Híc, P. – Pokorný, M.: Matematika pre informatikov a prírodné vedy
0 Úprava výrazov Táto kapitola je zameraná na prácu s výrazmi a na ich úpravy. Aj keď sa prakticky jedná o stredoškolské učivo, doporučujeme čitateľovi, aby si prepočítal všetky príklady a získal tak určité zručnosti, ktoré bude potrebovať pri štúdiu ďalších kapitol. Vypočítajte: 1 3 1. + 4 5
4 17 3 − 2. 4 24 5
Riešenie: 1. Zlomky sčitujeme podľa pravidla 1 3 1⋅ 5 + 3 ⋅ 4 5 + 12 17 + = = = 4 5 4⋅5 20 20
a c a⋅d + b⋅c . + = b d b⋅d
2. Zlomky odčitujeme podľa pravidla
a c a ⋅d −b⋅c − = . b d b⋅d
a a⋅d , nakoľko Zložený zlomok upravíme na jednoduchý podľa pravidla b = c b⋅c d a b = a : c = a ⋅ d = a⋅d . c b d b c b⋅c d 4 17 3 17 4 ⋅ 5 17 20 17 ⋅ 72 − 4 ⋅ 20 1224 − 80 1144 143 ⋅ 8 143 − = − = − = = = = = 4 24 4 3.24 4 72 4 ⋅ 72 288 288 36 ⋅ 8 36 5
Roznásobte: 2 3. ( 2 x + 3 y )
5.
4. ( 2 x + 3 y ) Riešenie: Použijeme tieto pravidlá: 3
6.
( 2x − 3 y ) 3 ( 2x − 3 y )
2
( a + b ) = a 2 + 2ab + b 2 2 ( a − b ) = a 2 − 2ab + b 2 3 ( a + b ) = a3 + 3a 2b + 3ab2 + b3 3 ( a − b ) = a3 − 3a 2b + 3ab 2 − b3 2 2 2 3. ( 2 x + 3 y ) = ( 2 x ) + 2 ⋅ 2 x ⋅ 3 y + ( 3 y ) = 4 x 2 + 12 xy + 9 y 2 3 3 2 2 3 4. ( 2 x + 3 y ) = ( 2 x ) + 3 ⋅ ( 2 x ) ⋅ 3 y + 3 ⋅ 2 x ⋅ ( 3 y ) + ( 3 y ) = 8 x3 + 36 x 2 y + 54 xy 2 + 27 y 3 2
Ak si nepamätáme pravidlo, môžeme umocňovať postupným násobením. 5
Híc, P. – Pokorný, M.: Matematika pre informatikov a prírodné vedy
( 2x + 3y )
(4x
2
3
= ( 2x + 3 y ) ⋅ ( 2x + 3 y ) ⋅ ( 2x + 3 y ) = ( 2x ⋅ 2x + 2x ⋅ 3y + 3 y ⋅ 2x + 3 y ⋅ 3 y ) ⋅ ( 2x + 3 y ) =
+ 6 xy + 6 xy + 9 y 2 ) ⋅ ( 2 x + 3 y ) = ( 4 x 2 + 12 xy + 9 y 2 ) ⋅ ( 2 x + 3 y ) =
4 x 2 ⋅ 2 x + 12 xy ⋅ 2 x + 9 y 2 ⋅ 2 x + 4 x 2 ⋅ 3 y + 12 xy ⋅ 3 y + 9 y 2 ⋅ 3 y = 8 x 3 + 24 x 2 y + 18 xy 2 + 12 x 2 y + 36 xy 2 + 27 y 3 = 8 x3 + 36 x 2 y + 54 xy 2 + 27 y 3 5. 6.
( 2 x − 3 y ) = ( 2 x ) − 2 ⋅ 2 x ⋅ 3 y + ( 3 y ) = 4 x 2 − 12 xy + 9 y 2 3 3 2 2 3 ( 2 x − 3 y ) = ( 2 x ) − 3 ⋅ ( 2 x ) ⋅ 3 y + 3 ⋅ 2 x ⋅ ( 3 y ) − ( 3 y ) = 8 x3 − 36 x 2 y + 54 xy 2 − 27 y 3 2
2
2
Upravte na tvar súčinu: 7. x 2 − 4 8. x3 − 4 x 9. x 2 − 2 Riešenie: Použijeme tieto pravidlá: a 2 − b2 = ( a + b ) ⋅ ( a − b )
10. x3 − 8 11. x5 − 8 x 2 12. x5 + 8 x 2
a 3 − b3 = ( a − b ) ⋅ ( a 2 + ab + b 2 ) a 3 + b3 = ( a + b ) ⋅ ( a 2 − ab + b 2 )
7. x 2 − 4 = x 2 − 22 = ( x + 2 ) ⋅ ( x − 2 )
8. x3 − 4 x = x ⋅ ( x 2 − 4 ) = x ⋅ ( x + 2 ) ⋅ ( x − 2 ) 9. x 2 − 2 = x 2 −
( 2 ) = ( x + 2 )⋅( x − 2 ) 2
10. x3 − 8 = x3 − 23 = ( x − 2 ) ⋅ ( x 2 + x ⋅ 2 + 22 ) = ( x − 2 ) ⋅ ( x 2 + 2 x + 4 )
11. x5 − 8 x 2 = x 2 ⋅ ( x3 − 8 ) = x 2 ⋅ ( x3 − 23 ) = x 2 ⋅ ( x − 2 ) ⋅ ( x 2 + 2 x + 4 )
12. x5 + 8 x 2 = x 2 ⋅ ( x3 + 8 ) = x 2 ⋅ ( x3 + 23 ) = x 2 ⋅ ( x + 2 ) ⋅ ( x 2 − 2 x + 4 ) Upravte výrazy a určte, kedy majú zmysel: 2 x 2 .3x 3 13. 4 x4 Riešenie: Použijeme pravidlo a m ⋅ a n = a m + n , pričom a ≥ 0; m, n ∈ R . 2 x 2 .3 x3 6 x5 3x 5 3x ⋅ x 4 3 x = 4 = 4 = = 4 x4 4x 2x 2 ⋅ x4 2 Pretože menovateľ zlomku sa nesmie rovnať nula, musí platiť 4x 4 ≠ 0 , teda x ≠ 0 . 14. 5 x 2 n ⋅ 3x n Riešenie: 5 x 2 n ⋅ 3x n = 15 x 2 n + n = 15 x 3n
6
Híc, P. – Pokorný, M.: Matematika pre informatikov a prírodné vedy
15. x ( x − y ) x 2 ( x − y ) Riešenie: 2 3 x ( x − y ) x 2 ( x − y ) = x ( x 2 − 2 xy + y 2 ) x 2 ( x3 − 3 x 2 y + 3 xy 2 − y 3 ) = 2
(x
3
3
− 2 x 2 y + xy 2 ) x 2 ( x3 − 3 x 2 y + 3 xy 2 − y 3 ) = ( x5 − 2 x 4 y + x3 y 2 )( x3 − 3 x 2 y + 3 xy 2 − y 3 ) =
x5 ⋅ x 3 − 2 x 4 y ⋅ x 3 + x3 y 2 ⋅ x3 + x5 ⋅ ( −3 x 2 y ) − 2 x 4 y ⋅ ( −3 x 2 y ) + x3 y 2 ⋅ ( −3 x 2 y ) +
x5 ⋅ ( 3xy 2 ) − 2 x 4 y ⋅ ( 3 xy 2 ) + x3 y 2 ⋅ ( 3 xy 2 ) + x5 ⋅ ( − y 3 ) − 2 x 4 y ⋅ ( − y 3 ) + x3 y 2 ⋅ ( − y 3 ) = x8 − 2 x 7 y + x 6 y 2 − 3 x 7 y + 6 x 6 y 2 − 3 x 5 y 3 + 3 x 6 y 2 − 6 x 5 y 3 + 3 x 4 y 4 − x 5 y 3 + 2 x 4 y 4 − x 3 y 5 = x8 − 5 x 7 y + 10 x 6 y 2 − 10 x 5 y 3 + 5 x 4 y 4 − x3 y 5
16. ( x 2 y 2 z )( 3xzy 3 )
Riešenie: ( x2 y 2 z )( 3xzy3 ) = 3x3 y5 z 2
( 2 x y ) ⋅ ( 3xz y ) 17. 8 ( 2 xy z ) 2
3
2
2
4
5
Riešenie: Použijeme tieto pravidlá:
( 2 x y ) ⋅ ( 3xz y ) = ( 2 8 ( 2 xy z ) 2
3
2
2
4
1⋅3
5
(a ⋅b)
m
= a m ⋅ b m a ( a m ) = a m⋅n , pričom a, b ≥ 0; m, n ∈ R n
x 2⋅3 y1⋅3 ) ⋅ ( 31⋅4 x1⋅4 z 2⋅4 y1⋅4 ) 8 ( 21⋅5 x1⋅5 y 2⋅5 z1⋅5 )
(8x y ) ⋅ (81x z y ) = = 8 ( 32 x y z ) 6
3
4 8
5
4
10 5
81 ⋅ 8 ⋅ x 6+ 4 y 3+ 4 z 8 81x10 y 7 z 8 81x 5 z 3 = = 8 ⋅ 32 ⋅ x 5 y10 z 5 32 x5 y10 z 5 32 y 3 Pretože menovateľ zlomku sa nesmie rovnať nula, musí platiť x ≠ 0, y ≠ 0, z ≠ 0 .
1 23 ⋅ 5 52 ⋅ 4 18. : 4 3 ⋅ 42 3 ⋅ 22 Riešenie: 2
2
2
2
1 23 ⋅ 5 52 ⋅ 4 1 8 ⋅ 5 25 ⋅ 4 1 8 ⋅ 5 3 1 8.5 9 : = : = ⋅ = . = 4 3 ⋅ 42 3 ⋅ 22 4 3 ⋅16 3 ⋅ 4 4 3 ⋅16 25 4 3.16 625 8⋅5⋅9 360 3 ⋅120 3 = = = 4 ⋅ 3 ⋅16 ⋅ 625 120000 1000 ⋅120 1000 19. ( x m + n y m − n )( x m − n y m + n ) ; m > n Riešenie: ( xm+n y m−n )( x m−n y m+n ) = x m+n+m−n y m−n+m+n = x 2m y 2m = ( xy )2m
7
Híc, P. – Pokorný, M.: Matematika pre informatikov a prírodné vedy
2− 3 2+ 3 Riešenie: Zlomok usmerníme tak, že jeho čitateľa aj menovateľa rozšírime výrazom 2 − 3 . 20.
2
2 − 3 2 − 3 2 − 3 4 − 2. 3 − 2. 3 + 3 4 − 4. 3 + 3 7 − 4. 3 . = = = = = 7 − 4. 3 2 4−3 1 2 + 3 2 + 3 2 − 3 4 − 2. 3 + 2. 3 − 3 2 + 2 −1 2 + 1 21. 2 2 −1 − 2 2 +1 Riešenie: 2 2 + ( 2 + 1).( 2 − 1) 2 + (2 − 2 + 2 − 1) 2 + (1) 3 + 2 −1 2 +1 2 +1 2 +1 2 +1 = 2 +1 = = = = − 4 (1) 3 2 2 − 1 2 ⋅ 2 − ( 2 + 1).( 2 − 1) 4 − (2 − 2 + 2 − 1) − 2.( 2 + 1) 2.( 2 + 1) 2 2 +1 2.( 2 + 1) 2.( 2 + 1) 3 3 3 2( 2 + 1) : = . =2 3 2 + 1 2( 2 + 1) 2 +1 x y 22. 1 + + y x Riešenie: 2
2
x y x 1 + + = 1 + + y x y x y x 1 ⋅1 + ⋅1 + ⋅1 + 1 ⋅ + y x y
y x y ⋅ 1 + + = x y x x x y x y x y y y ⋅ + ⋅ + 1⋅ + ⋅ + ⋅ = y y x y x y x x x
x y x x2 y y2 2 x 2 y x 2 y 2 3 x 2 y 2 + 2 x3 y + 2 xy 3 + x 4 + y 4 + + + 2 +1+ +1+ 2 = 3 + + + + = y x y y x x y x y2 x2 x2 y2 Pretože menovateľ zlomku sa nesmie rovnať nula, musí platiť x ≠ 0, y ≠ 0 . 1+
x− y x4 − y 4 23. ⋅ xy + x 2 y 2 − 2 xy + x 2 Riešenie:
2 2 2 2 x− y x4 − y 4 x − y ( x − y )( x + y ) ⋅ = ⋅ = 2 xy + x 2 y 2 − 2 xy + x 2 x ( y + x ) ( y − x)
2 2 2 2 x − y ( x − y )( x + y ) ( x + y ) ( x − y )( x − y )( x + y ) ( x + y ) ⋅ = = 2 2 x ( y + x) x ( y + x )( y − x ) ( y − x)
( x − y ) ( x + y ) ( x2 + y 2 ) x2 + y 2 = 2 x x ( y + x )( x − y ) 2
Pretože menovateľ zlomku sa nesmie rovnať nula, musí platiť x ≠ 0, y + x ≠ 0, y − x ≠ 0 , teda x ≠ 0, y ≠ ± x . 8
Híc, P. – Pokorný, M.: Matematika pre informatikov a prírodné vedy
x 2 + xy + y 2 4 x 3 2 x3 24. : 2 ⋅ 3 2 2 3 2 x −y x − y x − 2 xy + y Riešenie: x 2 + xy + y 2 4 x 3 2 x3 x 2 + xy + y 2 4 x3 x 2 − 2 xy + y 2 ⋅ 3 : 2 = ⋅ 3 ⋅ = 3 2 3 x2 − y 2 2 x3 x − y x − 2 xy + y ( x − y )( x + y ) x − y
( x − y) = 2 x 2 + xy + y 2 4 x3 ⋅ ⋅ 2 2 x+ y ( x − y )( x + y ) ( x − y ) ( x + xy + y ) 2 x3 2
Pretože menovateľ zlomku sa nesmie rovnať nula, musí platiť x − y ≠ 0, x + y ≠ 0, x 2 + xy + y 2 ≠ 0, x3 ≠ 0 , teda x ≠ ± y, x ≠ 0, x 2 + xy + y 2 ≠ 0 . x2 − y 2 x+ y 25. 2 x + 2 xy + y 2 3 y − 3x Riešenie: x2 − y 2 3 y − 3x x 2 − y 2 x 2 + 2 xy + y 2 x 2 − y 2 x+ y = = ⋅ 2 = : 2 2 x + 2 xy + y 3 y − 3x x+ y x + y x + 2 xy + y 2 3 y − 3x
( x − y )( x + y ) ⋅ 3 ( y − x ) = 3 ( y − x )( x − y ) = −3 ( y − x ) 2 2 2 x+ y ( x + y) ( x + y) ( x + y)
2
=
−3 ( x − y )
( x + y)
2
2
Pretože menovateľ zlomku sa nesmie rovnať nula, musí platiť x + y ≠ 0,3 y − 3 x ≠ 0, x 2 + 2 xy + y 2 ≠ 0 , teda x ≠ ± y . x y + y x 26. y x − x y Riešenie: x y x ⋅ x + y ⋅ y x2 + y2 + x2 + y 2 y 2 − x2 y x y⋅x xy : = = 2 = = y x y ⋅ y − x ⋅ x y − x2 xy xy − x y x⋅ y xy x 2 + y 2 ) ⋅ xy x 2 + y 2 ( x2 + y2 xy ⋅ 2 = = xy y − x 2 xy ⋅ ( y 2 − x 2 ) y 2 − x 2 Pretože menovateľ zlomku sa nesmie rovnať nula, musí platiť x ≠ 0, y ≠ 0, y 2 − x 2 ≠ 0 , teda x ≠ 0, y ≠ 0, ( y − x )( y + x ) ≠ 0 . Po úprave dostaneme x ≠ 0, y ≠ 0, y ≠ ± x . 27. 3 x12 Riešenie: Použijeme tieto pravidlá:
m n
a =
m ⋅n
a a
n
m n
a = a , pričom a ≥ 0; m, n ∈ N m
9
Híc, P. – Pokorný, M.: Matematika pre informatikov a prírodné vedy
12
3
x12 = 2⋅3 x12 = 6 x12 = x 6 = x 2
x2 y xy Riešenie: 3
28.
a a = b b
Použijeme tieto pravidlá: 3
2 6
2
3
x y = xy
x ⋅x
1 − 2
x2 y
=
xy 1 6
⋅y ⋅y
1 − 2
=x
2⋅3
2 1 − 6 2
2
x y
=
xy ⋅y
1 1 − 6 2
6
2
x y xy
=x
2 −3 6
=
1 = a− y ay 2 6
1 6
1 2
1 2
x y x y
y
1− 3 6
= −1 6
=x y
−1 3
=
1 1 6
=
1 3
6
1 x⋅3 y
x y Pretože menovateľ zlomku sa nesmie rovnať nula, musí platiť x ≠ 0, y ≠ 0 . 3
Pretože základ druhej odmocniny nesmie byť záporný, musí platiť x2 y = xy Výsledné podmienky teda sú: x > 0, y ≠ 0 . Po úprave dostaneme x ≥ 0 , nakoľko
3
3
x2 y = x3 y 3
3
x2 y ≥0. xy
1 a y 2 je vždy nezáporné. xy 2
29. 3 x x ⋅ x ⋅ 3 x Riešenie: 3
1 3
1 2
3
1 3
x x ⋅ x⋅ x = x⋅ x ⋅ x⋅ x = x ⋅ x 3
2 6
1 6
3 6
1 6
2 1 3 1 + + + 6 6 6 6
11 ⋅ 32
1 2
⋅x ⋅x
11 ⋅ 23
1 3
1 6
1 2
1 6
= x ⋅x ⋅x ⋅x =
7 6
x ⋅x ⋅x ⋅x = x = x = 6 x7 Pretože základ šiestej odmocniny nesmie byť záporný, musí platiť x 7 ≥ 0 , teda x ≥ 0 .
x ⋅ 3 x ⋅ 4 x3 ⋅ 6 x5 x ⋅ 12 x Riešenie: 30.
1 2
1 3
5 6
3 4
1 1 3 5 + + + 2 3 4 6
x⋅ x⋅ x ⋅ x x ⋅x ⋅x ⋅x x = = 1 1 12 1+ x⋅ x 12 12 x⋅x x 3
x
6 + 4 + 9 +10 12 12 +1
4
3
29
=
x 12 13
6
5
29 13 − 12
= x 12
16
=
4
= x 12 = x 3 = 3 x 4
x 12 x 12 x ≠ 0∧ x ≥ 0 ⇒ x > 0 Pretože menovateľ zlomku sa nesmie rovnať nula, musí platiť x ≠ 0 . Pretože základ druhej, štvrtej, šiestej a dvanástej odmocniny nesmie byť záporný, musí platiť x ≥ 0 . Výsledná podmienka teda je x > 0 .
10
Híc, P. – Pokorný, M.: Matematika pre informatikov a prírodné vedy
Zapíšte bez použitia zlomkov: m kg J N ⋅ m 2 kg ⋅ s 2 J , , , 31. , 3 , s m kg ⋅ K kg 2 m s Riešenie: J m = J .kg −1.K −1 = m.s −1 kg ⋅ K s kg N ⋅ m2 −3 . = kg m = N .m 2 .kg −2 3 2 m kg
kg ⋅ s 2 = kg.s 2 .m −1 m J = J .s −1 s
Vyjadrite premennú x v závislosti od premennej y . Predpokladáme, že hodnoty premenných sú kladné reálne čísla. 32. y = 4 x − 32 35. y = 4 x 5 − 32 34. y = 4 x 2 − 32 33. y 2 = 4 x − 32 Riešenie: Riešenie: Riešenie: Riešenie: 2 2 y = 4 x − 32 y = 4 x − 32 y = 4 x 5 − 32 y = 4 x − 32 y + 32 = 4 x y + 32 = 4 x 2 y + 32 = 4 x 5 y 2 + 32 = 4 x y + 32 y y y 2 + 32 x= + 8 = x5 + 8 = x2 x = 4 4 4 4 y y x= x = 5 +8 +8 4 4
3 x+5 Riešenie: 3 y= x+5 y ⋅ ( x + 5) = 3 x+5=
4 x+2
37. y 3 + 2 =
36. y =
Riešenie: 4 x+2 3 ( y + 2) ⋅ ( x + 2) = 4 y3 + 2 =
3 y
x+2=
3 x = −5 y
4 3 y +2
4 −2 x= 3 y +2
38. y = x + 2 Riešenie: y = x +2
y−2= x Obe strany rovnosti umocníme.
( y − 2)
Na pravej strane rovnosti použijeme pravidlo a 2 + 2ab + b 2 = ( a + b ) . 2
( x ) + 2. y = ( x + 1) 2
x .1 + 12
2
Obe strany rovnosti odmocníme:
y = x +1 y −1 = x
.
Obe strany rovnosti umocníme: y − 2. y + 1 = x .
11
=
( x)
y2 − 4 y + 4 = x
39. y = x + 2 x + 1 Riešenie: y = x + 2. x + 1
y=
2
2
Híc, P. – Pokorný, M.: Matematika pre informatikov a prírodné vedy
40. y 5 − 6 = x3 + 6 x 2 + 12 x + 8 Riešenie: y 5 − 6 = x3 + 6 x 2 + 12 x + 8 Na pravej strane rovnosti použijeme pravidlo a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3 = ( a + b ) . 3
y 5 − 6 = x 3 + 3 ⋅ x 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ x ⋅ 2 2 + 23 y5 − 6 = ( x + 2) Obe strany rovnosti odmocníme. 3
( x + 2)
3
y5 − 6 =
3
y5 − 6 = x + 2
3
y5 − 6 − 2 = x
6
3
3
y5 − 6 − 2 = x
41. x 2 − 4 xy 3 + 4 y 6 = 0 Riešenie: x 2 − 4 xy 3 + 4 y 6 = 0 Na ľavej strane rovnosti použijeme pravidlo a 2 − 2ab + b 2 = ( a − b ) . 2
x2 − 2 ⋅ x ⋅ ( 2 y3 ) + ( 2 y3 ) = 0 2
(x − 2y )
3 2
=0
x − 2 y3 = 0 x = 2 y3 42. y = e x + 2 + 4 Riešenie: y = e x+2 + 4 y − 4 = e x+2 Obe strany rovnosti zlogaritmujeme. ln ( y − 4 ) = ln e x + 2
Použijeme pravidlo ln e x = x . ln ( y − 4 ) = x + 2 ln ( y − 4 ) − 2 = x 43. y = 103 x + 6 − 1 Riešenie: y = 103 x + 6 − 1 y + 1 = 103 x + 6 Obe strany rovnosti zlogaritmujeme. log10 ( y + 1) = log10 (103 x + 6 )
Použijeme pravidlo log10 10 x = x .
12
Híc, P. – Pokorný, M.: Matematika pre informatikov a prírodné vedy
log10 ( y + 1) = 3x + 6 log10 ( y + 1) − 6 = 3 x log10 ( y + 1) − 6 =x 3 log10 ( y + 1) −2 = x 3 44. y = ln ( 2 x + 6 ) + 2 Riešenie: y = ln ( 2 x + 6 ) + 2 y − 2 = ln ( 2 x + 6 ) Použijeme pravidlo „Ak x = y , potom e x = e y .“. e y−2 = e ( ) Použijeme pravidlo eln x = x . e y−2 = 2 x + 6 ln 2 x + 6
e y−2 − 6 = 2 x e y −2 −3 = x 2 45. y = log10 ( x + 7 ) + 1 Riešenie: y = log10 ( x + 7 ) + 1 y − 1 = log10 ( x + 7 ) Použijeme pravidlo „Ak x = y , potom 10 x = 10 y .“. 10 y −1 = 10 10 ( ) Použijeme pravidlo 10log10 x = x . 10 y −1 = x + 7 log
x+7
10 y −1 − 7 = x
13
