Oper´aci´okutat´as 1 - Feladat gy˝ujtem´eny Bek´en´e R´acz Anett
1.
Grafikusan megoldhat´ o feladatok
1. Juli n´eni gofrit ´es palacsint´at ´arul a strandon. K´et alapanyag sz¨ uks´eges ezek el˝ o´ all´ıt´ as´ ahoz: tej ´es liszt. Minden eladott gofri ut´an 50 forint ´es minden eladott palacsinta ut´an 40 forint profitja lesz. Egy gofrihoz 10 dkg liszt, 13 cl tej sz¨ uks´eges. Egy palacsint´ahoz 8 dkg liszt, 6.5 cl tej sz¨ uks´eges. Viszont Juli n´eninek v´egesek a k´eszletei, ´ıgy lisztb˝ol csak 8 kg, tejb˝ ol 84.5 dl ´ all rendelkez´esre. Mennyi palacsint´at ´es mennyi gofrit csin´ aljon, hogy maxim´alis legyen a profitja? 2. Giapetto Fafarag´ o C´ege k´etfajta, f´ab´ol k´esz¨ ult j´at´ekot gy´art: katon´akat ´es vonatokat. Egy katon´at 27$-´ert lehet eladni, ´es el˝o´all´ıt´as´ahoz 10$ ´ert´ek˝ u nyersanyag sz¨ uks´eges ´es minden legy´artott katona 14$-ral n¨oveli Giapetto k¨ olts´egeit. Egy vonat 21$-´ert adhat´o el, el˝o´all´ıt´as´ahoz 9$ ´ert´ek˝ u nyersanyag sz¨ uks´eges ´es minden legy´artott vonat 10$-ral n¨oveli Giapetto k¨ olts´egeit. A vonatok ´es a katon´ak gy´art´asa k´etf´ele szakmunk´at ig´enyel: Fel¨ uletkezel˝ o ´es fafarag´o munk´at. Egy katona el˝o´all´ıt´asa 2 ´ora fel¨ uletkezel˝ o munk´ at ´es 1 ´ ora fafarag´o munk´at ig´enyel. Egy vonathoz 1 ´ora fel¨ uletkezel´es ´es 1 ´ ora fafarag´as sz¨ uks´eges. Giapettonak korl´atlan mennyis´eg˝ u nyersanyag ´ all rendelkez´es´ere, viszont csup´an 100 fel¨ uletkezel˝o ´ora ´es 80 fafarag´ o´ ora ´ all a rendelkez´es´ere. A vonatok ir´anti kereslet korl´atlan, viszont a katon´ akb´ ol 40-n´el t¨obbet nem tud eladni. Adj tan´acsot Giapettonak, hogy h´ any katon´at ´es h´any vonatot gy´artson, hogy a bev´etele a legt¨ obb legyen! 3. Egy kis ruh´ azati v´ allalat konfekci´o ¨olt¨ony¨oket ´es n˝oi koszt¨ um¨oket gy´art. Minden koszt¨ um¨ on 4 $ haszna van, m´ıg minden ¨olt¨ony¨on 3 $. Minden olt¨ ¨ ony illetve koszt¨ um egy ´ora szab´ast ig´enyel. Egy kiszabott koszt¨ um¨ot 2, m´ıg egy kiszabott ¨ olt¨ onyt 1 ´ora alatt lehet megvarrni. Heti termel´esi terv elk´esz´ıt´es´ehez tudjuk, hogy egy h´eten maximum 40 ´ora ford´ıthat´o szab´asra ´es 60 varr´ asra. Az anyagb´ol rendelkez´esre ´all´o mennyis´eg felt´etelez´es¨ unk szerint korl´ atlan. Adjunk tan´acsot a c´egnek, hogy a maxim´alis profithoz mennyi koszt¨ um¨ ot ´es o¨lt¨onyt k´esz´ıtsen egy h´eten! 4. A Bevco c´eg egy Oranj nev˝ u narancs ´ızes´ıt´es˝ uu ¨d´ıt˝oitalt gy´art narancssz´oda ´es narancsl´e kombin´ al´ as´aval. Egy deka narancssz´oda 0.5 dkg cukrot, 1 mg C-vitamint tartalmaz, m´ıg 1 dkg narancsl´e 0.25 dkg cukrot ´es 3 mg Cvitamint. A Bevconak 1 dkg narancssz´oda 2 centbe, 1dkg narancsl´e pedig 1
3 centbe ker¨ ul. A Bevco marketing oszt´alya elhat´arozta, hogy minden 10 dek´ as Oranj-palack legal´abb 20 mg C-vitamint ´es legfeljebb 4 dkg cukrot tartalmazhat. Line´ aris programoz´as seg´ıts´eg´evel hat´arozzuk meg, hogy a Bevco c´eg hogyan tud eleget tenni a marketing oszt´aly k¨ovetelm´enyeinek minim´ alis k¨ olts´eg mellett? 5. Egy c´eg g´epeket ´es emberi er˝ot szeretne alkalmazni munk´ak elv´egz´es´ere. A g´epek ´ aramot fogyasztanak, a munk´asoknak b´ert kell fizetni. Minden megvett g´ep 8000-rel cs¨okkenti a b´erkiad´asokat ´es 6000-rel n¨oveli a villanysz´ aml´ at. Minden felvett munk´as 4000-rel n¨oveli a b´erkiad´asokat ´es 12000-rel cs¨ okkenti a villanysz´aml´at. A b´erekre ¨osszesen 32000-¨ unk van, a villanysz´ aml´ ara maximum 72000 lehet. A munkav´egz´esi k´epess´ege egy g´epnek 8 egys´eg egy embernek pedig 4 egys´eg. C´elunk, hogy a munkav´egz´es maxim´ alis legyen. Adjunk tan´acsot, hogy h´any g´epet ´es h´any embert alkalmazzon a c´eg! ( Az elv´egzend˝o munka felt´etelezz¨ uk, hogy korl´ atlan.) 6. Egy aut´ ogy´ ar szem´ely- ´es teheraut´okat gy´art. A gy´art´as sor´an minden j´ arm˝ unek v´egig kell mennie a fest˝o- ´es a karossz´eria ¨osszeszerel˝o m˝ uhelyen. Ha a fest˝ om˝ uhely csak teheraut´okat festene, akkor napi 40 darabot tudna lefesteni. Ha viszont csak szem´elyaut´okat, akkor naponta 60 darabot tudna elk´esz´ıteni. A karossz´eria m˝ uhely napi kapacit´asa csak teheraut´ok eset´en napi 50, csak szem´elyaut´ok eset´en napi 50. Minden eladott teheraut´ o 300 $-ral, minden eladott szem´elyaut´o 200 $-ral j´arul hozz´a a profithoz. A keresked˝ok azt szeretn´ek, ha a gy´ar naponta legal´abb 30 teheraut´ ot ´es 20 szem´elyaut´ot gy´artson. 7. A Dorian aut´ ogy´ art´ o c´eg luxusaut´okat ´es teheraut´okat gy´art. A v´allalat u ´gy gondolja, hogy a v´as´arl´oi legnagyobb val´osz´ın˝ us´eggel magas j¨ovedelm˝ u n˝ ok ´es f´erfiak. A fogyaszt´oi csoportok megnyer´ese ´erdek´eben a c´eg t´ev´e-hirdet´esi kamp´ anyt ind´ıt. Egy perces rekl´amhelyeket v´as´arolhat k´et k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o m˝ usor k¨ ozben. Kabar´e illetve futballmeccs alatt. A statisztikai adatok alapj´ an az al´ abbi m˝ usorok n´ez˝oi:
Magas J¨ ovedelm˝ u N˝ o Magas J¨ ovedelm˝ u F´erfi Rekl´ amok ´ ara percenk´ent
N´ezetts´eg Kabar´e alatt Futballmeccs alatt 7 milli´o 2 milli´o 2 milli´o 12 milli´o 50 000 100 000
A c´eg elv´ ar´ asa, hogy a rekl´amjait legal´abb 28 milli´o magas j¨ovedelm˝ u n˝o ´es 24 milli´ o magas j¨ ovedelm˝ u f´erfi l´assa. Alkalmazzunk line´aris programoz´ast annak megv´ alaszol´ as´ ara, hogy milyen ar´anyban vegyen a c´eg rekl´am perceket a k´et m˝ usor alatt, hogy minim´alis k¨olts´eg mellett teljes¨ uljenek az elv´ ar´ asaik!
2
8. A Bloomington s¨ orf˝ ozde pilzenit ´es angol vil´agos s¨ort ´all´ıt el˝o. A pilzeni elad´ asi ´ ara 5$, az angol vil´agos´e 2$ hord´onk´ent. Egy hord´o pilzeni el˝ o´ all´ıt´ as´ ahoz 5 font kukorica ´es 2 font koml´o sz¨ uks´eges. Egy hord´o angol s¨ orh¨ oz 2 font kukorica ´es 1 font koml´o kell. Rendelkez´esre ´all 60 font kukorica ´es 25 font koml´ o. Fogalmazzunk meg LP-t a profit maximaliz´al´as´ara! Oldjuk meg grafikusan a feladatot! 9. Jones farmer k´etf´ele s¨ utem´enyt s¨ ut (csokol´ad´es ´es van´ıli´as), hogy kieg´esz´ıtse j¨ ovedelm´et. Egy csokol´ad´es s¨ utem´eny 1 $-´ert, egy van´ıli´as 50 cent´ert adhat´ o el. Minden csokol´ad´es s¨ utem´enybe kell 4 toj´as ´es 20 percig kell s¨ utni. Minden van´ıli´ as s¨ utibe kell 1 toj´as ´es 40 percig kell s¨ utni. Rendelkez´esre ´all 8´ ora s¨ ut´esi id˝ o valamint 30 toj´as. Fogalmazzunk meg LP-t a profit maximaliz´ al´ as´ ara ´es oldjuk meg grafikusan a feladatot. (T¨ortsz´am´ u s¨ utem´eny megengedett.) Szoftver seg´ıts´eg´evel adjunk v´alaszt arra az esetre is amikor csak eg´esz sz´ am´ u s¨ utem´enyek lehets´egesek. 10. Egy b´ utorgy´ art´ o c´eg t¨ om¨or f´ab´ol ´es pr´eselt lapb´ol k´esz´ıt asztalokat. Egy t¨ om¨ orfa asztalb´ ol sz´ armaz´o haszon 1 $ egy pr´eselt lapb´ol 2 doll´ar, az elv´ ar´ asuk, hogy legal´ abb 6 $ haszon keletkezzen! Egy pr´eselt lap asztalhoz 1 kg f˝ ur´eszporra van sz¨ uks´eg, a t¨om¨orfa asztal gy´art´as´an´al 1 kg f˝ ur´eszpor, mint mell´ekterm´ek keletkezik, a gy´arnak tartal´ekban maximum 3 kg felhaszn´ alhat´ o f˝ ur´eszpora van. Mindk´et asztal gy´art´as´ahoz 1-1 tubus ragaszt´ o is kell, amib˝ol 10 tubus ´all a rendelkez´esre! A marketing oszt´ aly szerint minden legy´artott t¨om¨orfa asztal 2 ponttal n¨oveli a gy´ar term´ekeinek n´epszer˝ us´eg´et, sz´ınvonal´at, m´ıg egy legy´artott pr´eselt asztal 3 ponttal cs¨ okkenti! Adjunk tan´acsot h´any t¨om¨orfa ´es h´any pr´eselt asztalt k´esz´ıtsen a c´eg, hogy a sz´ınvonal maxim´alis legyen! 11. Egy fest´ekgy´ art´ o v´ allalat k´etfajta fest´eket gy´art, k¨ ult´erit ´es belt´erit. A gy´ art´ ashoz k´etf´ele alapanyagot haszn´alnak fel A-t ´es B-t. A belt´eri fest´ekhez kell 2 tonna az A anyagb´ol ´es 1 tonna a B alapanyagb´ol, m´ıg a k¨ ult´eri fest´ek el˝ o´ all´ıt´ as´ ahoz kell 1 tonna az A anyagb´ol ´es 2 tonna a B anyagb´ol. A k´eszlet A-b´ ol 6, B-b˝ol 8 tonna. A piackutat´as azt mutatja, hogy a kereslet a belt´eri fest´ekek ir´ant legfeljebb 1 tonn´aval t¨obb, mint a k¨ ult´eri fest´ekekre, tov´ abb´ a a bels˝o fest´ek nem haladhatja meg a 2 tonn´at. A kereskedelmi ´ ara 1 tonna bels˝o fest´eknek 2000$, a k¨ ult´erinek pedig 3000$. Adjunk napi termel´esi tervet a gy´art´onak grafikus m´odszert haszn´alva. 12. Egy b´ utoripari kisv´ allalkoz´as k´etf´ele b´ utort gy´art: kom´odot ´es t´alal´oszekr´enyt. Egy t´ alal´ oszekr´eny el˝ o´all´ıt´as´ahoz 2 egys´egnyi faanyagra, 2 egys´eg u ¨vegre ´es 3 ´ ora szakmunk´ ara van sz¨ uks´eg, m´ıg egy kom´od el˝o´all´ıt´as´ahoz 4 egys´eg faanyagra ´es 2 ´ ora szakmunk´ara. A rendelkez´esre ´all´o kapacit´asok: 160 egys´eg faanyag, 120 ´ ora szakmunka ´es 60 egys´eg u ¨veg. Hogyan tudn´a maximaliz´ alni a v´ allalkoz´as a bev´etel´et, ha egy t´alal´oszekr´enyt 60 Eur´o´ert, egy kom´ odot 80 Eur´ o´ert tudnak ´ert´ekes´ıteni? 13. Egy tej-gazdas´ agban k´et fajta ´allatot tartanak tehenet ´es kecsk´et. Jelenleg 10 teh´en ´es 20 kecske van az ´allom´anyban. Az ´allatokat els˝osorban a 3
tejtermel´es miatt nevelik. Egy teh´en ´atlagosan 10 l, m´ıg egy kecske 3 l tejet ad naponta. A teh´entej ´ara literenk´ent 100 Ft, m´ıg a kecsketej´e 150 Ft. Egy teh´en tart´ as´ ahoz 5, m´ıg egy kecsk´ehez 4 egys´eg ter¨ ulet sz¨ uks´eges, a gazd´ ak ¨ osszesen 160 egys´egnyi ter¨ uleten tarthatj´ak az ´allatokat. Az ´elelmez´es szempontj´ ab´ol egy teh´enre naponta 5 $-t m´ıg egy kecsk´ere 3-at ´ kell k¨ olteni. Elelmez´ esre ¨osszesen napi 500 $ jut a gazdas´agban. Adjunk tan´ acsot a gazd´ aknak, hogyan v´altoztass´ak meg a jelenlegi ´allom´anyt (el is adhat ´ allatot, vehet is ´allatot), hogy a felt´eteleikhez m´erten optim´alis legyen a tej elad´ as szempontj´ab´ol!
2.
T¨ obbv´ altoz´ os feladatok
14. Egy ´ allatteny´eszt˝ o 4 f´ele t´appal eteti ´allatait, amiknek k¨ ul¨onb¨oz˝o az ¨osszet´etele. Ahhoz, hogy a ”bio” min˝os´ıt´est megkapja a gazdas´ag´ara, az ´allatok takarm´ any´ aban maximaliz´alva vannak bizonyos ¨osszetev˝ok. Az al´abbi t´ abl´ azat tartalmazza, hogy egy egys´egnyi t´ap milyen mennyis´egben tartalmazza ezeket az ¨ osszetev˝oket, ´es hogy a bevitt mennyis´eg mennyi lehet legfeljebb. K´erd´es, hogy melyik t´apb´ol mennyit adjon az ´allatainak. A c´el a t´ ap´ert´ek maximaliz´ al´asa, a min˝os´ıt´esi el˝o´ır´asok megtart´asa mellett. T1 T2 T3 T4 Legfeljebb adhat´ o mennyis´eg
Szinez´ek 3 mg 5 mg 4 mg 1 mg
Tart´os´ıt´oszer 10 mg 4 mg 7 mg 2 mg
Antibiotikum 9 mg 5 mg 2 mg 2 mg
130 mg
70 mg
65 mg
T´ap´ert´ek 4 5 2 1
15. Az ´etrendem azt ´ırja el˝o, hogy minden ´etel, amit megeszem, a n´egy ”alapvet˝ o ´elelmiszercsoport” egyik´ehez tartozz´ek. A k¨ovetkez˝o n´egyf´ele ´etel all a rendelkez´esemre: csokis s¨ ´ utem´eny, csokifagylalt, k´ola ´es anan´aszos t´ ur´ otorta. Az el˝ o´ır´ as szerint naponta el kell fogyasztanom legal´abb 500 kal´ ori´ at, 6 deka csokol´ ad´et, 10 deka cukrot ´es 8 dkg zsirad´ekot. Az al´abbi t´ abl´ azat tartalmazza az ´elelmiszerek t´ap´ert´ek´et, ´ar´at.
Csokis s¨ utem´eny Csokifagylalt K´ ola Anan´ aszos t.torta El˝ o´ır´ as
Kal´oria 400 200 150 500 min 500
Csokol´ad´e 3 2 0 0 min 6
4
Cukor 2 2 4 4 min 10
Zsirad´ek 2 4 1 5 min 8
´ Ar 50 20 30 80
3.
Sz´ all´ıt´ asi feladatok
16. A Powerco c´egnek h´ arom elektromos er˝om˝ utelepe van, ezek n´egy v´aros energia-sz¨ uks´egelet´et l´ atj´ak el. Az egyes er˝om˝ uvek a k¨ovetkez˝o mennyis´eg˝ u kWh elektromos energi´at k´epesek szolg´altatni: 1.er˝om˝ u: 35 milli´o; 2.er˝om˝ u: 50 milli´ o; 3.er˝ om˝ u: 40 milli´o. Az egyszerre megjelen˝o cs´ ucsfogyaszt´asi ig´enyek ezekben a v´ arosokban: 1.v´aros: 45 milli´o; 2 v´aros: 20 milli´o; 3.v´ aros: 30 milli´ o; 4.v´ aros: 30 milli´o. 1 milli´o kW ´aram sz´all´ıt´asa valamelyik er˝ om˝ ub˝ ol valamelyik v´arosba att´ol f¨ ugg, hogy milyen t´avols´agra kell sz´ all´ıtani. Fogalmazzunk meg LP-t, mely minimaliz´alja annak k¨olts´eg´et, hogy mindegyik v´ aros cs´ ucsfogyaszt´asi ig´enye ki legyen el´eg´ıtve.
Honnan 1. er˝ om˝ u 2. er˝ om˝ u 3. er˝ om˝ u Ig´eny
Hov´a 2. v´aros 3. 6 12 9 20
1. v´ aros 8 9 14 45
v´aros 10 13 16 30
4. v´aros 9 7 5 30
Szolg´altat´as 35 50 40
17. Oldjuk meg a k¨ ovetkez˝o 3 rakt´ar - 4 bolt sz´all´ıt´asi feladatot!
R1 R2 R3
B1 8 7 2 20
B2 2 4 5 16
B3 4 3 5 42
B4 7 2 9 42
30 40 50
18. Oldjuk meg a k¨ ovetkez˝o 4 rakt´ar - 3 bolt sz´all´ıt´asi feladatot!
R1 R2 R3 R4
B1 8 6 7 4 28
B2 7 2 5 9 30
B3 3 7 3 9 7
B4 4 5 3 8 15
B5 2 10 1 2 9
12 17 25 35
19. Egy s¨ ut¨ od´enek 3 u ¨zeme van V1, V2, V3 v´arosban. A boltok ahova sz´all´ıtani szeretne (B1, B2, B3, B4) a k¨ovetkez˝o t´abl´azat szerinti t´avols´aga vannak. Oldjuk meg hurokszerkeszt´essel az al´abbi feladatot!
5
V1 V2 V3
B1 5 4 3 16
B2 7 2 9 7
B3 10 6 3 8
B4 1 4 8 26
32 16 9
20. Egy s¨ ut˝ oipari kisv´ allalkoz´as 3 p´eks´egben (A, B ´es C) s¨ ut kenyeret, naponta rendre 40, 15 ´es 35 kilogrammot. N´egy falu (I., II., III., IV) kisboltj´ at l´ atj´ ak el keny´errel, a boltok napi ig´enye 20 kg, 30 kg, 30 kg, 10 kg. Az egyes p´eks´egek ´es boltok k¨oz¨otti sz´all´ıt´asi k¨olts´egek az ´alabbi k¨ olts´egm´ atrixban adottak. Adjuk meg az optim´alis sz´all´ıt´asi tervet!
A B C
4.
I. 2 2 3 20
II. 3 1 8 30
III. 5 3 4 30
IV. 6 5 6 10
40 15 35
Hozz´ arendel´ esi feladatok
21. Egy asztalosm˝ uhely, melyben 5 alkalmazott (I., II., III., IV., V.) dolgozik, 5 k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o b´ utordarab (A, B, C, D, E) elk´esz´ıt´es´ere kap megrendel´est. Mind az 5 alkalmazott k´epes mind az 5 b´ utort elk´esz´ıteni, de k¨ ul¨onb¨oz˝o id˝ o alatt. Az egyes alkalmazottaknak a b´ utorok elk´esz´ıt´es´ehez sz¨ uks´eges id˝ oig´eny´et (´ or´ aban) az ´alabbi t´abl´azat tartalmazza. Melyik alkalmazottat melyik b´ utor elk´esz´ıt´es´evel ´erdemes megb´ızni, ha az ¨osszmunkaid˝ot minimaliz´ alni k´ıv´ anjuk?
I. II. III. IV. V.
A 8 5 11 7 11
B 10 8 14 12 13
C 9 7 10 12 12
D 5 1 3 1 2
E 2 3 4 4 3
22. 5 munk´ as elhelyez´es´er˝ ol kell d¨onteni 5 v´arosban. Az al´abbi t´abl´azat tartalmazza azt, hogy az egyes munk´asok egyes v´arosokban val´o elhelyez´es´et h´ anyan ellenzik. Tal´ aljuk meg a legjobb kihelyez´esi tervet abb´ol a szempontb´ ol, hogy azt a legkevesebben ellenezz´ek! Azaz mondjuk meg melyik ember melyik v´ arosba menjen dolgozni, hogy ezt a kombin´aci´ot a legkevesebb d¨ ont´eshoz´ o ellenezze!
6
J´ ozsef B´ela Gyula Istv´ an J´ anos
Bp. 2 4 6 4 9
Db 7 1 5 2 3
Nyh. 8 5 10 8 8
P´ecs 3 9 2 10 3
V´ac 1 10 4 3 5
23. 4 hallgat´ o zh-ra k´esz¨ ul, megbesz´elik, hogy seg´ıtenek egym´asnak ´es mindegyik¨ uk csak egy feladat t´ıpusb´ol k´esz¨ ul fel. Az al´abbi t´abl´azat tartalmazza a dolgozat 4 feladat t´ıpus´at ´es a hallgat´ok eredm´enyeit, hogy ¨ atlagosan h´ ´ any sz´ azal´ekosra ´ırj´ak az adott feladatot. Osszuk fel a feladatokat a hallgat´ ok k¨ oz¨ ott, hogy a dolgozat maxim´alis pontsz´am´ u legyen! Az optim´ alis hozz´ arendel´es eset´en v´arhat´oan h´any sz´azal´ekos dolgozatot ´ırnak majd a hallgat´ ok?
H1 H2 H3 H4
Sz´ all´ıt´ asi fel. 80 50 20 30
Graf. m´odszer 70 40 60 40
Dualit´as 75 80 50 65
Szimplex 40 90 70 80
24. Oldjuk meg az al´ abbi hozz´arendel´esi feladatot magyar m´odszerrel!
G1 G2 G3 G4 G5
F1 2 2 5 3 2
F2 3 4 1 3 7
7
F3 6 9 9 2 6
F4 6 8 4 5 8
F5 4 7 8 6 4
