1. Határozzuk meg R2 és R3 ellenállások értékét, ha U=300V, R1 = 100Ω , az ampermérő 818mA áramot, a voltmérő 163, 63V feszültséget jelez! Az ampermérő ellenállását elhanyagolhatóan kicsinek, a voltmérőét végtelen nagynak tekinthetjük. R2 R1
A
R3 V
U Megoldás: Tudjuk, hogy I 2 = 818mA és U 3 = 163,63V , de mivel az ampermérőn nulla ellenállása miatt nem esik feszültség, U 2 = U 3 = 163, 63V . Felírható az R2 ellenállásra, hogy: U 163, 63V R2 = 2 = = 200, 03Ω ≈ 200Ω. . I2 0,818A Számoljuk ki a jobboldali R2 - R3-blokk eredő ellenállását. Az ampermérő sorosan van bekötve, emiatt nullát kell hozzáadni az R2-höz a legfelső ág számításánál, a voltmérő R2 R3 párhuzamosan van, rajta nem folyik keresztül áram. Ezért R2,3 = , ahol R3 egyelőre R2 + R3 ismeretlen. A jobboldali R 23 blokk sorosan van kapcsolva a baloldali R1-gyel, és tudjuk, hogy U R soros kapcsolás esetén a feszültségek az ellenállások arányában oszlanak meg: 1 = 1 . U 2,3 R 2,3 Ebből kapjuk, hogy UR UR 163, 63V ⋅100Ω = 119,99Ω. ≈ 120Ω . R 2,3 = 3 1 = 3 1 = U1 U − U 3 300V − 163, 63V Visszaírva ezt a párhuzamosan kapcsolt ellenállásokról kapott összefüggésbe: R 2 , 3 ( R 2 + R 3 ) = R 2 R3 Behelyettesítve: 24000 + 120 R3 = 200 R3 , ahonnan R3 ≈ 300Ω . Tehát a keresett ellenállások R2 ≈ 200Ω , illetve R3 ≈ 300Ω értékűek.
2. feladat Mekkora az egyes ellenállások teljesítménye az áramkörben? (U=100V, R1 = 100Ω , R2 = 150Ω , R3 = 200Ω , R4 = 250Ω , R5 = 300Ω , R6 = 350Ω ) R6
R4
R1
U
R2
R5 R3
U2 . R Az áramkörben R2 ellenállás rövidre van zárva ( P2 = 0W ), így R1 ellenállás R3-mal egyszerűen sorosan van kötve. R1,3 = R1 + R3 = 100Ω + 200Ω = 300Ω. Az áramforrástól nekünk balra levő rendszer: R6 ellenállás sorosan kapcsolásban van az R4-R5 R4 R5 (250Ω) ⋅ (300Ω) = = 136,36Ω. . rendszerrel. Az R4-R5 rendszer eredője: R4,5 = R4 + R5 250Ω + 300Ω Ez a két főág párhuzamosan van kapcsolva, így a feszültség a két főágon egyenlő: U 1,3 = U 4,5, 6 = U . R1 és R3 ellenálláson a feszültség az ellenállások arányában oszlik meg: Megoldás: A teljesítmény az ellenállásokkal kifejezve: P = UI = I 2 R =
U1 U = . Emiatt a teljesítmények: R1 R1 + R3 P1 =
2 1
U = R1
(U ⋅
R1 )2 R1 + R3 = 11,11W, R1
(U ⋅
R3 )2 R1 + R3 = 22,22W . R3
és P3 =
2 3
U = R3
R4-R5-R6 ellenállásokra hasonló módon jut a feszültség azzal a különbséggel, hogy itt az egyik ellenállást két, párhuzamosan kapcsolt másik ellenállással helyettesítjük: R6 U6 = U ⋅ = 71,96V , U 4,5 = U − U 6 = 28,04V . Ennek megfelelően a teljesítmények: R 4 , 5 + R6
P4 =
U 4,5 R4
2
2
U 4,5 U 62 (28,04V ) 2 (28,04V ) 2 = = 3,145W , P5 = = = 2,62W , P6 = = 14,795W . 250Ω 300Ω R6 R5
3. feladat Mekkora az R2 ellenálláson eső feszültség, és az áramerősség? Mekkora töltés ül a kondenzátoron? (U=50 V, R2 = 15Ω , R3 = 10Ω , C = 10 μF ) R1 R2 R3 U Megoldás: Az R1 ellenálláson – stacionárius esetben - nem folyhat áram a kondenzátor miatt, ezért rajta feszültség sem esik. Az R2 ellenállás R3-mal sorosan van kötve ezért R2,3 = R2 + R3 = 15Ω + 10Ω = 25Ω. Emiatt az eredő ellenállás: Re = 25Ω . Az R2 és az R3 ellenálláson azonos az áramerősség. Ez U I2 = = 2 A nagyságú és ugyanezen ellenállásra U 2 = I ⋅ R2 = 30V feszültség esik. Re A kondenzátor feszültsége U 2 = 30V , ezért rajta a töltés Q = C ⋅ U 2 = 300μC 4. feladat
Mekkora áramerősség jut R3 ellenállásra? Mekkora az egyes ellenállások teljesítménye? ( U = 50V , R1 = 50Ω , R2 = 75Ω , R3 = 100Ω , R4 = 125Ω ) R1 R2 R4 U R3 Megoldás: R4 ellenálláson nem folyik áram, hiszen rövidre van zárva. Így R1 R2 és R3 U 2 (50V ) 2 ellenállásra egyaránt U=50V feszültség jut. Emiatt: P 1 = = = 50W , R1 50Ω U 2 (50V ) 2 50V U = ≈ 33,33W . Az R3 ellenállásra I 3 = = = 500mA áramerősség jut, R2 75Ω R3 100Ω így teljesítménye: P3 = U ⋅ I 3 = 50V ⋅ 0,5 A = 25W . P2 =
5. feladat Mekkora az áramkör eredő ellenállása a bal és a jobboldali elektróda között? R
R
R
R R
R
R R
R
Megoldás: Balról az első párhuzamosan kapcsolt ágban (ahol 2R van R-rel párhuzamosan 2R ⋅ R 2R 2 2R . kapcsolva) az eredő: R1 = = = 2R + R 3R 3 A jobboldali ágban lényegében 3 egymással párhuzamosan kapcsolt ellenállás sorozat áll. 1 1 1 1 2 + 6 + 3 11 6R Ezen rész ellenállása: . Ez a két nagy = + + = = . Amiből R2 = 6R 6R R2 3R R 2 R 11 ág egymással sorosan van kapcsolva Emiatt az eredő ellenállás: 2 R 6 R 22 R + 18 R 40 Re = R1 + R2 = + = = R. 3 11 33 33 6. feladat Az áramkör minden ellenállása R nagyságú. Mekkora feszültséget jelez a voltmérő a) a K kapcsoló zárt b) a K kapcsoló nyílt állása esetén? (A voltmérő ellenállása végtelen nagynak, a telep ellenállása elhanyagolhatónak tekinthető, U=140V)
R
R
R
K R
R
V
U Megoldás: a) Vegyük észre, hogy a voltmérő a vele párhuzamosan kapcsolt R ellenállás feszültségét jelzi. Ez esetben K zárásával az utóbbi ellenállás és voltmérője rövidre lesz zárva, azaz nem folyik rajta áram, tehát feszültsége: U zárt = 0V. b) Mikor a kapcsolót kinyitjuk, az áramkör a következőképp módosul: A feszültségmérős ellenállás sorosan lesz kötve a bal oldali, 3 ágból álló párhuzamosan kapcsolt (4 ellenállást tartalmazó) rendszerrel. Az utóbbi rendszer eredő ellenállása: 1 1 1 1 1+ 2 + 2 5 = + + = , = 2R 2R R1 2 R R R 2R amiből R1 = nagyságú. A feszültség az ellenállások arányában oszlik meg. Emiatt a 5 R voltmérő által mért feszültség: U nyitott = U ⋅ ≈ 100V nagyságú. 2 R+R 5 7. feladat: Mekkora az áramkör eredő ellenállása, ha a) K1 kapcsoló zárva, és K2 kapcsoló zárva, b) a) K1 kapcsoló zárva, és K2 kapcsoló nyitva, c) K1 kapcsoló nyitva, és K2 kapcsoló zárva, d) K1 kapcsoló nyitva, és K2 kapcsoló nyitva van? ( R1 = 400Ω , R2 = 500Ω , R3 = 600Ω , R4 = 700Ω ) R4 R3
K1
K2 R1
U R2 Megoldás: a) A K1 és K2 kapcsoló zárt állása esetén R1 ellenállás rövidre van zárva, a másik három fogyasztó párhuzamos kapcsolásban van az áramkörben. Az eredő ellenállás: 1 1 1 1 1 = 196,26Ω . , ahonnan Re = = + + 1 1 1 Re R2 R3 R4 + + R1 R2 R3 b) A kapcsolók ezen állásakor R2 ellenállás párhuzamosan van kötve azzal az ággal, ahol R1 sorosan van kötve a párhuzamosan kapcsolt R3 –R4 ellenállásokkal. A felső R1 -R3 –R4 rendszer eredője:
R1,3, 4 = R1 +
1
= 400Ω +
1
= 723,08Ω. 1 1 1 1 + + R3 R4 600Ω 700Ω Ez az ág párhuzamosan van kötve R2 ellenállással, így az eredő ellenállás: 1 1 Re = = = 295,60Ω. 1 1 1 1 + + R1,3, 4 R2 723,08Ω 500Ω c) A K1 kapcsoló zárása miatt R3 ellenálláson nem folyik áram, valamint a K2 kapcsoló zárása miatt R1 –en sem, hiszen rövidre van zárva. Így az áramkörben R2 és R4 ellenállás párhuzamosan van kötve, azaz az eredő: 1 1 Re = = = 291,67Ω. 1 1 1 1 + + R2 R 4 500Ω 700Ω d) K1 kapcsoló nyitása miatt R3 ellenálláson nem folyik áram, de R1 és R4 ellenállások egymással sorosan vannak kötve. Eredőjük: R1, 4 = R1 + R4 = 400Ω + 700Ω = 1100Ω. Ez az ág párhuzamos kapcsolásban R2 ellenállással, ami miatt az áramkör eredő ellenállása: 1 1 Re = = = 343,75Ω. 1 1 1 1 + + R2 R1, 4 500Ω 1100Ω 8. feladat: A csúszka mely helyzetén nem mérhető áram az ampermérőn? Az áramforrás feszültsége U=200V. ( R1 = 300Ω , R2 = 500Ω , a szürkével jelölt ellenállás-rúd l = 0,2m hosszú, R ellenállású)
R1
R2 A
U Megoldás: Az ampermérőn akkor nem folyik áram, ha végei között nincs potenciálkülönbség. (Ekvipotenciális pontok, azaz ugyanolyan feszültséggel rendelkeznek). A változtatható ellenállás ellenállása a hosszal egyenesen arányos. A párhuzamos kapcsolás miatt (R1 és R2)– re és a változtatható ellenállásra szintén U=200V jut. Más megfogalmazásában akkor nem x R R1 = l (ahol x a változtatható ellenállás bal oldali folyik áram az ampermérőn, ha R2 l − x R l végétől a csúszka távolsága). Az egyenlet megoldása: R1 300Ω l ⋅ 0, 2m R2 500 Ω x= = = 0, 075m = 7,5cm. R1 300Ω 1+ 1+ 500Ω R2
Tehát x=7,5cm-re kell elhelyezni a csúszka az ellenállás bal oldali végétől ahhoz, hogy ne folyjon az ampermérőn áram. (Megjegyzés: A kapcsolás struktúrája megegyezik a Wheatstone-mérőhíddal.) 9. Hányszor nagyobb a jobboldali kondenzátoron ülő töltés stacionárius állapotban, mint a baloldalin ülő?
Megoldás: a két ellenálláson ugyanakkora áram folyik, ezért Az U=RI képlet miatt a jobboldalira négyszer akkora feszültség esik. A kondenzátorok az ugyanazon oldalon lévő ellenállásokkal párhuzamosan vannak kapcsolva, ezért a jobboldali kondenzátorra szintén négyszer akkor feszültség esik. Innen a Q=CU képlettel kapjuk, hogy 8-szor nagyobb a jobboldali kondenzátor feszültsége.
C
2C
R
4R
ε
10. Az alábbi kapcsolásban a következő adatokat ismerjük: R 2 = 4Ω P2 = 16W , P3 = 27W , P4 = 9W , P5 = 40W , R 6 = 9Ω . Mekkora az áramforrások és a kondenzátorok feszültsége?
R1 C2
C1 R2
R5 R6 R3
U R4
C3
U
Megoldás: Az R2 ellenálláson 2A-es áram folyik. Az R1-en nem folyik áram, tehát I5 = I6 = 2A , ebből R 5 = 10Ω . A hatos ellenálláson 18V feszültség esik. A hármas és a négyes ellenállás párhuzamosan van kapcsolva, tehát feszültségük megegyezik. A hármason háromszor akkora a teljesítmény, tehát az áramerősség is, mint a négyesen, vagyis I3 = 1,5A és I 4 = 0,5A , a feszültség mindkettőn 18V, mint ahogy a 3-as kondenzátoron is. Az 1-es kondenzátor feszültsége az R2-n eső feszültséggel egyezik meg, tehát U C1 = 8V (ezt és a következő állítást a huroktörvénnyel könnyen igazolhatjuk). A második kondenzátor ennél U5 = I5 R 5 = 20V -tal több, tehát U C2 = 28V . A két áramforrás feszültségére írhatjuk, hogy 2U = U 2 + U 5 + U 6 + U 3 = 8V + 20V + 18V + 18V = 64V , tehát U=32V.
