Központos húzás
I-1
I. Központos húzás I.1 a) b)
Központos húzás Határozza meg az „F” teher helyét, hogy a gerenda vízszintes maradjon! Számítsa ki a függesztő acélszálakban keletkező σ feszültséget és a szálak megnyúlását is! Adott: Fa = 25 kN ; Fsz = 30 kN E = 206000 MPa = 2,06⋅105 N/mm2
2
l=4,0m
1 φ6
φ10
F
a) megoldás:
x 5,0m
⇒
∆l1 = ∆l2
β
α
x = 3,675m
Alapértékek: F1, a = 6,625kN; F2, a = 18,375kN
5-x
Szélsőértékek: F1,sz = 7,95kN; F2, sz = 22,05kN
b) megoldás: ∆l 1 =
F1, a ⋅ l E ⋅ A1, o
σ 1, M =
I.2
=
F1, sz A1,0
=
6,625 ⋅ 103 ⋅ 4 ⋅ 103 2,06 ⋅ 105 ⋅ 28,3
= 4,545mm
7,95 ⋅ 103 = 280,9 N 28,3 mm2
σ 2, M =
∆l 2 = F2, sz A2,0
F2, a ⋅ l E ⋅ A2, o =
=
18,375 ⋅ 103 ⋅ 4 ⋅ 103 2,06 ⋅ 105 ⋅ 78,5
= 4,545mm
22,05 ⋅ 103 = 280,9 N 78,5 mm2
Egy 20/20 mm km. rúd fajlagos megnyúlása ε = 0,001, Ε = 206000 MPa. Mekkora húzóerő működik a rúdban? σ = E ⋅ε ⇒ F = A⋅E ⋅ε F = 20 ⋅ 20 ⋅ 2,06 ⋅ 105 ⋅ 0,001 = 82,4 ⋅ 103 N = 82,4kN F = A ⋅σ
I.3
Központos húzás a szabvány tükrében: a) Határozza meg a vázlaton szereplő függesztő rudak szükséges φ átmérőjét, csavaros kapcsolattal. b) Számolja ki a megnyúlást is. (az épület +250 mB.f. helyezkedik el) Adatok: anyag: B 50.36. σH = 310 N/mm2 (régi S_41_26 tábl.;új S_35) Ε = 206000 MPa Mértékadó teher: alapértéke qa = 4,206 kN/m2 szélsőértéke qsz = 5,316 kN/m2 Gerenda I 120-as önsúlya G = 11,2kg kg/fm = 0,112 kN/fm 3rtg szigetelés 20mm cem. simítás 100mm vb. lemez C10
Statikai váz:
B’
5,0 m
60
3,0 m
2,940m
φ =?
q I120
A
3,81 m
1,05×3,81=4,0 m
∑ M A = q ⋅ 4 ⋅ 2 − 4By = 0
B 5 5 ⋅ 2q 10q = ⇒B= = By 3 3 3
3,00
T=2m²
m
q ⋅ 4⋅2 By = = 2q 4
1 fm a) megoldás:
alkalmazzunk M16-os
(régi S_102; új S_87) 3
b) megoldás:
∆l =
B
(S_46) 0,5
500
I 120
0,5
60
+5,00
Fa ⋅ l 28,41 ⋅ 10 ⋅ 5000 = = 3,43mm E ⋅ Ao 206000 ⋅ 201
B By Bx
Központos húzás
I-2 I.4
Háromcsuklós keret vonórúdjának megtervezése (A vonórudat keresztoszlophoz csavarokkal kapcsoljuk.) a) Rajzolja meg a belsőerő ábrákat! b) Tervezze meg vonórudat! c) Határozza meg a vonórúd megnyúlását!
Adatok:az épület 220,00 mBf tengerszint feletti magasságon helyezkedik el, a vonórúd anyaga: A38 Mértékadó teher: alapértéke: qa = 6,63 kN/m2 szélsőértéke: qsz = 8,79 kN/m2 q
Statikai váz: C
9,0
1500
3rtg kav. lemezfedés 60mm C4-es kohósalak beton 120mm szénsalak feltöltés 190mm PK pallós födém 10mm cem. hab. vakolat
+9,00 H
A
300/1500 C16 vb. vakolatlan
9000 1140
V
3500
H
B
20,5
3,5
V
24,0 ±0,00
300 6000 6000
300
24,0 m
6,3
T = 6,3m 2
q ⋅ 3,52 + 12 ⋅ q ⋅ 3,5 − H ⋅ 9 = 0 ⇒ H = 3,986 ⋅ q 2 M1 = −3,986 ⋅ q ⋅ 9 = −35,875 ⋅ q MCbal = 0 ⇒ −
Mmax = 12 ⋅ q ⋅ 12 − 3,986 ⋅ q ⋅ 9 − q ⋅ 12 ⋅ 6 = 36,125 ⋅ q
300
1fm
ΣM A = 0 ⇒ q ⋅ 24 ⋅ 12 − V ⋅ 24 = 0 ⇒ V = 12 ⋅ q
-
-
3,986q
12q
+ +
-
-
12q
3,986q
-
M max = 36,125q
-
N
M 1 = 35,875q
12q
+
T
3,986q
M
b) megoldás: alkalmazzunk 4db M24-es At = 4 ⋅ As = 4 ⋅ 353 = 1412mm2 > ASZ = 1372,81mm2 (régi S_102; új S_87)
c) megoldás: ∆l =
Fa ⋅ l 211,34 ⋅ 103 ⋅ 24000 = = 13,61mm E⋅A 2,06 ⋅ 105 ⋅ 1808
-
Központos nyomás
II-3
II. Központos nyomás
200
50
II.1 Ellenőrizze a merevített épület egy közbenső beton pillérét! /Fagyhatás nincs/ Adatok: − terhelő mező: T = 24,0m2 − a pillér fölött üzlethelyiség van. − a födém állandó teher szélsőértéke: gsz = 4,8 kN/m2 C6 vakolatlan feletti
300
+ G pillér = 250,7kN
2900
Megoldás: Mértékadó teher: FM = F pillér Határteher és ellenőrzés: ϕ = 0,725
C 6 → σ bH _ pillér = 3 N mm2
(régi S_37; új S_29)
100
megfelel☺
FH = ϕ ⋅ A ⋅ σ bH _ pillér = 293,6kN > FM
Min. vastagság: C6 ⇒ 200 mm < 300 tényleges
700
Szerkesztési szabályok: (régi S_40_24,25tábl.; új S_34) l l Max. karcsúság: C6 ⇒ 0 =15 > 0 =10,33 tényleges h h
C4
megfelel☺
425 450
1100
225
1000
II.2
300
250
100
450
200
Tervezze meg a többnyílású, merevítetlen épület egyik beton pillérének ”b” méretét! Ellenőrizze az alapozását! /Fagyhatás nincs/ Adatok: − talaj határfeszültsége: σtH = 0,4 MPa; GM.pillér= 10kN − a pillér fölött kórház kórterme van! − a födém állandó teher szélsőértéke: gsz = 5,4 kN/m2 − a terhelő födémmező területe: T = 26,4m2
C6 vakolatlan
Megoldás: ' Mértékadó teher: FM = FM' + GM _ pillér = 208kN
C 6 → σ bH _ pillér = 3 N mm2
2800
300 Tervezés: (feltételezzük, hogy a szükséges méret nagyobb 300mm-nél) ϕ = 0,672 többnyílású merevítetlen (régi S_37; új S_29)
100
FM ≤ ϕ ⋅ A ⋅ σ bH _ pillér
208 ⋅ 103 = 0,672 ⋅ 300 ⋅ bsz ⋅ 3 bt = 350mm alkalmazunk
Szerkesztési szabályok: (régi S_40_24,25tábl.; új S_34) l l Max. karcsúság: C6 ⇒ 0 =15 > 0 =12,5 tényleges h h Min. vastagság: C6 ⇒ 200 mm < 300 tényleges
600 megfelel
950
Alapozás ellenőrzése: FM'' = FM + GM _ pillér + GM _ alap = 216,6kN FH _ talaj = σtH ⋅ A = 228kN > FM''
C4
megfelel
b
⇒
700
bsz = 344mm
Központos nyomás
II-4
lakóépület! a födém állandó teher szélsőértéke: gsz = 3,8 kN/m2 a terhelő födémmező területe: T = 3,0m2 az alaptest szélessége nagyobb a falvastagság kétszeresénél.
Szerkesztési szabályok: (régi S_40_24,25tábl.; új S_34) l l Max. karcsúság: C6 ⇒ 0 =15 < 0 =18 tényleges /NEM felel meg/ h h l C8 - as ( 0 =20) Ezért az alkalmazandó betonminőség ⇒ h
100
Tervezés: (1 fm-t vizsgálunk) ϕ = 0,501 /egynyílású merevítetlen/ F N N σ szükséges = M = 2,517 ⇒ C 6 ⇒ σ alkalmazott = 3 ϕ⋅A mm2 mm2
Min. vastagság: C8 ⇒ 150 mm < 200 tényleges
200
2200
Megoldás: Mértékadó teher: FM = 252,1kN
vakolatlan
800
− − − −
F’M
200
Tervezze meg az egynyílású, merevítetlen épület beton falát és alapozását! /a fal szigetelt/ Adatok: − talaj határfeszültsége: σtH = 0,35 MPa − a felső szintekről átadódó erő: FM'' = 222,3 kN m
50
II.3
C4
a=?
megfelel
FM ≤ FH = 0,35 ⋅ 1000 ⋅ a
⇒
a≥
269044 = 769mm ⇒ a = 800mm 350
1000
Alapozás: /feltételezés az alaptest önsúlyának kiszámításához ⇒a = 0,8m/ FM = 269,044kN
− a vakolat testsűrűségét most közelítőleg azonosnak vesszük a beton testsűrűségével. Megoldás: Mértékadó teher:
F’M
200
Alagútzsalus /merevített/ épület vakolt földszinti beton falának és alapjának ellenőrzése! /Fagyhatás nincs/ Adatok: − talaj határfeszültsége: σtH = 0,4 MPa; FM' = 191,2 KN m
100
II.4
C10
150
' FM = FM' + G M _ fal = 206kN
3200
Határteher és ellenőrzés: /1 fm-t vizsgálunk/ ϕ = 0,318 /merevített/ C10 → σ bH _ fal = 5 N mm2
(régi S_37; új S_29) megfelel
Szerkesztési szabályok: (régi S_40_24,25tábl.; új S_34) l l Max. karcsúság: C10 ⇒ 0 =25 > 0 =22,67 tényleges h h Min. vastagság: C10 ⇒ 120 mm < 150 tényleges
100
FH = ϕ ⋅ A ⋅ σ bH _ fal = 238,5kN > FM = 206,0kN
megfelel
C4
1200
Alapozás ellenőrzése: FM''
10mm kétoldali vakolat
= FM + GM _ alap = 221,8kN
FH _ talaj = σ tH ⋅ A = 200kN < FM'' NEM felel meg
Tervezzük meg az alapot! /vegyük fel, hogy az alap: 0,6 m széles!/ Így: FM'' = FM + GM _ alap = 225,0kN ≤ FH _ talaj = σ tH ⋅ A ⇒ aSZ
500
225000 = = 562,5mm ; Alkalmazzunk ⇒ asz = 600 mm 0,4 ⋅ 1000
1000
FM''
Központos nyomás
II-5
II.5
600
250
Tervezze meg a félig nyitott gépszín pilléreit és azok beton alapját. /Az épület homlokzatának több mint 30%-a nyitott./ Adatok: 180 +6,66 − talaj határfeszültsége: σtH = 0,35 MPa − mértékadó teher: +6,45 3rtg kav. lemezfedés szélsőértéke: qsz = 6,09 kN/m2 20mm cem. habarcs
Megoldás:
PK pallós födém C12 vakolatlan
Mértékadó teher: (terhelési sáv: T = 3,12 ⋅ 6,75 = 21,06m2 ) FM = 197,78kN
6000 ±0,00=112,00mBf
200
300
Tervezés: (feltételezzük, hogy a szükséges méret nagyobb 300mm-nél) ϕ = 0,325 /merevített/
-1,20
5/8×6000=3750
A terhelő födémmező területe
6000
C12 → σ bH _ pillér = 6 N mm2
(régi S_37; új S_29)
bt = 350mm alkalmazunk
a=?
300
3000
Szerkesztési szabályok: (régi S_40_24,25tábl.; új S_34) l l Max. karcsúság:C12 ⇒ 0 =25 > 0 =22,5 tényleges h h Min. vastagság: C12 ⇒120 mm < 300 tényleges megfelel
6000
⇒
b=?
197,78 ⋅ 103 = 0,325 ⋅ 300 ⋅ bsz ⋅ 6
a=?
FM ≤ ϕ ⋅ A ⋅ σ bH _ pillér bsz = 338,1mm
250
C12 /fagy miatt/
1000
/az oszlop 0,5 m-es oldalmérete az önsúlybecsléshez előre felvett érték/
6000
250
Alapozás: /feltételezés az önsúly becsléséhez ⇒ a = 0,9 m/ FM = 211,9725kN FM ≤ FH _ talaj = 0,35 ⋅ a2 alkalmazunk
50
a = 800mm
200
⇒
TF
250 vakolatlan
100
2800
a ≥ 605635,7143 = 778,226mm
II.6 Ellenőrizze az épület közbenső pillérét! /Fagyhatás nincs/ Adatok: − terhelő mező: T = 10,0m2 − födémteher szélsőértéke: qM = 7,5 kN/m2 Pillér: − kisméretű tömör tégla, (250/120/65) − nyomószilárdságának átlagos értéke: − 14 N/mm2 (régi S_141_ F4tábl.; új S_28-29) − a habarcs nyomószilárdságának átlagos értéke: − 3 N/mm2 (régi S_141_F4tábl.; új S_28-29) − a falazat minősége: I.o. Alaprajzi vázlat
Pillér
700
Megoldás: ' Mértékadó teher: FM = FM' + GM _ pillér = 80,62kN
Határteher és ellenőrzés: ϕ = 0,674 /merevített/
640 megfelel
Szerkesztési szabályok: (régi S_147_F12,11tábl.; új S_34) l l Max. karcsúság: 1,0 ≤ σ fH ≤ 2,0 ⇒ 0 =20 < 0 =12,4 tényleges h h Min. vastagság: 1,0 ≤ σ fH ≤ 2,0 ⇒ 190 mm < 250 tényleges megfelel
260 380
FH = ϕ ⋅ A ⋅ σ fH = 93,868N > FM = 80,62kN
130
(régi S_140;új S_28)
770
σ fH = 0,85 ⋅ σ f ⋅ m1 = 1,466 N mm2
TF
260 250 130
Központos nyomás
II-6 II.7
20
Tervezze meg a többnyílású, merevítetlen épület egy téglapillérének ”b” méretét! Ellenőrizze az alapozását! /Fagyhatás nincs/ Adatok: F’M − Talaj határfeszültsége: σtH = 0,25 MPa, FM' = 110kN , 240
− Becsült pillér súlya: GM.pillér= 12kN Pillér: − kisméretű tömör tégla, (250/120/65) − nyomószilárdságának átlagos értéke: − 10 N/mm2 (régi S_141_ F4tábl.; új S_28-29) − a habarcs nyomószilárdságának átl. értéke: − 0,5 N/mm2 (régi S_141_ F4tábl.; új S_28-29) − a falazat különleges minőségű.
TF
380
2650
15mm kétoldali vakolat
Megoldás: (feltételezzük, hogy „b” nagyobb 380 mm-nél) ' FM = FM' + GM _ pillér = 122kN
(régi S_140;új S_28)
FM ≤ ϕ ⋅ A ⋅ σ fH bsz = 495,47mm
⇒
1000
122 ⋅ 103 = 0,733 ⋅ 380 ⋅ bsz ⋅ 0,884 bt = 510mm alkalmazzunk
ellenőrzés a másik irányban: 800 = 1,56 <2, így az emeletmagasság „m” az alapozás síkjától kezdődik 510 l0 5050 = = 9,9 ezért ebben az irányban is megfelel h 510 Szerkesztési szabályok: (régi S_147_F12,11tábl.; új S_34) l l Max. karcsúság: σ fH ≤ 1,0 ⇒ 0 =15 < 0 =10 tényleges h h Min. vastagság: σ fH ≤ 1,0 ⇒ 250 mm < 380 mm tényleges megfelel
C4
800
800 b
σ fH = 0,85 ⋅ σ f ⋅ m1 = 0,884 N mm2
150
ϕ = 0,733 /többnyílású merevítetlen/
Alapozás ellenőrzése: A vakolat testsűrűségét most közelítőleg azonosnak vesszük a tégla testsűrűségével. FM'' = FM + GM _ pillér + GM _ alap = 138,8kN FH _ talaj = σ tH ⋅ A = 160kN > FM''
megfelel
II.8 Ellenőrizze a vasbeton gerenda felfekvését helyi nyomásra. Adatok: − FM = 600kN, alaptest C4-es
FM
Megoldás: Helyi nyomás ellenőrzése: A m2 = 0,75 + 0,25 ⋅ n = 1,9 < 2,0 A FH _ alap = m2 ⋅ σ H _ alap ⋅ A = 513kN < FM
C4
195 195
450 230
225 450 425
450 300 250
30
1000
NEM felel meg
220 220 230 300 30
Központos nyomás
II-7 FM
II.9 Ellenőrizze a vasbeton gerenda felfekvését helyi nyomásra. Adatok: − FM = 207,21kN/m, alaptest C4-es Megoldás:
C4
500
Helyi nyomás ellenőrzése: A m2 = 0,75 + 0,25 ⋅ n = 1,48 < 2,0 A FH _ alap = m2 ⋅ σ H _ alap ⋅ A = 444kN > FM
30
150
30
145 145 1000
Megfelel
II.10 Ellenőrizze a vasbeton gerenda felfekvését helyi nyomásra. Adatok: − FM = 208kN, alaptest C4-es
FM
300
Megoldás:
C4
megfelel
30
950 300 350 300
Helyi nyomás ellenőrzése: A m2 = 0,75 + 0,25 ⋅ n = 1,89 < 2,0 A FH _ alap = m2 ⋅ σ H _ alap ⋅ A = 396,9kN > FM
350 30 270 270
600
540
30
30
II.11 Ellenőrizze a vasbeton lemez felfekvését helyi nyomásra. Adatok: FM = 80,62kN Alap: − kisméretű tömör tégla, (250/120/65), − falazóelem nyomószilárdságának átl. értéke: − 10 N/mm2 (régi S_141_ F4tábl.; új S_28-29) − a habarcs nyomószilárdságának átl. értéke: − 0,5 N/mm2 (régi S_141_ F4tábl.; új S_28-29) − a falazat minősége: III.o. Megoldás:
FM
Helyi nyomás ellenőrzése: A m2 = 0,75 + 0,25 ⋅ n = 1,4368 < 1,5 A
TF
640 2
σ fH = σ f ⋅ m1 = 0,8 ⋅ 0,85 = 0,68 N mm (régi S_140;új S_28) FH _ alap = m2 ⋅ σ fH _ alap ⋅ A = 92,817kN > FM = 80,62kN
580
100
260 250 130
100
380 160
260
380 130
30
megfelel
450 160 250 30 100 100
Központos nyomás
II.12 Ellenőrizze a vasbeton lemez felfekvését helyi nyomásra. Adatok: FM = 500kN Alap: − kisméretű tömör tégla, (250/120/65), − falazóelem nyomószilárdságának átl. Értéke: − 14 N/mm2 (régi S_141_ F4tábl.; új S_28-29) − a habarcs nyomószilárdságának átl. értéke: − 1,0 N/mm2 (régi S_141_ F4tábl.; új S_28-29) − a falazat minősége: I.o.
m2 = 0,75 + 0,25 ⋅
An = 1,698 A
az m2 = 1,5 lehet legfeljebb
σ fH = σ f ⋅ m1 = 1,3 ⋅ 1,15 = 1,495 N mm2 (régi S_140;új S_28) FH _ alap = m2 ⋅ σ fH _ alap ⋅ A = 323,817kN < FM = 500kN
NEM felel meg
TF
800
30
30
210 380 210
740
Helyi nyomás ellenőrzése:
380
210 380 210
Megoldás:
FM
740
30
II-8
30
Nyírás
III-9
III. Nyírás FM=50kN
a
c
FM
b
60
90
Fűzőcsavar Ø20
240
III.1 Hagyományos fakötések. Ellenőrizze a fakötést! Adatok: − faanyag: /T=50 év/ − L.46.II.o. σ Hh = 8,3 N mm2 /puhafa/ FM σ Hny = 14,9 N mm2 /puhafa/
d
90
τ H = 1,6 N mm2 ( az l r síkban)
− K.68.I.o. σ Hny = 8,2 N mm2 (keményfa)
240
80
160
240
Megoldás: a) ellenőrzés húzásra
FH = 103,84 ⋅ 103 N > FM
megfelel
b) ellenőrzés fognyomásra
FH = 143,04 ⋅ 103 N > FM
megfelel
3
FH = 60,886 ⋅ 10 N > FM
megfelel
3
FH = 78,72 ⋅ 10 N > FM
FM=300 kN FM
− σ pH = 350 N mm2 /szegecs/ (régi S_100; új S_87)
FM
40
60 40 40 60
40
2
(régi S_100; új S_87)
Megoldás: a) húzás FH = 331360N = 331,36kN > FM
10
− τ H = 160 N mm2 /szegecs/
10
− σ pH = 330 N mm /alapanyag/(régi S_99; új S_86)
megfelel
b) nyírás FH = 435801,73N = 435,801kN > FM
megfelel
c) palástnyomás FH = 538560N = 538,5kN > FM
megfelel
III.3 Határozza meg a fakötés határerejét! Adatok: − Faanyag: F 56.II.o. /T=50év/ − Ék: K 68.II.o. /az ÉK rostjai párhuzamosak a terheléssel/ − σ Hh = 15,3 N mm2 /puhafa/; σ Hny = 18,1 N mm2 /puhafa/; τ H = 2,0 N mm2 /puhafa/ σ Hny = 22,0 N mm2 /keményfa/; τ H = 2,4 N mm2 /keményfa/
d
d
c
d
100
80
c
b
F
e
d
100
20
F
a
80 120 80
Fűzőcsavar Ø20
20
−
100
80
460
180
a) középfa húzás FH = 220,3 ⋅ 103 N heveder húzás FH = 247,9 ⋅ 103 N /külpontosság miatti csökkentő tényező/ 3
b) középfa nyírás FH = 141,23 ⋅ 10 N ÉK nyírás FH = 138,2 ⋅ 103 N c) fognyomás FH = 260,6 ⋅ 103 N FM = FH min = 138,2 ⋅ 103 N
(régi S_94)
160
III.2 Ellenőrizze a vázolt szegecskötést! Adatok: − szegecs: φ16; A34 SZK (régi S_100; új S_87) − lemez: A34 (S235) (régi S_99; új S_86) − σ hH = 190 N mm2 /alapanyag/(régi S_99; új S_86)
megfelel
16
d) betét ellenőrzése fognyomásra-rostokra merőlegesen
30 50 50 30
c) ellenőrzés nyírásra
Tiszta /egyenes/ hajlítás
VI-13
VI. Tiszta /egyenes/ hajlítás VI.1
Határozza meg a tartókeresztmetszetben keletkező max. normál feszültségeket! h.s. A 150 M A = −12kNm ; σ
y s = 94,23mm ; 6
I x = 238,5 ⋅ 10 mm
σ − = −4,74
VI.2
N
+ ; σmax = + 7,837
mm2
Mx
x x’
4
+
50
Mmax =12kNm
M
155,77
A = 0kN
(m)
12
-
T
3,0
ys
12kN
1,0
150 50
12kN
-
x”
N
150
mm2
50
150
350
Határozza meg a tartókeresztmetszetben keletkező max. normál feszültségeket! 200kN/m σ x’ h.s.
200kN/m
I x = 2,789 ⋅ 109 mm4
300
360
Mmax =225kNm
M
σ − = −18,04
VI.3
N 2
mm
+ ; σmax = + 20,68
-
N 2
mm
120
120 360
120
Határozza meg a tartókeresztmetszetben keletkező max. normál feszültségeket! 20kN
A
Mx
x
300
223,6
T
ys
y s = 256,4mm ;
1,5
480
3,0 (m)
1,5
+
120
B
A
2,0
2,0
20kN B
2,0 (m)
20
T
σ1
I200-as σ1 = σ2 = ± 186,9
20
-
Mx
N mm2
+
M
σ2
+Mmax =40kNm
Határozza meg a tartókeresztmetszetben keletkező max. normál feszültségeket!
2,0
A
30kNm
4,0 (m)
B
σ
h.s
2,0
x
134,55
30kNm
240
VI.4
Mx
+
ys
T
x’ M
−
30
80
y s = 105,45mm ; I x = 242,3 ⋅ 106 mm4 σ − = −13,05
N mm2
+ ; σmax = + 16,66
N mm2
140 300
80
-
Tiszta /egyenes/ hajlítás
VI-14 VI.5
I x = 4,389 ⋅ 109 mm4
T
170
2 -
M
1 σmax = ± 0,137
VI.6
72,08
Mx
MM = 2,0kNm
1kN
+
332,08
2,0 (m)
1,0
170
B
260
A
Határozza meg a tartókeresztmetszetben keletkező max. normál feszültségeket! 3kNm h.s σ
-
N
170 340
mm2
170
Határozza meg a tartókeresztmetszetben keletkező max. normál feszültségeket! 20kN 20kN h.s σ B = 40kN
3,0
(m)
20 20 -Mmax =60kNm
VI.7
N mm2
y s = 140,625mm
x
I x = 1226,95 ⋅ 106 mm4
M
σ − = −6,876
Mx
x’
150
T
+
A = 0kN −Mmax = 60kNm
+ ; σmax = + 15,128
309,37
3,0
ys
3,0
B
300
A
-
100 150
150 100
N mm2
2,0
2,0
x’
30
T
60
B = 30kN ; A = 30kN ; −Mmax = 60kNm 6
4
y s = 215mm ; I x = 746,63 ⋅ 10 mm
+
235
B (m)
80
A
120
Határozza meg a tartókeresztmetszetben keletkező max. normál feszültségeket! 60kNm 60kNm 90 60 90 σ
60
x
+ σmax
N
; mm2 N = + 18,884 mm2
250
σ − = −17,277
ys=215
M
60
120
60
-
Ferde hajlítás
VII-15
VII. Ferde hajlítás VII.1 Határozza meg a max. szélsőszál feszültségeket. 20kN/m
A
2db U200-as α=40o
B
4,0
(m)
7
h.s. 7
4
Mx
4
I x = 3,82 ⋅ 10 mm ; Iy = 2,237 ⋅ 10 mm
M
M
M x = 30,642kNm M y = 25,711kNm
40kNm
My
α
tgβ = 1,4328 → β = 55o
h.s. σ1 = +166,41
N mm2
; σ2 = −166,41
N
s.t.
y
σ2
β
mm2
x +
α
σ1
VII.2 Határozza meg a max. szélsőszál feszültségeket. α =50°
16kN 16kN B
A
1,0
1,0 1,0
1,0
A = 24kN
(m)
120mm
M1 = 24kNm 6
I x = 138,24 ⋅ 10 mm
M
M1
M2
4
Iy = 34,56 ⋅ 106 mm4
h.s.
Mx
M2 = 32kNm
M
Wx = 1,152 ⋅ 106 mm3
240mm
16kN
Wy = 0,576 ⋅ 106 mm3
My
α
M x = 20,569kNm
h.s. s.t.
My = 24,513kNm
y
σ2
β
o
tgβ = 4,766 → β = 78,15 N σ1 = +60,4 ; σ2 = −60,4 N mm2 mm2
x +
α
σ1
VII.3 Falvázgerenda, mely tartja a panelokat (koncentrált erő) és szélterhet is kap (megoszló terhelés) Fy=100kN Fy=100kN M x = 150kNm; M y = 90kNm Fy függ. teher B
M = 174,92kNm; tgα = 0,6 → α = 30,96 o
qx=20kN/m
I x = 3276,502 ⋅ 106 mm4
My =90kNm M
y
y s = 265,4mm ;
Mx =150kNm
tgβ = 0,6758 → β = 34o
s.t.
y
1
SZÉL
Iy = 2908,333 ⋅ 106 mm4
x’
50
M β
x
σ1
σ1 = − 16,929
α -
σ2 = + 19,885
2
+
σ2
N mm2 N mm2
M
My α
x
100
(m)
Mx 500 300
1,5
100
3,0
ys=265,4
1,5
234,6
A
100
200 500
100
50
Ferde hajlítás
VII-16
VII.4 Mekkora erővel terhelhető a tartó rugalmas határállapotban? Rajzoljon σ ábrát! Adatok: 2db L 40.40.4 Anyaga: A38 FM M x = 3,0311F [kNm]
0,5
3,5
My = 1,75F [kNm]
(m −M max = 3,5 ⋅ F M
M
α = 30 o
I x = 8,96 ⋅ 104 mm4 Iy = 16,69 ⋅ 104 mm4
tgβ = 0,31 → β = 17,22o
σ1 σ1 = 974,3F
h.s.
y
σ2 = 798,3F σmax = σ1
+ x
1
M
σH ≥ σM
β
s.t.
200 ≥ 974,3F ⇒ FM ≤ 0,205kN
-
σ2
2
α = 30 o
VII.5 Határozza meg a max. normálfeszültségeket, a semleges tengely helyét és vázolja fel a „σ” ábrát! Adatok: M y α = 60o M = 10kNm x
•
M x = 5kNm My = 8,66kNm σ1 = − 0,612 σ2 = + 0,612
;
I x = 3,46 6⋅ 109 mm4 •
9
; tgβ = 0,641 → β = 32,66
100 200 100
− −
α
o
4
Iy = 9,36 6⋅ 10 mm
N
100 200
mm2
200 100 100
N mm2
M
s.t.
My 2
Mx
σ2
x
β 1
+
y
-
σ1
(mm)
Ferde hajlítás
VII-17
VII.6 Számítsa ki a legnagyobb húzó és nyomófeszültség nagyságát, készítse el a feszültségdiagrammát!
4,6
B
40 T
M x = 150,72kNm
(m) M = 105,54kNm y y s = 227,14mm
I x = 1681,77 ⋅ 106 mm4
40
ys=227,14 50
I y = 449,71 ⋅ 106 mm4
M
+Mmax =184kNm tgβ = 2,618 → β = 69,1o + σmax = + 48,51
N 2
mm
80 80 80
180
4,6
100
4,0
A
170
40kN
272,8
40kN
x’ x
− , σmax = − 43,65
40
N 2
160
mm
α = 35 o 40
h.s.
h.s.
+
My
My
y
s.t.
x
x
M -
Mx
σ
β
M
α -
Mx
y
α + +
Összetett /egyenes/ hajlítás
VIII-18
VIII. Összetett /egyenes/ hajlítás VIII.1 Határozza meg a max. normál feszültségeket és a legnagyobb nyírófeszültségeket! 30kN/m 50
σ
B
A
-
2,0 (m)
4,0 1,0
B = 150kN A = 30kN
90
+M1 = 60kNm
60
+Mmax = MM = 75kNm
60
+
100
M
6
τ max
50
T 30
Mx
300 200
2,0
τ
4
I x = 429,17 ⋅ 10 mm
50 100 250
+Mmax=75
60 σmax = ±26,21
N mm2
S x = 1,8125 ⋅ 10 6 mm3 ; τ max = 7,6
N mm2
VIII.2 Határozza meg a max. normál feszültségeket és a legnagyobb nyírófeszültségeket! M=180kNm
2db U300-as 50kN/m
A 1,5
3,0
1,5
2,1
B
(m)
45
T
σ
h.s.
Mx
−M1 = −22,5kNm
τ
+
τ max
+ M2 = +67,5kNm
105
-
+Mmax = +87,75Nm
180
MM = 180kNm 67,5
M
Wx = 1,07 ⋅ 106 mm3 ;
22,5
σ max = ±168,2
+Mmax=87,75 z =
A = 105kN B = 45kN
N mm2
Ix N = 254mm ; τ max = 20,6 Sx mm2
VIII.3 Határozza meg a max. normál feszültségeket és a legnagyobb nyírófeszültségeket! σ τ 15kN/m h.s.
S s = 6,5959 ⋅ 10 mm ; τ max = τ s = 1,63 6
S1 = S2 = 3,8745 ⋅ 10 mm
τ 1 = 0,319
N mm
2
;
N mm2
x
3
τ 2 = 0,958
N mm2
x
50 S3 = S4 = 6,3765 ⋅ 106 mm3
τ 3 = 1,577
N mm2
;
τ 4 = 0,525
N mm2
τ1
τ2
τ max
M max ys=216,7
3
N mm2
500 300
- 120kNm 6
3
Wx = 8,55842 ⋅ 10 mm
σ max = + 14,02 M
+ 283,3
6
60kN
-
T
I x = 2424,6 ⋅ 106 mm4
150
4,0 (m)
50
y s = 216,7mm
A
200 300
50
τ 4 τ3 -
Hajlított tartók alakváltozása
IX-19
IX. Hajlított tartók alakváltozása IX.1
Határozza meg a konzoltartó lehajlásait és elfordulásait az „A,1,2,3” keresztmetszetekben! Adatok: I 360 I x = 1,961 ⋅ 10 8 mm 4 E = 2,06 ⋅ 10 5 N mm 2 EI x = 4,03966 ⋅ 1013 Nmm 2 Megoldás: y1 = 1,48mm ; y2 = 4,29mm ; y3 = 5,78mm
80kN 40kN 1 A
2
1,0
1,0
ϕ1 = 0,2475% ; ϕ2 = ϕ3 = 2,9705 ⋅ 10−3 rad = 0,2970%
3 0,5 (m)
IX.2
Mekkora a tartó legnagyobb elfordulása és lehajlása? Adatok: I 360 I x = 1,961 ⋅ 10 8 mm 4 E = 2,06 ⋅ 10 5 N mm 2 50kN 50kN
EI x = 4,03966 ⋅ 1013 Nmm 2
B
A
3,0
3,0
(m)
3,0
Megoldás: ymax = 32,02mm
M
ϕmax = 11,13 ⋅ 10 −3 rad = 1,11%
150kNm
IX.3
Határozza meg a ϕ A és ϕB elfordulásokat! q a = 20 kN m
A
y
B
6,0
2,0
Adatok: I 400 I x = 29210 ⋅ 10 4 mm 4
(m)
x
E = 2,06 ⋅ 10 5 N mm 2
EI x = 6,01726 ⋅ 1013 Nmm 2 Megoldás:
MP 90
y
ΣM A = 0 ⇒ By = 45kN
M1=90kNm
ΣFiy = 0 ⇒ Ay = 75kN
T = f
q ⋅ l2 20 ⋅ 62 = = 90kNm 8 8
2 ⋅f ⋅ l 3
x
ϕ A = 6,232 ⋅ 10
−3
rad ϕB = 5,733 ⋅ 10
−3
0
rad
IX.4 Elmozdulások számítása munkatételekkel! 1. Ellenőrzés Adatok: I 200 I x = 2140 ⋅ 10 4 mm 4 E = 2,06 ⋅ 10 5 N mm 2 Fa=5kN
4,0
f
l
EI x = 4,4084 ⋅ 1012 Nmm 2
Megoldás: ymax = 24,196mm
< yH =
L = 40mm 100
ϕmax = 9,07 ⋅ 10 −3 rad = 0,907%
megfelel
< ϕH = 1,5%
megfelel
2. Mekkora legyen az ’M’ értéke, hogy a ’k’ keresztmetszet lehajlása zérus legyen? q a = 10 kN m
A
x
B
k 8,0 m M
M
Adatok: I 180 I x = 1450 ⋅ 10 4 mm 4
E = 2,06 ⋅ 105 N mm 2
EI x = 2,987 ⋅ 10 12 Nmm 2 Megoldás:
y
y k = 0 ⇒ M = 66,667 ⋅ 106 Nmm = 66,667kNm
3. Határozza meg a „C” csukló függőleges eltolódását! 10kN
A
6,0
C
M=4kN Bm 4,0
Adatok: I 180 I x = 1450 ⋅ 10 4 mm 4
EI x = 2,987 ⋅ 1012 Nmm 2 Megoldás: ymax = 216,94mm
E = 2,06 ⋅ 105 N mm 2
Hajlított tartók alakváltozása
IX-20
Határozza meg a ’k’ keresztmetszet elmozdulásait: y k = ?
4.
Megoldás: y k =
4,0
A
4kNm
Megoldás:
k 3,0
ϕk = ?
EI adott
5,4 ⋅ 1014 3,3 ⋅ 1011 ; ϕk = EI EI
Határozza meg a ’k’ keresztmetszet elmozdulásait: y k = ?
5.
EI adott
20kN
k 3,0
ϕk = ?
2,0
A
yk = −
3,2 ⋅ 1013 8 ⋅ 109 ; ϕk = − EI EI
Hajlított tartók méretezése
X-21
X. Hajlított tartók méretezése X.1
Tervezze meg a lakóépület poroszsüveg boltozatos födémének acélgerendáját. A megtervezett gerendát ellenőrizze nyírásra. Végezze el a merevségi vizsgálatot is!
Adatok: gerenda anyaga: A34 Terhelő mező
1200
1200 1200
A födém rétegei: − 20mm mozaiklap burkolat − 20mm cementhabarcs − 60mm aljzatbeton C6 − 165mm szénsalak feltöltés − poroszsüveg boltozat Falmagasság: 3,10m Mértékadó teher:
1fm
380
4100
100
380
1800
−
alapértéke: qa = 7,2 kN m2
−
szélsőértéke: qsz = 10,09 kN m2
Gerendára jutó teher: qa = 8,64 kN m
qsz = 12,108 kN m
Válaszfal teher: 100mm fal 3,1 ⋅ 170 = 527 kg m
⋅1,2 = 632,4 kg m
Fa = 1,2 ⋅ 5,27 = 6,324kN FM
Statikai váz: l = 1,05 ⋅ (4100 + 100 + 1800 ) = 6,3m < 6,0 + 0,38 Igénybevételek: ΣM A = 0 ⇒ By = 43,3194kN
q sz A
B
1 4,3
FM = 1,2 ⋅ 6,324 = 7,589kN
2,0
ΣFiy = 0 ⇒ Ay = 40,55kN
6,3
M1 = 62,426kNm
xo=3,348
Mmax = 67,9kNm
T
a) tervezés hajlításra: Mmax ≤ MH
M
⇒ Wszukséges ≥ 357,36 ⋅ 103 mm3 a választott acéltartó ⇒ I 260 b) ellenőrzés nyírásra: τ M = 20,66MPa < τ H = 110MPa
Mmax
megfelel
c) merevségi vizsgálat: Fa
qa
A
B 2,0
4,3
(m)
A
B (m)
6,3
y1 = 0,455
2/3·2000
2/3·4300
MP 8,6327kNm 1
MP 42,8652kNm 1
x
y2 = 0,788
ϕ A = 0,86%
ϕ B = 0,89%
< ϕ H = 1,5%
megfelel y + y1
M QϕB + 1
y2
M QϕB 1
Hajlított tartók méretezése
X-22 X.2
Adatok: − Ε = 1,2·104 MPa − σH = 16,3 MPa − τH = 4,5 MPa
4000 mm
380 mm
Megoldás:
g sz = 6,7 kN m2
-
100
100
τ1 τs
137,5
x
τ
+
100
a) osztástávolság meghatározás: hasznos teher: pa = 2 kN m2
qM A
ga = 6 kN m2 ;
162,5
100 200
Födémen lévő terhelések: 380 mm
σ
y x’
a
a
a
Milyen osztástávolságban kell elhelyezni az iroda helység ábrán látható fagerendáit? Ellenőrizzen nyírásra és végezze el a merevségi vizsgálatot!
psz = 1,3 ⋅ 2 = 2,6 kN m2
l = 1,05 ⋅ 4,0 = 4,2m < 4,38m ; qM = 9,3a [kN m]
B
4,20 m
tth = 0,5
y s = 162,5mm ; I x = 554,166 ⋅ 106 mm4 ;Wx = 3,41026 ⋅ 10 −3 m3 Mmax ≤ MH
T
⇒
a ≤ 2,711m
alkalmazott : a = 2,7m
b) ellenőrzés nyírásra: qM = 25,11 kN m ; Tmax = 52,731kN ; S x , s = 2,8359 ⋅ 106 mm3 ; τ s = 0,8995MPa
M
S x ,1 = 2,250 ⋅ 106 mm3 ; τ 1 = 1,07MPa < τ H = 4,5 N mm2
megfelel
c) merevségi vizsgálat: qa = 18,9 kN m = 18,9 N mm ; ϕ = qa·ℓ3/24EIx = 0,0087rad = 0,87% megjegyzés: MSZ15021/2 szerint: fmax = (1 + ϕ1 ) ⋅ f („f” rad; vagy mm-ben)
(régi S_85;új S_78)
ha: T=50év, u=12% akkor ⇒ ϕ1 = 0,67 és (1 + ϕ1 ) = 1,67 így az fmax = 1,4529% < ϕ H = 1,5%
X.3
megfelel
1,5 1,5 1,5
Végezze el az irodaépület födémkonzolának ellenőrzését teherbírás (hajlítás, nyírás) és merevség szempontjából.
640
Adatok: Anyag:A38 − Ε = 2,06·105 MPa − σH = 200 MPa − τH = 115 MPa
80x12
σ
τ +
x
I240
τ max -
Födémen lévő terhelések:
ga = 5,4 kN m2 ;
3400
y
80x12
gsz = 6,2 kN m2
Megoldás: hasznos teher: pa = 4 kN m2 ;
qM
tth = 0,5;
psz = 1,3 ⋅ 4 = 5,2 kN m2
l = 1,05 ⋅ 3,4 = 3,57m < 3,72m ℓ=3,4·1,05=3,57
qM = 17,1 kN m ; Tmax = 61,05kN ; Mmax = 108,97kNm ; I x = 73 ⋅ 106 mm4
Hajlításra: Mmax ≤ MH ⇒ MH = 110,6 ⋅ 106 Nmm = 110,6kNm >MM =108,97kNm megfelel Nyírásra: S x , s = 3,27 ⋅ 105 mm3
τ max = 31,43MPa < τ H = 115MPa
(régi S_133; új S_118) megfelel
Merevségi vizsgálat: qa = 11,1 kN m = 11,1 N mm ; ymax = qa·ℓ4/8EIx = 14,99mm < ℓ/200 = 35,7mm 70,73kNm
Munkatétellel: -
MP 3 3570 = 2677,5 4
qa ⋅ l 2 = 70,73kNm ; 2
y 1 = 2677,5mm 1
3570mm
ymax = 14,99mm
M Qy
y1
EI x = 1,5038 ⋅ 1013 Nmm2
megfelel
(S_30)
Képlékeny hajlítás
XI-23
XI. Képlékeny hajlítás XI.1
Határozza meg a rugalmas és képlékeny határnyomaték hányadosát! 300
σ
Megoldás: Rugalmas határnyomaték:
186,7
y s = 213,33mm ; I x = 1314,31 ⋅ 106 mm4
400
Wx = 6,162 ⋅ 106 mm3 ; MR = Wx ⋅ σ = 6,162 ⋅ 106 ⋅ σ
213,3
300
50
200
x
400-yo
A = 10 ⋅ 10 4 mm2 A 2 = 5 ⋅ 10 4 mm2 x 50 = ⇒ x = 0,125y o yo 400
x
400
50
σ
Képlékeny határnyomaték:
yo
y o = 219,8 ≈ 220mm x = 27,5mm 300 22,5
255
22,5
σ 50
[
180
27,5
]
MT = σ ⋅ S1 + S2 = 9,901 ⋅ 106 ⋅ σ
220
400
27,5
50
200
50
Mekkora lehet a „q” megoszló teher nagysága rugalmas ill. képlékeny alapon?
2,0
B
(m)
350 200
M
25
+
50
+Mmax = 4 ⋅ 2q − 2q ⋅ 1 = 6q [kNm]
200
50
200
450
Rugalmas alapon: y s = 211,8mm ; I x = 732,7 ⋅ 106 mm4 ; Wx = 3,46 ⋅ 106 mm3 Mmax ≤ MH 6q ≤ 48,44 q ≤ 8,07 kN m
Képlékeny alapon: A = 4,75 ⋅ 10 4 mm2
450 ⋅ 50 + 50 ⋅ x = 2,375 ⋅ 10 4
4
2
x = 25mm
A 2 = 2,375 ⋅ 10 mm
[
-
Mx
Megoldás: A = 2q
]
MT = σ H ⋅ S1 + S2 = 73,9375 ⋅ 106 Nmm Mmax ≤ MT 6q ≤ 73,94 q ≤ 12,32 kN m
σH
275
4,0
σH
75
2,0
− σ H = 14MPa
211,8
A
150
Adatok:
138,2
qM
100
XI.2
MT 9,901 = = 1,61 MR 6,162
50
200
Húzószilárdsággal rendelkező karcsú szerkezetek külpontos nyomása
XII-24
XII. Húzószilárdsággal rendelkező karcsú szerkezetek külpontos nyomása
4,0
q=20kN/m
XII.1 Készítse el az igénybevételi ábrákat! Határozza meg a tartón fellépő max. normál fesz. értékét! Mekkora a külpontosság értéke és hol van a semleges tengely?
80
B
A
y
Adatok: − anyag: A34 − r = 120 mm − R = 160 mm
Mx σ1
20
20
8,0
Megoldás: -
A = π ⋅ (R2 − r 2 ) = 35186,0mm2 ;
80
-
+
I x = I y = π 4 ⋅ (R 4 − r 4 ) = 351,8583 ⋅ 106 mm4 Ix = 2,19911 ⋅ 106 mm3 f F M N σ =− ±Ψ⋅ mm2 ; Ψ = A W
Wx = 20
20
N [kN]
1 1−
-
λE = 93,01 ,
1 3
80 ⋅ 10 1− 35186,0 ⋅ 190
80 ⋅ 93,01
2
= 1,0089 .
2
megfelel 2
= −2,27 + 146,97 = +144,7 N mm < 190 N/mm
M x = F ⋅ ey yo =
⇒
ey =
Mx 320 ⋅ 106 = = 4000mm F 80 ⋅ 103
i x2 10000 = = 2,5mm ey 4000
2
(régi S_102;új S_87)
σ 1ny = −149,2 N mm2 < 190 N/mm2 σ 2h
λ ⋅ λE
i x2 = iy2 =
M [kNm]
Ψ=
N A ⋅ σH
Ix = 10000mm2 ⇒ i x = iy = 100mm , A N = 80kN , l ν ⋅ l 1 ⋅ 8000 λy = λ x = o = = = 80 < 250, ix ix 100
160
-
320
σ2 +
megfelel
yo
Húzószilárdsággal rendelkező karcsú szerkezetek külpontos nyomása
XII-25
XII.2 Ellenőrizze az acél oszlopot az MSZ előírásai szerint! 60kN
A-A metszet
Adatok: − anyag: A34 − keresztmetszet: I 200
4,0
D
A
0,5m
A x
0,5m
Megoldás: 60kN
1.
30kNm + 60kN
2.
külpontos húzás-nyomás: F M N σ =− ±Ψ⋅ mm2 ; Ψ = A W
1 1−
-
N
T
λ = λx =
λE = 93,01 = 1,12 2 100 60 ⋅ 10 1− ⋅ 3350 ⋅ 190 93,01 σ 1ny = −174,9 N < 190 N/mm2 megfelel mm2 σ 2h = −17,9 + 157 = +139,1 N < 190 N/mm2 megfelel mm2 3. központos nyomás: imin = iy = 18,7mm
4. 5.
3
iy
2
l 0 ν ⋅ l 2 ⋅ 4000 = = = 100 < 250 ix ix 80
1
Ψ=
ν ⋅l
λ ⋅ λE
M
N = −60kN;
λy =
N A ⋅σH
=
2 ⋅ 4000 = 427,8 > 250 18,7
elcsavarodó kihajlás: nem vizsgáljuk öv kifordulás: nem vizsgáljuk
nem felel meg
(régi S_102;új S_87)
y
Húzószilárdsággal rendelkező zömök szerkezetek külpontos nyomása
XIII-26
XIII. Húzószilárdsággal rendelkező zömök szerkezetek külpontos nyomása XIII.1 Határozza meg a keresztmetszet max. szélsőszálfeszültségeit, a semleges tengely helyét és a maghatárpontokat!
100
D
100
Mx
S
I x = 238,715 ⋅ 106 mm4 100
100
145,83
S
σmax
104,17
Megoldás: S y s = x = 145,83mm A
250
250
D
100
F = 100 kN
100
100
Adatok:
ey=45,83
100
100
100
-
a) az erő az ’y’ tengelyen van, ’D1’ pontban támad: i x2 = I x A = 4774,305mm2 ⇒ i x = 69,0963mm ⇒ Semleges tengely helye: y o = i x2 e y = 104,17mm σ = −F A ± M W
[N mm ] 2
F = 100kN;
ey = 45,833mm;
M x = F ⋅ ey = 4,583kNm
σ1 = − F A − (M x I x ) ⋅ ymax = −4,8MPa ;
σ2 = − F A + (M x I x ) ⋅ ymin = 0,0MPa
S
Iy
100
= 4166,66mm2 ⇒ i y = 64,549mm A Semleges tengely helye: i y2 i2 xo = = 83,33mm; y o = x = 104,17mm ex ey
S
σ2
σ1 = + 3,6 N σ2 = − 6,0 N
+
My = F ⋅ ex = 5kNm
N mm2
125
My M F ± x ± A Wx Wy
-
My σ1
σ=−
Mx
D
1
M x = F ⋅ ey = 4,583kNm;
2
xo
ey=45,83
i y2 =
ex=50
s.t.
yo
250
D
I y = 208,333 ⋅ 106 mm 4
250
100
ex=50
ey=45,83
b) a döféspont általános helyzetű ’D2’:
mm2 mm2
100
100
100
ky = kx =
y
'
i y2 x
'
=
4774,305 = 17,62mm 270,83
=
4166,66 = 38,46mm 108,332
x ' = 50 + 58,332 = 108,332mm
'
145,83
i x2
ky,1
i x2 4774,305 = = 32,73mm y2 145,83
ix
ix
S
ky,2
k y ,2 =
ky
i x2 4774,305 = = 45,83mm y1 104,17
250
k y ,1 =
y =270,83
c) maghatárpontok:
iy
104,17
y ' = 145,87 + 125 = 270,83mm
x'=108,332
kx
kx
Húzószilárdsággal rendelkező zömök szerkezetek külpontos nyomása
XIII-27
Semleges tengely helye: y o =
10
+ σ2
10 30
i x2 = 8,53mm ey
ix
σ1 = −
F Mx − ⋅ y max = − 2,71 N A Ix mm2
σ2 = −
F Mx + ⋅ y min = +0,253 N A Ix mm2
ix
M x = F ⋅ ey = 3560Nmm D
y2=11,1
ey = 8,9mm;
y1=18,9
F = 400N;
4,016
F M σ=− ± f A I
̶–
̶– 11,1
30
+ 10
6,84
10
σ1
yo=8,53
10 30
30 7,5 2,5 10
–
2,5
S
I = x = 75,91mm2 A ⇒ i x = 8,71mm
18,9
I x = 36057,54mm 4 ; i x2
Mx/Wx
10
S
Megoldás: y s = 11,1mm ;
ey=8,9
20
D
7,5
D
F/A
Adatok: − F = 400 N
10
20
XIII.2 Határozza meg a keresztmetszet max. szélsőszálfeszültségeit, a semleges tengely helyét és a maghatárpontokat!
k1 = i x2 y2 = 6,84mm
maghatárpontok:
k2 = i x2 y1 = 4,016mm
10
Megoldás:
6
6
ey = 7,5mm
yo=21,34
6 30
S 17,5
ys 10
6
Ix = 160,416mm2 A = 12,66mm
i x2 = ix
6
40
y s = 17,5mm ; I x = 115500mm4
S
10
40
20
D
22,5
15
–
ey=7,5
D
20
σ1
Adatok: − F = 1000 N
150
10
XIII.3 Határozza meg a keresztmetszet max. szélsőszálfeszültségeit, a semleges tengely helyét és a maghatárpontokat!
σ2
(ábrából) 6
6
6 30
6
6
Ix = 160,416mm2 ⇒ i x = 12,66mm A = 7,5mm (ábrából)
i x2 = ey
Semleges tengely helye: y o = i x2 ey = 21,34mm σ=−
F M ± f A I
F = 1000N;
ey = 7,5mm;
M x = F ⋅ ey = 7500Nmm
ix
ix
F Mx + ⋅ y min = −0,25 N A Ix mm2
D
9,16
σ2 = −
y1=22,5
F M σ1 = − − x ⋅ y max = − 2,85 N A Ix mm2
i x2 160,41 = = 9,16mm y2 17,5
k2 =
i x2 160,41 = = 7,13mm y1 22,5
y2=17,5
k1 =
7,13
maghatárpontok:
Húzószilárdsággal rendelkező zömök szerkezetek külpontos nyomása
XIII-28
XIII.4 A súlyponttól az „x” tengelyen milyen távol kell hatnia az „F” erőnek, hogy a keresztmetszeten csak nyomófeszültség ébredjen és az egyik szélsőszálban a feszültség nulla legyen!
10
16,11
y
Adatok: − legyen: F = 150 kN Megoldás: y s = 16,11mm
S
I y = 107500mm4 F My + ⋅f = 0 A Iy
⇒
50
ex=?
ex = 4,78mm
A feszültség a másik szélső szálban σ 2 = −333,414 N mm2 Semleges tengely helye: Iy i y2 = = 119,444mm2 i y = 109,29mm A xo =
i y2 ex
D 33,89
σ1 = −
My = F ⋅ ex = 150ex kNmm
40
F = 150kN;
x
20
= 25mm
10 50
20mm
–
F/A
– My/Wy +
– σ1 xo=25
σ2
Húzószilárdsággal nem rendelkező külpontosan nyomott zömök rudak
XIV-29
XIV. Húzószilárdsággal nem rendelkező külpontosan nyomott zömök rudak XIV.1 D1, D2, D3 döféspontok esetén határozza meg: a) Rugalmas alapon a σ max -ot,
y
S
200 x
b) Képlékeny alapon a határerőt! Az anyag húzószilárdsággal nem rendelkezik Adatok: − F = 500 kN − σH = 20 MPa Megoldás:
200
115,17
xs=438,4
x s = 438,4mm ; I x = 141,666 ⋅ 108 mm4
D1
D3
115,17
600
361,6
Iy = 207,4189 ⋅ 108 mm4 ; Maghatárpontok: 100
i x2 =
100
139,9
200
115,4
D2
i y2 =
100 450
350
Ix i2 = 34553mm2 ; k y = x = 115,17mm A fy Iy A
= 50589mm2 ; k x ,1 =
i y2 f x ,1
= 115,4mm
k x ,2 = iy2 f x ,2 = 139,9mm
800
Rugalmas alapon: Döféspont magidomon kívül
D1 Döféspont magidomon kívül D2
C
300
XD
200
600
200
100 100 200
C=100
200
D1
D2 100
200
100
σMAX
eX
200 200 200
h.v . XD=200
Döféspont magidomon belül
D3
361,5 400
h.v .
438,5 350
σMAX σMAX
σmax =
2F ; Any
σmax =
σmax = 8,33MPa
3F ; Any
σ=−
σmax = 18,75MPa
F My ± ⋅ x ; e X = 88,4mm ; A Wy
My = F ⋅ e X = 44,2kNm
σmax = −2,15MPa ; σmin = −0,448MPa Képlékeny alapon: D3
Döféspont magidomon belül
100 100
σ
sy,2
y y’
200
hv x 100
D3
100
200
D1
100 100
200
200
100
sy,1
200
600
h.v .
Döféspont magidomon kívül
200
D Döféspont magidomon D2 kívül 1
100 x
350 σ
FH = A ⋅ σ H = 1600kN
közelítő: FH = Anégyszög ⋅ σ H = 800kN pontos: FH = Aháromszög ⋅ σ H = 900kN
Sy ,1 = Sy ,2
⇒ 2 ⋅ 200 ⋅ 350 ⋅ 175 = 600 ⋅ x 2 2
x = 285,7mm
FH = (2 ⋅ 200 ⋅ 350 + 600 ⋅ 285) ⋅ 20 = 6228,4kN σmax = −2,15MPa ; σmin = −0,448MPa
Húzószilárdsággal nem rendelkező külpontosan nyomott karcsú rudak
XV-30
XV. Húzószilárdsággal nem rendelkező külpontosan nyomott karcsú rudak XV.1
Határozza meg a külpontosan nyomott téglapillér határerejét az MSZ előírásai szerint!
Adatok: − a téglapillér adatai (TF15) − mo = 4,20 m
Az épület alaprajza
y
640mm
e=80mm x
380mm
A határerő meghatározás „A” típusú vizsgálattal:
(régi S_143; új S_31)
Az épület típusa: mindkét irányban egynyílású merevítetlen ⇒ l 0 = 1,5 ⋅ mo = 6,3m TF 15 ⇒ σ fH = 1,5MPa A/1 vizsgálat az x irányban y 104,12
l0 6300 = = 16,6 ⇒ γ = 0,226 hx 380
240
85,88
240
80
∆e = γ ⋅ hx = 85,88mm x
eMy = 85,88mm
AK = 99955mm2
AK
NH 2 = AK ⋅ σ fH = 149933N = 149,9kN
2·104,12=208,24
AK
2·156,16=312,32
320mm
e=80 ∆e 156,16
y
yo=eM
A/2 vizsgálat az y irányban l0 = 9,85 ⇒ γ = 0,131 hy
∆e = γ ⋅ hy = 83,84mm x eMy = y o = e + ∆e = 163,84mm
AK = 118682mm2 380mm
NH1 = AK ⋅ σ fH = 178022N = 178,022kN
A határerő tehát: NH = 149,9 kN
Húzószilárdsággal nem rendelkező külpontosan nyomott karcsú rudak XV.2
XV-31
Végezze el az egynyílású merevítetlen épület beton pillérének ellenőrző számítását „B” típusú vizsgálattal!
Adatok: − az emeletmagasság: mo = 2,60 m − anyaga: C8 − terhelés: NM = 380 kN Megoldás:
A határerő meghatározás: C 8 ⇒ σ bH = 4MPa l 0 = 3,90m
(régi S_143; új S_31) y
∆ey = γ ⋅ hy = 74,07mm
300 900 t x = 88,7mm < = 100mm t y = 272,95mm < = 300mm 100 300 Pontos: NH = Aháromszög ⋅ σ bH = 435790N = 435,79kN > NM
megfelel
XV.3
D’ D ty
Közelítő: NH = Anégyszög ⋅ σ bH = 387370N = 387,37kN > NM
x
∆ey/2
∆ex = γ ⋅ hx = 51,30mm
eox=10 eoy=140
l0 = 4,3 ⇒ γ = 0,0823 hy 900 mm
B vizsgálat: l0 = 13 ⇒ γ = 0,171 hx
∆ex
tx
300 mm
A többnyílású merevítetlen épület 300 mm vastag beton falát NM = 750 kNm/m nagyságú erő és MM = 21,6 kNm/m nagyságú erőpár terheli! Az emeletmagasság: mo = 2,80 m. Milyen nyomószilárdságú betonból készüljön a fal?
Megoldás: A nyomószilárdság meghatározás: l 0 = 3,50m
y
(régi S_143; új S_31)
1000 mm
l0 = 11,67 ⇒ γ = 0,154 hx
150
∆ex = γ ⋅ hx = 46,2mm eo = MM NM = 28,8mm
eo ∆e x
D’ S
D
t x = 75mm NH ≥ NM
⇒
σH = 5 N
mm2
C10-es betonnal megfelel
300 mm
t
