1
Tentamen-wiskunde?
1.1
De basiswiskunde
1. Een van mijn collega’s, liet een mooi verhaal zien: De opgave was: Los op ln(x + 2) − ln(x + 1) = 1. ”Oplossing”: ln(x + 2) = 1 + ln(x + 1) 1 x+2= +x+1 ln 1 3= ln dus x = ln 3. Wat wordt er eigenlijk bedoeld met ln−1 , in de wiskunde boeken, of als zoiets wordt ingetoetst op de rekenmachine? 2. Wat vinden jullie van de volgende afleiding: (A + B)2 = A2 + 2 A B + B 2 dus
5
1
5
(A2 + B 2 ) 2 = A 2 + A2 B 2 + B 2 . 3. Een iemand, die toch zeker wil weten, geen fouten te maken, indien hij/zij door breuken deelt, schrijft bovenaan zijn papier A B C D
=
AB CD
en vervolgens 1 4 1 2
=
1
4 = 2. 2
4. Bij reeksen, moet je het jezelf toch gemakkelijk te maken, dus 1 1n · = 1n . 2 2 5. En wat doe je als de n in de weg zit: 2
(n + 1) 8 (n + 1) of
1
5 4
1
=
2 8 5 4
1
n 4 ( n 4 + 1)
=
5
n 4 + n1
=
8 40 1
n2 + n8 5
n 4 + n1
=
3 4 9. 4
6. Als een extraatje, dacht ik, laat de studenten wat grafieken tekenen, dat moet toch kunnen: Make a graph of the following functions p 2 f1 (x) = arctan (x), f2 (x) = | x | and f3 (x) = e (−x ) . Pay attention to the behaviour of these functions, for instance near the origin, for large values of x, and also for negative values of x. Helaas niemand heeft ze allemaal goed, er zijn door mij hooguit 2 van de 4 punten gegeven. Het ergste antwoord dat ik tegenkwam was, dat 2 de functie f3 (x) = e (−x ) niet bestond.
2
7. Een andere manier van oplossen: 12 + x2 = (1 + x) (1 + x) = x2 + 2 x + 1 = (x2 + 1) + (2 x) dus − ln (12 + x2 ) = − ln (1 + x)2 − 2 x = −2 ln (1 + x) − 2 x. 8. Limieten nemen, is de eerste te simpel(?), dus dan maar de tweede term: 1 4 x lim 41 4 x→0 x 4
+ −
1 x6 36 1 6 x 9
1 4 x + ///// 4
+ ··· = lim 1 4 x→0 + ··· x − ///// 4
1 36 1 9
x6 + · · · x6 + · · ·
=
1 36 , − 91
1 , en bereken x4 en x6 , wie is nu de grootste jammer is dat! Neem x = 10 van de twee? Bereken nu eens
6 x4 + 100 x1000000 x→0 x4 + 1000 x10000000000 lim
de uitkomst is een cijfer, waarvan ik graag zou hebben dat jullie dat halen en nog liever hoger dan dat. Laat je niet in de luren leggen door 1 die gekke machten, vul x = 10 maar weer eens in. 9. Verder valt het op dat de studenten volgens mij niet meer het verschil weten tussen een · of + teken, bijvoorbeeld 2x + 1 4 2 x4 + 12 x2 − x + 7 · 2 = 2x + 2 · 3 2 (x − 1) (x + 4) x − x + 4x − 4 10. Misschien om mij te pesten? Maar wat te denken van √ √ √ Z sin x 1 cos x · ln | x | √ dx = − 4 x x of wat te denken van √ Z √ √ √ sin x √ dx = ln | x | (sin x − cos x) − ln (x) + C, x dit verkregen na parti¨ele integratie en substitutie-technieken?
3
11. Erg jammer vind ik altijd x2 − ln (1 + x2 ) = x2 − (x2 −
x4 x4 + · · · ) = x2 − x2 − + ··· 2 2
Werk toch die haakjes netjes weg. Een heleboel studenten zitten vanalles in hoofd uit te rekenen, maar helaas, wij zijn geen rekenmachines. Schrijf alles gewoon stap voor stap op! En rustig. 12. Wat te denken van ∞ X 1 + 2n 1 + 2n 1 + 2n 1 2n = = = + 6n+2 6n+2 6n + 62 6n 62 n=1
en dan, de linker term gaat naar nul toe, dus die convergeert en de rechter 1 n 2 1 2n 2 = <1 1 2 = 2 6 32 6 2 dus reeks is convergent. Allereerst welke reeks? En wat voor rekenformules worden hier allemaal gebruikt? Waar wordt er bedoeld met 6n+2 ? 13. Een iemand, die echt rekenles nodig heeft 1 + 2n+1 = (1 + 2)n+1 · (1 + 2)−n = 3 1 + 2n Vul eens verschillende waarden van n in! 14. Een collega deed het voorstel om de studenten eens te laten onderzoeken, voor welke waarden van p de onderstaande reeks convergeert ∞ X
1(−p)
n=2
15. Hier weer vermenigvuldigen 2
(e x − 1 − x)(e x − 1 − x) = −e 2 x + 2 x + x2 + 1 Hoe zit dat ook alweer e x · e x = ?
4
16. Zo ook gekke dingen met differenti¨eren, z een functie van x en y: p z = (sin (x))2 + (cos (y))2 en dan
sin (x) cos (x) ∂z = p ∂x (sin (x))2
of z=
p (sin (x))2 + (cos (y))2 = sin (x) + cos (y)
dus
∂z = cos (x) ∂x en alle twee die methoden geven hetzelfde antwoord, dus die afgeleide is goed! Of komt er toch wat anders uit? Wat gebeurt er met de y? 17. Complexe getallen, voor wie het nog niet weet: e 1 (cos π + j sin π) = e −1 , is er nog andere manier om e −1 op te schrijven? Vergelijk dan linker en rechterkant eens met elkaar. 18. Of voor wie zin heeft in het maken van fouten (4 + j) · e 1 (cos π + j sin π) = e 1 (4 + j) (cos π + j sin π) = e 1 (4 cos π + 4 j sin π + j cos π − sin π) en dan het antwoord Re. = e 1 (4 cos π − sin π) Im = e 1 (4 sin π + cos π) Moet dat nu echt zo moeilijk? De antwoorden zijn goed, maar · · · . De waarden van sin π en cos π?
5
19. Even bij de complexe getallen blijvend p √ √ √ √ 32 + 3 j 3 + 3j 9 + 3j 12 √ √ | |= = = √ = 12 j j j 1 Wat wordt hier allemaal door elkaar gebruikt? 20. Waar of niet waar? Bijvoorbeeld arctan
1 = 0 1
en arctan x =
cos x ? sin x
21. De algemene oplossing van de volgende homogene differentiaalvergelijking x00 (t) − x0 (t) − 6 x(t) = 0, wordt gegeven door x(t) = −2 A + 3 B. Het is zo zielig voor die t, die is plotseling helemaal weg. Hoe zat dat nu ook al weer? 22. Weer iets complex 2 1 −4 j 2 = + j, 2 2 j − 10 j 5 2 wat gaat er hier mis? 23. Het hierboven gegeven probleem is slechts een voorbeeld van een echte favoriet onder de studenten en dat is dat −1 + j 1 j = − − 3 − 2j 3 2j en het maakt niet uit wat erin de noemer of de teller staat. Van mij dan ook altijd het voorstel, dat ik graag in dienst kom van die studenten, mochten zij ooit een bedrijfje beginnen en er de baas van zijn! Dat laatste is wel van belang, want wat mijn salaris betreft, neem ik genoegen met (1 + 1) maal mijn huidige salaris, (1 + 1) mits dit wordt uitgerekend door de baas! (Zou het veel uitmaken of het nu met of zonder de rekenmachine wordt uiterekend?) 6
24. Eentje, die ook je ook vaak tegenkomt cos π = cos 1. 25. Verschil tussen x2 + y 2 5 4, en | x |5 2 en | y |5 2, is er tegenwoordig niet meer! Of toch? 26. Vaak is het handig om te weten hoe oppervlakken er in de ruimte uitzien. De vorm ervan en waar ze liggen, daarom de vraag aan de student, die dit leest, wat stellen onderstaande figuren voor? (R > 0) z 2 + x2 + y 2 = R 2 z 2 − x2 − y 2 = 0 z − x2 − y 2 = 0 −z 2 + x2 + y 2 = R2 .
(1) (2) (3) (4)
Te kiezen uit een hyperbolo¨ıde, een parabolo¨ıde, een kegel en een bol? Hint: vaak krijg ik het idee dat de stellingen in de diktaten en boeken nooit van links naar rechts worden gelezen, ze worden in ieder geval de verkeerde kant op toegepast. Een ander goede oefening is om de variabelen x, y en z eens door elkaar te gooien en te kijken, wat er dan voor figuur uitkomt. (Op tentamens gooi ik de variabelen niet meer door elkaar. Zou ik dat wel doen, dan voorzie ik grote problemen!)
1.2
Ingeleverd instructiewerk, om na te kijken
27. Ga niet zo maar regels voor logaritme gebruiken, maar controleer vooraf aan het gebruik of dat wat je wilt gebruiken, wel goed is. Die zoge-
7
naamde klok horen luiden, maar niet weten waar de klepel hangt! α e (λ1 t) + β e (λ2 t) = 0 α e (λ1 t) = −β e (λ2 t) α ln (λ1 t) = −β ln (λ2 t) ln (λ1 t) β = − ln (λ2 t) α β λ1 t − λ2 t = e − α β (λ1 − λ2 ) t = e − α β e− α t = (λ1 − λ2 ) De eerste en de laatste twee stappen zijn wiskundig juist, maar wat gebeurt daar verder allemaal? Wat er wordt eigenlijk gevraagd? Toon aan dat er maximaal 1 nulpunt is. Geen nulpunt kan dus schijnbaar ook! Misschien wel met α en β te maken? 28. En dan zoiets als dit: ∞ X
k (λmax ) k! = e (λmax )
k=1
Hoe ziet de taylorreeks van de e-macht er ook alweer uit? Schrijf die nu eens eerst op papier uit! Waar begint die reeks? Hoe zien de termen er daarvan uit? Kijk eens naar die reeks, die er staat, en dan naar die macht van λmax , die gaat naar 0, k heel groot wordt en wat voor waarde heeft P indien xk (λmax )0 ? Nee, ∞ ziet er dan toch wat anders uit. k=0 k!
1.3
Hogerejaars wiskunde
29. Bij een tentamen geven een aantal mensen het volgende antwoord Z ∞ 2 x +1 dx = 0. 4 −∞ x + 1 Als reden wordt gegeven dat lim π R ·
R→∞
sup z = R e (i·t) ,t∈[0,π]
8
|
z2 + 1 | = 0, z4 + 1
er wordt het complexe vlak ingedoken. Is het antwoord (de waarde van de integraal) nu waar of niet waar? Kan iemand hem ook op een simpele manier oplossen? 30. Hier een ongelijkheid, die een student wel kon gebruiken sZ Z 1 1 | f (x) |2 dx 5 | f (x) | dx −1
−1
maar is deze nu waar of niet waar? 31. Hier een afschatting: x ∈ [−1, 1], en f een willekeurige functie, geldt dan x f (x) 5 f (x), voor ieder x ∈ [−1, 1]? 32. Een collega zag bij een student de volgende supersnelle methode om eigenwaarden te berekenen van de volgende nxn-matrix 2 −1 0 ··· 0 0 0 −1 2 −1 · · · 0 0 0 0 −1 2 −1 · · · 0 0 ................................ A = ................................ . 0 0 · · · −1 2 −1 0 0 0 0 · · · −1 2 −1 0 0 0 ··· 0 −1 2 Dan nu de eigenwaarden Ax = λx ⇔ (A − λ I) x = 0 ⇔ / = 0⇔ (A − λ I) x
(5) (6) (7)
(A − λ I) = 0 ⇔ diag(A) − λ I = 0 ⇔ λ = 2
(8) (9) (10)
Is dit goed of fout? Van het spiegelen in de lijn y = x zou maar weinig overblijven op deze manier.
9
33. Zo kan het ook, dit alles gecopieerd van de uitwerkingen van een student: Z Z Z Z 2x + 1 4 f (x) = −x + 2 + + 2 x+2 x +1 Tot dan eigenlijk niet zoveel problemen op de dx-en na. Dan Z 1 −x + 2 = − x2 + 2 x + C 2 en nu begint het: Z Z 2 2 1 2x + 1 k→ (2 x + 1)− x + 1 → 2 x + 1− x + 1 · ln |− x2 + 1| · (− x3 + x) 2 3 x +1 vervolgens: Z Z 4 1 k→ 4−(x + 2) → 4−(x + 2) · ln |−(x + 2)| · − x2 + 2 x + C x+2 2 en op het laatst: 2 1 1 f (x) dx = − x2 + 2 x + 2 x + 1− x + 1 · ln |− x2 + 1| · (− x3 + x) + 2 3
1 4−(x + 2) · ln | − (x + 2)| · − x2 + 2 x + C 2 De dx-en komen in ieder geval nog ergens voor.
10
dx.
