8
Rataan posteriornya adalah
Rataan posteriornya adalah E (m | x) =
E ( mi | D ) =
ò m f ( x | m ,t ) f (t ) f ( m ) dt d m f ( x)
ni
(32)
Dalam observasi biasanya digunakan banyak data klaim. Misalkan saja terdiri dari N grup data klaim dengan masing-masing grup ke i untuk setiap i = 1, 2,..., N yang terdiri dari ni observasi berbeda, yaitu xi1 , xi 2 ,..., xini .
mi
N
dan ragam
t ij
, vij vij didefinisikan sebagai pendapatan premi yang akan masuk ke perusahaan asuransi seperti rasio kerugian atau sejumlah dana yang akan diasuransikan. Premi yang dibayarkan tergantung dari intensitas klaim yang diberikan. Rataan dan ragamnya diasumsikan saling bebas, maka fungsi likelihoodnya dengan rataan
ni
ÕÕ f ( x i =1 j =1
ij
| mi ,t ij )
(33)
Setiap parameter (rataan dan ragam) dari setiap grup data klaim berbeda diasumsikan bebas, maka akan didapatkan rataan posterior yang merupakan penduga premi risiko. Namun, secara umum formula ini tidak digunakan karena dalam prosesnya dibutuhkan integrasi numerik yang rumit.
òm ×Õ f (x i
j =1
ij
(
)
| mi ,t ij ) f mi ,t i1 ,...,t ini d mi dt i1,..., dini
(
f xi1 ,..., xini
)
(34)
dimana D adalah kumpulan untuk semua data (diuraikan pada Lampiran 7). 2. Teori Kredibilitas Menurut Buhlmann et all. (1982) sebagaimana dikutip Rene, penduga kredibilitas tidak bisa digunakan untuk klaim yang besar. Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya bahwa penduga kredibilitasnya akan sama dengan rataan posteriornya bersifat keluarga eksponensial sederhana yang merupakan statistik cukup untuk q dan fungsi priornya merupakan natural conjugate prior. Gisler (1992) sebagaimana dikutip Rene memperkenalkan suatu model yang mengkombinasikan prosedur kredibilitas dengan suatu data trimming. Hal ini menarik karena penggunaan sebaran Laplace likelihood dan sebaran prior yang merupakan sebaran normal, maka rataan posterior yang didapat merupakan penduga robust yang akan membentuk suatu data trimming. Kunsch (1992) sebagaimana dikutip Rene mengganti penduga kredibiltas dengan penduga robust. Gisler dan Reinhard (1993) juga memperkenalkan suatu metode khusus mencari penduga robust untuk mendapatkan penduga premi risikonya, yang akan diuraikan lebih lanjut pada studi kasus dibawah ini.
STUDI KASUS Dalam studi kasus dibawah ini Gisler dan Reinhard (1993) memperkenalkan teori kredibilitas dan kredibilitas robust yang digunakan untuk menganalisis data-data klaim agar mendapatkan nilai premi. Nilai premi tersebut kemudian dibandingkan dengan penduga nilai premi yang dihitung menggunakan model Bayesian. Dinotasikan : · xij adalah intensitas klaim dari kategori risiko ke i dalam tahun ke j untuk setiap
( i = 1,..., N ; j = 1,..., n )
dinyatakan dalam ‰ dari jumlah yang akan diasuransikan. · vij adalah jumlah yang akan diasuransikan dan dinyatakan dalam milyaran CHF (Confoederatio Helvetica Franc). · n adalah jumlah tahun dan N adalah jumlah kategori risiko. Premi individual setiap kategori risiko ke i adalah n v ij xi = å xij , j = 1 vi
9
dengan vi = å vij .
dengan excess-part bebas terhadap kategori risiko individual. Ordinary-part m0 (qi )
Berdasarkan Buhlmann dan Straub (1970), premi kredibilitas dari setiap kategori risiko ke i adalah mˆ i = m + a i ( xi - m ) ,
dugaan berdasarkan dari statistik robust ti , dan m xs dugaan berdasarkan observasi klaimklaim xs . Diketahui n v ij ti = å min ( xij , cij ) j =1 vi
n
j =1
dimana m
adalah rataan portofolio dan a i adalah faktor kredibilitas dari kategori risiko ke i v ×b ai = i vi × b + w dengan b dan w adalah ragam. Buhlmann dan Straub juga memperkenalkan suatu langkah untuk menduga nilai m , b, dan w dari suatu sampel N N a mˆ = å i xi dengan a = å a i i= 1 a i=1 2 1 1 N n wˆ = vij ( xij - xi ) , åå N n - 1 i= 1 j= 1 wˆ ü 2 ì v bˆ = c -1 í å i ( xi - x ) - ( N - 1) ý v vþ î i= 1 dengan N
v= x= v
1 N n åå vij × xsij v i =1 j =1
tij = min ( xij , cij × tij )
i
ai =
N
åv x i= 1
dimana
xsij = xij - tij
åv -1
ti adalah observasi besar yang disederhanakan dari setiap kategori risiko. Berdasarkan Gisler dan Reinhard, penduga kredibilitas robust adalah mˆ i = mˆt + a i ( ti - mˆ t ) + mˆ xs
mˆ xs =
N
i= 1
1
æ v ö2 dengan = cij 1 + ç ÷ çv ÷ è ij ø 1 N n = v vij åå n ×= N = i 1 j 1
i i
vi × b vi × b + wt N ai ti , a = å a i i =1 a i =1 N
v æ v ö c = å i ç1 - i ÷ vø i= 1 v è Diberikan catatan bahwa nilai rataan portofolio berbeda dengan nilai rataan premi. Gisler dan Reinhard (1993) mengasumsikan bahwa rataan individual m (q i )= E éë xij | q i ùû adalah jumlah dari N
mˆ t = å
Model yang telah diuraikan diatas digunakan untuk menghitung premi pada data klaim dibawah ini.
ordinary-part dan excess-part m (qi ) = m0 (qi ) + m xs Berikut ini diberikan data-data klaim dari Swiss Association of Property Insurers. Tabel 1 Data-data klaim dari Swiss Association of Property Insurers Kategori risiko No
Tahun Kategori
1
Industri Batu Mulia
1 2 3 4 5
Jumlah yang diasuransikan ( dalam CHF 1`000 ) 8,952,537 9,408,941 9,116,202 9,233,632 9,341,821
Intensitas Klaim ( dalam ‰ ) 1.170 0.923 0.790 0.494 1.405
10
Lanjutan Kategori risiko No
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
Jumlah yang diasuransikan ( dalam CHF 1`000 ) 54,637,719 56,197,669 56,014,549 54,660,986 57,393,239 6,039,217 6,217,858 5,770,074 4,961,525 5,209,193 15,031,003 15,862,988 16,637,453 16,474,230 15,962,600 7,690,266 7,817,476 8,489,434 8,298,066 7,810,418 13,518,262 14,101,545 13,027,446 12,654,978 12,395,113 18,033,514 19,599,797 23,505,751 16,665,459 11,548,235 21,969,611 23,257,289 21,524,998 21,390,824 23,346,584
1
44,119,033
0.544
2 3 4 5 1 2 3
45,321,074 43,405,903 43,309,859 41,759,826 189,991,162 197,784,637 197,491,810
0.411 0.583 0.790 0.601 0.990 0.857 0.663
Tahun Kategori
2
Industri Logam
3
Industri Kayu
4
Industri Kertas
5
Industri Tekstil
6
Industri Makanan
7
Industri Kimia
8
Energi
9
Pertokoan dan Perhotelan
Total
Intensitas Klaim ( dalam ‰ ) 1.229 0.592 0.640 2.863 0.446 2.844 2.337 2.907 2.396 0.972 1.468 1.570 0.322 0.556 6.329 0.464 1.601 2.175 0.802 0.181 1.122 0.985 0.763 0.395 0.564 0.801 1.702 0.174 0.250 0.308 0.466 0.413 0.369 0.194 0.251
11
Lanjutan Jumlah yang diasuransikan ( dalam CHF 1`000 ) 187,649,559 184,767,029
Kategori risiko No
Tahun
Kategori
4 5 Data-data tersebut terdiri dari berbagai macam intensitas klaim dari sembilan kategori risiko pemegang polis berbeda ( N = 9) selama periode lima tahun berturut-turut ( n = 5) . Intensitas klaim yang dimaksud disini adalah jumlah nilai klaimnya dibagi dengan sejumlah yang akan diasuransikan. Intensitas klaim berperan penting dalam penghitungan premi risiko. Karya tulis ini menggunakan software Microsoft Excel dalam penghitungannya untuk mendapatkan nilai-nilai yang diinginkan berdasarkan metode yang telah diperkenalkan oleh Buhlmann dan Straub serta Gisler dan Reinhard. Diduga nilai rataan portofolio serta nilai ragam adalah mˆ = 0.977 × 10-3
Intensitas Klaim ( dalam ‰ ) 1.260 1.016
t = {0.956, 0.808, 2.290, 1.395, 1.063, 0.776, 0.632, 0.339, 0.584} ×10-3 Diduga nilai klaim tambahan adalah mˆ xs = 0.208 ×10-3 . Berdasarkan Gisler dan Reinhard (1993), nilai ragam yaitu bt dan wt didapatkan berdasarkan modifikasi dari model Buhlmann dan Straub, yaitu wt = 10.885 ×10-6
bt = 0.061× 10-6 Rataan portofolio dari klaim ordinary adalah mˆ t = 0.838 × 10-3 Rasio ragam yang didapat dari model Buhlmann dan Straub adalah w 19.450 = = 187.969 b 0.103 sedangkan rasio ragam yang didapat dari model Gisler dan Reinhard adalah wt 10.885 = = 178.443 0.061 bt Ternyata n = 9 lebih kecil dibandingkan dengan rasio ragamnya, maka penduga Bayeslah yang akan digunakan sebagai penduga untuk membandingkan nilai premi yang sudah didapat.
wˆ = 19.450 ×10-6 bˆ = 0.103 ×10-3 Nilai rataan preminya adalah x = 0.949 ×10-3 . Nilai ti yang didapat
t = t1 , t2 ,..., t n
Rataan posterior berdasarkan Rene Schnieper yang didefinisikan sebagai dugaan premi risiko. Tabel 2 Rataan posterior berdasarkan Rene Schnieper Kategori Risiko untuk Industri
Rataan Posterior [‰]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1.03
0.80
1.61
1.30
1.13
0.91
0.77
0.63
0.69
12
Sehingga didapatkan premi risiko dari setiap kategori risiko. Tabel 3 Premi risiko murni dari beberapa kategori risiko
1 Rataan Portofolio 0.977 [‰] Premi Individual 0.956 [‰] Premi Kredibilitas 0.973 [‰] Premi Kredibilitas 1.070 Robust [‰] Rataan Posterior 1.03 [‰] Keterangan 1 = Industri Batu Mulia 2 = Industri Logam 3 = Industri Kayu 4 = Industri Kertas
Kategori Risiko untuk Industri 4 5 6 7
2
3
8
9
0.977
0.977
0.977
0.977
0.977
0.977
0.977
0.977
1.141
2.320
2.032
1.063
0.776
0.667
0.339
0.584
1.075
1.152
1.292
0.992
0.925
0.877
0.739
0.766
1.027
1.244
1.218
1.087
1.029
0.977
0.854
0.906
0.80
1.61
1.30
1.13
0.91
0.77
0.63
0.69
5 = Industri Tekstil 6 = Industri Makanan 7 = Industri Kimia 8 = Energi
Keterangan untuk tabel di atas : · Industri Batu Mulia Nilai premi kredibilitas diperoleh sebesar (0.973), premi kredibilitas robust (1.070), rataan posterior (1.03), dan premi individual (0.956). Semua nilai yang diperoleh mendekati nilai penduga, yaitu rataan posteriornya (1.03). Hal ini berarti nilai penduga premi sama dengan premi risiko. · Industri Logam Nilai premi kredibilitas diperoleh (1.075) yang ternyata nilainya lebih besar daripada premi kredibilitas robust (1.027), dan jauh lebih besar dibandingkan dengan rataan posterior (0.80). Hal ini diakibatkan adanya pencilan yang besar dari nilai intensitas klaim, yaitu (2.863). Karena besar perbandingannya, maka premi yang digunakan adalah premi kredibilitas robust (1.027) yang mendekati nilai penduga. · Industri Kayu Nilai premi kredibilitas diperoleh (1.152), premi kredibilitas robust (1.244), kedua nilai tersebut dibawah nilai penduganya, yaitu rataan posterior (1.61) dan rataan individual (2.320). Premi yang didapat dengan metode kredibilitas lebih sesuai dibandingkan dengan metode kredibilitas robust. · Industri Kertas Nilai premi kredibilitas diperoleh(1.292) dan ternyata nilainya sedikit lebih besar dibandingkan dengan premi kredibilitas robust (1.218). Hal ini diakibatkan adanya pencilan yang besar pada intensitas klaim
9 = Pertokoan dan Perhotelan
yaitu (6.329). Namun pencilan tersebut dapat dihilangkan pengaruhnya dengan metode kredibilitas robust. Premi yang didapat dengan menggunakan metode kredibilitas robust lebih sesuai jika dibandingkan dengan metode kredibilitas. · Industri Tekstil Nilai premi kredibilitas diperoleh (0.992) dan ternyata nilainya mendekati nilai premi kredibilitas robust (1.087). Namun kedua nilai tersebut lebih rendah daripada nilai penduga yaitu rataan posterior (1.13), sebab penduganya dipengaruhi adanya klaim yang rendah dalam lima tahun terakhir. · Industri Makanan Nilai premi kredibilitas diperoleh (0.925), premi kredibilitas robust (1.029), rataan posterior (0.91). Ternyata nilai premi kredibilitas mendekati nilai penduga, yaitu rataan posterior sebesar (0.91). Hal ini berarti nilai penduga premi sama dengan premi risiko. · Industri Kimia Diperoleh nilai premi kredibilitas (0.877), premi kredibilitas robust (0.977), kedua nilai tersebut lebih besar dibandingkan nilai penduga yaitu rataan posterior (0.77). Premi yang didapat dengan menggunakan metode kredibilitas lebih sesuai dibandingkan dengan metode kredibiltas robust.
13
· Energi Nilai premi kredibilitas diperoleh (0.739), premi kredibilitas robust (0.854), kedua nilai tersebut lebih besar dibandingkan nilai penduganya, yaitu rataan posterior (0.63). Sebagai tambahan, terdapat suatu harga tinggi yang timbul karena adanya penduga kredibilitas robust sehingga terdapat biaya tambahan untuk risiko xs yang terdapat pada semua kategori risiko. Premi yang didapat dengan menggunakan metode kredibilitas lebih sesuai dibandingkan dengan metode kredilibilitas robust. · Pertokoan dan Perhotelan Diperoleh nilai premi kredibilitas (0.766), premi kredibilitas robust (0.906), kedua nilai tersebut lebih besar dibandingkan nilai penduga yaitu rataan posterior (0.69). Sebagai tambahan, terdapat suatu harga tinggi yang timbul karena adanya penduga kredibilitas robust sehingga terdapat biaya tambahan untuk risiko xs yang terdapat pada semua kategori risiko. Premi yang
didapat dengan menggunakan metode kredibilitas lebih sesuai dibandingkan dengan metode kredilibilitas robust Rataan posterior disini memberikan nilai premi risiko murni yang berbeda dibandingkan dengan premi risiko yang dihasilkan dengan menggunakan teori kredibilitas, walaupun nilainya hampir mendekati. Namun dalam aplikasi biasanya premi risiko yang dihitung dengan menggunakan metode kredibilitas (premi kredibilitas) lebih sesuai dibandingkan dengan analisis Bayesian (rataan posterior). Namun dalam kasus ini, rataan posterior dipengaruhi oleh intensitas klaimnya, baik yang rendah maupun yang tinggi. Penduga kredibilitas robust dapat memberikan solusi yang baik untuk intesitas klaim yang besar, dengan kata lain tidak terpengaruh secara signifikan karena adanya pencilan dalam premi risikonya.
SIMPULAN Karya ilmiah ini menjelaskan cara penghitungan premi risiko murni dengan menggunakan metode Bayesian robust dan metode kredibilitas robust. Dari kedua metode tersebut didapatkan rataan posterior sebagai penduga untuk menduga premi risiko. Kemudian penduga premi yang diperoleh dengan menggunakan metode kredibilitas dan metode kredibilitas robust dibandingan dengan rataan posterior yang diperoleh dengan menggunakan analisis Bayesian
robust. Dari perbandingan tersebut didapatkan premi yang sesuai dengan klaim yang ada. Dalam aplikasi biasanya digunakan premi yang diperoleh dengan menggunakan metode kredibilitas. Namun jika terdapat pencilan dalam data klaimnya digunakan metode kredibilitas robust agar pencilan tersebut tidak berpengaruh pada hasil yang didapat. Rataan posterior yang merupakan penduga robust tidak terpengaruh secara signifikan karena adanya pencilan-pencilan dalam data klaim.
