* Modelování (zjednodušení a popis) tvaru konstrukce. pruty

2. VNITŘNÍ SÍLY PRUTU 2.1 Úvod * Jak konstrukce přenáší zatížení do vazeb/podpor? Jak jsou prvky konstrukce namáhány? * Modelování (zjednodušení a popis) tvaru konstrukce.

pruty

© 2005-2011 Petr Kabele

1

Prut: konstrukční prvek, jehož jeden rozměr (délka) převládá nad ostatními.

h

l

l >> h l >> b

b

Průřez: příčný řez prutu Střednice: čára tvořená těžišti průřezů prutu ∴ Pruty budeme modelovat jejich střednicí. © 2005-2011 Petr Kabele

2

Prostorový prut - střednice je prostorová křivka nebo lomená čára

Rovinný prut - střednice je rovinná křivka nebo lomená čára Prizmatický prut - přímý prut konstantního průřezu osa Obecný prut - zakřivený, proměnného průřezu


3

Nosník = podepřený prut Př: Prostý nosník

Prostý nosník s převislými konci

Konzolový nosník, konzola, krakorec


4

Nosníky • přímé

• obloukové

• lomené

• prutové soustavy


5

2.2 Vnitřní síly prutu

L P rozdělíme fiktivním řezem na 2 části L a P

Prut v rovnováze (reakce a zatížení ... rovnovážná soustava sil)

Aby každá část byla v rovnováze, musí v řezu působit síly a momenty: FP, MP ... účinek části P na L, uvádí část L do rovnováhy FL, ML ... účinek části L na P, uvádí část P do rovnováhy ML FP FL

L MP


P

Akce a reakce: FP = - FL MP = - ML 6

FP Vy My y

N Vz MP

Mz z

Vntiřní síly prutu


Ve zkoumaném řezu zavedeme lokální souřadný systém x-y-z; osa x tečna ke střednici, y, z normály

x T=Mx Vektory FP a MP rozložíme do složek: FPx = N ... normálová síla [N] FPy = Vy ... posouvající síla [N] FPz = Vz ... posouvající síla [N] MPx = T = Mx ... kroutící moment [Nm] MPy = My ... ohybový moment [Nm] MPz = Mz ... ohybový moment [Nm] 7

Kladná orientace vnitřních sil

Záporně orientovaný průřez (vidíme ze směru záporné poloosy x) FL = - FP ML = - MP

FP

Mz ML

Vy My y

N Vz MP

x T

Kladně orientovaný průřez (vidíme ze směru kladné poloosy x) → kladné vnitřní síly orientované shodně se souřadnicovými osami

Vz

My

N Vy

Mz z


T

FL y x z → kladné vnitřní síly orientované opačně než souřadnicové osy 8

Rovinný prut zatížený v rovině xg Pokud: 1) střednice - rovinná křivka 2) vnější síly (zatížení a reakce) - rovnovážná soustava v rovině střednice

zg

∴ zjednodušení vnitřních sil:

Μ y © 2005-2011 Petr Kabele

V z

N

Vy = 0 ⇐ z podmínek rovnováhy T = Mz = 0 oddělené části

x

Vnitřní síly: N ... normálová síla [N] Vz = V ... posouvající síla [N] My = M ... ohybový moment [Nm] 9

Kladná orientace vnitřních sil xg V

M x

zg

N V z

Kladně orientovaný průřez (vidíme ze směru kladné poloosy x)


x

N M z

Záporně orientovaný průřez (vidíme ze směru záporné poloosy x)

10

Příklad 1: Určete vnitřní síly v průřezu A rovinného nosníku.


11


12

Příklad 2: Určete vnitřní síly v průřezu A prostorového nosníku.


13


14


15

2.3 Sřednicový model rovinného prutu Pruty budeme modelovat jejich střednicí.


16

Zatížení prutu/nosníku Pruty modelujeme jejich střednicí ∴

veškeré síly působící na konstrukci (zatížení i reakce) redukujeme ke střednici F

Příklady:

h/2 h/2 Av

Ah


Ah

Fz h F x Fx 2

h 2 Av

B

Ah

osamělé síly/reakce redukujeme k těžišti průřezu, ve kterém působí

B 17

fz x z fx

fx x

d z

m = fx⋅ d spojité momentové zatížení [Nm/m]


18

fz = f sinα

f

fx = f cosα

α x

d z

fx = f cosα fz = f sinα m = f cosα⋅ d


19

F Fx

Fz d1

d1 zatížení působící v této oblasti redukujeme ke styčníku

d2

d2

Fz Fx

M2 = Fz⋅d2 M1 = Fx⋅d1


20

f

zatížení působící v této oblasti redukujeme ke styčníku

d2

F = f⋅d2

d2

F = f⋅d2 Ms =F∙


ௗమ ଶ

21

Orientace lokálního souřadnicového systému (rovinná kce.) • osa x ... vždy tečná ke střednici prutu • osa z ... preferujeme ve směru zemské tíže (shora dolu) nebo zleva doprava x • x-z pravotočivá soustava souřadnic z x x x x z z x x x z z z

x z z

z

někdy též z x © 2005-2011 Petr Kabele

* "spodní" vlákna (stranu) prutů označujeme čárkovanou čarou 22

2.4 Výpočet vnitřních sil v daném průřezu prutu (rovinná složená sousava) Určete vnitřní síly v průřezu A. f1 F

1) Prut vyjmeme ze soustavy a určíme všechny vnější síly na něj působící (zatížení a reakce)

A F

f2

A

FR1

Ah Av Bh Bv


23

2) Prut rozdělíme řezem A na části L a P a do řezu zavedeme neznámé vnitřní síly. F

V

FR1 A

F

M

M

N N

Ah

Ah

Av

L Av

P

V Bh

Bh Bv

FR1

Bv

3) Pro výpočet vnitřních sil můžeme uvážit rovnováhu nebo ekvivalenci vnějších a vnitřních sil.


24

3a) Rovnováha: Vnitřní síly interpretujeme jako síly uvádějící do rovnováhy oddělenou část prutu. Vnitřní síly v řezu určíme z podmínek rovnováhy všech sil působících na oddělenou část prutu L nebo P: F

V

FR1 A

F

M

M

N N

Ah

Ah

Av

L Av

Bv

Bh

FR1 P

V

L: Ah, Av, F, N, V, M ... musí být v rovnováze

Bv

Bh

P: Bh, Bv, FR1, N, V, M ... musí být v rovnováze * Ať použijeme část L nebo P, vnitř. síly N, V, M musí vyjít stejně (akce a reakce) ⇒ kontrola výsledku ! © 2005-2011 Petr Kabele

25

3b) Ekvivalence: Vnitřní síly interpretujeme jako síly vyjadřující účinek jedné oddělené části prutu na druhou. Vnitřní síly v řezu určíme z podmínek ekvivalence všech sil působících na opačné straně průřezu: V F Ah

M

F M

N AhL L Av Av

P

L

N

FR1 P

V Bh

Ah, Av, F jsou ekvivalentní N, V, M působícím na P

Bv

Bh, Bv, FR1 jsou ekvivalentní N, V, M působícím na L

* Ať použijeme část L nebo P, vnitř. síly N, V, M musí vyjít stejně (akce a reakce) ⇒ kontrola výsledku ! © 2005-2011 Petr Kabele

26

Příklad: Vypočítejte vnitřní síly v řezech A, B, C dané konstrukce. F2 = 2 kN

f = 1,5 kN/m B

A

3

C

3

F1 = 8 kN 2

2

4

(m)

Reakce: 2 6 8

4 4

6

3 4

8 5 © 2005-2011 Petr Kabele

3

4 (kN)

9 27

Průřez A: Výpočet z rovnováhy oddělené části prutu "zleva" NA MA

3

A 8

↑ N A + 5 = 0 ⇒ N A = −5 kN

3

VA → VA + 4 − 8 + 8 = 0 ⇒ VA = −4 kN

4

8 5


∩ M A + 4 ⋅ 6 − 8 ⋅ 6 + 8 ⋅ 3 = 0 ⇒ M A = 0 kNm

(m, kN)

28

Průřez A: Výpočet z rovnováhy oddělené části prutu "zprava"

VA

2 A

1,5⋅4 4 MA

3

NA 2

2

↓ N A + 6 − 3 + 2 = 0 ⇒ N A = −5 kN ← VA + 4 = 0 ⇒ VA = −4 kN ∩ − M A + 4 ⋅ 3 − 6 ⋅ 2 = 0 ⇒ M A = 0 kNm

(m, kN)


29

Průřez A: Výpočet z ekvivalence vnitřních sil a sil působících na oddělenou část prutu "zleva" VA A

→ VA = −4 + 8 − 8 = −4 kN 3

NA

↑ N A = −5 kN

MA

8

3

∩ M A = −4 ⋅ 6 + 8 ⋅ 6 − 8 ⋅ 3 = 0 kNm 4

8 5


(m, kN)

Pozn.: oproti výpočtu z rovnováhy není třeba hledané vnitř síly převádět na druhou stranu rovnice ... rychlejší výpočet 30

Průřez B: Výpočet z rovnováhy oddělené části prutu "zleva"

VB

↓ VB − 5 + 2 = 0 ⇒ VB = 3 kN 3

8

→ N B + 4 − 8 + 8 = 0 ⇒ N B = −4 kN

3

2 M B B NB

4

8 5


∩ M B + 4 ⋅ 6 − 8 ⋅ 6 + 8 ⋅ 3 + 2 ⋅ 0 = 0 ⇒ M B = 0 kNm

(m, kN)

31

Průřez B: Rovnováha ve styčníku

VA

VB 2 M B B NB A MA

→ N B − VA = 0 ⇒ N B = VA = −4 kN ↓ VB + N A + 2 = 0 ⇒ VB = − N A − 2 = 3 kN ∩ M B − M A = 0 ⇒ M B = M A = 0 kNm

NA (m, kN)


32

Průřez C: 1,5⋅2 C

MC VC

3

8

NC 3

2

4

8 5

2

(m, kN)

→ N C + 4 − 8 + 8 = 0 ⇒ N C = −4 kN ↓ VC − 5 + 2 + 3 = 0 ⇒ VC = 0 kN ∩ M C + 4 ⋅ 6 − 8 ⋅ 6 + 8 ⋅ 3 + 2 ⋅ 2 − 5 ⋅ 2 + 3 ⋅1 = 0 ⇒ M C = 3 kNm


33

Průřez C: (alternativní výpočet): 1,5⋅2

VB NB

C

MC

NC

VC

MB 2

(m, kN)

→ N C − N B = 0 ⇒ N C = N B = −4 kN ↓ VC − VB + 3 = 0 ⇒ VC = VB − 3 = 0 kN ∩ M C − M B − VB ⋅ 2 + 3 ⋅1 = 0 ⇒ M C = 3 kN


34

2.5 Vnitřní síly v průřezu vs. vnitřní síly v bodě střednice V bodech, kde se • mění tvar střednice (a) • stýká více prutů (e) • působí osamělá síla či moment (b, c) • je umístěna vazba (d) mohou mít vnitřní síly nespojitost. V takovýchto bodech je třeba vypočítat vnitřní síly ve všech přilehlých průřezech. a

d

b c


e

35

Viz předchozí příklad: Určete vnitřní síly v bodě a.

V bodě a zleva ≈ průřez A

V bodě a zprava ≈ průřez B

NA 2 a

6

8

4

MA

4 5

(m, kN)

VA

A 8

3

8

8

8 4

5 N A = −5 kN VA = −4 kN M A = 0 kNm


2 M B B NB

8

VB 4

5 N B = −4 kN VB = 3 kN M B = 0 kNm 36

Tento dokument je určen výhradně jako doplněk k přednáškám z předmětu Stavební mechanika 2 pro studenty Stavební fakulty ČVUT v Praze. Dokument je průběžně doplňován, opravován a aktualizován a i přes veškerou snahu autora může obsahovat nepřesnosti a chyby.

Datum poslední revize: 22.2.2011 © 2005-2011 Petr Kabele

37

* Modelování (zjednodušení a popis) tvaru konstrukce. pruty

Recommend Documents