1 1 Ide ly a faktorov okruhy Denice 1.1 Nech R =(R + :) je okruh, 6= I R nazveme ide lem, plat -li a b I =) a + b I a I r R =) ra ar I Ide l je zejm n

i

Algebra II. doc. Libor Polk

zpracoval Ale
Kenek 11. kvtna 1995

Obsah 1 Idely a faktorov okruhy 2 Rozen tles 3 Teorie svaz

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

Dvoj de nice : : Mor smy : : : : Nerovnosti : : : : Modul rn svazy : Booleovy svazy :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

Pojem  -algebry, kongruence : Podalgebry : : : : : : : : : : Homomor smy : : : : : : : : Souiny : : : : : : : : : : : : Termy a identity : : : : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

4 Univerzln algebra 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

5 Voln algebry

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

1 2 3

3 4 5 5 7

9

9 11 12 13 16

17

1

1 Idely a faktorov okruhy Denice 1.1

Nech R = (R + :) je okruh,
6= I  R nazveme ide
lem, plat -li a b 2 I =) a + b 2 I a 2 I r 2 R =) ra ar 2 I Ide l je zejmna norm ln podgrupa (R +), nejmen
a nejvt
ide ly jsou tzv. nevlastn f0g a R. Prnik libovolnho nepr zdnho systmu ide l je opt ide l  meme hovoit o generov n . Um me utvoit faktorgrupu (R=I +) = fa + I j a 2 Rg, s t n de nujeme (a + I ) + (b + I ) = (a + b) + I . Podobn de nujeme n soben (a + I )(b + I ) = (ab) + I . Je nutn ovit korektnost  nez vislost na volb reprezentanta.

Lemma 1.2

R=I = (R=I + :) je okruh. Zobrazen  : a 7! a + I je surjektivn homomor smus R ! R=I. 2

Denice 1.3

R=I se nazv faktorov okruh okruhu R podle ide lu I . Zabvejme se d le strukturou Rx]=(f ), kde R je tleso, f 2 Rx] nekonstantn polynom. De nujeme Rx]=(f ) = fg + (f ) j g 2 Rx]g Klademe g + (f ) = h + (f ), plat -li f j g ; h, tedy g h d vaj po dlen polynomem f stejn zbytek. Ozname n = deg f . Lze ps t Rx]=(f ) = fg + (f ) j g 2 Rx] deg g < ng kde u je kad prvek zastoupen pr v jednou. Zobrazen an;1xn;1 + + a1 x + a0 + (f ) 7! (a0  : : :  an;1) je zejm bijekce Rx]=(f ) ! Rn. De nujeme operace s t n a n soben (a0  : : :  an;1) + (b0  : : :  bn;1 ) = (a0 + b0  : : :  an;1 + bn;1) (a0  : : :  an;1)(b0  : : :  bn;1 ) = (c0 : : :  cn;1) kde cn;1xn;1 + + c1x + c0 je zbytek po dlen polynomu (an;1 xn;1 + + a1x + a0 )(bn;1xn;1 + + b1 x + b0 ) polynomem f . Zobrazen  : a 7! a + (f ) je prost homomor smus R ! Rx]=(f ), budeme ztotoovat R a (R). R lze potom povaovat za podtleso okruhu Rx]=(f ).

Vta 1.4

Polynom f m koen x + (f ) v Rx]=(f ). Dkaz: Polynom f 2 Rx] ch peme jako polynom nad Rx]=(f ) s koe cienty a0 + (f ) : : :  an;1 + (f ). P mm dosazen m dost v me = f + (f ) = 0. 2

Vta 1.5

Rx]=(f ) je tleso pr v tehdy, kdy f je ireducibiln . Dkaz: Zprava doleva plyne z Bezoutovy rovnosti, zleva doprava vedeme nep mo, faktory f jsou dlitel nuly. 2

2

2. ROZEN TLES

2 Rozen tles Denice 2.1

Okruh R se nazv podtlesem tlesa T, je-li podokruhem a pro kad 0 6= a 2 R plat a;1 2 R (inverzn prvek ch pan v T). Jinak  k me, e T je roz enm R, p
eme T=R.

Denice 2.2

Nech T je roz
en m R. Prvek a 2 T se nazv algebraick prvek nad R, je-li koenem nenulovho polynomu nad R, v opanm p pad transcedentn.

Vta 2.3

Nech T je roz
en m R, a 2 T algebraick. Pak existuje jedin normovan ireducibiln polynom f 2 Rx], ktar m a za koen.

Dkaz: Existence. Nech f 2 Rx] je nejmen
ho stupn mezi normovanmi s koenem a. Kdyby nebyl ireducibiln , dost v me spor s minimalitou stupn. Jednonanost. Nech g 2 Rx], g(a) = 0. Dlen m dost v me g = qf + r, deg r < deg f . Z g(a) = f (a) = 0 a minimality stupn f plyne u r = 0. Uvame njak jin f . Mus platit f jf podle pedchoz ho a z rove f jf . Odtud f = f , protoe oba jsou normovan. 2

Poznmka 2.4

Kone
n tlesa

1. Pro prvo slo p a n 2 N existuje tleso o pn prvc ch. 2. Libovoln konen tleso m pn prvk. 3. Libovoln dv konen tlesa o stejnm potu prvk jsou isomorfn .

Denice 2.5

Pro tleso R p
eme zkr cen Rx1  : : :  xn] = ( ((Rx1 ])x2 ]) ). Polynom f se nazv symetrick, nemn -li se pi libovoln permutaci promnnch.

2

Rx1  : : :  xn]

Uvame tzv. element
rn symetrick polynomy 1 = x1 + + xn 2 = x1 x2 + + x1 xn + x2 x3 + + xn;1 xn ... X k = xi1 : : : xik 1i1 <
...  n = x1 : : : x n

Vta 2.6

Kad symetrick polynom lze vyj dit pr v jedn m zpsobem jako polynom v element rn ch symetrickch polynomech. 2

3

3 Teorie svaz

3.1 Dvoj denice Denice 3.1

Nech A = (A ) je uspo dan mnoina. A se nazv sup-polosvaz (spojov, horn ), existuje-li supA fa bg pro libovoln a b 2 A. Analogisky de nujeme inf -polosvaz (prsekov, doln ). A je svaz, existuje-li souasn supA fa bg i inf Afa bg. Svaz je pln, existuje-li sup X i inf X pro libovolnou X  A.

Vta 3.2

Je-li A uspo dan a pro v
echny X  A existuje inf X . Pak A je pln. Dkaz: Vezmeme a = inf Y = inf fy 2 A j y  x 8x 2 X g. Je to horn z vora X a kad jin je prvkem Y , a je tedy sup X . 2

Denice 3.3

Bin rn operace na mnoin A se nazv idempotentn, plat -li a a = a pro kad a 2 A.

Denice 3.4

S = (S :) se nazv algebraicky de novan polosvaz, je-li operace asociativn , komutativn a idempotentn . L = (L ^ _) je algebraicky de novan svaz, jsou-li (L ^) a (L _) algebraicky de novan polosvazy a plat tzv. absorbn z
kony a ^ (a _ b) = a a _ (a ^ b) = a Operace ^ _ se bn nazvaj prsek a spojen. Ozname korespondenci mezi dvoj de nic polosvazu A = (A ) 7! As = (A :) ab := supfa bg Ss = (S )  S = (S :) a b , ab = b

Vta 3.5

1. Pro sup-polosvaz A je As algebraicky de novan polosvaz. 2. Pro algebraicky de novan polosvaz S je Ss sup-polosvaz a supSs fa bg = ab pro v
echna a b 2 S . 3. Pro sup-polosvaz A plat (As)s = A. 4. Pro algebraicky de novan polosvaz S plat (Ss)s = S.

Vta 3.6

Nech A = (A ) je svaz. De nujeme Ai = (A ^) a ^ b := inf fa bg As = (A _) a _ b := supfa bg Takto de novan ^ _ jsou v z ny absorbn mi z kony. Naopak nech L = (L ^ _) je algebraicky de novan svaz. De nujeme uspo d n a i b () a ^ b = a a s b () a _ b = b Uspo d n i s jsou stejn , tedy (L ) je svaz. 2

4

3. TEORIE SVAZ

3.2 Morsmy Denice 3.7

Nech A = (A ) B = (B ) jsou uspo dan mnoiny. Zobrazen  : A ! B se nav isotonn, plat -li pro v
echna a a0 2 A a a0 =) (a) (a0). Isotonn zobrazen je vno en, pokud nav c plat (a) (a0) =) a a0. Konen isomor smus (uspo danch mnoin) je surjektivn vnoen .

Denice 3.8

Nech A B jsou svazy, zobrazen  : A ! B se nazv _-homomor smus (spojov), pokud (a _ a0 ) = (a) _ (a0). Analogicky de nujeme ^-homomor smus (prsekov). Zobrazen je homor smus je-li souasn _- i ^-homomor smus. Konen isomor smus (svaz) je bijektivn homomor smus.

Lemma 3.9

Nech A B jsou svazy,  : A ! B zobrazen . Potom 1.  je _-homomor smus znamen , e  je isotonn . 2.  je isomor smus uspo danch mnoin pr v tehdy, kdy je isomor smus svaz.

Vta 3.10

2

Slab

Pro libovolnou uspo danou mnoinu A existuje pln svaz B = (B ) a vnoen  : A ! B . Dkaz: De nujme (a] := fx 2 A j x ag. Potom zobrazen  : a 7! (a] je hledan vnoen do svazu (2A ). 2

Denice 3.11

Nech A = (A ) je uspo dan mnoina. Mnoinu
6= J  A nazv me ide l, plat -li 1. Jestlie a 2 J x 2 A x a, potom x 2 J (analogie n soben ). 2. Pro v
echna i 2 I je ai 2 J . Potom existuje supfai j i 2 I g (analogie s t n ).

Vta 3.12

Lep

Pro libovolnou uspo danou mnoinu A existuje pln svaz B = (B ) a vnoen  : A ! B zachov vaj c v
echna existuj c in ma a suprema. Dkaz: Pedpokl dejme, e A m nejmen
prvek (pokud ne, pid me takov). Struktura J(A) = (J(A) ) je pln svaz v
ech ide l v A. Zobrazen  : a 7! (a] je hledan vnoen A ! J (A).

2

Ide ly mohou reprezentovat re ln  sla. Pid me k racion ln m  slm nejmen
prvek ;1, potom nevlastn ide ly jsou f;1g a Q  f;1g, vlastn jsou ffx 2 Q  f;1g j x ag j a 2 R g a ty odpov daj pesn re lnm  slm.

Vta 3.13

O pevnm bodu

Nech L = (L ) je pln svaz,  : L ! L isotonn zobrazen . Pak existuje a 2 L takov, e (a) = a. Dkaz: Uvaujme X = fx 2 L j (x)  xg a ozname a = sup X . Z vlastnost suprema a isotonie se uk e, e (a) je horn z vora X , tedy plat a (a). Odtud (a) ((a)), tedy (a) 2 X a plat tak (a) a. 2

3.3 Nerovnosti

5

3.3 Nerovnosti Vta 3.14

V libovolnm svazu L = (L ^ _) plat pro a b c 2 L
a ^ (b _ c)  (a ^ b) _ (a ^ c) distributivn nerovnosti a _ (b ^ c) (a _ b) ^ (a _ c) a c =) a _ (b ^ c) (a _ b) ^ c modul rn nerovnost (a ^ b) _ (a ^ c) _ (b ^ c) (a _ b) ^ (a _ c) ^ (b _ c) medi ln nerovnost

2

Denice 3.15

Svaz L = (L ^ _) se nazv modul
rn, plat -li pro a b c 2 L a c =) a _ (b ^ c) = (a _ b) ^ c distributivn, plat -li a _ (b ^ c) = (a _ b) ^ (a _ c)

Lemma 3.16

Kad distributivn svaz je modul rn .

2

3.4 Modulrn svazy Lemma 3.17

Svaz je modul rn pr v tehdy, kdy plat a _ (b ^ (c _ a)) = (a _ b) ^ (c _ a).

2

Vta 3.18

Svaz L = (L ^ _) je modul rn pr v tehdy, kdy plat pro v
echna a b c 2 L a b a ^ c = b ^ c a _ c = b _ c =) a = b

Dkaz: Zleva doprava plyne z absorbn ch z kon a modul rn rovnosti, sta rozepsat a = a _ (a ^ c). Obr cen vezmeme x y z 2 L x z a chceme pro n splnit modul rn rovnost. Do tvrzen vty sta dosadit a = x _ (y ^ z), b = (x _ y) ^ z a c = y. 2

Denice 3.19

Svaz L = (L ^L  _L) nazv me podsvazem svazu K = (K ^K  _K ) je-li L  K a pro kad a b 2 L plat a ^L b = a ^K b a _L b = a _K b Modul rn a distributivn svazy lze charakterizovat podle toho, jestli nkter ze svaz z obr zku 1 je jejich podsvazem. N5 nen modul rn , M5 modul rn je, ale nen distributivn .

Vta 3.20

Svaz L = (L ^ _) je modul rn pr v tehdy, kdy neobsahuje podsvaz isomorfn s N5 . Dkaz: Zleva doprva je tvrzen zejm. Pokud L nen modul rn , mus podle pedchoz vty existovat a b c 2 L takov, e a < b a ^ c = b ^ c a _ c = b _ c. Tedy c mus bt s a b nesrovnateln, dost v me u N5 . 2

6

3. TEORIE SVAZ 1

1

a

c

b

a

b

c

0

N5

0

M5 Obr zek 1: Zlobiv svazy

Lemma 3.21

Svaz L = (L ^ _) je distributivn pr v tehdy, kdy pro kad a b c 2 L plat a ^ (b _ c) = (a ^ b) _ (a ^ c). 2

Vta 3.22

Svaz L = (L ^ _) je distributivn pr v tehdy, kdy plat pro v
echna a b c 2 L a ^ c = b ^ c a _ c = b _ c =) a = b

Vta 3.23

2

Svaz L = (L ^ _) je distributivn pr v tehdy, kdy neobsahuje podsvaz isomorfn s N5 nebo M5.

Denice 3.24

2

Nech A = (A ) je uspo dan mnoina. Mnoina X  A se nazv ddin
, plat -li pro v
echna x 2 X a 2 A a x =) a 2 X Zna me H A mnoinu v
ech ddinch podmnoin mnoiny A, podobn HA = (H A ).

Denice 3.25

Nech L = (L ^ _) je svaz. Prvek a 2 L se nazv spojov ireducibiln, plat -li pro v
echna b c 2 L a = b _ c =) a = b nebo a = c Oznaujeme J L mnoinu v
ech spojov ireducibiln ch prvk svazu L s vyj mkou nejmen
ho (pokud existuje) a J L = (J L ^ _).

Vta 3.26

Nech L = (L ^ _) je konen distributivn . Pak plat L  = H(J L). Dkaz: Hledanm isomor smem je zobrazen  : a 7! fx 2 J L j x ag. Pomrn snadno se uk e, e je to bijekce a zachov v operace ^ _. 2

3.5 Booleovy svazy

7

Denice 3.27

Okruhem mnoin nad njakou mnoinou A je libovoln systm jej ch podmnoin uzaven na operace \ .

D sledek 3.28

Libovoln okruh mnoin je isomorfn H(J (L ^ _)) pro vhodn konen svaz (L ^ _).

Dkaz: Libovoln okruh mnoin je distributivn svaz.

2

3.5 Booleovy svazy Denice 3.29

Svaz L = (L ^ _) se nazv omezen, pokud m nejmen
a nejvt
prvek. Standardn je zna me 0,1. D le nech a b 2 L jsou prvky omezenho svazu. k me, e b je komplement prvku a, plat -li a ^ b = 0 a _ b = 1. Prvek omezenho svazu me m t  dn, jeden i v ce komplement (viz M5). 1 je vdy komplement 0 a naopak.

Denice 3.30

Komplement
rn svaz je omezen svaz, ve kterm m kad prvek pr v jeden komplement. Boolev svaz je distributivn komplement rn svaz.

Vta 3.31

Nech L = (L ^ _) je distributivn svaz. 1. Kad a 2 L m nejv
e jeden komplement. 2. Nech a x b a x m komplement. Potom m x komplement i v intervalu a b] = fy L j a y bg.

2

Dkaz: (1) plyne z vlastnost komplementu, absorbn ch z kon a distributivity. (2) nech y je komplement x ve svazu L. Ozna me z = (y _ a) ^ b. Potom z je komplement x v intervalu a b]  uk eme x ^ z = a x _ z = b. 2

Denice 3.32

Booleova algebra je
estice B = (B ^ _ 0 1 0), kde (B ^ _) je Boolev svaz a pro kad a 2 B plat

a_0=a a^1=1

a _ a0 = 1 a ^ a0 = 0

Lemma 3.33

V libovoln Booleov algebe plat (a _ b)0 = a0 ^ b0 (a ^ b)0 = a0 _ b0

2

8

3. TEORIE SVAZ

Denice 3.34

Pole mnoin nad mnoinou A je okruh mnoin nad A uzaven na operaci rozd lu.

Vta 3.35

Libovoln konen Booleova algebra B je isomorfn (2A \ 
 A {) pro vhodnou konenou A, pitom operaci komplementu de nujeme X { = A n X . Dkaz: De nujeme relaci pokrv
n

a ; b

() 8a b c 2 Aa  c > b ) a = c

Prvky a ; 0 nazv me atomy. Snadno se uk e (vta 3.31), e prvky J B jsou pr v atomy. Tedy J B je protietzec, kad jeho podmnoina je ddin . Sta vz t A = J B, potom 2A = H(J B) a tvrzen plyne z pedchoz ch vt. 2

D sledek 3.36

Libovoln Booleova algebra je isomorfn vhodnmu poli mnoin.

2

9 Struktura typ op. symboly svaz (2 2) (^ _) grupa (2) ( ) grupa s 1 a inverz (2 0 1) (  1 ;1) vekt. prost. nad R (2 (1)r2R) (+ ( r )r2R) Tabulka 1: Jazyky konkrtn ch struktur

4 Univerzln algebra

4.1 Pojem
-algebry, kongruence Denice 4.1

Systm (n )2 nez pornch celch  sel nazveme typem, mnoinu ch peme jako mnoinu index. S kadm typem uvaujeme systm operan ch symbol (f )2. Jazykem nazv me uspo danou dvojici ;  (n )2 (f )2 Algebra typu  ( -algebra) je potom uspo dan dvojice

;

A = A (fA)2



kde A je mnoina a pro kad  2 je fA n - rn operace na A, kde n- rn operace znamen zobrazen An ! A, vetn A0 = f
g d vaj c vbr prvku. Jazyky pro konkrtn algebraick struktury ukazuje tabulka 1. Operace r znamen n soben skal rem r 2 R. Je-li tleso R nekonen, je nekonen i dan jazyk.

Denice 4.2

Nech A = (A (fA)2 ) je  -algebra. Relace  na mnoin A se nazv kongruence  -algebry A, plat -li pro kad  2  a1  b1 : : :  an
 bn
2 A

a1  b1  : : :  an
 bn
=) fA (a1 : : :  an
)  fA(b1  : : :  bn
) Potom je mon de novat faktorovou algebru algebry A podle kongruence 

;

A= := A= (fA=)2







kde fA= (a1]  : : :  an
]) := fA (a1 : : :  an
)



Korektnost takov de nice je zaruena poadavkem na kongruenci. V grup ch kongruence odpov daj norm ln m podgrup m, faktorizovat podle kongruence znamen tot, jako podle norm ln podgrupy. V okruz ch hraj stejnou roli ide ly. Zna me Con A mnoinu v
ech kongruenc algebry A a E (A) mnoinu v
ech ekvivalenc na mnoin A.

Vta 4.3

(Con A ) je pln podsvaz svazu (E (A) ).

10

4. UNIVERZLN ALGEBRA

Dkaz: DA := fa a] j a 2 Ag je nejmen
, T A  A nejvt
prvek (Con A ). Uvaujme libovoln systm i 2 Con A pro i 2 I 6=
. Zejm i2I 2 Con A. D le plat sup fi j i 2 I g  sup fi j i 2 I g Con A

E (A)

S

Ozname pravou stranu . Sta uk zat, e je to kongruence.  je tranzitivn obal i2I i. Uvame libovoln  2 a ozname n := n . Vezmme libovoln a1 : : :  an b1  : : :  bn 2 A takov , e a1  b1  : : :  an  bn . Chceme uk zat fA(a1 : : :  an)  fA(b1  : : :  bn) Z konstrukce  plyne a1 = c11 i11 c12 i12 c13 i1m1 ;1 c1m1 = b1 a2 = c21 i21 c22 i22 c23 i2m2 ;1 c2m2 = b2 ... ... an = cn1 in1 cn2 in2 cn3 in mn;1 c2m2 = b2 kde m1 : : :  mn 2 N c 2 A i 2 I . Z prvn ho  dku dost v me fA (a1 : : :  an) i11 fA(c12 : : :  an) =) fA(a1  : : :  an)  fA (c12 : : :  an) =) fA (a1  : : :  an )  fA (b1  : : :  an ) Z druhho  dku analogicky fA (a1 : : :  an)  fA(b1  b2 : : :  an) atd. 2

Poznmka 4.4

Uvaujme-li typ (1), dostaneme tzv. 1-un rn algebry A = (A f ), kde f : A pomrn pehledn zn zornit diagramem (obr zek 2).

Poznmka 4.5

!

A. Ty leze

V p pad svaz plat n sleduj c tvrzen : Nech L = (L ^ _) je svaz. Potom  2 Con L pr v tehdy, kdy je to ekvivalence a pro v
echna a b c 2 L plat (a ^ c)  (b ^ c) (1) (a _ c)  (b _ c) (2) v a

c

d

e f b u

Obr zek 2: 1-un rn algebra

x

y

4.2 Podalgebry

11

Dkaz: P mo z de nice kongruence  2 Con L pr v tehdy, kdy je to ekvivalence a pro v
echna a b c d 2 L plat a  b c  d =) ((aa ^_ cc))  ((bb ^_ dd))

Odsud dosazen m d := c plyne tvrzen . Naopak pedpokl dejme a  b c  d. Na z klad platnosti (1) a komutativity ^ je mon ps t (a ^ c)  (b ^ c) = (c ^ b)  (d ^ b) = (b ^ d)

2

Dkaz pro _ se vede analogicky.

Poznmka 4.6

Podobn lze dok zat n sleduj c vlastnosti

a  b =) (a ^ b)  (a _ b) a b c a  c =) a  b

4.2 Podalgebry Denice 4.7 ;



;



Nech A = A (fA)2 je  -algebra. Algebru B = B (fB)2 nazveme podalgebrou algebry A, jestlie B  A a pro v
echna  2  b1  : : :  bn
2 B plat

fA(b1  : : :  bn
) = fB(b1  : : :  bn
) P
eme B A a fB = fAjB n
(tj. fA na B n
dopadne stejn, jako fB, restrikce funkce) Lze ov
em j t i z druh strany

Denice 4.8

Mnoina B  A se nazv nosi podalgebry algebry A, plat -li pro kad  2  b1  : : :  bn
2 B

fA(b1  : : :  bn
) 2 B P
eme B A.

;

Je-li B A, potom zejm B A. Naopak, je-li B A, potom B (fA jB n
)2



A

Vta 4.9

Mnoina v
ech podalgeber algebry A je vzhledem k  pln svaz.

Dkaz je p moar.

Poznmka 4.10

2

Zaneme-li uvaovat podalgebry, pln se projev form ln rozd l mezi nap. Booleovskmi svazy a Booleovskmi algebrami.

12

4. UNIVERZLN ALGEBRA

4.3 Homomorsmy Denice 4.11

Zobrazen  : A ! B se nazv homomor smus  -algebry A = (A (fA )2 ) do algebry B = (B (fB)2 ) plat -li pro kad  2  a1  : : :  an
2 A

;



;



 fA(a1  : : :  an
) = fB (a1) : : :  (an
) Implicitn pedpokl d me, e ob algebry jsou tho typu. Homomor smus zna me  : A ! B. Izomor smem rozum me bijektivn homomor smus, o dvou algebr ch ekneme, e jsou izomorfn, pokud mezi nimi existuje izomor smus.

Poznmka 4.12

Pro libovolnou kongruenci  2 Con A zav d me oznaen nat  pro zobrazen A ! A= takov, e a 7! a]. Jedn se o surjektivn homomor smus A na A=.

Poznmka 4.13

Pokud B A, zna me standardn  : b 7! b vnoen algebry B do A. Je to prost homomor smus.

Lemma 4.14

Relace ker  := f(a a0) 2 A  A j (a) = (a0)g je kongruence na algebe A.

Dkaz: Z de nice ker  je zejm, e se jedn o ekvivalenci. Uvame libovoln  2 a pi
me n = n . Vezmme libovoln a1  : : :  an b1 : : :  bn tak, e a1  b1  : : :  an  bn. Potom (a1) = (b1 ) : : :  (an) = (bn). Protoe  je homomor smus, lze ps t

;



;



 fA (A1 : : :  an) = fB (a1) : : :  (an) = ;  ;  fB (b1 ) : : :  (bn) =  fA(b1  : : :  bn)

2

Vta 4.15

O homomorfismu

Nech  : A ! B je homomor smus. Ozname  : A ker  ! (A) takov, e a]ker  7! (a). Potom (A) B (je to nosi podalgebry),  je izomor smus A=ker  na (A) a plat  =   nat ker , viz diagram. Nav c, pokud je  surjektivn , B je izomorfn s A=ker .

A

?? nat ker y

 ;;;!

B

x? ?

A=ker  ;;; ! (A) Dkaz: Z pedchoz ho dkazu je zejm, e m smysl uvaovat ker   je to kongruence. Dokame d le: Mno ina (A) je nosi podalgebry. Vezmme libovoln  2  b1  : : :  bn 2 (A). Potom existuj jejich vzory a1 : : :  an 2 A. Plat ;  ;  fB(b1  : : :  bn) = fB (a1) : : :  (an) =  fA(a1  : : :  an) 2 (A)

4.4 Sou iny

13

Zobrazen  je bijekce. Zejm je surjektivn a pro libovoln a b 2 A plat (a) = (b) =) a]ker  = b]ker . Zobrazen  je homomorsmus. Ozname  := ker . Pro libovoln  2  a1  : : :  an 2 A pi
me



;



 fA= a1 ] : : :  an]  ;  ;  =  fA(a1  : : :  an) = fB (a1) : : :  (an) ;  = f(A)  (a1 ]) : : :   (an] ) Zobrazen  je slo en   nat ker . Pro kad a 2 A (  nat ker )(a) = (  )(a]ker  ) = ((a)) = (a)

2

Denice 4.16

Algebra B je homomorfn obraz algebry A, existuje-li surjektivn homomor smus A ! B.

D sledek 4.17

Libovoln homomorfn obraz (A) je izomorfn s faktoralgebrou A=ker .

4.4 Sou iny Denice 4.18

Nech Ai = (Ai (fAi )2 ) je  -algebra pro i de nujeme pro  2 n - rn operaci fA takto

;



2

I (i nespoetnou). Na mnoin A :=

;



fA (a1i )i2I  : : :  (ani
)i2I := fAi (a1i  : : :  ani
)

Algebru A =

Q A i2I i

i2I

Q A = (A (f A) ) nazveme souinem systmu algeber A . i  2 i2I i

Poznmka 4.19

Zobrazen i : A ! Ai takov, e (aj )j2I 7! ai je surjektivn homomor smus A na Ai  pirozen i-t projekce. Dkaz pro obecnou mnoinu I vyaduje axiom vbru.

Denice 4.20

Q

Nech (Ai)i2I je systm  -algeber. Algebra B i2I Ai se nazv podp m souin systmu (Ai )i2I , je-li pro kad i 2 I projekce ijB ( i zen na B ) surjektivn . Viz obr zek 3  p klad na svazech.

Vta 4.21

Nech B je podp mm souinem systmu (Ai )i2I , I 6=
. Pak relace na A).

T

T ker( jB ) = (diagon ln i A i2I

Dkaz: Nech ((aj )j 2I  (bj )j 2I ) 2 i2I ker( i jB ). Pro kad i 2 I plat ((aj )j2I  (bj )j 2I ) 2 ker( i jB ). Tedy i ((aj )j2I ) = i((bj )j2I ), tj. ai = bi. 2

14

4. UNIVERZLN ALGEBRA

A1

a



b



c

A2

A1  A2 (c ) (c  ) (c ) (c )

(a ) (b )



Obr zek 3: Podp m souin

Vta 4.22

Nech A = (A : : : ) je  -algebra, (i) 2I  I 6=
systm kongruenc takov, e A je izomorfn s podp mm souinem systmu (A=i )i2I . Dkaz: Hledanm izomor smem je

T  = . Pak A i2I i

Q

 : A ! i2I A=i a 7! (a]i )i2I Jedn se zejm o surjekci, dok eme d le v
e potebn. Zobrazen  je prost. Nech (a]i )i2I = (b]i )i2I . Pro kad i 2 I plat a]i = b]i , tedy (a b) 2 i, T to znamen (a b) 2 i2I i = A. Zobrazen  je homomorsmus. Uvame tradin  2  n = n a1  : : :  an 2 A. Potom podle de nic zobrazen , operace na souinu a faktoralgebe meme ps t

;

  A= ; i



fi2I A=i (a1) : : :  (an) = f (a1 ]i )i2I  : : :  (an]i )i2I = f

;

a1 ]i  : : :  an]i





i2I





= fA(a1  : : :  an)

 

i i2I

To u je, opt podle de nice ,  fA(a1  : : :  an) . Mno ina (A) je podpm sou in. M me uk zat, e zobrazen

i j(A):

Y j 2I

A=j ! A=i

je surjektivn . Vezmme libovoln prvek A=i , tj. a]i pro vhodn a 2 A. To u je ale obrazem (a).

2

Denice 4.23

Algebra A = (A (fAi )2 ) se nazv podp mo rozloiteln , existuje-li systm kongruenc (i)i2I , I 6=
takov, e \ i = A a z rove i 6= A pro kad i 2 I i2I

4.4 Sou iny

15

Nap klad na obr zku 3 je podp m souin t - a typrvkovho line rn ho svazu, t prvkov line rn svaz je podp mm souinem dvou dvouprvkovch. Oproti tomu M5 je podp mo nerozloiteln. Vta 4.24 (AC) Kad netrivi ln 1  -algebra A je izomorfn podp mmu souinu vhodnho nepr zdnho systmu (A)i2I podp mo nerozloitelnch  -algeber. Pitom kad Ai je faktoralgebrou A.

Lemma 4.25

Zornovo

Nec A = (A ) je takov uspo dan mnoina, e kad etzec v A m horn z voru. Potom pro libovoln a 2 A existuje maxim ln prvek a v A takov, e a a . Toto lemma je ekvivalentn axiomu vbru. Dkaz vty je ponkud o
kliv, oznaen jako nepovinn. Vyu v pr v Zornovo lemma.

Vta 4.26

Libovoln netrivi ln podp mo nerozloiteln svaz je izomorfn .

Dkaz: Svaz je zejm podp mo nerozloiteln. Jin dvouprvkov neexistuje. Uvame tedy jLj  3. Existuje a 2 L, kter nen ani nejvt
, ani nejmen
. Pro x y 2 L de nujme relace   def x  y () x^a=y^a def z  y () x_a=y_a Jsou to kongruence. Nech x y z 2 L, x  y. Chceme uk zat (x ^ z)  (y ^ z) a (x _ z)  (y _ z). V me, e x ^ a = y ^ a. Tvrzen x ^ z ^ a = y ^ z ^ a je zejm z vlastnost svaz. Z distributivity plyne (x _ z) ^ a = (x ^ a) _ (z ^ a) = (y ^ a) _ (z ^ a) = (y _ z) ^ a Relace  je de nov na pomoc rovnosti, je tedy zejm ekvivalenc . Du ln se dok e, e  je kongruence. Zejm plat  \  = L, pitom   6= L, protoe existuj b < a < c, odkud a  c, a  b. Tedy L je podp mo rozloiteln podle vty 4.22, co je spor. 2

D sledek 4.27

Z vty 4.24 a pedchoz ho plyne, e kad netrivi ln distributivn svaz je izomorfn K  podp Q mmu souinu systmu i2I

Vta 4.28 (AC)

Libovoln distributivn svaz je izomorfn okruhu mnoin. Dkaz: Hledanm izomor smem je

;



u : K ! 2I  \  (ai)i2I 7! fi 2 I j ai = 1g Zobrazen u je bijekce d ky tomu, e K je podp m souin, operace ^ _ v K odpov daj zejm \  v 2I . 2 1 alespo


dvouprvkov

16

4. UNIVERZLN ALGEBRA

Vta 4.29 (AC)

Libovoln Boolev svaz je izomorfn poli mnoin.

Dkaz: Nech (ai )i2I je nejmen
prvek B. Pipustme, e existuje i 2 I tak, e ai = 1. Potom libovoln prvek v B m na i-t sloce 1  nejedn se o podp m souin, co je spor. Tedy (0)i2I 2 B , analogicky (1)i2I 2 B . 2

4.5 Termy a identity Denice 4.30

Nech  =; (n )2 je typ, (f )2 systm operan ch symbol a M libovoln mnoina. Jazykem L rozum me  (f )2 . Induktivn de nujeme mnoinu FL (M ) 1. M  FL(M ) 2. Pro  2  w1 : : :  wn
2 FL(M ) je f (w1 : : :  wn
) 2 FL(M ) 3. Do FL(M ) pat pr v to, co vzniklo v konenm potu krok z 1. a 2. Prvky FL (M ) nazv me slova nad M . De nujme d le

fFL(M ) (w1 : : :  wn
) := f (w1  : : :  wn
) Algebru



;

 

FL(M ) = FL(M ) fFL (M ) 2 nazv me algebrou L-slov, resp absolutn volnou  -algebrou. Uvame d le X = fx1  x2 : : : g mnoinu tzv. promnnch. Prvky FL(X ) nazv me termy jazyka L, prvky FL(fx1  : : :  xng) n-
rnmi termy. Uvame nap klad jazyk 1-un rn ch algeber s p lu
nm fukn m symbolem f . Potom n- rn termy budou jednak x1  : : :  xn podle 1. a obecn fm (xi) pro m 2 N a i 2 f1 : : :  ng podle 2.

Denice 4.31

Nech A je mnoina. De nujme eAn i (a1  : : :  an ) := ai pro libvoln n i 2 f1 : : :  ng jako i-tou n-
rn projekci na mnoinu A.

2

N , a  : : :  an 2 A a 1

Denice 4.32

Nech f 2 AAm  g1  : : :  gm 2 AAn . De nujeme n- rn operaci, tzv. kompozici f (g1 : : :  gm) 2 AAn takto ;  (f (g1 : : :  gm)) (a1 : : :  an) := f g1(a1 : : :  an) : : :  gm(a1 : : :  an)

Denice 4.33 ;



Nech A = A (fA)2 je  -algebra, p indukovan termem p jako

pAn

(

2

FL(Nn). De nujeme pAn

eAi n p = xi  := A An f q1  : : :  qnA
n p = f (q1  : : :  qn
)

2

AAn polynom na A

17

Denice 4.34

Uspo danou dvojici term (p q) z FL(n) nazveme identitou (p
eme p l q). ekneme, e algebra A spluje identitu p l q (p
eme A j= p l q), plat -li pAn = qAn . Dkaz korektnosti se vede indukc , znamen uk zat, e pro m  n plat pAm (a1  : : :  am ) = pAn (a1 : : :  an).

Denice 4.35

Identitu tvaru f k (xi) l f k+d(xj ) nazv me regul
rn, pokud i = j .

Denice 4.36

Nec  je mnoina identit. T du v
ech  -algeber spluj c ch v
echny identity z  ozna me Mod . Varieta  -algeber  k me t d tvaru Mod  pro njak . Nap klad nebo











Mod f ki (x) l f ki +di (x) j i 2 I = Mod f k (x) l f k+d (x) j i 2 I



Mod f ki (x) l f ki (y ) j i 2 I = Mod f k (x) l f k (y ) j i 2 I kde k := minfki j i 2 I g a d := GCD fdi j i 2 I g.





5 Voln algebry Tato kapitola je asi to nejzaj mavj
, co v algebe vbec bylo. Bohuel nest h m, ke st tn c m to poteba nen , take to snad dopln m v ervnu.