GEOMETRIA Andrea Philippou, Marios Antoniades Szakaszok és félegyenesek Egy szakasz felezőmerőlegese egy olyan egyenes, félegyenes vagy szakasz, ami áthalad a szakasz középpontján és merőleges a szakaszra. Tétel: Ha egy pont egy szakasz felezőmerőlegesén helyezkedik el, akkor egyenlő távolságra van a szakasz két végpontjától. Tétel: Ha egy pont egyenlő távolságra van egy szakasz két végpontjától, akkor a szakasz felezőmerőlegesén helyezkedik el. A merőleges egyenesek olyan egyenesek, amik derékszöget zárnak be egymással. Párhuzamos egyenesek: A párhuzamos egyenesek olyan egyenesek, amik egy síkon helyezkednek el és nincsen metszéspontjuk: Az olyan egyenest, aminek van metszéspontja (különböző pontokban) két vagy több, azonos síkon elhelyezkedő egyenessel, metsző egyenesnek hívjuk. Szögek A szögek olyan geometriai alakzatok, amik egy közös pontból kiinduló két félegyenesből állnak. A két félegyenest a szög szárainak hívjuk, és a közös pontjuk a szög csúcsa. A szögeket osztályozhatjuk a nagyságuk szerint: Derékszögnek hívjuk a 90°-os szögeket. Hegyes szögnek hívjuk a 0 és 90° közötti szögeket. Tompa szögnek hívjuk a 90 és 180° közötti szögeket. Egyenes szögnek hívjuk a 180°-os szögeket. A (szomszédos) kiegészítő szögeknek, a-nak és b-nek a közös csúcsuk O, közös száruk OZ; a másik két száruk OX és OY pedig egy egyenesbe esnek. A szögek egymás kiegészítő szögei. Z
b X
a O
Y
A (szomszédos) kiegészítő szögek összege 180 fok. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90°. A szögek egymás pótszögei.
b a
A csúcsszögek olyan, egy közös csúccsal rendelkező szögpár, hogy a szögek szárai egymás folytatásai. A csúcsszögek egyenlők:
a
b
A szögfelező egy olyan félegyenes, ami egy szöget két egyenlő részre oszt.
a b
A szögfelező tulajdonságai: a szögfelező bármely pontja egyenlő távolságra van a szög száraitól. Posztulátum: Ha két párhuzamos egyenest elmetsz egy harmadik, akkor az egyállású szögek egybevágóak. Tétel: Ha két párhuzamos egyenest elmetsz egy harmadik, akkor a külső váltószögeik egyenlők. Tétel: Ha két párhuzamos egyenest elmetsz egy harmadik, akkor az azonos oldalon elhelyezkedő belső szögeik kiegészítő szögek. Tétel: Ha egy metsző egyenes merőleges két párhuzamos egyenes egyikére, akkor a másikra is merőleges. Posztulátum: Ha két egyenest elmetsz egy harmadik, és a megfelelő szögeik egyenlők, akkor a két egyenes párhuzamos. Tétel: Ha két egyenest elmetsz egy harmadik, és az ellentétes oldalon elhelyezkedő belső szögek egyenlők, akkor a két egyenes párhuzamos. Tétel: Ha egyenest elmetsz egy harmadik, és az azonos oldalon elhelyezkedő belső szögek kiegészítő szögek, akkor a két egyenes párhuzamos. Tétel: Ha egy síkon két egyenes mindegyike merőleges egy harmadikra, akkor a két egyenes párhuzamos. Ha két párhuzamos egyenest elmetsz egy harmadik, akkor nyolc szög keletkezik, amiket párosával a következő módon hívunk: 2 3 5
6 7
1
4
8
egyállású szögek (1 és 5 ; 2 és 6 ; 3 és 7 ; 4 és 8 ); ezek a szögek párosával egyenlők: (1 = 5 ; 2 = 6 ; 3 = 7 ; 4 = 8 ); ii) belső váltószögek (4 és 6 ; 3 és 5 ); ezek a szögek párosával egyenlők; iii) külső váltószögek (1 és 7 ; 2 és 8 ); ezek a szögek párosával egyenlők; iv) azonos oldalon lévő belső szögek (3 és 6 ; 4 és 5 ); ezeknek a szögeknek az összege párosával 180 fok (3 + 6 = 180 fok; 4 + 5 = 180 fok); v) azonos oldalon lévő külső szögek (1 és 8 ; 2 és 7 ); ezeknek a szögeknek az összege párosával 180 fok (1 + 8 = 180 fok; 2 + 7 = 180 fok). A párhuzamos szárú szögek vagy egyenlők, (ha mindkettő hegyesszög vagy tompaszög), vagy a két szög összege 180 fok (c + d = 180 fok).
i)
c
a
d b
A merőleges szárú szögek szintén vagy egyenlők, vagy az összegük 180 fok.
c
a
d b
Thalész tétele (párhuzamos szelők tétele). Ha egy szög szárait párhuzamos egyenesekkel metsszük, a szögszárak a következő arányos szakaszokra oszlanak: t2 t1 A B C
A'
l1
B'
l2
C'
l3
AB AC BC = = A ' B ' A 'C ' B 'C ' Párhuzamos egyenesek tulajdonságai: • Egy, nem a megadott egyenesen elhelyezkedő ponton át csakis egy párhuzamos húzható a megadott egyenessel. • Egy, nem a megadott egyenesen elhelyezkedő ponton át csakis egy merőleges húzható a megadott egyenesre. • Ha két egyenes mindegyike párhuzamos egy harmadik egyeneshez, akkor egymáshoz képest is párhuzamosak. • Ha három párhuzamos egyenes egyenlő szakaszokat metsz ki egy őket metsző egyenesből, akkor minden metsző egyenesből egyenlő szakaszokat metszenek ki. Következmény: Egy egyenes, amin rajta fekszik egy háromszög egyik oldalának a felezőpontja és párhuzamos egy másik oldallal, felezi a háromszög harmadik oldalát. Háromszögek A háromszögek alapvető tulajdonságai. Bármely háromszögben: A leghosszabb oldallal szemben lévő szög a legnagyobb szög, és fordítva is. Egyenlő oldalakkal szemben lévő szögek egyenlők és fordítva is. Az egyenlő oldalú (szabályos) háromszög szögei szintén mind egyenlők. Egy háromszög belső szögeinek összege 180 fok. Egy háromszög egyik külső szöge megegyezik a nem mellette fekvő két belső szög összegével.
Egy háromszög bármely oldala kisebb, mint a másik két oldal összege és nagyobb mint a másik két oldal különbsége. (a < b + c, a > b – c; b < a + c, b > a – c; c < a + b, c > a – b ). Egybevágó háromszögek Tételek a háromszögek egybevágóságáról. Két háromszög egybevágó, ha megfelelően egyenlő: a) Két oldaluk és az általuk közbezárt szög; b) Két szögük és a szögekkel határos oldaluk; c) Három oldaluk. Tételek a derékszögű háromszögek hasonlóságáról. Két derékszögű háromszög egybevágó, ha következő feltételek egyike igaz: a) a befogóik egyenlők; b) az egyik háromszög egyik befogója és az átfogója egyenlő a másik háromszög egyik befogójával és az átfogójával; c) az egyik háromszög átfogója és az egyik hegyesszöge egyenlő a másik háromszög átfogójával és az egyik hegyesszögével; d) az egyik háromszög egyik befogója és a vele szomszédos hegyesszöge egyenlő a másik háromszög egyik befogójával és az azzal határos hegyesszögével; e) Az egyik háromszög egyik befogója és az azzal szemközti hegyesszöge egyenlő a másik háromszög egyik befogójával és az azzal szemközti hegyesszögével. Tétel: Ha egy háromszög két oldala egyenlő, akkor az azokkal szemközti szögek is egyenlők. Következmény: Egy egyenlőszárú háromszög csúcsszögének szögfelezője merőlegesen felezi a háromszög alapját. Tétel: Ha egy háromszög két szöge megegyezik, a velük szemközti oldalak is egyenlők. Tétel: Ha egy háromszög két szöge és az általuk nem közbezárt oldal megegyezik egy másik háromszög két szögével és az általuk nem közbezárt oldallal, akkor a két háromszög megegyezik. A súlyvonal egy, a háromszög egyik csúcsát a vele szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakasz. Egy háromszög három súlyvonala egy pontban találkozik, G-ben (ami mindig a háromszög belsejében helyezkedik el), ami a háromszög súlypontja. (A G jelölés az angol, center of gravity, azaz súlypont kifejezésből származik. Mi a továbbiakban is ezt a jelölést fogjuk alkalmazni, de Magyarországon leginkább az S jelölés terjedt el.) Ez a pont mindegyik súlyvonalat 2:1 arányban osztja, a csúcstól tekintve. A
M
B
L G
K
C
Egy háromszög magassága a háromszög egyik csúcsából az azzal szemközti oldalra (vagy annak folytatására) bocsátott merőleges. Egy háromszög három magassága egy pontban, a magasságpontban találkozik. Egy hegyesszögű háromszög magasságpontja, a H pont a háromszög belsejében, egy tompaszögű háromszög magasságpontja, a H pont a háromszögön kívül helyezkedik el; egy derékszögű háromszög magasságpontja, a H pont megegyezik a derékszögű csúccsal. (A H jelölés az angol, height, azaz magasság szóból származik. Mi a továbbiakban is ezt a jelölést fogjuk alkalmazni, de Magyarországon leginkább az M jelölés terjedt el.)
A E
A E Z D
H
B
C
D
C
B
Z
H
A szögfelezőszakasz a szögfelezőnek a háromszög csúcsa és a szemközti oldal közti része. Egy háromszög három szögfelezője (AD, BE, CF) mindig egy pontban találkozik (ami mindig a háromszög belsejében helyezkedik el), ami a beírt kör középpontja. A
E F
O
B
C
D
A szögfelező a szemben fekvő oldalt két részre osztja, a szomszédos két oldal arányában, például, BD = AB .
DC
AC
A felezőmerőleges egy szakasz (oldal) felezőpontjába állított merőleges. Az ABC háromszög három felezőmerőlegese, mindegyik egy-egy oldal felezőpontjába állítva, egy K pontban találkozik, ami a háromszög köré írt kör (körülírt kör) középpontja. A
M
N K
B
L
C
Tétel: Az a szakasz, aminek végpontjai egy háromszög két oldalának felezőpontjai:
A
M
B
N
C
a) Párhuzamos a harmadik oldallal. b) Hossza a harmadik oldal hosszának a fele. Derékszögű háromszögek Tétel: Egy derékszögű háromszög átfogójának a felezőpontja egyenlő távolságra van mindhárom csúcstól. Pitagorasz-tétel. Egy derékszögű háromszög átfogójának négyzete egyenlő a két befogó négyzetének összegével. Tétel: Ha egy háromszög egyik oldalának a négyzete egyenlő a másik két oldal négyzetösszegével, akkor ez a háromszög derékszögű. Tétel: Ha egy háromszög leghosszabb oldalának négyzete nagyobb, mint a másik két oldal négyzetösszege, akkor ez a háromszög tompaszögű. Tétel: Ha egy háromszög leghosszabb oldalának négyzete kisebb, mint a másik két oldal négyzetösszege, akkor ez a háromszög hegyesszögű háromszög. Tétel: (A háromszög-egyenlőtlenség): Egy háromszög bármely két oldalának összege nagyobb, mint a harmadik oldal. Tétel: Ha egy háromszög két oldala egyenlő egy másik háromszög két oldalával, de a két oldal által közbezárt szög az első háromszögben nagyobb, mint a másodikban, akkor az első háromszög harmadik oldala nagyobb, mint a második háromszögé. Tétel: Ha egy háromszög két oldala egyenlő egy másik háromszög két oldalával, de az első háromszög harmadik oldala nagyobb, mint a második háromszögé, akkor a két oldal által közbezárt szög az első háromszögben nagyobb, mint a másodikban. Arányosság és hasonlóság Hasonló háromszögek: Posztulátum: Ha egy háromszög két szöge egyenlő egy másik háromszög két szögével, akkor a két háromszög hasonló. Tétel: Ha egy háromszög egyik szöge egyenlő egy másik háromszög egyik szögével, és a szöget közrezáró oldalak aránya megegyezik, akkor a két háromszög hasonló. Tétel: Ha két háromszög oldalainak aránya megegyezik, akkor a két háromszög hasonló. Tétel: Háromszögek hasonlósági tétele: Ha egy háromszög egyik oldalával párhuzamos egyenes elmetszi a háromszög másik két oldalát, akkor ez az egyenes arányosan osztja a háromszög oldalait. Következmény: Ha három párhuzamos egyenes két metszővel találkozik, akkor a párhuzamosok ugyanolyan arányban osztják a metsző egyeneseket. Tétel: Szögfelező-tétel: Ha egy félegyenes felezi egy háromszög szögeit, akkor a szemközti oldalt a két szomszédos oldal arányában osztja fel. Mértani közép: Két szám, x és z mértani közepe úgy van definiálva, hogy:
x y = y z és y-t x és z mértani közepének hívjuk. Tétel: Ha egy derékszögű háromszögben berajzoljuk az átfogóhoz tartozó magasságot, akkor két, egymáshoz és az eredeti háromszöghez egyaránt hasonló háromszög keletkezik. 1. következmény: Ha egy derékszögű háromszögben berajzoljuk az átfogóhoz tartozó magasságot, akkor a magasság hossza a mértani közepe az átfogón keletkező két szakasznak.
2. következmény: Ha egy derékszögű háromszögben berajzoljuk az átfogóhoz tartozó magasságot, akkor mindkét befogó a mértani közepe a teljes átfogónak és az átfogón keletkező, vele szomszédos szakasznak. Kapcsolat az általános háromszög oldalhosszai között: Általános esetben ( bármely háromszögben ): c² = a² + b² – 2ab · cos C, A trapéz olyan négyszög, aminek van két párhuzamos oldala. A
B
N
M
C
D
Itt AB // DC. A párhuzamos oldalakat a trapéz alapjainak, a másik kettőt (AD-t és BC-t) pedig a trapéz szárainak hívjuk. Az MN szakaszt, ami a szárak felezőpontjait, M-t és N-t köti össze, a trapéz középvonalának hívjuk. • A trapéz középvonala egyenlő a két alap összegének a felével:
MN =
AB + DC 2
és párhuzamos is velük: MN // AB // DC. Síkbeli alakzatok hasonlósága. Háromszögek hasonlóságának feltételei Háromszögek hasonlóságának feltételei. Két háromszög hasonló, ha: ha minden szögük megegyezik; minden oldaluk aránya megegyezik; ha az egyik háromszög két oldalának aránya megegyezik a másik háromszög két oldalának arányával, és az általuk közbezárt szögek is egyenlők. Két derékszögű háromszög hasonló, ha: befogóik aránya megegyezik; az egyik háromszög egyik befogójának és átfogójának aránya megegyezik a másik háromszög befogójának és átfogójának arányával; az egyik háromszög két szöge egyenlő a másik háromszög két szögével. Hasonló alakzatok területének aránya megegyezik a megfelelő szakaszaik arányának négyzetével (például, az oldalakéval). Így, a háromszögek területének aránya megegyezik átmérőik (vagy sugaraik) arányának négyzetével. KÖRÖK A kör egy rögzített ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza. A rögzített pontot a középpontnak, a ponttól való távolságot pedig a sugárnak hívjuk. A középpontot a kör egy pontjával összekötő szakaszt is sugárnak hívjuk. A kör két pontját összekötő szakaszt húrnak hívjuk. A középponton áthaladó húrt átmérőnek hívjuk.
A kör átmérője a sugár kétszerese. Ha egy sokszög köré egy kört rajzolunk úgy, hogy a sokszög csúcsai rajta vannak a körön, akkor ezt a sokszög körülírt körének hívjuk. Ha egy sokszöget rajzolunk egy körbe úgy, hogy a sokszög csúcsai rajta vannak körön, akkor azt mondjuk, hogy a sokszög a körbe van írva. Érintők Egy kör érintője egy olyan, a körrel azonos síkon elhelyezkedő egyenes, aminek pontosan egy metszéspontja van a körrel, amit érintési pontnak hívunk.
Tétel: Ha egy egyenes érint egy kört, akkor az érintési pontba húzott sugár merőleges az érintőre. Tétel: Ha egy egyenes a kör egyik sugarát a végpontjában merőlegesen metszi, akkor az egyenes érinti a kört. Az olyan egyenest, ami két, azonos síkon elhelyezkedő kört egyszerre érint, közös érintőnek hívjuk. Ívek
Egy kör középponti szöge egy olyan szög, aminek a csúcspontja a kör középpontja. Minden középponti szöghöz két körív, egy nagyobb és egy kisebb tartozik (kivéve az egyenes szög esetét, amikor a két körív éppen egyenlő). Ha nem jelöljük másként, akkor a kisebb körívet szokás a középponti szöghöz tartozónak venni.
Egy kis ív nagysága megegyezik középponti szögének nagyságával. Ívek és húrok Tétel: Egybevágó körökben, vagy ugyanabban a körben: i) Egyenlő ívekhez egyenlő húrok tartoznak. ii) Egyenlő húrokhoz egyenlő ívek tartoznak. Tétel: Egy átmérő, ami merőleges egy húrra, felezi a húrt és a hozzá tartozó ívet. Tétel: Egybevágó körökben, vagy ugyanabban a körben: i) A középponttól egyenlő távolságra lévő húrok egyenlők. ii) Egyenlő húrok egyenlő távolságra vannak a középponttól. Szögek és szakaszok A kerületi szögek olyan szögek, amelyeknek a csúcsa a körön helyezkedik el, szárai pedig a kör húrjai. Tétel: Egy kerületi szög fele az azonos ívhez tartozó középponti szögnek. Következmény: Az azonos ívhez tartozó kerületi szögek egyenlők. Következmény: Ha egy négyszöget írunk egy körbe, akkor a négyszög szemközti szögei egymás kiegészítő szögei. Következmény: Az átmérőhöz tartozó kerületi szög derékszög. Tétel: Egy érintő és az érintési pontból induló húr által meghatározott szög fele húr által meghatározott ív mértékének. Tétel: Két, egymást a kör belsejében metsző húr által meghatározott szög mértéke fele az általuk meghatározott ívek összegének. Szögek és szakaszok Tétel: Ha két húr metszi egymást egy kör belsejében, akkor az egyik húron keletkező szakaszok szorzata megegyezik a másik húron keletkezett szakaszok szorzatával. Tétel: Ha egy körhöz egy külső pontból két metsző egyenest húzunk, akkor az egyenesek metszéspontja és a körrel közös pontjaik közti szakaszok szorzata állandó. Tétel: Ha egy körhöz egy külső pontból egy érintőt és egy szelőt is húzunk, akkor az érintő hosszának négyzete megegyezik a külső metszéspont és a körrel közös pontok által meghatározott szakaszok szorzatával (az előbbi tétel határesete).
B
T
A
S
A
C
S D
S
C
A
B
D
SA ⋅ SB = SC ⋅ SD
B
SA ⋅ SB = SC ⋅ SD
SA ⋅ SB = ST 2
Az érintő tulajdonságai. Egy, a körön kívül elhelyezkedő pontból két érintő húzható a körhöz, hosszaik megegyeznek. B
A
C
Kerületi szög – egy olyan szög, amit két, egy közös pontból induló húr határoz meg. Kapcsolat a kör elemei között. Egy kerületi szög fele az azonos ívhez tartozó középponti szögnek. Minden, azonos ívhez tartozó kerületi szög egyenlő. Bármely kerületi szög fele annak az ívnek, amihez tartozik. Bármely, egy átmérőhöz tartozó kerületi szög derékszög. C
x
C
O
A
K 2x
B
K
O
A B
Egy húr és egy érintő szöge is kifejezhető. Ha az érintő áthalad a húr végpontján, akkor az általuk bezárt szög mértéke egyenlő a húrhoz tartozó körív mértékének a felévell, ha az érintő a húr tartóegyenesét a körön kívül metszi, akkor a közrezárt szög mértéke a húr végpontjai és az érintési pont által meghatározott körívek mértékének fél különbsége. Θ
Θ
Két, egy külső ponton áthaladó szelő által bezárt szög fele a két kimetszett ív különbségének. B A O
E
D C
(
Eˆ = 12 AD + BC
)
Speciális esetek Ptolemaiosz-tétele: Legyen egy beírt négyszög ABCD! Akkor AB ·CD + AD ·BC = AC ·BD (AC, BD az átlók) Tétel (Simson-egyenes): ABC egy háromszög és P pont (ami nem A, B vagy C) rajta van a körülírt körén. Ekkor a P pontból AB, BC és CA oldalakra (vagy meghosszabbításukra) bocsátott merőlegesek talppontjai egy egyenesbe esnek.
R A P
S B T
C
Euler-tétele (A kilenc pont köre): Bármely háromszögben meghatározható egy olyan kör, ami áthalad a háromszög oldalfelező pontjain, a magasságok talppontjain és a csúcsokat a magasságponttal összekötő szakaszok felezőpontjain. A E
P Z M
L
H
R
Q
B
D
K
C
Ceva-tétele: Legyen ABC egy háromszög, és P, Q, R pontok rendre a BC, CA, AB egyeneseken. Akkor az AP, BQ és CR egyenesek akkor és csakis akkor találkoznak egy pontban, ha:
BP CQ AR · · =1 PC QA RB Menelaosz-tétel: Legyen ABC egy háromszög és P, Q, R pontok a rendre BC, CA, AB egyeneseken. Akkor a P, Q, R pontok akkor és csakis akkor helyezkednek el egy egyenesen, ha:
BP CQ AR · · = −1 PC QA RB Gyakorlatok 1 . Fe l a d a t
A lenti ábra szerint, találjuk meg az α + β + γ + δ összeget a két párhuzamos
egyenes között.
α β γ δ
Megoldás
α + β + γ + δ = 3π
2 . Fe l a d a t Legyen M az ABC (AB > AC) háromszög BC oldalának felezőpontja és legyen AL az A csúcsnál lévő szög szögfelezője. Az M-ből induló, AL-re merőleges egyenes az AB oldalt D pontban metszi. Bizonyítsuk be, hogy AD =
1 ( AB + AC ) ! 2
Megoldás A
D L B
C
M P
K
A DM egyenes az AC egyenest K pontban metszi. Így az ADK háromszög egyenlőszárú ⇒ AD=AK. Rajzoljuk be a CP egyenest úgy, hogy CP//AB(P a pont, ahol az egyenes metszi DK-t). A BDM háromszög egybevágó MPC háromszöggel ⇒ BD=PC. ∠CPK = ∠ADP ⇒ PCK háromszög egyenlőszárú ⇒ PC = CK ⇒ BD=PC=CK AD=AK=AC+CK ⇒ AD=AC+BD ⇒ AD=AC+AB-AD⇒ 2AD=AC+AB ⇒ AD = ½ (AB+AC) 3 . Fe l a d a t
Egy ABCD négyzetben (az ábra szerint), α =
π . Bizonyítsuk be, hogy 12
∆
ABE szabályos háromszög! B
A
E D
α
α
C
Megoldás
Rajzoljuk be a DCF egyenlőszárú háromszöget, ahogy az ábra mutatja.
DE = EC (DEC egyenlőszárú háromszög)
∠ADE = ∠BCE =
π
−
π
(1) és A E = BE ( ∆ A DE = ∆ BCE ) (2), aztán 2 12 ∆ DFC és ∆ DEC is egyenlőszárú háromszög, ezért FE a DC szakasz 5π π π π (3) = – a = – felezőmerőlegese. ⇒ ∠ DEF = 2 12 12 2 Az (1) és (3) állításból ⇒ ∆ ADE = ∆ DEF = AE = DF = DC = AB (4) A (2) és (4) állítás szerint az AEB háromszög szabályos háromszög. B
A
E α
α
D
C
F
4 . Fe l a d a t
(Kanadai Matematikai Olimpia, 1975). Az ábrán A, B, C, D négy pont egy
körvonalon és P, Q, R, S szintén a körvonalon helyezkedik el, ezek rendre az ΑΒ , BC ,
CD , DA ívek felezőpontjai. Bizonyítsuk be, hogy PR merőleges QS-re! A P S
B T
O
Q D C R
Megoldás Legyen PR és QS metszéspontja T, és legyen O a kör középpontja.
AB + BC + CD + DA = 2π ⇒ 2 PB + 2 BQ + 2 RD + 2 DS = 2π ⇒
( PB + BQ ) + ( RD + DS ) = π ⇒ PBQ + RDS = π ∆PST ⇒ ∠PTS = π − ( ∠PST + ∠SPT ) = π −
(1)
1 1 π ( ∠POQ + ∠ROS ) = π − π = 2 2 2
⇒ Így QS és PR merőlegesek egymásra. 5 . Fe l a d a t
Egy ABC háromszög beírt köre az AB oldalt D pontban érinti. Mutassuk meg,
hogy BD =
1 (AB + BC – CA) ! 2
Megoldás Bocsássunk merőlegest a kör középpontjából a háromszög oldalaira. A
E
D
I
B
C
F
AB = AD + DB ⇒ AB = AE + DB ⇒ AB = AC – EC + DB ⇒ AB = AC – CF + DB ⇒ AB = AC – (BC – BF) + DB ⇒ 1 AB = AC – BC + BF + DB ⇒ AB = AC – BC + 2DB ⇒ BD = (AB + BC – CA) 2 6 . Fe l a d a t ABCD egy paralelogramma. E és Z pontok rendre az AB és CD oldalán helyezkednek el úgy, hogy CZ=AE. H és F pontok rendre az AD és CB oldalán helyezkednek el úgy, hogy CF=AH. Bizonyítsuk be, hogy ABCD négyszög átlóinak metszéspontja megegyezik az EFZH négyszög átlóinak metszéspontjával! Megoldás Bebizonyítjuk, hogy az EFZH négyszög egy paralelogramma. ∆ CZF = ∆ AEH ⇒ HE = ZF (1) BE = DZ, BF = DH ⇒ ∆ DZH = ∆ BEF ⇒ HZ = EF (2) (1) és (2) együtt azt eredményezi, hogy⇒ EFZH egy paralelogramma. (3) AE // = ZC ⇒ AECZ egy paralelogramma ⇒ az AC és EZ átlók metszéspontja legyen az O pont. E
A
B
H
F D
Z
C
O az AC szakasz felezőpontja ⇒ O pont az ABCD paralelogramma átlóinak közös pontjai. Hasonlóan O az EZ szakasz felezőpontja, így pont az EFZH négyszög átlóinak is a közös pontja.
7 . Fe l a d a t
Legyen az ABC háromszög (AB < AC) AC oldalának felezőpontja a D pont! A
DB félegyenesen jelöljünk ki egy DE szakaszt úgy, hogy DE = AC . Bizonyítsuk be,
2 hogy az E-ből induló, az A csúcsnál lévő szög szögfelezőjére merőleges egyenes átmegy a BC oldal felezőpontján. Megoldás Az E-ből az A csúcsnál lévő szög szögfelezőjére bocsátott egyenes az AC szakaszt Z pontban metszi, és a B-ből az A csúcsnál lévő szög szögfelezőjére bocsátott merőleges pedig H pontban metszi az AC oldalt. Az ABH, AEZ háromszögek egyenlőszárúak ⇒ AZ = AE, AH = AB. ⇒
AZ – AH = AE – AB ⇒ HZ = AD + DE – AB = HZ =
AB AC + – AB ⇒ 2 2
AC – AB (1) 2 A
D H Z B
M
C
E
HC = AC – AH ⇒ HC = AC – AB (2) ⇒ ZC = HC – HZ = AC – AB – AC – AB = AC – AB ⇒ 2 2 AC – AB (3) ZC = 2 Az (1) és (3) állításból ⇒ HZ = ZC. Így a CHB háromszögben Z a CH oldal felezőpontja és ZE // HB. ⇒ A ZE szakasz áthalad a BC oldal felezőpontján. 8 . Fe l a d a t Legyen ABCD egy négyszög! Egy egyenes (l), ami a BD és AC átlók felezőpontjait, H-t és F-t köti össze, az AD és BC oldalt E és Z pontokban metszi. Bizonyítsuk be, hogy: AE = CZ
ED
BZ
Megoldás Rajzoljuk be az AI és CK egyeneseket, amik párhuzamosak a DB átlóval!
A B
K
Z
E
I
F
H
C
D
Az AIE, EDH háromszögek illetve ZCK, ZHB háromszögek páronként hasonlóak ⇒
AE AI , = ED DH
CZ CK = BZ BH
BH=HD, AI = CK ⇒ AE = CZ
ED
BZ
9 . Fe l a d a t Adott egy ABC háromszög, ahol 2BC = AB + AC . Bizonyítsuk be, hogy az A csúcsnál lévő szög szögfelezője merőleges a beírt és körülírt kör középpontját összekötő egyenesre. Megoldás A
O
I
B
C
D
Legyen I és O rendre a beírt és körülírt kör középpontja. Az AI szögfelező a körülírt kört D pontban metszi. ABCD (Ptolemaiosz-tétel) ⇒
( AD )( BC ) = ( AB )( CD ) + ( AC )( BD ) = ( BD )( AB + AC ) = ( BD ) ⋅ 2 ( BC ) ⇒ ( AD ) = 2 ( BD ) .
Továbbá BD = DI ( ∠IBD = ∠BID ) ⇒ (AD) = 2(AI) ⇒ I az AD szakasz felezőpontja ⇒ OI merőleges AD-re. 10. Feladat Legyen ABCD egy paralelogramma. Egy kör, ami áthalad A ponton is, az AB, AD oldalakat és az AC átlót rendre a B', D', C' pontokban metszi. Bizonyítsuk be, hogy:
(AB')(AB) + (AD')(AD) = (AC)(AC') Megoldás
B'
A
D'
B
C'
D
C
AB'C'D' (Ptolemaiosz-tétel) (AB')(D'C') + (AD')(B'C') = (AC')(DB') (1) B'D'C' és ADC hasonlóak ⇒ BC' = C'D' = B'D' ⇒ AD CD AC B'D' (3) B'D' (2), B'C' = AD C'D' = DC AC AC (1), (2), (3) ⇒ (AB')(AB) + (AD')(AD) = (AC)(AC') 11. Feladat Adott egy ABC háromszög úgy, hogy ∠ A = 2θ . Legyen I az ABC háromszög beírt körének középpontja. Ha CA + AI = BC , határozzuk meg a B csúcsnál lévő szöget θ függvényében. Megoldás D
A θ θ I
B
C
AI az A csúcsnál lévő szög szögfelezője ⇒ ∠BAI = ∠CAI = θ Jelöljük be a D pontot az AC egyenesén úgy, hogy AD = AI . ⇒ egyenlőszárú háromszög ⇒ ∠ADI = ∠AID . 1 A θ szög az ADI háromszög egyik külső szöge: ⇒ ∠ADI = θ 2 CA + AI = BC , AD = AI ⇒ BC = CA + AD ⇒ BC = CD 1 ∆ CDI = ∆ CBI ⇒ ∠ADI = ∠CBI ⇒ ∠ADI = ∠CBI = θ 2 ∠B = 2 ∠CBI = θ
ADI egy (1)
⇒ ⇒
1 2 . Fe l a d a t
Legyen
ABCD
o
egy
konvex
négyszög
úgy,
hogy
o
∠ADC > 90 , ∠BDC > 90 . Legyen E az a pont, ahol az AC egyenes metszi az ADvel párhuzamos, B-n keresztül húzott egyenest, illetve legyen F a BD egyenes és a BCvel párhuzamos, A ponton keresztül húzott egyenes metszéspontja. Bizonyítsuk be, hogy EF párhuzamos CD-vel! Megoldás Legyen P pont az AC és BD átlók metszéspontja!
B
A P D
C
F E PA PF AF (1) BC // AF ⇒ PAF ≈ PCB ⇒ = = PC PB CB ∆ ∆ PE PB EB (2) AD // BE ⇒ PEB ≈ PAD ⇒ = = PA PD AD PA PE PF PB PE PF ⇒ = · · = (1) · (2) ⇒ (a Thalész-tételből) ⇒ DC//EF PC PA PB PD PC PD 1 3 . Fe l a d a t Legyen ABCD négyszög egy paralelogramma és P pont egy pont a o belsejében úgy, hogy ∠APB + ∠CPD = 180 . Bizonyítsuk be, hogy ∠PBC = ∠CDP . Megoldás Rajzoljunk egy, az AB-vel párhuzamos ST egyenest a P ponton át, ami BC illetve AD oldalakkal rendre a T és S pontokban találkozik. Hosszabbítsuk meg BC-t Q pontig úgy, hogy TQ=BC. Hosszabbítsuk meg AD-t R-ig úgy, hogy SR=AD. A BCXP négyszög egy paralelogramma. (BC //= PX) Az APXD négyszög egy parallelogramma (AD //= PX) A
P
S
T
D
R
B
Y
C
X
Q
∠BPY = ∠CXP , ∠YPA = ∠PXD , mivel egyállású szögek. ⇒ ∠APB = ∠BPY + ∠Y PA = ∠CXP + ∠PXD = ∠CXD .
⇒ ∠CPD + ∠CXD = 180o ⇒ PCXD egy húrnégyszög (kör írható köré).
∠CDP = ∠CXP (azonos húrhoz tartozó kerületi szögek) ∠CXP = ∠XCQ (váltószögek), ∠XCQ = ∠PBC (egyállású szögek) ⇒ ∠CDP = ∠PBC 1 4 . Fe l a d a t
Adott ABC háromszög és M pont, a BC oldal felezőpontja. Tegyük fel, hogy ∠BAM = ∠ACB és ∠MAC = 15o . Határozzuk meg ∠ACB -t!
Megoldás Legyen O az AMC háromszög körülírt körének középpontja! ∠ACM = ∠BAM = θ ⇒ ∠MOC = 30o . ∠ACM = ∠BAM ⇒ AB a kör (O,OC) érintője. Legyenek D, E pontok a B, M pontokból OC-re bocsátott merőlegesek talppontjai!
⇒ ME =
OM , BC=2MC ⇒ BD=2ME=OM=AO⇒ ABDO egy téglalap. 2 O
A
150
θ
D E θ B
M
C
⇒ ∠CAO = 45o ⇒ ∠BAC = 450 ⇒ ∠ACB = ∠BAD = ∠BAC − ∠DAC = 450 − 150 = 300 1 5 . Fe l a d a t Adott egy XY egyenes és rajta az A, B, C pontok ebben a sorrendben úgy, hogy AB = 2 BC . Szerkesszük meg az XY egyenes ugyanazon oldalán az ABD és BCE szabályos háromszögeket! A DE és AC egyenesek a Z pontban metszik egymást, a DB és AE egyenesek pedig G pontban. Bizonyítsuk be, hogy ( DG ) = 2 ( GB ) . Megoldás
D
E G
A
C
B
Z
∠DAB = ∠BEC = 60o ( ABD és BCE szabályos háromszögek) ⇒ DA // BE (1) AB AD (2) BE = BC = = 2 2 AD ⇒ B az AZ szakasz felezőpontja és E a DZ szakasz (1) ∧ ( 2) ⇒ BE // = 2 felezőpontja. DB és AE az ADZ háromszög súlyvonalai ADZ ⇒ G az ADZ háromszög súlypontja ⇒ DG = 2GB. 1 6 . Fe l a d a t Adott egy ABC háromszög és a D és E pontok úgy helyezkednek el rendre az AB és AC oldalakon, hogy BD=CE. Legyen M a DE szakasz felezőpontja, P pedig a BC oldal felezőpontja. Bizonyítsuk be, hogy PM párhuzamos az A csúcsnál lévő szög szögfelezőjével! Megoldás A
G H D
M
E K
Z B
P
C
X
Bocsássunk merőlegeseket a D, B pontokból az AX szögfelezőre! (lásd az ábrán) DAG egy egyenlőszárú háromszög (AH a szögfelezője és magassága is) ⇒ AH súlyvonal is egyben ⇒ DH=HG. H a DG szakasz felezőpontja, M a DE szakasz felezőpontja⇒ HM // = Hasonlóan bizonyítjuk, hogy ZP // =
(1) ∧ ( 2)
KC (2) 2
⇒ HM // AC és ZP // AC ⇒ HM // ZP (3)
GE (1) 2
DAG egyenlőszárú háromszög ⇒ AB=AK és AD=AG ⇒ BAK , AB − AD = AK − AG ⇒ BD = GK ⇒ EC = GK ⇒ EK + KC = GE + EK ⇒ KC = GE (4)
(1) ∧ ( 2 ) ∧ ( 3) ∧ ( 4 )
⇒ HM // = ZP ⇒
HMPZ egy paralelogramma ⇒ HZ = MP ⇒ PM // AX
1 7 . Fe l a d a t Adott két pont, D és E egy AB átmérőjű félkörön (c). Szerkesszük meg az ADCE paralelogrammát! Bizonyítsuk be, hogy DE és BC egyenesek párhuzamosak! Megoldás Rajzoljuk be a DB és DC egyeneseket, H pontot, a BE és DC metszéspontját, valamint G pontot, DB és CE metszéspontját! C
H D E Z G A
B
O
AB az átmérő ⇒ ∠ADB = 90 ⇒ AD ⊥ DG , CE // DA ⇒ CE ⊥ DB ⇒ CG a DBC háromszög magassága. Hasonlóan BH a BDC háromszög magassága. Ezért, CG, BH a BDC háromszög két magassága ⇒ E a háromszög magasságpontja o
⇒ DE ⊥ BC 1 8 . Fe l a d a t
Legyen adott egy egyenlőszárú ABC háromszög és a körülírt köre (c). M
a BC ív felezőpontja. Helyezzünk el egy tetszőleges K pontot a BC oldalon, és szerkesszünk merőlegest az MK-ra a K ponton keresztül, ami az AB és AC szárakat rendre a D és E pontban metszi. Bizonyítsuk be, hogy DK=KE. Megoldás A
O D K C
B
E M
MB = MC ⇒ MB = MC ⇒ AM a BC szakasz felezőmerőlegese ⇒ AM átmérő ⇒ ∠ABM = ∠ACM = 90° ⇒ MK ⊥ DE és MB ⊥ AB ⇒ az MBDK négyszög húrnégyszög (kör írható kör) ⇒ ∠MDK = ∠MBK (1)
MK ⊥ DE és MC⊥ CE ⇒ az MKCE négyszög húrnégyszög ⇒ ∠MEK = ∠MCK (2). MB = MC ⇒ ∠MBC = ∠MCB (3) (1), (2), (3) ⇒ ∠MDK =∠ MEK, ezért MK az MDE egyenlőszárú háromszög magassága és súlyvonala is egyben ⇒ KD = KE. 19. Feladat Legyen ABC háromszög olyan, hogy ∠B = 60° , ∠C = 40° és O pont a háromszög belsejében úgy, hogy ∠OBC = 200 és ∠OCB = 30 0 . Bizonyítsuk be, hogy: (i) BO = BA (ii) OA = OC Megoldás K
A
O
10°
40°
30°
20° B
D
C
Legyen K pont az AB egyenesen úgy, hogy: BK=BC⇒ KBC szabályos háromszög. ∠OCB = 30° ⇒ OC szögfelező ⇒ OC magasság és a BK szakasz felezőmerőleges ⇒ OB=OK (1). Az OBK egyenlőszárú háromszögből⇒ ∠OKB = ∠OBK = 40°
KBD ⇒ ∠KBD = 180° − ( ∠DKB + ∠KBO + ∠OBD ) = 80°
BOD ⇒ ∠BOD = 180° − ( ∠ODB + ∠OBD ) = 80° ⇒ ∠DOB = ∠ODB ⇒ BOD egyenlőszárú háromszög ⇒ BO = BD (2) Az ABC és KBD háromszögek egybevágóak (BC=BK, ∠ODB = ∠A = 80° ) ⇒ BD = BA (3) A (2) és (3) állításból ⇒ OB = OA ⇒ ∠BAO = ∠BOA = 70° .
∠OKA = ∠ACB = 40° ,
BAO egyenlőszárú háromszög ⇒
∠OAC = ∠BAC − ∠BAO = 10° , ∠OCA = ∠ACB − ∠OCB = 10° ⇒ ∠OAC = ∠OCA ⇒ OAC egy egyenlőszárú háromszög, így OA = OC 2 0 . Fe l a d a t
Adott két kör ( c1 ) , ( c2 ) a K és L középpontokkal rendre. A két kör az A és B
pontokban metszi egymást úgy, hogy KA ⊥ LA. Legyen E pont a ( c1 ) körön! Továbbá az EA és EB egyenesek a ( c2 ) kört rendre a Z és H pontokban metszik. Bizonyítsuk be, hogy ZH a ( c2 ) kör átmérője!
Megoldás Z
Y X
A
E
K L
B
H
Rajzoljuk be az LZ, LA, LB, LH sugarakat! Az LAZ, ALB és BLH háromszögek egyenlőszárúak. Az LA egyenes érinti a ( c1 ) kört (AL ⊥ KA). Legyen ∠ZLA=2a, AZB=2b és ∠BLH=2c. ∠XEA =∠ABE 90° - a (húr és érintő). ∠ABE=90°-a, ∠ABL=90° –b és ∠LBH=90° -c ∠ABE + ∠ABL + ∠LBH = 180°, a + b + c = 90°. Ezért 2a + 2b + 2c = 180°, így Z, L, H pontok egy egyenesbe esnek.
