Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV.2
Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.2.1
Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami Kapitola 20 Rozklad výrazů na součin vytýkáním RNDr. Jana Nováková
30.9.2012
Obsah ÚVOD - ANOTACE ..................................................................................................................................... 1 1
ROZKLAD VÝRAZŮ NA SOUČIN VYTÝKÁNÍM ....................................................................................... 2 1.1
PRACOVNÍ LIST – ROZKLAD VÝRAZŮ NA SOUČIN VYTÝKÁNÍM .......................................................................... 4
2
DOPORUČENÁ LITERATURA ................................................................................................................ 6
3
POUŽITÁ LITERATURA A ZDROJE......................................................................................................... 7
Úvod - anotace Výukový materiál Rozklad výrazů na součin vytýkáním je určen žákům prvních ročníků všech oborů ukončených maturitní zkouškou, včetně žáků nástavbového studia. Je vhodný k samostudiu i jako podpora pedagogických pracovníků při jejich přípravě na vyučovací hodinu. Rozsah učiva je v souladu s ŠVP předmětu Matematika s ohledem na Katalog požadavků společné části maturitní zkoušky z matematiky. Výukový materiál se zabývá výkladem pravidel pro rozklad výrazů (mnohočlenů) na součin vytýkáním. Výklad je doplněn pracovním listem na procvičování.
1
1 Rozklad výrazů na součin vytýkáním Vytýkání před závorku se dá použít, když všechny členy výrazu jsou násobkem stejného činitele, jeho vytknutí před závorku rozloží daný výraz na součin. ac + bc = c(a + b) Rozložte na součin výrazy – vzorové úlohy: a)
2a – 2b =
b)
4x – 2y =
c)
6x – 9y =
d)
5x - xy =
e)
x3 + x4 =
f)
a2 – ab =
a)
2(a-b)
b)
2(2x-y)
c)
3(2x-3y)
d)
x(5 – y)
e)
x3(1 + x)
f)
a(a – b)
Řešení:
Pozor!
Vytýkáme-li před závorku celý člen výrazu, nezůstane po něm 0, ale 1.
Poznámka: V případě přítomnosti více mocnin, vytýkáme mocninu s nejmenším mocnitelem. Procvičte si: a)
4x5 – 8x3 =
d)
36p3r2s + 48p2rs2 =
b)
12x – 18y = e)
c)
25a7 - 5a3 =
-5mn2 + 4m2n – mn =
Řešení: a)
4x3(x2 – 2)
d)
6p2rs(6pr + 8s)
b)
6(2x – 3y) e)
c)
5a3(5a4 – 1)
mn(-5n + 4m – 1)
Poznámka: O správnosti vytýkání se můžeme přesvědčit roznásobením získaných výrazů. Často bývá výhodné vytknout -1. Dosáhneme tím změny znamének u všech členů daného výrazu. 2
Vytkněte -1 z výrazů: a)
-u2 + t3 =
b)
-2a – 5b =
c)
1 – 4x – 7x2 =
-1(u2 - t3)
b)
-1(2a + 5b)
c)
-1(-1 + 4x + 7x2)
Řešení: a) Platí:
x – y = (-1)(-x + y) = -(-x + y) = -(y – x)
Někdy se z daného výrazu dá vytknout nejen jednočlen
.
Rozložte na součin: a)
3(a + 1) – b(a + 1) =
b)
2rs + 5r + 4s + 10 =
c)
2a3 + 3a2 – 2a – 3 =
d)
2ax – 3by – 2bx + 3ay =
Řešení: a)
oba členy výrazu obsahují (a + 1), tedy 3(a + 1) – b(a + 1) = (a + 1)(3 – b)
b)
2 a 2 členy daného čtyřčlenu mají společné činitele (r; 2), tedy 2rs + 5r + 4s + 10 = r(2s + 5) + 2(2s + 5) = (2s + 5)(r + 2)
c)
2a3 + 3a2 – 2a – 3 a2(2a + 3) -1(2a + 3) = (2a + 3)(a2 – 1) = (2a + 3)(a – 1)(a + 1)
d)
2ax – 3by – 2bx + 3ay =
lépe změnit pořadí, tedy
2ax – 2bx – 3by + 3ay = 2x(a – b) + 3y(-b + a) = (a – b)(2x + 3y) Procvičte si: a)
5r + 5s – rt – st =
b)
x(5 – y) + 5(y – 5) =
(r + s)(5 – t)
b)
(5 – y)(x – 5)
Řešení: a)
3
1.1
Pracovní list – Rozklad výrazů na součin vytýkáním
1.
Rozložte na součin: a-ab 10x-5 4p+6q 3r-6rs 2x5-x4 2a2+4a 3mn3-9n2 xy3z2+x2yz2
2.
Rozložte na součin: 4ab+2bc-6bd 5a2+15a4-20a3 2a2b2c3-ab2c2+a3b3c 48a2b+32ab2+16a2b2
3.
Z daných výrazů vytkněte -1: -x-y 3x-2y 5m+9 -8+3c -3r2-5rs-1 -2r+4s2 -8 -a3+2a2
4.
Rozložte na součin:
5.
a)
x(m - n) + 5(m – n) =
b)
(4 - p) – 2q(4 – p) =
c)
3d(c + ab) – 8(ab + c) =
Rozložte na součin:
6.
a)
x(a – 1) + 2(1 – a) =
b)
4(x – y) - 7z(y – x) =
c)
a2(2a – 3) + (3 – 2a) =
Rozložte na součin:
4
a)
y(3 + z) + 3 + z =
b)
u(2 – v) – 2 + v =
c)
a3 – a2 + a - 1 =
Výsledky: 1. 3mn3-9n2
xy3z2+x2yz2
a(1-b) 5(2x-1) 2(2p+3q) 3r(1-2s) X4 (2x-1) 2a(a+2) 3n2(mn-3)
xyz2(y2+x)
a-ab
10x-5
4p+6q
3r-6rs
2x5-x4
2a2+4a
2. 4ab+2bc-6bd 5a2+15a4-20a3 2a2b2c3-ab2c2+a3b3c 48a2b+32ab2+16a2b2 2b(2a+c-3d)
5a2(1+3a2-4a)
ab2c(2ac2-c+a2b)
16ab(3a+2b+ab)
3. -x-y
3x-2y
5m+9
-8+3c
-3r2-5rs-1
-2r+4s2 -8
-a3+2a2
-1(x+y) -1(2y-3x) -1(-5m-9) -1(8-3c) -1(3r2+5rs+1) -1(2r-4s2+8) -1(a3-2a2)
4. a) (m – n)(x + 5); b) (4 – p)(1 – 2q); c) (c + ab)(3d – 8) 5. a) (a – 1)(x – 2); b) (x – y)(4 + 7z); c) (2a – 3)(a – 1)(a + 1) 6. a) (3 + z)(y + 1); b) (2 – v)(u – 1); c) (a2 + 1)(a – 1)
5
2 Doporučená literatura 1. doc. RNDr. Calda, Emil, CSc., Petránek, Oldřich a Řepová, Jana. Matematika pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť, 1. část. Prometheus, spol. s r. o., Praha, 2008. ISBN 978-80-7196-041-6. 2. doc. RNDr. Calda, Emil, CSc. Matematika pro dvouleté a tříleté učební obory SOU. Prometheus, spol. s r. o., Praha, 2005. ISBN 80-7196-253-8. 3. Mgr. Ženatá, Emilie. Přehled učiva matematiky pro 6. – 9. ročník ZŠ a víceletá gymnázia s příklady a řešením. Blug, 2011. ISBN 978-80-7274-014-7 4. Mgr. Janeček, František. SBÍRKA ÚLOH Z MATEMATIKY PRO STŘEDNÍ ŠKOLY, Výrazy, rovnice, nerovnice a jejich soustavy. Prometheus, spol. s r. o., Praha, 2009. ISBN 978-80-7196-360-8.
6
3 Použitá literatura a zdroje 1. doc. RNDr. Calda, Emil, CSc., Petránek, Oldřich a Řepová, Jana. Matematika pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť, 1. část. Prometheus, spol. s r. o., Praha, 2008. ISBN 978-80-7196-041-6. 2. doc. RNDr. Calda, Emil, CSc. Matematika pro dvouleté a tříleté učební obory SOU. Prometheus, spol. s r. o., Praha, 2005. ISBN 80-7196-253-8. 3. Mgr. Ženatá, Emilie. Přehled učiva matematiky pro 6. – 9. ročník ZŠ a víceletá gymnázia s příklady a řešením. Blug, 2011. ISBN 978-80-7274-014-7 4. Mgr. Janeček, František. SBÍRKA ÚLOH Z MATEMATIKY PRO STŘEDNÍ ŠKOLY, Výrazy, rovnice, nerovnice a jejich soustavy. Prometheus, spol. s r. o., Praha, 2009. ISBN 978-80-7196-360-8. 5. RNDr. Hudcová, Milada, Mgr. Kubičíková, Libuše. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. Prometheus, spol. s r. o., Praha, 2011. ISBN 978-807196-318-9. 6. RNDr. Kubát, Josef, RNDr. RNDr. Hrubý, Dag, Mgr. Pilgr, Josef. SBÍRKA ÚLOH Z MATEMATIKY PRO STŘEDNÍ ŠKOLY, Maturitní minimum. Prometheus, spol. s r. o., Praha, 2004. ISBN 80-7196-030-6.
7
