17. EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE 17.1. Řeš v R rovnice: a) 25 x −3 = 128 ŘEŠENÍ: a) 25 x −3 = 27 5x − 3 = 7 x=2
3 x−1
=0
4 x +1
b)
3
=3
x=−
1 4
1 K = − 4
d)
2( x −1)
( x − 1)
K =∅
2
2
− 38
=
d) 2( x −1)
2
− 38
= 0,25
Strategie: potřebujeme získat takový tvar rovnice, kdy je na obou stranách jen jedna mocnina a obě mocniny mají stejný základ. Potom musí platit rovnost exponentů: a s = a t ⇔ s = t
0
4x +1 = 0
K = {2}
c) 17
c) 17 3 x −1 = 0
b) 34 x +1 = 1
1 4
− 38 = −2
x 2 − 2 x − 35 = 0 x1 = −5, x2 = 7
Klasické případy (záludnosti): 1. na pravé straně je jednička, jedná se o mocninu s exponentem nula 2. na pravé straně je nula nebo záporné číslo, rovnice nemá řešení, mocnina je vždy větší než nula. 3. na pravé straně je převrácená hodnota mocniny
K = {−5;7}
17.2. Řeš v R rovnici: 3 ⋅ 4 x +3 + 7 ⋅ 4 x + 2 − 22 ⋅ 4 x +1 − 37 ⋅ 4 x = 358 V tomto typu rovnic využíváme pravidlo pro počítání s mocninami: a s +t = a s ⋅ a t .
ŘEŠENÍ: 3 ⋅ 4 x +3 + 7 ⋅ 4 x + 2 − 22 ⋅ 4 x +1 − 37 ⋅ 4 x = 358 3 ⋅ 43 ⋅ 4 x + 7 ⋅ 42 ⋅ 4 x − 22 ⋅ 4 ⋅ 4 x − 37 ⋅ 4 x = 358
Místo mocniny 4 x zavedeme substituci 4 x = y .
192 ⋅ y + 112 ⋅ y − 88 ⋅ y − 37 ⋅ y = 358 179 y = 358
y=2
Nesmíme zapomenout „návrat do substituce“. 1 2
4x = 4 ⇒ x =
1 K = 2
Maturitní otázky z matematiky, Petr Husar
1 2
Pozor na závěr řešení. V mocnině může být i zlomek.
www.zkousky-nanecisto.cz/maturita
Strana 2
Exponenciální rovnice 2x
17.3. Řeš v R rovnici: 32 x +3 + 9x +1 + 27 3 = 999 ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím
2x
32 x +3 + 9 x +1 + 27 3 = 999 33 ⋅ 32 x + ( 32 )
x +1
dalšího vztahu: ( a s ) = a s⋅t . t
2x
+ ( 33 ) 3 = 999
33 ⋅ 32 x + 32 x + 2 + 32 x = 999 27 y + 9 y + y = 999 37 y = 999 y = 27 32 x = 33 ⇒ x =
Místo mocniny 32 x zavedeme substituci 32 x = y .
3 2
3 K = 2
17.4. Řeš v R rovnici: 22 x + 2 − 2 x +5 + 23 = 2 x ŘEŠENÍ: 2 2 x + 2 − 2 x + 5 + 23 = 2 x 2 2 ⋅ ( 2 x ) − 25 ⋅ 2 x + 8 = 2 x 2
4 y 2 − 33 y + 8 = 0 33 ± 31 1 y1,2 = ⇒ y1 = ; y2 = 8 8 4 1 a) 2 x = = 2−2 ⇒ x = −2 4 x b) 2 = 8 = 23 ⇒ x = 3
Řešíme podobně jako v předchozí úloze, jen tentokrát dospějeme ke kvadratické rovnici. Místo mocniny 2 x zavedeme substituci 2 x = y .
K = {−2;3}
17.5. Řeš v R rovnici: 4 x + 2 + 17 ⋅ 3x = 3x + 4 − 11 ⋅ 4 x ŘEŠENÍ: 4 x + 2 + 11 ⋅ 4 x = 3x + 4 − 17 ⋅ 3x 16 ⋅ 4 x + 11 ⋅ 4 x = 81 ⋅ 3x − 17 ⋅ 3x 27 ⋅ 4 x = 64 ⋅ 3x
V zadané rovnici máme sice mocniny se dvěma různými základy. Postupně však umíme vytvořit jen jednu mocninu s jedním základem ve tvaru zlomku.
4 x 64 = 3x 27 x
4 4 = 3 3 x=3
3
K = {3} Maturitní otázky z matematiky, Petr Husar
www.zkousky-nanecisto.cz/maturita
Strana 3 17.6. Řeš v R rovnici: x x + 13 ⋅ x − x = 14 ( 2 − x − x ) ŘEŠENÍ:
x x + 13 ⋅ x − x = 14 ( 2 − x − x ) x x + 13 ⋅ x − x = 28 − 14 ⋅ x − x x x + 27 ⋅ x − x − 28 = 0 27 y − 28 + =0 y
Exponenciální rovnice
Rovnice vypadá zapeklitě, ale řešení nakonec není tak nepoddajné.
Místo mocniny x x zavedeme substituci x x = y .
y 2 − 28 y + 27 = 0 28 ± 26 y1,2 = ⇒ y1 = 1; y2 = 27 2 a) x x = 1 ⇒ x = 1
Závěrečné rovnice musíš vyřešit metodou „kouknu a vidím“.
b) x x = 27 ⇒ x = 3
K = {1;3}
17.7. Řeš v R rovnici: 54 x +1 + 34 x +1 − 8 ⋅ 152 x = 0
ŘEŠENÍ:
54 x +1 + 34 x +1 − 8 ⋅152 x = 0
Zpočátku to vypadá, že máme dvě mocniny s různými základy.
5 ⋅ 54 x + 3 ⋅ 34 x − 8 ⋅ 32 x ⋅ 52 x = 0 5 ⋅ 52 x ⋅ 52 x + 3 ⋅ 32 x ⋅ 32 x − 8 ⋅ 32 x ⋅ 52 x = 0 2x
/ :32 x :52 x
2x
5 3 5 ⋅ 2x + 3 ⋅ 2x − 8 = 0 3 5 1 5⋅ y + 3⋅ − 8 = 0 y 5 y2 − 8 y + 3 = 0 8±2 3 y1,2 = ⇒ y1 = ; y2 = 1 10 5 2x 3 1 5 a) = ⇒ 2 x = −1 ⇒ x = − 5 2 3 2x
5 b) = 1 ⇒ 2 x = 0 ⇒ x = 0 3 1 K = − ;0 2
Maturitní otázky z matematiky, Petr Husar
V řešení míříme k úpravám, které vytvoří 2x
5 mocniny se stejným základem . 3
5 Místo mocniny 3
2x
zavedeme substituci
2x
5 = y . Po substituci se opět dostaneme ke 3 kvadratické rovnici.
www.zkousky-nanecisto.cz/maturita
Strana 4
Exponenciální rovnice
Další příklady (již jen pouhé řešení bez vysvětlujících poznámek) 17.8. Řeš v R rovnici: 81+ x + 81− x = 65 81+ x + 81− x = 65 8 8 ⋅ 8 x + x = 65 8 Substituce: y = 8x 8 8 y + = 65 /⋅ y y 8 y 2 − 65 y + 8 = 0
y1,2 =
65 ± 63 ր = 16 ց
1 8 8
1 8 8 x = 8−1
a) y =
b) y = 8 8 x = 81
x = −1
x =1
K = {−1;1}
17.9. Řeš v R rovnici: 162 + 7 3x − 60 = 3x −56 162 + 7 3x −60 = 3x −56 162 + 7 ⋅ 3 162 + 7 ⋅ 3
x − 60 2
=3
x − 60 + 4 2
x − 60 2
= 32 ⋅ 3 x − 60 Substituce: y = 2 y 162 + 7 ⋅ 3 = 9 ⋅ 3 y
x − 60 2
2 ⋅ 3 y = 162 3 y = 81 = 34 y=4 x − 60 =4 2 x = 68 K = {68}
Maturitní otázky z matematiky, Petr Husar
www.zkousky-nanecisto.cz/maturita
Strana 5
Exponenciální rovnice
17.10. Řeš v R rovnici: 2 ⋅ 33+ x + 4 ⋅ 3x − 174 = 0 2 ⋅ 33+ x + 4 ⋅ 3x − 174 = 0 2 ⋅ 33 ⋅ 3x + 4 ⋅ 3x − 174 = 0 Substituce: y = 3x 54 y + 4 y − 174 = 0 58 y = 174 y=3 3x = 31 ⇒
K = {1}
x =1
5x + 5x + 2 + 5x + 4 + 5x + 6 = 6,24
17.11. Řeš v R rovnici:
5 x + 5 x + 2 + 5 x + 4 + 5 x + 6 = 6, 24 x
52 + 5 x
x
x+2 2
+5
x+4 2 x
+5
x+6 2
= 6, 24
x
624 100 x 624 156 ⋅ 5 2 = 100 x 4 1 52 = = 100 25
5 2 + 5 ⋅ 5 2 + 52 ⋅ 5 2 + 53 ⋅ 5 2 =
x 2
5 = 5−2 x = −2 2 x = −4
K = {−4}
Maturitní otázky z matematiky, Petr Husar
www.zkousky-nanecisto.cz/maturita
Strana 6
Exponenciální rovnice
17. TEORETICKÁ ČÁST Otázky, které mohou padnout při maturitní zkoušce: 1)
Používají se při řešení exponenciální rovnice ekvivalentní nebo důsledkové úpravy? Jaká pravidla využíváme při řešení exponenciálních rovnic? Kdy exponenciální rovnice a x = b nemá řešení v množině R? K jakému tvaru exponenciální rovnice při jejím řešení míříme?
2) 3) 4)
1. Používají se při řešení exponenciální rovnice ekvivalentní nebo důsledkové úpravy? Při řešení exponenciální rovnice se používají většinou ekvivalentní úpravy. Jedná se hlavně o násobení rovnice, přičítání čísla nebo výrazu atd. Případná úprava zlogaritmování je třeba ošetřit tak, aby obě logaritmované strany rovnice byly kladné. Jen výjimečně při řešení exponenciálních rovnic použijeme (ve zvláštních příkladech) umocnění rovnice, které je úpravou důsledkovou a přináší nám povinnost provést zkoušku, která by mohla vyloučit „falešný“ kořen. 2. Jaká pravidla využíváme při řešení exponenciálních rovnic? Používáme základní pravidla pro počítání s mocninami (uvádíme pouze pravidla bez podmínek): a s ⋅ a t = a s+ t as = a s−t at
(a ) s
t
= a s⋅ t
a s ⋅ bs = ( a ⋅ b)
s
s
as a = b s b Při počítání exponenciální rovnice může taky nastat potřeba rovnici logaritmovat a potom používáme pravidla pro počítání s logaritmy.
3. Kdy exponenciální rovnice ax = b nemá řešení v množině R? Aby takováto rovnice měla řešení, nesmí být hodnota b záporná nebo rovna nule. Je to i jasné z grafu exponenciální funkce, který leží celý nad osou x. 4. K jakému tvaru exponenciální rovnice při jejím řešení míříme? Cílem při řešení většiny exponenciálních rovnic je dobrat se k tvaru rovnice a x = a y . To znamená, že máme na levé i pravé straně mocniny o shodných základech. Jelikož se tyto mocniny rovnají, musí se rovnat i jejich exponenty a na základě této rovnosti exponentů sestavíme novou (jednodušší) rovnici.
Maturitní otázky z matematiky, Petr Husar
www.zkousky-nanecisto.cz/maturita
