1. Bevezetés a trigonometriába

1. Bevezetés a trigonometriába Ha egy háromszöget nagyítunk vagy kicsinyítünk, a szögei nem változnak. Az aránytartás következtében a megfelelőoldalak aránya szintén állandó. Ebből arra következtethetünk, hogy a háromszögben a szögek és az oldalak aránya között kapcsolat van.

Trigonometria (az ógörög τρίγωνος / trigonosz – "háromszög", és μέτρον / metron – "mérés" szavakból) a matematika egy ága, mely a síkgeometriában a derékszögű háromszögek oldalai és szögei közötti összefüggésekkel foglalkozik. Trigonometria a derékszögű háromszög oldalai és szögei közötti összefüggéseket a írják le, a trigono‐ metria feladatai közé tartozik ezek tulajdonságainak vizsgálata és az ezeken alapuló számítások. A gömbi háromszögeket a gömbi trigonometria tanulmányozza.

Hegyesszög szögfüggvényei Két derékszögű háromszög hasonlóságát teljesen meghatározza egyik szögük nagysága, így oldalaik aránya mindig megegyezik, függetlenül hosszuktól. Ezeket az arányokat az ismert (például α szög) szögfüggvényeivel írják le: • A szinusz függvény (sin α) a szöggel szemben lévő befogó és az átfogó hányadosa, •

•

A koszinusz függvény (cos α) a szög melletti befogó és az átfogó hányadosa, A tangens függvény (tg α) a szöggel szemben lévő befogó és a szög melletti befogó hányadosa.

átfogó c befogó a

α befogó b

Átfogó a derékszöggel szembeni oldal, befogó pedig a másik két oldal egy derékszögű háromszögben.

sin α = ................................................................................................................. cos α = ................................................................................................................ tg α = ................................................................................................................... ctg α = .................................................................................................................

~ 1 ~

1. Bevezetés a trigonometriába A szögek és távolságok kapcsolatát már az ókorban is tanulmányozták és használták Kína, India területén csakúgy, mint Egyiptomban az építkezéseknél. Kr. e. 3-400 körül már használtak húrtáblázatokat, sőt szinusztáblázatokat is. Az első évszázadban hegyesszögekhez tartozó húrok hosszát foglalták táblázatba, félfokonként, és ismerték a két szög összegének és különbségének szögfüggvényeire vonatkozó képleteket (ma az emelt szintű érettségi tananyaga).

Thaleszről, a Kr. e. 6. században élt görög matematikusról jegyezték fel, hogy egyiptomi útja során azzal ejtette ámulatba a fáraót és a tudós főpapokat, hogy egy homokba szúrt bot segítségével meghatározta a piramis magasságát. A nagyon egyszerű eljárás lényege az volt, hogy amikor a bot és az árnyéka egyenlő hosszú, akkor a piramis árnyéka is egyenlő hosszúságú a magasságával, így csak a piramis árnyékának a hosszát kellett megmérni Kheopsz-piramis a legnagyobb, magassága 146,7 méter, alapéle 232,4 méter.

Hogyan lehetne a nap más időszakában a bot segítségével meghatározni a piramis magasságát?

Milyen szögben érkezik a napsugár, amikor a bot árnyékának a hossza egyenlő bot hosszával?

Az oldalak arányát a háromszög szögei határozzák meg.

α

α

~ 2 ~

1. Bevezetés a trigonometriába

A számológép használata A számológép üzemmódjai: DEG, GRAD, RAD DEG: 1° = teljes szög / 360 GRAD: 1 újfok = teljes szög / 400 RAD: 1 radián az a középponti szög, amelyhez tartozó körív hossza egyenlő a kör sugarával. A számológépek egy részével nem lehet számolni, ha szög megadásban perc is szerepel. Ekkor a perceket át kell váltani fokká és tizedes tört alakban megadni. Mivel 1° = 60’ ezért 6’ = 0,1°, 12’ = 0,2°, 18’ = 0,3°, stb. Mindig használható pl. 48’ = ? fok kiszámítására:

0,8°

Szög szögfüggvényének a meghatározása a számológéppel Az alábbi szögfüggvényeket két tizedes jegy pontossággal határozza meg_ sin 30° = …….……. cos 30° = ………... tg 30° = …….….. ctg 30° = ….……. sin 32,4° = …….…. cos 32,4° = ……... tg 32,4° = ……….. ctg 32,4° = ….….. sin 48°12’ = …….…. cos 48°12’ = ……... tg 48°12’ = ……….. ctg 48°12’ = ….…..

Visszakeresés Ha sin α = 0,6 Ha tg α = 0,6

Ö α = ………….. Ö α = …………..

Ha cos α = 0,6 Ha ctg α = 0,6

~ 3 ~

Ö α = ………….. Ö α = …………..

1. Bevezetés a trigonometriába – alapfeladatok

Alapeladatok

Az 57 méter magas pisai ferde torony árnyéka 5 méter délben. Mekkora szöget zár be a talajjal a torony?

Megoldás

I. lépés: a feladat szövegének elolvasása, értelmezése, elképzelése, rajz készítése, adatok feltüntetése.

II. lépés: derékszögű háromszög keresése, a megtalált derékszögű háromszög felrajzolása, ismert és ismeretlen oldalak feltüntetése.

III. lépés: szögfüggvények segítségével egyenlet(ek) felírása. Ide írja fel az egyenletet!

IV. lépés: az egyenlet(ek) megoldása. Itt oldja meg az egyenletet!

V. lépés: válasz a feladatban lévő kérdésre. A választ egész mondattal ide írja le!

~ 4 ~

1. Bevezetés a trigonometriába – alapfeladatok Egy permetező repülőgép olyan helyen áll, ahol gyorsítás után a fákig 81 méter szabad út áll rendelkezésre a felszálláshoz. A 81 méter alatt 10 méter magasra kell emelkednie. A pilótának felszálláskor az emelkedés szögét be kell állítania. Mekkora a kérdéses szög? Megoldás I. lépés: a feladat szövegének elolvasása, értelmezése, elképzelése, rajz készítése, adatok feltüntetése.

II. lépés: derékszögű háromszög keresése, a megtalált derékszögű háromszög felrajzolása, ismert és ismeretlen oldalak feltüntetése. Ide rajzoljon!




~ 5 ~

1. Bevezetés a trigonometriába – alapfeladatok Az emelkedő előtti közlekedési táblára 12%-ot írtak. Ez azt jelenti, hogy a vízszintes irányú haladáshoz képest a lejtő emelkedése 12%. Hány fokos a lejtő emelkedési szöge? Megoldás I. lépés: a feladat szövegének elolvasása, értelmezése, elképzelése, rajz készítése, adatok feltüntetése.





~ 6 ~

1. Bevezetés a trigonometriába – alapfeladatok A négyzet alapú Nagy Piramis magassága 146 méter, alapjának hossza 230 méter. Mekkora szöget zárnak be az oldallapok a talajjal? Megoldás I. lépés: a feladat szövegének elolvasása, értelmezése, elképzelése, rajz készítése, adatok feltüntetése.

II. lépés: derékszögű háromszög keresése, a megtalált derékszögű háromszög felrajzolása, ismert és ismeretlen oldalak feltüntetése.




~ 7 ~

1. Bevezetés a trigonometriába – alapfeladatok Egy aluljáróból 17 méter hosszú, egyenes rámpa vezet fel a járda szintjére, és a rámpa egyenletesen, 26,5°-ban emelkedik a vízszinteshez képest. Milyen mélyen van az aluljáró? Megoldás I. lépés: a feladat szövegének elolvasása, értelmezése, elképzelése, rajz készítése, adatok feltüntetése. Ide rajzoljon!





~ 8 ~

1. Bevezetés a trigonometriába – alapfeladatok Mekkora a faltól a tető gerincéig tartó tetőgerendák hossza, ha az egyenlőszárú háromszög keresztmetszetű tető szélessége 7 méter, és a gerendák hajlásszöge a vízszinteshez képest 35°? Megoldás I. lépés: a feladat szövegének elolvasása, értelmezése, elképzelése, rajz készítése, adatok feltüntetése. Ide rajzoljon!





~ 9 ~

1. Bevezetés a trigonometriába – alapfeladatok Egyenlőszárú háromszögben a szárak hajlásszöge 70°, az alap 10,8 cm. Mekkora a háromszög kerülete és területe? Megoldás I. lépés: a feladat szövegének elolvasása, értelmezése, elképzelése, rajz készítése, adatok feltüntetése. Ide rajzoljon!





~ 10 ~

1. Bevezetés a trigonometriába – alapfeladatok Egy létra lábainak távolsága a talajon 86 cm, és 15°-ig hajtottuk szét a lábait. Hány fokú a létra, ha a fokok 45 cm-enként követik egymást? Milyen magasan van a teteje a talajtól számítva, ha szétnyitják? Megoldás: 7 fokú. A létra teteje kb. 327 cm magasan van.

Egy téglalap oldalai 10 cm és 15 cm. Mekkora szöget zárnak be az oldalak az átlóval? Megoldás: 56,3°

Egy ablak méretei: 80 cm x 150 cm. Mekkora szöget zárnak be az ablakra ragasztott, átlósan haladó egyenes ragasztószalag-csíkok egymással? Megoldás: 56,1° Akadálymentesítéshez egy lépcsőre rámpát terveznek. A lépcsők magassága 20 cm, hoszszuk 30 cm, és 5 lépcső visz fel a járdáról a bejárathoz (a 6. a bejárat szintje). Milyen hosszú legyen a rámpa? Mekkora szöget zár be a járdával? Megoldás: 216,3 cm; 33,7°.

Az Eiffel-torony magassága 326 m, kilengése a legnagyobb szélben sem haladja meg a 12cm-t. Mekkora a torony tetejének a függőlegessel bezárt szöge, ha a kilengés 12cm? Megoldás: 0,02°

Az Eiffel-toronytól a talajon, a toronytól 150 méterre áll egy autó. Mekkora szögben látszik a torony emeleteiről, ha az emeletek 54m, 115m és 274 m magasan találhatók? Megoldás: 70,2°, 52,5°és 28,7°.

Egy forgáskúp alapkörének sugara 10 cm, testmagassága 25 cm. Mekkora a kúp nyílásszöge? Megoldás: 43,6°

Egy piramisról tudjuk, hogy alapja egy 130 m illetve 150 m oldalhosszúságú téglalap, magassága 18 m. Mekkora szöget zárnak be az oldallapok az alaplappal? Megoldás: 13,5° és 15,5°.

Mekkora szögben látszik egy 7 cm-es húr az 5 cm sugarú kör O középpontjából, és milyen távol van az O-tól? Mennyi a megfelelő körívhez tartozó körcikk területe és ívhossza? Megoldás: 88,8°; 3,6 cm 19,4 cm2; 7,8 cm

Mekkora szögben látszik egy 10 cm-es húr a 8 cm sugarú kör O középpontjából, és milyen távol van az O-tól? Mennyi a megfelelő körívhez tartozó körcikk területe és ívhossza? Megoldás: 77,4°, 6,2 cm, 43,2 cm2, 10,8 cm.

Egy 6,9 cm sugarú körben mekkora szögben látszik az átmérő egyik végpontjából az a 8 cm hosszú húr, amely az átmérő másik végpontjából indul ki? Megoldás: 35,4°.

Egy rombusz egyik átlója 10,2 cm, oldala 6,8 cm. Mekkorák a szögei? Megoldás: 82,8°és 97,2°.

Egy rombusz átlói 16 cm és 12,6 cm. Mekkora az oldala, területe és a szögei? Megoldás: 10,18 cm, 100,8 cm2, 76,4°és 103,6°.

~ 11 ~

1. Bevezetés a trigonometriába – összetett feladatok Egy kikötő világítótornyából a tenger szintje felett 52 m magasságból egy hajó 7°12'nyi depressziószögben látszik. Milyen távol van a hajó? Megoldás I. lépés: a feladat szövegének elolvasása, értelmezése, elképzelése, rajz készítése, adatok feltüntetése. Ide rajzoljon!





~ 12 ~

1. Bevezetés a trigonometriába – összetett feladatok Egy gyárkémény tetejét az aljával egy szintben levő valamely pontból 19°-os emelkedési szögben látjuk. 220 méterrel közeledve a toronyhoz, annak tetejét 27°-os emelkedési szögben látjuk. Milyen magas a torony? Megoldás I. lépés: a feladat szövegének elolvasása, értelmezése, elképzelése, rajz készítése, adatok feltüntetése. Ide rajzoljon!





~ 13 ~

1. Bevezetés a trigonometriába – összetett feladatok Egy templomtorony lábától 40 m távolságból a torony 56,31°-os emelkedési szögben, a torony tetején lévő kereszt pedig 2,47°-os szögben látszik. Milyen magas a torony, illetve a kereszt? Megoldás I. lépés: a feladat szövegének elolvasása, értelmezése, elképzelése, rajz készítése, adatok feltüntetése. Ide rajzoljon!





~ 14 ~

1. Bevezetés a trigonometriába – összetett feladatok Egy 12 m magas épület tetején levő szobor az épülettől 20 m távolságból 2°10'-nyi szögben látszik. Milyen magas a szobor? Megoldás I. lépés: a feladat szövegének elolvasása, értelmezése, elképzelése, rajz készítése, adatok feltüntetése. Ide rajzoljon!





~ 15 ~

1. Bevezetés a trigonometriába – összetett feladatok Egy csavar átmérője 5 mm. A csavarmenet emelkedési szöge 4,5°. Mennyit halad befelé a csavar, ha egy teljes fordulatot hajtunk rajta? Megoldás I. lépés: a feladat szövegének elolvasása, értelmezése, elképzelése, rajz készítése, adatok feltüntetése. Ide rajzoljon!





~ 16 ~

1. Bevezetés a trigonometriába – összetett feladatok Egy repülőgép 250 km/h sebességgel, a vízszintessel 9°-os szöget bezáróan emelkedik. a) Mennyi idő alatt éri el a 9 km-es repülési magasságot? b) Mennyi utat tesz meg ezalatt? Megoldás I. lépés: a feladat szövegének elolvasása, értelmezése, elképzelése, rajz készítése, adatok feltüntetése. Ide rajzoljon!





~ 17 ~

1. Bevezetés a trigonometriába – összetett feladatok A négyzet alapú Kheopsz-piramis alapéle 230 méter. Az oldallapjai 51,9°-os szöget zárnak be az alaplappal (ez egyébként közel esik a Szaharában a természetes homokdűnék szögéhez, ami a stabilitást mutatja). a) Milyen magas a Kheopsz-piramis? b) Mekkora szöget zárnak be az oldalélei az alaplappal? c) Milyen hosszú egy oldaléle? Megoldás I. lépés: a feladat szövegének elolvasása, értelmezése, elképzelése, rajz készítése, adatok feltüntetése. Ide rajzoljon!





~ 18 ~

1. Bevezetés a trigonometriába

Recommend Documents