Západočeská univerzita v Plzni SBÍRKA ÚLOH Z MATEMATIKY

Z´ apadoˇ cesk´ a univerzita v Plzni Fakulta aplikovan´ ych vˇ ed

Katedra matematiky

´ SBÍRKA ULOH Z MATEMATIKY ˇ ´ FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMENN E

ˇ Josef MASEK

Plzeˇ n 1996 2. vyd´ an´ı

3

Pˇ redmluva k 1. vyd´ an´ı Tento uˇcebn´ı text navazuje na mé sb´ırky u ´loh z vyˇsˇs´ı matematiky, které ˇ vydalo ediˇcn´ı stˇredisko VSSE v Plzni v letech 1965 a 1971. Od té doby se mnoho zmˇenilo, ale zdá se, ˇze stále z˚ ustává potˇreba dostupného studijn´ıho materiálu k procviˇcen´ı a upevnˇen´ı znalost´ı. Také moˇznost samostatného studia je zaloˇzena na dostatku vhodn´ ych uˇcebnic. Na zaˇcátku kaˇzdé kapitoly je uveden struˇcn´ y pˇrehled základn´ıch definic a d˚ uleˇzit´ ych teoretick´ ych v´ ysledk˚ u. Tato shrnut´ı vˇsak nemohou v ˇzádném pˇr´ıpadˇe nahradit souvisl´ y v´ yklad nebo uˇcebnici. Snaˇzil jsem se vybrat nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı typy pˇr´ıklad˚ u a uspoˇrádat je podle obt´ıˇznosti. Bezprostˇrednˇe za zadán´ım pˇr´ıkladu je uvedeno ˇreˇsen´ı, návod nebo v´ ysledek. K tomu, aby práce se sb´ırkou pˇrinesla dobré v´ ysledky, je tˇreba snaˇzit se pracovat samostatnˇe a nedat se ovlivnit uveden´ ym ˇreˇsen´ım. Teprve v pˇr´ıpadˇe neuspˇeˇsn´ ych pokus˚ u nebo po vyˇreˇsen´ı u ´lohy prohlédnout postup ˇreˇsen´ı a zkontrolovat v´ ysledek. K oznaˇcen´ı základn´ıch ˇc´ıseln´ ych mnoˇzin se pouˇz´ıvá obvyklé oznaˇcen´ı N - mnoˇzina vˇsech pˇririzen´ ych ˇc´ısel, Z - mnoˇzina vˇsech cel´ ych ˇc´ısel, R - mnoˇzina vˇsech reáln´ ych ˇc´ısel, R+ - mnoˇzina vˇsech kladn´ ych reáln´ ych ˇc´ısel. C - mnoˇzina vˇsech komplexn´ıch ˇc´ısel. Podmnoˇziny, které jsou definovány dalˇs´ımi podm´ınkami, jsou oznaˇceny obvykl´ ym zp˚ usobem, napˇr. {z ∈ C : |z| < 1} znamená mnoˇzinu vˇsech komplexn´ıch ˇc´ısel, jejichˇz absolutn´ı hodnota je menˇs´ı neˇz jedna. Dˇekuji srdeˇcnˇe vˇsem, kteˇr´ı se pˇriˇcinili o to, aby se poˇcet nedopatˇren´ı a chyb omezil na co nejmenˇs´ı m´ıru. Pˇredevˇs´ım dˇekuji kolegovi doc.Josefu Polákovi a vedouc´ımu katedry prof. Pavlu Drábkovi, kteˇr´ı pˇrispˇeli mnoha radami ke zlepˇsen´ı v´ ysledného textu. Plzeˇ n, 30. ˇcervna 1992.

Autor

Ve vydán´ı v r. 1996 i v tomto vydán´ı byly provedeny nˇekteré textové u ´pravy a opraveny nalezené chyby. Snad se nepotvrd´ı známé programátorské pravidlo, ˇze odstranˇen´ım jedné chyby vznikne jiná chyba. K pˇredmluvˇe dnes po ˇsesti letech nemám, co bych dodal.

4

Funkce komplexn´ı promˇenné Plzeˇ n, 31. ledna 1998.

Autor

4

Funkce komplexn´ı promˇenné

Obsah 1. Nutn´ e znalosti o komplexn´ıch ˇ c´ıslech

5

2. Komplexn´ı funkce re´ aln´ e promˇ enn´ e

25

3. Posloupnosti a ˇ rady

31

4. Funkce komplexn´ı promˇ enn´ e

41

5. Derivace funkce komplexn´ı promˇ enn´ e

57

6. Inverzn´ı a mnohoznaˇ cn´ e funkce

65

7. Z´ aklady konformn´ıho zobrazen´ı

73

8. Integr´ al funkce komplexn´ı promˇ enn´ e

85

9. Laurentovy ˇ rady

99

10. Teorie rezidu´ı

109

11. V´ ypoˇ cet nˇ ekter´ ych typ˚ u integr´ al˚ u

127

Rejstˇ r´ık

147

Literatura [1] Szafnicki B. : Zbiór zadaˇ n z funkcji zmiennej zespolnej, Gliwice 1963 [2] Jevgrifov M.A. : Sbornik zadaˇc po teorii analitiˇceskich funkcij (Nauka), Moskva 1969 ˇ ˇ [3] Sulista Milan : Anal´ yza v komplexn´ım oboru (Matematika pro VST), Praha 1980 ˇ [4] Polák Josef : Matematická anal´ yza v komplexn´ım oboru (skripta ZCU), Plzeˇ n 1994

1. Nutné znalosti o komplexn´ıch ˇc´ıslech

5

1. Nutn´ e znalosti o komplexn´ıch ˇ c´ıslech. Stˇredoˇskolské znalosti tvoˇr´ı nezbytn´ y základ ke studiu funkc´ı komplexn´ı promˇenné. Pˇr´ıklady v této kapitole zahrnuj´ı takové typy u ´loh, bez nichˇz nelze u ´spˇeˇsnˇe pokraˇcovat v dalˇs´ım studiu a které budou nutné k pochopen´ı obsahu dalˇs´ıch kapitol. Je tˇreba, abyste se dobˇre seznámili se základn´ımi pojmy a s metodami a postupy pˇri ˇreˇsen´ı uveden´ ych u ´loh. Vycház´ı se ze znalosti pˇredevˇs´ım tˇechto základn´ıch pojm˚ u a dovednost´ı: poˇc´ıtán´ı s komplexn´ımi ˇc´ısly v algebraickém tvaru (vˇcetnˇe dˇelen´ı), pojem absolutn´ı hodnoty a argumentu komplexn´ıho ˇc´ısla, pojem komplexnˇe sdruˇzeného ˇc´ısla, urˇcován´ı goniometrického tvaru komplexn´ıho ˇc´ısla a pouˇz´ıván´ı Moivreovy vˇety pro násoben´ı, umocˇ nován´ı a dˇelen´ı komplexn´ıch ˇc´ısel . Pro lepˇs´ı pochopen´ı je velmi d˚ uleˇzité co nejv´ıce vyuˇz´ıvat geometrické znázorˇ nován´ı komplexn´ıch ˇc´ısel. Na stˇredn´ıch ˇskolách se obvykle nezavád´ı a nepouˇz´ıvá exponenciáln´ı tvar komplexn´ıho ˇc´ısla. Pˇripomeˇ nme, ˇze pro libovolné reálné ˇc´ıslo ϕ je zaveden iϕ dohodnut´ y zápis e pro komplexn´ı jednotku ( tj. komplexn´ı ˇc´ıslo, které má absolutn´ı hodnotu rovnu jedné ) s argumentem ϕ e i ϕ = cos ϕ + i sin ϕ. Uvedená rovnost se naz´ yvá Eulerova identita . Promˇenná nebo neznámá komplexn´ı ˇc´ısla budeme obvykle oznaˇcovat z = x + i y pˇr´ıpadnˇe w = u + i v , konstantn´ı komplexn´ı ˇc´ısla se budou oznaˇcovat obvykle p´ısmeny ze zaˇcátku abecedy napˇr. a = a1 + i a2 . Budeme také pouˇz´ıvat obvyklá oznaˇcen´ı : Re z = x Im z = y |z|=r arg z = ϕ

reálná ˇcást komplexn´ıho ˇc´ısla z, imaginárn´ı ˇcást komplexn´ıho ˇc´ısla z ( je to reálné ˇc´ıslo ! ), absolutn´ı hodnota (modul) komplexn´ıho ˇc´ısla z, (hlavn´ı) argument komplexn´ıho ˇc´ısla z, kter´ y je v dohodnutém intervalu −π < arg z ≤ π ; argument je definován pouze pro komplexn´ı ˇc´ısla z 6= 0 ; symbolem Arg z budeme oznaˇcovat mnoˇzinu vˇsech nekoneˇcnˇe mnoha hodnot argumentu, z = x − i y komplexnˇe sdruˇzené ˇc´ıslo s komplexn´ım ˇc´ıslem z = x + i y .

6


1.1. Najdˇete reálnou a imaginárni ˇcást komplexn´ √ıch ˇc´ısel3 2 3 a) a = (1 + i ) ; b) a = (1 − i ) ; c) a = ( 3 + i ) ; 1− i 1 d) a = ; e) a = . 1+ i i ˇ Reˇ sen´ı : a) a = (1 + i )2 = 1 + 2 i − 1 = 2 i ; Re a = 0, Im a = 2 ; b) a = (1 − i )3 = 1 − 3 i + 3 i 2 − i 3 = 1 − 3ı − 3 + i = −2 − 2 i ; Re a = −2, Im a = −2 ; √ √ √ √ 3 c) a√= ( 3 + i )√ = ( 3)3 + 3( 3)2 i + 3 3 i 2 + i 3 = = 3 3 + 9 i − 3 3 − i = 8 i ; Re a = 0, Im a = 8 . K nalezen´ı reálné a imaginárn´ı ˇcásti následuj´ıc´ıch komplexn´ıch ˇc´ısel je tˇreba zlomky rozˇs´ıˇrit komplexnˇe sdruˇzen´ ym ˇc´ıslem : (1 − i )(1 − i ) 1 − 2i + i2 2i 1− i = = = = i ; 1+ i (1 + i )(1 − i ) 1 − i2 2 Re a = 0, Im a = 1 ; 1 i −i e) a = = − = = − i ; Re a = 0, Im a = −1 . i i (− i ) 1 d) a =

1.2. Urˇcete absolutn´ı hodnotu a (hlavn´ı) argument komplexn´ıch ˇc´ısel a) a = 3 + 4 i ; b) a = 2 − i ; c) a = −1 − i ; d) a = 3 i ; e) a = −4 . ˇ sen´ı : a) Absolutn´ı hodnota komplexn´ıho ˇ Reˇ c´ısla a = a1 + i a2 q

je definována vzorcem | a |= a21 + a22 . V Gaussovˇe rovinˇe znamená absolutn´ı hodnota | a | vzdálenost obrazu tohoto komplexn´ıho ˇc´ısla √ od poˇcátku. V daném pˇr´ıpadˇe | a | = 32 + 42 = 5 . Hodnotu argumentu najdeme nejspolehlivˇeji podle obrazu komplexn´ıho ˇc´ısla v Gaussovˇe rovinˇe jako velikost u ´hlu −π < ϕ ≤ π v pˇr´ısluˇsném a kvadrantu (v tomto pˇr´ıpadˇe prvn´ım), pro kter´ y plat´ı tg ϕ = Im . Re a . 4 V tomto pˇr´ıpadˇe ϕ = arctg 3 = 0, 9273 . √ . V´ ysledky : b) | a | = 5 , ϕ = arctg(− 12 ) = −0, 4636 , √ π 3π . c) | a | = 2 , ϕ = arctg 1 − π = − π = − = −2, 356 ; 4 4 π d) | a | = 3 , ϕ = ; e) | a | = 4 , ϕ = π . 2


7

1.3. Dokaˇzte, ˇze pro libovolná komplexn´ı ˇc´ısla z1 , z2 plat´ı |z1 z2 | = |z1 | |z2 |. Po vynásoben´ı komplexn´ıch ˇc´ısel z1 a z2 v algebraickém tvaru dokaˇzte ekvivalentn´ı rovnost |z1 z2 |2 = |z1 |2 |z2 |2 . N´ avod :

1.4. Dokaˇzte, ˇze pro libovolná komplexn´ı ˇc´ısla z1 ,z2 (z2 6= 0) plat´ı z1 | z1 | | |= . z2 | z2 | z1 N´ avod : Vyj´ adˇrete pod´ıl v algebraickém tvaru a dokaˇzte rovnost z2 z1 | |2 |z2 |2 = |z1 |2 . z2 1.5. Urˇcete argument komplexn´ıch ˇc´ısel a) z = cos ϕ − i sin ϕ ; b) z = − cos ϕ + i sin ϕ ; c) z = sin ϕ + i cos ϕ . N´ avod : Uveden´ a komplexn´ı ˇc´ısla

n e j s o u zapsána v goniometrickém tvaru, takˇze ϕ n e n ´ı argument. Proto je tˇreba provést u ´pravy podle vzorc˚ u pro goniometrické funkce. V´ ysledky : a) cos ϕ − i sin ϕ = cos(−ϕ) + i sin(−ϕ) , takˇ ze argument komplexn´ıho ˇc´ısla je (−ϕ) ;

b) argument komplexn´ıho ˇc´ısla je π − ϕ ; c) sin ϕ+ i cos ϕ = cos( π2 −ϕ)+ i sin( π2 −ϕ) , takˇze argument je

π −ϕ 2

.

1.6. Vypoˇc´ıtejte pˇreveden´ım na goniometrick´ y tvar a podle Moivreovy vˇety √ 1 √ a) a = ( 3 + i )7 ; b) a = ; c) a = ( i − 1)7 ; ( i − 3)5 ( i − 1)4 √ d) a = . (1 − 3 i )5 ˇ sen´ı : a) a = [ 2 (cos π + i sin π )]7 = 27 (cos 7π + i sin 7π ) = Reˇ 6 √ 6 6 √ 6 . = 27 (− 23 − 2i ) = −64( 3 + i ) ; 1 1 −25π −25π b) a = 5 (cos + i sin ) = 5π 5π 5 = 32 6 6 2 (cos 6 + i sin 6 ) 1 −π −π 1 √ . = (cos + i sin ) = ( 3 − i) ; 32 6 6 64 √ 1 V´ ysledky : c) a = 8 (1 + i ) ; d) a = − (1 − 3 i) . 16

8


1.7. Na základˇe Moivreovy vˇety vyjádˇrete cos 3ϕ a sin 3ϕ pomoc´ı funkc´ı cos ϕ a sin ϕ . ˇ sen´ı : Komplexn´ı ˇ Reˇ c´ıslo, jehoˇz absolutn´ı hodnota je rovna jedné a

argument je roven ϕ , se zap´ıˇse ve tvaru cos ϕ + i sin ϕ . Tˇret´ı mocnina se dá zapsat podle Moivreovy vˇety (cos ϕ + i sin ϕ)3 = = cos 3ϕ+ i sin 3ϕ . Kromˇe toho je moˇzné provést umocnˇen´ı algebraicky podle binomické vˇety a porovnán´ım reáln´ ych a imaginárn´ıch ˇcásti vyjde cos 3ϕ = cos3 ϕ − 3 cos ϕ sin2 ϕ , sin 3ϕ = 3 cos2 ϕ sin ϕ − sin3 ϕ . V pˇr´ıkladech 1.8 - 1.15 ˇreˇste binomické rovnice a v´ ysledná komplexn´ı ˇc´ısla zobrazte jako body v Gaussovˇe rovinˇe. 1.8. z 4 + 4 = 0 . ˇ sen´ı : Reˇ

Rovnici pˇrep´ıˇseme na tvar z 4 = −4 a komplexn´ı ˇc´ıslo −4 vyjádˇr´ıme v goniometrickém tvaru : −4 = 4(cos π + i sin π) . Neznámé komplexn´ı ˇc´ıslo z vyjádˇr´ıme také v goniometrickém tvaru z = r (cos ϕ + i sin ϕ) a podle Moivreovy vˇety vyjádˇr´ıme ˇctvrtou mocninu z 4 = r4 (cos 4ϕ + i sin 4ϕ) . Jestliˇze má platit rovnost dvou komplexn´ıch ˇc´ısel v goniometrickém tvaru, mus´ı se rovnat jejich absolutn´ı hodnoty. Jejich argumenty mohou b´ yt stejné, ale také se mohou se liˇsit o násobek periody 2π . Mus´ı b´ yt tedy splnˇeny dvˇe podm´ınky 1) r4 = 4 ,

2) 4ϕ = π + k 2π , k ∈ Z.

√ ˇ sen´ım tˇechto rovnic vyjde r = 2 , ϕ = π + k 2π = π + k π . Reˇ 4 4 2 Vzhledem k tomu, ˇze goniometrické funkce cos ϕ a sin ϕ jsou periodické s periodou 2π , staˇc´ı volit napˇr. k = 0, 1, 2, 3 a vyjde ϕ0 =

π 3π 5π 7π , ϕ1 = , ϕ2 = , ϕ3 = . 4 4 4 4

Pro dalˇs´ı hodnoty k = 4, 5, ... se budou odpov´ıdaj´ıc´ı argumenty liˇsit od uveden´ ych ˇctyˇr hodnot o periodu nebo jej´ı násobek, napˇr.


9

π π π π π 3π ϕ4 = + 4 = + 2π , ϕ5 = + 5 = + 2π , atd. Napˇr. pro 4 2 4 4 2 4 k = 4 vyjde cos ϕ4 = cos ϕ0 , sin ϕ4 = sin ϕ0 a tedy z4 = z0 . ˇ sen´ım dané rovnice jsou tedy pouze ˇctyˇri r˚ Reˇ uzná komplexn´ı ˇc´ısla ( indexy odpov´ıdaj´ı hodnotám k ) √ π π z0 = 2(cos + i sin ) = 1 + i , 4 4 √ 3π 3π z1 = 2(cos + i sin ) = −1 + i , 4 4 √ 5π 5π z2 = 2(cos + i sin ) = −1 − i , 4 4 √ 7π 7π z3 = 2(cos + i sin ) = 1 − i . 4 4 Vˇsechna tato komplexn´ı ˇc´ısla maj´ı stejnou absolutn´ı hodnotu, takˇze jejich obrazy v Gaussovˇe rovinˇe leˇz´ı na téˇze kruˇznici se stˇredem v poˇcátku. Jednotlivé argumenty se liˇs´ı o π2 , takˇze obrazy tvoˇr´ı na této kruˇznici vrcholy ˇctverce. 1.9. z 3 + 1 = 0 . √ √ 1 1 (1+ 3 i ) ; z1 = −1 ; z2 = (1− 3 i ) . Obrazy 2 2 tˇechto komplexn´ıch ˇc´ısel tvoˇr´ı vrcholy rovnostranného troj´ uheln´ıka. V´ ysledek : z0 =

1.10. z 3 = 8 . V´ ysledek : z0 = 2 ; z1 = (−1 +

√

3 i ) ; z2 = (−1 −

√

3 i) .

1.11. z 6 + 1 = 0 . 1 √ 1 √ z0 = ( 3 + i ) ; z1 = i ; z2 = (− 3 + i ) ; 2 2 1 √ 1 √ z3 = (− 3 − i ) ; z4 = − i ; z5 = ( 3 − i ) . 2 2 V´ ysledek :

1.12. z n = 1 , n ∈ N . ˇ sen´ı : Pro vˇsechna ˇreˇsen´ı mus´ı b´ Reˇ yt | z | = 1 , takˇze zápis vˇsech

ˇreˇsen´ı v goniometrickém tvaru je velmi jednoduch´ y 2kπ + i sin , k = 0, 1, 2, ... n − 1 . zk = cos 2kπ n n Algebraické vyjádˇren´ı jednotliv´ ych ˇreˇsen´ı pomoc´ı odmocnin je ovˇsem moˇzné pouze v nˇekter´ ych pˇr´ıpadech. Obrazy v´ ysledn´ ych komplexn´ıch ˇc´ısel tvoˇr´ı v Gaussovˇe rovinˇe vrcholy pravidelného n - u ´heln´ıka.

10


1.13. z 3 + 2 = 2 i . ˇ sen´ı : Rovnici uprav´ıme na tvar z 3 = −2 + 2 i a pravou stranu Reˇ

√ 3π 3π pˇrevedeme na goniometrick´ y tvar −2+2 i = 2 2 (cos + i sin ) . 4 4 √ π 2π Rovnice má ˇreˇsen´ı r = 2 a ϕk = + k , k = 0, 1, 2, takˇze 4 3 √ π π z0 = 2 cos + i sin =1+ i ; 4 4 √ 11π . 11π + i sin = −1, 366 + 0, 336 i ; z1 = 2 cos 12 12 √ 19π 19π . z2 = 2 cos + i sin = 0, 336 − 1, 336 i . 12 12 √ √ 1.14. z 2 = 2 2 + 2 2 i . ˇ sen´ı : Po vyj´ Reˇ adˇren´ı v goniometrickém tvaru vyjde

π π r2 (cos 2ϕ + i sin 2ϕ) = 4(cos + i sin ) . Z této rovnosti dostaneme 4 4 r = 2 a ϕ = π8 + kπ , k ∈ Z , kde se staˇc´ı omezit na k = 0, 1 . Takˇze π 9π 9π π + i sin ) = −z0 . z0 = 2 (cos + i sin ) , z1 = 2 (cos 8 8 8 8 Je moˇzné vyjádˇrit také algebraick´ y tvar ˇreˇsen´ı pˇreveden´ım na funkce dvojnásobného u ´hlu v s √ ! v √ ! u u q u u1 2 + 2 √ π π 1 1 1 2 t t (1 + cos ) = 1+ = = cos = 2 + 2, 8 2 4 2 2 2 2 2 v v s √ ! u √ ! u q u1 u1 2 − 2 √ π 1 π 2 1 t t sin = (1 − cos ) = 1− = = 2 − 2. 8 2 4 2 2 2 2 2 q q √ √ Takˇze z0 = 2 + 2 + i 2 − 2 , z1 = −z0 . 1.15. z 2 = i . V´ ysledek :

√ z0 =

2

2

(1 + i ) , z1 = −z0 .

ˇ ste kvadratickou rovnici z 2 + 2 i z − 1.16. Reˇ

√

3 i =0.

ˇ sen´ı : Prvn´ı dva ˇ Reˇ cleny levé strany rovnice je tˇreba doplnit na druhou

mocninu dvojˇclenu z + i


11

√ z2 + 2 i z + i 2 = √ i2 + 3 i , (z + i )2 = −1 + 3 i . Tato binomická rovnice pro z + i se ˇreˇs´ı podobnˇe jako v pˇr. 1.14, takˇze vyjde √ π π z0 + i = 2 cos + i sin , 3 3 √ 4π 4π + i sin , z1 + i = 2 cos 3 3 √ √ 2 z0 = − i + (1 + 3 i ) , √2 √ 2 (1 + 3 i ) . z1 = − i − 2 ˇ ste kvadratickou rovnici z 2 − 2 i z + 1 − 2 i = 0 . 1.17. Reˇ √

q

√

q

2 (− 2 − 2 + 2 − q q √ √ √ z1 = i + 2 ( 2 − 2 − 2 − 2 i ) . V´ ysledek : z0 = i +

√

2 i) ,

1.18. Zformulujte geometrick´ y v´ yznam nerovnosti | z1 + z2 | ≤ | z1 | + | z2 | , z1 , z2 ∈ C ( troj´ uheln´ıková nerovnost ). ˇ sen´ı : Rovnost nastane pr´ Reˇ avˇe tehdy, jestliˇze obrazy z1 , z2 a poˇcátku

O ( a také z1 + z2 ) leˇz´ı na jedné pˇr´ımce a arg z1 = arg z2 . Jestliˇze arg z1 = - arg z2 , ovˇeˇr´ıme na této pˇr´ımce platnost nerovnosti snadno. Jestliˇze obrazy z1 , z1 + z2 a poˇcátku O neleˇz´ı na jedné pˇr´ımce, potom tvoˇr´ı troj´ uheln´ık, jehoˇz velikosti stran jsou | z1 |, | z2 | a | z1 + z2 | . Troj´ uheln´ıková nerovnost vyjadˇruje známou vlastnost, ˇze souˇcet velikost´ı dvou stran v troj´ uheln´ıku mus´ı b´ yt vˇetˇs´ı neˇz velikost tˇret´ı strany. 1.19. Zformulujte geometrick´ y v´ yznam nerovnosti | z1 + z2 |≥|| z1 | − | z2 || , z1 , z2 ∈ C . N´ avod : Jestliˇ ze plat´ı | z1 |≥| z2 | , potom je moˇzné vynechat absolutn´ı hodnotu, pˇrevést | z2 | na druhou stranu nerovnice a vyjde | z1 + z2 | + | z2 |≥| z1 | . Ve stejném troj´ uheln´ıku jako v pˇr. l.18 znamená tato podm´ınka, ˇze

12

Funkce komplexn´ı promˇenné souˇcet velikost´ı dvou stran je vˇetˇs´ı neˇz velikost tˇret´ı strany. Rovnost nastane právˇe tehdy, kdyˇz arg z1 = − arg z2 . Pro pˇr´ıpad |z1 | ≤ |z2 | se provede podobná u ´vaha, pouze pˇri odstranˇen´ı absolutn´ı hodnoty je tˇreba zmˇenit znaménko.

1.20. Pro dvˇe komplexn´ı ˇc´ısla z1 a z2 zobrazte z1 − z2 a vyjádˇrete geometrick´ y v´ yznam | z1 − z2 | . ˇ sen´ı : Komplexn´ı ˇ Reˇ c´ıslo z1 − z2 m˚ uˇzeme dostat jako souˇcet kom-

plexn´ıch ˇc´ısel z1 a −z2 (vektorovˇe). Absolutn´ı hodnota | z1 − z2 | znamená vzdálenost obrazu komplexn´ıho ˇc´ısla z1 − z2 od poˇcátku a souˇcasnˇe vzdálenost mezi obrazy komplexn´ıch ˇc´ısel z1 a z2 ( obr. 1 ).

O b r . 1 .

1.21. Zformulujte geometrick´ y v´ yznam nerovnice |z1 − z2 | ≤ |z1 | + |z2 | , z1 , z2 ∈ C . N´ avod :

Vyuˇzijte v´ ysledku pˇr. 1.20.

V pˇr´ıkladech 1.22 - 1.42 najdˇete v Gaussovˇe rovinˇe mnoˇzinu vˇsech obraz˚ u komplexn´ıch ˇc´ısel z , pro nˇeˇz plat´ı zadané podm´ınky. ´ Umluva : Obrazu komplexn´ıho ˇc´ısla z v Gaussovˇe rovinˇe budeme struˇcnˇe ˇr´ıkat bod z .


13

1.22. | Re z | < 2 . ˇ sen´ı : Absolutn´ı hodnota re´ Reˇ alné ˇcásti komplexn´ıho ˇc´ısla z je vzdálenost

bodu z od imaginárn´ı osy. Mnoˇzina vˇsech bod˚ u z , pro které je tato vzdálenost menˇs´ı neˇz 2, je vnitˇrek pásu s osou v imaginárn´ı ose. 1.23. Im z = i . ˇ sen´ı : Reˇ

Imaginárn´ı ˇcást komplexn´ıho ˇc´ısla je definována jako reálné ˇc´ıslo, takˇze tato podm´ınka nen´ı splnˇena pro ˇzádné komplexn´ı ˇc´ıslo z . 1.24. Re z + Im z = 0 . ˇ sen´ı : Algebraick´ Reˇ e vyjádˇren´ı této podm´ınky ( x + y = 0 ) ukazuje,

ˇze mnoˇzina hledan´ ych bod˚ u je pˇr´ımka ( osa 2. a 4. kvadrantu ). 1.25. Re

z+1 < 0 , z 6= 1 . z−1

ˇ sen´ı : Reˇ

Zlomek je tˇreba vyjádˇrit v algebraickém tvaru a rozˇs´ıˇrit

(x + 1 + i y)(x − 1 − i y) x2 − 1 + y 2 − 2 i y z+1 = = . z−1 (x − 1 + i y)(x − 1 − i y) (x − 1)2 + y 2 Pro reálnou ˇcást vyjde podm´ınka x2 + y 2 − 1 < 0 . Hledaná mnoˇzina je tedy vnitˇrn´ı oblast kruˇznice se stˇredem v poˇcátku a s polomˇerem 1. 1.26. Im

z+1 = 0 , z 6= 1 . z−1

ˇ sen´ı : Po vyj´ Reˇ adˇren´ı daného zlomku v algebraickém tvaru vyjde

podm´ınka −2y = 0 . Hledaná mnoˇzina bod˚ u je reálná osa s vynechan´ ym bodem z = 1 . 1.27. Re

z+ i < 0 , z 6= 0 . z

V´ ysledek : Hledan´ a mnoˇzina je vnitˇrn´ı oblast kruˇznice se stˇredem v bodˇe [ 0, 12 ] a s polomˇerem r = 12 .

1.28. Im

z− i = 0 , z 6= 0 . z

V´ ysledek : Hledan´ a mnoˇzina je imaginárn´ı osa s vynechan´ ym poˇcátkem.

14


1.29. Re

1 1 = , z 6= 0 , a ∈ R+ . z a

a Hledaná mnoˇzina je kruˇznice se stˇredem v bodˇe [ , 0 ] 2 a polomˇerem r = a2 s vynechan´ ym poˇcátkem. V´ ysledek :

1.30. Re (z + 1 + i )2 = a2 , a ∈ R+ . ˇ sen´ı : Z vyj´ Reˇ adˇren´ı (x + i y + 1 + i )2 = [x + 1 + i (y + 1)]2 vyjde

podm´ınka pro reálnou ˇcást (x + 1)2 − (y + 1)2 = a2 . Hledaná mnoˇzina bod˚ u je rovnoosá hyperbola s osami, které jsou rovnobˇeˇzné s x a y. 1.31. Im (z + i )2 = 2 . Hledaná mnoˇzina je rovnoosá hyperbola, jej´ıˇz asymptoty jsou pˇr´ımky x = 0 a y = −1 . V´ ysledek :

1.32. | z |> 2 . ˇ sen´ı : Vzhledem ke geometrick´ Reˇ emu v´ yznamu absolutn´ı hodnoty

daná nerovnice znamená, ˇze vzdálenost bod˚ u z od poˇcátku má b´ yt vˇetˇs´ı neˇz 2. Hledaná mnoˇzina je tedy vnˇejˇs´ı oblast kruˇznice se stˇredem v poˇcátku a s polomˇerem r = 2 . 1.33. | z − a |= r , a ∈ C , r ∈ R+ . ˇ sen´ı : Vzhledem ke geometrick´ Reˇ emu v´ yznamu absolutn´ı hodnoty

rozd´ılu dvou komplexn´ıch ˇc´ısel ( pˇr. 1.20 ) daná podm´ınka vyˇzaduje, aby vzdálenost mezi body z a a byla rovna r . Hledaná mnoˇzina je tedy kruˇznice se stˇredem v bodˇe a a s polomˇerem r . 1.34. 1 <| z − i |< 2 . V´ ysledek : Hledan´ a mnoˇzina je vnitˇrek mezikruˇz´ı se stˇredem v bodˇe i a s polomˇery hraniˇcn´ıch kruˇznic r1 = 1 a r2 = 2 . √ 1.35. | z − 1 + i |= 2 .

Hledan´ √a mnoˇzina je kruˇznice se stˇredem v bodˇe 1 − i a s polomˇerem r = 2 . Kruˇznice procház´ı poˇcátkem. V´ ysledek :

1.36. | z + i |< 1 . V´ ysledek : Hledan´ a mnoˇzina je vnitˇrn´ı oblast kruˇznice se stˇredem

v bodˇe − i a s polomˇerem r = 1. Hraniˇcn´ı kruˇznice procház´ı poˇcátkem.


15

1.37. |z − 1| + |z + 1| = 4 . ˇ sen´ı : Pro body z mus´ı platit, ˇ Reˇ ze souˇcet vzdálenost´ı od bod˚ u

−1 a 1 je konstantn´ı ( 4 ). Tuto podm´ınku splˇ nuj´ı podle geometrické definice body elipsy, která má stˇred v poˇcátku, ohniska v bodech −1 a 1 a délku hlavn´ı poloosy a = 2 . 1.38.

|z + 1 − i | = 1 , z 6= 1 − i . |z − 1 + i | ˇ sen´ı : Podm´ınku je vhodn´ Reˇ e upravit na rovnost dvou absolutn´ıch

hodnot, která znamená, ˇze vzdálenosti bodu z od bodu −1 + i a od bodu 1 − i mus´ı b´ yt stejné. Hledaná mnoˇzina je osa u ´seˇcky s krajn´ımi body −1 + i a 1 − i , tj. osa 1. a 3. kvadrantu. 1.39. | z + i |=| z | , z 6= 0 . V´ ysledek: Hledan´ a mnoˇzina je pˇr´ımka rovnobˇeˇzná s reálnou osou a procházej´ıc´ı bodem − 2i .

1.40. Re z =| z + 1 + i | . ˇ sen´ı : Re´ Reˇ alná ˇcást komplexn´ıho ˇc´ısla z mus´ı b´ yt kladná (protoˇze

se rovná absolutn´ı hodnotˇe) a znamená vzdálenost bodu z od imaginárn´ı osy. Bod z tedy mus´ı leˇzet v pravé polorovinˇe Gaussovy roviny a proto nem˚ uˇze m´ıt stejnou vzdálenost od imaginárn´ı osy a od bodu −1 − i . Takˇze hledaná mnoˇzina je prázdná. 1.41. | z − 1 | −1 = Re z . ˇ sen´ı : Plat´ı | z − 1 |= Re z + 1 = Re(z + 1) . Vzd´ Reˇ alenost bodu z

od bodu 1 se má rovnat vzdálenosti bodu z od pˇr´ımky x = −1 . Podle geometrické definice paraboly (mnoˇzina bod˚ u, které maj´ı stejnou vzdálenost od ˇr´ıd´ıc´ı pˇr´ımky a od bodu - ohniska) je hledaná mnoˇzina parabola s ohniskem v bodˇe 1 a s vrcholem v poˇcátku. Osa paraboly je v reálné ose. 1.42. Re z =| z − 1 − i | . V´ ysledek : Podle geometrick´ e definice paraboly je hledaná mnoˇzina

parabola, která má ohnisko v bodˇe pˇr´ımka této paraboly.

1 + i . Imaginárn´ı osa je ˇr´ıd´ıc´ı

16


1.43. | z + 2 |= 2 | z − 1 | . ˇ sen´ı : Po vyj´ Reˇ adˇren´ı v algebraickém tvaru a umocnˇen´ı vyjde

(x + 2)2 + y 2 = 4[(x − 1)2 + y 2 ] , x2 + 4x + 4 + y 2 = 4x2 − 8x + 4 + y 2 , 3x2 + 3y 2 − 12x = 0 . Po doplnˇen´ı na mocninu a po krácen´ı vyjde (x − 2)2 + y 2 = 22 . Hledaná mnoˇzina je kruˇznice se stˇredem v bodˇe 2 a s polomˇerem 2 . Obecnˇe lze t´ımto zp˚ usobem snadno dokázat následuj´ıc´ı vˇetu : Mnoˇzina bod˚ u v rovinˇe, které maj´ı od dvou dan´ ych bod˚ u v této rovinˇe konstantn´ı pomˇer vzdálenost´ı (r˚ uzn´ y od jedné), je kruˇznice. V pˇr´ıkladech 1.44 - 1.51 napiˇste analytické vyjádˇren´ı dan´ ych geometrick´ ych u ´tvar˚ u pomoc´ı promˇenného komplexn´ıho ˇc´ısla z . 1.44. Vnitˇrek horn´ı poloroviny ohraniˇcené osou 1. a 3. kvadrantu. V´ ysledek : Souˇradnice bod˚ u vnitˇrku této poloroviny splˇ nuj´ı podm´ınku

y > x neboli Im z > Re z . 1.45. Vnitˇrek 1.kvadrantu. V´ ysledek : 0 < arg z <

π 2

nebo Re z > 0 ∧ Im z > 0 .

1.46. Vnitˇrn´ı oblast kruˇznice, která má stˇred v bodˇe 1 − i a dot´ yká se reálné osy. ˇ sen´ı : Polomˇ Reˇ er hraniˇcn´ı kruˇznice se mus´ı rovnat 1 . Vˇsechny body

vnitˇrn´ı oblasti této kruˇznice maj´ı vzdálenost od stˇredu 1 − i menˇs´ı neˇz 1 . Hledaná podm´ınka má tedy tvar |z − 1 + i | < 1 . 1.47. Mnoˇzina kruˇznic, které se dot´ ykaj´ı imaginárn´ı osy v poˇcátku. ˇ sen´ı : Tyto kruˇ Reˇ znice maj´ı stˇred na reálné ose (souˇrednice a ∈ R) a

jejich polomˇer je roven vzdálenosti stˇredu od poˇcátku (| a |). Hledaná mnoˇzina kruˇznic má tedy rovnici | z − a |=| a | , a ∈ R . 1.48. Mnoˇzina kruˇznic, které procházej´ı poˇcátkem. ˇ sen´ı : Jestliˇ Reˇ ze kruˇznice má stˇred v bodˇe a ∈ C, mus´ı m´ıt polomˇer

| a | . Takové kruˇznice maj´ı rovnici | z − a |=| a | , a ∈ C .


17

1.49. Vnitˇrek mezikruˇz´ı se stˇredem v bodˇe i a s polomˇery hraniˇcn´ıch kruˇznic 1 a 2. V´ ysledek : Dan´ a mnoˇzina bod˚ u je urˇcena podm´ınkou 1 <| z −i |< 2 .

1.50. Pˇr´ımka, která procház´ı bodem 1 a bodem i .

N´ avod : Danou pˇr´ımku m˚ uˇzete chápat jako mnoˇzinu bod˚ u které maj´ı

stejnou vzdálenost od poˇcátku a od bodu 1 + i .

1.51. Mnoˇzina pˇr´ımek, které sv´ıraj´ı s kladnou poloosou x u ´hel

π 4

.

V´ ysledek : Rovnice tˇ echto pˇr´ımek m˚ uˇze b´ yt zapsána ve tvaru

|z − 1 − a| = |z − i − a| , a ∈ R .

1.52. Zobrazte v Gaussovˇe rovinˇe dvˇe r˚ uzná nenulová komplexn´ı ˇc´ısla z1 a z2 . K troj´ uheln´ıku s vrcholy v bodech O ( poˇcátek ), 1 , z1 sestrojte nad u ´seˇckou O z2 podobn´ y souhlasnˇe orientovan´ y troj´ uheln´ık O z2 z3 ( obr. 2 ). Dokaˇzte, ˇze plat´ı z3 = z1 z2 . |z1 | |z3 | ˇ sen´ı : Z pomˇ Reˇ eru = délek stran v podobn´ ych troj´ uheln´ıc´ıch

1 |z2 | vyjde |z3 | = |z1 | |z2 | . Podle uvedené konstrukce je vidˇet, ˇze pro argumenty plat´ı arg z3 = arg z1 + arg z2 . To podle Moivreovy vˇety odpov´ıdá souˇcinu komplexn´ıch ˇc´ısel. Uveden´ y postup tedy popisuje konstrukci obrazu souˇcinu dvou nenulov´ ych komplexn´ıch ˇc´ısel v Gaussovˇe rovinˇe.

18


O b r . 2 .

1.53. Zobrazte v Gaussovˇe rovinˇe dvˇe r˚ uzná nenulová komplexn´ı ˇc´ısla z1 a z2 . K troj´ uheln´ıku s vrcholy v bodech 0 ( poˇcátek ), z2 , z1 sestrojte nad u ´seˇckou 0 1 podobn´ y souhlasnˇe orientovan´ y troj´ uheln´ık 0 1 z3 z1 ( obr. 3 a ) . Dokaˇzte, ˇze plat´ı z3 = . z2 N´ avod : Podle Moivreovy vˇ ety pro pod´ıl dvou komplexn´ıch ˇc´ısel je

|z1 | a arg z3 = arg z1 − arg z2 . K tomu se |z2 | podle obrázku pouˇzije podobnost troj´ uheln´ık˚ u. Podle popsaného návodu je tedy moˇzné zkonstruovat obraz pod´ılu dvou nenulov´ ych komplexn´ıch ˇc´ısel v Gaussovˇe rovinˇe.

tˇreba dokázat, ˇze |z3 | =

1 , z 6= 0 . z N´ avod : Konstrukce se provede jako zvl´ aˇstn´ı pˇr´ıpad konstrukce z pˇr. 1.53 ( obr. 3 b ) .

1.54. Popiˇste konstrukci obrazu komplexn´ıho ˇc´ısla

O b r . 3 . a .

O b r . 3 . b .

1.55. Zobrazte v Gaussovˇe rovinˇe nenulové komplexn´ı ˇc´ıslo z , pro které |z| > 1 . Z tohoto bodu ved’te teˇcny ke kruˇznici se stˇredem v poˇcátku


19

a s polomˇerem 1. Pr˚ useˇc´ık pr˚ uvodiˇce bodu z a spojnice bod˚ u dotyku 1 . teˇcen oznaˇcte w ( obr. 4 ). Dokaˇzte, ˇze w = z ˇ sen´ı : Troj´ Reˇ uheln´ık O z T je pravo´ uhl´ y a podle Euklidovy vˇety o odvˇesnˇe plat´ı |z| |w| = 1 . Argumenty komplexn´ıch ˇc´ısel z a w jsou stejné.

O b r . 4 .

1.56. Ovˇeˇrte v algebraickém tvaru, ˇze plat´ı a) z1 + z2 = z1 + z2 , b) z1 − z2 = z1 − z2 , c) z1 z2 = z1 z2 , z1 , z2 ∈ C . N´ avod : Tyto vlastnosti jsou pˇri zobrazen´ı v Gaussovˇ e rovinˇe zaloˇzeny

na soumˇernosti podle reálné osy. 1.57. Ovˇeˇrte v algebraickém i goniometrickém tvaru, ˇze pro libovolné z ∈ C plat´ı |z|2 = z z . 1.58. Dokaˇzte, ˇze pro libovolná z1 , z2 ∈ C plat´ı | z1 +z2 |2 + | z1 −z2 |2 = 2(| z1 |2 + | z2 |2 ) a zformulujte geometrick´ y smysl této identity. ˇ sen´ı : Absolutn´ı hodnoty vyj´ Reˇ adˇr´ıme pomoc´ı komplexnˇe sdruˇzen´ ych

komplexn´ıch ˇc´ısel (pˇr. 1.57.) a uprav´ıme levou stranu podle pˇr. 1.56. | z1 + z2 |2 + | z1 − z2 |2 = (z1 + z2 ) (z1 + z2 ) + (z1 − z2 ) (z1 − z2 ) = = (z1 + z2 ) (z1 + z2 ) + (z1 − z2 )(z1 − z2 ) = 2(z1 z1 + z2 z2 ) = = 2(| z1 |2 + | z2 |2 ) . S v´ yjimkou zvláˇstn´ıch pˇr´ıpad˚ u tvoˇr´ı body O, z1 , z2 , z1 + z2 vrcholy rovnobˇeˇzn´ıka, | z1 | a | z2 | jsou velikosti jeho stran a | z1 + z2 | a

20

Funkce komplexn´ı promˇenné | z1 − z2 | jsou velikosti jeho u ´hlopˇr´ıˇcek. Plat´ı tedy : Souˇcet druh´ ych mocnin velikost´ı u ´hlopˇr´ıˇcek rovnobˇeˇzn´ıka se rovná souˇctu druh´ ych mocnin velikost´ı jeho stran.

1.59. Dokaˇzte, ˇze pro libovolné komplexn´ı ˇc´ıslo z 6= −1 je imaginárn´ı právˇe tehdy, kdyˇz |z| = 1 .

z−1 ryze z+1

ˇ sen´ı : Dokazujeme ekvivalenci pomoc´ı dvou implikac´ı. Reˇ

1. Za pˇredpokladu, ˇze |z|2 = z z = 1 , dostanete po rozˇs´ıˇren´ı zlomku komplexn´ım ˇc´ıslem z z−1 z−1 z−1 z z−z 1−z z−1 =− =− . = = =− z+1 z+1 z+1 z+1 z z+z 1+z Komplexn´ı ˇc´ıslo se rovná opaˇcnému komplexnˇe sdruˇzenému ˇc´ıslu právˇe tehdy, kdyˇz je ryze imaginárn´ı. ia z−1 = i a , a ∈ R , potom m˚ uˇzeme vypoˇc´ıtat z = . 2. Jestliˇze z+1 1 − ia √ Absolutn´ı hodnota ˇcitatele i jmenovatele se rovná 1 + a2 , takˇze |z| = 1 .

Geometrická interpretace : Body z −1 a z +1 jsou obrazy koncov´ ych z−1 bod˚ uu ´seˇcky délky 2. Pod´ıl je ryze imaginárn´ı právˇe tehdy, kdyˇz z+1 rozd´ıl argument˚ u komplexn´ıch ˇc´ısel z−1 a z+1 je roven π2 . Pr˚ uvodiˇce bod˚ u z − 1 a z + 1 jsou tedy na sebe kolmé a poˇcátek mus´ı leˇzet na Thaletovˇe kruˇznici nad u ´seˇckou z − 1 , z + 1 délky 2. Stˇred této u ´seˇcky ( z ) mus´ı m´ıt vzdálenost od poˇcátku rovnu 1. 1.60. Dokaˇzte, ˇze pro libovolné komplexn´ı ˇc´ıslo a , pro které Im a 6= 0, z−a plat´ı: | |= 1 právˇe tehdy, kdyˇz z je reálné ˇc´ıslo. z−a ˇ sen´ı : 1. Protoˇ Reˇ ze Im a 6= 0 , mus´ı b´ yt a 6= a . Mnoˇzina vˇsech

komplexn´ıch ˇc´ısel z, pro která je splnˇena rovnice |z − a| = |z − a| , je osa soumˇernosti u ´seˇcky s krajn´ımi body a, a , tj. mnoˇzina vˇsech reáln´ ych ˇc´ısel. 2. Jestliˇze z je reálné ˇc´ıslo, potom plat´ı z = z a vyjde z − a z − a z−a = =

z−a

z−a

z−a

=1.


21

V pˇr´ıkladech 1.61 -1.66 zapiˇste pomoc´ı promˇenn´ ych komplexn´ıch ˇc´ısel z a z ( bez absolutn´ıch hodnot ) rovnice dan´ ych kˇrivek nebo soustav kˇrivek. Takov´ y zápis rovnic bude velmi v´ yhodn´ y pˇri ˇreˇsen´ı pˇr. 4.25 a dalˇs´ıch. 1.61. Kruˇznice se stˇredem v bodˇe z0 a s polomˇerem r , r ∈ R+ . Která z tˇechto kruˇznic procház´ı poˇcátkem ? ˇ sen´ı : Z rovnice | z − z0 |= r po umocnˇ Reˇ en´ı a nahrazen´ı absolutn´ı

hodnoty vyjde | z − z0 |2 = (z − z0 ) (z − z0 ) = r2 . Po u ´pravách podle pˇr.1.55 vyjde (z − z0 ) (z − z0 ) = zz − zz0 − zz0 + z0 z0 = zz − zz0 − zz0 + |z0 |2 = r2 . Kruˇznice procház´ı poˇcátkem právˇe tehdy, kdyˇz polomˇer kruˇznice se rovná vzdálenosti stˇredu z0 od poˇcátku (r = |z0 | ) . Kruˇznice, která procház´ı poˇcátkem, má tedy rovnici zz−zz0 −zz0 = 0 . 1.62. Mnoˇzina vˇsech kruˇznic, které se dot´ ykaj´ı imaginárn´ı osy v poˇcátku. V´ ysledek :

zz − c(z + z) = 0 , c ∈ R.

1.63. Pˇr´ımka, která procház´ı poˇcátkem a sv´ırá s kladnou poloosou x u ´hel ϕ . ˇ sen´ı : Staˇ Reˇ c´ı zvolit v Gaussovˇe rovinˇe dva r˚ uzné body z1 a z2 , které

maj´ı stejnou vzdálenost od poˇcátku (| z1 |=| z2 |) a jejichˇz spojnice je kolmá na danou pˇr´ımku. Potom osa soumˇernosti u ´seˇcky s krajn´ımi body z1 , z2 je hledaná pˇr´ımka a má rovnici | z − z1 |=| z − z2 | . Po umocnˇen´ı a u ´pravách vyjde (z − z1 ) (z − z1 ) = (z − z2 ) (z − z2 ) , (z − z1 ) (z − z1 ) = (z − z2 ) (z − z2 ) , zz − zz1 − zz1 + | z1 |2 = zz − zz2 − zz2 + | z2 |2 , z(z1 − z2 ) + z(z1 − z2 ) = 0 z(z1 − z2 ) + z(z1 − z2 ) = 0 . Jestliˇze oznaˇc´ıme a = z1 −z2 , potom toto komplexn´ı ˇc´ıslo má pr˚ uvodiˇc kolm´ y na danou pˇr´ımku. Pˇri tomto oznaˇcen´ı má rovnice jednoduch´ y tvar a z + a z = 0 .

22


1.64. Pˇr´ımka, která procház´ı poˇcátkem a sv´ırá s kladnou poloosou x π u ´hel . 3 √ √ V´ ysledek : ( 3 + i ) z = (− 3 + i ) z . 1.65. Soustava pˇr´ımek, které sv´ıraj´ı s kladnou poloosou x u ´hel

π 4

.

ˇ sen´ı : Komplexn´ı ˇ Reˇ c´ıslo 1−i má pr˚ uvodiˇc kolm´ y k dan´ ym pˇr´ımkám.

Jedna z tˇechto pˇr´ımek ( procházej´ıc´ı poˇcátkem ), má rovnici (1 + i) z + (1 − i) z = 0 . Soustava rovnobˇeˇzn´ ych pˇr´ımek se dá z´ıskat posunut´ım ve smˇeru reálné osy o libovolné reálné ˇc´ıslo. Rovnice dané soustavy pˇr´ımek se tedy dá zapsat ve tvaru (1 + i ) z + (1 − i ) z = c , c ∈ R . 1.66. Soustava pˇr´ımek rovnobˇeˇzn´ ych s reálnou osou. V´ ysledek : Rovnice se d´ a zapsat ve tvaru z − z = c , c ∈ R .

1.67. Najdˇete stˇred a polomˇer kruˇznice, která je dána rovnic´ı zz + ( i − 1)z − ( i + 1)z = 2 . ˇ sen´ı : Rovnici zz − (1 − i )z − (1 + i )z = 2 Reˇ

je tˇreba upravit na tvar uveden´ y v pˇr. 1.61, tj. pˇridat hodnotu 2 |1 + i | = 2 . Vyjde zz − (1 − i )z − (1 + i )z + |1 + i|2 = 4 . Kruˇznice má tedy stˇred v bodˇe 1 + i a polomˇer r = 2 . 1.68. Najdˇete stˇred a polomˇer kruˇznice dané rovnic´ı zz − i z + i z = 3 . V´ ysledek : Kruˇ znice má stˇred v bodˇe − i a polomˇer r = 2 .

1.69. Najdˇete mnoˇzinu vˇsech bod˚ u z v Gaussovˇe rovinˇe, které splˇ nuj´ı rovnici 1 1 + =1. z z ˇ sen´ı : Pro z 6= 0 je tak´ Reˇ e z 6= 0 , takˇze daná rovnice je ekvivalentn´ı rovnici z + z = z z . Odtud z z − z − z + 1 = 1 neboli (z − 1) (z − 1) =| z − 1 |2 = 1 . Mnoˇzina hledan´ ych bod˚ u je tedy kruˇznice se stˇredem v bodˇe 1 a s polomˇerem r = 1 , ze které je vynechan´ y poˇcátek ( bod z = 0 ). 1.70. Zapiˇste√následuj´ıc´ı komplexn´ı ˇc´ısla v exponenciáln´ım tvaru ( r e i ϕ ) a) 1 − i 3 , b) −2 + 2 i , c) − i , d)−1 , e) 1 .


23

ˇ sen´ı : Reˇ

a) Jako pˇri stanoven´ı zápisu komplexn´ıch ˇc´ısel v goniometrickém tvaru je tˇreba naj´ıt jejich absolutn´ı hodnotu a argument. Jedno vyjádˇren´ı v exponenciáln´ım tvaru je √ 5π 5π 5π 1 − i 3 = 2 (cos + i sin ) = 2 e 3 i . 3 3 Vˇsechna moˇzná vyjádˇren´ı lze zapsat ve tvaru √ 5π 5 1 − i 3 = e 3 i +2kπ i = e( 3 +2k)π i , k ∈ Z , √ 3 V´ ysledky : b) −2 + 2 i = 2 2e( 4 +2k)π i , 3

c) − i = e( 2 +2k)π i , k ∈ Z,

d) −1 = e(1+2k)π i , k ∈ Z ,

e) 1 = e2kπ i , k ∈ Z .

1.71. Zapiˇste exponenciáln´ı tvar vˇsech a) záporn´ ych reáln´ ych ˇc´ısel, b) ryze imaginárn´ıch ˇc´ısel, c) kladn´ ych reáln´ ych ˇc´ısel. V´ ysledky :

a) Pro kladn´ y reáln´ y parametr r : z = r e(2k+1)πi , k ∈ Z . b) Pro nenulov´ y reáln´ y parametr r : z = r e

2k+1 πi 2

, k∈Z .

c) Pro kladn´ y reáln´ y parametr r : z = r e2kπi , k ∈ Z . 1.72. Vyjádˇrete ˇreˇsen´ı následuj´ıc´ıch binomick´ ych rovnic v exponenciáln´ım 4 6 tvaru : a) z + 16 = 0 , b) z + 8 = 0 , c) z 3 − i = 0 , d) z 3 − 27 = 0 , e) z n − 2 = 0 . V´ ysledky :

a) zk = 2 e b) zk =

√

c) zk = e

1+2k πi 4

2e

, k = 0, 1, 2, 3.

1+2k πi 6

1+4k πi 6

2kπi

, k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

, k = 0, 1, 2.

d) zk = 3 e 3 , k = 0, 1, 2. √ 2kπi n e) zk = 2 e n , k = 0, 1, 2, 3, ...n − 1.

24


1.73. Na základˇe Eulerovy identity vyjádˇrete cos ϕ a sin ϕ pomoc´ı exponenciáln´ıch funkc´ı. ˇ sen´ı : Zapiˇste Eulerovu identitu eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ Reˇ

a pro (−ϕ) e−iϕ = cos(−ϕ) + i sin(−ϕ) = cos ϕ − i sin ϕ . ˇ sen´ım této soustavy rovnic snadno vyjde Reˇ cos ϕ =

eiϕ − e−iϕ eiϕ + e−iϕ , sin ϕ = . 2 2i

Nen´ı jistˇe náhodná podobnost s definic´ı hyperbolick´ ych funkc´ı cosh x =

ex + e−x ex − e−x , sinh x = . 2 2

2.Komplexn´ı funkce reálné promˇenné

25

2. Komplexn´ı funkce re´ aln´ e promˇ enn´ e Zobrazen´ı w = f (t) = u(t) + i v(t) mnoˇziny I ⊂ R do mnoˇziny komplexn´ıch ˇc´ısel C se naz´ yvá komplexn´ı funkce jedn´ e re´ aln´ e promˇ enn´ e. Pro tuto funkci definujeme pˇrirozen´ ym zp˚ usobem limitu, spojitost, derivaci a urˇcit´ y integrál, takˇze tyto pojmy pˇrevád´ıme na dvojici reáln´ ych funkc´ı jedné reálné promˇenné u(t) a v(t) . Nejˇcastˇeji se omezujeme na pˇr´ıpad, kdy mnoˇzina I je otevˇren´ y nebo uzavˇren´ y interval. Pˇri geometrickém znázornˇen´ı komplexn´ı funkce jedné reálné promˇenné tvoˇr´ı obrazy komplexn´ıch ˇc´ısel w = u + i v kˇrivku v Gaussovˇe rovinˇe, definovanou parametrick´ ymi rovnicemi u = u(t) , v = v(t), t ∈ I . Orientace kˇrivky se obvykle definuje podle rostouc´ıho parametru t ∈ I . Kˇrivka jako mnoˇzina bod˚ u vˇsak m˚ uˇze b´ yt definována nekoneˇcnˇe mnoha r˚ uzn´ ymi komplexn´ımi funkcemi jedné reálné promˇenné. Jestliˇze I =< a, b > , potom bod w = f (a) se naz´ yvá poˇ c´ ateˇ cn´ı bod kˇrivky a bod w = f (b) se naz´ yvá koncov´ y bod kˇrivky. Jestliˇze f (a) = f (b), naz´ yvá se kˇrivka uzavˇ ren´ a. Jestliˇze zobrazen´ı, definované funkc´ı w = f (t) na mnoˇzinˇe I je prosté, potom se kˇrivka naz´ yvá jednoduch´ a. Jestliˇze má funkce w = f (t) pro t ∈ (a, b) nenulovou a spojitou derivaci, naz´ yvá se kˇrivka hladk´ a. Obecnˇeji se kˇrivka naz´ yvá po ˇ c´ astech hladk´ a, jestliˇze se dá rozdˇelit na koneˇcn´ y poˇcet hladk´ ych ˇcást´ı. V pˇr´ıkladech 2.1 - 2.12 urˇcete, jaké kˇrivky tvoˇr´ı obrazy komplexn´ıch ˇc´ısel w , pro která plat´ı w = f (t), t ∈ I. Vˇsimnˇete si, ˇze v nˇekter´ ych pˇr´ıpadech podstatnˇe r˚ uzné funkce urˇcuj´ı tutéˇz kˇrivku v Gaussovˇe rovinˇe. Kˇrivka totiˇz m˚ uˇze b´ yt vyjádˇrena parametricky nekoneˇcnˇe mnoha zp˚ usoby. 2.1. w = 1 − t + 2t i , t ∈< 0, 1 > . ˇ sen´ı : Reˇ

Obrazy komplexn´ıch ˇc´ısel tvoˇr´ı kˇrivku danou parametrick´ ymi rovnicemi u = 1 − t , v = 2t , kde t∈ < 0, 1 >. Protoˇze parametrické rovnice nejsou zcela bˇeˇzné, snaˇz´ıme se naj´ıt neparametrickou rovnici kˇrivky vylouˇcen´ım parametru t . Vyjde lineárn´ı rovnice 2u + v = 2 , tj. rovnice pˇr´ımky. Hledané obrazy komplexn´ıch ˇc´ısel mus´ı leˇzet na této pˇr´ımce, ale tvoˇr´ı pouze orientovanou u ´seˇcku (odpov´ıdaj´ıc´ı hodnotám parametru t ∈< 0, 1 >) s poˇcáteˇcn´ım bodem [ 1, 0 ] a s koncov´ ym bodem [ 0, 2 ] .

26


2.2. w = t + 2 i − 2t i , t ∈< 0, 1 > . ´ cka jako v pˇr. 2.1, ale opaˇcnˇe orientovaná. V´ ysledek : Useˇ 2.3 w = 2 − t + 2 i (t − 1) , t ∈< 1, 2 > . ´ cka jako v pˇr. 2.1 ( vˇcetnˇe orientace ). V´ ysledek : Useˇ 2.4. w = cos2 t + 2 i sin2 t , t ∈< 0, π2 >. ˇ sen´ı : Reˇ

Hledané obrazy tvoˇr´ı kˇrivku, která je dána parametrick´ ymi 2 2 rovnicemi u = cos t , v = 2 sin t . Po vynásoben´ı prvn´ı rovnice dvˇema a seˇcten´ı s druhou rovnic´ı dostanete 2u + v = 2 cos2 t + 2 sin2 t = 2 . Hledané obrazy komplexn´ıch ˇc´ısel leˇz´ı na pˇr´ımce 2u+v = 2 a intervalu < 0, π2 > odpov´ıdá táˇz orientovaná u ´seˇcka jako v pˇr. 2.1. 2.5. w = (1 + i t)2 , t ∈< 0, ∞). ˇ sen´ı : Reˇ

Je tˇreba naj´ıt reálnou a imaginárn´ı ˇcást dané komplexn´ı funkce reálné promˇenné w = (1+ i t)2 = 1−t2 + 2t i , odtud dostaneme parametrické rovnice kˇrivky u = 1 − t2 , v = 2t . Dosazen´ım t = v2 2 do prvn´ı rovnice vylouˇc´ıme parametr t a vyjde u = 1 − v4 neboli v 2 = −4(u − 1) . Je to rovnice paraboly s vrcholem [ 1, 0 ] , s parametrem p = −2 ( |p| = 2 znamená vzdálenost ohniska od ˇr´ıdic´ı pˇr´ımky ) a s ohniskem v poˇcátku ( vzdálenost ohniska od vrcholu je rovna polovinˇe parametru ). Hledané obrazy komplexn´ıch ˇc´ısel tvoˇr´ı polovinu této paraboly ( v horn´ı polorovinˇe ) s poˇcáteˇcn´ım bodem ve vrcholu [ 1, 0 ]. 2.6. w = 2e− i t , t ∈ < 0, π > . ˇ sen´ı : Reˇ

Pouˇzit´ım Eulerovy identity vyjdou parametrické rovnice u = 2 cos t , v = −2 sin t . Vylouˇcen´ım parametru vyjde u2 + v 2 = 22 . Hledané obrazy komplexn´ıch ˇc´ısel leˇz´ı na kruˇznici se stˇredem v poˇcátku a s polomˇerem r = 2 . Hledaná kˇrivka je tedy doln´ı polovina kruˇznice s poˇcáteˇcn´ım bodem [ 2, 0 ] a s koncov´ ym bodem [ -2, 0 ]. 2.7. w = 1 − e− i t , t ∈ < 0, π >. Doln´ı polovina kruˇznice (u − 1)2 + v 2 = 1 se stˇredem v bodˇe [ 1, 0 ], s poˇcáteˇcn´ım bodem v poˇcátku a s koncov´ ym bodem [ 2, 0 ]. V´ ysledek :

2.Komplexn´ı funkce reálné promˇenné

27

2 , t∈ < 0, ∞). 1 + 2t i ˇ sen´ı : Je tˇreba naj´ıt re´ Reˇ alnou a imaginárn´ı ˇcást dané funkce

2.8. w =

2 2(1 − 2t i ) 2 −4t = = + , 2 2 1 + 2t i 1 + 4t 1 + 4t 1 + 4t2 2 −4t tj. u = , v = . 1 + 4t2 1 + 4t2 Umocnˇen´ım a seˇcten´ım parametrick´ ych rovnic dostaneme 2 4 + 16t 4 u2 + v 2 = = = 2u . (1 + 4t2 )2 1 + 4t2 Tato rovnici se dá upravit na tvar (u − 1)2 + v 2 = 1 , takˇze je vidˇet, ˇze obrazy komplexn´ıch ˇc´ısel leˇz´ı na kruˇznici se stˇredem v bodˇe [ 1, 0 ] a s polomˇerem r = 1. Poˇcáteˇcn´ı bod hledané kˇrivky (ˇcásti této kruˇznice) je pro t = 0 v bodˇe [ 2, 0 ] , dalˇs´ı body leˇz´ı na doln´ı polokruˇznici ( pro t > 0 je v < 0 ) a pro rostouc´ı hodnoty parametru t se body pˇribliˇzuj´ı k poˇcátku. Hledaná kˇrivka je tedy stejná jako v pˇr. 2.7. 2.9. w =

1 , t∈R. 1 − it

V´ ysledek : Z´ apornˇe orientovaná kruˇznice se stˇredem v bodˇe [ 0,

a s polomˇerem r = 2.10. w =

1 2

1 2

]

.

1 , t∈R. 1 + 2t + i t

V´ ysledek : Kladnˇ e orientovaná kruˇznice se stˇredem v bodˇe [ 12 , 1 ] a √

s polomˇerem r =

5 2

.

i , t ∈ (0, ∞). t V´ ysledek : Vˇ etev hyperboly v = u1 v prvn´ım kvadrantu ( t > 0 ). Orientace kˇrivky je dána rostouc´ı hodnotou promˇenné u .

2.11. w = t +

2.12. w = t3 + t2 i , t ∈ R. Kˇrivka s implicitn´ı rovnici v 3 = u2 ; jej´ı orientace je dána rostouc´ı hodnotou promˇenné u . V´ ysledek :

28


2.13. Najdˇete derivaci komplexn´ıch funkc´ı reálné promˇenné na mnoˇzinˇe R 1 . a) f (t) = (1 + 2t i )2 ; b) f (t) = e i t ; c) f (t) = t− i a) f 0 (t) = (1 + 4 i t − 4t2 )0 = −8t + 4 i = 4 i (1 + 2t i ) ;

ˇ sen´ı : Reˇ

b) f 0 (t) = (cos t + i sin t)0 = − sin t + i cos t ; tent´ yˇz v´ ysledek se dá dostat jednoduˇse tak, ˇze pˇri derivován´ı se povaˇzuje ˇc´ıslo i za konstantu : f 0 (t) = i e i t = i (cos t+ i sin t) = i cos t−sin t . V´ ysledek ve tvaru f 0 (t) = i e i t je jednoduˇsˇs´ı a pˇrehlednˇejˇs´ı. c) f 0 (t) =

t+ i t2 + 1

0

=

0 t +i t2 + 1

1 t2 + 1

0

=

1 − t2 2t + i ; (1 + t2 )2 (1 + t2 )2

tent´ yˇz v´ ysledek lze opˇet dostat v jednoduchém tvaru derivován´ım sloˇzené funkce, kde ˇc´ıslo i povaˇzujeme za konstantu. −1 1 0 ) = . f 0 (t) = ( t− i (t − i )2 ´ Upravou tohoto zlomku na algebraick´ y tvar je moˇzné ovˇeˇrit shodu obou v´ ysledk˚ u. 2.14. Dokaˇzte : Jestliˇze nenulová komplexn´ı funkce w = f (t) má v otevf 0 (t) d |f (t)| = |f (t)| Re . ˇreném intervalu I derivaci, potom plat´ı dt f (t) ˇ sen´ı : Poˇ Reˇ c´ıtejme derivaci absolutn´ı hodnoty |f (t)| =

( sloˇzená funkce! )

q d |f (t)| = ( x2 (t) + y 2 (t) )0 = dt

q

x2 (t) + y 2 (t) x(t)x0 (t) + y(t)y 0 (t) q

x2 (t) + y 2 (t)

Na druhé stranˇe Re

x0 (t) + iy 0 (t) [x0 (t) + iy 0 (t)] [x(t) − iy(t)] f 0 (t) = Re = Re = f (t) x(t) + it(t) x2 (t) + y 2 (t) =

x0 (t) x(t) + y 0 (t) y(t) . x2 (t) + y 2 (t)

Odtud je jiˇz vidˇet platnost dané rovnosti.

.

2.Komplexn´ı funkce reálné promˇenné 2.15. Vypoˇc´ıtejte

π

Z

29

e− i t dt .

0

ˇ sen´ı : Reˇ

Z

π

−it

e

dt =

0

Z

π

(cos t− i sin t)dt =

π

Z

0

cos tdt− i

0

Z

π

sin tdt =

0

= sin π − sin 0 + i (cos π − cos 0) = i (−1 − 1) = −2i .

Pomoc´ı primitivn´ı funkce k funkci e− i t lze psát také struˇcnˇe Z 0

π

e−it dt =

1 (e−iπ − e0 ) = −2i . −i

2.16. Vypoˇc´ıtejte

Z

1

3(1 + 2t i )2 dt .

0

V´ ysledek : Integrac´ı re´ alné a imaginárn´ı ˇcásti vyjde −1 + 2 i . 1

1 dt . 0 1 + ti V´ ysledek : Po oddˇ elen´ı reálné a imaginárn´ı ˇcásti a po integraci vyjde i π − ln 2. 4 2

2.17. Vypoˇc´ıtejte

Z

2.18. Dokaˇzte, ˇze pro komplexn´ı funkci f (t) reáln´ enn´ Ze promˇ e Zt ∈< a, b > b b |f (t)|dt plat´ı stejná nerovnost jako pro reálné funkce f (t)dt ≤

a

a

( pokud existuje integrál na pravé stranˇe nerovnosti ) . N´ avod : Nejprve zapiˇste nerovnost pro absolutn´ı hodnotu integr´ aln´ıho

souˇctu ( i pro komplexn´ı ˇc´ısla plat´ı troj´ uheln´ıková nerovnost - pˇr. 1.19). Riemannov´ ym postupem se potom nerovnost pˇrenese na integrály. 2.19. Dokaˇzte, ˇze pro spojitou komplexn´ ı funkci f (t) reálné promˇenné Z b t ∈ < a, b > plat´ı f (t)dt ≤ (b − a) max |f (t)| .

a

N´ avod : Tato nerovnost je d˚ usledkem pˇr. 2.18, kde pro integrál na

pravé stranˇe pouˇzijete známou nerovnost pro spojité reálné funkce. V pˇr´ıkladech 2.20 - 2.23 rozhodnˇete, pro která a ∈ R absolutnˇe konverguj´ı integrály z komplexn´ıch funkc´ı reálné promˇenné.

30

Funkce komplexn´ı promˇenné Z

2.20.

1

e i t t−a dt .

0

ˇ sen´ı : Reˇ

U integrál˚ u z komplexn´ıch funkc´ı reálné promˇenné mus´ı konvergovat integr´ aly z reálné i imagin´ arn´ı ˇcásti. M˚ uˇzete psát Z Z Z 1

1

1

e i t t−a dt = t−a cos tdt + i t−a sin tdt ; 0 0 0 pro a < 1 konverguj´ı oba integrály absolutnˇe. Z

2.21.

∞

e i t t−a dt .

1

V´ ysledek :

Integrál absolutnˇe konverguje pro a > 1 .

1 − i t −a t dt 1 + it 1 ˇ sen´ı : Integr´ Reˇ al vyjádˇr´ıme jako souˇcet reálné a imaginárn´ı ˇcásti Z

2.22.

∞

∞

Z 1

Z ∞ Z ∞ 1 − i t −a 1 − t2 −a 2t t dt = t dt + i t−a dt . 2 2 1 + it 1+t 1+t 1 1

Integrované funkce jsou spojité; nevlastn´ı integrály tohoto typu konverguj´ı právˇe tehdy, kdyˇz stupeˇ n jmenovatele je v´ıce neˇz o jeden stupeˇ n vˇetˇs´ı neˇz stupeˇ n ˇcitatele. Aby oba integrály konvergovaly, mus´ı tedy b´ yt a > 1 . 2.23.

Z 1

∞

e− i ln t dt . ta

N´ avod : Po proveden´ı substituce u = ln t dostanete

Z 0

V´ ysledek : Integr´ al absolutnˇe konverguje pro a > 1 .

∞

e− i u du ; e(a−1)u

3.Posloupnosti a ˇrady

31

3. Posloupnosti a ˇ rady Pro formáln´ı zjednoduˇsen´ı nˇekter´ ych definic a u ´vah je vhodné zavést také nevlastn´ı komplexn´ı ˇ c´ıslo z = ∞ ; pˇri geometrickém vyjadˇrován´ı mluv´ıme o nevlastn´ım bodu Gaussovy roviny. Ostatn´ı komplexn´ı ˇc´ısla ( nebo body ) se pro odliˇsen´ı naz´ yvaj´ı vlastn´ı. Gaussova rovina doplnˇená o nevlastn´ı bod se naz´ yvá rozˇ s´ıˇ ren´ a Gaussova rovina a obvykle se oznaˇcuje C ∗ . ˇ Rada definic a vˇet se potom dá zformulovat spoleˇcnˇe pro vlastn´ı i nevlastn´ı komplexn´ı ˇc´ısla. Pˇri limitn´ıch procesech se ˇcasto pouˇz´ıvaj´ı následuj´ıc´ı oznaˇcen´ı mnoˇzin. Pro z0 ∈ C ∗ zápisem U(z0 , ε) oznaˇcujeme ( kruhové ) okol´ı bodu z0 . Tato mnoˇzina je definována pro vlastn´ı body z0 jako vnitˇrn´ı oblast kruˇznice s polomˇerem ε : { z ∈ C : |z − z0 | < ε }. Pro nevlastn´ı bod z0 = ∞ jako vnˇejˇs´ı oblast kruˇznice s polomˇerem 1ε : { z ∈ C ∗ : |z| > 1ε }. Pro z0 ∈ C ∗ zápisem P(z0 , ε) oznaˇcujeme ( kruhové ) prstencov´ e okol´ı bodu z0 . Tato mnoˇzina je definována pro vlastn´ı body z0 jako { z ∈ C : 0 < |z − z0 | < ε } a pro nevlastn´ı body z0 = ∞ jako { z ∈ C : |z| > 1ε }. Tato mnoˇzina se pouˇz´ıvá pˇri definici limity funkce ( kap. 5. ). Posloupnost komplexn´ıch ˇ c´ısel ( zn ) definujeme jako zobrazen´ı mnoˇziny vˇsech pˇrirozen´ ych ˇc´ısel N do mnoˇziny vˇsech komplexn´ıch ˇc´ısel C . Pro tyto posloupnosti se pˇrenáˇs´ı vˇetˇsina pojm˚ u a vlastnost´ı znám´ ych z teorie posloupnost´ı reáln´ ych ˇc´ısel. Zvláˇstˇe definice limity : Jestliˇze pro libovolné okol´ı U(a, ε) existuje takové n0 ∈ N , ˇze pro vˇsechna n > n0 je zn ∈ U(a, ε) , ˇr´ıkáme, ˇze posloupnost ( zn ) má limitu a ∈ C ∗ . Tato definice zahrnuje pojem vlastn´ı i nevlastn´ı limity posloupnosti. Pro nekoneˇ cn´ e ˇ rady komplexn´ıch ˇ c´ısel se také bez obt´ıˇz´ı zobecn´ı vˇetˇsina definic a vlastnost´ı ˇrad reáln´ ych ˇc´ısel.

3.1. Pro vlastn´ı body z0 = x0 + i y0 ∈ C oznaˇcte U ∗ (z0 , ε) ( ˇctvercové ) okol´ı bodu z0 jako mnoˇzinu, která je definována podm´ınkami |x−x0 | < ε ∧ |y − y0 | < ε . Dokaˇzte, ˇze definice vlastn´ı limity posloupnosti pomoc´ı kruhového a ˇctvercového okol´ı jsou ekvivalentn´ı.

32

Funkce komplexn´ı promˇenné ˇ sen´ı : V prvn´ı ˇ Reˇ cásti vyjdeme z existence limity podle p˚ uvodn´ı

definice (kruhové okol´ı) a dokáˇzeme existenci limity pro ˇctvercové okol´ı. Pro libovolné ˇctvercové okol´ı U ∗ (z, ε) existuje uvnitˇr ˇctverce kruhové okol´ı U(z, ε) . Podle p˚ uvodn´ı definice mus´ı existovat takové n0 ∈ N , aby pro n > n0 platilo zn ∈ U(z, ε) . Proto mus´ı také platit zn ∈ U ∗ (z, ε) . Podobnˇe se dokáˇze druhá ˇcást ekvivalence. 3.2. Necht’ zn = xn + i yn pro vˇsechna n ∈ N a a = a1 + i a2 . Dokaˇzte, ˇze lim zn = a právˇe tehdy, kdyˇz lim xn = a1 ∧ lim yn = a2 . n→∞

n→∞

n→∞

N´ avod : K d˚ ukazu pouˇzijte dokázanou vˇetu z pˇr. 3.1.

3.3. Vypoˇc´ıtejte limitu posloupnosti lim

n→∞

n . 1 − ni

ˇ sen´ı : Na z´ Reˇ akladˇe pˇredcházej´ıc´ıho pˇr´ıkladu vyjádˇr´ıme reálnou a

n 1 + ni n(1 + n i n n2 = = + i a 1 − ni 1 + ni 1 + n2 1 + n2 1 + n2 n n2 vypoˇc´ıtáme limity obou ˇcást´ı n→∞ lim = 0 , lim =1. n→∞ 1 + n2 1 + n2 n Takˇze n→∞ lim = i . 1 − ni imaginárn´ı ˇcást

3.4. Vypoˇc´ıtejte limitu posloupnosti lim en i . n→∞

ˇ sen´ı : Vyj´ Reˇ adˇr´ıme reálnou a imaginárn´ı ˇcást pomoc´ı Eulerovy iden-

tity en i = cos n + i sin n . Daná posloupnost nemá limitu, protoˇze limita reálné ani imaginárn´ı ˇcásti neexistuje. 3.5. Necht’ zn = xn + i yn 6= 0 pro vˇsechna n ∈ N . Oznaˇcte : |zn | = rn , |a| = |a1 + i a2 | = r , arg zn = ϕn , arg a = ϕ . a) Dokaˇzte, ˇze posloupnost ( zn ) má vlastn´ı nenulovou limitu a = a1 + i a2 právˇe tehdy, kdyˇz n→∞ lim rn = r ∧ n→∞ lim ϕn = ϕ . b) Dokaˇzte, ˇze posloupnost ( zn ) má nulovou limitu právˇe tehdy, kdyˇz lim rn = 0 . n→∞

N´ avod : a) Pro promˇ enné r a ϕ je moˇzné definovat okol´ı obdéln´ıkového

typu a postupovat jako v pˇr. 3.1. b) Pro a = 0 nen´ı definován argument. Staˇc´ı dokázat, ˇze n→∞ lim rn = 0 právˇe tehdy, kdyˇz lim xn = 0 ∧ lim yn = 0 . n→∞

n→∞


33

3.6. Vypoˇc´ıtejte ( pokud existuje )

lim

n→∞

1− i 2

n

.

√ 1 − i 1+1 1 ˇ sen´ı: Vypoˇ Reˇ c´ıtáme absolutn´ı hodnotu =√ . = 2 2 2 !n

1 Protoˇze n→∞ lim rn = n→∞ lim √ = 0 , dostaneme podle druhé ˇcásti 2 1− i n pˇr. 3.5 v´ ysledek lim =0. n→∞ 2 3.7. Vypoˇc´ıtejte ( pokud existuje )

lim

n→∞

1+ i √ 2

!n

.

2

1 + i ˇ sen´ı: Vypoˇ Reˇ c´ıtáme absolutn´ı hodnotu √ =

√

1+1 ˇ √ = 1 . Cleny 2 posloupnosti vyjádˇr´ıme v goniometrickém tvaru a podle Moivreovy vˇety 1− i √ 2

!n

= cos

π π + i sin 4 4

n

= cos

nπ nπ + i sin 4 4

.

Limita této posloupnosti neexistuje. 3.8. Dokaˇzte, ˇze lim (1 + n→∞

N´ avod :

iϕ n ) = cos ϕ + i sin ϕ. n

Vypoˇc´ıtejte limitu absolutn´ıch hodnot

v ! u 2 n u t 1+ ϕ 2

n

a

ϕ . M˚ uˇzete pouˇz´ıt l0 Hospitalovo pravidlo; limitu argument˚ u n arctg n vyjde limita absolutn´ıch hodnot rovna jedné a limita argument˚ u rovna ϕ. zn vlastn´ı limitu. 1 + zn V´ ysledek : Posloupnost m´ a vlastn´ı limitu a = 0 pro |z| < 1 , a = 1 pro |z| > 1 a a = 21 pro z = 1 .

3.9. Rozhodnˇete, pro která z ∈ C má posloupnost

zn 3.10. Rozhodnˇete, pro která z ∈ C má posloupnost vlastn´ı limitu. 2n V´ ysledek : Posloupnost m´ a vlastn´ı limitu pro |z| < 2 ∨ z = 2.

34


3.11. Dokaˇzte, ˇze pro kaˇzdé reálné ϕ 6= 2kπ (k ∈ Z) a n ∈ N plat´ı sin(n + 12 )ϕ 1 + cos ϕ + cos 2ϕ + cos 3ϕ + ... + cos nϕ = . 2 2 sin ϕ2 ˇ sen´ı : Reˇ

Podle známého vzorce pro ˇcásteˇcn´ y souˇcet geometrické posloupnosti lze snadno seˇc´ıst 1 + e i ϕ + e2 i ϕ + e3 i ϕ + ... + e i nϕ =

=

1 − e i (n+1)ϕ = 1 − eiϕ

(1 − e i (n+1)ϕ ) (1 − e− i ϕ ) 1 − e− i ϕ − e i (n+1)ϕ + e i nϕ = . (1 − e i ϕ ) (1 − e− i ϕ ) 1 − eiϕ − e−iϕ + 1

Z této rovnosti komplexn´ıch ˇc´ısel vyjde pro reálné ˇcásti 1 + cos ϕ + cos 2ϕ + ... + cos nϕ =

=

1 − cos ϕ − cos(n + 1)ϕ + cos nϕ = 2(1 − cos ϕ)

1 2 sin(n + 12 )ϕ sin ϕ2 1 sin(n + 12 )ϕ + = + . 2 2 2 sin ϕ2 4 sin2 ϕ2

Pˇri u ´pravách byly pouˇzity vzorce 1 − cos α = 2 sin2

α α+β α−β , cos α − cos β = −2 sin sin . 2 2 2

3.12. Dokaˇzte, ˇze pro kaˇzdé reálné ϕ 6= 2kπ (k ∈ Z) a k ∈ N plati sin (n+1) ϕ sin n2 ϕ 2 sin ϕ + sin 2ϕ + sin 3ϕ + ... + sin nϕ = . sin ϕ2 ˇ sen´ı : Reˇ

Vyjdeme ze souˇctu 1 + e i ϕ + e2 i ϕ + ... + e i nϕ a zap´ıˇseme rovnost imaginárn´ıch ˇcást´ı sin ϕ + sin 2ϕ + sin 3ϕ + ... + sin nϕ =

sin ϕ − sin(n + 1)ϕ + sin nϕ = 2(1 − cos ϕ)


35

2 sin ϕ2 cos ϕ2 − 2 cos(n + 21 )ϕ sin ϕ2 cos ϕ2 − cos(n + 12 )ϕ = = = 2 sin ϕ2 4 sin2 ϕ2 =

sin n+1 ϕ sin n2 ϕ 2 . sin ϕ2

Pˇri u ´pravách bylo tˇreba kromˇe pˇredchoz´ıch vzorc˚ u pouˇz´ıt jeˇstˇe vzorce sin α = 2 sin

α α α+β α−β cos , sin α − sin β = 2 cos sin . 2 2 2 2

3.13. Dokaˇzte, ˇze pro kaˇzdé reálné ϕ 6= 2kπ (k ∈ Z) a n ∈ N plat´ı 1 1 n n cos(n + 2 )ϕ − cos ϕ + cos 2ϕ − cos 3ϕ + ... + (−1) cos nϕ = (−1) . 2 2 cos ϕ2

ˇ sen´ı : Podle vzorce pro ˇ Reˇ cásteˇcn´ y souˇcet geometrické posloupnosti

1−e

=

iϕ

2iϕ

+e

3iϕ

−e

n i nϕ

+ ... + (−1) e

1 + (−1)n e i (n+1)ϕ = = 1 + eiϕ

(1 + (−1)n e i (n+1)ϕ ) (1 + e− i ϕ ) 1 + e− i ϕ + (−1)n e i (n+1)ϕ + e i nϕ = . (1 + e i ϕ ) (1 + e− i ϕ ) 1 + e i ϕ + e− i ϕ + 1

Z této rovnosti komplexn´ıch ˇc´ısel vyjde pro reálné ˇcásti 1 − cos ϕ + cos 2ϕ − cos 3ϕ + ... + (−1)n cos nϕ = =

1 + cos ϕ + (−1)n [cos(n + 1)ϕ + cos nϕ] = 2(1 + cos ϕ) =

1 (−1)n 2 cos(n + 12 )ϕ cos ϕ2 1 cos(n + 12 )ϕ + = + . 2 4 cos2 ϕ2 2 2 cos ϕ2

Pˇri u ´pravách byly pouˇzity vzorce 1 + cos α = 2 cos2

α α+β α−β , cos α + cos β = 2 cos cos . 2 2 2

36


3.14. Dokaˇzte, ˇze pro kaˇzdé reálné ϕ 6= kπ (k ∈ Z) a n ∈ N plat´ı cos ϕ + cos 3ϕ + cos 5ϕ + ... + cos(2n − 1)ϕ =

sin 2nϕ . 2 sin ϕ

ˇ sen´ı : V tomto pˇr´ıpadˇ Reˇ e se provede souˇcet ˇclen˚ u geometrické posloup-

nosti ( q = e2iϕ ) e i ϕ +e3 i ϕ +...+e(2n−1) i ϕ = e i ϕ

2n i ϕ 1 − e2n i ϕ )(1 − e−2 i ϕ ) i ϕ (1 − e = = e 1 − e2 i ϕ 1 − e2 i ϕ − e−2 i ϕ + 1

2 i sin ϕ(1 − e2 i nϕ ) (1 − e2 i nϕ ) (e i ϕ − e− i ϕ ) i (1 − e2 i nϕ ) = . = 2(1 − cos 2ϕ) 2 sin ϕ 4 sin2 ϕ Z rovnosti reáln´ ych ˇcást´ı dostaneme snadno poˇzadovanou rovnost.

=

3.15. Dokaˇzte, ˇze pro kaˇzdé reálné ϕ 6= kπ (k ∈ Z) a n ∈ Z plat´ı sin ϕ + sin 3ϕ + sin 5ϕ + ... + sin(2n − 1)ϕ =

sin nϕ . sin ϕ

Postupujte jako v pˇredcházej´ıc´ım pˇr´ıkladˇe, ale vyjádˇrete rovnost imaginárn´ıch ˇcást´ı. N´ avod :

3.16. Dokaˇzte, ˇze pro kaˇzdé reálné ϕ 6= kπ (k ∈ Z) a n ∈ N plat´ı sin ϕ − sin 3ϕ + sin 5ϕ − ... + (−1)n+1 e(2n−1)ϕ =

(−1)n+1 sin 2nϕ . 2 + cos ϕ

ˇ sen´ı : Podle vzorce najdeme ˇ Reˇ cásteˇcn´ y souˇcet ˇclen˚ u geometrické

posloupnosti ( q = −e2ıϕ ) e i ϕ − e3 i ϕ + e5 i ϕ − e7ıϕ + ... + (−1)n+1 e(2n−1) i ϕ = = eiϕ

=

n+1 2 i nϕ e ) (1 + e−2 i nϕ ) 1 − (−1)n e2 i nϕ 1ϕ (1 + (−1) = e = 1 + e2 i ϕ 1 + e2ınϕ + e−2 i nϕ + 1

(1 + (−1)n+1 e2inϕ ) 2 sin ϕ (1 + (−1)n+1 e2 i nϕ ) (e i ϕ + e− i ϕ ) = = 2(1 + cos 2ϕ) 4 cos2 ϕ


=

37

1 + (−1)n+1 e2 i nϕ . 2 cos ϕ

Hledanou rovnost dostaneme z rovnosti imaginárn´ıch ˇcást´ı. 3.17. Urˇcete podm´ınku konvergence a souˇcet nekoneˇcné ˇrady 2 + 4z + 8z 2 + 16z 3 + . . . ˇ sen´ı : Reˇ

Podle koeficient˚ u lze snadno poznat, ˇze jde o geometrickou ˇradu, která má kvocient q = 2z . Podm´ınka pro konvergenci geometrické ˇrady je |q| = |2z| < 1, tj. |z| < 21 a podle známého vzorce 2 . dostaneme souˇcet geometrické ˇrady s(z) = 1 − 2z 3.18. Urˇcete podm´ınku konvergence a souˇcet nekoneˇcné ˇrady 1−

z z2 z3 + − + ... 2 4 8

V´ ysledek :

z Pro | q | = −

2 . k funkci s(z) = z+2

2

< 1 neboli |z| < 2 ˇ rada konverguje

3.19. Urˇcete podm´ınku konvergence a souˇcet nekoneˇcné ˇrady 1 − z + z2 − z3 + z4 − z5 + . . . V´ ysledek :

Pro |z| < 1 ˇrada konverguje k funkci s(z) =

1 . 1+z

3.20. Urˇcete podm´ınku konvergence a souˇcet nekoneˇcné ˇrady 1 z + 1 (z + 1)2 (z + 1)3 + + + + ... 2 4 8 16 V´ ysledek : Pro |z + 1| < 2 ˇrada konverguje k funkci s(z) =

1 . 1−z

3.21. Urˇcete podm´ınku konvergence a souˇcet nekoneˇcné ˇrady z + 2z 2 + 4z 3 + 8z 4 + 16z 5 + 32z 6 + . . . 1 z V´ ysledek : Pro |z| < ˇrada konverguje k funkci s(z) = . 2 1 − 2z

38


3.22. Urˇcete podm´ınku konvergence a souˇcet nekoneˇcné ˇrady 1 1 1 1 1 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + ... z z z z z z 1 V´ ysledek : Pro | q | = < 1 neboli |z| > 1 ˇrada konverguje z 1 k funkci s(z) = . z+1 Poznámka : Souˇcty nekoneˇcn´ ych ˇrad v pˇr. 3.19 a 3.22 jsou stejné funkce, ale jejich vznik podstatnˇe závisel na oboru konvergence pˇr´ısluˇsné nekoneˇcné ˇrady.

∞ X zn

3.23. Urˇcete polomˇer konvergence mocninné ˇrady

n=0

n!

.

ˇ sen´ı : Polomˇ Reˇ er konvergence m˚ uˇzeme vypoˇc´ıtat podle vzorce

an (n + 1)! = lim (n + 1) = +∞ . = lim n→∞ n→∞ a n→∞ n! n+1 Tato mocninná ˇrada absolutnˇe konverguje pro vˇsechna z ∈ C a jej´ı souˇcet definuje funkci komplexn´ı promˇenné ( viz kap. 4 ).

r = lim

∞ X


(−1)n

n=0

z 2n . (2n)!

N´ avod : Pouˇ zijte srovnán´ı s pˇredchoz´ı ˇradou : 2n n 2k X X z k k z ≤ . Je tedy tak´ e r = +∞ . (−1) (2k)! k! k=0

k=0

3.25. Dokaˇzte, ˇze pro libovolná komplexn´ı ˇc´ısla z1 , z2 plat´ı ∞ X z1n n=0

n!

!

∞ X z2n n=0

n!

!

=

∞ X (z1 + z2 )n n=0

n!

.

ˇ sen´ı : Pro absolutnˇ Reˇ e konvergentn´ı ˇrady je jejich souˇcin opˇet abso-

lutnˇe konvergentn´ı ˇrada. Pˇri proveden´ı souˇcinu ˇrad vyjde koeficient u


39

souˇcinu mocnin z1k z2n−k 1 1 n! 1 = = k! (n − k)! k!(n − k)! n!

n k

!

1 , n!

takˇze vzhledem k platnosti binomické vˇety vyjde ∞ X

n k

n=0

!

z1k

z2n−k

∞ X 1 (z1 + z2 )n = . n! n=0 n!

3.26. Urˇcete polomˇer konvergence mocninné ˇrady 1 + 2z + 3z 2 + 4z 3 + 5z 4 + . . . ˇ sen´ı : Tato mocninn´ Reˇ a ˇrada má koeficienty an = n , takˇze vypoˇc´ıtáme

an n = n→∞ lim = 1 . Souˇcet dané an+1 n+1 nekoneˇcné ˇrady se dá pro |z| < 1 urˇcit na základˇe derivován´ı ˇrady 1 ˇclen po ˇclenu 1 + z + z 2 + z 3 + z 4 + z 5 + ... + nz n + . . . = . 1−z polomˇer konvergence r = n→∞ lim

∞ X 2n

zn . 2 n n=1 1 an = . V´ ysledek : Polomˇ er konvergence r = n→∞ lim an+1 2


3.28. Urˇcete polomˇer konvergence mocninné ˇrady ˇ sen´ı : Reˇ

∞ X n! n n=1 n

zn .

Polomˇer konvergence

(n + 1)n 1 n! (n + 1)n+1 r = lim n = lim = lim 1 + n n→∞ n n→∞ n→∞ (n + 1)! n n

3.29. Pomoc´ı geometrické ˇrady vyjádˇrete funkci f (z) = mocninné ˇrady se stˇredem v poˇcátku.

n

=e.

1 jako souˇcet 2−z

ˇ sen´ı : Funkci uprav´ıme na tvar souˇ Reˇ ctu geometrické ˇrady 1 1 = 2 2−z 1−

z 2

1 = 2

∞ X z z2 z3 zn 1+ + + + ... = . n+1 2 4 8 n=0 2

!

Mocninná ˇrada konverguje k dané funkci pro |z| < 2 .

a1 . 1−q

40


3.30. Pomoc´ı geometrické ˇrady vyjádˇrete funkci f (z) = mocninné ˇrady se stˇredem v bodˇe z0 = 1 .


ˇ sen´ı : Vzhledem k poˇ Reˇ zadovanému oboru konvergence je tˇreba, aby

kvocient obsahoval v´ yraz z − 1 . ∞ X 1 1 = = 1+(z −1)+(z −1)2 +(z −1)3 +... = (z −1)n . 2−z 1 − (z − 1) n=1

Mocninná ˇrada konverguje k dané funkci pro |z − 1| < 1 . 3.31. Pomoc´ı geometrické ˇrady vyjádˇrete funkci f (z) = mocninné ˇrady se stˇredem v bodˇe z0 = −1 .


ˇ sen´ı : Kvocient geometrick´ Reˇ e ˇrady mus´ı obsahovat v´ yraz z + 1 ,

takˇze je tˇreba zlomek upravit ∞ 1 1 1 1 1 X (z + 1)n = = . = 2−z 3 − (z + 1) 3 1 − z+1 3 n=0 3n 3

Mocninná ˇrada konverguje k dané funkci pro |z + 1| < 3 . 3.32. Pomoc´ı geometrické ˇrady vyjádˇrete funkci f (z) =


mocninné ˇrady se stˇredem v bodˇe z0 = 3 . ∞ X 1 V´ ysledek : Pro |z − 3| < 1 plat´ı (−1)n+1 (z − 3)n . = 2 − z n=0

4.Funkce komplexn´ı promˇenné

41

4. Funkce komplexn´ı promˇ enn´ e Zobrazen´ı mnoˇziny D ⊂ C ∗ do mnoˇziny C ∗ se naz´ yvá (komplexn´ı) funkce komplexn´ı promˇ enn´ e. Znamená to, ˇze ke kaˇzdému komplexn´ımu ˇc´ıslu z ∈ D je pˇriˇrazeno jediné komplexn´ı ˇc´ıslo w = f (z) . V tomto smyslu mluv´ıme o jednoznaˇcné funkci; moˇzn´ ym zobecnˇen´ım pojmu funkce na mnohoznaˇcné funkce se budeme informativnˇe zab´ yvat v kap. 6. Pro znázorˇ nován´ı funkce komplexn´ı promˇenné nelze pouˇz´ıt tak jednoduch´ y zp˚ usob, jako je graf reálné funkce jedné nebo dvou reáln´ ych promˇenn´ ych. Funkci komlexn´ı promˇenné si m˚ uˇzeme pˇredstavit jako zobrazen´ı bod˚ u jedné Gaussovy roviny ( napˇr. s pravo´ uhl´ ymi souˇradnicemi x, y ) do jiné ( nebo téˇze ) Gaussovy roviny ( napˇr. s pravo´ uhl´ ymi souˇradnicemi u, v ). Pro danou funkci w = f (z) = u(x, y) + i v(x, y) umoˇzn ˇuj´ı funkce u(x, y) a v(x, y) vypoˇc´ıtat souˇradnice obrazu bodu z = x + i y . V pˇr´ıkladech 4.1 - 4.13 jsou dány funkce komplexn´ı promˇenné. Napiˇste algebraick´ y tvar tˇechto funkc´ı a charakterizujte geometrické vlastnosti zobrazen´ı Gaussovy roviny ( bod má souˇradnice x, y ) do téˇze Gaussovy roviny ( obraz bodu má souˇradnice u, v ) definované tˇemito funkcemi. 4.1. w = f (z) = z + 1 − i , D = C . ˇ sen´ı : Reˇ

Souˇradnice u, v obrazu bodu [x, y] jsou dány rovnicemi u = x + 1, v = y − 1 , které znamenaj´ı rovnice pro posunut´ı. Tento v´ ysledek je zˇrejm´ y také z geometrického v´ yznamu pˇriˇcten´ı konstantn´ıho komplexn´ıho ˇc´ısla k libovolnému komplexn´ımu ˇc´ıslu. 4.2. w = f (z) = −2z , D = C . ˇ sen´ı : Reˇ

Pro souˇradnice u, v obrazu bodu [x, y] dostanete snadno u = −2x , v = −2y . Z geometrického hlediska obraz reálného násobku komplexn´ıho ˇc´ısla z leˇz´ı na pˇr´ımce, která spojuje poˇcátek s obrazem komplexn´ıho ˇc´ısla z . Obraz komplexn´ıho ˇc´ısla −2z leˇz´ı na opaˇcné polopˇr´ımce ( s poˇcáteˇcn´ım bodem v poˇcátku ) a má od poˇcátku dvojnásobnou vzdálenost ( | − 2z| = 2|z| ). Jde tedy o stejnolehlost se stˇredem v poˇcátku a s koeficientem stejnolehlosti k = −2 .

42


i −1 4.3. w = f (z) = √ z , D=C . 2 ˇ sen´ı : Reˇ

Z algebraického tvaru dané funkce 1 1 w = √ ( i − 1)(x + i y) = √ (−x − y + i x − i y) 2 2 m˚ uˇzeme snadno z´ıskat rovnice pro souˇradnice obrazu bodu [x, y] 1 1 u = − √ (x + y) , v = √ (x − y) . 2 2 Násoben´ı libovolného komplexn´ıho ˇc´ısla z konstantn´ım komplexn´ım i −1 znamená podle Moivreovy vˇety otoˇcen´ı o argument ˇc´ıslem a = √ 2 3 tohoto komplexn´ıho ˇc´ısla ( π ). Násoben´ı absolutn´ı hodnotou tohoto 4 komplexn´ıho ˇc´ısla se neprojev´ı, protoˇze |a| = 1 . 4.4. w = f (z) = i z , D = C . V´ ysledek : Otoˇ cen´ı v rovinˇe o u ´hel

u = −y , v = x . 1+ i 4.5. w = f (z) = 2

√

3

π . Rovnice tohoto otoˇcen´ı jsou 2

z , D = {z : |z − 2| < 1} .

π . Definiˇcn´ı Tato funkce definuje otoˇcen´ı o u ´hel velikosti 3 obor D je vnitˇrn´ı oblast kruˇznice se stˇredem z0 = 2 a s polomˇerem √ 1. Obraz oblasti D je vnitˇrn´ı oblast kruˇznice se stˇredem z0 = 1 + i 3 a s t´ ymˇz polomˇerem. ˇ sen´ı : Reˇ

4.6. w = f (z) = e i α z , D = C . ˇ sen´ı : Reˇ

Z algebraického tvaru dané funkce w = (cos α + i sin α)(x + i y) = x cos α − y sin α + i (x sin α + y cos α) snadno z´ıskáme rovnice pro souˇradnice obrazu bodu [ x, y ] u = x cos α − y sin α , v = x sin α + y cos α . Z exponenciáln´ıho vyjádˇren´ı w = e i α z = re i ϕ e i α = re i (ϕ+α) je vidˇet, ˇze rovnice pˇredstavuj´ı v rovinˇe otoˇcen´ı o u ´hel α .


43

4.7. w = f (z) = z , D = C . ˇ sen´ı : Pro souˇradnice obrazu plat´ı u = x , v = −y . Obraz kaˇ Reˇ zdého

komplexn´ıho ˇc´ısla má stejnou absolutn´ı hodnotu, ale opaˇcn´ y argument. Jde tedy o soumˇernost kolem osy reáln´ ych ˇc´ısel. 4.8. w = f (z) = z 2 , D = {z : Im z > 0}. Najdˇete obraz pˇr´ımky y = 1 . ˇ sen´ı : Reˇ

Z algebraického tvaru dané funkce w = (x + i y)2 = = x2 + 2 i xy − y 2 vyjdou rovnice pro souˇradnice obrazu bodu [ x, y ] u = x2 − y 2 , v = 2xy . Geometrick´ y popis tohoto zobrazen´ı dostaneme podle Moivreovy vˇety ( pro druhou mocninu komplexn´ıho ˇc´ısla ). Body na kruˇznici se stˇredem v poˇcátku a s polomˇerem r se zobraz´ı na kruˇznici se stˇredem v poˇcátku, ale s polomˇerem r2 . Body na polopˇr´ımkách s poˇcáteˇcn´ım bodem v poˇcátku se zobraz´ı na polopˇr´ımky s dvojnásobn´ ym argumentem ( obr. 5 ). Definiˇcn´ı obor D je vnitˇrek horn´ı poloroviny s hraniˇcn´ı pˇr´ımkou v reálné ose. Obrazem D je Gaussova rovina, ze které jsou vynechána nezáporná reálná ˇc´ısla. Pro souˇradnice obraz˚ u bod˚ u pˇr´ımky y = 1 mus´ı platit u = x2 − 1 , v = 2x , x ∈ R . Jsou to parametrické rovnice kˇrivky, ze kter´ ych lze snadno vylouˇcit v2 2 parametr x : u = 2 − 1 tj v = 4(u + 1) . Vyˇsla tedy rovnice paraboly s vrcholem v bodˇe [ -1, 0 ] a s ohniskem v poˇcátku.

O b r . 5 .

44


4.9. w = f (z) = |z|z , D = C . √

√

ˇ sen´ı: Pro souˇradnice obrazu plat´ı u = x x2 + y 2 , v = y x2 + y 2 . Reˇ

Kaˇzd´ y bod, kter´ y leˇz´ı na jednotkové kruˇznici se stˇredem v poˇcátku, se zobraz´ı do téhoˇz bodu ( samodruˇzn´ y bod ). Obrazem poˇcátku je opˇet poˇcátek a obrazy ostatn´ıch bod˚ u maj´ı stejn´ y argument jako p˚ uvodn´ı body. 4.10. w = f (z) = zz , D = C. V´ ysledek :

4.11. w = f (z) =

Obrazem je mnoˇzina vˇsech nezáporn´ ych reáln´ ych ˇc´ısel. z , D = C − {0} . |z|

V´ ysledek : Pro kaˇ zdé nenulové komplexn´ı ˇc´ıslo z je |f (z)| = 1 , takˇze jeho obraz leˇz´ı na jednotkové kruˇznici se stˇredem v poˇcátku.

1 , D = { z : |z| ≥ 1}. Najdˇete obraz pˇr´ımky y = 2 . z 1 z z ˇ sen´ı: Je vhodn´ Reˇ e upravit zápis funkce takto w = = = . z zz |z|2 Odtud snadno dostaneme rovnice pro souˇradnice obrazu bodu [ x, y ] x y u= 2 , v= 2 . 2 x +y x + y2 Ze zápisu funkce je vidˇet, ˇze dané komplexn´ı ˇc´ıslo se pouze dˇel´ı kladn´ ym ˇc´ıslem |z|2 , tj. mˇen´ı se jeho absolutn´ı hodnota, ale jeho argument se nemˇen´ı. Kaˇzd´ y bod, kter´ y leˇz´ı na jednotkové kruˇznici se stˇredem v poˇcátku, se zobraz´ı do téhoˇz bodu (samodruˇzn´ y bod). Body vnˇejˇs´ı oblasti této jednotkové kruˇznice se zobraz´ı jako body vnitˇrn´ı ( na stejné polopˇr´ımce s poˇcáteˇcn´ım bodem v poˇcátku ). Zobrazen´ı je moˇzné rozˇs´ıˇrit tak, ˇze jako obraz nevlastn´ıho bodu z = ∞ vezmeme poˇcátek w=0.

4.12. w = f (z) =

Pro souˇradnice obraz˚ u bod˚ u pˇr´ımky y = 2 mus´ı platit 2 x , v= 2 , x∈R. u= 2 x +4 x +4 Z tˇechto rovnic lze umocnˇen´ım a seˇcten´ım vylouˇcit parametr x u2 + v 2 =

x2 4 1 1 + 2 = 2 = v. 2 2 2 (x + 4) (x + 4) x +4 2


45

Rovnici je moˇzné upravit na základn´ı tvar 2 1 1 2 1 u2 + v 2 − v = 0 neboli u2 + v − = . Obrazem dané 2 4 4 1 1 a s polomˇerem r = . pˇr´ımky je kruˇznice se stˇredem v bodˇe 0, 4 4 Tato kruˇznice procház´ı poˇcátkem. 1 se naz´ yvá kruhov´ a z inverze ( viz pouˇzit´ı v pˇr. 4.25 a dalˇs´ıch ) .

Poznámka : Zaj´ımavé zobrazen´ı definované funkc´ı w =

1 , D = C∗ . z ˇ Reˇ sen´ı: Pro z 6= 0 vyjde po rozˇs´ıˇren´ı zlomku komplexn´ım ˇ c´ıslem z

4.13. w = f (z) =

w=

1 z z = = 2 . z zz |z|

Kromˇe dˇelen´ı kladn´ ym reáln´ ym ˇc´ıslem ( |z|2 ) jako v pˇredcházej´ıc´ım pˇr´ıkladˇe je tˇreba jeˇstˇe utvoˇrit komplexnˇe sdruˇzené ˇc´ıslo. Body vnitˇrn´ı oblasti jednotkové kruˇznice se stˇredem v poˇcátku se zobraz´ı jako jej´ı vnˇejˇs´ı body ( a naopak ). Aby bylo zobrazen´ı definováno pro vˇsechna z ∈ C ∗ , je tˇreba jako obraz nevlastn´ıho bodu zvolit poˇcátek (a naopak). Zobrazen´ı má pouze dva samodruˇzné body ( z = 1 , z = −1 ) . V pˇr´ıkladech 4.14 - 4.24 popiˇste zobrazen´ı definovaná dan´ ymi funkcemi jako zobrazen´ı sloˇzená z typ˚ u uveden´ ych v pˇredcházej´ıc´ıch pˇr´ıkladech. 4.14. w = f (z) = i z − 1 , D = { z : |z − 2| ≤ 1 } . ˇ sen´ı : Reˇ

Danou funkci je moˇzné zapsat jako sloˇzenou funkci w1 = = i z , w = w1 − 1 . Z tohoto zápisu je vidˇet, ˇze nejprve se provede otoˇcen´ı kolem poˇcátku o π2 (pˇr. 4.4 ) a potom posunut´ı o −1 . Z jiného zápisu funkce w = f (z) = i z −1 = i z + i 2 = i (z + i ) vˇsak dostaneme sloˇzenou funkci w1 = z + i , w = i w1 , která znamená posunut´ı o u ´seˇcku délky 1 ve smˇeru imaginárn´ı osy a potom otoˇcen´ı o π2 . Obˇe tyto moˇznosti zobrazen´ı mnoˇziny D jsou znázornˇeny na obr. 6. √ 4.15. w = f (z) = ( 3 + i )z , D = C .

46

Funkce komplexn´ı promˇenné Podle Moivreovy vˇety znamená toto zobrazen´ı stejnolehlost se stˇredem v poˇcátku ( s koeficientem stejnolehlosti k = 2 ) a otoˇcen´ı kolem poˇcátku o u ´hel π6 ). Gaussova rovina se zobraz´ı opˇet na celou Gaussovu rovinu. Na poˇrad´ı zobrazen´ı v tomto pˇr´ıpadˇe nezáleˇz´ı. V´ ysledek :

O b r . 6 .

4.16. w = f (z) = cz + d , c ∈ C , d ∈ C , c 6= 0 , D = C . ( Funkce se naz´ yvá obecn´ a line´ arn´ı funkce .) Zobrazen´ı se obecnˇe skládá ze stejnolehlosti a otoˇcen´ı ( w1 = cz ) a posunut´ı ( w = w1 + d ). Ve zvláˇstn´ıch pˇr´ıpadech m˚ uˇze nˇekteré zobrazen´ı chybˇet ( napˇr. otoˇcen´ı v pˇr´ıpadˇe c ∈ R+ ). Gaussova rovina se zobraz´ı opˇet na celou Gaussovu rovinu. V´ ysledek :


47

4.17. w = f (z) = (1 + i )z − 1 , D = {z : |z − i | < 1 } . V´ ysledek : Obrazem dan´ e vnitˇrn´ı oblasti kruˇznice √ je vnitˇrn´ı oblast kruˇznice se stˇredem v bodˇe −1 a polomˇerem r = 2 .

4.18. w = f (z) = z 2 − 2z + i , D = {z : Im z > 0 } . ˇ sen´ı: Danou funkci je tˇreba upravit na tvar w = f (z) = z 2 − 2z + Reˇ

i = = (z − 1)2 − 1 + i a potom zapsat jako sloˇzenou funkci w1 = z − 1, w2 = w1 2 , w = w2 −1+ i . Posunut´ım o −1 se dan´ y vnitˇrek poloroviny zobraz´ı na tutéˇz mnoˇzinu Im z > 0, zobrazen´ım w2 ( viz pˇr. 4.8 ) se tento vnitˇrek poloroviny zobraz´ı na rovinu s vynechanou kladnou reálnou poloosou. Nakonec se provede posunut´ı pˇriˇcten´ım komplexn´ıho ˇc´ısla −1 + i . 4.19. w = f (z) = z 2 + i z − 1 , D = { z : Im z > − 2i }. N´ avod : Funkci upravte na tvar

w = f (z) = z 2 + i z − 1 = (z + 2i )2 + 41 − 1 = = (z + 2i )2 − 4.20. w = f (z) = N´ avod :

3 4

.

2 , D = C − {− i }. z+ i

Sloˇzená funkce : w1 = z + i , w2 =

1 , w = 2w2 . w1

1+ i , D = C − {i} . 1− i ˇ sen´ı : Danou funkci je tˇreba vhodn´ Reˇ ym zp˚ usobem upravit 1− i + i + i 2i 1+ i = =1+ . w = f (z) = 1− i 1− i 1− i Tuto funkci m˚ uˇzeme chápat jako sloˇzenou napˇr. takto 1 ( pˇr. 4.13. ), w3 = i w2 ( otoˇcen´ı w1 = 1 − i ( posunut´ı ), w2 = w1 kolem poˇcátku o u ´hel π2 ), w4 = 2w3 ( stejnolehlost ) a w = w4 + 1 ( posunut´ı ). Obrazem mnoˇziny D je celá Gaussova rovina C.

4.21. w = f (z) =

z+2 , D = { z : |z + 1| > 1 } . z+1 V´ ysledek : Obrazem mnoˇ ziny D ( vnˇejˇs´ı oblast kruˇznice ) je vnitˇrn´ı oblast kruˇznice se stˇredem v bodˇe 1 a s polomˇerem r = 1 .

4.22. w = f (z) =

48

Funkce komplexn´ı promˇenné ( )

az + b d 4.23. w = f (z) = , c 6= 0 , bc − ad 6= 0 , D = C − cz + d c ( Funkce se naz´ yvá ˇ sen´ı : Reˇ

.

line´ arn´ı lomen´ a funkce.)

Funkci je tˇreba vhodn´ ym zp˚ usobem upravit

w = f (z) =

az + b a z + dc + = cz + d c z+

b a d c

−

d c

=

a 1 bc − ac + . c c cz + d

Odtud je vidˇet moˇznost zápisu sloˇzené funkce 1 a bc − ad w1 = cz + d , w2 = , w= + w2 . w1 c c Vzhledem k poˇzadovan´ ym podm´ınkám ( c 6= 0 , bc − ad 6= 0) v´ ysledné zobrazen´ı vznikne sloˇzen´ım zobrazen´ı z pˇr. 4.16 a 4.13. Poznámka : V pˇr´ıkladech 4.20 - 4.23 je pˇri kaˇzdém zobrazen´ı ( kromˇe zobrazey obrazec, proton´ı f (z) = z1 ) obrazem kaˇzdého obrazce podobn´ ˇze jde pouze o posunut´ı, otoˇcen´ı nebo stejnolehlost. Zmˇeny tvaru nastávaj´ı pouze pˇri zobrazen´ı f (z) = z1 ( viz pˇr. 4.25 - 4.34 ). 2 2i 4.24. w = f (z) = i −1 , D = C − {0} . z V´ ysledek : Zobrazen´ı vznikne sloˇ zen´ım zobrazen´ı 1 w1 = ( pˇr. 4.13.), w2 = 2 i w1 − 1 ( pˇr. 4.16.), w3 = w22 ( pˇr. 4.8.) a z w = i w3 ( pˇr. 4.4.).

V pˇredcházej´ıc´ıch pˇr´ıkladech bylo vidˇet, ˇze jedno z d˚ uleˇzit´ ych zobrazen´ı je 1 1 f (z) = . Toto zobrazen´ı se dá sloˇzit ze zobrazen´ı w1 = (kruhová inz z ´ verze) a w = w1 ( soumˇernost podle reálné osy ). Ulohy budou formulovány pro kruhovou inverzi ( pˇr. 4.12.), která má ˇradu v´ yhod ( napˇr. je moˇzné pˇri konstrukc´ıch vyuˇz´ıvat samodruˇzné body na jednotkové kruˇznici ).

V pˇr´ıkladech 4.25 - 4.36 ˇreˇste zadané u ´lohy pro zobrazen´ı definovaném 1 funkc´ı f (z) = ( pro kruhovou inverzi ). z


49

4.25. Najdˇete obraz libovolné pˇr´ımky, která neprocház´ı poˇcátkem. ˇ sen´ı : Reˇ

Pouˇzijeme rovnici pˇr´ımky, kterou jsme odvodili v pˇr. 1.65, takˇze pro a 6= 0 , a ∈ C a z+a z =c , c∈R . Jestliˇze c 6= 0 , potom pˇr´ımka neprocház´ı poˇcátkem. Pro obraz w 1 1 . , takˇze odtud z = plat´ı w = w z Po dosazen´ı do rovnice pˇr´ımky dostanete a a a a + = c ⇒ a w+a w = c w w ⇒ w w− w− w = 0 . w w c c Z v´ ysledku je vidˇet ( viz pˇr. 1.61 ), ˇze obrazem dané pˇr´ımky je kruˇznice, a která procház´ı poˇcátkem a má stˇred v bodˇe . Pˇritom pr˚ uvodiˇc komc plexn´ıho ˇc´ısla a je kolm´ y na danou pˇr´ımku. 4.26. Najdˇete obraz pˇr´ımky y = x − 1 a v´ ysledek ovˇeˇrte konstrukc´ı. ˇ sen´ı : Z grafu pˇr´ımky je vidˇ Reˇ et, ˇze normála této pˇr´ımky se dá charak-

terizovat napˇr. pr˚ uvodiˇcem komplexn´ıho ˇc´ısla 1− i . Daná pˇr´ımka mus´ı m´ıt tedy rovnic´ı tvaru (1 + i ) z + (1 − i ) z = c , c ∈ R ( viz pˇr. 1.65.). Tuto rovnici mus´ı splˇ novat napˇr. bod z = 1 , takˇze dosazen´ım vypoˇc´ıtáme c = 2 . Podle pˇredcházej´ıc´ıho pˇr´ıkladu je obrazem dané pˇr´ımky kruˇznice, která procház´ı poˇcátkem a má stˇred v bodˇe 1−2 i . Konstrukce obrazu pˇr´ımky je velmi jednoduchá, protoˇze m˚ uˇzeme vyuˇz´ıt toho, ˇze body [ 1, 0 ] a [ 0, -1 ] leˇz´ı na jednotkové kruˇznici se stˇredem v poˇcátku a jsou tedy samodruˇzné. Spoleˇcnˇe s poˇcátkem je tˇemito tˇremi body hledaná kruˇznice jednoznaˇcnˇe urˇcena. Jej´ı stˇred má zˇrejmˇe souˇradnice [ 21 , − 12 ]. 4.27. Najdˇete obraz pˇr´ımky y = 1 a v´ ysledek ovˇeˇrte konstrukc´ı. Kruˇznice, která procház´ı poˇcátkem a má stˇred v bodˇe . Pˇri konstrukci se vyuˇzije toho, ˇze bod i je samodruˇzn´ y.

V´ ysledek : i 2

4.28. Najdˇete obraz pˇr´ımky x + y = 2 a v´ ysledek ovˇeˇrte konstrukc´ı. Pˇri konstrukci nelze vyuˇz´ıt samodruˇzné body, takˇze podle konstrukce v pˇr. 1.55 je tˇreba naj´ıt napˇr. obraz bodu [ 1,1 ]. Tento N´ avod :

50

Funkce komplexn´ı promˇenné obraz a poˇcátek jsou krajn´ı body u ´seˇcky, která je pr˚ umˇerem v´ ysledné kruˇznice. Obrazem dané pˇr´ımky je kruˇznice, která procház´ı poˇcátkem a má stˇred v bodˇe 1+4 i .

4.29. Najdˇete obraz libovolné pˇr´ımky, která procház´ı poˇcátkem. ˇ sen´ı : Reˇ

Podle pˇr. 1.63 je moˇzné zapsat rovnici dané pˇr´ımky ve

tvaru a a a z + a z = 0 . Obraz má rovnici + = 0 neboli a w + a w = 0 , w w takˇze obrazem dané pˇr´ımky je táˇz pˇr´ımka. 4.30. Najdˇete obraz libovolné kruˇznice, která neprocház´ı poˇcátkem. ˇ sen´ı : Reˇ

Vyjdeme z rovnice kruˇznice odvozené v pˇr. 1.61. Pro obraz

vyjde a 1 1 a − − + |a|2 = r2 , w w w w 1 − a w − a w + (|a|2 − r2 ) w w = 0 . Protoˇze |a| = 6 r , m˚ uˇzeme rovnici dˇelit ˇc´ıslem |a|2 − r2 a 1 a w− 2 w+ 2 =0. w w− 2 2 2 |a| − r |a| − r |a| − r2 Obrazem je tedy opˇet kruˇznice, která neprocház´ı poˇcátkem a má stˇred a v bodˇe . Tento bod ale nen´ı obrazem stˇredu p˚ uvodn´ı kruˇznice. 2 |a| − r2 4.31. Najdˇete obraz kruˇznice |z − 2i| = 1 v´ ypoˇctem i konstrukc´ı. ˇ sen´ı : Reˇ

Zap´ıˇseme rovnici dané kruˇznice : z z + 2iz − 2iz + 4 = 1 . Pro jej´ı obraz po u ´pravˇe dostaneme 2 2 1 2 1 2 4 w w + iw − iw + = 0 ⇒ w w + iw − iw + = . 3 3 3 3 3 9 9 Obrazem je tedy kruˇznice se stˇredem v bodˇe 23 i a s polomˇerem r = 31 . Pˇri konstrukci obrazu vyuˇzijeme toho, ˇze na dané kruˇznici leˇz´ı bod i (samodruˇzn´ y) a bod 3 i . Staˇc´ı sestrojit podle konstrukce v pˇr. 1.55 umˇer hledané kruˇznice. obraz tohoto bodu ( 3i ) a dostaneme pr˚ 4.32. Najdˇete obraz kruˇznice |z − 2 − 2 i | = 2 v´ ypoˇctem i konstrukc´ı. Ke konstrukci obrazu vyuˇzijte dva samodruˇzné body na √ jednotkové kruˇznici a podle pˇr. 1.55 najdˇete obraz bodu (2 + 2)(1 + N´ avod :


51

i) . Obrazem je kruˇznice se stˇredem v bodˇe

1+ i a s polomˇerem r = 2

1 2

.

4.33. Najdˇete obraz kruˇznice |z + 1 + i | = 2 v´ ypoˇctem a konstrukc´ı. N´ avod : Ke konstrukci obrazu vyuˇ zijte √ dva samodruˇzné body na jed-

notkové kruˇznici a obraz bodu −(1 + 2)(1 + i ) na p˚ uvodn´ı kruˇznici. 1+ i a s polomˇerem 2 r = 1 . Pˇri podrobnˇejˇs´ım studiu zobrazen´ı zjist´ıte, ˇze v tomto pˇr´ıpadˇe se vnitˇrn´ı oblast dané kruˇznice zobraz´ı na vnˇejˇs´ı oblast v´ ysledné kruˇznice. V´ ysledek : Obrazem je kruˇ znice se stˇredem v bodˇe

4.34. Najdˇete obraz kruˇznice |z − 1 + i | = 1 v´ ypoˇctem i konstrukc´ı. V´ ysledek : Obrazem √ je táˇz kruˇznice, body 1√a − i jsou samodruˇzné.

2− 2 2+ 2 (1 − i ) je bod (1 − i ) a naopak. 2 2 √ 4.35. Najdˇete obraz kruˇznice |z − 1 − i | = 2 . Obrazem bodu

V´ ysledek : Obrazem je pˇr´ımka, která neprocház´ı poˇcátkem. Pˇri konstrukci se obraz dané kruˇznice dostane jednoduˇse jako pˇr´ımka, která procház´ı dvˇema samodruˇzn´ ymi body dané kruˇznice. i 1 v´ ypoˇctem i konstrukc´ı. 4.36. Najdˇete obraz kruˇznice z + =

V´ ysledek :

4 4 Obrazem je pˇr´ımka y = 2 .

−− −− −− −− −− 1 1 z+ . 2 z Po dosazen´ı z = x + i y a u ´pravách vyjde

4.37. Napiˇste algebraick´ y tvar funkce f (z) = V´ ysledek :

f (z) =

x(x2 + y 2 + 1) y(x2 + y 2 − 1) + i . 2(x2 + y 2 ) 2(x2 + y 2 )

1 1 4.38. V zobrazen´ı definovaném funkc´ı f (z) = z+ 2 z kruˇznic, které maj´ı stˇred v poˇcátku.

najdˇete obrazy

52

Funkce komplexn´ı promˇenné ˇ sen´ı: Je vhodn´ Reˇ e vyj´ıt z goniometrického tvaru komplexn´ıho ˇc´ısla

z = r(cos ϕ + i sin ϕ) . Potom pro z 6= 0 vyjde 1 1 f (z) = [r(cos ϕ + i sin ϕ) + (cos ϕ − i sin ϕ)] = 2 r 1 1 1 1 = r+ cos ϕ + i r− sin ϕ . 2 r 2 r Obraz kruˇznice ( r je konstantn´ı ) je urˇcen parametrick´ ymi rovnicemi

1 1 1 1 u= r+ cos ϕ , v = r− sin ϕ , ϕ ∈< 0, 2π) . 2 r 2 r

Pro r = 1 urˇcuj´ı rovnice u = cos ϕ , v = 0 u ´seˇcku < −1, 1 > . Pro r > 1 dostaneme parametrické rovnice kladnˇe orientované elipsy. Pro r < 1 vyjdou parametrické rovnice zápornˇe orientované elipsy, 1 > r a koeficient pˇri sin ϕ je záporn´ y ( obr. 7 ). protoˇze r

Obr.7.

Dalˇs´ı funkce reálné promˇenné m˚ uˇzeme snadno zobecnit pro libovolné komplexn´ı z ∈ C pomoc´ı ˇrad. Exponenci´ aln´ı funkci ez definujeme jako ∞ X zn ( viz pˇr. 3.23 ) . souˇcet absolutnˇe konvergentn´ı ˇrady ez = n=0 n!


53

Jako souˇcet absolutnˇe konvergentn´ıch ˇrad m˚ uˇzeme zapsat také dalˇs´ı odvozené funkce e−z =

∞ X

(−1)n

n=0

∞ X zn zn , eiz = in , n! n! n=0

e−iz =

∞ X n=0

(−1)n in

zn . n!

V´ ysledek pˇr. 3.25 ukazuje, ˇze i pro komplexn´ı ˇc´ısla je splnˇena základn´ı vlastnost exponenciáln´ıch funkc´ı ez1 ez2 = ez1 +z2 . Na základˇe souˇct˚ u a rozd´ıl˚ u absolutnˇe konvergentn´ıch ˇrad definujeme dalˇs´ı funkce ∞ X eiz + e−iz z 2n cos z = = (−1)n (kosinus), 2 (2n)! n=0 ∞ X ez + e−z z 2n cosh z = = (hyperbolick´ y kosinus), 2 n=0 (2n)! ∞ X eiz − e−iz z 2n+1 (−1)n sin z = = (sinus), 2i (2n + 1)! n=0 ∞ X ez − e−z z 2n+1 sinh z = = (hyperbolick´ y sinus). 2 n=0 (2n + 1)!

π

4.39. Najdˇete hodnotu komplexn´ıch ˇc´ısel a) e1+π i , b) e2+ 2 i , 1 π c) e 2 ln 2+ 4 i , d) e1− i . a) e1+π i = e1 eπ i = e(cos π + i sin π) = −e ; π i = e2 e 2 √i = i e2 ; b) e √ 1 π π π π c) e 2 ln 2+ 4 i = eln 2 e 4 i = 2 (cos + i sin ) = 4 4 √ √ √ 2 2 = 2( +i )=1+ i ; 2 2 . d) e1− i = e1 e− i = e (cos 1 − i sin 1) = 2, 718 (0, 54 − 0, 84 i ) . ˇ sen´ı : Reˇ 2+ π2

4.40. Pro funkci f (z) = ez popiˇste zobrazen´ı rovnobˇeˇzek se souˇradn´ ymi osami v mnoˇzinˇe komplexn´ıch ˇc´ısel −π < Im z ≤ π . Komplexn´ı ˇc´ıslo w = ez imaginárn´ı ˇcásti komplexn´ıho ˇc´ısla z ˇ sen´ı : Reˇ

vyjádˇr´ıme pomoc´ı reálné a

54

Funkce komplexn´ı promˇenné w = ez = ex+ i y = ez e i y = ex (cos y + i sin y) . Odtud je vidˇet, ˇze |w| = |ez | = ex a y urˇcuje argument w = ez . Obrazem pˇr´ımky x = c , c ∈ R je tedy kruˇznice se stˇredem v poˇcátku a s polomˇerem r = ec . Obrazem u ´seˇcky (bez jednoho krajn´ıho bodu) y = c , c ∈ (−π, π > je polopˇr´ımka bod˚ u s t´ımto argumentem. Obrazem dané mnoˇziny je celá Gaussova rovina ( obr. 8 ).

Obr.8.

4.41. Najdˇete algebraick´ y tvar funkce f (z) = z ez . f (z) = (x + i y)ex+ i y = (x + i y)ex e i y = = x ex (cos y + i sin y) + i y ex (cos y + i sin y) = = ex (x cos y − y sin y) + i ex (x sin y + y cos y) . ˇ sen´ı : Reˇ

4.42. Podle uveden´ ych definic dokaˇzte, ˇze pro vˇsechna z ∈ C plat´ı 2 2 a) cos z + sin z = 1 , b) cosh2 z − sinh2 z = 1 . ˇ sen´ı : a) Goniometrick´ Reˇ e funkce vyjádˇr´ıme podle definice pomoc´ı

exponenciáln´ıch funkc´ı a pouˇzijeme pravidlo pro násoben´ı ( pˇr. 3.25 )

!2

!2

e i z − e− i z e i z + e− i z + = 2 2i e2 i z + 2e i z e− i z + e− i z e2 i z − 2e i z e− i z + e−2 i z 4e0 = + = =1. 4 −4 4


55

Podobnˇe se odvod´ı druhá rovnost. 4.43. Podle uveden´ ych definic dokaˇzte, ˇze pro vˇsechna z ∈ C plat´ı a) cosh( i z) = cos z , b) sinh( i z) = i sin z , c) cos( i z) = cosh z , d) sin( i z) = i sinh z . ˇ sen´ı : Definiˇ Reˇ cn´ı rovnosti plat´ı pro vˇsechna z ∈ C , takˇze m˚ uˇzeme

e i z + e− i z = cos z . 2 4.44. Dosazen´ım exponenciáln´ıch funkc´ı ovˇeˇrte následuj´ıc´ı rovnosti a) cos(z1 + z2 ) = cos z1 cos z2 − sin z1 sin z2 , b) sin(z1 + z2 ) = sin z1 cos z2 + cos z1 sin z2 , c) cosh(z1 + z2 ) = cosh z1 cosh z2 + sinh z1 sinh z2 , d) sinh(z1 + z2 ) = sinh z1 cosh z2 + cosh z1 sinh z2 . v definici m´ısto z dosadit i z. Napˇr. cosh( i z) =

Dosazujte a vynásobte exponenciáln´ı funkce nejprve na prav´ ych stranách dan´ ych rovnost´ı. N´ avod :

4.45. Najdˇete algebraick´ y tvar funkce a) f (z) = cos z , b) f (z) = sin z . ˇ sen´ı : a) Je moˇ Reˇ zné pouˇz´ıt pˇredcházej´ıc´ı vzorce cos z = cos(x+ i y) =

cos x cos( i y) − sin x sin( i y) = cos x cosh y − i sin x sinh y . b) Je moˇzné také pouˇz´ıt vyjádˇren´ı pomoc´ı exponenciáln´ıch funkc´ı 1 i x −y 1 iz (e − e− i z ) = (e e − e− i x ey ) = sin z = 2i 2i i 1 h = (cos x + i sin x) e−y − (cos x − i sin x) ey = 2i i 1 (sin x(e−y + ey ) + 2 cos x(e−y − ey ) = sin x cosh y+ i cos x sinh y . = 2 2i

4.46. Vypoˇc´ıtejte a) | cos z| , b) | sin z| , c) | cosh z| , d) | sinh z| . ˇ sen´ı : Reˇ

=

a) | cos z| =

q

cos2 x cosh2 y + sin2 x sinh2 y =

q

cos2 x(1 + sinh2 y) + sin2 x sinh2 y =

V´ ysledky :

b) | sin z| =

c) | cosh z| =

q

d) | sinh z| =

q

q

q

cos2 x + sinh2 y .

sin2 x + sinh2 y ,

cos2 y + sinh2 x , sin2 y + sinh2 x .

56


4.47. Zjednoduˇste cos z cos z + sin z sin z . ˇ sen´ı : Snadno se d´ Reˇ a ovˇeˇrit, ˇze cos z = cos z a sin z = sin z .

Potom cos z cos z + sin z sin z = | cos z|2 + | sin z|2 = = cos2 x + sinh2 y + sin2 x + sinh2 y = 1 + 2 sinh2 y = = cosh2 y + sinh2 y = cosh 2y . 4.48. Najdˇete následuj´ıc´ı funkˇcn´ı hodnoty a) cos(π − i ) , b) cos(1 + i ln 2) , c) sin(π + i ) , d) sin( π2 − i ) . ˇ sen´ı : Reˇ

a) cos(π − i ) = cos π cosh(−1) − i sin π sinh(−1) = . = (−1) cosh(−1) − 0 = − cosh 1 = −1, 543 ; Vid´ıme, ˇze vypoˇc´ıtaná hodnota je menˇs´ı neˇz −1 . 2+ 1 2− 1 b) cos(1 + i ln 2) = cos 1 2 2 − i sin 1 2 2 = 54 cos 1 − i 43 sin 1 = . = 14 (5 cos 1 − 3 i sin 1) = 41 (2, 7 − 2, 52 i ) = 0, 675 − 0, 63 i ; . c) sin(π + i ) = sin π cosh 1 + i cos π sinh 1 = − i sinh 1 = −1, 175 i ; . d) sin( π2 − i ) = sin π2 cosh(−1) + i cos π2 sinh(−1) = cosh1 = 1, 543 . Vid´ıme, ˇze vypoˇc´ıtaná hodnota je vˇetˇs´ı neˇz 1 . 4.49. Najdˇete následuj´ıc´ı funkˇcn´ı hodnoty a) cosh(ln 2 + i π) , b) sinh(1 − i ) . ˇ sen´ı: a) cosh(ln 2+ i π) = cosh(ln 2) cos π+ i sinh(ln 2) sin π = − 5 ; Reˇ 4

. b) sinh(2 − i ) = sinh 2 cos(−1) + i cosh 2 sin(−1) = 1, 96 − 3, 17 i .

4.50. Zobrazen´ı definované funkc´ı f (z) = cos z rozloˇzte na jednoduˇsˇs´ı zobrazen´ı. Zobrazte postupnˇe mnoˇzinu vˇsech komplexn´ıch ˇc´ısel [ x, y ], pro která plat´ı −π < x ≤ π ∧ y < 0 . e i z +e− i z 2 1 1 (w + ) 2 2 w2

V´ ysledek : Funkce w = f (z) = cos z = w1

sloˇzen´ım funkc´ı w1 = i z , w2 = e

, w=

se dá vytvoˇrit .

Obrazem dané mnoˇziny je celá Gaussova rovina s vynechanou u ´seˇckou < −1, 1 > .

5.Derivace funkce komplexn´ı promˇenné

57

5. Derivace funkce komplexn´ı promˇ enn´ e V této kapitole rozˇs´ıˇr´ıme dalˇs´ı pojmy z teorie reáln´ ych funkc´ı na funkce komplexn´ı promˇenné. Budeme pˇredpokládat, ˇze jednoznaˇcná funkce komplexn´ı promˇenné f (z) je definována v oblasti D ⊂ C ∗ , z0 je hromadn´ y bod ∗ definiˇcn´ı oblasti D a a ∈ C .

Funkce f (z) m´ a v bodˇ e z0 limitu a

zapisujeme z→z lim f (z) = a

,

0

jestliˇze k libovolnému okol´ı U(a, ε) existuje takové prstencové okol´ı P(z0 , δ) ( viz u ´vod kap. 3 ), pro které plat´ı f [P(z0 , δ)] ⊂ U(a, ε) . Tato definice zahrnuje pojem vlastn´ı i nevlastn´ı limity ve vlastn´ım i nevlastn´ım bodˇe. Funkce f (z) je spojit´ a v bodˇ e z0 , jestliˇze z0 ∈ D lim f (z) = f (z0 ) ∈ C . z→z

a plat´ı

0

Funkce f (z) m´ a derivaci v bodˇ e z0 , jestliˇze existuje vlastn´ı limita lim

z→z0

f (z0 + ∆z) − f (z0 ) f (z) − f (z0 ) = lim = f 0 (z0 ) . ∆z→0 z − z0 ∆z

Jestliˇze existuje derivace funkce f (z) = u(x, y) + i v(x, y) v bodˇe z0 = x0 + i y0 , potom mus´ı existovat v bodˇe [x0 , y0 ] parciáln´ı derivace ∂u(x, y) ∂u(x, y) ∂v(x, y) ∂v(x, y) , , , a mus´ı b´ yt v tomto bodˇe [x0 , y0 ] ∂x ∂y ∂x ∂y splnˇeny Cauchyovy-Riemannovy (nebo také d0 Alembertovy-Eulerovy) podm´ınky ∂u(x, y) ∂v(x, y) ∂u(x, y) ∂v(x, y) |[x0 ,y0 ] = |[x0 ,y0 ] , |[x0 ,y0 ] = − |[x0 ,y0 ] . ∂x ∂y ∂y ∂x Cauchyovy-Riemannovy podm´ınky tedy znamenaj´ı n u t n é podm´ınky pro existenci derivace f 0 (z0 ) . Nutná a postaˇcuj´ıc´ı podm´ınka pro existenci derivace f 0 (z0 ) je splnˇen´ı Cauchyov´ ych-Riemannov´ ych podm´ınek a existence totáln´ıch diferenciál˚ u funkc´ı u(x, y), v(x, y) v bodˇe [x0 , y0 ].

Jestliˇze pro z ∈ D existuje derivace funkce f (z) = u(x, y) + i v(x, y) ,

58


potom se dá v algebraickém tvaru vyjádˇrit celkem ˇctyˇrmi zp˚ usoby f 0 (z) =

∂u(x, y) ∂v(x, y) ∂v(x, y) ∂u(x, y) +i = −i = ∂x ∂x ∂y ∂y

=

∂u(x, y) ∂u(x, y) ∂v(x, y) ∂v(x, y) −i = +i . ∂x ∂y ∂y ∂x

Funkce f (z) se naz´ yvá holomorfn´ı v bodˇ e z0 ∈ D , jestliˇze má derivaci v nˇejakém okol´ı bodu z0 . Funkce f (z) se naz´ yvá holomorfn´ı v oblasti D , jestliˇze je holomorfn´ı v kaˇzdém bodˇe z0 ∈ D . Pro derivace funkc´ı komplexn´ı promˇenné plat´ı stejné základn´ı vˇety jako pro funkce reálné promˇenné ( derivace souˇctu, souˇcinu, pod´ılu, derivace sloˇzené funkce ). Funkce F (x, y) se naz´ yvá harmonick´ a funkce v oblasti D , jestliˇze má v oblasti D spojité parciáln´ı derivace 2.ˇrádu a splˇ nuje Laplaceovu ∂ 2 F (x, y) ∂ 2 F (x, y) + =0. diferenciáln´ı rovnici ∂x2 ∂y 2 Dvˇe harmonické funkce u(x, y) , v(x, y) , které splˇ nuj´ı Cauchyovy-Riemannovy podm´ınky, se naz´ yvaj´ı sdruˇ zen´ e harmonick´ e funkce. 5.1. Zapiˇste pomoc´ı nerovnic definice následuj´ıc´ıch limit a) lim f (z) = ∞ , b) lim f (z) = a , a ∈ C , c) lim f (z) = ∞ . z→z0

z→∞

z→∞

N´ avod : Okol´ı vyj´ adˇrete nerovnicemi ( viz u ´vod kap. 3 ) napˇr. pro a ∈ C : U(a, ε) = {z ∈ C : |z − a| < ε}; pro a = ∞ : U(a, ε) = {z ∈ C : |z| > 1ε } . Existence okol´ı bude zaruˇcena poˇzadavkem existenc´ı kladného ˇc´ısla ε .

5.2. Dokaˇzte, ˇze souˇcet a souˇcin dvou funkc´ı, které jsou holomorfn´ı v bodˇe z0 ∈ D , je také holomorfn´ı funkce v bodˇe z0 . N´ avod :

D˚ ukaz vycház´ı z existence pr˚ uniku dvou okol´ı bodu z0 .

5.3. Podle definice vypoˇc´ıtejte obˇema zp˚ usoby derivace funkc´ı 1 1 3 a) f (z) = , b) f (z) = z , c) f (z) = 2 . z z ˇ sen´ı : a) Podle prvn´ıho zp˚ Reˇ usobu v´ ypoˇctu limity 1 z0 −z − 1 −1 1 zz0 f 0 (z0 ) = z→z lim z z0 = z→z lim = z→z lim =− 2 . 0 z − z0 0 z − z0 0 zz0 z0


59

Podle druhého zp˚ usobu v´ ypoˇctu limity dostaneme 0

f (z0 ) = lim

∆z→0

1 z0 +∆z

− ∆z

1 z0

= lim

∆z→0

−∆z z0 (z0 +∆z)

∆z

−1 1 = − 2. ∆z→0 z0 (z0 + ∆z) z0

= lim

5.4. Necht’ pro z ∈ C existuje derivace f 0 (z) . Odvod’te CauchyovyRiemannovy podm´ınky pro derivaci funkce f (z) = u(x, y) + i v(x, y) . ˇ sen´ı : Reˇ

lim

∆x→0 ∆y→0

Existence f 0 (z) a tedy také limity ( v algebraickém tvaru)

u(x + ∆x, y + ∆y) + i v(x + ∆x, y + ∆y) − u(x, y) − i v(x, y) ∆x + i ∆y

zaruˇcuje existenci limit na podmnoˇzinách ( pˇr´ımkách ) ∆y = 0 a ∆x = 0 . Odtud vyjde pro ∆y = 0 u(x + ∆x, y) + i v(x + ∆x, y) − u(x, y) − i v(x, y) = ∆x→0 ∆x u(x + ∆x, y) − u(x, y) v(x + ∆x, y) − v(x, y) = lim + i lim = ∆x→0 ∆x→0 ∆x ∆x ∂u(x, y) ∂v(x, y) = +i . ∂x ∂x Pro ∆x = 0 vyjde lim

u(x, y + ∆y) + i v(x, y + ∆y) − u(x, y) − i v(x, y) = ∆y→0 i ∆y lim

u(x, y + ∆y) − u(x, y) v(x, y + ∆y) − v(x, y) + lim = ∆y→0 i ∆y ∆y ∂u(x, y) ∂v(x, y) = −i + . ∂y ∂y Z rovnosti tˇechto limit dostaneme Cauchyovy-Riemannovy podm´ınky.

= lim

∆y→0

5.5. Z algebraického tvaru funkce f (z) = ez vypoˇc´ıtejte jej´ı derivaci pro libovolné z = x + i y . ˇ sen´ı : Reˇ

Existence derivace funkce f (z) = ez vypl´ yvá z moˇznosti derivovat absolutnˇe konvergentn´ı ˇradu ( viz kap. 4 ). Derivován´ım podle promˇenné x vypoˇc´ıtáme ∂u(x, y) ∂v(x, y) f 0 (z) = +i = ex (cos y + i sin y) = ez . ∂x ∂x

60


5.6. Z algebraického tvaru funkce f (z) = z 3 vypoˇc´ıtejte jej´ı derivaci pro libovolné z = x + i y . ˇ sen´ı : Reˇ

Existence derivace se dá ovˇeˇrit v´ ypoˇctem limity . Z algebraického tvaru z 3 = x3 − 3xy 2 + i (3x2 y − y 3 ) dostaneme derivován´ım podle promˇenné x ∂v f 0 (z) = ∂u + i ∂x = 3x2 − 3y 2 + 6 i xy = 3( x2 + 6 i xy − y 2 ) = 3z 2 . ∂x 5.7. Pro funkci f (z) = z1 ovˇeˇrte, ˇze jsou pro vˇsechna z ∈ C − {0} splnˇeny Cauchyovy-Riemannovy podm´ınky. Splnˇen´ı obou podm´ınek dostanete z algebraického tvaru funkce ( pˇr. 4.12 ). N´ avod :

5.8. Pro funkci f (z) = cos z ovˇeˇrte, ˇze jsou pro vˇsechna z ∈ C splnˇeny Cauchyovy-Riemannovy podm´ınky. Splnˇen´ı obou podm´ınek dostanete snadn´ ym v´ ypoˇctem z algebraického tvaru cos z = cos x cosh y − i sin x sinh y . N´ avod :

5.9. Rozhodnˇete, pro která z ∈ C existuje derivace funkce f (z) = |z|2 . = 2x = Protoˇze u(x, y) = x2 + y 2 , v(x, y) = 0 , vyjde ∂u ∂x ∂v ∂v , ∂u = 2y = 0 = − . Jedin´ e ˇ r eˇ s en´ ı je x = 0 , y = 0 . = 0 = ∂y ∂y ∂x ˇ derivace pro z = 0 skuteˇcnˇe existuje, plyne z v´ Ze ypoˇctu ˇ sen´ı : Reˇ

|z|2 zz = lim = lim z = 0 . z→0 z z→0 z z→0 lim

5.10. Rozhodnˇete, pro která z ∈ C existuje derivace funkce f (z) = z . ∂v Protoˇze ∂u = 1 a ∂y = −1 , Cauchyovy-Riemannovy ∂x podm´ınky nejsou splnˇeny pro ˇzádné z ∈ C . Proto nem˚ uˇze existovat derivace.

ˇ sen´ı : Reˇ

5.11. Jestliˇze v oblasti D má holomorfn´ı funkce pouze reálné hodnoty, mus´ı to b´ yt konstantn´ı funkce. Dokaˇzte ! ˇ sen´ı : Poˇ Reˇ zadovaná podm´ınka znamená, ˇze v(x, y) = 0 . Pro holo-

morfn´ı funkci mus´ı b´ yt splnˇeny Cauchyovy-Riemanovy podm´ınky, takˇze ∂u(x, y) ∂u(x, y) v oblasti D je =0∧ = 0 , tj. d u(x, y) = 0 . Tuto ∂x ∂y podm´ınku splˇ nuj´ı právˇe konstantn´ı funkce.


61

5.12. Pro funkci, která je holomorfn´ı v oblasti D , vyjádˇrete CauchyovyRiemannovy podm´ınky v polárn´ıch souˇradnic´ıch. ˇ sen´ı : Dosazen´ım x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ vzniknou sloˇ Reˇ zené funkce

u(ρ, ϕ) a v(ρ, ϕ). Podle pravidel pro derivován´ı sloˇzen´ ych funkc´ı vyjde ∂u ∂u ∂u ∂v ∂v = cos ϕ + sin ϕ = cos ϕ − sin ϕ , ∂ρ ∂x ∂y ∂y ∂x ∂v ∂v ∂v = − ρ sin ϕ + ρ cos ϕ ∂ϕ ∂x ∂y

⇒

ρ

∂u ∂v = . ∂ρ ∂ϕ

∂v ∂v ∂v ∂u ∂u = cos ϕ + sin ϕ = − cos ϕ + sin ϕ , ∂ρ ∂x ∂y ∂y ∂x ∂u ∂u ∂u = − ρ sin ϕ + ρ cos ϕ ∂ϕ ∂x ∂y

⇒

ρ

∂v ∂u =− . ∂ρ ∂ϕ

5.13. Jestliˇze funkce f (z) = u(x, y) + i v(x, y) je holomorfn´ı v oblasti D , potom jsou funkce u(x, y) a v(x, y) sdruˇzené harmonické funkce v oblasti D . Dokaˇzte ! ˇ sen´ı : Pro holomorfn´ı funkci jsou samozˇrejmˇ Reˇ e splnˇeny Cauchyovy-

Riemannovy podm´ınky, takˇze je tˇreba pouze dokázat, ˇze funkce u(x, y) a v(x, y) splˇ nuj´ı Laplaceovu diferenciáln´ı rovnici. Kaˇzdá holomorfn´ı funkce v oblasti D má v této oblasti také vˇsechny derivace vyˇsˇs´ıho ˇrádu, takˇze funkce u(x, y) a v(x, y) maj´ı spojité parciáln´ı derivace ∂v + i ∂x mus´ı b´ yt také splnˇeny 2. ˇrádu podle x a y. Pro f 0 (z) = ∂u ∂x Cauchyovy-Riemannovy podm´ınky ∂ 1) ∂x

∂u ∂x

!

∂ = ∂y

∂v ∂x

!

∂ 2) ∂y

Také pro druhé vyjádˇren´ı derivace f 0 (z) = Cauchyovy-Riemannovy podm´ınky ∂ 3) ∂x

∂v ∂y

!

∂ ∂u = − ∂y ∂y

!

∂ 4) ∂y

∂u ∂x

!

∂v ∂y

−i

∂v ∂y

!

∂ =− ∂x ∂u ∂y

∂v ∂x

!

.

mus´ı b´ yt splnˇeny

∂ ∂u =− − ∂x ∂y

!

.

Za dan´ ych podm´ınek hodnota sm´ıˇsen´ ych parciáln´ıch derivac´ı nezáleˇz´ı na poˇrad´ı derivován´ı. Proto z 1. a 3. rovnice dostanete Laplaceovu rovnici pro funkci u(x, y) a z 2. a 4. rovnice pro funkci v(x, y) .

62


5.14. Necht’ u(x, y) a v(x, y) jsou sdruˇzené harmonické funkce v oblasti D. Dokaˇzte, ˇze také dvojice a) a u(x, y) − b v(x, y) , b u(x, y) + a v(x, y) , a, b ∈ R , b) eu(x,y) cos v(x, y) , eu(x,y) sin v(x, y) jsou sdruˇzené harmonické funkce v oblasti D . N´ avod : D˚ ukaz je zaloˇzen na tom, ˇze dané dvojice funkc´ı odpov´ıdaj´ı a) souˇcinu holomorfn´ı funkce a komplexn´ıho ˇc´ısla a + i b , b) sloˇzené exponenciáln´ı funkci, kde v exponentu je holomorfn´ı funkce.

5.15. V oblasti D = C − {0} najdˇete vˇsechny harmonické funkce, které maj´ı tvar u(x, y) = F (x2 + y 2 ) . ˇ sen´ı : Reˇ

Sloˇzená funkce u(x, y) = F (t) , t = x2 + y 2 mus´ı splˇ novat Laplaceovu rovnici. Je tˇreba vypoˇc´ıtat derivace ( ˇcárky oznaˇcuj´ı derivace ∂ 2 u(x, y) ∂u(x, y) = F 0 (t) 2x , = F 00 (t) 2x 2x + F 0 (t) 2 podle t ) ∂x ∂x2 (derivace souˇcinu). ∂ 2 u(x, y) ∂u(x, y) = F 0 (t) 2y , = F 00 (t) 2y 2y + F 0 (t) 2 . ∂y ∂y 2 Po dosazen´ı má Laplaceova rovnice tvar 4x2 F 00 (t) + 2F 0 (t) + 4y 2 F 00 (t) + 2F 0 (t) = 0 neboli tF 00 (t) + F 0 (t) = 0 . ˇ sen´ı této diferenciáln´ı rovnice vzhledem k funkci F 0 (t) se provede Reˇ jednoduˇse separac´ı promˇenn´ ych, takˇze F 0 (t) = Ct1 , F (t) = C1 ln t+C2 a u(x, y) = C1 ln(x2 + y 2 ) + C2 . Podobnˇe

5.16. V oblasti C najdˇete vˇsechny harmonické funkce, které maj´ı tvar u(x, y) = F (x2 − y 2 ) . V´ ysledek :

Podobnˇe jako v pˇr. 5.15 u(x, y) = C1 (x2 − y 2 ) + C2 .

V pˇr´ıkladech 5.17 - 5.24 najdˇete funkci f (z) = u(x, y) + i v(x, y) , která má tyto vlastnosti: 1) je holomorfn´ı v definiˇcn´ı oblasti D , 2) jej´ı reálná ( imaginárn´ı ) ˇcást je daná harmonická funkce, 3) splˇ nuje danou doplˇ nuj´ıc´ı podm´ınku f (z0 ) = w0 . 5.17. Re f (z) = u(x, y) = x3 + 6x2 y − 3xy 2 − 2y 3 , f (0) = 0 .


63

ˇ sen´ı : Reˇ

Nejprve je tˇreba ovˇeˇrit, ˇze daná funkce je harmonická. Podle Cauchyov´ ych-Riemannov´ ych podm´ınek dostaneme jednoduchou soustavu parciáln´ıch rovnic pro funkci v(x, y) ∂v(x, y) ∂u(x, y) = 3x2 + 12xy − 3y 2 = , ∂x ∂y ∂u(x, y) ∂v(x, y) = 6x2 − 6xy − 6y 2 = − . ∂y ∂x Integrac´ı prvn´ı rovnice ( podle y ) dostaneme ∂v = 6xy + 6y 2 + C 0 (x) v(x, y) = 3x2 y + 6xy 2 − y 3 + C(x) . Odtud ∂x a dosazen´ım do druhé rovnice dostaneme 6x2 = −C 0 (x) a odtud C(x) = −2x3 + C1 . Hledaná holomorfn´ı funkce má tedy tvar f (z) = x3 + 6x2 y − 3xy 2 − 2y 3 + i (−2x3 + 3x2 y + 6xy 2 − y 3 + C1 ) . Vzhledem k dané podm´ınce f (0) = 0 mus´ı b´ yt C1 = 0 . Vhodn´ ymi u ´pravami se dá z´ıskat vyjádˇren´ı funkce v závislosti na z f (z) = x3 + 3 i x2 y − 3xy 2 − i y 3 − 2 i x3 + 6x2 y + 6 i xy 2 − 2y 3 = = (x + i y)3 − 2 i (x + iy)3 = z 3 − 2 i z 3 = (1 − 2 i ) z 3 . 5.18. Re f (z) = u(x, y) = x2 − y 2 − y , f (0) = 0 . Funkce u(x, y) je harmonická, v(x, y) = 2xy + x , f (z) = x − y − y + 2 i xy + i x = (x + i y)2 + i (x + i y) = z 2 + i z . V´ ysledek : 2

2

5.19. Re f (z) = u(x, y) = e−x sin y + 2xy , f (0) = 0 . ˇ sen´ı : Snadno ovˇ Reˇ eˇr´ıme ˇze u(x, y) = e−x sin y + 2xy je harmonická

funkce. Z Cauchyov´ ych-Riemannov´ ych podm´ınek dostaneme jednoduchou soustavu parciáln´ıch rovnic pro funkci v(x, y) ∂v(x, y) ∂u(x, y) = −e−x sin y + 2y = , ∂x ∂y ∂u(x, y) ∂v(x, y) = e−x cos y + 2x = − . ∂y ∂x Integrac´ı prvn´ı rovnice ( podle y ) dostaneme v(x, y) = e−x cos y + y 2 + ∂v +C(x). Odtud = −e−x cos y + C 0 (x) a dosazen´ım do druhé rovnice ∂x dostaneme 2x = −C 0 (x) a odtud C(x) = −x2 + C1 .

64

Funkce komplexn´ı promˇenné Hledaná holomorfn´ı funkce má tedy tvar f (z) = e−x sin y + 2xy + i (e−x cos y + y 2 − x2 + C1 ) . Vzhledem k dané podm´ınce f (0) = 0 mus´ı b´ yt C1 = −1 . V´ yslednou funkci m˚ uˇzeme dále upravovat −x 2 2 f (z) = e (sin y+ i cos y)+2xy+ i (y −x )− i = i e−x (cos y− i sin y)− − i (x2 − y 2 + 2xy i ) − i = i (e−z − z 2 − 1) .

5.20. Re f (z) = u(x, y) = ey cos x − x , f (0) = 1 . Funkce u(x, y) je harmonická, v(x, y) = −ey sin x − y , f (z) = ey cos x − x − i ey sin x − i y = ey (cos x − i sin x) − (x + i y) = = ey− i x − (x + i y) = e− i z − z . V´ ysledek :

5.21. Im f (z) = v(x, y) = sin x cosh y , f (0) = 0 . V´ ysledek : Funkce v(x, y) je harmonick´ a, u(x, y) = − cos x sinh y a hledaná holomorfn´ı funkce f (z) = i sin z .

5.22. Re f (z) = u(x, y) = V´ ysledek :

x2

y , f (1) = 0 . + y2

Funkce u(x, y) je harmonická, v(x, y) =

x + C1 x2 + y 2

a hledaná holomorfn´ı funkce má tedy tvar y x i (x − i y) i f (z) = 2 + i + i C = + i C = + i C1 . 1 1 x + y2 x2 + y 2 x2 + y 2 z Ze zadané doplˇ nuj´ıc´ı podm´ınky vyjde C1 = −1 . 5.23. Re f (z) = u(x, y) = ex (x cos y − y sin y) , f (0) = 0 . Funkce u(x, y) je harmonická, v(x, y) = ex (x sin y+ +y cos y) a hledaná holomorfn´ı funkce f (z) = z ez . V´ ysledek :

5.24. Re f (z) = u(x, y) = x cos x cosh y + y sin x sinh y , f (0) = 0 . Funkce u(x, y) je harmonická, v(x, y) = y cos x cos y− −x sin x sin y a hledaná holomorfn´ı funkce f (z) = z cos z . V´ ysledek :

6.Inverzn´ı a mnohoznaˇcné funkce

65

6. Inverzn´ı a mnohoznaˇ cn´ e funkce Jestliˇze funkce f (z) je holomorfn´ı v oblasti D a definuje prosté zobrazen´ı oblasti D na oblast D0 rozˇs´ıˇrené Gaussovy roviny, potom existuje jediná inverzn´ı funkce g(z) = f −1 (z) definovaná v oblasti D0 . Pro z0 ∈ D plat´ı 1 . g[f (z0 )] = f −1 [f (z0 )] = z0 a g 0 [f (z0 )] = 0 f (z0 ) K funkci, která nen´ı v oblasti D prostá, neexistuje jednoznaˇcná inverzn´ı funkce. Je vˇsak moˇzné opustit pˇredstavu zobrazen´ı funkˇcn´ıch hodnot do Gaussovy roviny a zkonstruovat takovou plochu ( Riemannovu ), aby zobrazen´ı oblasti D na Riemannovu plochu bylo prosté. Potom je moˇzné definovat jednoznaˇcnou inverzn´ı funkci, která má definiˇcn´ı obor na Riemannovˇe ploˇse. Tˇemito problémy se dále nebudeme zab´ yvat. Druh´ y obvykl´ y zp˚ usob popisu inverzn´ıch funkc´ı k funkc´ım, které nejsou prosté, je zaveden´ı pojmu mnohoznaˇ cn´ e funkce. Pokud se pouˇzije pojem funkce ve smyslu mnohoznaˇcné funkce, mus´ı to b´ yt ovˇsem v´ yslovnˇe uvedeno. Pˇri zápisu tˇechto funkc´ı se obvykle pouˇz´ıvá velké p´ısmeno ( napˇr. Arg z ). V pˇr´ıkladech 6.1 - 6.7 urˇcete, zda daná funkce definuje prosté zobrazen´ı dané oblasti D do rozˇs´ıˇrené Gaussovy roviny C ∗ . 6.1. f (z) =

az + b , c 6= 0 , ad − bc 6= 0 , D = C . cz + d

ˇ sen´ı : Prost´ Reˇ a funkce mus´ı splˇ novat implikaci f (z1 ) = f (z2 )

⇒

z1 = z2 . Z rovnosti zlomk˚ u ( hodnot funkce ) dostaneme az2 + b az1 + b = , cz1 + d cz2 + d a cz1 z2 + ad z1 + bc z2 + bd = ac z1 z2 + a dz2 + bc z1 + bd , (ad − bc)z1 = (ad − bc)z2 , z1 = z2

(ad − bc 6= 0).

Jestliˇze se dopln´ı definice funkce zápisem f (− dc ) = ∞ , je vidˇet, ˇze jde o prosté zobrazen´ı na rozˇs´ıˇrenou Gaussovu rovinu.

66


6.2. f (z) = az + b , a 6= 0 , D = C. V´ ysledek : Funkce definuje prost´ e zobrazen´ı C na C . Jestliˇze se definice funkce dopln´ı zápisem f (∞) = ∞ , potom funkce definuje prosté zobrazen´ı C ∗ na C ∗ .

6.3. f (z) = z 2 , D = {z ∈ C : 1 < |z| < 2} . ˇ sen´ı : Oblast D je vnitˇrek mezikruˇ Reˇ z´ı se stˇredem v poˇcátku, takˇze

v nˇem existuj´ı body z1 , z2 = −z1 , pro které plat´ı z12 = z22 . Proto zobrazen´ı nen´ı prosté. 6.4. f (z) = z 2 , D = {z ∈ C : |z − 1 + i | < 1} . ˇ sen´ı : Oblast D je vnitˇrn´ı oblast kruˇ Reˇ znice se stˇredem v bodˇe 1− i

a s polomˇerem 1 . V této oblasti nelze naj´ıt dvˇe opaˇcná komplexn´ı ˇc´ısla, takˇze toto zobrazen´ı je prosté. 6.5. f (z) = ez , D = {z ∈ C : |z| < 4} . ˇ sen´ı : V dan´ Reˇ e oblasti leˇz´ı napˇr.body z1 = − i π, z2 = i π, pro které

plat´ı ez2 = e i π = e− i π+2 i π = e− i π e2 i π = e− i π = ez1 , takˇze zobrazen´ı nen´ı prosté. 6.6. f (z) = ez , D = {z ∈ C : −π < Im z ≤ π} . V´ ysledek : V dan´ e oblasti je zobrazen´ı prosté ( pˇr. 4.40 ).

1 1 6.7. f (z) = (z + ) , D = {z ∈ C : 0 < |z| < 1} . 2 z 1 1 1 1 ˇ sen´ı : Z rovnosti funkˇ Reˇ cn´ıch hodnot (z1 + ) = (z2 + ) vyjde 2 z1 2 z2 1 1 z2 − z1 1 z1 − z2 + − = z1 − z2 + = (z1 − z2 )(1 − )=0. z1 z2 z1 z2 z1 z2 V dané oblasti nen´ı jmenovatel zlomku roven nule ani se nem˚ uˇze rovnat jedné. V´ yrazem ve druhé závorce ( nenulov´ ym ) m˚ uˇzeme rovnici dˇelit a dostaneme z1 − z2 = 0, tj. z1 = z2 . Zobrazen´ı dané oblasti do Gaussovy roviny je tedy prosté.

6.8. K funkci f (z) = inverzn´ı funkci.

2z + 1 definované v oblasti D = C − {1} najdˇete z−1


67

ˇ sen´ı : Z rovnice 2w + 1 = z vyj´ Reˇ adˇr´ıme w v závislosti na z :

w−1

2w + 1 = z(w − 1) ⇒ z w − 2w = z + 1 ⇒

w=

z+1 . z−2

z+1 je definována pro z 6= 2 . z−2 Definici p˚ uvodn´ı funkce je moˇzno doplnit f (1) = ∞ , f (∞) = 2 a zˇrejmˇe také f −1 (2) = ∞ , f −1 (∞) = 1 . Jednoznaˇcná inverzn´ı funkce f −1 (z) =

6.9. K funkci f (z) = i z + 1 , D = C najdˇete inverzn´ı funkci. V´ ysledek : Existuje jednoznaˇ cná inverzn´ı funkce f −1 (z) = i (1 − z) .


z+2 definované v oblasti D = C − {1} najdˇete z−1

V´ ysledek: Pro z 6= 1 existuje jednoznaˇ cná inverzn´ı funkce

f −1 (z) =

z+2 . z+1


z+ i definované v oblasti D = C − { i } najdˇete z− i

V´ ysledek: Pro z 6= 1 existuje jednoznaˇ cná inverzn´ı funkce

f −1 (z) = i

z+1 . z−1

6.12. Popiˇste inverzn´ı funkci k funkci f (z) = z 2 . ˇ sen´ı : Jestliˇ Reˇ ze w2 = z , potom také (−w)2 = z , takˇze definiˇcn´ı

rovnici pro inverzn´ı funkci splˇ nuj´ı dvˇe hodnoty. Jestliˇze se vybere jedno dohodnuté ˇreˇsen´ı ( napˇr. Re w > 0 ∨ w = a i , a ∈ R , a ≥ 0 ) ), vznikne jednoznaˇcná inverzn´ı funkce ( druhá odmocnina ). 6.13. V mnoˇzinˇ e C najdˇete algebraickou metodou vˇsechna ˇreˇsen´ı rovnice √ w2 = 1 + i 3 . √ ˇ sen´ı rovnice w2 = u2 −v 2 +2uv i = 1+ i 3 je ekvivalentn´ı ˇ sen´ı : Reˇ Reˇ ˇreˇsen´ı soustavy rovnic v mnoˇzinˇe R √ u2 − v 2 = 1 , 2uv = 3 .

68

Funkce komplexn´ı promˇenné Z druhé rovnice vyjádˇr´ıme u a po odstranˇen´ı zlomku dostaneme 4u4 − 4u2 − 3 = 0 Odtud

⇒ u2 =

3 2

( u2 = − 12 nemá ˇreˇsen´ı v R) .

√ √ 3 6 2 = , v1 = , u1 = 2 2 2 s √ √ 3 6 2 =− , v2 = − , u2 = − 2 2 2 √ √ 2 √ 2 √ w1 = ( 3 + i ) , w2 = − ( 3 + i) . 2 2 s

6.14. Napiˇste algebraické vyjádˇren´ı jednoznaˇcné inverzn´ı funkce, která byla popsána v pˇr. 6.12. ˇ sen´ı : Z vyj´ Reˇ adˇren´ı w2 = (u + i v)2 = x + i y(= z) dostaneme

soustavu u2 − v 2 = x , 2uv = y . ˇ sen´ı této soustavy pˇri splnˇen´ı podm´ınky u > 0 je jednoznaˇcné Reˇ s

y≥0 : u=

1 q 2 ( x + y 2 + x) , v = 2

s

s

1 q 2 ( x + y 2 − x) , 2

s

1 q 2 1 q 2 y<0 : u= ( x + y 2 + x) , v = − ( x + y 2 − x) , 2 2 Pˇr´ıpad u = 0 m˚ uˇze nastat pouze pro x ≤ 0 a√v tomto pˇr´ıpadˇe je tˇreba volit nezápornou hodnotu odmocniny v = −x . 6.15. Popiˇste inverzn´ı funkci k funkci f (z) = z n , n ∈ N . N´ avod : Inverzn´ı funkci q jako ˇreˇsen´ı rovnice wn = z je tˇreba chápat jako arg z+2kπ

i n - znaˇcnou funkci w = n |z| e n , k = 0, 1, 2, ...n − 1 . V´ ybˇerem jedné z tˇechto hodnot ( k = 0) lze definovat jednoznaˇcnou funkci.

6.16. Popiˇste mnohoznaˇcnou inverzn´ı funkci ( Ln z ) k funkci f (z) = ez . ˇ sen´ı : Podle z´ Reˇ akladn´ı vlastnosti exponenciáln´ı funkce ( pˇr. 3.25 )

pro vˇsechna w ∈ C , k ∈ Z plat´ı ew+2kπ i = ew e2kπ i = ew . Rovnice eLn z = ew = z , která definuje inverzn´ı funkci Ln z , má v mnoˇzinˇe C nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı. Jestliˇze se vybere jedno dohodnuté ˇreˇsen´ı ( obvykle −π < Im Lg z ≤ π ), vznikne jednoznaˇcná inverzn´ı funkce


69

( ln z ). Pro kladná reálná ˇc´ısla je funkce ln z totoˇzná s reálnou logaritmickou funkc´ı. 6.17. V mnoˇzinˇe C ˇreˇste rovnici a) ew = 1 b) ew = −1 . ˇ ıslo 1 m˚ ˇ sen´ı : a) C´ Reˇ uˇzeme vyjádˇrit v exponenciáln´ım tvaru nekoneˇcnˇe mnoha zp˚ usoby, takˇze dostaneme rovnici ew = eu+ i v = e2kπ i , k ∈ Z . Proto v mnoˇzinˇe C vyjde nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı wk = 2kπ i , k ∈ Z , zat´ımco v mnoˇzinˇe R existuje pouze jedno ˇreˇsen´ı w0 = 0 . b) Z vyjádˇren´ı ˇc´ısla −1 v exponenciáln´ım tvaru dostaneme ew = eu+ i v = e(2k−1)π i , k ∈ Z . V mnoˇzinˇe C má i tato rovnice nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı wk = (2k − 1)π i , k ∈ Z , zat´ımco v mnoˇzinˇe C tato rovnice nemá ˇzádné ˇreˇsen´ı. √ 6.18. V mnoˇzinˇe C ˇreˇste rovnici a) ew = i − 1 b) ew = 1 − i 3 c) ew = −2 . ˇ sen´ı : a) Pro komplexn´ı ˇ Reˇ c´ıslo

i − 1 pouˇzijeme zápis v exponenciáln´ım tvaru e =√e e = 2e i . Tato rovnice je ekvivalentn´ı dvˇema rovnic´ım eu = 2 , v = 3π + 2kπ , k ∈ Z , takˇze rovnice má √4 nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı w = ln 2 + i (2k + 43 )π , k ∈ Z , V´ ysledky : b) w = ln 2 + i (2k + 13 )π , k ∈ Z , c) w = ln 2 + i (2k + 1)π , k ∈ Z . w

u

iv

√

3π 4

6.19. Napiˇste algebraické vyjádˇren´ı mnohoznaˇcné funkce w = Ln z . ˇ sen´ı : Pouˇ Reˇ zijeme vyjádˇren´ı v exponenciáln´ım tvaru ew = eu eiv =

= |z| earg z , odtud w = Ln z = ln |z| + i (arg z + 2kπ), k ∈ Z. Je moˇzné definovat mnohoznaˇcnou funkci Arg z = arg z + 2kπ, k ∈ Z a psát Ln z = ln |z| + i Arg z . 6.20. Pro libovolné a ∈ C lze definovat obecnou mocninu jako nekoneˇcnˇe mnohoznaˇcnou funkci z a = ea Ln z . Vyjádˇrete algebraick´ y tvar mnohoznaˇcné funkce f (z) = z − i . ˇ sen´ı : Dosazen´ım do obecn´ Reˇ eho zápisu dostanete

f (z) = z − i = e− i Ln z = e i [ ln |z|+ i ( arg z+2kπ) ] = = earg z+2kπ e− i lg |z| = e2kπ earg z (cos ln |z| − i sin ln |z|) , k ∈ Z .

70


6.21. V mnoˇzinˇe C vyjá√dˇrete, jak´ y v´ yznam maj´ı následuj´ıc´ı zápisy i 2 i a) (−1) b) (−1) c) 2 d) i i . ˇ sen´ı : a) (−1) i = e i Reˇ √ √

Ln (−1) = e i i (1+2k)π √ 2 Ln (−1) i 2(2k+1)π

= e−(2k+1)π ,

b) (−1) 2 = e =e , c) 2 i = e i Ln 2 = e i (lg 2+ i 2kπ) = e−2kπ e i lg 2 , π 1 d) i i = e i Ln i = e i i (2k+ 2 )π = e−(4k+1) 2 . 1 1 6.22. Vyjádˇrete inverzn´ı funkci k funkci f (z) = (z + ) , z 6= 0 jako 2 z mnohoznaˇcnou funkci. ˇ sen´ı : Hodnota inverzn´ı funkce w mus´ı splˇ Reˇ novat podm´ınku 1 1 (w + ) = z . Po u ´pravˇe dostaneme w2 − 2w + 1 = 0 , takˇze 2 w√ w = z + z2 − 1 . Symbol odmocniny je tˇreba chápat jako dvojznaˇcnou funkci.

6.23. V mnoˇzinˇe C ˇreˇste na základˇe algebraického tvaru rovnici a) sin w = 0 , b) cos w = 0 . ˇ sen´ı : a) Do rovnice dosad´ıme algebraick´ Reˇ y tvar funkce sin w =

= sin(u + i v) = sin u cosh v + i cos u sinh v = 0 ( podle pˇr. 4.45 ) a dostaneme soustavu rovnic pro dvˇe reálné neznámé u, v ∈ R Re sin w = sin u cosh v = 0 ,

Im cos u sinh v = 0 .

V prvn´ı rovnici mus´ı b´ yt sin u = 0 , protoˇze pro vˇsechna v ∈ R plat´ı cosh v ≥ 1 . Odtud vyjde u = kπ , k ∈ Z . Ve druhé rovnici cos kπ = (−1)k 6= 0 a mus´ı tedy b´ yt splnˇena rovnice sinh v = 0 . Odtud dostaneme jednoznaˇcnˇe v = 0 . ˇ sen´ı dané rovnice v mnoˇzinˇe C jsou ( stejnˇe jako v mnoˇzinˇe R ) Reˇ hodnoty wk = kπ , k ∈ Z . b) Z rovnosti cos w = cos(u + i v) = 0 dostaneme podle pˇr. 4.45 soustavu rovnic pro dvˇe reálné neznámé u, v ∈ R Re cos w = cos u cosh v = 0 ,

Im cos w = − sin u sinh v = 0 .

Z prvn´ı rovnice vyjde jednoznaˇcnˇe u = (2k−1) π2 , k ∈ Z ( cosh v ≥ 1 ). Z druhé rovnice opˇet jednoznaˇcnˇe v = 0 , takˇze ˇreˇsen´ı dané rovnice v mnoˇzinˇe C jsou (stejnˇe jako v mnoˇzinˇe R ) w = (2k − 1) π2 , k ∈ Z.


71

6.24. V mnoˇzinˇe C ˇreˇste na základˇe algebraického tvaru rovnici 3 a) cos w = i , b) cos w = 2 . 4 Vˇsimnˇete si, ˇze v mnoˇzinˇe C existuje ( nekoneˇcnˇe mnoho ) ˇreˇsen´ı tˇechto rovnic, která vˇsak samozˇrejmˇe nemohou b´ yt reálná. ˇ sen´ı : Reˇ

a) Po algebraickém vyjádˇren´ı funkce cos w dostaneme z rovnosti komplexn´ıch ˇc´ısel soustavu rovnic Re cos w = cos u cosh v = 0 ,

(pˇr. 4.45)

Im cos w = sin u sinh v = − 43 .

Z prvn´ı rovnice vyjde jednoznaˇcnˇe cos u = 0, protoˇze v mnoˇzinˇe R plat´ı vˇzdy cosh v ≥ 1 . Mnoˇzinu vˇsech ˇreˇsen´ı u je moˇzné vyjádˇrit jako π π sjednocen´ı u = (4k + 1) ∨ u = (4k − 1) , k ∈ Z . 2 2 3 3 Z druhé rovnice po dosazen´ı vyjde sinh v = nebo sinh v = − . 4 4 v −v e −e 3 Prvn´ı moˇznost vede k rovnici sinh v = = neboli po u ´pravˇe 2 4 v 2 v 2(e ) − 3e − 2 = 0 . 1 Tato rovnice má v mnoˇzinˇe R dvˇe ˇreˇsen´ı ev = 2 a ev = − , ale 2 druhé ˇreˇsen´ı nevede k reálnému ˇreˇsen´ı pro hodnotu v . Proto vyjde jednoznaˇcnˇe pouze v = ln 2 . ev − e−v 3 = − neboli ke 2 4 kvadratické rovnici 2(ev )2 + 3ev − 2 = 0 . K reálnému ˇreˇsen´ı vede pouze ev = 12 , takˇze v = ln 21 = − ln 2 . Druhá moˇznost vede k rovnici sinh v =

ˇ sen´ı rovnice cos w = 3 i jsou hodnoty Reˇ 4 w = (4k + 1)π + i ln 2, w = (4k − 1)π − i ln 2.

b) Dostaneme soustavu rovnic cos u cosh v = 2 , sin u sinh v = 0 Z druhé rovnice vyjde sin u = 0 ∨ sinh v = 0 . Moˇznost sinh v = 0 vede k jedinému ˇreˇsen´ı v = 0 . Protoˇze cosh 0 = 1 , vyjde po dosazen´ı do prvn´ı rovnice cos u = 2 a tato rovnice nemá ˇreˇsen´ı v mnoˇzinˇe R . Moˇznost sin u = 0 vede k ˇreˇsen´ı u = 2kπ , k ∈ Z a po dosazen´ı ˇ sen´ı v mnoˇzinˇe R existuje pouze pro sudé hod(−1)k cosh v = 2 . Reˇ √ noty k : v = ± ln(2 + 3) .

72

Funkce komplexn´ı promˇenné ˇ sen´ı p˚ Reˇ uvodn´ı rovnice jsou w = 2kπ ± i ln(2 +

√

3) , k ∈ Z .

6.25. V mnoˇzinˇe C ˇreˇste rovnici 3 cosh w + 5 = 0 . V mnoˇzinˇe R tato rovnice zˇrejmˇe nemá ˇreˇsen´ı, protoˇze hyperbolick´ y kosinus nem˚ uˇze b´ yt záporn´ y. ˇ sen´ı : Je tˇreba z´ıskat algebraick´ Reˇ y tvar funkce cosh w ( napˇr. na

základˇe rovnosti cosh w = cos i w a podle pˇr. 4.45 ). Dostaneme Im cosh w = sinh u sin v = 0 . Re cosh w = cosh u cos v = − 35 , Z prvn´ı rovnice dostaneme podm´ınku cos v > 0 , protoˇze cosh u ≥ 1 . Z druhé rovnice vyjde u = 0 ∨ v = kπ , k ∈ Z , ale u = 0 vede v prvn´ı rovnici k podm´ınce cos v = − 53 , která nemá v mnoˇzinˇe R ˇreˇsen´ı. Vzhledem k podm´ınce cos v > 0 z˚ ustává pouze moˇznost v = (2k − 1)π . Potom pro u mus´ı b´ yt splnˇena podm´ınka cosh u = 35 , neboli (eu )2 − 10u + 3 = 0 ⇒ u = ± ln 3 . ˇ sen´ı p˚ Reˇ uvodn´ı rovnice jsou w = ± ln 3 + (2k − 1)πi , k ∈ Z . 6.26. Vyjádˇrete inverzn´ı funkci k funkci f (z) = cos z . ˇ sen´ı : Inverzn´ı funkce je definov´ Reˇ ana rovnic´ı cos w = z . Z expo-

1 1 1 uˇzeme nenciáln´ıho vyjádˇren´ı z = (e i w + e− i w ) = (e i w + i w ) m˚ 2 2 e √ iw 2 vyj´ √ adˇrit e = z + z − 1 ( pˇr. 6. 21 ) a odtud i w = Ln (z + 2 z − 1) , √ takˇze w = − i Ln (z + z 2 − 1) . Symbol odmocniny je tˇreba chápat jako dvojznaˇcnou funkci.

7.Základy konformn´ıho zobrazen´ı

73

7. Z´ aklady konformn´ıho zobrazen´ı Existence nenulové derivace funkce komplexn´ı promˇenné má podstatn´ y vliv na geometrické vlastnosti zobrazen´ı, které je touto funkc´ı definováno. ∆w Jestliˇze funkce w = f (z) má v bodˇe z0 derivaci f 0 (z0 ) = lim 6= 0 , ∆z→0 ∆z zapiˇsme v exponenciáln´ım tvaru ∆z = ∆r e i ϕ , kde ∆r = |∆z| , ϕ = arg ∆z , ∆w = ∆ρ e i ψ , kde ∆ρ = |∆w| , ψ = arg ∆w , ∆w ∆ρ eiψ ∆ρ f 0 (z0 ) = lim = lim lim e i (ψ−ϕ) . = lim iϕ ∆z→0 ∆z ∆z→0 ∆r e ∆r→0 ∆r ∆z→0 Pro f 0 (z0 ) 6= 0 je jednoznaˇcnˇe definován argument arg f 0 (z0 ) a m˚ uˇzeme 0 0 i arg f 0 (z0 ) zapsat také f (z0 ) = |f (z0 )| e . Srovnán´ım obou zápis˚ u derivace dostaneme následuj´ıc´ı podm´ınky ∆ρ , ∆z→0 ∆r

|f 0 (z0 )| = lim

arg f 0 (z0 ) = lim ψ − lim ϕ . ∆z→0

∆z→0

Tyto hodnoty závis´ı pouze na hodnotˇe derivace v bodˇe z0 a pˇri v´ ypoˇctu limit mus´ı tedy vyj´ıt stejné v´ ysledky pro body na libovolné kˇrivce C procházej´ıc´ı bodem z0 . Odtud dostaneme tyto d˚ usledky : 1.

pomˇer vzdálenosti obraz˚ u w1 , w0 ke vzdálenosti p˚ uvodn´ıch bod˚ u z1 , z0 je v okol´ı bodu z0 pˇribliˇznˇe konstantn´ı,

2.

u ´hel teˇcen obraz˚ u dvou kˇrivek je stejn´ y jako u ´hel teˇcen vzor˚ u tˇechto kˇrivek.

Taková zobrazen´ı m˚ uˇzeme charakterizovat t´ım, ˇze dostateˇcnˇe malé obrazce se zobraz´ı jako podobné. Zobrazen´ı, které má tyto dvˇe vlastnosti, nazveme konformn´ı v bodˇ e 0 z0 . Holomorfn´ı funkce, pro kterou f (z0 ) 6= 0 , definuje v okol´ı bodu z0 konformn´ı zobrazen´ı. Jestliˇze pro vˇsechna z z oblasti D je f 0 (z) 6= 0 , potom prostá holomorfn´ı funkce f (z) definuje konformn´ı zobrazen´ı oblasti D na nˇejakou oblast D0 .

74


7.1. Dokaˇzte, ˇze lineárn´ı funkce f (z) = az + b , a 6= 0 definuje konformn´ı zobrazen´ı libovolné oblasti D ⊂ C . ˇ sen´ı : Zobrazen´ı je podobnost ( viz pˇr. 4.16 ) s koeficientem podobReˇ q q

nosti k =

a21 + a22 nebo shodnost ( pro

a21 + a22 = 1 ).

7.2. V zobrazen´ı definovaném lineárn´ı funkc´ı f (z) = az +b , a 6= 0 najdˇete vzor ortogonáln´ı s´ıtˇe u = c1 , v = c2 . ˇ sen´ı : Z algebraick´ Reˇ eho tvaru funkce

w = u + i v = (a1 + i a2 )(x + i y) + b1 + i b2 vyjdou snadno hledané rovnice a1 x − a2 y + b1 = c1 , a2 x + a1 y + b2 = c2 . Tyto pˇr´ımky tvoˇr´ı také ortogonáln´ı s´ıt’, protoˇze jde o konformn´ı zobrazen´ı. Ovˇeˇrte kolmost pˇr´ımek ! 7.3. V zobrazen´ı definovaném funkc´ı w = f (z) = z 2 najdˇete obraz ˇctverce s vrcholy i , 1 + i , 1 + 2 i , 2 i . N´ avod : Vyjdˇ ete z algebraického tvaru dané funkce.

7.4. V zobrazen´ı definovaném prostou funkc´ı w = f (z) = z 2 , Re z > 0 najdˇete vzor ortogonáln´ı s´ıtˇe u = c1 , v = c2 . N´ avod : Z algebraick´ eho tvaru dostanete snadno v horn´ı polorovinˇe

Gaussovy roviny ˇcásti hyperbol. Protoˇze jde o konformn´ı zobrazen´ı, teˇcny hyperbol v kaˇzdém spoleˇcném bodˇe sv´ıraj´ı prav´ yu ´hel. Ponˇekud podrobnˇeji si vˇsimneme zobrazen´ı, které je definované prostou 1 funkc´ı w = f (z) = . Pro libovolnou oblast, která neobsahuje poˇcátek, jde z 1 a o konformn´ı zobrazen´ı. Toto zobrazen´ı se dá sloˇzit ze zobrazen´ı w1 = z w = w1 , takˇze m˚ uˇzeme pouˇz´ıt ˇradu v´ ysledk˚ u z kap. 4. 1 Pˇr´ıklady 7.5 - 7.10 se t´ ykaj´ı tohoto zobrazen´ı w = f (z) = . z 7.5. Dokaˇzte, ˇze zobrazen´ım obrazu bodu ( mnoˇziny bod˚ u ) dostanete p˚ uvodn´ı bod ( mnoˇzinu bod˚ u ). Jin´ ymi slovy : inverzn´ı zobrazen´ı je totoˇzné s p˚ uvodn´ım.


75

7.6. Najdˇete obraz ortogonáln´ı s´ıtˇe x = c1 , y = c2 . N´ avod : Z algebraick´ em tvaru dostanete parametrické rovnice kruˇznic,

které procházej´ı poˇcátkem. 7.7. Najdˇete obraz soustavy rovnobˇeˇzn´ ych pˇr´ımek ( které nejsou rovnobˇeˇzné se souˇradn´ ymi osami ). Na základˇe v´ ysledk˚ u pˇr. 4.25 a 4.29 dostanete soustavu kruˇznic, které procházej´ı poˇcátkem a vˇsechny maj´ı stˇred na stejné pˇr´ımce. Obrazem pˇr´ımky, která procház´ı poˇcátkem je opˇet pˇr´ımka, která procház´ı poˇcátkem ( obr. 9 ).

N´ avod :

O b r . 9 .

7.8. Najdˇete obraz soustavy soustˇredn´ ych kruˇznic se stˇredem v bodˇe z0 a obraz svazku pˇr´ımek procházej´ıc´ıch t´ımto bodem. ˇ sen´ı : Obrazem svazku pˇr´ımek podle pˇr. 4.25 jsou kruˇ Reˇ znice, které

1 . ( Soustava kruˇznic, které maj´ı z0 spoleˇcné dva body, se naz´ yvá svazek kruˇ znic.) Obrazem soustavy soustˇredn´ ych kruˇznic ( s vyj´ımkou kruˇznice procházej´ıc´ı poˇcátkem ) je podle pˇr. 4.30 opˇet soustava kruˇznic, jejichˇz stˇredy leˇz´ı na jedné pˇr´ımce ( obr. 10 ). Kaˇzdá kruˇznice této soustavy prot´ıná pod prav´ ym u ´hlem kaˇzdou kruˇznici prvn´ıho svazku, protoˇze jde o konformn´ı zobrazen´ı. procházej´ı poˇcátkem a bodem

76


7.9. Dokaˇzte, ˇze body, které jsou sdruˇzené vzhledem k urˇcité kruˇznici, se zobraz´ı jako body, které jsou sdruˇzené vzhledem k obrazu této kruˇznice. ( Body z1 , z2 se naz´ yvaj´ı sdruˇ zen´ e vzhledem ke kruˇ znici se stˇredem v bodˇe z0 a s polomˇerem r , jestliˇze body z0 , z1 , z2 leˇz´ı na polopˇr´ımce s poˇcáteˇcn´ım bodem z0 a pro vzdálenosti bod˚ u plat´ı 2 |z1 − z0 | |z2 − z0 | = r .) ˇ sen´ı : D˚ Reˇ ukaz je zaloˇzen na tom, ˇze se utvoˇr´ı svazek kruˇznic, které

procházej´ı body z1 , z2 . Sledujte mocnost bodu z0 vzhledem k jedné kruˇznici K tohoto svazku. Tato mocnost je podle definice sdruˇzen´ ych 2 bod˚ u rovna r , a proto mus´ı bod dotyku teˇcny z bodu z0 ke kruˇznici K leˇzet na základn´ı kruˇznici. Takˇze teˇcna z bodu z0 ke kruˇznici K spl´ yvá s polomˇerem základn´ı kruˇznice. Kaˇzdá kruˇznice svazku tedy prot´ıná danou kruˇznici pod prav´ ym u ´hlem. Pˇri zobrazen´ı kruˇznice a bod˚ u se vˇsechny jejich vztahy zaloˇzené na kolmosti kruˇznic zachovaj´ı beze zmˇeny, protoˇze jde o konformn´ı zobrazen´ı.

O b r . 1 0 .

1 jsou sdruˇzené vzhledem k jednotkové 7.10. Dokaˇzte, ˇze body z a z kruˇznici se stˇredem v poˇcátku.


77

Poznámky : 1. Je vidˇet, ˇze poˇcátek a nevlastn´ı bod Gaussovy roviny m˚ uˇzeme chápat jako sdruˇzené body vzhledem k jednotkové kruˇznici. 2. Pojem sdruˇzen´ ych bod˚ u vzhledem ke kruˇznici m˚ uˇzeme rozˇs´ıˇrit také na sdruˇzené body vzhledem k pˇr´ımce. Pod t´ımto pojmem rozum´ıme soumˇernost vzhledem k pˇr´ımce.

V pˇr´ıkladech 7.11 - 7.28 se budeme zab´ yvat dalˇs´ı d˚ uleˇzitou funkc´ı ( lineárn´ı lomenou funkc´ı - viz pˇr. 4.23 ), kterou v tˇechto pˇr´ıkladech budeme zapisovat az + b ve tvaru w = f (z) = a budeme poˇzadovat, aby byly vˇzdy splnˇeny cz + d podm´ınky ad − bc 6= 0 a c 6= 0 .

7.11. Dokaˇzte, ˇze zobrazen´ı definované lineárn´ı lomenou funkc´ı je aˇz na 1 podobnost stejné jako zobrazen´ı definované funkc´ı w = f (z) = . z N´ avod : Zobrazen´ı se d´ a chápat jako sloˇzené zobrazen´ı ( viz pˇr. 4.23 ). Uvaˇzte geometrick´ y v´ yznam jednotliv´ ych zobrazen´ı. 7.12. Dokaˇzte, ˇze sloˇzen´ım dvou lineárn´ıch lomen´ ych funkc´ı vyjde opˇet lineárn´ı lomená funkce nebo v nˇekter´ ych pˇr´ıpadech lineárn´ı funkce. N´ avod : Tvar sloˇ zené funkce dostanete pomˇernˇe snadno dosazen´ım.

7.13. Dokaˇzte, ˇze inverzn´ı funkce k lineárn´ı lomené funkci je opˇet lineárn´ı lomená funkce. aw + b ˇ sen´ı : Inverzn´ı funkci najdeme, kdyˇ = z vyjádReˇ z z rovnice cw + d ˇr´ıme w . Po vynásoben´ı jmenovatelem zlomku dostaneme dz − b . a − cz Jestliˇze pro danou lineárn´ı lomenou funkci jsou splnˇeny podm´ınky uvedené pˇred pˇr. 7.11, je vidˇet, ˇze vyˇsla inverzn´ı funkce, která je opˇet linearn´ı lomená a splˇ nuje také obˇe uvedené podm´ınky. aw + b = cwz + dz ⇒

w(a − cz) = dz − b

⇒

w=

78


7.14. Pˇredpokládejme, ˇze je dána lineárn´ı lomená funkce. Pro libovolné ˇctyˇri navzájem r˚ uzné body zk (k = 1, 2, 3, 4), které jsou r˚ uzné od bodu d z0 = − ( podle dohodnutého zápisu lineárn´ı lomené funkce ), oznaˇcte c odpov´ıdaj´ıc´ı funkˇcn´ı hodnoty wk = f (zk ) (k = 1, 2, 3, 4). Dokaˇzte, ˇze w3 − w1 z4 − z1 z3 − z1 w4 − w1 : = : . plat´ı w4 − w2 w3 − w2 z4 − z2 z3 − z2 ˇ sen´ı : Pˇr´ım´ Reˇ ym v´ ypoˇctem vyjde

w4 − w1 =

az4 + b az1 + b (ad − bc)(z4 − z1 ) − = , cz4 + d cz1 + d (cz4 + d)(cz1 + d)

w4 − w2 =

az4 + b az2 + b (ad − bc)(z4 − z2 ) − = . cz4 + d cz2 + d (cz4 + d)(cz2 + d)

Odtud dostaneme pomˇer w4 − w1 (z4 − z1 )(cz2 + d) = . w4 − w2 (z4 − z2 )(cz1 + d) Podobn´ y v´ ysledek dostaneme i pro druh´ y pomˇer a potom snadno i poˇzadovan´ y v´ ysledek. 7.15. Dokaˇzte, ˇze existuje jediná lineárn´ı nebo lineárn´ı lomená funkce, která je urˇcena tˇremi dvojicemi bod˚ u a jejich obraz˚ u, pˇriˇcemˇz kaˇzdé dva body z trojice dan´ ych bod˚ u i z trojice obraz˚ u jsou navzájem r˚ uzné. N´ avod : Podle pˇredch´ azej´ıc´ıho pˇr´ıkladu mus´ı b´ yt pro libovolné dalˇs´ı

komplexn´ı ˇc´ıslo z a jeho obraz w splnˇena podm´ınka w3 − w1 z − z1 z3 − z1 w − w1 : = : . w − w2 w3 − w2 z − z2 z3 − z2 ´ Upravami této rovnosti zjist´ıte, ˇze pro navzájem r˚ uzné body a navzájem r˚ uzné obrazy mus´ı b´ yt po vytknut´ı koeficient u hodnoty w nenulov´ y v´ yraz tvaru cz + d . Takˇze po dˇelen´ı je definována jediná lineárn´ı lomená funkce nebo lineárn´ı funkce ( c = 0 ).


79

7.16. Najdˇete lineárn´ı nebo lineárn´ı lomenou funkci, pro kterou jsou dány 1 i funkˇcn´ı hodnoty f (0) = i , f (−1) = (1 − i ) , f (− i ) = 1 + . 2 2 ˇ Reˇ sen´ı : Pro libovoln´ e z ∈ C a jeho obraz w ( funkˇcn´ı hodnotu ) mus´ı platit 2(w − i ) 2− i z −2 i : = : , 2w − 1 + i 1 + 2i z+1 1− i 2(z − 1) z i = (1 + i ) , 2w − 1 + i z+1 2(w − i)(z + 1) = (2w − 1 + i)z(1 + i) , 2(wz i + w i + z + 1) = 2wz(1 + i ) − (1 − i)(1 + i )z , wz i + w i − zw − wz i = −z − z − 1 ⇒

w=

2z + 1 . z− i

7.17. Najdˇete lineárn´ı nebo lineárn´ı lomenou funkci, pro kterou jsou dány funkˇcn´ı hodnoty f (0) = 2 , f ( i ) = 1 , f (2 i ) = 0 . V´ ysledek : V tomto pˇr´ıpadˇ e vyjde lineárn´ı funkce w = i z + 2 .

7.18. Najdˇete lineárn´ı nebo lineárn´ı lomenou funkci, pro kterou jsou dány funkˇcn´ı hodnoty f (0) = 4 , f (1 + i ) = 2(1 + i ) , f (2 i ) = 0 . V´ ysledek : V tomto pˇr´ıpadˇ e vyjde lineárn´ı funkce w = 2 i z + 4 .

7.19. Najdˇete lineárn´ı nebo lineárn´ı lomenou funkci, pro kterou jsou dány funkˇcn´ı hodnoty f (0) = − i , f (1) = 1 , f ( i ) = 0 . V´ ysledek: V tomto pˇr´ıpadˇ e vyjde lineárn´ı lomená funkce w =

zi +1 . z+ i

7.20. Dokaˇzte, ˇze kaˇzdá lineárn´ı lomená funkce s podm´ınkami uveden´ ymi z − z1 pˇred pˇr. 7.1 se dá zapsat ve tvaru w = f (z) = k . z − z2 N´ avod : V tomto tvaru mus´ı b´ yt f (z1 ) = 0 , f (z2 ) = ∞ a k urˇcen´ı

konstanty k je nutné zadat dalˇs´ı podm´ınku (napˇr. bod a jeho obraz).

80


7.21. Najdˇete takovou lineárn´ı lomenou funkci, pro kterou f (0) = 0 , f (1 + i ) = ∞ , f (2 i ) = 2 i . N´ avod : Staˇ c´ı naj´ıt konstantu k dosazen´ım z = 2 i do rovnice

w=k

z z−1− i

⇒

2i = k

2i i −1

⇒

k = i −1 .

7.22. Najdˇete lineárn´ı lomenou funkci, která definuje zobrazen´ı (konformn´ı) vnitˇrn´ı oblasti jednotkové kruˇznice ( se stˇredem v poˇcátku ) s vnitˇrn´ım bodem z0 6= 0 na vnitˇrn´ı oblast jednotkové kruˇznice ( se stˇredem v poˇcátku ) s podm´ınkou, ˇze obraz bodu z0 se stane stˇredem kruˇznice ( w0 = f (z0 ) = 0 ). ˇ sen´ı : V zad´ Reˇ an´ı se poˇzaduje, aby f (z0 ) = 0 ; nevlastn´ı bod ∞ je po-

dle poznámky za pˇr. 7.10 sdruˇzen´ y s poˇcátkem vzhledem k jednotkové 1 , kter´ y kruˇznici se stˇredem v poˇcátku, takˇze mus´ı b´ yt obrazem bodu z0 je sdruˇzen´ y s bodem z0 ( pˇr. 7.10 ). Dalˇs´ı podm´ınku dostaneme z poˇzadavku, aby se body jednotkové kruˇznice zobrazily opˇet na jednotkovou kruˇznici ( napˇr. |w| = |f (1)| = 1 ). Na základˇe pˇredcházej´ıc´ıch v´ ysledk˚ u z − z0 z − z0 , w=k 1 = kz0 z0 z − 1 z − z0 1 − z0 = |k z0 | = 1 . |w| = |f (1)| = |k z0 |

z0 − 1 M´ısto k z0 tedy m˚ uˇzete napsat e i ϕ a obecn´ y tvar hledané funkce m˚ uˇzete zapsat ve tvaru z − z0 w = f (z) = eiϕ , ϕ ∈ (−π, π > . z0 z − 1 7.23. Najdˇete lineárn´ı lomenou funkci, která definuje zobrazen´ı (konformn´ı) horn´ı poloroviny s bodem z0 ( Im z0 > 0 ) na vnitˇrn´ı oblast jednotkové kruˇznice ( se stˇredem v poˇcátku ) s podm´ınkou, ˇze obraz bodu z0 bude stˇredem jednotkové kruˇznice ( w0 = f (z0 ) = 0 ). ˇ sen´ı : Poˇ Reˇ zaduje se, aby f (z0 ) = 0 ; nevlastn´ı bod ∞ je podle

poznámky za pˇr. 7.10 sdruˇzen´ y s poˇcátkem vzhledem k jednotkové kruˇznici se stˇredem v poˇcátku, takˇze mus´ı b´ yt obrazem bodu z0 , kter´ y je sdruˇzen´ y s bodem z0 vzhledem k reálné ose. Dalˇs´ı podm´ınku


81

dostaneme z poˇzadavku, aby se body na reálné ose zobrazily na jednotkovou kruˇznici (napˇr. |w| = |f (1)| = 1 ). Na základˇe pˇredcházej´ıc´ıch v´ ysledk˚ u 1 − z0 z − z0 = |k| = 1 . w=k ⇒ |w| = |f (1)| = |k| z − z0 1 − z0 M´ısto k tedy m˚ uˇzeme napsat e i ϕ a obecn´ y tvar hledané funkce m˚ uˇzeme zapsat ve tvaru z − z0 w = f (z) = eiϕ , ϕ ∈ (−π, π > . z − z0 7.24. Najdˇete lineárn´ı lomenou funkci, která definuje zobrazen´ı vnitˇrn´ı oblasti kruˇznice |z| = 1 na vnitˇrn´ı oblast kruˇznice |w| = 1 a splˇ nuje 1 0 1 podm´ınky f ( 2 ) = 0 a arg f ( 2 ) = α ( v daném bodˇe charakterizuje tato hodnota otoˇcen´ı obrazu ). ˇ sen´ı : Podle pˇr. 7.22 m´ Reˇ a hledaná funkce tvar

w = f (z) = e i ϕ

z − 12 . 1 z − 1 2

Dalˇs´ı podm´ınka se t´ yká derivace f 0 (z) = e i ϕ Pro z =

1 2

d 2z − 1 2(z − 2) − (2z − 1) −3 iϕ = eiϕ = e . dz z − 2 (z − 2)2 (z − 2)2

dostaneme

1 4 1 −3 4 f 0 ( ) = e i ϕ 9 = −e i ϕ = e i (ϕ+π) ⇒ arg f 0 ( ) = α = ϕ + π . 2 3 3 2 4 Hledaná lineárn´ı lomená funkce má tedy tvar 2z − 1 2z − 1 w = f (z) = e i (α−π) = −e i α . z−2 z−2 7.25. Najdˇete lineárn´ı lomenou funkci, která definuje zobrazen´ı horn´ı poloroviny Im z > 0 na vnitˇrn´ı oblast jednotkové kruˇznice |w| < 1 a splˇ nuje podm´ınky f ( i ) = 0 a arg f 0 ( i ) = α . V´ ysledek : Podle v´ ysledku pˇr. 7.23 postupujte podobn´ ym zp˚ usobem

jako v pˇr. 7.24 a dostanete w = f (z) = i e i α

z− i . z+ i

82


7.26. Najdˇete obraz poloroviny Re z < 1 pˇri zobrazen´ı, které je definováno z funkc´ı w = f (z) = . z−2 2 z = 1+ je moˇzno chápat jako V´ ysledek : Funkci w = z−2 z−2 1 sloˇzenou funkci w1 = z − 2 , w2 = , w3 = 2w2 , w = 1 + w3 . w1 Jednotlivá zobrazen´ı jsou znázornˇena na obr. 11. Obrazem dané poloroviny je vnitˇrn´ı oblast jednotkové kruˇznice |w| = 1 .

O b r . 1 1

7.27 Najdˇete obraz mezikruˇz´ı 1 < |z| < 2 pˇri zobrazen´ı, které je definováno 2 funkc´ı w = f (z) = . z−1 2 V´ ysledek : Funkci w = je moˇzno chápat jako sloˇzenou funkci z−1 1 w1 = z − 1, w2 = , w = 2w2 . Obrazem daného mezikruˇz´ı je w1


83

2 4 oblast, urˇcená podm´ınkami Re w > −1 , |w − | > ( obr. 12 ). 3 3

O b r . 1 2

7.28. Najdˇete obraz vnitˇrn´ı oblasti jednotkové kruˇznice |z| = 1 pˇri zo1−z brazen´ı w = f (z) = . 1+z V´ ysledek : Obrazem vnitˇrn´ı oblasti kruˇ znice |z| = 1 je polorovina

Re w > 0 .

7.29. Najdˇete obraz poloroviny Re z > 1 pˇri zobrazen´ı, které je definováno funkc´ı w = f (z) = z 2 . ˇ sen´ı : Obrazem pˇr´ımky Re z = 1 je kˇrivka v rovinˇ Reˇ e w definovaná

parametrick´ ymi rovnicemi u = 1 − y 2 , v = 2y , y ∈ (−∞, ∞) , tj.

84

Funkce komplexn´ı promˇenné v2 . Obrazem poloroviny Re z > 1 je ˇcást roviny 4 v2 w omezená podm´ınkou u > 1 − . 4 parabola u = 1 −

2i 7.30. Ovˇeˇrte, ˇze funkce w = f (z) = i ( − 1)2 definuje zobrazen´ı, které z ˇcást Gaussovy roviny nakreslené na obr. 13 zobraz´ı na polorovinu Im w > 0 .

O b r . 1 3

N´ avod : Danou funkci m˚ uˇzete rozloˇzit na sloˇzenou funkci

1 , w2 = 2 i w1 , w3 = w1 − 1 , w4 = w32 , w = i w4 . z Pro zadanou mnoˇzinu najdˇete postupnˇe jej´ı obrazy z´ıskané pomoc´ı jednotliv´ ych funkc´ı. w1 =

8.Integrál funkce komplexn´ı promˇenné

85

8. Integr´ al funkce komplexn´ı promˇ enn´ e Integrál funkce f : w = f (z) = u(x, y) + i v(x, y) ( definované v oblasti D ) po hladké orientované kˇrivce C ⊂ D se dá vyjádˇrit pomoc´ı kˇrivkov´ ych integrál˚ u 2. druhu Z

f (z) dz =

C

=

Z

(u(x, y) + i v(x, y))(dx + i dy) =

C

Z

u(x, y) dx − v(x, y) dy + i

C

Z

v(x, y) dx + u(x, y) dy.

C

Pˇri v´ ypoˇctu tˇechto integrál˚ u se pouˇz´ıvaj´ı pravidla a metody známé z teorie reáln´ ych funkc´ı dvou promˇenn´ ych. V ˇradˇe pˇr´ıpad˚ u nen´ı nutné provádˇet pˇr´ım´ y v´ ypoˇcet. Jestliˇze je funkce f (z) holomorfn´ı v oblasti D , ukazuje se ( v souvislosti s Cauchyov´ ymi Riemannov´ ymi podm´ınkami ), ˇze v´ yrazy v obou integrálech jsou totáln´ımi diferenciály. Jestliˇze D je jednoduˇ se souvisl´ a oblast, potom integrály z totáln´ıch diferenciál˚ u nezávis´ı na tvaru kˇrivky, ale pouze na poˇcáteˇcn´ım a koncovém bodˇe kˇrivky C ⊂ D . To znamená, ˇze v oblasti D m˚ uˇzeme sloˇzitou kˇrivku nahradit jednoduchou. Pro funkci f komplexn´ı promˇenné lze analogicky jako pro reálné funkce jedné reálné promˇenné definovat primitivn´ı funkci F jako funkci, pro kterou v oblasti D plat´ı d Fdz(z) = f (z) . V uvedeném pˇr´ıpadˇe, kdy oblast D je jednoduˇse souvislá, m˚ uˇzeme hodnotu integrálu vypoˇc´ıtat podle stejného vzorce, kter´ y pouˇz´ıváme pˇri v´ ypoˇctu urˇcit´ ych integrál˚ u v reálném oboru, a to pomoc´ı libovolné primitivn´ı funkce F : Z C

f (z) dz = F (z2 ) − F (z1 ) ,

kde z1 je poˇcáteˇcn´ı bod a z2 je koncov´ y bod kˇrivky C . Pro jednoduchou uzavˇrenou kˇrivku C je koncov´ y bod totoˇzn´ y s poˇcáteˇcn´ım bodem, a tedy integrál má hodnotu nula. To vyjadˇruje Cauchyova vˇ eta : Jestliˇze funkce f (z) je holomorfn´ı v jednoduˇse souvisl´ e oblasti D a I kˇrivka C ⊂ D je jednoduchá a uzavˇrená, potom

f (z) dz = 0 .

C

Jestliˇze je funkce f holomorfn´ı v jednoduˇse souvislé oblasti D a kˇrivka C ⊂ D je jednoduchá, uzavˇrená a kladnˇe orientovaná, potom pro vˇsechna

86


z0 ∈ int C ( vnitˇrn´ı oblast kˇrivky ) plat´ı Cauchy˚ uv integr´ aln´ı vzorec a jeho zobecnˇen´ı 1 I f (z) dz f (z0 ) = , 2π i C z − z0

f

(n)

n! I f (z) dz (z0 ) = . 2π i C (z − z0 )n+1

Tento zaj´ımav´ y v´ ysledek ukazuje, ˇze hodnoty holomorfn´ı funkce uvnitˇr jednoduché uzavˇrené kˇrivky jsou jednoznaˇcnˇe urˇcené hodnotami této funkce na hraniˇcn´ı kˇrivce. V pˇr´ıkladech 8.1 - 8.22 poˇc´ıtejte hodnoty integrál˚ u po dan´ ych orientovan´ ych kˇrivkách. Pro uzavˇrené kˇrivky se rozum´ı orientace kˇrivky vˇzdy v kladném smyslu; opaˇcná orientace by musela b´ yt v´ yslovnˇe uvedena. 8.1.

Z

´seˇcka, která má poˇcáteˇcn´ı bod |z|2 dz , kde C je orientovaná u z1 = 1 + i a koncov´ y bod z2 = −1 + 3 i . C

ˇ sen´ı : Reˇ

Funkce nen´ı holomorfn´ı, takˇze je tˇreba provést pˇr´ım´ y v´ ypoˇcet. K tomu je tˇreba vyuˇz´ıvat metody analytické geometrie v rovinˇe. Krajn´ı body dané u ´seˇcky maj´ı souˇradnice [1, 1], [−1, 3] a urˇcuj´ı smˇerov´ y vektor (−2, 2) . Parametrické rovnice orientované u ´seˇcky dané bodem a smˇerov´ ym vektorem maj´ı tvar x = 1 − 2t , y = 1 + 2t , t ∈< 0, 1 > . Odtud dx = −2 dt, dy = 2 dt a m˚ uˇzeme dosadit do integrálu Z

Z

Z

1

[(1 − 2t)2 + (1 + 2t)2 ]· Z 1 28 4 2 = ( i − 1) . ·(−2+2 i )dt = 2( i −1) (2+8t ) dt = 4( i −1) 1 + 3 3 0 |z|2 dz =

C

8.2.

C

(x2 + y 2 )(dx + i dy) =

0

Z

z dz , kde C je orientovaná u ´seˇcka s poˇcáteˇcn´ım bodem z1 = 1− i a s koncov´ ym bodem z2 = 2 + i . 3 V´ ysledek : Hodnota integr´ alu je (1 + 2 i ) . 2 C

8.3.

dz , kde C je orientovaná u ´seˇcka s poˇcáteˇcn´ım bodem z1 = i C 1 + |z|2 a s koncov´ ym bodem z2 = 1 + 2 i . Z


87

ˇ sen´ı : Integrovan´ Reˇ a funkce nen´ı holomorfn´ı, takˇze je tˇreba provést

pˇr´ım´ y v´ ypoˇcet. Pro vyjádˇren´ı u ´seˇcky s krajn´ımi body [0, 1], [1, 2] m˚ uˇzeme m´ısto parametrick´ ych rovnic pouˇz´ıt explicitn´ı rovnici y = x + 1 , x ∈< 0, 1 > a dosadit Z Z 1 Z 1 dz dx + i dx dx = = = (1 + i ) 2 2 2 2 C 1 + |z| 0 1 + x + (x + 1) 0 2(x + x + 1) √ " √ #1 ! 2x + 1 3 1+ i 3 1+ i 3 1 arctg √ arctg √ − arctg √ = = = 2 3 2 3 3 0 3 3 √ √ 1+ i 3 π π π(1 + i ) 3 = arctg − arctg = . 2 3 3 6 36 8.4.

Z

|z| dz , kde C je orientovaná u ´seˇcka s poˇcáteˇcn´ım bodem v poˇcátku a s koncov´ ym bodem z1 = 1 + 2 i . C

V´ ysledek : Po dosazen´ı explicitn´ı rovnice ´seˇcky y = 2x, √ orientované u

x ∈< 0, 1 > vyjde hodnota integrálu 8.5.

5 (1 + 2ı) . 2

1 |z|2 dz , kde C je orientovan´ y oblouk kˇrivky y = , kter´ y x C odpov´ıdá hodnotám nezávisle promˇenné x ∈< 1, 2 > . Z

ˇ sen´ı : Reˇ

Integrovaná funkce nen´ı holomorfn´ı, takˇze je tˇreba provést pˇr´ım´ y v´ ypoˇcet Z

2

|z| dz =

Z

C

=

8.7.

2

(x + y )(dx + i dy) =

Z

2

0

C

"

8.6.

2

x3 1 1 − − i x− 3 3 x 3x

# 2

= 0

(x2 +

1 dx )(dx − i 2 ) = 2 x x

17 31 −i . 6 24

Z

|z|2 dz , kde C je orientovan´ y oblouk paraboly y = x2 z poˇcátku C do bodu z0 = 1 + i . 8 5 V´ ysledek : Hodnota integr´ alu je + i . 15 6 Z

|z + 1 − i |2 dz , kde kˇrivka C je dána graficky na obr. 14 a.

C

ˇ sen´ı : Reˇ

Integrovaná funkce nen´ı holomorfn´ı, takˇze je tˇreba provést pˇr´ım´ y v´ ypoˇcet. Pro body na dané polokruˇznici ( r = 1 ) pouˇzijeme

88

Funkce komplexn´ı promˇenné π π známé parametrické rovnice x = cos t, y = sin t, t ∈< − , > a 2 2 dostaneme ( na dané polokruˇznici plat´ı x2 + y 2 = 1 ) Z

2

|z + 1 − i | dz =

C

=

Z

(x2 + y 2 + 2x − 2y + 2 )(dx + i dy) =

C

Z

π 2

− π2

(2 cos t−2 sin t+3)(− sin t) dt+ i π2

cos 2t sin 2t = +t− + 3 cos t 2 2

Z

π 2

− π2

(2 cos t−2 sin t+3) cos t dt = π2

sin 2t cos 2t +ı t + + + 3 sin t 2 2 − π2

− π2

=

= π + (6 + π) i .

O b r . 1 4 .

8.8.

1 dz , kde kˇrivka C je dána graficky na obr. 14 a. C z ˇ sen´ı : Reˇ Nejvhodnˇejˇs´ı vyjádˇren´ı bod˚ u na dané polokruˇznici je v

Z


89

tomto pˇr´ıpadˇe exponenciáln´ı tvar z = r e i t , z = r e− i t , dz = i re i t , kde r = 1 a t ∈< − π2 , π2 > . Takˇze Z π Z π it 1 dt i h 2 i t i π2 2 ie 2 dz = π − i t = i π e2 i t dt = e = eπ i − e−π i = 0. π − z 2 −2 e −2 2

Z C

|z|2 dz , kde kˇrivka C je dána graficky na obr. 14 b.

R

8.9.

C

ˇ sen´ı : Reˇ

Pˇr´ım´ y v´ ypoˇcet je tˇreba rozdˇelit na tˇri ˇcásti Z 1 Z π 1 2 2 it 2 2 e dt − i y 2 dy = ( i − 1). |z| dz = x dx + i 3 0 0 C 0

Z

Z

Z

8.10.

C

z dz , kde kˇrivka C je dána graficky na obr. 14 c. z

Z

8.11.

4 . 3

Hodnota integrálu je

V´ ysledek :

z dz , kde kˇrivka C je dána graficky na obr. 14 d.

C

ˇ sen´ı : Reˇ

Pˇr´ım´ y v´ ypoˇcet je tˇreba rozdˇelit na tˇri ˇcásti

Z

Z

z dz =

x dx + i

0

C

= I

8.12.

1

Z

π 4

e− i t e i t dt −

0

Z

√ 2 2

(x − i x)(1 + i ) dx =

0

π 1 πi 1 + i −2 = . 2 2 4 4

Re z dz , kde C je kladnˇe orientovaná kruˇznice |z| = r .

C

ˇ sen´ı : Reˇ

Je tˇreba provést pˇr´ım´ y v´ ypoˇcet, nejlépe z parametrick´ ych rovnic kruˇznice x = r cos t , y = r sin t, t ∈< 0, 2π > Z

Re z dz =

C

Z C

x(dx + i dy) = r2

Z

2π

(− cos t sin t + i cos2 t)dt = i πr2 .

0

Z

8.13. z 2 dz , kde C je oblouk paraboly y = 1 − x2 s poˇcáteˇcn´ım C bodem z1 = −1 a s koncov´ ym bodem z2 = 1 . ˇ sen´ı : Reˇ

Integrovaná funkce je holomorfn´ı v celé Gaussovˇe rovinˇe, takˇze m˚ uˇzeme tvar kˇrivky libovolnˇe zmˇenit ( napˇr. na u ´seˇcku y = 0 ).

90

Funkce komplexn´ı promˇenné 1

2 x2 dx = . 3 −1 C Je moˇzné také vyuˇz´ıt znalosti primitivn´ı funkce, která je stejnˇe jako 3 v reálném oboru F (z) = z3 . Z 1 2 1 Potom z 2 dz = F (1) − F (−1) = − (− ) = . 3 3 3 C V´ ypoˇcet je potom jednoduch´ y

Z

2

z dz =

Z

Z

8.14. z 2 dz , kde C je obvod obdéln´ıku s vrcholy z1 = 1 + i , z2 = 2 i , C z3 = −2 , z4 = −1 − i . ˇ sen´ı : Reˇ

Integrovaná funkce je holomorfn´ı v celé Gaussovˇe rovinˇe. Proto integrál po uzavˇrené kˇrivce je roven nule ( ovˇeˇrte v´ ypoˇctem ). Z

8.15. ez dz , kde C je orientovan´ y oblouk paraboly s poˇcáteˇcn´ım bodem C z1 = 1 + i a s koncov´ ym bodem z2 = 2 + 4i . ˇ sen´ı : Reˇ

Integrovaná funkce je holomorfn´ı v celé Gaussovˇ e. Ze rovinˇ z z M˚ uˇzeme vyuˇz´ıt znalosti primitivn´ı funkce ( F (z) = e ), takˇze e dz = C . = e2+4 i − e1+ i = e2 (cos 4 + i sin 4) − e(cos 1 + i sin 1) = −6, 2985 − − 7, 8794 i . Z

ez dz , kde C je orientovan´ y oblouk elipsy x2 + 4y 2 = 4 8.16. C s poˇcáteˇcn´ım bodem z1 = − i a s koncov´ ym bodem z2 = i . . V´ ysledek : Hodnota integr´ alu je 2 i sin 1 = 1, 682942 i . dz , kde C je kruˇznice |z| = 1 ( kladnˇe orientovaná ). C z ˇ sen´ı: Funkce nen´ı holomorfn´ı v bodˇ Reˇ e z0 = 0 ∈ intC , takˇze nejsou splnˇeny podm´ınky Cauchyovy vˇety. Z exponenciáln´ıho vyjádˇren´ı Z dz Z π i r e i t dt it it dostaneme z = r e , dz = i r e a = = 2π i . r eit C z −π

8.17.

Z

Poznámka : K funkci f : w = z1 existuje primitivn´ı funkce ( Ln z ), ale vzhledem k jej´ı mnohoznaˇcnosti by bylo tˇreba chápat C jako kˇrivku na pˇr´ısluˇsné Riemannovˇe ploˇse. Ukazuje se, ˇze takto chápaná kˇrivka nen´ı uzavˇrená. Tˇemito problémy se dále nebudeme zab´ yvat. dz , kde C je lomená ˇcára z1 = 1 ( poˇcáteˇcn´ı bod ), z2 = i , C z z3 = −2 , z4 = −2 i , z5 = 2 + 2 i ( koncov´ y bod ).

8.18.

Z


91

N´ avod : Podle modifikace Cauchyovy vˇ ety m˚ uˇzete kˇrivku C nahradit

napˇr. kruˇznic´ı |z| = 1 a u ´seˇckou z bodu 1 do bodu 2 + 2 i . π 3 ln 2 + i + 2π i . V´ ysledek : Hodnota integr´ alu je 2 4 dz 1 , kde C je kruˇznice |z| = . 2 C z − i V´ ysledek : V tomto pˇr´ıpadˇ e jsou splnˇeny podm´ınky Cauchyovy vˇety, takˇze hodnota integrálu je rovna nule. I

8.19.

I

8.20.

C

dz 1 , kde C je kruˇznice |z − i | = . z− i 2

ˇ sen´ı : Protoˇ Reˇ ze integrovaná funkce nen´ı holomorfn´ı v bodˇe z0 = i ,

kter´ y leˇz´ı ve vnitˇrn´ı oblasti kˇrivky C , provedeme pˇr´ım´ y v´ ypoˇcet. Nejvhodnˇejˇs´ı je komplexn´ı ˇc´ıslo z − i vyjádˇrit v exponenciáln´ım tvaru z − i = |z − i | e i t , t ∈< −π, π > . Po dosazen´ı |z − i | = 12 a dz = i 12 e i t dt vyjde I C

Z π Z π dz i e i t dt dt = 2π i . = = i z− i eit −π −π

Dan´ y integrál m˚ uˇzeme chápat také jako zvláˇstn´ı pˇr´ıpad Cauchyova integráln´ıho vzorce pro funkci f (z) = 1 ( viz pˇr. 8.23 a dalˇs´ı ). I

8.21.

C

dz , kde C je kruˇznice |z + 1 + i | = 1 . (z + 1 + i )3

ˇ sen´ı : Reˇ I C

8.22.

V exponenciáln´ım tvaru dostaneme

" #π Z π Z π dz i e i t dt i e−2 i t −2 i t = = i e dt = =0. (z + 1 + i )3 e3 i t −2 i −π −π −π

I C

(z − z0 )n dz , n ∈ Z , kde C je kruˇznice |z − z0 | = r , r ∈ R+ .

ˇ sen´ı : Reˇ

Jde o zobecnˇen´ı pˇredcházej´ıc´ıch pˇr´ıklad˚ u ( vˇsimnˇeme si, ˇze v´ ysledek nezáleˇz´ı na velikosti polomˇeru ). Pro n ≥ 0 je integrovaná funkce holomorfn´ı v celé Gaussovˇe rovinˇe a

92

Funkce komplexn´ı promˇenné podle Cauchyovy vˇety je integrál po uzavˇrené kˇrivce roven nule. Pro n < −1 se postupuje podobnˇe jako v pˇr. 8.21 Z

Z

n

C

(z − z0 ) dz = i

π

e(n+1) i t dt = n+1 "

(n+1) i t

e

−π

#π

=0. −π

Pro n = −1 se postupuje podobnˇe jako v pˇr. 8.20 Z C

(z − z0 )−1 dz =

Z

π

−π

r−1 e− i t i r e i t dt = i [t]π−π = 2π i .

Je tˇreba zd˚ uraznit, ˇze mezi vˇsemi integrály tohoto daného typu vycház´ı nenulová hodnota pouze pro n = −1 . −− −− −− −− −−

V pˇr´ıkladech 8.23 - 8.42 vyuˇzijte k v´ ypoˇctu integrál˚ u Cauchy˚ uv integráln´ı vzorec nebo jeho zobecnˇen´ı. Pˇritom je podstatné vˇzdy ovˇeˇrit podm´ınky platnosti tˇechto vzorc˚ u. Kˇrivky jsou zadávány jako kruˇznice; jiné uzavˇrené kˇrivky by bylo moˇzné podle modifikace Cauchyovy vˇety nahradit vhodn´ ymi kruˇznicemi. Vˇsechny dané kruˇznice jsou chápány jako kladnˇe orientované. ez dz , kde kˇrivka C je dána rovnic´ı |z − 1| = 1 . C z −1 ˇ sen´ı : Reˇ V Cauchyovˇe integráln´ım vzorci zvol´ıme f (z) = ez a z0 = 1 . Funkce f (z) = ez je holomorfn´ı v celé Gaussovˇe rovinˇe a z0 = 1 leˇz´ı ve vnitˇrn´ı oblasti dané kˇrivky C . Z Cauchyova integráln´ıho vzorce dostaneme

8.23.

I

1 I ez dz f (1) = 2πi C z − 1

⇒

I C

ez dz = 2πi e . z−1

z 2 + 2z + 2 dz , kde kˇrivka C je dána rovnic´ı |z| = 3 . z+2 C V´ ysledek : Hodnota integr´ alu je 4π i .

8.24.

I

8.Integrál funkce komplexn´ı promˇenné 8.25.

I C

93

cos z dz , kde kˇrivka C je dána rovnic´ı |z + 1 + i | = 2 . z− i

ˇ sen´ı : Reˇ

V Cauchyovˇe integráln´ım vzorci zvol´ıme f (z) = cos z a z0 = i . Funkce f (z) = cos z je holomorfn´ı v celé Gaussovˇe rovinˇe, ale je tˇreba zjistit, zda bod z0 = i leˇz´ı ve vnitˇrn´ı oblasti kˇrivky C . √ V tomto pˇr´ıpadˇe neleˇz´ı, protoˇze |z0 + 1 + i | = | i + 1 + i | = 5 > 2 . Hodnota integrálu je proto rovna nule. cos z dz , kde kˇrivka C je dána rovnic´ı |z| = 2 . C z − i . V´ ysledek : Hodnota integr´ alu je 2πi cos i = 2π i cosh 1 = 9, 695 i .

8.26.

I

dz , kde kˇrivka C je dána rovnic´ı |z| = 1 . C z cos z ˇ sen´ı : Zvol´ıme funkci f (z) = 1 a z0 = 0 . Funkce f (z) nen´ı Reˇ cos z π holomorfn´ı pouze pro zk = (2k + 1) , k ∈ Z . Protoˇze pro vˇsechna 2 k ∈ Z je |zk | > 1 , splˇ nuje funkce f (z) podm´ınky Cauchyova 1 integráln´ıho vzorce. Hodnota integrálu je 2π i = 2π i . cos 0

8.27.

8.28.

I

I

dz , kde kˇrivka C je dána rovnic´ı |z − 1 + i | = 2 . +1

C z2

ˇ sen´ı : Reˇ

Nejprve rozloˇz´ıme jmenovatel integrované funkce na souˇcin. Aby bylo moˇzné pouˇz´ıt Cauchy˚ uv integráln´ı vzorec, je tˇreba volit bod z0 tak, aby leˇzel ve vnitˇrn´ı oblasti kˇrivky C a podle toho zvolit vhodnˇe 1 , takˇze funkci f (z) . V tomto pˇr´ıpadˇe z0 = − i a f (z) = z− i I C

8.29.

I I dz dz dz 1 z− i = = = 2π i = −π . 2 z +1 −i − i C (z − i )(z + i ) C z+i

I C (z 2

dz , kde kˇrivka C je dána rovnic´ı |z − 1 − 2 i | = 2 . + 1)(z + 1)2

94

Funkce komplexn´ı promˇenné ˇ sen´ı : Reˇ I C

I dz = (z 2 + 1)(z + 1)2 C I

8.30.

Je tˇreba volit z0 = i a provést u ´pravy

C

dz (z+ i )(z+1)2

z−i

= 2πi

1 π π =− i . = 2 ( i + i )( i + 1) 2i 2

z dz , kde kˇrivka C je dána rovnic´ı |z + 2 i | = 2 . z 2 − 2z + 2

V´ ysledek :

Hodnota integrálu je 2π( i − 1) .

sin 2z dz , kde kˇrivka C je dána rovnic´ı |z| = 1 . z2 C ˇ sen´ı : Funkce f (z) = sin 2z je holomorfn´ı v cel´ Reˇ e Gaussovˇe rovinˇe a bod z0 = 0 leˇz´ı uvnitˇr dané kruˇznice. Podle zobecnˇen´ı Cauchyova integráln´ıho vzorce ( n=1 ) vyjde I

8.31.

sin 2z dz = 2π i f 0 (0) = 2π i 2 cos 0 = 4π i . z2

I C

3.32.

I C

ez dz , kde kˇrivka C je dána rovnic´ı |z + 2| = 2 . (z 2 + 1)(z + 1)2

ˇ sen´ı : Reˇ

Zvol´ıme bod z0 = −1 , kter´ y leˇz´ı uvnitˇr dané kruˇznice.

Funkce ez , f (z) = 2 z +1

ez (z 2 + 1) − 2z ez f (z) = (z 2 + 1)2

!

0

má pouze dva singulárn´ı body z1 = i , z2 = − i , které neleˇz´ı uvnitˇr dané kruˇznice. Jsou tedy splnˇeny podm´ınky pro uˇzit´ı zobecnˇeného Cauchyova integráln´ıho vzorce z

I C

I e 2π i ez dz z 2 +1 = dz = 2π i f 0 (−1) = . 2 2 2 (z + 1)(z + 1) e C (z + 1)

z cos z dz , kde kˇrivka C je dána rovnic´ı |z| = 2 . C (z − 1)2 . V´ ysledek : Hodnota integr´ alu je 2π(cos 1 − sin 1) i = −1, 8923 i .

8.33.

I


95

ez dz , kde kˇrivka C je dána rovnic´ı |z + i | = 2 . C (z 2 + 2z + 2)2 ˇ sen´ı : Jmenovatel m´ Reˇ a koˇreny z1 = −1 + i , z2 = −1 − i . Zvol´ıme z0 = z2 ( leˇz´ı uvnitˇr dané kruˇznice ) a funkci

8.34.

I

ez f (z) = , (z − z1 )2

ez (z − z1 − 2) f (z) = (z − z1 )3 0

!

.

Podle zobecnˇeného Cauchyova integráln´ıho vzorce I C

ez dz ez2 (z2 − z1 − 2) 0 = 2π i f (z2 ) = 2π i = (z 2 + 2z + 2)2 (z2 − z1 )3

π . [(cos 1 + cos 1) + i (cos 1 − sin 1)] = −0, 7985 + 0, 174 i . 2e I sin z 8.35. dz , kde kˇrivka C je dána rovnic´ı |z − i | = 2 . C z4 ˇ sen´ı: Pro holomorfn´ı funkci f (z) = sin z a z0 = 0 uvnitˇr dan´ Reˇ e kˇrivky je moˇzné pouˇz´ıt zobecnˇen´ı Cauchyova integráln´ıho vzorce a vyjde =−

I

8.36.

sin z 2π i 000 −π i dz = f (0) = . z4 3! 3

I C ez

z dz , kde kˇrivka C je dána rovnic´ı |z + i | = 2 . (z + 1)3

V´ ysledek :

Hodnota integrálu je π i (ze−z )00z=−1 = 2πe−1 i .

ez dz , kde kˇrivka C je dána rovnic´ı |z − 2 + i | = 2 . C z(1 − z)3 ˇ sen´ı: Bod z0 = 1 leˇ Reˇ z´ı ve vnitˇrn´ı oblasti dané kˇrivky a funkce f (z) = ez nen´ı holomorfn´ı pouze pro z = 0 . Jsou tedy splnˇeny podm´ınky =− z pro pouˇzit´ı zobecnˇeného Cauchyova integráln´ıho vzorce ( n = 2 )

8.37.

I

I C

8.38.

I C

ez dz 2π i 00 = f (1) = −πe i . 3 z(1 − z) 2! z+1 dz , kde kˇrivka C je dána rovnic´ı |z + 1 + i | = 1 . (z + 2)3

ˇ sen´ı : Jedin´ Reˇ y singulárn´ı bod integrované funkce leˇz´ı ve vnˇejˇs´ı oblasti

kˇrivky C , takˇze plat´ı Cauchyova vˇeta a integrál je roven nule.

96


8.39.

z+1 dz , kde kˇrivka C je dána rovnic´ı |z + 1 + i | = 2 . (z + 2)3

I c

ˇ sen´ı : Bod z0 = −2 leˇ Reˇ z´ı uvnitˇr kˇrivky C a funkce f (z) = z + 1

je holomorfn´ı v celé Gaussovˇe rovinˇe. Ale f 00 (z) = 0 , takˇze hodnota integrálu je rovna nula. 8.40.

cos z dz , kde kˇrivka C je dána rovnic´ı |z − i | = 1 . (z − i )3

I C

V´ ysledek :

8.41.

Hodnota integrálu je − i π cosh 1 .

z 2 + 2z − 1 dz , kde kˇrivka C je dána rovnic´ı |z + 1| = 2 . (z + 2)4

I C

V´ ysledek :

Hodnota integrálu je rovna nule.

dz pro n ∈ N a |a| < |b| , kde kˇrivka C je dána C (z − a)n (z − b) rovnic´ı |z| = r , |a| < r < |b| .

8.42.

I

ˇ sen´ı : Reˇ

Za dan´ ych podm´ınek m˚ uˇzeme pouˇz´ıt pro funkci f (z) = 1 = zobecnˇen´ı Cauchyova integráln´ıho vzorce pro n − 1 z−b f (n−1) (z) = (−1)n−1 (n − 1)!(z − b)−n , I C

(−1)n−1 2π i 2π i dz = =− . n n (z − a) (z − b) (a − b) (b − a)n − − − − − − − − −−

8.43. Pro a ∈ C , R ∈ R a funkci f (z) , která je holomorfn´ı v oblasti |z − a| < R , dokaˇzte pro r < R vˇetu o stˇredn´ı hodnotˇe ve tvaru 1 Z 2π f (a + r e i t ) dt = f (a) . 2π 0 f (a + z) dz , kde kˇrivka C je kruˇznice iz C f (a + z) |z| = r , r < R . Funkce je holomorfn´ı v oblasti |z| < R i ˇ sen´ı : Poˇ Reˇ c´ıtejme integrál

I


97

a pro bod z0 = 0 a pro tuto kruˇznici m˚ uˇzeme pouˇz´ıt Cauchy˚ uv it it integráln´ı vzorec. Potom z rovnice kruˇznice z = r e , dz = i r e dt dosad´ıme do integrálu Z 2π f (a + re i t ) i re i t dt Z 2π f (a) I f (a + z) = dz = f (a+re i t )dt. = i t i i z ıre 0 C 0 Z této rovnosti je jiˇz snadno vidˇet poˇzadovan´ y v´ ysledek.

2π i

8.44. Pro a1 +a2 i ∈ C , R ∈ R a pro funkci u(x, y) , která je harmonická v oblasti (x − a1 )2 + (y − a2 )2 < R2 , dokaˇzte, ˇze pro libovolné r < R plat´ı 1 Z 2π u(a1 + r cos t, a2 + r sin t) dt = u(a1 , a2 ) . 2π 0 ˇ sen´ı : K harmonick´ Reˇ e funkci u(x, y) lze v dané oblasti naj´ıt sdruˇzené

harmonické funkce v(x, y) + c a utvoˇrit holomorfn´ı funkce f (z) = = u(x, y) + i v(x, y) + i c , c ∈ R . Pro libovolnou z tˇechto funkc´ı pouˇzijeme v´ ysledek pˇredcházej´ıc´ıho pˇr´ıkladu, kde a1 + i a2 = a ∈ C a parametrické vyjádˇren´ı kruˇznice vezmeme ve tvaru x = a1 + r cos t, y = a2 + r sin t , t ∈< 0, 2π > . Z rovnosti pro komplexn´ı v´ yrazy plyne také rovnost pro reálné ˇcásti, a to je právˇe poˇzadovaná rovnost.

8.45. Dokaˇzte, ˇze absolutn´ı hodnota nekonstantn´ı funkce komplexn´ı promˇenné ( f (z) ), která je holomorfn´ı v oblasti D , nem˚ uˇze nab´ yvat maximáln´ı hodnoty v ˇzádném vnitˇrn´ım bodˇe oblasti D . ˇ sen´ı : Reˇ

Pro kaˇzd´ y vnitˇrn´ı bod a ∈ D mus´ı existovat kruhové okol´ı s polomˇerem R < 1 , v nˇemˇz je funkce f (z) holomorfn´ı. Podle pˇr. 8.43 plat´ı 1 Z 2π f (a + r e i t ) dt , r < R < 1 . f (z) = 2π 0

98

Funkce komplexn´ı promˇenné Pouˇzijeme obecn´ y v´ ysledek z integráln´ıho poˇctu : Absolutn´ı hodnota integrálu z komplexn´ı funkce po kˇrivce je menˇs´ı nebo rovna souˇcinu délky kˇrivky a maxima z absolutn´ı hodnoty integrované funkce. Takˇze pro absolutn´ı hodnotu funkce dostaneme 1 |f (z)| = 2π

Z

0

2π

1 Z f (a + r e ) dt ≤ it

2π

2π

|f (a + r e i t )|dt ≤

0

2πr M =rM <M , 2π kde M je maximáln´ı hodnota funkce |f (z)| na kruˇznici |z − a| = r . Ke kaˇzdé hodnotˇe |f (a)| lze tedy naj´ıt v oblasti D vˇetˇs´ı hodnotu. ≤

8.46. Dokaˇzte, ˇze nekonstantn´ı funkce u(x, y) , která je harmonická v oblasti D , nem˚ uˇze nab´ yvat extrémn´ı hodnoty v ˇza´dném vnitˇrn´ım bodˇe této oblasti D . N´ avod : Tvrzen´ı je zaloˇ zeno na v´ ysledku pˇr. 8.44 a dokáˇze se podobnˇe

jako v pˇredcházej´ıc´ım pˇr´ıkladu.

9.Laurentovy ˇrady

99

9. Laurentovy ˇ rady Nekoneˇcná ˇrada, která je obecnˇe tvoˇrena mocninami dvojˇclenu (z − z0 ) nejen s kladn´ ymi, ale i se záporn´ ymi exponenty, se naz´ yvá Laurentova ˇ rada se stˇ redem v bodˇ e z0 (ˇcti Loránova). Obecn´ y zápis této ˇrady má tvar +∞ X

ˇ ıkáme, ˇze Laurentova ˇrada konverguje v bodˇe z1 , jestliˇze ak (z −z0 )k . R´

k=−∞

∞ X

∞ X

a−n . Prvn´ı z tˇechto n n=0 n=1 (z1 − z0 ) ˇrad se naz´ yvá regul´ arn´ı ˇ c´ ast Laurentovy ˇ rady a druhá se naz´ yvá hlavn´ı ˇ c´ ast Laurentovy ˇ rady. Dá se dokázat, ˇze pro libovolnou funkci f , která je holomorfn´ı v mezikruhové oblasti D = {z ∈ C : r1 < |z − z0 | < r2 }, existuje jediná Laurentova ˇrada, která pro vˇsechna z ∈ D konverguje k funkˇcn´ı hodnotˇe f (z) . Lze také odvodit vzorce pro v´ ypoˇcet koeficient˚ u ak pomoc´ı integrál˚ u funkce f . Toto vyjádˇren´ı funkˇcn´ı hodnoty f (z) má tvar +∞ X f (ζ) dζ 1 I k . ak (z − z0 ) , kde ak = f (z) = 2π i C (ζ − z0 )k+1 k=−∞ Kˇrivka C je libovolná kruˇznice |z − z0 | = r , kde r1 < r < r2 a kruˇznice tedy leˇz´ı v dané mezikruhové oblasti. Uveden´ y v´ ysledek plat´ı i pro zvláˇstn´ı pˇr´ıpady, kdy r1 = 0 nebo r2 = ∞ . Je zˇrejmé, ˇze pro funkci f , která je holomorfn´ı ve vnitˇrn´ı oblasti kruˇznice |z − z0 | < r , r ∈ R+ , vyjde pro záporná k = −n , n ∈ N 1 I 1 I f (ζ) dζ = f (ζ)(ζ − z0 )n−1 dζ = 0 , a−n = 2π i C (ζ − z0 )−n+1 2π i protoˇze integrovaná funkce je v dané oblasti holomorfn´ı. Pro nezáporné indexy plat´ı v tomto pˇr´ıpadˇe podle zobecnˇen´ı Cauchyova integráln´ıho vzorce 1 I f (ζ) dζ f (k) ak = = . 2π i C (ζ − z0 )k+1 k! Tento v´ ysledek je totoˇzn´ y se vzorcem pro v´ ypoˇcet koeficient˚ u Taylorovy ˇrady, takˇze Laurentova ˇrada pro funkci, která je holomorfn´ı pro vˇsechny body vnitˇrn´ı oblasti kruˇznice, je totoˇzná s Taylorovou ˇradou. Taylorova ˇrada je tedy zvláˇstn´ım pˇr´ıpadem Laurentovy ˇrady, která má nulovou hlavn´ı ˇcást. konverguj´ı souˇcasnˇe ˇrady

n

an (z1 − z0 )

a

V pˇr´ıkladech 9.1 - 9.17 najdˇete vˇsechny moˇzné Laurentovy ˇrady dan´ ych funkc´ı f s dan´ ym stˇredem z0 . Daná funkce m˚ uˇze b´ yt zˇrejmˇe holomorfn´ı ve v´ıce

100


mezikruhov´ ych oblastech s dan´ ym stˇredem a mohou tedy vzniknout r˚ uzné Laurentovy ˇrady. K v´ ypoˇctu koeficient˚ u pouˇz´ıvejte vzorec pro souˇcet geomet∞ X a n pˇri respektován´ı podm´ınky konvergence |q| < 1 . rické ˇrady aq = 1−q n=0 9.1. f (z) =

1 , z0 = −1 . (z + 1)(z + 2)

1 1 − . z+1 z+2 Singulárn´ı body z1 = −1 a z2 = −2 dané funkce vymezuj´ı dvˇe r˚ uzné mezikruhové oblasti se stˇredem v bodˇe z0 = z1 . ˇ sen´ı : Funkci rozloˇ Reˇ z´ıme na parciáln´ı zlomky f (z) =

Pro 0 < |z + 1| < 1 m˚ uˇzeme zapsat f (z) =

1 1 1 1 − = − = z+1 1+z+1 z + 1 1 − [−(z + 1)]

=

∞ ∞ X X 1 (−1)n (z + 1)n = (−1)k+1 (z + 1)k , − z + 1 n=0 k=−1

kde prvn´ı zlomek je ˇclenem hledané Laurentovy ˇrady ( nebot’ je to mocnina z + 1 ) a druh´ y zlomek pˇredstavuje holomorfn´ı funkci ve vnitˇrn´ı oblasti kruˇznice |z + 1| = 1 , takˇze se dá v dané oblasti vyjádˇrit jednoznaˇcnˇe jako Taylorova ˇrada. Koeficienty této ˇrady nebyly z´ıskány integrován´ım podle vzorce, ale pomoc´ı konvergentn´ı geometrické ˇrady ( q = −(z + 1) ). Pro |z + 1| > 1 také vyuˇzijeme souˇcet konvergentn´ı geometrické ˇrady. K tomu je tˇreba upravit druh´ y zlomek tak, aby kvocient obsahoval v´ yraz z + 1 ve jmenovateli a aby v dané vnˇejˇs´ı oblasti kruˇznice byla 1 <1) splnˇena podm´ınka konvergence ( |z + 1| > 1 ⇔ |z+1| 1 1 1 1 z+1 z+1 = = 1 = −1 = z+2 z+1+1 1 + z+1 1 − z+1

1 = z+1

"

1 1 1− − ... + z + 1 (z + 1)2

#

=

−∞ X

(−1)k+1 (z + 1)k .

k=−1

Pro danou funkci f (z) a danou podm´ınku |z + 1| > 1 plat´ı f (z) =

∞ X 1 1 1 1 (−1)n − + − + ... = . n z + 1 z + 1 (z + 1)2 (z + 1)3 n=2 (z + 1)

9.Laurentovy ˇrady

9.2. f (z) =

101

1 , z0 = −2 . (z + 1)(z + 2)

1 1 − . z+1 z+2 Singulárn´ı body dané funkce vymezuj´ı dvˇe r˚ uzné mezikruhové oblasti se stˇredem v bodˇe z0 = −2 . Pro 0 < |z + 2| < 1 m˚ uˇzeme zapsat ˇ sen´ı : Funkci rozloˇ Reˇ z´ıme na parciáln´ı zlomky f (z) =

f (z) = −

1 1 1 1 − =− − = −z − 1 z + 2 1 − (z + 2) z + 2 ∞ X

=−

n=0

(z + 2)n −

∞ X 1 =− (z + 2)k , z+2 k=−1

kde druh´ y zlomek je ˇclenem hledané Laurentovy ˇrady,nebot’ je to mocnina z + 2 . Prvn´ı zlomek je holomorfn´ı funkce v oblasti |z + 2| < 1 , takˇze se dá v této oblasti vyjádˇrit jednoznaˇcnˇe ve tvaru Taylorovy ˇrady. Koeficienty této ˇrady z´ıskáme pomoc´ı konvergentn´ı geometrické ˇrady ( q = z + 2 ). Pro |z + 2| > 1 vyuˇzijeme také souˇcet konvergentn´ı geometrické ˇrady. K tomu je tˇreba upravit druh´ y zlomek tak, aby kvocient obsahoval v´ yraz z + 2 ve jmenovateli a aby v dané vnˇejˇs´ı oblasti kruˇznice byla 1 <1 ): splnˇena podm´ınka konvergence ( |z + 2| > 1 ⇔ |z+2| 1 1 1 = = z+2 1 = z+1 z+2−1 1 − z+2

"

1 1 1 1 1+ + + + ... = 2 z+2 z + 2 (z + 2) (z + 2)3 =

#

=

1 1 1 + + + ... 2 z + 2 (z + 2) (z + 2)3

Pro danou funkci f v dané oblasti |z + 2| > 1 plat´ı f (z) =

9.3. f (z) =

∞ X 1 1 1 1 1 + + + ... − = . z + 2 (z + 2)2 (z + 2)3 z + 2 n=2 (z + 2)n

1 , z0 = 1 . (z + 1)(z + 2)

102

Funkce komplexn´ı promˇenné ˇ sen´ı : Reˇ

Danou funkci rozloˇz´ıme opˇet na parciáln´ı zlomky. V tomto pˇr´ıpadˇe singulárn´ı body dané funkce vymezuj´ı tˇri mezikruhové oblasti, ve kter´ ych má daná funkce navzájem r˚ uzná vyjádˇren´ı ve tvaru Laurentovy ˇrady se stˇredem z0 = 1 . Hranice mezi nimi tvoˇr´ı kruˇznice se stˇredem v bodˇe z0 , na kter´ ych leˇz´ı singulárn´ı body dané funkce. Pro |z − 1| < 2 provedeme takové u ´pravy, aby kvocient obsahoval v´ yraz z − 1 v ˇcitateli 1 1 1 1 1 1 − = − = f (z) = 2+z−1 3+z−1 2 1 − − z−1 3 1 − − z−1 2 3 ∞ 1X −1 2 n=0 2

=

=

∞ X

n

(−1)n

n=0

(z − 1)n − 1

2n+1

−

∞ 1X −1 3 n=0 3

1

3n+1

n

(z − 1)n =

(z − 1)n .

Prvn´ı ˇcást je geometrická ˇrada, která konverguje k danému zlomku pro |z − 1| < 2 , druhá ˇrada konverguje pro |z − 1| < 3 . Souˇcasná konvergence obou ˇrad je tedy zaruˇcena pro pr˚ unik |z−1| < 2 . V´ ysledná ˇrada je tedy Taylorova ˇrada s oblast´ı konvergence |z − 1| < 2 . Pro 2 < |z − 1| < 3 je tˇreba prvn´ı zlomek upravit jinak 1 1 1 1 z−1 3 = − = − f (z) = −2 z−1+2 3+z−1 1 − z−1 1 − − z−1 3

= =

∞ X (−2)n−1 n n=1 (z − 1) −∞ X k=−1

−

∞ X (−1)n+1 n=0

3n+1

(−2)−(k+1) (z − 1)k +

(z − 1)n =

+∞ X

(−1)k (z − 1)k . k+1 3 k=0

Prvn´ı ˇrada konverguje pro |z − 1| > 2 , druhá ˇrada konverguje pro |z − 1| < 3 , obˇe ˇrady konverguj´ı v pr˚ uniku 2 < |z − 1| < 3 . Pro |z − 1| > 3 je tˇreba i druh´ y zlomek upravit jin´ ym zp˚ usobem f (z) = =

1 1 1 1 − = z−1−2 − z−1−3 = z−1+2 z−1+3 1 − z−1 1 − z−1

−∞ X (−1)n−1 [2n−1 − 3n−1 ] = (−1)k+1 [2−(k+1) − 3−(k+1) ](z − 1)k . n (z − 1) n=1 k=−1 +∞ X

9.Laurentovy ˇrady

9.4. f (z) =

103

1 , z0 = 0 . (z + 1)(z + 2)

V´ ysledek : Existuj´ı tˇri r˚ uzná vyjádˇren´ı dané funkce ve tvaru Laurentovy ˇrady se stˇredem v bodˇe z0 = 0 podle volby mezikruhové oblasti

|z| < 1

⇒

∞ X

f (z) =

n

(−1)

1−

n=0

1 < |z| < 2 ⇒

−∞ X

f (z) =

1 2n+1

(−1)k+1 z k +

k=−1

|z| > 2

⇒

f (z) =

−∞ X

zn ,

+∞ X

(−1)k+1 k z , 2k+1 k=0

(−1)k−1 (1 − 2k−1 ) z k .

k=−1

9.5. f (z) =

z2

1 , z0 = 1 . −1

V´ ysledek : Existuj´ı dvˇ e Laurentovy ˇrady se stˇredem v bodˇe z0 = 1 :

0 < |z − 1| < 2 ⇒

|z − 1| > 2

⇒

f (z) =

f (z) =

+∞ X

(−1)k+1 (z − 1)k , k+2 2 k=−1 −∞ X

(−1)k 2−(k+2) (z − 1)k .

k=−2

9.6. f (z) =

z2

1 , z0 = −1 . −1

V´ ysledek : Existuj´ı dvˇ e Laurentovy ˇrady se stˇredem v bodˇe z0 = −1

: 0 < |z + 1| < 2 ⇒

f (z) = −

+∞ X k=−1

|z + 1| > 2

⇒

f (z) =

−∞ X k=−2

k+2

1 2

(z + 1)k ,

2−(k+2) (z + 1)k .

104


9.7. f (z) =

z2

1 , z0 = 0 . −1


|z| > 1

⇒

f (z) = −

+∞ X

z 2k .

k=0

|z| > 1

⇒

−∞ X

f (z) =

z 2k .

k=−1

9.8. f (z) =

z2

1 , z0 = 0 . +1


|z| < 1

⇒

+∞ X

f (z) =

(−1)k z 2k ,

k=0

|z| > 1

⇒

−∞ X

f (z) =

(−1)k+1 z 2k .

k=−1

9.9. f (z) =

2 , z0 = 0 . z(z + 2)


0 < |z| < 2

⇒

f (z) =

+∞ X

(−1)k+1 2−(k+1) z k ,

k=−1

|z| > 2

⇒

f (z) =

−∞ X

(−1)k 2−(k+1) z k .

k=−2

9.10. f (z) =

2 , z0 = −2 . z(z + 2)

V´ ysledek : Existuj´ı dvˇ e Laurentovy ˇrady se stˇredem v bodˇe z0 = −2

:

9.Laurentovy ˇrady

105

0 < |z + 2| < 2

⇒

+∞ X

f (z) = −

2−(k+1) (z + 2)k ,

k=−1

|z + 2| > 2

⇒

f (z) =

−∞ X

2−(k+1) (z + 2)k .

k=−2

cos z , z0 = 0 . z ˇ sen´ı : Pro vˇsechna z 6= 0 existuje jedin´ Reˇ e vyjádˇren´ı dané funkce ve tvaru Laurentovy ˇrady se stˇredem v bodˇe z0 = 0 , ke kterému pouˇzijeme Taylorovu ˇradu pro funkci cos z

9.11. f (z) =

+∞ X (−1)k X (−1)k 1 +∞ 2k z = z 2k−1 . f (z) = z k=0 (2k)! k=0 (2k)! 1

9.12. f (z) = z 3 e z , z0 = 0 . V´ ysledek : Pro vˇsechna z 6= 0 existuje jedin´ e vyjádˇren´ı dané funkce

ve tvaru Laurentovy ˇrady se stˇredem v bodˇe z0 = 0 −∞ X 1 1 = zk . f (z) = z n n=0 n! z k=3 (3 − k)! 3

9.13. f (z) =

+∞ X

1 , z0 = 1 . (z − 2)(z − 1)2

ˇ sen´ı : Provedeme rozklad dan´ Reˇ e funkce na parciáln´ı zlomky

1 1 1 1 = − − . 2 (z − 2)(z − 1) z−2 z−1 (z − 1)2 Singulárn´ı body dané funkce vymezuj´ı dvˇe r˚ uzné mezikruhové oblasti, ve kter´ ych vyjádˇr´ıme danou funkci ve tvaru Laurentovy ˇrady se stˇredem v bodˇe z0 = 1 . Druhé dva zlomky v obou pˇr´ıpadech nen´ı tˇreba upravovat, protoˇze jsou to pˇr´ımo poˇzadované mocniny z − 1 . f (z) =

Pro 0 < |z − 1| < 1 m˚ uˇzeme prvn´ı zlomek podobnˇe jako v pˇr. 9.1 vyjádˇrit jako souˇcet konvergentn´ı geometrické ˇrady ( a1 = −1 , q = = z − 1 ), takˇze plat´ı +∞ X

+∞ X 1 1 − = f (z) = − (z − 1) − (z − 1)k . 2 z − 1 (z − 1) n=0 k=−2 n

106

Funkce komplexn´ı promˇenné Pro |z − 1| > 1 je tˇreba vyjádˇrit prvn´ı zlomek také jako souˇcet 1 1 konvergentn´ı geometrické ˇrady ( a1 = z−1 , q = z−1 , kde ve zvolené oblasti je splnˇena podm´ınka |q| < 1 ), takˇze m˚ uˇzeme zapsat 1 1 + ... 1+ z−1 z−1

f (z) =

−

−∞ X 1 1 − = (z − 1)k . z − 1 (z − 1)2 k=−3

1 , z0 = 2 . (z − 2)(z − 1)2

9.14. f (z) =

ˇ sen´ı : Jako v pˇr. 9.13 provedeme rozklad na parci´ Reˇ aln´ı zlomky a opˇet

existuj´ı dvˇe r˚ uzné Laurentovy ˇrady se stˇredem v bodˇe z0 = 2 podle volby mezikruˇz´ı. Prvn´ı zlomek v obou pˇr´ıpadech nen´ı tˇreba upravovat, protoˇze je to pˇr´ımo poˇzadovaná mocnina z − 2 . Pro 0 < |z − 2| < 1 m˚ uˇzeme vyjádˇrit druh´ y zlomek podobnˇe jako v pˇr. 9.2 ve tvaru souˇctu konvergentn´ı geometrické ˇrady ( a1 = 1 , q = = −(z − 2) ). Tˇret´ı zlomek m˚ uˇzeme vyjádˇrit ve tvaru ˇrady pomoc´ı derivace pˇredcházej´ıc´ı konvergentn´ı geometrické ˇrady

1 1+z−2

0

=

+∞ +∞ X X −1 n n−1 (−1)k+1 (k+1)(z−2)k . (−1) n(z−2) = = 2 (z − 2) n=0 k=0

Po dosazen´ı a u ´pravách ( pˇredevˇs´ım znamének ) dostaneme f (z) =

+∞ +∞ X X 1 (−1)n+1 (n + 1)(z − 2)n = (−1)n+1 (z − 2)n + + z − 2 n=0 n=0

=

+∞ X

(−1)k+1 (k + 2)(z − 2)k .

k=−1

Pro |z − 2| > 1 m˚ uˇzeme druh´ y zlomek vyjádˇrit jako souˇcet konver1 −1 gentn´ı geometrické ˇrady ( a1 = z−2 , q = z−2 ) 1 X (−1)n 1 1 +∞ z−2 = = −1 = 1+z−2 z − 2 n=0 (z − 2)n 1 − z−2

=

−∞ X k=−1

(−1)k+1 (z − 2)k .

9.Laurentovy ˇrady

107

Pro tˇret´ı zlomek je tˇreba opˇet provést derivaci pˇredcházej´ıc´ı konvergentn´ı geometrické ˇrady a vyjde f (z) =

=

−∞ X

−∞ −∞ X X 1 + (−1)k (z − 2)k + (−1)k+1 k(z − 2)k−1 = z − 2 k=−1 k=−1

(−1)k (z −2)k +

k=−2

−∞ X

−∞ X

(−1)k (k +1)(z −2)k =

k=−2

(−1)k k(z −2)k .

k=−2

2z + 1 , z0 = −1 . z(z + 1)2 V´ ysledek: Existuj´ı dvˇ e Laurentovy ˇrady se stˇredem v bodˇe z0 = −1 :

9.15. f (z) =

0 < |z + 1| < 1 ⇒ f (z) =

+∞ X 1 1 − (z + 1)k , − 2 (z + 1) z + 1 k=0

|z + 1| > 1

−∞ X 1 (z + 1)k . + 2 (z + 1) k=2

⇒ f (z) =

2z + 1 , z0 = 0 . z(z + 1)2 V´ ysledek : Existuj´ı dvˇ e Laurentovy ˇrady se stˇredem v bodˇe z0 = 0 :

9.16. f (z) =

0 < |z| < 1

⇒

f (z) =

+∞ X

(−1)k+1 (k + 2) z k ,

k=−1

|z| > 1

⇒

f (z) =

−∞ X

(−1)k+1 k z k .

k=−2

1 , z0 = 1 . − 1)2 V´ ysledek : Existuj´ı dvˇ e Laurentovy ˇrady se stˇredem v bodˇe z0 = 1 :

9.17. f (z) =

(z 2

0 < |z − 1| < 2 |z − 1| > 2

+∞ X

(−1)k f (z) = (k + 3) (z − 1)k , k+4 k=−2 2

⇒ ⇒

f (z) =

−∞ X

(−1)k 2−k−4 (−k − 3) (z − 1)k .

k=−4

−− −− −− −− −−

108


9.18. Pro libovolnou funkci f (z) , která je holomorfn´ı v mezikruhové oblasti 0 < |z − z0 | < R, vypoˇ r´ısluˇsné Laurentovy ˇrady ( ˇclen I c´ıtejte integrac´ı pˇ po ˇclenu ) integrál 0
C

f (z) dz , kde C je kruˇznice |z − z0 | = r ,

ˇ sen´ı : V dan´ Reˇ e oblasti existuje jednoznaˇcnˇe urˇcená Laurentova ˇrada,

která konverguje k dané funkci. Integrál z takové funkce m˚ uˇzeme dostat integrac´ı jednotliv´ ych ˇclen˚ u ˇrady. V´ ypoˇctem se zjist´ı, ˇze tyto integrály jsou ( aˇz na jeden pro k = −1 ) rovny nule ( viz pˇr. 8.22 ). Plat´ı tedy I C

f (z) dz =

+∞ X

I

k=−∞ C

k

ak (z − z0 ) dz =

I C

a−1 (z − z0 )−1 dz = 2π i a−1 .

10.Teorie rezidu´ı

109

10. Teorie rezidu´ı V této kapitole se budeme zab´ yvat funkcemi f (z) , které nejsou holomorfn´ı v urˇcitém bodˇe z0 , ale pˇritom existuje prstencové okol´ı bodu z0 P ( z0 , δ ) , ve kterém je funkce f (z) holomorfn´ı. Takové body naz´ yváme izolovan´ e singul´ arn´ı body funkce f (z) . V okol´ı P (z0 , δ) takov´ ych bod˚ u z0 existuje jednoznaˇcné vyjádˇren´ı funkce f (z) ve tvaru Laurentovy ˇrady a podle této ˇrady se naz´ yvá izolovan´ y singulárn´ı bod 1. odstraniteln´ a singularita, jestliˇze Laurentova ˇrada má nulovou hlavn´ı ˇcást; 2.

p´ ol n - t´ eho ˇ r´ adu, n ∈ N , jestliˇze hlavn´ı ˇcást Laurentovy ˇrady má pouze koneˇcn´ y poˇcet ˇclen˚ u, kde a−n 6= 0 a pro vˇsechna k < −n, ( k ∈ Z ) je ak = 0 ;

3. podstatn´ a singularita, jestliˇze hlavn´ı ˇcást Laurentovy ˇrady má nekoneˇcn´ y poˇcet ˇclen˚ u. V této kapitole se omez´ıme na póly, které jsou z tˇechto tˇr´ı moˇznost´ı prakticky nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı. ( Ukázka podstatné singulárity byla v pˇr. 9.12.) Z definice se dá odvodit pro ˇrád pólu d˚ uleˇzitá podm´ınka (*)

Bod z0 je pól n - tého ˇrádu ( n ∈ N ) funkce f (z) právˇe tehdy, kdyˇz z→z lim (z − z0 )n f (z) je vlastn´ı a nenulová. 0

Tato limita je rovna koeficientu a−n pˇr´ısluˇsné Laurentovy ˇrady. Funkce g(z) = (z − z0 )n f (z) dodefinovaná v bodˇe z0 rovnost´ı g(z0 ) = a−n je v tomto pˇr´ıpadˇe holomorfn´ı funkce v nˇejakém okol´ı bodu z0 , dá se vyjádˇrit Taylorovou ˇradou a pro dalˇs´ı koeficienty plat´ı ∗∗

( )

a−n+m

dn 1 1 lim n g(z) = lim [(z − z0 )n f (z)] , m ∈ N . = z→z z→z 0 0 m! dz m!

Jestliˇze z0 je izolovan´ y singulárn´ı bod funkce f (z) a C je kladnˇe orientovaná kruˇznice |z − z0 | = r s dostateˇcnˇe mal´ ym polomˇerem, potom plat´ı (viz pˇr. 9.18 ) I C

f (z) dz = 2π i a−1 .

110


Pro v´ ypoˇcet tˇechto typ˚ u integrál˚ u staˇc´ı tedy znát hodnotu koeficientu a−1 . Tento d˚ uleˇzit´ y koeficient se naz´ yvá reziduum funkce f (z) v bodˇ e z0 a pouˇz´ıvá se zápis res f (z) . z=z0 V´ ypoˇcet rezidua v pólu závis´ı na ˇrádu pólu. Pro p´ ol 1.ˇ r´ adu vyjde pˇr´ımo z podm´ınky (*) res f (z) = lim (z − z0 )f (z) . z→z0

z=z0

Pro p´ ol n - t´ eho ˇ r´ adu je moˇzné vyuˇz´ıt vzorec (**) pro Taylorovu ˇradu funkce g(z) = (z − z0 )n f (z) ( dosad´ıme m = n − 1 ) res f (z) = z=z 0

1 dn−1 lim [(z − z0 )n f (z)] . n−1 z→z 0 (n − 1)! dz

Studium vlastnost´ı funkce f (z) v oblasti |z| > R , R ∈ R+ , m˚ uˇzeme 1 1 pˇrevést transformac´ı w = na studium funkce f ∗ (w) = f = f (z) z w v okol´ı bodu w0 = 0. Jestliˇze w0 je izolovan´ y singulárn´ı bod funkce f ∗ (w), potom definujeme reziduum funkce f (z) v nevlastn´ım bodˇ e z=∞ res f (z) =

z=∞

1 I dw 1 I f (z) dz = f ∗ (w) , 2πi C 2π i C ∗ −w2

kde kˇrivka C je zápornˇe orientovaná kruˇznice |z| = r a kˇrivka C ∗ je 1 kladnˇe orientovaná kruˇznice |w| = ( r ∈ R+ , r > R ). Toto reziduum r f ∗ (w) se rovná koeficientu a−1 Laurentovy ˇrady funkce − v prstencovém 2 w okol´ı poˇcátku. Jestliˇze je funkce f ∗ (w) holomorfn´ı v okol´ı poˇcátku, potom f ∗ (w) funkce − má pro w0 = 0 nejv´ yˇse pól 2. ˇrádu. w2 f ∗ (w) Jestliˇze má funkce − skuteˇcnˇe pól 2. ˇrádu, potom a−1 = −(f ∗ )0 (0) . 2 w (f ∗ )0 (w) Pokud má pouze pól 1. ˇrádu, potom a−1 = − lim . w→0 w Pro racionáln´ı lomené funkce, které maj´ı stupeˇ n jmenovatele aspoˇ n o f ∗ (w) pól v bodˇe dvˇe vˇetˇs´ı neˇz stupeˇ n ˇcitatele, nemá pˇr´ısluˇsná funkce − w2 w0 = 0 . V´ ypoˇcet integrál˚ u funkce komplexn´ı promˇenné po kruˇznici kolem jednoho singulárn´ıho bodu pomoc´ı rezidua ( pˇr. 9.18 ) je moˇzné snadno zobecnit na


111

pˇr´ıpad libovolné kˇrivky, v jej´ıˇz vnitˇrn´ı oblasti leˇz´ı v´ıce singulárn´ıch bod˚ u. Plat´ı základn´ı vˇeta, která se obvykle naz´ yvá reziduov´ a vˇ eta : Necht’ kˇrivka C je jednoduchá, uzavˇrená, po ˇcástech hladká a kladnˇe orientovaná. Jestliˇze funkce f (z) je spojitá na kˇrivce C a holomorfn´ı ve vnitˇrn´ı oblasti kˇrivky C s v´ yjimkou koneˇcného poˇctu izolovan´ ych singulárn´ıch bod˚ u z1 , z2 , ... zn , potom I

f (z) dz = 2π i

C

n X k=1

res f (z) .

z=zk

Vzhledem k definici rezidua v nevlastn´ım bodˇe plat´ı v tomto pˇr´ıpadˇe n X k=1

res f (z) + z=∞ res f (z) = 0 .

z=zk

V pˇr´ıkladech 10.1 - 10.20 najdˇete u dan´ ych funkc´ı póly, urˇcete ˇrád tˇechto pól˚ u a vypoˇc´ıtejte rezidua. 1 . z − z3 ˇ sen´ı : Racion´ Reˇ aln´ı lomená funkce, kde ˇcitatel a jmenovatel jsou nesoudˇelné mnohoˇcleny, má póly právˇe v koˇrenech jmenovatele a ˇrád tˇechto pól˚ u je dán násobnost´ı tˇechto koˇren˚ u. Daná funkce má v bodech z1 = 0 , z2 = 1 , z3 = −1 póly 1. ˇrádu, takˇze podle základn´ıho vzorce

10.1. f (z) =

"

#

1 res f (z) = lim z =1, z=0 z→0 z(1 − z 2 ) "

#

1 −1 1 res f (z) = lim (z − 1) = lim =− , z=1 z→1 z→1 z(1 + z) z(1 − z)(1 + z) 2 "

#

1 1 1 res f (z) = lim (z + 1) = lim =− . z=−1 z→−1 z→−1 z(1 − z) z(1 − z)(1 + z) 2 10.2. f (z) =

z5

1 . − 4z 3

112

Funkce komplexn´ı promˇenné ˇ sen´ı : Jmenovatel zlomku m˚ Reˇ uˇzeme rozloˇzit na souˇcin z 5 − 4z 3 =

= z 3 (z − 2)(z + 2) , takˇze vid´ıme, ˇze daná funkce má v bodˇe z1 = 0 pól 3. ˇrádu a v bodech z2 = 2 a z3 = −2 póly 1.ˇrádu. d2 1 1 d −2z 1 = lim res f (z) = lim 2 z 3 3 2 = z→0 z→0 z=0 2! dz z (z − 4) 2 dz (z 2 − 4)2 #

"

=

−2(z 2 − 4)2 + 8z 2 (z 2 − 4) 1 1 −2(z 2 − 4) + 8z 2 1 lim , = = − 2 z→0 (z 2 − 4)4 2 (z 2 − 4)3 16 "

#

1 1 res f (z) = lim (z − 2) 3 = , z=2 z→2 z (z − 2)(z + 2) 32 "

#

1 1 res f (z) = lim (z + 2) 3 = . z=−2 z→−2 z (z − 2)(z + 2) 32 z+1 . + 2z + 2 ˇ sen´ı : Jmenovatel zlomku m´ Reˇ a dva jednoduché koˇreny z1 = −1 + i a z2 = −1 − i . Tyto body jsou tedy póly 1. ˇrádu. Pro sloˇzitˇejˇs´ı koˇreny je vhodné pouˇz´ıvat pˇri v´ ypoˇctu nejprve obecn´ y zápis pomoc´ı z1 a z2 a teprve nakonec dosadit konkrétn´ı hodnoty.

10.3. f (z) =

z2

#

"

z1 + 1 i 1 z+1 = = = , res f (z) = lim (z − z1 ) z=z1 z→z1 (z − z1 )(z − z2 ) z1 − z2 2i 2 "

#

z+1 z2 + 1 1 −i res f (z) = lim (z − z2 ) = = . = z=z2 z→z2 z − z1 )(z − z2 ) z2 − z1 −2 i 2 Pˇri hledán´ı rezidua v nevlastn´ım bodˇe dostanete funkci −

1 w + w2 1 1+w f ∗ (w) = − =− . 2 2 2 w w 1 + 2w + 2w w 1 + 2w + 2w2

Druh´ y zlomek je v okol´ı poˇcátku holomorfn´ı funkce, která má konvergentn´ı Taylorovu ˇradu s prvn´ım ˇclenem 1 , takˇze res f (z) = −1 . z=∞

1 . − 4z + 13 V´ ysledek : Funkce m´ a v bodech z1 = 2 + 3 i , z2 = 2 − 3 i póly 1. ˇrádu.

10.4. f (z) =

z2

res f (z) =

z=z1

1 i =− , 6i 6

res f (z) =

z=z2

1 i = . −6 i 6


10.5. f (z) =

113 2z + 1 . +z+1

z2

−1 + i V´ ysledek : Funkce m´ a v bodech z1 = 2 póly 1. ˇrádu. res f (z) = 1 ,

z=z1

res f (z) = 1 ,

z=z2

√

3

−1 − i , z2 = 2

√

3

res f (z) = −2 .

z=∞

1 . +1 V´ ysledek : Koˇreny jmenovatele z´ısk´ ate ˇreˇsen´ım binomické rovnice 3 z = −1 . √ √ 1+ i 3 1− i 3 V bodech z1 = −1 , z2 = , z3 = jsou póly 1. ˇrádu. 2 2 √ √ 1 1 1 res f (z) = , res f (z) = − (1 + i 3) , res f (z) = − (1 − i 3). z=z1 z=z3 3 z=z2 6 6

10.6. f (z) =

10.7. f (z) =

z3

z2 . z4 + 4

ˇ sen´ı : Funkce m´ Reˇ a v bodech zk =

√

(2k−1)π i

2e 4 , k = 1, 2, 3, 4 póly 1. ˇrádu. Jsou to body z1 = 1+ i , z2 = −1+ i , z3 = −1− i , z4 = 1− i . Pˇri v´ ypoˇctu limity se dá dobˇre pouˇz´ıt l0 Hospitalovo pravidlo z2 z − zk 2 1 1 = lim 4 z = lim 3 z 2 = . res f (z) = lim (z − zk ) 4 z→z z→z z=zk z→zk k z + 4 k 4z z +4 4zk Dosazen´ım dostaneme jednotlivá rezidua res f (z) = z=z

1− i −1 − i , z=z res f (z) = , 2 8 8

res f (z) = z=z

−1 + i 1+ i , z=z res f (z) = . 4 8 8

1

3

10.8. f (z) =

z4

1 . +1

V´ ysledek : Funkce m´ a v bodech zk = e

(2k−1)π i 4

, k = 1, 2, 3, 4 póly 1.

ˇrádu. √

2 res f (z) = − (1 + i ) , z=z1 8

√ res f (z) =

z=z2

2 (1 − i ) , 8

114

Funkce komplexn´ı promˇenné √

2 res f (z) = (1 + i ) , z=z3 8 10.9. f (z) =

√ res f (z) = −

z=z4

2 (1 − i ) . 8

z . (z 2 − 2z + 2)2

ˇ sen´ı : Funkce m´ Reˇ a v bodech z1 = 1 + i , z2 = 1 − i póly 2. ˇrádu "

#

d 1 z lim (z − z1 )2 = res f (z) = z→z 2 z=z1 1 1! dz (z − z1 ) (z − z2 )2 = z→z lim

1

res f (z) = z=z 2

10.10. f (z) =

d z i z1 + z2 2 1 =− . =− =− = 2 3 3 dz (z − z2 ) (z1 − z2 ) (2 i ) 4i 4 z i d z2 + z1 2 1 =− . =− =− =− 2 3 3 dz (z − z1 ) z2 − z1 ) (−2 i ) 4i 4

1 . (z 2 + z + 1)2

√ √ −1 + i 3 −1 − i 3 V´ ysledek : Funkce m´ a v bodech z1 = , z2 = 2 2 póly 2. ˇrádu. √ √ 2i 3 2 2i 3 2 , res f (z) = − √ = . res f (z) = √ = − z=z2 z=z1 9 9 3i 3 3i 3 z2 . (z 2 + 1)2 (z − 1) V´ ysledek : Funkce m´ a v bodech z1 = i , z2 = − i póly 2. ˇrádu a v bodˇe z3 = 1 pól 1. ˇrádu.

10.11. f (z) =

res f (z) = −

z= i

1 1 1 , res f (z) = − , res f (z) = . 8 z=− i 8 z=1 4

1 . (z − 1)(z − 2)2 V´ ysledek : Funkce m´ a v bodˇe z1 = 1 pól 1. ˇrádu a v bodˇe z2 = 2 pól 2. ˇrádu.

10.12. f (z) =

res f (z) = 1 , res f (z) = −1 .

z=1

z=2


115

Poznámka : Ve vˇsech pˇredcházej´ıc´ıch pˇr´ıkladech kromˇe pˇr´ıklad˚ u 10.3 a 10.5 f ∗ (w) se dá pomˇernˇe snadno zjistit, ˇze funkce − je holomorfn´ı w2 v okol´ı poˇcátku, a proto se reziduum pro w0 = 0 rovná nule. Proto tedy mus´ı b´ yt souˇcet vypoˇc´ıtan´ ych rezidu´ı roven nule.

z eiz . (z 2 + 1)2

10.13. f (z) =

ˇ sen´ı : Funkce m´ Reˇ a v bodech z1 = i , z2 = − i póly 2. ˇrádu.

res f (z) = lim

z= i

z→ i

d (z − i )2 z e i z [(1 + i z)(z + i )2 z(z + i )]e i z = lim = dz (z − i )2 (z + i )2 z→ i (z + i )4 2

= lim z→ i

( i + i 3 − 2 i )e i −2 i e−1 1 i + i z 2 − 2z)e i z = = = , (z + i )3 (2 i )3 −8 i 4e

res f (z) =

z=− i

10.14. f (z) =

e . 4

sin 2z . (z + 1)3

ˇ sen´ı : Funkce m´ Reˇ a v bodˇe z1 = −1 pól 3. ˇrádu.

res f (z) =

z=−1

1 d2 . lim sin 2z = −2 sin(−2) = 2 sin 2 = 1, 819 . 2 z→−1 dz 2

1 . sin z ˇ sen´ı : Funkce m´ Reˇ a v bodech zk = kπ , k ∈ Z ( ˇreˇsen´ı rovnice sin z = 0 viz pˇr. 6.23 ) póly 1. ˇrádu. Pˇri v´ ypoˇctu limity jsou splnˇeny 0 podm´ınky pro pouˇzit´ı l Hospitalova pravidla, takˇze

10.15. f (z) =

z − kπ 1 = = (−1)k . z→kπ sin z cos kπ

res f (z) = lim

z=kπ

10.16. f (z) =

z . cos z

116

Funkce komplexn´ı promˇenné Funkce má v bodech zk = (2k − 1) π2 cos z = 0 viz pˇr. 6.23 ) póly 1. ˇrádu. ˇ sen´ı : Reˇ

lim res f (z) = z→z z=z

k

k

=−

( ˇreˇsen´ı rovnice

(z − zk )z z − (z − zk ) = z→z lim = k cos z − sin z

(2k − 1) π2 π k . π = (−1) (2k − 1) sin(2k − 1) 2 2

1 . sin z ˇ sen´ı : Pro k 6= 0 m´ Reˇ a funkce v bodech zk = kπ , k ∈ Z póly 1. ˇrádu stejnˇe jako v pˇr. 10.15. Pro z0 = 0 je tˇreba ovˇeˇrit ˇrád pólu podle zm podm´ınky (*) v´ ypoˇctem limit lim 2 , m ∈ N . Pro m = 3 je z→0 z sin z z3 z 1 limita lim 2 = lim = lim = 1 ( podle l0 Hospitalova z→0 z sin z z→0 sin z z→0 cos z pravidla ), takˇze daná funkce má v bodˇe z0 = 0 pól 3. ˇrádu. V´ ypoˇcet rezidua je proto sloˇzitˇejˇs´ı :

10.17. f (z) =

z2

(−1)k z − kπ = , k 6= 0 , z→kπ z 2 sin z k2π2

res f (z) = lim

z=kπ

res f (z) =

z=0

=

1 d2 z 1 d sin z − z cos z lim 2 = = 2 z→0 dz sin z 2 dz sin2 z

1 (cos z − cos z + z sin z) sin2 z − (sin z − z cos z)2 sin z cos z lim = 2 z→0 sin4 z

=

1 z sin2 z sin z − z cos z lim − lim lim cos z = 3 z→0 z→0 z→0 2 sin z sin3 z

=

1 z cos z − cos z + z sin z 1 1 1 lim − lim lim cos z = − = . 2 z→0 2 z→0 sin z z→0 2 3 6 3 sin z cos z

Pˇri v´ ypoˇctu limit zlomk˚ u jsme pouˇzili l0 Hospitalovo pravidlo.


117

z . sinh z ˇ sen´ı : Funkce m´ Reˇ a v bodech zk = kπ i , k ∈ Z , k 6= 0 póly 1.ˇrádu k y singulárn´ı bod, a res f (z) = (−1) kπi . Bod z0 = 0 je odstraniteln´

10.18. f (z) =

z=zk

takˇze res f (z) = 0 . z=0

1 . +1 ˇ sen´ı : Funkce m´ Reˇ a v bodech zk = (2k − 1)π i , k ∈ Z póly 1.ˇrádu ( viz pˇr. 6.17 ).

10.19. f (z) =

ez

res f (z) = e−zk = e−(2k−1)π i = −1 .

z=zk

10.20. f (z) =

z(ez

1 . − 1)

ˇ sen´ı : Funkce m´ Reˇ a v bodech zk = 2kπ i , k ∈ Z , k 6= 0 póly 1.

ˇrádu ( viz pˇr. 6.17 ) a v bodˇe z0 = 0 pól 2. ˇrádu. res f (z) =

z=zk

−1 1 1 1 = i , k 6= 0 , res f (z) = − . = z=0 zk 2kπ i 2kπ 2

V pˇr´ıkladech 10.21 - 10.24 pouˇzijte vzorce pro v´ ypoˇcet rezidua a vzorce (*) a (**) k v´ ypoˇctu koeficient˚ u v rozkladu ryze lomené funkce f (z) na parciáln´ı zlomky. 10.21. f (z) =

z . (z − 1)(z + 2)(z + 3)

ˇ sen´ı : Je zn´ Reˇ amo, ˇze existuje jednoznaˇcn´ y rozklad dané funkce na

souˇcet jednoduch´ ych zlomk˚ u f (z) =

z A B C = + + . (z − 1)(z + 2)(z + 3) z−1 z+2 z+3

Tato funkce má v bodech z1 = 1, z2 = −2, z3 = −3 póly 1. ˇrádu. Pˇri hledán´ı Laurentovy ˇrady funkce f (z) , která konverguje k této funkci v A prstencovém okol´ı bodu z1 = 1 , nen´ı tˇreba zlomek upravovat. z−1 Zb´ yvaj´ıc´ı dva zlomky jsou v tomto okol´ı holomorfn´ı funkce, takˇze se daj´ı

118

Funkce komplexn´ı promˇenné vyjádˇrit Taylorovou ˇradou, která obsahuje pouze nezáporné mocniny dvojˇclenu (z − 1) . Hlavn´ı ˇcást´ı Laurentovy ˇrady je tedy pouze zlomek A , takˇze z−1 z 1 A = res f (z) = lim = . z=1 z→1 (z + 2)(z + 3) 12 Podobná situace je v prstencovém okol´ı ostatn´ıch pól˚ u, takˇze z 2 = , z→−2 (z − 1)(z + 3) 3

B = res f (z) = lim z=−2

3 z =− . z→−3 (z − 1)(z + 2) 4

C = res f (z) = lim z=−3

z2 . z 4 − 5z 2 + 4 V´ ysledek : Dan´ a funkce se dá rozloˇzit na parciáln´ı zlomky

10.22. f (z) =

z2 A B C D = + + + , 4 2 z − 5z + 4 z−1 z+1 z−2 z+2 1 1 1 1 A=− , B= , C= , D=− . 6 6 3 3

f (z) =

z2 + 1 . (z + 1)(z − 1)3 ˇ sen´ı : Rozklad na parci´ Reˇ aln´ı zlomky má v tomto pˇr´ıpadˇe tvar

10.23. f (z) =

f (z) =

A B C D z2 + 1 = + + + . (z + 1)(z − 1)3 z + 1 z − 1 (z − 1)2 (z − 1)3

Tato funkce má v bodˇe z1 = −1 pól 1. ˇrádu a v bodˇe z2 = 1 pól 3. ˇrádu. Podobnˇe jako v pˇredcházej´ıc´ıch pˇr´ıkladech je 2 1 z2 + 1 = =− . 3 3 z→−1 (z − 1) (−2) 4

A = res f (z) = lim z=−1

Zb´ yvaj´ıc´ı tˇri zlomky tvoˇr´ı hlavn´ı ˇcást Laurentovy ˇrady, která konverguje k funkci f (z) v prstencovém okol´ı bodu z2 = 1 . Koeficient B je také reziduum, ale v pólu 3. ˇrádu, takˇze B = res f (z) = z=1

1 d2 z 2 + 1 2 1 lim 2 = lim = . 3 z→1 (z + 1) 2! z→1 dz z − 1 4


119

Koeficient D se vypoˇc´ıtá podle vzorce (*) ( pro n = 3 ) h

i

z2 + 1 =1. z→1 z + 1

D = a−3 = lim (z − 1)3 f (z) = lim z→1

Koeficient C se vypoˇc´ıtá podle vzorce (**) ( pro n = 3 a m = 1 ) d z2 + 1 z 2 + 2z − 1 1 = lim =− . z→1 dz z + 1 z→1 z+1 2

C = a−2 = lim

10.24. f (z) =

(z 2

1 . − 1)2

V´ ysledek : Dan´ a funkce se dá rozloˇzit na parciáln´ı zlomky

f (z) =

(z 2

A B C D 1 = + + + . 2 2 − 1) z − 1 (z − 1) z + 1 (z + 1)2

A=−

1 , 4

B=

1 , 4

C=

1 1 , D= . 4 4

z2 10.25. f (z) = 2 . (z − 1)2 V´ ysledek : Dan´ a funkce se dá opˇet rozloˇzit na parciáln´ı zlomky

f (z) =

z2 A B C D = + + + . 2 2 2 (z − 1) z − 1 (z − 1) z + 1 (z + 1)2 A=

1 , 4

B=

1 , 4

C=−

1 1 , D= . 4 4

V pˇr´ıkladech 10.26 - 10.52 vypoˇc´ıtejte dané integrály pomoc´ı reziduové vˇety. Rovnˇeˇz pˇr´ıklady z kap. 8 ( pˇr. 8. 23 a následuj´ıc´ı ) m˚ uˇzete znovu vypoˇc´ıtat pomoc´ı reziduové vˇety. Opˇet plat´ı dohoda, ˇze vˇsechny jednoduché uzavˇrené kˇrivky chápeme jako kladnˇe orientované.

120


10.26.

I C

dz , kde kˇrivka C je dána rovnic´ı |z + 1 − i | = 2 . z(z − 1)2

ˇ sen´ı : Integrovan´ Reˇ a funkce má dva izolované singulárn´ı body z1 = 0,

z2 = 1 . Daná kˇrivka je kruˇznice se stˇredem v bodˇe z0 = −1 + i a s polomˇerem r = 2 . Bod z1 = 0 je pól 1. ˇrádu a leˇz´ı ve vnitˇrn´ı oblasti dané kruˇznice ( bod z2 = 1 tam neleˇz´ı ), proto I dz 1 = 1 ⇒ = 2π i . res f (z) = lim z=0 z→0 (z − 1)2 C z(z − 1)2 10.27.

I C

dz , kde kˇrivka C je dána rovnic´ı |2z − 3| = 2 . z(z − 1)2


z2 = 1 . Daná kˇrivka je kruˇznice se stˇredem v bodˇe z0 = 32 a s polomˇerem r = 1 . Bod z2 = 1 je pól 2. ˇrádu a leˇz´ı ve vnitˇrn´ı oblasti dané kruˇznice ( bod z1 = 0 tam neleˇz´ı ), proto I dz −1 d 1 = lim 2 = −1 ⇒ = −2π i . res f (z) = lim z→1 z z=1 z→1 dz z C z(z − 1)2 10.28.

I C

dz , kde kˇrivka C je dána rovnic´ı |2z + 3| = 2 . z(z − 1)2


z2 = 1 . Daná kˇrivka je kruˇznice se stˇredem v bodˇe z0 = − 32 a s polomˇerem r = 1 . Ani jeden ze singulárn´ıch bod˚ u neleˇz´ı ve vnitˇrn´ı oblasti dané kruˇznice, takˇze integrovaná funkce je v této oblasti holoI dz morfn´ı. Podle základn´ı Cauchyovy vˇety je tedy =0. C z(z − 1)2

dz , kde kˇrivka C je dána rovnic´ı x2 + 2y 2 = 2 . C z(z − 1)2 ˇ sen´ı : Dan´ Reˇ a kˇrivka je elipsa se √ stˇredem v bodˇe z0 = 0 , s ohnisky na reálné ose a s poloosami a = 2 , b = 1 . Oba singulárn´ı body leˇz´ı ve vnitˇrn´ı oblasti této elipsy, takˇze podle reziduové vˇety I dz = 2πi res f (z) + res f (z) = 2π i (1 − 1) = 0 . z=0 z=1 C z(z − 1)2

10.29.

I


121

z dz , kde kˇrivka C je dána rovnic´ı |z − i | = 4 . C z2 + 4 ˇ sen´ı : Integrovan´ Reˇ a funkce má dva izolované singulárn´ı body z1 = 2 i , z2 = −2 i . Daná kˇrivka je kruˇznice se stˇredem v bodˇe z0 = i a s polomˇerem r = 4 . Oba singulárn´ı body jsou póly 1. ˇrádu a leˇz´ı ve vnitˇrn´ı oblasti této kruˇznice, takˇze I

10.30.

res f (z) = lim

z=2 i

z→2 i

res f (z) = lim

z=−2 i

I C

1 (z − 2 i )z = , (z − 2 i )(z + 2 i ) 2

z→−2 i

(z + 2 i )z 1 = , (z − 2 i )(z + 2 i ) 2

z dz = 2π i 2 z +4

res f (z) + res f (z) = 2π i .

z=2 i

z=−2 i

z2 dz , kde kˇrivka C je dána rovnic´ı |z + 1 + i| = 3 . C z3 + 8 ˇ sen´ı : Integrovan´ Reˇ a funkce má tˇri izolovan´ e singulárn´ı body √ √ z1 = 1 + i 3, z2 = −2, z3 = 1 − i 3. Daná kˇrivka je kruˇznice se stˇredem v bodˇ e z0 = −1 a s polomˇerem r = 3 . Body z2 = −2 √ a z3 = 1 − i 3 jsou póly 1. ˇrádu a podle náˇcrtku kˇrivky a polohy singulárn´ıch√bod˚ u je vidˇet, ˇze leˇz´ı ve vnitˇrn´ı oblasti kruˇznice. Pro bod z1 = 1 + i 3 to nen´ı zˇrejmé, proto vypoˇc´ıtáme jeho vzdálenost od stˇredu kruˇznice q q √ √ √ |z1 − z0 | = |1 + i 3 − (−1 − i )| = 4 + ( 3 + 1)2 = 8 + 2 3 > 3 . √ Proto bod z1 = 1 + i 3 neleˇz´ı ve vnitˇrn´ı oblasti dané kruˇznice. Takˇze podle reziduové vˇety I

10.31.

z2 = 2π i z3 + 8

I C

10.32.

I C

res f (z) + res f (z) = 2π i

z=z2

z=z3

1 1 4 + = πi . 3 3 3

√ z2 + z + 1 , kde kˇrivka C je dána rovnic´ı |z + 1| = 2 . 2 z(z − 1)

V´ ysledek : Ve vnitˇrn´ı oblasti kˇrivky C leˇ z´ı jeden pól 1. ˇrádu z1 = 0;

hodnota integrálu je 2πi .

122


10.33.

I C

z2 + z + 1 , kde kˇrivka C je dána rovnic´ı |z| + |z − 1| = 2 . z(z − 1)2

V´ ysledek : Ve vnitˇrn´ı oblasti kˇrivky C leˇ z´ı dva póly 1. ˇrádu z1 = 0,

z2 = 1 ; hodnota integrálu je 2π i . 10.34.

I C

z+1 , kde kˇrivka C je dána rovnic´ı |z − 1| = 1 . z3 − 1

V´ ysledek : Ve vnitˇrn´ı oblasti kˇrivky C leˇ z´ı jeden pól 1. ˇrádu z1 = 1 ;

hodnota integrálu je 10.35.

I C

4 πi . 3

z+1 , kde kˇrivka C je dána rovnic´ı |2z + 1| = 2 . z3 − 1

V´ ysledek : √ Ve vnitˇrn´ı oblasti √ kˇrivky C leˇz´ı pouze dva póly 1. ˇrádu

−1 + i 2

z2 = 10.36.

I C

3

, z3 =

−1 − i 2

3

4 ; hodnota integrálu je − π i . 3

z+1 , kde kˇrivka C je dána rovnic´ı |z + 1 + i | = 1 . z3 − 1

V´ ysledek : √ Ve vnitˇrn´ı oblasti kˇrivky C leˇz´ı pouze jeden pól 1. ˇrádu

−1 − i 2

z3 = 10.37.

I C

3

2 ; hodnota integrálu je − π i . 3

z+1 , kde kˇrivka C je dána rovnic´ı |z + 1| = 1 . z5 + 1

V´ ysledek : Ve vnitˇrn´ı oblasti kˇrivky C leˇ z´ı jeden pól 1. ˇrádu z3 = −1 ;

hodnota integrálu je 10.38.

I C

2 πi . 5

z+1 , kde kˇrivka C je dána rovnic´ı |z − 1 − i | = 1 . z5 + 1

V´ ysledek : Ve vnitˇrn´ı oblasti kˇrivky C leˇ z´ı pouze jeden pól 1. ˇrádu π 2 2π i π π . π z1 = e 5 i ; hodnota integrálu je − π i e 5 i = − (cos + i sin ) = 5 5 5 5 . = 0, 7386 − 1, 0166 i .

10.Teorie rezidu´ı I

10.39.

C

123

z+1 , kde kˇrivka C je dána rovnic´ı |z − 1| = 1 . z5 + 1

V´ ysledek : Ve vnitˇrn´ı oblasti kˇrivky C

z1 = e I

10.40.

C

π 5

i

− π5 i

, z5 = e

leˇz´ı dva póly 1. ˇrádu 4 π ; hodnota integrálu je − π i cos . 5 5

ez dz , kde kˇrivka C je dána rovnic´ı |z + 1 + i | = 2 . z(z 2 + 1)

ˇ sen´ı : Integrovan´ Reˇ a funkce má tˇri izolované singulárn´ı body

z1 = 0 , z2 = i , z3 = − i ( póly 1. ˇrádu ). Daná kˇrivka C je kruˇznice se stˇredem v bodˇe z0 = −1 − i a s polomˇerem r = 2 . Ve vnitˇrn´ı oblasti této kruˇznice leˇz´ı body z1 a z3 , takˇze ez =1, z→0 z 2 + 1

res f (z) = lim

z=0

res f (z) = lim

z=− i

z→− i

ez e− i = , z(z − ı) 2

ez . = π i (2−e− i ) = πı(2−cos 1+i sin 1) = −2, 6436+4, 5858 i . C z(z 2 + 1)

I

I

10.41. .

C

√ ez dz , kde kˇrivka C je dána rovnic´ı |2z + 1| = 2 2 z(z + 1)

V´ ysledek : Ve vnitˇrn´ı oblasti kˇrivky C leˇ z´ı jeden pól 1.ˇrádu z1 = 0 ;

hodnota integrálu je 2π i . I

10.42.

C

dz , kde kˇrivka C je dána rovnic´ı |2z − 3| = 3 . (z 2 − 1)(z 3 − 1)

ˇ sen´ı : Integrovan´ Reˇ a funkce má√právˇe ˇctyˇri izolovan´ √ e singulárn´ı body

−1 − i 3 −1 + i 3 , z4 = . Daná kˇrivka je 2 2 3 3 kruˇznice se stˇredem v bodˇe z0 = a s polomˇerem r = . Ve vnitˇrn´ı 2 2 oblasti této kruˇznice leˇz´ı pouze bod z1 = 1 a je to pól 2. ˇrádu, takˇze z1 = 1 , z2 = −1 , z3 =

d (z − 1)2 = z→1 dz (z − 1)2 (z + 1)(z 2 + z + 1)

res f (z) = lim

z=1

= lim

z→1

d 1 = 3 2 dz z + 2z + 2z + 1

124

Funkce komplexn´ı promˇenné 3z 2 + 4z + 2 9 1 , = − = − z→1 (z 3 + 2z 2 + 2z + 1)2 62 4

= − lim I C

10.43.

dz π = i . (z 2 − 1)(z 3 − 1) 2 I C (z 2

dz , kde kˇrivka C je dána rovnic´ı |z + 1| = − 1)(z 3 − 1)

3 2

.

ˇ sen´ı : Reˇ

Ve vnitˇrn´ı oblasti kruˇznice se stˇredem v bodˇe z0 = −1 a s polomˇerem r = 32 leˇz´ı body z2 , z3 , z4 z pˇr. 10.42. Jsou to póly 1. ˇrádu a vyjde √ √ 3 3 1 i , res f (z) = i , res f (z) = , res f (z) = − z=z z=z z=−1 3 4 4 9 9 √ √ ! I dz 1 3 3 π = 2π i − i+ i = i . 2 3 4 9 9 2 C (z − 1)(z − 1) 10.44.

I C (z 2

dz , kde C je dána 3|z − 2i| + 3|z + 2i| = 13 . − 1)(z 3 − 1)

ˇ sen´ı : Dan´ Reˇ a kˇrivka je elipsa se stˇredem v poˇcátku a s ohnisky na

13 5 imaginárn´ı ose ( a = , b = ). Je tˇreba ovˇeˇrit, ˇze ve vnitˇrn´ı oblasti 6 6 elipsy leˇz´ı body z3 a z4 z pˇr. 10.42. Hodnota daného integrálu je vzhledem k hodnotám rezidu´ı rovna nule. 10.45.

I C (z 2

dz , kde kˇrivka C je dána rovnic´ı |2z| = 1 . − 1)(z 3 − 1)

ˇ sen´ı : Podle Cauchyovy vˇ Reˇ ety je hodnota integrálu rovna nule.

dz , kde kˇrivka C je dána rovnic´ı |z − 1| = 1 . C cos z ˇ sen´ı : Integrovan´ Reˇ a funkce má izolované singulárn´ı body π zk = (2k − 1) , k ∈ Z ( viz pˇr. 6.23 ). Ve vnitˇrn´ı oblasti dané kruˇznice 2 π leˇz´ı pouze pól 1. ˇrádu z1 = . 2 I π z− 2 1 dz = limπ = −1 ⇒ = −2π i . resπ f (z) = limπ z→ 2 cos z z→ 2 sin z z= 2 C cos z

10.46.

I


125

dz , kde kˇrivka C je dána rovnic´ı |z − 3| = 2 . C cos z ˇ sen´ı : Ve vnitˇrn´ı oblasti dan´ Reˇ e kruˇznice leˇz´ı dva póly 1. ˇrádu z1 = π2 , z2 = 3π . Podobnˇe jako v pˇredcházej´ıc´ım pˇr´ıkladu se vypoˇc´ıtaj´ı rezidua 2 a hodnota integrálu vyjde rovna nule.

10.47.

10.48.

I

I C

dz , kde kˇrivka C je dána rovnic´ı |z| = 1 . cos z

ˇ sen´ı : Podle Cauchyovy vˇ Reˇ ety je hodnota integrálu rovna nule.

10.49.

I C

dz , kde kˇrivka C je dána rovnic´ı |z| = 2 . z sinh z

ˇ sen´ı : Integrovan´ Reˇ a funkce má nekoneˇcnˇe mnoho izolovan´ ych sin-

gulárn´ıch bod˚ u zk = kπı , k ∈ Z . Ve vnitˇrn´ı oblasti dané kruˇznice leˇz´ı pouze jeden singulárn´ı bod z0 = 0 . Podle podm´ınky (*) vyjde nenulová vlastn´ı limita pro n = 2 , takˇze jde o pól 2. ˇrádu. d z sinh z − z cosh z −z sinh z = lim = lim =0. 2 z→0 dz sinh z z→0 z→0 2 sinh z cosh z sinh z

res f (z) = lim

z=0

Hodnota integrálu je proto také rovna nule. 10.50.

I C

dz kde kˇrivka C je dána rovnic´ı |z + 2 + i | = 2 . z sin z


gulárn´ıch bod˚ u zk = kπ , k ∈ Z . Ve vnitˇrn´ı oblasti dané kruˇznice leˇz´ı pouze bod z−1 = −π ( pól 1. ˇrádu). 1 1 1 z+π = lim = = , res f (z) = lim z→−π sin z + z cos z z=−π z→−π z sin z −π cos(−π) π I dz 1 = 2π i = 2 i . π C z sin z 10.51.

I C

dz , kde kˇrivka C je dána rovnic´ı |z + 1 + 2 i | = 5 . z(ez − 1)


gulárn´ıch bod˚ u zk = 2kπ i , k ∈ Z ( pˇr. 6.17 ). Ve vnitˇrn´ı oblasti

126

Funkce komplexn´ı promˇenné dané kruˇznice leˇz´ı body z0 = 0 ( pól 2. ˇrádu ) a z−1 = −2π i ( pól 1. ˇrádu). res f (z) = −

z=0

I C

10.52.

I

1 , 2

res f (z) = −

z=z−1

dz 1 1 = 2π i − − z z(e − 1) 2 2π i

1 , 2πi

= −π i − 1 .

dz , kde kˇrivka C je dána rovnic´ı |z + 1 − i | = 3 . + 1)

C z(ez


gulárn´ıch bod˚ u zk = (2k − 1) π i , k ∈ Z (pˇr. 6.17 ). Ve vnitˇrn´ı oblasti dané kruˇznice leˇz´ı pouze jeden pól 1. ˇrádu z1 = π i . I z −πi 1 1 dz res f (z) = lim = lim = ⇒ = −2 . z z=π i z→π i z(ez + 1) z→π i zez π i (−1) C z(e + 1)

11.V´ ypoˇcet nˇekter´ ych typ˚ u integrál˚ u

127

11.V´ ypoˇ cet nˇ ekter´ ych typ˚ u integr´ al˚ u V nˇekter´ ych pˇr´ıpadech lze vhodn´ ym zp˚ usobem vyuˇz´ıt v´ ysledky minul´ ych kapitol pro v´ ypoˇcet speciáln´ıch typ˚ u urˇcit´ ych integrál˚ u funkce reálné promˇenné. Nejprve nahrad´ıme dan´ y integrál integrálem funkce komplexn´ı promˇenné po jednoduché uzavˇrené kˇrivce. V´ ypoˇcet tohoto nového integrálu m˚ uˇzeme potom ˇcasto jednoduˇse provést podle reziduové vˇety. Tuto základn´ı myˇslenku realizujeme v této kapitole pro nˇekolik následuj´ıc´ıch typ˚ u integrál˚ u. Oznaˇcen´ı : Symbolem Q budeme rozumˇet racionáln´ı lomenou funkci, ve které jiˇz nelze krátit. Jde o funkci tˇech promˇenn´ ych, které jsou uvedeny v závorce.

1.

Z

2π

Q(cos ϕ, sin ϕ) dϕ .

0

Potˇrebnou funkci komplexn´ı promˇenné vytvoˇr´ıme pomoc´ı známého vyjádˇren´ı funkc´ı cos ϕ a sin ϕ pomoc´ı exponenciáln´ıch funkc´ı a nahrad´ıme e i ϕ = z , takˇze cos ϕ =

z + z −1 z2 + 1 e i ϕ + e− i ϕ = = , 2 2 2z

sin ϕ =

e i ϕ − e− i ϕ z − z −1 z2 − 1 = = . 2i 2i 2z i

Vytvoˇr´ıme funkci komplexn´ı promˇenné z (racionáln´ı lomenou funkci) 1 z2 + 1 z2 − 1 Q , f (z) = iz 2z 2z i

!

a budeme poˇc´ıtat integrál z této funkce po kladnˇe orientované jednotkové kruˇznici, která má stˇred v poˇcátku ( |z| = 1 ). Pˇri v´ ypoˇctu integrálu dosazen´ım exponenciáln´ıho vyjádˇren´ı komplexn´ıho ˇc´ısla z a rovnice kruˇznice |z| = 1 vyjde z = |z| e i ϕ = e i ϕ , dz = i e i ϕ dϕ, ϕ ∈< 0, 2π). Po dosazen´ı dostaneme I C

f (z) dz =

Z 0

2π

Z 2π 1 iϕ Q(cos ϕ, sin ϕ) i e dϕ = Q(cos ϕ, sin ϕ) dϕ. i eiϕ 0

128

Funkce komplexn´ı promˇenné Prakticky dostaneme funkci f (z) dosazen´ım za cos ϕ , sin ϕ a za dz dϕ = . Racionáln´ı lomená funkce f (z) má koneˇcn´ y poˇcet izoloiz van´ ych singulárn´ıch bod˚ u a kdyˇz ˇzádn´ y z nich neleˇz´ı na jednotkové kruˇznici, pouˇzijeme reziduovou vˇetu 2π

Z 0

n X

1 z2 + 1 z2 − 1 Q , Q(cos ϕ, sin ϕ) dϕ = 2π i res z=zk i z 2z 2z i k=1

!

,

kde zk , k = 1, 2, ... n jsou póly leˇz´ıc´ı ve vnitˇrn´ı oblasti jednotkové kruˇznice.

Poznámka : Vzhledem k periodiˇcnosti funkc´ı cos ϕ a sin ϕ mohou b´ yt meze urˇcitého integrálu tvaru a , a + 2π ( pro libovolné a ∈ R ) . Uveden´ ym zp˚ usobem je moˇzné vypoˇc´ıtat i nˇekteré jiné integrály, napˇr. pro sudou funkci integrál od 0 do π jako polovinu integrálu od −π do π .

2.

Z

+∞

Q(x) dx .

−∞

Pˇredpokládejme, ˇze racionáln´ı lomená funkce Q(x) má tyto vlastnosti : jmenovatel funkce Q(x) nemá reálné koˇreny, takˇze funkce Q(x) je spojitá pro vˇsechna x ∈ R , stupeˇ n jmenovatele funkce Q(x) je aspoˇ n o dvˇe vˇetˇs´ı neˇz stupeˇ n ˇcitatele ( tato podm´ınka zaruˇcuje absolutn´ı konvergenci daného nevlastn´ıho integrálu ). I

Budeme poˇc´ıtat Q(z) dz po jednoduché uzavˇrené kladnˇe orientované c kˇrivce C , která je tvoˇrena na reálné ose u ´seˇckou < −R, R > a doplnˇena polokruˇznic´ı s polomˇerem R v horn´ı polorovinˇe. Polomˇer R vol´ıme tak velk´ y, aby vˇsechny singulárn´ı body funkce Q(z) s kladnou imaginárn´ı ˇcást´ı leˇzely uvnitˇr kˇrivky C . Pˇri zvˇetˇsován´ı polomˇeru R tedy nemohou pˇrib´ yvat singulárn´ı body, takˇze hodnota integrálu se jiˇz nezmˇen´ı.


129

Dá se dokázat, ˇze limita integrálu po polokruˇznici ( pro R → +∞ ) je rovna nule. Proto vzhledem k pˇredpokládané absolutn´ı konvergenci integrálu plat´ı Z

+∞

Q(x) dx =

I

−∞

Q(z) dz = 2π i

C

n X k=1

res Q(z) ,

z=zk

kde zk , k = 1, 2, ... n jsou vˇsechny póly funkce Q(z) leˇz´ıc´ı v horn´ı polorovinˇe Gaussovy roviny. Poznámka : Bylo by moˇzné taky doplnit u ´seˇcku < −R , R > polokruˇznic´ı v doln´ı polorovinˇe. Potom by vˇsak uvnitˇr kˇrivky byly singulárn´ı body v doln´ı polorovinˇe a uzavˇrená kˇrivka by mˇela zápornou orientaci. Ale vzhledem k tomu, ˇze kaˇzd´ y mnohoˇclen s reáln´ ymi koeficienty má vˇzdy komplexnˇe sdruˇzené koeficienty, vyjde nakonec stejn´ y v´ ysledek.

3.

Z

+∞

Q(x) cos ax dx ,

−∞

Z

+∞

Q(x) sin ax dx , a ∈ R+

−∞

Pˇredpokládejme, ˇze funkce Q(x) má stejné vlastnosti a kˇrivka C je stejná jako v pˇredcházej´ıc´ım pˇr´ıpadˇe. Utvoˇr´ıme funkci Q(z) e i az , která má na reálné ose ( pro z = x ) hodnotu Q(x)( cos ax + i sin ax ). Protoˇze |e i az | = |e i ax−ay | = e−ay < 1 pro y > 0 , je opˇet limita integrálu po polokruˇznici rovna nule a plat´ı Z

+∞

Q(x)(cos ax+ i sin ax) dx =

−∞

I

e i az Q(z) dz = 2π i

C

n X k=1

res e i az Q(z),

z=zk

kde zk , k = 1, 2, ... n jsou vˇsechny póly funkce Q(z) leˇz´ıc´ı v horn´ı polorovinˇe Gaussovy roviny. Z rovnosti reáln´ ych a imaginárn´ıch ˇcást´ı dostaneme t´ımto v´ ypoˇctem souˇcasnˇe hodnoty obou integrál˚ u Z

+∞

−∞

Q(x) cos ax dx ,

Z

+∞

Q(x) sin ax dx .

−∞

V pˇr´ıkladech 11.1 - 11.14 vypoˇc´ıtejte podle obecného návodu hodnoty dan´ ych integrál˚ u 1. typu.

130


11.1.

Z

2π

0

dϕ . 5 + 4 cos ϕ

ˇ sen´ı : Reˇ

Po dosazen´ı cos ϕ =

z2 + 1 dz a dϕ = vyjde 2z iz

2π

I I dϕ dz dz = . = 2 z +1 5 + 4 cos ϕ 0 C i z(5 + 4 C i (2z 2 + 5z + 2) ) 2z √ −5 + 25 − 16 Integrovaná funkce má izolované singulárn´ı body z1 = = 4 √ 1 −5 − 25 − 16 = − , z2 = = −2 . Ve vnitˇrn´ı oblasti jednotkové 2 4 kruˇznice se stˇredem v poˇcátku leˇz´ı pouze bod z1 ( pól 1. ˇrádu ) . V tomto bodˇe vypoˇc´ıtáme reziduum ( po rozloˇzen´ı jmenovatele na souˇcin koˇrenov´ ych ˇcinitel˚ u a koeficientu 2 ) Z

res1

z=− 2

z + 12 1 1 = lim = . 1 2 i (2z + 5z + 2) z→− 12 2 ı (z + 2 )(z + 2) 3i

Takˇze podle reziduové vˇety

Z 0

11.2.

Z

2π

0

2π

dϕ 2π = . 5 + 4 cos ϕ 3

dϕ . 5 + 3 cos ϕ −10 ±

√

100 − 36 leˇz´ı 6 1 ve vnitˇrn´ı oblasti jednotkové kruˇznice pouze bod z1 = − (pól 1. ˇrádu), 3 Z 2π 2 1 dϕ π res1 = ⇒ = . 2 4i 5 + 3 cos ϕ 2 0 z=− 3 i (3z + 10z + 3) V´ ysledek : Ze dvou singul´ arn´ıch bod˚ u z1,2 =

11.3.

Z 0

2π

dϕ . 2 + cos ϕ

Ze dvou singulárn´ıch bod˚ √ u leˇz´ı ve vnitˇrn´ı oblasti jednotkové kruˇznice pouze bod z1 = −2 + 3 ( pól 1. ˇrádu ) ; V´ ysledek :


res

z=z1

11.4.

π

Z

2 1 = √ 2 i (z + 4z + 1) i 3 √

−π

π

−π

√

Z

⇒

0

2π

dϕ 2π =√ . 2 + cos ϕ 3

dϕ . 5 + 2 sin ϕ

ˇ sen´ı : Reˇ Z

131

z2 − 1 dz a dϕ = 2z i iz I dz √ = 2 C z2 + i z( 5 + 2 z2z−1 ) i

Po dosazen´ı sin ϕ =

I dϕ = C 5 + 2 sin ϕ

vyjde

i

dz √

5z − 1

.

Integrovaná funkce má dva izolované singulárn´ı body √ √ − i ( 5 + 1) − i ( 5 − 1) , z2 = . z1 = 2 2 Ve vnitˇrn´ı oblasti jednotkové kruˇznice leˇz´ı pouze bod z1 (pól 1. ˇrádu); 1 1 1 z − z1 √ res 2 = = . = lim z=z1 z + i z1 − z2 i 5z − 1 z→z1 (z − z1 )(z − z2 ) Hodnota integrálu je tedy 2π .

11.5.

Z

2π

0

dϕ , a>b>0. a + b cos ϕ

V´ ysledek : Ze dvou singul´ arn´ıch bod˚ u leˇz´ı ve vnitˇrn´ı oblasti jednot-

kové kruˇznice pouze bod z1 = res

z=z1

11.6.

Z 0

i (bz 2

2π

2 1 = √ 2 + 2az + b) i a − b2

√

a2 − b 2 ( pól 1. ˇrádu ) ; b Z 2π 2π dϕ ⇒ =√ 2 . a + b cos ϕ 0 a − b2

−a +

dϕ √ . ( 2 − cos ϕ)2

ˇ sen´ı : Reˇ

Po dosazen´ı vyjde integrál funkce komplexn´ı promˇenné

132

Funkce komplexn´ı promˇenné 2π

I I dϕ 1 dz 4z √ √ = = dz. √ 2 2 2 2 iz C C i (z − 2 2z + 1)2 0 ( 2 − cos ϕ) 2 − z 2z+1 √ √ Integrovaná funkce má dva singulárn´ı body z1 = 2+1 , z2 = 2−1 . Z

Ve vnitˇrn´ı oblasti jednotkové kruˇznice leˇz´ı pouze bod z2 (pól 2.ˇrádu); d 4z(z − z2 )2 −4(z + z1 ) = lim = z→z2 dz i (z − z )2 (z − z )2 z=z2 z→z2 i (z − z )3 1 2 1 √ √ 2 z2 + z1 2 2 . = −4 = −4 = 3 3 i (z2 − z1 ) i (−2) i √ Hodnota integrálu je tedy 2π 2 . res f (z) = lim

11.7.

Z

2π

0

dϕ . (2 + cos ϕ)2

V´ ysledek : Ze dvou singul´ arn´ıch bod˚ √u leˇz´ı ve vnitˇrn´ı oblasti jednot-

kové kruˇznice pouze bod z1 = −2 + res

z=z1

11.8.

Z

2π

0

4z dz 2 √ = i (z 2 + 4z + 1)2 3ı 3

⇒

3 ( pól 2. ˇrádu ). 2π

Z 0

dϕ 4π √ = . (2 + cos ϕ)2 3 3

dϕ . (5 − 4 cos ϕ)2

V´ ysledek : Ze dvou singul´ arn´ıch bod˚ u leˇz´ı ve vnitˇrn´ı oblasti jednot-

kové kruˇznice pouze bod z1 = z dz 5 res = z=z1 i (2z 2 − 5z + 2)2 27 i

11.9.

Z 0

2π

1 ( pól 2. ˇrádu ). 2 ⇒

Z 0

2π

dϕ 10π = . 2 (5 − 4 cos ϕ) 27

dϕ . (3 − 2 sin ϕ)2

V´ ysledek : Ze dvou singul´ arn´ıch bod˚ √ u leˇz´ı ve vnitˇrn´ı oblasti jednot-

kové kruˇznice pouze bod z1 =

3− 5 i ( pól 2. ˇrádu ). 2

11.V´ ypoˇcet nˇekter´ ych typ˚ u integrál˚ u iz dz 3i =− √ 2 2 (z − 3 i z − 1) 5 5

res

z=z1

Z

11.10.

2π

0

2π

0

⇒

Z 0

2π

dϕ 6π = √ . 2 (3 − 2 sin ϕ) 5 5

dϕ , a>b>0. (a + b cos ϕ)2

ˇ sen´ı : Reˇ Z

133


I I 4z dϕ 1 dz = = dz. 2 2 2 (a + b cos ϕ) iz C i (bz + 2az + b)2 C a + b z 2 +1 2z

Integrovaná funkce má dva singulárn´ı body, ve vnitˇrn´ı oblasti jednot√ −a + a2 − b2 kové kruˇznice leˇz´ı pouze bod z1 = ( pól 2.ˇrádu ) ; b 4z d 4z(z − z1 )2 res = lim = z=z1 i(bz 2 + 2az + b)2 z→z1 dz i b2 (z − z )2 (z − z )2 1 2 =−

8a 4(z1 + z2 ) = q . 2 3 i b (z1 − z2 ) 8ı (a2 − b2 )3 2πa

Hodnota integrálu je tedy q

(a2 − b2 )3

Z

11.11.

2π

0

.

cos2 ϕ dϕ . 5 + 3 cos ϕ

ˇ sen´ı : Reˇ

Po dosazen´ı vyjde následuj´ıc´ı integrál funkce komplexn´ı

promˇenné 2π

Z 0

(z 2 +1)2

I I dz cos2 ϕ (z 2 + 1)2 dz 4z 2 dϕ = = . z 2 +2 i z 5 + 3 cos ϕ C 5+3 C 2 i z 2 (3z 2 + 10z + 3) 2z

Ve vnitˇrn´ı oblasti jednotkové kruˇznice leˇz´ı dva singulárn´ı body z1 = 0 ( pól 2. ˇrádu ) a z2 = − 31 ( pól 1. ˇrádu ). (z 2 + 1)2 d (z 2 + 1)2 res = lim = z=0 z 2 (3z 2 + 10z + 3) z→0 dz 3z 2 + 10z + 3 4z(z 2 + 1)2 (3z 2 + 10z + 3) − (z 2 + 1)2 (6z + 10) 10 =− , 2 2 z→0 (3z + 10z + 3) 9

= lim

134

Funkce komplexn´ı promˇenné (z 2 + 1)2 (z 2 + 1)2 10 = lim = z 2 (3z 2 + 10z + 3) z→− 13 3z 2 (z + 3) 9

res1

z=− 3

Z

Takˇze

2π

0

11.12.

2π

Z 0

11.13.

2π

0

2π

0

cos2 ϕ 10 5 5π dϕ = −1 π = . 5 + 3 cos ϕ 9 4 18


13π . 45

dϕ , 0
ˇ sen´ı : Reˇ Z

9 10 5 = , 8 9 4

cos2 ϕ dϕ . 13 + 12 cos ϕ

V´ ysledek : Z

2


I dϕ −dz 2π = = , 2 2 2 1 − 2a cos ϕ + a 1 − a2 C i[az − (a + 1)z + a]

protoˇze z = a je pól 1. ˇrádu, kter´ y leˇz´ı ve vnitˇrn´ı oblasti jednotkové kruˇznice a res

z=a i [az 2

11.14.

Z

2π

0

−1 −1 −(z − a) = = lim . 1 2 − (a + 1)z + a] z→a ia(z − a)(z − a ) i (a2 − 1)

cos2 ϕ dϕ , 0
V´ ysledek :


1 + a2 π. 1 − a2

V pˇr´ıkladech 11.15 - 11.38 vypoˇc´ıtejte podle obecného návodu hodnoty dan´ ych integrál˚ u 2. typu. Touto metodou se daj´ı poˇc´ıtat na základˇe symetrie také integrály ze sudé funkce v intervalu < 0, ∞) . ∞

dx . + 2x + 5 ˇ sen´ı : Absolutn´ı konvergence nevlastn´ıho integr´ Reˇ alu je zaruˇcena t´ım, ˇze stupeˇ n jmenovatele je o dvˇe vˇetˇs´ı neˇz stupeˇ n ˇcitatele a ˇze integrovaná

11.15.

Z

−∞ x2


135

funkce je spojitá pro vˇsechna x ∈ R (jmenovatel nemá reálné koˇreny). Proto podle obecného postupu ∞

Z

−∞ x2

dx 1 1 π = 2π i z=z res 2 = 2π i = , 1 z + 2z + 5 + 2x + 5 z1 − z2 2

kde jmenovatel má koˇreny z1 = −1 + 2 i , z2 = −1 − 2 i (póly 1.ˇrádu), z nichˇz v horn´ı polorovinˇe leˇz´ı pouze bod z1 . ∞

dx . + 5x2 + 4 0 ˇ sen´ı : V´ Reˇ ypoˇcet integrálu touto metodou je umoˇznˇen t´ım, ˇze integrovaná funkce je sudá. Po rozloˇzen´ı jmenovatele na souˇcin vyjde Z

11.16.

x4

∞

Z 0

1Z ∞ dx dx = = πi 4 2 2 x + 5x + 4 2 −∞ (x + 1)(x2 + 4)

1 1 − 6i 12 i

=

π , 12

kde jmenovatel má koˇreny z1 = i , z2 = − i , z3 = 2 i , z4 = −2 i , z nichˇz v horn´ı polorovinˇe leˇz´ı pouze z1 a z3 a vypoˇc´ıtáme 1 z− i 1 1 res = lim = = , 2 z= i (z 2 + 1)(z 2 + 4) z→ i (z − i )(z + i )(z 2 + 4) 2 i ( i + 4) 6i res z = 2 i

(z 2

1 1 z − 2i = lim 2 =− . 2 + 1)(z + 4) z→2 i (z + 1)(z − 2 i )(z + 2 i ) 12 i

∞

dx . +x+1 V´ ysledek : Podm´ınky pro pouˇ zit´ı obecného postupu jsou splnˇeny, takˇze Z ∞ dx 1 2π √ √ = 2π i = . −∞ x2 + x + 1 i 3 3 Z

11.17.

−∞ x2

Z

11.18.

∞

−∞ x2

dx . + 4x + 13

V´ ysledek : Podm´ınky pro pouˇ zit´ı obecného postupu jsou splnˇeny,

takˇze Z

∞

−∞ x2

dx 1 π = 2πı = . + 4x + 13 6i 3

136


11.19.

∞

(x2

0

dx . + 1)(x2 + 9)

V´ ysledek : Podm´ınky pro pouˇ zit´ı obecného postupu jsou splnˇeny a integrovaná funkce je sudá, takˇze ∞

Z

dx dx 1Z ∞ 1 1 = = πı − 2 2 2 2 (x + 1)(x + 9) 2 −∞ (x + 1)(x + 9) 16 i 48 i

0

Z

11.20.

∞

−∞

=

π . 24

x2 dx . (x2 + 1)(x2 + 4)


takˇze ∞

Z

−∞

Z

11.21.

x2 dx = 2π i (x2 + 1)(x2 + 4)

∞

−∞

−4 −1 + 6i −12 i

=

π . 3

x dx . (x2 + 1)(x2 + 4)


takˇze ∞

x dx 1 2 = 2π i − =0. 2 2 6 12 −∞ (x + 1)(x + 4) V´ ysledek odpov´ıdá tomu, ˇze se integruje lichá funkce v soumˇerném intervalu. Z

11.22.

Z

∞

−∞ (x2

x dx . + 1)(x2 − 2x + 2)


takˇze Z

∞

−∞

x dx = 2π i 2 (x + 1)(x2 − 2x + 2)

1 1+ i + 2(1 − 2 i ) 2 i (2 i + 1)

!

=

π . 5

11.V´ ypoˇcet nˇekter´ ych typ˚ u integrál˚ u Z

11.23.

∞

−∞ (x2

137

dx . − 2x + 2)2

ˇ sen´ı : Podm´ınky pro pouˇ Reˇ zit´ı obecného postupu jsou splnˇeny, takˇze Z

∞

−∞ (x2

dx π 1 = , = 2πı 2 − 2x + 2) 4i 2

kde jmenovatel má dvojnásobné koˇreny z1 = 1 + i , z2 = 1 − i ( póly 2. ˇrádu ), v horn´ı polorovinˇe leˇz´ı pouze bod z1 a je tˇreba vypoˇc´ıtat 1 d 1 −2 −2 1 . = lim = lim = = (z 2 − 2z + 2)2 z→z1 dz (z − z2 )2 z→z1 (z − z2 )3 (2 i )3 4i

res

z=z1

Z

11.24.

∞

−∞ (x2

x dx . + 2x + 2)2

ˇ sen´ı : Podm´ınky pro pouˇ Reˇ zit´ı obecného postupu jsou splnˇeny, takˇze ∞

1 π x dx = 2π i =− , 2 + 2x + 2) −4 i 2 kde jmenovatel má dvojnásobné koˇreny z1 = −1 + i , z2 = −1 − i (póly 2. ˇrádu), v horn´ı polorovinˇe leˇz´ı pouze bod z1 a je tˇreba vypoˇc´ıtat Z

−∞ (x2

z d z (z − z2 )2 − 2z(z − z2 ) = lim = lim = (z 2 + 2z + 2)2 z→z1 dz (z − z2 )2 z→z1 (z − z2 )4

res

z=z1

= z→z lim

1

−(z + z2 ) −(z1 + z2 ) 2 1 = = = . (z − z2 )3 (z1 − z2 )3 (2 i )3 −4 i

∞

dx . − 2x + 5)2 V´ ysledek : Podm´ınky pro obecn´ y postup jsou splnˇeny, takˇze Z ∞ 1 π x dx = 2π i = . 2 2 32 i 16 −∞ (x − 2x + 5) Z

11.25.

−∞ (x2

Z

11.26.

∞

−∞ (x2

dx . + x + 1)2

V´ ysledek : Podm´ınky pro obecn´ y postup jsou splnˇeny, takˇze Z

∞

−∞

x dx 2 4π √ √ . = 2π i = (x2 + x + 1)2 3i 3 3 3

138


11.27.

∞

−∞ (x2

x dx . + 2x + 5)2


∞

−∞ (x2

Z

11.28.

x dx 2 π . = 2πi =− 2 3 + 2x + 5) (4i) 16

∞

−∞ (x2

x dx . + 4x + 13)2


∞

−∞ (x2

Z

11.29.

x dx 4 π . = 2π i =− 2 3 + 4x + 13) (6 i ) 27

∞

−∞ (x2

x dx . − 4x + 5)2


∞

−∞

Z

11.30.

x dx −4 = 2πi =π . (x2 − 4x + 15)2 (2i)3

∞

−∞

x2 dx . (x2 − 2x + 10)2


∞

−∞ (x2

x dx −20 5π = 2π i = . 2 3 − 2x + 10) (6 i ) 54

∞

dx . +1 ˇ sen´ı : Podm´ınky pro pouˇ Reˇ zit´ı obecného postupu jsou splnˇeny, takˇze

11.31.

Z

−∞ x4

!

dx 1+ i −1 + i π = 2π i − √ − √ = √ , kde jmenovatel má 4 −∞ x + 1 4 2 4 2 2 1+ i −1 + i −1 − i 1−i , z3 = √ , z4 = √ ( póly koˇreny z1 = √ , z2 = √ 2 2 2 2

Z

∞


139

1. ˇrádu ), v horn´ı polorovinˇe leˇz´ı pouze body z1 a z2 . Reziduum je vhodné vypoˇc´ıtat obecnˇe pro singulárn´ı bod zk ( pomoc´ı l0 Hospitalova pravidla ) a v´ ysledek upravit rozˇs´ıˇren´ım zk res

z=zk

11.32.

Z

z4 ∞

−∞

1 z − zk 1 zk zk 1 = z→z lim 4 = z→z lim 3 = 3 = 4 = , k = 1, 2. k z + 1 k 4z +1 4zk 4zk −4 x2 dx . x4 + 4

V´ ysledek : Hodnota integr´ alu je

π . 4

x2 dx . −∞ x6 + 1 ˇ sen´ı : Podm´ınky pro pouˇ Reˇ zit´ı obecného postupu jsou splnˇeny, takˇze

11.33.

Z

∞

x2 dx −i i π i = 2πı + + = , kde integrovaná funkce má 6 −6 −6 −6 3 −∞ x + 1 √ √ − 3+ i 3+ i v horn´ı polorovinˇe póly 1.ˇrádu z1 = , z2 = i , z3 = . 2 2 Rezidua je vhodné poˇc´ıtat obecnˇe pro singulárn´ı bod zk ( pomoc´ı l0 Hospitalova pravidla ) (z − zk )z 2 z2 zk2 z2 zk3 = lim = lim = , k = 1, 2, 3. res 6 = z→zk z→zk 6z 5 z=zk z + 1 z6 + 1 6zk5 −6 Pˇritom z23 = i 3 = − i , √ 1 √ 1 √ 1 z13 = ( 3 + i)3 = (3 3 + 3.3 i + 3 3 i 2 + i 3 ) = (9 i − i ) = i , 8 8 8 √ √ √ 1 1 1 z33 = (− 3 + i )3 = (−3 3 + 3.3 i − 3 3 i 2 + i 3 ) = (9 i − i ) = i . 8 8 8 Z ∞ dx 11.34. . 6 −∞ x + 1 2π V´ ysledek : Hodnota integr´ alu je . 3 Z

∞

11.35.

Z

∞

−∞

x4 dx . x6 + 1

V´ ysledek : Je pˇrekvapuj´ıc´ı, ˇ ze hodnota integrálu

v pˇredcházej´ıc´ım pˇr´ıkladu.

2π je stejná jako 3

140


11.36.

∞

−∞ (x2

dx . − 2x + 5)3

ˇ sen´ı : Jmenovatel m´ Reˇ a v tomto pˇr´ıpadˇe dva trojnásobné koˇreny

z1 = 1 + 2 i , z2 = 1 − 2 i , takˇze poˇc´ıtáme reziduum v pólu 3. ˇrádu 1 d2 (z − z1 )3 1 = lim = res z→z1 2! dz 2 (z − z )3 (z − z )3 z=z1 (z 2 − 2z + 5)3 1 2 12 1 6 6 3 = lim . = = = 5 5 5 z→z 1 (z − z2 ) 2 (z1 − z2 ) (4 i ) 512 i 3π Hodnota integrálu je tedy . 256 x2 dx . −∞ (x2 + 4)3 V´ ysledek : V bodˇ e z1 = 2 i je pól 3. ˇrádu ; Z ∞ x2 dx π π z2 = ⇒ = . res 2 2 3 z=2 i (z + 4)3 128 i 64 −∞ (x + 4) Z

11.37.

∞

x2 dx . −∞ (x2 + 4x + 5)3 V´ ysledek : V bodˇ e z1 = −2 + i je pól 3. ˇrádu ; Z ∞ 2 z 13π x2 dx 13π res = ⇒ = . 2 3 2 3 z=z1 (z + 4z + 5) 8i 4 −∞ (x + 4x + 5) Z

11.38.

∞

V pˇr´ıkladech 11.39 - 11.56 vypoˇc´ıtejte podle obecného návodu hodnoty dan´ ych integrál˚ u 3. typu. Touto metodou se daj´ı poˇc´ıtat na základˇe symetrie také integrály ze sudé funkce v intervalu < 0, ∞) . ∞

cos x dx . − 2x + 5 ˇ sen´ı : Racion´ Reˇ aln´ı funkce má poˇzadované vlastnosti, takˇze m˚ uˇzeme pˇrej´ıt k funkci komplexn´ı promˇenné a pouˇz´ıt reziduovou vˇetu. Z

11.39.

−∞ x2

e i z dz e i (1+2 i ) πe−2+ i π = 2π i = = 2 (cos 1 + i sin 1) , 2 4i 2 2e C z − 2z + 5 kde z1 = 1 + 2 i je jedin´ y pól 1. ˇrádu v horn´ı polorovinˇe a I

e i z dz eiz e i z1 e i (1+2 i ) res = lim = = . z=z1 z 2 − 2z + 5 z→z1 z − z z1 − z2 4i 2


141

Pro rovnost reáln´ ych ˇcást´ı vyjde Z ∞ I cos x e i z dz π cos 1 . dx = Re = = 0, 11486 . 2e2 −∞ x2 − 2x + 5 C z 2 − 2z + 5 11.40.

Z

∞

−∞

sin x dx . x2 − 2x + 5

V´ ysledek : V´ ypoˇcet se provede stejnˇe jako v pˇr. 11.39, v´ ysledek dostanete z rovnosti imaginárn´ıch ˇcást´ı; Z ∞ I sin x e i z dz π sin 1 . dx = Im = = 0, 17888 . 2 2 2e2 −∞ x − 2x + 5 C z − 2z + 5 ∞

cos x dx . −∞ x2 − 4x + 8 V´ ysledek : Podobnˇ e jako v pˇredcházej´ıc´ım pˇr´ıkladu

11.41.

Z

eı(2+2 i ) πe−2+2 i π e i z dz = 2π i = = 2 (cos 2 + i sin 2) . 2 4i 2 2e C z − 4z + 8 Pro rovnost reáln´ ych ˇcást´ı vyjde Z ∞ I cos x eiz dz π cos 2 . dx = Re = = −0.0885 . 2 2 2e2 −∞ x − 2x + 5 C z − 2z + 5 I

∞

cos x dx . + 2x + 2 V´ ysledek : Podobnˇ e jako v pˇredcházej´ıc´ıch pˇr´ıkladech

11.42.

Z

−∞ x2

eiz dz e i (−1+ i ) π −1− i = 2π i = πe = (cos 1 − i sin 1) . 2i e C z 2 + 2z + 2 Pro rovnost reáln´ ych ˇcást´ı vyjde I Z ∞ e i z dz cos x π cos 1 . dx = Re = = 0, 6244 . 2 2 e C z + 2z + 2 −∞ x + 2x + 2 I

∞

sin x dx . + 2x + 2 V´ ysledek : V´ ypoˇcet se provede stejnˇe jako v pˇr. 11.42, ale v´ ysledek dostanete z rovnosti imaginárn´ıch ˇcást´ı; Z ∞ I sin x e i z dz π sin 1 . dx = Im =− = −0, 8415 . 2 2 e −∞ x + 2x + 2 C z + 2z + 2

11.43.

Z

−∞ x2

142

Funkce komplexn´ı promˇenné ∞

cos x dx . − 2x + 2 V´ ysledek : Podobnˇ e jako v pˇredcházej´ıc´ıch pˇr´ıkladech Z

11.44.

−∞ x2

e i z dz eı(1+ i ) π = 2π i = πe−1+ i = (cos 1 + i sin 1) . 2 2i e C z + 2z + 2 Pro rovnost reáln´ ych ˇcást´ı vyjde I Z ∞ cos x e i z dz π cos 1 . dx = Re = = 0, 6244 . 2 2 e C z − 2z + 2 −∞ x − 2x + 2 Proˇc m˚ uˇze vyj´ıt stejn´ y v´ ysledek jako v pˇr. 11.42 ? I

Z

11.45.

∞

−∞ x2

sin x dx . − 2x + 2

V´ ysledek : V´ ypoˇcet se provede stejnˇe jako v pˇr. 11.44, ale v´ ysledek dostanete z rovnosti imaginárn´ıch ˇcást´ı; Z ∞ I π sin 1 . sin x e i z dz dx = Im = = 0, 8415 . 2 2 e −∞ x − 2x + 2 C z − 2z + 2 Proˇc vyjde ve srovnán´ı s pˇr. 11.43 opaˇcn´ y v´ ysledek ?

Z

11.46.

∞

0

cos x dx . x4 + 4

ˇ sen´ı : Jmenovatel racion´ Reˇ aln´ı lomené funkce má koˇreny

z1 = 1+ i , z2 = −1+ i , z3 = −1− i , z4 = 1− i . Racionáln´ı funkce má vˇeechny poˇzadované vlastnosti, takˇze m˚ uˇzeme pˇrej´ıt k funkci komplexn´ı promˇenné. Pˇri v´ ypoˇctu rezidu´ı vyjde ( pomoc´ı l0 Hospitalova pravidla ) eiz (z − zk )e i z eiz = lim = lim = z=zk z 4 + 4 z→zk z→zk 4z 3 z4 + 4 e i zk zk e i zk zk e i zk = 3 = = , k = 1, 2, 3, 4. 4zk 4zk4 −16 Podle reziduové vˇety res

I C

e i z dz = 2π i z4 + 4

(1 + i ) e i (1+ i ) (−1 + i )e i (−1+ i ) + −16 −16

πi πi = − [(1+ i ) e−1+ i +(−1+ i ) e−1− i ] = 8 4e

!

=

e i − e− i i (e i + e− i ) + 2 2

!

=


143

π i i (e i − e− i ) i (e i + e− i ) π =− + = (sin 1 + cos 1) . 4e 2i 2 4e protoˇze v horn´ı polorovinˇe leˇz´ı dva póly 1. ˇrádu z1 a z2 . !

Vzhledem k tomu, ˇze integrovaná funkce je sudá, m˚ uˇzeme psát Z ∞ I Z ∞ iz cos x cos x 1 1 e π dx = dx = = (sin 1 + cos 1) . 4 4 4 x +4 2 −∞ x + 4 2 C z +4 8e 0 ∞

Z

11.47.

0

x sin x dx . x4 + 4

V´ ysledek : Podobnˇ e jako v pˇredcházej´ıc´ım pˇr´ıkladu dostanete podle reziduové vˇety a vzhledem k tomu, ˇze integrovaná funkce je sudá Z ∞ x sin x 1 I z eiz π sin 1 dx = Im = . 4 4 x +4 2 C z +4 4e 0

∞

Z

11.48.

−∞

cos x , a ∈ R+ . x 2 + a2

ˇ sen´ı : Racion´ Reˇ aln´ı funkce má vˇsechny poˇzadované vlastnosti, takˇze

m˚ uˇzeme pˇrej´ıt k funkci komplexn´ı promˇenné a pouˇz´ıt reziduovou vˇetu. eiz dz eı(a i ) πe−a π = 2π i = = , 2 2 2a i a a ea C z +a kde z1 = a i je jedin´ y pól 1. ˇrádu v horn´ı polorovinˇe a I

e i z dz eiz eı(a i ) = lim = . z=a i z 2 + a2 z→a i z + ai 2a i V tomto pˇr´ıpadˇe vyˇsla reálná hodnota, která je pˇr´ımo rovna hodnotˇe Z ∞ sin x daného integrálu. V integrálu dx je integrovaná funkce −∞ x2 + a2 lichá funkce, takˇze tento integrál je roven nule. res

11 49.

Z 0

∞

(x2

cos x dx . + 1)2 (x2 + 4)2

144

Funkce komplexn´ı promˇenné V´ ysledek : Podle reziduov´ e vˇety a vzhledem k tomu, ˇze integrovaná

funkce je sudá, vyjde cos x eiz 1I π(2e − 1) dx = dz = , 2 2 2 2 2 2 2 2 (x + 1) (x + 4) 2 C (z + 1) (z + 4) 12 e2 0 protoˇze integrovaná funkce má dva póly 1. ˇrádu v horn´ı polorovinˇe ( z1 = i , z2 = 2 i ). ∞

Z

∞

Z

11 50.

0

x sin x dx . (x2 + 1)2 (x2 + 4)2

V´ ysledek : Podle reziduov´ e vˇety a vzhledem k tomu, ˇze integrovaná

funkce je sudá, vyjde 1I ze i z π(e − 1) x sin x dx = Im dz = , 2 2 2 2 2 2 2 2 (x + 1) (x + 4) 2 C (z + 1) (z + 4) 6 e2 0 protoˇze integrovaná funkce má dva póly 1. ˇrádu v horn´ı polorovinˇe ( z1 = i , z2 = 2 i ). ∞

Z

Z

11.51.

∞

−∞

cos x dx . (x2 − 4x + 5)2

ˇ sen´ı : Racion´ Reˇ aln´ı funkce má poˇzadované vlastnosti, takˇze m˚ uˇzeme

pˇrej´ıt k funkci komplexn´ı promˇenné, která má v horn´ı polorovinˇe pól 2. ˇrádu z1 = 2 + i . e i z [ i (z − z2 ) − 2] d eiz e i z dz = lim = = res 2 z→z1 dz (z − z )2 z=z1 (z − 4z + 5)2 (z − z2 )3 2 e i (2+ i ) ( i 2 i − 2) e−1 e2 i (−4) 4 (cos 2 + ı sin 2) = = . 3 (2 i ) −8i e 8i Podle vˇety o rezidu´ıch =

e i z dz 4 cos 2 + i sin 2 π = 2π i = (cos 2 + i sin 2) . 2 2 e 8i e C (z − 4z + 5) Pro rovnost reáln´ ych ˇcást´ı vyjde I

Z

∞

−∞

11.52.

Z

I cos x e i z dz π cos 2 . dx = Re = = −0, 481 . 2 2 2 2 (x − 4x + 5) e C (z − 2z + 5) ∞

−∞ (x2

cos x dx . + 2x + 2)2


145

V´ ysledek : Podobnˇ e jako v pˇredcházej´ıc´ım pˇr´ıkladu ( z1 = −1 + i )

vyjde podle reziduové vˇety I e i z dz π = (cos 1 − i sin 1) . 2 2 e C (z + 2z + 2) Pro rovnost reáln´ ych ˇcást´ı vyjde Z ∞ I cos x e i z dz π cos 1 . = 0, 6244 . dx = Re = 2 2 2 2 e −∞ (x + 2x + 2) C (z + 2z + 2) Je zaj´ımavé, ˇze hodnota tohoto integrálu je stejná jako hodnota integrálu z pˇr. 11.42. ∞

sin x dx . −∞ (x2 + 2x + 2)2 V´ ysledek : Pro rovnost imagin´ arn´ıch ˇcást´ı vyjde podobnˇe jako v pˇredcházej´ıc´ım pˇr´ıkladu

11.53.

Z

Z

∞

−∞

11.54.

I e i z dz π sin 1 . cos x dx = Im =− = −0, 8415 . 2 2 2 2 (x + 2x + 2) e C (z + 2z + 2)

Z

∞

0

x sin x dx , a > 0 . (x2 + a2 )2

V´ ysledek : Podle reziduov´ e vˇety a vzhledem k tomu, ˇze integrovaná

funkce je sudá, vyjde Z ∞ ze i z 1I π x sin x dx = Im dz == , 2 2 2 2 2 2 (x + a ) 2 C (z + a ) 4aea 0 protoˇze integrovaná funkce má jedin´ y pól 2. ˇrádu v horn´ı polorovinˇe ( z1 = a i ). 11.55.

Z 0

∞

cos x dx , a > 0 . + a2 )2

(x2

V´ ysledek : Podle reziduov´ e vˇety a vzhledem k tomu, ˇze integrovaná funkce je sudá, vyjde Z ∞ 1I eiz π(a + 1) cos x dx = dz = , 2 2 2 2 2 2 (x + a ) 2 C (z + a ) 4a3 ea 0 protoˇze integrovaná funkce má jedin´ y pól 2. ˇrádu v horn´ı polorovinˇe ( z1 = a i ).

146


11.56.

∞

0

x2 cos x dx , a > 0 . (x2 + a2 )2

V´ ysledek : Vzhledem k tomu, ˇ ze integrovaná funkce je sudá, vyjde podle vˇety o rezidu´ıch

x2 cos x z2e i z 1I π(1 − a) dx = dz = , 2 2 2 2 2 2 (x + a ) 2 C (z + a ) 4a ea 0 protoˇze integrovaná funkce má jedin´ y pól 2. ˇrádu v horn´ı polorovinˇe ( z1 = a i ). Z

∞

147 .

Rejstˇ r ´ı k

absolutn´ı hodnota komplex. ˇc´ısla algebraick´ y tvar komplex. ˇc´ısla argument komplex.ˇc´ısla

5 5 5

binomická rovnice

8

Cauchyova vˇeta Cauchy˚ uv integráln´ı vzorec Cauchyovy-Riemannovy podm.

85 86 57

derivace funkce

57

Eulerova identita exponenciáln´ı funkce exponenciáln´ı tvar k.ˇc´ısla

5 53 23

funkce funkce funkce funkce funkce funkce funkce funkce funkce funkce funkce funkce

41 53 53 58 58 53 65 46 48 69 65 85

komplexn´ı promˇenné exponenciáln´ı goniometrické harmonická holomorfn´ı hyperbolické inverzn´ı lineárn´ı lineárn´ı lomená logaritmická mnohoznaˇcná primitivn´ı

Gaussova rovina komplex. ˇc´ısel Gaussova rovina rozˇs´ıˇrená goniometrické funkce goniometrick´ y tvar komplex.ˇc´ısla

6 31 53 5

harmonická funkce hladká kˇrivka hlavn´ı ˇcást Laurentovy ˇrady holomorfn´ı funkce hyperbolické funkce

58 25 99 58 53

integrál funkce (po kˇrivce) inverzn´ı funkce

85 65

jednoduchá kˇrivka

25

konformn´ı zobrazen´ı kruhová inverze kˇrivka hladká kˇrivka jednoduchá kˇrivka uzavˇrená

73 45 25 25 25

Laurentova ˇrada limita funkce limita posloupnosti lineárn´ı funkce lineárn´ı lomená funkce logaritmická funkce

99 57 31 46 48 69

148

Moivreova vˇeta nekoneˇcná ˇrada komplex.ˇc´ısel nevlastn´ı bod odstranitelná singularita okol´ı bodu (kruhové) okol´ı bodu prstencové okol´ı nevlastn´ıho bodu podstatná singularita pól n - tého ˇrádu posloupnost komplex.ˇc´ısel podm´ınky Cauch.-Riemann. primitivn´ı funkce prstencové okol´ı bodu regulárn´ı ˇcást Laurentovy ˇrady reziduum funkce v pólu reziduum v nevlastn´ım bodˇe rozˇs´ıˇrená Gaussova rovina


5 31 31

ˇrád pólu ˇrada Laurentova ˇrada Taylorova

sdruˇzené body vzhledem 109 ke kruˇznici 31 sdruˇzené harmonické funkce 31 sdruˇzené komplexn´ı ˇc´ıslo 31 singularita odstranitelná singularita podstatná 109 spojitost funkce 109 31 uzavˇrená kˇrivka 57 85 vˇeta Cauchyova 31 vˇeta Moivreova vˇeta reziduová 99 vzorec Cauchy˚ uv (integráln´ı) 110 110 zobrazen´ı konformn´ı 31 zobrazen´ı prosté

109 99 99

76 58 5,20 109 109 57 25 85 5 111 86 73 65

Západočeská univerzita v Plzni SBÍRKA ÚLOH Z MATEMATIKY

Recommend Documents