1. Laboratorní řád a bezpečnost při práci na elektrickém zařízení

1

1. Laboratorní řád a bezpečnost při práci na elektrickém zařízení 2. Ochrana před nebezpečným dotykovým napětím 3. Elektrostatika Příklad 3.1. Elektrické bodové náboje Q = +1 C a Q = -1 C jsou od sebe vzdáleny ve vzduchu 100 metrů. Vypočítejte, jak velkou silou se přitahují.( ε 0 = 8, 854 ⋅10 −12 F / m; ε r = 1, 000 6) Řešení: Podle Coulombova zákona QQ 1 F= ⋅ 1 2 2 [N; C, C, F/m, m] 4πε 0 ε r r 1 1 ⋅ (− 1) ⋅ 1,0006 100 2 F = −900 000N F = 9 ⋅ 10 9 ⋅

Příklad 3.2. Jak velkou silou se přitahují proton a elektron vzdálené od sebe 10-10m? (e = 1,6.10-19C) [F = -2,29.10-8N] Příklad 3.3 Určete intenzitu elektrického pole ve vakuu (εr = 1) v bodě B vzdáleném 3cm od bodového zdroje, jehož náboj je Q = 5.10-8C. [E = 5.105N/C] Příklad 3.4. V elektrostatickém poli v místě, ve kterém je jeho intenzita E = 10kV/cm, je elektrický náboj Q = 2.10-5C. Jakou silou na něho toto pole působí? [F = 20N] Příklad 3.5. Válcovým vodičem s konstantním průměrem d = 4,51mm prochází proud I = 68A. Určete hustotu proudu v daném vodiči. [ J = 4,25 ⋅ 10 6 A / m 2 ] Příklad 3.6. Vodič z předcházejícího příkladu je 40m dlouhý a mezi jeho konci je napětí 8V. Určete intenzitu elektrického pole ve vodiči. E = 0, 2 V / m Příklad 3.7. Rovinný kondenzátor má tloušťku dielektrika l = 0,2mm. Jeho zkušební napětí je 1 500V. Jaká intenzita elektrického pole vznikne při jeho zkoušce? E = 7, 5 ⋅106 V / m

2

Příklad 3.8. Jak velká je elektrická indukce ve vzduchu, je-li intenzita elektrostatického pole 1kV/mm? D = 8, 854 ⋅10−6 C / m 2 Příklad 3.9. Jak velká elektrická indukce je u rovinného kondenzátoru s tloušťkou mezery mezi elektrodami l = 0,5mm, je-li ponořen v oleji s poměrnou permitivitou ε r = 3a je-li mezi elektrodami napětí U = 1 000V? D = 53,124 ⋅10−6 C / m 2 Příklad 3.10. Vypočtěte kapacitu rovinného kondenzátoru, jehož tloušťka dielektrika je 0,1mm. Dielektrikum je kondenzátorový papír s poměrnou permitivitou ε r = 4. Plocha elektrod je S = 50 000cm2. C = 1, 77 ⋅10−6 F Příklad 3.11. Určete, jaký elektrický náboj se nahromadí v kondenzátoru s kapacitou 100pF, je-li připojen na napětí 1 500V. Q = 1, 5 ⋅10−7 C Příklad 3.12. Deskový kondenzátor o účinné ploše 100cm2 a vzdálenosti elektrod 2mm se vzduchovým dielektrikem je připojen na napětí 500V. Určete: kapacitu kondenzátoru, náboj po nabití, intenzitu elektrostatického pole, elektrickou indukci, elektrický indukční tok a napětí, při kterém by nastal průraz dielektrika. (Předpokládejte, že elektrická pevnost vzduchu je 2,5kV/mm.) C = 44, 3pF ; Q = 22,15 ⋅10−9 C; E = 250kV / m; D = 22,15 ⋅10−7 C / m 2 ; Ψ = 22,15 ⋅10−9 C; U = 5kV Příklad 3.13. Dva za sebou zapojené vn kondenzátory o kapacitách C1 = 400pF, C2 = 600pF, jsou připojeny ke zdroji o napětí U = 10kV. Určete: a/ jak veliké jsou náboje jednotlivých kondenzátorů, b/ jaká jsou na nich napětí. Řešení: Pro náboj platí vztah Q = C.U 1 1 1 = + Kondenzátory jsou spojeny sériově, tedy C C1 C 2 Při spojení za sebou mají oba kondenzátory stejný náboj a platí Q = C1 ⋅U1 Q = C 2 ⋅U 2 Q = C ⋅U

3 U = U1 + U 2 Q=

C1 ⋅ C 2 ⋅U C1 + C 2

400 ⋅ 10 −12 ⋅ 600 ⋅ 10 (400 + 600) ⋅ 10 −12 Q U1 = C1

−12

Q=

.10 4 = 2,4 ⋅ 10 − 6 C

U 1 = 6kV U2 =

Q C2

U 2 = 4kV Příklad 3.14. Kondenzátory o kapacitě C1 = 100µF , C 2 = 150µF jsou zapojeny sériově, kondenzátor C 3 = 40µF je k oběma zapojen paralelně. Určete výslednou kapacitu, celkový náboj i náboje na jednotlivých kondenzátorech a napětí na kondenzátorech, při celkovém napětí U = 220V. C = 100µF; Q = 22 000µC; Q12 = 13 200µC; Q3 = 8 800µC; U1 = 132V; U 2 = 88 V

4. Stejnosměrný proud Příklad 4.1. Akumulátorová baterie se nabíjela po dobu 10 hodin proudem 15A. Jak velký náboj prošel akumulátorem a jaká byla proudová hustota v přívodním vedení, které mělo průřez 6mm2. Řešení: Q = I ⋅t

Q = 15 ⋅ 10 = 150Ah I S 15 = 2,5A/mm 2 J= 6 J=

Příklad 4.2. Jaký odpor má měděný drát s průřezem 4mm2, dlouhý 80m, při 20°C? Řešení: Podle tab. 1 je měrný odpor mědi ρ = 0,0178Ωmm2/m.

4 R = ρ⋅

l S

R = 0, 0178 ⋅

80 4

R = 0, 356Ω

Příklad 4.3. Dvouvodičové vedení dlouhé 100m je z hliníkového drátu průřezu 10mm2. Určete odpor vedení při 20°C. R = 0, 57Ω Příklad 4.4. Odporová topná spirála z chrómniklu má odpor 88Ω a je z drátu dlouhého 16m. Jaký je průřez drátu? S = 0, 2mm 2 Příklad 4.5. Kolik metrů nikelinového drátu je zapotřebí k navinutí odporu 25Ω, použijeme-li drát průměru d = 0,8mm? l = 31, 4m Příklad 4.6. Při měření podle obr.1 bylo naměřeno napětí U = 2V a proud I = 5A.Určete vodivost a odpor připojeného vodiče. Řešení: 1 U I R= G= R= G I U 1 2 5 nebo R = R= G= 2, 5 5 2 R = 0, 4 Ω G = 2, 5S R = 0, 4 Ω Příklad 4.7. Jaký proud Iv prochází voltmetrem na obr.1, jsou-li poměry v obvodě stejné jako v předchozím příkladě 4.7. Odpor voltmetru je Rv = 1 000Ω. I v = 0, 002A Příklad 4.8. Jaké napětí je na vodiči s odporem R = 2,4Ω, protéká-li jím proud I = 3,8A? Jakou vodivost má vodič? U = 9 ,12 V; G = 0 ,417S

Příklad 4.9. Jaký proud protéká vodičem, který má vodivost G = 0,08S, je-li napětí mezi jeho konci U = 120V? Jaký odpor má vodič? I = 9,6A ; R = 12,5Ω

5 Příklad 4.10. Žárovkou připojenou na 220V prochází proud I = 0,455A. Určete odpor vlákna žárovky. R = 485Ω Příklad 4.11. Měděný drát má při 20°C odpor 15Ω. Jaký odpor bude mít při 70°C? Řešení: R ϑ = R 20 (1 + α ⋅ ∆ϑ ) R ϑ = 15(1 + 0, 0042 ⋅ 50) R ϑ = 18, 3Ω Odpor drátu se zvětší o 21%.

Příklad 4.12. Vypočítejte oteplení a teplotu měděné cívky elektromagnetu, jestliže při teplotě 20°C měla odpor 10Ω a v ohřátém stavu po déle trvajícím provozu 12,1Ω. ∆ϑ = 50° C; ϑ 2 = 70° C Příklad 4.13. Odpor wolframového vlákna žárovky na 220V je při svícení 485Ω. Jeho teplota je přitom 2 600°C. Jaký je odpor vlákna za studena (20°C)? Jaký proud prochází žárovkou při svícení a jaký v okamžiku zapnutí? R 20 = 42Ω; I s = 0,455A; I z = 5,25A Příklad 4.14. Elektrickým vařičem připojeným na napětí 220V prochází proud 2,727A. Jaký je jeho příkon a kolik elektrické energie spotřebuje za 45s a kolik za 3 hodiny? [P = 600W;W1 = 7,5Wh;W2 = 1,8kWh] Příklad 4.15. Jaký proud prochází žárovkou s příkonem 60W při napětí 220V a jaký je odpor jejího vlákna při provozu? I = 0,273A; R = 806Ω Příklad 4.16. Kolik tepla vyvine nikelinový drát při průchodu proudu 5A po 6 minut, je-li jeho odpor 2,4Ω? Q = 21600J Příklad 4.17. Elektrickým vařičem protéká proud 2,75A. Odpor jeho topné spirály je 80Ω. Určete svorkové napětí vařiče, jeho výkon a teplo vyvinuté za 1 hodinu. U = 220V; P = 605W; Q = 0,605kWh Příklad 4.18. Elektrický motor má jmenovitý mechanický výkon 2,2kW (je udán na štítku motoru). Jeho elektrický příkon je 2,62kW. Jakou má účinnost? 84%

6 Příklad 4.19. Turbogenerátor má při příkonu P1 = 30MW účinnost η = 97,7%. Jaké má ztráty a elektrický výkon? Pz = 690kW; P2 = 29,31MW Příklad 4.20. Stejnosměrný zdroj má napětí naprázdno U0 = 24V a vnitřní odpor Ri = 0,12Ω. Na svorky zdroje je připojen vnější odpor R = 2,88Ω. Určete proud v obvodu, svorkové napětí zdroje a úbytek napětí ve zdroji. Stanovte velikost proudu nakrátko za předpokladu, že Ri = konst. Řešení: Proud v obvodu 24 U0 I= = = 8A R + R i 2, 88 + 0,12 Svorkové napětí U = R ⋅ I = 2, 88 ⋅ 8 = 23, 04 V Vnitřní úbytek napětí ve zdroji U i = R i ⋅ I = 0,12 ⋅ 8 = 0, 96V Kontrola U 0 = U + U i = 23, 04 + 0, 96 = 24 V (souhlasí) Proud nakrátko U 24 Ik = 0 = = 200A R i 0,12 Příklad 4.21. Měřením jsme zjistili, že napětí zdroje naprázdno je U0 = 130V a že při zatížení proudem I = 20A je svorkové napětí U = 124V. Určete vnitřní odpor zdroje. R i = 0,3Ω Příklad 4.22. Akumulátorová baterie má napětí U 0 = 36 Va vnitřní odpor R i = 0,18Ω. Určete proud nakrátko, proud odebíraný z baterie, svorkové napětí a vnitřní úbytek napětí ve zdroji, jestliže na svorky baterie připojíme spotřebič s odporem 2,82Ω. I k = 200A ; I = 12A ; U = 33 ,84 V; U i = 2,16 V Příklad 4.23. Pět odporů R1 = 12Ω, R 2 = 10Ω, R 3 = 15Ω, R 4 = 36Ω a R 5 = 4Ω je spojeno navzájem podle schématu na obr.2. Na svorky tohoto obvodu přivedeme napětí U =120VU =120V . Určete výsledný proud obvodu I a proudy v jednotlivých větvích. Řešení: Odpor R23 je výsledný odpor paralelně spojených odporů R2 a R3 R ⋅R 10 ⋅15 = 6Ω R 23 = 2 3 = R 2 + R 3 10 + 15 Odpor R123 je výsledný odpor sériově spojených odporů R1 a R 23 R123 = R1 + R 23 = 12 + 6 = 18Ω Odpor R1234 je výsledný odpor paralelního spojení odporů R123 a R 4

7

R123 ⋅ R 4 18 ⋅ 36 = = 12Ω R123 + R 4 18 + 36 Výsledný odpor obvodu R je dán sériovým spojením odporů R1234 a R 5 R = R1234 + R 5 = 12 + 4 = 16Ω Celkový proud obvodu U 120 I= = = 7, 5A R 16 Postupujeme zpětně a určujeme napětí a proudy v jednotlivých větvích U ac = R1234 ⋅ I = 12 ⋅ 7, 5 = 90V U 90 I 1 = ac = = 5A R123 18 R1234 =

I4 =

U ac 90 = = 2,5A R4 36

U bc = R23 ⋅ I 1 = 6 ⋅ 5 = 30V I2 =

U bc 30 = = 3A R2 10

I3 =

U bc 30 = = 2A R3 15

Kontrola U 5 = R5 ⋅ I = 4 ⋅ 7,5 = 30V U = U ac + U 5 = 90 + 30 = 120V I = I 1 + I 4 = 5 + 2,5 = 7,5A U 1 = R1 ⋅ I 1 = 12 ⋅ 5 = 60V U ac = U 1 + U bc = 60 + 30 = 90V I 2 + I 3 = 3 + 2 = 5A = I 1 Příklad 4.24. Ve schematu na obr. 3 určete velikost odporu R x tak, aby obvodem procházel proud 2A. Dále stanovte napětí U1 až U 3 a proudy I1 až I 4 . R x = 20Ω; U1 = 4 V; U 2 = 12V; U 3 = 8V; I1 = 1, 33A; I 2 = 0, 67A; I 3 = 0, 4A; I 4 = 1, 6A Příklad 4.25. V zapojení podle obr.4 je dáno: R1 = 10Ω, R 2 = 20Ω, R 3 = 10Ω, R 4 = 15Ω, R 5 = 30Ω a U = 17,5V. Určete celkový proud, který dodává zdroj do obvodu a proudy a napětí na jednotlivých rezistorech. I = 1A; I 2 = 0, 25A; I 3 = 0, 75A; I 4 = 0,166A; I 5 = 0, 083A; U1 = 10V; U 2 = 5V; U 3 = 7, 5V

U 4 = 2, 5V = U 5 Příklad 4.26. Určete výsledný odpor a výsledný proud v obvodu podle obr. 5, kde R1 = 32Ω, R 2 = 6Ω, R 3 = 20Ω, R 4 = 30Ω, R 5 = 50Ω a U = 6V.

8 Řešení: Jeden z trojúhelníků v tomto schematu transfigurujeme na hvězdu. Zvolme náhradu trojúhelníka BCD. Odpory náhradní hvězdy vypočteme. R3 ⋅ R4 20 ⋅ 30 RB = = = 6Ω R 3 + R 4 + R 5 20 + 30 + 50 RC =

R3 ⋅ R5 20 ⋅ 50 = = 10Ω R3 + R4 + R5 100

R4 ⋅ R5 30 ⋅ 50 = = 15Ω R3 + R4 + R5 100 ( R + RC ) ⋅ ( R2 + RD ) 42 ⋅ 21 = = 14Ω R12CD = 1 ( R1 + RC ) + ( R2 + RD ) 42 + 21 Celkový odpor obvodu je R = R12CD + RB = 14 + 6 = 20Ω Celkový proud můstku U 6 I= = = 0, 3A R 20 Zpětným postupem můžeme určit proudy ve všech větvích můstku. RD =

Příklad 4.27. Vypočtěte proudy ve všech prvcích obvodu dle obr.6, kde napětí zdroje je U =10V , odpory rezistorů jsou R1 = 2Ω, R 2 = 5Ω, R 3 = 3Ω, R 4 = 0, 9Ω, R 5 = 1, 5Ω . I = 5A; I1 = 3, 5A ; I 2 = 1, 5A ; I 3 = 0,16A; I 4 = 3, 33A; I 5 = 1, 66A Příklad 4.28. Určete proudy a napětí na všech prvcích obvodu dle obr.7. Napětí zdroje U = 40V , odpory rezistorů jsou R1 = 5Ω, R 2 = 2Ω, R 3 = 3Ω, R 4 = 13Ω, R 5 = 0, 2Ω, R 6 = 2Ω, R 7 = 12Ω, R 8 = 6Ω . U1 = 7, 64 V; U 2 = 10, 53 V; U 3 = 2, 89 V; U 4 = 7, 2 V; U 5 = 1, 24 V; U 6 = 3, 05 V; U 7 = 25,16V; U 8 = 28, 22 V; I1 = 1, 53A; I 2 = 5, 26A; I 3 = 0, 93A; I 4 = 0, 55A; I 5 = 6, 2A; I 6 = 1, 53A; I 7 = 2,1A; I 8 = 4, 7A Příklad 4.29. Určete proud, který prochází měřidlem při můstkovém zapojení podle obr.8. Napětí zdroje U =10V . Odpory rezistorů jsou R1 = 100Ω, R 2 = 100Ω, R 3 = 100Ω, R 4 = 140Ω . Odpor měřidla je R a = 1000Ω . I a = 0, 7488mA Příklad 4.30. Určete odpor rezistoru R x , který je zapojen do série s rezistorem s odporem R1 = 10Ω podle obr.9 tak, aby při napětí zdroje U = 40V procházel větví proud I1 = 2A . Řešte pomocí 2.KZ i bez jeho použití. R x = 10Ω

9 Příklad 4.31. Stanovte odpor rezistoru R2 dle obr. 10 tak, aby galvanometrem G neprocházel žádný proud. Je dáno: U1 = 4 V, U 2 = 6 V, R1 = 8Ω . R 2 = 12Ω Příklad 4.32. Určete proudy I1 a I 2 v obvodu zapojeném podle obr.11. Odpory rezistorů jsou : R1 = 2Ω, R 2 = 1Ω, R 3 = 12Ω, R 4 = 1Ω, R 5 = 1Ω, R 6 = 2Ω . Napětí zdroje je 48V. I1 = 8A; I 2 = 6A Příklad 4.33. V obvodu zapojeném dle obr. 12 určete proudy I1, I 2 , I 3 , které procházejí rezistory s odpory R1 = 20Ω, R 2 = 50Ω, R 3 = 30Ω . Napětí zdrojů jsou U1 = 10V, U 2 = 8 V . I1 = 0,18A; I 2 = 0, 03A; I 3 = 0, 21A Příklad 4.34. Určete proudy I1, I 2 , I 3 v obvodu znázorněném na obr.13. Napětí zdrojů U1 = 2,1V, U 2 = 1, 8V . Vnitřní odpory zdrojů jsou zanedbatelné. Ve větvích jsou zapojeny rezistory o odporech R1 = 10Ω; R 2 = 8Ω; R 3 = 15Ω; R 4 = 12Ω; R 5 = 35Ω . [I1 = 24,8mA;I 2 = 40,8mA;I 3 = −65,6mA] Příklad 4.35. V obvodu na obr.14 jsou dány odpory R1 = 10Ω, R 2 = 5Ω, R 3 = 15Ω, R 4 = 35Ω , napětí U1 = 100V, U 2 = 60V a proudy I1 = 5A, I 2 = 1A . Určete napětí U x a proudy I x i I 3 , I 4 a I 5 . U x = −70V; I x = −2A; I 3 = 3A; I 4 = 1A; I 5 = 4A Příklad 4.36. V obvodu zapojeném podle obr. 16 stanovte proudy procházející všemi prvky obvodu. Hodnoty obvodových prvků jsou: R1 = 2Ω, R2 = 6Ω, R3 = 2Ω, R4 = 3Ω, R5 = 2Ω, R6 = 6Ω, U 1 = 120V , U 2 = 6V , U 3 = 80V . Řešení: Při řešení použijeme tři smyčky, označíme tedy tři smyčkové proudy I a , I b a I c . Na každém rezistoru označíme předpokládaný smysl skutečného proudu, a to I1 , I 2, I 3 , I 4 , I 5 a I 6 . Sestavíme pro každou smyčku rovnici podle druhého Kirchhoffova zákona. Pro smyčku a R1 I a + R2 ( I a − I b ) − U 1 = 0 . Pro smyčku b R3 I b + U 2 + R5 ( I b − I c ) + R4 I b + R2 ( I b − I a ) = 0 . Pro smyčku c R6 I c + U 3 + R5 ( I c − I b ) = 0 .

Po úpravě dostaneme soustavu rovnic

10

( R1 + R2 ) I a − R2 I b = U 1 , − R2 I a + ( R2 + R3 + R4 + R5 ) I b − R5 I c = −U 2 , − R5 I b + ( R5 + R6 ) I c = −U 3 . Po dosazení číselných hodnot napětí zdrojů a rezistorů dostaneme jednoduchou soustavu rovnic o třech neznámých 8I a − 6 I b = 120 , − 6 I a + 13I b − 2 I c = −6 , − 2 I b + 8I c = −80 . Řešením soustavy dostaneme příslušné proudy I a = 21A, I b = 8 A, I c = −8 A. Skutečné proudy získáme pomocí smyčkových proudů I 1 = I a = 21A, I 2 = I a − I b = 21 − 8 = 13 A, I 3 = − I b = −8 A, I 4 = I b = 8 A, I 5 = I b − I c = 8 − (−8) = 16 A, I 6 = − I c = −(−8) = 8 A. Skutečný proud I 3 prochází v opačném smyslu, než jsme předpokládali. Příklad 4.37. Metodou smyčkových proudů řešte poměry v obvodu na obr. 15. pro odpory rezistorů R1 až R5 a pro napětí zdroje U použijte stejné hodnoty jako v příkladě 4.27. I1 = 0,1A; I 2 = 0, 2A; I 3 = 0,14A; I 4 = 0,16A; I 5 = −0, 04A; I = 0, 3A

5. Magnetické obvody

Příklad 5.1. Určete magnetickou indukci homogenního magnetického pole, prochází-li plochou 0,02 m 2 , kolmou ke směru pole, magnetický tok Φ= 0,022Wb. B = 1,1T Příklad 5.2.

11 Určete magnetomotorické napětí cívky s 50 závity, protéká-li vinutím cívky proud 1,5A. Fm = 75A Příklad 5.3. Určete magnetické napětí pro určitou část magnetického obvodu, je-li intenzita jeho homogenního pole 500A/m a jeho délka l12 = 40mm . U m = 20A Příklad 5.4. V ocelovém kvádru byla při intenzitě pole H = 1, 5 ⋅103 A / m zjištěna magnetická indukce B = 1, 25T . Určete permeabilitu oceli pro danou intenzitu H. µ = 0, 833 ⋅10−3 H / m Příklad 5.5. Jak velká je intenzita a indukce magnetického pole ve vzduchu ve vzdálenosti 100mm od dlouhého přímého válcového vodiče, jímž prochází proud I = 31, 4 A ? (µ 0 = 1,257 ⋅ 10 −6 H/m )

H = 50A / m; B = 6, 28 ⋅10−5 T Příklad 5.6. Jak velká je intenzita, magnetická indukce a magnetický tok pole v prstencové cívce (toroidu) na obr.17, je-li průřez dutiny cívky 400mm 2 , střední průměr 120mm a jestliže má cívka 200 závitů, kterými protéká proud 12A. Řešení: Při hustém vinutí můžeme předpokládat, že magnetické pole vznikne jen uvnitř prstenu. Ven z prstence se nerozptyluje žádný tok a vně prstence tedy nemůže být žádné magnetické pole. Indukční čáry jsou soustředné kružnice, které obepínají všech 200 závitů. Je-li střední průměr dosti velký proti šířce průřezu prstence, můžeme předpokládat, že uvnitř cívky je pole homogenní, tj. intenzita je v každém místě uvnitř cívky stejná a rovná se intenzitě H podél střední indukční čáry délky l. Platí Fm = N ⋅ I Fm = H ⋅ l potom

H = kde

N ⋅I l

l = 2 π ⋅ R = 2π ⋅ Tedy H =

0,12 = 0, 377m . 2

200 ⋅12 = 6 370A / m 0, 377

B = µ 0 ⋅ H = 1, 257 ⋅10−6 ⋅ 6 370 = 0, 008T Φ = B ⋅ S = 0, 008 ⋅ 0, 000 4 = 3, 2 ⋅10−6 Wb

Příklad 5.7.

12 Jak velká je intenzita, indukce a tok magnetického pole uprostřed válcové cívky -solenoidu (obr.18) délky 400mm, průměru 30mm, jestliže má 1 600 závitů, jimiž prochází proud 3A, H = 1, 2 ⋅104 A / m; B = 1, 51⋅10−2 T; Φ = 10, 65 ⋅10−6 Wb Příklad 5.8. Určete počet závitů N, které musíme navinout na prstenec z ocelolitiny o středním průměru , D = 250mm , je-li průměr průřezu jádra d = 50mm . Při proudu 5A nemá magnetická indukce B překročit hodnotu 1,2T. Řešení: Průřez jádra π ⋅ d 2 π ⋅ 502 S= = = 1963mm 2 4 4 2 −3 S = 2 ⋅10 m Délka střední indukční čáry l = π ⋅ D = π ⋅ 0, 25 = 0, 785 m Magnetický tok Φ = B ⋅ S = 1, 2 ⋅ 2 ⋅10−3 = 2, 4 ⋅10−3 Wb Z magnetizační křivky (obr.19) pro litou ocel je pro B = 1, 2T zapotřebí H = 1, 5 ⋅103 A / m . Magnetomotorické napětí Fm = H ⋅ l = 1, 5 ⋅103 ⋅ 0, 785 = 1177A Počet závitů cívky F 1177 N= m = = 236 závitů I 5 Kontrola výpočtu podle Hopkinsonova zákona: Permeabilita jádra při indukci B = 1, 2T B 1, 2 µ= = = 8 ⋅10−4 H / m 3 H 1, 5 ⋅10 Magnetický odpor jádra l 0, 785 Rm = = = 4, 9 ⋅105 H −1 −4 −3 µ ⋅ S 8 ⋅10 ⋅ 2 ⋅10 Magnetomotorické napětí Fm = R m ⋅ Φ = 4, 9 ⋅105 ⋅ 2, 4 ⋅10−3 = 1176A což se shoduje s dříve vypočítaným magnetomotorickým napětím Fm . Příklad 5.9. Kolik závitů musí mít cívka v předešlém příkladě, jestliže jádro rozřízneme, takže v něm vznikne vzduchová mezera 1,5mm. Řešení: Délka střední indukční čáry v jádře se zkrátí o 1,5mm, takže l Fe = 0,7835m Magnetické napětí v jádře U Fe = H ⋅ l Fe = 1,5 ⋅ 10 3 ⋅ 0,7835 = 1176 A (prakticky stejné jako v předchozím příkladě) Intenzita magnetického pole ve vzduchové mezeře B Bv Hv = v = = 8 ⋅ 10 5 Bv −7 µ 4π ⋅ 10

13 V daném případě H v = 8 ⋅ 10 5 ⋅ 1,2 = 9,6 ⋅ 10 5 A/m

Magnetické napětí pro vzduchovou mezeru U v = H v ⋅ l v = 9,6 ⋅ 10 5 ⋅ 1,5 ⋅ 10 −3 = 1440 A Magnetomotorické napětí Fm = U Fe + U v = 1176 + 1440 = 2616 A Počet závitů cívky F 2616 N= m = = 523 závitů I 5 Na protlačení magnetického toku vzduchovou mezerou je zapotřebí více závitů než na protlačení magnetického toku jádrem, protože i poměrně malá vzduchová mezera má velký magnetický odpor. Vliv vzduchové mezery je tím větší, čím je mezera delší a čím je kvalitnější materiál magnetického obvodu. Magnetický odpor vzduchové mezery l 1,5 ⋅ 10 −3 Rm v = v = = 5,9 ⋅ 10 5 H -1 −7 −3 µ ⋅ S 4π ⋅ 10 ⋅ 2 ⋅ 10 Celkový odpor magnetického obvodu Rm = RmFe + Rmv = 4,9 ⋅ 10 5 + 5,9 ⋅ 10 5 = 10,8 ⋅ 10 5 H -1 Celková magnetická vodivost 1 1 Gm = = = 9,26 ⋅ 10 −7 H 5 Rm 10,8 ⋅ 10 Příklad 5.10. Určete magnetomotorické napětí pro magnetický obvod na obr.20, složený z transformátorových plechů tloušťky 0,35mm, izolovaných od sebe lakem, aby byla ve vzduchové mezeře magnetická indukce B = 0, 75T . Při výpočtu předpokládejte, že je průřez jádra vyplněn na 100% železem (tloušťku izolačního laku neuvažujeme). Řešení: Celým magnetickým obvodem musí procházet magnetický tok Φ = B ⋅ S = 0, 75 ⋅ 50 ⋅ 75 ⋅10−6 = 2, 8 ⋅10−3 Wb Ve vzduchové mezeře musí být intenzita magnetického pole B H v = v = 8 ⋅ 10 5 ⋅ 0,75 = 6 ⋅ 10 5 A/m

µ0

Magnetické napětí pro vzduchovou mezeru U mv = H v ⋅ l v = 6 ⋅ 10 5 ⋅ 1 ⋅ 10 −3 = 600 A Průřez v úseku A je stejný jako ve vzduchové mezeře, a tedy tam bude i stejná magnetická indukce B1 = 0, 75T . Z magnetizační křivky (obr.21) je pro tuto indukci intenzita H 1 = 100A / m . Magnetické napětí U m1 = H 1 ⋅ l1 = 100 ⋅ 89 ⋅10 −3 = 8, 9A V úseku B je průřez magnetického obvodu S 2 = 30 ⋅ 75 ⋅10−6 = 2, 25 ⋅10−3 m 2 a proto indukce

14 Φ 2, 8 ⋅10−3 = = 1, 24 T S 2 2, 25 ⋅10−3 k níž přísluší z magnetizační křivky H 2 = 420A / m. B2 =

Magnetické napětí

U m2 = H 2 ⋅ l2 = 420 ⋅ 250 ⋅10−3 = 105A

Magnetomotorické napětí Fm = U mv + U m1 + U m 2 = 600 + 8,9 + 105 = 713,9A Výpočet opět ukazuje, že největší vliv má magnetické napětí vzduchové mezery. Proto v mnohých případech postačí, jestliže není magnetická indukce v železe blízká nasycení, určit pouze magnetické napětí pro vzduchovou mezeru, a to podle zkušeností zvětšit o 15 až 20%. Příklad 5.11. Určete proud, potřebný k vybuzení magnetického toku 6 ⋅10 −3 Wb . Magnetický obvod je tvořen toroidním kroužkem o středním průměru 20cm, průřezu 50cm2, z vyžíhané oceli a je přerušen vzduchovou mezerou 0,1mm. Na toroidu je navinuta cívka s 1 000 závity podle obr.22. [0,39A] Příklad 5.12. Prstenec ze šedé litiny má vnitřní průměr 25cm, vnější průměr 35cm. Průřez je čtvercový. Na prstenci je navinuto 500 závitů. Budící proud je 4,5A. Vypočtěte magnetický tok. Φ = 1, 55 ⋅10−3 Wb Příklad 5.13. Z prstence o rozměrech podle předchozího příkladu 5.12. vyřízneme vrstvu tloušťky 10mm, čímž vznikne vzduchová mezera. Jak velké magnetomotorické napětí a budící proud jsou potřebné na vytvoření magnetického toku 2 ⋅10 −3 Wb ? Fm = 11960A; I = 23, 92A Příklad 5.14. (nepovinné, nápověda: volba Φ) Určete magnetický tok v jádře z dynamových plechů. Jádro je tvořeno toroidním kroužkem se středním průměrem 30cm a průřezem 5cm 2 . Kroužek je přerušen vzduchovou mezerou tloušťky 2mm. Budící cívka má 1 500 závitů a prochází jí proud 1,6A. Magnetizační charakteristiky jsou k dispozici na obr. 21. Φ = 0, 4 ⋅10−3 Wb Příklad 5.15. (nepovinné) Určete magnetický tok podle zadání z předchozího příkladu 5.14. s tím, že průřez jádra bude 2cm 2 . Φ = 2 ⋅10−4 Wb Příklad 5.16. Magnetický obvod se stálým magnetem, jehož demagnetizační charakteristika je na obr. 23, má parametry: l Fe = 0,667 m a l v = 0,8mm. Určete magnetickou indukci ve vzduchové mezeře. B = 1,1T Příklad 5.17.

15 V magnetickém obvodu se stálým magnetem dle předchozího příkladu 5.16. zvětšíme vzduchovou mezeru na dvojnásobek. Určete magnetickou indukci ve vzduchové mezeře a potom vypočtěte délku vzduchové mezery, která by odpovídala magnetické indukci 0,85T. [B = 0,98T; lv = 2,52mm] Příklad 5.18. Navrhněte prstencový magnetický obvod se stálým magnetem (tzn. průměr prstence a průměr jeho průřezu) tak, aby ve vzduchové mezeře délky 1mm vznikla magnetická indukce 1T a v celém magnetickém obvodu působil magnetický tok 9, 62 ⋅10−4 Wb . Magnetický obvod bude z materiálu, jemuž odpovídá demagnetizační charakteristika na obr. 23. [D = 141mm; d =35mm]

6. Elektromagnetická indukce

Příklad 6.1. Jak velké je indukované svorkové napětí ve vodiči délky 50cm, pohybuje-li se v homogenním poli o indukci B = 0, 8T stálou rychlostí 5m/s. u = 2V Příklad 6.2. Jak velké svorkové napětí se indukuje v cívce s 1 200 závity, kterou prochází magmetický tok 5 ⋅10 −2 Wb , jenž vzroste rovnoměrně za 0,8s na 7 ⋅10 −2 Wb ? Řešení: ∆Φ Φ − Φ1 7 ⋅10−2 − 5 ⋅10−2 u=N ⋅ =N⋅ 2 = 1200 ⋅ = 30 V ∆t t2 − t1 0, 8 Příklad 6.3. V cívce s 1 000 závity poklesne rovnoměrně magnetický tok 9 ⋅10 −2 Wb za dobu 0,3s až na nulu. Jak velké svorkové napětí se indukuje v cívce? u = −300V