Západočeská univerzita v Plzni Fakulty aplikovaných věd katedra matematiky obor geomatiky G E O D É Z I E

Západočeská univerzita v Plzni Fakulty aplikovaných věd katedra matematiky obor geomatiky

GEODÉZIE matematická vyrovnávací počet 1 geodetické sítě v 2D prostoru trojrozměrná geodézie geodetické sítě v 3D prostoru triangulace na vysoké cíle hvězdná triangulace družicové sítě

Josef Kabeláč Pavel Novák

Plzeň 2006

 2006 Josef Kabeláč, Pavel Novák. Všechna práva vyhrazena. Žádná část této publikace nesmí být vytištěna nebo rozeslána, v žádném tvaru a žádným způsobem: elektronicky, mechanicky, fotokopiemi nebo jiným způsobem, bez předchozího napsaného svolení autorů.

PŘEDMLUVA Na počátku oboru geomatiky byl pan Doc. Ing. Jiří Pyšek, CSc., který se zasadil o realizaci oboru matematické kartografie. Oblíbil si ji z nedostižných přednášek pana Prof. Ing. Dr. Františka Fialy, který tento předmět přednášel na půdě ČVUT v Praze. Nejprve tento předmět zakotvil na Pedagogické fakultě a později rozkvetl na Západočeské univerzitě (ZČU), a to při Fakultě aplikovaných věd (FAV). Tohoto rozkvětu se však již sympatický a vždy ochotný Jiří nedožil. Připomeňme aspoň jeho fundamentální práce: Matematická kartografie. ZČU 1995. Kartografie, kartometrie a matematická geografie v příkladech. ZČU 2000. Na jeho práci bezprostředně navázali jeho žáci a následovníci. Předně Mgr. et Mgr. Monika Čechurová, PhD. Z prací uveďme: Mapy ještě ortodromické. Miscellanea geographica, ZČU, Plzeň 1995. Zjištění ortodromičnosti mapy daného kartografického zobrazení. Geod. a kart. obzor, č. 11, Praha 1997. Z dalších pak Mgr. Milan Bořík, PhD., z jehož publikací uveďme: Derivation of Formulas for Projections for Variational Type of Projection Odvození zobrazovacích rovnic pro variační typ konformního zobrazení

Aby učební obor řádně a napevno zakotvil, je podmínkou nutnou, aby byl vyzbrojen řadou potřebných skript, učebních textů a učebnic. A tak se pomalu, ale jistě, dělo. Byla to skripta z fotogrammetrie, astronomie, vyrovnávacího počtu a nyní jsou předkládána skripta z Vyšší geodézie. Jsou dělena do IV částí a tyto opět do kapitol, jichž je celkem 8. Dělení je odvislé od rozsahu a od různorodosti námětů. V předloženém tvaru jsou tyto studijní texty prozatímní, tedy neúplné. Další části budou připojovány, a to především z oboru fyzikální geodézie. V odborné literatuře nám nejbližší a s tématikou vyšší geodézie vyjmenujme ve zpětném časovém pořadí díla nejzávažnější. Jsou to: Skriptum o dvou dílech Vyšší geodézie 1 a 2 napsali a vydali v r. 1999 autoři Prof. Ing. Miloš Cimbálník a Doc. Dr. Ing. Leoš Mervart, PhD. Krom obvykle uváděných statí je novem a současně předností této práce pozornost věnovaná organizaci geodézie u nás i ve světě, ale především partie společné jak geodézii, tak i astronomii, družicové a kosmické geodézii. Několikeré vydání Vyšší geodézie od Prof. J. Böhma později doplněné Doc. Ing. L. Horou, CSc. a Ing. E. Kolenatým, CSc. Jde vlastně o kompendium z uvedeného oboru. Josef Ryšavý: Vyšší geodesie vydané již v r. 1947 je již moderně pojatá učebnice, zahrnující i potřebné partie z vyrovnávacího počtu, geodézie dynamické, ale i četné partie potřebné pro praktické realizace měření. Josef Vykutil: Vyšší geodézie. Je důkladně propracovaná učebnice s patřičnou váhou na detail. O metodách družicové a kosmické geodézie jen stručná zmínka. Ze starších děl české odborné literatury jmenujeme: Novotný Fr.: Geodesie vyšší, I. díl. Praha 1909. Láska V.: Vyšší geodesie, I. díl. Praha 1896. Toto posledně jmenované dílo obsahuje četné náměty k zamyšlení. Doporučuje se. Uznání zasluhuje kniha Kapitoly z vyššej geodézie pana Prof. Fr. Kusky, která značně předběhla vývoj v oblasti vyšší geodézie i kosmické geodézie. Vydaná byla již v r. 1983. Zahraničních knih, příruček, nemluvě o skriptech či jiných učebních pomůckách, jež pojednávají o vyšší geodézii, je neobyčejně velké množství. Čtenář je najde např. ve výše jmenovaných českých textech. Nám je blízká kniha autorů P. Vaníček a E. Krakiwsky: Geodesy – the concepts. Ještě poznámka k názvu „Vyšší geodézie“. Tento název naráží u mnohých geodetů, ne-li na odpor, pak na nechuť jej užívat. Upřímně řečeno, nevíme, jak tuto nevraživost obejít. iii

Především ono slůvko „Vyšší“ je nerado slyšeno. Sám jsem byl svědkem, kdy pan Prof. J. Ryšavý před přednáškou z „Nižší geodézie“ vystoupil na stupínek posluchárny v Husově ul. 5 v Praze a prohlásil, že žádná „Nižší geodézie“neexistuje a že tento název je znehodnocením geodézie. Což se stalo, především mezi studenty, námětem různých víceméně neodborných úvah. Jak tedy dál. - Zaměnit „Nižší geodézii“ za „Zeměměřičství“ jak je tomu obdobně v němčině a v angličtině a „Geodézii“ ponechat „Vyšší geodézii“ nebo např. - zaměnit slůvko „Vyšší“ za „Planetární“ či jiné obdobné? Ono slůvku „Planetární“ by bylo jistě velmi přiléhavé, neboť k tomuto typu geodézie, resp. dézie, spěje. Na závěr této krátké předmluvy mně dovolte, abych vzpomenul mnohých studentů, především z ČVUT v Praze a později ze ZČU v Plzni, s kterými jsme společně řešili náměty diplomních prací a kteří mně vždy jen „ve svatém nadšení“ pomáhali při náročných praktických měřických realizacích. Děkuji a nezapomínám. A co se týče předloženého textu, nespatřil by světlo světa, kdyby se přepisu neujala slečna Ing. Magda Baranová, která náročný text zvládala vždy v krátké době a bez chyb, naopak i s věcnými připomínkami, které napomohly srozumitelnosti textu. Dále část skript sama sepsala a tak značně ulehčila práci především v počátcích sepisování tohoto textu, paní Mgr. et Mgr. Monika Čechurová, PhD. Hluboce děkuji. Katedře matematiky ZČU v Plzni děkuji za finanční podporu. Nebudu daleko od skutečnosti, když prohlásím, že internet, ve kterém budou uveřejněny následující řádky, nezaručuje zachování autorství v takové míře jako uveřejnění knižní. Proto si dovoluji upozornit všechny sběratele cizích myšlenek: pracujte tak, abyste se nemuseli později za sebe stydět. A tak Vám, vážené studentky a vážení studenti, připomínám ještě jednu moudrost mého milovaného pana učitele: „V práci a snažení je naše spasení“. Držte se jí. Snad ještě platí. V Jičíně dne 7. března 2006.

Josef Kabeláč Pavel Novák

iv

OBSAH

I. ČÁST – ZEMĚ A GEODÉZIE 1 Úvod ... 1 1.1

Historie měření velikosti a tvaru Země ... 1 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4

1.2

První určení poloměru Zeměkoule ... 1 Středověké měření Země ... 1 Nové názory na tvar Země ... 1 První stupňová měření na našem území ... 2

Vztah geodézie a ostatních vědních oborů ... 3 1.2.1 Geodézie a ostatní přírodní vědy ... 3 1.2.2 Obory, v kterých je geodézie aplikována ... 4

1.3 1.4

Definice vyšší geodézie a její úkoly ... 4 Vztahy mezi dvěma elipsoidy ... 7 1.4.1 Besselův elipsoid ... 8 1.4.2 Elipsoid WGS84 ... 8 1.4.3 Odvození transformačních rovnic mezi dvěma souřadnicovými systémy ... 8 Literatura ... 10

2 Fyzikální charakteristiky Země ... 11 2.1

Země a její pohyb ... 11 Literatura ... 11

2.2

Tíhové pole Země ... 11 2.2.1 Vliv přitažlivé síly ... 11 2.2.2 Vliv odstředivé síly ... 12 2.2.3 Složky celkové síly ... 13 2.2.4 Tíhový potenciál a jeho vlastnosti ... 13 2.2.5 Geoid a jeho rovnice ... 15 Literatura ... 15

2.3

Atmosféra ... 16 2.3.1 Hustota atmosféry ... 16 2.3.2 Změny v hustotě atmosféry ... 16 2.3.3 Rotace atmosféry ... 18 Literatura ... 18

II. ČÁST – VYŠŠÍ GEODÉZIE MATEMATICKÁ 3 Referenční plochy a soustavy ... 21 3.1

Referenční koule a výpočty na referenční kouli ... 21 3.1.1 Sférické zeměpisné souřadnice [U; V] ... 21 3.1.2 Geodetická křivka. Geodetická křivost. Ortodroma a loxodroma na kouli ... 21 PŘÍKLAD 1 Obecně položená ortodroma ... 22 PŘÍKLAD 2 Průběh ortodromy ... 23 PŘÍKLAD 3 Průběh loxodromy ... 26 3.1.3 Exces ... 26 v

3.1.4 Meridiánová konvergence ... 27 3.1.5 Řešení sférických trojúhelníků větami sférické trigonometrie ... 27 3.1.5.1 Řešení 1. základní geodetické úlohy (ve sférických zeměpisných souřadnicích) ... 27 PŘÍKLAD 4 1. základní geodetická úloha ... 28 3.1.5.2 Řešení 2. základní geodetické úlohy (ve sférických zeměpisných souřadnicích) ... 29 PŘÍKLAD 5 2. základní geodetická úloha ... 30 Literatura ... 31

3.2

Referenční elipsoid a výpočty na referenčním elipsoidu ... 31 3.2.1 Souřadnicové soustavy a jejich transformace ... 32 3.2.1.1 Vybrané transformace souřadnic ... 34 PŘÍKLAD 6 Transformace B, L, H na X, Y, Z ... 37 PŘÍKLAD 7 Transformace X, Y, Z na B, L, H ... 38 3.2.2 Křivky na rotačním elipsoidu ... 38 3.2.3 Poloměry křivosti na elipsoidu ... 43 3.2.4 Základní výpočty na rotačním elipsoidu ... 46 3.2.5 Řešení sféroidických trojúhelníků ... 47 3.2.5.1 Řešení přechodem na náhradní kouli ... 47 Literatura ... 48

3.3

Vztahy mezi dvěma elipsoidy ... 48 3.3.1 Úvod ... 48 3.3.2 Odvození transformačních rovnic mezi dvěma souřadnicovými soustavami dvou elipsoidů ... 49 3.3.3 Odvození zprostředkujících rovnic oprav pro určení transformačního klíče ... 52 3.3.4 Základní geometrické úlohy mezi dvěma rotačními elipsoidy ... 54 PŘÍKLAD 8 Výpočet (X, Y, Z)W a (α, β, γ)W ... 55 PŘÍKLAD 9 Výpočet (X´, Y´, Z´)B a (α´, β ´, γ´)B ... 56 PŘÍKLAD 10 Výpočet (B, L, H)B a (α, β, γ)B ... 56 PŘÍKLAD 11 Výpočet (X, Y, Z)1B a (α, β, γ)1B... 57 PŘÍKLAD 12 Výpočet (X´, Y´, Z´)1 a (α´, β´, γ´)1... 58 PŘÍKLAD 13 Výpočet odlehlosti elipsoidu Besselova a WGS84 ... 59 Literatura ... 61

III. ČÁST – VYROVNÁVACÍ POČET 1 - MNČ 4 Základní poznatky MNČ ... 63 4.1 4.2

Úvod ... 63 Vyrovnání metodou nejmenších čtverců ... 63 4.2.1 Výpočet odhadu přesnosti ... 65 4.2.2 Kontroly ... 66

4.3

Podmínková pozorování ... 67

4.4 4.5

Zprostředkující pozorování ... 69 Zprostředkující pozorování s neznámými parametry a podmínková pozorování s neznámými parametry ... 72

4.3.1 Přímé řešení podmínkových pozorování ... 68 4.3.2 Postupné řešení podmínkových pozorování ... 69

vi

4.6

4.7

Zprostředkující pozorování s neznámými parametry a podmínková pozorování s neznámými parametry převedením podmínkových pozorování na zprostředkující ... 73 Závěrem stručné, ale zásadní porovnání metody zprostředkujících a metody podmínkových pozorování, především s ohledem na vyrovnání geodetických sítí ... 76

Literatura ... 76

IV. ČÁST – GEODETICKÉ SÍTĚ 5 Geodetické sítě – 2D ... 77 5.1

Úvod ... 77 5.1.1 Váhy měřených veličin ... 78

5.2

Vyrovnání geodetických sítí v 2D prostoru pomocí podmínkových měření/pozorování ... 78 5.2.1 Vyrovnání triangulace ... 79 PŘÍKLAD 14 Vyrovnání rovinné trojúhelníkové sítě podle podmínkových pozorování ... 80 5.2.2 Vyrovnání trilaterace ... 84 5.2.3 Vyrovnání měření kombinovaných ... 84 PŘÍKLAD 15 Vyrovnání rovinného trojúhelníka podle podmínkových měření/ pozorování, jsou-li měřeny úhly a délky stran – vyrovnání měření kombinovaných ... 85

5.3

Vyrovnání geodetických sítí ve 2D prostoru pomocí zprostředkujících pozorování ... 87

Literatura ... 89

6 Trojrozměrná geodézie – 3D ... 91 6.1

Teoretické základy 3D geodézie ... 91 6.1.1 Úvod ... 91 6.1.2 Teoretické základy trojrozměrné geodézie ... 92 6.1.2.1 Souřadnicové systémy a základní vztahy ... 93 6.1.2.2 Vyjádření diferenciálů neznámých veličin v obzorníkovém systému ... 98 6.1.2.3 Zprostředkující rovnice oprav ... 100 6.1.2.4 Přehled výpočetního postupu ... 102 6.1.3 Závěr ... 103 Literatura ... 103

6.2

Podmínka komplanarity ... 104 Literatura ... 105

6.3

Společné vyrovnání směrových a délkových veličin ... 105 Literatura ... 108

6.4

Vyrovnání sítě v 3D prostoru bez závislosti na svislici .. 108 6.4.1 Sestavení podmínkových rovnic ... 108 Literatura ... 112

6.5

Vyrovnání prostorové sítě metodou družicové geodézie ... 113 6.5.1 Stanovení základních vztahů pro určení směru strany prostorové sítě ... 113 6.5.2 Sestavení podmínkových rovnic pro variantu A ... 115 vii

6.5.3 Stanovení počtu podmínkových rovnic ... 117 6.5.4 Zhodnocení a závěr ... 118 Literatura ... 119

6.6

Vyrovnání prostorové trilaterační sítě objemovou podmínkou ... 119 6.6.1 Úvod ... 119 6.6.2 Tvar objemové podmínky a její úprava ... 119 6.6.3 Číselná aplikace ... 123 6.6.4 Závěr ... 123 Literatura ... 124

6.7

Prostorové protínání z délek ... 124 6.7.1 Úvod ... 124 6.7.2 Teoretické řešení úlohy ... 124 6.7.2.1 Řešení pro nadbytečný počet n měření ... 126 PŘÍKLAD 16 Prostorové protínání z délek s vyrovnáním... 126 6.7.2.2 Řešení pro nutný počet n měření ... 128 PŘÍKLAD 17 Prostorové protínání z délek bez vyrovnání ... 129 Literatura ... 131

7 Triangulace na vysoké cíle – síť 0-tého řádu – hvězdná triangulace ... 133 7.1 7.2

Úvodem několik slov na vysvětlenou ... 133 Dvě základní souřadnicové soustavy sférické astronomie ... 133 7.2.1 Obzorníková souřadnicová soustava ... 134 7.2.2 Rovníkové souřadnicové soustavy ... 135

7.3 7.4

Základní geometrické úlohy družicové geodézie (DG) ... 136 Teorie Väisälä-ho metody hvězdné triangulace – síť 0-tého řádu ... 139 7.4.1 Část 1 – Určení směru strany sítě ... 139 7.4.2 Část 2 – Vyrovnání celé sítě ... 140

7.5 7.6 7.7

Zobecnění Väisälä-ho metody hvězdné triangulace ... 142 Měření na velké vzdálenosti před „družicovou érou“ ... 144 Triangulace na vysoké cíle – síť 0-tého řádu ... 146

7.7.1 Použití balónů k budování finské sítě 0-tého řádu ... 146 7.7.2 Přenos směru a délky pomocí letadla ... 146 Literatura ... 149

8 Družicové sítě ... 153 8.1

Geometrické úlohy družicové geodézie (DG) ... 153 Literatura ... 154

8.2

Družicové sítě z počátku „družicové éry“ ... 154 8.2.1 Družicová síť Smithsoniánské astrofyzikální observatoře (SAO) ... 155 8.2.1.1 Vyrovnání bloku Evropa – Asie ... 156 8.2.1.2 Vyrovnání bloku Atlantik – Amerika – Pacifik ... 158 8.2.2 Vyrovnání trojúhelníku východoevropské sítě ... 159 Literatura ... 161

8.3

Celosvětová geometrická družicová síť BC-4 ... 161 Literatura ... 162

viii

8.4

Propojení pěti geodetických referenčních soustav celosvětové geometrické družicové sítě BC-4 ... 163

pomocí

8.4.1 Směrové veličiny ... 163 8.4.2 Délkové veličiny ... 163 8.4.3 Vyrovnání světové sítě BC-4 jako celku ... 164 8.4.3.1 Úplné základnové podmínkové rovnice ... 164 8.4.3.2 Rozšířené základnové podmínkové rovnice ... 165 8.4.3.3 Výsledky vyrovnání družicové světové sítě BC-4 ... 166 8.4.4 Určení vzájemných posunutí středů referenčních elipsoidů, jejich stočení vzhledem k astronomickému systému a délkových měřítek ... 166 8.4.4.1 Určení pravoúhlých souřadnic ... 166 8.4.4.2 Sestavení zprostředkujících rovnic oprav ... 167 8.4.4.3 Výsledné hodnoty posunutí, stočení a délkových měřítek referenčních elipsoidů ... 168 Literatura ... 169

8.5

Závěr ... 169 8.5.1 Metody a měřené veličiny – jejich využití v geodézii ... 170 Literatura ... 172

ix

I. část Země a geodézie

1 Úvod 1.1

Historie měření velikosti a tvaru Země

V dobách starých národů jako byli Babyloňané nebo Egypťané, byl tvar Země všeobecně považován za jakousi desku, která se pohybuje na vodní hladině. Mezi prvními, kdo vyslovil teorii o tom, že Země má kulový tvar byl zřejmě Pythagoras. 1.1.1 První určení poloměru Zeměkoule První důkaz o kulovitosti Země však podal až Erathostenes (276-195 př.n.l.). Ten zvolil dvě místa, ležící přibližně na stejném poledníku a jejich vzdálenost odhadl podle cestovních dní kupeckých karavan. Rozdíl zeměpisných šířek určil podle sklonu slunečních paprsků v jednotlivých místech v okamžiku polední kulminace. Měření prováděl v době letního slunovratu. Pro poloměr Zeměkoule získal hodnotu R = 6 844 km; chyba byla 7,3%. Uvážíme-li podmínky při určení tohoto poloměru, musíme obdivovat Eratosthenovy znalosti a jeho měřičské umění. Stejným způsobem jako Eratosthenes určil velikost Země asi o 150let později řecký filozof Poseidonios (135-51 př.n.l.). Pozoroval, že v určité době je vidět hvězdu Canopus na ostrově Rhodos přímo na mořském horizontu, kdežto v Alexandrii je asi 7o30´ nad obzorem. Vzdálenost obou míst určil odhadem podle plavby lodí. Z jeho výpočtů vyšel poloměr Zeměkoule R = 6 570 km. Tento velmi dobrý výsledek byl náhodný, neboť rozdíl zeměpisných šířek Alexandria-Rhodos není 7o30´, ale jen 5o14´ a i vzdálenost mezi oběma místy nebyla určena přesně. Není známo, jestli Poseidonos měřil obvod Země ještě jindy, ale řecký geograf Strabo uvádí, že Poseidonos určil poloměr Země rovný 5 300 km, tedy o celých 1 000 km menší než ve je skutečnosti. Je zajímavé, že tento rozměr použil asi v r. 130 n.l. astronom a geograf Ptolemaios pro konstrukci mapy světa. Dále od Ptolemaia převzali tuto nízkou hodnotu zemského poloměru středověcí mořeplavci, např. Kryštof Kolumbus. 1.1.2 Středověké měření Země Kalif Al-Manun vydal v r. 827 rozkaz k určení poloměru Země. Arabští učenci tehdy zaměřili západně od Bagdádu délku oblouku odpovídající 2o na zemském poledníku. Zeměpisné šířky koncových bodů určili astronomicky. Výsledek byl pouze o 4% větší než hodnota správná. Uplynulo bezmála 1000 let od Erathosténových měření, než se začala prosazovat teorie o tom, že Země nemá kulovitý tvar a začala epocha Země jako elipsoidu. V tomto dlouhém období nejsou žádné zprávy o určování poloměru Země. Výsledky antických učenců byly zničeny, křesťanství nepřálo rozvoji přírodních věd a po pádu Říše římské nastal v Evropě obrovský úpadek přírodních věd. Dokonce v této době znovu ožil názor, že Země je plochý kotouč, který pluje na vodě. Není bez zajímavosti, že Kryštof Kolumbus musel 2 000 let po Pythagorovi těžce prosazovat názor o kulovém tvaru Země. 1.1.3 Nové názory na tvar Země Závislost mezi tíží a tvarem Země prvně precizoval Clairaut svým teorémem. a po praktické

1

stránce vystupují v „elipsoidické éře“ geodézie vedle astronomicko-geodetických metod i měření tíže a Snelliem v r. 1615 zavedená měření triangulační. Triangulační metoda dovolila přesné určení poledníkových či rovnoběžkových oblouků. Stupňová měření metodu triangulace později využila a rozvinula. Kopernikovy, Keplerovy, Galileovy a především Newtonovy a Huygensovy práce byly příčinou toho, že se na tvar Země začalo pohlížet jako na rotační elipsoid. K tomuto názoru se došlo v důsledku nových teoretických znalostí a přesných triangulačních měření. K potvrzení tohoto názoru přispěly zkušenosti astronoma Richera, který byl v r.1672 vyslán do Cayenne v Jižní Americe, aby zaměřil paralaxu planety Mars. Richer zjistil, že jeho kyvadlové hodiny, které šly v Paříži správně, se v Cayenne zpožďují o 2,5 minuty za den. K obnovení jejich správného chodu proto musel zkrátit kyvadlo téměř o 3 mm. Toto zkrácení je ve shodě se zmenšením zemské tíže pro místa bližší rovníku. Isaac Newton, který znal již od roku 1665 všeobecný gravitační zákon a Christian Huygens (autor teorie fyzického kyvadla) vysvětlovali zpožďování Richerových kyvadlových hodin po jejich přemístění z Paříže do místa na rovníku jako nutný důsledek zploštění Země na pólech – místo na rovníku je vzdálenější od středu Země než na 50o zeměpisné šířky (Paříž) a je zde proto nejen menší gravitační síla, ale i větší síla odstředivá, a tím je i doba kyvu stejného kyvadla větší. Teoretické úvahy a výpočty většiny slavných matematiků a fyziků (Clairaut, Bouguer aj.) potvrzovaly Newtonův názor o zploštění Země na pólech. Přesto se ale dál vedly učené spory. Když v roce 1725 zahájila svou vědeckou činnost petrohradská Akademie věd, obhajoval tehdy její nejstarší a nejváženější člen J.Herman Newtonovu teorii o sféroidickém tvaru Země, s kratší osou procházející póly. Bouguer v roce 1733 napsal, že se mu zdá, že jsou geometrie a fyzika v rozporu a pochybnosti, že se mohou odstranit pouze porovnáním dvou oblouků o délce 1o , z nichž jeden bude zaměřen blízko polárního kruhu a druhý blízko rovníku. K ukončení neplodných sporů o zploštění Země rozhodla v r.1735 francouzská Akademie věd a vypravila dvě expedice, aby vykonaly stupňová měření. Jedno měření se provádělo v Laponsku (blízko severního polárního kruhu) a druhé v Peru na rovníku. Obě slavné expedice tak navždy vešly do dějin geodézie. Bližší o těchto pracech a, z hlediska geodézie, revoluční době najde čtenář v pracech [1], [2], [3], [5], [6], [7] a [8]. 1.1.4 První stupňová měření na našem území Stupňová měření a přesnější mapování se považovaly za důkaz vědecké, technické a hospodářské vyspělosti jednotlivých států. Proto jednotliví panovníci podporovali geodetické práce na svých územích. V druhé polovině 18. století byla vykonána celá řada stupňových měření nejen v Evropě, ale i v Americe, Africe a Asii. Často však bylo měření překotné a s malou přesností a výsledky proto byly málo spolehlivé. V bývalém Rakousku-Uhersku se rovněž uvažovalo o vyhotovení podrobnějších map. Jedním z geodetických podkladů pro toto mapování mělo být stanovení délky 1o na vídeňském poledníku. Touto prací pověřila císařovna Marie Terezie ředitele vídeňské hvězdárny Josefa Liesganiga, který zvolil řetězec trojúhelníků mezi Brnem, Vídní, Štýrským Hradcem a Varaždínem. Počátečním bodem řetězce byl střed věže kaple sv. Kříže na území Soběšic, asi 5km severně od Brna. Řetězec trojúhelníků vedl přes vídeňskou hvězdárnu a končil na věži kostela ve Varaždíně. Astronomická a geodetická měření vykonával Liesganig v letech 1759-1768. Délky měřil 6 sáhů (asi 11,4 m) dlouhými dřevěnými latěmi a úhly v trojúhelnících pomocí kvadrantu o poloměru 79 cm, s jedním pevným a jedním pohyblivým dalekohledem, viz obr. 1.1.1. 2

Obr. 1.1.1 Kvadrant o poloměru 79 cm s jedním pevným a jedním pohyblivým dalekohledem

Rozdíl zeměpisných šířek Soběšic a Varaždína určil Liesganig 2o56´45,85´´. Změřil také azimut potřebný k promítnutí řetězce na poledník procházející věží chrámu sv. Štěpána ve Vídni. Výsledkem těchto prací bylo určení délky 1o na poledníku u Vídně hodnotou 58664,2 vídeňských sáhů (111 255,716 m). Tyto výsledky však byly krátce po uveřejnění ostře kritizovány. Liesganig byl obviněn z toho, že upravoval výsledky měření tak, aby dosáhl lepšího souhlasu při výpočtech. Z pozdějších triangulací skutečně vycházejí větší délky stran. Např. Ing. Šimek vypočítal z nových měření délku strany Soběšice – Děvín 42 162,91 m. Rozdíl od Liesgangova měření je 189,93 m, což je téměř přesně 100 vídeňských sáhů, což spíše ukazuje na hrubou chybu ve výpočtech, než na úpravy výsledků měření.

1.2

Vztah geodézie a ostatních vědních oborů

V této kapitole se budeme snažit stručně vyjádřit sepjatost geodézie s mnoha obdobnými vědními obory. Toto třídění je jistě subjektivní a jsme si jisti, jak je zvykem v povaze lidí, že nebudou někteří čtenáři souhlasit s předloženými názory. Nejdříve se pokusíme vyjmenovat obory, které jsou ve vzájemném vztahu s geodézií a poté obory, ve kterých je geodézie aplikována. 1.2.1 Geodézie a ostatní přírodní vědy Astronomie. Určení polohy bodů geodetických sítí na povrchu Země změřením astronomických zeměpisných šířek a délek pomocí hvězd, jakož i určení astronomických azimutů pro zorientování geodetických sítí. Zjišťování velikosti a tvaru Země. Konzervace času. Zjišťování tíhového

3

zrychlení. Určení průběhu hladinových ploch, geoidu a kvazigeoidu. Využití umělých družic Země k vyřešení základních vědeckých úloh geodézie. Studium precese a nutace. Aplikace teorie relativity. Studium poruch v drahách družic. Geofyzika. Měření tíhového zrychlení a jeho rozložení na povrchu i uvnitř Země. Studium nitra Země a jeho změn. Pohyby litosférických desek, horotvorné procesy. Mezi obory geofyziky rovněž patří seizmologie, atmosféra, ionosféra i geotermika, kterým geodézie napomáhá přímým měřením i studiem poruch a jejich příčin. Geologie. Moderními způsoby měření kontroluje geodézie číselně teorie geologie, např. pohyby kontinentů. Výsledky prostorových metod napomáhají k objasnění vzniku a vývoje nejen Země, ale i Měsíce a planet. Zasahuje i do geomorfologie, studia půdy ad. Meteorologie. Těkdy též fyzika atmosféry studuje stav a změny atmosféry, ionosféry a troposféry. V minulosti šlo především o podchycení vlivu atmosféry na astronomicko-geodetická měření, tj. vliv refrakce. V současnosti jde o podchycení vlivu při měření na družice. 1.2.2 Obory, v kterých je geodézie aplikována Urbanistika. V městském prostředí s rychlým rozvojem je důležité, aby byl dochován a zdokumentován/zmapován současný stav pro budoucí generace. Projektové inženýrství. Při budování velkých staveb jako jsou např. hráze, mosty nebo velké továrny je v mnoha případech nezbytně nutné vytipovat předem vhodné lokality pro tyto stavby. Pro tato strategická místa je často nezbytně nutné znát pohyby země a pohyby vodních hladin před, během a po stavbě. V případě staveb hrází, hydrodynamických tunelů, zavlažovacích projektů a pod. je třeba znát přesný tvar ekvipotenciálních ploch spádových oblastí. Vytyčování hranic. Znalost průběhu hranic jak v mezinárodním tak i ve vnitrostátním měřítku je v dnešní době velice důležité. V nedávné době se začal klást důraz na přesnou znalost hranic také v takových částí světa, jakou jsou polární oblasti a Severní moře. Umístění a vytyčení těchto hranic je vhodné zejména z ekonomického hlediska. Ekologie. Z nedávné minulosti je patrné, že je nezbytné studovat jak lidská činnost ovlivňuje životní prostředí. Příkladem mohou být pohyby na povrchu Země, které jsou způsobeny podpovrchovou těžbou nerostných surovin nebo podpovrchovou likvidací různých odpadů. Zde je geodézie nezbytná. Současnost tuto naléhavost jen podporuje. Zeměpis. Veškeré polohové informace, které se využívají v geografii, vycházejí z geodézie. Přestože geografové využívají méně přesná data, jen geodézie jim může poskytnou tyto podklady. Planetologie. I v planetologii se využívá mnohých geodetických metod, příkladem jsou prostorové techniky. Pomocí nich můžeme sledovat pohyby těles sluneční soustavy a tím i jejich poruchy. Hydrografie. Z různých zdrojů je patrno, že někteří odborníci hydrografii slučují s oceánografií a jiní ji přikládají zvláštní význam. Je možné na hydrografii pohlížet jako na zvláštní (námořní) větev mapování, kdy geodézii využijeme při určení přesné polohu na moři nebo při zjišťování hloubky sondování pod mořskou hladinou.

1.3

Definice vyšší geodézie a její úkoly

Vyšší geodézie vznikla již ve starověku, neboť bylo zcela přirozené, že se lidé zajímali o velikost a tvar Země, nositelky života. Tenkrát ovšem nedosáhla takové úrovně jako matematika, astronomie

4

nebo geografie. Její velký rozvoj začal teprve v 17. století, kdy se stala skutečnou vědou. Základním vědeckým úkolem vyšší geodézie je určení rozměrů a tvaru Země, jejího vnějšího tíhového pole a jejich změn s časem. Tato oblast geodetických prací se označuje ,,teoretická” nebo ,,základní” též „fyzikální“ geodézie a patří do skupiny věd o Zemi (geověd), které zkoumají naší planetu v celku i v částech. Da1ším, velmi dů1ežitým vědeckotechnickým úkolem vyšší geodézie je vybudovat na území jednotlivých států, skupin států nebo na celé Zemi základní geodetické sítě (sítě I. případně i 0. řádu) pro řešení technických úkolů (vyměřování a mapování). Je samozřejmé, že oba hlavní úkoly vyšší geodézie spolu úzce souvisejí a navzájem se prolínají. Při formování tvaru zemského tělesa působí dvě síly: přitaž1ivá síla F podle obecného gravitačního zákona a odstředivá síla P jako důsledek zemské rotace. Výslednicí obou sil je síla zemské tíže G, viz obr. 1.3.1. Prostor, ve kterém se projevuje působeni zemské tíže, je tíhové pole Země.

Obr. 1.3.1 Působení přitažlivé F a odstředivé síly P

Uzavřené plochy, které jsou v každém svém bodě kolmé na směr tíže, jsou plochy hladinové. Jejich průsečnice s fyzickým zemským povrchem si můžeme představit jako vrstevnice na topografických mapách. Pro geodézii a geofyziku je nejdůležitější plocha, která prochází nulovým výškovým bodem. Toto těleso se obecně nazývá geoid. V důsledku toho, že v zemské kůře je hmota o různé hustotě rozložena nepravidelně, je také nepravidelné skutečné tíhové pole Země a proto geoid jako takový je těleso velmi složité. Geoid si můžeme představit jako plochu, která je velmi blízká klidným hladinám oceánů a moří, avšak ovšem pokračuje pod kontinenty. V roce 1945 přišel ruský geofyzik a geodet M. S. Moloděnskij s novou teorií, která uvažuje geodetické, astronomické a gravimetrické veličiny, naměřené jen na fyzickém zemském povrchu. Předmětem určení není geoid, ale plocha obecná, která není plochou hladinovou. Tato plocha byla nazvána kvazigeoid. Jednotlivé body této plochy dostaneme, odměříme-li od bodů na fyzickém zemském povrchu příslušné normální výšky (měříme po tížnicích), které se určují jen z nivelačních a gravimetrických měření. Základním úkolem vyšší geodézie je tedy rovněž, kromě

5

velikosti Země, určení tvaru Země a jejího vnějšího tíhového pole. Toto řešení nepotřebuje žádné hypotézy a jeho přesnost je omezena jen přesností měřených veličin. Kvazigeoid je blízký geoidu. Odlehlost obou ploch se liší maximálně o 2m ve vysokých horách a v oblasti oceánů obě plochy splývají. Jelikož však geoid a kvazigeoid mají velice složitý tvar, jsou tyto plochy nevhodné k matematickým zpracováním výsledků jednotlivých měření. K matematickým účelům se proto volí jednoduše a přesně definovatelná plocha rotačního elipsoidu o vhodných rozměrech (zemský elipsoid). Elipsoid, jehož parametry nejlépe vystihují geoid, respektive kvazigeoid jako celek, a který má střed So totožný s hmotným středem Země Sz a malou osu totožnou s osou rotace Země se nazývá obecný elipsoid. Zemský elipsoid, který svými parametry aproximuje geoid nebo kvazigeoid jen v určité oblasti Země, nemá střed Sr totožný s hmotným středem Země a malou osu má jen rovnoběžnou s osou rotace Země se nazývá referenční elipsoid, viz obr. 1.3.2 a bližší viz kap. 3.

Obr. 1.3.2 Rozdíl mezi obecným zemským a referenčním elipsoidem

Referenční elipsoidy, které se používají pro geodetické, mapovací a kartografické práce v různých státech se proto liší nejen svými parametry, ale také svou polohou v 3D prostoru a orientací vůči geoidu, respektive kvazigeoidu. Pro přesný převod výsledků geodetických, astronomických a gravimetrických měření z fyzického zemského povrchu na referenční elipsoid je nutné znát výšky bodů zemského povrchu nad tímto elipsoidem. Pro bod A je situace znázorněna na obr. 1.3.3. A0 je průmět bodu A po normále n na referenční elipsoid E; t je tížnice/svislice, procházející bodem A; ϑ je úhel mezi tížnicí/svislicí a normálou (tížnicová odchylka); HN je normální výška bodu A nad kvazigeoidem Q; ζ je výška kvazigeoidu nad referenčním elipsoidem. Výška H bodu A nad elipsoidem je tedy zřejmě dána součtem H = HN + ζ

6

Obr. 1.3.3 Určení výšky H bodu A zemského povrchu nad elipsoidem

Jak je tedy patrné, k přesnému zjištění elipsoidické výšky H bodu A potřebujeme znát nejen výšku HN z nivelace nebo trigonometrických měření, ale také výšku ζ kvazigeoidu nad elipsoidem. Takové řešení je tedy možné jen v moderních astronomicko-geodetických sítích a při využití gravimetrických údajů. Řešení hlavních úkolů vyšší geodézie se opírá o síť pevných bodů, účelně rozložených na fyzickém zemském povrchu. Měřické a výpočetní práce musí mít nejvyšší dosažitelnou přesnost. Je proto důležité pracovat s dokonalými přístroji, volit vhodné měřické metody, výsledky analyzovat a zpracovávat vhodnými matematickými metodami.

1.4

Vztahy mezi dvěma elipsoidy

Podle vazby souřadnicového systému elipsoidu na zemské těleso rozeznáváme 2 druhy rotačních elipsoidů. Elipsoid referenční nemá střed totožný s těžištěm Země. Vedlejší poloosa nemusí být rovnoběžná s osou zemské rotace. Referenční elipsoid aproximuje těleso (geoid) jen v určité oblasti. V 18.-20. století byla odvozena řada elipsoidů, které se lišily kromě rozměrů i svou polohou a orientací vzhledem ke geoidu. Pro geodetické výpočty se užívaly elipsoidy, které odvodil např. Bessel, Hayford, Clark, Krasovskij aj. Elipsoid obecný (absolutní) vystihuje Zemi jako celek. Musí splňovat následující čtyři podmínky. 1. Jeho geometrický střed je totožný s těžištěm Země. 2. Jeho vedlejší poloosa splývá s osou zemské rotace. 3. Součet čtverců převýšení geoidu od tohoto obecného elipsoidu je minimální. 4. Rotační rychlost je stejná jako rotační rychlost Země. Tento elipsoid se nejlépe přimyká k povrchu celé Země. Příkladem je elipsoid systému WGS84 (World Geodetic Systém 1984).

7

Pro řešení řady aktuálních výpočtů v geodézii je nezbytné znát vztahy pro souřadnicové transformace mezi oběma typy elipsoidů. Tak se určí nejen vzájemná poloha těchto elipsoidů, ale získá se i možnost převedení souřadnic z jednoho elipsoidu na druhý a naopak. Tím, že se určí převodní vztahy mezi různými referenčními elipsoidy na straně jedné a obecným elipsoidem na straně druhé, získají se i převodní vztahy mezi referenčními elipsoidy. 1.4.1 Besselův elipsoid Besselův elipsoid byl odvozen v roce 1841 tzv. obloukovou metodou. Bessel využil výsledků měření deseti různých poledníkových oblouků a parametry elipsoidu vypočítal vyrovnáním podle MNČ. Oblouková metoda je ryze geometrická, při jejím užití se neuvažuje vliv tížnicových odchylek. Nezohledněné větší tížnicové odchylky v koncových bodech měřených poledníkových oblouků negativně ovlivnily přesnost výsledků. Parametry Besselova elipsoidu jsou: hlavní poloosa a = 6 377 397,155 00 m vedlejší poloosa b = 6 356 078,963 25 m Tento elipsoid je vhodný zejména v oblastech střední Evropy, byl použit pro geodetické a kartografické výpočty na našem území (např. vojenská triangulace 1862-1898, po r.1918 systém JTSK). 1.4.2 Elipsoid WGS84 WGS84 je globální geocentrický geodetický systém, který užívá armáda USA. Parametry elipsoidu WGS84 jsou: primární: hlavní poloosa a = 6 378 137 m zploštění i = 1 : 298,257223563 geocentrická gravitační konstanta GM = 398 600,4418 km3. s –2 -5 -1 úhlová rychlost rotace Země ω = 7,292115.10 rad.s sekundární: definují model struktury zemského tíhového pole pomocí geopotenciálních harmonických (Stokesových) koeficientů. Počátek souřadnicové soustavy WGS84 je v těžišti Země, a to s chybou asi 1 dm. Osa Z směřuje ke konvenčnímu terestrickému pólu. Osa X je průsečnice základního poledníku a roviny rovníku, vztažené ke konvenčnímu terestrickému pólu. Osa Y doplňuje systém na pravoúhlý pravotočivý systém (směr kladné části osy Y je 90o východně vzhledem k ose X). V systému WGS84 pracuje i globální polohy systém GPS. 1.4.3 Odvození transformačních rovnic mezi dvěma souřadnicovými systémy Podle výše uvedeného obrázku uvažujme souřadnicový systém S[X,Y,Z]. Tento systém posuneme tak, že počátek přejde z C do 0´, čímž vznikne rovnoběžně posunutý systém S´[X´,Y´,Z´]. Posun je dán vektorem C0´ = [∆X,∆Y,∆Z], označme jej ∆S. Poté dojde k natočení do systému s[x,y,z] vždy v kladném smyslu kolem osy Xó +εx, kolem osy Yó +εy a kolem osy Z´ o +εz. Počátek zůstává nezměněn o = 0´. Žádný z těchto dvou systémů s a S neupřednostňujeme. Pro odvození transformačních rovnic budeme nyní převádět systém s do systému S´ a ten do S. Transformace probíhá ve třech krocích:

8

Obr. 1.4.1

1) Rotace (otočení) Maticový zápis otočení je S´= Rs, kde matice rotace R takto definovaného modelu je  cos( X ´, x ) cos( X ´, y ) cos( X ´, z )    R =  cos(Y ´, x ) cos(Y ´, y ) cos(Y ´, z )   cos(Z ´, x) cos(Z ´, y ) cos(Z ´, z )   

Kosiny úhlů, které spolu svírají jednotlivé souřadnicové osy, lze vyjádřit pomocí rotačních parametrů. Podle výše uvedeného obr. 1.4.1 je o cos(X´,y) = cos(90 +εz) = -sin εz = - εz cos(X´,z) = cos(90o-εz) = sin εy = εy cos(Y´,x) = cos(90o-εz) = sin εz = εz cos(Y´,z) = cos(90o+εx) = -sin εx = -εx cos(Z´,x) = cos(90o+εy) = -sin εy = -εy cos(Z´,y) = cos(90o-εx) = sin εx = εx cos(X´,x) = cos(Y´,y) = cos(Z´,z) = 1 a matice rotace bude ve tvaru  1 −εz εy    R =  εz 1 −εx  −ε 1   y εx

9

2) Změna měřítka Systém s má jiný rozměr než systém S, resp. S´. Měřítkový koeficient k vyjadřuje změnu délkového měřítka při přechodu mezi oběma systémy.Tedy S´ = (1 + k) Rs. 3) Translace (posunutí) Souřadnicové systémy S[X,Z,Y] a S´[X´,Y´,Z] jsou pouze rovnoběžně posunuty. Lze tedy psát

S = S´+ ∆S, kde ∆S = [∆X,∆Y,∆Z]. Takže konečný tvar rovnice je

 1  X   ∆X        Y  =  ∆Y  + (1 + k ) ε z −ε  Z   ∆Z       y

−εz 1

εx

ε y  x    − ε x  y  1  z 

Poznámka. Úvahy i údaje uvedené v této kap. 1 nejsou jistě úplné co do rozsahu i co do hloubky. Pokud se čtenář s nimi nespokojí najde další v [7]. Při sepisování této kapitoly bylo čerpáno z prací [7] a [4]. Další a hlubší rozpracovaní této tématiky je v kap. 3.3. LITERATURA: Böhm J., Hora L., Kolenatý E.: Vyšší geodézie – díl I. Vydavatelství ČVUT, Praha 1981. Grušinskij N. P.: Teorija figury Zemli. Gosud. izdat. fiziko-matem. liter., Moskva 1963. Karský G.: Sborník výzkumných prací VÚGTK, sv.16, Praha 1986. Lahoda P.: Diplomová práce. ZČU, Plzeň 2006. Mueller I. I.: Spherical and Practical Astronomy as Applied to Geodesy. Frederick Ungar Publishing Co., New York 1969. [6] Ryšavý J.: Vyšší geodesie. Nákladem České matice technické, Praha 1947. [7] Vaníček P., Krakiwsky E.: GEODESY – the concepts. North-Holland, New York 1986. [8] Vykutil J.: Vyšší geodézie. Vydavatelství Kartografie, Praha 1982. [1] [2] [3] [4] [5]

10

2 2.1

Fyzikální charakteristiky Země

Země a její pohyb

Pohyby Země jsou především podmíněny různým především gravitačním vlivům. Proto i pohyby Země jsou různorodé. Možno je dělit na pravidelné a nepravidelné. Pravidelné pohyby lze podchytit, aspoň v prvním přiblížení, pouze Keplerovými pohybovými zákony. Nepravidelné pohyby Země jsou poruchy způsobené třetími tělesy či dalšími negravitačními vlivy. Pravidelné pohyby: - pohyb Země společný s pohybem naší galaxie vůči ostatním galaxiím - pohyb Země vůči těžišti naší galaxie - pohyb Země kolem Slunce - pohyb Země kolem těžiště soustavy Země-Měsíc - rotační pohyb Země kolem vlastní osy Nepravidelné pohyby – poruchy: - gravitační vlivy Měsíce, planet a dalších těles sluneční soustavy - negravitační: záření, odpor hmotných částic v prostoru dráhy Země, relativistické ad. O těchto vlivech pojednává nebeská mechanika a astrodynamika, viz např. [1] a [2]. LITERATURA: [1] Andrle P.: Základy nebeské mechaniky. ACADEMIA, Praha 1971 [2] Burša M., Karský G., Kostelecký J.: Dynamika omělých deružic v tíhovém poli Země. ACADEMIA, Praha 1993.

2.2

Tíhové pole Země

Jak ukazuje obr. 1.3.1, je každý bod na povrchu Země pod vlivem dvou základních sil, přitažlivé F a odstředivé P*). Výslednicí je pak tíže G. Jelikož jde o povrch Země, který je možno nahradit plochou vztažného elipsoidu, pak velikost průvodiče SA se zmenšuje směrem k pólům a přitažlivá síla F se tedy k pólům zvětšuje. Síla P se naopak k pólům zmenšuje. A jelikož působí protichůdně vůči síle F, pak obě síly způsobuji zvětšování tíže směrem k pólům. 1) Tíže směrem k pólům stoupá. Minimální je na rovníku a maximální na pólech. 2.2.1 Vliv přitažlivé síly Podle obr. 2.2.1 označme diferenciál hmoty Země dm jeho souřadnice ξ, η, ζ a souřadnice bodu m jako x, y, z, přičemž bod m leží vně Země a je pevně spojen se Zemí. V tomto budě o hmotnosti m budeme vyšetřovat sílu přitažlivou i odstředivou, přičemž jeho hmotnost m = 1. Pro vzdálenost r mezi body dm a m platí _______________________________ *) Krom těchto sil však působí další silové vlivy, které jsou však mnohem řádově menší než tyto dvě základní, a je tudíž možno je v dalším textu zanedbat. Jsou to např. slapové účinky Měsíce a Slunce, vlivy atmosféry ve vyšších polohách,vliv vodních hmot, volná nutace a další.

11

r 2 = ( x − ξ ) + ( y − η ) + (z − ζ ) , 2

takže

( r) = ξ − x

∂1

∂x

r3

2

2

a podobně pro y a z. Z m=1 (x y z) r dm

(x h z)

Z X

Y

Y

X Obr. 2.2.1

Diferenciál přitažlivé síly, která působí na hmotnost m = 1, je dF =κ

d m ⋅1 r2

a celková přitažlivá síla Země, která působí na hmotnost m = 1, je

F =κ∫

dm r2 ⊕

kde se integrace vztahuje na Zemi jako celek. Její složky v osách x, y, z jsou Fx = κ

∫

⊕

∫

∫

x −ξ y −η z −ζ d m , Fy = κ d m , Fz = κ dm, 3 3 r r r3 ⊕ ⊕

(2.2.1)

kde κ je Newtonova-Cavendishova konstanta. 2.2.2 Vliv odstředivé síly Podle obr. 2.2.1 budeme opět vyšetřovat vliv odstředivé síly v bodě m, tedy sílu P. Platí, že P = mω 2 ρ , kde, v našem případě je m = 1, ω je úhlová rychlost a ρ vzdálenost bodu m od osy rotace. Pak P = ω 2ρ

12

a složky v osách x, y, z jsou

Px = P

x

ρ

= xω 2 , Py = yω 2 , Pz = 0

(2.2.2)

2.2.3 Složky celkové síly

Vektorovým součtem dvou předchozích sil dostaneme sílu G, kterou nazýváme tíže. Působí-li na jednotku hmoty, m = 1, hovoříme o intenzitě (síly) tíže. Její složky získáme sečtením složek obou sil, tj. rov. (2.2.1) a rov. (2.2.2). Dostaneme gx = κ

∫

⊕

∫

∫

x −ξ y −η z −ζ d m + ω 2 x, g y = κ d m + ω 2 y, g z = κ dm 3 3 r3 r r ⊕ ⊕

(2.2.3)

a celková intenzita síly tíže je g = (g x2 + g 2y + g z2 )

1

2

v bodě m způsobená celou Zemí, g je číselně shodné se zrychlením, leč jeho rozměr je m·s-2. Intenzita síly tíže má rozměr kg·m·s-2. Složky v rov. (2.2.3) je možno též vyjádřit jako průměty intenzity síly tíže g do souřadnicových os. Jsou g x = g cosϕ cos λ , g y = g cos ϕ sin λ , g z = g sin ϕ .

(2.2.4)

2.2.4 Tíhový potenciál a jeho vlastnosti

Zavedeme výraz

W = −κ ∫

(

)

dm 1 2 2 + ω x + y2 . r 2 ⊕

(2.2.5)

Pak platí, že g x = ∂W a podobně pro y a z. Přesvědčme se derivováním rov. (2.2.5) podle ∂x x. Dostáváme, že

∂W 1  1  ∂r  = −κ ∫  − 2   d m + ω 2 2 x ∂x r  ∂x  2 ⊕ =κ∫− ⊕

1 x −ξ x −ξ dm +ω2x = κ ∫ 3 dm +ω2x , 2 r r r ⊕

což se shoduje s první rov. (2.2.3). Obdobné platí pro derivace podle y a z. Pro tíhový potenciál (2.2.5) tedy platí. 2) Derivací tíhového potenciálu W, rov. (2.2.5), podle určeného směru, dostáváme sílu tíže v tomto směru*), 3) potenciál W je skalár, 4) uvedené vtahy platí i pro samostatný potenciál přitažlivé síly, viz rov. (2.2.1), i pro samostatný potenciál síly odstředivé, viz rov. (2.2.2). *)

Zde je toto dokázáno jen pro směry souřadnicových os x, y, z.

13

V rov. (2.2.5) je prvý člen roven gravitačnímu potenciálu U a druhý člen rotačnímu potenciálu V. Pak tedy: 5) celkový potenciál W, tj. tíhový potenciál, jest roven součtu gravitačního potenciálu U a odstředivého potenciálu V , takže W = U +V ,

(2.2.6)

6) hladinovou plochu definujme jako plochu, která má v každém svém bodě stejnou hodnotu tíhového potenciálu W = W0 = konst .

(2.2.7)

Potom přírůstek dW, postupujeme-li po povrchu hladinové plochy, je nulový. Hladinová plocha je proto plochou ekvipotenciální. Tudíž dW = 0. Podle rov. (2.2.6) je rovněž dU + dV = 0

(2.2.8)

dU a dV považujme za totální diferenciály funkce U = U (x, y, z) a funkce V = V (x, y, z). Jsou

∂U ∂U ∂U dx+ dy+ dz, ∂x ∂y ∂z ∂V ∂V ∂V dV = dx+ dy+ dz, ∂x ∂y ∂z dU =

a po dosazení do rov. (2.2.8) a užitím bodu 5) dostáváme

∂W ∂W ∂W dx+ dy+ dz =0. ∂x ∂y ∂z

(2.2.9)

Výrazy ∂W

atd. jsou složky (2.2.4) tíhového zrychlení g a dx, dy, dz jsou hledané složky ∂x (směrové parametry) hledaných souřadnicových přírůstků v hledaném směru*), který označme n. Pak cos( g ; n ) = 0 , takže ∠( g ; n ) = 90° .

7) Směr tíže je stále kolmý k ekvipotenciální hladinové ploše. Leží tedy na normále k této ploše, nebo-li na svislici v bodě m, viz obr. 2.2.1, 8) hladinová plocha je plochou uzavřenou, z vnějšku vždy konvexní, je nedeformovaná a bez ostrých hran. Protože platí vztah (2.2.7), pak platí pro dvě blízké hladinové plochy, že rozdíl jejich potenciálů je rovněž konstantní, tedy W2 − W1 = ∆W = konst . Pro větší názornost čtenáře, je možno si představit, že rov. (2.2.9) je dělena výškovým přírůstkem dh. Pak dx jsou směrové kosiny směru tíže g. dh

*)

14

Podle bodu 2) je ∂W = g, ∂n

z čehož

∆W = g ⋅ ∆n = konst .

A protože tíhové zrychlení k pólům vzrůstá, pak musí ∆n v důsledku předchozího vzorce, klesat. 9) Hladinové plochy (pro Zemi) se k pólům sbíhají a na rovníku jsou vzájemně nejvzdálenější. Bližší a obdobné úvahy o této tématice uvádí např. [4]. 2.2.5 Geoid a jeho rovnice

Geoid je hladinová plocha o jistém tíhovém potenciálu Wg, která prochází body o nulových výškách. Tyto body jsou reálně dány značkami vodočtů pobřežních stanic. Při odvozování rovnice geoidu se vychází ze vztahu (2.2.5), jehož pravá strana se vyjádří proměnnými souřadnicemi ρ, φ, Λ, což jsou geocentrický průvodič, geocentrická zeměpisná šířka a délka. Dojde se k diferenciální rovnici 2. řádu, která se řeší separací neznámých, viz [2]. Výsledkem je rovnice GM ⊕ ρg = Wg

n ∞   a⊕  n ⋅ 1 + ∑   ∑ (C n, k cos kΛ + S n, k sin kΛ )⋅ Pn,k (sin φ ) +  n=2  ρ  k =0  ρ 3ω 2 + cos 2 φ  , 2GM ⊕ 

kde GM⊕ je geocentrická gravitační konstanta, Wg přijatá hodnota tíhového potenciálu na ploše geoidu, a⊕ poloměr rovníku Země, Cn,k a Sn,k jsou geopotenciální harmonické (Stokesovy) koeficienty stupně n a řádu k, ω je rotační rychlost Země a Pn,k jsou Legendrovy polynomy pro k = 0, a Lagendrovy přidružené funkce pro k ≠ 0. Bližší o těchto pojmech a o užití uvedených vzorců bude následovat v části IX. Převýšení ζ geoidu nad elipsoidem je pak

ζ =& ρ g − ρ e ,

kde ρe je geocentrický průvodič elipsoidu pro dané φ. Bližší o uvedené problematice v [1], [2], [3], a [4]. LITERATURA: [1] [2] [3] [4]

Burša M., Pěč K.: Tíhové pole a dynamika Země. ACADEMIE, Prha 1988. Heiskanen W. A., Moritz H.: Physical Geodesy. Freeman, 1967. Vaníček P., Krakiwsky E.: Geodesy-the concepts. Amsterdam 1986. Zeman A.: Fyzikální geodézie. Vydavatelství ČVUT, Praha 1998.

15

2.3

Atmosféra

Vliv atmosféry je i z hlediska astrodynamiky zásadní důležitosti, neboť značnou měrou ovlivňuje dráhu nízkých družic Země. Proto je jí třeba věnovat pozornost, především s ohledem na vystižení hustoty a její změny v daném čase a místě. Uveďme již v úvodu, že stoprocentní postižení prozatím neexistuje. Navíc k tomu přistupuje ještě rotace atmosféry a její nepravidelné proudění nazývané vítr. Těmto tématům se budeme ve vší stručnosti věnovat v této kap. 2.3. 2.3.1 Hustota atmosféry Hustota atmosféry se mění exponenciálně v závislosti na výšce. Její změny jsou závislé nejen na výšce, ale i na čase, a to ve značně složité závislosti. Mezi nejjednodušší vzorce pro výpočet hustoty ρ, ale nejméně přesné, patří vztah

ρ = ρ 0 exp (− k ⋅ h ) ,

kde h je výška družice, R poloměr Země a k = 0,1082. ρ0 je hustota atmosféry pro h = 0. Jiný vztah zní

 

ρ = ρ 0 1 + β cos n

ψ

, 2

kde β, n jsou koeficienty a ψ je úhel mezi geocentrickým průvodičem a vzdutím atmosféry. Hustota ρ0 se určuje ze vztahu log ρ0 = a + bh + c exp(d h) , kde a, b, c, d jsou koeficienty závisející na sluneční aktivitě a společně s β a n jsou určovány přístroji na palubě družice. V diplomní práci [3] je uveden empiricky získaný vzorec



ρ = ρ 0 exp − 

3

h ⋅ 22,5  , ln h 

kde ρ0 = 1,225 kg·m-3 a h v km je výška družice. Tento vzorec platí jen přibližně pro výšky od 200 km do 2000 km a byl sestaven pro hodnoty hustoty atmosféry uváděnými v [2]. Složitější a přesnější vzorce uvádí např. [1]. Podle nich jsou zakresleny průběhy hustot ρi s výškou h na obr. 2.3.1. 2.3.2 Změny v hustotě atmosféry

1) Denní efekt. Tento jev způsobuje maximální vzrůst hustoty v dané výšce kolem 14. hodiny a minimum mezi půlnocí a svítáním. Ve výšce 650 km je maximální hustota 10krát větší než minimální. Ve výšce 200 km dosahuje tento vliv až 40% průměrné hustoty. Velikost denní změny tedy závisí i na výšce.Tento efekt je způsoben změnou teploty atmosféry v závislosti na výšce Slunce nad horizontem. Ve dne jako by se atmosféra vydouvala – linie stejné hustoty vytváří vzdutí, viz obr. 2.3.2 a mírně se opožďovala za Sluncem. Ve výšce 500 km dosahuje hodnot 100 km. Tj. denní hodnota hustoty ve výšce 600 km je rovna průměrné noční hustotě v 500 km.

16

2) Dvacetisedmidenní perioda odpovídá periodě rotace Slunce kolem své osy vzhledem k Zemi. Tento efekt je závislý na množství a aktivitě slunečních skvrn na přivrácené straně Slunce. Ve výšce 200 km (600 km) může vyvolat 20% (70%) změny od průměrné hustoty. 3) Šestiměsíční cyklus vyvolává amplitudu ve výšce 350 km asi 40% střední hustoty. Maxima dosahují změny v dubnu a říjnu, minima v lednu a červnu.

Obr. 2.3.1 (významy hustot ρi jsou uvedeny v textu)

Zde znamená: ρ1 průměr z maximálních denních hodnot, maximum střední sluneční aktivity, ρ2 průměr z minimálních denních hodnot, maximum střední sluneční aktivity, ρ3 průměr z minimálních nočních hodnot, maximum střední sluneční aktivity, ρ4 průměr z minimálních denních hodnot, minimum střední sluneční aktivity, ρ5 průměr z minimálních nočních hodnot, minimum střední sluneční aktivity. 4) Jedenáctiletý cyklus vyvolává nejpomalejší, ale největší změny. Porovnáním hodnot z roku 1958, kdy byla sluneční aktivita maximální a z roku 1964, kdy byla minimální, vyplývá, že ve dne ve výšce 300 km klesla hustota průměrně 3krát a ve výšce 600 km asi 20krát. 5) Nepravidelné změny jsou svým způsobem výjimečné. Závisí rovněž na činnosti Slunce a je těžké je předvídat. Mohou trvat jen několik dní nebo hodin, ale mohou dosáhnout poměrně velkých hodnot.

17

2.3.3

Rotace atmosféry

Pokud předpokládáme, že atmosféra rotuje stejnou úhlovou rychlostí jako Zem, potom je její úhlová rychlost Λ = 1. Ve skutečnosti ovšem Λ ≠ 1 a v důsledku toho vzniká tak zvaný zonální vítr, což je vítr ve směru rovnoběžek. Pro Λ = 1,0 je postupná rychlost větru vůči Zemi VA = 0. Pro Λ > 1,0 je postupná rychlost větru VA > 0 vůči Zemi a směr větru od západu

Obr. 2.3.2

k východu. Pro Λ < 1,0 je postupná rychlost větru VA < 0 vůči Zemi a směr větru od východu k západu. Velikost rychlosti rotace Λ atmosféry závisí především na výšce, dále na ročním období a místním čase. Její střední hodnota od 125 km, kde je Λ = 1,0, stoupá na Λ = 1,22 pro 325 km, pak opět klesá na 1,0 pro 430 km a na 0,82 pro 600 km. Další změny jsou způsobeny efektem ‘den – noc’. Hodnota Λ dosahuje maxima „večer“, tj. od 18 do 24 h a minima „ráno“, tj. od 6 do 12 h. Rotace závisí také na roční době. Oproti střední hodnotě je v zimě o 0,15 vyšší a v létě o 0,1 nižší. Postupnou rychlost větru VA pro obecnou zeměpisnou šířku ϕ určíme ze vzorce V A = (Λ − 1)

2πr cos ϕ , 86400

kde r je geocentrický průvodič družice. Bližší o atmosféře a o jejím vlivu na pohyb družice najde čtenář v publikacích [3], [4], [7], českých autorů a zahraničních v [1], [2], [5], [6] a [9]. V práci [10] jsou popsány další jevy související se Zemí. LITERATURA:

[1] CIRA 61: Report of the Preparatory Group for an International Reference Atmosphere. Amsterdam 1961.

18

[2] CIRA 72: Complited by the Committee for the Cospar International Reference Atmosphere (CIRA). Berlin 1972. [3] Jansa T.: Poruchové působení atmosféry na dráhu družice. Diplomová práce, Praha 1984. [4] Kabeláč J., Sehnal Vl.: Atmospheric effects on the dynamics of the MIMOSA satellite. Journal of Geodesy (2003) 76: 536-542. [5] King-Hale D. G.: Theory of Satellite Orbits in an Atmosphere. Butterworths, London 1964. [6] King-Hale D. G.: Upper-Stmosphere Zonal Winds from Satellite Orbit Analysis. Planet. Space Sci., Vol. 31, No. 5, 1983. [7] Lála P.: Computer Program PRIOR Used for Orbit Determination at the Ondřejov Observatory. Space Res., Vol. 1. [8] Sehnal Vl.: Non-gravitational Forces in Satellite Dynamics. Symposium Sao Paulo, 1974. [9] Spravočnoe rukavodstvo po něbesnoj mechanike i astrodinamike. Nauka, Moskva 1971. [10] Vaníček P., Krakiwsky E.: Geodesy - the concepts. Amsterdam 1986.

19

20

II. část Vyšší geodézie matematická

3 Referenční plochy a soustavy 3.1

Referenční koule a výpočty na referenční kouli

Pro realizaci geodetických a kartografických výpočtů s nižší přesností je možné zemské těleso nebo jeho část nahradit kulovou plochou (tzv. referenční koulí). Narozdíl od elipsoidické plochy, viz kap. 3.2, má plocha kulová o poloměru R konstantní křivost, všechny její normály se protínají v jejím středu. Normálové roviny procházejí také středem koule a protínají ji v hlavních kružnicích o poloměru R. Oblouky hlavních kružnic (ortodrom), které spojují 3 body na kouli, které ovšem neleží na společné hlavní kružnici (její rovina prochází středem koule), tvoří sférický trojúhelník. Roviny, které neprocházejí středem koule, protínají ji ve vedlejších kružnicích. 3.1.1 Sférické zeměpisné souřadnice [U, V] Souřadnicový systém sférických zeměpisných souřadnic tvoří jednotný systém pro celou kouli, viz obr. 3.1.1. Sférická zeměpisná šířka U je úhel, který svírá normála n bodu P s rovinou rovníku. Je - od rovníku k severnímu pólu v intervalu 0° až 90° a označuje se jako severní šířka (kladná, +, N) - od rovníku k jižnímu pólu v intervalu od 0° do -90° a označuje se jako jižní šířka (záporná, –, S) Rovnoběžka je geometrické místo bodů s konstantní zeměpisnou šířkou. Poloměr r libovolné rovnoběžky je dán vztahem r = R cos U . Rovnoběžky nejsou obecně hlavní kružnice, ale vedlejší, a netvoří strany sférického trojúhelníka. Sférická zeměpisná délka V je úhel, který svírá rovina místního poledníku (procházející bodem P) s rovinou základního (nultého V = 0°) poledníku. Počítá se - na východ od nultého poledníku v intervalu 0° až 180° a označuje se jako východní délka (kladná, +, E) - na západ od nultého poledníku v intervalu 0° až -180° a označuje se jako západní délka (záporná, –, W) Poledník (meridián) je geometrické místo bodů s konstantní zeměpisnou délkou. Póly jsou singulárními body, jejich zeměpisná délka je v rozsahu 0° až 180° a 0° až -180°. Učebnice vyšší geodézie tradičně dále uvádějí pravoúhlé (Soldnerovy) souřadnice, jejich převody na souřadnice [U,V] a naopak. Bližší viz např. [1], [2] nebo [3]. 3.1.2

Geodetická křivka. Geodetická křivost. Ortodroma a loxodroma na kouli

Geodetická křivka bývá definována různými způsoby. Nejčastěji se užívá definice: „Geodetická křivka (čára) je nejkratší ze všech čar, které je možno na zvolené ploše vést mezi dvěma body.“ V rovině je geodetickou křivkou úsečka, na kouli oblouk hlavní kružnice (jejíž rovina prochází středem koule), na válcové ploše to je šroubovice. Sestrojíme ji, jestliže rozvineme válcovou plochu do roviny, oba dané body spojíme přímkou a plochu opět svineme do válce. Další viz kap. 3.2.

21

Sp V P

U

S

Obr. 3.1.0.1

Geodetická křivost je křivost průmětu infinitesimálně malého délkového elementu křivky do tečné roviny. V případě geodetické křivky je geodetická křivost v kterémkoliv jejím bodě nulová. Ortodroma na kouli. Mějme rovinu, která prochází středem koule. Potom tuto kouli protíná v tzv. hlavní kružnici. Část/oblouk této kružnice spojující např. 2 body A a B na povrchu koule se nazývá ortodroma. Je to nejkratší spojnice těchto dvou bodů. Ortodroma je rovněž celá kružnice, jdoucí od bodu A do téhož bodu A. Ortodroma je geodetická křivka v prostoru zakřivená, avšak geodeticky přímá. V terénu ji lze vytyčit jako polygon o vrcholových úhlech 180o. Přímou by se jevila např. z letadla. Ortodromě odpovídá v rovině úsečka a přímka. Na kouli nemůžeme vést dvě rovnoběžné ortodromy, vždy jsou různoběžné, dvakrát se protínají a tvoří dva sférické dvojúhelníky. Délka celé ortodromy je 2πR, kde R je poloměr koule. Průběh ortodromy na kouli je dán kružnicí a řídí se vzorci sférické trigonometrie. Průběh analogické křivky v rovině je úsečka nebo přímka a řídí se vzorci rovinné trigonometrie. PŘÍKLAD 1 Obecně položená ortodroma o je znázorněna na obr. 3.1.2. Je dáno: Poloměr R koule: 1 Sférická šířka U0 výchozího bodu P0 na kouli: 30o Sférická délka V0 výchozího bodu P0 na kouli: 0o Azimut A0 na výchozím bodě P0 na kouli: 45o Rozdíl sférických délek ∆V mezi body P a P0: 20o Máme určit: Sférickou šířku U obecného bodu P Sférickou délku V obecného bodu P Azimut A na bodě P Délku P0 P = l R Výpočet: Podle vět sférické trigonometrie dostaneme cos (180o − A) = − cos A0 cos ∆V + sin A0 sin ∆V cos ( 90o − U 0 ) → A na bodě P: 57,0750074°

22

sin (180o − A) sin ( 90o − U ) = sin A0 sin ( 90o − U 0 ) → U bodu P: 43,15125018° cos P0 P = cos

l = cos ( 90o − U 0 ) cos ( 90o − U ) + sin ( 90o − U 0 ) sin ( 90o − U ) cos ∆V → R → P0P = 20o,66333046

Sp

o

90o-I

. V0

V0 DV V

A

1 90o-P0P

90o-U

A

P

90o-U0

A0

P

A0

.

90o-DV

90o-U

V

90o-I

Sp

1

DV

I P0

l/R P0 Obr. 3.1.0.1

Obr. 0.2.1.3

Dále V = V0 + ∆V = 20o, event. kontrolně dalšími větami sférické trigonometrie. Délka l = P0 P ⋅ R ⋅ π 180 = 0,360643151. Odvození Clairautovy věty. Rovina ortodromy je v poloze neměnná. Její sklon označíme I a je rovněž neměnný, obr. 3.1.3. Tudíž i vzdálenost 90o − I nejvyššího bodu ortodromy od severního pólu Sp je neměnná, viz obr. 3.1.2 a 3.1.3. Z pravoúhlého sférického trojúhelníka ∆P1Sp platí jednoduchá věta sinová sin ( 90o − U ) sin A = sin ( 90o − I ) sin 90o a

po vynásobení poloměrem R koule platí

R cosU sin A = konst. = k0

což je věta Clairautova. Platí nejen pro kouli, ale i pro rotační elipsoid. PŘÍKLAD 2 Průběh ortodromy. Vycházíme z obr. 3.1.3. Nechť je dáno: Poloměr R koule: 1 Sférická šířka U0 výchozího bodu P0 na kouli: 0o Sférická délka V0 výchozího bodu P0 na kouli: 0o Rozdíl sférických délek ∆V mezi body P a P0: 10o Sklon l roviny ortodromy: 60o Máme určit: Sférickou šířku U obecného bodu P

23

(3.1.1)

Sférickou délku V obecného bodu P Azimut A na bodě P Délku P0 P = l R Výpočet: Nejprve z rov. (3.1.1): k0 = R cos U sin A = R cos U 0 sin A0 = R sin A0 = R cos I = 0, 5 Poté V = V0 + ∆V v obecném bodě P: 10o Z trojúhelníku P1Sp : cos A = cos ∆V sin I . Azimut A v obecném bodě P: 31o,47494888 cos U = k0 / R sin A : U = 16o,73957747 cos P0 P = cosU cos ∆V , takže délka l = P0 P ⋅ R ⋅ π 180 = 0,33903719. Vhodné je sestavení kontrolních vzorců nebo i jiných postupů. Loxodroma na kouli protíná všechny poledníky pod stejným azimutem A. Jestliže A = 0o, je loxodromou poledník, jestliže A = 90o, je loxodromou rovnoběžka. V obecném případě, kdy A ≠ 0o ∧ A ≠ 90o , se loxodroma blíží v závitech k severnímu a jižnímu pólu. Přestože je těchto závitů nekonečně mnoho, je délka loxodromy konečná, jak uvidíme později. S ohledem na ortodromu, která spojuje tytéž dva body jako loxodroma, prochází loxodroma na severní (jižní) zemské polokouli jižně (severně) od ortodromy. Loxodroma a ani diferenciálně malé úseky této křivky neleží na hlavní kružnici. Pro odvození dalších jejích vlastností je proto nutné vycházet z diferenciálního okolí obecného bodu P´, viz obr. 3.1.4, na kterém l označuje právě loxodromu, Sp je severní pól a význam ostatních symbolů je zřejmý z předchozího textu. Protože se jedná o infinitesimálně malý trojúhelník P1P´, je možno jej považovat za rovinný. Pak platí vztahy sin A d l = R cos U d V cos A d l = R d U tan A d U = cos U d V ,

(3.1.2)

Sp l V

P´ A l

90 -U P

A

r R U 1

R cosU V

Obr. 3.1.0.3

Obr. 3.1.0.4

ve kterých jsme diference ∆ změnili na diferenciály d. Připomeňme, že A a R jsou konstanty. Ostatní veličiny, tj. U, V a l jsou proměnné a tedy podléhají integraci. Z druhé rov. (3.1.2) dostaneme ihned jednoduchý vztah l cos A = R (U ´−U )

24

(3.1.3)

pro výpočet délky l loxodromy mezi koncovými body o zeměpisných šířkách U´ a U. Bude-li ležet bod P na rovníku a P´ na severním pólu, pak U = 0o, U´ = 90o a l = π R / 2 cos A , vyjádřeno již v míře obloukové. Je to tedy délka loxodromy od rovníku k severnímu pólu Sp. Délka loxodromy od jižního k severnímu pólu je tedy l = π R / cos A . Je-li azimut A = 60o, je délka loxodromy mezi póly l = 2π R , což je 2x více, než délka poledníku mezi oběma póly. Ve zvláštních případech je A = 0o (poledník) a A = 90o (rovnoběžka). Pro A = 0o je délka mezi póly l = 2π R a pro A = 90o, viz první rov. (3.1.2), v níž U = konst., je l = 2π R cos U . Integrujme nyní třetí rov. (3.1.2). Postupně dostáváme, viz též obr. 3.1.4,

∫ d V = V ′ − V = tan A ∫

dU −1 = tan A ∫ [sin (90° + U )] d U = cos U U U

V′

U′

U′

U ′  tan + 45°   U  U   2 , = tan A ∫ 2 sin  + 45°  cos + 45°  d U = tan A ln U  2  2  U  tan + 45°  2  V

−1

U′

takže výraz

U′  tan  + 45°   2  V ′ = V − tan A ⋅ ln U  tan  + 45°  2 

(3.1.4)

je použitelný pro výpočet V´, je-li dáno U´ obecného bodu P´ na loxodromě. Pro opačný případ platí

U′  U  ln tan  + 45°  = (V − V ′ ) cot A + ln tan  + 45°  ,  2  2 

U′  U  ln tan  + 45°  = V ′ cot A − V cot A + ln tan  + 45°  = V ′ cot A +ψ  2  2 

U  kde ψ = −V cot A + ln tan  + 45°  je konstanta pro danou loxodromu. Z předešlého vyplývá 2  výraz

U ′ = 2arctan exp (V ′ cot A +ψ )  − 90o

(3.1.5)

použitelný pro případ výpočtu U´, je-li dáno V´ bodu P´ na loxodromě. Tím jsou v obou případech známy souřadnice U´, V´, viz rov. (3.1.4) a (3.1.5), je-li loxodroma určena vstupními velič inami U, V, A. Její délku l v obecném případě, tj. od bodu P k bodu P´, viz obr. 3.1.4, určuje rov. (3.1.3). Rov. (3.1.4) a (3.1.5) se zjednoduší pro případy zvláštní. Tak pro azimut A = 0o, tj. pro loxodromu jako poledník, nabývají souřadnice hodnot U ′ ∈ −90°,90° , V ′ = V a pro A = 90o, tj. pro loxodromu jako rovnoběžku, nabývají souřadnice hodnot U ′ = U , V ′ ∈ 0°,360° .

25

Integrace prvé rov. (3.1.2) by vyžadovala nejprve nahrazení veličiny U veličinami V a l. Poté by následovala její integrace. Nebude jí však třeba. PŘÍKLAD 3 Průběh loxodromy. Viz obr. 3.1.4. Jsou dány: Zeměpisná šířka U = 0o a zeměpisná délka V = 0o výchozího bodu P loxodromy Azimut A = 45o loxodromy na bodě P Poloměr koule R = 10 Zeměpisné délky V´ se budou měnit tak, jak ukazuje 1. řádek tab.3.1.1 Máme určit: Zeměpisné šířky U´ odpovídající V´ loxodromy a délku l = PP´ loxodromy Výpočet: Nejprve určíme ψ = −V cot A + ln tan (U / 2 + 45° ) = 0 , což je konstanta pro danou loxodromu.

Poté z rov. (3.1.5) určíme šířku U ′ = 2arctan exp (V ′ cot A +ψ )  − 90o = 2 arctan  eV ′  − 90° ,

kde jednotlivá V´ udává 1. řádek a vypočtená U´ 2. řádek tab. 3.1.1. Délku l určuje rov. (3.1.3) l = R (U ´−U ) / cos A = 10 (U ´−0 ) cos 45° ⋅ π /180° = 0, 24682683 U ′° . Výsledky uvádí 3. řádek tab. 3.1.1. Souřadnice a délka loxodromy

Tab. 3.1.1 V´ [o] U´ [o] l

30 28,72 7,089

60 51,33 12,670

90 66,51 16,416

120 75,96 18,749

150 81,66 20,156

180 85,05 20,993

270 88,97 21,960

360 89,79 22,163

720 7200 89,9996 90 22,214316 22,214415

Z tab. 3.1.1 vyplývá, že loxodroma se blíží k pólům v závitech, jejichž počet je neomezený, její délka l je však určitá a blíží se k poslední hodnotě v posledním řádku. 3.1.3 Exces Sférický exces ε ve sférickém trojúhelníku je hodnota, o kterou je součet vnitřních úhlů ve sférickém trojúhelníku větší než 180o. Obecně je to nadbytek součtu vnitřních úhlů sférického obrazce nad součtem úhlů příslušného rovinného obrazce. Velikost excesu lze vypočítat pomocí měřených úhlů α, β, γ podle rovnice

ε = α + β + γ −180o .

(3.1.6)

Chyby úhlových měření však mohou být větší než hodnota sférického excesu. V tom případě se rov. (3.1.6) používá jako kontrolní a výpočet excesu se provede podle vztahu

ε ′′ = ρ ′′

P , R2

(3.1.7)

kde P je obsah sférického trojúhelníka, R poloměr koule a ρ´´ je radián ve vteřinách. Sférický exces ε ve sférickém mnohoúhelníku je opět řešitelný rov. (3.1.7), kde P je ovšem plocha sférického mnohoúhelníka.

26

3.1.4 Meridiánová konvergence

Meridiánová konvergence (sbíhavost poledníků) je dána úhlem γ, viz obr. 3.1.5, který svírá v bodě P poledník o zeměpisné délce ∆ V s rovnoběžkou r. Tečna, vedená v bodě P k rovnoběžce r je rovnoběžná s tečnou k základnímu poledníku v patě Q. Řešením pravoúhlého sférického trojúhelníka PQSp s využitím Neperových pravidel lze získat vztah pro výpočet meridiánové konvergence. Zní

tg γ = sin U tan ∆V . 3.1.5

(3.1.8)

Řešení sférických trojúhelníků větami sférické trigonometrie

3.1.5.1 Řešení 1. základní geodetické úlohy (ve sférických zeměpisných souřadnicích) Na kouli o poloměru R je dán bod P1[U1,V1], délka ortodromy l mezi body P1 a P2 a její azimut A1 v bodě P1. Počítají se souřadnice [U2,V2] bodu P2 a azimut A2 v tomto bodě. Situace je naznačena na obr. 3.1.6, zadané veličiny jsou zvýrazněny podtržením. Pro výpočet zeměpisné šířky U2 užijeme kosinovou větu ve sférickém trojúhelníku l l P1P2Sp. Má tvar cos 90o − U 2 = cos 90o − U1 cos + sin 90o − U1 sin cos A1 . Z řady R R dalších možných variant řešení výpočtu souřadnice V2 a azimutu A2 vybíráme tu variantu, která vychází pouze ze zadaných veličin. Ve sférickém trojúhelníku P1P2Sp platí sinová věta

(

)

(

(

)

)

(

sin 90o − U 2 sin ∆V = sin

a sinuskosinová věta pro stranu a úhel

(

)

(

)

sin 90o − U 2 cos ∆V = sin 90o − U1 cos

)

l ⋅ sin A1 R

(3.1.9)

(

)

l l − sin cos 90o − U1 cos A1 R R

(3.1.10)

Vydělením rov. (3.1.9) a (3.1.10) a dalšími algebraickými úpravami dostaneme rovnici l sin A1 R . tan ∆V = l l cos U1 cos − sin sin U1 cos A1 R R sin

Vykrácením čitatele i jmenovatele výrazem sin ( l / R ) získáme tvar tan ∆V =

sin A1 , l cos U1cot − sin U1 cos A1 R

který je funkcí pouze zadaných veličin. Obdobný způsob výpočtu lze použít pro azimut A2. Ve sférickém trojúhelníku P1P2 Sp se vyskytuje u bodu P2 úhel (180°−A´2), kde A´2 = A2 − 180°. Pro výpočet A´2 opět využijeme sinovou a sinuskosinovou větu pro stranu a úhel. Jsou

(

) (

)

(

)

sin 90o − U 2 sin 180o − A2′ = sin 90o − U1 ⋅ sin A1

27

(3.1.11)

(

) (

)

(

)

sin 90o − U 2 cos 180o − A2′ = cos 90o − U1 sin

(

)

l l − sin 90o − U1 cos cos A1 R R

(3.1.12)

Vydělením rov. (3.1.11) a (3.1.12) a vykrácením výrazem cosU1 obdržíme tan A2′ =

sin A1 . l l − tan U1 sin + cos cos A1 R R

Hledaný úhel A2 je pak A2 = A2′ + 180o , viz obr. 3.1.6.

Sp V2 90° U2

V pol.

A´2 90° U1 180° A´2 A1 P

l /R Obr. 3.1.0.1

P2 A2

PŘÍKLAD 4 1. základní geodetická úloha. Vycházíme z obr. 3.1.6. Jsou dány: Poloměr R koule: 6378000 m Sférická šířka U1 bodu P1 na kouli: 50o 40´ Sférická délka V1 bodu P1 na kouli: 14o 25´ Délka l ortodromy mezi body P1 a P2: 600000 m Azimut A1 v bodě P1: 80o Máme určit: Sférická šířka U2 bodu P2 na kouli Sférická délka V2 bodu P2 na kouli Azimut A2 na bodě P2 Výpočet: Nejprve určíme úhel l / R odpovídající délce l ortodromy. Je l / R = 0,0940733772 rad = = 180o l / π R = 5o,39000748. Poté podle kap. 3.1.5 postupně zjišťujeme U2 z kosinové věty pro stranu, ∆V ze sinové věty, V2 = V1 + ∆V , A2′ např. ze sinové věty a A2 = A2′ + 180° . Výsledek: U2 = 51o,29633124 V2 = 22o,92440003 A2 = 266o,6149359 Kontrola Clairautovou větou: R cos U1 sin A1 = 3981158,129 m R cos U 2 sin A2′ = 3981158,128 m Viz též obr. 3.1.6.

28

Řešení 2. základní geodetické úlohy (ve sférických zeměpisných souřadnicích) Na kouli o poloměru R jsou dány body P1[U1,V1] a P2[U2,V2]. Počítá se délka ortodromy l mezi body P1 a P2 a oba její azimuty A1, A2 v těchto bodech. Situace je naznačena na obr. 3.1.7, kde jsou podtrženy zadané veličiny. Pro výpočet délky ortodromy l užijeme kosinovou větu ve sférickém trojúhelníku P1P2Sp. Je 3.1.5.2

cos

(

) (

)

(

) (

)

l = cos 90o − U1 cos 90o − U 2 + sin 90o − U1 sin 90o − U 2 cos ∆V , R

kde ∆V = V2 − V1 , neboli cos

l = sin U1 sin U 2 + cos U1 cos U 2 cos ∆V . R

Pro výpočet azimutu A1 použijeme princip výpočtu uvedený v kap. 3.1.5.1. Ve sférickém trojúhelníku P1P2Sp platí sinová věta sin

(

)

l sin A1 = sin 90o − U 2 ⋅ sin ∆V R

(3.1.13)

a sinuskosinová věta pro stranu a úhel sin

(

) (

)

(

) (

)

l cos A1 = sin 90o − U1 cos 90o − U 2 − sin 90o − U 2 cos 90o − U1 cos ∆V R

(3.1.14)

Vydělením rov. (3.1.13) a (3.1.14) a dalšími algebraickými úpravami dostaneme rovnici

tan A1 =

cos U 2 sin ∆V . cos U1 sin U 2 − cos U 2 sin U1 cos ∆V

Vykrácením výrazem cosU2 obdržíme rovnici tan A1 =

sin ∆V . cos U1 tan U 2 − sin U1 cos ∆V

Pro azimut A2 je zapotřebí nejprve vypočítat A´2, a to vydělením následující sinové a sinuskosinové věty pro stranu a úhel sin sin

(

(

)

(

(

) (

)

)

l sin 180o − A2′ = sin 90o − U1 ⋅ sin ∆V R

)

(

) (

)

l cos 180o − A2′ = sin 90o − U 2 cos 90o − U1 − sin 90o − U1 cos 90o − U 2 cos ∆V R

Získáme rovnici

(

)

tan 180o − A2′ =

cos U1 sin ∆V , cos U 2 sin U1 − cos U1 sin U 2 cos ∆V

která vykrácením výrazem cosU1 přejde na tvar tan A2′ =

sin ∆V . − cos U 2 tan U1 + sin U 2 cos ∆V 29

Azimut A2 vypočteme z výrazu A2 = 180o + A2′ . PŘÍKLAD 5 2. základní geodetická úloha. Vycházíme z obr. 3.1.7. Je použito výsledných hodnot PŘÍKLADU 4. Je dáno: Poloměr R koule: 6378000 m Sférická šířka U1 bodu P1 na kouli: 50o 40´ Sférická délka V1 bodu P1 na kouli: 14o 25´ Sférická šířka U2 bodu P2 na kouli: 51o 17´46´´, 792464 Sférická délka V2 bodu P2 na kouli: 22o 55´27´´,840108 Máme určit: Azimut A1 v bodě P1 na kouli Azimut A2 v bodě P2 na kouli Délku l ortodromy mezi body P1 a P2 Výpočet: Podle prvních vzorců v této kap. 3.1.5.2 určíme úhlovou hodnotu l / R ortodromy, kde ∆V = V2 − V1 = 8°30′27′′,840108 . Je l / R = 0,094073377 rad = 5o,39000747 a l = (l / R) R. Poté podle dalších vzorců kap. 3.1.5.2 určíme azimuty A1, A2 a konečně A2 = A2′ + 180o . Výsledek: A1 = 79o,99999997 A2 = 266o,61493589 l = 599999,998 m, což je ve shodě s PŘÍKLADEM 4. Další kontroly jsou zbytečné.

Pro zájemce o tuto disciplínu jsou uvedeny náměty dalších, složitějších příkladů na kouli: - Určete sférické zeměpisné souřadnice průsečíků ortodromy i loxodromy s daným poledníkem, rovnoběžkou, obecnou hlavní i vedlejší kružnicí. - Určete sférické zeměpisné souřadnice extrémních bodů na ortodromě. - Určete sférické zeměpisné souřadnice průsečíků dvou ortodrom, dvou loxodrom, ortodromy s loxodromou. - Vypočtěte excesy, jsou-li dány sférické zeměpisné souřadnice minimálně tří bodů na kouli. - Určete meridiánové konvergence pro různé souřadnicové soustavy a pro různé body různých obrazců. Závěrečná poznámka ke kap. 3.1.5. Dlužno poznamenat, že byly odvozeny i jiné metody, které však již patří minulosti. Byly odvozeny z důvodů snížení počtu desetinných míst při zachování přesnosti výpočtu. Délky trigonometrických stran nepřesahují zpravidla 30 km, takže zeměstředné úhly jsou menší než 16´ a excesy trojúhelníků menší než 2´´. Pro milimetrovou přesnost je nutno počítat trigonometrické funkce na 11 desetinných míst. Obecné vzorce sférické trigonometrie nebyly vhodné pro řešení takovýchto „malých“ trojúhelníků. Tyto okolnosti vedly k určité úpravě rovnic pro řešení sférických trojúhelníků. Tím se např. sférické řešení nahradí řešením rovinným. Uveďme aspoň některé názvy. Metoda excesová (Legendre 1787) a metoda aditamentová (Soldner 1820). Naše odborná literatura uvádí tyto metody a mnohé další např. v [1], [2] a [3]. Tyto „základní“ geodetické úlohy bývají též označovány jako „hlavní“ geodetické úlohy.

30

LITERATURA:

[1] Böhm J., Hora L., Kolenatý E.: Vyšší geodézie – díl 1. Vydavatelství ČVUT, Praha, 1979. [2] Ryšavý J.: Vyšší geodesie. Nákladem ČMT, Praha 1947. [3] Vykutil J.: Vyšší geodézie. Vydavatelství Kartografie n. p., Praha 1982.

3.2

Referenční elipsoid a výpočty na referenčním elipsoidu

Pro přesnější geodetické výpočty již nevyhovuje nahrazení zemského tělesa plochou kulovou. Skutečný tvar Země lépe vystihuje plocha elipsoidická. Trojosý elipsoid má však složitější geometrii, proto se užívá elipsoid rotační pro určitou oblast (na rozdíl od elipsoidu obecného, který platí pro celou Zemi). Vznikne rotací poledníkové elipsy o hlavní ose a a vedlejší ose b. Parametry a, b je tvarově i rozměrově rotační elipsoid jednoznačně definován. Z nich jsou odvozeny další veličiny, které charakterizují tento elipsoid. První výstřednost (excentricita poledníkové elipsy)

e2 =

a2 − b2 a2

Druhá výstřednost

e′2 =

a 2 − b2 b2

První zploštění (poledníkové elipsy)

i=

a −b a

Druhé zploštění (poledníkové elipsy)

n=

a−b a +b

Poloměr křivosti na pólech

c=

a2 b

Sp b

a S

rovník

p

Obr. 3.2.1

31

Rovina, která prochází středem S elipsoidu a je kolmá na vedlejší osu b, je rovina geodetického∗) rovníku (viz obr. 3.2.2). Rovník je kružnice o poloměru a. Řezy rovin rovnoběžných s rovinou rovníku jsou geodetické rovnoběžky – kružnice, jejichž poloměr se zmenšuje od rovníku k pólům. Svazek rovin, procházejících vedlejší osou elipsoidu b, protíná povrch elipsoidu v geodetických polednících (meridiánech). Jsou to elipsy s poloosami a, b. Plocha rotačního elipsoidu má proměnlivou křivost podle směru řezu i polohy. Normály k ploše obecně neprocházejí středem elipsoidu, ale jsou různoběžné s vedlejší osou. 3.2.1

Souřadnicové soustavy∗∗) a jejich transformace

Geodetická zeměpisná šířka B∗∗∗) je úhel, který svírá normála v bodě P k povrchu elipsoidu. Počítá se - od rovníku k severnímu pólu v intervalu 0° až 90° a označuje se jako severní šířka (kladná,+, N) - od rovníku k jižnímu pólu v intervalu od 0° do -90° a označuje se jako jižní šířka (záporná, –, S) Geodetická zeměpisná délka L je úhel, který svírá rovina poledníku bodu P s rovinou nultého poledníku. Počítá se - na východ od nultého poledníku v intervalu 0° až 180° a označuje se jako východní délka (kladná, +, E) - na západ od nultého poledníku v intervalu 0° až -180° a označuje se jako západní délka (záporná, –, W) Jako základní (nultý) poledník je mezinárodně označován poledník greenwichský. Tento základní geodetický poledník byl v minulosti definován jako astronomický poledník, který prochází stabilizovaným bodem na observatoři v Greenwichi u Londýna. Byl definován pomocí astronomických měření na této observatoři a proto byl též nazýván greenwichským. V současné době je to již jen historická setrvačnost v tomto názvu, neboť základní poledník je vlivem kolísání pólu s časem proměnný. V současnosti je permanentně zaměřován a vypočítáván Mezinárodní časovou službou v Paříži a neodpovídá původnímu poledníku (neprochází oním základním bodem v Greenwichi). Do počátku 20. století se zeměpisné délky počítaly od poledníku procházejícím ostrovem Ferro (nejzápadnějším z Kanárských ostrovů, hranicí tehdejšími Evropany poznaného světa). Poledník Ferro byl základním i pro naši Jednotnou trigonometrickou síť katastrální. Přibližný převodní vztah mezi oběma délkovými soustavami LFERRO = LGR + 17°40′ je velmi často uvádě. Hodnotu správnou, tj. 17o 39‘ 46,02‘’, cituje E. Buchar v práci Tížnicové odchylky a geoid v ČSR. Tato prace sice vyšla, ale do prodeje se nedostala, neboť byla prohlášena za tajnou. Geocentrická šířka β. V astronomických aplikacích se místo B užívá geocentrická∗) šířka β. Je dána úhlem, který svírá spojnice SP s hlavní poloosou (viz obr. 3.2.3). Druhou souřadnicí zůstává L. ∗)

Všechny veličiny vztažené k takto definovanému elipsoidu jsou veličinami geodetickými. Termín zeměpisná šířka a délka se užívá od starověku. Původně se měřilo a mapovalo především v oblasti Středozemního moře a vynášení v mapě se konalo „po šířce“ nebo „po délce“ Středozemního moře. Z doby starověku pochází také měření souřadnic od rovníku, protože polární oblasti nebyly známé. ∗∗∗) Označení B, L je z německého Breite (šířka) a Länge (délka). Souřadnice [B, L] jsou geodetické, vztažené ke zvolenému elipsoidu. Souřadnice [ϕ, λ] jsou astronomické souřadnice, které se měří na skutečném zemském tělese (jsou s časem proměnné vlivem poruch jako je kolísání pólu, změna směru svislice v prostoru atd.). ∗∗)

32

Redukovaná šířka ψ. Pro teoretické účely byla zavedena redukovaná šířka ψ. Uvažovaným bodem P (viz obr. 3.2.2) se vede rovnoběžka s osou y. Průsečíkem této rovnoběžky s osou x vznikne bod P1. Na kružnici o poloměru a se středem S se sestrojí bod Q jako Q = k ( S , a ) ∩ PP1 , kde PP1 b . Redukovaná šířka ψ je úhel QSP1. Druhou souřadnicí zůstává geocentrická délka L. Pravoúhlé souřadnice v rovině poledníkové elipsy [x, y] Volíme-li počátek rovinné souřadnicové soustavy ve středu S meridiánové elipsy, osu x vložíme do hlavní poloosy a osu y do vedlejší poloosy meridiánové elipsy, bude její rovnice x2 y 2 + = 1 , nebo b 2 x 2 + a 2 y 2 − a 2b 2 = 0 . Pravoúhlé souřadnice bodu P jsou definovány a 2 b2 x = SP1 , y = PP1 . k(S,a) Sp

Q

b

P

n

e

90 -B B

a S

1

90 +B

90 p´

p

Obr. 3.2.1

Prostorové pravoúhlé souřadnice [X, Y, Z] Počátek souřadnicové soustavy je ve středu elipsoidu S. Osa X je průsečnicí geodetické roviny rovníku s rovinou základního geodetického poledníku, osa Y leží v rovině rovníku a je kolmá na osu X v pravotočivé soustavě. Osa Z je vložena do vedlejší osy. Osy X,Y,Z tvoří pravoúhlou pravotočivou soustavu. Prostorové pravoúhlé souřadnice bodu P, který leží na ploše elipsoidu (H = 0), jsou definovány vztahy

X = N cos B cos L , Y = N cos B sin L , Z = N (1 − e 2 ) sin B

∗)

(3.2.1)

Zde je geocentrickou šířkou míněn úhel, který má vrchol ve středu referenčního elipsoidu. V současné době se termín „geocentrický“ většinou užívá pro střed elipsoidu totožný s těžištěm Země. Elipsoid se středem v těžišti Země má název obecný (absolutní) elipsoid. Vzdálenosti středů referenčních elipsoidů od těžiště Země se pohybují řádově ve stovkách metrů.

33

kde N je příčný poloměr křivosti, viz rov. (3.2.9) a e je první výstřednost. Pro bod, který leží ve směru normály k elipsoidu ve výšce H nad elipsoidem, platí

(

)

X = ( N + H ) cos B cos L , Y = ( N + H ) cos B sin L , Z = N (1 − e 2 ) + H sin B

Odvození viz při rov. (3.2.10) a (3.2.11).

(3.2.2)

3.2.1.1 Vybrané transformace souřadnic

β ↔ψ Následující úlohy budeme řešit za předpokladu znalosti velmi jednoduchého (afinního) vztahu mezi elipsou e a kružnicí k(S,a), viz obr. 3.2.2. Zní P1 P / PQ =b/ a 1

(3.2.3)

pro všechny souřadnice ve směru osy y. Souřadnice ve směru osy x zůstávají neměnné. Z obr. 3.2.2 vyplývá, že z čehož, viz též rov. (3.2.3),

tan ψ = PQ / x , tan β = y / x , 1

tan ψ / tan β = PQ / y = PQ = 1 1 / PP 1

a a = , b a 1 − e2

tan ψ = (1 − e 2 )

(1 − e ) tanψ

takže −0.5

tan β , tan β =

2

(3.2.4)

ψ ↔B

o ′ ′ Podle obr. 3.2.2 je tan ( 90o −ψ ) = PQ 1 / p , tan ( 90 − B ) = P1 P / p , z čehož

cotgψ / cotg B = tan B / tanψ =

PQ a a 1 = = , P1 P b a (1 − e2 )

jak vyplývá z rov. (3.2.3). Takže

tan B = 1 − e 2 tanψ , tanψ =

(1 − e ) tan B 2

B↔β Zřejmě platí pomocí rov. (3.2.4) a (3.2.5), že

(1 − e ) tan β / tanψ tan β / tan B = = = 1 − e2 , − 0.5 tan B / tanψ (1 − e 2 ) 2

tan β = (1 − e 2 ) tan B , tan B = (1 − e 2 ) tan β . −1

34

(3.2.5)

B ↔ x,y Opět použijeme obr. 3.2.2. Vyplývá z něho, že x = a cosψ , y = b sinψ

(3.2.6)

Použijeme-li známých pouček z goniometrie, je možno cos ψ a sin ψ vyjádřit jako tg ψ. Zní cosψ =

1 1 + tan ψ 2

, sinψ =

tanψ

(3.2.7)

1 + tan 2 ψ

Za tanψ dosadíme z rov. (3.2.5) do předchozích rovnic, tyto do rov. (3.2.6) a postupně dostáváme, že x=a

x=

1 + (1 − e 2 ) tan 2 B

a cos B cos B + (1 − e ) sin B 2

2

x=

(1 − e ) tan B 1 + (1 − e ) tan B 2

1

2

, y=b

, y=

a cos B 1 − e 2 sin 2 B

2

2

a (1 − e 2 ) sin B

(3.2.8)

cos B + (1 − e ) sin B 2

, y=

2

2

a (1 − e 2 ) sin B 1 − e2 sin 2 B

kde W = 1 − e2 sin 2 B je tzv. druhá základní (fundamentální, hlavní) geodetická funkce. Pak je také možno psát

Pro

úplnost

uveďme

x = a cos B / W , y = a (1 − e 2 ) sin B / W

první základní (fundamentální,

hlavní)

geodetickou

funkci

V = 1 + e′2 sin 2 B . Vztahy mezi nimi jsou W = V 1 − e 2 , V = W 1 + e′ 2

Obě funkce se v geodézii často používají, především ve vyšší geodézii. Druhá základní geodetická funkce V se užívá s polárním poloměrem křivosti c. Obě funkce W a V závisí jen na geodetické šířce B a bývaly tabelovány k tomuto argumentu B. Důvodem pro jejich zavedení bylo počtářské zjednodušení. Dnes již toho není třeba. S rov. (3.2.8) souvisí další důležitá veličina, a to je příčný poloměr křivosti N=

a 1 − e sin B 2

2

=

a W

(3.2.9)

což je poloměr oskulační kružnice v rovině rovnoběžky daného bodu, tzv. příčný poloměr křivosti. Odvození je v kap. 3.2.3. Geocentrický průvodič, viz obr. 3.2.2, je

ρ = x 2 + y 2 = a cos 2 ψ + (1 − e2 ) sin 2 ψ = a 1 − e 2 sin 2 ψ

35

S pomocí rov. (3.2.6) nebo též s pomocí rov. (3.2.8)

ρ = a cos 2 B + (1 − e 2 ) sin 2 B / W = a 1 + e 2 ( e 2 − 2 ) sin 2 B / W a s pomocí první rov. (3.2.4) a druhé rov. (3.2.7) je

ρ = a 1 − e2

tan 2 ψ tan 2 β b 2 = a 1 − e = 2 2 2 1 + tan ψ 1 − e + tan β cos 2 β − e 2 sin 2 β

Transformace v prostoru (3-D transformace) a) B, L, H=0 → X, Y, Z Z obr. 3.2.3 a z trojúhelníku vpravo nahoře vyplývají pro souřadnice X, Y, Z vztahy X = x cos L , Y = x sin L , Z = y , které lze upravit dosazením vztahů (3.2.8) a (3.2.9). Dostáváme

X = N cos B cos L,

X = N cos B sin L, Z = N (1 − e 2 ) sin B

(3.2.10)

Z p

P

S

90 -L . Y

L

X

x p

Obr. 3.2.1

b) B, L, H → X, Y, Z V rov. (3.2.10) příčný poloměr křivosti N se nahradí výrazem (N+H), čímž se získají rovnice, viz též rov. (3.2.2),

(

)

X = ( N + H ) cos B cos L, Y = ( N + H ) cos B sin L, Z = N (1 − e 2 ) + H sin B

(3.2.11)

Elipsoidická výška H bodu P je rovna součtu jeho „normální“ výšky Hn a výšky ζ kv kvazigeoidu nad elipsoidem, takže H = H n + ζ kv . c) X, Y, Z → B, L, H Zpětnou transformaci lze provést nepřímým i přímým způsobem.

36

a) Nepřímý způsob (postupná aproximace) Geodetická délka L se vyjádří vydělením druhé a první rov. (3.2.11). Je tg L = Y / X . Z týchž rovnic získáme X 2 + Y 2 = ( N + H ) cos B = p ,

kde p je hodnota známá. Touto hodnotou vydělíme třetí rov. (3.2.11) a máme

(3.2.12)

2 Z ( N + H − Ne ) sin B 1 e 2 tan B , = = = tan B − 2 2 p N + H cos B 1 + H / N ( ) X +Y

Z

z čehož vyplývá pro geodetickou šířku B vztah

tan B =

Z N 2 1 + e sin B = ( Z + Ne 2 sin B ) , p p p

(3.2.13)

který řešíme postupnou aproximací, neboť druhý člen pravé strany rov. (3.2.13) obsahuje malou veličinu e 2 . Neznámou je ovšem i příčný poloměr křivosti N, viz rov. (3.2.9), který se rovněž postupně upřesňuje společně s výrazem B. Takže postup bude tan B I = Z / p , 1 NI 2 I 2 I I + = + Z N e sin B tan B e sin B I , ( ) p p II −0.5 N 2 N II = a (1 − e2 sin 2 B II ) , tan B III = tan B I + e sin B II atd. p

N I = a (1 − e 2 sin 2 B I )

−0.5

, tan B II =

Zpravidla již třetí aproximace dává hledanou hodnotu B. Elipsoidickou výšku H uvádí rov. (3.2.12).

b) Přímý způsob, viz [4] Nejdříve se vypočítají konstanty k1, k2, k3 , které jsou pro daný referenční elipsoid neměnné a a E2 E2 stačí je tedy vypočítat jen jednou, k1 = , k2 = , k3 = , kde a, b viz úvod kap. 3.2 a b a b kZ E 2 = a 2 − b 2 . Zavedeme θ = arctan 1 , pak p tan B =

Z + k3 sin 3 θ Y , tan L = , H = p cos B + Z sin B − a 1 − e 2 sin 2 B 3 p − k2 cos θ X

(3.2.14)

PŘÍKLAD 6 Transformace B, L, H na X, Y, Z Jsou dány parametry Besselova elipsoidu a, e2 a elipsoidické zeměpisné souřadnice B,L,H bodu P, který leží vně Besselova elipsoidu: a = 6377397,155 m, e2 = 0,0066743722 , B = 50o , L = 15o , H = 10 m. Určete pravoúhlé prostorové souřadnice X,Y,Z bodu P. Výpočet: Použijeme jednoduše rov.(3.2.11). Dříve je však nutné vypočítat příčný poloměr křivosti N z rov. (3.2.9).

37

Výsledek: N = 6 389 923,082 m, X = 3 967 414,579 m, Y = 1 063 065,533 m, Z = 4 862 301,910 m. PŘÍKLAD 7 Transformace X, Y, Z na B, L, H. a) Nepřímý způsob Tuto úlohu budeme nejprve řešit postupnými aproximacemi, viz bod c) v předchozím textu. Dány jsou opět parametry Besselova elipsoidu a a e2 a pravoúhlé prostorové souřadnice X,Y,Z bodu P, viz výše. Výpočet: Geodetickou délku L určíme z výrazu tan L = Y/X, který jsme získali z druhé a první rov. (3.2.11). Geodetickou šířku B určíme postupným přibližováním, viz rov.(3.2.13) a text za ní. V jednotlivých aproximacích dostáváme ve [o]: 49,810095874469, 49,999475608660, 49,999998548200, 49,999999995981 a 49,999999999989. Elipsoidickou výšku určuje rov.(3.2.12), která zní H = p/cosB - N. Výsledky: B = 50o , L = 15o , H =10 m, což se shoduje se zadanými veličinami v úvodu příkladu 6. b) Přímý způsob, viz [4]. Dány jsou parametry Besselova elipsoidu a, e2 a pravoúhlé prostorové souřadnice X,Y,Z bodu P, který leží vně Besselova elipsoidu: a = 6377397,155 m , e2 = 0,0066743722 X = 3967414,58 m , Y = 1063065,533 m , Z = 4862301,91 m Určete geodetické souřadnice B,L,H téhož bodu P, a to přímým postupem, viz bod b) v předchozím textu. Jde tedy o tutéž úlohu, řešenou bezprostředně před touto úlohou, leč nepřímým způsobem, tj. pomocí aproximací. Výpočet: Nejprve vypočteme vedlejší poloosu b = a (1 – e2) 0,5 = 6 356 078,962 919 936 m, poté pomocnou veličinu E = (a2 - b2)0,5 = 521 013,137 769 800 8 a dále k1 = 1,003 353 984 776 531, k2 = 42 565,122 279 691 77 m, k3 = 42 707,885 051 829 05 m, P = (X2 + Y2)0,5 = 4 107 369,812 550 259 m a θ = 49o,905 506 477 093 72. Výsledky: Viz rov. (3.2.14): B = 49o,999 999 991 6 , L = 15o,000 000 001 644 86, H = 10,000 364 988 m, což je zcela vyhovující. 3.2.2 Křivky na rotačním elipsoidu Zemský poledník je množina bodů s konstantní geodetickou zeměpisnou délkou. Má tvar elipsy, která spojuje severní a jižní pól. Na ploše elipsoidu je jich nekonečně mnoho. Výpočet délky poledníkového oblouku je v kap. 3.2.4. Zemská rovnoběžka. Z obr. 3.2.4 vyplývá, že rovnoběžka, která prochází bodem P o geodetické šířce B, je kružnice o poloměru r = x = N cos B . Oblouk sr rovnoběžky mezi body o geodetických délkách L1, L2 je tedy obloukem kružnice o poloměru r při středovém úhlu ∆L = L2 − L1 , takže sr = N cos B ∆L , kde ∆L je v radiánech. Tečny k ploše elipsoidu, kolmé k oblouku rovnoběžky, jsou tečnami k poledníkům, směřují do bodu V´ a tvoří kuželový plášť.

38

Normálové řezy. Mezi body P1 [ B1 , L1 ] a P2 [ B2 , L2 ] lze obecně vést dva normálové řezy (viz obr. 3.2.5). První normálový řez vytváří rovina daná normálou n1 a bodem P2 a druhý normálový řez normálou n2 a bodem P1, přičemž normály n1, n2 jsou obecně mimoběžky. Normála n1 v bodě P1 protne rotační osu elipsoidu v bodě V1, normála n2 v bodě V2. Rovina určená body PV 1 1 P2 obsahuje normálu n1 a protíná elipsoid v normálovém řezu s1. Rovina PV 1 2 P2 obsahuje normálu n2 a protíná elipsoid v normálovém řezu s2. y

V´ B Sp P

n

t

N

B

S B

x

.

Obr. 3.2.1

Normály n1, n2 nebudou mimoběžné a obě roviny se ztotožní, jestliže body P1, P2 leží: - na stejném poledníku – obě normály leží v jedné meridiánové rovině a oba normálové řezy splývají v jednu křivku, která je totožná s meridiánovou elipsou - na stejné rovnoběžce – bod V1 splyne s V2. Pozn.: Naznačená situace nastává v praxi v okamžiku, kdy v bodě P1 urovnáme svislou osu teodolitu do směru normály n1 a zaměříme na bod P2. Záměrná rovina protne elipsoid v normálovém řezu s1. Při měření z bodu P2 na P1 záměrná rovina protne elipsoid v normálovém řezu s2. Geodetická křivka. Definice geodetické křivky, resp. ortodromy pro kouli, byla uvedena v kap. 3.1.2. Na elipsoidu bychom geodetickou křivku vyznačili tak, že bychom mezi dvěma body napjali poddajný provazec, který by ve všech svých bodech přiléhal k elipsoidu. Stejně tak by tomu bylo i u jiných ploch, ovšem vždy s přihlédnutím k výše uvedené definici. K představě geodetické čáry na elipsoidu lze dospět ještě poněkud jinak. Vyjděme z jistého počátečního bodu A a v malé vzdálenosti vytýčíme bod B. Poté přejdeme na bod B, urovnáme stroj/teodolit, zaměříme na bod A a ve směru odchýleném o 180o vytýčíme bod C, opět v malé vzdálenosti. A tak pokračujeme až ke konečnému bodu Z pořadu. Křivka A, B, C, … , Z je křivkou geodetickou na elipsoidu. Zde je křivkou prostorovou. Uveďme další doplnění jejích vlastností pro elipsoid.

39

2

n1 2

2

1 1

2 1

1

2

Obr. 3.2.2

1. Geodetická křivka na elipsoidu je obecně prostorová křivka. Ve speciálním případě je křivkou rovinnou, a to poledníkem, spojuje-li zemské póly. 2. Geodetická křivka protíná každý poledník (tj. jinou geodetickou křivku téže plochy) pod dvěma azimuty. Měříme-li jeden od severní a druhý od jižní větve poledníku, mají stejnou velikost. 3. Pro geodetickou křivku platí Clairautova věta: součin poloměru rovnoběžkové kružnice r a sinu azimutu A je pro každý bod P geodetické křivky konstantní. Platí r sin A = N cos B sin A = k0 , kde k0 je konstanta.

4. Průběh geodetické křivky: - azimut geodetické křivky A ≠ 0° Pro křivku jdoucí na sever platí, že se zmenšujícím se poloměrem rovnoběžek se musí zvětšovat azimut geodetické křivky. Geodetická křivka protínající rovník pod azimutem A0 (A0 je minimální azimut křivky, rovník je maximální rovnoběžka s poloměrem a) jde na sever nejdále k mezní rovnoběžce, kterou nepřejde (zde A = 90o ⇒ sin A = 1 ⇒ r = k = N cos B ). Výchozí azimut A0 na rovníku zároveň udává poloměr této mezní rovnoběžky (je-li A0 < 90° ∧ B0 = 0 ∧ N 0 = a ⇒ r = k = a sin A0 ). Nastává její obrat k jihu, pod azimutem A > 90° přejde rovník a celý průběh se opakuje s tím rozdílem, že se nevrátí přesně do výchozího bodu na rovníku, ale obíhá elipsoid mezi oběma mezními rovnoběžkami v nekonečné řadě vln. - azimut geodetické křivky A = 0° Je-li v některém bodě A = 0° , platí to pro celý její průběh. Této podmínce vyhovují poledníky. 5. Geodetická křivka je nejkratší spojnicí obou koncových bodů a obecně leží mezi vzájemnými normálovými řezy, jejichž úhel rozděluje v poměru 1:2. Příčná vzdálenost

40

vzájemných normálových řezů je největší právě uprostřed a je geodetickou křivkou půlena. 6. Leží-li oba koncové body na společném poledníku, normálové řezy splývají a s nimi i geodetická křivka. Leží-li oba koncové body na téže rovnoběžce, normálové řezy splývají, ale geodetická křivka probíhá mimo. Při azimutech geodetické křivky blízkých 90° geodetická křivka protíná nebo se dotýká normálových řezů. Mezi dvěma body na elipsoidu existují obecně 2 normálové řezy, ale jen jedna geodetická křivka. Řešení sféroidických trojúhelníků bude jednoznačné jen tehdy, spojíme-li jejich vrcholy geodetickými čarami. Při měření teodolitem ale záměrné roviny protínají elipsoid v normálových řezech a tedy měřené úhly se vztahují k nim. Pro velmi přesné výpočty se naměřené úhly redukují z normálových řezů na geodetické křivky.

d

Sp

3 2 1 4

B

S

Jp Obr. 3.2.3

Diferenciální rovnice geodetické křivky. Na obr. 3.2.6 je ds délkový element geodetické křivky vedené z bodu P1, do bodu P2 pod azimutem A. Body P1 a P3 prochází rovnoběžky diferenciálně blízké; rozdíl jejich zeměpisných šířek je dB. Body P1 a P4 prochází rovněž dva diferenciálně blízké poledníky; rozdíl jejich zeměpisných délek je dL. Hlavní poloměry křivosti (bližší v kap. 3.2.3) v bodě P1 jsou M, N. Průmětem elementu ds geodetické křivky na poledník, procházející bodem P1, je délkový element poledníku mezi body P1 a P3. Platí pro něj první diferenciální rovnice geodetické křivky M dB = ds cos A . Průmětem elementu ds geodetické křivky na rovnoběžku,

41

procházející body P1 a P4, je délkový element rovnoběžky mezi body P1 a P4. Druhá diferenciální rovnice geodetické křivky je N cos B dL = ds sin A . Délkový element rovnoběžky mezi body P1 a P4 lze také vyjádřit z trojúhelníka PVP 1 4. Je N cos B dL = N cotg B dA , kde N cotg B je délka VP1 na povrchovém kuželu. Dělením dvou posledních diferenciálních rovnic se obdrží třetí diferenciální rovnice geodetické křivky ve tvaru dA = sin B dL =

sin A ds sin A tg B = ds . N cotg B N

Geodetická křivka je tedy popsána soustavou diferenciálních rovnic

sin A dB cos A dL sin A dA = = , = , ds M ds N cos B ds N cotg B

(3.2.15)

Poučné bude tyto rovnice porovnat s rov. (3.1.2). Loxodroma na elipsoidu. Jak již bylo uvedeno v kap. 3.1.2, loxodroma je křivka, protínající všechny poledníky pod konstantním azimutem. Její rovnici lze odvodit s využitím obr. 3.2.7. N cos B dL M dB V diferenciálním trojúhelníku platí tg A = , neboli dL = tg A . Jedná se N cos B M dB sice o diferenciální rovnici se separovanými proměnnými, ale řešení integrálu na pravé straně je poněkud složitější. Po vyřešení L2 − L1 = tg A (1 − e

dB ) ∫ 1 − e2 1sin 2 B cos B B2

2

B1

má rovnice loxodromy na elipsoidu tvar

B  e e − tan  2 + 45°  2  1 − e sin B  2   1 − e sin B 2   2 1 L2 = L1 + tan A ln     .  B1   1 + e sin B2   1 + e sin B1  tan  + 45°   2 

3 2

1 4

Obr. 3.2.4

Podle trojúhelníku na obr. 3.2.7 lze sestavit rovnici vhodnou pro výpočet délky loxodromy s12. Nesplývá-li loxodroma s rovnoběžkou, pak v diferenciálním trojúhelníku platí 42

cos A =

M dB , viz též první rov. (3.2.15). A protože azimut A je konstantní, je pak ds

∫ MdB . Je-li loxodroma zároveň rovnoběžkou (tj. má-li azimut A = 90

B2

1 s12 = cos A

o

a tudíž

B1

cos A = 0 ), používá se pro výpočet délky loxodromy vztah sin A =

∫ N cos BdL .

N cos B dL , viz druhá ds

L2

rov. (3.2.15), a platí s12 =

L1

3.2.3

Poloměry křivosti na elipsoidu

Normálou k elipsoidu v daném bodě P lze proložit nekonečně mnoho rovin kolmých k povrchu elipsoidu. Tyto roviny protínají elipsoid v normálových řezech, viz též kap. 3.2.2. Křivost plochy rotačního elipsoidu se mění s azimutem uvažovaného normálového řezu a navíc se zeměpisnou šířkou. V každém bodě na elipsoidu existují dva extrémní normálové řezy, tzv. hlavní normálové řezy, jejichž křivost je minimální a maximální. Odpovídajícími poloměry křivosti jsou hlavní poloměry křivosti: poledníkový poloměr křivosti M a příčný poloměr křivosti N. Z hlavních poloměrů křivosti se odvozují: poloměr křivosti Rα normálového řezu v libovolném směru a střední poloměr křivosti Rm, jak bude uvedeno v dalším textu. Křivost je převrácená hodnota poloměru křivosti. poledník

B P´

.

ds P A

M

B S

x

dB

Obr. 3.2.1

43

y

Poledníkový poloměr křivosti M. Bod P má geodetickou šířku B a jeho pravoúhlé souřadnice v rovině poledníku jsou x,y, viz obr. 3.2.8. Při posunu z bodu P do bodu Pó délkový element ds se změní geodetická šířka o dB a pravoúhlé souřadnice o –dx a +dy (souřadnice x se zmenší). Z obr. 3.2.8 plyne pro elementární oblouček ds vztah ds = M dB . dx . Oblouček ds lze vyjádřit i z trojúhelníku PPÁ, který lze považovat za rovinný, ds = − sin B dx 1 dx Dosazením tohoto vztahu do předchozího se dostane − = M dB . Odtud M = − . sin B sin B dB dx se vypočte derivací souřadnice x, viz první rov. (3.2.8), podle B. Jest Hodnota dB 2 2 2 2 a (1 − e 2 ) sin B dx d  a cos B  −a sin B (1 − e sin B ) + ae sin B cos B = = = −   3 dB dB  1 − e 2 sin 2 B  2 2 1 − e 2 sin 2 B (1 − e 2 sin 2 B ) (1 − e sin B ) 2

a (1 − e 2 )

Vzorec pro poledníkový poloměr křivosti je tedy M = Minimální hodnoty nabývá pro B = 0o : M 0

(1 − e = a (1 − e ) .

2

sin B ) 2

3 2

=

a (1 − e 2 ) W3

.

2

a

Maximální hodnoty nabývá pro B = 90o : M 90 =

1 − e2

=

a2 =c. b

Poledníkový poloměr křivosti je funkcí zeměpisné šířky B. Pro argument B byly proto hodnoty M tabelovány. Dnes se tyto výpočty realizují na PC. Příčný poloměr křivosti N. Řez elipsoidu rovinou proloženou normálou v daném bodě P a kolmou k rovině meridiánu se nazývá příčný normálový řez. Je to obecně elipsa, kromě rovníku, kde je to kružnice. Normály k elipsoidu, sestrojené ve všech bodech téže rovnoběžky o geodetické šířce B, se protínají v bodě V ležícím na malé ose b, obr. 3.2.9. Množina všech normál téže rovnoběžky tvoří povrch kužele o vrcholu V. Normála PV a její diferenciálně blízká normála jsou současně normálami i příčného normálového řezu. Platí, že průsečík dvou diferenciálně blízkých normál - bod V - je středem křivosti příčného normálového řezu.

n

Pøíèný normálový øez

x V Obr. 3.2.2

44

Příčný poloměr křivosti N je proto dán úsečkou N=PV. N je zároveň poloměr koule o středu V, která se dotýká elipsoidu podél rovnoběžky r. Podle obr. 3.2.9 platí x = N cos B , tedy x a cos B N= , kde x = , viz první rov. (3.2.8). Dosazením se obdrží vyjádření pro cos B 1 − e 2 sin 2 B a . příčný poloměr křivosti N = 1 − e 2 sin 2 B Minimální hodnoty nabývá pro B = 0o : N 0 = a . a2 = c. b 1 − e2 Pozn.1.: Příčný poloměr křivosti je také funkcí B. Pro libovolný bod na elipsoidu je N > M N 1 − e 2 sin 2 B = . Čím víc se s výjimkou pólů. Poměr obou hlavních poloměrů křivosti je M 1 − e2 N N blíží → 1 , tím více se přibližuje elipsoidický povrch kulovému. Na pólu = 1 , tedy M M a a2 M 90 = N 90 = = = c . Maximální rozdíl meridiánového a příčného poloměru křivosti b 1 − e2 N 1 je na rovníku, kde = . M 1 − e2 Pozn.2.: Délka normály mezi bodem P a rovníkem, s užitím druhé rov. (3.2.8), je a (1 − e 2 ) y = = N (1 − e 2 ) . PQ = 2 2 sin B 1 − e sin B Poloměr křivosti Rα v libovolném azimutu α. Z poloměrů křivostí M, N lze určit poloměr křivosti Rα normálového řezu v obecném azimutu α podle Eulerovy∗) věty 1 cos 2 α sin 2 α . Na pólech je poloměr Rα ve všech směrech stejný. = + Rα M N Střední poloměr křivosti Rm. Elipsoidickou plochu lze s určitou přesností nahradit plochou kulovou o středním poloměru a pak elipsoidické trojúhelníky řešit pomocí sférické trigonometrie. Střední poloměr koule je vztažen ke střední šířce B zobrazovaného území. Protože M < Rm < N , mohou se obě plochy ztotožnit jen v jednom bodě P0 [ B0 , L0 ] . Koule o poloměru Rm jde pak ve směru poledníku L0 nad elipsoidem, ve směru rovnoběžky B0 pod plochou elipsoidu. Střední poloměr křivosti v určitém bodě je aritmetický průměr všech normálových poloměrů křivosti v tomto bodě. Podle věty Grunertovy5 je tento aritmetický průměr roven geometrickému průměru hlavních poloměrů křivosti M, N, tedy Maximální hodnoty nabývá pro B = 90o : N 90 =

Rm = MN =

a 1 − e2 .Reciproká 1 − e 2 sin 2 B

hodnota

a

=

čtverce

středního

poloměru

křivosti

1 1 1 = ⋅ = K je Gaussova míra křivosti plochy v bodě P. Je to součin křivostí hlavních 2 M N Rm normálových řezů, vedených tímto bodem. ∗)

Důkaz věty Eulerovy a Grunertovy přesahuje rámec tohoto učebního textu.

45

3.2.4 Základní výpočty na rotačním elipsoidu Výpočet délky poledníkového oblouku (rektifikace meridiánu). Jsou dány geodetické zeměpisné šířky B1, B2 koncových bodů a počítá se délka poledníkového oblouku. Jedná se o oblouk eliptický a obecné řešení vede k eliptickému integrálu. Oblouček ds poledníkové elipsy, odpovídající diferenciálně malé změně dB, se vypočte jako oblouk kruhový o poloměru M, tj. ds = M dB . Délka poledníkového oblouku s od rovníku k bodu P o šířce B se vypočte integrací první rov. (3.2.15). Dostáváme

∫0

s = MdB = a (1 − e

)∫ B

B

2

0

dB

(1 − e

2

sin 2 B )

3 2

.

Délka poledníkového oblouku s mezi dvěma rovnoběžkami o šířkách B1, B2 se vypočte jako

∫0 MdB , s = ∫0 MdB , viz obr. 3.2.10.

B1

rozdíl s = s1 − s2 , kde s1 =

B2

2

Délka poledníkového oblouku je funkcí B a byla tabelována k tomuto argumentu. Dříve se výpočet prováděl rozvojem funkce ve jmenovateli v řadu (odvození řad pro výpočet délky poledníkového oblouku viz např. [3], [6]). Dnes se výpočet provádí numericky na PC. Výpočet ploch. Plošný element dP elipsoidického lichoběžníku, omezeného dvěma diferenciálními rovnoběžkami B, B + dB a poledníky L, L + dL , viz obr. 3.2.7, je dán vztahem dP = M N cos B dB dL .

(3.2.16)

Plošný obsah elipsoidického lichoběžníku, omezeného dvěma rovnoběžkami B1 , B2 a poledníky L1 , L2 , se vypočte integrací rovnice (3.2.16). Postupně se získá P=

2 2 ∫ ∫ MN cos BdBdL = a 1 − e

(

B2 L2

B1 L1

= a 2 1 − e 2 ( L2 − L1 ) ∫

(

)

B2

B1

)∫ dL ∫

cos BdB

(1 − e

2

sin 2 B

L2

L1

B2

B1

cos BdB

(1 − e

2

sin 2 B

)

2

=

)

2

kde rozdíl L2 − L1 je v radiánech. Byly vyčísleny tabulky ploch lichoběžníků mezi dvěma poledníky L1 , L2 od rovníku

po obecnou rovnoběžku. Při výpočtu bylo užito rozvoje funkce ve jmenovateli v řadu. Výsledný vztah pro výpočet povrchu celého elipsoidu pomocí řady je

( B = 0 ) až

3 4  2  P = 4π b 2 1 + e 2 + e4 + e 6 + ... 5 7  3 

46

(3.2.17)

P1 ds

s1 P2 s2

B1 S

B2

dB

Obr. 3.2.1

Poloměr náhradní koule. V méně náročných výpočtech lze celý elipsoid nahradit koulí. Poloměr je možno odvodit třemi způsoby: 4 4 Koule má stejný objem jako elipsoid, tj. π R 3 = π a 2b , odtud R = 3 a 2b 3 3 Koule má stejný povrch jako elipsoid, s dosazením (3.2.17), platí

3 4 2 3 4  2  4π R 2 = 4π b 2 1 + e 2 + e 4 + e 6 + ... , tedy R = b 1 + e 2 + e4 + e 6 + ... . 5 7 3 5 7  3 

Koule má poloměr rovný aritmetickému průměru všech tří poloos rotačního elipsoidu, 2a + b tj. R = . 3 Všechny tři způsoby výpočtů poloměrů pro daný elipsoid jsou po zaokrouhlení na 0,1 km stejné. Pro elipsoid Besselův činí RBess = 6370,3 km, Krasovského RKras = 6371,1 km, elipsoid GRS80 RGRS80 = 6371,0 km. 3.2.5 Řešení sféroidických trojúhelníků 3.2.5.1 Řešení přechodem na náhradní kouli Metoda excesová. Pro délky stran trojúhelníků kratší než 60 km lze postupovat takto: Sféroidický trojúhelník se řeší jako sférický na náhradní kouli o poloměru rovném střednímu poloměru křivosti v těžišti trojúhelníku Rm (viz kap. 3.2.2), který je vztažen ke střední šířce. P Exces se počítá ze vzorce ε ´´ = ρ´´ = ρ ´´PK , kde P je obsah trojúhelníka a K je Gaussova MN míra křivosti (viz kap. 3.2.2). Následuje řešení v rovině, které je uvedeno v četných učebnicích vyšší geodézie, např. [2], [6]. Metoda aditamentová. Střední poloměr křivosti se v důsledku malého zploštění elipsoidu poměrně málo mění se zeměpisnou šířkou. Pro celé území bývalé ČSSR lze volit jeden

47

poloměr Rm= 6381,6 km, který je vztažen k B = 49°30´ . Lineární aditamenty v metrech se

počítají ze vzorce As = 4, 093 ⋅10 −6 s 3 , kde délka strany s je v kilometrech, např. [2], [6]. Moderní postupy jsou založeny na numerické integraci rov. (3.2.15). LITERATURA:

[1] Böhm J.: Vyšší geodézie. Díl I. ČVUT, Praha 1979. [2] Cimbálník M., Mervart L.: Vyšší geodézie 1. ČVUT, Praha 1999. [3] Kabeláč J.: Příspěvek k rektifikaci meridiánu. Geod. a kart. obzor, sv. 1/43, č. 3, Praha 1955. [4] Pick M.: O exaktnosti v geodézii. V: Voj.-tech. informace, č. 58/1998, s.6-9. [5] Ryšavý J.: Vyšší geodézie. ČMT, Praha 1947. [6] Vykutil J.: Vyšší geodézie. Vydavatelsrví Kartografie, Praha 1982.

3.3

Vztahy mezi dvěma elipsoidy

3.3.1 Úvod

Připomeňme, že nasledující asi tři stránky jsou opakováním a doplněním kap. 1.4. Podle vazby souřadnicového systému elipsoidu na zemské těleso rozeznáváme 2 druhy rotačních elipsoidů. Elipsoid referenční nemá střed totožný s těžištěm Země. Vedlejší poloosa nemusí být rovnoběžná s osou zemské rotace. Referenční elipsoid aproximuje těleso (geoid) jen v určité oblasti. V 18.-20. století byla odvozena řada elipsoidů, které se lišily kromě rozměrů i svou polohou a orientací vzhledem ke geoidu. Jde o tzv. geodetické datum∗). Pro geodetické výpočty se užívaly elipsoidy, které odvodil např. Bessel, Hayford, Clarke, Krasovskij aj. Elipsoid obecný (absolutní) vystihuje Zemi (geoid) jako celek. Musí splňovat následující čtyři podmínky: - jeho geometrický střed je totožný s těžištěm Země, - jeho vedlejší poloosa splývá s osou zemské rotace, - součet čtverců převýšení geoidu od tohoto obecného elipsoidu je minimální, - rotační rychlost je stejná jako rotační rychlost Země. Tento elipsoid se nejlépe přimyká k povrchu celé Země. Příkladem je elipsoid systému WGS84 (World Geodetic System 1984). Pro řešení řady aktuálních výpočtů v geodézii je nezbytné znát vztahy pro souřadnicové transformace mezi oběma typy elipsoidů. Tak se určí nejen vzájemná poloha těchto elipsoidů, ale získá se i možnost převedení souřadnic z jednoho elipsoidu na druhý a naopak. Tím, že se určí převodní vztahy mezi různými referenčními elipsoidy na jedné straně a obecným elipsoidem na straně druhé, získají se i převodní vztahy mezi referenčními elipsoidy navzájem. Úloha je též známa pod názvem nalezení transformačního klíče. Geodetické datum obsahuje velikost hlavní osy a číselnou výstřednost použitého referenčního rotačního elipsoidu. Dále obsahuje údaje, které jednoznačně určují jeho polohu vůči fyzikálnímu tělesu zemskému, resp. vůči geoidu. Jsou to: výška základního (výchozího, referenčního) bodu a orientace elipsoidu pomocí tížnicových odchylek a astronomických azimutů na referenčním bodě. Prostřednictvím měření na družice byly tyto orientační parametry nahrazeny sedmi transformačními, které jsou nazývány transformační klíč. ∗)

48

V kap. 3.3.2 budou odvozeny základní transformační rovnice pro převody mezi souřadnicovými systémy. V kap. 3.3.3 budou odvozeny zprostředkující rovnice pro určení transformačního klíče podle metody nejmenších čtverců (MNČ). Úlohy v kap. 3.3.4 jsou prezentovány jako vztahy mezi Besselovým elipsoidem a elipsoidem WGS84. Uvedené aplikace však platí pro libovolnou dvojici (rotačních) elipsoidů. Besselův elipsoid byl odvozen v roce 1841 tzv. obloukovou metodou. Bessel využil výsledků měření deseti různých poledníkových oblouků a parametry elipsoidu vypočítal vyrovnáním podle MNČ. Oblouková metoda je ryze geometrická, při jejím užití se neuvažuje vliv tížnicových odchylek. Nezohledněné větší tížnicové odchylky v koncových bodech měřených poledníkových oblouků negativně ovlivnily přesnost výsledku (podrobné odvození viz např. [4]). Parametry Besselova elipsoidu jsou: hlavní poloosa a = 6 377 397,155 08 m, vedlejší poloosa b = 6 356 078,962 90 m, výstřednost e2 = 0,006 674 372 230 62 Besselův elipsoid je vhodný zejména v oblastech střední Evropy, byl použit pro geodetické výpočty na našem území. WGS84 je globální geocentrický geodetický systém, užívaný armádou USA. Parametry elipsoidu WGS84 jsou: - primární: hlavní poloosa a = 6 378 137 m výstřednost e2 = 0,006 694 379 990 14 geocentrická gravitační konstanta GM = 398600,4418 km3. s-2 úhlová rychlost rotace Země ω = 7,292115 . 10-5 rad . s-1 - sekundární: definují model struktury zemského tíhového pole pomocí geopotenciálních harmonických (Stokesových) koeficientů. Počátek souřadnicové soustavy WGS84 je v těžišti C Země, viz obr. 3.3.1. Osa Z směřuje ke konvenčnímu terestrickému pólu∗). Osa X je průsečnice základního poledníku a roviny rovníku, vztažené ke konvenčnímu terestrickému pólu. Osa Y doplňuje systém na pravoúhlý pravotočivý systém (směr kladné části osy Y je 90° východně vzhledem k ose X). V systému WGS84 pracuje globální systém určování polohy GPS. 3.3.2 Odvození transformačních rovnic mezi dvěma souřadnicovými soustavami dvou elipsoidů

Podle obr. 3.3.1 uvažujme souřadnicový systém S [ X , Y , Z ] . Tento systém posuneme rovnoběžně tak, že počátek přejde z C do O´, čímž vznikne rovnoběžně posunutý systém S′ [ X ′, Y ′, Z ′] . Posun je dán vektorem CO ′[∆X , ∆Y , ∆Z ] , označme jej ∆S. Poté dojde k natočení do systému s [ x, y , z ] vždy v kladném smyslu kolem osy X´ o +ε x , kolem osy Y´ o ∗)

Přesná měření ukázala, že dochází k posunu pólů po zemském povrchu. Zemská osa kolísá, tedy její průsečík s povrchem – tzv. okamžitý pól – není stálý. Opisuje na zemském povrchu složitou křivku přibližně kruhového tvaru, která nevychází ze čtverce o straně asi 20 m. Pohyb má periodický charakter. Střední hodnota pólu, tzv. konvenční terestrický pól (Conventional Terrestrial Pole – CTP) nebo také mezinárodní konvenční počátek (Conventional International Origin – CIO), je na základě přesných výpočtů definován mezinárodní službou ve smluveném geocentrickém souřadnicovém systému. Tato služba udává také polohu základního (nultého) poledníku (viz též kap. 3.2.1). Rovněž i střední pól se pohybuje, a to přibližně lineárně.

49

z

Z´ x

y

Z

y x z

´

Y´

Z X

Y Y y

X

X´

z

x Obr. 3.3.1

+ε y a kolem osy Z´ o +ε z . Počátek zůstává nezměněn, o ≡ O′ . Žádný z těchto dvou systémů s a S neupřednostňujeme. Pro odvození transformačních rovnic budeme nyní postupně převádět systém s do systému S´ a ten do systému S. Transformace probíhá ve třech krocích:

a) Rotace (otočení) Maticový zápis otočení je

S′ = R s

(3.3.1)

kde matice rotace R takto definovaného modelu je  cos ( X ′, x ) cos ( X ′, y ) cos ( X ′, z )    R =  cos ( Y ′, x ) cos (Y ′, y ) cos ( Y ′, z )   cos ( Z ′, x ) cos ( Z ′, y ) cos ( Z ′, z )   

(3.3.2)

Kosiny úhlů, které spolu svírají jednotlivé souřadnicové osy, lze vyjádřit pomocí rotačních parametrů. Podle obr. 3.3.1 je cos( X ′, y ) = cos(90° + ε z ) = − sin ε z =& ε z , cos(Y ′, x ) = cos(90° − ε z ) = sin ε z =& ε z ,

cos( X ′, z ) = cos(90° − ε y ) = sin ε y =& ε y ,

cos(Y ′, z ) = cos(90° + ε x ) = − sin ε x =& ε x , cos(Z ′, y ) = cos(90° − ε x ) = sin ε x =& ε x ,

cos(Z ′, x ) = cos(90° + ε y ) = − sin ε y =& ε y , cos( X ′, x ) =& cos(Y ′, y ) =& cos(Z ′, z ) =& 1 a matice rotace (3.3.2) bude ve tvaru

 1  R =  εz  −ε y 

−ε z 1

εx

50

εy   −ε x  1 

(3.3.3)

b) Změna měřítka Systém s má jiný rozměr než systém S, resp. S´. Měřítkový koeficient k vyjadřuje změnu délkového měřítka při přechodu mezi oběma systémy. Tedy S′ = (1 + k ) R s

(3.3.4)

c) Translace (posunutí) Souřadnicové systémy S [ X , Y , Z ] a S′ [ X ′, Y ′, Z ′] jsou pouze rovnoběžně posunuty. Lze psát

S = S′ + ∆ S

(3.3.5)

kde ∆S = [ ∆X , ∆Y , ∆Z ] .Takže konečný tvar transformační rovnice je S = ∆S + (1 + k ) Rs , čili

 1  X   ∆X        Y  =  ∆Y  + (1 + k )  ε z  Z   ∆Z   −ε y     

−ε z 1

εx

εy  x    −ε x   y  1   z 

(3.3.6)

Pro ilustraci je v tab. 3.3.1 uvedeno sedm parametrů, tj. parametrů transformačního klíče, pro převod ze souřadnicového systému Besselova elipsoidu do systému elipsoidu WGS84 a sedm parametrů pro převod ze systému elipsoidu WGS84 do systému Besselova elipsoidu, viz [2].

Tab. 3.3.1 Transformační koeficienty mezi geocentrickým elipsoidem WGS84 a elipsoidem Besselovým Pro transformaci systému WGS84 → BESSEL -570,82850 [m] ∆x ∆y -85,676889 [m] -462,84202 [m] ∆z -3,5623099 10-6 k 4′′,9984037 π εx [rad] 3600 180 1′′ ,5867164 π εy [rad] 3600 180 5′′,2610779 π εz [rad] 3600 180

Pro transformaci systému BESSEL → WGS84 570,83789 [m] ∆X 85,682641 [m] ∆Y 462,84673 [m] ∆Z 3,5610256 . 10-6 k 4′′,9984501 π εx [rad] 3600 180 1′′ ,5867074 π εy [rad] 3600 180 5′′,2611106 π εz [rad] 3600 180

Pozn. Pro méně přesné výpočty je dostačující uvažovat pro obě transformace shodné číselné hodnoty koeficientů zaokrouhlené na dvě desetinná místa. Pokud by chtěl čtenář zdůvodnit nestejnost parametrů v druhém a čtvrtém sloupci, nechť si vyjádří transformační rovnice jednak podle rov. (3.3.6), jednak z rovnic pro opačnou transformaci a pak tyto výrazy porovná. Hodnoty uvedené v tab. 3.3.1. jsou upřesňovány podle počtu naměřených identických bodů.

51

3.3.3 Odvození zprostředkujících rovnic oprav pro určení transformačního klíče Úpravou rov. (3.3.6) postupně dostaneme

 X   ∆X   x   x  0           Y  =  ∆Y  +  y  + k  y  +  ε z  Z   ∆Z   z   z   −ε          y

−ε z

0

εx

εy  x   −ε x   y  , 0   z 

po zanedbání veličin kε x , kε y , kε z , jakožto malých veličin 2. řádu. Dále je

z − y   ε x   x − X   vx   1 0 0   ∆X   x  0             x   ε y  +  y − Y  =  vy  ,  0 1 0   ∆Y  + k  y  +  − z 0  0 0 1   ∆Z   z   y −x 0   ε   z − Z   v         z     z

kde opravy vx, vy, vz byly přisouzeny souřadnicím X, Y, Z. Po součtu prvních tří členů 1 0 0 0 1 0  0 0 1 

−y y −z 0 x  ∆X z y − x 0 

x

0

z

(

∆Y

∆Z

k εx

ε y εz )

T

 x − X   vx  +  y − Y  =  v y   z− Z  v     z

(3.3.7)

Uvedená rov. (3.3.7) poskytuje jeden identický bod (bod, jehož souřadnice jsou známy v obou systémech). Pro zjištění sedmi neznámých parametrů, tj. pro zjištění transformačního klíče, nám postačí 3 identické body a již tyto dávají 2 nadbytečné rovnice. Přirozeně, že se snažíme znát co nejvíce identických bodů a pokud možno co nejrovnoměrněji rozmístěné v oblasti, pro niž transformační klíč určujeme. Jak souvisí změna parametru transformačního klíče se změnou oblastí si demonstrujme na síti DOPNUL České republiky, která je znázorněna na obr. 3.3.2. Síť DOPNUL obsahuje 174 bodů. Údaje spojené s t ěmito body uvádí tab. 3.3.2. V práci [1] je Česká republika rozdělena do osmi částí, viz obr. 3.3.3. V tab. 3.3.3 jsou pro tyto oblasti uvedeny transformační klíče a je z nich zřejmá vysoká závislost na dané oblasti. Proto i transformační klíče, uvedené v tab. 3.3.1 platí jen pro danou lokalitu a daný výběr (poloha a počet) měřických bodů.

Obr. 3.3.1 174 bodů sítě DOPNUL

52

Poř. č. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 : 170 171 172 173 174

Tab. 3.3.2 Údaje v soustavě JTSK a WGS. Celkem pro 174 bodů sítě DOPNUL Y [m] (JTSK) 671228,90 802514,00 599837,23 851807,13 548455,98 771364,60 623031,56 515832,65 482482,54 775279,26

X [m] (JTSK) 962503,27 980297,52 1036805,53 1074256,58 1131166,65 1176247,64 1158574,23 1200120,27 1083309,25 1069759,49

Hn [m] 1124,11 900,52 1114,95 539,10 260,19 1104,33 522,19 911,28 239,19 428,29

B[°] (ETRF-89) 50,88912629 50,56899173 50,30130288 49,66660336 49,50590845 48,86554726 49,19004126 48,91671590 49,98978154 49,80874333

L[°] (ETRF-89) 15,27305379 13,46561403 16,39765364 12,98430729 17,24645657 14,28322618 16,26554921 17,78265838 18,09578083 14,02499053

HWe [m] 1167,295 945,414 1158,767 586,056 303,687 1151,041 567,638 954,681 335,597 474,375

469040,65 494681,45 465970,53 439668,58 472799,37

1149871,52 1129445,20 1131440,14 1137022,90 1117429,51

1024,25 546,07 421,98 481,79 384,88

49,40396401 49,56689118 49,57143050 49,54074431 49,69173388

18,36093957 17,98387554 18,38170686 18,75032945 18,27104899

1067,429 589,228 464,915 524,567 427,502

Obr. 3.3.2 Rozdělení ČR do oblastí pro sledování vývoje transformačního klíče

53

Tab. 3.3.3 Transformační klíče pro sedmiparametrickou transformaci (s výškami kvazigeoidu) pro transformaci S-JTSK → WGS84 Poč. ∆X ∆Y Oblast bodů [m] [m] Celá 174 572.7531 88.4641 ČR Západ 87 575.3402 86.2578 ČR Východ 87 572.9331 85.7568 ČR 1. ¼ 36 583.4203 86.4433 2. ¼ 51 572.3573 85.2308 3. ¼ 49 576.1692 92.6572 4. ¼ 38 570.4024 78.6306 Horní 90 570.7430 88.8592 ½ Dolní 84 567.8608 86.8981 ½

∆Z [m]

k

εx [´´]

εy [´´]

εz [´´]

460.7861 0.000003551 -0.000024620 -0.000007261 -0.000024001 463.6695 0.000003003 -0.000023586 -0.000007055 -0.000023431 458.4731 0.000003893 -0.000025709 -0.000007425 -0.000025917 462.0009 462.4271 461.9987 460.6493

0.000002399 0.000003472 0.000002958 0.000004101

-0.000022830 -0.000024233 -0.000026042 -0.000026155

-0.000005723 -0.000007491 -0.000007267 -0.000008378

-0.000022613 -0.000024356 -0.000024847 -0.000028219

468.7941 0.000002771 -0.000024333 -0.000008254 -0.000023751 455.3753 0.000004724 -0.000024488 -0.000007274 -0.000023916

3.3.4 Základní geometrické úlohy mezi dvěma rotačními elipsoidy Odvozované vztahy budou demonstrovány na elipsoidu WGS84 a na Besselově elipsoidu. Zaveďme pro ně následující označení: C O S W [ xW , yW , z W ]

těžiště Země, počátek systému WGS84 střed referenčního elipsoidu, počátek systému Besselova elipsoidu souřadnicový systém elipsoidu WGS84, počátek C, osy xW, yW, zW

P [ X W , YW , Z W ]

pravoúhlé souřadnice bodu P v systému elipsoidu WGS84

P [ BW , LW , H W ]

geodetické zeměpisné souřadnice bodu P v systému elipsoidu WGS84

S B [ xB , yB , zB ]

souřadnicový systém Besselova elipsoidu, počátek O, osy xB, yB, zB

P [ X B , YB , Z B ]

pravoúhlé souřadnice bodu P v systému Besselova elipsoidu

P [ BB , LB , H B ]

α W , β W ,γ W

αB, βB,γ B

geodetické zeměpisné souřadnice bodu P v systému Besselova elipsoidu směrové kosiny normály k elipsoidu WGS84 v souřadnicovém systému elipsoidu WGS84 směrové kosiny normály k Besselovu elipsoidu v souřadnicovém systému Besselova elipsoidu

Poznámka k převodu směrových kosinů. Nebude-li řečeno jinak, pak původní i převedené směrové kosiny se vztahují k jednomu a témuž směru. Převodní vzorce jsou dány rov. (3.3.4), v níž vektory Sá s zaměníme za vektory směrových kosinů v souřadnicových systémech Sá s. Od této transformace je třeba odlišovat případ, kdy přecházíme nejen do druhé soustavy, ale současně i na normálu k druhému elipsoidu. Např. přecházíme ze souřadnicového systému WGS84 do souřadnicového systému Besselova elipsoidu a současně i z normály k elipsoidu WGS84 na normálu k elipsoidu Besselovu. Ty je nutno spočítat

54

pomocí přetransformovaných souřadnic B´, L´ ze vzorců α = cos Bćos L′ , β = cos B′ sin L′ , γ = sin B′ . Úlohy uvedené v dalším textu na sebe navazují a společně tak tvoří jednu úlohu rozsáhlejší.

PŘÍKLAD 8 Jsou dány geodetické zeměpisné souřadnice BW, LW a výška HW v systému WGS84, aW = 6378137 m, eW2 = 0,006 694 379 991, BW = 50o, LW = 15o, HW = 10m. Vypočtěte prostorové pravoúhlé souřadnice X W , YW , Z W a směrové kosiny α W , β W , γ W normály n k elipsoidu WGS84, viz obr. 3.3.4. Dáno: P [ BW , LW , H W ]

Určit: P [ X W , YW , Z W ] , α W , β W , γ W Výpočet: Podle rov. (3.2.2) v kap. 3.2.1 platí

X W = ( N W + H W ) cos BW cos LW , YW = ( N W + H W ) cos BW sin LW ,

( (

)

)

(3.3.8)

Z W = N W 1 − e 2 + H W sin BW ,

kde NW je příčný poloměr křivosti (definici viz kap. 3.2.3) elipsoidu WGS84. Směrové kosiny normály n se vypočtou ze vztahů a splňují rovnost

α W = cos BW cos LW , β W = cos BW sin LW , γ W = sin BW

(3.3.9)

αW2 + βW2 + γ W2 = 1 . zW

(3.3.10)

B ,L P [XW,YW,ZW] HW

C

yW W

xW n W

W

Obr. 3.3.1

55

W

Výsledek: NW = 6 390 702,045, XW = 3 967 898,226, YW = 1 063 195,125, ZW = 4 862 796,699, α W = 0,620 885 153, β W = 0,166 365 675 3 , γ W = 0,766 044 443 1. PŘÍKLAD 9 Jsou dány prostorové pravoúhlé souřadnice X W , YW , Z W bodu P a směrové kosiny α W , β W , γ W normály n k elipsoidu WGS84 v bodě P. Obojí v geocentrickém systému WGS84, viz obr. 3.3.5. XW = 3 967 898,226, YW = 1 063 195,125, ZW = 4 862 796,699, α W = 0,620 885 153, β W = 0,166 365 675 3 , γ W = 0,766 044 443 1 Vypočtěte prostorové pravoúhlé souřadnice X B′ , YB′ , Z B′ téhož bodu a směrové kosiny α B′ , β B′ , γ B′ uvedené normály n v souřadnicovém systému Besselova elipsoidu. Známo je sedm parametrů určujících vzájemnou polohu obou elipsoidů, viz tab. 3.3.1 a obr. 3.3.5. Dáno: P [ X W , YW , Z W ] , α W , β W , γ W

Určit: P [ X B′ , YB′ , Z B′ ] , α B′ , β B′ , γ B′ Výpočet: Prostorové pravoúhlé souřadnice X W , YW , Z W bodu P v systému WGS84 se převedou na prostorové pravoúhlé souřadnice X B′ , YB′ , Z B′ v systému Besselova elipsoidu podle rov. (3.3.6), kde za parametry transformačního klíče dosadíme ze čtvrtého sloupce tab. 3.3.1. Směrové parametry se vypočítají ze vztahů α B = (1 + k ) (α W − ε z β W + ε y γ W ) , β B = (1 + k ) ( ε zα W + β W − ε x γ W ) ,

(3.3.11)

γ B = (1 + k ) ( −ε yα W + ε x β W + γ W )

Směrové kosiny pak určují vztahy α B′ =

αB αB + βB + γ B 2

a musí splňovat rovnost

2

2

, β B′ =

βB αB + βB + γ B 2

2

2

, γ B′ =

γB α B + β B 2 + γ B2 2

.

α B′ 2 + β B′ 2 + γ B′ 2 = 1

(3.3.12)

(3.3.13)

Výsledek: X B′ = 3 967 302,974, YB′ = 1 063 122,294, Z B′ = 4 862 321,293,

α B′ = α B = 0,620 883 503 5, β B′ = β B = 0,166 368 402 3, γ B′ = γ B = 0,766 045 187 8 PŘÍKLAD 10 Jsou dány prostorové pravoúhlé souřadnice X B , YB , Z B bodu P v souřadnicovém systému Besselova elipsoidu, jakož i parametry Besselova elipsoidu. aB = 6 377 397,155, eB2 = 0,006 674 372 231 XB = 3 967 414,58, YB = 1 063 065,533, ZB = 4 862 301,91

56

Obr. 3.3.2

Vypočtěte geodetické zeměpisné souřadnice BB, LB a elipsoidickou výšku HB nad Besselovým elipsoidem. Dále určete směrové kosiny α B , β B , γ B normály n k Besselově elipsoidu v souřadnicovém systému Besselova elipsoidu. Dáno: P [ X B , YB , Z B ]

Určit: P [ BB , LB , H B ] , α B , β B , γ B Výpočet: Podle PŘÍKLADU 7 v kap. 3.2. Výsledek: BB = 50o, LB = 15o, HB =10 m, α B = cos BB cos LB = 0,620 885 1531, β B = cos BB sin LB = 0,166 365 675 4, γ B = sin LB = 0,766 044 443 1 Kontrola podle rov. (3.3.10), resp. (3.3.13) vyhovuje.

PŘÍKLAD 11 Jsou dány geodetické zeměpisné souřadnice BB , LB , H B bodu P v systému Besselova elipsoidu, obr. 3.3.6. BB = 50o, LB = 15o, HB = 10 m Vypočtěte prostorové pravoúhlé souřadnice X 1B , Y1B , Z1B podbodu P1 ve stejném systému. Podbod P1 (vzhledem k bodu P) leží na Besselově elipsoidu a na společné normále n. Dále určete směrové kosiny α1B , β1B , γ 1B normály n, a to rovněž v souřadnicovém systému Besselova elipsoidu. Dáno: P [ BB , LB , H B ]

57

Určit: P1 [ X 1B , Y1B , Z1B ] , α1B , β1B , γ 1B Výpočet: Podle rov. (3.2.1) v kap. 3.2.1 platí

(

)

X1B = N B cos BB cos LB , Y1B = N B cos BB sin LB , Z1B = N B 1 − e2 sin BB ,

kde NB je příčný poloměr křivosti v bodě P1.

(3.3.14)

[BB,LB,HB]

zB

P [XB,YB,ZB]

HB

P1 [X1B, Y1B, Z1B]

O yB B n 1B

xB

1B

1B

Obr. 3.3.3

Pro směrové kosiny platí rov. (3.3.15), neboť bodem P i podbodem P1 na elipsoidu prochází stejná normála n. Tedy

α1B = α B = cos BB cos LB , β1B = βB = cos BB sin LB , γ 1B = γ B = sin BB .

Kontrola se provede vyčíslením rov. (3.3.13). Výsledky: X1 = 3 967 408,371, Y1 = 1 063 063,869, Z1 = 4 862 294,250, α1B = 0,620 885 153 1, β1B = 0,166 365 675 4, γ 1B = 0,766 044 443 1

(3.3.15)

PŘÍKLAD 12 Jsou dány B1B , L1B , H1B = 0 m bodu P1 v souřadnicovém systému Besselova elipsoidu. Rovněž jsou známé prostorové pravoúhlé souřadnice X 1B , Y1B , Z1B v souřadnicovém systému Besselova elipsoidu. Bodem P1 prochází normála n k Besselovu elipsoidu, obr. 3.3.7. Je tedy dáno: B1B = 50o, L1B = 15o, H1B = 0 m X1B = 3 967 408,371, Y1B = 1 063 063,869, Z1B = 4 862 294,250 1) Určete směrové kosiny α1B , β1B , γ 1B normály n v souřadnicovém systému Bessselova elipsoidu. ′ , Y1W ′ , Z1W ′ 2) Dále vypočtěte hodnoty prostorových pravoúhlých pravotočivých souřadnic X1W

58

bodu P1 v souřadnicovém systému WGS84. A stejně tak převeďte hodnoty α1B , β1B , γ 1B do ′ , β1W ′ , γ 1W ′ . Sedm parametrů potřebných pro souřadnicového systému WGS84 a označte je α1W převod mezi elipsoidy převezměte z tab. 3.3.1. Kontrola se provede vyčíslením rov. (3.3.13) a zpětnou transformací podle rov. (3.3.6). Dáno: P1 [ B1B , L1B , H1B = 0] , P1 [ X 1B , Y1B , Z1B ] , 7 převodních parametrů Určit: 1) n [α1B , β1B , γ 1B ]

′ , Y1W ′ , Z1W ′ ] , n [α1W ′ , β1W ′ , γ 1W ′ ] 2) P1 [ X 1W

Obr. 3.3.4

Výpočet: ad 1) Jednoduše ze vztahů α1B = cos 50° cos15°, β1B = cos 50° sin15°, γ 1B = sin 50°. ad 2) Převod do souřadnicového systému WGS84 se uskuteční pomocí rov. (3.3.6), rov. (3.3.11) a parametrů ve druhém sloupci tab. 3.3.1. Výsledky: α1B = 0,620 885 153 1, β1B = 0,166365 675 4, γ 1B = 0,766 044 443 1 ′ = 3 968 083,625, Y1W ′ = 1 063 136,703, Z1W ′ = 4 862 769, 653 X 1W ′ = 0,620 886 802 5, β1W ′ = 0,166 362 948 4, γ 1W ′ = 0,766 043 698 5 α1W PŘÍKLAD 13 ′ , Y1W ′ , Z1W ′ bodu P1, který leží na povrchu Jsou dány prostorové pravoúhlé souřadnice X1W Besselova elipsoidu a směrové kosiny normály n v bodě P1 vůči Besselově elipsoidu, a to obojí v souřadnicovém systému elipsoidu WGS84. ′ = 3 968 083,625, Y1W ′ = 1 063 136,703, Z1W ′ = 4 862 769, 653 X 1W ′ = 0,620 886 802 5, β1W ′ = 0,166 362 948 4, γ 1W ′ = 0,766 043 698 5 α1W 59

Určete odlehlost Besselova elipsoidu a elipsoidu WGS84 pro bod P1, viz obr. 3.3.8. ′ , β1W ′ , γ 1W ′ Dáno: P1 [ X 1W , Y1W , Z1W ] , α1W Určit: odlehlost t Besselova elipsoidu a elipsoidu WGS84 měřenou po normále n. zW

n P1

[X1W,Y1W,Z1W]

t

C

yW xW ´1W ´1W ´1W Obr. 3.3.5

Výpočet: ′ , Y1W ′ , Z1W ′ ] a směrovými kosiny Parametrická rovnice přímky určená bodem P1 [ X 1W ′ , β1W ′ , γ 1W ′ je α1W ′ + tα1W ′ , y = Y1W ′ + t β1W ′ , z = Z1W ′ + tγ 1W ′ , x = X 1W

(3.3.16)

x2 y 2 z2 + + = 1, a 2 a 2 a 2 (1 − e 2 )

(3.3.17)

x 2 + y 2 + z 2 − e 2 ( x 2 + y 2 ) = a 2 (1 − e 2 )

(3.3.18)

kde t je hledaný parametr. Rovnice elipsoidu WGS84 v souřadnicovém systému elipsoidu WGS84 je

kde a,e jsou parametry tohoto elipsoidu (viz kap. 3.3.1). Po úpravě má rovnice elipsoidu tvar

Dosazením rov. (3.3.16) do (3.3.18) se získá ′ + tα1W ′ ) + ( Y1W ′ + t β1W ′ ) + ( Z1W ′ + tγ 1W ′ ) ( X1W 2

2

2

2 2 ′ + tα1W ′ ) + ( Y1W ′ + t β1W ′ )  = a 2 (1 − e 2 ) − e 2 ( X 1W  

a po dalších algebraických úpravách

[

)]

(

t 2 α1′W2 + β1′W2 + γ 1′W2 − e 2 α1′W2 + β1′W2 +

[

]

+ 2t X 1′W α1′W + Y1′W β1′W + Z1′W γ 1′W − e 2 ( X 1′W α1′W + Y1′W β 1′W ) +

(

)

+ X ′ +Y′ + Z′ −e X′ +Y′ − a + a e = 0 2 1W

2 1W

2 1W

2

2 1W

2 1W

60

2

2 2

(3.3.19)

Označí-li se v rov. (3.3.19) A = α1′W2 + β1′W2 + γ 1′W2 − e 2 α1′W2 + β 1′W2 = 1 − e 2 1 − γ 1′W2

[ B = [X ′ α ′ 1W

1W

(

)]

(

)

(

)

+ Y1′W β1′W + Z1′W γ 1′W − e 2 ( X 1′W α1′W + Y1′W β1′W ) = ( X 1′W α1′W + Y1′W β1′W ) 1 − e 2 + Z1′W γ 1′W ře

(

]

)(

)

(

)

C = X 1′W2 + Y1′W2 + Z1′W2 − e 2 X 1′W2 + Y1W′ 2 − a 2 + a 2 e 2 = X 1′W2 + Y1′W2 − a 2 1 − e 2 + Z1′W2 ší se kvadratická rovnice At 2 + 2 Bt + C = 0 pro neznámý parametr t. Řešením úlohy je menší ze dvou kořenů této rovnice. To odpovídá geometrické představě, že řešením úlohy vzdálenosti dvou elipsoidů je ten průsečík normály s povrchem elipsoidu WGS84, který je bližší k bodu P1. Druhý průsečík je na opačné straně elipsoidu. t vyjadřuje tedy výslednou odlehlost obou elipsoidů, která je zde počítána jako vzdálenost po normále k Besselově elipsoidu. Též je ovšem možné počítat vzdálenost obdobným způsobem po normále k elipsoidu WGS84. LITERATURA:

[1] Hálová L.: Porovnání transformačních klíčů z různých oblastí ČR. Diplomová práce, ZČU, Plzeň, 2000. [2] Kostelecký J.: Určení transformačních koeficientů pro převod ze soustavy Besselova elipsoidu do soustavy elipsoidu WGS-84 a naopak. Práce VÚGTK, Praha. [3] Pick M.: O exaktnosti v geodézii. Vojensko-technická informace, č. 58, Praha 1998. [4] Vykutil J.: Vyšší geodézie. Vydavatelství Kartografie, Praha 1982.

61

62

III. část Vyrovnávací počet 1 – MNČ

4 Základní poznatky MNČ 4.1

Úvod

Předložená kapitola z vyrovnávacího počtu je nutným doplňkem zde uvedené učební látky z předmětů vyšší geodézie, fyzikální geodézie a kosmické geodézie. Je určena studentům ČVUT v Praze, ZČU v Plzni, VŠB Ostravské univerzity a dalším zájemcům. Některé části mají být prezentovány na stránkách Internetu. Úkolem předložené práce je podat návod, a to jen s minimem odvozování a důkazů, jak zpracovávat naměřené veličiny, jakého způsobu vyrovnání použít pro daný případ, jakých vzorců a jak, již jen velmi stručně, výsledky zhodnotit. Vše je prováděno pomocí maticového zápisu a pomocí operací s maticemi a vektory. Proto zde čtenář nenajde Gaussův eliminační algoritmus pro řešení normálních rovnic, řadu tradičních kontrol aj. Vyrovnání MNČ je jedním z oborů matematiky. Za jeho zakladatele je považován Karel Bedřich Gauss, i když práce Legendrea předběhla Gausse o několik let. Gaussova práce [1], která vznikla z potřeb souhrnného zpracování řad pozorování v různých časových obdobích, na různých místech, různými metodami a různými pozorovateli, byla iniciována astronomickým pozorováním komet. Vyšla v roce 1809, tedy o tři roky později než analogická práce [2] Legendrea. Gauss vděčí své prvořadosti důkladnému propracování a jeho srozumitelnému podání MNČ a jistě i odpovídající prezentaci. Zcela samostatně dospěl k této metodě P. S. Laplace, viz práce [3] z roku 1812. U nás bylo nejprve čerpáno z cizí, francouzské a německé odborné literatury. Jedna z prvních vysoce kvalitních, česky psaných prací je práce F. Čuříka [4], v níž je uveden bohatý odkaz na práce zahraniční, především německé, francouzské a anglické. Z českých je zde citována práce [5] autorů F. Müllera a F. Novotného a [6] A. Semeráda. Z českých autorů jmenujme ještě V. Lásku [7], F. Čechuru [8], J. Ryšavého [9] a F. Fialu[10]. Předložené skriptum je zpracováno podle již moderního pojetí MNČ. Je jím kompendium H. Wolfa [11] a podle vyčerpávající práce [12] nestorů MNČ J. Böhma, V. Radoucha a M. Hampachera. Číselné příklady, uvedené v následujících řádcích jsou dílem autora a studentů-posluchačů Fakulty aplikovaných věd (FAV) Západočeské univerzity (ZČU). Práce je psána co nejstručněji, rádoby přehledně, nepodstatné úseky jsou bez odvození, případně jsou uvedeny jen odvolávky. Text navazuje na práci [13]. Tam najde čtenář další. Při studiu je však možno pokračovat i bez těchto odvolávek. V předložené části je používána řada symbolů. Vždy při jejich prvním užití jsou vysvětleny. V následné části X. budou uvedeny další kapitoly o MNČ.

4.2

Vyrovnání metodou nejmenších čtverců

Zaveďme nejprve potřebnou symboliku li …………………… naměřená hodnota v i ……………………oprava naměřené hodnoty l i …………………… opravená hodnota Pak platí, že li = li + vi  → vi = li − l i

63

(4.2.1)

Chyba oi je definována jako o i = −v i = l i − l i

(4.2.2) pro i = 1, L , n , kde n je počet měření. Uvedené opravy v i mají náhodný charakter. Podle teorie MNČ musí splňovat následující tři podmínky: • kladné a záporné opravy téže absolutní velikosti jsou stejně pravděpodobné • malé opravy jsou pravděpodobnější než opravy velké • opravy nad určitou mezní hodnotu se nevyskytují Tyto požadavky splňuje tzv. Gaussův zákon ϕ (v ) =

h

π

e ( −h

2 2

v )

(4.2.3)

kde h je jistý parametr. Rov. (4.2.3) je graficky znázorněna Gaussovou křivkou četnosti, viz obr. 4.2.1. Zde platí, že h1 > h2 . Parametr h tedy určuje strmost Gaussovy křivky četnosti. Pravděpodobnost, že se oprava objeví v intervalu (− ∞, ∞ ) je 1. Pravděpodobnost, že se oprava objeví v intervalu v, v + dv , je p(v ) = ϕ (v ) dv . Gaussova křivka četnosti, obr.

4.2.1, znázorňuje pravděpodobnost výskytu (četnost) náhodných oprav podle jejich velikosti. Krom těchto oprav v i s náhodným charakterem, existují ještě opravy: • systematické (pro celou oblast měření) a polosystematické (proměnné pro dílčí oblasti měření) s nimiž pracuje rozšířená metoda MNČ, tzv. kolokace. Úplná střední chyba m se zde rovná součtu střední chyby m z náhodných oprav plus střední chyba m S z vlivu chyb systematických a polosystematických, vše v kvadrátech. Používaný, leč přibližný vztah, je 2 m 2 = m 2 + mS • hrubé, s nimiž MNČ nepracuje a je proto nutné je z měřického souboru vyloučit ještě před vlastním početním zpracováním.

ϕ (v )

ϕ1 (v)

ϕ 2 (v )

−v Obr. 4.2.1 Gaussova křivka četnosti - Gaussův zákon chyb

64

Dodejme, že vše, co bylo napsáno o opravách vi , platí i o chybách oi . Soubor „nekonečně“ velký opatřujeme přívlastkem základní a soubor s malým počtem měření označujeme přívlastkem výběrový nebo též empirický.

ÚKOLEM VYROVNÁNÍ MNČ JE • vypočítat nejpravděpodobnější hodnoty hledaných neznámých, • odhadnout výpočtem přesnost výsledků vyrovnání. Tyto úkoly splňuje podmínka

v T P v = min

∗)

(4.2.4)

kde v = (v1

v2

L vn )T

(4.2.5)

a

 p1 0 L 0    (4.2.6) P =  0 p2 L 0   M M O M   0 0 L pn  Zde jsou v i opravy naměřených hodnot li a pi jejich váhy, kde i = 1, L , n a n je počet měření. Je možno užít i jiných podmínek než podmínky (4.2.4). Tato je však používána nejčastěji a platí pro jakýkoliv počet měření [4]. Minimum se odvodí derivováním rov. (4.2.4) podle v nebo podle jiné proměnné, která v nahradí. Váhy pi jsou proměnná čísla, která charakterizují kvalitu, tj. přesnost naměřených hodnot. Určujeme je početně nebo i odhadem. Způsoby vyrovnání budeme dělit do těchto hlavních skupin: a) vyrovnání měření∗∗) podmínkových, kap. 4.3 b) vyrovnání měření**) zprostředkujících, kap. 4.4 c) složitější vyrovnání, kap. 4.5, 4.6 a X. část. Každý z těchto postupů volí svůj způsob splnění obou požadavků, tj. určení pravdě nejpodobnějších hodnot a určení odhadů jejich přesností, jak bude uvedeno v následujících kapitolách.

4.2.1 Výpočet odhadu přesnosti Výpočet odhadu přesnosti začíná zpravidla výpočtem střední jednotkové chyby v T Pv (4.2.7) n′ kde n′ = n − počet nutných pozorování/měření je počet nadbytečných pozorování ve výraze v T Pv , viz rov. (4.2.4) ad. Protože platí vztahy m 02 = p1 m12 = K = p i m i2 = K = p n m n2 (4.2.8) vypočteme střední chybu jednotlivých měření l i ze vztahu mi = m0 / pi = m0 qi m0 =

∗)

∑pvv n

Z této podmínky vychází Legendre a odvozuje svoji metodu, k níž dospěl empiricky. Vztah

i =1

i i i

=vT Pv

převzal z mechaniky konkrétně pro statický moment celku. ∗∗) Podle vzoru zahraniční literatury budeme výraz „měření“ často zaměňovat výrazem „pozorování“ (observace)

65

kde qi =

1 pi

je váhový součinitel a i = 1, K , n a n je počet pozorování/měření.

Střední chyba vyrovnaných hledaných neznámých xi , případně jejich přírůstků dxi , i = 1,K, k a k je počet těchto neznámých. Je m xxii = m0 Q xxii ,

(

kde Q xxii leží na hlavní diagonále Q xx , nebo-li diagQ xx = Qxx11 a matice váhových součinitelů

(

Q xx = N −1 = A T PA

Qxx22

K Qxxkk

)

)

−1

viz kap. 4.4. Střední chyba funkce naměřených veličin li nechť má tvar f = f (l1 l2 K l n ) , který rozvedeme do Taylorova rozvoje s užitím pouze veličin prvního řádu. Jsou ∂f ∂f ∂f df = dl1 + dl 2 + L + dl n , ∂l1 ∂l 2 ∂l n v kterém diferenciály nahradíme diferencemi a tyto středními chybami mi jednotlivých měření, viz výše. Získaný vztah povýšíme na druhou a výrazy s různými koeficienty vypustíme, a to za předpokladu, že n → ∞ a tudíž tyto výrazy vypadnou. Výsledná střední chyba funkce naměřených veličin je pak

 ∂f  m = ∑  mi  = m02 f T Qf , i =1  ∂l i  2

n

2 f

(4.2.9)

 ∂f ∂f   . Tento vztah představuje odhad střední chyby funkce měřených kde f T =  L ∂l n   ∂l1 veličin. Zavedeme-li do rov. (4.2.9) rov. (4.2.8), dostáváme výraz

n  ∂f  1 1 = ∑   = f T Qf , (4.2.10) pf i =1  ∂l i  p i který představuje odhad váhy funkce měřených veličin. Střední chyba funkce vyrovnaných neznámých (přírůstků). Nechť tato funkce má tvar F = F (x1 x2 L xk ) . Pak zcela analogicky k rov. (4.2.9) a (4.2.10) dostáváme

2

k  ∂F  m F2 = ∑  m xi  = m02 F T Q xx F i =1  ∂xi 

a

k  ∂F  1  ∂F 1 ∂F    . = ∑  = F T Q xx F , kde F T =  L p F i =1  ∂xi  p k ∂ x ∂ x 1 k   Téměř při každém zpracování měření MNČ se musíme ptát, které měření je třeba vypustit a která ponechat. Kritériem vypuštění měření je nerovnice vi ≤ k 0 m0 (4.2.11) kde k0 je jistá, do značné míry subjektivně určená veličina. Obvykle se volí k 0 = 2,5 . 2

4.2.2

Kontroly

Důležitými kroky výpočtu MNČ jsou kontroly. Průběžně je nutné, a to již při teoretických odvozováních, kontrolovat rozměry matic a vektorů a souhlas rozměrových jednotek. Tento jednoduchý způsob může odhalit mnohé chyby.

66

Číselnými kontrolami je rovnost vztahů A T PAx = − A T PL , A T Pv = 0

(4.2.12)

dále dvojí výpočet oprav 1. v = Ax + L , resp. v = A dx + L (4.2.13) 2. v = F(x ) − L kde F(x) je nelinearizovaná zprostředkující funkce, která obsahuje vyrovnané neznámé x. V dřívějších postupech vyrovnání, před použitím počítačů, se používali ještě tři tzv. sigmové zkoušky. V případě, že výpočetní program je naprogramován a odladěn, je možno od nich upustit. Zní

∑ a má být splněno, že ∑ 1

1

= LT PAx + LT PL ,

=

∑

' 2

=

∑

3

∑

' 2

= LT v ,

∑3

= v T Pv

. Klasická sigmová zkouška

∑2

(4.2.14) užívá početního

výrazu, který zde není obsažen. Proto byla zvolena jiná alternativa. Sigmové zkoušky budou prováděny jen sporadicky.

4.3

Podmínková pozorování∗)

Úkolem je vypočítat MNČ opravy v1 , v 2 , L , v n naměřených hodnot l1 , l 2 , L , l n při splnění podmínky v T Pv = min a současně, aby opravené naměřené hodnoty l i + v i splňovaly určité, předem dané, podmínky v počtu r < n a n je počet měřených veličin a tudíž i počet oprav. Pro názornost milému čtenáři uveďme příklad vyrovnání velmi často vystupující v geodetické praxi. Totiž, měříme-li úhly v trojúhelníku, pak jejich součet musí být 180°. Toto vyjadřuje podmínková rovnice

α1 + α 1 + α1 − 180° = 0 ,

což je podmínka nutně splnitelná. Jistě se tak, jen s pomocí naměřených hodnot, nestane. Nutno připojit opravy. Je pak

α1 + v1 + α 2 + v 2 + α 3 + v3 − 180° = 0 v1 + v 2 + v3 + U = 0

(4.3.1)

kde

U = α1 + α 2 + α 3 − 180°

je tzv. uzávěr. Rov. (4.3.1) je tzv. přetvořenou podmínkovou rovnicí. Takovýchto rovnic může být celá řada, viz PŘÍKLAD 14 v kap. 5.2. Poznamenejme ještě, že namísto 180 o je často uvedeno 200 g . Vraťme se k našemu výkladu. Zapišme r přetvořených rovnic oprav ve tvaru a11 v1 + L + a1n v n + U 1 = 0 M

a maticově

(4.3.2)

a r1 v1 + L + a r n v n + U r = 0

∗)

Ve starší literatuře, ještě např. v [4], jsou označována: závislá pozorování. Ta nyní označují naprosto jiný případ pozorování, viz část X.

67

Bv+U =0

kde

 a11 L a1n    B { = M O M  r×n a   r1 L a r n 

(4.3.3)

 v1    v { = M  n×1 v   n

 U1    U { = M  r ×1 U   r

0   0{ =  M  r ×1 0  

Zde je r počet podmínek a tedy i uzávěrů a n počet oprav. Nyní musíme uvážit podmínku minima vT P v = min ovšem při zachování platnosti (vedlejších) daných podmínek (4.3.2). Proto použijeme Lagrangeova postupu pro nalezení minima. Zní  T T v{ P { v{ + 2 k {  B {v { +U {  = min 1× r  r × n n×1 1× n n×n n×1 r ×1 

(4.3.4)

kde k je vektor neznámých korelát k { = (k1

r ×1

k2 L kr )

T

(4.3.5)

Rov. (4.3.4) derivujeme podle v , položíme rovnou nule a společně s rov. (4.3.3) dostáváme Pv + B T k = 0 Bv = −U

(4.3.6)

4.3.1 Přímé řešení podmínkových pozorování Rov. (4.3.6) je možno napsat ve tvaru

 P B T  v   0        B 0  k  =  − U   14 1   4244 3 123

(4.3.7)

(n + r )×1

[(n + r )×(n + r )]×(n + r )×1

takže  v   P BT   0     =       k   B 01   − U  −1

(4.3.8)

Uvedenou matici je možno invertovat jako celek nebo postupně invertovat jednotlivé podmatice, viz [13]. Tímto jsou určeny nejpravděpodobnější hledané hodnoty neznámých náhodných oprav a korelát. Odhady přesností výsledků. Nejprve se vypočte střední jednotková chyba

[

m0 = v Pv / r T

]

12

. Poté – netradičně – použijeme z rov. (4.3.8) inverzní matici Q xx

z ní vyjmeme prvky vyrovnaných úhlů jsou

(

)

 P BT   =    B 01 

−1

a

diag Qll11 L Qllnn Qkk11 L Qkkrr . Pomocí nich střední chyby

mllii = m0 Qllii

(4.3.9)

mkkii = m0 Qkkii

(4.3.10)

a střední chyby korelát jsou

68

4.3.2 Postupné řešení podmínkových pozorování Z první rov. (4.3.6) vyplývá, že { {v = − P

−1

n× n

n×1

T

B { k{

n× r

r ×1

(4.3.11)

Po jejím dosazení do druhé rov. (4.3.6) máme − BP −1B T k = −U , z čehož  −1 T k { =  B { P { B r ×1  r ×n n ×n

  U {  r×1 −1

(4.3.12)

Zavedeme obligátně −1 T N { = BP B

(4.3.13)

r×r

a je pak −1

k{ = N { U {

r ×1

r ×r

(4.3.14)

r ×1

kde Q kk = N {

−1

(4.3.15)

r ×r

je váhová matice korelát. Postup výpočtu je velmi jednoduchý, nejprve se zjistí z rov. (4.3.14) koreláty a poté opravy z rov. (4.3.11). Odhady přesnosti výsledků. Stejně jako u 1. řešení, i zde vypočteme střední jednotkovou chybu m0 . Pomocí diag Qkk11 L Qkkrr pak střední chyby korelát jsou

(

)

mkkii = m0 Qkkii

(4.3.16)

Další výpočet středních chyb oprav viz přímé řešení nebo [12, str.201]. Zcela odlišný postup číselného zpracování nejpravděpodobnějších hodnot i odhadu jejich přesnosti z podmínkových pozorování spočívá v převodu na pozorování zprostředkující, jak je uvedeno v [13]. Tím se nabízí aspoň číselné ověření výše navrženého 1. řešení. Jiné by bylo odvození v případě, kdyby podmínky platily mezi neznámými hledanými veličinami x apod. Číselnou aplikaci viz PŘÍKLAD 14 v kap. 5.2.

4.4

Zprostředkující pozorování

V geodézii, ale i v jiných oborech technických věd, se často vyskytuje úkol určit číselné hodnoty veličin, které nelze přímo, bezprostředně, měřit a tedy určit. Proto je nutno jejich zjištění zprostředkovat pomocí jiných veličin, které je možno měřit a které jsou s hledanými neznámými veličinami ve známém funkčním vztahu. Označme T x = ( x1 L xk ) ………… vektor neznámých hledaných veličin x 0 = ( x10 L x k 0 ) ……… vektor jejich známých přibližných hodnot T

dx = (dx1 .........dx k )T …….…vektor jejich neznámých, vyrovnávaných přírůstků Fi (x) ……………………funkční vztah mezi hledanými x a měřenými l i veličinami

69

l i …………………………naměřená zprostředkující veličina v i .………………………...její oprava l i ………………………….její vyrovnaná hodnota i ………………………….index i-té zprostředkující rovnice Pak platí Fi (x) = l i

Fi ( x1 L x k ) = l i + v i

Fi ( x10 + dx1 L x k 0 + dx k ) = l i + v i

Levou stranu rozvedeme do Taylorova rozvoje, pokud není již v lineárním tvaru, a zanedbáme členy 2. řádu a vyšší. Dostáváme Fi (x 0 ) +

∂Fi ∂F d x1 + L + i d xk = li + vi ∂x1 ∂x k

∂Fi ∂F d x1 + L + i d x k + Fi (x 0 ) − li = vi ∂x1 ∂xk Upravme symboliku a dostáváme (4.4.1) ai1 dx1 + ai2 dx2 + ... + aik dxk +Fi (xo ) – li = vi kde i = 1, L , n a n je počet linearizovaných zprostředkujících rovnic oprav a k je počet hledaných neznámých. Výraz

Fi (x 0 ) − li = Li

je tzv. absolutní člen. Rov. (4.4.1) rozepišme pro všechna i a zaveďme symboly matic a vektorů. Dostaneme P = Q

Ad x + L = v

kde

 a11   a 21 A { = M n× k  a  n1  p1 0   0 p2 P { = M M n× n  0 0 

a12 a 22 M an2 L L O L

L a1k   L a 2k  O M   L a nk  0   0  M   p n 

 dx1     dx 2  d x{ =  M  k ×1    dx  k    v1     v2  v{ =   M n×1   v   n

−1

(4.4.2)  F1 (x 0 ) − l1     F2 (x 0 ) − l 2  L { =  M n×1    F (x ) − l  n 0 n    p1−1 0 L 0     0 p 2−1 L 0  Q  { = M M O M  n× n   0 0 L p n−1  

Zde je dx vektor hledaných neznámých, L vektor absolutních členů, a v něm Fi (x 0 ) hodnoty vypočtené z přibližně známých vstupních veličin a l i jsou hodnoty naměřené, v je vektor oprav, P matice vah a Q je její inverzní matice, tzv. matice váhových koeficientů. Systém rov. (4.4.2) podrobíme podmínce minima. Dostáváme

[

]

[(

]

)

∂v T Pv ∂ = (Adx + L )T P(Adx + L ) = ∂ dx T A T + LT P(Adx + L ) = ∂dx ∂dx ∂dx ∂ = dx T A T PAdx + dx T A T PL + LT PAdx + LT PL ∂dx

(

)

Po derivování a úpravách dostáváme postupně rovnice

70

2A T PAdx + A T PL + A T PL = 0 A T PAdx + A T PL = 0

které nazýváme normální rovnice. Hledané neznámé přírůstky pak jsou

(

dx = − A T PA

V této rovnici se často zavádí

)

−1

(4.4.3)

A T PL

A T PA = N {

(4.4.4)

−1 N { = Q xx

(4.4.5)

k ×k

kde k ×k

je matice váhových koeficientů hledaných neznámých přírůstků dx . Jednotková střední chyba

[

m0 = v T Pv (n − k )

]

1 2

(4.4.6)

a střední chyby vyrovnaných neznámých resp. jejich přírůstků jsou

mdxi = m0 Q xxii kde

(

Q xx = diag Q xx11

Q xx22

L Q xxii

(4.4.7)

L Q xxkk

)

(4.4.8)

Střední chybu m f funkce přímo měřených veličin jakož i střední chybu m F funkce vyrovnaných neznámých zjistíme podle vztahů v kap. 4.2.1. Střední chyba funkce vyrovnaných neznámých je vyjádřena rovnicí m F2 = m02 F T Q xx F

(4.4.9)

která je rozepsaná pod čarou∗). Kontrolně následuje výpočet rovnic počínaje rov. (4.2.12) event. včetně sigmových zkoušek.

∗)

Je

2 2  ∂F m F = m0   ∂x  1



2 2  ∂F m F = m 0   ∂x1 

∂F

L

   

∂x k

2

k  ∂F 2 mF = ∑  m dx i i =1 ∂x  i

Q xx 11

  

 Q xx  11  0   M   0 

 ∂F +  ∂x  2

   

0

L

0

Q xx

L

0

22

M 0

2

O M L Q xx kk

 ∂F Q xx +L+  ∂x 22  k

 ∂F   ∂x1  ∂F   ∂x 2  M  ∂F  ∂x  k

  ∂F       ∂x1     ∂F   = m 2  ∂F Q xx L ∂F Q xx  ∂x  0 11 kk  2   ∂x k  ∂x1  M      ∂F    ∂x    k 2    Q xx  a zavedením rov. (4.4.7) je a tedy  kk   

2

pro případ, že je matice Q xx diagonální.

71

Vyrovnání podle zprostředkujících pozorování/měření je v současnosti metodou číslo jedna. Jak uvidíme v kap. 4.6, je možno libovolné úlohy vyrovnávacího počtu převést na tuto metodu. Proto jí bude i zde kladen upřednostněný význam. JINÉ ODVOZENÍ PODMÍNKY MINIMA Vyjděme z výrazu v T Pv = min , který derivujeme podle v . Dostaneme 2Pv = 0 a po dosazení 1. rov. (4.2.13) dostaneme P ( Ax + L ) = 0 . Vynásobením zleva maticí A T máme A T PAx + A T PL = 0 , což je shodně s rov. (4.4.3).

4.5

Zprostředkující pozorování s neznámými parametry a podmínková pozorování s neznámými parametry

Uveďme nejprve přehled vyrovnání, která souvisejí s případy, uvedenými v předchozím textu. Jsou, resp. byla: • podmínková pozorování – kap. 4.3 • zprostředkující pozorování – kap. 4.4 • zprostředkující pozorování a podmínková pozorování – viz [13] • podmínková pozorování s neznámými parametry – viz [13] • zprostředkující pozorování s neznámými parametry – viz [13] • podmínková pozorování s neznámými parametry a zprostředkující pozorování viz[13] • zprostředkující pozorování s neznámými parametry a podmínková pozorování viz[13] Proto v dalším textu se budeme věnovat zprostředkujícímu pozorování s neznámými parametry a podmínková pozorování s neznámými parametry. Tento postup představuje zobecnění MNČ, neboť je možno tohoto způsobu použít pro všechny druhy vyrovnání, která byla uvedena výše. Dvěmi výchozími rovnicemi, jistěžě v maticovém tvaru, budou rovnice A x{ + C v, { { = { { y{ + L

n× k k ×1

n×l l ×1

n×1

n×1

−1 P { =Q {

n× n

n ×n

B { x{ + D { z{ + U { = 0{

r ×k k ×1

r × h h×1

r ×1

(4.5.1)

r ×1

a jsou jimi podchyceny zprostředkující rovnice a podmínkové rovnice pro hledané neznámé x a neznámé parametry y a z . Matice A , B , C a D obsahují koeficienty při neznámých a vektory L , v a U obsahují absolutní členy, opravy a uzávěry. Počet rovnic oprav je n, počet podmínek r, počet hledaných neznámých je k, počet parametrů ve vektoru y je l a ve vektoru z je h. Protože rov. (4.5.1) obsahují přidružené podmínky v 2. rov. (4.5.1) , je nutno opět použít Lagrangeova postupu pro zjištění minima. Za v ovšem dosadíme první rov. (4.5.1). Dostáváme vztah  T T     T T T  T  x{{ {  + 2k A + y{ C +L P A x{ + C y{ + L { { { {  B { x{ + D { z{ + U { { {  = min  1×k k × n    1×n  n×n n× k k ×1 n×1  1× r  r ×k k ×1 r × h h×1 n×l l ×1 r ×1  1×l l ×n 

který postupně derivujeme podle x , y , z a k . k je opět vektor korelát resp. Lagrangeových součinitelů. Dostaneme pak výslednou rovnici pro neznámé, která je

72

 x   y z   k  {

(k + l + h + r )×1

 A T PL   T   C PL  = −Q xx    0   U  1 424 3

(4.5.2)

(k +l + h + r )×1

kde 1 A T PA A T PC  23 123 k ×l  Tk ×k T C PA C PC  123 12 3 l ×l Q xx =  l×k { 0{ 0{ (k + l + h + r )× (k + l + h + r )  h ×l  h ×k 0{  B { r ×l  r ×k

0{

k ×h

0{

l×h

0{

h ×h

D {

r ×h

T B {  k ×r  0{  l ×r  T D { h× r  0{  r×r 

−1

(4.5.3)

je matice váhových součinitelů. Poté se vypočte střední jednotková chyba m0 z výrazu m02 = v T Pv (n + r − k − l − h )

a střední chyby neznámých a korelát z výrazů

m xxii = m0 Q xxii

,

m yyii = m0 Q yyii

,

m zzii = m0 Q zzii

,

mkkii = m0 Qkkii

.

kde výrazy pod odmocninami jsou prvky na hlavní diagonále matice Q xx . Všechny tyto výše uvedené úlohy vyrovnání MNČ je možno nahradit úlohou jedinou, a to úlohou danou rov. (4.5.1): zprostředkující pozorování s neznámými parametry plus podmínková pozorování s neznámými parametry. Způsob řešení pozůstává v tom, že bychom prostě vynechali výrazy v rov. (4.5.1) až (4.5.3), jež se v zadané úloze neuvažují.

4.6

Zprostředkující pozorování s neznámými parametry a podmínková pozorování s neznámými parametry převedením podmínkových pozorování na zprostředkující

Tato kapitola je dovršením části IV. o vyrovnávacím počtu a představuje zobecnění předchozích kapitol. Jinými slovy: vše, co bylo uvedeno ve všech předchozích částech, kapitolách a odstavcích, bylo a je odvoditelné z teorie kap. 4.6, jako její zvláštní případy. Rovněž tak tomu bylo i v kap. 4.5. Zde navíc jde o použití pouze pozorování zprostředkujících. Jsou proto výchozími rovnicemi rov. (4.5.1) o počtu n měření, k hledaných neznámých, l neznámých parametrů, viz 1. rov. (4.5.1), a o počtu r přidružených podmínek s h neznámými parametry mezi hledanými neznámými x , viz 2. rov. (4.5.1). MNČ by tedy vyžadovala Lagrangeovo vyjádření minima, např. rov. (4.3.4). Náhodné opravy v jsou však obsaženy pouze v 1. rov. (4.5.1). Abychom vyhověli oběma těmto požadavkům budeme postupovat tak, že nejprve se zbavíme podmínkových rovnic, tj. 2. rov. (4.5.1), a to převedením na zprostředkující a poté budeme řešit tyto převedené zprostředkující společně s původními zprostředkujícími, viz 1. rov. (4.5.1). Za tímto účelem přepíšeme rov. (4.5.1) do tvarů A 1 x1 + A { = v{ { y{ + L {{ {2 x{2 + nC n×1 ×l n×1 n× r r ×1

n×( k − r )( k − r )×1

73

l ×1

(4.6.1)

F 1 x1 + F {{ {2 r × r r ×1

x{2 + D { z{ + U { = 0{ r× h h×1 r ×1 r ×1

(4.6.2)

r ×( k − r )(k − r )×1

kde x1 je vektor o r neznámých a vektor x 2 o n - r neznámých. Dále y a z jsou opětně vektory s neznámými parametry, A1 a A2 jsou matice koeficientů při neznámých ve vektorech x1 a x2, C a D jsou matice koeficientů při neznámých parametrech y a z . L , v a U jsou vektory absolutních členů, náhodných oprav a uzávěrů přidružených podmínkových rovnic. Abychom učinili první krok k výše naznačenému řešení, je nutné odstranit podmínkové rov. (4.6.2). Proto ji vynásobíme inverzní maticí F1−1 a získáme F1−1 F1 x1 = −F1−1 (F2 x 2 + Dz + U )

z čehož

   x1 = −F1−1  F2 x 2 + D z{ + U { { { { { { r×h h×1 r×1  r ×1 r × r  r×( k − r )( k − r )×1 

(4.6.3)

které dosadíme do rov. (4.6.1). Dostáváme − A 1F1−1 (F2 x 2 + Dz + U ) + A 2 x 2 + Cy + L = v

(− A F

−1 1 1

)

(4.6.4)

F2 + A 2 x 2 + Cy − A1F1−1Dz − A1F1−1U + L = v

čímž máme co do činění pouze a jen se soustavou zprostředkujících rovnic. Pro zvýšení názornosti zavedeme −1 A = −A{{ F2 + A 2 1 F1 { { {

n×( k − r )

n× r r ×r r ×( k − r )

n×( k − r )

−1 L{ = −A 1 F1 U {+L { {{

−1 1

D F D { = −A {{ { ,

1

n × r r ×r r × h

n× h

,

n×1

n×r r× r r×1

n×1

(4.6.5)

Rov. (4.6.4) pak přejde v tvar

A {

x2 + C y + D z{ + L { {= v { n{×l { n{ ×h h×1 n×1 n×1

n×( k − r )( k − r )×1

l ×1

−1 P 1 { =Q { n× n n ×n

(4.6.6)

Podmínka minima bude mít tvar v T Pv = min , jde totiž již jen o zprostředkující pozorování. Po zavedení rov. (4.6.6) zní

(x

T 2

A T + y T CT + z T D T + L T ) P ( A

x 2 + C y + D z + L ) = min

a po vynásobení je x T2 A T P A x 2 + y T CT P A x 2 + z T D T P A x 2 + L T P A x 2 + + x T2 A T P C y + y T CT P C y + z T D T P C y + L T P C y + + x T2 A T P D z + y T CT P D z + z T D T P D z + L T P D z + + x T2 A T P L

+ y T CT P L

+ zTD T P L

+ LT P L

= min

Nyní postupně derivujeme podle proměnných x 2 , y , z , derivace položíme rovny nule a opět při P T = P . Dostáváme

74

T T T A2 A x{2 + 1 A2 A4T2 D z{ + 1 A2 L = 0{x2 ∂ ∂x 2 : 1 P3 PC P4 P3 3 y{ + 1 3 h×1

(k -r )×( k − r ) ( k − r )×1

∂ ∂y:

(k -r )×l

(k -r )×h

l ×1

(k -r )×1

( k −r )×1

C P3 A x{2 + C PC P3 D z{ + C P3 L = 0{y 12 3 y{ + C 12 12 12 h×1 T

T

l ×( k - r )

( k − r )×1

T

l ×l

T

l×h

l ×1

l ×1

(4.6.7)

l ×1

T T T T ∂ ∂z : D P3 A x{2 + D P4 D z{ + D P3 L = 0{z 12PC 3 y{ + D 1 42 3 12 12 h×1 h×(k -r )

( k −r )×1

h×l

h×h

l ×1

h×1

h×1

což jsou normální rovnice v tvaru maticového počtu. Zavedeme  A T PA  N =  CT P A { (k + l + h − r )×(k + l + h − r )  T  D PA Q xx =

takže neznámé zjistíme z rovnice

A T P C A T P D  CT P C CT P D  D T P C D T P D 

(4.6.8)

−1 N {

(4.6.9)

(k +l + h − r )×(k + l + h − r )

 A T PL   x2   T    = − y Q C P L     xx  T z D PL  {  1442443

( k +l + h −r )×1

(4.6.10)

( k +l + h −r )×1

Vektor x1 zbývajících hledaných neznámých určíme z rov. (4.6.3), náhodné opravy z rov. (4.6.1) nebo (4.6.6) a střední jednotkovou chybu z tvaru m02 = v T Pv (n + r − k − l − h ) . Střední chyby jednotlivých neznámých vektorů x 2 , y , z opětně určíme podle známého předpisu

m xx 2ii = m0 Q xx 2ii



m yyii = m0 Q yyii

m zzii = m0 Q zzii

kde Q xx 2ii , Q yyii , Q zzii jsou prvky na hlavní diagonále matice Q xx . Zde je nedostatkem, že nezískáme přímo Q xx1ii pro hledané neznámé vektoru x1 . Kontrolami jsou rov. (4.2.12) až (4.2.14). Konečně musí platit i rov. (4.6.10), (4.6.1) a (4.6.2). Tím je výpočet ukončen. Postup výpočtu. Vstupními veličinami jsou: A {, F {,U {, L { , viz {1 , A {2 , C {1 , F {2 , D n×r

n×( k − r )

n×l

n×1

r× r

r ×( k − r )

r× h

r ×1

rov. (4.6.1), (4.6.2) a PŘÍKLAD 16 v kap. 5.3. Poté již následuje výpočet A , D , L T T v rov. (4.6.5), submatice 1 A42 P4 A ,K,D P4 D3 pro rov. (4.6.8), čímž získáme matice N a Q xx , 1 42 3 (k − r )×(k − r )

h× h

T rov. (4.6.8) i rov. (4.6.9) a konečně neznámé z rov. (4.6.10) po výpočtu subvektorů 1 A2 P3 L,

( k −r )×1

T

T

C P3 L a D12P3 L . Další již uvádí text za rov. (4.6.10). 12 l ×1

h×1

Rov. (4.6.7) až (4.6.10) plně nahrazují veškeré případy vyrovnání, uvedené v předchozím textu, včetně základních metod vyrovnání v kap. 4.3 a 4.4. Navíc je možno vše převést na vyrovnání zprostředkujících pozorování. Bude-li např. scházet vektor y , resp. z , resp. oba vektory, pak odpadá 2. řádek a 2. sloupec rov. (4.6.7), resp. 3. řádek a 3. sloupec rov. (4.6.7), resp. 2. i 3. řádek a 2. i 3. sloupec rov. (4.6.7).

75

4.7

Závěrem stručné, ale zásadní porovnání metody zprostředkujících a metody podmínkových pozorování, především s ohledem na vyrovnání geodetických sítí

Zprostředkující pozorování Přednosti Jednoduchost a přehlednost při při sestavování rovnic oprav. Všeobecně zavedení jejich použití, především pro možnost automatizece výpočtů.

Nedostatky Závislost na zavedené souřadnicové soustavě. Počet normálních rovnic je obvykle větší než u podmínkových pozorování.

Podmínková pozorování Přednosti Nedostatky Nezávislost na zavedené souřadnicové Často velmi obtížné sestavení potřebného soustavě. počtu podmínkových rovnic. Obvykle menší počet normálních rovnic. Obtížná automatizace výpočtů. LITERATURA: [1] Gauss K. B.: Theoria motus corporum coelestium. 1809. [2] Legendre A. M.: Nouvelle méthodes pour la détermination des orbites des cométes. Appendice: Sur la méthode des moindres carrés. Paris 1806. [3] Laplace P. S.: Théorie analytique des probabilités. Paris 1812. [4] Čuřík F.: Počet vyrovnávací … . Nákladem ČMT, Praha 1936. [5] Müller F., Novotný F.: Geodézie vyšší. Praha 1913. [6] Semerád A.: Příručka praktické geometrie. Praha 1921. [7] Láska V.: Počtářství geodetické. Praha 1894. [8] Čechura F.: Důlní měřictví I, počet vyrovnávací). Praha 1948. [9] Ryšavý J.: Vyšší geodesie. Nakladatelství ČMT, Praha 1947. [10] Fiala F.: Geodetické počtářství I., II. a III. běh. Komise při ČVUT, Praha 1938. [11] Wolf H.: Ausgleichungsrechnung – Formeln zur praktischen Anwendung. Dümler Verlag, Bonn 1975. [12] Böhm J., Radouch V., Hampacher M.: Teorie chyb a vyrovnávací počet. Vydal Geodetický a kartografický podnik, Praha 1990. [13] Kabeláč J.: Geodetické metody vyrovnání – metoda nejmenších čtverců. Západočeská univerzita v Plzni, Plzeň 2004.

76

IV. část Geodetické sítě

5 Geodetické sítě – 2D 5.1

Úvod

Tato 5. kapitola patří plně mezi klasické kapitoly vyšší geodézie. Uvádí ve stručnosti matematickou teorii metod vyrovnání, kterých bylo obvykle používáno v geodézii pro vyrovnání geodetických sítí, řekněme od dob Gaussových. Protože však hlavním úkolem předkládaného textu je podat nejmodernější měřické a výpočetní postupy, včetně metod družicové geodézie, budou uvedeny tyto klasické metody vyšší geodézie jen v nejzákladnějších myšlenkách a postupech. V naší současné odborné literatuře jsou tyto metody důkladně, včetně příkladů projednávány v [5], [1] a velmi přehledně v [6]. A podle posledně citované práce budeme v následujícím textu postupovat. Dělení úloh této části vyšší geodézie je možno uskutečnit podle různých aspektů. Domníváme se, že základním dělením je dělení podle měřených veličin v dané síti. Podle toho hovoříme o - triangulaci, jsou-li měřeny směrové veličiny - trilateraci, jsou-li měřeny délkové veličiny - kombinovaném měření, jsou-li měřeny obě tyto veličiny V případě triangulace a kombinovaného měření rozeznáváme měření - úhlů - směrů Podle velikosti dělíme geodetické sítě na - místní, - národní, - mezinárodní, - kontinentální, kap. 7 a 8, - světové, kap. 8. V následujícím textu bude postup výkladu dělen podle způsobu vyrovnání na - vyrovnání podle podmínkových pozorování, kap. 5.2, - vyrovnání podle zprostředkujících pozorování, kap. 5.3. Počty měření budou ve všech případech nadbytečné, aby tak bylo možno přistoupit k vyrovnání MNČ. Význam těchto nadbytečných pozorování je v - kontrole, - zvýšení kvality měřického materiálu, - posouzení vhodnosti metod a přístrojů. Ještě dříve, před vlastním výpočtem/vyrovnáním, je nutné naměřené veličiny, ať jsou to směry či délky, redukovat na výpočetní plochu. V našem případě bude výpočetní plochou rovina kartografického zobrazení. Může jí však být i plocha elipsoidu, koule a pod. O těchto redukcích, které zaujímají značně rozsáhlé místo v oblasti vyšší geodézie, nebude zde pojednáno. Potřebnému čtenáři doporučujeme výše uvedenou literaturu [5], [1] a [6]. Ještě dodejme, že tyto redukce jsou nejen početně, ale i po teoretické stránce obtížné. Do značné míry jsou redukcemi zbaveny výpočty, které se provádějí v 3D prostoru, viz kap. 6. Rovněž nebude v následujícím textu pojednáno o přenosu chyb, o optimalizaci sítí ap., viz [5], [1] a [6].

77

5.1.1 Váhy měřených veličin Již na tomto místě se zmíníme o zavádění vah měřených veličin. Především proto, že budou používány dva druhy těchto veličin (směry a délky) a také proto, že vyjadřování jejich velikostí v různých rozměrových jednotkách, např. v metrech či centimetrech, přináší zřetelně odlišné výsledky. Tyto rozpory je možno odstranit vhodným zaváděním vah. Metoda nejmenších čtverců používá podmínky

∑pvv n

= min ,

i i i

i =1

pro získání nejpravděpodobnějších veličin. Index i = 1, ..., n přestavuje i-té měření, při čemž v souhrnu těchto měření mohou vystupovat, a také vystupují, různé druhy měřených veličin. Váhy pi můžeme získat různými způsoby. Např. z předchozích měření (z vyrovnání směrů na stanovisku, z průměrné hodnoty měřené vzdálenosti), nebo z předchozích všeobecných zkušeností (střední chyba úhlu v základní síti), či z jiných měřických aspektů (počet měření) ap. Výsledkem těchto předcházejících měření budou tzv. apriorní středních chyby mi. Platí pak [2, s. 203] pi mi2 = m02 = k , z čehož pi = k 2 . Konstantu k volíme tak, aby se všechny mi váhy pi pohybovaly kolem 1. Např. podle výrazu

∑m n

k=

i =1

n

2 i

,

leč lze ji též určit podle jiných požadavků. Jelikož konstanta k je volitelná, možno ji považovat za číslo nepojmenované a tudíž má váha pi rozměr [ mi−2 ]. Po jejím dosazení do vTPv dostaneme k∑ n

i =1

Zavedeme-li, jen formálně, vi′ = vi k

vi vi = min mi2 .

∑ v′v′ = min . Opravy v´ jsou tzv. normované n

mi

, platí

i =1

i i

opravy a jejich předností je, že jsou bez rozměru, neboť vi a mi jsou týchž rozměrů. Tím se i celý postup vyrovnání stává nezávislým na druhu měřených veličin a tedy na volbě rozměrových jednotek. Z toho též vyplývá, že rozměrové jednotky měřené veličiny a její střední chyby musí být vyjádřený v týchž jednotkách, viz též PŘÍKLAD 15. Číselné ověření je v PŘÍKLADĚ 15.

5.2

Vyrovnání geodetických sítí v 2D prostoru pomocí podmínkových měření/pozorování.

Prosíme hned zpočátku: nepřehlédněte, že tato kapitola navazuje na kap. 4.3 a doporučujeme proto, se s ní aspoň dočasně seznámit. Původní název pro podmínková pozorování zněl závislá pozorování. Ten teď představuje zcela jiný druh vyrovnání, viz část X. Základním pravidlem podmínkových pozorování je: počet r podmínkových rovnic se musí rovnat počtu r nadbytečných měření, přičemž r = n – počet nutných měření/pozorování, kde n je počet všech pozorování. Sestavené podmínky musí být vyrovnáním splněny. 78

V případě kap. 5.2 se též tato měření, jakož i tato vyrovnání, označují jako úhlová či korelovaná. N 3

a)

2 3

b) N P2

2 5 A1 7 8 5 9

6

s1

s2

4 5

1

2

P1

1

3

A2

4

4 6

1

Obr. 5.2.1

5.2.1 Vyrovnání triangulace Jednotlivé podmínky demonstrujme na obr. 5.2.1a) a b). Budou platit pro rovinnou síť a pro měřené úhly. Pro měřené směry je postup obdobný. Trojúhelníková podmínka platí pro každý trojúhelník a podle obr. 5.2.1a) to jsou vztahy

α 1 + α 2 + α 7 − 180° = 0, α 3 + α 4 + α 8 − 180° = 0, α 5 + α 6 + α 9 − 180° = 0,

(5.2.1)

viz též rov. (4.3.1) a (4.3.2). Jejich počet t je roven počtu trojúhelníků. Uzávěrová (vrcholová) podmínka má tvar

α 7 + α 8 + α 9 − 360° = 0

(5.2.2)

a jejím smyslem je uzavřít úhly při centrálním bodě na 360o, viz obr. 5.2.1a). Jejich počet c je roven počtu centrálních vrcholů. Stranová podmínka. Jestliže vyjdeme v obr. 5.2.1a) např. ze strany 4,5 a pomocí obecné sinové věty vyjadřujeme postupně strany ve směru šipky, nedostaneme přesně tutéž hodnotu strany 4,5 ale hodnotu strany 1,5. Proto je nutné zavést podmínku sin α 1 sin α 3 sin α 5 − sin α 2 sin α 4 sin α 6 = 0 ,

(5.2.3)

kterou je nutno sestavit a splnit nejen pro každý centrální obrazec, viz např. 5.2.1a), ale i pro každý čtyřúhelník s oběma zaměřenými úhlopříčkami. Jejich počet označme s . Základnová podmínka vyjadřuje, a to obvykle opět pomocí obecné sinové věty, vztah mezi délkově změřenými stranami (základnami) s1 a s2. Zní s1 sin α 1 sin α 5 − s 2 sin α 3 sin α 6 = 0 .

(5.2.4)

Jejich počet je z – 1, je-li z počet zaměřených stran (základen) v uvažované síti. Azimutální (směrníková) podmínka vyjadřuje vztah mezi zaměřenými azimuty A1 a A2. V obecném tvaru zní

∑α + (A i

1

− A2 ) ± i ⋅ 180° = 0 ,

79

(5.2.5)

viz obr. 5.2.1b). Zde Σ je součet příslušných vodorovných úhlů od A1 do A2. Počet těchto podmínkových rovnic je a – 1, jestliže a je počet zaměřených azimutů. Souřadnicová podmínka vystupuje tehdy, jsou-li v síti aspoň dva body P1 a P2 o známých rovinných souřadnicích x1, y1 a x2, y2 a nemají-li být tyto souřadnice vyrovnáním pozměněny. Pak má platit

x2 = x1 + ∑ si cos Ai ,

y 2 = y1 + ∑ si sin Ai .

i

i

(5.2.6)

Jejich počet je 2 k – 2, je-li k počet výše uvedených bodů. Jak bylo již uvedeno v kap. 4.3, je nutné nyní do uvedených rov. (5.2.1) až (5.2.6) dosadit naměřené veličiny l a jejich opravy v (indexy jsou vynechány) a linearizací těchto rovnic přejít k přetvořeným podmínkovým rovnicím typu rov. (4.3.2). V případě trojúhelníkových podmínkových rovnic (5.2.1) byla tato úprava již naznačena v rov. (4.3.1). Pro první rov. (5.2.1) zní v1 + v 2 + v7 + U 127 = 0 ,

kde U 127 = l1 + l 2 + l 7 − 180° je uzávěr. V případě uzávěrových (vrcholových) podmínkových rovnic (5.2.2) se rovněž jedná o již linearizavané rovnice, takže jejich přetvořené podmínkové rovnice mají tvar v7 + v8 + v9 + U 789 = 0 ,

kde U 789 = l 7 + l8 + l 9 − 360° je uzávěr. V případě zbývajících podmínkových rov. (5.2.3) až (5.2.6) je nutno provést příslušné parciální derivace těchto rovnic podle měřených veličin a rovněž i definovat potřebné uzávěry. Tak bude učiněno až v konkrétních číselných příkladech v dalším textu. Po vytvoření potřebných přetvořených podmínkových rovnic sestavíme matici B, dále vypočteme potřebné uzávěry a sestavíme pomocí nich vektor U, viz rov. (4.3.3). Poté následuje vlastní vyrovnání MNČ podle kap. 4.3.1 resp. 4.3.2. Problematika velmi obdobná se týká vyrovnání, v němž nevystupují úhly ale směry. Podobně je tomu, neprovádí-li se vyrovnání v rovině, ale na kouli či elipsoidu, viz [5], [1] a [6]. Poznámka k sestavení potřebného počtu podmínkových rovnic. V učebnici [5] je uvedena tato, praxí ověřená rada. Při vyrovnávání složitých sítí, jaké se naskýtají například při vytyčování dlouhých os tunelových, se musí při sestavování rovnic postupovat velmi pozorně. Sestavují-li se rovnice trojúhelníkové, doporučuje se nakreslit náčrtek sítě tak zjednodušený, že se nejdříve vypustí všechny přebytečné úhlopříčny. Tímto zjednodušením dostaneme obrazec představující souvislou skupinu jednoduchých trojúhelníků. Podle tohoto náčrtku napíšeme pro všechny trojúhelníky podmínkové rovnice. Skončivše tuto práci, přikreslujeme postupně další úhlopříčny a pro každou píšeme ihned příslušnou rovnici. Sestavování závěrových rovnic podle náčrtku nepůsobí obtíží. Při sestavování rovnic stranových vyjdeme nejlépe opět ze zjednodušené sítě (vynecháme křižující úhlopříčny) a sestavíme stranové rovnice pro všechny body ležící uvnitř sítě, aplikujíce při tom obecnou poučku sinovou pro ony body jako póly. Potom síť doplňujeme dalšími úhlopříčkami, přičemž pro každou nově zakreslenou úhlopříčnu ihned sestavíme jednu rovnici stranovou. Za pól lze volit kterýkoli vrchol příslušného čtyřúhelníka nebo průsečík obou uvažovaných úhlopříčen. PŘÍKLAD 14 Vyrovnání rovinné trojúhelníkové sítě podle podmínkových pozorování/měření.

80

Použijeme seminární úlohu [4]. Mějme rovinnou trojúhelníkovou síť, obr. 5.2.2, v které byly měřeny všechny označené úhly l i a délka jedné, libovolně zvolené výchozí strany. Opravy úhlů jsou v i . Podle rov. (4.3.1), v které symboly α nahradíme symboly l, viz též rov. (5.2.1), sestavíme potřebné podmínkové rovnice. Trojúhelníkové přetvořené podmínkové rovnice jsou v1 + v2 + v8 + U 1 = 0 v1´ + v8´ + v9 + U 2 = 0 v8´´ + v9´ + v10 + U 3 = 0

(5.2.7)

v1´´ + v4 + v9´´ + U 4 = 0 v1´´´ + v2´ + v4´ + U 5 = 0 kde U 1 = l1 + l 2 + l8 − 180° U 2 = l1´ + l8´ + l 9 − 180° U 3 = l8´´ + l 9´ + l10 − 180°

(5.2.8)

U 4 = l1´´ + l 4 + l9´´ − 180° U 5 = l1´´´ + l 2´ + l 4´ − 180° Vrcholová přetvořená podmínková rovnice v1 + v1´ + v1´´ + v1´´´ + U 6 = 0 kde

(5.2.9) U 6 = l1 + l1´ + l1´´ + l1´´´ − 360°

Stranová podmínková rovnice sin l 2 ⋅ sin l 4´ ⋅ sin l8´ ⋅ sin l9´´ − sin l 2´ sin l 4 ⋅ sin l8 ⋅ sin l9 = 0

byla sestavena podle rozšířené sinové věty a je nelineární. Proto je nutno ji linearizovat. Stranová podmínková rovnice přetvořená pak zní c2 v2 + c 2′ v2′ + c 4 v4 + c4′ v4′ + c8v8 + c8′ v8′ + c9 v9 + c9′′ v9′′ + U 7 = 0 c2 = cos l 2 sin l4′ sin l8′ sin l9′′ ,

c8 = − sin l 2′ sin l 4 cos l8 sin l9 ,

c2′ = − cos l2 sin l 4 sin l8 sin l9 ,

c8 = sin l 2 sin l4′ cos l8′ sin l9′′ ,

c4 = − sin l 2′ cos l 4 sin l8 sin l9 ,

c9 = − sin l 2′ sin l 4 sin l8 cos l9 ,

c4′ = sin l2 cos l 4′ sin l8′ sin l9′′ ,

c9′′ = sin l 2 sin l4′ sin l8′ cos l9′′ ,

(5.2.10)

(5.2.11)

U 7 = sin l 2 sin l4′ sin l8′ sin l9′′ − sin l2′ sin l 4 sin l8 cos l9 . Uzávěry, včetně uzávěru U 7 , a tím i opravy jsou vyjádřeny v šedesátinných vteřinách. Koeficienty při opravách jsou bez rozměru. Matice B v rov. (4.3.6) má pak tvar, pro n = 15 a r = 7.

81

1  0 0  B { = 0 r ×n  0 1  0

0 0 0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1 0 0 0 0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

1 0

0 1

1 0

0 1

0 0

0 1 0 0 0 1

0 0

0 1

1 0

0 1

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

1 0

1 1 1 0 0 0 0 c2

0 0 c2´ c4

0 0 c4´ c8

0 0 0 c8´ 0 c9

0 0 0 c9´´

0  0 1  0  0 0  0 

4 2

4´ 4

2´ 2

1´´´ 1´´

1

1

1´

10

8 8´

9´´ 9

10 8´´

9´

9

8

Obr. 5.2.1 Rovinná trojúhelníková síť

Číselné hodnoty koeficientů ci jsou v posledním řádku následující matice A . 1  0 0  0  0 0  0 0  0 0  T P B  0  = A =  {  22×22 B 01   0 0  0 0  1  0 0  0 0  1 0 

L {

1× 22

T

=  

0

T

−U

0 0 0 1 0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1

0 1 0 0 0 1

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1

0 0 0 0 0 0

1 0

0 1

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0

0 0

0 0

1 0

0 1

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

1 0

0 1

0 0

0 0

0 0

0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

1 0

0 1

0 0

0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

1 0

0 1

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0

0 1

0 0

0 0

0 0

0 1

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

1 0

0 1

1 0

0 1

0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 1

0 0

0 1

1 0

0 1

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,294 − 0,320 − 0,156 0,151 − 0,182 0,015 0 − 0,187 0 0,354 0 0 0 0 0 0 0 T

 

(

= 0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

82

0

0

0

0

− 2 ,1"

4 ,5

− 7 ,9

0 ,5

− 3 ,8

− 1, 7

   0   0   0,294  − 0,320  − 0,156 0,151   − 0,182 0,015   0   − 0,187 0   0,354  0   0   0  0   0  0   0  0  0 0

0,7

)

PŘÍMÉ ŘEŠENÍ PODMÍNKOVÝCH POZOROVÁNÍ – ODST. 4.3.1 Jde o řešení rov. (4.3.7), v které je váhová matice P rovna jednotkové o rozměru 15x15. Zaveďme dále do rov. (4.3.8) označení A a L , jejichž významy jsou uvedeny výše. Výpočet  v oprav v a korelát k se uskuteční společně z výrazu   = A −1L . Jsou k  v {

T

= (− 1,1" 1,3 − 0,3 − 1,5 0,0 − 1,7 − 0,1 − 0,7 − 1,0 1,8 − 2,6 1, 4 − 2,6 1,0 − 2,6 )

1×15 T

k { = (0,6 − 1,798 2,633 − 0,204 0,97 0,53 − 2,122) 1× 7

Střední chyba jednotková

m0 = v T v 7 = 2,28 Střední chyby vyrovnaných úhlů [“] a korelát [0], viz rov. (4.3.9) pro i = 1,L ,15 a (4.3.10) pro i = 16,L , 22 jsou

m Tll = (1,6 1, 6 1,6 1,6 1,5 1,5 1, 6 1,6 1,6 1,8 1,9 1, 7 1,9 1,5 1,9 ) m Tkk = (1,4 1,4 1,3 1,4 1,4 1,4 3 ,6 )

POSTUPNÉ ŘEŠENÍ PODMÍNKOVÝCH POZOROVÁNÍ – ODST.

Podle rov. (4.3.13) je

0  3  3  0  0 0  −1 T T N 0 { = BP B = BB =  0  7×7 0 0   1 1   0,112 − 0,172

Vektor uzávěrů je číselně určen a činí

0 0 3 0 0 0 0

4.3.2

1 1,112   1 − 0,172  0 0 0 0   3 0 0 0,198   0 3 1 − 0,169  0 1 4 0   0,198 − 0,169 0 0,430  0 0

0 0

U { = (2,090 − 4,500 7,900 − 0,500 3,798 1,689 − 0,738) T

, ["]

7×1

Výpočet korelát z rov. (4.3.14) je pak

(

T k{ = N −1 7×1

U

) = (0,600 T

Výpočet oprav z rov. (4.3.11) {v = (− 1,1" 1,3 − 0,3 − 1,5

− 1,798 2,633 − 0, 204 0,970 0,530 − 2,122)

, [0]

0, 0 − 1, 7 − 0 ,1 − 0 ,7 − 1,0 1,8 − 2,6 1, 4 − 2,6 1,0 − 2,6

)

1×15

Střední chyba jednotková, viz kap. 4.3.1

m0 = v T v 7 = 2,28

Střední chyby korelát, rov. (4.3.16), m Tkk = (1,4 1,4 1,3 1,4 1,4 1,4 3,6 ) Výpočet mll viz přímé řešení nebo [2, str. 201]. Shoda mezi přímým a postupným řešením je bezvadná. Čímž by měl být posvěcen netradiční postup přímého řešení. Výsledky vyrovnaných hodnot v a k se shodují úplně. Další výpočetní postup je společný pro obě řešení, viz odst. 4.3.2. Nejprve 1. kontrola dosazením oprav do přetvořených podmínkových rov. (5.2.7), první rov. (5.2.9) a rov. (5.2.10). Odchylky dosahují nejvýše pouze ± 0,001 . Kontrola 2. pozůstává ve výpočtu

vyrovnaných úhlů li = li + v i , viz tab. 5.2.1, a ve výpočtu nových uzávěrů určených pomocí těchto vyrovnaných hodnot.

83

Tab. 5.2.1

Vypočtené vyrovnané úhly li = li + v i Úhel

hodnota

1 1´ 1´´ 1´´´ 2 2´ 4 4´ 8 8´ 8´´ 9 9´ 9´´ 10

103°57´36.960´´ 51° 3´35.268´´ 104° 8´33.537´´ 100°50´14.198´´ 31°23´17.625´´ 29°17´56.151´´ 48°57´48.772´´ 49°51´49.651´´ 44°39´ 5.415´´ 85° 9´54.231´´ 14°28´48.767´´ 43°46´30.501´´ 47°41´33.667´´ 26°53´37.654´´ 117°49´37.567´´

Nové uzávěry, tj. vypočtené po vyrovnání dosazením hodnot z tab. 5.2.1 do rov. (5.2.8), druhé rov. (5.2.9) a do rov. (5.2.10), jsou U 1 = 1,6 ⋅ 10 −4 U 2 = −9,3 ⋅ 10 −4 U 3 = −1,7 ⋅ 10 −6 U 4 = −2,6 ⋅ 10 −11 U 5 = 4,0 ⋅ 10 − 4 U 6 = 7,3 ⋅ 10 − 4 a opět v jednotkách šedesátinné vteřiny.

U 7 = −4,6 ⋅ 10 − 4

5.2.2 Vyrovnání trilaterace

Základní postup je opět shodný s postupem předchozím. Poněkud odlišný je způsob sestavování podmínkových rovnic. Odlišnost pozůstává v tom, že podmínky mezi úhly je třeba vyjádřit pomocí měřených délek stran. K nim přistupují ovšem další podmínky, jež vyplynou z naměřených délek. Pak teprve naměřeným veličinám, tj. délkám stran, připíšeme opravy a takto získané rovnice až nyní linearizujeme. Vyrovnání je možno provést v rovině, např. v rovině kartografického zobrazení, na kouli, či na elipsoidu. Trilaterační podmínkové rovnice pro různé druhy geometrických obrazců najde čtenář v [6, s. 245 až 254]. Následující postup v kap. 5.2.3 zahrnuje v sobě vyrovnání trilaterační jako zvláštní případ. 5.2.3 Vyrovnání měření kombinovaných

O zavádění vah bylo již pojednáno v kap. 5.1.1. Přirozeně, že i zde platí nutnost sestavení podmínkové rovnice pro každé nadbytečné měření. Pro jednoduchost, ale i pro zvýšení přehlednosti použijeme příkladu v [6, s. 260], který číselně vyrovnáme, a to nejprve podle pozorování podmínkových (PŘÍKLAD 15). Rovněž bude určen potřebný počet podmínkových rovnic a další charakteristiky. Jistě by bylo možné postupovat obdobně jako v kap. 5.2.1 při vyrovnání triangulace, totiž vypisovat jednotlivé typy podmínkových rovnic. Bylo by to vlastně opakování rov. (5.2.1) až (5.2.6), k nimž by přibyly další podmínky vystihující vzájemné závislosti mezi naměřenými délkami stran studované sítě. Zdá se však, že možnosti konfigurací měřených stran jsou značně bohaté a jejich uspořádání do určitého schématu obtížné a možná i

84

samoúčelné. Schéma pro schéma. Snad vhodnější bude odvozování použitých podmínkových rovnic samostatně příklad od příkladu, jak bude učiněno i v následujícím případě. PŘÍKLAD 15 Vyrovnání rovinného trojúhelníka podle podmínkových měření/pozorování, jsou-li měřeny úhly a délky stran – vyrovnání měření kombinovaných. Protože základním obrazcem geodetické sítě v rovině je rovinný trojúhelník, bude naše následující demonstrace uskutečněna s rovinným trojúhelníkem P1P2P3, v němž jsou měřeny všechny úhly a všechny délky stran, viz obr. 5.2.3.Veličiny α1, α2, α3, s1, s2, s3 budeme považovat za dané a bezvadné. Obecné řešení stejné úlohy ve 3D prostoru je v kap. 6.3. P3 a3 s2

s1

a2

a1

s3

P1

P2

Obr. 5.2.1 Rovinný trojúhelník

Protože trojúhelník P1P2P3 je dán třemi nezávislými velič inami a dáno jich je šest, je nutné sestavit tři podmínkové rovnice. Bude to jedna rovnice trojúhelníková a dvě rovnice s užitím rovinných sinových vět. Jsou

α1 + α 2 + α 3 − 180° = 0, s1 sin α 2 − s 2 sin α1 = 0, s1 sin α 3 − s3 sin α1 = 0.

Podle obvyklých zvyklostí vyrovnávacího počtu – MNČ nahradíme bezvadné hodnoty naměřenými l1, l2, l3 a l4, l5, l6 a jejich opravami v1, v2, ..., v6. Získáme rovnice l1 + v1 + l2 + v2 + l3 + v3 − 180° = 0,

(l4 + v4 )sin (l 2 + v2 ) − (l5 + v5 )sin (l1 + v1 ) = 0, (l4 + v4 )sin (l3 + v3 ) − (l6 + v6 )sin (l1 + v1 ) = 0.

(5.2.12)

Abychom vytvořili přetvořené podmínkové rovnice, viz rov. (4.3.1), je nutno rov. (5.2.12) linearizovat. Stačí rozvést druhou a třetí s ponecháním malých veličin prvního řádu. Dostáváme po malých úpravách vztahy v1 + v 2 + v3 + U 1 = 0, − v1l5 cos l1 + v2l 4 cos l2 + v4 sin l 2 − v5 sin l1 + U 2 = 0,

kde uzávěry jsou:

(5.2.13)

− v1l6 cos l1 + v3l 4 cos l3 + v 4 sin l3 − v6 sin l1 + U 3 = 0, U 1 = l1 + l 2 + l3 − 180°, U 1 = l 4 sin l2 − l5 sin l1 , U 1 = l 4 sin l3 − l6 sin l1.

85

(5.2.14)

Počet podmínkových rovnic r = 3 a počet měřených veličin n = 6. Rozepišme matici B a vektor U, viz rov. (4.3.3) a (4.3.2). S uvážením rov. (5.2.13) a (5.2.14) dostáváme 1 1   B =  − l5 cos l1 l 4 cos l2 3×6  − l cos l 0 1  6

1

0

0

0

sin l2

− sin l1

l4 cos l3

sin l3

0

  0  − sin l1  0

(5.2.15)

 U1    U = U 2  3×1 U   3

Abychom vyhověli požadavkům v kap. 5.1.1 o zavádění vah, je nutno uvážit střední chyby naměřených veličin. Případ 1) Podle [6, s. 260] platí pro úhly m1, 2, 3 = ±1′′ a pro délky m4,5, 6 = ±1 dm. Podle kap. 5.1.1 zavedeme dále konstantu k = 1, takže váhy všech měřených veličin jsou 1. Rozměry středních chyb jsou ″ a dm, takže váhy jsou bezrozměrné. Pro uvedený příklad použijeme l1 = 63°19′25,20″ l2 = 75°13′21,10″ l3 = 41°27′12,40″

l4 = 287 356,6 dm l5 = 310 948,9 dm l6 = 212 895,5 dm

Pomocí nich a rov. (5.2.15) naplňujme rovnice v kap. 4.3.1. dostáváme 0 0 0 0 0  1  1 0 0 0 0  0  0 0 1 0 0 0  0 0 1 0 0  0  P ΒΤ     0 0 0 1 0 Β 0  =  0    0 0 0 0 0 1 9×9  1 1 0 0 0  1  − 0,677 0,355 0 0,967 − 0,894 0  0 1,044 0,662 0 − 0,894  − 0,463

Pro výrazy v rov. (4.3.7) 1 − 0,677 − 0,463   1 0,355 0  1 0 1,044   0 0,967 0,662  0 − 0,894 0  0 0 − 0,894   0 0 0  0 0 0   0 0 0 

U T = (− 1,3′′ 1,384 dm − 0,938 dm ) , takže, viz rov. (4.3.8), výsledky jsou v T = (0, 491′′ − 0,069′′ 0,878′′ − 0,382 dm 0,736 dm − 0,560 dm )

k T = (− 0,224 0,824 − 0,626 )

Což je v souladu s [6, s. 262]. Případ 2) Druhá varianta výpočtu, ověřující kap. 5.1.1 o zavádění vah, vyjadřovala opětně úhly ve ″, ale délky v metrech. Střední chyby, co do velikosti, zůstaly stejné, takže m1, 2, 3 = ±1′′ , ale m4,5,6 = ±0,1 m! Rovněž konstanta k = 1, takže váhy úhlů p1, 2,3 = 1 , ale délek p4, 5, 6 = 100 a opět byly bezrozměrné. Výpočet prošel stejným algoritmem a dal opět výsledky výše uvedené.

86

5.3

Vyrovnání geodetických sítí ve 2D prostoru pomocí zprostředkujících pozorování

Rovněž i zde upozorňujeme, že tato kapitola navazuje na kap. 4.4 a doporučujeme svědomitému čtenáři jí pročíst. Základní, a pro nás zde výchozí, jsou vztahy

P = Q −1 ,

Ax + L = v,

viz rov. (4.4.2), v níž dx přešlo v x. Vektor x je vektor neznámých, kterými budou opravy dxi, dyi, doi přibližných hodnot souřadnic x0, y0 bodů Pi sítě a ev. i orientačních posunů oi na bodech Pi, pokud půjde o vyrovnání směrů. Pokud půjde o vyrovnání úhlů αi, pak odpadají orientační posuny a tudíž i jejich opravy. Měřenými veličinami by tedy opět byly úhly αi a délky stran si. A tento případ si zvolíme k demonstrování potřebných zprostředkujících rovnic oprav a k vyrovnání tohoto typu geodetických sítí podle zprostředkujících měření/pozorování MNČ. Je též nazýváno vyrovnáním souřadnicovým. y

Pj sij

sij

sij

ajik Pi sik Pk x

Obr. 5.3.1

Zprostředkující rovnice oprav pro měřenou délku strany PiPj, obr. 5.3.1. Nechť sij, s 0ij , l sij a v sij představuje bezchybnou (správnou) délku, přibližně známou, naměřenou a její opravu. Pak

platí, že sij = s 0ij + d sij = l sij + vsij ,

(5.3.1)

kde dsij je totální diferenciál funkce

sij2 = (x j − xi ) + ( y j − yi ) 2

2 *)

(5.3.2)

a zní d sij =

x0 j − x0 i sij

(d x

j

− d xi ) +

y 0 j − y 0i sij

(d y

j

− d yi ) ,

(5.3.3)

kde index 0 značí jejich přibližně známé hodnoty. Rov. (5.3.3) dosadíme do rov. (5.3.1), upravíme a dostaneme −

*)

x 0 j − x 0i sij

d xi +

x0 j − x0 i sij

d xj −

y0 j − y0 i sij

Připojením (zj - zi )2 vstupujeme do 3D prostoru

87

d yi +

y0 j − y0i sij

d y j + Lsij = v sij ,

(5.3.4)

kde Lsij = s 0ij − l sij . Délku s0ij vypočteme z rov. (5.3.2) dosazením přibližně známých hodnot

x0i, ..., y0i. Zprostředkující rovnice oprav pro směr PiPj, obr. 5.3.1. Nechť σij, σ0ij, lσ ij , ∆σij a vσ ij představuje správný směrník, přibližný, naměřený, orientační posun a jeho náhodnou

opravu. Pak platí, že

σ ij = σ 0ij + d σ ij = lσ + ∆σ ij + vσ , ij

(5.3.5)

ij

kde dσij je totální diferenciál funkce

σ ij = arctg

x j − xi y j − yi

,

(5.3.6)

a zní d σ ij = −

y 0 j − y0 i s

2 0ij

d xi +

y0 j − y0i s

2 0 ij

d xj +

x 0 j − x 0i s

2 0 ij

d yi −

x0 j − x0i s02ij

d yj .

(5.3.7)

Rov. (5.3.7) dosadíme do rov. (5.3.5), upravíme a dostaneme

−

y0 j − y0i s02ij

d xi +

y 0 j − y 0i s 02ij

d xj +

x0 j − x0 i s02ij

d yi −

x 0 j − x 0i s 02ij

d yj −

(5.3.8)

− ∆σ ij + Lσ ij = vσ ij

kde prostý člen Lσ ij = σ 0ij − lσ ij . Směrník σ0ij vyjádříme z rov. (5.3.6) dosazením přibližně

známých hodnot x0i, ..., y0j. Stejně tak se sestaví rovnice oprav pro opravy směru Pj, Pi a směry zbývající. Zprostředkující rovnice pro úhel PjPiPk, obr. 5.3.1. Podle rov. (5.3.8) získáme zprostředkující rovnice oprav i pro spojnici PiPk, když v rov. (5.3.8) zaměníme index j indexem k. Má tvar −

y 0 k − y 0i y −y x −x x −x d x i + 0 k 2 0i d x k + 0 k 2 0 i d y i − 0 k 2 0 i d y k − 2 s0ik s 0ik s 0ik s0ik

(5.3.8´)

− ∆σ ik + Lσ ik = vσ ik

kde Lσ ik = σ 0ik − lσ ik . Od rov. (5.3.8´) odečteme rov. (5.3.8) a dostaneme zprostředkující linearizovanou rovnici oprav pro úhel αijk, viz obr. 5.3.1. Zní  y0 k − y 0 i y0 j − y0 i − + 2  s s02ij 0 ik 

x −x x 0 j − x 0i +  0 k 2 0i −  s s 02ij 0 ik 

kde

 y − y0 i y −y  d xi − 0 j d x j + 0 k 2 0 i d xk + 2  s 0ik s0ij 

 x − x0i x −x  d yi + 0 j d y j − 0 k 2 0i d yk + 2  s 0ik s0ij  + Lα jik = vα jik

Lα jik = Lσ ik − Lσ ij = σ 0ik − lσ ik − σ 0ij + lσ ij = α 0 jik − lα jik ,

α 0 jik = σ 0ik − σ 0ij ,

(5.3.9)

se

zjistí

dosazenim přibližně známých souřadnic x0i, y0i, x0j, y0j, x0k, y0k do rov. (5.3.6) a vα jik = vσ ik − vσ ij je náhodná oprava naměřeného úhlu lσ jik .

88

Rov. (5.3.4), (5.3.8) resp. (5.3.8´) a (5.3.9) jsou základními rovnicemi pro vyrovnání rovinných geodetických sítí podle zprostředkujících měření/pozorování, jsou-li měřeny úhly a délky stran nebo směry/azimuty a délky stran. Toto vyrovnání se též nazývá souřadnicové vyrovnání. Při použití předchozích rovnic je nutno věnovat zvýšenou pozornost zaváděným jednotkám. Ve tvaru předchozích rovnic jsou délky vyjádřeny v délkových jednotkách, úhly a směry v radiánech. Chceme-li je mít např. ve stupních, je třeba je vynásobit π atp. 180° Obecné řešení této úlohy ve 3D prostoru je v kap. 6.3.

LITERATURA: [1] Böhm J., Radouch V., Hampacher M.: Teorie chyb a vyrovnávací počet. Vydal Geodetický a kartografický podnik, Praha 1990. [2] Böhm J., Hora L., Kolenatý E.: Vyšší geodézie.Vydavatelství ČVUT, Praha 1979. [3] Kabeláč J.: Geodetické metody vyrovnání – metoda nejmenších čtverců. ZČU, Plzeň 2004. [4] Kesl M.: Podmínková pozorování. Seminární úloha. ZČU, Plzeň 2004. [5] Ryšavý J.: Vyšší geodesie. Nakladatelství ČMT, Praha 1947. [6] Vykutil J.: Vyšší geodézie. Vydavatelství Kartografie, Praha 1982.

89

90

6 Trojrozměrná geodézie – 3D 6.1

Teoretické základy 3D geodézie

6.1.1 Úvod Trojrozměrná geodézie má svůj původ v práci H. Brunse z r. 1878 „Die Figur der Erde, ein Beitrag zur europäischen Gradmessung“. Jejím cílem je určení pravoúhlých prostorových souřadnic x,y,z libovolného bodu povrchu Země v systému, jehož počátkem je těžiště Země. V témže systému vyjadřuje i směry. K tomuto účelu mají sloužit veškerá klasická i moderní měření: úhlová, délková, nivelační měření, měření tíhová, dále hvězdná triangulace, měření na Měsíc, na umělé družice Země (UDZ) a měření na vzdálené mimogalaktické objekty. Zde uvedená měření lze dělit do tří skupin: 1) statistická měření – obvyklá měření, 2) kinetická měření – sledující změny, 3) dynamická měření – sledující příčiny změn. Též možno říci, že geodetická měření slouží především k určení rozměru a tvaru, astronomická k orientaci a tíhová k definování vztažné plochy. I když klasická geodézie používala též tří rozměrů, záměrně oddělovala – na rozdíl od trojrozměrné geodézie – měření polohopisná a měření výšková, a to tím způsobem, že polohopisné úlohy řešila na referenční ploše, výškopis pak mimo ni. Zatímco polohová měření byla vztažena k ploše geometrické, výšková k ploše hladinové – tedy definované fyzikálně. Dalším nedostatkem bylo to, že naměřené údaje, např. při stupňových měřeních, bylo nutno redukovat určitým způsobem na plochu referenční – jíž byl obvykle rotační elipsoid – leč tato plocha má být výsledkem měření. zenit

sever a

z

s hladinová plocha elipsoid

H

Obr. 6.1.1

Trojrozměrná geodézie má uvedené nedostatky odstranit či alespoň zásadně potlačit. Bruns ideu prostorové triangulace demonstruje na polyedru, obr. 6.1.1, jehož vrcholy jsou trigonometrické body prostorové sítě. Veličiny, vázané na směr tíže (azimut, zenitová vzdálenost) jsou vztaženy ke svislicím v těchto bodech, jejichž směr je dán zeměpisnou šířkou

91

astronomickou a zeměpisnou délkou astronomickou. Další veličiny jsou invariantní délka hran polyedru a refrakční koeficienty. V tomto modelu je možno provádět libovolné početní operace a tak řešit úlohy geodézie. Pro redukci – která již ovšem nemá význam redukce klasické geodézie – přistupují geopotenciální kóty a pro řešení geocentričnosti systému – hodnoty tíže. I když základy trojrozměrné geodézie byly položeny Brunsem v předminulém století, uplatňuje se tato disciplína prakticky teprve až v současné době, a to především proto, že dochází k použití samočinných počítačů, které usnadňují velice zdlouhavé a obsažné výpočty, které jsou typické pro trojrozměrnou geodézii a jsou jejím nedostatkem oproti klasické. Dále byly rozpracovány některé teoretické problémy především pracemi, které uveřejnili Moloděnský, Hotine, Marussi, Dufour a v současnosti další. Z našich pracovníků uveďme Hradilka. Trojrozměrná pozemní geodézie je harmonickým protějškem družicové geodézie. Definice veličin, výpočetní postupy, souřadnicové systémy a i celkové pojetí úloh je velmi podobné. Proto jednou z příčin vzestupu trojrozměrné prostorové geodézie je rovněž použití UDZ pro účely řešení geodetických úloh. V současné době existují již speciální studijní skupiny Mezinárodní geodetické a geofyzikální unie, jejichž úkolem jsou studie i praktická měření v oboru trojrozměrné pozemní i družicové triangulace a jejich nejvhodnější spojení. Programem těchto skupin je: 1) Systematický průzkum možností určování pozemních sítí pomocí souřadnic, vzdáleností a směrů získaných z družicových sítí. Numerický průzkum na sférických modelech a propojení světových, kontinentálních, národních a místních sítí. 2) Vypracovat praktické návrhy pro zpevnění kontinentálních a národních sítí včetně studia přesnosti. 3) Systematický výzkum možností doplnění družicových sítí pro velká území včetně světové, pomocí pozemních měření. 4) Vypracovat praktické návrhy světové a kontinentálních družicových sítí*). 5) Návrhy pro společné vyrovnání pozemních a družicových naměřených dat*). Úkolem této kap. 6 „Trojrozměrná geodézie – 3D“ je přispět především k řešení problematiky pozemních prostorových sítí, aby tak co nejvhodněji charakterem měřické a výpočetní metodiky navazovaly na družicové sítě. Dříve než přistoupíme k řešení konkrétních problémů, které jsou předmětem následujících kapitol, uvedeme v této první odvození zprostředkujících rovnic oprav pro vyrovnání prostorové sítě. Podmínková měření přistoupí později. 6.1.2 Teoretické základy trojrozměrné geodézie Trojrozměrná geodézie používá měřených geodetických veličin: vodorovný směr a nebo vodorovný úhel ω, zenitová vzdálenost z a délka spojnice s; odvozených geodetických veličin: šířka B, délka L (kladná na východ) a elipsoidická výška H; měřených astronomických veličin: šířka ϕ, délka λ (kladná na východ) a azimut α. Je-li měřena zenitová vzdálenost, je nutno určovat i refrakční koeficient R. Pro delší záměry je nutno ji nahradit údaji výškovými (získanými z nivelačních měření) a astronomicko-geodetickými. Úkolem *)

Překonáno a pokračuje se.

92

geodetických veličin je určit velikost a tvar zaměřované sítě. Úkolem astronomických veličin pak její orientaci vůči hvězdám, tj. vůči rotační ose Země (zajišťuje ϕ a λ) a vůči základnímu poledníku (zajišťuje λ). Hledanými, výslednými veličinami jsou opravy geodetických a astronomických veličin, rov. (6.1.28). Zde uvedený text vychází z [4], i když existuje řada prací dalších, modernějších. Z nich uveďme aspoň [2], který vyvozuje rovnice oprav přímo z měřených dat, bez použití souřadnic rovníkového systému, viz dále.

Obr. 6.1.1

6.1.2.1 Souřadnicové systémy a základní vztahy Nejprve definujme pravoúhlý souřadnicový systém obzorníkový s = o(x, y, z), jehož počátek volíme v bodě Pi, který leží na topografickém povrchu Země, obr. 6.1.2. Osa z je totožná se svislicí a směřuje k zenitu bodu Pi, osa y směřuje k astronomickému severu a osa x k astronomickému východu. Osy x,y leží v obzorníkové rovině, tečné k hladinové ploše v bodě Pi. Dále zvolíme bod Pj, jehož pravoúhlé souřadnice v systému s jsou x j = sij sin z ij sin α ij , y j = sij sin zij cos α ij , z j = sij cos z ij ,

(6.1.1)

kde sij je délka spojnice PiPj, zij její zenitová vzdálenost měřená z bodu Pi na bod Pj a αij astronomický azimut téže spojnice, měřený od astronomického severu kladně na východ. Dále definujeme pravoúhlý souřadnicový systém rovníkový S = O(X, Y, Z), obr. 6.1.3, jehož počátek O leží ve středu referenčního elipsoidu, použitého pro danou geodetickou síť. Osa Z je totožná s malou osou elipsoidu a směřuje na sever, osa X leží v průsečnici základního geodetického poledníku s geodetickým rovníkem a osa Y leží rovněž v rovině geodetického rovníku a má L = 90°. Souřadnice bodů Pi a Pj v rovníkovém systému S označíme (X, Y, Z)i a (X, Y, Z)j. Mezi souřadnicemi systémů s a S platí vztahy

(x , y , z )

T

j

j

j

= R (X j − X i , Y j − Yi , Z j − Z i ) , T

93

(6.1.2)

Obr. 6.1.1

kde index T značí transponované matice. Matice rotace R v obecném tvaru zní  cos xX  R =  cos yX  cos zX 

cos xY cos yY cos zY

cos xZ   cos yZ  cos zZ 

(6.1.3)

kde xX, ... značí úhly sevřené osami x a X, ... Označme ϕi, λi astronomické souřadnice bodu Pi. Na obr. 6.1.4 představují body X, Y, Z průsečíky odpovídajících os s jednotkovou sférou. Systém rovníkový S otočíme nejprve o úhel 90° + λi kolem osy Z, takže osy X, Y přejdou do poloh x´, y´. Dále osy y´, Z otočíme o úhel 90° – ϕi kolem osy x´, čímž přejdeme do obzorníkového systému s. Kosiny úhlů xX, ... v rov. (6.1.3) získáme ze sférických trojúhelníků o vrcholech x, X, Z, ..., viz obr. 6.1.4. Po dosazení rov. (6.1.3) do (6.1.2) pak dostaneme

x j = −( X j − X i )sin λi + (Y j − Yi )cos λi ,

y j = −( X j − X i )sin ϕi cos λi − (Y j − Yi )sin ϕi sin λi + (Z j − Z i )cos ϕi ,

z j = (X j − X i )cos ϕi cos λi + (Y j − Yi )cosϕi sin λi + (Z j − Z i )sin ϕi ,

Obr. 6.1.2

94

(6.1.4)

přičemž sij2 = (X j − X i ) + (Y j − Yi ) + (Z j − Z i ) , 2

2

2

(6.1.5)

Podle obr. 6.1.2 platí pro astronomický azimut a zenitovou vzdálenost vztahy tg α ij =

xj yj

, cos zij =

zj sij

.

Po dosazení rov. (6.1.4) a (6.1.5) dostáváme tg α ij =

− (X j − X i )sin λi + (Y j − Yi )cos λi

− (X j − X i )sin ϕi cos λi − (Y j − Yi )sin ϕi sin λi + (Z j − Z i )cos ϕi

cos zij =

(X

j

− X i )cos ϕi cos λi + (Y j − Yi )cos ϕi sin λi + (Z j − Z i )sin ϕi

[(X

− X i ) + (Y j − Yi ) + (Z j − Z i ) 2

j

2

2

]

1

2

,

(6.1.6)

,

(6.1.7)

které společně s rov. (6.1.5) podávají základní vztahy trojrozměrné geodézie podle teorie uvedené v [1]. Připomeňme však, že počátek O není totožný s těžištěm Země a osy X, Y, Z jsou vůči odpovídajícím osám astronomického systému stočeny o malé úhly, které mají příčinu v hromadění systematických chyb triangulačních měření. Jestliže bychom chtěli použít rov. (6.1.4), (6.1.6) a (6.1.7) pro společné vyrovnání s měřeními družicovými nebo kosmickými*), bylo by nutno k těmto rovnicím, jakož i k dále uvedeným rovnicím oprav připojit opravné členy z neparalelnosti odpovídajících si os a z netotožnosti počátku O a těžiště Země, případně zavést nové neznámé, [1]. Odvození diferenciálů neznámých veličin v rovníkovém systému

Dříve než budou sestaveny zprostředkující rovnice oprav, je nutno rov. (6.1.5), (6.1.6) a (6.1.7) linearizovat. Bude platit d α ij = ∑ J

∂α ij ∂α ∂s d J , d zij = ∑ ij d J , d sij = ∑ ij d J , ∂J ∂J J J ∂J

(6.1.8)

kde dJ jsou hledané neznámé opravy jednak souřadnic, J = Xi, Yi, Zi, Xj, Yj a Zj, jednak měřených veličin, J = ϕi a λi. Odvození diferenciálu dαij astronomického azimutu αij Z tvaru rov. (6.1.6) vyplývá ∂α ij ∂X i

=−

∂α ij ∂X j

,

∂α ij ∂Yi

=−

∂α ij ∂Y j

,

∂α ij ∂Z i

=−

∂α ij ∂Z j

,

proto odvodíme parciální derivace pouze pro veličiny s indexem i. S použitím rov. (6.1.4) a (6.1.1) platí, že

*)

Např. laserová měření na Měsíc apod.

95

 sin λi x j sin ϕ i cos λi  = = cos 2 α ij  − 2  y  ∂X i y j  i  1 (sin λi cosα ij − sin ϕ i cos λi sin α ij ) , = sij sin z ij

− Aij(1) ≡

− Aij(2 ) ≡ − Aij(3) ≡ Aij(4 ) ≡ Aij(5 ) ≡

∂α ij

∂α ij ∂Yi ∂α ij ∂Z i ∂α ij ∂ϕ i ∂α ij ∂λi

= =

1 (− cos λi cosα ij − sin ϕi sin λi sin α ij ) , sij sin z ij cosϕ i sin α ij sij sin z ij

(6.1.9)

,

= sin α ij cos z ij , = sin ϕ i − cosϕ i cos α ij cotg z ij .

Podle rov. (6.1.8), s užitím pomocných symbolů Aij, má diferenciál dαij astronomického azimutu tvar d α ij = Aij(1) (d X j − d X i ) + Aij(2 ) (d Y j − d Yi ) + Aij(3) (d Z j − d Z i ) + Aij(4 ) d ϕi + Aij(5 ) d λi .

(6.1.10)

Odvození diferenciálu dzij zenitové vzdálenosti zij Z tvaru rov. (6.1.7) je patrno, že platí ∂z ij

=−

∂X i

∂z ij ∂X j

,

∂z ij ∂Yi

=−

∂z ij ∂Y j

,

∂z ij ∂Z i

=−

∂z ij ∂Z j

.

Proto opět odvodíme parciální derivace pouze pro veličiny s indexem i. S použitím rov. (6.1.4) a (6.1.1) dostaneme parciálním derivováním rov. (6.1.7)

∂zij ∂X i ∂zij ∂Yi

= =

sij cos ϕi cos λi − (X j − X i )cos zij sij2 sin zij

sij cos ϕ i sin λi − (Y j − Yi )cos zij sij2 sin zij

,

,

(6.1.11)

∂zij sij sin ϕi − (Z j − Z i )cos zij . = sij2 sin zij ∂Z i

Abychom vyloučili rozdíly rovníkových pravoúhlých souřadnic, přepíšeme rov. (6.1.2) do tvaru

(X

− X i , Y j − Yi , Z j − Z i ) = R −1 (x j , y j , z j ) , T

j

T

kde R-1 je inverzní matice k matici R, rov. (6.1.2) a (6.1.3). Za xj, yj, zj dosadíme z rov. (6.1.1) a dostaneme výrazy

96

X j − Xi sij

= − sin λi sin α ij sin zij − sin ϕ i cos λi cos α ij sin zij + + cosϕ i cos λi cos zij ,

Y j − Yi sij

= cos λi sin α ij sin zij − sin ϕ i sin λi cos α ij sin zij +

(6.1.12)

+ cosϕ i sin λi cos zij , Z j − Zi sij

= cos ϕi cos α ij sin zij + sin ϕi cos zij ,

které dosadíme do rov. (6.1.11) a po úpravě získáme − Bij(1) ≡

∂z ij ∂X i

[

1 (sin λi sin α ij + sin ϕ i cos λi )cos z ij + s ij

=

]

+ cos ϕ i cos λi sin z ij , − Bij(2 ) ≡

∂z ij ∂Yi

=

[

1 (− cos λi sin α ij + sin ϕ i sin λi cos α ij )cos z ij + s ij

(6.1.13)

]

+ cos ϕ i sin λi sin z ij , − Bij(3) ≡

∂z ij ∂Z i

=

1 (− cos ϕ i cosα ij cos zij + sin ϕ i sin z i ) . s ij

Zbývající dvě parciální derivace, opět s užitím rov. (6.1.7), (6.1.4) a (6.1.1), jsou Bij(4 ) ≡ (5 )

Bij

∂zij ∂ϕ i

= − cos α ij ,

∂z ≡ ij = − cos ϕi sin α ij . ∂λi

(6.1.13)

Po zavedení pomocných symbolů Bij má diferenciál dzij zenitové vzdálenosti tvar, viz rov. (6.1.8), d zij = Bij(1) (d X j − d X i ) + Bij(2 ) (d Y j − d Yi ) + Bij(3) (d Z j − d Z i ) + Bij(4 ) d ϕ i + Bij(5 ) d λi .

(6.1.14)

Odvození diferenciálu dsij délky spojnice sij S použitím rov. (6.1.12) získáme jednoduše z rov. (6.1.5) parciální derivace Cij(1) ≡

∂sij ∂X j

=−

∂sij ∂X i

= (− sin λi sin α ij − sin ϕ i cos λi cos α ij )sin z ij +

+ cos ϕ i cos λi cos z ij ,

(6.1.15)

97

Cij(2 ) ≡

∂zij

=−

∂Y j

∂z ij ∂Yi

= (cos λi sin α ij − sin ϕi sin λi cos α ij )sin zij +

+ cos ϕ i sin λi cos zij ,

Cij(3) ≡

∂zij ∂Z j

=−

∂zij ∂Z i

= cos ϕi cos α ij sin zij + sin ϕ i cos zi .

S užitím pomocných symbolů Cij má diferenciál dsij délky spojnice tvar, viz rov. (6.1.8) d s ij = C ij(1) (d X j − d X i ) + C ij(2 ) (d Y j − d Yi ) + C ij(3 ) (d Z j − d Z i ) .

(6.1.16)

Odvozených diferenciálů v rov. (6.1.10), (6.1.14) a (6.1.16) bychom použili pro sestavení rovnic oprav, jestliže bychom za neznámé, hledané veličiny považovali právě opravy dXi, ... dZj pravoúhlých prostorových souřadnic v souřadnicové soustavě rovníkové a opravy dϕi, dλi bodů Pi a Pj. Ovšem s ohledem na odst. za rov. (6.1.7). 6.1.2.2 Vyjádření diferenciálů neznámých veličin v obzorníkovém systému Často se však ukazuje výhodným diferenciály dXi, ... dZj vyjádřit pomocí diferenciálů v systému obzorníkovém především již proto, že měření jsou konána právě v tomto systému. Při převodu se vychází ze známých vztahů pro výpočet pravoúhlých souřadnic X, Y, Z v referenčním geodetickém systému S. Platí (indexy i, j jsou vynechány) X = (N + H ) cos B cos L, Y = ( N + H ) cos B sin L,

(

)

Z = N + H − Ne 2 sin B,

(6.1.17)

kde H je elipsoidická výška a N = a 1 − e 2 sin 2 B je příčný poloměr křivosti (a, e je hlavní poloosa a číselná výstřednost poledníkové elipsy daného referenčního rotačního elipsoidu). Rov. (6.1.17) derivujeme, diferenciály dX, dY, dZ vyjádříme pomocí diferenciálů dB, dL, dH a tyto ještě nahradíme diferenciály dx, dy v obzorníkové rovině, obr. 6.1.2. Diferenciál dH leží na svislici t, tedy v ose z, a proto jej ponecháme. Platí, obr. 6.1.2,

(

)

−1 2

d x = ( N + H ) cos B d L, d y = (M + H ) d B, d z = d H .

(6.1.18)

Diferenciály dX, dY, dZ pak mají tvar d X = − sin L d x − sin B cos L d y + cos B cos L d H , d Y = cos L d x − sin B sin L d y + cos B sin L d H , d Z = cos B d y + sin B d H .

(6.1.19)

Po zavedení symbolů i, j do rov. (6.1.19) dostáváme

d X   M 11     d Y  =  M 21 dZ     ind  M 31

M 12 M 22 M 32

M 13   d x     M 23   d y  , M 33  ind  d H ind

kde mezi prvky čtvercové matice a koeficienty při neznámých diferenciálech dx, dy, dH v rov. (6.1.19) platí identita. Např.

98

(M 11 )ind

= − sin Lind , atd.,

kde ind = i, j. Nyní se vraťme k rov. (6.1.10), (6.1.14) a (6.1.16), které přepíšeme do společného vztahu. Zní  A (1) dα   (1)   dz =B  (1) ds   ij  C

A (2 ) B (2 ) C (2 )

A (3 )   B (3 )  C (3) 

  d X   d X    A (4 )      (4 )   −  d Y  +  d Y   +  B  dZ  dZ    0 i  j  ij  

A (5 )   B (5 )  0 

dϕ    .  d λ i ij

A platí pro záměru z bodu Pi na bod Pj, obr. 6.1.2. Význam symbolů Aij(1) , ..., Cij(3) udávají rov. (6.1.9), (6.1.13) a (6.1.15). Do této rovnice dosadíme předcházející a dostáváme (1) A(2 ) A(3 )    M 11 M 12 M 13   d x   M 11 M 12 M 13   d x    dα   A       (1) B (2 ) B (3 )  −  M 21 M 22 d z  = B  d s   C (1) C (2 ) C (3 )    M  ij  ij   31 M 32  A( 4 )  +  B (4 )   0

A (5 )   B (5 )   0 

   M 23   d y  +  M 21 M 33 i  d H i  M 31

M 22 M 32

    M 23   d y   + M 33  j  d H  j  

 dϕ    .  d λ i ij

Kdybychom nyní provedli naznačení úlohy, dostáváme koeficienty při neznámých dxi, ... dλi a dxj, dyj, dHj. Zaveďme

d α ij = ∑ aij( I ) d I , d zij = ∑ bij(I ) d I , d sij = ∑ cij(I ) d I , 8

8

6

I =1

I =1

I =1

(6.1.20)

kde dI jsou nové neznámé opravy vztažené k systému obzorníkovému. Jest I = 1, 2, ... 8, přičemž 1 = xi, 2 = yi, 3 = Hi, 4 = xj, 5 = yj, 6 = Hj, 7 = ϕi a 8 = λi*). Koeficienty pro totální diferenciál dα jsou aij(1) = −A ij (M 11

aij(2 ) = − A ij (M 12 aij(3 ) = −A ij (M 13

M 21

M 31 )i ,

M 22

M 32 )i ,

M 23

M 33 )i ,

T

T

T

aij( 4 ) = A ij (M 11

M 21

aij(5 ) = A ij (M 12

M 31 ) j ,

M 22

aij( 6 ) = A ij (M 13

M 32 ) j ,

M 23

M 33 ) j ,

T

T

T

(6.1.21) aij( 7 ) = A (ij4 ) , aij(8 ) = A ij(5 ) ,

kde A ij = ( Aij(1) Aij(2 ) Aij(3) ) . Pro totální diferenciály dZij a dβij platí obdobné tvary, pouze symboly A zaměníme za symboly B a C. Tvary (6.1.21) je možno nahradit jinými, viz [3].

*)

I = 1, ..., 6 značí veličiny odvozené a I = 7 a 8 veličiny měřené.

99

V případě diferenciálu dsij odpadají poslední dva výrazy s dϕ a dλ (indexy jsou vynechány). Astronomické souřadnice ϕ, λ v rov. (6.1.21) je možno nahradit geodetickými souřadnicemi B, L (indexy jsou vynechány). 6.1.2.3 Zprostředkující rovnice oprav Tato část je již přípravou pro závěrečné vyrovnání zprostředkujících pozorování MNČ. Navazuje tak na kap. 4.4. Měřenými veličinami jsou: vodorovný směr aij nebo vodorovný úhel ωkij, zenitová vzdálenost zij (pouze u kratších vzdáleností), délka strany sij, astronomický azimut αij, astronomická šířka ϕi a astronomická délka λi. Každá naměřená veličina poskytuje jednu zprostředkující rovnici oprav. V následujícím budou odvozeny jejich linearizované tvary. Rovnici oprav pro vodorovný směr sestavíme podle obr. 6.1.5. Body Pi, Pj představují vyrovnáním určované (hledané) polohy a body Pio, Pjo přibližné (dané). Dále αij a αijo je vyrovnaný a přibližný astronomický azimut, aij + vaij měřený směr a jeho oprava, dαij, viz první rov. (6.1.20), vliv nesprávných poloh bodů Pio, Pjo a vliv nesprávného směru svislice, která je dána přibližně známými astronomickými souřadnicemi ϕio a λio (na obr. 6.1.5 je znázorněn jen vliv z nesprávných poloh) a d∆ai orientační posun. Podle obr. 6.1.5 platí d ∆ai + aij + vaij = α ijo + d α ij .

Obr. 6.1.1

Dosadíme-li za dαij z první rov. (6.1.20), dostaneme − d ∆ai + aij(1) d xi + aij(2 ) d yi + aij(3 ) d H i + aij( 4 ) d x j + aij(5 ) d y j + aij(6 ) d H j + + aij(7 ) d ϕi + aij(8 ) d λi + α ijo − aij = vaij (1)

(6.1.22)

kde koeficienty aij , ... jsou dány vztahy (6.1.21) a αijo se určí z rov. (6.1.6) a (6.1.17), do kterých dosadíme přibližně známé geodetické a astronomické veličiny. O výrazu d∆ai předpokládáme, že je dostatečně malý.

100

Rovnici oprav pro zenitovou vzdálenost sestavíme podle obr. 6.1.6. Úhly Zij a zijo představují vyrovnanou a přibližnou zenitovou vzdálenost, zij + vzij měřenou zenitovou vzdálenost a její opravu (u kratších vzdáleností), dzij1 a dzij2, viz 2. rov. (6.1.20), vliv nesprávných poloh bodů Pio, Pjo a vliv nesprávného směru svislice, daný přibližně známými astronomickými souřadnicemi ϕio a λio. Výraz 0,5ψ ij Rij vyjadřuje vliv refrakce na měřenou zenitovou vzdálenost, v němž je ψij úhel svislic v bodech Pi, Pj a Rij je refrakční koeficient. Podle obr. 6.1.6 platí 0,5ψ ij Rij + z ij + v zij = z ijo + d z ij1 + d z ij 2 .

Dosadíme za dzij1 + dzij2 výraz dzij, viz druhá rov. (6.1.20), dostaneme − 0,5ψ ij d Rij + bij(1) d x i + bij(2 ) d y i + bij(3) d H i + bij(4 ) d x j + bij(5 ) d y j + + bij(6 ) d H j + bij(7 ) d ϕ i + bij(8 ) d λi + z ijo − z ij − 0,5ψ ij Rijo = v z ij ,

(6.1.23)

(1)

kde koeficienty bij , ... určíme pomocí vztahů (6.1.21), zijo z rov. (6.1.7) a (6.1.17), do kterých dosadíme přibližně známé geodetické a astronomické veličiny, Rijo je přibližně známá hodnota refrakčního koeficientu a d Rij jeho oprava. Zenitová vzdálenost při délkách stran větších než asi 15 km bývá nahrazována výškovými nivelačními údaji, délkami stran a pod. Důvodem je skutečnost, že zenitovou vzdálenost pro větší délky stran není možno věrohodně zaměřit pro velké a nepravidelné chyby z refrakce. Tato skutečnost je detailně projednána v [5]. Rovnice oprav pro délku strany zní sij + vsij = sijo + d sij

kde naměřené hodnotě strany sij byla přisouzena oprava vsij. Za diferenciál dsij, představující vliv nesprávných poloh bodů Pio, Pjo, dosadíme třetí rov. (6.1.20) a dostaneme cij(1) d xi + cij(2 ) d yi + cij(3 ) d H i + cij(4 ) d x j + cij(5 ) d y j + cij(6 ) d H j + sijo − sij = vsij ,

(6.1.24)

(1)

kde koeficienty cij , ... určíme pomocí vztahů (6.1.21) a sijo z rov. (6.1.5) a (6.1.17), do kterých dosadíme přibližně známé geodetické veličiny. Rovnici oprav pro astronomický azimut sestavíme podle obr. 6.1.5. Platí

α ij + vα = α ijo + d α ij , ij

kde naměřené hodnotě astronomického azimutu αij byla přisouzena oprava vαij (v obr. 6.1.5

není znázorněno). Za diferenciál dαij, představující vliv nesprávných poloh bodu Pio, Pjo a vliv nesprávného směru svislice, dosadíme první rov. (6.1.20) a dostaneme aij(1) d xi + aij(2 ) d yi + aij(3) d H i + aij(4 ) d x j + + aij(5 ) d y j + aij(6 ) d H j + aij(7 ) d ϕ i + aij(8 ) d λi + α ijo − α ij = vα , ij

101

(6.1.25)

(1)

kde koeficienty aij , ... určíme ze vztahů (6.1.21) a αijo z rov. (6.1.6) a (6.1.17), do kterých dosadíme přibližně známé geodetické a astronomické veličiny.

Obr. 6.1.2

Rov. (6.1.25) obsahuje naměřený astronomický azimut αij, rov. (6.1.22) vodorovný směr aij a orientační posun d∆ai. V tom je jejich rozdíl. Rovnice oprav pro astronomickou šířku a astronomickou délku jsou d ϕi + ϕio − ϕi = vϕi

(6.1.26)

d λi + λio − λi = vλi

(6.1.27)

kde naměřeným hodnotám šířky ϕi a délky λi byly přisouzeny opravy vϕi a vλi. Za přibližně

známé hodnoty ϕio, λio je možno zvolit hodnoty naměřené. Pak neznámé diferenciály dϕi, dλi jsou rovny opravám vϕi a vλi. Rovnici oprav pro vodorovný směr je možno nahradit rovnicí oprav pro vodorovný úhel. Podle obr. 6.1.5 vznikne odečtením dvou rovnic typu (6.1.22), sestavené pro spojnice PiPj a PiPk. Její výhodou oprati původní rov. (6.1.22) je vyloučení neznámého orientačního posunu d∆ai, který nevystupuje pak ani v rov. (6.1.28). Linearizované rovnice oprav (6.1.22-27) obsahují neznámé opravy vztažené k systému obzorníkovému. Jestliže bychom užili při sestavování linearizovaných rovnic oprav vztahů (6.1.10). (6.1.14) a (6.1.16), pak vypočtené neznámé opravy jsou vztaženy k systému rovníkovému. K sestavení linearizovaných rovnic oprav, obdobných rov. (6.1.22-27), je možno použít přímo rov. (6.1.1). 6.1.2.4 Přehled výpočetního postupu

102

Výpočetní postup při použití neznámých oprav v systému obzorníkovém je následující. Z hodnot Bio, Lio, Hio, Bjo, Ljo, Hjo vypočteme pro daný referenční elipsoid přibližně pravoúhlé souřadnice Xio, Yio, Zio, Xjo, Yjo, Zjo, rov. (6.1.17), a pomocí nich a hodnot ϕio, λio přibližné hodnoty αijo, zijo, sijo, rov. (6.1.5-7), jež vystupují v absolutních členech rovnic oprav (6.1.2225). Hodnoty koeficientů se určí z rov. (6.1.21). Ve jmenovaných rovnicích je index o vynechán. Výsledkem vyrovnání jsou opravy dxi, dyi, dHi, dxj, dyj, dHj, dϕi, dλi, d∆ai a dRij vystupující v rovnicích oprav (6.1.22-27). Pomocí rov. (6.1.19) převedeme prvních 6 uvedených oprav na opravy dXi, dYi, dZi, dXj, dYj, dZj. Konečné hodnoty jsou X i = X io + d X i ,

X j = X jo + d X j ,

Yi = Yio + d Yi ,

Y j = Y jo + d Y j ,

Z i = Z io + d Z i ,

Z j = Z jo + d Z j ,

ϕ i = ϕ io + d ϕ i , λi = λio + d λi ,

d ∆ai = d ∆ai ,

(6.1.28)

Rij = Rijo + d Rij ,

pro i = 1, 2, ... n, kde n je počet zprostředkujících rovnic oprav. Výpočetní postup při použití neznámých oprav v systému rovníkovém, rov. (6.1.10), (6.1.14) a (6.1.16), je ve výpočtu absolutních členů shodný s postupem předchozím. Výsledky je ale možno dosadit již přímo do rov. (6.1.28). Výpočet rov. (6.1.18) a dalších je tedy vynechán. Koeficienty v rovnicích oprav se určí z rov. (6.1.9), (6.1.13) a (6.1.15). V této kap. 6.1 vystupují délkové a úhlové směrové veličiny. Jsou-li úhlové a směrové veličiny zaváděny např. ve ″, je nutné zavést převod na ně z míry obloukové pomocí ρ ′′ = 180 = 206264,8 . Podobně je nutné dbát obou zavedených jednotek při zavádění vah a π

výpočtu středních chyb. Detailní projednání předložené problematiky včetně numerické aplikace je uvedeno v [5], kde jsou i další odkazy na literaturu. 6.1.3 Závěr Metody trojrozměrné geodézie mohou posloužit k řešení samostatných úloh jak geodézie inženýrské, tak i vyšší geodézie. Má-li být použito metod trojrozměrné geodézie ke společnému zpracování měření z jiného oboru, např. z družicové geodézie nebo kosmické geodézie, je nutné, aby použité prostorové systémy byly shodné co do počátku i orientace os, či aby jejich neshodnost byla uvážena. LITERATURA: [1] Burša M.: Základy družicové geodézie, I. díl. Naše vojsko. Praha 1960. [2] Hradilek L.: Adjustment of Tree-Dimensional Networks in the Geodetic Coordinate System. IAG Symposium on Optimalization of Design and Computation of Control Networks. Sopron 1977. [3] Kabeláč J.: Příspěvek k problematice trojrozměrné geodézie. Geod. a kart. obzor, roč. 24/66, č. 12, Praha 1978. [4] Wolf H.: Die Grundgleichung der Dreidimenzionalen Geodäzie in elementaler Darstellung. Zeitschrift für Vermessungswesen, 6 (1963), 225.

103

[5] Zelenka J.: Diplomní úkol. Knihovna katedra vyšší geodézie, Praha 1976.

6.2

Podmínka komplanarity

Podmínka komplanarity stanoví závislost mezi (třemi) směry, ležícími v jedné rovině. Mějme na obr. 6.2.1 tyto tři směry, jejichž směrové kosiny, které jsou ovšem závislé na svolené souřadnicové soustavě, označme (a b c)index, kde index = ij, jk, ki. k

j i

Obr. 6.2.1

Mezi nimi však platí závislost daná vztahem

a2 + b2 + c2 = 1

(indexy jsou vynechány), který ale není vhodný pro vyrovnání. Proto nahradíme směrový kosinus c vztahem

(

c = 1 − a2 − b2

)

1

2

.

Podmínku komplanarity pak udává determinant aij

bij

Dijk = a jk

b jk

aki

bki

(1 − a (1 − a (1 − a

) −b ) −b )

2 ij

− bij2

2 jk

2 jk

2 ki

2 ki

1

2

1

1

2

= 0.

(6.2.1)

2

Jeho aplikace je např. v kap. 8.2. Pro použití ve vyrovnání je však zapotřebí získat přetvořenou podmínku, viz rov. (4.3.1), která ovšem vyžaduje linearizaci rov. (6.2.1), a to podle zavedených neznámých. Protože tyto veličiny se různí případ od případu, nebudeme zde linearizaci provádět. Navíc prvky v determinantu rov. (6.2.1) nejsou nejvhodnější. Vhodné je nahradit jen dvěma nezávislými proměnnými veličinami, jak ukazuje obr. 6.2.2, kde jsou označeny u, v.

104

z

u a rc

90°

sc co

v 90°

arccosb

y os cc ar

a

u x

Obr. 6.2.2

Pak platí a = sin v cos u, b = sin v sin u, c = cos v, přičemž není (prozatím) nutno pravoúhlou souřadnicovou soustavu blíže definovat. Upravená rov. (6.2.1) přejde do tvaru cos uij

sin uij

cotg vij

Dijk = cos u jk

sin u jk

cotg v jk = 0.

cos uki

sin uki

cotg vki

(6.2.2)

Budeme-li považovat jen směr ij za neznámý a tudíž hledaný MNČ, je nutno zavést uij = u0 + d u , vij = v0 + d v,

Ostatní symboly ponechat a rov. (6.2.2) linearizovat. Dostaneme přetvořenou podmínkovou rovnici aijk d u + bijk d v + lijk = vijk ,

kde − sin u 0

cos u 0

0

aijk = cos u jk

sin u jk

cotg v jk ,

cos u ki

sin u ki

cotg vki

bijk = cosec 2 v0 sin (u jk − u ki ) , lijk = D0ijk .

Po dosazení přibližných hodnot u0, v0. Absolutní člen lijk je odchylka úhlu normály k rovině dané směry ik a jk, viz obr. 6.2.1, s přibližným směrem ijo. Podmínka komplanarity nahrazuje podmínku trojúhelníkovou, viz kap. 5. Oproti ní je však citlivější, jestliže ony tři směry neleží v jedné rovině. Dále stanoví (zajišťuje) orientaci roviny ijk v 3D prostoru. Blíže, včetně číselného příkladu, je v [1]. Taktéž viz kap. 5.2.3 a 5.3. Linearizace rov. (6.2.1) a její číselná aplikace je uvedena v kap. 8.2.1. LITERATURA:

[1] Kabeláč J., Skořepová J.: Vyrovnání prostorové družicové sítě. Geod. a kart. obzor, roč. 17/59, s. 167 – 174, Praha 1971.

105

6.3

Společné vyrovnání směrových a délkových veličin

V kap. 4 bylo uvedeno srovnání použití zprostředkujících a podmínkových pozorování při vyrovnání MNČ. V kap. 6.3 a dalších bude preferováno vyrovnání pomocí podmínkových pozorování přesto, že sestavení potřebného počtu podmínek je někdy velmi obtížné. Vede nás k tomu skutečnost, že vyrovnání podmínkových pozorování, resp. podmínky samotné, nejsou obvykle závislé na souřadnicové soustavě na rozdíl od vyrovnání pozorování zprostředkujících. Takže nejbližším úkolem bude sestavení podmínkových rovnic a eventuálně i jejich linearizace. Pozornost bude věnována i zavádění vah, neboť jde o dva různé druhy měřených veličin. Teorii budeme demonstrovat na trojúhelníku A, B, C, obr. 6.3.1. z

C

a1 s2

s3

y a3

a2 x

s1

A

B

Obr. 6.3.1

Danými veličinami jsou směrové veličiny: u1, v1, u2, v2, u3, v3 a délkové veličiny: s1, s2, s3.

Tedy počet daných veličin n = 9. Nutný počet ν = 6 pro zajištění polohy trojúhelníku A, B, C v 3D prostoru. Počet nadbytečných měření r = n – ν = 3. Takže je nutno sestavit tři podmínky. První podmínkou je podmínka komplanarity z rov. (6.2.2). Zbývající dvě volme například ve tvaru s1 cos α 3 + s3 cos α1 − s2 = 0 ≡ Ds2 ,

(6.3.1)

s1 cos α 2 + s2 cos α1 − s3 = 0 ≡ Ds3 .

(6.3.2)

Linearizací rov. (6.2.2), (6.3.1) a (6.3.2) dostaneme v uvedeném pořadí au1 d u1 + au2 d u 2 + a u3 d u 3 + a v1 d v1 + a v2 d v 2 + av3 d v3 + D0123 = 0, bu1 d u1 + bu2 d u 2 + bu3 d u 3 + bv1 d v1 + bv2 d v 2 + bv3 d v 3 + bs1 d s1 + + bs 2 d s 2 + bs3 d s 3 + D0 s2 = 0,

(6.3.3)

cu1 d u1 + c u2 d u 2 + cu3 d u 3 + c v1 d v1 + cv2 d v 2 + c v3 d v 3 + c s1 d s1 + + c s 2 d s 2 + c s3 d s 3 + D0 s3 = 0,

106

Derivace aindex zjistíme z rov. (6.2.2). Postupně derivujeme podle všech prvků tohoto determinantu, přičemž indexy ijk nahrazujeme indexy 123. Nejprve pro první rov. (6.3.3). Dostáváme − sin u1 cos u1 0 ∂D123 au1 = = cos u 2 sin u 2 cotg v2 ∂u1 0 cos u3 sin u3 cotg v3 0 cos u1 = − sin u 2

sin u1 cos u 2

cotg v1 0

cos u 3

sin u3

cotg v3 0

cos u1 ∂D123 au3 = = cos u 2 ∂u3 0 − sin u3

sin u1

cotg v1

sin u2

cotg v2

cos u3

0

∂D au2 = 123 ∂u 2

0

av1 =

∂D123 = cosec 2 v10 sin (u2 − u3 )0 ∂v1 0

av2 =

∂D123 = cosec 2 v20 sin (u3 − u1 )0 ∂v2 0

av3 =

∂D123 = cosec 2 v30 sin (u1 − u2 )0 ∂v3 0

0

Pro druhou a třetí rov. (6.3.3) jsou derivace složitější, neboť vznikaly z rov. (6.3.1) a (6.3.2) obsahujících úhly αindex, takže např. cosα1 = cos v2 cos v3 + sin v2 sin v3 cos(u3 − u 2 ) . Derivování rov. (6.3.1) a (6.3.2) bude proto nutno provést podle vztahu

bu1 = atd. Postupně dostáváme výrazy

∂Ds2 ∂u1

0

 ∂D ∂α ∂D ∂α  =  s2 ⋅ 3 + s2 ⋅ 1   ∂α 3 ∂u1 ∂α1 ∂u1  0

bu1 = s1 cos v1 cos v 2 sin (u 2 − u1 ) ,

bu2 = s1 cos v1 cos v 2 sin (u1 − u 2 ) + s3 cos v 2 cos v 3 sin (u 3 − u 2 ) , bu3 = s 3 cos v 2 cos v3 sin (u 2 − u 3 ) ,

bv1 = s1 [cos v1 sin v 2 − sin v1 cos v 2 cos(u1 − u 2 )] ,

bv2 = s1 [sin v1 cos v 2 − cos v1 sin v 2 cos(u1 − u 2 )] +

+ s 3 [cos v 2 sin v3 − sin v 2 cos v3 cos(u 2 − u 3 )] ,

bv3 = s 3 [sin v 2 cos v3 − cos v 2 sin v3 cos(u 2 − u 3 )] , bs1 = cosα 3 , bs 2 = −1, bs 3 = cosα1 ,

107

cu1 = s1 cos v1 cos v3 sin (u 3 − u1 ) ,

cu2 = s 2 cos v 2 cos v3 sin (u 3 − u 2 ) ,

cu3 = s1 cos v1 cos v3 sin (u1 − u 3 ) + s 2 cos v 2 cos v3 sin (u 2 − u 3 ) , cv1 = s1 [cos v1 sin v3 − sin v1 cos v 3 cos(u 3 − u1 )] ,

cv2 = s 2 [cos v 2 sin v3 − sin v 2 cos v3 cos(u 2 − u 3 )] , c v3 = s1 [sin v1 cos v3 − cos v1 sin v 3 cos(u 3 − u1 )] +

+ s 2 [sin v 2 cos v3 − cos v 2 sin v3 cos(u 2 − u 3 )] , cs1 = cos α 2 , cs2 = cos α1 , cs3 = −1.

Podmínkové rov. (6.3.1) a (6.3.2) možno volit i v jiných tvarech a derivace upravit do vhodnějších výrazů, viz [1] nebo obdobně [2]. Systém rovnic (6.3.3) podrobíme podmínce minima, když dříve do těchto výrazů dosazujeme přibližně známé vstupní hodnoty (index 0 byl vynechán). Blíže o teorii včetně číselného použití je rovněž v [2]. Problematika obdobná, leč pro rovinu, byla uvedena v PŘÍKLADĚ 15 v kap. 5. O způsobu zavádění vah viz kap. 5.1.1 a číselná ověření různých vahových variant jsou v kap. 8.2.1 a 8.2.2. LITERATURA:

[1] Hubeny K.: Die Auzgleichung von Dreiecknetzen mit direkt geomessenen Seiten. Öster. Zeit. für Vermes., No. 5, 6, 1950. [2] Kabeláč J.: Pozemní a družicové sítě v trojrozměrném prostoru. Fakultní úkol č. 420 A/70-71, knihovna katedry vyšší geodézie, Praha 1972.

6.4

Vyrovnání sítě v 3D prostoru bez závislosti na svislici

V následujícím textu je ukázáno, že postup s pomocí podmínkových pozorování je možno použít v případě, kdy nechceme pracovat s veličinami, které jsou závislé na svislici, tj. s vodorovnými směry a především ne se zenitovými vzdálenostmi. Princip pozůstává jednoduše v tom, že tyto veličiny převedeme na tzv. šikmé úhly α, viz obr. 6.4.1. Tím, společně s měřenými délkami, bude použito pouze veličin invariantních, nezávislých na směru svislic, ale i na souřadnicovém systému vůbec. V dalším textu budou postupně sestavovány podmínkové rovnice trojúhelníkové, stranové a základnové, tedy obdobně jako při vyrovnání v 2D prostoru, leč zde pro prostor 3D. Rovněž bude uvážen vliv pozemní refrakce. 6.4.1 Sestavení podmínkových rovnic

1) Podmínkové rovnice trojúhelníkové Na obr. 6.4.1 jsou body i, j, k vrcholy prostorové sítě. O šikmých (polohových, posičních) úhlech, které jsou invariantní, platí (indexování je vždy ve smyslu kladném) již linearizovaný tvar

108

i sij

j

akij

aijk

ski

α kij + α ijk + α jki − 180° = 0.

(6.4.1)

sjk a jki k

Obr. 6.4.1 smìr alhidádové osy teodolitu

ojk oji z ji

z jk

1 2

k

j jkvRj

x jik

x jki

j

1 2

j ji vRj

a íjk

i

a ijk

Obr. 6.4.2

Např. úhel αijk zjistíme, obr. 6.4.2, když bod j ztotožníme se středem jednotkové koule. Platí cos α ijk = cos z ji cos z jk + sin z ji sin z jk cos(o jk − o ji )

,

(6.4.2)

kde zji, zjk jsou zenitové vzdálenosti bez vlivu refrakce a oji, ojk vodorovné směry z bodu j na body i a k. Stejně tak zjistíme i ostatní šikmé úhly. Vliv refrakce, působící na zenitovou vzdálenost, zaveďme tvarem (pro demonstraci užito záměry zji) 1 z ji = z ′ji + ϕ ji R j , 2

(6.4.3)

R j = R0 + vR j ,

(6.4.4)

kde z´ji je naměřená zenitová vzdálenost a ϕji úhel svislic na bodech i a j. Refrakční koeficient kde R0 = 0,14 je přibližná hodnota refrakčního koeficientu a byla společná pro všechny body; vRj je jeho oprava pro bod j. Rov. (6.4.4) dosadíme do rov. (6.4.3) a získáme

109

1 1 z ji = z ′ji + ϕ ji R0 + ϕ ji vR j . 2 2 1 Výrazy z ′ji + ϕ ji R0 jsou známé a zavedeme místo nich symbol z ′ji′ a vše dosadíme, rovněž 2 tak pro záměru jk, do rov. (6.4.2). Jest

1 1     cos α ijk = cos z ′ji′ + ϕ ji v R j  cos z ′jk′ + ϕ jk v R j  + 2 2     1 1     + sin  z ′ji′ + ϕ ji v R j  sin  z ′jk′ + ϕ jk v R j  cos(o ji − o jk ) , 2 2    

(6.4.5)

kde 1 ϕ ji v R j je oprava zenitové vzdálenosti záměry ji v důsledku refrakce. Obdobně je tomu 2 pro záměru jk a další. Rov. (6.4.5) nejprve upravíme. Po zanedbání malých veličin 2. a vyšších řádů a po malé úpravě dostaneme

[

1 ′ + v R j − cos z ′ji′ sin z ′jk′ + sin z ′ji′ cos z ′jk′ cos(o ji − o jk ) − cos α ijk = cosα ijk 2 cos z ′jk′ sin z ′ji′ + cos z ′ji′ sin z ′jk′ cos(o ji − o jk ) ,

kde, viz obr. 6.4.2,

]

′ = cos z ′ji′ cos z ′jk′ + sin z ′ji′ sin z ′jk′ cos(o ji − o jk ) , arccosα ijk

a je to tedy veličina známá, ovlivněná refrakcí, a budeme ji považovat za „naměřenou“. Výrazy v hranaté závorce nahradíme sinus-kosinusovými větami pro sférický trojúhelník na obr. 6.4.2 a dostáváme 1 ′ = − v R j sin α ijk ′ (ϕ ji cos ξ jik + ϕ jk cos ξ jki ) . cosα ijk − cosα ijk 2

Výraz na levé straně upravíme podle známé věty rovinné trigonometrie. Po úpravě má tvar 1 2

α ijk = α ijk′ + A jik v R ,

(6.4.6)

1 (ϕ ji cosξ jik + ϕ jk cosξ jki ) , 2

(6.4.7)

j

kde Aijk =

Úhly ξ určíme z obr. 6.4.2. Hodnota αíjk je hodnota známá, které byl dán význam veličiny naměřené. A jí bude příslušet náhodná oprava vα ijk .

Jak jsme postupovali při odvození rov. (6.4.6), stejně tak by platilo i pro úhly αjki a αkij, viz obr. 6.4.1. Po jejich dosazení do rov. (6.4.1) včetně dosazení náhodných oprav vα ijk , vα jki a vα kij , dostáváme vα kij + vαijk + vα jki + vRi Akij + vR j Aijk + vRk A jki + U ijk∆ = 0,

110

(6.4.8)

kde uzávěr je ′ + α ijk ′ + α ′jki − 180°. U ijk∆ = α kij

Rovnice typu (6.4.8) je nutno sestavit pro každý trojúhelník, na jehož všech vrcholech byly měřeny vodorovné směry a zenitové vzdálenosti. 2) Podmínkové rovnice stranové Při studiu sítí v dvourozměrném prostoru je základním obrazcem trojúhelník. Při sestavování podmínkových rovnic stranových v třírozměrném prostoru se ukázalo, že nejvhodnějším základním tělesem je čtyřstěn. V obr. 6.4.3 bod p představuje pól a body i, j, k vrcholy základny. j a ijp apjk

i

apij

apik ajkp aikp k p Obr. 6.4.3

Platí pak sin α pij sin α pjk sin ikp sin α pik sin α ijp sin α jkp

= 1,

(6.4.9)

kde ramena úhlů v čitateli jsou stejnosměrná a ve jmenovateli protisměrná. Rov. (6.4.9) můžeme převést na logaritmický tvar. Za úhly α dosadíme výrazy (6.4.6), včetně náhodných oprav, poté rov. (6.4.9) linearizujeme a po úpravě dostáváme ′ vαikp − cotgα ′pij vα pij + cotg α ′pjk vα pjk + cotgα ikp ′ vαijp − cotgα ′jkp vα jkp + − cotgα ′pik vα pik − cotgα ijp + vRi ( Apij cotgα ′pij − Apik cotgα ′pik ) +

(6.4.10)

′ )+ + vR j ( Apjk cotgα ′pjk − Aijp cotgα ijp

′ − A jkp cotg α ′jkp ) + U o pijk = 0, + vRk (Aikp cotgα ikp

kde význam symbolů A je dán rov. (6.4.7). Uzávěr U opijk = M log

sin α pij sin α pjk sin ikp sin α pik sin α ijp sin α jkp

.

Pro čtyřstěn na obr. 6.4.3 je možno sestavit 3 nezávislé stranové rovnice, je-li počet měřených veličin úplný. Je přirozené, že je možno sestavit stranové rovnice i pro základny

111

víceúhelníkové. To však již záleží na tvaru prostorové sítě a na rozložení měřených veličin v síti. 3) Podmínkové rovnice základnové Byly-li změřeny v trojúhelníku i, j, k, obr. 6.4.1, strany sij a ski, platí sij sin α ijk ski sin α jki

= 1.

(6.4.11)

Rov. (6.4.11) můžeme převést na logaritmický tvar Za úhly α dosadíme nejprve výrazy (6.4.6), včetně náhodných oprav, a za délky stran s výrazy s = s ′ + v s , kde s´ je naměřená délka strany (indexy jsou vynechány) a vs její oprava. Rovnici linearizujeme a po úpravě dostaneme ′ vα ijk − cotg α ′jki vα jki + cotg α ijk

v sij s ij′

−

v ski s ′ki

+

(6.4.12)

′ − v Rk A jki cotg α ′jki + U ijk s = 0, + v R j Aijk cotg α ijk

kde význam symbolů A je dán rov. (6.4.7). Uzávěr U ijk s = M log

′ sij′ sin α ijk . ski′ sin α ′jki

Počet základnových rovnic je vždy o 1 menší než počet změřených délek stran. Neleží-li obě základny v témže trojúhelníku, získáme pro ně vztah pomocí rozšířené sinové věty. Linearizované rov. (6.4.8), (6.4.10) a (6.4.12) obsahují neznámé opravy vα, vs měřených veličin a neznámé parametry vR neměřených veličin. Vyrovnání je tedy nutno uskutečnit podle podmínkových pozorování s neznámými parametry, viz závěr kap. 4.7, v které je nutno zanedbat zprostředkující pozorování s neznámými parametry. Výsledné hodnoty jsou R = R0 + vR , α = α ′ + vα + vR A, s = s′ + v s . (indexy jsou vynechány). Bližší je v [1], [2], [3] a [4]. Vyrovnání prostorových sítí v třírozměrném prostoru podle podmínkových pozorování je prozatím v literatuře méně propracováno než podle zprostředkujících pozorování. Předností podmínkových pozorování je vyšší nezávislost na referenčním tělese oproti zprostředkujícím pozorování, viz závěr kap. 4. Jistou potíží je sestavování potřebných a nutných podmínkových rovnic. Nutné je, aby jejich počet nebyl přebytečný, tj. aby nebyly na sobě závislé. Navíc jejich počet je menší než počet rovnic oprav u zprostředkujících pozorování. V předchozím textu bylo rovněž ukázáno, že uvedený postup je též nezávislý na směru svislic. Znamená to, že je využíváno čistě geometrických závislostí v třírozměrném prostoru bez ohledu na gravitační účinky v souřadnicové soustavě. A rovněž není nutné oddělovat veličiny polohové od výškových.

112

LITERATURA:

[1] Hradilek L.: Space Triangulation in the Western Part of the High Tatras. Studia geoph. et geod., 7 (1963), 338. [2] Kabeláč J.: Adjustment of a Spatial Network Independently of the Plumb-line. Studia geoph. et geod., 14 (1970), 110. [3] Kabeláč J.: Pozemní a družicové sítě v třírozměrném prostoru. Fakultní úkol, č. 420 A/7071, knihovna katedry vyšší geodézie, Praha 1972. [4] Kabeláč J.: Využití umělých družic k budování geodetických základů – upřesnění teorie poruch. Doktorská disertační práce. Soukromá knihovna autora. Nepublikováno, Praha 1988.

6.5

Vyrovnání prostorové sítě metodou družicové geodézie

I když bude o družicových sítích pojednáno v samostatné kap. 8, ale i 7, zařazujeme aplikaci vyrovnání sítí metodou družicové geodézie (DG) již nyní. Princip budování není nikterak složitý. Půjde o zjištění všech směrů stran a alespoň některých jejich délek v dané souřadnicové soustavě. Budou použita taková vyjádření, aby tyto všechny směrové veličiny byly vyjádřeny stejnými nebo obdobnými symboly jako při vyrovnání sítí družicových. Obvykle to je hodinový úhel greenwichský a deklinace, jejich definice ap. jsou v kap. 7.2, kterýmžto veličinám budou zde odpovídat astronomická zeměpisná délka a astronomická zeměpisná šířka, viz obr. 6.5.1 a obr. 6.5.2. Tento postup je sledován úmyslně, neboť je snahou vyrovnání družicové sítě a prostorové pozemní sítě spojit v jeden vyrovnávaný celek. Použité rovnice pro obě sítě si potom svým charakterem odpovídají. Rovněž bude použito podmínkových rovnic, neboť – jak již bylo poznamenáno – je jejich předností podstatně menší závislost na referenčním tělese a tudíž i na zavedené souřadnicové soustavě. Z prací obdobných této kapitole jmenujme aspoň [5], [1] a [4]. Poznamenejme ještě, že zde nejsou zaváděny refrakční koeficienty, jak by se mělo stát s ohledem na nejvyšší přesnost. Teorie je aplikována na modelový příklad v [3]. Ještě poznamenejme, že zde – na rozdíl od předchozí kap. 6.4 – není zcela odstraněna závislost na směru svislic. O variantách vyrovnání bude pojednáno později. 6.5.1 Stanovení základních vztahů pro určení směru strany prostorové sítě Na obr. 6.5.1 představuje bod Pi pozemské stanoviště o zeměpisných astronomických souřadnicích ϕi a λi (kladná na východ), na němž jsou měřeny azimuty αij a zenitová vzdálenost zij na bod Pj. Azimut je počítán od astronomického severu N a je kladný na východ. Přenesme směr PiPj, směr ti k astronomickému zenitu Zi a směr o k severnímu světovému pólu P do bodu Pi, obr. 6.5.2. Tyto směry protnou jednotkovou kouli, opsanou bodu Pi ve vrcholech sférického trojúhelníka Pij, Zi, P. Potom úhly ϕij a λij (kladné na východ) charakterizují směr strany PiPj v soustavě astronomických rovníkových souřadnic. Z obr. 6.5.2 je možno odvodit základní vztahy. cos ϕij sin ∆λij = sin zij sin α ij ,

113

(6.5.1)

cos ϕij cos ∆λij = cos zij cos ϕi − sin zij sin ϕi cos α ij ,

(6.5.2)

sin ϕij = cos zij sin ϕ i + sin zij cos ϕ i cos α ij ,

(6.5.3)

tg ∆λij =

sin α ij cotg zij cos ϕi − sin ϕi cosα ij

,

λij = λi + ∆λij ,

(6.5.5)

P o Greenwichský poledník

Zi ti

pól N

li 90° - j

i

zij

aij

Pi Pj

Pi

Obr. 6.5.1

114

(6.5.4)

Pj

o

P Greenwichský li poledník 90°- ji

lij D lij

aij

Z ij

90°- jij

Zi

Pij ti Pi Pj Pi Obr. 6.5.2

takže

resp.

Pi Pj = f ij (ϕij , λij ) Pi Pj = g ij (α ij , zij , ϕi , λi ).

(6.5.6)

V obecném případě hodnota azimutu αij nebude známa. Pišme, že

α ij = α ij′ + ∆α i , Kde azimut α ij′ na pravé straně je hodnota známá a ∆αi je neznámý orientační posun.

115

(6.5.7)

Zj tj Zji Pj

N

Zjk

Z

ajk

a ji N

ti Zij Pi

Zik

aij aik Z tk

akj Z ki

N

Zkj Pk

aki

Obr. 6.5.3

Naši úvahu rozšiřme na trojúhelník Pi, Pj, Pk, obr. 6.5.3, v němž jsou známy (určeny) všechny azimuty a zenitové vzdálenosti. Směry ti, tj, tk svislic jsou dány zeměpisnými astronomickými souřadnicemi. Obdobně první rov. (6.5.6) platí Pi Pj = f ij (ϕij , λij ) ,

Pj Pi = f ji (ϕ ji , λ ji ) ,

Pk Pi = f ki (ϕ ki , λki ) ,

Pi Pk = f ik (ϕik , λik ) ,

Pj Pk = f jk (ϕ jk , λ jk ) ,

Pk Pj = f kj (ϕ kj , λkj ) ,

kde výrazy v závorkách určíme z rov. (6.5.3), (6.5.4) a (6.5.5) po dosazení příslušných indexů. Dříve než přistoupíme k sestavení podmínkových rovnic, zmíníme se o variantách vyrovnání, kterých je možné užít k dalším úvahám. A – ve variantě A budou opravy přisuzovány přímo směrům ϕij a λij, rov. (6.5.3) a (6.5.5). B – ve variantě B budou opravy či neznámé parametry přisuzovány veličinám ∆αi, zij, ϕi, λi, druhá rov. (6.5.6) a rov. (6.5.7). Mohou následovat další varianty, viz [3]. 6.5.2 Sestavení podmínkových rovnic pro variantu A Budou sestaveny podmínkové rovnice pro shodnost protisměrů, podmínka komplanarity a základnová podmínková rovnice pro případ, že nahodilé opravy jsou přisuzovány přímo směrům ϕij a λ ij. Podmínková rovnice pro shodnost protisměrů Tyto podmínky vycházejí ze vztahu ϕ ij + ϕ ji = 180° , jestliže obě hodnoty jsou měřeny na poledníku od severního pólu P a nejsou větší než 180°. Platí pak podmínková rovnice φij. Zní

116

φij ≡ ϕij + ϕ ji − 180° = 0.

(6.5.8)

Pro zeměpisné délky stran PiPj a PjPi platí λ ji − λij = ±180° , takže podmínková rovnice Λij je Λij ≡ λij − λ ji ± 180°.

(6.5.9)

Přetvořené podmínkové rovnice, viz kap. 4.3, jsou jednoduše

φij ≡ vϕ + vϕ + U φ = 0, ij

ji

ij

Λij ≡ vλij − vλ ji + U Λij = 0,

kde U φij = ϕijo + ϕ jio − 180° a U Λij = λijo − λ jio ± 180° jsou uzávěry. Index o značí přibližné hodnoty. Podmínka komplanarity, nebo-li podmínka pro tři směry, ležící v jedné rovině, která je rovněž používaná při vyrovnání družicových sítí DG, viz [2], je vektorově vyjádřena tvarem

Pi Pj Pi Pj

×

Pj Pk Pj Pk

⋅

Pk Pi = 0, Pk Pi

který je možno zjednodušit na tvar, viz též kap. 6.2, K ijk

 cos λij  ≡  cos λ jk  cos λ ki 

tg ϕ ij   tg ϕ jk  = 0. tgϕ ki 

sin λij sin λ jk sin λki

(6.5.10)

Linearizací pro všech devět velič in jej převedeme na přetvořenou podmínkovou rovnici

∑K

J

v J + U Kijk = 0,

J

 ∂K  kde K J =  ijk  , Kijk je dáno rov. (6.5.10) a indexy J = ϕij, λij, ..., λki. Absolutní/prostý ∂ J  o člen, či též uzávěr, viz kap. 4.3, je U Kijk = (K ijk )o ,

kde index o opět značí, že byly dosazeny přibližně známé hodnoty do rov. (6.5.10). Základnová podmínková rovnice Pro jednoduchý případ, obr. 6.5.4, platí S ijk ≡

sin ω jil sin ω jlk sin ω ilj sin ω lkj

−

s jk s ij

= 0,

(6.5.11)

kde ωjil, ... jsou šikmé úhly na stěnách polyedru a sij, sjk jsou měřené délky stran. Úhly ωjil, ... možno vyjádřit cos ω jil = sin ϕ ij sin ϕ il + cosϕ ij cos ϕ il cos(λij − λil ) ,...

117

(6.5.12)

i

wjil sij

wilj wjlk

l

j

sjk

wlkj k

Obr. 6.5.1

V rov. (6.5.11) je nyní možno úhly ωjil,... nahradit veličinami měřenými a neznámými, prostřednictvím vztahů (6.5.12). Tak by se dělo ve variantě B. My zde ve variantě A přisuzujeme opravy přímo směrovým veličinám ϕij, λ ij atd. Základnová podmínková rovnice linearizovaná, která má tvar

∑S

J

v J + U Sijkl = 0,

J

má indexy J = ϕij, λij, ϕil, λil, ϕli, λli, ϕlj, λlj, ϕlk, λlk, ϕkl, λkl, ϕkj, λkj, sij, sjk. Dále je  ∂S  S J =  ijkl  , U Sijkl = S ijkl . J ∂  o

Úplné a exaktní tvary derivací a zjednodušený postup pro jejich odvození je v [3]. Obdobný postup odvození, leč poněkud složitější, vyžaduje varianta B. 6.5.3 Stanovení počtu podmínkových rovnic

Následující úvahu uskutečníme pro jednoduchou síť, ve které se žádné spojnice nekříží. Jde tedy o jednoduchou síť, která má: v – vrcholů, kde nový vrchol vytvoří jen 2 spojnice, p – příček, kdy se z jedné příčky vytvořil vždy jen jeden trojúhelník, s – počet stran sítě včetně příček. Bude-li síť, viz obr. 6.5.5, obsahovat v vrcholů a p příček (při předpokládaném a uvedeném zjednodušení), pak pro počet s všech stran včetně příček p platí, že

s = 2v + p − 3 .

Počty podmínkových rovnic jsou

prostisměrných: φ , Λ = 2 s = 2(2v + p − 3) komplanarity:

∆=v+ p−2

základnových:

z = počet měřených stran − 1

(6.5.13)

118

kde φ, Λ je počet podmínek pro shodnost protisměrů, viz rov. (6.5.8) a (6.5.9), ∆ je počet podmínek komplanarity, viz rov. (6.5.10) a z je počet podmínek základnových, viz příkladně rov. (6.5.11). V přehledu viz tab. 6.5.1. d)

c)

b)

a)

Obr. 6.5.1 a, b, c, d

Tab. 6.5.1 udává aplikace rov. (6.5.13) pro obrazce sítí na obr. 6.5.5 a), ..., d). Tab. 6.5.1

Obr. 6.5.5 a) b) c) d)

Počty vrcholů v, příček p, stran s včetně příček p, podmínkových rovnic φ, Λ, ∆ a z, viz rov.(6.5.13) v 3 4 6 6

p 0 0 0 1

s 3 5 9 10

φ, Λ

∆

á3 á5 á9 á 10

1 2 4 5

z Počet změřených základen mínus 1

Toto jsou ovšem počty všech možných podmínkových rovnic. U posledního případu d) v tab. 6.5.1 by to bylo n – 2 plus podmínky základnové. Počet nutných pozorování pro umístění jednoho trojúhelníku v souřadnicové soustavě je 6. Pro ν vrcholů je nutný počet ν = 6 + (v − 3) ⋅ 3 = 3v − 3 . Počet nadbytečných pozorování a tudíž i počet podmínkových rovnic bude r = n −ν . 6.5.4 Zhodnocení a závěr

V této kap. 6.5 byl projednáván případ vyrovnání prostorové sítě opětně podle podmínkových pozorování MNČ. Jde či vlastně šlo jen o přípravu ke zvolenému vyrovnání. Vlastní vyrovnání by se dělo podle teorie uvedené v kap. 4.3. Snahou bylo přiblížit se v teorii i ve výpočetní praxi postupům používaným v DG, a tak přiblížit navzájem vyrovnání pozemních prostorových sítí s vyrovnáním sítí družicových pro jejich společné vyrovnání. Byl opět použit postup podmínkových pozorování především proto, že nejsou závislá na referenčním tělese. Sestavení podmínkových rovnic je však oproti sestavení rovnic zprostředkujících složitější (ba v některých případech svízelné). Viz též zhodnocení v kap. 4. V předchozím textu byla řešena varianta A, kdy opravy byla přisuzovány směrovým charakteristikám ϕij, λij, které ovšem nejsou veličinami přímo měřenými, což z hlediska MNČ není po teoretické stránce správné. Ze zkušenosti je však známo, že po praktické stránce výsledky nedoznají nepřístupných změn. Správnější by bylo náhodné opravy přisoudit přímo měřeným veličinám zij, αij, ϕi, λi, jak ukazují rov. (6.5.1) a další. Tento postup předvádí varianta B, která však zde uvedena není. Snaživý student ji najde v práci [3]. Nahodilé opravy by zde měly být správně přepsány nejen směrům, ale i délkám. O tom bylo pojednáno v kap. 6.3 a bude se o tomto postupu jednat v dalších částech.

119

Ještě dodejme, že do varianty A je možno vstoupit s upravnými veličinami (ϕ ij − ϕ ji + 180°) 2 a (λij + λ ji ± 180°) 2 , viz rovněž [3]. V této citaci najde čtenář i příklad numerické aplikace. Výsledky z použitého modelu jsou v obou variantách A a B prakticky schodné. Nejlepší poskytuje varianta A. Oba postupy souhlasí s hodnotami modelovými. Závislost na referenčním tělese by ovšem vzrostla, kdyby zenitové vzdálenosti byly počítány z výšek. Výsledné hodnoty orientace spojnice dvou bodů sítě jsou přímo v astronomickém rovníkovém systému. Použití tohoto postupu vyrovnání se nabízí při pracech souvisejících s proměřováním základny pro družicová měření. V případě, že bychom chtěli znát orientaci základny v systému geodetickém, provedeme buď převod ze systému astronomického do systému geodetického nebo uskutečníme vyrovnání celé sítě přímo v systému geodetickém. Posledně uvedený postup by ovšem vyžadoval převedení vstupních hodnot astronomických na geodetické. LITERATURA:

[1] Filippov A. E.: Uslovnye uravnenija v seti prostranstvennoj trianguljacii. Geod., kart. i aerofoto., 7 (1968), 69, Lvov. [2] Kabeláč J., Skořepová J.: Vyrovnání prostorové družicové sítě. Geod. a kart. obzor, roč. 17/59, s. 167 – 174, Praha 1971. [3] Kabeláč J.: Pozemní a družicové sítě v třírozměrném prostoru. Vyrování prostorové sítě bez závislosti na směru tížnic. Fakultní úkol, Observatoř astronomie a geofyziky ČVUT, Praha 1972. [4] Ramsayer K.: Dreidimensionaler Polygonzug im geozentrischen Koordinatensystem. Zeitschrift für Vermessungswesen, 95 (1970), 471. [5] Rinner K.: Determination of Scale in Spatial Direction Networks. Proceedings of the International Symposium Figure of the Earth and Refraction, Vienna, March 14th – 17th, 1967, p. 90.

6.6

Vyrovnání prostorové trilaterační sítě objemovou podmínkou

6.6.1 Úvod

Tato kapitola popisuje prostorovou síť, v níž jsou měřeny jen délky stran této sítě. Jde tedy o síť trilaterační. Vyrovnání bude uskutečněno opět podle podmínkových pozorování MNČ z důvodů, uvedených v závěru předchozího textu. Síť bude vyrovnána v trojrozměrném prostoru 3-D pomocí tzv. objemové podmínky. Její odvození vychází ze vzorce pro objem čtyřstěnu, jehož autorem je N. Tartaglio [1], a to již před téměř půl tisíciletím. 6.6.2 Tvar objemové podmínky a její úprava

Při vyrovnání rovinné sítě, ať triangulační, trilaterační nebo kombinované, je základním obrazcem trojúhelník. Mluvíme pak o trigonometrii a všechny potřebné vztahy pro vyrovnání takovéto sítě jsou odvozeny z trigonometrických vztahů. Při vyrovnání prostorové sítě jest se domnívati, že základním geometrickým obrazem je čtyřstěn. O jeho vlastnostech pojednává tzv. tetragonometrie, např. [5]. Mnohé geometrické vztahy pro čtyřstěn (tetraedron) jsou odvozeny nebo jen uvedeny v [1] a [6]. V práci [1] jsme 120

nalezli vzorec pro výpočet objemu V čtyřstěnu, když jsou známy délky a, b, c, p, q, r všech šesti hran, obr. 6.6.1a. Má tvar

V=

[

1 2 2 2 a p (b + c 2 − a 2 + q 2 + r 2 − p 2 ) + 12 + b 2 q 2 (c 2 + a 2 − b 2 + r 2 + p 2 − q 2 ) +

(

(6.6.1)

)

+ c2r 2 a 2 + b2 − c 2 + p 2 + q 2 − r 2 − − a 2 q 2 r 2 − b 2 r 2 p 2 − c 2 p 2 q 2 − a 2b 2 c 2

]

1 2

a jeho autorem je N. Tartaglio (1500? – 1557), viz [1]. Rov. (6.6.1) je též možno zapsat ve tvaru determinantu 0

c2

b2

p2 1

c2

0

a2

q2

0

2

2

0

1

1

1

1

1 2 V = b 288 2 p

a

2

q

2

1

1

2

r

r

1 1.

(6.6.2)

Předností těchto vzorců je vyjádření objemu pouze z délek hran. 1

b)

a)

4

p

r

2

q b

3

4

2

c

a 3

s

P

c) 2

w t

v

4 P

3

5 Obr. 6.6.1 a, b, c

Podmínkovou rovnici objemovou sestavíme podle obr. 6.6.1a, který znázorňuje dva čtyřstěny 1, 2, 3, 4, a 2, 3, 4, 5. Je zřejmé, že součet jejich objemů je rovněž roven součtu objemů tří čtyřstěnů o společné tělesové úhlopříčce 1–5. Tedy

V1234 + V2345 = V1235 + V1345 + V1245 .

(6.6.3)

Podle polohy průsečíku P tělesové úhlopříčky 1–5 v rovině trojúhelníka 2, 3, 4 rozeznáváme tři případy:

121

1. Průsečík P leží uvnitř trojúhelníka 2, 3, 4. Pro tento případ platí rov. (6.6.3), viz obr. 6.6.1a. 2. Průsečík P leží vně trojúhelníka 2, 3, 4 proti jedné z jeho stran, viz obr. 6.6.1b. Potom bude platit podmínková objemová rovnice ve tvaru

V1234 + V2345 = V1235 + V1245 − V1345 .

3. Průsečík P leží vně trojúhelníka 2, 3, 4 proti jednomu z jeho vrcholů, viz obr. 6.6.1c. Potom platí podmínková objemová rovnice

V1234 + V2345 = V1235 − V1245 − V1345

Jestliže písmeny a, b, c, p, q, r, s, t, v jsou označeny hrany šestistěnu a písmenem w jeho tělesová úhlopříčka, obr. 6.6.1a, pak pro obecný šestistěn má podmínková objemová rovnice tvar Vabcpqr + Vabcstv ± Vaqrtvw ± Vbprsvw ± Vcpqstw = 0

,

(6.6.4)

Kde se znaménko řídí podle předchozích bodu 1, 2 a 3. Uvedené hrany a, ..., w mají význam měřených délek stran sítě. Dosadíme-li do rov. (6.6.4) objemy podle rov. (6.6.1), bude mít podmínková rovnice, platící pro jeden šestičlen, tvar

[

( ( + c r (a

) ) )−

1 2 2 2 a p b + c2 − a2 + q2 + r 2 − p2 + 12 + b2q 2 c2 + a 2 − b2 + r 2 + p 2 − q 2 + 2 2

2

+ b2 − c2 + p2 + q 2 − r 2

− a 2 q 2 r 2 − b 2 r 2 p 2 − c 2 p 2 q 2 − a 2b 2 c 2 1 2 2 2 + a s b + c2 − a2 + t 2 + v2 − s2 + 12 + b 2t 2 c 2 + a 2 − b 2 + v 2 + s 2 − t 2 +

[

(

)

( + c v (a

) − v )−

2 2

2

+ b2 − c2 + s 2 + t 2

]

1 2

+

(6.6.5)

2

] )

1 2 2 2

−a t v −b v s −c s t − a b c ± 1 2 2 2 a w q + r 2 − a 2 + t 2 + v 2 − w2 + ± 12 + q 2v 2 r 2 + a 2 − q 2 + t 2 + w2 − v 2 + 2 2 2

[

+ r 2t 2

2

2 2

2 2 2

2

(

( (a

2

+ q 2 − r 2 + w2 + v 2 − t 2

) )−

− a 2t 2 v 2 − q 2t 2 w2 − r 2 w2 v 2 − a 2 q 2 r 2

122

]

1 2

±

±

[

( (

) )

1 2 2 2 2 b w p + r − b2 + s 2 + v 2 − w2 + 12 + p 2v 2 r 2 + b 2 − p 2 + s 2 + w2 − v 2 +

(

)

+ r 2 s 2 b 2 + p 2 − r 2 + w2 + v 2 − s 2 −

]

±

]

= 0.

− b 2 s 2 v 2 − p 2 s 2 w2 − r 2 w2 v 2 − b 2 p 2 r 2 ±

[

(

1 2

)

1 2 2 2 c w p + q 2 − c 2 + s 2 + t 2 − w2 + 12 + p 2t 2 q 2 + c 2 − p 2 + s 2 + w2 − t 2 +

( + q s (c 2 2

2

+ p −q +w +t −s 2

2

2

2

2

) )−

− c 2 s 2t 2 − p 2 s 2 w 2 − q 2 w 2t 2 − c 2 p 2 q 2

Označme levou stranu rov. (6.6.5) jako funkci U, takže

1 2

U = U (a, b, c, p, q, r , s , t , v, w)

a linearizujeme ji (za předpokladu existence potřebných derivací) podle Taylorova rozvoje. Dostaneme přetvořenou objemovou rovnici podmínkovou, viz kap. 4.3, ∂U ∂U ∂U ∂U ∂U ∂U ∂U ∂U va + vb + vc + vp + vq + vr + vs + vt + ∂a ∂b ∂c ∂p ∂q ∂r ∂s ∂t ∂U ∂U + vv + vw + U 0 = 0, ∂v ∂w

(6.6.6)

ve které vyjádříme parciální derivace a uzávěr U0 pomocí měřených veličin. Parciální derivace byly zjištěny z rov. (6.6.5) derivováním podle jednotlivých proměnných a, b, c, p, q, r, s, t, v, w. Tak např. derivováním podle proměnné a s přihlédnutím, že

[

( + b q (c + c r (a

) − q )+ − r )−

12Vabcpqr = a 2 p 2 b 2 + c 2 − a 2 + q 2 + r 2 − p 2 + 2

2

+ a 2 − b2 + r 2 + p 2

2 2

2

+ b2 − c2 + p 2 + q 2

2

2

2

− a 2 q 2 r 2 − b 2 r 2 p 2 − c 2 p 2 q 2 − a 2b 2 c 2

]

1 2

a obdobně pro další objemy, dostaneme po úpravě ∂U 1 −1 = a (Vabcpqr ) p 2 (b 2 + c 2 − a 2 + q 2 + r 2 − p 2 − a 2 ) + (q 2 − c 2 )(b 2 − r 2 ) + ∂a 144 −1 + (Vabcstv ) s 2 (b 2 + c 2 − a 2 + t 2 + v 2 − s 2 − a 2 ) + (t 2 − c 2 )(b 2 − v 2 ) ±

{

[

± (Vaqrtvw

[ ) [w (q −1

2

2

]

)(

+r −a +t +v −w −a + v −r 2

2

2

2

2

2

2

2

)(q

]

2

)]}

−t2 .

Obdobným způsobem získáme derivace podle zbývajících proměnných v rov. (6.6.5). Jednotlivé derivace je taktéž možno vyjádřit pomocí determinantů užitím rov. (6.6.2).

123

6.6.3 Číselná aplikace Nejprve je nutno určit počet podmínkových rovnic. Podle obr. 6.6.2 je počet vrcholů n = 8. Počet všech možných spojnic (stran sítě) je 28. Strany 5-7, 5-8, 4-8 však nebyly měřeny. Počet měřených stran je tedy 25. Počet nutných známých stran je 3(n − 2) = 18 . Počet nadbytečných měření je r = 25 − 18 = 7 . Bylo tedy nutno podle obr. 6.6.2 určit 7 šestistěnů, pro které byly sestaveny objemové podmínkové rovnice typu (6.6.4), resp. (6.6.5). Použity byly tyto šestistěny: 1.: 1, 2, 3, 4, 5 2.: 2, 3, 4, 5, 6 3.: 1, 3, 4, 5, 6 4.: 1, 2, 3, 6, 7

5.: 2, 3, 4, 6, 7 6.: 2, 3, 6, 7, 8 7.: 1, 3, 6, 7, 8

Blíže o teorii viz kap. 4.3. Číselné hodnoty dané i průběžné jsou uvedeny v [3] a částečně i v [4]. 1

abia vea 2335 m 4

5

Olga 2175 m

abie pleso 1975 m

6

Hincùv potok 1800 m 8

Rysy 2498 m

2 3 abie pleso 1950 m

Kopky 2275 m

1 km

7 Hincùv potok 1625 m

Obr. 6.6.1

6.6.4 Závěr Tato kapitola uvedla tzv. „objemovou“ podmínku pro vyrovnání trilaterační sítě v 3D. Její přednosti je možno spatřovat v tom, že je neobyčejně citlivá na chyby v délkách, neboť velikost těchto chyb roste s velikostí objemu uvažovaného čtyřstěnu. Vyrovnání pouze z délek nám dále jednoznačně odhalí chyby systematické, případně hrubé, a to bez vlivu chyb v měřených zenitových úhlech. Předností odvozené podmínkové „objemové“ rovnice je i vyloučení vnitřních funkcí. Tuto skutečnost nám umožnil vzorec Tartagliův pro výpočet objemu čtyřstěnu, jen s pomocí délek. Vyrovnání podle podmínkových měření poskytuje i další přednost – nevyžaduje definici souřadnicové soustavy, jak je tomu např. u zprostředkujících měření. Tím odpadají těžkosti při redukci měřených veličin.

124

Nedostatkem vyrovnání podle podmínkových měření je všeobecně známá obtížnost v sestavení obecného tvaru podmínkové rovnice a často i v podchycení potřebného počtu těchto rovnic. Mají-li být výsledkem souřadnice v prostoru nebo alespoň výšky jednotlivých bodů, je nutné vyrovnané hodnoty získané z podmínek transformovat do příslušné soustavy. Předložená metoda dává tedy možnost použití nové, nezávislé podmínky pro vyrovnání prostorových trilateračních sítí a tím i možnost k odstranění systematických nebo hrubých chyb. LITERATURA: [1] ENCYKLOPÄDIE der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen. Dritter Band: Geometrie, erster Teil, zweite Hälfte. Leipzig, B.G. Teubner 1914-31. [2] Kabeláč J.: Výškové vyrovnání vysokohorské sítě „Rysy 1988“. Geod. a kart. obzor, roč. 40(82), č. 1/1994. [3] Kabeláč J.: Über die Volumensbedingung bei der Ausgleichung eines dreidimensionalen Trilaterationssnetzes. Öster. Zeitsch. für Verme. und Photo., J. 81, No. 2/1993. [4] Kabeláč J.: O „objemové“ podmínce při vyrovnání trilaterační sítě v trojrozměrném prostoru. Geod. a kart. obzor, r.39/81, č.4/1993. [5] Lambert J. H.: Beiträge zum Gebrauch der Mathematik. 2, Berlin 1767. [6] Naas J. – Schmid H. L.: Mathematisches Wörterbuch. B. I. a II., Berlin, Stuttgart 1967.

6.7

Prostorové protínání z délek

6.7.1 Úvod Nechť v libovolném pravoúhlém prostorovém systému S´, na obr. 6.7.1 dole, jsou dány souřadnice xi′ , y i′ , z ′i bodů Pi a šikmé naměřené vzdálenosti d Ai = Pi , A mezi těmito body a bodem A, kde i = 1, ... , n a n je počet bodů a počet měřených délek, viz obr. 6.7.1. Úkolem je převést souřadnice xi′ , y i′ , z ′i ze soustavy S´ na souřadnice xi, yi, zi v soustavě S, zde najít souřadnice xA, yA, zA bodu A a tyto převést zpět do soustavy S´, což znamená zjistit souřadnice x ′A , y ′A , z ′A . V geodetické praxi je úloha protínání obvykle řešena na referenční ploše, tedy v dvourozměrném prostoru. Prostorového řešení se užívá v třírozměrné a družicové geodézii, viz např. [2] a [7]. Při nadbytečném počtu měření jsou zde hledány neznámé přírůstky vůči známým vstupním hodnotám, viz např. [2], [3], [4], [5], [7] aj. Některé práce, např. [1] a [6] aj., určují při nutném počtu pozorování neznámé veličiny přímo, avšak řešením tří kvadratických rovnic. Úkolem této kapitoly je nejen podat informace o postupu řešení, ale i tento postup co nejvíce zjednodušit oproti výše citovaným pracem. 6.7.2 Teoretické řešení úlohy Souřadnice xi′ , y i′ , z ′i systému S´ (místní, referenční – geodetický, geocentrický rovníkový atp.) o počátku O´ (obecný bod, střed elipsoidu, těžiště Země atp.) transformujme translací (posunem) do systému S, jehož osy Xx´, Yy´, Zz´ a počátek O leží v těžišti bodů Pi. 125

Z

Pi (xi yi zi ) r

i

Z

O dAi

Y

rA Pi (xi yi zi )

A (xA yA zA )

X

r

i

Z´

O

Y

dAi rA

O´

Y´

A (xA yA zA )

X

X´ Z´

Obr. 6.7.1

Nové souřadnice vypočteme ze vztahů O´

Y´

xi = xi′ − X´

1 n ∑ xi′ n i =1

(6.7.1)

a analogicky pro yi a zi. Takže o nich musí platit, že

∑ xi = ∑ yi = ∑ zi = 0.

(6.7.2)

ρ i2 = xi2 + yi2 + z i2 ,

(6.7.3)

rA2 = x A2 + y A2 + z A2 ,

(6.7.4)

n

n

n

i =1

i =1

i =1

Z obr. 6.7.1 dále vyplývá, že

kde ρi je tedy veličina známá a rA je veličina hledaná. Naměřenou vzdálenost dAi dále vyjádříme vztahem d Ai2 = ( xi − x A ) + ( yi − y A ) + ( z i − z A ) , 2

2

2

který rozvedeme a pomocí rov. (6.7.3) a (6.7.4) upravíme. Dostáváme d Ai2 = xi2 + yi2 + z i2 − 2( xi x A + yi y A + z i z A ) + x A2 + y 2A + z A2 , d Ai2 = ρ i2 − 2( xi x A + yi y A + zi z A ) + rA2

(6.7.5)

Posledně uvedenou rovnici vyjádřenou pro všechna i = 1, ... n sečteme. Pro hledanou veličinu rA pak dostaneme výraz n n n n n   n ⋅ rA2 = ∑ d Ai2 − ∑ ρ i2 + 2 x A ∑ xi + y A ∑ yi + z A ∑ z i  . i =1 i =1 i =1 i =1  i =1 

126

A protože platí rov. (6.7.2), platí

1 n 2  r =  ∑ d Ai − ρ i2  , n  i =1  2 A

(6.7.6)

čímž je určena vzdálenost rA, viz obr. 6.7.1. Zbývá určit souřadnice xA, yA, zA bodu A v soustavě S a posléze hledané souřadnice xi′ , y i′ , z ′i bodu A v soustavě S´, čímž bude úloha vyřešena. 6.7.2.1 Řešení pro nadbytečný počet n měření Toto řešení uskutečníme metodou MNČ. Za zprostředkující rovnici zvolíme rov. (6.7.5), kterou přepíšeme do tvaru xi x A + yi y A + z i z A +

(

)

1 2 d Ai − ρ i2 − rA2 = 0. 2

(6.7.7)

Jak se patří na MNČ, přisoudíme měřené hodnotě dAi opravu vi, dosadíme do předchozí rovnice a upravujeme. Postupně dostáváme xi x A + y i y A + z i z A + xi x A + y i y A + z i z A +

[(

1 d Ai + vi 2

(

)

2

]

− ρ i2 − rA2 = 0

)

1 2 1 d Ai − ρ i2 − rA2 + d Ai vi + vï2 = 0 2 2

a po vypuštění výrazu s vi2 a po prodělení celé linearizované zprostředkující rovnice výrazem dAi dostáváme xi y z 1 (d Ai2 − ρ i2 − rA2 ) xA + i y A + i z A + = −v i . d Ai d Ai d Ai 2 d Ai

Po vynásobení (-1) a zavedení x ai = − i , d Ai

y bi = − i , d Ai

z ci = − i , d Ai

1 (rA2 + ρ i2 − d Ai2 ) li = 2 d Ai

(6.7.8)

získáme konečný tvar rovnice oprav. Je ai x A + bi y A + ci z A + li = vi , pi ,

kde pi je váha. Řešme podle teorie v kap. 4.4.

(6.7.9)

PŘÍKLAD 16 Jsou dány souřadnice xi′ , y i′ , z ′i bodů Pi, kde i = 1, 2, 3 a 4 v pravoúhlé pravotočivé prostorové soustavě S´. Dále jsou dány měřené vzdálenosti dAi z bodů Pi na body A, viz tab. 6.7.1. Jejich váhy pi = 1. Vypočtěte prostorové souřadnice x ′A , y ′A , z ′A bodu A v souřadnicové soustavě S´, též viz obr. 6.7.1.

127

Tab. 6.7.1 Dané hodnoty pro příklad 1. Souřadnicová soustava S´. Bod

xi′

y i′

z ′i

P1 P2 P3 P4

1 -3 -2 -1

2 3 -1 1

1 -2 3 4

d Ai2 6 26 30 14

Výpočet: Úlohu budeme řešit MNČ, neboť počet měření n = 4 a je nadbytečný. Nejprve však, podle rov. (6.7.1), převedeme souřadnice ze souřadnicové soustavy S´ do souřadnicové soustavy S, jejíž počátek O je v těžišti bodů Pi, viz tab. 6.7.2. Hodnoty ρ i2 jsou dále spočteny z rov. (6.7.3). Souřadnice počátku O, viz obr. 6.7.1, v soustavě S´ jsou − 5 4 , 5 4 a 3 2 . Tab. 6.7.2 Výpočet hodnot v souřadnicové soustavě S pro řešení MNČ

Bod

xi

yi

zi

P1 P2 P3 P4

94 −7 4 −3 4 14

34 74 −9 4 −1 4

−1 2 −7 2 32 52

Σ

0

0

0

ρ i2 47 8 147 8 63 8 51 8 308 8

ai

bi

ci

li

dAi

-0,9186 0,3432 0,1369 -0,0668

-0,3062 -0,3432 0,4108 0,0668

0,2041 0,6864 -0,2739 -0,6682

1,8881 0,1716 -1,1639 0,2339

6 26 30 14

Kontroly podle rov. (6.7.2) vyhovují. Z rov. (6.7.6) pak dostáváme rA =

1 2

∑d 4

i =1

− ∑ ρ i2 = 4

2 Ai

i =1

1 308 76 − = 3,061862 2 8 .

Dále zjistíme souřadnice xA, yA, zA vyrovnáním pomocí MNČ. Zprostředkující rovnicí oprav je rov. (6.7.9). Její koeficienty ai, bi, ci a absolutní členy li udávají vztahy (6.7.8) a čtenář je rovněž najde v tab. 6.7.2. Podle kap. 4.4 zapišme soustavu zprostředkujících rovnic v maticovém tvaru Ax + l = v , P = E

kde matice vah P je maticí jednotkovou. Po dosazení dostáváme  − 0,9186 − 0,3062 0,2041     0,3432 − 0,3432 0,6864  A= , 0,1369 0,4108 − 0,2739     − 0,0668 0,0668 − 0,6682   

 1,8881     0,1716  l= , − 1,1639     0,2339   

z čehož x = − A T A A T l = (1,25 2,75 0,5) . Prvky v posledním vektoru jsou souřadnice xA, yA, zA v soustavě S. Pomocí rov. (6.7.1) získáme

(

)

−1

T

128

x′A = 1,25 − 5 4 = 0, y ′A = 2,75 + 5 4 = 4, z ′A = 0,5 + 3 2 = 2.

Závěrečnou a zásadní kontrolou je výpočet hodnot měřených délek pomocí souřadnic xi′ , y i′ , z ′i a vyrovnaných x ′A , y ′A , z ′A , tedy z výrazů

[

2 2 2 d Aivyp = ( xi′ − x′A ) + ( yi′ − y ′A ) + ( z i′ − z ′A )

]

1

2

.

Výsledky jsou přesvědčující. Tím je úloha vyřešena. Jelikož šlo o pouhou demonstraci předložené teorie, byly vstupní číselné hodnoty výhodně zvoleny a neodpovídají skutečnosti. Tím se také vysvětluje, že všechny opravy vi v rov. (6.7.9) jsou prakticky nulové: v1 = - 0,00015, v2 = 0, v3 = 0,00002, v4 = 0. Rovněž proto nebylo zapotřebí zavádět do vyrovnání podmínku x A2 + y A2 + z 2A = rA2 a vyrovnání neprovádět jako zprostředkujících plus podmínkových pozorování, viz kap. 4. 6.7.2.2 Řešení pro nutný počet n měření Počet n = 3. I zde posuneme souřadnicovou soustavu S´ paralelně tak, aby těžiště trojúhelníka zadaných bodů Pi, i = 1, 2, 3, se stalo novým počátkem O souřadnicové soustavy S, viz obr. 6.7.2. Z dA3

P3

A (xA yA zA ) rA

r

3

dA1

dA2

r

O

2

Y

r

P2

1

P1

X Obr. 6.7.1

Rovina P1P2P3 tedy prochází počátkem. Z tohoto obrázku dále vyplývá, že

ρ i2 = xi2 + yi2 + z i2 ,

(6.7.10)

kde ρi jsou těžnice, neboť trojúhelník byl vytvořen pomocí rov. (6.7.1). Zaměřovaným bodem je bod A, a to pomocí délek dA1, dA2 a dA3. Opět platí d Ai2 = ( xi − x A ) + ( yi − y A ) + ( z i − z A ) , 2

2

2

kterou rozepíšeme a dostáváme rov. (6.7.5) a posléze rov. (6.7.6) ve tvaru

129

rA2 =

1 3 2 ( d Ai − ρ i2 ) , ∑ 3 i =1

(6.7.11)

rA viz obr. 6.7.2 jako tečkovaná spojnice OA. Souřadnice xA, yA, zA máme řešením rov. (6.7.7) a (6.7.4). Tedy z rovnic xi x A + yi y A + z i z A + li′ = 0

(6.7.12)

x 2A + y 2A + z 2A − rA2 = 0

1 2 d Ai − ρ i2 − rA2 a rA určuje rov. (6.7.11), i = 1, 2, 3. Tím se zde řešený problém 2 převedl na řešení dvou rovnic lineárních a jedné rovnice kvadratické.

kde li′ =

(

)

PŘÍKLAD 17 Jsou dány souřadnice xi′ , y i′ , z i′ bodů Pi, kde i = 1, 2, 3, v souřadnicové soustavě S´, jakož i odpovídající měřené vzdálenosti dAi, viz tab. 6.7.3 z bodů Pi na bod A. Vypočtěte prostorové souřadnice x ′A , y ′A , z ′A bodu A v téže soustavě S´, viz obr. 6.7.2 i 6.7.1. Dané hodnoty viz tab. 6.7.3. Tab. 6.7.1 Dané hodnoty pro příklad 2. Souřadnicová soustava S´

Bod

xi′

y i′

z ′i

d Ai

P1 P2 P3

-1 2 0

-1 1 2

2 -1 -2

14 18 26

Výpočet: Výpočet bude uskutečněn bez použití způsobů MNČ. Tedy přímým řešením rov. (6.7.12). Pročež musíme opět převést souřadnice ze soustavy S´ do soustavy S pomocí rov. (6.7.1). 1 3 1 1 3 2 1 3 1 Použito však bude výrazů ∑ xi′ = , ∑ y i′ = a ∑ z i′ = − , viz tab. 6.7.4, kde je 3 i =1 3 3 i =1 3 3 i =1 3 rovněž uvedeno ρi, získané z rov. (6.7.10). Kontroly podle rov. (6.7.2) vyhovují. Z 3  3  rov. (6.7.11) pak dostáváme rA =  ∑ d Ai2 − ∑ ρ i2  3 = (58 − 18) 3 = 3,651 . Pomocí rA i =1  i =1  pak získáme absolutní členy l i′ pro rov. (6.7.12). Uvádí je rovněž tab. 6.7.4.

Tab. 6.7.2

Výpočet hodnot v souřadnicové soustavě S pro přímé řešení Bod P1 P2 P3 Σ

xi −4 3 53 −1 3 0

yi −5 3 13 43 0

zi 73 −2 3 −5 3 0

130

ρi

l i′

3,162 1,826 2,160

-4,667 0,667 4,000

Pro konkrétní řešení sestavíme rov. (6.7.12), pro i = 1, 2, 3, viz tab. 6.7.4. v obecném tvaru zní x1 x A + y1 y A + z1 z A + l1′ = 0 x 2 x A + y 2 y A + z 2 z A + l 2′ = 0

/ y2

/ x3

/ − y1

x3 x A + y 3 y A + z 3 z A + l 3′ = 0

/ − x1

(6.7.13)

x A2 + y A2 + z A2 − rA2 = 0

Po naznačených úpravách získáváme výrazy xA =

y1l2′ − y 2 l1′ y1 z 2 − y 2 z1 + zA, x1 y 2 − x2 y1 x1 y 2 − x2 y1

(6.7.14)

yA =

x3l1′ − x1l3′ x z −x z + 3 1 1 3 zA, x1 y3 − x3 y1 x1 y 3 − x3 y1

(6.7.15)

za které zavedeme x A = α + β z A a y A = γ + δ z A a po dosazení do čtvrté rov. (6.7.13) je Az A2 + Bz A + C = 0,

(6.7.16)

(x A )1 = 0,667 ( y A )1 = 1,333 (z A )1 = 3,333 (x A )2 = 0,117 ( y A )2 = −3,613 (z A )2 = −0,514

(6.7.17)

kde A = 1 + β 2 + δ 2 , B = 2(αβ + γδ ) , C = α 2 + γ 2 − rA2 . Řešení je dvouznačné, takže pro zA dostáváme dva kořeny z rov. (6.7.16) a zrovna tak pro xA a yA z rov. (6.7.14) a (6.7.15). Kontrolou je dosazení do rov. (6.7.16) a (6.7.13). Výsledky jsou

kde indexy 1 a 2 představují 1. a 2. řešení. Z nich platí jen jedno. Kontroly dosazením do čtyř rov. (6.7.13) ovšem vyhovují. Převod do souřadnicové soustavy S´ uskutečníme pomocí rov. (6.7.1). Pro 1. kořeny platí

(x′A )1 = (x A )1 + 1 ∑ xi′ = 0,667 + 1 = 1 3

3

3

i =1

( y ′A )1 = ( y A )1 + 1 ∑ yi′ = 1,333 + 2 = 2 3

3

3

i =1

(z ′A )1 = (z A )1 + 1 ∑ z i′ = 3,333 − 1 = 3 3

3

i =1

Stejně učiníme i pro 2. kořeny rov. (6.7.17). Získáváme

3

(x′A )2 = 0,450 ( y ′A )2 = −2,946 (z ′A )2 = 0,847.

Závěrečnou a zásadní kontrolu získaných souřadnic v soustavě S´, je jejich dosazení do vztahu d Ai2 = ( xi′ − x′A ) + ( yi′ − y ′A ) + ( z i′ − z ′A ) . 2

2

2

Dosazením vyplývá, že reálné jsou pouze 1. kořeny. Konečně ověření platnosti jednotlivých kořenů může provést měřič eventuálně i počtář.

131

Pilnému a zvídavému čtenáři doporučuji provést řešení tohoto příkladu obdobně, jak činí MNČ. LITERATURA:

[1] Giering O.: Analytische Behandlung des räumlichen Trilaterationsproblems [4, 6, 0, 0]. Deutsche geodätische Kmmission, Reihe A, Nr. 104, München 1986. [2] Hradilek L.: Vysokohorská geodézie. Nakladatelství ACADEMIA, Praha 1984. [3] Jordan – Eggert – Kneissl: Handbuch der Vermessungskunde. Band VI.: K.Rinner, F. Benz: Die Entfernungsmessung mit elektro-magnetischen Wellen und ihre geodätische Anwendung. J. B. Metzlersche Verlagsbuchhandlung, Stuttgart 1966. [4] Kabeláč J.: Ausgleichung eines Dreieckes des Astronomischgeodätischen Netzes mittels Methode der dreidimensionalen Geodäsie. Práce stavební fakulty, Praha 1978. [5] Kotva J.: Určení souřadnic bodu protínáním při měřené délce a směrníku. Vojenský topografický obzor, 1972, str. 51 – 62. [6] Rinner K.: Geometrie mit Raumstrecken. Zeitschrift für Vermessungswesen, 83 (1958), str. 91 – 105. [7] Wolf H.: Die Grundgleichungen der dreidimensionalen Geodäsie in elementarer Darstellung. Zeitschrift für Vermessungswesen, 88 (1963), str. 225 – 233.

132

7 Triangulace na vysoké cíle – síť 0-tého řádu – hvězdná triangulace 7.1

Úvodem několik slov na vysvětlenou

Námětem i obsahem předkládaného textu, jak bylo již vzpomenuto v předmluvě, mělo být pojednání o vyšší geodézii. Tento název, jak se jeví, je nevhodný ze dvou důvodů: - předně s ním nesouhlasí mnozí, kteří v oboru vyšší geodézie nepracují. A těch je dost a navíc se značným vlivem, což je jev všeobecně lidský, - s rostoucím vlivem technizace a vědeckých poznatků přijala geodézie zcela nové metody měření a zpracování. Jednou z nich je využívání kosmických jevů a speciálně umělých družic Země (UDZ). Je to ještě vyšší geodézie? Co z toho vyplývá? Především náplň vyšší geodézie se obohatila. A to do značné míry. Svou kvalitou a bohatstvím sledovaných metod. Dézie*) se již nezajímá jen o Zemi, ale i o jiná tělesa sluneční soustavy. A k jejich studiu a jistěže i ke studiu Země nepoužívá jen prostoru a jevů na Zemi, ale i v blízkém i vzdáleném kosmu. Přejdeme proto z názvu „Vyšší geodézie“ k názvu „Planetární geodézie“?! Či k jakému? Či nepřejdeme? A ještě jednu poznámku. Je totiž pozoruhodné, jak se mnozí staví k těmto změnám nepřátelsky. Příkladem je odpor ke všemu, co souvisí s hvězdným nebem. To bylo, je a patrně bude. A nejde zde o pilíře naší geodézie, ale i o studenty v extrému druhém. Myslím, že vysvětlením je myšlenková lenost, která napadá lidská individua bez rozdílu, nezávisle na věku. A je to velká, citelná ztráta. Vždyť tím by obor jen rostl a nabýval na důležitosti a tím i na vážnosti nejen odborné, ale i společenské. A proto přejte doslovnému naplnění ušlechtilé myšlenky „Per aspera ad astra“. A protože v dalším odborném textu přecházíme z oné klasické „vyšší geodézie“ do řekněme „planetární geodézie“, je nutné upozornit členění na doplnění znalostí ze sférické astronomie. Ač je v dostačující míře uvedena ve skriptech [11], jsou v dalším popsány aspoň dvě nejzákladnější souřadnicové soustavy, obzorníková a rovníková, kterých bude v kap. 7 i 8 nejen používáno, ale s jejich užitím budou vypracovány další metody pro budování geodetických základů, zejména geodetických sítí.

7.2

Dvě základní souřadnicové soustavy sférické astronomie

Použijeme skriptum [11], ze kterého vyjmeme upravenou a zredukovanou kap. 1.3. Abychom mohli zavést sférickou souřadnicovou soustavu, musíme zvolit sféru (kouli) s určitým poloměrem a základní směry a roviny, které je možné fyzikálně realizovat. Z matematického hlediska je vhodné zvolit poloměr koule roven 1 (Gaussova sféra). Za základní směry zvolíme: svislici v daném bodě pozorování nebo směr rotační osy Země. Za základní roviny volíme: rovinu horizontu (obzorníku) v daném bodě *)

Podle učebnice J. Ryšavého: Nižší geodézie, s.5, znamená doslovný překlad názvu geodesie „dělení země, půdy“, což charakterizovalo činnost starověkých měřičů. Podle F.R.Helmerta je to „věda o měření a mapování zemského povrchu“. Je-li tento pojem přenesen na Měsíc či obecně na planetu, mluvíme o selenodesii či planetodesii. Podobně i pro další tělesa sluneční soustavy.

133

pozorování nebo rovinu rovníku. Půjde tedy o - obzorníkovou souřadnicovou soustavu, - rovníkovou souřadnicovou soustavu (závislou na čase), - rovníkovou souřadnicovou soustavu (nezávislou na čase). Některé z uvedených souřadnicových soustav dělíme ještě podle polohy středu koule na - topocentrickou, - geocentrickou. 7.2.1 Obzorníková souřadnicová soustava Základním směrem obzorníkové souřadnicové soustavy je směr svislice v bodě, ze kterého pozorujeme kosmické objekty. Do tohoto bodu umístíme střed jednotkové koule O – viz obr. 7.2.1. Svislice protne jednotkovou kouli v bodě Z, který nazýváme zenit (nadhlavník), a v bodě Na, který nazýváme nadir. Rovina kolmá ke svislici procházející bodem O se nazývá rovina obzorníku. Protíná jednotkovou kouli v hlavní kružnici, která se nazývá obzorník nebo též horizont. Horizont rozděluje kouli na dvě poloviny, z nichž pouze horní je viditelná. Vedeme-li rovnoběžku s rotační osou bodem O, protíná jednotkovou kouli v severním pólu Pn a jižním pólu Ps.

Obr. 7.2.1

Hlavní kružnice procházející zenitem a nadirem se nazývají výškové kružnice (vertikály). Z nich jsou dvě význačné, a to místní poledník (meridián) a první vertikál. Místní poledník definujeme jako kružnici procházející zenitem, nadirem, severním a jižním pólem. Rovina proložená touto kružnicí se nazývá rovina místního poledníku. Slunce při svém zdánlivém pohybu po obloze prochází touto rovinou v pravé místní poledne (termíny budou upřesněny v dalších odstavcích), proto název poledník. Rovina prvního vertikálu prochází zenitem a nadirem a je kolmá na rovinu místního poledníku. Průsečnice této roviny s jednotkovou koulí se nazývá první vertikál. Průsečíky místního poledníku, resp. prvního vertikálu s obzorníkem se nazývají severní bod N, jižní bod S, západní bod W a východní bod E. Obzorník a poledník definují obzorníkovou soustavu. Sférické souřadnice se nazývají azimut a, zenitová vzdálenost z resp. výška h hvězdy. 134

Zvolme na jednotkové kružnici polohu hvězdy H a proložme hvězdou svislou rovinu (rovinu vertikálu). Azimut a je pak úhel, který svírá rovina vertikálu s rovinou místního poledníku. Měří se od jižní větve místního poledníku v matematicky záporném smyslu (k západu) a nabývá hodnot v intervalu 0° až 360°. Zenitová vzdálenost z je úhel měřený po výškové kružnici od zenitu ke hvězdě. Nabývá hodnot 0° až 180°. Výška hvězdy h je úhel, který svírá směr ke hvězdě s rovinou obzorníku. Mezi výškou a zenitovou vzdáleností platí jednoduchý vztah z + h = 90° .

7.2.2 Rovníkové souřadnicové soustavy Základním směrem rovníkové soustavy je směr osy rotace Země, která protne jednotkovou kouli v severním světovém pólu Pn a jižním světovém pólu Ps, viz obr. 7.2.2. Základní rovinou je rovina rovníku, kolmá k ose rotace a procházející počátkem O. Rovina rovníku protne kouli v hlavní kružnici, kterou nazýváme světovým rovníkem. Na obr. 7.2.2 je označena jako rovník. Roviny procházející světovými póly nazveme deklinačními rovinami a jejich průsečnice s jednotkovou koulí deklinační kružnice, viz obr. 7.2.2. Polohu hvězdy vůči rovníku určuje souřadnice, zvaná deklinace δ. Je to úhlová vzdálenost hvězdy od rovníku měřená po deklinační kružnici. Deklinace nabývá hodnot v intervalu – 90° až 90°, měřeno od jižního pólu k severnímu pólu. Vedlejší roviny rovnoběžné s rovinou rovníku protínají jednotkovou kouli v kružnicích, které se nazývají deklinační rovnoběžky. Po deklinačních rovnoběžkách hvězdy vykonávají svůj zdánlivý denní pohyb jako odraz skutečné rotace Země. Polohu hvězdy vůči pólu můžeme také vyjádřit pomocí pólové vzdálenosti p. Je to úhlová vzdálenost hvězdy, měřená po deklinační kružnici od severního pólu. Pro deklinaci a pólovou vzdálenost platí jednoduchý vztah

δ + p = 90° .

Druhou rovníkovou souřadnici můžeme volit dvěma způsoby, podle zvolené pomocné základní roviny. Rozlišujeme tak první a druhou rovníkovou souřadnicovou soustavu Sr1 a Sr2.

Obr. 7.2.1 Rovníková soustava Sr1

Obr. 7.2.2 Rovníková soustava Sr2

135

První rovníková souřadnicová soustava Sr1, „závislá na čase“

V první rovníkové souřadnicové soustavě, viz obr. 7.2.2., zvolíme za základní rovinu rovinu místního poledníku. Polohu hvězdy pak určuje hodinový úhel t a deklinace δ, která již byla definována. Hodinový úhel je úhel, který svírá rovina místního poledníku s deklinační rovinou, procházející hvězdou. Měříme ho od jižní větve místního poledníku v matematicky záporném smyslu. Může nabývat hodnot 0° až 360°, většinou ho však vyjadřujeme v hodinové míře v intervalu 0h až 24h. Jak vyplývá z definice, hodinový úhel je závislý na poloze místního poledníku vůči hvězdám. Ten však v důsledku rotace Země mění neustále svou polohu a z toho vyplývá i změna hodinového úhlu. První rovníková soustava je tedy vázána na Zemi a spolu s ní rotuje. Má proto zásadní význam pro měření času odvozeného z rotace Země, to je také důvod, proč je hodinový úhel vyjadřován v hodinové míře. Podle obr. 7.2.2 též platí, že úhel, který svírá rovina rovníku s rovinou obzorníku, je roven 90° – ϕ. Druhá rovníková souřadnicová soustava Sr2, „nezávislá na čase“

Země obíhá kolem Slunce v rovině, která svírá s rovinou světového rovníku úhel přibližně rovný 23,5° a nazývá se rovina ekliptiky. Název pochází z řeckého slova „ekleipsis“ a znamená zatmění. Ekliptika protíná světový rovník ve dvou bodech, obr. 7.2.3. Průsečík, kterým prochází Slunce v den jarní rovnodennosti, nazýváme jarní bod a označujeme symbolem souhvězdí Berana, . Druhý průsečík, kterým prochází Slunce v den podzimní rovnodennosti, se nazývá podzimní bod a označujeme jej symbolem souhvězdí Vah, . Za pomocnou základní rovinu druhé rovníkové soustavy zvolme deklinační rovinu procházející jarním bodem. Ji zvolíme za nulovou. Polohu hvězd v této soustavě určujeme pomocí rektascenze α a již definované deklinace δ. Rektascenze je úhel mezi deklinační rovinou procházející jarním bodem a deklinační rovinou hvězdy, nebo na jednotkové kouli úhel mezi jarním bodem a deklinační kružnicí hvězdy, který měříme od jarního bodu v matematicky kladném smyslu od 0h do 24h. Někdy se také označuje z latinského „ascensio recta – pravá vzdálenost“. Porovnáním obou soustav zjišťujeme, že deklinace je v obou soustavách stejná, „nezávislá“ na rotaci Země a na poloze pozorovatele, ale hodinový úhel a rektascenze se liší. Uvědomme si, že rektascenze nezávisí na poloze místa pozorovatele ani na rotaci Země, protože se měří od jarního bodu. Z těchto důvodů druhá rovníková soustava nerotuje a je do jisté míry „nezávislá“ na čase. Proto se používá pro sestavení katalogů (efemerid) souřadnic hvězd, Slunce, Měsíce, planet a družic.

7.3

Základní geometrické úlohy družicové geodézie (DG)

Kromě geometrických úloh existují ještě úlohy orbitální a dynamické, o kterých bude pojednáno později v části XI. Protože tato kap. 7.3 spadá do IV. části, nazvané „geodetické sítě“, budeme se zde zabývat toliko těmi úlohami geometrickými, které s geodetickými sítěmi úzce souvisí.

136

Základní geometrickou úlohu formuloval a i prakticky ověřil finský geodet Y.Väisälä a je popsána např. v [39] nebo [21]. Její vznik, tj. ověřování, zkušební měření např. ve vysokých horách, studium oprav a sestavování teorie však spadají již do let předválečných. Ještě dříve, než dojde k popisu geometrických metod poznamenejme, že tyto metody sehrály svou nezanedbatelnou úlohu na počátku družicové éry a v současnosti jsou však téměř zcela opuštěny. Jejich, silně zestručněné, uvedení, má zde opodstatnění v porozumění vývoje a v pedagogickém smyslu. Princip úlohy pozůstává v tom, že z družicových stanic 1 a 2, obr. 7.3.1, je současně či kvazisoučasně vyfotografována dráha d umělé družice Země (UDZ), jež se promítne na hvězdné pozadí. Expozice trvá po dobu přeletu a je prováděna speciálními pevnými komorami, např. [8], [14] aj., opatřenými uzávěrkami, které pracují s přesností řádově 0,1 ms nebo lepší. S touto přesností jsou přerušovány expozice dráhy družice, takže se na snímku jeví dráhy d1 a d2 jako přerušované. Čas je s uvedenou přesností zaznamenáván. Rovněž expozice hvězd, H1 a H2 na obr. 7.3.1, jsou přerušované. Přesnost v jejich časovém záznamu je postačující na 10 ms. H2 ( a2 d2 )

H1 ( a1 d1 ) d1

d2

d

2 4

1 3

Obr. 7.3.1

Popsaný postup platí pro družicové fotografické komory, které jsou pevně spojeny se Zemí včetně fotografického materiálu. Jinou variantou byly komory, jež byly opatřeny hodinovým pohybem za hvězdami. Nejdokonalejšími byly komory, které mohly střídavě provádět pohyb za hvězdami a pohyb za družicí. Tím se zvýšila možnost sledování/exponování slabých družic. Ve všech těchto případech následovalo proměření obrazů hvězd i obrazů UDZ na koordinátometru s přesností min. 1 µm. Pomocí různých transformačních metod, viz např. [2], [5], [6], [17], [20], [24], [25], [26], [38], jsou snímkové souřadnice UDZ převedeny na topocentrické rovníkové souřadnice α1i, δ1i, α2i, δ2i (rektascenze a deklinace), případně na t1gri ,

δ1i, t 2gri , δ2i (hodinový úhel greenwichský a deklinace), viz kap. 7.2, kde i = 1, …, n a n je počet proměřených a použitých poloh UDZ, které jsou společné pro oba snímky, obr. 7.3.1.

137

Expozice ze stanic 1 a 2 nejsou zpravidla přesně současná (simultánní, synchronní), ale jsou kvazisoučasná. Na přesně stejné okamžiky se expozice převádějí matematickou cestou. Získáním směrových veličin z obou snímků na polohu UDZ, která je společná pro obě stanice 1 i 2, získáme jednu dvojici synchronních pozorování, které nám definují jednu tzv. synchronní rovinu 12⊗, viz obr. 7.3.1. Další synchronní roviny je možno získat z dalších expozic použité dvojice snímků. Jistě je žádoucí, aby bylo co nejvíce takovýchto vhodných synchronních rovin. Jejich polohu vůči družicovým stanicím 1 a 2 charakterizuje tzv. poddružicový bod, což je kolmý průmět družice (právě exponované) na povrch Země (Zemi označujeme ♀ nebo ⊕). Obr. 7.3.2 ukazuje konkrétní situaci při měření, prováděných v letech 1962 až 1966, na jasné družice Echo1, Echo2 a PAGEOS, bližší viz [33]. Optimální je, aby se tyto poddružicové body nacházely na ose symetrie spojnice obou zúčastněných družicových stanic. Tímto je princip metody hvězdné (stelární, astronomické) triangulace, jak doufám, vysvětlen.

Obr. 7.3.2

Bližší o geodetických aplikacích DG, jmenovitě pro budování geodetických sítí, je uvedeno v literatuře [39] a [33]. 138

7.4 Teorie Väisälä-ho metody hvězdné triangulace∗) - síť 0-tého řádu Zaveďme nejprve souřadnicovou soustavu pravoúhlých prostorových souřadnic X, Y, Z, o které platí: - osa X leží v průsečnici rovin greenwichského astronomického poledníku a astronomického rovníku, - osa Y leží v rovině astronomického rovníku a její astronomická délka je 90° směrem východním, - osa Z je rovnoběžná s okamžitou severní rotační poloosou, - počátek tohoto systému nemusí ležet v těžišti Země. 7.4.1 Část 1 – Určení směru strany sítě Astronomické rovníkové souřadnice měřených a hledaných směrů jsou: hodinový úhel greenwichský tgr a deklinace δ. Zahrnut je vliv precese, nutace a aberace světla. V kap. 6.2 byla diskutována podmínka komplanarity, rov. (6.2.1), kterou použijeme i zde. Směry 1⊗, 2⊗ a 12, viz obr. 7.3.1 musí totiž ležet v jedné rovině. Tyto směry vyjádříme pomocí směrových kosinů, takže platí determinant a12

b12

c12

a1⊗

b1⊗

c1⊗ = 0.

a 2⊗

b2⊗

c 2⊗

(7.4.1)

z

90° sc co

arc

-t gr 90°

arccos b

o cc

sa

d

y

ar

x Obr. 7.4.1

Protože měřenými i hledanými veličinami jsou hodinové úhly a deklinace, zavedeme vztahy, viz obr. 7.4.1, a = cos t gr cos δ ,

b = − sin t gr cos δ ,

c = sin δ ,

(7.4.2)

v nichž jsme vynechali indexy. Tyto výrazy dosadíme do rov. (7.4.1), determinant dělíme příslušnými kosiny deklinací, upravíme a dostáváme ∗)

O dalších úlohách DG vhodných pro geodézii je pojednáno v kap. 8 a v části XI.

139

cos t12gr D12⊗ = cos t cos t

gr 1⊗ gr 2⊗

tgδ12

sin t12gr gr 1⊗ gr 2⊗

sin t sin t

tgδ1⊗ = 0. tgδ 2⊗

(7.4.3)

ve kterém indexy 1 a 2 představují družicovou stanici 1 a 2 a ⊗ = 1, …, n, kde n je celkový počet synchronních rovin. Neznámými a hledanými veličinami jsou rovníkové souřadnice t12gr , δ12 směru 12, které nahradíme vztahy gr t12gr = t120 + dt12 , δ 12 = δ 120 + dδ 12 .

gr V nich t120 , δ120 jsou přibližné hodnoty a dt12, dδ12 jejich hledané opravy. Zjistíme je MNČ vyrovnáním zprostředkujících pozorování, viz kap. 4.4. Za tímto účelem je nutno rov. (7.4.3) linearizovat pomocí Taylorova rozvoje. Dostaneme rovnici oprav

a12⊗ dt12gr + b12⊗ dδ 12 + l12⊗ = v12⊗

,

kde

a12⊗

a absolutní člen

gr − sin t120 = cos t1gr⊗0 cos t 2gr⊗0

gr cos t120 sin t1gr⊗0 sin t 2gr⊗0

b12⊗ = tgδ 120 sin (t 2gr⊗0 − t1gr⊗0 )

0 tgδ 1⊗0 , tgδ 2⊗0

l12⊗ = D12⊗0

gr po zavedení přibližně známých veličin t120 , δ120 do rov. (7.4.3). Absolutní člen je odchylka úhlu normály k rovině 12⊗ a přibližného směru 120 od 90°. Po připojení vah, viz např. [36], zavedení oprav a vyloučení nevhodných měření následuje vyrovnání MNČ, čímž je ukončena 1. část vyrovnání. Jejím výsledkem jsou rovníkové souřadnice t gr a δ (indexy jsou vynechány) pro jednu každou stranu sítě 12, 23, 31, atd., viz obr. 7.3.1, z nichž každá byla určena samostatně. Mezi nimi není tedy žádné závislosti.

7.4.2

Část 2 – Vyrovnání celé sítě

V předchozí části 7.4.1 byly vypočteny hodnoty t gr a δ (indexy jsou vynechány) směrů stran družicové prostorové sítě z pozorování UDZ. Tyto směry nemají žádnou vzájemnou vazbu. Každý z nich byl totiž určen samostatně. Není tedy zajištěna podmínka komplanarity tří směrů v každém trojúhelníku sítě. Aby bylo dosaženo toho, že tyto tři směry pro jeden každý trojúhelník leží ve společné rovině, je opět nutné zavést podmínku komplanarity, danou rov. (7.4.3), resp. již rov. (6.2.1). Tuto podmínku zapíšeme, např. pro trojúhelník 123, když prostě v rov. (7.4.3) zaměníme indexy. Je pak

140

cos t12gr D123 = cos t cos t

gr 23 gr 31

tgδ 12

sin t12gr sin t sin t

gr 23 gr 31

tgδ 23 = 0 tgδ 31

(7.4.4)

Na rozdíl od determinantu rov. (7.4.3), kde jsou neznámými/vyrovnanými veličinami jen dvě veličiny s indexem 12, je v rov. (7.4.4) neznámých veličin šest. Po linearizaci rov. (7.4.4) dostáváme linearizovanou přetvořenou rovnici podmínkovou ve tvaru at12 dt12gr + at 23 dt 23gr + a t 31 dt 31gr +

(7.4.5)

+ aδ 12 dδ 12 + aδ 23 dδ 23 + aδ 31 dδ 31 + D1230 = 0,

kde aindex a bindex jsou derivace výrazu D123 podle jednotlivých hledaných neznámých. Jejich význam je uveden v [4]. Zbývá určit počet těchto podmínkových rovnic. Uvažujme: jsou-li dány v trojúhelníku dva směry hodinovými úhly a deklinacemi a z 3. směru jen jedna z těchto veličin, je možno druhou již vypočítat z podmínky komplanarity. Je-li i tato veličina dána, je nadbytečná, a je dlužno přistoupit k vyrovnání. Zkoumejme toto blíže. Předpokládejme, že směry spojnic (stran) trojúhelníku jsou vždy dány jak hodinovým úhlem t, tak deklinací δ. Označme: m – počet všech pozorování, v – počet nutných pozorování, r – počet nadbytečných pozorování = počet podmínkových rovnic. Pro 3 body (např. 1, 2, 3 v obr. 7.3.1) platí: m = 6, v = 5, r = 1. Pro čtyři body (např. 1, 2, 3 a 4) platí: m = 12, v = 8, r = 4. Dále pro n vrcholů máme n s = (n − 1) spojnic a všech měření m = 2 s = n(n − 1) . Počet nutných měření jest 2 v = 5 + 3(n − 3) = 3n − 4 , takže počet nadbytečných měření r = m − v = n 2 − 4n + 4 = (n − 2)

2

a je roven počtu podmínkových rovnic. Celá tato úvaha platí, jsou-li známy obě sférické souřadnice tgr a δ pro všechny možné spojnice (strany). Pakliže však 1 spojnice není měřena, pak odpadají 2 měření a pro s naměřených spojnic odpadne 2s měření. Celkový počet nadbytečných měření rovný počtu výsledných podmínkových rovnic je pak 2 r ′ = r − 2 s ′ = (n − 2 ) − 2s ′ , kde s´ je počet neměřených spojnic. Tab. 7.4.1 uvádí číselné příklady. Tab. 7.4.1

n 3 4 5 6 M n

n je počet vrcholů, s počet všech stran (spojnic), m je počet všech, v počet nutných a r počet nadbytečných měření = počtu podmínkových rovnic. s 3 6 10 15

m 6 12 20 30

v 5 8 11 14

r 1 4 9 16

n (n − 1) 2

n(n − 1)

3n − 4

(n − 2 )2

141

Po sestavení příslušných podmínkových rov. (7.4.5) následuje vyrovnání MNČ podle podmínkových pozorování, viz kap. 4.3. Příklad takovýchto měření a výpočtů je uveden např. v [33]. Splněním podmínky (7.4.4) je dosaženo toho, že směry stran v trojúhelnících 1, 2, 3; 1, 3, 4; ..., viz obr. 7.3.1, jsou komplanární a tuto síť je možno považovat za vyrovnanou. Je nazývána síť 0-tého řádu a my se o ní ještě zmíníme v kap. 7.7.

7.5

Zobecnění Väisälä-ho metody hvězdné triangulace

Zobecněním se zde rozumí to, že kromě měřených směru jsou rovněž měřeny vzdálenosti mezi družicovou stanicí a UDZ. Tato měření se provádějí laserovými aparaturami∗). Zavedením délkových veličin se ovšem mění i teorie zobecnění metody hvězdné triangulace. Tab. 7.5.1 uvádí různé případy měřených veličin. Vycházet budeme ze vztahu (vodorovná čárka znamená vektor) d = ρ1 − ρ 2 ,

(7.5.1)

d ⋅ a = ρ1a1 − ρ 2 a 2 , d ⋅ b = ρ1b1 − ρ 2b2 , d ⋅ c = ρ1c1 − ρ 2 c 2 ,

(7.5.2)

viz obr. 7.5.1. Vektorům přisoudíme směrové kosiny a, b, c, ai, bi, ci pro i = 1, 2. Rov. (7.5.1) rozepíšeme do souřadnicových složek. Jsou kde význam směrových kosinů udávají rov. (7.4.2), v nichž nejsou uvedeny indexy. Neznámými jsou d, a, b, c či lépe d, tgr, δ (opět bez indexů) spojnice (strany) 12. Měřenými di, t igr , δi, z nichž ovšem některé mohou být vynechány, jak ukazuje tab. 7.5.1. Tab. 7.5.1 Různé případy měřených veličin pro zobecněnou Väisälä-ho metodu hvězdné triangulace

Případ 1 2 3 4

Je měřeno∗∗) d1 t1gr δ1 d2 t 2gr δ2 d1 t1gr δ1 t 2gr δ2 d2 d1 t1gr δ1 t1gr δ1 t 2gr δ2

Počet rovnic oprav 3 2 1 1

∗)

Obvykle je užíváno rubínových pulsních laserů o energii 1 Joule a o vlnové délce 694,3 nm. Úzký divergenční úhel 1´ až 3´ vyžaduje odpovídající přesnost v justáži celé aparatury, jejímiž hlavními součástmi jsou zdroj světelného impulsu (vlastní laser), receptor odražených paprsků (např. reflektor o průměru asi 30 – 50 cm) s citlivým fotonásobičem, hledáček, naváděcí zařízení, chladící zařízení atp. Vše je umístěno na 2 až 4 - osé montáži. Časový interval ∆t mezi příjmem a vysláním světelného signálu je měřen elektronickým čítačem s přesností až 0,1 ns a přiřazen k času UTC s přesností 1 µs. Vzdálenost d stanoviska – UDZ se získá ze vzorce 1 d = c∆t + ∆d1 + ∆d 2 , 2 kde c je rychlost světla, ∆d1 a ∆d2 opravy z vlivu hustoty atmosféry a ze zpoždění měřící aparatury. Původní přesnost asi 1,5 m stoupla v současnosti (r. 2005) asi na 2 až 1 cm. První laserová měření byla uskutečněna v USA ve 2. polovině 60. let 20. století. Zcela nahradila měření směrů, především pro podstatně vyšší přesnost a jednodušší zpracování. U nás v této době dosáhla světové úrovně hvězdárna v Hradci Králové. ∗∗) Indexy je možno zaměnit.

142

Obr. 7.5.1

Případ 1. Rov. (7.5.2) nabízí tři nezávislé zprostředkující rovnice. Zavedeme

d = d0 + d d, t

= t 0gr + d t

gr

δ = δ

gr

,

(7.5.3)

+ dδ ,

0

kde d0, t 0gr , δ0 jsou přibližné známé hodnoty a dd, dtgr, dδ jejich hledané opravy, vztažené ke spojnici 12, obr. 7.5.1. Rov. (7.5.3) dosadíme do rov. (7.4.2) a ty pak do rov. (7.5.2), které linearizujeme. Po úpravě dostáváme

(

)

M d d d + d 0 M t d t gr cos δ 0 + d 0 M δ d δ + L = v ,

kde vektory známých koeficientů zní  a0    M d =  b0 , c   0

 − sin t 0gr   1  M t =  − cos c , ρ ′′    0 

 − sin δ 0 cos t0gr   1  M δ =  sin δ 0 sin t 0gr  . ρ ′′   cos δ 0  

Vektory absolutních členů a oprav jsou

 a0   a2   a1        L = d 0  b0  + d 2  b2  − d1  b1 , c  c  c   0  2  1

 vx    v =  vy  , v   z

(7.5.4)

(7.5.5)

(7.5.6)

a mají rozměr délky. Případ 2. Kromě neznámých d, tgr, δ v rov. (7.5.3) je zde neznámou délka d2, která nebyla měřena. Systém rovnic (7.5.2) poskytne tedy jen dvě zprostředkující rovnice. Jejich linearizovaný tvar je

(

)

QM d d d + d 0 QM t d t gr cos δ 0 + d 0QM δ d δ + L = v ,

kde vektory Md, Mt, Mδ uvádějí rov. (7.5.5) a

 − b2  Q= 0  c  2

a2

− c2 0

0   b2 , − a 2 

  a0   a1       L = Q  d 0  b0  − d1  b1  .  c    c0   1 

143

(7.5.7)

Výpočet jejích prvků opět uskutečníme pomocí rov. (7.4.2). Podobně je možno zapsat rov. T (7.5.7) při záměně stanovisek. Vektor oprav v = (v x , v y , v z ) má opět rozměr délky. V rov. (7.5.7) jsou jen dvě z uvedených tří rovnic na sobě nezávislé.

Případ 3. Kromě neznámých d, tgr, δ, rov. (7.5.3) jsou zde neznámými i směrové veličiny t 2gr , δ2. Systém rov. (7.5.2) poskytne tedy jen jednu zprostředkující rovnici oprav. Její linearizovaný tvar je

(

)

RM d dd + d 0 RM t dt gr cos δ0 + d 0 RM δ dδ + L = v ,

(7.5.8)

kde vektory Md, Mt, Mδ uvádějí rov. (7.5.5) a R = (a2 b2 c2 ) , L = d 20 − d 2 . Směrové kosiny a2, b2, c2 přísluší neměřeným směrovým veličinám, a proto je nutno je určit z výrazů

a2 = (d1a1 − d 0 a0 ) d 2 ,

b2 = (d1b1 − d 0b0 ) d 2 , c2 = (d1c1 − d 0 c0 ) d 2 ,

d 220 = (d1a1 − d 0 a0 ) + (d1b1 − d 0 b0 ) + (d1c1 − d 0 c0 ) . 2

2

2

Výpočet jednotlivých veličin opět uskutečníme pomocí rov. (7.4.2). Vektor oprav T v = (v x , v y , v z ) má opět rozměr délky.

Případ 4. Respektuje klasickou metodu hvězdné triangulace a bylo o ní detailně pojednáno v kap. 7.4. Tím jsou případy zobecnění Väisälä-ho metody vyčerpány.

7.6

Měření na velké vzdálenosti před „družicovou érou“

Dříve, než přistoupíme k vlastnímu popisu měřických realizací v kap. 7.7, zmíníme se o měřických postupech, které předcházely „družicovou éru“. V práci [32] je stručná zmínka o propojení evropského a afrického pobřeží přes Gibraltarský průliv, jež bylo uskutečněno v osmdesátých letech předminulého století. Oba kontinenty zde byly propojeny obdélníkem o rozměrech asi 94 x 248 km, v němž byly trigonometricky zaměřeny směry stran i úhlopříček. Signalizace měla být původně prováděna pomocí heliotropů (odrážejících sluneční paprsky), ale po dobu třech měsíců se nepodařilo záblesky z druhého pobřeží zachytit. Bylo proto použito reflektorů a elektronických zdrojů, a to z obou dvou pobřeží. Velmi úplný popis takovýchto měřických realizací uvádí [42]. Vyjmeme několik příkladů. Pro spojení trigonometrických sítí Dánska a Norska v r. 1945 byly zaměřovány světelné signály, nesené letadlem a ovládané z letadla. Asi uprostřed vzdálenosti, která se měla měřicky zjistit, byly spuštěny záblesky, které byly měřiči soustavně sledovány. V daný okamžik, řízený obvykle z paluby letadla, se současně vyfotografovaly potřebné údaje, a to na všech zúčastněných stanicích. Teodolity fotograficky zaznamenávaly údaje kruhů, polohy libel atd.

144

Další systém SHORAN byl zkušebně použit v r. 1945 a dovoloval pomocí letadel změřit vzdálenosti do několika set kilometrů. V letech 1949 – 1957 byla v Kanadě zaměřena tímto způsobem plošná síť zobrazená v obr. 7.6.1 s relativní chybou 1:56 000 v naměřených vzdálenostech. Systémem SHORAN byla v letech 1946 až 1957 zaměřena síť, spojující Floridu s Bahamskými ostrovy. Systému HIRAN bylo použito při spojení ostrovů Kréta a Rhodos s Lybií a Egyptem. V letech 1953 – 1956 byla propojena trigonometrická síť USA a Kanady přes Grónsko a Island s Norskem a Skotskem. Pravděpodobná chyba v měřených délkách (v průměru 440 km) činila ± 3,7 m, viz obr. 7.6.2.

Obr. 7.6.1

Obr. 7.6.2

145

7.7

Triangulace na vysoké cíle – síť 0-tého řádu

Triangulace na vysoké cíle, jak napovídá sám nadpis této kapitoly, představuje jistou úpravu hvězdné triangulace užívané v geometrických metodách DG. Odlišnost pozůstává v tom, že namísto družice je použit balon nebo letadlo jako nositelé zábleskového zařízení. 7.7.1 Použití balónů k budování finské sítě 0-tého řádu Prvně byla tato metoda prakticky aplikována pro vybudování sítě 0-tého řádu ve Finsku. Navázala tak na teorii rozpracovanou finským profesorem Y. Väisälä-m, viz [39], [21] a mnohé další, a zde podrobně uvedenou v kap. 7.3 a 7.4. Pro vynesení zábleskového zařízení do výšky asi 20 – 30 km použili finští geodeti speciálních balónů, viz obr. 7.7.1. Vzdálenost pozemních stanic byla asi 200 km. Z trojúhelníků této velikosti měla být po celém území Finska vybudována geodetická síť 0-tého řádu. Přesnost v určení hodinového úhlu a deklinace spojnic pozemních stanic byla asi ± 1”. Detailněji je popsáno v [39] a [21]. 7.7.2 Přenos směru a délky pomocí letadla V této kapitole bude popsána realizace měření na vysoké cíle, jejímž nositelem je letadlo. Nejde o nic jiného než o hvězdnou triangulaci, v níž je družice nahrazena záblesky z paluby letadla. Princip zůstává shodný. Poněkud odlišný je postup měření, výpočetní zpracování a organizace příprav. Sníží se přirozeně výška a tím i vzdálenost pozemních stanic. Je tedy postup s užitím letadla vhodný pro měření v rámci státu. Prvně byl použit v naší republice, viz [12] a [13]. Použité přístroje Na stanici 1, viz obr. 7.7.5, Hvězdárna a planetarium v Hradci Králové, bylo použito fotografické komory AFA 1000 (f = 1000 mm, ∅ = 140 mm, zorné pole 14° × 14°) v azimutální montáži. Komora byla opatřena žaluziovou uzávěrkou, která byla ovládána a napojena na námořní chronometr Nardin. Otevření a uzavření uzávěrky trvalo vždy 1 s. Celý systém zaručoval přesnost lepší než 20 ms a posloužil jen pro registraci času přerušovaných stop drah hvězd. Na stanici 2, VTOPÚ v Dobrušce, bylo použito družicové komory AFU 75 (f = 750 mm, ∅ = 200 mm, zorné pole 14° × 14°), a to v režimu sledujícím zdánlivý pohyb hvězd, viz obr. 7.7.2. Jako fotomateriálu bylo použito filmu Izopanchrom o citlivosti v červené barvě asi 33° DIN. Na stanici 1 byl dále umístěn pulsní rubínový laser, obr. 7.7.3, o vlnové délce 694,3 nm, výstupní energie 0,5 J, šíře pulsu 30 ns, disperzní úhel 2´, kadence 1,2 s-1 a průměr reflektoru přijímače 440 mm. Přesnost každého měření byla lepší než 1,5 m. Na stanici 2 byl použit obdobný typ laser, leč větší optické a energetické mohutnosti, s kadencí 0,4 s-1 a přesností měření lepší než 0,4 m. Do příslušenství patří dále osciloskopy 70 MHz a 10 ns čítače. 146

Obr. 7.7.1

Jako nosiče zábleskového zařízení a laserových odrážečů bylo použito cvičného letounu L 29 – Delfín, obr. 7.7.4, s možností výstupu až do výšky 10 km. Záblesky byly vytvářeny pomocí dvou xenonových výbojek X, umístěných na špici letadla a spouštěných v intervalu 2 s. jejich přesnost byla větší než 1 ms. Nesynchronnost záblesků byla hluboce pod 0,1 ms. Celkový možný počet záblesků je asi 1000. Příjem a časová registrace světelných záblesků byly uskutečněny pomocí reflektorů a časových zařízení laserových aparatur. Dva laserové odrážeče L každý o ploše asi 400 cm2, s disperzním úhlem po odrazu 1°, byly umístěny na vnějších stranách přídavných palivových nádrží pod křídly ve vzájemné vzdálenosti 4,4 m, obr. 7.7.4.

Obr. 7.7.2 Družicová komora AFU 75 na stanici 2

Obr. 7.7.3 Rubínový pulsní laser na stanici 1

Obr. 7.7.4 Letadlo L-29 – Delfín: X – xenonové výbojky, L – laserové odrážeče

147

Popis realizace měření K realizaci měření došlo v nocích z 23. na 24. a z 24. na 25. srpna 1976, obr. 7.7.6 ukazuje tuto situaci. Body 1 a 2, na nichž se nacházela vždy 1 fotografická komora a 1 laserová aparatura, jsou měřicí stanice. Přímka l značí letovou čáru ve výši asi 7 km. Je optimální, aby byla kolmá na spojnici 12 a procházela jejím středem. Vyznačené úsečky bodů A a B značí úseky letové čáry, ve kterých byly prováděny fotografické expozice a snímány záblesky ze špice letadla. Je optimální, aby OA = OB = výška letu H. Tato měření byla simultánní a použilo se jich pouze pro určení topocentrického směru stanice – záblesk. Naopak v okolí bodu O byla prováděna laserová měření vzdáleností. Některé odražené laserové paprsky byly exponovány týmiž fotografickými komorami. Tato měření byla kvazisimultánní. Výsledkem je délka, případně délka i směr stanice – laserový odrážeč. V okolí bodů A a B bylo měřeno, jestliže se letadlo vzdalovalo od spojnice 12 a v okolí bodu O v obou směrech letu. Při jednom přeletu celou laserovou čárou l bylo uskutečněno měření (fotografické nebo laserové) jen v okolí jediného z uvedených bodů A, B, O. Při jednom vzletu letadla, který trval asi 50 až 60 minut, bylo uskutečněno 5 až 11 přeletů a v obou nocích celkem 5 vzletů, viz tab. 7.7.1.

Obr. 7.7.5 Situace měření 23. – 24. a 24. – 25. srpna 1976

Komora AFA 1000 při sledování záblesků i odražených laserových paprsků byla nejprve nastálo otevřena a teprve po výstupu letadla ze zorného pole komory zapnut režim uzávěrky pro registraci času přerušovaných stop drah hvězd. U komora AFU 75 bylo zorné pole stále otevřeno. Během přeletu nad body A a B bylo získáno na snímcích z každé stanice 1 a 2 až 25 obrazů záblesků. Na fotografickém materiálu se jevily jako ostře ohraničené kotouče o průměru až 100 µm. Během přeletů bodem O rovněž až 25 laserových obrazů, ovšem převážně ze stanice 2, neboť zde použité přístroje byly mohutnější a letová čára l (obr. 7.7.5) byla ke stanici 2 bližší. Ze stanice 1 byly expozice laserových obrazů velmi neúplné. Průměry obrazů činily 20 µm a 50 µm pro stanice 1 a 2. Zjišťování délek nepůsobilo žádné potíže. Pravidelná kadence záblesků i laserových pulsů byla uprostřed snímku přerušena, což dovolilo snadné vzájemné přiřazení obrazů z obou stanic, jakož i přiřazení časů. Všechny druhy časových registrací byly převedeny na čas TUC srovnáním s časovým signálem OMA 50. Během obou nocí bylo získáno asi 500 délek, exponováno 300 obrazů odražených laserových paprsků a 150 obrazů záblesků. Je nutno uvést, že více než polovina měření (viz tab. 7.7.1) měla experimentální charakter.

148

Rozdíl azimutů mezi záměrami ze stanice 1 byl asi 67° a ze stanice 2 asi 77°. Zenitové vzdálenosti byly v průměru 67° pro stanici 1 a 63° pro stanici 2. Výška letu se pohybovala od 6,3 km do 7,3 km. Průměrná rychlost letu byla 370 km/hod. Tab. 7.7.1 Přehled měření

1 2

Počet přeletů 5 11

Číslo snímku 1 až 5 6 až 16

3 4 5

9 7 7

17 až 25 26 až 32 33 až 39

Datum

Vzlet

23./24. 8. 1976

24./25. 8. 1976

Případ∗) 1a3 1a3 1a3 1a3 4

Výsledky Společné vyrovnání všech 56 rovnic oprav (7.5.4), (7.5.8) a linearizované rovnice oprav (7.4.3) poskytlo výsledné hodnoty d = 26 134, 85 m ± 0,33 m, tgr = – 128° 38´58,0” ± 1,09”, δ = 17° 49´14,8” ± 1,06”,

kde střední jednotková chyba je ± 1,22. Hodnoty korelačních koeficientů neznámých byly 0,18, - 0,05, - 0,21. Vyrovnáním pouze směrových velič in (případ 4, snímky 36 a 37) pomocí 28 rovnic oprav byly získány výsledné hodnoty tgr = – 128° 38´58,9” ± 0,57”, δ = 17° 49´12,9” ± 0,57”,

kde střední jednotková chyba je ± 0,61”. Vyrovnáním délkových a směrových veličin (příklad 1 a 3, snímky 09) pomocí 28 rovnic (7.5.4) a (7.5.8) byla získána výsledná hodnota délky d = 26 136,04 m ± 0,26 m,

kde střední jednotková chyba je ± 0,77 m. Výsledné směrové veličiny spojnice 12 nemají v tomto posledním případě platnost, neboť synchronní roviny svírají příliš malé úhly. Spojnice 12 tak byla určena směrem i délkou. Blíže v [9], [12], [13], [15], [23], [24], Uvedená metoda byla uskutečněna prakticky v ČR a byla rovněž použita v letectví a i vojenství. Posloužila i k obdobným projektům v tehdejší SRN, dále v Maďarsku a Rakousku. Obdobná triangulace na vysoké cíle je popsána v [23].

[39].

LITERATURA: [1] Arnold K.: Zur Bestimmung geodätischer Azimute aus Simultanbeobachtungen von Satelliten. Gerlands Beitr. zur Geoph., No. 6, 1965. ∗)

Viz tab. 7.5.1.

149

[2] Bugoslavskaja E. I.: Fotografičeskaja astrometrija. Moskva 1947. [3] Burša M.: Teorija opredelenija neparalelnostej maloj osi referenc-elipsoida, poljarnoj osi inercii Zemli ... Stud. geoph. et geod., 6 (1962), str. 209. [4] Burša M.: Základy kosmické geodézie (díl I: Kosmická geodézie geometrická). MNO, Praha 1967. [5] Currie J. P.: The Calibration of Ballistic Cameras and Their Use for the Triangulation of Satellite Position. Rés. géod. eur. obs. satel., Symp. de Paris, 1964. [6] Deekr H.: Die Anwendung der Photogrammetrie in der Satellitengeodäsie (Satellitenphotogrammetrie). Deut. geod. Kom. Bayer. Akad. Wissen., Reihe C, No. 111, München 1967. [7] Dobaczewska W., Baran W.: Vyrównanie eksperymentalnej środkowoewropejskiej sieci triangulaci satelitarnej i analiza wyników wyrownania. Geod. i kart., 15, 1966, str. 4, Warszawa. [8] Groupe dÉtudes Spatiales: Chambres Ballistiques. Inst. Géogr. Nat., Paris 1964. [9] Hovorka F., Konrád M., Utěkal I.: Satellite ranging of Hradec Králové. 3rd Inter. Sympos. Geodesy and Physics of the Earth, Weimar 1976. [10] Jelínková, J.: Diplomní práce. Knihovna Observatoře astronomie a geofysiky, Praha 1968. [11] Kabeláč J., Kostelecký, J.: Kosmická geodésie. Skriptum FAV ZČU, Plzeň 2005. [12] Kabeláč J.: Die Erweiterung und Realisation der Metode der Stellartriangulation. Wiss. Zeit. der TU Dresden, 1980. [13] Kabeláč J.: Projekt triangulace na vysoké cíle. Zpráva o řešení státního úkolu č. II-1-4/7. Praha, ČVUT 1980. [14] Kabeláč J.: Úvod do kosmické geodézie – II. díl. Ediční středisko ČVUT, Praha 1991. [15] Kakkuri J.: Stellar triangulation with balloon-borne beacons. Veröff. des Finn. Geod. Inst., No. 76, Helsinky 1973. [16] Karský G., Synek I.: Metodika použití komor Rb 75. Výzkumná práce VÚGTK, Praha 1969. [17] Kiselev A. A., Firago B. B., Ščegolev G. E.: Instrukcija po opredeleniju koordinat ISZ … Bjul. stan. opt. nabl. ISZ, No. 3, Moskva 1960. [18] Klenickij B. H., Ustinov, G. A.: Uravnivanie prostranstvennoj kosmičeskoj trianguljacii v sisteme prjamougolnych geocentričeskich koordinat. Geod. i kart., No. 5, 1964, str. 3, Moskva. [19] Klenickij B. M., Ustinov, G.A.: Vyčislenie ekvatorialnych topocentičeskich koordinat ISZ. Bjul. stan. opt. nabl. ISZ, No. 39, Moskva 1964. [20] Krátký V., Fixel J.: Rozbor metod sledování UDZ pro geodeticko-astronomické účely. Výzkumná zpráva VAAZ, Brno 1966. [21] Kukkamäki T. J.: Stellar Triangulation. Bull. Géodésique, No. 54, 1959, str. 53. [22] Lambeck K.: A Spatial Triangulation Solution for a Global Network and the Position of the North American Datum within it. Ann. Meet. of the Amer. Geoph. Union, Washington, April 1969. [23] Marek K. H., Rehse H.: A technology of stellar triangulation by means of balloon-borne beacons. 3rd Inter. Sympos. Geodesy and Physics of the Earth, Weimar 1976. [24] Maršík Z.: Transformation of Plate Co-ordinates to Equatorial Co-ordinates. Stud. geoph. et geod., 12 (1968), 2. [25] Merritt E. L.: Analytical Photogrammetry. Pitman Publ. Corp., New York 1958.

150

[26] Michajlov A. A., Dejč A. N., Krat B. A. i dr.: Kurs astrofiziki a zvezdnoj astronomii. Tom 1, str. 183. Moskva-Leningrad 1951. [27] Mueller J. J.: Introduction to Satellite Geodesy. New York, 1964. [28] Nabljudenija ISZ. No. 3, str. 150, Berlin 1965; No. 6, str. 28, Moskva 1967; No. 7, str. 195, Sofija 1968. [29] Pachelski W.: The Method for Adjustment of a Satellite Triangulation Network by Means of the Filtering Equations. COSPAR, Praha 1969. [30] Rajchl R.: Photographische Beobachtung künstlicher Erdsatelliten ohne Hilfe registrierender Zeiteinrichtungen. Bull. Astr. Inst. Czecho., No. 6, 20 (1969), str. 331. [31] Rezultaty sinchronnych nabljudenij – vesna 1965. [32] Ryšavý J.: Vyšší geodézie. Nakladatelství ČMT, Praha 1947. [33] Skořepová J., Kabeláč J.: Vyrovnání prostorové družicové sítě. Geod. a kart. obzor, č. 7, Praha 1971. [34] Spisok ekvatorialnych koordinat sputnika „Pageos“ ..., oseň 1966. [35] Spisok ekvatorialnych koordinat sputnikov Echo – I a Echo – II ..., 1964. [36] Standard Earth. Vol. 1 and 2. Smith. Astro. Obs., Spec. Rep. 200 and 201, 1966. Edited by C. A. Lundquist and G. Veis. [37] Tablica značenij topocentričeskich ekvatorialnych koordinat položenij ISZ „Echo – I“, 1962 a 1963. [38] Turner H. H.: How to Obtain a Star´s Right Ascencion and Declination from a Photograph. The Observatory, Vol. 16, 1893. [39] Väisälä Y., Oterma L.: Anwendung der astronomischen Triangulationsmethode. Veröff. fin. geod. Inst., No. 53, Helsinky 1960. [40] Veis G.: The Determination of Absolute Directions in Space with Artificial Satellites. Smith. Astro. Obs., Spec. Rep. No. 133, 1963. [41] Vondrák J.: Výpočet azimutu spojnice družicových stanic z quasisimultánních snímků UDZ. Výzkumná zpráva VÚGTK, Praha 1969. [42] Vykutil J.: Vyšší geodézie. Vydavatelství Kartografie, Praha 1982. [43] Žongolovič J. D.: Projekt edinoj mirovoj kosmičeskoj trianguljacii. Stud. geoph. et geod., 9 (1965), str. 185. [44] Žongolovič J. D.: Sputniki Zemli i geodetika, Astr. žurnal, No. 1, Tom XLI (1964), str. 156.

151

152

8 Družicové sítě 8.1

Geometrické úlohy družicové geodézie (DG)

V úvodu této kapitoly připomeneme, že souvisí s předchozími kapitolami, především s kap. 6 a zvláště s kap. 7 a upozorněme, že taktéž souvisí s textem následujícím, především pak s částí XI. Geometrické úlohy družicové geodézie jsou relativního charakteru [3], neboť nejsou – či lépe nemusí být – vázány na těžiště Země. Jde totiž o určení relativní polohy určovaného bodu vůči bodu výchozímu. Souřadnice určovaného bodu přísluší do systému souřadnic bodu výchozího a může tedy jít o systém místní, geodetický-referenční, ale i geocentrický. Zásadní je, že nepracujeme s žádnými souřadnicemi družice ani s jinými charakteristikami spojenými s pohybem UDZ. UDZ je využívána jako „bezejmenný“ bod. Úkoly geometrických úloh začínají určením relativní polohy dvou bodů, kap. 6 a 7, viz též [13], a končí vybudováním celosvětové družicové sítě, viz kap. 8.3, viz též [11] a [12]. Měřickými informacemi, potřebnými k vyřešení tohoto úkolu byly především směry a délky (ale i rozdíly délek) ad., přičemž z hlediska současné měřící techniky patří měření směrů minulosti. Nicméně platnost geometrických úloh přechází i do současnosti. Jejich předností vůči dynamickým úlohám je jejich vyšší přesnost (relativní) a skutečnost, že není třeba pracovat s dráhovými elementy, podchycovat jejich poruchy atd. Body jsou vzájemně vázány a síť je třeba chápat jako celek. Základní geometrickou úlohou bylo či ještě je budování družicových sítí, viz [14]. Postup jejich budování je dělen do dvou etap: 1. etapa: Určování relativních poloh dvou bodů (družicových stanovisek), zde kap. 6 a 7, spec. kap. 7.4.1. 2. etapa: Vyrovnání družicové sítě jako celek, zde kap. 7, spec. kap. 7.4.2. ad 1) K určování relativních poloh dvou bodů (1. etapa) slouží metoda protínání pomocí směrů, metoda protínání pomocí rovin a metoda hvězdné (družicové) triangulace [13] nazývaná též metodou tětiv. Všechny uvedené metody vyžadují synchronnost měření, která je však získávána matematickou cestou z uskutečněných kvazisynchronních měření, př. [5] a [9], pomocí Čebyševových polynomů, Lagrange-ova interpolačního vzorce i metody kolokace. Vyrovnání je možno uskutečnit podle zprostředkujících nebo podle podmínkových měření, obojí s neznámými parametry. Opravy lze připisovat směrům a délkám, ale i souřadnicím atp. Tyto a další úvahy např. o přesnosti, viz [1] a [2]. ad 2) Vyrovnání družicových sítí (2. etapa) je obdobné vyrovnání geodetických sítí na ploše a téměř shodné s vyrovnáním pozemních sítí prostorových, viz [15]. Odlišnosti a současně i přednosti družicových sítí – budovaných pouze a jen geometrickým způsobem, oproti pozemním, je možno spatřovat v tom, že: - Každý směr je zcela samostatně určen a orientován, a je přímo v astronomickém systému. Tím se nehromadí chyby např. z refrakce, jak tomu je při triangulaci. - Naměřené a tím i výsledné hodnoty nejsou závislé na tíhovém poli Země, tj. na elipsoidických výškách a na směrech svislic, viz př. kap. 6.4. - Družicové sítě jsou trojrozměrné a vytvářejí systémy mezikontinentální a celosvětové, viz dále v této kap. 8.

153

Uvažme ještě další/jiný pohled na dělení základních geometrických úloh DG. Jsou to úlohy: 1) Určení směru a délky spojnice dvou družicových stanic. 2) Určení rozměru geometrické družicové sítě. 3) Určení transformačního klíče. O určení směru bylo detailně pojednáno v kap. 6.2, 6.5.1, 7.4.1 a 7.7. Podobně i o určení délky v kap. 6.3, 6.6, 6.7, 7.5 a 7.7.2. Existují však další, zde neuvedené možnosti získání směru i délky, a tím i určení rozměru geometrické družicové sítě, viz [6, str. 106]. Tím jsou splněny body 1) a 2) výše uvedených úloh. Bod 3), tj. určení transformačního klíče mezi dvěma geodetickými soustavami, bylo popsáno v kap. 3.3.1 a rovněž viz kap. 8.4.4.2. Splněním bodů 1), 2) a 3) je splněn konečný cíl, tj. vybudování geometrické družicové sítě. Bližší najde čtenář v [4], [7], [8], [10] a [16]. LITERATURA: [1] Baranov V. N. a kol.: Kosmičeskaja geodezija. Nedra, Moskva 1986. [2] Bojko E. G. a kol.: Postroenie, uravnivanie i ocenka točnosti kosmičeskich geodezičeskich setej. Nedra, Moskva 1972. [3] Burša M.: Přednášky „Úvod do kosmické geodézie“. Praha 1968/1969. [4] Burša M.: The Theory of the Determination of the Nonparallelismus of the Minor Axis... Studia geophysica et geod. No. 6, 1962. [5] Hovorka F., Konrád M., Utěkal J.: 3rd Inter. Sympos. Geodesy and Physics of the Earth. Weimar 1976. [6] Kabeláč J.: Geodetická astronomie II. Ediční středisko ČVUT, Praha 1989. [7] Karský G., Kostelecký J.: On the Application of the Method of Synchronous Planes. Referáty VÚGTK, ř. 8, Zdiby 1974. [8] Krakiwsky E. J., Thomson D. B.: Mathematical Model for the Combination of Terrestrial and Satellite Networks. The Canadian Surveyor, Vol. 28, No. 5, 1974. [9] Lála P., Bui Van Thao: Bull. Astro. Inst. Czecho., 37, p. 334, Praha 1986. [10] Mueller I. I.: Global Satellite Triangulation and Trilateration Results. Journal of Geophysical Research, Vol. 79, No. 35, 1974. [11] Schmid H. H.: Worldwide Geometric Satellite Triangulation. Journal of Geophysical Research, Vol. 79, No. 35, 1974. [12] Smithsonian Standard Earth (III). SAO Special Report, No. 353, Cambridge, Massachusetts 1973. [13] Väisälä Y.: An astronomical mehod of triangulation. Sitz. der Finn. Akad. der Wiss. 1946, Helsinki 1947. [14] Veis G.: Geodezičeskoje ispolzovanije iskusstvennych Sputnikov Zemli. Nedra, Moskva 1967. [15] Wolf H.: Die Grundgleichungen der dreidimensionalen Geodäsie in elementaren Darstellung. Zeit. für Vermes. 88, s. 257-264, Stuttgart 1963. [16] Zajíček L.: Kandidátská disertační práce. Stavební fakulta ČVUT, Praha 1982.

8.2

Družicové sítě z počátku „družicové éry“

Krom popisu budování družicových sítí bude též pojednáno o vlivu různých váhových variant.

154

8.2.1 Družicová síť Smithsoniánské astrofyzikální observatoře (SAO) V této části bylo použito materiálu [5], který se nejprve zabýval směrovým vyrovnáním spojnic mezi družicovými komorami (Baker – Nunn) sítě SAO. Obr. 8.2.1 zachycuje tuto síť. Číslo v kroužcích spojnic představují počet simultánně zaměřených dvojic. Použito bylo 12 UDZ. Počet všech zaměřených simultánních dvojic byl 1680, mimo to vypuštěno pouze 20. Síť SAO obsahuje 15 stanic, číslovaných od 1 do 17 s vypuštěním 13 a 16. Z počtu spojnic 30 bylo směrově určeno 28.

Obr. 8.2.1

Přibližné hodnoty směrových kosinů byly zjištěny podle [3]. Redukce naměřených dat byla uskutečněna podle [4]. Vyrovnání bylo provedeno ve 2 etapách. První etapa (z přímých měření na UDZ), viz kap. 8.1, poskytla směrové kosiny spojnic družicových stanic a ty posloužily jako vstupní pro 2. etapu vyrovnání, používající podmínky komplanarity mezi směry spojnic pozemních stanic. Jelikož síť SAO netvoří nepřerušený sled trojúhelníků, bylo vyrovnání rozděleno do dvou bloků. Blok Evropa – Asie obsahuje stanice 4, 6, 8 a 15, obr. 8.2.2 i 8.2.1. Blok Atlantik – Amerika – Pacifik obsahuje stanice 1, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 12, 14 a 17, obr. 8.2.1. V následujícím postupu této práce, řešené na Observatoři astronomie a geofyziky ČVUT, viz [1], byla síť rozdělena do týchž dvou bloků a vyrovnání zde uvedená odpovídají 2. etapě kap. 8.1. Vyrovnáním 1. etapy se zabývat nebudeme. Proto vstupními hodnotami směrů pro vyrovnání 2. etapy budou směrové kosiny převzaté z 1. etapy [5], které budeme označovat

(

a, b, c = 1 − a 2 − b 2

)

1

2

. Podmínka komplanarity je pak vyjádřena determinantem, viz kap. 6.2, aij

bij

a jk

b jk

aki

bki

(1 − a (1 − a (1 − a

2 ij

− bij2

2 jk

− b 2jk

2 ki

−b

155

2 ki

) ) )

1

2

1

1

2

2

= 0 ≡ Dijk ,

(8.2.1)

kde i, j, k jsou čísla stanic ve vrcholech použito trojúhelníka. Střední chyby směrových kosinů ma, mb byly zjištěny z grafického vynesení chybových elips a příslušných směrů na glóbu a jsou uvedeny v tab. 8.2.1 pro 1. a 2. blok. Linearizaci rov. (8.2.1) provedeme opět rozvedením v Taylorův rozvoj s užitím členů pouze 1. řádu. Přetvořenou rovnici závislosti je možno zapsat ve tvaru, viz kap. 4.3,  ∂Dijk  ∂J

∑  J

  dJ + Dijko = 0 , o

 ∂D  kde Dijko je uzávěr rov. (8.2.1),  ijk  derivace podle neznámých J a dJ jejich opravy. ∂J   o Neznámé J = aij, bij, ajk, bjk a aki, bki. Celkem 6 neznámých pro 1 podmínkovou rovnici komplanarity. Tab. 8.2.1

Střední chyby směrových kosinů a, b v [rad] a v jednotkách 6. desetinného místa

Blok Evropa – Asie Spojnice ma mb

4–6

4–8

4 – 15

6–8

6 – 15

8 – 15

1,2 1,1

1,8 0,7

2,1 2,2

0,8 1,8

1,6 1,9

1,2 1,4

Blok Atlantik – Amerika – Pacifik Spojnice ma mb

1–7

1–9

1 – 10

1 – 12

1 – 14

1 – 17

4–9

4 – 10

5 – 12

5 – 17

0,8 3,9

0,5 1,9

0,3 1,0

1,2 1,6

1,9 1,4

4,7 2,6

1,7 2,3

1,5 1,2

12,2 0,8

4,0 1,0

Spojnice ma mb

7–9

7 – 10

7 – 11

9 – 10

9 – 11

9 – 14

10 – 14

12 – 14

12 - 17

1,5 1,9

1,0 1,5

3,3 3,0

1,1 2,9

1,9 2,9

1,5 4,4

1,2 2,4

5,5 5,2

5,4 2,0

Na rozdíl od vyrovnání v [5] jsme provedli současné vyrovnání směrů i délek – jde o 2. etapu. Podmínkové rovnice základnové mají tvar sinových nebo rozšířených sinových vět a budou uvedeny vždy speciálně pro každý jednotlivý blok. 8.2.1.1 Vyrovnání bloku Evropa – Asie Podle obr. 8.2.2 byly sestaveny čtyři podmínkové rovnice splňující komplanaritu směrů v následujících trojúhelnících: i 4 4 4 6

j 6 6 8 8

156

k 8 15 15 15

15 s4,15 a15

s6,15

a1 a2

4

a3 a4

a8

s4,8

8

6

s6,8

Obr. 8.2.1

Základnová podmínková rovnice byla sestavena pro strany s4,8 a s4,15 v trojúhelníku 4, 8, 15, obr. 8.2.2, a má tvar s 4,8 sin α 8 − s 4,15 sin α 15 = 0 ≡ DS .

(8.2.2)

Délky stran byly zjištěny z pravoúhlých prostorových souřadnic, které uvádí [5]. Při linearizaci této rovnice je nutno uvážit, že úhly α jsou funkcí směrových kosinů stran, jimiž je tento úhel tvořen, např.

(

sin α15 = 1 − cos 2 α15

)

1

2

=

 = 1 −  a4,15 a8,15 + b4,15b8,15 + 1 − a42,15 − b42,15  

(

) ⋅ (1 − a 1

2 8,15

2

−b

2 8 ,15

)

1

2

2    

1

2

a podobně pro sin α8. Linearizovaná rov. (8.2.2) má pak tvar

 ∂DS   dJ + DSo = 0 ∂J  o

∑  J

(8.2.3)

kde DSo je uzávěr rov. (8.2.2). Výrazy J = a4,8, a4,15, a8,15, b4,8, b4,15, b8,15, s4,8, s4,15 označují vyrovnávané veličiny, tedy 8 neznámých. Pro výpočet derivací bylo použito numerického derivování podle programu pana Ing. F. Charamzy, CSc. Opravy ve směrových veličinách musí být vždy přiřazeny podle smyslu šipek v obr. 8.2.2. Celkový počet podmínkových rovnic byl 5. Neznámými byly směrové kosiny a, b 6-ti spojnic a 2 délky, tedy 14 veličin. Délky stran s byly zaváděny v jednotkách 107 metrů a jejich střední chyby položeny rovny s·10-5 nebo 5·s·10-6. Jsou-li tedy délky stran s4,8 = 0,5289953 [107 m] a s4,15 = 0,2879794 [107 m], musí být jejich střední chyby rovněž v jednotkách [107 m], jak udává tab. 8.2.2. V těchto velikostech byly zaváděny do dalších výpočtů. Rovněž pro úhly byly voleny různé varianty. Celkem bylo vyrovnání uskutečněno 7x pro 7 různých vahových variant, z nichž jako optimální vyšla varianta, v níž byly do společného vyrovnání směrů i délek zavedeny jako vstupní hodnoty směrových kosinů výsledné hodnoty z 2. etapy pouze směrového vyrovnání SAO tohoto bloku. Tři opravy směrových kosinů vyšly 1·10-7 a devět 0·10-7. Opravy stran 1 a -2 m. Tab. 8.2.2

Spojnice m = s·10-5 m = 5·s·10-6

Střední chyby délek stran v [m] 4–8 5,3·10-5 2,7·10-6 157

4 – 15 2,9·10-5 1,5·10-6

8.2.1.2 Vyrovnání bloku Atlantik – Amerika – Pacifik Stanoveno bylo 11 podmínkových rovnic splňujících podmínku komplanarity, viz rov. (8.2.1), a to pro trojúhelníky (trojúhelník 9, 10, 14 byl vynechán): i i j j k k

1 7 9

1 12 17

1 7 10

4 9 10

1 9 10

5 12 17

1 9 14

7 9 10

1 10 14

7 9 11

1 12 14

158

14 a13

a24

a23 a 11

1

a15

5

a16

a25 a17 a14

a26

a10

a1

a18 a20

a921

10

a8 a21

a2 a4

a12

12 a3

a7

9

a5

17 7

4

a22

a6

11 Obr. 8.2.1

Základnová podmínka byla sestavena jedna a to mezi stranami s1,10 a s7,9 a má tvar, obr. 8.2.3, s1,10 sin α 1 sin α 2 − s7, 9 sin α 3 sin α 4 = 0 ≡ DS

a její linearizace je obdobná linearizaci rov. (8.2.2). V rov. typu (8.2.3) vystupují pak tyto indexy vyrovnávaných veličin J = a1,7, a1,10, a7,9, a7,10, a9,10, b1,7, b1,10, b7,9, b7,10, b9,10, s1,10, s7,9, tedy 12 neznámých. Opět bylo použito numerického derivování. Celkový počet podmínkových rovnic byl 12 a počet neznámých 40, a to 2x19 pro směrové kosiny a 2 pro délky stran. Délky stran, jako vstupní hodnoty, byly zjištěny opět z pravoúhlých prostorových souřadnic uvedených v [5]. Délky byly zaváděny v jednotkách 107 metrů, s1,10 = 0,2601970 [107 m] a s7,9 = 0,3139322 [107 m]. Jejich stř. chyby byly položeny pouze ms = s·10-5, tedy ms1,10 = 2,6·10-6 a ms7 , 9 = 3,1·10-6 opět v jednotkách [107 m]. Síť tohoto bloku byla vyrovnána celkem 4x pro 4 různé vahové varianty. Z výsledků různých váhových variant vyrovnání z obou bloků je možno na závěr konstatovat: 1) Vliv změn střední kvadratické chyby v délkách, při malém počtu podmínkových rovnic základnových, je nepodstatný. 2) Všechny způsoby zaváděných vah ve variantách, celkem 6, dávají prakticky tytéž výsledky. 3) Opět varianta s vahami vesměs 1 je v mezích výsledků variant předchozích. 4) Separátní vyrovnání v bloku Evropa – Asie, se jeví jako nejvhodnější. O zavádění vah viz též odst. 5.1.1. 8.2.2 Vyrovnání trojúhelníku východoevropské sítě

O této síti se již psalo v kap. 7.3. Zde uvedeme jeden příklad využití této sítě.

159

Použijeme trojúhelník NRU, který byl konkrétně tvořen družicovými body stanic Nikolaev, Riga a Užhorod, viz obr. 7.3.2, Greenwichské hodinové úhly a deklinace směrů stran, vyznačených v obr. 8.2.4 uvádí tab. 8.2.3. Pravoúhlé prostorové souřadnice geodetické byly určeny z geodetických zeměpisných souřadnic B, L a z elipsoidické výšky H, uveřejněné v [1]. Z pravoúhlých souřadnic pak spočteny délky stran s1, s2, s3. Z R a1

s2 (T2 ; d2 )

Y s3 (T3 ; d3 ) X

U

a3

a2

N

s1 (T1 ; d1 ) Obr. 8.2.1

Tab. 8.2.3 Vstupní hodnoty viz obr. 8.2.4

i

Ti

gr

mTi

δi

mδ i

1

106°28′43,2″ ± 30,1″

-9°34′49,2″ ± 33,0″

2

239°52′23,7″ ± 5,6″

3

194°02′13,4″ ± 1,9″

Počet simult. dvojic

si

9

746847,6 m

33°39′45,9″ ± 9,6″

8

1232310,0 m

36°50′59,1″ ± 5,4″

11

931909,6 m

Vyrovnání uskutečníme podle podmínkových pozorování. Pro určení polohy trojúhelníka v prostoru je počet nutných veličin ν = 6. V našem případě je počet daných veličin n = 9. Tedy počet podmínkových rovnic r = n – ν = 3. První podmínkou bude opět podmínka komplanarity pro směry D123 = 0 ,

(8.2.4)

s1 cosα 3 + s3 cosα1 − s 2 = 0 ≡ Ds 2 ,

(8.2.5)

s1 cosα 2 + s 2 cos α1 − s3 = 0 ≡ Ds 3 .

(8.2.6)

viz rov. (8.2.1) ev. již rov. (6.2.1). Zbývající 2 volme např. ve tvaru

Linearizací rov. (8.2.1), (8.2.5) a (8.2.6) dostaneme v uvedeném pořadí aT1 d T1 + aT2 d T2 + aT3 d T3 + aδ1 d δ 1 + aδ 2 d δ 2 + aδ 3 d δ 3 + D123 o = 0 ,

160

bT1 d T1 + bT2 d T2 + bT3 d T3 + bδ1 d δ1 + bδ 2 d δ 2 + bδ 3 d δ 3 +

+ bs1 d s1 + bs2 d s 2 + bs3 d s3 + Ds 2o = 0 , cT1 d T1 + cT2 d T2 + cT3 d T3 + cδ1 d δ 1 + cδ 2 d δ 2 + cδ 3 d δ 3 +

+ c s1 d s1 + cs2 d s 2 + cs3 d s3 + Ds 3o = 0 .

Derivace typu a byly již uvedeny v kap. 6.1. Derivace typu b a c pro směry jsou složitější, neboť tyto směry vystupují v goniometrických funkcích úhlu α rov. (8.2.5) a (8.2.6) ve tvaru např. r r s1 s2 cosα 3 = − r ⋅ r , s1 s2 Takže příkladně

cosα 3 = − sin δ 1 sin δ 2 − cos δ 1 cos δ 2 cos(T2 − T1 ) .  ∂D ∂α ∂D ∂α  bT2 =  s 2 ⋅ 1 + s 2 ⋅ 3  atd.  ∂α 1 ∂T2 ∂α 3 ∂T2 

Tvary derivací typu b a c jsou v kap. 6.3, v kterýchžto výrazech je nutné u a v zaměnit symboly T a δ. Znění váhových variant najde čtenář v [2]. Výsledky z různých váhových variant uvádí tab. 8.2.4. Tab. 8.2.4

Výsledky váhových variant Varianta

1.

2.

3.

4.

5.

6.

dT cos δ

14″

15″

21″

25″

26″

16″

dδ

47″

38″

50″

44″

29″

33″

ds

8m

17 m

3m

7m

33 m

25 m

m0

63

46

62

49

91

46

Z výsledné tab. 8.2.4 není možno vyslovit jednotný závěr, pokud ovšem uvedené výsledky jsou vůbec směrodatnými kritérii pro vyslovení jakýchkoliv závěrů. Snad jen toto: 1) Jsou-li měření malé nebo menší přesnosti, není možné výsledky vylepšit zavedením jakýchkoliv vah. 2) Překvapující je, že varianta 6., pro váhy rovné vesměs 1, zcela zapadá mezi předchozí, což je v souhlase s vývodem kap. 8.2.1. LITERATURA: [1] Hovorka F.: Diplomní práce. Praha 1964.

161

[2] Kabeláč J.: Pozemní a družicové sítě v trojrozměrném prostoru. Fakultní úkol č. 420 A/70-71, knihovna katedry vyšší geodézie, Praha 1972. [3] Köhnlein W. J.: Determination of Station Coordinates from optical observations of artificial satellites. SAO Spec. Rep., No. 189, 1965. [4] Smithsonian Standard Earth. Vol. 1, SAO Special Report, No. 199, 1966. [5] Smithsonian Standard Earth. Vol. 2, SAO Special Report, No. 200, 1966.

8.3

Celosvětová geometrická družicová síť BC-4

Mezi nejúspěšnější projekty geometrické geodézie patří jistě vybudování celosvětové geometrické družicové sítě BC-4. Byla vybudována již v letech 1966 až 1970, viz obr. 8.3.1 a [6]. Její realizaci uskutečnila Národní geodetická služba NGS (National Geodetic Survey) pomocí Wildových balistických komor BC-4 (odtud její název). Bylo získáno celkem 2157 kvazisimultánních fotografických dvojic s časovou přesností 0,1 ms s výhradním použitím pasivní balonové družice Pageos. Síť BC-4 obsahuje 48 bodů (družicových stanic), označených číslicemi 6001 až 6134 a 152 spojnic, vyznačených plnými čarami, jež vytvářejí nad Zemí mnohostěn, jehož stěny tvoří většinou trojúhelníky. Síť je celosvětová. Obsahuje družicové stanice na pěti kontinentech včetně Antarktidy. Délky 174 spojnic jsou 2000 až 5000 km včetně sedmi základen kosmické triangulace, které určily rozměr sítě, viz kap.8.1. Na obr. 8.3.1 jsou vyznačeny silnějšími úsečkami. Jejich koncové body (systém EUR) jsou 6006, 6015, 6016 a 6065, systém severoamerický (NAD) s body 6001, 6002, 6003, 6004, 6111, 6123 a 6134, systém jihoamerický (SAD) s body 6008, 6009, 6019 a 6067, systém africký (ARC) s body 6043 a 6064 a systém australský (AUS) s body 6023, 6032 a 6060. Síť tedy prochází pěti různými geodetickými referenčními systémy, viz tab. 8.4.1 sloupec 2. Jde vlastně o propojení kontinentálních sítí, neboť družicové body uvedené v určité skupině EUR, NAD, atd., patří do odpovídajícího samostatného referenčního systému. Žádný z uvedených systémů není geocentrický a není tedy napojen na těžiště Země. Vzájemně jsou propojeny trigonometricky, nejčastěji trojúhelníky. Pouze v oblasti východního bloku jde o polygonový obrazec, neboť na území tehdejšího Sovětského svazu neexistovaly v tomto projektu žádné družicové stanice. Podobně tomu bylo i v oblasti, která je vůči těžišti Země souměrná k této oblasti. Ze známých geodetických souřadnic stanic, viz [7], byly určeny jejich pravoúhlé prostorové souřadnice X iSYS , Yi SYS , Z iSYS bodů Pi v daném geodetickém referenčním systému SYS = EUR, ..., AUS. Střední kvadratická chyba v poloze stanice po vyrovnání sítě BC-4 činila ± 4,5 m a zjištěná velikost určovaného poloměru rovníku Země je 6 378 130 m.

162

Obr. 8.3.1 Celosvětová geometrická družicová síť BC-4

Předností této sítě je: - homogenita přístrojů – na všech stanicích bylo použito jen balistických komor BC-4, - stejné metody měření, - stejné způsoby matematického zpracování pro přípravu společného vyrovnání, - společné vyrovnání, - bohaté možnosti dalších aplikací, př. viz kap. 8.4. Geometrická síť BC-4 byla později doplněna dopplerovskými měřeními a výsledky byly ve velmi dobré shodě, viz [6] a [7]. Bližší o síti BC-4 včetně význačné aplikace uvádí následující kap. 8.4, též viz [4]. Obecné další informace o vyrovnání geometrických družicových sítí uvádějí práce [1] až [7]. LITERATURA: [1] Baranov V. N. a kol.: Kosmičeskaja geodezija. Izdatelstvo Nedra, Moskva 1986. [2] Bojko E. G., Klenickij B. M., Landis I. M., Ustinov G. A.: Postroenie, uravnivanie i ocenka točnosti kosmičeskich geodezičeskich setej. Nedra, Moskva 1972. [3] Ehrnsperger W.: Modelle zur Ausgleichung von Satellitentriangulationen unter besonderer Berücksichtigung des Zeitfehlers. Deutsche Geodätische Komission, Reihe C, H. 218, München 1976. [4] Kabeláč J. a kol.: Propojení pěti geodetických referenčních systémů pomocí družicové světové sítě BC-4. Geod. a kart. obzor, roč. 23/65, č. 6, str. 127 – 132, Praha 1977. [5] Mueller I. I.: Global Satellite Triangulation and Trilateration Results. Journal of Geophysical Research, Vol. 79, No. 35, 1974. [6] Schmid H. H.: Worldwide Geometric Satellite Triangulation. Journal of Geophysical Research, Vol. 79, No. 35, 1974. [7] Smithsonian Standard Earth (III). SAO Special Report, No. 353, Cambridge, Massachusetts 1973.

163

8.4

Propojení pěti geodetických referenčních soustav pomocí celosvětové geometrické družicové sítě BC-4

Před studiem této kap. 8.4 doporučujeme naléhavě panu čtenáři/paní čtenářce aspoň povrchní pročtení kap. 8.3. Kap. 8.4 na ni zřetelně navazuje. 8.4.1 Směrové veličiny Směrové vyrovnání družicové sítě bylo popsáno v kap. 8.1. Přesto postup vyrovnání stručně zopakujeme. Vyrovnání je děleno do dvou etap. V obou etapách je použito podmínky komplanarity, viz kap. 6.2. Směrové kosiny všech 152 spojnic, získané ze společného vyrovnání stě BC-4, tj. po 2. etapě, jsou uvedeny v [3] a odtud byly převzaty do tohoto textu. Jsou označovány aij, bij, cij pro spojnici PiPj družicových stanic (vrcholů mnohostěnu) Pi a Pj. Uvedené směrové kosiny platí v pravoúhlé soustavě S(X, Y, Z), jejíž osa X je průsečnicí nultého poledníku a astronomického rovníku (zeměpisné astronomické souřadnice jsou ϕ = λ = 0°), pro osu Y platí (ϕ = 0°, λ = 90° – kladně na východ) a osa Z (ϕ = 90°) prochází středním severním pólem. Počátek souřadnicové soustavy S není třeba definovat, neboť jde jen o směrové veličiny. Jsou v dalším považovány za bezvadné, opravy jim tedy nejsou připisovány a ony nedoznají vyrovnáním žádných změn. Podmínek komplanarity nebylo tudíž třeba užít. 8.4.2 Délkové veličiny V práci [3] jsou dány zeměpisná geodetická šířka, délka a elipsoidická výška všech bodů Pi sítě BC-4, a to vždy vzhledem k vlastnímu referenčnímu elipsoidu daného geodetického systému. Z nich jsou spočteny jejich pravoúhlé geodetické (referenční) souřadnice ( X , Y , Z )iSYS vždy v odpovídajícím systému S SYS ≡ 0 SYS ( X , Y , Z )SYS podle vztahů (3.3.8). Počátek 0SYS je ve středu referenčního elipsoidu daného geodetického systému SYS, osa XSYS je průsečnicí nultého geodetického poledníku a geodetického rovníku (zeměpisné geodetické souřadnice jsou B = L = 0°), pro osu YSYS platí (B = 0°, L = 90° – kladně na východ), a osa ZSYS (B = 90°) je totožná s malou osou odpovídajícího referenčního elipsoidu; a to pro SYS = EUR, NAD, SAD, ARC a AUS. Z pravoúhlých souřadnic bodů Pi, Pj, jež leží ve společném geodetickém (referenčním) systému, zjistíme jejich vzdálenost z výrazu

[(

sij = X SYS − X iSYS j

) + (Y 2

SYS j

− Yi SYS

) + (Z 2

SYS j

− Z iSYS

)] 2

1

2

.

(8.4.1)

Použité délky jsou v obr. 8.3.1 zakresleny silně plně. V systému EUR jich je 6, 12 v NAD, 5 v SAD, 1 v ARC a 3 v AUS. Celkem tedy 27. Tab. 8.4.1 udává jejich koncové body Pi, Pj a vstupní hodnoty délek sij, spočtené podle rov. (8.4.1). Jsou invariantní a použijeme jich jako základen pro získání délkového měřítka sítě BC-4 společným vyrovnáním MNČ. Již zde je nutno upozornit, že každému systému je nutno přisoudit jiné délkové měřítko (1 + KSYS), kde KSYS je neznámý délkový koeficient.

164

Tab. 8.4.1 SYStém EUR

NAD

SAD

ARC AUS

Vstupní a výsledné hodnoty délek (základen)

Body Pi – Pj

sij

vij

6006 – 6015 6006 – 6016 6006 – 6065 6015 – 6016 6015 – 6065 6016 – 6065 6001 – 6002 6001 – 6003 6001 – 6004 6001 – 6123 6002 – 6003 6002 – 6111 6002 – 6134 6003 – 6004 6003 – 6111 6003 – 6123 6003 – 6134 6004 – 6123 6008 – 6009 6008 – 6019 6008 – 6067 6009 – 6019 6019 – 6067 6042 – 6064 6023 – 6032 6023 – 6060 6032 – 6060

4 356 941,1 m 3 545 873,6 m 2 457 768,4 m 3 879 297,5 m 4 077 396,1 m 1 194 793,8 m 4 117 954,3 m 3 900 754,6 m 4 879 596,2 m 2 501 232,4 m 3 485 364,3 m 3 606 918,9 m 3 607 003,0 m 4 540 831,9 m 1 425 868,8 m 3 280 413,0 m 1 426 166,4 m 2 505 876,0 m 2 633 785,2 m 4 189 295,2 m 2 540 700,2 m 3 737 932,2 m 4 162 800,3 m 2 630 161,8 m 3 533 143,5 m 2 300 205,6 m 3 163 622,3 m

0,0 m -4,8 m 7,5 m 5,6 m 2,7 m -14,5 m -61,7 m -34,1 m 40,4 m 19,6 m -12,7 m -9,1 m -8,8 m 28,8 m 8,9 m -23,0 m 13,7 m 35,0 m -21,2 m -2,2 m 4,8 m -2,1 m 15,8 m 0,0 m -1,8 m 1,0 m -0,2 m

S ij (1 + K SYS )

4 356 941,1 m 3 545 868,8 m 2 457 775,9 m 3 879 303,1 m 4 077 398,7 m 1 194 779,3 m 4 117 920,9 m 3 900 747,3 m 4 879 670,2 m 2 501 269,2 m 3 485 375,6 m 3 606 934,6 m 3 607 019,0 m 4 540 891,9 m 1 425 887,5 m 3 280 412,5 m 1 426 189,8 m 2 505 928,2 m 2 633 744,9 m 4 189 262,7 m 2 540 686,7 m 3 737 903,0 m 4 162 786,0 m 2 630 164,2 m 3 533 139,2 m 2 300 204,9 m 3 163 619,9 m

8.4.3 Vyrovnání světové sítě BC-4 jako celku V dalším nebudou měněny směry převzaté z [3] a tudíž nebudou použity podmínky komplanarity. Důvodem k tomu je apriorní domněnka, že již vyrovnané směry jsou určeny dostatečně přesně. Jako neznámé vstoupily proto do vyrovnání jen veličiny délkové. 8.4.3.1 Úplné základnové podmínkové rovnice Úplné základnové podmínkové rovnice byly sestaveny jen v těch trojúhelnících, ve kterých leží všechny 3 vrcholy ve společném geodetickém systému. Délky jejich spojnic byly vypočteny z rov. (8.4.1). Označíme tyto body Pi, Pj, Pk a délky a směrové kosiny indexy ij; jk; ki. Úplná základnová podmínková rovnice má tvar r r r S ij + S jk + S ki = 0 , (8.4.2)

kde S (index je vynechán) jsou správné délky stran. Přisuďme jim opravy v, takže platí S = s+v.

165

(8.4.3)

Rov. (8.4.2) rozložíme do souřadnicových složek a po úpravě dostaneme

ve kterých uzávěry mají tvar

U ijkx

aij

a jk

aki vij

bij cij

b jk c jk

bki ⋅ v jk + U ijky = 0 , cki vki U ijkz

U ijkx

aij

a jk

a ki

y ijk z ijk

= bij cij

b jk c jk

bki ⋅ s jk . c ki s ki

U U

(8.4.4)

sij

Mezi rov. (8.4.4) platí lineární závislost. Byly proto při konkrétním sestavování použity jen ty dvě, resp. jen ta jedna, v kterých, resp. v které, dosahovaly směrové kosiny maximálních hodnot. Celkem 22 úplných základnových podmínkových rovnic. V absolutních hodnotách průměrný uzávěr činil 11,1 m, minimální 0,0 m a maximální 40,7 m v trojúhelníku 6001, 6123, 6003. 8.4.3.2 Rozšířené základnové podmínkové rovnice Rozšířené základnové podmínkové rovnice slouží k propojení jednotlivých geodetických (referenčních) systémů – vlastně kontinentálních sítí – obr. 8.3.1. Děje se tak pomocí řetězců, na obr. 8.3.1 vyznačeny slabě plně, pro něž byly sestaveny rozšířené sinové věty. Označme Sl správnou délku strany v systému SYS ≡ l a Sp v systému SYS ≡ p. Rozšířená základnová podmínková rovnice má tvar S l Π l sin α l − S p Π p sin α p = 0 ,

(8.4.5)

(Π l sin α l )vl + (− Π p sin α p )v p + + (sl Π l sin α l )K l + (− s p Π p sin α p )K p + U lp = 0.

(8.4.6)

∆K lp = K l − K p

(8.4.7)

(Π l sin α l )vl + (− Π p sin α p )v p + (β l Π l sin α l )∆K lp + U lp = 0 ,

(8.4.8)

kde symbol Πl značí součin výrazů sinαl pro všechna l, přičemž index l přísluší všem šikmým (pozičním) úhlům αl trojúhelníkového řetězce při přechodu ze strany Sl v systému SYS ≡ l na stranu Sp v systému SYS ≡ p. Index p přísluší šikmým úhlům αp v opačném přechodu. Uhly αl, αp byly vypočteny ze směrových kosinů a podle předchozího jim nebyly přisuzovány žádné opravy. Naopak byly přisouzeny opravy vl, vp stranám sl, sp. Dále je předpokládáno, že délková měřítka 1 + K SYS , kap. 8.4.2, v geodetických systémech SYS ≡ l a SYS ≡ p, jsou různá. Označme je 1 + K l a 1 + K p . Po dosazení a úpravě nabývá rov. (8.4.5) tvaru

Z daného materiálu není však možno zjistit absolutní hodnoty obou délkových měřítek. Je proto zaveden jejich rozdíl a dosazen do rov. (8.4.6). Po její úpravě, s použitím rov. (8.4.5) nabývá tvaru v které uzávěr má tvar

166

U lp = sl Π l sin α l − s p Π p sin α p .

Světová družicová síť BC-4 obsahuje 5 geodetických (referenčních) systémů. Byly proto sestaveny 4 rovnice typu (8.4.8), a to mezi systémy SAD-NAD, NAD-EUR, EUR-AUS, EUR-ARC. Uzávěry Ulp v uvedeném pořadí činily 17,1 m, -3,2 m, -3,4 m a -0,9 m. Počet základnových podmínkových rovnic obou druhů je tedy 26 pro 27 daných základen, tab. 8.4.1. Vyrovnání bylo uskutečněno metodou nejmenších čtverců podle podmínkových pozorování s neznámými parametry, kap. 4. MNČ podléhaly opravy vij stran a uvádí je tab. 8.4.1. Neznámými parametry jsou rozdíly délkových měřítek ∆KSAD,NAD, ∆KNAD,EUR, ∆KEUR,AUS, ∆KEUR,ARC. Dále bylo zvoleno KEUR = 0 a ostatní délkové koeficienty spočteny pomocí rov. (8.4.7). Výrazy 1 + K SYS uvádí tab. 8.4.2. Tab. 8.4.2

Délková měřítka geodetických (referenčních) systémů 1 + K SYS 1 + 0,0 1 + 6,9·10-6 1 – 7,2⋅10-6 1 + 0,9⋅10-6 1 – 0,7⋅10-6

SYStém EUR NAD SAD ARC AUS

8.4.3.3 Výsledky vyrovnání družicové světové sítě BC-4. Střední jednotková chyba je ± 20,2 m. Závislost mezi neznámými opravami, daná korelační váhovou maticí prokázala malou korelaci (r < 0,4, [1]). Z náhledu do tab. 8.4.1 zjišťujeme značně velké opravy vij stran v systému NAD jdoucích z bodů 6001, 6004, 6123. Podle grafického ověření by došlo k podstatnému zmenšení oprav, pakliže by byla zeměpisná šířka bodu 6001 a zeměpisná délka bodu 6004 o 2″ zmenšena. Jako nejlepší vychází australský systém AUS. Z tab. 8.4.2 vyplývá shoda mezi délkovými měřítky systémů EUR, AUS a ARC. Naopak je značný rozdíl v měřítkách systémů NAD a SAD. Výsledné hodnoty délek stran Sij, získané z rov. (8.4.3), je nutno vynásobit příslušným výrazem (1 + K SYS ) ještě dříve, než se jich použije k dalším výpočtům. Uvádí je opět tab. 8.4.1. Je-li koeficient KSYS kladný znamená to, že k proměření sítě v systému SYS bylo použito „delšího metru“ než pro síť v systému EUR a naopak. 8.4.4 Určení vzájemných posunutí středů referenčních elipsoidů, jejich stočení vzhledem k astronomickému systému a délkových měřítek

Pro vyřešení nadepsané úlohy je třeba znát pravoúhlé souřadnice jak v systému S ≡ 0 (X, Y, Z) SYS družicové sítě BC-4, tak v systémech geodetických S SYS ≡ 0 SYS ( X , Y , Z ) , kap. 8.4.1 a 8.4.2. Jejich porovnáním je úloha řešena. 8.4.4.1 Určení pravoúhlých souřadnic SYS Pravoúhlé geodetické (referenční) souřadnice ( X , Y , Z )i bodu Pi jsou určeny z geodetické zeměpisné šířky, délky a elipsoidické výšky, rov. (3.3.8), s užitím parametrů příslušného referenčního elipsoidu. Bližší o SSYS je v kap. 8.4.2.

167

Pravoúhlé souřadnice (X, Y, Z)i bodu Pi ve společném systému družicové sítě BC-4. Z předchozího vyrovnání známe hodnoty délek Sij některých stran – základen, tab. 8.4.1, směrových kosinů aij, bij, cij všech spojnic a délkových koeficientů KSYS. Zvolme libovolné stanovisko P0*) sítě, které považujme nyní za počátek O´ systému S´ ≡ O´ (X, Y, Z)´, přičemž platí X´|| X, Y´|| Y, Z´|| Z. Souřadnice (X, Y, Z)ń obecného bodu Pn v systému S´ jsou X n′ = ∑ S i ,i +1 (1 + K SYS )ai ,i +1 , n

i =0

Yn′ = ∑ S i ,i +1 (1 + K SYS )bi ,i +1 , n

i =0

Z n′ = ∑ S i ,i +1 (1 + K SYS )ci ,i +1 , n

i =0

kde sumace se vztahuje na všechny strany jež propojují počátek O´ ≡ P0 s bodem Pn. Vynásobením výrazem 1 + K SYS převádíme všechny použité délky do systému EUR. Délky, které nejsou výsledkem vyrovnání, je nutno propočítat pomocí již vypočtených délek a šikmých (pozičních) úhlů, jež opět zjistíme ze směrových kosinů. Souřadnice (X, Y, Z)ń zjišťujeme jen u bodů, které leží v těch geodetických (referenčních) systémech, jejichž posun, stočení a měřítko chceme zjišťovat. Dále byl systém S´ transformován translací do systému S ≡ O (X, Y, Z), jehož počátek O leží v blízkosti těžiště Země. O osách X, Y, Z platí definice v kap. 8.4.1. Prvky translace je možno určit několika způsoby. 8.4.4.2 Sestavení zprostředkujících rovnic oprav Následující úvaha je obdobná úvaze uvedené v kap. 3.3. Označme střed referenčního elipsoidu symbolem OSYS. Jeho poloha v systému S je SYS dána souřadnicemi ∆S SYS ≡ (∆X , ∆Y , ∆Z ) . Pak S − ∆S SYS značí systém s počátkem ve středu OSYS referenčního elipsoidu geodetického systému SYS a s osami X, Y, Z, definovanými v systému astronomických souřadnic, kap. 8.4.1. Systémy S − ∆S SYS ≡ O SYS ( X , Y , Z ) a S SYS ≡ O SYS ( X , Y , Z )

SYS

mají společné počátky, jsou však vůči sobě vzájemně natočeny o

úhly (ε X , ε Y , ε Z ) , jež značí absolutní stočení referenčního elipsoidu vůči systému astronomickému. V symbolickém vyjádření platí SYS

kde rotační matici

S = ∆S SYS + R ⋅ S SYS ,

1 R = ε ZSYS − ε YSYS

− ε ZSYS 1

ε YSYS − ε XSYS

ε XSYS

1

(8.4.9)

je možno napsat ve zjednodušeném tvaru, neboť úhly stočení jsou velmi malé. Podle [3] připojme k pravé straně rov. (8.4.9) výraz K SYS S SYS − S SYS0 , kterýžto bere ohled na nestejně

(

*)

Zvoleno stanovisko 6016, Catania

168

)

velká délková měřítka geodetických systémů. Symbol S SYS0 ≡ O SYS ( X , Y , Z ) souřadnice referenčního bodu systému SYS. Rov. (8.4.9) přejde v symbolický tvar

SYS 0

(

S = ∆S SYS + R ⋅ S SYS + K SYS S SYS − S SYS0

)

značí

(8.4.10)

a platí pro jeden každý bod Pi (v předchozím byl index i vynechán) systému SYS. Rov. (8.4.10) rozepíšeme do souřadnicových složek a souřadnicím (X, Y, Z)i přisoudíme opravy (vx, vy, vz)i. Po úpravě dostáváme tři rovnice oprav. 1 0 0 0 0 1 0 − Z iSYS 0 0 1 Yi SYS

Z iSYS 0 − X iSYS

− Yi SYS X iSYS 0

X iSYS − X SYS0 Yi SYS − Y SYS0 ⋅ Z iSYS − Z SYS0 (8.4.11)

⋅ ∆X SYS , ∆Y SYS , ∆Z SYS , ε XSYS , ε YSYS , ε ZSYS , K SYS

X iSYS − X i v Xi + Yi SYS − Yi = vYi Z iSYS − Z i v Zi

T

pro bod Pi, i = 1, 2, ..., n, kde n značí počet všech bodů použitých k získání neznámých pro daný geodetický (referenční) systém. Počet neznámých je celkem 7. Jsou to 3 prvky translace (∆X , ∆Y , ∆Z )SYS , 3 prvky rotace (ε X , ε Y , ε Z )SYS a délkový koeficient KSYS. Pro jejich určení je zapotřebí sedmi rovnic oprav, tedy více než 2 bodů. Nebyl proto vzat do dalšího výpočtu africký systém ARC, neboť obsahuje pouze 2 body. V systému EUR je n = 4 (použity 4 body sítě BC-4), v systému NAD je n = 7, v systému SAD je n = 4 a v systému AUS je n = 3. SYS Hodnoty stočení (ε X , ε Y , ε Z ) a délkového koeficientu KSYS získané z vyrovnání,

považujeme za konečné. Hodnoty translace (∆X , ∆Y , ∆Z ) převedeme však na střed referenčního elipsoidu evropského geodetického systému AUR, neboť poloha počátku O systému S je víceméně náhodná. Použijeme vztahů SYS

∆∆S SYS = ∆S SYS − ∆S EUR ,

(8.4.12)

kde ∆∆S SYS ≡ (∆∆X , ∆∆Y , ∆∆Z )

SYS

.

8.4.4.3 Výsledné hodnoty posunutí, stočení a délkových měřítek referenčních elipsoidů Hledané hodnoty byly získány vyrovnáním MNČ podle zprostředkujících pozorování. Bylo použito rovnic oprav (8.4.11). Pro výpočet posunutí vzhledem k systému EUR byla dále SYS použita rov. (8.4.12). Tab. 8.4.3 uvádí hodnoty posunutí (∆∆X , ∆∆Y , ∆∆Z ) středů referenčních elipsoidů systému NAD, SAD a AUS vůči středu referenčního elipsoidu systému SYS EUR, dále hodnoty úhlů stočení (ε X , ε Y , ε Z ) systémů EUR, NAD, SAD, AUS vzhledem k astronomickému rovníkovému systému a konečně délkové koeficienty KSYS všech čtyř geodetických systémů včetně jejich středních kvadratických chyb. Vyrovnání každého geodetického systému bylo provedeno samostatně. Jejich střední jednotkovou chybu m0 uvádí předposlední sloupec tab. 8.4.3. Poslední pak počet bodu Pi, i = 1, 2, ..., n, použitých pro 169

získání hledaných hodnot. Hodnoty KSYS by měly být shodné s hodnotami v tab. 8.4.2. Rozdílnost je patrně způsobena různě zaváděnými vahami. Co do velikosti středních chyb jednotkových i výsledků je nejlépe určen australský systém AUS a nejhůře jihoamerický SAD. Pro objektivnější ohodnocení výsledných hodnot uvedených v tab. 8.4.3 byly porovnány s týmiž hodnotami odvozenými v [3]. Až na 2 případy jsou rozdíly malé a většinou v mezích středních kvadratických chyb. Průměr absolutních hodnot rozdílů v posunech je 9 m a ve stočení 0,6″. Bližší o této tématice najde čtenář v původní práci [2]. Tab. 8.4.3 Výsledné hodnoty posunutí vůči systému EUR, stočení vzhledem k astronomickému systému a délkových koeficientů SYS

Hodnoty posunů [m] ∆∆X ∆∆Y SYS ∆∆Z SYS

EUR

0,0 ± 15,8

SYS

0,0 ± 22,3

0,0 ± 13,6

NAD 58,4 ± 25,4 268,0 ± 27,1 289,8 ± 14,1 SAD 38,3 ± 38,6 165,3 ± 31,3 -35,2 ± 16,0

AUS

83,5 ± 53,1

68,4 ± 22,5 251,5 ± 14,1

Hodnoty stočení [″]

ε XSYS -1,2 ± 0,7

ε YSYS

ε ZSYS

KSYS·106

-0,1 ± 0,5 ± 0,6 0,0 ± 2,4 0,6 -0,8 ± 0,7 0,3 ± 0,7 -0,3 ± 4,9 ± 2,3 0,5 0,6 ± 1,6 -0,1 ± -1,3 ± -11,1 ±5,1 1,2 1,3 0,7 ± 0,1 0,4 ± 0,1 0,3 ± 0,1 -0,8 ± 0,4

m0

n

± 11,4

4

± 15,7

7

± 23,9

4

± 1,6

3

LITERATURA: [1] Böhm J., Radouch Vl.: Vyrovnávací počet. Vydavatelství ČVUT, Praha 1974. [2] Kabeláč J. a kol.: Propojení pěti geodetických referenčních systémů pomocí družicové světové sítě BC-4. Geod. a kart. obzor, roč. 23/65, č. 6, str. 127 – 132, Praha 1977. [3] Smithsonian Standard Earth (III). SAO Special Report, No. 353, Cambridge, Massachusetts 1973.

8.5

Závěr

V předchozích kapitolách, tedy v kap. 7, ale především v kap. 8, bylo pojednáno o geometrických metodách DG. Měřenými veličinami byly směry a délky. A tyto naměřené veličiny, a není možné by tomu bylo jinak, určovaly metody výpočtů a ev. další aplikace. Jsou to metody relativně jednoduché, které již patří z části minulosti a v případě měřených směrů přináleží minulosti zcela. S rozvojem prostorových technik vznikaly možnosti měření nových veličin. Tím byly získávány nové zprostředkující veličiny, které umožňovaly zcela odlišné postupy nejen pro budování geodetických sítí, o kterých se především hovořilo v předchozích textech, ale i k získání dalších charakteristik nejen geometrických, ale i fyzikálních. Vyjmenujme proto zde ty základní úkoly, které nám družice umožnily řešit, neboť před „érou“ družicovou řešitelné nebyly. A máme na mysli úkoly vhodné nejen pro geodézii, ale i pro obory příbuzné. Jsou to: 1) Určení vzájemné polohy bodů pomocí hvězdné (stelární) triangulace. 2) Vybudování kontinentálních a světových družicových sítí. 3) Propojení různých geodetických (referenčních) systémů. 170

4) Určení vzájemných posunutí středů referenčních elipsoidů a stočení elipsoidů vzhledem k astronomickému systému. 5) Určení délkového měřítka sítě. 6) Určení geocentrických souřadnic stanice. 7) Určení posunutí středů referenčních elipsoidů vzhledem k těžišti Země. 8) Vybudování jednotného světového geodetického systému. 9) Určení velikosti a tvaru obecného elipsoidu. 10) Určení geopotenciálních harmonických (Stokesových) koeficientů v rozvoji pro gravitační potenciál Země. 11) Zjištění průběhu geoidu vůči obecnému elipsoidu. 12) Upřesnění některých geodetických konstant. 13) Určení pohybů pólů a pohybů zemské kůry. 14) Studium atmosféry atp. Způsob řešení uvedených úloh závisí od druhu měřených veličin a jistěže i od žádaného cíle. Dělíme je na: α) Geometrické úlohy, které nevyžadují vázanost na těžiště Země a měřenými/zprostředkujícími veličinami jsou délky a směry. β) Orbitální úlohy, též polodynamické či semidynamické, kdy získané veličiny musí být vázány na těžiště Země, a to pomocí geocentrických souřadnic družice. Měřené/zprostředkující veličiny jsou odvislé od metody měření, viz kap. 8.5.1. Výpočtem získané veličiny jsou tudíž, či mohou být, vázány/vztaženy na/k těžišti Země. γ) Dynamické úlohy užívají veličin vázaných na těžiště Země. Měřenými veličinami mohou být rovněž geocentrické souřadnice družice ev. jiné, opět odvislé od metody měření, viz kap. 8.5.1. Výpočtem získané veličiny však udávají změny žádaných veličin. Vraťme se nyní ke stručnému popisu metod prostorových technik a tím i k principiálnímu popisu získávání nových měřických informací, jakož i nových informací plynoucích z jejich aplikací. 8.5.1 Metody a měřené veličiny – jejich využití v geodézii Uveden bude stručný přehled. Jeho úkolem je rozšířit obzor v oboru družicové geodézie a zde upozornit na další možnosti využití v geodézii. Detailněji bude pojednáno v části XI, pokud nebylo učiněno v kap. 7 a 8. A) Měření směrů, viz poslední odstavec v kap. 8.1, rovněž viz [2, s.92]. B) Měření délek, viz poslední odstavec v kap. 8.1, rovněž viz [2, s. 98]. C) Měření dopplerovské. První průzkumná dopplerovská měření byla provedena již na počátku družicové éry, kdy tento efekt byl pozorován a numericky aplikován na družici Sputnik 1. Po prvních měřeních v letech 1957 a 1958 sloužila dopplerovská měření vojenským účelům v USA. V roce 1967 byl tento systém odtajněn a pod názvem TRANSIT byl užíván jako námořní navigační družicový systém NNSS (Navy Navigation Satellite System) i k účelům civilním. Přesnost byla nízká a ještě koncem šedesátých let dosahovala několik set metrů. Po zvýšení přesnosti o dva řády se stala v sedmdesátých a osmdesátých

171

letech nejužívanější metodou DG pro určování poloh v civilním, vědeckém a vojenském sektoru. Na zvýšení přesnosti se podíleli i čeští geodeti. Dopplerovské metody jsou založeny na Dopplerově efektu. Konkrétně na změně frekvence signálu vysílaného z družice v důsledku pohybu družice a pozemní stanice, tedy v důsledku změny radiální vzdálenosti stanice – družice. Způsoby měření těchto změn prošly vývojem. Použití dopplerovské metody je, především však bylo, všestranné a bohaté v geodézii, mapování, inženýrské geodézii a ve vědeckých aplikacích. Předností je i možnost kombinace dopplerovské metody s jinými prostorovými technikami. Výslednými veličinami dopplerovských měření jsou geocentrické souřadnice. Patří tedy do úloh orbitálních a může řešit úlohy 4 až 11, viz kap. 8.5. Na dopplerovské měření navázal francouzský program GEOLE a současný program DORIS. Systém dopplerovských měření pracoval až do roku 1995. Nahradil jej Globální polohový systém GPS. Bližší viz [2, s. 134] a [4]. D) Globální polohové systémy. Podobně jako metoda dopplerovská, tak i metoda globálních polohových systémů GPS (Global Positioning System) poskytuje zcela automaticky tři prostorové pravoúhlé souřadnice stanice v souřadnicové soustavě elipsoidu WGS-84 a navíc korekci staničních hodin. V současnosti je v plném provozu navigační systém NAVSTAR (USA) a budovány jsou systémy GLONASS (Rusko) a GALILEO (Evropa). Bližší [2, s. 136] a především [4]. Výsledné hodnoty, získané měřením a výpočtem, mohou posloužit k řešení úloh pod body 1 až 14. Pomocí této prostorové techniky byly na území ČR vybudovány, či jsou ve stavu zrodu, sítě: 1) CS-NULRAD-92 – Projekt, jehož cílem bylo vybudování národní prostorové sítě nultého*) řádu, [1]. 2) NULRAD – Síť nultého řádu na území České republiky, [1]. 3) DOPNUL – DOPlnění sítě NULtého řádu*), [1]. 4) CZEPOZ – Česká síť permanentních stanic GPS pro určování polohy. E) Družicová altimetrie je moderní a neustále progresivní metoda DG. Měřící přístroje (radarový altimetr, radiolokační výškoměr) je umístěn na palubě družice a tím obsáhne velké souvislé mořské plochy v krátkém čase. Měřenou veličinou je výška družice nad hladinou moře. Nad kontinenty metoda není použitelná. Konečným výsledkem aplikace je zjištění průběhu geoidu nad zvoleným elipsoidem v oblastech oceánů a moří, jakož i určení tzv. topografie vodních hladin. Patří zřetelně do úloh orbitálních a dynamických a řeší úlohy 9 až 11. Užití je krom geodézie i v geodynamice a v oceánografii. Bližší [2, s. 132]. F) Sledování družice z družice SST (Satellite to Satellite Tracking). Vzájemně jsou vysílány a přijímány signály. Jejich zpracováním se získá vzdálenost mezi použitými družicemi, vzájemná rychlost i zrychlení. Tyto výsledky by měly posloužit k detailnímu podchycení tíhového pole, viz [2, s. 139], úlohy 11 až 13. Patří do úloh dynamických.

*)

Nejde o nultou síť ve smyslu finského budování sítě s užitím balónů.

172

G) Družicová gradientometrie umožňuje zjistit druhé derivace (gradienty) tíhového potenciálu podle směrů pravoúhlých souřadnic. Z takto získaných hodnot je možno řešit některé základní úlohy fyzikální geodézie, jako je např. zjištění poloměru křivosti hladinových ploch, jejich orientace, přenos hodnot tíhového zrychlení atd. Viz úlohy 11 a 12. Patří do úloh dynamických, viz [2, s. 140]. H) Mikroakcelerometrie slouží ke zjištění diferenciálního zrychlení družice na drahách kolem Země, způsobených silami negravitačního původu, viz úloha 14, a hovoříme opět o úloze dynamické. Bližší [2, s. 140]. Kombinací uvedených metod pozorování/měření dochází k upřesnění studovaných jevů, k upřesňování konstant a k objektivnějšímu zhodnocení použitých metod. Příkladem je síť BC-4 původně určená čistě geometricky a poté ověřená dopplerovským měřením, viz [5] a [6]. Jiná rozsáhlejší vzájemná porovnání výsledků metod DG a tím i jejich zhodnocení jsou uvedena v [3]. LITERATURA: [1] Cimbálník M., Mervart L.: Vyšší geodézie 1 a 2. Vydavatelství ČVUT, Praha 1999. [2] Kabeláč J.: Úvod do kosmické geodézie, II. díl, Ediční středisko ČVUT, Praha 1991. [3] Mueller I. I. et all.: Global Satellite Triangulation and Trilateration. Report of the Depart. of Geod. Sc., No. 199, the Ohio State University, 1973. [4] Novák P.: Evaluation of gravity data for the Stokes-Helmert solution of the geodetic boundary – value problem. Report of the Department of Geodesy and Geomatics Engineering 207, UNB, p. 1 – 218, Fredericton 2000. [5] Schmid H. H.: Worldwide Geometric Satellite Triangulation. Journal of Geophysical Research, Vol. 79, No. 35, 1974. [6] Smithsonian Standard Earth (III). SAO Special Report, No. 353, Cambridge, Massachusetts 1973.

173

Západočeská univerzita v Plzni Fakulty aplikovaných věd katedra matematiky obor geomatiky G E O D É Z I E

Recommend Documents