Zobrazování 2D Nadpis křivek 2 Nadpis 3

IZG Nadpis Lab 04 1 Zobrazování 2D Nadpis křivek 2 Nadpis 3 Pavel JménoSvoboda Příjmení VysokéVysoké učení technické učení technické v Brně,vFakulta Brně, Fakulta informačních informačních technologií technologií v Brně Božetěchova 2, 612 66 Brno [email protected] [email protected]

99.99.2008 18.03.2013

Obsah • • • •

Úvodní část Rekapitulace 2D křivek Fergusnova kubika Bézierova křivka • Výpočet pomocí Bernstein polynomů • Racionální křivka

• Výpočet pomocí algoritmu De Casteljau • Neracionální

IZG Lab 04 - Zobrazování 2D křivek

2

Rekapitulace 2D křivek • Vyjádření křivek • Explicitní, Implicitní • Parametrické

• Použití 2D křivek • • • • •

Definice fontů Šablonování Definice objektů Animační křivky …

[F. Alexandr]


3

Typy křivek • Aproximační • Interpolační • Racionální • váhové koeficienty řídících bodů

• Neracionální • váhové koeficienty rovny 1

[F. Alexandr]


4

Fergusnova kubika • Interpolační křivka • Definována • 2 koncovými body • 2 tečnými vektory

• Neintuitivní ovládání • Nelokální změna tvaru • Počítá se pomocí polynomů • Hermitovy polynomy


5

Bézierova křivka • Její první užití se datuje do 60tých let – CAD aplikace • Automobilový design

• TrueType i Postcript písma • Parametrické vyjádření • řád polynomu = stupeň křivky je počet řídících bodů křivky - 1

• Aproximační křivka • Vždy ale prochází prvním a koncovým kontrolním bodem

• Racionální vs Neracionální


6

Bézierova křivka – výpočet pomocí polynomů • Stupeň křivky = Řád polynomu = Řídících bodů -1 • Racionální X Neracionální • Neracionální: váhové hodnoty = 1 • Racionální: Váhové hodnoty obecně jakékoli

• Parametrické vyjádření

n

n

Q  t    Pi Rin  t   i 0

• B – Bernsteinův polynom

n  P B  i i i t  i0 n

  B t  i

n i

i 0

n n i Bin  t     t i 1  t  , t  0,1 , i  0, i

,n

• t – parametr křivky <0;1> • n – řád polynomu • i – index řídícího bodu IZG Lab 04 - Zobrazování 2D křivek

7

Bézierova kubika  1 3 3  3 6 3 Q t   T   3 3 0  0 0 1

• Bézierova kubika • Počet řídících bodů = 4 • P0, P1, P2, P3

• T = [t3, t2, t1 , t0 = 1]

1   P0    0   P1   0   P2    0   P3 

B03  t   1  t 

3

B13  t   3t 1  t 

2

B23  t   3t 2 1  t  B33  t   t 3 3

Q  t   P0 B  t   P1 B  t   P2 B  t   P3 B  t    Pi Bi3  t  3 0

3 1

3 2

3 3

i 0


8

Bézierova křivka – algoritmus De Casteljau • Rekurzivní algoritmus • Výpočet Neracionální Bézierovy křivky 𝑗

𝑗−1

𝑃𝑖 = (1 − 𝑡) 𝑃𝑖 𝑃10

𝑃00 lirp

𝑃01

𝑗−1 𝑗 = 1 … 𝑛; 𝑖 = 0 … 𝑛 − 𝑗

+ 𝑡𝑃𝑖+1

lirp

lirp

𝑃02

𝑃30

𝑃20 lirp

𝑃11

lirp

lirp

𝑃12

𝑃21

Bod na křivce 𝑃03

lirp = lineární interpolace IZG Lab 04 - Zobrazování 2D křivek

9

Bézierova křivka – implementace De Casteljau • Základní implementace: • Iterujeme přes parametr t <0;1> • Iterace přes všechny úrovně rekurze • Iterace přes veškeré kontrolní body v dané úrovni a jejich postupný výpočet

if(n < 1) return; n = kontrolnich bodu-1; for(int q = 0; q <= quality; ++q, t+=t_step) { Copy of input vector in to local vector of points for(int j = 0; j < n; ++j) for(int i = 0; i < n-j; ++i) { Výpočet bodu i v úrovni j {

}


10

Samostatná práce • Implementace Bézierovy křivky • Buď De Casteljau – neracionální křivka • Anebo Pomocí Bernsteinových polynomů – racionální křivka


11

Cvičení - rozhraní • Soubory • student.h – deklarace funkcí, které programujete • student.c – zde pište Váš kód void bezierDeCasteljau(int quality, const S_Vector *points, S_Vector *line_points) void bezierBernsteinPolynom(int quality, const S_Vector *points,S_Vector *line_points)

• base.h – definice struktury Point2D typedef struct Point2d { double x; double y; double weight; }Point2d;


12

Cvičení vector.h • Vektor je typu S_Vector •

•

USE_VECTOR_OF(Point2d, point2d_vec) • Vygeneruje funkce s předponou point2d_vec pro práci s vektorem S_Vector prvků typu Point2d #define point2d_vecGet(pVec, i) (*point2d_vecGetPtr((pVec), (i))) •

Definice makra pro získání i-tého prvku s vektoru pVec

•

S_Vector* vector = point2d_vecCreateEmpty() – vytvoří prázdný vektor pro prvky typu Point2d

•

point2d_vecSize(pVec) – vrátí velikost vektoru

•

point2d_vecGetPtr(pVec, i) – ukazatel na i-tý prvek vektoru pVec

•

point2d_vecPushBack(pVec, p) – vloží na konec vektoru pVec prvek p

•

point2d_vecSet(pVec, i, p) – vloží prvek p do vektoru pVec na index i

•

point2d_vecRelease(&pVec) vs point2d_vecClean(pVec) – zruší kompletně celý vektor pVec – již s ním nelze pracovat vs smaže prvky vektoru – vektor je prázdný o velikosti 0

•

Další funkce viz vector.h IZG Lab 04 - Zobrazování 2D křivek

13

C’est la fin.


14

Zobrazování 2D Nadpis křivek 2 Nadpis 3

Recommend Documents