Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV.2
Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.2.1
Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami Kapitola 24 Vhodný společný násobek výrazů RNDr. Jana Nováková
30.9.2012
Obsah ÚVOD - ANOTACE ..................................................................................................................................... 1 1
VHODNÝ SPOLEČNÝ NÁSOBEK VÝRAZŮ .............................................................................................. 2 1.1
PRACOVNÍ LIST – VHODDNÝ SPOLEČNÝ NÁSOBEK VÝRAZŮ ............................................................................. 5
2
DOPORUČENÁ LITERATURA ................................................................................................................ 7
3
POUŽITÁ LITERATURA A ZDROJE......................................................................................................... 8
Úvod - anotace Výukový materiál Vhodný společný násobek výrazů je určen žákům prvních ročníků všech oborů ukončených maturitní zkouškou, včetně žáků nástavbového studia. Je vhodný k samostudiu i jako podpora pedagogických pracovníků při jejich přípravě na vyučovací hodinu. Rozsah učiva je v souladu s ŠVP předmětu Matematika s ohledem na Katalog požadavků společné části maturitní zkoušky z matematiky. Výukový materiál se zabývá výkladem pravidel pro rozšiřování lomených výrazů a určování vhodného společného násobku. Výklad je doplněn pracovním listem na procvičování.
1
1 Vhodný společný násobek výrazů Rozšířit lomený výraz znamená vynásobit čitatele i jmenovatele stejným číslem nebo výrazem různým od nuly. 5ac 5ac . 3ab 15a 2 bc ; a 0b 0 8b 8b . 3ab 24ab 2
5ac Rozšiřte výraz výrazem 3ab: 8b
Rozšiřte výrazy tak, aby v jejich jmenovateli byl výraz 12a2b2c2 – vzorové úlohy: a)
2 3 12a 2 b 2 c 2
b)
1 6abc 12a 2 b 2 c 2
Řešení: a)
2 3 12a 2 b 2 c 2 12a 2 b 2 c 2 3 . 4a 2 b 2 c 2
daný výraz rozšíříme výrazem 4a 2 b 2 c 2
2 2 . 4a 2 b 2 c 2 8a 2 b 2 c 2 3 3 . 4a 2 b 2 c 2 12a 2 b 2 c 2 b)
1 6abc 12a 2 b 2 c 2 12a 2 b 2 c 2 6abc . 2abc daný výraz rozšíříme výrazem 2abc 1. 2abc 1 2abc 6abc 6abc . 2abc 12a 2 b 2 c 2
Procvičte si: c)
c)
5a 2 b 3c 2 12a 2 b 2 c 2
5a 2 b 3c 2 12a 2 b 2 c 2 12a 2 b 2 c 2 3c 2 . 4a 2 b 2
daný výraz rozšíříme výrazem 4a 2 b 2
5a 2 b 5a 2 b . 4a 2 b 2 20a 4 b 3 3c 2 3c 2 . 4a 2 b 2 12a 2 b 2 c 2
2
Vhodný společný násobek získáme rozšířením daných lomených výrazů na stejného jmenovatele. Určete nejmenší společný násobek výrazů – vzorové úlohy: a)
a + b, a - b
b)
x + y, 3x + 3y
c)
ac – bc, 2a – 2b
d)
m2 -9, m + 3
e)
u2 – 2uv + v2 , u - v
f)
x3 – x, x2 – x, x2 + x
Řešení: a)
a + b, a - b
(a + b . ( a – b)
b)
x + y, 3x + 3y x + y, 3(x + y)
c)
3(x + y)
ac – bc, 2a – 2b c(a – b), 2(a – b)
d)
2c(a – b)
m2 -9, m + 3 (m – 3)(m+3), m + 3
e)
2
(m-3)(m+3)
2
u – 2uv + v , u - v (u – v)2, u-v
f)
(u – v)2
x3 – x, x2 – x, x2 + x x(x2 – 1) = x(x – 1)(x+1), x(x – 1), x(x + 1)
x(x – 1)(x + 1)
Procvičte si: a)
r2 –rs, r – s
b)
m2 + m, mn + n
c)
z2 – 2, z3 – 2z
d)
2t + 2, 4t + 4
e)
a3, 2a, a2
f)
4a2 -12a + 9, 4a – 6
Řešení: a) r(r – s); b) mn(m + 1); c) z(z2 – 2); d) 4(t + 1); e) 2a3;
f) 2(2a – 3)2
3
Rozšiřte dané lomené výrazy tak, aby měly stejné jmenovatele – vzorové úlohy: a)
3x 1 , 2 y xy
b)
2 x , x 1 1 x
c)
y y , y 1 y 1 2
Řešení: a)
Vhodný společný násobek výrazů 2y a xy je 2xy. 3x 2y
rozšíříme x
3x 3x . x 3x 2 2 y 2 y . x 2 xy
b)
1 xy
rozšíříme 2
1. 2 1 2 ; x 0 y 0 xy xy . 2 2 xy
Vhodný společný násobek výrazů (x+ 1) a (1 – x) je (x + 1)(1 – x) 2 x rozšíříme (1 x) rozšíříme x 1 x 1 1 x 2 . 1 x 2 2 2x x 1 ( x 1) . 1 x x 11 x
x . x 1 x x2 x ; x 1 x 1 1 x 1 x . x 1 1 x x 1
c)
Vhodný společný násobek výrazů y2 – 1 = (y + 1)(y – 1) a (y – 1) je (y + 1)(y – 1) y rozšíříme y 1 y 1 y . y 1 y y2 y ; y 1 ( y 1) . y 1 y 1 y 1
y 1 y 1
y y rozložíme na součin a nerozšiřujeme y 1 y 1 y 1 2
4
1.1
Pracovní list – Vhodný společný násobek výrazů
1.
Rozšiřte dané lomené výrazy tak, aby měly uvedeného jmenovatele:
2.
3.
a)
2ab c ac
b)
3a 7b 2 35ab 2 c
d)
a4 a 4 a 2 16
e)
u 3 u 2 u 2 4u 4
2a a b a2 b2
c)
f)
z 1 z 1 z 2 2z 1
Určete nejmenší společný násobek výrazů: a)
a2 + ab, a + b
b)
4 - x2, x2 + 2x
c)
pq – q, 2p – 2
d)
4a5, a4, 3a3
e)
a2 – 2ab + b2, (a – b)3
f)
9a2 – 4, 6a – 4
Následující zlomky zapište se společnými jmenovateli: a , 2
a)
2 a
b)
b , 2a
a , b
1 ab
c)
2 , a 1
1 , a
3 5
d)
3 , ab
2 , a b
1 a b2 2
e)
2x 3 , x2
x , x3
1 x
5
Výsledky: 1. 2ab 2a 2 b ;a 0c 0 c ac 3a 15a 2 c b) 2 ; a 0b 0c 0 7b 35ab 2 c 2a 2a ( a b) c) ; a b a b a b (a b)(a b) a)
d) e) f)
a 4 a 4 a 4 a 2 8a 16 ; a 4 a 4 a 4 (a 4)(a 4) (a 4)(a 4) u 3 u 3u 2 u 2 u 6 ;u 2 u 2 (u 2)u 2 u 22 z 1 z 1 z 1 z 2 1 ; z 1 z 1 ( z 1) z 1 z 12
2. a) a(a + b); b) x(2 – x)(2 + x); c) 2q(p – 1) d) 12a5; e) (a – b)3; f) 2(3a – 2)(3a + 2) 3. a2 4 , ;a0 2a 2a b2 2a 2 2 b) , , ; a 0b 0 2ab 2ab 2ab 10a 5(a 1) 3aa 1 c) , , ; a 0 a 1 5a (a 1) 5aa 1 5aa 1 3a b 2a b 1 d) 2 , , ; a b a b 2 2 2 2 a b a b a b2 x 2x 3 ; x 0 x 2 x 3 x(2 x 3) x 3 x 2 x 2 e) , , x( x 2) x 3 x x 2 ( x 3) x x 2 x 3 a)
6
2 Doporučená literatura 1. doc. RNDr. Calda, Emil, CSc., Petránek, Oldřich a Řepová, Jana. Matematika pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť, 1. část. Prometheus, spol. s r. o., Praha, 2008. ISBN 978-80-7196-041-6. 2. doc. RNDr. Calda, Emil, CSc. Matematika pro dvouleté a tříleté učební obory SOU. Prometheus, spol. s r. o., Praha, 2005. ISBN 80-7196-253-8. 3. Mgr. Ženatá, Emilie. Přehled učiva matematiky pro 6. – 9. ročník ZŠ a víceletá gymnázia s příklady a řešením. Blug, 2011. ISBN 978-80-7274-014-7 4. Mgr. Janeček, František. SBÍRKA ÚLOH Z MATEMATIKY PRO STŘEDNÍ ŠKOLY, Výrazy, rovnice, nerovnice a jejich soustavy. Prometheus, spol. s r. o., Praha, 2009. ISBN 978-80-7196-360-8.
7
3 Použitá literatura a zdroje 1. doc. RNDr. Calda, Emil, CSc., Petránek, Oldřich a Řepová, Jana. Matematika pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť, 1. část. Prometheus, spol. s r. o., Praha, 2008. ISBN 978-80-7196-041-6. 2. doc. RNDr. Calda, Emil, CSc. Matematika pro dvouleté a tříleté učební obory SOU. Prometheus, spol. s r. o., Praha, 2005. ISBN 80-7196-253-8. 3. Mgr. Ženatá, Emilie. Přehled učiva matematiky pro 6. – 9. ročník ZŠ a víceletá gymnázia s příklady a řešením. Blug, 2011. ISBN 978-80-7274-014-7 4. Mgr. Janeček, František. SBÍRKA ÚLOH Z MATEMATIKY PRO STŘEDNÍ ŠKOLY, Výrazy, rovnice, nerovnice a jejich soustavy. Prometheus, spol. s r. o., Praha, 2009. ISBN 978-80-7196-360-8. 5. RNDr. Hudcová, Milada, Mgr. Kubičíková, Libuše. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. Prometheus, spol. s r. o., Praha, 2011. ISBN 978-807196-318-9. 6. RNDr. Kubát, Josef, RNDr. RNDr. Hrubý, Dag, Mgr. Pilgr, Josef. SBÍRKA ÚLOH Z MATEMATIKY PRO STŘEDNÍ ŠKOLY, Maturitní minimum. Prometheus, spol. s r. o., Praha, 2004. ISBN 80-7196-030-6.
8
