Čísla v obecnějším pohledu
-cenzura-
kontakt – str. - 19
Obsah 1.1 Přeskoč není důležité
1.1.
Příklady ze kterých představa vychází
str. - 2
1.2.
Model
str. - 3
1.3.
Pravidla pro počítání se zobecnělým náhledem na čísla
str. - 4
1.4.
Důsledky a možná využití obecného pohledu na čísla
str. - 4
2.1.
Obecný pohled na pojem derivace
str. - 5
2.2.
rozšířený Pascalův trojúhelník
str. - 6
2.3.
Pravidlo pro popis rozšířeného Pascalova trojúhelníka
str. - 7
2.4.
Univerzální předpis derivace či integrace
str. - 7
3.1.
Příklad řešení limity
str. - 8
3.2.
Příklad derivace funkce
str. - 9
3.3.
Příklad numerické integrace funkce v určitém oboru hodnot
str. - 10
3.4.
Příklad řešení součtu divergující nekonečné řady
str. - 11
3.5.
Příklad řešení neurčitého integrálu funkce
str. - 12
3.6.
Příklad řešení diferenciální rovnice
str. - 13
4.D1. Dodatek 1
str. - 15
4.D2. Dodatek 2
str. - 16
5.
str. - 19
Kontaktní údaje
-1-
1.1. Příklady ze kterých představa vychází Ideu se budu snažit vysvětlit na příkladech: Př. č. 1 Uvažujme v rovině: Je dána kružnice o poloměru r1 se středem S, je dána jiná kružnice se středem též S, ale jiným poloměrem r2. Je-li dána přímka p1 , která prochází bodem S, tedy i oběma kružnicemi, které tak rozděluje každou na dvě části. Je-li dána další přímka p2, která není rovnoběžná s přímkou p1 a která též prochází bodem S, jsou obě kružnice rozděleny na čtyři části. Je-li dáno množství přímek P, které nejsou rovnoběžné a zároveň prochází bodem S, pak obě kružnice jsou rozděleny na stejný počet částí(2P). ⇒
V úvahách předpokládám, že platí
a⋅n a = vždy ať je n jakékoli pořadí. b⋅n b
Př. č. 2 Vycházejme z předchozího příkladu, pokud obě kružnice jsou rozděleny na počet částí, pak součet délky částí kružnice o poloměru r1 je obvod O1 = 2Πr1 a součet délky částí kružnice o poloměru r2 je obvod O2 = 2Πr2. Pokud předpokládáme, že přímky rozdělili kružnici o poloměru r1(r2) na stejně velké části obvodu, pak délka části kružnice o poloměru r1 je d1 = O1/(2P) a délka části kružnice o poloměru r2 je d2 = O2/(2P). Tedy část délky takto vymezená na kružnici je úměrná jejímu poloměru. ⇒
V úvahách předpokládám, že platí
a⋅k a = vždy ať je k jakákoli délka, obecněji b⋅k b
kontinuum. Př. č.3 Jsou čtyři diskrétní části hmoty, například jablka J1 = 0,2kg,, J2 = 0,1kg, J3 = 0,4kg, J4 = 0,3kg. ⇒ Je zřejmé, že počet (pořadí) n nijak nesouvisí s hmotností (kontinuum) jablek k a naopak protože stejný počet jablek například tři může mít vždy jinou hmotnost a stejnou hmotnost může mít i jiný počet jablek, tedy jak je zřejmé z tohoto příkladu platí, předpokládám, že za každých okolností: k≠n Př. č.4 Existuje-li nějaký počet n a nějaké kontinuum, které je dáno rozměrem o hodnotě k, existuje-li jiné množství n´ a jiné kontinuum rozměrem o hodnotě k´, které je větší než počet n a kontinuum rozměrem o hodnotě k může existovat množství n´´ a jiné kontinuum rozměrem o hodnotě k´´ které jsou větší než množství n´ a jiné kontinuum rozměrem o hodnotě k´ ⇒
Předpokládám, že platí pro jakákoliv n´ a k´: n < n´< n´´
k < k´< k´´
-2-
Př. č.5 Existuje-li nějaký počet n a nějaké kontinuum, které je dáno rozměrem o hodnotě k, vztáhneme-li kontinuum k kontinuu P nebo vztáhneme -li počet n k jinému počtu P´ a existuje-li nějaký počet n´, platí, že n´ > n a nějaké kontinuum, které je dáno rozměrem o hodnotě k´, platí, že k´ > k, vztáhneme -li kontinuum k´ k kontinuu P nebo vztáhneme -li počet n k jinému počtu P´, pak existuje vztah poměrů: ⇒
Předpokládám, že platí pro jakákoliv n a k: n n´ < P´ P´
k k´ < P P
Př. č.6 Předpokládejme, že existuje čtverec o straně k1 a k2 o obsahu S. Existuje-li počet n´ přímek, které jsou rovnoběžné se stranou k1 a protínají stranu k2 a jsou od sebe ve směru k1 stejně vzdáleny, pak rozměr takto vymezených částí čtverce ve směru k2 je k2/n a jejich plocha S/n. Takto dostaneme počet částí čtverce n . Existuje-li počet n´ přímek, které jsou rovnoběžné se stranou k2 a protínají stranu k1 a jsou od sebe ve směru k2 stejně vzdáleny , pak rozměr takto vymezených částí čtverce ve směru k1 je k2/n a plocha části, která je vymezena přímkami v obou směrech je S/m. Takto dostaneme počet částí čtverce m. ⇒
Předpokládám, že platí pro jakýkoliv počet přímek n´: m = n2
1.2. Model Jan Přikry l 12.5.1994 23.2.2004
Existuje poloosa nezáporných čísel, označená „0“ a existuje taková poloosa nezáporných čísel označená „1“ jejíž všechny čísla jsou vzhledem k poloose označené „0“ vysoká nade všechny meze a existuje taková poloosa nezáporných čísel označená „-1“, ke které je každé číslo poloosy čísel označené „0“ rostoucí nade všechny meze. Čísla poloosy označené „-1“ vyjadřuje v poloose označené „0“ jediné a nejnižší číslo nula a čísla poloosy označené „0“ jsou v poloose označené „1“ vyjádřena jejím nejnižším číslem nula. Ke každé takovéto poloose existují dvě poloosy ve stejném vztahu jako k poloose označené „0“, existuje tak nespočetný počet takových to poloos nezáporných čísel. Po uplatnění symetrie, existuje také takový systém poloos záporných čísel a nuly a tedy spojením v bodě nula, odpovídajících poloos, obrazu a vzoru, existuje systém takovýchto os, když osu označenou „0“ ztotožním s osou reálných čísel. Jan Přikryl 12.5.1994 28.11.2003
-3-
1.3. Pravidla pro počítání se zobecnělým náhledem na čísla Číslo osy je pravý dolní index. an + bm = an + bm a n ⋅ (− 10 ) = (− a n ) anbm = ab(n + m )
an a = bm b (n − m ) an bm = = 10 an bm
an = 10 ⋅ an
( )
a nm = a 0m m
an =
nm
(a) m
0 n m
1.4. Důsledky a možná využití obecného pohledu na čísla Zjednodušení je především v tom, že limita funkce po převedení na způsob zápisu, jak je uvedeno viz. 1.2. lze pak upravovat dle pravidel viz. 1.3. a tak nenastane případ, kdy je výraz neurčitý, a lze přímo vypočítat výsledek. Příklad užití při řešení limity je uveden viz. 3.1. V důsledku toho, že limita přechází v důsledku převedení výrazu na čísla v obecnějším pohledu na algebraicky vypočitatelný tvar, promítá se následně i do pojmů jako integrace viz. 3.3. a 3.5., derivace viz. 3.2. či do řešení diferenciálních rovnic viz. 3.6. Dále k zajímavým důsledkům lze pomocí tohoto pohledu na čísla dospět v souvislosti s číselnými řadami viz. 3.4. nebo v souvislosti s pojmem faktoriál viz. 2.3. a 4.D1, pojem kombinační číslo viz. 4.D1. či Pascalův trojúhelník viz. 2.2. a také integrace – derivace viz. 2.1. a 2.4., pojem sudost a lichost viz. 4.D2. Předpokládám, že výše zmíněné důsledky a využití obecného pohledu na čísla jsou mnohem širší, zahrnují jak klasický pohled na pojem číslo, tak i nové možnosti vyžití.
-4-
2.1. Obecný pohled na pojem derivace
Jestliže je derivace funkce definována jako limita, pak lze tento pohled využít i pro výpočet derivace a integrálu. Derivace je definována: f ´( x) = lim ∆ →0
f ( x + ∆ ) − f ( x) ∆
pak pomocí obecněji chápaných čísel mohu první derivaci vyjádřit:
f ´( x) =
f ( x 0 + x −1 ) − f ( x 0 ) x −1
nebo jako
f ´(x) =
f ( x0 ) − f ( x0 − x−1 ) x−1
vyšší derivace a integrace pak analogicky vyjádřím takto: 64748 − − f ( x0 ) + 4 f ( x0 − x−1 ) + 10 f ( x0 − 2 x−1 ) + 20 f ( x0 − 3x−1 ) + 35 f ( x0 − 4 x−1 ) + ... + (0,163 + 0,52 + 0,161 ) f ( x−1 ) ∫ ∫ ∫ ∫ f ( x)dxdxdxdx = x4− 4
678 ∫ ∫ ∫ f ( x)dxdxdx =
f ( x0 ) + 3 f ( x0 − x−1 ) + 6 f ( x0 − 2 x−1 ) + 10 f ( x0 − 3x−1 ) + 15 f ( x0 − 4 x−1 ) + ... + (0,52 + 0,51 ) f ( x−1 ) x3−3
f ( x0 ) + 2 f ( x0 − x−1 ) + 3 f ( x0 − 2 x−1 ) + 4 f ( x0 − 3x−1 ) + 5 f ( x0 − 4 x−1 ) + ... + (11 ) f ( x−1 ) x2− 2 f ( x0 ) + f ( x0 − x−1 ) + f ( x0 − 2 x−1 ) + f ( x0 − 3x−1 ) + f ( x0 − 4 x−1 ) + ... + f ( x−1 ) ∫ f ( x)dx = x1−1
∫ ∫ f ( x)dxdx =
f ( x) =
f ´(x) =
f ´´(x) =
f ´´´(x) =
f ´´´´(x) =
f ( x0 ) x 00
koeficienty posledních členů součtu viz. 2.2. a 3.4.
f ( x 0 ) − f ( x 0 − x −1 ) x 1−1
f ( x 0 ) − 2 f ( x 0 − x −1 ) + f ( x 0 − 2 x −1 ) x −22
f ( x 0 ) − 3 f ( x 0 − x −1 ) + 3 f ( x 0 − 2 x −1 ) − f ( x 0 − 3x −1 ) x −33
f ( x 0 ) − 4 f ( x 0 − x −1 ) + 6 f ( x 0 − 2 x −1 ) − 4 f ( x 0 − 3x −1 ) + f ( x 0 − 4 x −1 ) x −44 -5-
2.2. rozšířený Pascalův trojúhelník V klasickém Pascalově trojúhelníku platí pravidlo, že číslo v nižším řádku trojúhelníka je součtem dvou čísel v řádku Pascalova trojúhelníka, které jsou ve vyšším řádku nejblíže tomuto číslu. Pokud se předpokládá, že je Pascalův trojúhelník na rovině a důsledně se dodrží pravidlo které platí v Pascalově trojúhelníku, když se předpokládá po stranách Pascalova trojúhelníka na prázdných místech nula, pak tímto zobecněním dostaneme rovinu čísel, kde pro každé číslo na této rovině platí pravidlo z Pascalova trojúhelníka. Toto zobecnění pak udává koeficienty ve vztahu obecné derivace, pokud se každý sudý násobí číslem -1.
0
0 0 0 0 0 0 0 0 Ι Ι Ι Ι f(x)dxdxdxdx Ι Ι Ι f(x)dxdxdx Ι Ι f(x)dxdx Ι f(x)dx f(x) f´(x) f´´(x) f´´´(x) f´´´´(x)
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
1 1
1
1 9 10
11
55
35
84
35
126
126 252
462
462
330
0
9
0 0
1 10
55
0 0
1
45 165
0
1
36 120
0 0
0
8
84 210
0
0
7 28
0 0
0
1
21 56
0
0
1 6
-1 0
0
0
5 15
70
210 330
10
1
0
0 1
15 5
0
0
1 4
20
56
120 165
10
21
36
3
-10
-1
0 0
-35 -20
-4
0
0 1
6
15
28
45
3
5
7
1
15
6
1 0
28 21
10
3
-1 0
2
4
6
8
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
-7
-5
-3 -2
-9 -8
-6
-4
1 1
1
1 1
1 1
1
1 1
0 1
11
K určení posledního členu ve vztahu pro integraci je třeba znát obecný vztah popisující posloupnost koeficientů, pokud je řád integrace 1, pak uvažujme řádek rozšířeného Pascalova trojúhelníku nula, tzn. ř(intg.) = ř(posl.) +1, pořadí členu v posloupnosti je n počínaje n = 0. Zde platí obecný vztah, tedy od řádu posloupnosti r = 0 výše: koeficient =
(n + r )! n!⋅r!
Takto tedy lze dospět i ke koeficientu posledního členu vztahu viz. 3.4. -6-
1
2.3. Pravidlo pro popis rozšířeného Pascalova trojúhelníka Jak bylo uvedeno výše viz. 2.3. lze každý člen číselné řady vypočítat ze vztahu: koeficient =
(n + r )! n!⋅r!
Předpokládejme, že existuje popis celé plochy rozšířeného Pascalova trojúhelníka ve formálně stejném tvaru, pak existuje „rozšířený faktoriál“, který označím !´, a pro který platí: Pro n ≥ 0: n!´= n!
Pro n < 0 (viz. 4.D2.): (4.D2. – přesný vztah) n!´= ( −10 ) n ⋅
11 ( −10 − n )!
Pak lze koeficienty vypočíst pro jakýkoliv integrál a jakoukoli derivaci:
r 2 1 0 -1 -2 -3 -4
n 0
1
2
3
4
10
30
60
100
150
10
20
30
40
50
10
10
10
10
10
10
-1-1
-(1/2)-1 -(1/3)-1 -(1/4)-1
10
-10
(1/2)-1 (1/6)-1 (1/12)-1
10
-20
10
10
-30
30
-(1/3)-1 -(1/12)-1 -10
(1/4)-1
…… …… …… …… …… …… …… ……..
………………………………… ..
Dle vztahu (viz. 4.D1.) : koeficient =
( n + r )!´ n!´⋅r!´
2.4. Univerzální předpis derivace či integrace 1) 2) 3)
řád derivace = - řád integrace řádek rozšířeného Pascalova trojúhelníku (r) = - řád derivace (N) – 10 sloupek rozšířeného Pascalova trojúhelníku (n) = pořadí členu řady ve vztahu (i) – 10
Pak je univerzální předpis pro derivaci a integraci s využitím pojmu „rozšířený faktoriál“ (viz. 2.3.) takto: k =11
Myšleno (-N)-tý integrál
((i − 10 ) + ( − N − 10 ))!´ ⋅ f ( x 0 − ix −1 ) i =10 (i − 10 )!´⋅( − N − 10 )!´
∑
∫ f ( x )dx
−N
N
= ( f ( x)) =
x −NN
-7-
3.1. Příklad řešení limity Limita lze po takto obecném pohledu na čísla počítat čistě algebraicky: x2 − 9 x →3 x − 3
Je dána limita: lim Řešení:
1) úpravou výrazu: x 2 − 9 ( x − 3) ⋅ ( x + 3) = = x+3 x−3 x−3
po dosazení za x
3+3=6
2) aplikací L´Hospitalova pravidla:
(x
2
)
´
−9 2x = = 2x ´ (x − 3) 1
po dosazení za x
2*3 = 6
3) obecněji chápaná čísla:
(3 0 + 3 −1 )2 − 9 0 (3 0 + 3 −1 ) − 3 0
=
9 0 + 18 −1 + 9 − 2 − 9 0 18 −1 + 9 − 2 = = 6 0 + 3 −1 3 0 + 3 −1 − 3 0 3 −1
po zanedbání čísla osy nižšího řádu viz. model je pak výsledek 6
-8-
3.2. Příklad derivace funkce Je dána funkce:
y = x2 její derivace plynoucí z klasické definice jsou:
y´ = 2x
a
y´´ = 2
obecněji chápaná čísla:
y´=
x 02 − ( x 0 − x −1 ) 2 x 02 − x 02 + 2 x −21 − x −22 = = 2 x 0 − x −1 x −1 x −1
po zanedbání čísla osy nižšího řádu viz. model je pak výsledek 2x
y´´=
x 02 − 2( x 0 − x −1 ) 2 + ( x 0 − 2 x −1 ) 2 x 02 − 2 x 02 + 4 x −21 − 2 x −22 + x 02 − 4 x −21 + 4 x −22 = = x −22 x −22
=
− 2 x −22 + 4 x −22 = 20 x −22
po převedení na osu reálných čísel viz. model je pak výsledek 2
-9-
3.3. Příklad numerické integrace funkce v určitém oboru hodnot Výše uvedený obecný vtah vede na nekonečnou řadu, ze struktury je tedy zřejmé, že tento vztah je v souladu s teoretickou podstatou numerické integrace: těmto hodnotám nezávisle proměnné: x = 0,1,2,3,4,5 tedy krok v dělení intervalu je ∆x = 1 odpovídají tyto hodnoty závisle proměnné: y = 0,1,2,3,4,5
(y = x) k =5
numerická integrace: 1 ⋅ ∑ i = 15 přesný výsledek integrace pro tyto podmínky je i =1
x
5
2
5
2
5 − 0 = 12,5 s počtem členů řady jak se bude blížit počtu členů v přesném 2 0 0 vztahu bude i chyba numerické integrace klesat:
∫ xdx = 2
=
Numerická integrace funkce y=x
výsledek integrace
15
14
spojnice trendu: y = 2,5∆ ∆ x + 12,5
13
12 0
0,5
1
∆x
Jak je z grafu patrno, čím je interval dělení kratší, tím je i přesnější výsledek, tedy přesný výsledek lze odečíst ze spojnice trendu. Pak obecný předpis lze vyjádřit, když ∆x = x-1: k =11
∫ f ( x )dx = x−1 ⋅ ∑ f (ix−1 ) = i =10
f ( x−1 ) + f (2 x−1 ) + f (3x−1 ) + f (4 x−1 ) + f (5x−1 ) + ... + f ( x0 ) x1−1
Tedy výsledek je možno upravit do stejného tvaru jako viz.2.1: ∫ f ( x)dx =
f ( x0 ) + f ( x0 − x−1 ) + f ( x0 − 2 x−1 ) + f ( x0 − 3x−1 ) + f ( x0 − 4 x−1 ) + ... + f ( x−1 ) x1−1
-10-
3.4. Příklad řešení součtu divergující nekonečné řady
Je dána řada: 1 2 3 4 5 … n … ∞
Řada v obecnějším pohledu na čísla:
Člen:
10 20 30 40 50
Částečný součet:
10 30 60 100 150 …0,5n02 + 0,5n0 … 0,52 + 0,51
…
n0
…
11
Tedy pro součet takovéto divergující nekonečné řady po dosazení 11 za n pak platí: k =11
∑ i = 0,5
2
+ 0,51
i =10
Jiný příklad, je dána řada: 1 4 9 16 25 … n2 … ∞
Řada v obecnějším pohledu na čísla:
n02
Člen:
10 40 90 160 250
Částečný součet:
10 50 140 300 550 … 1/3⋅n03 + 1/2⋅n02 + 1/6⋅n0 … 1/33 + 1/22 + 1/61
…
…
12
Tedy pro součet takovéto divergující nekonečné řady po dosazení 11 za n pak platí: k =11
∑i
2
= 0, 3 3 + 0,5 2 + 0,16 1
i =10
-11-
3.5. Příklad řešení neurčitého integrálu funkce Je dána funkce:
y=x
Integrace v obecnějším pohledu na čísla přechází na vyřešení nekonečné divergující řady (viz. 3.4.) : Vztah pro jednoduchý integrál viz. výše: ∫ f ( x)dx =
f ( x0 ) + f ( x0 − x−1 ) + f ( x0 − 2 x−1 ) + f ( x0 − 3x−1 ) + f ( x0 − 4 x−1 ) + ... + f ( x−1 ) x1−1
Je možno přepsat do tohoto tvaru: ∫ f ( x)dx =
f ( x−1 ) + f (2 x−1 ) + f (3x−1 ) + f (4 x−1 ) + f (5 x−1 ) + ... + f ( x0 ) x1−1
pro danou konkrétní funkci: ∫ xdx =
x −1 + 2 x −1 + 3x −1 + 4 x −1 + 5x −1 + ... + x 0 −1 1
x
= x −22 + 2 x −22 + 3x −22 + 4 x −22 + 5 x −22 + ... + x −21 =
k =11
=x
2 −2
⋅ ∑ i = x −22 (0,5 2 + 0,51 ) = 0,5 x 02 + 0,5 x −21 i =10
po zanedbání čísla osy nižšího řádu viz. model je pak výsledek 0,5x2
Je dána funkce:
y = x2
Integrace v obecnějším pohledu na čísla přechází na vyřešení nekonečné divergující řady (viz. 3.4.) : pro danou konkrétní funkci: ( x)−2 2 + (2 x)−2 2 + (3x)−2 2 + (4 x)−2 2 + (5 x)2− 2 + ... + x02 ∫ x dx = = x−33 + 4 x−33 + 9 x−33 + 16x−33 + 25x−33 + ... + x−31 = −1 x1 2
k =11
= x −33 ⋅ ∑ i 2 = x −33 (0, 3 3 + 0,5 2 + 0,16 1 ) =(0, 3x 03 + 0,5 x −31 + 0,16x −3 2 ) i =10
po zanedbání čísla osy nižšího řádu viz. model je pak výsledek 1/3x3
poznámka: Integrační konstanta je výsledkem integrace čísla 0, ale z obecnějšího pohledu na číslo viz. model 1.2. má číslo 0 konkrétní tvar a jde vlastně o integraci součtu a proto jí ve výše uvedených příkladech neuvádím.
-12-
3.6. Příklad řešení diferenciální rovnice Jak vyplývá ze obecného pohledu na pojem derivace, pak je dx = x-1 a podobně i dy = y-1 Je dána diferenciální rovnice:
y=
x2 + 3 −5 y´
klasické řešení (separace proměnných): x2 + 3 y= −5 dy dx
∫ ( y + 5)dy = ∫ ( x
2
+ 3)dx
výsledek:
y2 x3 + 3x = + 5y 3 2 obecněji chápaná čísla:
x2 + 3 −5 y´
( /+5, pak pravá strana rovnice: 1
0)
y=
1)
5 + y = x2 + 3
( *6)
2)
3(10 + 2 y ) = 2(3x 2 + 9)
( zavedení indexů )
3)
3 3 (10 0 + 2 y 0 ) = 2 0 (3 x 02 + 9 0 )
( *(-1) )
4)
3 3 (−10 0 − 2 y 0 ) = 2 0 (−3 x 02 − 9 0 )
(doplnění členů do formátu derivace )
doplnění na formát derivace s mocninou o řád derivace nižší: (pozn.: po odečtení a převedení na klasická čísla nesmí dojít ke změně)
levá strana: y1 – 2y0 + y-1 -y1 101 - 100 -101
-13-
y´
)
pravá strana:
x12 – 3x02 + 3x-12 – x-22 - x12 91 - 90 -91
3 3 ( y1 − 2 y 0 + y −1 + 101 − 10 0 − y1 − 101 ) = 2 0 ( x12 − 3 x 02 + 3 x −21 − x −22 + 9 1 − 9 0 − x12 − 9 1 )
5)
(rozšíření levé strany y-1 a pravé strany x-1) 6) 33 ( y 02 − 2 y −21 + y −22 + 10 y 0 − 10 y −1 − y 02 − 10 y 0 ) 2 0 ( x 03 − 3x −31 + 3x −3 2 − x −33 + 9 x 0 − 9 x −1 − x 03 − 9 x 0 ) = y −1 x −1 ( úprava ) 7)
[
]
[
3 0 ( y 0 − y −1 ) 2 − y 02 + 10 0 ( y 0 − y −1 ) − 10 y 0 2 0 ( x 0 − x −1 ) 3 − x 03 + 9 0 ( x 0 − x −1 ) − 9 x 0 = y −1 x −1
]
( rozložení )
[
]
[
8a)
3 0 ( y 0 − y −1 ) 2 + 10 0 ( y 0 − y −1 ) 2 0 ( x 0 − x −1 ) 3 + 9 0 ( x 0 − x −1 ) = y −1 x −1
8b)
3 0 − y 02 − 10 y 0 2 − x 03 − 9 x 0 = 0 y −1 x −1
[
]
[
]
] ( *(-1))
9)
8a či 8b po převedení na klasická čísla a pokud platí, že y´=
y −1 , pak: x −1
3( y 2 + 10 y ) = 2( x 3 + 9 x) ⋅ y´ (pravá strana rovnice, * 1 10) výsledek:
y2 x3 + 3x = + 5y 3 2
-14-
y´
, viz bod 0) )
4.D1.
Dodatek 1:
Kombinační číslo „n nad k“ je definováno (n,k je celé nezáporné číslo; k ≤ n ) :
n n! = k ( n − k )!⋅k!
Pokud budeme uvažovat obecnější platnost rozsahu pojmu „kombinační číslo“ za předpokladu existence pojmu „rozšířeného faktoriálu“ jak v 2.3. a 4.D2: Pro n ≥ 0: n!´= n!
Pro n < 0: n!´= ( −10 ) n ⋅
11 ( −10 − n )!
Pak: ´ n n!´ = ( n − k )!´⋅k!´ k (1) a toto stejné kombinační číslo lze viz. 2.3. vyjádřit ( n(ze 2.3.) = k; r(ze 2.3.) = -n-1): ´ n ( k − n − 1)!´ = ( −1) k k!´⋅( − n − 1)!´ k (2) Pak by mělo platit: ( k − n − 1)!´ n!´ = ( −1) k ( n − k )!´⋅k!´ k!´⋅( − n − 1)!´ (3) Příklad správnosti úvahy: Dle rovnice (1): ´
3 3!´ 6 = =3 = 2 (3 − 2)!´⋅2!´ 1 ⋅ 2
´
− 2 ( −2)!´ ( −2)!´ ( −10 ) −2 0 ⋅ 11 ⋅ 1200 = = = = 50 −60 4 ( −2 − 4)!´⋅4!´ ( −6)!´⋅24 ( −10 ) ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 24 0
Dle rovnice (2): ´
−2 ( 2 − 3 − 1)!´ 1 ⋅ ( −2)!´ 10 ⋅ ( −10 ) 0 ⋅ 11 ⋅ 6 0 3 = ( −1) 2 ⋅ = = = 30 ( −3 − 1)!´⋅2!´ ( −4)!´⋅2 ( −10 ) − 4 0 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 2 0 2
Porovnáním výsledku je zřejmé, že rovnice (3) opravdu platí.
-15-
´
− 2 ( 4 + 2 − 1)!´ 1 ⋅ 120 = ( −1) 4 ⋅ = =5 4 4!´⋅( 2 − 1)!´ 24 ⋅ 1
4.D2.
Dodatek 2:
Z předpokladu, že existuje popis celé plochy rozšířeného Pascalova trojúhelníka ve formálně stejném tvaru jsem pomocí soustavy rovnic a zvolením několika parametrů odvodil „rozšířený faktoriál“ (vztah 1) ⇒ vztah platí a má smysl při výpočtu kombinačních čísel a pojmu rozšířené kombinační číslo, sám o sobě není smyslný, pokud jsou mé úvahy správné, pak správný a přesný vztah je odvozen v následující stati. 2
11 n!´= ( −10 ) n ⋅ ( −10 − n )!
1
3
vztah 1
Správnější vztah pro výpočet faktoriálu záporného čísla dostaneme, jestliže volené parametry upřesníme. Volené parametry získáme tak, že jejich změnou ve vztahu pro výpočet kombinačního čísla, z něhož se při odvození vycházelo, se nezmění výsledek: 1)
2)
aby se výsledek neměnil, lze v místě označeném šipkou dosadit tyto možnosti: a)
n
(tato možnost je ve vztahu použita)
b)
-n
c)
1-n
d)
-(1 – n)
aby se výsledek neměnil, pro k,n z množiny „běžně používaných konvenčních čísel“, pak pravý dolní index, v místě označeném šipkou, musí pouze splňovat podmínku: index > 0
3)
(zvolil jsem číslo 1)
aby se výsledek neměnil, je možno volit libovolnou konstantu a, kterou vztah vynásobíme, tedy pokud se jedná o vyjádření pomocí čísel v obecnějším významu: a
(zvolil jsem a = 1)
Položme si otázku jaký by záporný faktoriál mohl mít význam, zkusme si představit jaký by byl faktoriál (v obecnějším pohledu, dále jen faktoriál) pro obecněji chápané číslo –11 konvenčně zahrnované pod pojem -∞. Pak vycházeje ze vztahu 1 ve jmenovateli dostaneme: (11 − 10 )! ´
Dle rozšířeného Pascalova trojúhelníka pro rozšířený pojem kombinační číslo n pro k
n ´ toto kombinační číslo musí platit, pro n > 0, a zároveň k > n : ≤ 1 −1 , aby toto platilo, k pak vždy ve vztahu 1 musí být čitatel větší než jmenovatel minimálně b⋅11 krát, když b > 0,
-16-
tedy „podstatně větší“ než jak jsem zvolil viz. 2). Toto bude splněno, pokud čitatel bude právě (11)!, tedy jak bychom mohli chápat faktoriál záporného čísla: ( −10 )!´ = ( −10 ) ⋅ ( −2 0 ) ⋅ ( −3 0 ) ⋅ ... ⋅ ( −11 + 2 0 ) ⋅ ( −11 + 10 ) ⋅ ( −11 ) ( −2 0 )!´ = ( −2 0 ) ⋅ ( −3 0 ) ⋅ ( −4 0 ) ⋅ ... ⋅ ( −11 + 2 0 ) ⋅ ( −11 + 10 ) ⋅ ( −11 )
…atd… Pokud je tedy faktoriál záporného čísla jak je rozepsán viz. výše, pak hledejme přesný vztah, který nahradí vztah s volenými parametry. add1) tento parametr je závislý na tom, zda je počet členů součinu sudý nebo lichý:
Předpokládám, že osa s jakýmkoliv indexem má s číslem téhož indexu stejný vztah, tedy: 10 – liché; 20 – sudé, ale i 11 – liché; 20 – sudé, což vnitřně není ve sporu protože pokud má být celkový počet lichých a sudých čísel stejný tedy uzavřený interval (10;11-10) má 11-10 členů a pokud je první lichý, pak poslední je sudý a totéž platí i pro uzavřený interval (11;12-11) a intervaly další. Protože faktoriál (-10) jak viz. výše je součin členů v uzavřeném intervalu (10;11), pak má počet členů lichý a číslo –1 umocněné na liché číslo je –1. Tedy lze vyřadit možnosti volby c) a d). Rozdíl mezi volbou a) či b) je zřejmý ze struktury výpočtu, ale v podstatě jde o celkem nepodstatný rozdíl. Pokud bych chtěl demonstrovat na vztahu pro výpočet faktoriálu záporného čísla, pak správná možnost je a): ( −2 0 )! = ( −2 0 ) ⋅ ( −3 0 ) ⋅ ( −4 0 ) ⋅ ... ⋅ ( −11 + 2 0 ) ⋅ ( −11 + 10 ) ⋅ ( −11 ) =
( −10 )! − 10
(sudé)
analogicky: ( −3 0 )! = ( −3 0 ) ⋅ ( −4 0 ) ⋅ ( −5 0 ) ⋅ ... ⋅ ( −11 + 2 0 ) ⋅ ( −11 + 10 ) ⋅ ( −11 ) =
( −10 )! ( −1 0 ) ⋅ ( −2 0 )
(liché)
add2) Jak viz. výše je: ( −10 )!´ = ( −10 ) ⋅ ( −2 0 ) ⋅ ( −3 0 ) ⋅ ... ⋅ ( −11 + 2 0 ) ⋅ ( −11 + 10 ) ⋅ ( −11 ) = ( −10 ) ⋅ (11 )!
kolik tedy je (11)!: (11 )! = 11 ⋅ (11 − 10 ) ⋅ (11 − 2 0 ) ⋅ ... ⋅ 2 0 ⋅ 10 1 ⋅ 0 11
úprava 1111 = 1111
viz. 1.3.
(11 )! 11 1
1
=
(11 )! 1111
11
= 10 ⋅ (10 − 1 −1 ) ⋅ (10 − 2 −1 ) ⋅ ... ⋅ 2 −1 ⋅ 1 −1
ln -17-
ln
(11 )! 1111
1
1
0
0
= ln 10 + ln(10 − 1−1 ) + ln(10 − 2 −1 ) + ... + ln 2 −1 + ln 1−1 = ∫ ln xdx = [x (ln x − 1)] = −10 exp (11 )! 10 = e0 1111
⇒
(11 )! =
1 11
1
e0
Tedy: ´
( −1)! = ( −10 )(11 )! = −
1111 e0
Tedy pravý dolní index viz. 2) je 11 add3) Odvození viz. výše (add2) řeší i konstantu a:
a=
10 e0
Tedy výsledný správný vztah je pro n < 0: n!´= ( −10 ) n ⋅
111
vztah 2
( −10 − n )!⋅e 0
kontrola správnosti pochopení záporného faktoriálu na příkladu kombinačního čísla:
k n -2 -1 0 1 2
0 1
1 1 1 1
-2 -1
0 1
2
1
0
3 -4
3 1
0 1
2
-1 0
0 0
− 2 3
´
n n!´ = k ( n − k )!´⋅k!´
( −2 0 ) ⋅ ( −30 ) ⋅ ( −4 0 ) ⋅ ( −5 0 ) ⋅ ( −6 0 ) ⋅ ... ⋅ ( −11 ) − 2 ( −2)!´ = = = ( −5 0 ) ⋅ ( −6 0 ) ⋅ ... ⋅ ( −11 ) ⋅10 ⋅ 2 0 ⋅ 3 0 3 ( −5)!´⋅3!´ =
( −2 0 ) ⋅ ( −30 ) ⋅ ( −4 0 ) − 24 0 = = −4 0 10 ⋅ 2 0 ⋅ 3 0 60
Je patrné, že řešení příkladu je v souladu s ideou záporného faktoriálu. -18-
5.
KONTAKT xxx xxxxxx xxxxx xxx xxxxxxxx PSČ: xxx xx tel: +420xxxxxxxxx e-mail:
[email protected]
základní informace: Mé nejvyšší dosažené vzdělání v matematice se sestává z těchto předmětů na Univerzitě x xxxxxxx, xxxx: Matematika I, doc.RNDr. x. xxxxxxxxx Csc., 13.1.1999 Matematika II, doc.RNDr. x. xxxxxxxxx Csc., 1.6.1999 Vzdělání související s využitím matematiky: MATLAB I, Ing. x. xxxxx Csc., 10.1.2001 MATLAB II, Ing. x. xxxxx Csc., 30.5.2001
-19-
