Zvyšování kvality výuky technických oborů

Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV.2

Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.2.2

Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice Kapitola 28 Slovní úlohy řešené pomocí kvadratických rovnic PaedDr. Iveta Unzeitigová

30. 9. 2012

Obsah ÚVOD - ANOTACE ..................................................................................................................................... 1 1

SLOVNÍ ÚLOHY ŘEŠENÉ POMOCÍ KVADRATICKÝCH ROVNIC ............................................................... 2 1.1

PRACOVNÍ LIST – SLOVNÍ ÚLOHY ŘEŠENÉ POMOCÍ KVADRATICKÝCH ROVNIC ...................................................... 3

2

DOPORUČENÁ LITERATURA ................................................................................................................ 5

3

POUŽITÁ LITERATURA A ZDROJE......................................................................................................... 6

Úvod – anotace Výukový materiál Slovní úlohy řešené pomocí kvadratických rovnic se zabývá sestavením a řešením kvadratických rovnic. Pro úspěšné zvládnutí této kapitoly je nezbytné úspěšně zvládnout vzdělávací materiály: Ryze kvadratické rovnice I (Kapitola 10) Kvadratické rovnice bez absolutního členu I (Kapitola 12) Úplné kvadratické rovnice I (Kapitola 14) Ke každé kapitole je vypracován pracovní list sloužící k procvičení a upevnění učiva dle daného tématu. Každý pracovní list je kompletován i s výsledky. Výukový materiál Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice je určen žákům prvních ročníků všech oborů ukončených maturitní zkouškou, včetně žáků nástavbového studia. Je vhodný k samostudiu i jako podpora pedagogických pracovníků při jejich přípravě na vyučovací hodinu. Rozsah učiva je v souladu s ŠVP předmětu Matematika s ohledem na Katalog požadavků společné části maturitní zkoušky z matematiky, platný od školního roku 2014 i od roku 2015/2016.

1

Slovní úlohy řešené pomocí kvadratických rovnic

1

Příklad 1 Součet druhých mocnin tří po sobě bezprostředně následujících přirozených čísel je 110. Určete tato čísla. Řešení: Označíme nejmenší ze tří neznámých přirozených čísel písmenem x. Pak další dvě čísla 2 2 mají tvar x + 1 a x + 2. Jejich druhé mocniny jsou x 2 ,  x  1 ,  x  2  . Hledáme všechna přirozená čísla x, pro která platí x 2   x  1  x  2   110 2



 

2



x 2  x 2  2 x  1  x 2  4 x  4  110

3x 2  6 x  105  0 a  3, b  6, c  105 D=36 – 4.3.(-105) = 1 296  6  1296  6  36  6 6  6  36 x1  5 6  6  36 x2   7 6 x1, 2 

Číslo x2 = -7 není kořenem rovnice, protože nepatří do N. Obor kořenů je tedy K  5 . Výsledek: Hledaná čísla jsou 5, 6, 7.

2

1.1

Pracovní list – Slovní úlohy řešené pomocí kvadratických rovnic

1. Řešte slovní úlohy: a) Součet dvou čísel je 21, součet jejich druhých mocnin je 221. Určete tato čísla.

b) Určete dvě přirozená čísla, z nichž první je o 10 větší než druhé a rozdíl druhých mocnin obou čísel je 300.

c) Když dvě sousední strany čtverce zmenšíme o 5 cm, vznikne zase čtverec, který má obsah o 125 cm2 menší. Jaká je délka strany původního čtverce?

d) Obdélník a čtverec mají stejný obsah. Čtverec má stranu o 30 mm kratší než je délka obdélníku a o 25 mm delší než šířka obdélníku. Vypočítejte rozměry obdélníku.

e) Obsah obdélníku je 1 040 cm2, jeho obvod je 1,32 m. Určete délky jeho stran.

f) Dva rezistory zapojené paralelně dávají výsledný odpor

10 Ω, zapojené v sérii 12 Ω. 6

Určete odpory obou rezistorů.

3

Výsledky: 1. Řešte slovní úlohy: a) Součet dvou čísel je 21, součet jejich druhých mocnin je 221. Určete tato čísla. Rovnice: a  b  21

Výsledek: čísla 10;11

a 2  b 2  221 b) Určete dvě přirozená čísla, z nichž první je o 10 větší než druhé a rozdíl druhých mocnin obou čísel je 300. Rovnice: první číslo …x +10

Výsledek: x = 10

druhé číslo …x

x  102  x 2  300 c) Když dvě sousední strany čtverce zmenšíme o 5 cm, vznikne zase čtverec, který má obsah o 125 cm2 menší. Jaká je délka strany původního čtverce? Rovnice:

x  52  x 2  125

Výsledek: x = 15 cm

d) Obdélník a čtverec mají stejný obsah. Čtverec má stranu o 30 mm kratší než je délka obdélníku a o 25 mm delší než šířka obdélníku. Vypočítejte rozměry obdélníku. Rovnice:

x  30x  25  x 2

Výsledek: x = 150 mm

x…strana čtverce v mm

a = 180 mm; b = 125 mm

e) Obsah obdélníku je 1 040 cm2, jeho obvod je 1,32 m. Určete délky jeho stran. Rovnice: x66  x   1040

Výsledek: x1  40 cm; x 2  26 cm

f) Dva rezistory zapojené paralelně dávají výsledný odpor

10 Ω, zapojené v sérii 12 Ω. 6

Určete odpory obou rezistorů. R  R1  R2

Rovnice: 1 1 1   R R1 R2

4

Výsledek: R1= 10 Ω; R2 = 2 Ω

2 Doporučená literatura ČERMÁK, Pavel a Petra ČERVINKOVÁ. Odmaturuj! z matematiky. 1. vyd. Brno: Didaktis , 2002, 208 s. ISBN 80-862-8538-3. HALOUZKA, Alois. Přehled učiva k maturitní zkoušce z matematiky. 1. vyd. Praha: Fortuna, 2002, 240 s. ISBN 80-716-8808-8. KUBÁT, Josef, Dag HRUBÝ a Josef PILGR. Sbírka úloh z matematiky pro střední školy: maturitní minimum. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996, 195 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6030-6. JANEČEK, František. Sbírka úloh z matematiky pro střední školy: výrazy, rovnice, nerovnice a jejich soustavy. 5. vyd. Praha: Prometheus,spol. s r. o., 2009, 194 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 978-80-7196-360-8. HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. Praha: Prometheus, 2011, 415 s. ISBN 978-807-1963-189.

5

3 Použitá literatura a zdroje FENDT, Walter. Java aplety z Matematiky. [online]. 15. 7. 2008 [cit. 2012-12-27]. Dostupné z: http://www.walter-fendt.de/m14cz/ ČERMÁK, Pavel a Petra ČERVINKOVÁ. Odmaturuj! z matematiky. 1. vyd. Brno: Didaktis , 2002, 208 s. ISBN 80-862-8538-3. CHARVÁT, Jura, Jaroslav ZHOUF, Leo BOČEK. Matematika pro gymnázia: rovnice a nerovnice. 3. vyd. Praha: Prometheus, 2005, 223 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6154-X. ODVÁRKO, Oldřich. Matematika pro gymnázia: funkce. 3. upr. vyd. Praha: Prometheus, 2005, 168 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6164-7. HEJKRLÍK, Pavel. Matematika: sbírka řešených příkladů: rovnice a nerovnice. 1. vyd. Opava: Nakladatelství SSŠP, 2006, 556 s. ISBN 978-80-903861-0-5. HEJKRLÍK, Pavel. Matematika: sbírka řešených příkladů: rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou, soustavy rovnic. 1. vyd. Opava: Nakladatelství SSŠP, 2006, 556 s. ISBN 978-80-903861-1-2. HALOUZKA, Alois. Přehled učiva k maturitní zkoušce z matematiky. 1. vyd. Praha: Fortuna, 2002, 240 s. ISBN 80-716-8808-8. PETÁKOVÁ, Jindra. Matematika: příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1998, 303 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6099-3. CZUDEK, Pavel. Slovní úlohy řešené rovnicemi: pro žáky a učitele ZŠ, studenty a profesory SŠ: 555 úloh. 3. vyd. Praha: HAV, 2005, 153 s. ISBN 80-903-6250-8. KUBÁT, Josef, Dag HRUBÝ a Josef PILGR. Sbírka úloh z matematiky pro střední školy: maturitní minimum. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996, 195 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6030-6. JANEČEK, František. Sbírka úloh z matematiky pro střední školy: výrazy, rovnice, nerovnice a jejich soustavy. 5. vyd. Praha: Prometheus,spol. s r. o., 2009, 194 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 978-80-7196-360-8.

6