De Gulden snede
Inhoudsopgave 1. De Gulden snede 2. Hoe verkrijg ik de Gulden snede? 3. Pythagoras en het pentagram 4. De vijf regelmatige veelvlakken 5. Fibonacci 6. Leonardo da Vinci en de Gulden snede 7. De Gulden snede in de architectuur 8. Penrose-betegeling 9. Conclusie 10. Bronnen
1 De Gulden snede wordt ook wel ‘divina proportione’ (goddelijke verhouding) of ‘sectione aurea’ (gouden verdeling) genoemd. Het is eigenlijk één getalletje: ongeveer 0,618 (of de verhouding 1:0,618). Het wordt ook wel aangegeven met de Griekse letter φ (phi). Op het eerste gezicht lijkt het een gewoon getal, maar als je je erin verdiept, dan zal je erachter komen dat dit gewone getalletje in allerlei verschillende vormen terugkomt. Zo vind je deze verhouding heel vaak terug in de vrije natuur. Maar ook de mensen gebruiken dit getal of deze verhouding heel vaak, bewust of onbewust. Zo zie je de Gulden snede vaak terug in de kunst en in de architectuur. Ook werd aan de Gulden snede en bijvoorbeeld vormen als het pentagram, die de Gulden snede in zich hebben, speciale krachten toegekend. En dat al duizenden jaren! De Gulden snede is namelijk al bekend sinds de klassieke oudheid. De eerste persoon waarvan wij weten dat hij zich bewust met de Gulden snede bezig hield was de beroemde wiskundige Pythagoras. Dit was al in de zesde eeuw voor Christus! Pas rond 1835 krijgt het getal echter de naam Gulden Snede. Maar daarvoor bleek de Gulden snede ook gebruikt te zijn, alleen dan waarschijnlijk niet bewust. Zo werd deze verhouding al bij heel oude Griekse tempels gebruikt. Toen vonden de mensen dit blijkbaar al een mooie verhouding. Later kwam men pas achter de wiskunde die achter dit getal zit. Ondertussen hebben vele wiskundigen de Gulden snede onderzocht en hebben vele kunstenaars zich door dit getalletje laten inspireren. Sommige mensen menen zelfs dat de Gulden snede in beurskoersen voorkomt.
2
3 Pythagoras was een beroemde wiskundige. Hij was vooral beroemd omdat hij de zogenaamde ‘stelling van Pythagoras’ zou hebben bedacht. Er wordt echter ook wel gezegd dat de Babyloniërs deze al eerder hadden bedacht. Hij was de eerste die een zogenaamde ‘Gulden rechthoek’ tekende. Pythagoras leefde van 575 voor Christus tot 500 voor Christus. Er is maar weinig informatie over hem bekend. Hij was geboren in Samos. Zijn vader, Mnesarchus, was een koopman. Hij reisde veel met zijn vader. Waarschijnlijk had hij twee broers. Er waren drie mensen die eraan hebben bijgedragen dat hij zoveel interesse had voor wiskunde en astrologie: Pherekydes, Thales en Anaximander. Thales raadde Pythagoras aan om naar Egypte te reizen, om zo meer over wiskunde te leren. Rond 535 voor Christus reisde hij daarom naar Egypte. In 525 brak er oorlog uit en werd hij gevangen genomen. Wanneer hij vrijkwam is niet bekend, maar men weet wel dat hij rond 520 voor Christus terugkeerde naar Samos. Hierna reisde hij nog naar Italië, wanneer precies weet men niet. In Italië stichtte Pythagoras een soort wetenschapsgeloof. De mensen die bij dit genootschap kwamen, werden pythagoreërs genoemd. Het geloof ging ervan uit dat na de dood de ziel bleef leven en daarom moest men reinheid van de ziel proberen te bereiken en behouden. Om dat te doen moest men eerbied hebben voor alles wat leefde, maar die reinheid kon ook bereikt worden door het beoefenen van wetenschap (vooral door kennis van eigenschappen van ‘het getal’). Met ‘het getal’ bedoelde hij: de juiste verhoudingen. Deze verhoudingen zouden het hele heelal beheersen en moest daarom ook de mensheid beheersen. Het leuke hieraan is dat de Gulden Snede zo vaak terugkomt in de natuur, het lijkt wel alsof dit ‘de juiste verhouding’ is, het getal dat de natuur beheerst! Maar de Gulden Snede zie je niet alleen in de natuur. In allerlei vormen kan je de Gulden Snede terugvinden. Een voorbeeld hiervan is het pentagram. Een pentagram is een stervormige regelmatige vijfhoek. Hij wordt gevormd door de lijnen van een regelmatige vijfhoek door te trekken. Het pentagram wordt ook wel pentalpha of drudenvoet genoemd. In dit figuur kan je de Gulden Snede ook terugvinden. Het pentagram was ook het herkenningsteken van de pythagoreërs. Tot nu toe wordt het ook als herkenningsteken voor vele andere groepen gebruikt, misschien wel omdat
het teken de verhouding van de gulden snede in zich heeft. Het pentagram werd dan ook (en wordt nog steeds) als een soort ‘heilig’ figuur gezien. Hieronder zie je een pentagram met de Gulden snede die daarin zit, aangegeven.
4 De meeste dobbelstenen die we kennen hebben zes vlakken, het zijn kubussen. Ook bestaan er dobbelstenen met vier, acht, twaalf of zelfs twintig vlakken. Dit zijn dan ook meteen alle vijf de verschillende soorten platonische lichamen. Andere namen voor deze lichamen zijn: het regelmatige viervlak (tetraëder, piramide), zesvlak (kubus), achtvlak (octaëder), twaalfvlak (dodecaëder) en het twintigvlak (icosaëder). Platonische lichamen is een andere benaming voor veelvlakken. Een veelvlak is een ruimtelijke figuur die begrensd wordt door regelmatige veelhoeken (driehoeken, vierhoeken, enz.). Regelmatige veelvlakken hebben mooie eigenschappen die samenhangen met symmetrie.
tetraëder {3,3} - kubus {4,3} - octaëder {3,4}
- dodecaëder {5,3} - icosaëder {3,5}
Al in de Griekse oudheid was er grote fascinatie voor symmetrie, niet alleen van vlakke figuren, zoals driehoeken, maar ook van ruimtelijke figuren. In de 'Timaeus' worden door Plato deze vijf lichamen beschreven. Hier komt dan ook de naam 'platonisch' vandaan. Volgens Plato is alles waar 'platonisch' voor staat een bestanddeel van een hogere, volgens hem de enige echte, realiteit. Een wereldse kubus is een gebrekkige, nagemaakte kubus. Het origineel bevindt zich in een hogere wereld. Maar gelukkig kun je de platonische lichamen wel downloaden! In het platonische wereldbeeld dienen de regelmatige veelvlakken als basiseenheid voor de vijf elementen: vuur, water, aarde, lucht en ether. Wanneer je op ieder vlak van de kubus een punt in het centrum plaatst en deze punten onderling verbindt, dan ontstaat een ander (het duale) platonische lichaam, namelijk het octaëder. Iets dergelijks is van toepassing op het tetraëder. Er bestaat een notatiesysteem voor platonische lichamen, bijvoorbeeld (3,3) voor de tetraëder betekent: aan ieder hoekpunt van het lichaam grenzen precies 3 vlakken, die ieder 3 zijden tellen. Het is mogelijk een veelvlak van tien gelijkzijdige driehoeken te samen te stellen. Johan Kepler realiseerde zich als eerste dat 12 pentagrammen op twee manieren in paren langs aan de randen aan elkaar vastgemaakt kunnen worden tot een vorm. Als vijf pentagrammen bij elke hoek bij elkaar komen, krijg je het figuur "kleine, stervormige dodecaëder. Als drie pentagrammen aan elke hoek bij elkaar komen, krijg je het figuur "grote stervormige dodecaëder. De (misschien) verassende reden voor deze namen zullen snel duidelijk worden. Twee eeuwen later, in 1809, ontdekte Louis Poinsot nog twee niet-bolvormige regelmatige vormen: de grote dodecaëder en de grote icosaëder. De twaalf zijden
van de grote dodecaëder zijn pentagrammen (net zoals bij de gewone dodecaëder), maar die elkaar kruisen. Net zo zijn de zijden van de grote icosaëder de 20 driehoeken van de normale icosaëder, maar kruisen elkaar. De grote dodecaëder is een erg plezierig en intrigerende vorm, het geeft de illusie van een pentagram-ster die bij elk pentagram uitsteekt; elke ster deelt een van zijn armen met een andere, zodat de ene ster verdwijnt als je op een andere let!
kleine stervormige dodecaëder - grote stervormige dodecaëder
5 Leonardo Fibonacci was een beroemd wiskundige. Leonardo Pisano Bigollo Fibonacci werd geboren rond 1170 in het Italiaanse stadje Pisa. Fibonacci komt van ‘filius Bonacci’ , wat ‘zoon van Bonacci’ betekende. Zijn vader was Guilielmo Bonacci, een secretaris van de Republiek Pisa en later verantwoordelijk voor een handelskolonie van Pisa in Algerije. Een tijdje nadat zijn vader verantwoordelijk gesteld was voor de handelkolonie, werd Fibonacci door zijn vader meegenomen naar Algerije. Zijn vader wilde dat hij een koopman zou worden en daarom zorgde hij ervoor dat Leonardo leerde rekenen, ook in Arabische cijfers, die toen nog niet in Europa gebruikt werden. Daarna regelde zijn vader een baan voor hem en hij werd op reis gestuurd naar vele verschillende plekken: Egypte, Syrië, Griekenland, Sicilië en Provence. Hij leerde in elk gebied weer iets nieuws over wiskunde. Rond 1200 keerde hij terug naar Pisa om aan zijn eigen wiskundige werken te werken. Deze werken zijn ons bekend: Liber abbaci, Practica geometriae, Flos en Liber quadratorum. Hij heeft er ongeveer 25 jaar over gedaan om deze boeken te schrijven. Toen hij leefde, was hij al zo’n bekend wiskundige dat hij werd gevraagd om voor een publiek te laten zien wat hij kon. Er is vrijwel niet bekend van zijn leven na 1228, behalve dat hij een soort prijs heeft gekregen. Hij is na 1940 overleden, waarschijnlijk in Pisa. Toe ik de naam Leonardo Fibonacci zag, moest ik denken aan een boek. In het boek “kruistocht in spijkerbroek” van Thea Beckman komt ook een Leonardo Fibonacci uit Pisa voor. In dat boek is hij ook op reis. Hierin leert hij van de hoofdpersoon de Arabische cijfers. Maar wat heeft Fibonacci nou eigenlijk te maken met de Gulden Snede? Het verband tussen deze twee is een rijtje getallen:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, enz. Dit zijn de ‘getallen van Fibonacci’. Je krijgt deze cijfers door de twee laatste cijfers bij elkaar op te tellen, bijvoorbeeld: 1+1=2 1=2=3 2+3=5 3+5=8 enz.. Hoe kwam hij aan deze getallen? Rond 1202 raakte hij geinteresseerd in de voortplanting van konijnen. Hij bedacht de volgende situatie in verband met de konijnen: 1. Je begint met één mannelijk en een vrouwelijk konijn. Deze zijn net geboren. 2. Een konijn is na een maand geslachtsrijp. 3. De draagtijd van een konijn is één maand. 4. Als zij vruchtbaar is, zal een vrouwtje elke maand bevallen. 5. Een vrouwelijk konijn zal altijd bevallen van één mannetje en één vrouwtje. 6. Konijnen gaan nooit dood. Als je van deze situatie uitgaat, krijg je voor elke maand het volgende getal van Fibonacci. Kijk maar eens: Maand #0: er is één paar konijnen. Maand #1: na één maand hebben de konijnen wel gepaard, maar het vrouwtje is nog niet bevallen. Er is nog steeds één paar konijnen. Maand #2: het vrouwtje bevalt van één nieuw paar, er zijn nu dus twee paartjes. Maand #3: het eerste paar bevalt weer, het tweede paar paart. Er zijn nu dus drie paartjes. Zo kunnen we nog een hele tijd doorgaan…. Op deze manier is Fibonacci dus aan zijn getallenrij gekomen.
Om te weten te komen of een bepaalde waarde in dit rijtje thuishoort, zou je alle voorgaande getallen moeten weten. Bij heel grote getallen is dit heel onhandig. Er is echter nog een manier om daar achter te komen. In 1843 vond Jacques Philippe Marie Binet een formule om te weten te komen of een cijfer bij de getallen van Fibonacci hoort. Deze formule luidt:
Hierin is x het zoveelste nummer in de rij van Fibonacci (x=5 zou betekenen dat je het vijfde nummer uit de rij van Fibonacci berekent) . Maar wat is nu precies het verband tussen de getallen van Fibonacci en de Gulden snede? Het verband tussen deze twee zijn de verhoudingen. Als je kijkt naar de verhoudingen van de getallen van Fibonacci zie je het volgende: v(1) = 1 / 1 = 1 v(2) = 2 / 1 = 2 v(3) = 3 / 2 = 1.5 v(4) = 5 / 3 = 1.67 v(5) = 8 / 5 = 1.6 v(6) = 13 / 8 = 1.625 v(7) = 21 / 13 = 1.615 Het valt op dat de verhoudingen van deze getallen steeds meer gaan lijken op de verhouding van de Gulden snede. Zo is de verhouding vande Gulden snede ongeveer 1:1,618 en in het bovenstaande rijtje zie je dat bij de laatste de verhouding tussen de getallen 1:1,618 is. Hoe groter de getallen van Fibonacci, hoe meer de verhoudingen op elkaar gaan lijken! Deze verhoudingen zullen natuurlijk nooit hetzelfde worden, omdat de Gulden snede geen uitkomst heeft; je kan er hoogstens een benadering van maken.
Nu zie je het verband wel in de getallen, maar je komt het verband ook tegen in bijvoorbeeld een ‘Gulden rechthoek’. Hieronder zie je een ‘Gulden rechthoek’ met daarin een ‘Gulden spiraal’ getekend.
Hieronder zie je een rechthoek, verdeeld volgens de getallen van Fibonacci, met een ‘Fibonacci-spiraal’ erin getekend.
Als je de twee spiralen nu over elkaar heenlegt zie je het volgende:
Je ziet dat de lijnen elkaar enkele malen kruisen, daaraan zie je dat de verhoudingen niet precies hetzelfde zijn. Maar hoe verder naar buiten je gaat, hoe meer de twee lijnen één lijken te worden. Hieraan zie je dus ook dat het verschil steeds kleiner wordt.
6 Een gulden rechthoek is een rechthoek, dat bestaat uit een rechthoek en een vierkant. De verhouding tussen de kleine rechthoek en de grote rechthoek is de gulden snede. De gulden rechthoek wordt voorgesteld als de beste van alle rechthoeken. Daarom worden de gulden rechthoek en de gulden snede al duizenden jaren gebruikt in kunst en architectuur. De bekendste toepassingen van de gulden rechthoek in de kunst zijn ontworpen door de Italiaanse kunstenaar, uitvinder en wiskundige Leonardo da Vinci. De Mona Lisa, da Vinci's bekendste schilderij, zit vol met gulden rechthoeken. Als je en rechthoek tekent met de breedte van de rechter pols tot aan de linker elleboog en je maakt daar een lengte bij tot aan het hoofd, heb je een gulden rechthoek. Als je dan een horizontale lijn trekt onder de kin die van de ene zijde tot aan de andere zijde van de rechthoek loopt, heb je de eerste verdeling. Als je daarna een verticale lijn trekt recht door het rechteroog, krijg je de tweede verdeling. Dan een horizontale onder de ogen, een verticale links van de neus, een horizontale boven de mond en een verticale aan de andere kant van de neus. Het is ook opvallend dat de houding van Lisa te vergelijken is met een driehoek, waarbij de armen de basis zijn en het hoofd de top. Het hoofd wordt veel opvallender, doordat de lijnen van die driehoek daar naartoe wijzen. Men denkt dan Leonardo da Vinci, als wiskundige, expres deze lijnen en verhoudingen in dit schilderij voegden om zo de wiskunde en de kunst te combineren.
Da Vinci's bekendste studie van de afmetingen van de mens, "The Vetruvian Man", zit ook vol met gulden rechthoeken. Niet zoals bij de Mona Lisa, waarbij de verhoudingen en lijnen verstopt zitten, zijn bij "The Vetruvian Man" een aantal van die lijnen wel weergegeven. Er zijn drie delen met de gulden rechthoek in deze tekening: een deel met het gehele hoofd, een deel met de romp, en een met de benen. Om het eerste deel te vinden, het deel met het hoofd, moet je een rechthoek tekenen met de zijden van de ene schouder tot aan de andere schouder. De bovenkant van de rechthoek moet de bovenkant van z'n hoofd raken.
Nu heb je de eerste gulden rechthoek. Als je een vierkant tekent vanaf de linkerkant om het hoofd, krijg je aan de andere kant van het vierkant een gulden rechthoek. Dit kan ook met de rechterkant van het hoofd. Het tweede deel van de rechthoeken is op een vergelijkbare manier te vinden: teken een rechthoek die loopt van de ene elleboog tot aan de andere en van de nek tot aan het middel. Als je dan op dezelfde manier als bij het eerste deel deze rechthoek verdeelt, krijg je ook weer nieuwe gulden rechthoeken. Om het derde en laatste deel te vinden, teken je weer een rechthoek van het middel tot aan de tenen van de uiterste voeten. Deze rechthoek verdeel je weer op dezelfde manier als bij de twee andere delen.
7 Zoals al eerder gezegd, komt de Gulden snede ook vaak voor in de architectuur. Het oudste voorbeeld dat we kennen, zijn de Egyptenaren. Bij de tempel van Gizeh werd de Gulden snede al gebruikt. Later zien we de Gulden snede vooral terug in Griekse en Romeinse bouwwerken (bijvoorbeeld een van de beroemdste tempels, het Parthenon) en in architectuur uit de Renaissance. Dat laatste is natuurlijk logisch, als je bedenkt dat men in de Renaissance een voorbeeld nam aan de Klassieken en probeerden een perfect evenwicht te vinden. Piramides werden door de oude Egyptenaren gebruikt als begraafplaats voor de farao. De farao werd in zijn eigen piramide begraven en nam veel van zijn rijkdom mee het graf in. De bouw van deze piramides nam jaren in beslag. Bijna alle piramides zijn gebouwd tussen 2700 en 1700 v. Chr. Een aantal piramides is nog overgebleven en deze zijn dan ook een gewild onderzoeksobject voor wetenschappers. Naast de schat aan historisch materiaal, bieden ze ook mogelijkheden tot wiskundig onderzoek. Zo blijkt ook de Gulden Snede een rol te spelen in de architectuur van sommige piramides. Een goed voorbeeld daarvan is de Grote Piramide in Gizeh, gebouwd rond 2500 v. Chr. De hellingshoek die de schuine vlakken van deze piramide maken, is 51,85 graden. Wanneer we een dwarsdoorsnede van de piramide maken, op deze manier:
dan krijgen we de volgende driehoek:
Hierin is α 51,85 graden. Wanneer we nu een schuine zijde lengte 1 geven, dan kun je uitrekenen dat de horizontale zijde – dat is de halve breedte van de piramide – lengte y heeft. De gulden snede komt dus terug in het ontwerp van de piramides in Egypte. Men weet echter niet of men zich bewust was van deze verhoudingen of dat dit toeval was. Is dit toeval? Daarnaar kunnen we natuurlijk alleen raden. Er zijn wetenschappers die denken dat wanneer deze manier van bouwen werd gebruikt, de piramides beter bestand waren tegen aardbevingen. Het kan heel goed zijn dat deze piramide daarom bewaard is gebleven. Men weet dus niet of de Egyptenaren de Gulden snede kent, maar van de oude Grieken weet men wel dat zij deze kennen. De Gulden Snede is door de Grieken toegepast in hun bouwwerken, zoals het Partehon. Het Parthenon is een oude Griekse Tempel. Er is nu nog een ruïne van over. De tempel is ontworpen door Ictinus en Callicrates, volgens wiskundige principes. Het beeldhouwwerk is gemaakt onder leiding van Phidias. Hij is degenen naar wie de
Gulden Snede (Phi) genoemd is. Het is gebouwd van 477 tot 438 voor Chr. De afmetingen van de tempel zijn ongeveer 30m bij 70 m. Hieronder zie je een simpele schets met daarop de verhoudingen van de Gulden snede getekend.
In het volgende plaatje zie je dat de voorkant van het Parthenon is ingedeeld volgens de Gulden Rechthoek:
Na de ontdekking van de Gulden Snede door de Grieken zijn er nog velen geweest, die de Gulden Snede als verhouding in hun kunstwerken gebruikt hebben. Zo ook de architecten van de Renaissance. In de Renaissance (wedergeboorte) werd de Gulden snede heel vaak gebruikt. Aan de verhoudingen (hoogte, lengte en breedte) werd veel aandacht besteed.
8 De Fibonacci getallenreeks en de gulden snede zie je ook terug in de kunst. Zo vind je het bijvoorbeeld in muziekstukken, muziekinstrumenten, foto's en schilderijen. Dit is een voorbeeld van de Fibonacci getallenreeks in de muiziek: • 13 noten scheiden elk octaaf van • 8 noten in een toonladder, waarvan de • 5de en 3de noten de ondergrond vormen van alle akkoorden, en zijn gebaseerd op hele tonen die • 2 stappen van de hoofdtoon verwijderd ligt, die de • 1ste noot is van de toonladder. Ook is de piano verdeeld in 13 toetsen, waarvan er 8 wit zijn en 5 zwart, gegroepeerd in sets van 3 en 2. Enkele voorbeelden van de gulden snede in schilderijen en foto's:
Dit is een foto van een tentoonstelling over abstracte kunstwerken, de foto zelf is ook een soort kunstwerk. Zo staan de vazen op de foto precies op een plaats zodat ze in de verhouding van de gulden snede staan.
Bij dit schilderij is duidelijk de verhouding van voorste rand van de vissenkom en het totale schilderij te zien. Verder staat de vissenkom precies in het midden van de breedte van het schilderij.
Dit kunstwerk is met computer getekend. De verhouding van de middenlijn van een bal en de totale hoogte van een bal is gelijk aan de gulden snede. Ook het midden van de voorste bal en de lengte van het totale kunstwerk staat in die verhouding.
Dit is een foto die is bijgewerkt op de computer. Het midden van het meisje staat in de verhouding met de lengte van de totale foto als de gulden snede. Ook het meisje zelf staat in die verhouding. (van het hoofd tot het middel en van het middel tot de voeten)
9 Roger Penrose (1931) is hoogleraar wiskunde aan de Universiteit van Oxford en tevens hoogleraar geometrie aan het Gresham College in Londen. Hij studeerde aan de University College School en University College in Londen en promoveerde aan St. John's College in Cambridge. Hij had verschillende hoge posities in de wetenschap en ontving een groot aantal prijzen en onderscheidingen. Zo kreeg hij in 1988 samen met Stephen Hawking de Wolf Prize voor zijn kennis en onderzoek van het heelal. Ook kreeg hij de Albert Einsteinprijs. In 1989 werd zijn boek 'The Emperor's New Mind' een bestseller en won het de Science Book Prize. Zijn meest recente boeken zijn 'The Nature of Space and Time' (1996) dat hij samen met Stephen Hawking schreef en 'The Large, the Small and the Human Mind' (1997). Hij heeft belangstelling voor vele onderwerpen van de geometrie en heeft veel meegeholpen aan onderzoek naar de relativiteitstheorie en de quantumtheorie. Al dertig jaar probeert hij, door een eigen theorie, de quantummechanica samen te voegen met de relativiteitstheorie. In 1994 werd hij geridderd voor zijn bijdragen aan de wetenschap. Wat zijn Penrose betegelingen? Een Penrose betegeling is een soort van mozaïek van slechts 2 verschillende figuren. Deze figuren kunnen elke vorm hebben die je zelf wilt, maar de oppervlaktes van de twee figuren moeten in de verhouding 1 : 0,618 zijn. Vaak worden twee figuren gebruikt die allebei een ruit zijn, de hoeken van de ene figuur zijn dan 36 en 144 graden (fig. A) en de hoeken van de andere zijn dan 72 en 108 graden (fig. B).
Deze figuren worden zo tegen elkaar aangelegd, dat ze een sluitende betegeling vormen. Maar het belangrijkste bij een Penrose betegeling is, dat het patroon van ruiten zich nergens herhaalt. Het is wel mogelijk dat delen van het patroon zich herhalen, maar als je dan één ruit erbij neemt, is dat vaak al niet meer het geval. Deze techniek wordt al jaren door verschillende wetenschappers en nietwetenschappers bestudeerd. Er zijn al vele computerprogramma's ontworpen, die je helpen bij het tekenen van zo'n mozaïek. Deze Penrose betegeling heb we zelf hebben gemaakt: (het is niet zo groot want anders zou het te moeilijk worden)
10 Conclusie
De gulden snede blijft toch dat ene getalletje 0,618 (wel al duizenden jaren een héél mooi getalletje). Nu weten wij alleen wel dat je het echt overal terug kunt vinden. Dat is misschien wel een van de problemen als je de Gulden snede onderzoekt; je kan eigenlijk overal de Gulden snede in vinden als je maar lang genoeg zoekt….
10 Bronnen
Websites: http://www.phys.tue.nl/TULO/info/guldensnede/index5.html http://www.hccnet.nl/404/samenleving/juli/gulden.html http://www.ee.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fib.html http://www.daria.cistron.nl/index.html http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Pythagoras.html http://www.vandijck.nl/TekstenGerhard.htm http://www.fi.uu.nl/nwd/nwd2000/confgids/programma.a.html http://library.thinkquest.org/27890/mainIndex.html Boeken: Afwegingen over de Gulden snede – J. Kuijper De Gulden snede - Wim Kleijne en Ton Konings De Gulden snede - C.J. Snijders De ontstelling van Pythagoras – Albert van der Schoot
