Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV.2
Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma V.2.1
Posloupnosti a finanční matematika Kapitola 13. Aritmetická posloupnost – procvičení učiva 4 Mgr. Naděžda Kurzejová 30. 9. 2012
1
Obsah ÚVOD - ANOTACE ..................................................................................................................................... 3 1
ARITMETICKÁ POSLOUPNOST – PROCVIČENÍ UČIVA 4…………………. ...................................... 4
2
Použitá literatura a zdroje ............................................................................................................... 7
2
Úvod - anotace Výukový materiál Posloupnosti a finanční matematika je určen žákům prvních ročníků všech oborů ukončených maturitní zkouškou, včetně žáků nástavbového studia. Je vhodný k samostudiu i jako podpora pedagogických pracovníků při jejich přípravě na vyučovací hodinu. Rozsah učiva je v souladu s ŠVP předmětu Matematika s ohledem na Katalog požadavků společné části maturitní zkoušky z matematiky. Novému učivu vždy předchází opakování znalostí na dané téma ze základní školy, následuje vysvětlení s ukázkovými příklady a příklady k samostatnému řešení. Ke každé kapitole je vypracován pracovní list sloužící k procvičení a upevnění učiva. Výukový materiál se zabývá výkladem a následným procvičením příkladů na aritmetickou posloupnost v pravoúhlém trojúhelníku.
3
13.Aritmetická posloupnost - praktické příklady 2 V této kapitole se zaměříme na příklady, které se týkají pravoúhlého trojúhelníku. Pokud budeme počítat příklady, ve kterém tvoří délky stran aritmetickou posloupnost, bude dobré si zopakovat pojem Pythagorejský trojúhelník. Pythagorejský trojúhelník, pravoúhlý trojúhelník, jehož strany mají velikosti vyjádřené celými čísly; např. trojúhelník, jehož strany mají velikosti např. 5, 12, 13, nebo 8, 15, 17. U těchto trojúhelníků délky stran netvoří aritmetickou posloupnost. My se budeme zabývat trojúhelníkem s rozměry 3, 4, 5, ale také libovolné násobky těchto stran. Při stavbách egyptských chrámů ve 3. tisíciletí př. n. l. se k vytyčování pravých úhlů využívalo tajných vědomostí tzv. harpedonaptů, což byli napínači lan. Patrně k tomu využívali trojúhelníku, jehož strany byly v poměru 3 : 4 : 5. Toto počínání harpedonaptů můžeme napodobit tak, že dvanácti metrové lano, jehož oba konce jsou spojeny, rozdělíme uzly vždy po jednom metru. První, čtvrtý a osmý uzel jsou vyznačeny vždy nějakým zvláštním způsobem. Napneme–li nyní lano tak, že vznikne trojúhelník s vrcholy v prvém, čtvrtém a osmém uzlu, pak je tento trojúhelník podle obrácené věty Pythagorovy pravoúhlý, s pravým úhlem při čtvrtém uzlu.
4
Řešené příklady: 1. Strany pravoúhlého trojúhelníku tvoří aritmetickou posloupnost, delší odvěsna je 24 cm. Vypočtěte obvod. Jestliže delší odvěsna je 24 cm, jedná se o 6-ti násobek čísla 4 (což je delší odvěsna). Proto kratší odvěsna je 18 cm, délka přepony je 30 cm. Obvod trojúhelníku je 72 cm.
2. Délky stran pravoúhlého trojúhelníku tvoří aritmetickou posloupnost. Určete jejich délky, jeli obsah trojúhelníku 294 cm2. Obsah pravoúhlého trojúhelníku vypočteme podle vzorce
S
a.b 2
, jedná se o polovinu obsahu obdélníku s stranami a, b.
Strany a, b jsou určitými násobky čísel 3 a 4 – vyjádříme si je 3x a 4x. Dosadíme do vzorce a vypočteme rovnici.
S
a.b 2
294
3 x.4 x 2
12 x 2 294 2 5
294 6 x 2 /:6 49 x 2
řešením této rovnice jsou čísla -7 a 7. V našem případě vyhovuje pouze 7.
Délky stran jsou 18cm, 24cm, 30cm.
Příklady k procvičení: 1. Pravoúhlý trojúhelník, jehož strany tvoří AP, má obsah 54 cm2. Určete velikost stran trojúhelníka. 2. Pravoúhlý trojúhelník má obvod 48 cm, přičemž jeho strany tvoří první tři členy aritmetické posloupnosti. Určete jejich délky.
Výsledky : 1. 9cm, 12cm, 15cm 2. 12cm; 16 cm, 20cm
6
2. Použitá literatura a zdroje
RNDr. Pavel Čermák, Mgr. Petra Červinková. Odmaturuj z matematiky: Didaktik spol. s.r.o., Kaštanová 141b,617 00 Brno, 2003 ISBN 80-86285-97-9. Doc. Ladislav Schramm, CSc., František Nimrichter, Václav Topinka . Sbírka úloh z matematiky pro střední ekonomické školy. SPN Praha RNDr.Jindra Petáková. Matematika-příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. Prométheus, spol s.r.o., Čestmírova 10, 140 00 Praha 4, ISBN 80-7196-099-3 PaedDr. Naděžda Kubešová, Mgr. Eva Cibulková .MATEMATIKA – přehled středoškolského učiva. Vydalo nakladatelství: Petra Mrákotová, Růžičkova 372/1, 674 01 Třebíč, ISBN:978-80-86873-05-3(dotisk 2. vydání)
7
