Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV.2
Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.2.2
Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice Kapitola 23 Iracionální rovnice I PaedDr. Iveta Unzeitigová
30. 9. 2012
Obsah ÚVOD - ANOTACE ..................................................................................................................................... 1 1
IRACIONÁLNÍ ROVNICE I ..................................................................................................................... 2 1.1
PRACOVNÍ LIST - IRACIONÁLNÍ ROVNICE I................................................................................................... 4
2
DOPORUČENÁ LITERATURA ................................................................................................................ 5
3
POUŽITÁ LITERATURA A ZDROJE......................................................................................................... 6
Úvod - anotace Výukový materiál Iracionální rovnice I se zabývá výkladem a řešením iracionálních rovnic. Pro úspěšné zvládnutí této kapitoly je nezbytné úspěšně zvládnout vzdělávací materiály: Ryze kvadratické rovnice I (Kapitola 10) Kvadratické rovnice bez absolutního členu I (Kapitola 12) Úplné kvadratické rovnice I (Kapitola 14) Ke každé kapitole je vypracován pracovní list sloužící k procvičení a upevnění učiva dle daného tématu. Každý pracovní list je kompletován i s výsledky. Výukový materiál Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice je určen žákům prvních ročníků všech oborů ukončených maturitní zkouškou, včetně žáků nástavbového studia. Je vhodný k samostudiu i jako podpora pedagogických pracovníků při jejich přípravě na vyučovací hodinu. Rozsah učiva je v souladu s ŠVP předmětu Matematika s ohledem na Katalog požadavků společné části maturitní zkoušky z matematiky, platný od školního roku 2014 i od roku 2015/2016.
1
Iracionální rovnice I
1
Rovnice s neznámou pod odmocninou (tzv. iracionální rovnice) jsou rovnice, které obsahují výrazy s neznámou pod odmocninou. Tyto rovnice se řeší umocňováním, což je neekvivalentní úprava, proto je nutnou součástí řešení zkouška. Poznámka: 1. Umocňování je ekvivalentní úprava jen tehdy, jsou-li obě strany rovnice nezáporné. To nelze zaručit, jestliže se v rovnicích vyskytuje neznámá. 2. Zkoušku provádíme dosazením výsledku řešení do řádku před prvním umocňováním. 3. Před řešením vždy stanovíme definiční obor, zda má daná rovnice smysl, ten však nenahrazuje zkoušku. Doporučené vzorce: (a ± b)2= a2 ± 2ab + b2 a2 – b2 = (a + b)· (a – b) ! Vzorce platí oběma směry! Postup úpravy při řešení iracionální rovnice: 1. a) Rovnice s jednou odmocninou – odmocninu osamostatníme na jednu stranu rovnice. b) Rovnice s dvěma odmocninami – vhodně je rozdělíme na obě strany rovnice a umocňujeme dvakrát. 2. Dle doporučených vzorců rovnici upravíme. 3. Další úprava vede na lineární nebo kvadratickou rovnici, kterou vyřešíme. 4. Zkouška! 5. Určíme obor kořenů (definiční obor). Příklad 1 Řešte v R rovnici:
4 x 3
Řešení: Rovnici umocníme
4 x 3 4–x=9 -x = 5 x = -5
2
/2 /.(-1)
Zkouška:
4 (5) = 9 = 3
L(-5) = P(-5) = -3
L≠P
Výsledek: Zkouška vyloučila příslušný kořen. Obor kořenů (definiční obor): K = Ø
Příklad 2 Řešte v R rovnici:
x7 5 x
Řešení:
x7 5 x
Rovnici
x 7 x 5 /2
upravíme umocníme
x7
x 5
2
2
(a - b)2= a2 - 2ab + b2 x + 7 = x2 – 10x + 25
dostaneme anulujeme řešíme kv. rovnici
-x2 + 11x – 18 = 0 x2 - 11x + 18 = 0 (x – 2)(x – 9) = 0 x1 = 2; x2 = 9
Zkouška: L(2) = P(2) = 2 L(9) = P(9) = 9
2 7 5=
9 +5 = 3 + 5 = 8 L≠P
9 7 5 = 16 + 5 = 4 + 5 = 9 L=P
Výsledek: Zkouška upřesnila, že rovnice má pouze jediný výsledek. Obor kořenů (definiční obor): K = 9
3
1.1
Pracovní list - Iracionální rovnice I
Řešte rovnice v R: 1)
x 8 0
2)
2x 4
3)
x 7
4)
x2 3
5)
9 x 2
6)
x 6 6
7) - x 3 3
8)
3x 4 5
9)
7 3 x 12
10) 2 x 4 5
11)
13)
x 20 x
x 2 6x 9 3
14) 16 x 64 x 0
Výsledky: 1) K 64
kořen 64
2) K 8
kořen 8
3) K= Ø
kořen 49
4) K 7
kořen 7
5) K= Ø
kořen 5
6) K= Ø
kořen 30
7) K= Ø
kořen 6
8) K 7
kořen 7
137 9) K 3
kořen
41 10) K 4
kořen
11) K 0;6
kořeny 0; 6
3 12) K 2
kořen
13) K 5
kořeny -4; 5
14) K 8
kořen 8
15) K 0;7
kořeny 0;7
4
137 3
41 4
3 2
12)
x 2 4x 4 x 1
15)
7x x
2 Doporučená literatura ČERMÁK, Pavel a Petra ČERVINKOVÁ. Odmaturuj! z matematiky. 1. vyd. Brno: Didaktis , 2002, 208 s. ISBN 80-862-8538-3. HALOUZKA, Alois. Přehled učiva k maturitní zkoušce z matematiky. 1. vyd. Praha: Fortuna, 2002, 240 s. ISBN 80-716-8808-8. KUBÁT, Josef, Dag HRUBÝ a Josef PILGR. Sbírka úloh z matematiky pro střední školy: maturitní minimum. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996, 195 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6030-6. JANEČEK, František. Sbírka úloh z matematiky pro střední školy: výrazy, rovnice, nerovnice a jejich soustavy. 5. vyd. Praha: Prometheus,spol. s r. o., 2009, 194 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 978-80-7196-360-8. HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. Praha: Prometheus, 2011, 415 s. ISBN 978-807-1963-189.
5
3 Použitá literatura a zdroje FENDT, Walter. Java aplety z Matematiky. [online]. 15. 7. 2008 [cit. 2012-12-27]. Dostupné z: http://www.walter-fendt.de/m14cz/ ČERMÁK, Pavel a Petra ČERVINKOVÁ. Odmaturuj! z matematiky. 1. vyd. Brno: Didaktis , 2002, 208 s. ISBN 80-862-8538-3. CHARVÁT, Jura, Jaroslav ZHOUF, Leo BOČEK. Matematika pro gymnázia: rovnice a nerovnice. 3. vyd. Praha: Prometheus, 2005, 223 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6154-X. ODVÁRKO, Oldřich. Matematika pro gymnázia: funkce. 3. upr. vyd. Praha: Prometheus, 2005, 168 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6164-7. HEJKRLÍK, Pavel. Matematika: sbírka řešených příkladů: rovnice a nerovnice. 1. vyd. Opava: Nakladatelství SSŠP, 2006, 556 s. ISBN 978-80-903861-0-5. HEJKRLÍK, Pavel. Matematika: sbírka řešených příkladů: rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou, soustavy rovnic. 1. vyd. Opava: Nakladatelství SSŠP, 2006, 556 s. ISBN 978-80-903861-1-2. HALOUZKA, Alois. Přehled učiva k maturitní zkoušce z matematiky. 1. vyd. Praha: Fortuna, 2002, 240 s. ISBN 80-716-8808-8. PETÁKOVÁ, Jindra. Matematika: příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1998, 303 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6099-3. CZUDEK, Pavel. Slovní úlohy řešené rovnicemi: pro žáky a učitele ZŠ, studenty a profesory SŠ: 555 úloh. 3. vyd. Praha: HAV, 2005, 153 s. ISBN 80-903-6250-8. KUBÁT, Josef, Dag HRUBÝ a Josef PILGR. Sbírka úloh z matematiky pro střední školy: maturitní minimum. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996, 195 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6030-6. JANEČEK, František. Sbírka úloh z matematiky pro střední školy: výrazy, rovnice, nerovnice a jejich soustavy. 5. vyd. Praha: Prometheus,spol. s r. o., 2009, 194 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 978-80-7196-360-8.
6
