1. FOLYTONOS CSOPORTOK
0-0
Lie-csoportok 1. Folytonos csoportok Kontinuum számosságú csoport ⇒ elemek jellemzése valós paraméterekkel (koordinátákkal):
g(α1 , . . . , αn ) = g(~ α) ∈ G
~α ∈ U ⊆ Rn
U paraméter-tartomány topológiája ⇒ csoport topológiája (két csoportelem közeli ha paraméter-vektoraik közeliek) ⇒ g : U → G leképezés folytonos. Csoport dimenziója = elemek megkülönböztetéséhez szükséges paraméterek minimális száma ('n-paraméteres csoport' ).
1. FOLYTONOS CSOPORTOK Példa:
0-1
eltolások csoportja háromparaméteres, míg az összes mozgá-
sé (euklidészi izometriák = eltolások + forgatások + tükrözések) hatparaméteres.
~ ~ paraméter-vektorú ~ , β az α ~ és β µ : U×U → U folytonos leképezés, µ α csoportelemek szorzatának paraméter-vektora
~ ~ ~,β ) g(~ α)g(β) = g(µ α ~ paraméter-vektorú csoportelem inverzének paraméter-vektora ι(~ α α), g(~ α)−1 = g(ι(~ α)) megfelel® ι : U → U folytonos leképezéssel. Egységelem paraméter-vektora (konvenció): ~0= (0, . . . , 0).
1. FOLYTONOS CSOPORTOK
0-2
Csoportaxiómák
~ ~ ~ , µ β, γ ~ =µ µ α ~,β ,γ ~ µ α ~ ~ ~ , 0 = µ 0, α ~ =α ~ µ α ~,ι α ~ =µ ι α ~ ,α ~ = ~0 µ α Lie-csoport:
asszociativitás egységelem inverzelem
kompatibilis algebrai és dierenciálható struktúra.
µ : U×U → U és ι : U → U leképezések konvergens Taylor-sorba fejthet®k az origó (egységelem paraméter-vektora) egy kis környezetében. Gleason-Montgomery-Zippin tétele: kétszeres folytonos dierenciálhatóság + csoportaxiómák ⇒ konvergens Taylor-sor! Dieomor zmus: inverzével együtt dierenciálható leképezés. Lokális izomor zmus: egységelem elég kis környezetében értelmezett m¶velettartó dieomor zmus.
1. FOLYTONOS CSOPORTOK
0-3
(U1 , µ1 , ι1 ) és (U2 , µ2 , ι2 ) közötti lokális izomor zmus olyan φ : W1 → W2 (inverzével együtt) dierenciálható leképezés ~0 ∈ W1 ⊆ U1 és ~0 ∈ W2 ⊆ U2 euklideszi részhalmazok között, amelyre
~ ~ ~ ~,β µ2 φ α , φ β = φ µ1 α Lokális szerkezet ugyanaz, különbség a globális topológiai tulajdonságokban: kompaktság:
U paraméter-tartomány zárt és korlátos (minden nyílt
lefedéséb®l kiválasztható véges lefedés); összefügg®ség:
U bármely két pontja összeköthet® U-n belül haladó
folytonos görbével; egyszeres összefügg®ség:
minden U belsejében futó zárt görbe foly-
tonosan összehúzható egy pontra (csak összefügg® G-re).
1. FOLYTONOS CSOPORTOK
0-4
Példák:
1. valós számok (R, +) additív csoportja egyparaméteres (minden számot önmaga paraméterez, U = R)
µ(α, β) = α+β és ι(α) = −α egyszeresen összefügg® és nem-kompakt; 2. komplex fázisok U(1) = {z ∈ C | |z| = 1} multiplikatív csoportja egyparaméteres (g : α 7→ exp(ıα) exponenciális paraméterezés)
µ(α, β) = α+β és ι(α) = −α (lokálisan izomorf (R, +)-szal) kompakt és nem egyszeresen összefügg®; 3. 3d forgáscsoport háromparaméteres (pl. Euler-szögek) origótól mért távolság invariáns ⇒ forgatás leírható 3x3-as ortogonális mátrix segítségével (azonosítható SO(3) mátrixcsoporttal) kompakt és összefügg®, de nem egyszeresen összefügg®;
1. FOLYTONOS CSOPORTOK
0-5
4. SU(2) = U ∈ Mat2 (C) | det U = 1, U U = 1 izospin-csoport
†
dim SU(2) = 3 (képzetes kvaterniók és/vagy Pauli-mátrixok) egyszeresen összefügg® és kompakt; 5. E(3) euklidészi csoport = R3 izometriáinak csoportja hatparaméteres: 3 transzláció + 3 forgatás összefügg® és nem-kompakt; 6. O(n) = {A ∈ GL(n) | AAt = 1} ortogonális csoport
dim O(n) = n(n−1) 2 nem összefügg® (tükrözések), de kompakt; 7. P Poincaré-csoport = Minkowski-térid® szimmetriacsoportja 10 paraméteres: 3 térbeli + 1 id®beli eltolás + 6 négydimenziós forgatás (3 térbeli forgatás és 3 Lorentz-boost) transzláció részcsoport és Lorent-csoport féldirekt szorzata nem összefügg® és nem kompakt.
1. FOLYTONOS CSOPORTOK
0-6
G0 részcsoport: egységelemb®l kiinduló, G-beli folytonos görbék végpontjai (egységelem komponense). Összefügg® csoportra G = G0 .
G/G0 mellékosztályok ! G összefügg® komponensei ˆ univerzális fed®csoport, amely egyszeMinden összefügg® G-re létezik G resen összefügg®, lokálisan izomorf G-vel, és
ˆ G∼ = G/Z ˆ véges centrális részcsoportja. ahol Z a G Például U(1) univerzális fed®csoportja (R, +), míg SO(3)-é SU(2).
2. LIE-ALGEBRA
0-7
2. Lie-algebra Egyparaméteres (lokális) részcsoport: 0 egy kicsiny környezetében die renciálható ς : R → U leképezés, amelyre µ ς(t1 ) , ς(t2 ) = ς(t1 +t2 ). Ciklikus részcsoportokkal analóg szerep Lie-csoportok elméletében. Kanonikus paraméterezés: minden ς : t 7→ (α1 t, . . . , αn t) lineáris leképezés lokális egyparaméteres részcsoport (α1 , . . . , αn ) ∈ U esetén. Minden Lie-csoportnak létezik kanonikus paraméterezése. ~ = −~ Kanonikus paraméterezés esetén ι α α és
~ ~,β µ α
i
= αi + βi +
n X
cjk i αj βk + magasabb rend¶ tagok
j,k=1
cjk i valós együtthatók a Lie-csoport struktúraállandói.
2. LIE-ALGEBRA
0-8
Lie tételei ⇒ struktúraállandók meghatározzák magasabb rend¶ tagokat! Lokálisan izomorf csoportok struktúraállandói megegyeznek (megfelel®en választott paraméterezések esetén). Tulajdonságok: kj cjk + c i i =0
X
kl cjm i cm
antiszimmetria
lj lm jk + ckm i cm + ci cm = 0
Jacobi-azonosság
m
Lie tételei ⇒ antiszimmetriát és Jacobi-azonosságot kielégít® tetsz®leges valós cjk i együtthatók egy Lie-csoport struktúraállandói (megfelel® kanonikus paraméterezésben). Különböz® (kanonikus) paraméterezésekben számított struktúraállandók között lineáris összefüggés ⇒ csoportszerkezet linearizálása.
2. LIE-ALGEBRA
0-9
Lie-algebra: L lineáris tér egy [a, b]-vel jelölt kétváltozós m¶velettel (kommutátor), amely mindkét változójában lineáris, azaz [λa+µb, c] =
λ[a, c] + µ[b, c] és [a, λb+µc] = λ[a, b] + µ[a, c] minden a, b, c ∈ L és λ, µ skalárok esetén, antiszimmetrikus [a, b] + [b, a] = 0 és teljesül a
[a, [b, c]] + [b, [c, a]] + [c, [a, b]] = 0
Jacobi-azonosság
Kommutátor lineáris ⇒ elegend® ismerni báziselemek kommutátorait. Liemor zmus: kommutátor®rz® φ : L1 → L2 lineáris leképezés
φ [a, b] = [φ(a), φ(b)]
2. LIE-ALGEBRA
0-10
Példák:
1. R3 a vektoriális szorzattal
~a ×(~b×~c) = (~a · ~c)~b − (~a · ~b)~c 2. n×n-es mátrixok [A, B] = AB − BA kommutátorral; 3. A: V → V lineáris operátorok gl(V ) összessége a szokásos [A, B] =
AB − BA kommutátorral (általános lineáris Liealgebra); 4. sl(V ) = {A ∈ gl(V ) | Tr(A) = 0}; 5. meg gyelhet® mennyiségek a Poisson-zárójellel (klasszikus mechanika kanonikus formalizmusa); 6. impulzusmomentum komponensei (kvantummechanika).
2. LIE-ALGEBRA
0-11
Csoport Lie-algebrája: (valós) n = dim G dimenziós Lie-algebra, amelyben megfelel®en választott B = {b1 , . . . , bn } bázis esetén
[bi , bj ] =
X
cij k bk
k
ahol cij k -k a csoport struktúraállandói (csoportszerkezet linearizálása); Lieizomor a erejéig egyértelm¶. Alternatív de níciók: egységelem érint®tere, invariáns vektormez®k, stb. egyparaméteres alcsoportok ! Liealgebra egydimenziós alterei Lokálisan izomorf csoportok Liealgebrái izomorfak: például (R, +) és
U(1) (egydimenziós Lie-algebra), vagy SU(2) és SO(3).
2. LIE-ALGEBRA
0-12
~ ∈ U ⊆ Rn esetén g(~ Transzformációcsoport: α α) : Rm → Rm dierenciálható leképezés (általában: dierenciálható sokaság dieomor zmusa).
T1 , . . . , Tn in nitezimális generátorok Ti =
m X ∂g(~ α)j j=1
∂αi
~ =~ α 0
∂ ∂xj
Els®rend¶ parciális dierenciál-operátorok. In nitezimális generátorok kommutátora szintén els®rend¶!
[Ti , Tj ] = Ti ◦Tj − Tj ◦Ti =
X
cij k Tk
k
cij k együtthatók a transzformációcsoport struktúraállandói.
2. LIE-ALGEBRA
0-13
Példák
~ ∈ R3 vektorral való eltolás 1. 3d transzlációcsoport: legyen g(~ α) az α g(~ α ) : R3 → R3 ~ 7→ x ~ +α ~ x Ekkor
X ∂(xj +αj ) ∂ ∂ Ti = = ∂α ∂x ∂xi i j j
azaz az in nitezimális generátorok a koordináták szerinti parciális deriváltak. Mivel ezek sorrendje lényegtelen (Youngtétel), ezért a struktúraállandók mind zérusok:
[Ti , Tj ] = 0
2. LIE-ALGEBRA
0-14
2. 2d forgáscsoport: α ∈ R-re
x cosα x−sinα y g(α) : 7→ y sinα x+cosα y ∂ ∂ ∂(cosα x−sinα y) ∂ ∂(sinα x+cosα y) ∂ + = −y +x T= ∂α ∂x ∂α ∂y ∂x ∂y 3. 1d konform csoport: a, b ∈ R-re g(a, b): x → ax+b Megjegyzés: g(1, 0) a csoport egységeleme!
∂(ax+b) ∂ Ta = =x ∂a ∂x a=1,b=0 ∂(ax+b) ∂ Tb = = ∂b ∂x a=1,b=0
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ [Ta , Tb ] = x − x =− = −Tb ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x
3. ÁBRÁZOLÁSOK
0-15
3. Ábrázolások gl(V ) általános lineáris Liealgebra: GL(V ) általános lineáris csoport Lie-algebrája. Lie-algebra ábrázolása: L-b®l gl(V )-be képz® Liemor zmus, azaz olyan
φ: L → gl(V ) lineáris leképezés, amelyre [φ(a) , φ(b)] = φ(a) φ(b) − φ(b) φ(a) Lie-algebra ábrázolásai ! univerzális fed®csoport ábrázolásai Általában projektív ábrázolásai a csoportnak(azok valódiak közülük, ameˆ centrális részcsoportot). lyek magja tartalmazza a Z < G Ábrázolások vizsgálata lineáris algebrai eszközökkel.
4. HAAR-MÉRTÉK
0-16
4. Haar-mérték Csoportelemekre vett összegzés Haar-integrál. ´ Integrálás: f 7→ G f lineáris funkcionál komplex érték¶ függvények terén. Kompatibilitás csoportszerkezettel: transzláció-invariancia
ˆ
ˆ g
f= G
ˆ fg
f=
G
G
minden g ∈ G-re, ahol gf (h) = f (gh) és f g (h) = f (hg) az f : G → C komplex érték¶ függvény bal-, illetve jobb-eltoltja. Paraméter-tartományra vett Lebesgue-Stieltjesintegrál. Haar-mérték: karakterisztikus függvények integráljából. Kompakt csoportra mindig létezik normalizált Haar-mérték.
5. A FORGÁSCSOPORT
0-17
5. A forgáscsoport Rögzített ponton (origó) átmen® tengelyek körüli forgatások csoportja. Descartes-koordináták lineárisan transzformálódnak, együttható-mátrix ortogonális és egységnyi determinánsú ⇒ forgáscsoport azonosítható SO(3) csoporttal (n dimenzióban SO(n)). Tetsz®leges forgatás el®állítható három, egymásra mer®leges tengely körüli forgatás szorzataként:
O(~ α) = Ox (αx ) Oy (αy ) Oz (αz ) ahol
x cosα x−sinα y Oz (α) : y 7→ sinα x+cosα y z z
5. A FORGÁSCSOPORT
0-18
⇒ in nitezimális generátor Lz = x
∂ ∂ −y ∂y ∂x
Hasonló megfontolásból
∂ ∂ −z ∂z ∂y ∂ ∂ Ly = z −x ∂x ∂z
Lx = y
Generátorok antihermitikus operátorok L R 2
3
Hilbert-téren
ˆ hf, Li gi =
f (x, y, z)Li g(x, y, z) dxdydz = − hLi f, gi
Lie-algebra: Lx , Ly , Lz generátorok lineáris kombinációi.
5. A FORGÁSCSOPORT
0-19
Kommutátorok
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ z −x − z −x y −z [Lx , Ly ] = y −z ∂z ∂y ∂x ∂z ∂x ∂z ∂z ∂y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ z −x −z z −x −z y −z =y ∂z ∂x ∂z ∂y ∂x ∂z ∂x ∂z ∂y 2 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂2 ∂2 ∂2 2 ∂ +x y −z = y +yz − yx 2 − z +zx ∂z ∂z ∂y ∂x ∂z∂x ∂z ∂y∂x ∂y∂x 2 2 2 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂2 2 +z +xy 2 − x − xz =y −x = −Lz −zy ∂x∂z ∂x∂y ∂z ∂y ∂z∂y ∂x ∂y és hasonló módon
[Lx , Lz ] =Ly [Ly , Lz ] = − Lx
5. A FORGÁSCSOPORT
0-20
~ egységvektorral jellemzett tengely körüli forgatások geneTetsz®leges n rátora
Ln ~ = nx Lx + ny Ly + nz Lz Kommutátorok
[Ln ~ , Lm ~ ] = Ln ~ ×m ~ ⇒ forgáscsoport Liealgebrája izomorf 3d vektorok Liealgebrájával (vektoriális szorzattal mint kommutátorral). Önadjungált Ji = −ıLi generátorok (komplexi kált algebrában) kommutátorai (ijk a Levi-Civitatenzor)
[Ji , Jj ] = ıijk Jk Impulzusmomentum komponenseinek csererelációi (Noethertétel).
5. A FORGÁSCSOPORT
0-21
Casimiroperátor
J 2 = Jx2 + Jy2 + Jz2 (impulzusmomentum négyzete) nem eleme a Lie-algebrának, csak annak fed®algebrájának (burkolóalgebrájának), és kommutál minden generá 2 torral, Ji ,J = 0 ⇒ irreducibilis ábrázolásban J 2 skalárral való szorzás
J 2 = j(j + 1) valamely egész vagy fél-egész j értékre (impulzusmomentum-kvantumszám). Egységelemhez közeli U ∈ SU(2) mátrix alakja
U = 1 + ıεA valamely A mátrixra (ε in nitezimális valós paraméter).
1 = det U = 1+ıεTr(A) miatt Tr(A) = 0.
5. A FORGÁSCSOPORT
0-22
Unitaritás miatt 1 = U U † = (1+ıεA)(1−ıεA† ) = 1+ıε(A−A† ), így A† = A, azaz A önadjungált (hermitikus) mátrix. 2x2-es spúrtalan, önadjungált mátrixok terének bázisa: Paulimátrixok.
σ1 = σ2 = σ3 =
hσ
0
! 1
1
0
0
ı
!
−ı 0 !
1
0
0
−1
σj i σi σj σj σi σk = , − = ıijk 2 2 2 2 2 2 2 i
5. A FORGÁSCSOPORT
0-23
Lie-algebrák izomorfak ⇒ SU(2) és SO(3) lokálisan izomorfak.
SU(2) egyszeresen összefügg®, centruma Z = {1, −1} ⇒ SU(2) a forgáscsoport univerzális fed®csoportja
SO(3) ∼ = SU(2)/Z Forgáscsoport projektív ábrázolásai ! SU(2) közönséges ábrázolásai. Irreducibilis SU(2) ábrázolásban −1 képe e2πıj .
⇒ tenzor vagy spinor ábrázolások attól függ®en, hogy j értéke egész vagy fél-egész.
