RUANG BANACH C ESS ( H , L 2 ([a , b]) ) , . C SEBAGAI RUANG OPERATOR
ESS
YANG DIBANGKITKAN OLEH FUNGSI TERUKUR DAN TERBATAS ESSENSIAL Muslim Ansori1 dan Y.D. Sumanto2 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung Jln. Soemantri Brodjonegoro No.1 Bandar Lampung E-mail:
[email protected] 2 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Diponegoro Jln. Prof. H. Soedarto, SH, Tembalang, Semarang 1
Abstract. In this paper, we construct a new normed Banach space from collection of all Carleman operators from Hilbert space H into Lebesgue space L 2 ([a, b]) , denoted by
C ESS ( H , L 2 ([a, b]) ) , . with respect to the norm K CESS
(
CESS
= ess.sup k ( x ) x∈[0,1]
H
for
)
every K ∈ C ESS H , L 2 ([a, b]) generated by an essensially bounded measurable function
k :[a, b] → H . Keywords: Carleman operators, essensially bounded measurable functions.
1. PENDAHULUAN Operator Carleman dikembangkan pertama kali pada L 2 ([a, b]) yaitu koleksi semua fungsi f :[a, b] ⊂ ℜ → ℜ dengan b
∫ f ( y) a
2
dy < ∞ ,
dan
dilakukan
oleh
Carleman (1923). Selanjutnya, untuk menghormati penemunya, operator tersebut dinamakan operator Carleman. Operator Carleman tersebut berbentuk b
( Kf )( x ) = ∫a k ( x, y ) f ( y ) dy untuk setiap f ∈ L 2 ([a, b]) , dengan b
∫ k ( x, y ) a
2
dy < ∞
hampir untuk setiap x ∈ [a, b] . Dalam hal ini, fungsi k merupakan fungsi terukur dan dinamakan kernel atau pembangkit operator K . Penelitian-penelitian tentang operator Carleman selanjutnya banyak dilakukan antara lain oleh Korotkov (1970, 1971, 1972). Dalam karya-karyanya tersebut, Korotkov banyak menjelaskan
sifat-sifat kernel operator Carleman pada ruang Hilbert. Penelitian-penelitian terkini berkaitan dengan operator Carleman antara lain oleh Novitskii (1994) memberikan representasi integral dari operator-operator linear menggunakan kernel mulus tipe Mercer, Novitskii (2002) memberikan representasi integral operator-operator tak terbatas menggunakan kernel mulus, Novitskii (2003) memberikan representasi integral operator-operator tertutup menggunakan kenel mulus dan Novitskii (2003) memberikan ekuivalensi uniter simultan terhadap operator Carleman dengan kernel mulus sebarang. Selanjutnya, Ansori (2009) berhasil menunjukkan bahwa semua operator Carleman yang dibangkitkan oleh fungsi terukur terbatas essensial pada [a, b] membentuk ruang linear bernorma, yang terinspirasi oleh laporan kemajuan penelitian yang dilakukan Ansori dkk. (2008) tentang operator-DA dengan memperumum operator Carleman pada ruang Banach. Jadi, tulisan ini akan 111
Jurnal Matematika Vol. 12, No.2, Agustus 2009:111-116
memberikan kasus khusus dari operator tersebut. Pada tulisan ini, akan dikaji syarat perlu dan cukup bagi kernel suatu operator Carleman K dari ruang Hilbert H ke ruang Lebesgue L 2 ([a, b]) supaya K linear kontinu dan sekaligus akan dibuktikan bahwa ruang linear bernorma C ESS ( H , L 2 ([a, b]) ) , . CESS
merupakan ruang Banach. 2. HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN Bagian ini dibagi menjadi dua bagian. Bagian pertama menyajikan definisi dan notasi yang memuat pengertian-pengertian dasar dan hasil-hasil terdahulu yang menjadi landasan penelitian ini. Bagian kedua memuat hasilhasil penelitian yang berkaitan dengan topik yang dibicarakan tentang konstruksi ruang Banach C ESS ( H , L 2 ([a, b]) ) , . CESS
sebagai hasil utama.
Carleman yang dibangkitkan oleh suatu fungsi terukur k :[a, b] → H , maka untuk setiap f ∈ H berlaku
( K1 f )( x ) = f , k ( x ) dan ( K 2 f )( x ) = f , k ( x ) . Selanjutnya, berdasarkan sifat linear K1 dan K 2 , diperoleh 0 = ( K1 f )( x ) − ( K 2 f )( x ) = ( ( K1 − K 2 ) f ) ( x ) hampir untuk setiap x ∈ [a, b] dan f ∈ H . Oleh karena itu, untuk setiap f ∈ H
( K1 − K 2 ) f
= K1 f − K 2 f = θ L2 [ a ,b ] ⇔ K1 f = K 2 f
dengan θ L2 [ a ,b ] merupakan fungsi nol, sehingga K1 = K 2 . Contoh 1 Diberikan fungsi terukur k ∈ L 2 ([ a, b ] × [a, b]) . Oleh karena itu,
k ( x ) = k ( x,.) ∈ L 2 ([a, b]) hampir untuk setiap x ∈ [ a , b] . Operator linear K : L 2 ([a, b]) → L 2 ([a, b]) dengan rumus, untuk setiap f ∈ H
2.1 DEFINISI DAN NOTASI Beberapa sifat-sifat operator Carleman dari ruang Hilbert H ke ruang L 2 ([a, b]) berikut sangatlah mendasar: Definisi 1 [10] Diberikan ruang Hilbert H . Suatu K : H → L 2 ( [ a , b ]) operator linear dinamakan operator Carleman jika ada fungsi terukur k :[a, b] → H sehingga untuk setiap f ∈ H
( Kf )( x ) =
f , k ( x)
hampir untuk setiap x ∈ [a, b] . Selanjutnya, k disebut pembangkit (kernel) operator Carleman K : H → L 2 ([a, b]) . Operator K yang dibangkitkan oleh kernel k tersebut bersifat tunggal, sebab jika K1 dan K 2 masing-masing meruapakan operator 112
( Kf )( x ) =
b
f (.) , k ( x,.) = ∫ k ( x, y ) f ( y ) dy a
hampir untuk setiap x ∈ [a, b] , merupakan operator Carleman yang dibangkitkan oleh k. Selanjutnya, notasi C ( H , L 2 ([a, b]) ) menyatakan koleksi semua operator Carleman dari H ke L 2 ([a, b]) . Teorema 2 [10] Jika K ∈C ( H , L 2 ([a, b]) )
maka K
tertutup. Bukti : Karena K ∈C ( H , L 2 ([a, b]) ) ,
maka terdapat fungsi terukur sehingga untuk setiap k :[a, b] → H f ∈H
berlaku
( Kf )( x ) =
f , k ( x) ,
hampir untuk setiap x ∈ [a, b] . Diambil
Muslim Ansori1 dan Y.D Sumanto2 ( Ruang Banach C ESS H , L 2 ([a , b]) , .
sembarang
barisan
{ fn} ⊂ H
yang
konvergen ke suatu f ∈ H dan barisan {Kf n } konvergen ke suatu g ∈ L 2 ([a, b]) . Karena k ( x ) ∈ H = H * , hampir untuk setiap
x ∈ [ a , b]
{Kf ( x )} = { n
{
f , kn ( x )
}
f , k ( x ) = { Kf ( x )}
maka
}
barisan
konvergen hampir
ke
untuk
setiap x ∈ [a, b] . Oleh karena itu, dengan ketunggalan limit diperoleh g = f , k ( x ) , hampir untuk setiap f ∈ H bahwa K tertutup. ■
atau terbukti
Teorema 3 [10] Himpunan C ( H , L 2 ([a, b]) ) merupakan
ruang linear. Bukti : Diambil dua operator K1 , K 2 ∈C ( H , L 2 ([a, b]) ) sembarang.
Oleh karena itu, terdapat fungsi terukur dan k2 :[a, b] → H k1 :[a, b] → H
(
)
C ESS
sebagai Ruang ... )
Berikut ini akan diberikan salah satu syarat bagi kernel k :[a, b] → H untuk menjadi pembangkit operator Carleman K : H → L2 ([a, b]) sebagai bagian dari hasil utama penelitian ini. Perlu diingat kembali, suatu fungsi k :[a, b] → H dikatakan terbatas essensial pada [ a, b] jika terdapat himpunan terhitung E ⊂ [ a, b] sehingga k :[a, b] \ E → H terbatas. Dengan kata lain, jika k :[a, b] → H terbatas essensial maka terdapat bilangan real positip M sehingga sup k ( x ) H = ess.sup k ( x ) H ≤ M x∈[ a ,b ]\ E
x∈[ a ,b ]
Teorema 4 [1] Diberikan ruang Hilbert H . Operator linear K : H → L 2 ([a, b]) merupakan operator Carleman jika dan hanya jika terdapat fungsi terukur k :[a, b] → H dan k (.) H ∈ L 2 ([ a, b]) sehingga
( Kf )( x ) ≤
f
k ( x) H
H
hampir untuk setiap x ∈ [ a, b] .
sehingga untuk setiap f ∈ H berlaku
( K1 f )( x ) = f , k1 ( x ) dan ( K 2 f )( x ) = f , k2 ( x ) hampir untuk setiap x ∈ [a, b] . Karena k1 :[a, b] → H dan k2 :[a, b] → H terukur maka
α k1 :[a, b] → H , β k2 :[a, b] → H
(α + β ) k1 :[a, b] → H
dan terukur untuk
setiap skalar α , β . Selanjutnya diperoleh ((αK1 + βK 2 ) f )(x ) = (αK1 f )(x ) + (βK 2 f )(x ) = ( f , αk1 ( x )) + ( f , βk 2 ( x )) = ( f , α k1 ( x ) + β k2 ( x ) )
= ( f , (α k1 + β k2 )( x ) ) . Jadi, α K1 + β K 2 merupakan operator Carleman yang dibangkitkan oleh fungsi terukur α k1 + β k2 . ■
Bukti : Karena K ∈C ( H , L 2 ([ a, b]) )
maka terdapat fungsi terukur sehingga untuk setiap k :[a, b] → H f ∈ H berlaku ( Kf )( x ) = f , k ( x ) , hampir untuk setiap x ∈ [ a, b] . Oleh karena itu ( Kf )( x ) = f , k ( x ) ≤ f
H
k ( x)
H
hampir untuk setiap x ∈ [ a, b] . Dengan demikian
( ∫E ( Kf )( x)
2
)
1 2
dx ≤ f
H
(∫
E
)
1
k ( x) H dx 2 < ∞
jika dan hanya jika k (.) H ∈ L 2 ([ a, b]) . Sebaliknya, karena k :[a, b] → H fungsi terukur dan k (.) H ∈ L 2 ([ a, b]) sehingga
( Kf )( x ) ≤
f
H
k ( x)
H
113
Jurnal Matematika Vol. 12, No.2, Agustus 2009:111-116
hampir untuk setiap x ∈ [ a, b] , untuk setiap f ∈ H , operator linear K : H → L 2 ([a, b]) dapat dirumuskan dengan untuk
( Kf )( x ) =
f , k ( x) ,
x ∈ [ a , b] .
setiap
K ∈C ( H , L 2 ([ a, b]) ) .
hampir Terbukti,
■
αK
CESS
= ess.sup α k ( x ) x∈[ a ,b ]
x∈[ a ,b ]
(iii) Untuk K , L ∈C ESS ( H , L 2 ([a, b]) )
setiap dengan
x∈[ a ,b ]
(
≤ ess.sup k ( x ) H + l ( x ) H x∈[ a ,b ]
)
≤ ess.sup k ( x ) H + ess.sup l ( x ) H ≤ K x∈[ a ,b ]
Jadi K + L
CESS
x∈[ a ,b ]
≤ K
CESS
+ L
CESS
Berdasarkan (i),(ii),(iii) dan Teorema 3, terbukti bahwa C ESS ( H , L 2 ([a, b]) ) merupakan ruang linear bernorma. ■
. :C ESS ( H , L 2 ([ a, b]) ) → ℜ
dengan rumus K
CESS
= ess.sup k ( x ) H . x∈[ a ,b ]
2.2 RUANG BANACH C ESS ( H , L 2 ([a , b]) ) , . C
Teorema 5 [1] Himpunan C ESS (H , L 2 ([a, b]) ) merupakan ruang linear bernorma terhadap norma .C . ESS
Bukti : (i) Untuk setiap K ∈C CESS ( H , L 2 ([ a, b]) ) ,
operator dengan
pembangkit fungsi terbatas k :[a, b] → H diperoleh
essensial
K K
K
CESS
C ESS
CESS
= ess.sup k ( x ) H ≥ 0 dan x∈[ a ,b ]
= 0 ⇔ ess. sup k (x ) x∈[a , b ]
= 0 ⇔ ess.sup k ( x ) H = 0 ⇔ k ( x ) H x∈[ a ,b ]
(O operator nol) hampir di mana-mana pada [a, b] . (ii) Untuk setiap K ∈C CESS ( H , L 2 ([ a, b]) ) dengan fungsi pembangkit terbatas essensial k :[a, b] → H dan skalar α , diperoleh
114
CESS
fungsi pembangkit terbatas essensial k :[a, b] → H dan l :[a, b] → H , diperoleh K + L C = ess.sup k ( x ) + l ( x ) H ESS
Salah satu yang memenuhi sifat di dalam teorema di atas, yaitu jika k :[a, b] → H fungsi terukur dan terbatas essensial. Selanjutnya notasi C ESS (H , L 2 ([a, b]) ) menyatakan koleksi semua operator Carleman dari H ke L 2 ([a, b]) yang dibangkitkan oleh fungsi terukur dan terbatas essensial k :[a, b] → H . Didefinisikan fungsi norma pada C ESS ( H , L 2 ([a, b]) ) , dengan
= α ess.sup k ( x ) H = α K
H
ESS
Berdasarkan Teorema 4 dan Teorema 5 diperoleh Teorema 6 CESS (H ,L2 ([a,b]) ) , . ⊂ Lc ( ( H ,L2 ([a,b]) ) ) , . C ESS
Bukti
:
Diambil
sembarang
K ∈ C ESS ( H , L 2 ([a, b]) ) , . C ESS
yang
dibangkitkan oleh fungsi terukur terbatas essensial k :[a, b] → H . Oleh karena itu, terdapat suatu himpunan terhitung E ⊂ [ a, b] sehingga k terbatas pada a, bk] \=Eθ . ⇔ Dengan = 0[⇔ K = Okata lain, terdapat suatu bilangan real M > 0 , sehingga ess.sup k ( x ) H ≤ M . x∈[ a ,b ]
Akan ditunjukkan K ∈ L c ( H , L 2 ([a, b]) ) , . L c ( H , L 2 [a, b]) merupakan
bahwa dengan koleksi
semua fungsi linear kontinu dari H
ke
CESS
+ L
CESS
Muslim Ansori1 dan Y.D Sumanto2 ( Ruang Banach C ESS H , L 2 ([a , b]) , .
L 2 [a, b] . Berdasarkan yang diketahui, diperoleh Kf
=
{∫
≤ f ≤ f
b
a
H
H
f , k ( x)
{∫
b
a
2
k ( x)
} dx}
dx 2
1 2
C ESS
ess.sup k ( x ) x∈[ a ,b ]
1 2
H
b−a
Akibat 7 Jika K ∈ C ESS ( H , L 2 ([a, b]) ) , . C dengan pembangkit fungsi terukur dan terbatas essensial k :[a, b] → H maka ESS
L c ( H , L 2 ([ a , b ] ) )
≤ K
CESS
b−a
ess.sup ki ( x ) − k j ( x )
≤ sup f f ≤1
≤ K
C ESS
Teorema 8 Himpunan
= sup Kf f ≤1
H
b−a
x∈[ a ,b ]
ε
i →∞
Dilain pihak, berdasarkan Teorema 6, berlaku CESS ( H , L2 ([a,b]) ) , . ⊂ Lc (H , L2 ([a,b]) ) , . CESS
(
)
Oleh karena itu, {Ki } ⊂ L c (H , L 2 ([a, b]) ) juga
merupakan barisan Cauchy. Karena L c ( H , L 2 [a, b]) lengkap maka terdapat lim K i = K . i →∞
Berdasarkan sifat-sifat di atas, diperoleh untuk setiap f ∈ H i→∞
hampir untuk setiap
x ∈ [a, b] , yaitu
K ∈C ESS ( H , L 2 ([a, b]) ) . Dengan kata
■
merupakan ruang Banach.
lain, terbukti {Ki } ⊂ C ESS (H , L 2 ([a, b]) )
Bukti : Diambil sebarang barisan Cauchy dengan {Ki } ⊂ C ESS (H , L 2 ([a, b]) )
yang yang
terukur dan terbatas essensial, i = 1, 2,... . Oleh karena itu, untuk setiap bilangan ε > 0 , terdapat bilangan bulat positip n0 sehingga untuk setiap dua bilangan bulat positip i, j ≥ n0 , berlaku
barisan konvergen
ke suatu K ∈C ESS ( H , L 2 ([a, b]) ) atau himpunan
pembangkit ki : E → H
<
2 k x { i ( )} CESS
untuk setiap x ∈ [a, b] , juga merupakan barisan Cauchy di dalam ruang Hilbert H . Karena ruang Hilbert H lengkap maka terdapat suatu fungsi terukur dan terbatas essensial k : E → H sehingga lim ki ( x ) = ki ( x ) untuk setiap x ∈ [a, b] .
i→∞
C ESS ( H , L 2 ([a, b]) ) , . CESS
barisan fungsi bersesuaian {ki } ,
= Ki − K j
lim f , ki ( x) = lim( Ki f )( x) = ( Kf )( x) = f , k ( x)
L 2 ([ a , b ] )
ess.sup k ( x ) H
b − a.
H
K ∈ L c ( H , L 2 ([a, b]) ) sehingga
Bukti : Berdasarkan bukti di dalam Teorema 6, diperoleh Lc (H ,L 2 ([ a ,b ]) )
sebagai Ruang ... )
Oleh karena itu, barisan vektor
Dengan demikian K linear dan kontinu dan terbukti K ∈ L c ( H , L 2 ([a, b]) ) , . . ■
K
)
x∈[ a ,b ]
L 2 ([ a ,b ])
K
(
C ESS ( H , L 2 ([a, b]) ) , . CESS
merupakan ruang Banach.
■
3. KESIMPULAN DAN SARAN Ruang linear bernorma C ESS ( H , L 2 ([a, b]) ) , . CESS
merupakan
ruang Banach terhadap norma
.C . ESS
Penelitian lanjutan terhadap ruang Banach C ESS ( H , L 2 ([a, b]) ) , . CESS
yaitu
menyelidiki kekompakan operator tersebut dan menyelidiki apakah ruang ini 115
Jurnal Matematika Vol. 12, No.2, Agustus 2009:111-116
merupakan aljabar banach di dalam ruang L c ( H , L 2 [ a , b] ) , . .
DAFTAR PUSTAKA [1] Ansori, M. (2009), Ruang Linear C ESS ( H , L 2 ([a, b]) ) , Bernorma Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika dalam rangka Pekan Ilmiah Pendidikan Matematika, PIPM 2009, Jurusan Matematika, FMIPA, UNY, Yogyakarta, 31-36. [2] Ansori, M., Darmawijaya, S., Supama. (2008), DA-Operators on Banach Spaces Via Kernel, International Conference on Mathematics and Natural Sciences, ITB, Bandung. [3] Korotkov, V.B. (1970), Characteristic Properties of Integral Operators with Kernels of Carleman Type, Siberian Math. Journal, 11(1) : 84-104. [4] Korotkov, V.B. (1971), Carleman Operators in Spaces of Abstrac Functions I, Siberian Math. Journal, 12(4) : 516-522.
116
[5] Korotkov, V.B. (1971), Carleman Operators in Spaces of Abstrac Functions II, Siberian Math. Journal, 12(4) : 523-530. [6] Novitskii, I.M. (1994), Integral Representation of Linear Operators by Smooth Carleman Kernels of Mercer Type, Proc. London Math. Soc., 3 : 161-177. [7] Novitskii, I.M. (2002), Integral Representation of Unbounded Operators by Smooth Carleman Kernels , Preprint. [8] Novitskii, I.M. (2003), Integral Representation of Closed Operators as Bi-Carleman Operators with Arbitrarily Smooth Kernels, Research Report, Far Eastern Branch of The Russian Academy of Science. [9] Novitskii, I.M. (2003), Simultaneous Unitary equivalence to Carleman Operators with Arbitrarily Smooth Kernels, Research Report, Far Eastern Branch of The Russian Academy of Science. J. (1980), Linear [10] Weidmann, Operators in Hilbert Spaces, Springer Verlag, New York.
