatokn´al csak egy u ´j hat´arozatlant vezettek be, m´ıg itt egyszerre kett˝ ot kellene. Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Int´ ezet)
Algebra t¨ ort´ enet
2013. febru´ ar 13.
41 / 44
Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Int´ ezet)
N´ egyzetgy¨ okvon´ o algoritmus
A n´egyzetgy¨okvon´as.
Iter´aci´os elj´ar´as. √ a-t akarjuk meghat´arozni.
Iter´aci´ os elj´ar´as.
a m´asodik legyen a b1 = Vil´agos, hogy
√
2
a2
b2 =
a a2 .
´es b2
k¨ oz¨ ott van,
valamint |a1 − b1 | > |a2 − b2 | Az elj´ar´ast a k´ıv´ant pontoss´ag el´er´es´eig kell folytatni, de h´any l´ep´es kell.
Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Int´ ezet)
42 / 44
√ A konvergencia gyorsas´ag´at mutatja, hogy ha 2 ´ert´ek´et az el˝ obbi m´ odon az a1 = 1 kezd˝ o ´ert´ekkel sz´amoljuk, akkor az a5 ´ert´eke megegyezik azzal a sz´ammal amit a mai ´altal´anosan haszn´alt zsebkalkul´atorok szolg´altatnak. A pontoss´ag kb. 6 · 10−7 .
1. l´ep´es: V´alasszunk egy a1 k¨ ozel´ıt´est, 2 l´ep´es: Legyen a2 =
2013. febru´ ar 13.
N´ egyzetgy¨ okvon´ o algoritmus
A n´egyzetgy¨okvon´as.
a a1 . a1 +b1 es 2 , ´
Algebra t¨ ort´ enet
Algebra t¨ ort´ enet
2013. febru´ ar 13.
43 / 44
Az ut´ o´elet. Ezen algoritmust a k´es˝ obbi korok sz´amos tud´ osnak tulajdon´ıtott´ak. Olvashatunk r´ ola u ´gy, mint a I.e.. 426-365 k¨ oz¨ ott ´elt tarrentumi Archytas (az utols´ o nagy pitagoreus”), a I.sz. 100 k¨ or¨ ul ´elt alexandriai Heron ” elj´ar´asa, de u ´gy is, mint Newton algoritmusa.
Klukovits Lajos (SZTE TTIK Bolyai Int´ ezet)
Algebra t¨ ort´ enet
2013. febru´ ar 13.
44 / 44
