Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV.2
Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.2.2
Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice Kapitola 26 Kvadratické nerovnice I PaedDr. Iveta Unzeitigová
30. 9. 2012
Obsah ÚVOD - ANOTACE ..................................................................................................................................... 1 1
KVADRATICKÉ NEROVNICE I ............................................................................................................... 2 1.1
PRACOVNÍ LIST – KVADRATICKÁ NEROVNICE I............................................................................................. 4
2
DOPORUČENÁ LITERATURA ................................................................................................................ 6
3
POUŽITÁ LITERATURA A ZDROJE......................................................................................................... 7
Úvod – anotace Výukový materiál Kvadratické nerovnice I se zabývá výkladem a řešením kvadratických nerovnic. Novému učivu vždy předchází opakování znalostí na dané téma ze základní školy, následuje vysvětlení s ukázkovými příklady a příklady k samostatnému řešení. Ke každé kapitole je vypracován pracovní list sloužící k procvičení a upevnění učiva dle daného tématu. Každý pracovní list je kompletován i s výsledky. Výukový materiál Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice je určen žákům prvních ročníků všech oborů ukončených maturitní zkouškou, včetně žáků nástavbového studia. Je vhodný k samostudiu i jako podpora pedagogických pracovníků při jejich přípravě na vyučovací hodinu. Rozsah učiva je v souladu s ŠVP předmětu Matematika s ohledem na Katalog požadavků společné části maturitní zkoušky z matematiky, platný od školního roku 2014 i od roku 2015/2016.
1
Kvadratické nerovnice I
1
Kvadratickou nerovnicí s neznámou x budeme nazývat každou nerovnici, kterou lze ekvivalentními úpravami převést na jeden z následujících tvarů: ax2 + bx + c < 0, ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c ≤ 0, ax2 + bx + c ≥ 0, kde a R, a ≠ 0, b R, c R. Zásady řešení kvadratických nerovnic (metoda nulových bodů): 1. Nerovnici vyjádříme v anulovaném tvaru ax2 + bx + c < 0, …. 2. Vyřešíme kvadratickou rovnici. 3. Kořeny kvadratické rovnice x1, x2 (průsečíky paraboly s osou x) jsou nulové body, které rozdělí číselnou osu na tři intervaly. 4. Zvolíme bod na ose (kromě nulových) a určíme hodnotu levé strany rovnice v tomto bodu. 5. Znaménka ostatních intervalů určíme z toho, že znaménka se v intervalech střídají. Příklad 1 Řešte v R nerovnici: x2 – 4x – 6 ≥ 2 – 2x Řešení: Nerovnici
x2 – 4x – 6 ≥ 2 – 2x
anulujeme na tvar
x2 – 2x – 8 ≥ 0
a vyřešíme kvadratickou rovnici
x2 – 2x – 8 = 0 (x - 4)(x + 2) = 0.
Kořeny rovnice (nulové body) jsou
↓
↓
x1 = 4
↓ x2 = -2
Z předchozích znalostí o průběhu kvadratické funkce f : y x 2 2 x 8 určíme tvar paraboly.
2
Parabola rozdělí číselnou osu na tři intervaly:
; 2
, 2;4 , 4;
Zvolíme bod na ose např. x = 5 a určíme hodnotu levé strany rovnice (x - 4)(x + 2) = 0 v tomto bodě: L (5) = (5 – 4 ) (5 + 2) = (+).(+) = (+)… ≥ 0 Znaménka v intervalech se střídají: (+)
; 2
(-)
2;4
(+)
4;
Výsledek: Z obrázku lze vyčíst (podle znamének) pro která x R platí x2 – 2x – 8 ≥ 0. Obor kořenů (definiční obor): K = ; 2 4; Příklad 2 Řešte v R nerovnici: x2 – 2x – 8 < 0 Řešení: NB: x1 = 4; x2 = -2 (+)
; 2
(-)
2;4
(+)
4;
Výsledek: Obor kořenů (definiční obor): K = 2;4 3
1.1
Pracovní list – Kvadratická nerovnice I
1. Řešte kvadratické nerovnice o neznámé x R: a) x 2 9 0 NB:
b) x 2 9 > 0 NB:
c) x 2 9 0 NB:
d) x 2 9 < 0 NB:
e) 9 x 2 0 NB:
f) 9 x 2 < 0 NB:
4
Výsledky: 1. Řešte kvadratické nerovnice o neznámé x R: a) x 2 9 0 (x+3)(x -3) ≥ 0
(+)
(-)
(+)
(+)
(-)
(+)
(+)
(-)
(+)
(+)
(-)
(+)
(-)
(+)
(-)
(-)
(+)
(-)
NB: x1 3; x 2 3 K = ; 3 3; b) x 2 9 > 0 (x+3)(x -3) > 0 NB: x1 3; x 2 3 K = ;3 3; c) x 2 9 0 (x+3)(x -3) ≤ 0 NB: x1 3; x 2 3 K = 3;3 d) x 2 9 < 0 (x+3)(x -3) < 0 NB: x1 3; x 2 3 K = 3;3 e) 9 x 2 0 (3+x)(3-x) ≥ 0 NB: x1 3; x 2 3 K = 3;3 f) 9 x 2 < 0 (3+x)(3-x) < 0 NB: x1 3; x 2 3 K = ;3 3; 5
2 Doporučená literatura ČERMÁK, Pavel a Petra ČERVINKOVÁ. Odmaturuj! z matematiky. 1. vyd. Brno: Didaktis , 2002, 208 s. ISBN 80-862-8538-3. HALOUZKA, Alois. Přehled učiva k maturitní zkoušce z matematiky. 1. vyd. Praha: Fortuna, 2002, 240 s. ISBN 80-716-8808-8. KUBÁT, Josef, Dag HRUBÝ a Josef PILGR. Sbírka úloh z matematiky pro střední školy: maturitní minimum. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996, 195 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6030-6. JANEČEK, František. Sbírka úloh z matematiky pro střední školy: výrazy, rovnice, nerovnice a jejich soustavy. 5. vyd. Praha: Prometheus,spol. s r. o., 2009, 194 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 978-80-7196-360-8. HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. Praha: Prometheus, 2011, 415 s. ISBN 978-807-1963-189.
6
3 Použitá literatura a zdroje FENDT, Walter. Java aplety z Matematiky. [online]. 15. 7. 2008 [cit. 2012-12-27]. Dostupné z: http://www.walter-fendt.de/m14cz/ ČERMÁK, Pavel a Petra ČERVINKOVÁ. Odmaturuj! z matematiky. 1. vyd. Brno: Didaktis , 2002, 208 s. ISBN 80-862-8538-3. CHARVÁT, Jura, Jaroslav ZHOUF, Leo BOČEK. Matematika pro gymnázia: rovnice a nerovnice. 3. vyd. Praha: Prometheus, 2005, 223 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6154-X. ODVÁRKO, Oldřich. Matematika pro gymnázia: funkce. 3. upr. vyd. Praha: Prometheus, 2005, 168 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6164-7. HEJKRLÍK, Pavel. Matematika: sbírka řešených příkladů: rovnice a nerovnice. 1. vyd. Opava: Nakladatelství SSŠP, 2006, 556 s. ISBN 978-80-903861-0-5. HEJKRLÍK, Pavel. Matematika: sbírka řešených příkladů: rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou, soustavy rovnic. 1. vyd. Opava: Nakladatelství SSŠP, 2006, 556 s. ISBN 978-80-903861-1-2. HALOUZKA, Alois. Přehled učiva k maturitní zkoušce z matematiky. 1. vyd. Praha: Fortuna, 2002, 240 s. ISBN 80-716-8808-8. PETÁKOVÁ, Jindra. Matematika: příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1998, 303 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6099-3. CZUDEK, Pavel. Slovní úlohy řešené rovnicemi: pro žáky a učitele ZŠ, studenty a profesory SŠ: 555 úloh. 3. vyd. Praha: HAV, 2005, 153 s. ISBN 80-903-6250-8. KUBÁT, Josef, Dag HRUBÝ a Josef PILGR. Sbírka úloh z matematiky pro střední školy: maturitní minimum. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996, 195 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6030-6. JANEČEK, František. Sbírka úloh z matematiky pro střední školy: výrazy, rovnice, nerovnice a jejich soustavy. 5. vyd. Praha: Prometheus,spol. s r. o., 2009, 194 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 978-80-7196-360-8.
7
