25.A
25.A
25.A
Szinuszos mennyiségek – Rezgıkörök
Értelmezze a rezgıkörök fogalmát! Rajzolja fel a soros és a párhuzamos rezgıkörök rezonanciagörbéit! Definiálja a rezgıkörök határfrekvenciáit, a rezonanciafrekvenciát, és a jósági tényezıt! Fejtse ki részletesen a rezgıkörök gyakorlati alkalmazásának lehetıségeit! Soros rezgıkör, rezonanciafrekvencia A soros R-L-C kapcsolás A soros R-L-C kapcsolás impedanciájának értéke és fázisszöge függ a frekvenciától, hiszen az impedanciára kapott
Z = R 2 + (X L − X C )
2
összefüggés tartalmazza az induktív és a kapacitív reaktanciát, amelyek értéke a frekvenciától is függ.
Rezonancia jelenség Található egy olyan frekvencia, amelynél az induktivitás és a kapacitásfeszültsége megegyezik. Ezen a frekvencián játszódik le a feszültségrezonancia jelensége.
Soros rezgıkör Ha ebben az esetben végezzük el a feszültségek eredıjének meghatározását, akkor arra az eredményre jutunk, hogy az ellenálláson lévı feszültség megegyezik a generátor feszültségével: u = uR, φ = 0. Az ilyen tulajdonságokkal bíró soros R-L-C áramkört soros rezgıkörnek nevezzük.
A soros rezgıkör A soros rezgıkör kapcsolási rajzában az ellenállást r-rel jelöltük, ennek az oka, hogy a rezgıkör gyakorlati megvalósítása során az áramkör nem tartalmaz ellenállást, hanem az ohmos hatást az induktivitás és a kondenzátor veszteségei képviselik.
A soros rezgıkör Feszültség rezonancia A feszültség rezonancia csak akkor teljesülhet, ha az azonos áram mellett az induktív és a kapacitív tag reaktanciája is megegyezik: Ebbıl következik, hogy XL-XC = 0, Z = r.
Az áramkör viselkedése Feszültség rezonanciakor az áramkör ohmos ellenállásként viselkedik.
Rezonanciafrekvencia Azt a frekvenciát, ahol a feszültség rezonancia jelensége létrejön rezonanciafrekvenciának nevezzük f0. Ennek a frekvenciának a meghatározásához abból a ténybıl kell kiindulnunk, hogy rezonancián XL = XC.
1
25.A
25.A
2π ⋅ f ⋅ L =
1 2π ⋅ f ⋅ C
Az egyenletet f-re rendezve az f0 rezonancia frekvenciát kapjuk:
f0 =
1 2π ⋅ L ⋅ C
. Ez a Thomson képlet.
A rezonancia görbe A rezgıkört tápláló generátor frekvenciáját változtatva az impedancia nagysága és fázisszöge változik. Az impedancia változását mutató görbét rezonanciagörbének nevezzük.
• • •
0
0
A rezonancia frekvenciától kisebb frekvencia értékeken az áramkör kapacitív jellegő, fázisszöge 0 > φ > -90 . 0
0
A rezonancia frekvenciától nagyobb frekvencián az áramkör induktív jellegő, fázisszöge 0 < φ < +90 . Az impedanciát jellemzı függvénynek f0-on minimuma van, ahol az áramkör ohmos jellegő.
A soros rezgıkör frekvenciafüggése A rezgıkör A soros rezgıkört az elektronikában a rezonancia frekvenciájával megegyezı frekvenciájú jel kiválasztására vagy kiszőrésére használjuk:
• •
A kiválasztás azt jelenti, hogy a sokféle frekvencia közül csak egyet használunk fel, kiszőréskor viszont a rezonancia frekvencia kivételével az összes frekvenciát felhasználjuk.
Összetett áramkörök Ha az áramkör több ellenállást, induktív és kapacitív reaktanciát tartalmaz, akkor az impedanciára kapott összefüggésben r az ellenállások, XL az induktív, XC pedig a kapacitív tagok eredıjét képviseli.
A soros rezgıkör jósági tényezıje Rezgıkör minısége Ha jellemeznünk kell egy rezgıkör minıségét, akkor ezt a jósági tényezıvel tehetjük meg. A tekercsek jósági tényezıjéhez hasonlóan a rezgıkörét is Q-val jelöljük.
Veszteséges rezgıkör
2
25.A
25.A
Jósági tényezı A rezgıkör jósági tényezıje egy szám, amelyet rezonanciakor a rezgıkört alkotó reaktáns elemek (L vagy C) meddı teljesítményének Pm és az ohmos ellenálláson elveszı hatásos teljesítményének Pv a hányadosa ad, vagyis:
Pm Pv
Q=
.
Teljesítmény Ahhoz, hogy soros rezgıkörnél az áramköri elemek értékeibıl tudjuk kiszámítani a jósági tényezıt, fejezzük ki a teljesítményeket az áramerısséggel, mert ez a közös mennyiség. Az ohmos ellenálláson elveszı hatásos teljesítmény: 2
Pv = i ·r Rezonancián XL = XC, ezért a rezgıkört alkotó reaktáns elemek meddı teljesítménye: 2
2
Pm = i ·XL, illetve Pm = i ·XC.
A tekercs és a kondenzátor A tekercs adatainak felhasználásával:
Q=
Pm i 2 ⋅ X L X L 2π ⋅ f ⋅ L = 2 = = , Pv r r i ⋅r
és ebbıl
Q=
XL ω⋅L = . r r
A kondenzátor jellemzıibıl pedig
Pm i 2 ⋅ X C X C 1 Q= = 2 = = Pv r 2π ⋅ f ⋅ C ⋅ r i ⋅r és így
Q=
XC 1 = r ω ⋅C ⋅r
A körfrekvencia A tekercs és a kondenzátor adatai alapján kiszámított jósági tényezı a rezonancia miatt egymással egyenértékő, és emellett mindkettı az
ω = 2π ⋅ f
körfrekvenciához tartozó érték.
Fejezzük ki a körfrekvenciát, és tegyük egyenlıvé a két összefüggést!
Q= Q=
ω⋅L r
-bıl
r ⋅Q ,és L 1 ω= Q⋅C ⋅r
ω=
1 -bıl ω ⋅C ⋅r
Az így kialakuló kifejezésbıl a jósági tényezı már meghatározható
r ⋅Q 1 = L Q⋅C ⋅r
1 L Q= ⋅ r C
.
Rezgıkör hullámellenállása A rezgıkör jósági tényezıje tehát egy szám, nincs mértékegysége, ezért a
L C
kifejezésnek ellenállás
mértékegységgel kell rendelkeznie, ezért ezt a kifejezést a rezgıkör hullámellenállásának nevezzük.
3
25.A
25.A
A hullámellenállás A hullámellenállás jele Z0, és
L C
Z0 =
.
A gyakorlatban alkalmazott rezgıkörök jósági tényezıje 10 és 1000 közötti, leggyakrabban 100 közeli érték.
Jósági tényezı és veszteségi ellenállás Mivel a rezgıkör jósági tényezıje fordítottan arányos a soros veszteségi ellenállással (r-rel), ez azt jelenti, hogy a nagy jósági tényezıjő rezgıkör „éles” rezonancia görbével rendelkezik.
Határfrekvencia Azt a frekvenciát, ahol az induktív tag reaktanciája megegyezik az ohmos elem ellenállásával az áramkör 0 határfrekvenciájának nevezzük (φ = +45 ).
Párhuzamos rezgıkör A reaktanciák frekvenciafüggısége miatt az impedancia és a fázisszög is a frekvenciától függıen változik. Párhuzamos rezgıkörrıl áramrezonancia esetén beszélhetünk, amikor XC = XL.
A párhuzamos rezgıkör Rezgıkör kialakulása Az
X=
U I
összefüggésbıl kiindulva ez akkor teljesülhet, ha a kondenzátor és a tekercs árama megegyezik, a
feszültség pedig a közös mennyiség.
Rezonancia frekvencia Az a frekvencia, ahol az áramrezonancia jelensége teljesül a soros R-L-C kapcsolásnál megismert rezonancia frekvencia, amelyet a párhuzamos kapcsolás esetén is a Thomson képlettel határozhatunk meg:
f0 =
4
1 2π ⋅ L ⋅ C
.
25.A
25.A
Frekvenciafüggıség Az áramkör frekvenciától függı viselkedését vizsgálva az ábra megmutatja, hogy az áramkör
• • •
f0-nál kisebb frekvencián induktív jellegő, f0-nál nagyobb frekvencián kapacitív jellegő, rezonancia frekvencián az áramkör ohmos viselkedéső, azaz Z = R és ϕ = 0.
A rezgıkör jósági tényezıje A párhuzamos rezgıkör minıségének jellemzésére is használhatjuk a jósági tényezıt, amelyet a tekercsek jósági tényezıjéhez hasonlóan Q-val jelölünk. A párhuzamos rezgıkör jósági tényezıje egy szám, amelyet rezonanciakor a rezgıkört alkotó reaktáns elemek (L vagy C) meddı teljesítményének Pm és az ohmos ellenálláson elveszı hatásos teljesítményének Pv a hányadosa ad, vagyis:
Pm Pv
Q=
.
A teljesítmények kifejezése Ahhoz, hogy párhuzamos rezgıkörnél az áramköri elemek értékeibıl tudjuk kiszámítani a jósági tényezıt, fejezzük ki a teljesítményeket a feszültséggel, mert ez a közös mennyiség. Az ohmos ellenálláson elveszı hatásos teljesítmény:
Pv =
U2 R
.
Rezonancián XL = XC, ezért a rezgıkört alkotó reaktáns elemek meddı teljesítménye:
U2 Pm = XL
, illetve
U2 Pm = XC
.
A jósági tényezı kifejezése A tekercs adatainak felhasználásával:
Q=
U2 XL
Pm U2 R R = 2 = ⋅ 2 = Pv U XL U XL R
,
és ebbıl
Q=
R . ω⋅L
A kondenzátor jellemzıibıl pedig
Q=
U2 XC
Pm U2 R R = 2 = ⋅ 2 = Pv U XC U XC R
és így
Q =ω ⋅ R ⋅C . A tekercs és a kondenzátor adatai alapján kiszámított jósági tényezı a rezonancia miatt egymással egyenértékő, és emellett mindkettı az
ω = 2π ⋅ f
-hez tartozó érték.
Fejezzük ki a körfrekvenciát, és tegyük egyenlıvé a két összefüggést!
Q=
R R -bıl ω = , és ω⋅L Q⋅L
5
25.A
25.A
Q = ω ⋅ R ⋅ C -bıl ω =
Q . R⋅C
Az így kialakuló kifejezésbıl a jósági tényezı már meghatározható
Q R = Q ⋅ L R ⋅C
Q= R⋅
C L
, és ebbıl
.
Figyeljük meg, milyen hatással van a rezonancia görbére a jósági tényezı megváltozása!
A jósági tényezı változása A köráram meghatározása A párhuzamos rezgıkör generátorának árama három részre oszlik: az ellenállás, a tekercs és a kondenzátor áramára. A tekercs és a kondenzátor árama ellentétes irányú, de rezonanciakor azonos nagyságú. A tekercs és a kondenzátor áramát köráramnak nevezzük, mert a rezgıkörön belül folyik, a tekercsen és a kondenzátoron keresztül körbe. A köráram meghatározása Vizsgáljuk meg az R ellenállás berajzolása nélkül a köráramáramkörét (a rezgıkört) és határozzuk meg a köráramot az áramköri elemek adataiból! A köráram rezonancia frekvencián iL vagy iC, az áramkör árama pedig
i=
u , amelybıl a feszültség u = i·R . Ha a R
kondenzátor áramával számítjuk a köráram értéke az
iC =
u i⋅R = = i ⋅ R ⋅ω ⋅C 1 XC ω ⋅C
összefüggéssel számítható ki.
A köráram értelmezése A köráram meghatározása Mivel tudjuk, hogy a párhuzamos rezgıkör jósági tényezıje
Q =ω ⋅ R ⋅C , ezért felírhatjuk, milyen kapcsolat van a köráram és az áramkör i árama között:
iC = i ⋅ R ⋅ ω ⋅ C = i ⋅ Q
6
25.A
25.A
Ez azt jelenti, hogy a rezgıkörön belüli köráram Q-szor nagyobb, mint a rezgıkör generátorának árama. Például Q=100 és i=10mA esetén a rezgıkörön belül tekercsen és a kondenzátoron 1A-es áram folyik.
A köráram hatása A köráram hatását a tekercset alkotó huzal keresztmetszetének megválasztásakor figyelembe kell venni, például a következı megoldások alkalmazásával:
• •
A litze huzal minden elemi szálát gondosan be kell forrasztani. A huzal keresztmetszetét növelni kell.
Határfrekvenciák Soros rezgıkörnél az impedancia:
Z = R 2 + (X L − X C )
2
.
A rezgıkörnek két határfrekvenciája van. Az alsó határfrekvencián határfrekvencián
X C − X L = R , és ϕa = -450. Az felsı
X L − X C = R , és ϕf = +450.
Mindkét határfrekvencián az impedancia: 2
Z = R 2 + (X L − X C ) = R 2 + R 2 = 2 ⋅ R 2 = 2 ⋅ R Párhuzamos rezgıkörnél az impedancia:
1
Z=
. 2
1 1 1 − + X X R C L
2
A rezgıkörnek két határfrekvenciája van. Az alsó határfrekvencián határfrekvencián
X C − X L = R , és ϕa = +450. Az felsı
X L − X C = R , és ϕf = -450.
Mindkét határfrekvencián az impedancia:
1
Z= 2
1 1 1 − + X X R C L
2
=
1 1 R2
+
1 R2
=
1 2
=
R2 R = 2 2
.
R2
A rezgıkörök gyakorlati alkalmazásai A soros rezgıkör A soros rezgıkört a rezonancia frekvenciával megegyezı frekvencia kiválasztására vagy kiszőrésére használjuk. A frekvencia kiválasztás azt jelenti, hogy az áramkör bemenetére érkezı sokféle frekvencia közül csak egyet használunk fel, vagyis a kimeneten csak egyféle frekvenciájú jelenik meg. A frekvencia kiszőrés során pedig az áramkör bemenetére érkezı sokféle frekvencia közül a rezonancia frekvencia kivételével mindet felhasználjuk, vagyis a kimeneten csak egyféle frekvenciájú nem jelenik meg.
A soros rezgıkör felhasználása
A soros rezgıkör felhasználása frekvencia kiszőrésére
7
25.A
25.A
Az ábrán látható kapcsolás egy olyan feszültségosztó, amelyet nem két ellenállás, hanem egy ellenállás és egy soros rezgıkör alkot, ahol a kimeneti feszültség a soros rezgıkör feszültsége. Ha a bemeneti feszültség frekvenciája a rezgıkör rezonancia frekvenciájával egyezik meg, akkor a rezgıkör impedanciája minimális lesz (majdnem rövidzár). Így a kimenetet rövidre zárja, és az
f0 =
1 2π ⋅ L ⋅ C
frekvenciájú feszültséget nem engedi a kimenetre, vagyis leszívja. Emiatt a szívóhatás miatt ezt az áramköri megoldást szívókörnek nevezzük. A kimeneti feszültség minimális értéke a rezonancia frekvencián:
u ki = u be ⋅
r r+R
ahol r a rezgıkör ellenállása, amely nagyságrendekkel kisebb a feszültségosztó ellenállásánál (r<
A soros rezgıkör felhasználása frekvencia kiválasztására
Az ábrán látható kapcsolás egy olyan feszültségosztó, amelyet szintén nem két ellenállás, hanem egy soros rezgıkör és egy ellenállás alkot, ahol a kimeneti feszültség az ellenállás feszültsége. Ha a bemeneti feszültség frekvenciája a rezgıkör rezonancia frekvenciájával egyezik meg, akkor a rezgıkör impedanciája minimális lesz (majdnem rövidzár). Így nem a kimenetet zárja rövidre, hanem csak az
f0 =
1 2π ⋅ L ⋅ C
frekvenciájú feszültséget engedi a kimenetre. A kimeneti feszültség maximális értéke a rezonancia frekvencián:
u ki = u be ⋅
R r+R
ahol r a rezgıkör ellenállása, amely nagyságrendekkel kisebb a feszültségosztó ellenállásánál (r<
Hatékony módszer frekvencia kiválasztására Hatékony módszert kapunk soros rezgıkörrel a frekvencia kiválasztására akkor is, ha a tekercsrıl vagy a kondenzátorról vesszük le a feszültséget. Rezonancia frekvencián mindkét alkatrészen u=i·X feszültség mérhetı.
8
25.A
25.A
Az ábrán látható áramkörben a kondenzátor feszültségét használjuk fel kimeneti feszültségként. Az áramköri elemek segítségével számítsuk ki a rezonanciakor a kondenzátoron fellépı feszültséget!
uC = i ⋅ X C =
u u 1 u ⋅ XC = ⋅ = r r ω ⋅ C r ⋅ω ⋅C
Vegyük észre, hogy a feszültség képletében szereplı
1 r ⋅ω ⋅C kifejezés a rezgıkör jósági tényezıje, így a kiválasztó áramkör kimeneti feszültsége meghatározható az
uC =
u r ⋅ω ⋅ C
=u ⋅Q
összefüggés alapján is. Felhasználáskor tehát ügyelni kell arra, hogy rezonanciakor a tekercsen és a kondenzátoron a rezgıkört tápláló generátor feszültségének Q szorosa jelenik meg. Erre a sokszoros feszültségre kell méretezni mindkét alkatrészt.
A párhuzamos rezgıkör A párhuzamos rezgıkört a rezonancia frekvenciával megegyezı frekvencia kiválasztására vagy kiszőrésére használjuk. A párhuzamos rezgıkört a sorosnál gyakrabban alkalmazzuk.
A párhuzamos rezgıkör felhasználása
Az ábrán látható kapcsolás egy olyan feszültségosztó, amelyet nem két ellenállás, hanem egy párhuzamos rezgıkör és egy ellenállás alkot, ahol a kimeneti feszültség a rezgıkör feszültsége. Ha a bemeneti feszültség frekvenciája a rezgıkör rezonancia frekvenciájával egyezik meg, akkor a rezgıkör impedanciája maximális lesz (majdnem szakadás). Így lezárja a bemeneti jel útját, ezért az
f0 =
1 2π ⋅ L ⋅ C
frekvenciájú feszültséget nem engedi a kimenetre. Emiatt a záróhatás miatt ezt az áramköri megoldást zárókörnek nevezzük. A kimeneti feszültség minimális értéke a rezonancia frekvencián:
u ki = u be ⋅
R1 , R1 + R
ahol R a rezgıkör ellenállása, amely nagyságrendekkel nagyobb a feszültségosztó ellenállásánál (R>>R1). Minél kisebb vagy nagyobb a frekvencia a rezonancia frekvenciánál, annál nagyobb a kimeneti feszültség, és annál jobban közelíti meg a bemeneti feszültség értékét.
9
25.A
25.A
Az ábrán látható kapcsolás egy olyan feszültségosztó, amelyet nem két ellenállás, hanem egy párhuzamos rezgıkör és egy ellenállás alkot, ahol a kimeneti feszültség az ellenállás feszültsége. Ha a bemeneti feszültség frekvenciája a rezgıkör rezonancia frekvenciájával egyezik meg, akkor a rezgıkör impedanciája maximális lesz (majdnem szakadás). Így a feszültségosztó csak minimálisan osztja le a bemeneti feszültséget, ezért az
f0 =
1 2π ⋅ L ⋅ C
frekvenciájú bemeneti feszültség megjelenik a kimeneten. A kimeneti feszültség maximális értéke a rezonancia frekvencián:
u ki = u be ⋅
R R1 + R
ahol R a rezgıkör ellenállása, amely nagyságrendekkel nagyobb a feszültségosztó ellenállásánál (R>>R1). Minél kisebb vagy nagyobb a frekvencia a rezonancia frekvenciánál, annál kisebb a kimeneti feszültség, és annál jobban közelíti meg a nulla értéket. A párhuzamos rezgıkört alkalmazzák például a rádió- és a televízió vevıkészülékek hangoló áramkörében, amellyel az antennáról beérkezı többféle frekvenciájú jel közül a nekünk megfelelıt tudjuk kiválasztani.
Kimeneti feszültség levezetése az áramköri elemek segítségével
Az ábrán látható áramkörben a kondenzátor feszültségét használjuk fel kimeneti feszültségként. Az áramköri elemek segítségével számítsuk ki a rezonanciakor a kondenzátoron fellépı feszültséget!
uC = i ⋅ X C =
u u 1 u ⋅ XC = ⋅ = r r ω ⋅ C r ⋅ω ⋅C
Vegyük észre, hogy a feszültség képletében szereplı
1 r ⋅ω ⋅C kifejezés a rezgıkör jósági tényezıje, így a kiválasztó áramkör kimeneti feszültsége meghatározható az
uC =
u r ⋅ω ⋅ C
=u ⋅Q
összefüggés alapján is. Felhasználáskor tehát ügyelni kell arra, hogy rezonanciakor a tekercsen és a kondenzátoron a rezgıkört tápláló generátor feszültségének Q szorosa jelenik meg. Erre a sokszoros feszültségre kell méretezni mindkét alkatrészt.
10
