Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV.2
Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.2.1
Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami Kapitola 1 Mocniny s přirozeným mocnitelem I RNDr. Jana Nováková
30.9.2012
Obsah ÚVOD - ANOTACE ..................................................................................................................................... 1 1
MOCNINY S PŘIROZENÝM MOCNITELEM I.......................................................................................... 2 1.1
PRACOVNÍ LIST - MOCNINY S PŘIROZENÝM MOCNITELEM I ........................................................................... 8
2
DOPORUČENÁ LITERATURA .............................................................................................................. 10
3
POUŽITÁ LITERATURA A ZDROJE....................................................................................................... 11
Úvod - anotace Výukový materiál Mocniny s přirozeným mocnitelem I je určen žákům prvních ročníků všech oborů ukončených maturitní zkouškou, včetně žáků nástavbového studia. Je vhodný k samostudiu i jako podpora pedagogických pracovníků při jejich přípravě na vyučovací hodinu. Rozsah učiva je v souladu s ŠVP předmětu Matematika s ohledem na Katalog požadavků společné části maturitní zkoušky z matematiky. V úvodu je zařazeno opakování znalostí na dané téma ze základní školy, následuje vysvětlení s ukázkovými příklady a příklady k samostatnému řešení. Kapitola je doplněna pracovním listem sloužícím k procvičení a upevnění pravidel pro počítání s mocninami přirozených čísel, desetinných čísel, zlomků a záporných čísel. .
1
1 Mocniny s přirozeným mocnitelem I Pro každé reálné číslo a a každé přirozené číslo n je an = a . … . a kde na pravé straně v součinu je n činitelů.
Základní pojmy:
Příklad:
an
mocnina
a
základ mocniny (mocněnec)
n
mocnitel (exponent) určuje počet stejných činitelů v součinu
42 = 4 . 4 = 16 3
1 1 1 1 1 . . 3 3 3 27 3
05 = 0 . 0 . 0 . 0 . 0 = 0 13 = 1 . 1 . 1 = 1 (-2)3 = (-2) . (-2) . (-2) = - 8 (-3)2 = (-3) . (-3) = 9 Platí:
a1 = a
a0 = 1
1n = 1
0n = 0
-sudou = +
Poznámka:
-lichou = -
Procvičte si zpaměti: 43
(-3)5
(-10)4
(-29)0
-290
-156
10 000
1
-1
-1
Výsledek: 64
2
-243
Častá chyba! Rozlišujte mezi mocninami (-4)2 = (-4) . (-4) = 16,
(-a)n a –an. -42 = -(4 . 4) = -16
ale
Procvičte si zpaměti: 32
03
(-3)2
(-2)3
-32
-23
(-1)0
-10
9
-8
-9
-8
1
-1
Výsledek: 9
0
Vypočtěte: 3002 = 0,62 = Řešení:
3002 = (3 . 100)2 = 32 . 1002 = 9 . 10 000 = 90 000 0,62 = (6 . 0,1)2 = 62 . 0,12 = 36 . 0,01 = 0,36
Při umocňování na druhou se počet nul, příp. desetinných míst zdvojnásobuje. Vypočtěte:
203 = 0,043 =
Řešení:
203 = (2 . 10)3 = 23 . 103 = 8 . 1 000 = 8 000 0,043 = (4 . 0,01)3 = 43 . 0,013 = 64 . 0,000 001 = 0,000 064
Při umocňování na třetí se počet nul, příp. desetinných míst ztrojnásobuje.
3
Procvičte si bez užití kalkulačky: Skupina A 1,32
0,0112
8 0002
1402
(-0,12)2
-3003
1102
1,42
0,0042
-402
(-0,3)3
0,000 121
64 000 000 19 600
0,0144
-27 000 000
12 100
1,96
-1 600
-0,027
Skupina B 0,152 Řešení: Skupina A 1,69 Skupina B 0,0225
0,000 016
Vypočtěte: 2
2 7
umocníme čitatele i jmenovatele
2
1 1 4 62 4 3 92
umocníme čitatele i jmenovatele umocníme pouze čitatele umocníme pouze jmenovatele
Řešení: 2
22 4 2 2 49 7 7 2
2
25 9 1 5 1 1 16 16 4 4 Druhá mocnina zlomku se rovná podílu druhých mocnin čitatele a jmenovatele.
4
6 2 36 9 4 4 3 3 1 2 81 27 9
Pozor na pořadí prováděných početních operací!
Procvičte si: Skupina A
2 2 3
2
2 1 7
2
23 3
3 5
1 32
3
Skupina B
1 1 2
3
2 3 3
2
(3) 3 4
2 32
1 9 -sudou = + -.-=+
3 5
3
Řešení: Skupina A 64 9
81 49 -sudou = +
8 3 - opisujeme
27 8
121 9
27 4
Skupina B
2 9
27 125 - opisujeme
27 125
Platí:
Součin mocnin o stejném základu (mocnitele se sčítají)
Upravte:
a3 . a2
104 . 102
(-2) . (-2)5
Řešení:
a3 . a2 = a3+2 = a5
104 . 102 = 104+2 = 106
(-2) . (-2)5 = (-2)1+5 = (-2)6
an . am = an+m
5
Platí:
Podíl mocnin o stejném základu (mocnitele se odčítají)
Upravte:
a3 : a2
(-3)5 : (-3)2
27 : (-2)5
Řešení:
a3 : a2 = a3-2 = a
(-3)5 : (-3)2 = (-3)5-2 = (-3)3
nelze upravit !!!
Platí:
Umocňování mocniny (mocnitele se násobí)
(an)m = an.m
Umocňování součinu (umocní se každý činitel)
(ab)n = anbn
an : am = an-m , a ≠ 0
Umocňování zlomku n
(umocní se čitatel i jmenovatel)
an a ,b0 bn b 3
Upravte:
(25)3
(3 . 5)2
2 5
Řešení:
(25)3 = 25.3 = 215
32 . 52 = 9 . 25 = 225
23 8 2 3 125 5 5
Upravte:
(6a5) . (-2a2) =
3
(-32c2) : (-4c)2= (3a2 . 2a5)2 =
Řešení:
(6a5) . (-2a2) = 6 . (-2) . a5+2 = -12 a7 (-32c2) : (-4c)2 = -32c2 : (16c2) = -2c0 = -2 (3a2 . 2a5)2 = (6 a7)2 = 36 a14
6
Procvičte si: Skupina A 28 : 26
2a4 : (-a3)
3a6 . (-3a6)
(2a1 . 3a4)2
(-0,3a3)3
55 . 53
(a3b4 . a4b6)2
-2a3 : 2a
(-2b3)2
Skupina B 5a4 : 10a2 Řešení: Skupina A 22
-2a
-9a12
36a10
-0,027a9
58
a14b20
-a2
4b6
Skupina B 0,5a2
7
1.1 Pracovní list – Mocniny s přirozeným mocnitelem I 1.
Vypočtěte zpaměti: 0,43
(-0,2)3
(-0,1)4
0,072
(-0,6)0
-0,60
2. Rozhodněte, zda platí: 1 a) 3
3.
28
0
1 c) 5
b) 5 0 11
23
0
d ) 015 0
e) 3 . 3 0 7
8
Vypočtěte: (není-li pořadí početních výkonů určeno závorkami, provádíme nejprve umocňování a odmocňování, pak násobení a dělení a nakonec sčítání a odčítání) a) 3. 4 : 2 . 1 4 2
b)
32 . 23 4. 3 3
c) 3 2 6. 1 2
2
d ) 3 2 6. 1 3
3
e) 4 2 5 2 2 2 3 2
4.
2
Vypočtěte: a ) 2 3. 1 5
b)
43 16 2
1 c ) .9 3 d)
5.104 : 5.102 3
3 e ) .8 2 4 2 5 .2 7 f) 210
8
2
5.
Upravte: a)
x y .xy
b)
a
c)
a b .b
d)
y 2 . y 5
2
3 2
2
.a 4 a 17
3
3
3
2 4
a 8 b11
e ) ( 2 p ) 3 . 3 p
f ) 7t 3 . 3t 2 1 g ) ( 2 a 5 ) 3 : a 3 2 2
3 h) ab 3 4
Výsledky: 1. 0,064
-0,008
0,0001
0,0049
1
-1
2. a) ano; b) ne; c) ano; d) ne; e) ano 3. a) 10; b) -57; c) -19; d) 41; e) -24 4. a) 8; b) 4; c) -1; d) 2 500; e) 27; f) 4 5. a) x5y7; b) a1 = a; c) a1b0 = a; d) –y7; e) -24 p4; f) -21 t5; g) -16a12 h)
9 2 6 ab 16
9
2 Doporučená literatura 1. 2. 3. 4.
10
doc. RNDr. Calda, Emil, CSc., Petránek, Oldřich a Řepová, Jana. Matematika pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť, 1. část. Prometheus, spol. s r. o., Praha, 2008. ISBN 978-80-7196-041-6. doc. RNDr. Calda, Emil, CSc. Matematika pro dvouleté a tříleté učební obory SOU. Prometheus, spol. s r. o., Praha, 2005. ISBN 80-7196-253-8. Mgr. Ženatá, Emilie. Přehled učiva matematiky pro 6. – 9. ročník ZŠ a víceletá gymnázia s příklady a řešením. Blug, 2011. ISBN 978-80-7274-014-7 Mgr. Janeček, František. SBÍRKA ÚLOH Z MATEMATIKY PRO STŘEDNÍ ŠKOLY, Výrazy, rovnice, nerovnice a jejich soustavy. Prometheus, spol. s r. o., Praha, 2009. ISBN 978-80-7196-360-8.
3 Použitá literatura a zdroje 1. doc. RNDr. Calda, Emil, CSc., Petránek, Oldřich a Řepová, Jana. Matematika pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť, 1. část. Prometheus, spol. s r. o., Praha, 2008. ISBN 978-80-7196-041-6. 2. doc. RNDr. Calda, Emil, CSc. Matematika pro dvouleté a tříleté učební obory SOU. Prometheus, spol. s r. o., Praha, 2005. ISBN 80-7196-253-8. 3. Mgr. Ženatá, Emilie. Přehled učiva matematiky pro 6. – 9. ročník ZŠ a víceletá gymnázia s příklady a řešením. Blug, 2011. ISBN 978-80-7274-014-7 4. Mgr. Janeček, František. SBÍRKA ÚLOH Z MATEMATIKY PRO STŘEDNÍ ŠKOLY, Výrazy, rovnice, nerovnice a jejich soustavy. Prometheus, spol. s r. o., Praha, 2009. ISBN 978-80-7196-360-8. 5. RNDr. Hudcová, Milada, Mgr. Kubičíková, Libuše. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. Prometheus, spol. s r. o., Praha, 2011. ISBN 978-807196-318-9. 6. RNDr. Kubát, Josef, RNDr. RNDr. Hrubý, Dag, Mgr. Pilgr, Josef. SBÍRKA ÚLOH Z MATEMATIKY PRO STŘEDNÍ ŠKOLY, Maturitní minimum. Prometheus, spol. s r. o., Praha, 2004. ISBN 80-7196-030-6.
11
