I. Elementární pravděpodobnost 1. Házíme hrací kostkou. Určete pravděpodobností těchto jevů: a) A při jednom hodu padne šestka; 1 Řešení: P (A) = = 0.1666; Je celkem šest možností {1, 2, 3, 4, 5, 6} a jedna {6} 6 je příznivá jevu A. b) B při jednom hodu padne sudé číslo; 3 1 Řešení: P (B) = = = 0.5. Je celkem šest možností {1, 2, 3, 4, 5, 6} a tři {2, 4, 6} 6 2 jsou příznivé jevu B. c) C při dvou hodech padnou obě šestky; 1 Řešení: P (C) = = 0.02777. Je celkem 36 možností {(i, j); i, j = 1, . . . , 6} a 36 z nich je jedna {(6, 6)} je příznivá jevu C. d) D při dvou hodech padnou stejné počty ok; 6 1 Řešení: P (D) = = = = 0.16666. Je celkem 36 možností (viz. c). ) Příznivých 36 6 jevu D je z nich šest, {(1, 1), . . . , (6, 6)}. Nebo inteligentně: Při prvním hodu padne číslo a toto předepsané číslo padne při druhém hodu s pravděpodobností p = 61 . e) E při dvou hodech padne alespoň jednou šestka; Řešení: Jev E je,že nepadne žádná šestka a ten má pravděpodobnost 5 5 25 11 P (E) = = · = . Je tedy P (E) = 1 − P (E) = . 6 6 36 36 f ) F při dvou hodech padne právě jednou šestka; 1 5 5 1 5 Řešení: P (F ) = · + · = . Je F = F1 ∪ F2 , kde jev F1 je prvním 6 6 6 6 18 hodem šestka a druhým ne šestka a F2 je prvním hodem ne šestka a druhým šestka. Jevy F1 a F2 se navzájem vylučují, tedy pravděpodobnosti se sčítají. Při výpočtu pravděpodobností P (F1 ) a P (F2 ) využíváme skutečnosti, že hody jsou nezávislé, tedy jednotlivé pravděpodobnosti se násobí. g) G při dvou hodech padne alespoň na jedné kostce lichý počet ok; Řešení: Jev G je, že padne při obou hodech sudý počet ok. Pravděpodobnost, že 3 1 při hodu padne sudý počet ok je = . Je tedy 6 2 1 1 1 3 P (G) = 1 − P (G) = 1 − · = 1 − = = 0.75. Využíváme opět nezávislosti 2 2 4 4 hodů a tedy násobení odpovídajících pravděpodobností. h) H při dvou hodech je součet ok roven 8; Řešení: Z 36 možností {(i, j); i, j = 1, . . . , 6} jsou jevu H příznivé možnosti {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)}, tedy celkem pět. Hledaná pravděpodobnost je
1
5 = 0.13888. 36 k) K při dvou hoden je součin počtů ok roven 8; P (H) =
Řešení: Z 36 možností {(i, j); i, j = 1, . . . , 6} jsou jevu K příznivé možnosti 2 1 {(2, 4), (4, 2)}, tedy celkem dvě. Je tedy P (K) = = = 0.0555. 36 18 2. Házíme třikrát mincí (třemi mincemi). Určete pravděpodobnosti těchto jevů: Kolik je elementárních jevů a zapište je. Jakou mají pravděpodobnost. Řešení: Elementárních jevů je celkem 8. Můžeme je zapsat jako uspořádané trojice {(R, R, R), (R, R, L), (R, L, R), (L, R, R), (R, L, L), (L, R, L), (L, L, R), (L, L, L)}. Místo písmen můžeme volit např. symboly 0 a 1. Pravděpodobnost toho, že na minci padne rub nebo líc je stejná a je rovna 21 . Když využijeme toho, že jsou jednotlivé hody nezávislé, tedy se pravděpodobnosti průniku jevů dostanou jako součin jednotlivých pravděpodobností, dostaneme pro 1 1 1 1 každý elementární jev pravděpodobnost P = · · = = 0.125. 2 2 2 8 a) A na všech mincích padne rub; 1 Řešení: Je P (A) = , když si uvědomíme, že z 8 možností je jevu A příznivá 8 pouze jedna. Můžeme postupovat i pomocí násobení pravděpodobnosti při výpočtu pravděpodobností průniku nezávislých jevů. b) B na všech mincích padne stejná strana; 2 1 Řešení: Je P (B) = = = 0.25, když uvážíme, že z osmi možností jsou jevu 8 4 příznivé dvě. Lze postupovat také takto. Je B = B1 ∪ B2 , kde jev B1 je na všech rub a jev B2 je na všech líc. Jevy se navzájem vylučují (B1 ∩ B2 = V a tedy 1 1 1 P (B) = P (B1 ) + P (B2 ) = + = . 8 8 4 c) C alespoň na jedné minci padne rub; Řešení: Jev C je opačný k jevu C na všech mincích padne líc. Je 1 1 1 1 1 7 P (C) = · · = . Je tedy P (C) = 1 − P (C) = 1 − = = 0, 875. 2 2 2 8 8 8 d) D padne právě jednou rub; 3 Řešení: Z osmi možností jsou příznivé jevu tři. Je tedy P (D) = = 0, 375. 8 3. V osudí máme b bílých koulí a c černých koulí, které jsou nerozlišitelné. Určete pravděpodobnosti uvedených jevů: a) A náhodně vyjmutá koule je bílá. Řešení: Je celkem b + c možností jakou kouli vyjmeme. Z nich má b za následek b jev A. Je tedy P (A) = . b+c 2
b) B vybíráme jednu po druhé a poslední, která v osudí zbyde je černá. Řešení: Každá koule má stejnou pravděpodobnost být poslední. Je tedy celkem b+c c možností a z nich je c příznivých jevu B. Je tedy P (B) = . b+c c) C vyjmeme kouli, vrátíme zpátky a opět vyjmeme kouli. Obě koule mají bílou barvu. b Řešení: V každém tahu je pravděpodobnost vyjmutí bílé koule rovna . Protože b+c jsou oba tahy nezávislé, je pravděpodobnost dvou tahů rovna součinu pravděpodob!2 b ností z jednotlivých tahů. Je tedy P (C) = . b+c d) D vyjmeme kouli, odložíme stranou a vyjmeme další kouli. Obě mají černou barvu. c c−1 Řešení: Musí být c ≥ 2. Podobně jako v c) je P (D) = · . b+c b+c−1 e) E vyjmeme kouli, vrátíme zpátky a opět vyjmeme kouli. Obě koule mají stejnou barvu. Řešení: Jev je sjednocením dvou jevů, které se navzájem vylučují. Jsou to E1 obě tažené koule jsou bílé a E2 obě tažené jsou černé. Je pak P (E) = P (E1 ) + P (E2 ) =
b b+c
!2
+
c b+c
2
=
b2 + c 2 . (b + c)2
f ) F vyjmeme kouli, odložíme stranou a vyjmeme další kouli. Obě mají rozdílnou barvu. Řešení: Jev je sjednocením dvou jevů, které se navzájem vylučují. Jsou to jevy F1 , první koule je bílá, druhá černá a jev F2 první je černá a druhá bílá. Je tedy P (F ) = bc cb 2bc P (F1 ) + P (F2 ) = + = . (b + c)(b + c − 1) (b + c)(b + c − 1) (b + c)(b + c − 1) g) G vyjmeme pět koulí a všechny jsou bílé (b ≥ 5). Vypočtěte pro b = 15 a c = 10. ! ! b+c b Řešení: Je celkem možností jak vyjmout pětici koulí a znich je příz5 5 ! b 5 !. nivých jevu G. Je tedy P (G) = b+c 5 Pro číselné zadání je
P (G) =
15 5 25 5
! ! =
15.14.13.11 5.3.7.2.13.12.11 13 . = = = 0.05652. 25.24.23.22.21 5.5.12.2.23.11.2.7.3 230
4. Píšeme náhodně tři cifry. Určete pravděpodobnosti těchto jevů:
3
(Úlohu řešte ve dvou variantách: číslo může být libovolné, nebo ∗ číslo nesmí začínat nulou.) a) A Cifry jsou navzájem různé. Řešení: Každou z cifer je možné vybrat celkem 10 způsoby. Celkový počet možných voleb je tedy 103 = 1000. Příznivých možností jevu A je 10.9.8 = 720, neboť první cifru lze vybrat 10 způsoby, druhou 9 způsoby (1 je už z výběru vyloučena) a třetí 720 8 (již dvě jsou zakázány). Je tedy P (A) = 1000 = 0.72. Varianta A∗ . Pro všechny volby je možné první cifru vybrat 9 způsoby (nesmí být ˙ 10 ˙ = 900 možností. Příznivé jevu A∗ 0), druhou a třetí deseti, tedy je celkem 910 jsou volby: 9 možností pro první cifru, ( nula je vyloučena), 9 možností pro druhou ( zvolená je vyloučena, ale přidáme nulu) a 8 pro třetí cifru, tedy celkem 9.9.8 = 641. 641 Je tedy P (A∗ ) = = 0.72. To znamená, že P (A) = P (A∗ ). 900 b) B Pravě dvě cifry jsou stejné. Řešení: Je opět 1000 všech možností volby. Příznivých jevu B je 270. Dvojici shodných cifer lze vybrat 10 způsoby, 9 pak zbývající cifru, kterou lze umístit na první, druhou či třetí pozici. Dostaneme tak celkem 10.9.3 = 270 možností. Je tedy 270 = 0.27. P (B) = 1000 Pro variantu B ∗ dostaneme opět 900 všech možností výběru. Příznivých jevu B ∗ je 3.9.9 = 243. Oznamčme si cifry písmeny a a b. Uvažovaná čísla mají tvar {a, a, b}, {a, b, a} {b, a, a}. Pro první dva tvary je a 6= 0, tedy 9 možností a b může být nula, t.j. taky 9 možností. Pro třetí tvar je b 6= 0, tedy 9 možností a a může být nulové, t.j. opět 9 možností. Každá z uvažovaných variant čísla se vyskytne ve 9.9 = 81 možnostech, tudíž všech je celkem 3.81 = 243. Je tedy 243 = 0.27. Rovněž i tady je P (B) = P (B ∗ ). P (B ∗ ) = 900 c) C Cifry jsou všechny stejné. Řešení: Cifru je možné volit 10 způsoby, je tedy P (C) =
10 1000
∗
= 0.01.
Pro variantu C dostaneme 9 možností volby cifry a tudíž je P (C ∗ ) = tedy i zde je P (C) = P (C ∗ ).
9 900
= 0.01,
Poznamenejme, že ovšem platí: P (A) + P (B) + P (C) = 1. 5. Ve sportce se losuje 6 čísel ze 49. Vypočtěte pravděpodobnosti jevu Ak uhodneme k čísel, k = 0, 1, . . . , 6. Poznamenejme, že výhra se vyplácí v případě jevů A6 , A 5 , A 4 , A 3 . 49 Řešení: Pro volbu šestice čísel ze 49 máme celkem 6 lenou šestici znamená zvolit jedinou možnost. Je tedy 1 1 ! = P (A6 ) = = 7.1511.10−8 . 13 983 816 49 6
!
možností. Uhádnout zvo-
Pokud chceme uhádnout pět čísel, musíme zvolit pět čísel ze šesti. To je celkem možností. Poslední šesté číslo volíme ze zbývajících 49 − 6 = 43 čísel. Je tedy 4
6 5
!
P (A5 ) =
49 43. 6 49 6
!
258 = 1.84498.10−5 . 13 983 816
=
!
Obdobně dostaneme ! ! 6 43 4 2 13 545 . ! = P (A4 ) = = 9.6862.10−4 , 13 983 816 49 6
P (A3 ) =
P (A2 ) =
P (A1 ) =
6 3
!
43 3
49 6 6 2
!
6 1
!
43 4
49 6 !
=
246 820 . = 1.765.10−2 , 13 983 816
=
1 851 150 . = 0.13237, 13 983 816
=
5 775 588 . = 0.41301, 13 983 816
!
!
43 5
49 6
!
!
!
a P (A0 ) =
43 6 49 6
! ! =
6 096 454 . = 0.43596. 13 983 816
Poznamenejme, že je jedná o hypergeometrické rozdělení: 49 je všech prvků; 6 je sledované vlastnosti (tažených); k, k = 0, 1, . . . , 6 je počet tažených ve výběru 6 čísel. Tedy
P (Ak ) =
6 k
!
43 6−k 49 6
!
!
, k = 0, 1, . . . , 6.
6. V osudí je b bílých koulí a c černých koulí. Dva hráči jeden po druhém náhodně vyjímají kouli (a po tahu ji vrací). Hra končí jakmile některý z hráčů vytahne bílou kouli. Vypočtěte pravděpodobnosti P1 výhry prvního hráče a P2 výhry druhého. Vyčíslete pro b = c = 1 (házení mincí) a b = 1, c = 5 (házení hrací kostkou).
5
b a černé je Řešení: Pravděpodobnost tažení bílé koule v kterékoliv pokusu je b+c c . K tomu, aby první hráč vyhrál v prvním kole, je nutné, aby vytáhl bílou kouli b+c hned na první pokus. Aby vyhrál druhý hráč, musí být první neúspěšný a druhý musí vytáhnout bílou kouli. Aby tyto situace nastaly až v k− tém kole, k > 1, musí proběhnout k − 1 kol losování, ve kterých jsou oba hráči neúspěšní. Celkovou pravděpodobnost dostaneme jako součet pravděpodobností výher jednotlivých kol. Je tedy 2 4 2k b c b c b c b P1 = + + + ... + ... = b+c b+c b+c b+c b+c b+c b+c 2k ∞ c b+c b X = , = b + c k=0 b + c b + 2c a 3 2k+1 c b c b c b P2 = + + ... + + ... = b+cb+c b+c b+c b+c b+c 2k ∞ c b X c c = = . b + c b + c k=0 b + c b + 2c Pochopitelně můžeme počítat jednodušeji P2 = 1 − P1 . Pro uvedená číselná zadání dostaneme: b = c = 1 : P1 = 32 , P2 = 13 ; b = 1, c = 5 : P1 =
6 , 11
P2 =
5 . 11
7. Dva střelci střílí dvakrát na terč. První jej zasahuje s pravděpodobností p1 a druhý s p2 . Vítězí ten, kdo má více zásahů. Vypočtěte pravděpodobnosti možných výsledků. Vyčíslete jednotlivé pravděpodobnosti pro hodnoty a) p1 = 0.9, p2 = 0.85; b) p1 = 0.9, p2 = 0.8. Řešení: Jednotlivé výstřely jsou na sobě nezávislé, pravděpodobnosti průniků jednotlivých jevů dostaneme násobením. P1 vítězí první. musí nastat tyto situace: 1. dvakrát zasáhne, 2. dvakrát mine; 1. dvakrát zasáhne, 2. jednou zasáhne a jednou mine; 1. jednou zasáhne a jednou mine, 2. dvakrát mine. Potom je pravděpodobnost výhry prvního rovna P1 = p21 (1 − p2 )2 + 2p21 p2 (1 − p2 ) + 2p1 (1 − p1 )(1 − p2 )2 . Obdobně dostaneme pro výhru druhého pravděpodobnost P2 = p22 (1 − p1 )2 + 2p22 p1 (1 − p1 ) + 2p2 (1 − p2 )(1 − p1 )2 a pravděpodobnost nerozhodného výsledku Px = p21 p22 + 4p1 p2 (1 − p1 )(1 − p2 ) + (1 − p1 )2 (1 − p2 )2 . Pro zadané číselné hodnoty dostaneme: a) P1 = 0.2289, P2 = 0.1398, Px = 0.6314; b) P1 = 0.2988, P2 = 0.1248, Px = 0.5764.
6
8. Mezi součástkami je 3% vadných. Ze skupiny 100 součástek jich náhodně vybereme 15. Jaké jsou pravděpodobnosti jevů, že ve vybrané skupině je k, k = 0, 1, 2, 3 vadných součástek. Řešení: Připomeňme, že se jedná o hypergeometrické rozdělení. !
100 Všech možných výběrů 15 součástek (prvků) ze sta je . K tomu, aby soubor 15 obsahoval k vadných součástek musíme je vybrat ze souboru 3 vadných. Zbývajících 15 − k dobrých musíme vybrat ze souboru 97 dobrých. Pravděpodobnost jevu, že soubor obsahuje k vadných součástek je tedy 3 k
Pk =
!
!
97 15 − k ! , 100 15
k = 0, 1, 2, 3.
Dosazením!dostaneme: 97 15 85.84.83 ! = = 0.6108, P0 = 100.99.98 100 15
P1 =
P2 =
97 3 14 100 15
! =
97 3 13 100 15 97 12
P3 =
!
3.15.85.84 = 0.3312, 100.99.98
!
! =
3.14.15.85 = 0.0552, 100.99.98
!
100 15
! =
13.14.15 = 0.0028. 100.99.98
9. Student zná odpověď na 20 otázek z 25. Náhodně si vytáhne 3 otázky. Jaké jsou pravděpodobnosti toho, že zodpoví 3, 2, 1 či žádnou otázku. Řešení: P3 =
P2 =
20 3 25 3
! ! =
20 5 2 25 3
20.19.18 = 049565.; 25.24.23
!
! =
5.3.20.19 = 0.41304; 25.24.23
7
P1 =
P0 =
5 20 2 25 3 5 3
!
! =
20.5.4.3 = 0.08696; 25.24.23
!
25 3
! =
5.4.3 = 0.00435. 25.24.23
10. V osudí jsou bílé a černé koule. Náhodně vytáhneme dvě a pravděpodobnost toho, že jsou bílé je 0.5. Jaký je nejmenší možný počet koulí v osudí. Řešení: Předpokládejme, že je v osudí celkem n koulí a z toho je k, k ≥ 2 bílých. Potom je pravděpodonost tažení dvou bílých koulí rovna
p=
k 2 n 2
! ! =
k(k − 1) . n(n − 1)
Odtud dostaneme podmínku k(k − 1) 1 = ⇔ n(n − 1) = 2k(k − 1). 2 n(n − 1) Postupným dosazováním dostáváme: n = 2, k = 2 : 2 = 4; n = 3, k = 2 : 6 = 4; n = 4, k = 2 : 12 = 4;
k = 3 : 6 = 12; k = 3 : 12 = 12;
k = 4 : 12 = 24.
Podmínka je splněna pro n = 4 a k = 3. V osudí jsou 4 koule, 3 bílé a 1 černá. 11. Máme domluvenou schůzku mezi 12 a 13 hodinou, na kterou oba přicházíme náhodně a čekáme nejvýše 10 minut. Určete jaká je pravděpodobnost Ps , že dojde k setkání. Jaká bude tato pravděpodobnost Ps∗ , pokud čeká pouze jeden. Řešení: Označme t1 čas po 12 hodině, kdy přijde první (označený, ne v čase) a t2 , kdy přijde druhý. Potom bod (t1 , t2 ) ve čtverci (0, 1) × (0, 1) označuje odpovídající situaci. Aby došlo k setkání, musí být |t1 −t2 | < 16 . Protože je každá situace stejně pravděpodobná, je pravděpodobnost setkání rovna poměru obsahu části čtverce, která odpovídá setkání ku obsahu čtverce. Je tedy Ps = 1 −
2 !
5 6
:1=1−
25 11 = = 0, 3056. 36 36
Pokud bude čekat jen první, musí přijít dříve a pak setkání odpovídá stav 0 ≤ t2 − t1 < 61 . Je tedy
8
Ps∗
2 !
1 1 5 = 1− − 2 2 6
1 25 11 1− = = 0, 15277. 2 36 72
:1=
12. Přijímač přijímá signály ze dvou zdrojů. Signály přicházejí náhodně v intervalu 0,5s. Pokud je přijat signál z 1. vysílače, je přijímač na 0,15s blokován. Vypočtěte pravděpodobnosti Pp přijetí signálu a Pz zablokování příjmu. Řešení: Označme si t1 okamžik příchodu signálu z 1. vysílače a t2 okamžik příchodu signálu z 2. vysílače. Je 0 < t1,2 < 0, 5. Aby byl přijímač blokován, musí být t1 < t2 < t2 + 0, 15. Bod (t1 , t1 ) ve čtverci (0; 0, 5) × (0; 0, 5) odpovídá situaci příchodu obbou signálů. Protože je každá možnost stejně pravděpodobná, je pravděpodobnost zablokování Pz rovna poměru části čtverce ku obsahu celého čtverce. Je tedy 0, 25 − 0, 1225 1 2 0, 5 − 0, 352 : 0, 52 = = 0, 255. Pz = 2 0, 5 Pravděpodobnost příjmu je tedy Pp = 1 − Pz = 1 − 0, 255 = 0, 745. 13. Vlaky metra jezdí po 5 minutách. Jestliže jdeme náhodně na metro, vypočtěte pravděpodobnost P jevu, že čekáme nejvýše 1 minutu. : Řešení Označíme si t1 okamžik našeho příchodu a t2 okamžik příjezdu metra. K tomu, aby nastal sledovaný jev musí platit 0 ≤ t2 − t1 ≤ 1. Každé situaci odpovídá bod (t1 , t2 ) ve čtverci h0, 5i × h0, 5i. Příznivé situace sledovanému jevu jsou v pásu splňujícím podmínku 0 ≤ t2 − t1 ≤ 1. Pravděpodobnost P je rovna poměru obsahu pásu a obsahu čtverce. Je tedy P =
1 2 (5 2
− (5 − 1)2 ) 25 − 16 9 = = = 0, 18. 52 2.25 50
9
