Pruty nam´ahan´e na vzpˇer Martin Fiˇser
Martin Fiˇser
Pruty nam´ ahan´ e na vzpˇ er
Obsah I I
´ Uvod Eulerova teorie nam´ah´an´ı prut˚ u na vzpˇer
I I I I I
I I
Prvn´ı pˇr´ıpad vzpˇeru zde Druh´y pˇr´ıpad vzpˇeru zde Tˇret´ı pˇr´ıpad vzpˇeru zde ˇ Ctvrt´ y pˇr´ıpad vzpˇeru zde Shrnut´ı vzorc˚ u potˇrebn´ych pro v´ypoˇcet Eulerovy teorie zde
Tetmayerova teorie nam´ah´an´ı prut˚ u na vzpˇer zde Dimenzov´an´ı zde Martin Fiˇser
Pruty nam´ ahan´ e na vzpˇ er
´ Uvod
V n´asleduj´ıc´ım textu se budeme zab´yvat problematikou prut˚ u nam´ahan´ych na vzpˇer. Budou zm´ınˇeny dvˇe teorie (Eulerova a Tetmayerova) pro v´ypoˇcet kritick´e s´ıly, popˇr´ıpadˇe kritick´eho napˇet´ı. Tyto teorie plat´ı v r˚ uzn´ych oblastech rozdˇelen´ych dle mezn´eho ˇst´ıhlostn´ıho pomˇeru, definovan´eho d´ale v textu. N´avrat na obsah.
Martin Fiˇser
Pruty nam´ ahan´ e na vzpˇ er
Eulerova teorie-prvn´ı pˇr´ıpad vzpˇeru
Obr´azek: Zat´ıˇzen´y prut
Vztah pro kritickou s´ılu Fkrit v prvn´ım pˇr´ıpadˇe vzpˇeru je Fkrit =
Martin Fiˇser
π 2 EJ . 4l 2
Pruty nam´ ahan´ e na vzpˇ er
(1)
Eulerova teorie-prvn´ı pˇr´ıpad vzpˇeru
Obr´azek: Zat´ıˇzen´y prut
Vztah pro kritickou s´ılu Fkrit v prvn´ım pˇr´ıpadˇe vzpˇeru je Fkrit =
π 2 EJ . 4l 2
(1)
Dimenzov´an´ı provedeme takto. N´avrat na obsah Martin Fiˇser
Pruty nam´ ahan´ e na vzpˇ er
Eulerova teorie-druh´y pˇr´ıpad vzpˇeru
Obr´azek: Zat´ıˇzen´y prut
Vztah pro kritickou s´ılu Fkrit ve druh´em pˇr´ıpadˇe zpˇeru je Fkrit =
Martin Fiˇser
π 2 EJ l2
Pruty nam´ ahan´ e na vzpˇ er
(2)
Eulerova teorie-druh´y pˇr´ıpad vzpˇeru
Obr´azek: Zat´ıˇzen´y prut
Vztah pro kritickou s´ılu Fkrit ve druh´em pˇr´ıpadˇe zpˇeru je Fkrit =
π 2 EJ l2
(2)
Dimenzov´an´ı provedeme takto. N´avrat na obsah Martin Fiˇser
Pruty nam´ ahan´ e na vzpˇ er
Eulerova teorie-tˇret´ı pˇr´ıpad vzpˇeru
Obr´azek: Zat´ıˇzen´y prut
Pro tˇret´ı pˇr´ıpad je kritick´a s´ıla Fkrit =
Martin Fiˇser
2π 2 EJ . l2
Pruty nam´ ahan´ e na vzpˇ er
(3)
Eulerova teorie-tˇret´ı pˇr´ıpad vzpˇeru
Obr´azek: Zat´ıˇzen´y prut
Pro tˇret´ı pˇr´ıpad je kritick´a s´ıla Fkrit =
2π 2 EJ . l2
(3)
Dimenzov´an´ı provedeme takto. N´avrat na obsah Martin Fiˇser
Pruty nam´ ahan´ e na vzpˇ er
Eulerova teorie-ˇctvrt´y pˇr´ıpad vzpˇeru
Obr´azek: Zat´ıˇzen´y prut
Pro ˇctvrt´y pˇr´ıpad je kritick´a s´ıla Fkrit =
Martin Fiˇser
4π 2 EJ . l2
Pruty nam´ ahan´ e na vzpˇ er
(4)
Eulerova teorie-ˇctvrt´y pˇr´ıpad vzpˇeru
Obr´azek: Zat´ıˇzen´y prut
Pro ˇctvrt´y pˇr´ıpad je kritick´a s´ıla Fkrit =
4π 2 EJ . l2
(4)
Dimenzov´an´ı provedeme takto. N´avrat na obsah Martin Fiˇser
Pruty nam´ ahan´ e na vzpˇ er
Vztahy platn´e pro Eulerovu teorii Kritickou s´ılu lze pro jednotliv´e pˇr´ıpady vzpˇeru vyj´adˇrit jako Fkrit = n
π 2 EJ , l2
(5)
kde pro prvn´ı pˇr´ıpad vzpˇeru n = 14 , pro druh´y n = 1, pro tˇret´ı n = 2 a pro ˇctvrt´y n = 4. Polomˇer setrvaˇcnosti i, ˇst´ıhlostn´ı pomˇer λ a mezn´y ˇst´ıhlostn´ı pomˇer λm jsou definov´any n´asledovnˇe: s r J π2E l , i= , λ = , λm = n A i σu
(6)
kde J je minim´aln´ı kvadratick´y moment pr˚ uˇrezu, A je plocha pr˚ uˇrezu, E je Young˚ uv modul pruˇznosti a σu je mez u ´mˇernosti materi´alu. N´avrat na obsah Martin Fiˇser
Pruty nam´ ahan´ e na vzpˇ er
Vztahy platn´e pro Tetmayerovu teorii Pro v´ypoˇcet kritick´eho napˇet´ı σkr (respektivˇe kritick´e s´ıly Fkrit = σkr A) v oblasti, kde neplat´ı Eulerova teorie, existuje v´ıce teori´ı. My si uvedeme pouze Tetmayerovu line´arn´ı z´avislost kritick´eho napˇet´ı na ˇst´ıhlostn´ım pomˇeru, tj. σkr = σT = a − bλ,
(7)
kde a a b jsou materi´alov´e konstanty a λ je ˇst´ıhlostn´ı pomˇer, viz vztahy (6).
Pozn´amka Napˇr´ıklad pro kˇrehk´e materi´aly je v´yhodnˇejˇs´ı pouˇz´ıt kvadratickou z´avislost vyj´adˇren´ı napˇet´ı. N´avrat na obsah
Martin Fiˇser
Pruty nam´ ahan´ e na vzpˇ er
Dimenzov´an´ı-Eulerova teorie Dimenzujeme s bezpeˇcnost´ı k na z´atˇeˇznou s´ılu F . Zaved’me kritickou s´ılu Fkrit = kF . Ze vztahu pro kritickou s´ılu,viz vztah (5), vyj´adˇr´ıme kFl 2 . (8) J= nπ 2 E
Martin Fiˇser
Pruty nam´ ahan´ e na vzpˇ er
Dimenzov´an´ı-Eulerova teorie Dimenzujeme s bezpeˇcnost´ı k na z´atˇeˇznou s´ılu F . Zaved’me kritickou s´ılu Fkrit = kF . Ze vztahu pro kritickou s´ılu,viz vztah (5), vyj´adˇr´ıme kFl 2 . (8) J= nπ 2 E Napˇr´ıklad pro obd´eln´ıkov´y pr˚ uˇrez o rozmˇerech b, h, kde h = 2b ⇒ b < h, je r 2 1 3 4 6kFl ´pravˇe b = . (9) J = Jmin = b h, po dosazen´ı a u 12 nπ 2 E
Martin Fiˇser
Pruty nam´ ahan´ e na vzpˇ er
Dimenzov´an´ı-Eulerova teorie Dimenzujeme s bezpeˇcnost´ı k na z´atˇeˇznou s´ılu F . Zaved’me kritickou s´ılu Fkrit = kF . Ze vztahu pro kritickou s´ılu,viz vztah (5), vyj´adˇr´ıme kFl 2 . (8) J= nπ 2 E Napˇr´ıklad pro obd´eln´ıkov´y pr˚ uˇrez o rozmˇerech b, h, kde h = 2b ⇒ b < h, je r 2 1 3 4 6kFl ´pravˇe b = . (9) J = Jmin = b h, po dosazen´ı a u 12 nπ 2 E Nyn´ı mus´ıme ovˇeˇrit, zda se pohybujeme v oblasti platnosti Eulerovy teorie. Ovˇeˇren´ı provedeme n´asledovnˇe.
Martin Fiˇser
Pruty nam´ ahan´ e na vzpˇ er
Ovˇeˇren´ı platnosti Eulerovy teorie
Obr´azek: Z´avislost kritick´eho napˇet´ı na ˇst´ıhlostn´ım pomˇeru
Eulerova teorie plat´ı pouze v urˇcit´e oblasti napˇet´ı, viz obr´azek. V t´eto oblasti mus´ı b´yt ˇst´ıhlostn´ı pomˇer vˇetˇs´ı neˇz mezn´y ˇst´ıhlostn´ı pomˇer, tj. λ ≥ λm . Martin Fiˇser
Pruty nam´ ahan´ e na vzpˇ er
Ovˇeˇren´ı platnosti Eulerovy teorie
Mezn´y ˇst´ıhlostn´ı pomˇer je definov´an jako s π2E , λm = n σu
(10)
kde σu je napˇet´ı na mezi u ´mˇernosti. Polomˇer setrvaˇcnosti i je r J i= , (11) A kde J je minim´aln´ı kvadratick´y moment pr˚ uˇrezu.
Martin Fiˇser
Pruty nam´ ahan´ e na vzpˇ er
Dimenzov´an´ı-Tetmayerova teorie
Pokud neplat´ı λ ≥ λm , pak mus´ıme dimenzovat dle Tetmayerovy teorie kF Fkrit = = a − bλ, (12) σkr = σT = A A kde a a b jsou materi´alov´e konstanty. Pomoc´ı tohoto vztahu dimenzujeme dan´y prut.
Martin Fiˇser
Pruty nam´ ahan´ e na vzpˇ er
Dimenzov´an´ı-Tetmayerova teorie
Napˇr´ıklad pro ˇctvercov´y pr˚ uˇrez o d´elce hrany s, kde kvadratick´y 1 4 moment pr˚ uˇrezu je roven J = 12 s , dost´av´ame dosazen´ım do (12) F ·k s2
= a − b r l1
12 s s2
√
4
= a − b 2 s 3l
√ ⇓ as 2 − 2 3bls − Fk = 0. ˇ sen´ım je nejmenˇs´ı re´aln´y Z t´eto kvadratick´e rovnice vyj´adˇr´ıme s. Reˇ kladn´y koˇren.
Martin Fiˇser
Pruty nam´ ahan´ e na vzpˇ er
