ZPRÁVA O PROJEKTU
Jak inteligentně počítat velká množství aneb řešení některých Fermiho problémů
Řešitelé: Konzultant:
Jakub Kopřiva, Ota Kunt Mgr. Barbara Bittová
Nekoř 2011
Poděkování Děkujeme Mgr. Barbaře Bittové za vstřícnou a neocenitelnou pomoc při realizaci projektu. Děkujeme také mnoha dalším lidem za pomoc při realizaci projektu.
Obsah 1 Úvod 1.1 Fermiho problémy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Řešené Fermiho problémy 2.1 Kolik zrnek písku je na Zemi? . . . 2.1.1 Aproximace . . . . . . . . . 2.1.2 Uspořádání koulí v prostoru 2.1.3 Experiment . . . . . . . . . 2.1.4 Konečný výpočet . . . . . . 2.2 Kolik listů je na stromě? . . . . . . 2.2.1 Obecné řešení . . . . . . . . 2.2.2 Konkrétní řešení . . . . . . 2.3 Kolik molekul O2 spotřebuje člověk 2.3.1 Řešení . . . . . . . . . . . . 3 Závěr
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . za minutu? . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
3 3 4 4 4 4 10 12 13 13 14 14 14 15
2
Kapitola 1
Úvod V této kapitole uvádíme obecné informace o Fermiho problémech a jejich řešení.
1.1
Fermiho problémy
Fermiho problémy jsou úlohy pojmenované po italském fyzikovi Enrico Fermim1 . Fermiho problémy (otázky) jsou blízké realitě všedního života a na první pohled se zdá, že jsou bez zadání dalších potřebných informací neřešitelné. Při řešení nejde o to hledané výsledky přesně vyčíslit, ale jen řádově správně odhadnout s pomocí jednoduchých fyzikálních vztahů, zkušeností z každodenního života a trochou zdravého rozumu. Výsledky se dají v mnoha případech snadno prověřit a většinou odhad překvapivě dobře souhlasí se skutečnou hodnotou.Podstatou řešení Fermiho problému je správně odhalit jádro daného problému a rozdělit jej na jednotlivé dílčí kroky. Ke správné hodnotě dospějeme kladením vhodných otázek. Zpravidla existuje více způsobů řešení daného problému, které jsou různě obtížné, např. některé údaje můžeme odhadnout srovnáním s tabulkovými hodnotami nebo je třeba určit experimentálně.
1
Enrico Fermi (1901 - 1954), známý italský fyzik, držitel Nobelovy ceny za fyziku za rok 1938 za objev umělýchradioaktivních prvků, které vznikají z jader při ostřelování neutrony.
3
Kapitola 2
Řešené Fermiho problémy V této kapitole představíme řešení některých Fermiho problémů, kterými jsme se zabývali.
2.1 2.1.1
Kolik zrnek písku je na Zemi? Aproximace
K účinnému2 řešení Fermiho problémů je třeba uvažovat ideální podmínky. Uvažujme tedy všechna zrnka písku na Zemi za koule o stejném poloměru. Za zrnka písku ze zadání úlohy považujme pouze zrnka, která nejsou pevně vázána v horninách např. pískovec a vzhledem k tomu předpokládejme, že se všechna zrnka písku nacházejí na písečných pouštích. Po tomto zjednodušení už je úloha řešitelná v krátkém čase a s nevelkým množstvím údajů.
2.1.2
Uspořádání koulí v prostoru
Protože všechna zrnka písku považujeme za koule se stejným poloměrem, musíme se zabývat jejich uspořádáním v prostoru. Keplerova domněnka V roce 1611 vyslovil Johannes Kepler domněnku, že koule o stejném poπ loměru nelze do prostoru uspořádat s účinnosti η > 3√ , této účinnosti 2 dosahuje např. hexagonal close packing - šestiúhelníkové uspořádání viz. níže. Tato domněnka byla s největší pravděpodobností dokázána britským 2
Vzhledem k přesnosti výsledku za čas.
4
matematikem Thomasem Halesem v sérii článků v roce 1998. Keplerovu domněnku budeme tedy považovat za platný fakt. Různá pravidelná uspořádání Zde uvádíme obrázky a zaplněnosti některých pravidelných uspořádání.
Obrázek 1: simple cubic packing - jednoduché uspořádání, ηscp = π6 .
Obrázek 2: Hexagonal close packing - šestiúhleníkové uspořádání a Faceπ centered cubic packing - plošně centrované uspořádání, ηhcp = ηf cc = 3√ . 2 Výpočty zaplnění hcp pro kvádr Pro výpočet ideálního zaplnění kvádru byly vapracovány dva vztahy, uvedeme je podle pořadí autorů na titulní straně.
5
Vztahč. 1 Pro odvození prvního vzorce budeme vycházet z obrázku níže.
Obrázek 3: Detail hcp Pro jednoduchost předpokládejme, že podél všech hran kvádru je stejný počet koulí n ∈ N. Z obrázku můžeme vidět, že ve spodní vrstvě se střídají počty koulí n v každé liché a n − 1 v každé sudé řadě. Počet koulí ve všech lichých vrstvách je tedy lnm h lnm j n ki n + (n − 1) . 2 2 2 Podívejme se nyní na druhou vrstvu vidíme, že je v nín − 1 řad, přičemž v každé liché je n koulí a v každé sudé je n − 1 koulí. Proto koulí ve všech sudých vrstvách je jnk n − 1 n−1 n + (n − 1) . 2 2 2 Proto jich je dohromady j n ki j n k n − 1 lnm h lnm n−1 n + (n − 1) + n + (n − 1) . 2 2 2 2 2 2 Uvažujme, že koule mají poloměr r = 1, pak můžeme určit zaplněnost jako funkci η(n). Koule jsou tímto způsobem uspořádány do kvádru o hranách √ √ 6 z =2+2 (n − 1). x = 2n, y = 2 + (n − 1) 3, 3 Podle hrany x je n koulí, mají poloměr r = 1, délka hrany x je tedy x = 2n. V horizontální vrstvě je vzdálenost mezi přímkami procházejícími středy 6
koulí v přilehlých řadách rovna √ velikosti výšky rovnostranného trojúhelníka o straně 2r, jejíž velikost je 3, těchto dvojic sousedních řad je n − 1 a vzdálenost od první a poslední přímky ke stěně je r, tedy y = 2 + (n − √ 1) 3. Ve vertikálním směruje vzdálenost rovin procházejících středy koulí v sousedících vrstvách rovna velikosti výšky tetraedru o straně 2r, kteráž je √ 6 rovna 2 3 . Dvojic sousedících vrstev je n − 1, přičemž od první a poslední √
roviny ke stěně je vzdálenost rovna r, tedy z = 2 + 2 36 (n − 1). Známe-li rozměry kvádru, pak známe funkci zaplnění n n 4 n 2 + (n − 1) n2 + n2 n n−1 + (n − 1) n−1 3π 2 2 2 η(n) = √ √ 2n 2 + (n − 1) 3 2 + 2 36 (n − 1)
Graf 1: Graf funkce zaplnění ukazuje konvergenci k hodnotě
π √ 3 2
≈ 0, 75.
Zobecnění na libovolný kvádr můžeme provést jednoduše. Uvažujme, že i když by zbylo u stěn volné místo, tak se přesto koule uspořádají do hcp. Máme-li zadané rozměry stran x, y, z a poloměr koule r, pak můžeme jednoduše zobecnit vztah, který jsme dostali výše pro krychli následujícím způsobem Z Y Y Z Y −1 Y −1 X + (X − 1) + X + (X − 1) , 2 2 2 2 2 2 kde jxk X= , 2r
y − 2r √ Y = + 1, r 3
$
Z=
z − 2r √
2r
6 3
% + 1.
Jako ukázku uveďme funkci η(r), tedy funkci zaplnění jednotkové krychle 7
na poloměru koulí 4 η(r) = πr3 d 3
1−2r √ 2r 36
k k j j 1−2r 1−2r +1 √ √ + 1 + 1 1 r 3 + 1 r 3 + − 1 2 2r 2 2r 2
k k 1−2r j j √ 1−2r 1−2r + 1 √ √ 6 1 r 3 4 3 2r 3 1 r 3 . −1 πr + 3 2 2r 2r 2 2 Vztah č. 2 V první části popíšeme postup, kterým jsme došli ke vztahu umožňujícímu spočítat počet koulí v libovolném kvádru za předpokladu hcp uspořádání popsaného výše. Dále také uvažujeme, že v případě, kdy má hrana délku např. 2kR + q, kde k ∈ N a q < 2R, jsou koule u hrany těsně uspořádány, tj. že se dvě sousední koule vždy dotýkají. Vstupními parametry tedy jsou: R – poloměr koule, X, Y, Z – délky hran kvádru. Určíme si počet koulí, které se nám vejdou k vybrané spodní hraně kvádru: X x= 2R Jelikož známe délku hrany, můžeme spočítat, kolik řad koulí se nám vejde do kvádru ve směru Y . Vzdálenost rovnoběžek procházejících středy jednot√ livých řad ve směruY lze jednoduše spočítat z trojúhelníků: R 3. Pak tedy na jednu tuto délku připadá jedna řada plus jedna zbylá. Počet řad v y: Y − 2R √ y= +1 R 3 Jelikož známe počet koulí v první řadě v x, počet řad v y, můžeme dopočítat počet koulí v první hcp vrstvě: jy k V = xy − 2 Počet koulí v druhé vrstvě při vhodném uspořádání: W = (V − x + 1) ((y + 1)
mod 2) + (V − x( (y
8
mod 2)
Středy koulí v prvníqa druhé vrstvě hcp uspořádání tvoří tetraedry, výška tohoto tetraedru je 83 . Pak je tedy počet vrstev ve směru z: Z − 2R q +1 z= R 83 Můžeme už přikročit k spočtení všech koulí v krychli. jz k P = (2V − x) + V (z mod 2) 2 Výpočet koeficientu zaplněnosti už je jednoduchý: η(R) =
4πR3 P 3XY Z
% $ k 1−2R j q 8 + 1 1−2R √ + 1 R 4 3 1 − 2R 1 3 R 3 + √ η(R) = πR + 1 − 3 2 2R 2 R 3
1 2R
k j 1−2R √ R 3 + 1 1 − 2R 1 − √ +1 − + 1 2 2R R 3
k j 1−2R √ R 3 + 1 1 1 − 2R − √ mod 2 + +1 − 2R 2 R 3
1 − 2R √ +1 +1 R 3 1 1 − 2R √ +1 mod 2 + 2R R 3 k j 1−2R √ + 1 1 1 1 − 2R R 3 1 −q2R + 1 √ +1 − 3 2R 2 R 3 R 8
mod 2
3
Při zadání hodnot X, Y, Z = 1 je počet koulí v krychli P a koeficient zaplπ něnosti η funkce poloměru koule R. Podíváme-li na limR→0 η(R) = 3√ , tj. 2 maximální možné zaplnění prostoru koulemi je asi 74,0 %.
9
Graf 2: Závislost η na R pro krychli X, Y, Z = 1.
Graf 3: Závislost P na R pro krychli X, Y, Z = 1 s logaritmickou stupnicí na ose y.
2.1.3
Experiment
Při reálném zaplňování kvádru koulemi je také nutno počítat s tím, že uspořádání nebude dokonalé, můžeme ale očekávat, že se bude k ideálnímu blížit. Použitelnost rovnice pro reálnou predikci počtu zrn písku v kvádru a také koeficientu zaplněnosti je tedy omezená. Pro velmi malé a naopak velmi velké počty zrn budou předpovědi nepřesné – v prvním případě z důvodu podmínky těsného dotyku sousedních koulí, v druhém případě už má velký význam náhodnost uspořádání koulí. Samozřejmě bude také hrát roli to, že zrna písku nejsou dokonalé koule a také to, žev experimentu používáme jedinou frakci. Přestože se koule snaží zaujmout co nejvýhodnější uspořádání, pravděpodobně nebudou v dokonalém hcp uspořádání. 10
Před provedením experimentu jsme zkusili předpovědět koeficient zaplněnosti η. Horní hranice je ideální hcp (fcc) uspořádání, tj. asi 74,0 % Jako dolní hranici vezmeme sc uspořádání krychlí. Koeficient η není složité spočítat: π η= 6 tj. asi 52,4 %. Pro experiment jsme používali písek o různých zrnitostech zakoupený ve specializovaném obchodě. Všechny tři druhy písku jsme nafotili a v grafickém programu ImageJ jsme zjistili, že průměrné poloměry zrn jsou:R1 = 0, 0125 cm, R2 = 0, 02 cm a R3 = 0, 18 cm. V experimentu jsme dále používali plastovou krabičku ve tvaru kvádru o rozměrech X = 7, 5 ± 0, 10 cm, Y = 4, 3 ± 0, 10 cm, Z = 3, 9 ± 0, 10 cm. Hodnoty dosadíme do vzorce uvedeného výše. ProR1 vychází P1 = 11226810, η1 = 0, 730, pro R2 je P2 = 2722928 η2 = 0, 725 a pro R3 je P3 = 3134 η3 = 0, 610.
Obrázek 4: Detail písku malé zrnitosti na milimetrovém papíře.
Obrázek 5: Detail písku střední zrnitosti na milimetrovém papíře.
11
Obrázek 6: Detail písku velké zrnitosti na milimetrovém papíře. Po napěchování písku jsme do nádoby nalévali, pomocí injekční stříkačky se stupnicí, vodu až do chvíle, kdy hladina dosáhla vrchní hrany. zrnitost jemná střední velká
VH2 O 47 ± 1 ml 42 ± 1 ml 42 ± 1 ml
předpověď η 0,730 0,725 0,610
experiment η 0,627 0,667 0,667
Vidíme tedy, že koeficient zaplněnosti je ve všech případech velmi podobný. Oproti očekávání byla η nejmenší při experimentu s nejmenší frakcí.
2.1.4
Konečný výpočet
Pro výpočet celkového počtu zrn na Zemi tedy použijeme průměrnou η z experimentů η = 66 %. Celková plocha pevniny na Zemi je asi 149· 106 km2 , z toho je asi 20 % pouští, z čehož jen asi 20 % jsou pouště písečné. Plocha písečných pouští je tedy asi 5, 96· 106 km2 . Z tohoto údaje usuzujeme, že plocha všech pláží a dalších písečných ploch je vůči celkové ploše písečných pouští zanedbatelná. Průměrná hloubka volného písku pro písečné části Sahary je asi 60 m, což vezmeme za průměrnou hloubku písečných ploch. Celkový objem písku V = 5, 96· 106 · 0, 06· 0, 66 = 357600 km3 a počet zrn je tedy N=
3V = 5, 5· 1022 . 4πR3 12
2.2
Kolik listů je na stromě?
Při obecném řešení tohoto problému využijeme některé fraktální geometrie.
2.2.1
Obecné řešení
Nejprve provedeme aproximaci, považujme tedy strom za konečný n-úrovňový soběpodobný útvar, který má listy pouze na větvích v poslední úrovni. První úrovní je kmen. Druhou úroveň tvoří velké větve. Protože předpokláme, že strom je soběpodobný útvar, pak pro konstrukci třetí úrovně považujme každou z velkých větví za kmen a třetí úroveň vytvoříme jako druhou úroveň. Tímto postupem můžeme pokračovat do nekonečna, my ovšem uvažujeme pouze konečný počet úrovní.
Obrázek 7: Fraktální strom Můžeme tedy říct, že platí, označíme-li počet větví v druhé úrovni q, pak pro počet větví v n-té úrovni platí, an = an−1 q. Tato rovnost nám může připomínat předpis pro n-tý člen geometrické posloupnosti, tento však je možné vyjádřit předpisem an = a1 q n−1 , víme ovšem, žea1 = 1, protože se jedná o kmen. Víme tedy, že větví v n-té úrovni je q n−1 . Označíme-li počet listů na větvi v n-té úrovni α, pak počet listů na stromě je N = αq n−1 . Tento výpočet bude pravděpodobně fungovat přesnější pro jehličnany, při počítání počtu jehliček, protože jehličnany vykazují vyšší míru soběpodobnosti než listnaté stromy. 13
2.2.2
Konkrétní řešení
Na konkrétní vyřešení jsme si vybrali břízu na obrázku níže.
Obrázek 8: Bříza za soumraku Odhadem přes větev jsme došli k hodnotě N ≈ 1200000. Pomocí vztahu odvozeného výše, při dosazení q = 15, n = 5, α = 30, vyšla hodnota N = 1518750.
2.3
Kolik molekul O2 spotřebuje člověk za minutu?
Na závěr uvádíme nejjednodušší, v této zprávě řešený, Fermiho problém.
2.3.1
Řešení
Uvažujme průměrného člověka, jeho klidová tepová frekvence 70 tep/min, za tuto dobu srdce vyčerpá zhruba 7 l, což je zhruba všechna krev v těle. Průměrný klidový obsah kyslíku v plicní krvi je asi 0, 2lO2 /l. Už známe všechna data, můžeme tedy provést výpočet. Objem O2 získáme jednoduchým vynásobením objemu krve v těle a objemu kyslíku v 1 l krve. Počet získáme ze vztahu VO2 NO2 = NA , Vm kde Vm je molární objem a NA je Avogadrova konstanta. Tento počet molekul je tedy 3.76375· 1022 . 14
Kapitola 3
Závěr V rámci našeho projektu jsme se snažili najít originální řešení některých Fermiho problémů. Nejobsáhlejší částí zprávy je řešení problému zrnek písku, v této části jsme se zabývali uspořádáním koulí do libovolného kvádru, výsledky jsme pak aplikovali na problém zrnek písku. Dalším problém byl počet listů na stromě, při řešení tohoto problému jsme využili některé myšlenky fraktální geometrie. Poslední problém byl nejtypičtějším Fermiho problémem, ve smyslu krátkosti řešení. Naše řešení nelze v žádném případě považovat za absolutně správná, jsou pouze svým způsobem příspěvky do diskuze.
15
Zdroje Literatura a webové stránky Desert. Encyclopædia Britannica. Dostupné z WWW: http://www.britannica.com/ EBchecked/topic/158992/desert [Citováno dne 10.8. 2011]. Enrico Fermi. Aldebaran. Dostupné z WWW: http://www.aldebaran.cz/famous/peo ple/Fermi Enrico.html [Citováno dne 8.8. 2011]. Fermiho úlohy. Dostupné z WWW: http://isouteze.upol.cz/fermi/index.html [Citováno dne 8.8. 2011]. Fraktální geometrie.Dostupné z WWW: http://homel.vsb.cz/ nav79/fraktgeo/index.html [Citováno dne 10.8. 2011]. Transport O2 krví, vazbová křivka. Wikiskripta. Dostupné z WWW: http://www.wi kiskripta.eu/index.php/Transport O2 krv%C3%AD, vazbov%C3%A1 k%C5%99ivka [Citováno dne 10.8. 2011]. Weisstein, Eric W. Cubic Close Packing. MathWorld –A Wolfram Web Resource. Dostupné z WWW: http://mathworld.wolfram.com/CubicClosePacking.html [Citováno dne 10.8. 2011] . Weisstein, Eric W. Hexagonal Close Packing.MathWorld –A Wolfram Web Resource. Dostupné z WWW: http://mathworld.wolfram.com/HexagonalClosePacking.html [Citováno dne 10.8. 2011]. Weisstein, Eric W. Kepler Conjecture. MathWorld –A Wolfram Web Resource. Dostupné z WWW:http://mathworld.wolfram.com/KeplerConjecture.html [Citováno dne 10.8. 2011]. Obrázky Obrázek 1 http://assets.nybooks.com/media/img/illustrations/fermi enrico-19820513.2 gif 300x362 q85.png Obrázek 2 http://www.practicalphysics.org/imageLibrary/jpeg278/228.jpg
16
Obrázek 3 http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Close packing box.svg Obrázek 4 http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Close packing.svg Obrázek 8 http://www.mathartfun.com/shopsite sc/store/html/FractalTree2.jpg Grafy Grafy byly vytvořeny s pomocí programu Mathematica a webového enginu WolframAlpha.
17
