Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV.2
Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.2.2
Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice Kapitola 20 Řešení dalších kvadratických rovnic PaedDr. Iveta Unzeitigová
30. 9. 2012
Obsah ÚVOD - ANOTACE ..................................................................................................................................... 1 1
ŘEŠENÍ DALŠÍCH KVADRATICKÝCH ROVNIC......................................................................................... 2 1.1
PRACOVNÍ LIST - ŘEŠENÍ DALŠÍCH KVADRATICKÝCH ROVNIC ........................................................................... 3
2
DOPORUČENÁ LITERATURA ................................................................................................................ 5
3
POUŽITÁ LITERATURA A ZDROJE......................................................................................................... 6
Úvod – anotace Výukový materiál Řešení dalších kvadratických rovnic se zabývá výkladem a řešením kvadratických rovnic složitějšího typu. Pro úspěšné zvládnutí této kapitoly je nezbytné úspěšně zvládnout vzdělávací materiály předcházejících kapitol (Kapitoly 10 – 18). Ke každé kapitole je vypracován pracovní list sloužící k procvičení a upevnění učiva dle daného tématu. Každý pracovní list je kompletován i s výsledky. Výukový materiál Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice je určen žákům prvních ročníků všech oborů ukončených maturitní zkouškou, včetně žáků nástavbového studia. Je vhodný k samostudiu i jako podpora pedagogických pracovníků při jejich přípravě na vyučovací hodinu. Rozsah učiva je v souladu s ŠVP předmětu Matematika s ohledem na Katalog požadavků společné části maturitní zkoušky z matematiky, platný od školního roku 2014 i od roku 2015/2016.
1
Řešení dalších kvadratických rovnic
1
Kvadratické rovnice upravte podle vzorců (a ± b)2= a2 ± 2ab + b2 (a + b)· (a – b) = a2 – b2 na tvar ax2 + bx + c = 0 a vyřešte. Příklad 1 Řešte v R rovnici: (2x + 1)2 – (x – 3)2 = x - 8 Řešení: (2x + 1)2 – (x – 3)2 = x – 8
Rovnici rozložíme dle vzorců
(a ± b)2= a2 ± 2ab + b2 4x2 + 4x + 1 – (x2 – 6x + 9) = x - 8
odstranění závorky
4x2 + 4x + 1 – x2 + 6x - 9 = x – 8 3x2 + 9x = 0
anulování a sečtení řešení kv. rovnice vytýkáním
3x(x + 3) = 0
Výsledek: Kořeny dané rovnice jsou čísla x1 = 0, x2 = -3 Obor kořenů (definiční obor): K = 0;3 Procvičte si: 1) (4x – 5)(4x + 5) = 4x(x + 5) 2) z2 – 1 = (2z – 3)2 3) (2y + 3)2 - 2y2 = y2 - 27 4) 0 = 10(3v + 1) – ( v + 7)2
Výsledky: 5 5 1) 2 ; 6
2
6 2) 2 3
3) -6
4) 3; 13
1.1
Pracovní list - Řešení dalších kvadratických rovnic
1. Řešte v R rovnice: a) (x + 1)(x + 2 ) = (1 – 2x)(10 – 2x) b) (2x – 1) (x + 5) = 9x + 13 c) (x + 2)(x – 3) =(3x – 2)(x + 3) d) (x + 3)(x + 4) + (x – 2)(x – 1) = 30 e) (2x + 3)(3x – 4) + (4x – 5 )(5x + 6) = 10 f) (2x + 1)(x – 3) + (2x – 1)(x + 2) = 4x - 1 g) (x – 6)2 + (x – 8)2 = 100 h) (4x – 3)2 – (6x +4)2 = 29 i) 4x2 + (2x + 2)2 = 4 j) (x – 2)2 + (x – 9)2 = (x – 11)2 k) (x + 4)2 + (x + 8)2 + 20 = ( x + 2 )2 l) (x – 3)2 + (x – 4)2 = (x – 2)2 m) (4x – 3)2 – (6x + 4)2 = 69 n) (x – 5)2 + (2 + x)2 = (3 + x)2 o) (5x -24)2 – (3x – 11)2 = 21 p) (6x – 5)2 – (5x – 2)2 = 37 q) (2x + 3)2 – (3x – 2)2 = (4x – 5)2 – (3x – 2)(x + 6) 2. Vyjádřete z daného vztahu veličiny uvedené v hranatých závorkách: a) s
gt 2 2
t
b) S 6a 2
d) S
d2 4
d
e) P
g) F
mv 2 r
m; v; r
h) v 2 gh
U2 R
a
c) S 4 r 2
r
U; R
f) P RI 2
R; I
h
i) T 2
l g
l
3
Výsledky: 1.
1 a) 8; 3
b) 3
c) 0;4
d) 4;2
e) 2
1 f) 2; 2
g) 0;14
3 h) ;3 5
i) 0;1
j) 6
k) 8;12
l) 3;7
m) Ø
n) 10;2
31 o) 7; 8
4 4 ; p) 11
4 4; q) 9
2. a) t
2s g
b) a
S 6
U2 e) U PR ; R P g) m
Fr ; v v2
h) h
v2 2g
4
c) r f) R
S 4 P ; I I2
Fr mv 2 ; r m F i) l
T 2g 4 2
d) d
P R
4S
2 Doporučená literatura ČERMÁK, Pavel a Petra ČERVINKOVÁ. Odmaturuj! z matematiky. 1. vyd. Brno: Didaktis , 2002, 208 s. ISBN 80-862-8538-3. HALOUZKA, Alois. Přehled učiva k maturitní zkoušce z matematiky. 1. vyd. Praha: Fortuna, 2002, 240 s. ISBN 80-716-8808-8. KUBÁT, Josef, Dag HRUBÝ a Josef PILGR. Sbírka úloh z matematiky pro střední školy: maturitní minimum. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996, 195 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6030-6. JANEČEK, František. Sbírka úloh z matematiky pro střední školy: výrazy, rovnice, nerovnice a jejich soustavy. 5. vyd. Praha: Prometheus,spol. s r. o., 2009, 194 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 978-80-7196-360-8. HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. Praha: Prometheus, 2011, 415 s. ISBN 978-807-1963-189.
5
3 Použitá literatura a zdroje FENDT, Walter. Java aplety z Matematiky. [online]. 15. 7. 2008 [cit. 2012-12-27]. Dostupné z: http://www.walter-fendt.de/m14cz/ ČERMÁK, Pavel a Petra ČERVINKOVÁ. Odmaturuj! z matematiky. 1. vyd. Brno: Didaktis , 2002, 208 s. ISBN 80-862-8538-3. CHARVÁT, Jura, Jaroslav ZHOUF, Leo BOČEK. Matematika pro gymnázia: rovnice a nerovnice. 3. vyd. Praha: Prometheus, 2005, 223 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6154-X. ODVÁRKO, Oldřich. Matematika pro gymnázia: funkce. 3. upr. vyd. Praha: Prometheus, 2005, 168 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6164-7. HEJKRLÍK, Pavel. Matematika: sbírka řešených příkladů: rovnice a nerovnice. 1. vyd. Opava: Nakladatelství SSŠP, 2006, 556 s. ISBN 978-80-903861-0-5. HEJKRLÍK, Pavel. Matematika: sbírka řešených příkladů: rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou, soustavy rovnic. 1. vyd. Opava: Nakladatelství SSŠP, 2006, 556 s. ISBN 978-80-903861-1-2. HALOUZKA, Alois. Přehled učiva k maturitní zkoušce z matematiky. 1. vyd. Praha: Fortuna, 2002, 240 s. ISBN 80-716-8808-8. PETÁKOVÁ, Jindra. Matematika: příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1998, 303 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6099-3. CZUDEK, Pavel. Slovní úlohy řešené rovnicemi: pro žáky a učitele ZŠ, studenty a profesory SŠ: 555 úloh. 3. vyd. Praha: HAV, 2005, 153 s. ISBN 80-903-6250-8. KUBÁT, Josef, Dag HRUBÝ a Josef PILGR. Sbírka úloh z matematiky pro střední školy: maturitní minimum. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996, 195 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6030-6. JANEČEK, František. Sbírka úloh z matematiky pro střední školy: výrazy, rovnice, nerovnice a jejich soustavy. 5. vyd. Praha: Prometheus,spol. s r. o., 2009, 194 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 978-80-7196-360-8.
6
