Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Křivosti ploch. jejich aplikace

Z´apadoˇcesk´a univerzita v Plzni Fakulta aplikovan´ych vˇed Katedra matematiky

´r ˇska ´ pra ´ ce Bakala

Kˇ rivosti ploch a jejich aplikace

Plzeˇ n, 2012

Jiˇr´ı Hellus

Prohl´ aˇ sen´ı Prohlaˇsuji, ˇze jsem bakal´ aˇrskou pr´aci vypracoval samostatnˇe a v´ yhradnˇe s pouˇzit´ım citovan´ ych zdroj˚ u.

V Plzni, 30. kvˇetna 2012

Jiˇr´ı Hellus

i

Podˇ ekov´ an´ı Dˇekuji vˇsem, kteˇr´ı mˇe pˇri sepisov´an´ı bakal´aˇrsk´e pr´ace podpoˇrili, pˇredevˇs´ım pak vedouc´ımu pr´ace, panu Doc. RNDr. Frantiˇsku Jeˇzkovi, CSc., za jeho ochotu, vstˇr´ıcnost, pozitivn´ı pˇr´ıstup a nekoneˇcnou trpˇelivost.

ii

Abstrakt Bakal´ aˇrsk´ a pr´ace se zab´ yv´a diferenci´ aln´ı geometri´ı ploch. Zav´ad´ı pˇet typ˚ u kˇrivosti ploch a jejich vztahy. Prezentuje plochy s konstantn´ımi a nulov´ ymi kˇrivostmi, jejich pˇr´ıklady, vlastnosti a vyuˇzit´ı. Pˇrin´ aˇs´ı tak´e zpr´avu o vybran´ ych galeri´ıch ploch dostupn´ ych na internetu. D´ale se vˇenuje problematice pˇrechodov´ ych ploch. Uv´ ad´ı souvislosti s technickou prax´ı a obsahuje i n´ avrh a implementaci algoritmu konstrukce rozvinuteln´e pˇrechodov´e plochy mezi dvˇema kˇrivkami.

Kl´ıˇ cov´ a slova Regul´arn´ı plocha, Gaussova kˇrivost, stˇredn´ı kˇrivost, CMC, minim´aln´ı plocha, CGC, rozvinuteln´a plocha, pˇrechodov´a plocha, algoritmus

Abstract This Bachelor Thesis deals with differential geometry of surfaces. It introduces the five types of surface curvature and their relations. It presents surfaces with constant or zero curvature, their examples, properties and utilization. Also, it reports on a chosen set of surface galleries available on the internet. Further, it pursues the topic of transition surfaces. It gives context with engineering practice and contains the design and implementation of an algorithm for constructing transition developable surfaces between two given curves.

Key words Regular surface, Gaussian curvature, mean curvature, CMC, minimal surface, CGC, developable surface, transition surface, algorithm

iii

Obsah ´ Uvod 1 Plochy a jejich kˇ rivosti 1.1 Z´ akladn´ı pojmy . . . 1.2 Norm´ alov´a kˇrivost . 1.3 Hlavn´ı kˇrivosti . . . 1.4 Gaussova kˇrivost . . 1.5 Stˇredn´ı kˇrivost . . . 1.6 Geodetick´a kˇrivost .

1 . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

2 2 4 5 5 7 8

2 Plochy s konstantn´ı a nulovou kˇ rivost´ı 2.1 CGC plochy . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Rozvinuteln´e plochy . . . . . . . . . . 2.3 CMC plochy . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Minim´ aln´ı plochy . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

9 9 14 18 21

3 Herb´ aˇ re ploch 3.1 Postup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Wikipedia, The Free Encyclopedia [14] . . . . . . . . . 3.3 GeometrieWerkstatt, Universit¨at T¨ ubingen [8] . . . . . 3.4 Algebraic Surfaces, Universit¨at Wien [9] . . . . . . . . 3.5 Virtual Math Museum [10] . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Curves and surfaces, Harvey Mudd College, Claremont

. . . . . . . . . . . . . . . [11]

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

24 24 25 26 27 27 28

4 Konstrukce rozvinuteln´ epˇ rechodov´ e plochy 4.1 Motivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Zad´an´ı probl´emu . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Rozbor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˇ sitelnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Reˇ 4.5 Stavba algoritmu . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Implementace . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Zhodnocen´ı v´ ysledk˚ u . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

30 30 31 32 34 36 38 39

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

Z´ avˇ er

43

Reference

45

iv

´ Uvod Diferenci´aln´ı geometrie ploch je polem, na kter´em toho bylo jiˇz mnoho dok´ az´ano. C. F. Gauss se kˇrivost´ı ploch zab´ yval v 18. stolet´ı, kdy byly definov´any z´ akladn´ı pojmy a formulov´any d˚ uleˇzit´e vˇety [3]. Nov´ y kontext a nov´e poˇzadavky pˇrinesl rozvoj poˇc´ıtaˇcov´eho zpracov´an´ı geometrick´e informace, pˇresto ani tyto modern´ı syst´emy nejsou bezchybn´e a t´ema st´ale sk´ yt´ a dostatek prostoru k dalˇs´ımu studiu. Pr´ ace se skl´ ad´a ze ˇctyˇr ˇca´st´ı a vyuˇz´ıv´ a nˇekolik metod: kompilace odborn´ ych text˚ u pro vybudov´an´ı teoretick´ ych podklad˚ u, nalezen´ı, zhodnocen´ı a prezentov´an´ı obrazov´eho materi´ alu pro pˇr´ıklady, a odvozen´ı a implementaci vlastn´ıho algoritmu. Zm´ın´ıme se i o praktick´e str´ance t´ematu. Z´ aleˇzitosti t´ ykaj´ıc´ı se technick´e praxe a pouˇz´ıvan´ ych softwar˚ u byly konzultov´any s ing. Jiˇr´ım Hellusem, ˇ vedouc´ım oddˇelen´ı programov´an´ı CNC stroj˚ u, Skoda TVC s.r.o. Prvn´ı ˇca´st pr´ace je zamˇeˇrena na pˇet typ˚ u kˇrivosti ploch a jejich vz´ ajemn´e vztahy. Pˇrin´ aˇs´ı pˇrehled definic a vˇet, utˇr´ıdˇen´ ych do syst´emu zamˇeˇren´emu na pochopen´ı vz´ ajemn´ ych souvislost´ı. Podrobnˇeji jsou zpracov´any stˇredn´ı a pˇredevˇs´ım Gaussova kˇrivost, jimiˇz se budeme v textu d´ ale zab´ yvat. Ve druh´e ˇca´sti se zamˇeˇr´ıme na plochy se speci´ aln´ımi hodnotami kˇrivosti: Plochy s konstantn´ı a nulovou Gaussovou kˇrivost´ı (CGC, rozvinuteln´e plochy), a konstantn´ı a nulovou stˇredn´ı kˇrivost´ı (CMC, minim´aln´ı plochy). Uvedeme nˇekter´e pˇr´ıklady a pouˇzit´ı v praxi. Tˇret´ı ˇca´st je vˇenov´ana prohled´an´ı a zhodnocen´ı internetov´ ych zdroj˚ u obrazov´eho materi´ alu k t´ematu ploch. Hodnocen´ı je vedeno podle nˇekolika krit´eri´ı, mezi nimiˇz nechyb´ı kvalita obrazov´eho materi´ alu, komplexnost zpracov´an´ı a tak´e celkov´ y dojem a pˇr´ınos pro uˇzivatele. Z´ avˇereˇcn´a ˇca´st obsahuje u ´vod do t´ematu rozvinuteln´ ych pˇrechodov´ ych ploch a jej´ı hlavn´ı n´ apln´ı je konstrukce takov´e plochy mezi dvˇema kˇrivkami. Po zv´ aˇzen´ı r˚ uzn´ ych pˇr´ıstup˚ u k problematice n´ asleduje rozbor, vytvoˇren´ı algoritmu a popis implementace v prostˇred´ı Mathematica. V z´ avˇeru ˇca´sti je zhodnocena funkˇcnost algoritmu i programu, pops´ any nedostatky a navrˇzena moˇzn´a vylepˇsen´ı. C´ılem tohoto textu je sezn´amit ˇcten´ aˇre s t´ematem ploch a jejich kˇrivosti, uk´ azat vlastnosti, pˇr´ıklady a pouˇzit´ı speci´ aln´ıch typ˚ u ploch a prezentovat v´ ysledky vlastn´ı pr´ace autora. Pro pln´e porozumˇen´ı se pˇredpokl´adaj´ı znalosti z line´arn´ı algebry, matematick´e anal´ yzy, diferenci´ aln´ı geometrie a uˇzivatelsk´ a znalost PC.

1

1 Plochy a jejich kˇ rivosti V t´eto ˇca´sti se budeme zab´ yvat vyj´adˇren´ım plochy, pˇeti typy kˇrivosti ploch, jejich v´ yznamem, v´ ypoˇctem, vlastnostmi, a uvedeme speci´ aln´ı pˇr´ıpady kˇrivost´ı, kter´e budou d´ ale rozvedeny v ˇca´sti druh´e. Velk´e mnoˇzstv´ı literatury se vˇenuje ploch´ am z pˇr´ısnˇe analytick´eho hlediska a podrobnˇe dokazuje popis plochy pomoc´ı tenzor˚ u. To nen´ı obsahem t´eto pr´ace, pˇrestoˇze tenzorov´a vyj´adˇren´ı a nˇekter´e vzorce budou uvedeny, na jejich odvozen´ı a d˚ ukazy bude ˇcten´ aˇr odk´az´an do jin´ ych spis˚ u. Je zde zpracov´an pˇredevˇs´ım pˇrehled a d˚ uraz je kladen na geometrickou pˇredstavu a naznaˇcen´ı souvislost´ı, bez vyˇcerp´avaj´ıc´ıho mnoˇzstv´ı definic, vˇet a odvozen´ı vztah˚ u,kter´e je moˇzn´e nal´ezt jinde.

1.1

Z´ akladn´ı pojmy

Nejprve je potˇreba zav´est z´ akladn´ı pojmy, se kter´ ymi budeme pracovat. Zaˇcneme definic´ı plochy: Definice 1.1. Regul´ arn´ı plochou tˇr´ıdy Cn v E3 rozum´ıme mnoˇzinu P ⊂ E3 , pro niˇz existuje vektorov´a funkce P(u1 , u2 ), (u1 , u2 ) ⊂ Ω, kde Ω je oblast (otevˇren´ a kompaktn´ı mnoˇzina), takov´a ˇze (a) P : Ω → P je zobrazen´ı na mnoˇzinu, (b) P je tˇr´ıdy Cn (n ≥ 3), (c)

δP δP a jsou line´arnˇe nez´avisl´e ve vˇsech bodech oblasti Ω, 1 δu δu2

(d) (u10 , u20 ) ∈ Ω, (u11 , u21 ) ∈ Ω a (u10 , u20 ) 6= (u11 , u21 ) ⇒ P(u10 , u20 ) 6= P(u11 , u21 ). Tato definice vyluˇcuje nˇekter´e d˚ uleˇzit´e plochy, bez nichˇz se v praxi neobejdeme. Uzavˇren´e plochy nemaj´ıc´ı hranici a tedy hranice oblasti Ω se zobraz´ı do kˇrivky, pˇr´ıpadnˇe ˇca´st hranice do jednoho bodu plochy P (napˇr. sf´era (obr. 2.1)). Dalˇs´ı plochy mohou obsahovat samopr˚ unik, hranu, ˇci vrchol (kuˇzelov´e plochy (obr. 2.8)), nebo mohou m´ıt b´ yt jen“ nevhodnˇe parametrizovan´e. Pˇri ” zkoum´ an´ı lok´aln´ıch vlastnost´ı nav´ıc obecnˇe staˇc´ı, aby byla plocha po ˇc´ astech regul´ arn´ı, neboli se skl´ adala z regul´ arn´ıch ploch. D´ale proto budeme pracovat jiˇz jen s pojmem plocha (bez pˇr´ıvlastku), kde koneˇcn´ y poˇcet kˇrivek ˇci bod˚ u m˚ uˇze poruˇsovat vlastnosti 2-4.

2

V [1] je definov´an pojem tenzoru na ploˇse, jeho vlastnosti a operace s tenzory. Zde pro potˇreby v´ ypoˇct˚ u uvedeme tenzory, kter´e se vztahuj´ı ke kˇrivosti ploch: Definice 1.2. Oznaˇcme Pi =

δP . δui

Pak tenzor gij = Pi · Pj se naz´ yv´a prvn´ım (neboli metrick´ym) tenzorem plochy. V´ ypoˇctem lze uk´ azat, ˇze pro gij plat´ı pˇr´ısluˇsn´e transformaˇcn´ı vztahy a tedy skuteˇcnˇe tvoˇr´ı tenzor [1]. S pomoc´ı metrick´eho tenzoru m˚ uˇzeme mˇeˇrit u ´ hly a velikosti vektor˚ u na ploˇse. D´ıky komutativitˇe skal´arn´ıho souˇcinu v E3 gij = gji a tenzor je symetrick´ y. Pozdˇeji uk´aˇzeme jeho dalˇs´ı zaj´ımavou vlastnost. Definice 1.3. Oznaˇcme Pij =

δ2P . δui δuj

Pak tenzor hij = n · Pij se naz´ yv´a druh´ym tenzorem plochy. Opˇet lze v´ ypoˇctem dok´ azat, ˇze se jedn´a o tenzor. Druh´ y tenzor plochy ud´ av´ a tvar plochy vzhledem k teˇcn´e rovinˇe v dan´em bodˇe, jak je uk´az´ano v odd´ılu 1.2. Vzhledem k zamˇenitelnosti poˇrad´ı derivace plat´ı hij = hji a tento tenzor je tak´e symetrick´ y. D´ale budeme vyuˇz´ıvat pojem regul´ arn´ı kˇrivka (definice, zobecnˇen´ı a parametrizace napˇr. v [1]). Zaj´ımat n´ as budou kˇrivky na ploˇse, vyuˇzijeme je napˇr´ıklad v odd´ılu 1.2. Jsou to takov´e kˇrivky, jejichˇz vˇsechny body jsou z´ aroveˇ n body plochy. Mˇejme plochu P(u1 , u2 ), pak kˇrivka P(t) = P(u1 (t), u2 (t)), kde t je parametr kˇrivky, je kˇrivkou na ploˇse. Pˇripomeˇ nme 1 k, prvn´ı kˇrivost prostorov´e kˇrivky [1]. Najdeme souvislost mezi kˇrivost´ı kˇrivky na ploˇse a vlastnostmi plochy - hled´ ame zp˚ usob, jak vyj´adˇrit kˇrivost plochy. Nyn´ı studujeme kˇrivost kˇrivky na ploˇse P. Uvaˇzujeme kˇrivku P(s) = P(u1 (s), u2 (s)), kter´ a je parametrizov´ana obloukem. Pro prvn´ı kˇrivost plat´ı: ¨ = 1 k · ν, P ν je jednotkov´ y vektor hlavn´ı norm´aly kˇrivky.

3

1.2

Norm´ alov´ a kˇ rivost

Pˇripomeˇ nme, ˇze n je jednotkov´ y vektor norm´aly plochy a oznaˇcme γ = ]n · ν odchylku tohoto norm´ alov´eho vektoru od hlavn´ı norm´aly kˇrivky. Definice 1.4. Norm´ alovou kˇrivost´ı kˇrivky k v bodˇe X plochy P rozum´ıme ˇc´ıslo n

¨ · n. k=P

Plat´ı tak´e n

n

k = 1 k · cos γ.

k=

hij · dui · duj gij · dui · duj

V definic jasnˇe stoj´ı, ˇze norm´alov´a kˇrivost je vlastnost´ı kˇr´ıvky na ploˇse, ale d´ a se dok´ azat (napˇr. [1]) n´ asleduj´ıc´ı vˇeta: Vˇ eta 1.1. Norm´ alov´a kˇrivost vˇsech kˇrivek plochy se spoleˇcnou teˇcnou v dan´em bodˇe je stejn´a. Z t´eto vˇety vypl´ yv´a v´ yznam norm´alov´e kˇrivosti jako vlastnosti teˇcny kˇrivek na ploˇse - smˇeru plochy. Pojmenujeme ty v´ yznamn´e: Definice 1.5. Smˇer plochy v dan´em bodˇe je • hlavn´ı, je-li norm´ alov´a kˇrivost v nˇem extrem´ aln´ı (maxim´aln´ı, resp. minim´aln´ı), • asymptotick´y, je-li norm´ alov´a kˇrivost v nˇem nulov´a. O v´ yznamu hlavn´ıch smˇer˚ u budeme mluvit v dalˇs´ım odd´ılu, asymptotick´ y smˇer n´ am spolu s druh´ ym tenzorem plochy umoˇzn´ı klasifikovat body plochy podle jej´ıho tvaru v okol´ı dan´eho bodu. Jestliˇze oznaˇc´ıme h = h11 · h22 − (h12 )2 diskriminant druh´eho tenzoru, m˚ uˇzeme urˇcit n´ asleduj´ıc´ı rozdˇelen´ı: Definice 1.6. Bod na ploˇse se naz´ yv´a • plan´ arn´ı, je-li n k = 0 v kaˇzd´em smˇeru, • kruhov´y, je-li ve vˇsech smˇerech n k = konst. 6= 0, • eliptick´y, je-li h > 0 a bod nen´ı kruhov´ y, • parabolick´y, je-li h = 0 a bod nen´ı plan´ arn´ı, • hyperbolick´y, je-li h < 0. V plan´ arn´ım bodˇe je zˇrejmˇe kaˇzd´ y smˇer asymptotick´ y, kruhov´ y bod naopak oˇcividnˇe ˇza´dn´ y asymptotick´ y smˇer nem´ a. Vˇsimneme-li si podobnosti vzorce v definici norm´ alov´e kˇrivosti a jednotliv´ ych sloˇzek druh´eho tenzoru plochy, tedy i pravdˇepodobn´e souvislosti, m˚ uˇzeme odhadnout, ˇze v eliptick´em bodˇe m´a norm´ alov´a kˇrivost ve vˇsech smˇerech stejn´e znam´enko, tedy se zakˇrivuje od teˇcn´e roviny jen na jednu stranu, vznik´a jak´ ysi vrchol“. Intuitivnˇe jde ” 4

o zobecnˇen´ı kruhov´eho bodu a nem´ a ˇza´dn´ y asymptotick´ y smˇer. V hyperbolick´em bodˇe naopak existuj´ı kˇrivky s opaˇcn´ ym znam´enkem norm´alov´e kˇrivosti. To n´ am d´ av´ a pˇredstavu sedla“, d´ıky spojitosti plochy tedy nˇekde mezi nimi existuj´ı ” dva asymptotick´e smˇery. Nejm´enˇe n´ azorn´a je pˇredstava parabolick´eho bodu. Vyuˇzijeme zb´ yvaj´ıc´ı moˇzn´ y tvar plochy, hˇrbet“, jako pˇrechod mezi vrcholem“ ” ” a sedlem“, s jedn´ım asymptotick´ ym smˇerem a ostatn´ımi smˇery se shodn´ ym ” znam´enkem kˇrivosti. Z´ avˇery t´eto intuitivn´ı u ´vahy lze skuteˇcnˇe dok´ azat [1].

1.3

Hlavn´ı kˇ rivosti

V pˇredchoz´ım odd´ılu jsme zm´ınili hlavn´ı smˇery na ploˇse, v´ yznamn´e extr´emn´ımi hodnotami norm´ alov´e kˇrivosti. Poˇcet tˇechto smˇer˚ u je oˇcividnˇe z´ avisl´ y na typu bodu plochy, kde se nach´ az´ıme. Plan´arn´ı a kruhov´ y bod maj´ı ve vˇsech smˇerech norm´ alovou kˇrivost stejnou, vˇsechny smˇery jsou tedy rovnocenn´e a ˇr´ık´ ame, ˇze jsou vˇsechny hlavn´ı. Hlavn´ı smˇery v ostatn´ıch typech bod˚ u urˇcujeme podle n´ asleduj´ıc´ı vˇety: Vˇ eta 1.2. Nenulov´ y vektor (du1 , du2 ) plochy urˇcuje hlavn´ı smˇer, pr´avˇe kdyˇz (du2 )2 −du1 du2 (du1 )2 g11 g12 g22 = 0 h11 h12 h22

Z d˚ ukazu v [1] z´ aroveˇ n plyne, ˇze v eliptick´em, parabolick´em a hyperbolick´em bodˇe existuj´ı pr´avˇe dva na sebe kolm´e hlavn´ı smˇery. M´ ame-li hlavn´ı smˇery nalezeny, je vhodn´e nˇejak oznaˇcit jejich norm´alov´e kˇrivosti: Definice 1.7. Hlavn´ımi kˇrivostmi plochy v dan´em bodˇe rozum´ıme norm´alov´e kˇrivosti v hlavn´ıch smˇerech. Oznaˇcme je n

kmin , n kmax .

Je zˇrejm´e, ˇze pro plan´ arn´ı a kruhov´ y bod, kde jsou vˇsechny smˇery povaˇzov´any za hlavn´ı, plat´ı n kmin = n kmax , v plan´ arn´ım bodˇe je kˇrivost nav´ıc nulov´a. Hlavn´ı kˇrivosti urˇcuj´ı rozsah zakˇriven´ı plochy v okol´ı bodu. M˚ uˇzeme z nich v omezen´e m´ıˇre vyvozovat z´ avˇery o tvaru plochy v okol´ı bodu, hlavnˇe je ovˇsem vyuˇzijeme d´ ale k definici dalˇs´ıch typ˚ u kˇrivosti, z nichˇz lze jednoduˇse vyˇc´ıst vlastnosti plochy a klasifikovat jej´ı body.

1.4

Gaussova kˇ rivost

V tomto odd´ıle budeme zkoumat typ kˇrivosti, kter´ y je pravdˇepodobnˇe nejv´ıce vyuˇz´ıvan´ ym, co do praktick´e aplikace a charakteristiky ploch (viz d´ ale). Ploch´ am se speci´ aln´ımi hodnotami Gaussovy kˇrivosti se budeme vˇenovat ve druh´e a ˇctvrt´e ˇca´sti tohoto textu. Nyn´ı zaˇcneme definic´ı:

5

Definice 1.8. Gaussovou kˇrivost´ı plochy v dan´em bodˇe rozum´ıme ˇc´ıslo K = n kmin · n kmax . Jak jiˇz bylo zm´ınˇeno, k definici pouˇz´ıv´ ame hodnoty hlavn´ıch kˇrivost´ı plochy v bodˇe. Pˇri zmˇenˇe orientace plochy (opaˇcn´ y norm´alov´ y vektor) zmˇen´ı norm´alov´a kˇrivost znam´enko, ale hlavn´ı kˇrivosti st´ale z˚ ust´ avaj´ı extr´emy. Nav´ıc je Gaussova kˇrivost jejich n´ asobkem, takˇze jej´ı znam´enko z˚ ust´ av´a a jiˇz podle nˇej pozn´ame typ bodu, z ˇcehoˇz je vidˇet souvislost s druh´ ym z´ akladn´ım tenzorem plochy, respektive jeho diskriminantem. Nyn´ı uk´aˇzeme i souvislost s metrick´ ym tenzorem plochy a jeho diskriminantem g = g11 · g22 − (g12 )2 > 0 Kladnost diskriminantu g vypl´ yv´a z vlastnost´ı skal´arn´ıho souˇcinu ve sloˇzk´ ach tenzoru. V [3] je pak dok´ az´ana n´ asleduj´ıc´ı vˇeta: Vˇ eta 1.3. Pro Gaussovu kˇrivost plat´ı K=

h h11 h22 − (h12 )2 = 2 g11 g22 − (g12 ) g

Je jasnˇe vidˇet, ˇze znam´enko Gaussovy kˇrivosti se shoduje se znam´enkem h a m˚ uˇzeme tedy opˇet prov´est klasifikaci bod˚ u: • Eliptick´ y bod pro K > 0 • Parabolick´ y bod pro K = 0 • Hyperbolick´ y bod pro K < 0 Gaussova kˇrivost se jmenuje po Carlu Friedrichu Gaussovi (1777-1855), kter´ y se, mimo jin´e, intenzivˇe zab´ yval kˇrivost´ı ploch. Jedn´ım z nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ıch a z´ aroveˇ n nejpˇrekvapivˇejˇs´ım z jeho poznatk˚ u je takzvan´a Theorema Egregium“, ” latinsky Pozoruhodn´ a vˇeta“. ” Vˇ eta 1.4 (Theorema Egregium). Gaussova kˇrivost plochy je invariantn´ı v˚ uˇci izometrick´ ym zobrazen´ım. Vˇ eta 1.5. Tvrzen´ı Theoremy Egregium je ekvivalentn´ı s n´ asleduj´ıc´ımi v´ yroky: i) Gaussova kˇrivost se nemˇen´ı, je-li plocha oh´ yb´ana, ale ne natahov´ana, nebo smrˇst’ov´ana. ii) Gaussova kˇrivost je intrinsick´a (vnitˇrn´ı) vlastnost plochy. iii) Gaussova kˇrivost lze vyj´adˇrit pouze pomoc´ı tenzoru gij a prvn´ıch a druh´ ych derivac´ı jeho sloˇzek. D˚ ukaz nalezneme napˇr´ıklad v [4], stejnˇe jako konkr´etn´ı vzorec pro tvrzen´ı iii) vˇety 1.5. Vˇeta je skuteˇcnˇe pozoruhodn´ a, jelikoˇz podle n´ı Gaussova kˇrivost, definovan´a jako n´ asobek hlavn´ıch kˇrivost´ı, kter´e se ale mohou oh´ yb´an´ım mˇenit, z˚ ust´ av´ a pˇri oh´ yb´ an´ı nemˇenn´a. To z´ aroveˇ n znamen´ a, ˇze plochy, kter´e na sebe lze rozvinout, 6

maj´ı v odpov´ıdaj´ıc´ıch si bodech stejnou Gaussovu kˇrivost. Nyn´ı postoup´ıme od lok´aln´ıch vlastnost´ı ke glob´aln´ım a budeme klasifikovat cel´e plochy podle jejich Gaussovy kˇrivosti. Tato klasifikace nezahrnuje vˇsechny plochy, ty nezaˇrazen´e jsou z hlediska Gaussovy kˇrivosti obecn´e. Definice 1.9. Plocha se naz´ yv´a • Synklastick´ a, je-li K > 0 v kaˇzd´em bodˇe. • Rozvinuteln´ a, je-li K = 0 v kaˇzd´em bodˇe. • Antiklastick´ a, je-li K < 0 v kaˇzd´em bodˇe. Synklastick´e plochy se oˇcividnˇe sest´avaj´ı pouze z eliptick´ ych a kruhov´ ych bod˚ u. Jako pˇr´ıklady uvedeme elipsoid [10]. V pˇr´ıpadˇe konstantn´ı kˇrivosti oznaˇcujeme plochy anglickou zkratkou CGC (Constant Gaussian Curvature), napˇr´ıklad sf´era (obr. 2.1). Antiklastick´e plochy jsou naopak sloˇzeny v´ yluˇcnˇe z hyperbolick´ ych bod˚ u. CGC se z´ apornou kˇrivost´ı je pseudosf´era (obr. 2.2) a plochy z n´ı odvozen´e: Diniho plocha (obr. 2.3)a Mindingovy plochy (obr. 2.6), d´ ale napˇr´ıklad Kuen plocha (obr. 2.4). Rozvinuteln´e plochy obsahuj´ı pouze parabolick´e nebo plan´ arn´ı body a nav´ıc plat´ı, ˇze kaˇzd´ ym bodem proch´ az´ı pˇr´ımka, kter´ a n´ aleˇz´ı ploˇse [12]. N´ azev vych´ az´ı z faktu, ˇze jestliˇze maj´ı Gaussovu kˇrivost shodnou s rovinou, identicky nula, je podle Theoremy Egregium moˇzn´e je rozvinout do roviny ([1],[3]). Rozvinuteln´e plochy jsou jako speci´ aln´ı pˇr´ıpad CGC pops´ any v ˇca´sti 2.

1.5

Stˇ redn´ı kˇ rivost

Dalˇs´ı typ kˇrivosti opˇet vyuˇz´ıv´ a hlavn´ıch kˇrivost´ı: Definice 1.10. Stˇredn´ı kˇrivost plochy v dan´em bodˇe je d´ ana vztahem n

H=

kmin + n kmax . 2

Opˇet uk´ aˇzeme souvislost se z´ akladn´ımi tenzory plochy, postup odvozen´ı je vysvˇetlen v [1]: Vˇ eta 1.6. Pro v´ ypoˇcet stˇredn´ı kˇrivosti plat´ı vztah H=

g11 · h22 − 2g12 · h12 + g22 · h11 . 2g

Na rozd´ıl od Gaussovy kˇrivosti, stˇredn´ı kˇrivost mˇen´ı znam´enko pˇri zmˇenˇe orientace plochy. Nem´a proto smysl pˇri klasifikaci dˇelit na kladnou a z´ apornou kˇrivost. Pojmenujeme proto pouze dva speci´ aln´ı typy ploch: Definice 1.11. Plocha se naz´ yv´a • CMC plochou, je-li H = konst. 6= 0 v kaˇzd´em bodˇe, 7

• minim´ aln´ı plochou, je-li H = 0 v kaˇzd´em bodˇe. CMC plochy (Constant Mean Curvature) jsou pomˇernˇe mladou a sloˇzitou skupinou ploch, pˇr´ıklady uvedeme v ˇca´sti 2. Minim´ aln´ı plochy jsou, jak napov´ıd´a n´ azev, plochy s nejmenˇs´ım moˇzn´ ym obsahem na dan´ ych okraj´ıch. Pˇr´ıkladem uved’me katenoid (obr. 2.14) a helikoid (obr. 2.15), podrobnˇeji se jimi budeme zab´ yvat opˇet v ˇca´sti 2.

1.6

Geodetick´ a kˇ rivost

Definice 1.12. Necht’ P(t), t ∈ I, je kˇrivka na ploˇse κ. Velikost pr˚ umˇetu ¨ kˇrivky do teˇcn´e roviny plochy naz´ vektoru prvn´ı kˇrivosti P yv´ame geodetick´ a kˇrivost kˇrivky na ploˇse. Jelikoˇz geodetickou kˇrivost nebudeme v t´eto pr´aci d´ ale vyuˇz´ıvat, uvedeme pouze nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı definici a vˇety, kter´e se j´ı t´ ykaj´ı. Tato t´ematika je v´ıce do hloubky rozvedena v [1] a [4]. Definice 1.13. Kˇrivka na ploˇse, kter´ a m´a ve vˇsech bodech nulovou geodetickou kˇrivost, se naz´ yv´a geodetika. Vˇ eta 1.7. V kaˇzd´em bodˇe geodetiky spl´ yv´a jej´ı hlavn´ı norm´ala s norm´alou plochy v tomto bodˇe. Vˇ eta 1.8. Je-li kˇrivka nejkratˇs´ı spojnic´ı mezi dvˇema body na ploˇse, pak je geodetikou. Vˇ eta 1.9. Geodetikami na kulov´e ploˇse jsou hlavn´ı kruˇznice. Geodetikami na rotaˇcn´ı v´alcov´e ploˇse jsou povrˇsky, rovnobˇeˇzkov´e kruˇznice a ˇsroubovice. Vˇ eta 1.10. Rozvinut´ım geodetiky leˇz´ıc´ı na rozvinuteln´e ploˇse je pˇr´ımka, nebo u ´seˇcka.

8

2 Plochy s konstantn´ı a nulovou kˇ rivost´ı Nyn´ı pˇredstav´ıme plochy se speci´ aln´ımi hodnotami kˇrivosti. Jednotliv´e pˇr´ıklady tˇechto ploch jsou velmi dobˇre zpracov´any a pops´ any napˇr´ıklad v [2],[11]. Uvedeme zde pro ilustraci jejich obr´ azky s pˇr´ıpadn´ ym kr´ atk´ ym popiskem, parametrizaci ˇci hodnotou kˇrivosti.

2.1

CGC plochy

Jednou ze skupin jsou plochy s konstantn´ı Gaussovou kˇrivost´ı, takzvan´e CGC plochy (viz odd´ıl 1.4).Uvedeme si tyto pˇr´ıklady:

9

Sf´era (obr. 2.1) je nejjednoduˇsˇs´ı plochou s konstantn´ı kˇrivost´ı. Patˇr´ı jak do CGC, tak i CMC ploch. P(u, v) = (r · cos(u) cos(v), r · cos(u) sin(v), r · sin(u)) u ∈ (0, 2π), v ∈ (0, 2π) K=

1 r2

Obr´azek 2.1: Sf´era [11]

10

Pseudosf´era (obr.2.2) je rotaˇcn´ı plochou kˇrivky s n´ azvem tractrix.  v  P(u, v) = r · cos(u) sin(v), r · sin(u) sin(v), a(cos(v) + log(tan( )) 2 u ∈ (−∞, +∞), v ∈ (0, 2π) K=−

1 r2

Obr´azek 2.2: Pseudosf´era [11]

11

Diniho plocha (obr. 2.3) vznik´a ”ˇsroubov´an´ım”pseudosf´ery.  v  P(u, v) = r · cos(u) sin(v), r · sin(u) sin(v), s · u + a(cos(v) + log(tan( )) 2 u ∈ (0, +∞), v ∈ (0, +∞), r, s > 0 K=−

r2

1 · s2

Obr´azek 2.3: Diniho plocha [11]

12

Dalˇs´ımi pˇr´ıklady jsou Kuen plocha (obr. 2.4), breathery (obr. 2.5), Mindingovy plochy (obr. 2.6) a dalˇs´ı [10].

Obr´azek 2.4: Kuen plocha [11]

Obr´azek 2.5: Breathery [8]

13

Obr´azek 2.6: Mindingovy plochy, srovn´an´ı s pseudosf´erou [8]

2.2

Rozvinuteln´ e plochy

Zvl´aˇstn´ı podskupinou CGC ploch jsou plochy rozvinuteln´e. Rozvinutelnou plochu jsme definovali v odd´ılu1.4. Nyn´ı uk´aˇzeme jej´ı dalˇs´ı vlastnosti. Nejprve zavedeme n´ asleduj´ıc´ı pojem: Definice 2.1. Plocha je pˇr´ımkov´ a, pokud ji m˚ uˇzeme vyj´adˇrit jako jednoparametrick´ y syst´em pˇr´ımek. Tyto pˇr´ımky se pak naz´ yvaj´ı povrˇskami plochy. Pˇr´ıkladem m˚ uˇze b´ yt napˇr´ıklad jednod´ıln´ y hyperboloid [11]. Ten je pˇr´ımkovou plochou, ale nen´ı rozvinuteln´ y. Rozvinuteln´a plocha je pˇr´ımkov´a (viz odd´ıl 1.4) a m´a nav´ıc jeˇstˇe pod´el cel´e povrˇsky stejnou teˇcnou rovinu. V [1] je zavedena jako obalov´a plocha jednoparametrick´eho syst´emu rovin. Tyto vlastnosti vyuˇzijeme v ˇca´sti 4. Nyn´ı uvedeme z´ astupce rozvinuteln´ ych ploch:

14

V´ alcov´ a plocha je obecnˇe d´ ana kˇrivkou R(u) a smˇerov´ ym vektorem w P(u, v) = R(u) + v · w. Uk´ aˇzeme konkr´etn´ı pˇr´ıklad, rotaˇcn´ı v´alcovou plochu (obr. 2.7): P(u, v) = (r · cos(u), r · sin(u), v) u ∈ (0, 2π), v ∈ (−∞, +∞), r > 0

Obr´azek 2.7: V´ alcov´a plocha [11]

15

Kuˇzelov´ a plocha je d´ ana kˇrivkou R(u) a vrcholem V: P(u, v) = R(u) + v · (R(u) − V) = (1 − v) · R(u) + v · V Zobraz´ıme napˇr´ıklad kuˇzelovou plochu, jej´ıˇz ˇr´ıd´ıc´ı kˇrivkou je elipsa (obr. 2.8): P(u, v) = (r · v · cos(u), v · sin(u), v) u ∈ (0, 2π), v ∈ (−∞, +∞), r > 0

Obr´azek 2.8: Kuˇzelov´a plocha [2]

16

Plocha teˇcen prostorov´e kˇrivky je obecnˇe d´ ana kˇrivkou R(u) a jej´ım teˇcn´ ym vektorem R0 (u): P(u, v) = R(u) + v · R0 (u) Jako pˇr´ıklad uvedeme plochu teˇcen ˇsroubovice (obr. 2.9): P(u, v) = (cos(v) − u · sin(v), sin(v) + u · cos(v), v + u) u ∈ (0, 2π), v ∈ (−∞, +∞)

Obr´azek 2.9: Plocha teˇcen ˇsroubovice[2]

17

V [1] je dok´ az´ano, ˇze rozvinuteln´e jsou pr´avˇe jen tyto tˇri typy ploch a jejich kombinace (viz pl´atov´an´ı, [5]). Rozvinuteln´e plochy maj´ı dalekos´ahl´e vyuˇzit´ı. Jsou vhodn´e v poˇc´ıtaˇcov´e grafice, nebot’ se na nˇe napˇr´ıklad snadno nan´aˇsej´ı rovinn´e textury [5]. Pouˇz´ıvaj´ı se v kartografii, kdy se nejprve zemsk´ y povrch zobraz´ı na rozvinutelnou plochu a ta se pak rozvine do roviny. Jelikoˇz rozvinuteln´eho tvaru lze dos´ ahnout prost´ ym oh´ yb´ an´ım rovinn´e plochy, pouˇz´ıvaj´ı se v technice k vytv´aˇren´ı tvar˚ u z plechu, kartonu, ˇci pˇrekliˇzky. Ve velk´e m´ıˇre se rozvinuteln´ ych ploch vyuˇz´ıv´ a v konstrukci letadel a lod´ı. [14]

2.3

CMC plochy

Plochy s konstantn´ı nenulovou stˇredn´ı kˇrivost´ı jsou velmi bouˇrlivˇe se rozv´ıjej´ıc´ı tˇr´ıdou ploch. Ukaˇzme ty nejjednoduˇsˇs´ı: Unduloid (obr. 2.10) vznik´a jako rotaˇcn´ı plocha eliptick´e ˇretˇezovky (kˇrivka po odvalen´ı elipsy po pˇr´ımce) [10],[14]. Dalˇs´ımi pˇr´ıklady mohou b´ yt Dealunayovy plochy (obr. 2.11), Wente˚ uv torus (obr. 2.12), Noidy (obr. 2.13) a dalˇs´ı [8].

Obr´azek 2.10: Unduloid [10]

18

Obr´azek 2.11: Delaunayho unduloid a ˇrez Delaunayov´ ym nodoidem [8]

Obr´azek 2.12: Wente˚ uv torus [8]

19

Obr´azek 2.13: Rovnoramenn´ y pˇetic´ıp´ y noid [8]

20

2.4

Minim´ aln´ı plochy

Katenoid (obr. 2.14) vznikne rotac´ı ˇretˇezovky (anglicky Catenary):   v v P(u, v) = r · cos(u) · cosh( ), r · cosh( ) · sin(u), v r r u ∈ (0, +∞), v ∈ (0, +∞), r, s > 0

Obr´azek 2.14: Katenoid [11]

21

Helikoid (obr. 2.15) je jedin´ a zn´am´ a pˇr´ımkov´a minim´aln´ı plocha (pokud pomineme rovinu). Vznik´ a souˇcasnou rotac´ı i translac´ı pˇr´ımky pod´el osy na n´ı kolm´e. P(u, v) = (r · v · cos(u), r · v · sin(u), s · u) u ∈ (−∞, +∞), v ∈ (0, +∞), r, s > 0

Obr´azek 2.15: Helikoid [11]

22

Enneperova plocha (obr. 2.16)   v3 u3 + u · v 2 , −v − u2 · v + , u2 − v 2 P(u, v) = u − 3 3 u ∈ (−∞, +∞), v ∈ (−∞, +∞)

Obr´azek 2.16: Ennepetova plocha [11] Dalˇs´ımi pˇr´ıklady jsou Costa plocha (obr. 3.4), Scherkova minim´aln´ı plocha (obr. 3.5) a dalˇs´ı ([11],[10]). Jak jiˇz bylo zm´ınˇeno v ˇca´sti 1, minim´aln´ı plochy jsou plochy s nejmenˇs´ım obsahem pro danou hranici. Nab´ız´ı se napˇr´ıklad pˇredstava m´ ydlov´e bubliny na nˇejak´em dr´atˇen´em profilu. V posledn´ıch dvou desetilet´ıch jsou zkoum´ any z hlediska moˇzn´eho vyuˇzit´ı v molekul´arn´ım a materi´ alov´em inˇzen´ yrstv´ı, d´ ale se uplatˇ nuj´ı pˇri n´ avrhu konstrukc´ı v architektuˇre (membr´anov´e konstrukce) a sochaˇrstv´ı (R. Engman, R. Longhurst, Ch. Perry) [14]

23

3 Herb´ aˇ re ploch V n´ asleduj´ıc´ı ˇca´sti se budeme vˇenovat online zdroj˚ um obrazov´eho materi´ alu k t´ematu ploch. C´ılem je nal´ezt pokud moˇzno co nejˇsirˇs´ı paletu str´anek, poskytuj´ıc´ıch kvalitn´ı obr´ azky ploch a zhodnotit jejich obsah, bohatost, zaj´ımavost, dostupnost a pˇr´ınos.

3.1

Postup

Nejprve se pokus´ıme navrhnout strukturu objektivn´ıho hodnocen´ı. U nalezen´ ych str´anek budeme sledovat nˇekolik faktor˚ u: 1. Dostupnost - jak snadno je moˇzn´e str´anku naj´ıt, omezen´ı pro uˇzivatele. 2. T´ema - co by mˇelo b´ yt obsahem str´anky. 3. Kvalita obr´ azk˚ u - velikost, rozliˇsen´ı, zpracov´an´ı. 4. Kvantita obr´ azk˚ u - mnoˇzstv´ı, rozmanitost. 5. Ucelenost - doplˇ nuj´ıc´ı informace k ploch´ am, zpracovan´e syst´emy, klasifikace a tˇr´ıdˇen´ı ploch. 6. Vˇerohodnost - autorstv´ı, druh str´anek. 7. Pˇr´ınos - celkov´ y dojem, vyuˇzitelnost. Je tˇreba si uvˇedomit, ˇze pˇres snahu tuto strukturu dodrˇzet nem˚ uˇze b´ yt hodnocen´ı u ´plnˇe objektivn´ı a prom´ıtne se do nˇej n´ azor autora. M˚ uˇze ale slouˇzit jako uk´ azka zaj´ımav´ ych str´anek, kter´e se t´ ykaj´ı ploch, a inspirace, aby ˇcten´ aˇr s´am uveden´e odkazy navˇst´ıvil a udˇelal si vlastn´ı u ´sudek. Protoˇze hlavn´ım u ´ˇcelem tˇechto herb´ aˇr˚ u“ ploch na internetu by mˇelo b´ yt ” poskytnout pˇr´ıstup k informac´ım a materi´ alu nejen odborn´e veˇrejnosti, ale i ˇsirok´emu spektru laick´ ych uˇzivatel˚ u, pouˇzijeme k vyhled´av´ an´ı klasickou uˇzivatelskou metodu: Dva v naˇsich podm´ınk´ach nejzn´ amˇejˇs´ı vyhled´avaˇce, Seznam.cz a Google.com, a internetovou encyklopedii Wikipedia.org. Do vyhled´ avaˇc˚ u postupnˇe zad´av´ ame hesla galerie ploch“, obr´ azky ploch“, ” ” surface gallery“, pictures of surfaces“ (Pˇri vyhled´av´ an´ı byla pouˇzita mnoh´a ” ” dalˇs´ı hesla, ovˇsem z´ıskan´e v´ ysledky jsou pˇresto dosaˇziteln´e z t´eto omezen´e skupiny). Vybereme str´anky odpov´ıdaj´ıc´ı poˇzadavk˚ um mezi prvn´ımi pˇribliˇznˇe pades´ati

24

odkazy (d´al uˇz je nalezen´ı pouˇziteln´ ych v´ ysledk˚ u silnˇe nepravdˇepodobn´e). Je nutno podotknout, ˇze ˇcesk´ y vyhled´avaˇc naprosto selhal, jak pˇri zad´av´ an´ı ˇcesk´ ych hesel, tak hesel v angliˇctinˇe. Google.com poskytl ˇctyˇri relevantn´ı str´anky, vˇsechny v anglick´em jazyce. K vyhled´ av´ an´ı na serveru Wikipedia.org mus´ıme pˇristoupit ponˇekud jinak. Zaˇcneme na ˇcl´ anku o ploch´ ach a budeme pouˇz´ıvat kˇr´ıˇzov´e odkazy k pohybu po webu. Obr´azky ploch jsou dostupn´e pˇres ˇcl´anky o tˇechto ploch´ ach. Nyn´ı pˇristupme ke zhodnocen´ı jednotliv´ ych pramen˚ u a galeri´ı:

3.2

Wikipedia, The Free Encyclopedia [14]

Tato internetov´a encyklopedie je k dispozici v mnoha jazykov´ ych mutac´ıch, pˇrev´aˇzn´a vˇetˇsina ˇcl´ ank˚ u existuje v anglick´e verzi (viz statistiky wiki [14]). Pˇri srovn´ an´ı ˇcesk´e a anglick´e verze je anglick´a velmi ˇcasto propracovanˇejˇs´ı, s v´ıce informacemi a podstatnˇe v´ıce obr´ azky. Nˇemeck´a verze m´a podobnou u ´ roveˇ n t´e anglick´e. S pomoc´ı kˇr´ıˇzov´ ych odkaz˚ u se lze dostat k ˇsirok´e nab´ıdce obrazov´eho materi´ alu, kolektiv autor˚ u serveru db´ a na n´ aleˇzit´e pops´ an´ı a vysvˇetlen´ı, nav´ıc obr´ azky jsou v naprost´e vˇetˇsinˇe pˇriloˇzeny k ˇcl´ank˚ um o konkr´etn´ıch ploch´ ach. To m˚ uˇze b´ yt ale i nev´ yhodou, pro uˇzivatele neovl´ adaj´ıc´ı na dostateˇcn´e u ´ rovni ciz´ı jazyk, nebot’ je jim t´ım zt´ıˇzena navigace uvnitˇr encyklopedie. Druh´ ym u ´ skal´ım je otevˇrenost cel´eho projektu, n´ ahodn´ı uˇzivatel´e mohou jednoduˇse upravovat ˇcl´ anky a t´ım je sn´ıˇzena vˇerohodnost informac´ı v nich obsaˇzen´ ych. Je to kompenzov´ano velkou n´ avˇstˇevnost´ı, pˇr´ıpadn´e chyby mohou b´ yt brzy detekov´any a opraveny.

Obr´azek 3.1: Pˇr´ıklady uzavˇren´ ych a otevˇren´ ych ploch z [14]

25

Shrnut´ı: Wikipedia nab´ız´ı velk´e mnoˇzstv´ı dostateˇcnˇe kvalitn´ıho obrazov´eho materi´ alu k t´ematu ploch (obr. 3.1), znalost ciz´ıho jazyka je pˇri vyhled´av´ an´ı v´ yhodou. Vˇsechny informace z tohoto serveru je ale tˇreba br´at s rezervou.

3.3

GeometrieWerkstatt, Universit¨ at T¨ ubingen [8]

GeometrieWerkstatt je str´anka oddˇelen´ı geometrie matematick´eho institutu univerzity v nˇemeck´em T¨ ubingenu, kter´ a slouˇz´ı k prezentaci pr´ace akademick´ ych pracovn´ık˚ u a doktorand˚ u. Obsahuje i rozs´ahlou galerii pˇrev´aˇznˇe CMC ploch, jsou zastoupeny i CGC plochy, napˇr´ıklad Mindingov´ ymi plochami (viz odd´ıl 2.1). Obr´azky jsou velk´e s dobr´ ym rozliˇsen´ım, velmi p˚ usobivˇe graficky zpracovan´e, sp´ıˇse pro navozen´ı vizu´aln´ıho dojmu, neˇz ˇcistˇe zobrazen´ı plochy (obr. 3.2). Galerie opl´ yv´a barvami a r˚ uzn´ ymi typy model˚ u, od hladk´ ych ploch po modely dr´atˇen´e“, nˇekde se objevuj´ı i videa nebo moˇznost prohl´ıˇzet plochy ve ” 3D. Celkovˇe p˚ usob´ı str´anky dojmem, ˇze maj´ı popularizovat diferenci´ aln´ı geometrii ploch. Tomu napov´ıd´a i u ´pln´ a absence parametrizac´ı uk´azan´ ych ploch, pˇrestoˇze nechyb´ı slovn´ı popis v angliˇctinˇe. Velk´ ym kladem je systematick´a klasifikace podle vzniku a pˇr´ıbuznosti. Spoleˇcnˇe s vysvˇetluj´ıc´ımi texty jsou uvedeny i odkazy do literatury. U nˇekter´ ych ploch se nav´ıc jedn´a o vlastn´ı objevy akademick´ ych pracovn´ık˚ uu ´stavu, napˇr´ıklad nˇekter´e uveden´e Willmoreovy plochy spoluobjevil Prof. Dr. Franz Pedit.

Obr´azek 3.2: Minding Breather z [8]

26

Shrnut´ı: Galerie zobrazuje CMC a CGC plochy, roztˇr´ıdˇen´e podle p˚ uvodu a pˇr´ıbuznosti. Obr´azky jsou kvalitn´ı a okomentovan´e, naprosto ale chyb´ı parametrizace. Znalost angliˇctiny nutn´a.

3.4

Algebraic Surfaces, Universit¨ at Wien [9]

Str´ anky se nach´ azej´ı na serveru V´ıdeˇ nsk´e univerzity, v osobn´ım adres´ aˇri profesora Herwiga Hausera. Galerie obsahuje sedmdes´ at tˇri ploch zadan´ ych implicitn´ı funkc´ı tˇr´ı promˇenn´ ych - algebraick´ ych ploch. Autor zde vytvoˇril barevn´e obr´ azky ploch zaj´ımav´ ych tvar˚ u (obr. 3.3). Pˇri kliknut´ı na obr´ azek nebo funkci se otevˇre nov´e okno s obr´ azkem v rozliˇsen´ı 500x500. Nic jin´eho galerie nenab´ız´ı.

Obr´azek 3.3: Snˇehov´a vloˇcka z [9] Shrnut´ı: Str´ anky pˇredv´ adˇej´ı jin´ y popis ploch, neˇz se kter´ ym pracujeme obvykle (pˇrestoˇze je moˇzn´e poˇc´ıtat kˇrivosti implicitn´ıch ploch, viz [3]). Podobn´ ych uk´ azek algebraick´ ych ploch m˚ uˇzeme na internetu naj´ıt v´ıce, tato nad nimi vynik´ a rozsahem. Autor jeˇstˇe podn´ıtil fantazii n´ avˇstˇevn´ık˚ u galerie pestr´ ymi barvami.

3.5

Virtual Math Museum [10]

Str´ anky galerie ploch na serveru Virtual Math Museum dˇel´ı plochy do skupin podle hodnoty Gaussovy a stˇredn´ı kˇrivosti a podle orientovanosti. Nejvˇetˇs´ı skupinu

27

tvoˇr´ı minim´ aln´ı plochy (napˇr. obr. 3.4), kter´ ym je vˇenov´ana vlastn´ı str´anka. Vˇetˇsina ploch postr´ ad´a parametrizaci, jsou vˇsak anglicky pops´ any, vˇcetnˇe odkaz˚ u na literaturu. Ke kaˇzd´e ploˇse je nab´ızeno nˇekolik obr´ azk˚ u v dobr´e kvalitˇe a d´ ale skript, kter´ y umoˇzn ˇuje ot´aˇcen´ı, zoom a tak´e libovoln´e pˇrebarven´ı plochy.

Obr´azek 3.4: Costa plocha z [10] Shrnut´ı: Galerie obsahuje velk´e mnoˇzstv´ı dobr´ ych obr´ azk˚ u, k tomu nav´ıc i interaktivn´ı vizualizaci. Zvl´aˇst’ rozs´ahl´ a je skupina minim´aln´ıch ploch. Vˇetˇsina ploch nem´ a uvedenou parametrizaci, ale jsou okomentov´any. Znalost angliˇctiny nutn´a.

3.6

Curves and surfaces, Harvey Mudd College, Claremont [11]

Tato galerie je dostupn´ a na serveru Harvey Mudd College v Claremontu v USA. Kromˇe ploch obsahuje tak´e kˇrivky. Oddˇelen´ı ploch nab´ız´ı propracovan´ y syst´em klasifikace podle mnoha parametr˚ u. Kategorie jsou slovnˇe pops´any (v angliˇctinˇe). Z velk´eho mnoˇzstv´ı kategori´ı ploch uved’me pˇr´ıkladem tˇreba kvadriky, rozvinuteln´e plochy, minim´ aln´ı plochy (napˇr´ıklad obr. 3.5), rotaˇcn´ı plochy a mnoho dalˇs´ıch. Ke kaˇzd´e jednotliv´e ploˇse je uvedeno nˇekolik obr´azk˚ u v menˇs´ım, ale dostaˇcuj´ıc´ım rozliˇsen´ı. U vˇetˇsiny d´ ale n´ asleduje parametrizace, diferenci´ al plochy, vypoˇcten´ a Gaussova a stˇredn´ı kˇrivost, zn´azornˇeny grafy kˇrivost´ı a plocha obarven´a podle hodnot kˇrivosti. Cel´a galerie je z´ aroveˇ n propojena kˇr´ıˇzov´ ymi odkazy, vedouc´ımi na souvisej´ıc´ı plochy. Nikde na str´ank´ ach nen´ı zm´ınka o autorovi cel´eho projektu, webov´a adresa vˇsak vede do osobn´ıho adres´ aˇre profesorky Weiqing Gu, kter´ a se zab´ yv´a diferenci´ aln´ı geometri´ı, tedy lze pˇredpokl´adat, ˇze se jedn´a o jej´ı d´ılo.

28

Obr´azek 3.5: Scherkova minim´aln´ı plocha z [11] Shrnut´ı: Str´ anky obsahuj´ı strukturovan´ y pˇrehled velk´eho mnoˇzstv´ı kategori´ı ploch i s popisem. Obr´azky nejsou v nijak´e zvl´aˇstn´ı kvalitˇe, ale pro pˇredstavu dostaˇcuj´ı. Doplˇ nuj´ıc´ı u ´daje k ploch´ am jsou skvˇele zpracovan´e a mohou velmi pomoci zorientovat se v problematice diferenci´ aln´ı geometrie ploch.

29

4 Konstrukce rozvinuteln´ e pˇ rechodov´ e plochy Tato ˇca´st pr´ace je orientov´ana na n´ avrh algoritmu, kter´ y by byl schopen konstruovat rozvinuteln´e plochy mezi dvˇema prostorov´ ymi kˇrivkami (korektn´ı zad´an´ı v odd´ılu 4.2), a jeho implementaci v softwaru Mathematica. Pokus´ıme se nejprve shrnout d˚ uvody, proˇc je uˇziteˇcn´e se tomuto t´ematu vˇenovat.

4.1

Motivace

Na probl´em konstrukce pˇrechodu mezi dvˇema objekty (rozumˇej tˇelesy) ˇcasto nar´ aˇz´ıme v technick´e praxi, nejˇcastˇejˇs´ım pˇr´ıpadem je propojen´ı dvou dan´ ych profil˚ u (obr. 4.1). Nav´ıc se ˇcasto poˇzaduje, aby byl pˇrechod snadno realizovateln´ y pomoc´ı bˇeˇznˇe dostupn´ ych materi´ al˚ u, pro n´ azornost uved’me pl´aty plechu [14]. Dalˇs´ım krit´eriem je ne pˇr´ıliˇs n´ aroˇcn´a manipulace - nab´ız´ı se oh´ yb´an´ı plechu nebo obr´ abˇen´ı kovov´ ych masiv˚ u (fr´ezov´an´ı, brouˇsen´ı). V oh´ yb´an´ı plechu vid´ıme pˇr´ımou analogii s rozvinutelnou plochou, pˇri obr´ abˇen´ı je moˇzn´e vyuˇz´ıt rozvinuteln´e plochy jakoˇzto ob´alky syst´emu rovin (viz ˇca´st 2 tohoto textu) pro snadnˇejˇs´ı opracov´an´ı. Takov´a specifikace vede na u ´lohu hled´ an´ı rozvinuteln´e plochy s hranicemi dan´ ymi objekty, kter´e chceme propojit. Obecnˇe tyto objekty mohou m´ıt libovolnˇe tvarovan´ y okraj (pˇri napojov´an´ı ˇca´st´ı potrub´ı n´ as kupˇr´ıkladu zaj´ım´ a tvar jejich koncov´ ych pr˚ uˇrez˚ u) a zauj´ımat jakoukoli vz´ ajemnou polohu.

Obr´azek 4.1: Pˇrechodov´a plocha v praxi [13]

30

V´ yhody rozvinuteln´ ych pˇrechodov´ ych ploch jsou tedy jasnˇe patrn´e, ovˇsem mnoˇzstv´ı komerˇcn´ıch softwar˚ u pˇresto vyuˇz´ıv´ a (byt’ velmi dobˇre ovladateln´e) spline plochy, jejichˇz realizace je podstatnˇe sloˇzitˇejˇs´ı (napˇr´ıklad obecnˇe nejdou modelovat pr´avˇe z plechu, bez vyuˇzit´ı natahov´an´ı ˇci stˇr´ıh´an´ı), nebo obecn´e pˇr´ımkov´e plochy. Ani modelovac´ı software Rhinoceros, kter´ y moˇznost rozvinuteln´e pˇrechodov´e plochy nab´ız´ı, ned´av´ a ve sto procentech spr´ avn´e v´ ysledky (viz 4.7). Dalˇs´ı studium v t´eto oblasti je ˇza´douc´ı a mohlo by pˇrin´est nov´e v´ ysledky.

4.2

Zad´ an´ı probl´ emu

Jsou d´ ana dvˇe tˇelesa s dan´ ym tvarem, velikost´ı a vz´ ajemnou polohou. D´ale je na kaˇzd´em z tˇeles zad´ ana hranice, na n´ıˇz m´a doj´ıt k napojen´ı druh´eho tˇelesa (nemus´ı nutnˇe j´ıt o hranici tˇelesa!). Tyto dvˇe hranice jsou prostorov´ ymi kˇrivkami. Definice 4.1. Jsou d´ any dvˇe r˚ uzn´e prostorov´e kˇrivky P(t) a Q(r). Plocha R(u1 , v 1 ), pro kterou plat´ı ˇze i) P(t), Q(r) jsou hranice plochy, ii) Gaussova kˇrivost K = 0 v kaˇzd´em bodˇe, iii) neobsahuje samopr˚ unik, se naz´ yv´a rozvinuteln´ a pˇrechodov´ a plocha mezi kˇrivkami P(t) a Q(r). Vˇsimneme si poˇzadavku absence samopr˚ uniku. Je to opodstatnˇen´a podm´ınka, nebot’ samopr˚ unik by v praxi znehodnocoval vˇsechna pozitiva rozvinutelnosti plochy (odd´ıl 4.1) a vytv´aˇrel slab´e m´ısto. Rozvinuteln´a plocha je pˇr´ımkov´a, jej´ı povrch je tvoˇren pˇr´ımkami, kter´e proch´ azej´ı obˇema kˇrivkami zad´an´ı. Podm´ınka iii) tedy jednoduˇse znamen´ a, ˇze povrˇsky se nesm´ı na ploˇse kˇr´ıˇzit. Probl´em konstrukce rozvinuteln´e pˇrechodov´e plochy mezi dvˇema kˇrivkami m˚ uˇzeme pojmout nˇekolika zp˚ usoby a) Nalezen´ı parametrizace R(u1 , v 1 ) b) Sestrojen´ı konkr´etn´ıch pˇr´ımek plochy c) Aproximace plochy pomoc´ı rozvinuteln´ ych pl´at˚ u Nalezen´ı konkr´etn´ı parametrizace je samozˇrejmˇe ide´ aln´ı stav. Na z´ akladˇe parametrizace plochy je moˇzn´e zkoumat jej´ı vlastnosti a lze z´ıskat libovoln´ y bod plochy. Mus´ıme si ale uvˇedomit, ˇze hled´ an´ı takov´e parametrizace je obecnˇe velmi sloˇzit´ y probl´em, kter´ y v˚ ubec nemus´ı m´ıt ˇreˇsen´ı (pˇr´ıklad v odd´ılu 4.4). Pro nˇekter´a trivi´ aln´ı zad´ an´ı lze parametrizaci naopak stanovit velice snadno. Jsou to ovˇsem konkr´etn´ı pˇr´ıpady, na kter´e je potˇreba lidsk´ y n´ahled. Reˇserˇse proveden´e v r´amci t´eto pr´ace ned´avaj´ı jasnou odpovˇed’ na ot´azku ˇreˇsitelnosti t´eto u ´ lohy. V odd´ılu 4.4 se proto pokus´ıme stanovit alespoˇ n nˇejakou mnoˇzinu ˇreˇsiteln´ ych zad´ an´ı a uv´est neˇreˇsiteln´e pˇr´ıklady.

31

Kdyˇz sestrojujeme jednotliv´e povrˇsky plochy, pˇrevedli jsme probl´em na jednoduˇsˇs´ı: Hled´ame ke kaˇzd´emu bodu jedn´e kˇrivky odpov´ıdaj´ıc´ı bod kˇrivky druh´e tak, abychom je mohli propojit pˇr´ımkou. Ploˇse n´ aleˇz´ı pouze ˇca´st pˇr´ımky ohraniˇcen´ a kˇrivkami zad´ an´ı, tedy u ´seˇcka. Sestrojen´ı konkr´etn´ıch pˇr´ımek plochy m´a oproti hled´ an´ı parametrizace tu v´ yhodu, ˇze m˚ uˇzeme postupovat po dan´e kˇrivce diskr´etnˇe, bod po bodu (samozˇrejmˇe s poˇzadovanou pˇresnost´ı) a dostaneme vˇzdy soustavu rovnic (viz 4.5). Je to tedy univerz´ aln´ı postup, o ˇreˇsitelnosti ale zat´ım tak´e nic nev´ıme. Tento zp˚ usob je analyzov´an a pouˇzit v algoritmu. Je to metoda vhodn´ a k pouˇzit´ı pˇri praktick´ ych konstrukc´ıch, nebot’ m˚ uˇzeme dostat tvar plochy s poˇzadovanou pˇresnost´ı. Pl´ atov´an´ım rozvinuteln´ ymi pl´aty se v minulosti zab´ yvalo mnoˇzstv´ı autor˚ u (zaj´ımav´a metoda a shrnut´ı v archivn´ım ˇcl´anku [5]). Jak uvid´ıme d´ ale, je moˇzn´e tento zp˚ usob nav´azat na pˇredchoz´ı.

4.3

Rozbor

Soustˇred´ıme se na zkonstruov´an´ı jednotliv´ ych pˇr´ımek plochy. Jak uˇz bylo zm´ınˇeno, hled´ ame ke kaˇzd´emu bodu A = P(t0 ) bod B ∈ Q(r) tak, aby leˇzely na t´eˇze povrˇsce plochy. V ˇca´sti 2 jsme vidˇeli, ˇze rovina teˇcn´a v libovoln´em bodˇe povrˇsky je teˇcn´a pod´el cel´e t´eto pˇr´ımky. V jedn´e rovinˇe by tedy musely leˇzet teˇcna ke kˇrivce P v bodˇe A, teˇcna ke kˇrivce Q v bodˇe B i spojnice bod˚ u A a B (coˇz by vlastnˇe byla ona povrˇska). Pouˇzijeme obvykl´e znaˇcen´ı dP , P0 = dt dQ Q0 = , dr AB = B − A. Vektory prvn´ıch derivac´ı jsou smˇerov´ ymi vektory teˇcen [1], vektor AB je smˇerov´ ym vektorem povrˇsky. Spojnice A a B m˚ uˇze b´ yt povrˇskou, pokud tyto vektory budou koplan´arn´ı (patˇr´ıc´ı do zamˇeˇren´ı jedn´e roviny), neboli, ekvivalentnˇe, pokud teˇcna kˇrivky P v bodˇe A a teˇcna kˇrivky Q v bodˇe B bude n´ aleˇzet jedn´e rovinˇe. ˇ o hledanou pˇr´ımku nutnˇe j´ıt nemus´ı uk´aˇzeme na pˇr´ıkladu dvou kruˇznic, Ze leˇz´ıc´ıch v rovnobˇeˇzn´ ych rovin´ach. Pro jednoduchost necht’ spojnice stˇred˚ u tˇechto kruˇznic je kolm´a na jejich roviny (obr. 4.2a). Je zˇrejm´e, ˇze ke kaˇzd´e teˇcnˇe kruˇznice existuj´ı dalˇs´ı teˇcna, kter´ a je s n´ı rovnobˇeˇzn´a a body dotyku leˇz´ı naproti sobˇe pˇres kruˇznici. Pouˇzijeme-li bod B1 , z´ısk´ame povrˇsku v´alcov´e plochy, zat´ımco pouˇzit´ı B2 vede na povrˇsku kuˇzelov´e plochy s vrcholem mezi kruˇznicemi. Povrˇsky takov´e kuˇzelov´e plochy se ale kˇr´ıˇz´ı a proto nem˚ uˇze b´ yt pˇrechodovou plochou. M´ ame ˇreˇsen´ı, u ´seˇcka AB n´ aleˇz´ı rozvinuteln´e pˇrechodov´e ploˇse mezi kˇrivkami

32

P(t) a Q(r).

(a)

(b)

Obr´azek 4.2: Konstrukce povrˇsky Nal´ezt mezi moˇzn´ ymi ˇreˇsen´ımi to spr´ avn´e m˚ uˇzeme pomoc´ı dodateˇcn´e podm´ınky na vektory P0 a Q0 : Vektory mus´ı m´ıˇrit do stejn´e poloroviny ohraniˇcen´e povrˇskou. Ani tato zkouˇska ovˇsem st´ ale jeˇstˇe stoprocentnˇe nezajiˇst’uje spr´ avnost ˇreˇsen´ı. Vyuˇzijme pˇredchoz´ıho pˇr´ıkladu, pouze obr´ at´ıme parametrizaci kruˇznice Q(r), jej´ı teˇcn´e vektory ted’ budou m´ıt opaˇcn´ y smˇer (obr. 4.2b). Jak je vidˇet, kˇrivky se nezmˇenily a t´ım p´ adem se nemˇen´ı ani pˇrechodov´a plocha, ale test teˇcn´ ych vektor˚ u chybnˇe urˇc´ı bod B2 za vyhovuj´ıc´ı. M´ ame tedy dvˇe moˇznosti: sladit parametrizace, coˇz se m˚ uˇze uk´azat jako obt´ıˇzn´e, ne-li nemoˇzn´e, nebo kontrolovat, zda nedoch´ az´ı ke kˇr´ıˇzen´ı povrˇsek, to by ale pˇri velk´e poˇzadovan´e pˇresnosti bylo znaˇcnˇe v´ ypoˇcetnˇe n´ aroˇcn´e. Dalˇs´ım omezen´ım tohoto pˇr´ıstupu je fakt, ˇze vyuˇz´ıv´ ame derivace kˇrivek, jsme tedy teoreticky schopni zpracovat pouze ty kˇrivky, kter´e maj´ı derivace v kaˇzd´em sv´em bodˇe. Protoˇze ale v praxi neexistuje dokonal´a hrana ani dokonal´ y vrchol, lze si pˇri pouˇzit´ı v´ yˇse popsan´e metody (za cenu urˇcit´e nepˇresnosti) dovolit kˇrivky zaoblit a t´ım z´ıskat chybˇej´ıc´ı derivace. Pˇri dosaˇzen´ı poˇzadovanˇe hust´e struktury povrˇsek pak naopak m˚ uˇzeme mezi jejich koncov´ ymi body aproximovat kˇrivku 33

u ´seˇckami, ˇc´ımˇz z´ısk´ ame ˇctyˇru ´heln´ıkov´e pl´aty. Tak mohl vzniknout i pˇrechod mezi ˇctvercem a kruˇznic´ı na obr. 4.1

4.4

ˇ sitelnost Reˇ

Nyn´ı zkus´ıme naj´ıt pˇr´ıklady ˇreˇsiteln´ ych a neˇreˇsiteln´ ych zad´an´ı. Zaˇcneme u nejjednoduˇsˇs´ıch pˇr´ıpad˚ u, rovinn´ ych kˇrivek v prostoru. Kdyˇz α, β jsou dvˇe navz´ ajem r˚ uzn´e roviny a P ∈ α, Q ∈ β jednoduch´e hladk´e konvexn´ı rovinn´e kˇrivky ([1]), pak se zd´a, ˇze rozvinuteln´a pˇrechodov´a plocha mezi P a Q existuje. Korektn´ı d˚ ukaz uv´ adˇet nebudeme, uvˇedom´ıme si jen, ˇze hladk´ a kˇrivka m´a derivaci v kaˇzd´em bodˇe, nav´ıc spojitou. Odvalov´an´ım teˇcny po kˇrivce otoˇc´ıme teˇcnu o 360◦, t´ım otoˇc´ıme i teˇcn´ y vektor. D´ale se konvexn´ı kˇrivka odchyluje od teˇcny st´ale na stejnou stranu, nejv´ yˇse teˇcnu kop´ıruje, pokud je v tom m´ıstˇe pˇr´ım´ a. T´ım tak´e teˇcn´ y vektor mˇen´ı smˇer st´ale na jednu stranu (a spojitˇe). V´ıme, ˇze se teˇcn´ y vektor toˇc´ı st´ ale jedn´ım smˇerem, a otoˇc´ı se o pln´ yu ´hel. Protoˇze α||β, existuje pro kaˇzd´ y vektor v α (tedy i teˇcn´e vektory kˇrivky P ) teˇcn´ y vektor kˇrivky Q, kter´ y m´a stejn´ y smˇer (je koline´ arn´ı, t´ım i koplan´arn´ı), nav´ıc existuje i nejm´enˇe jeden teˇcn´ y vektor ke Q, kter´ y m´a smˇer opaˇcn´ y. To n´ am ovˇsem ke konstrukci povrˇsky pˇrechodov´e plochy staˇc´ı, podle parametrizace zb´ yv´a zvolit ten spr´ avn´ y z rovnobˇeˇzn´ ych vektor˚ u. Jako pˇr´ıklad n´ am m˚ uˇzou slouˇzit kruˇznice a elipsa na obr´ azku 4.3.

Obr´azek 4.3: Pˇrechodov´a plocha mezi kruˇznic´ı a elipsou M˚ uˇzeme d´ ale vyslovit domnˇenku, ˇze stejnˇe p˚ ujdou sestrojit rozvinuteln´e 34

pˇrechodov´e plochy pro jednoduch´e konvexn´ı uzavˇren´e kˇrivky, pokud roviny α, β budou r˚ uznobˇeˇzn´e, ale jejich pr˚ useˇcnice bude leˇzet mimo obˇe kˇrivky. Kdyˇz se protnou teˇcna kˇrivky P a teˇcna kˇrivky Q, znamen´ a to, ˇze tyto teˇcny jsou r˚ uznobˇeˇzn´e a tedy n´ aleˇz´ı jedn´e rovinˇe (jak jeˇstˇe uk´aˇzeme v odd´ılu 4.5). Body dotyku takov´ ych teˇcen jsou moˇzn´e koncov´e body povrˇsky. (pˇr´ıklad takov´e plochy najdeme v odd´ılu 4.7 na obr´ azku 4.7d). To vysvˇetluje poˇzadavek pr˚ useˇcnice ˇ adn´a teˇcna konvexn´ı kˇrivky neproch´ leˇz´ıc´ı mimo kˇrivky: Z´ az´ı vnitˇrkem oblasti ohraniˇcen´e touto kˇrivkou. Tam ale nevyhnutelnˇe smˇeˇruj´ı nˇekter´e teˇcny druh´e kˇrivky, ˇc´ımˇz se odhaluj´ı body, pro kter´e neexistuj´ı povrˇsky, pˇr´ıklad vid´ıme na obr´ azku 4.4. V´ yjimkou jsou kˇrivky, kter´e se na t´eto pr˚ useˇcnici ve dvou bodech prot´ınaj´ı, takˇze ˇza´dn´e teˇcny nem´ıˇr´ı do vnitˇrku oblasti vymezen´e druhou kˇrivkou (obr. 4.5).

Obr´azek 4.4: Pˇrechodov´a plocha dvou kruˇznic v kolm´ ych rovin´ach nen´ı rozvinuteln´a Dalˇs´ı skupinou zad´ an´ı jsou pˇrechodov´e plochy na hranici urˇcen´e dvˇema B´ezierov´ ymi kˇrivkami ([5]). V literatuˇre lze naj´ıt podm´ınku, kdy je ˇreˇsitelnost zaruˇcena: Je d´ ana jedna B´ezierova kˇrivka s koncov´ ymi body x1 a x2 , druh´ a s koncov´ ymi body y1 a y2 . Pokud tyto B´ezierovy kˇrivky leˇz´ı v rovnobˇeˇzn´ ych rovin´ach, x1 , y1 a x2 , y2 jsou rovnobˇeˇzn´e pˇr´ımky a pr˚ umˇet t´eto hranice do souˇradnicov´e roviny je obd´eln´ık, pak lze sestrojit rozvinutelnou B´ezierovu plochu na tˇechto hranic´ıch ([6]). Z dalˇs´ıch pramen˚ u napˇr´ıklad v [7] jsou d´ any podm´ınky pro tvar B´ezierovy kˇrivky tak, aby pˇrechodov´a plocha mezi n´ı a danou libovolnou B´ezierovou kˇrivkou byla rozvinuteln´a. Uvedli jsme jiˇz jeden pˇr´ıklad neˇreˇsiteln´eho zad´an´ı, zm´ın´ıme jeˇstˇe dalˇs´ı: Obecnˇe

35

Obr´azek 4.5: Pˇrechodov´a plocha dvou prot´ınaj´ıc´ıch se kruˇznic budou pot´ıˇze p˚ usobit pˇrechody mezi uzavˇren´ ymi a otevˇren´ ymi kˇrivkami, aˇc budou-li koneˇcn´e, ˇreˇsen´ı existovat m˚ uˇze. Dalˇs´ım probl´emem jsou pˇrechodov´e plochy konvexn´ıch a nekonvexn´ıch rovinn´ ych kˇrivek. V praxi naˇstˇest´ı vˇetˇsina profil˚ u, kter´e je tˇreba propojit, m´a rozumn´ y“ tvar. ”

4.5

Stavba algoritmu

Pˇripomeˇ nme znaˇcen´ı z odd´ılu 4.3: A = P(t0 ) B ∈ Q(r) dP , dt dQ Q0 = , dr AB = B − A. P0 =

Vyuˇzijeme poznatk˚ u z rozboru. Pˇredpokl´adejme, ˇze kˇrivky nejsou parametrizov´any protich˚ udnˇe (algoritmus testov´an´ı parametrizace zde nen´ı zahrnut). Nejprve je tˇreba zajistit, ˇze kˇrivky budou regul´ arn´ı (vyhladit pˇr´ıpadn´e zlomy). To m˚ uˇzeme udˇelat napˇr´ıklad nahrazen´ım kˇrivky v okol´ı singularity obloukem kruˇznice. 36

Pozn´ amka: Pˇrevod nebude souˇca´st´ı implementace v r´amci t´eto pr´ace, jelikoˇz diskr´etn´ı postup umoˇzn ˇuje singul´arn´ı body jednoduˇse pˇreskoˇcit. Implementace zde bude pˇredevˇs´ım za u ´ˇcelem demonstrace funkˇcnosti algoritmu konstrukce povrˇsek, nem´ a za c´ıl vytvoˇren´ı kompletn´ıho softwaru. D´ale postupujeme v kroc´ıch (poˇcet krok˚ u je d´ an poˇzadovanou pˇresnost´ı) po kˇrivce P a hled´ ame ke kaˇzd´emu bodu A takov´e r, ˇze vektory P0 , Q0 a AB jsou koplan´arn´ı. Teˇcn´e vektory P0 a Q0 podle definice regul´ arn´ı kˇrivky existuj´ı a jsou nenulov´e. Hled´ame postup, jak´ ym koplan´arnost vektor˚ u ovˇeˇrit. V´ıme, ˇze vektory n´ aleˇz´ı zamˇeˇren´ı jedn´e roviny, pokud jsou line´arnˇe z´ avisl´e, neboli existuje line´arn´ı kombinace λ1 · P0 + λ2 · Q0 + λ3 · AB = 0. Nev´ yhoda takov´e rovnice je, ˇze obsahuje ˇctyˇri nezn´ am´e, protoˇze AB = AB(r) Q0 = Q0 (r). Pokus´ıme se jednu nezn´ amou eliminovat. Vydˇel´ıme celou rovnici ˇc´ıslem λ3 . T´ım se n´ am ovˇsem rovnice rozpad´ a na dva pˇr´ıpady: 1. λ3 6= 0, v tom pˇr´ıpadˇe z´ısk´av´ ame rovnici λ1 · P0 + λ3 λ1 λ3 λ1 λ3

λ2 · Q0 + AB =0 λ3 λ2 · P0 + · Q0 = − AB λ3 λ2 · P0 + · Q0 = − B + A λ3 λ2 λ1 B+ · Q0 =A − · P0 λ3 λ3 B + u · Q0 =A + s · P0

(I)

coˇz je rovnice pr˚ useˇc´ıku teˇcen kˇrivek v bodech A a B. 2. λ3 = 0, v tom pˇr´ıpadˇe nem˚ uˇzeme prov´est vydˇelen´ı, ale jedna nezn´ am´ a n´ am stejnˇe zmiz´ı: λ1 · P0 + λ2 · Q0 + 0 · AB =0 λ1 · P0 + λ2 · Q0 =0 λ1 · P0 = − λ2 · Q0 λ1 − · P0 =Q0 λ2 v · P0 =Q0

(II)

coˇz je rovnice kolinearity (rovnobˇeˇznosti) dvou vektor˚ u. Rovnice I m´a jiˇz jen tˇri nezn´ am´e, rovnice II pouze 2 a m˚ uˇzeme je ˇreˇsit, numericky, nebo symbolicky. Zaˇcneme obecnˇejˇs´ım pˇr´ıpadem, hled´ an´ım pr˚ useˇc´ıku teˇcen, a ˇreˇs´ıme rovnici I. Pokud nenajdeme ˇza´dn´e ˇreˇsen´ı, m˚ uˇze to znamenat, ˇ s´ıme tedy rovnici II. Pokud ani zde nenajdeme ˇze teˇcny jsou rovnobˇeˇzn´e. Reˇ 37

ˇreˇsen´ı, znamen´ a to, ˇze teˇcny jsou mimobˇeˇzn´e a v bodˇe A neexistuje povrˇska. Kdyˇz ale nˇejak´e ˇreˇsen´ı m´ame, mus´ıme se pˇresvˇedˇcit, zda je spr´ avn´e. Chceme z´ıskat parametr r, ˇreˇsen´ı ovˇsem dostaneme ve tvaru   r  s , u pro rovnici I a 

r v



.

pro rovnici II (pˇri implementaci v poˇc´ıtaˇci jsou vektory v naprost´e vˇetˇsinˇe ˇr´adkov´e). V prvn´ı rovnici jsou s a u hodnoty parametr˚ u teˇcen v pr˚ useˇc´ıku. Pokud je parametr kladn´ y, leˇz´ı bod ve smˇeru teˇcn´eho vektoru, v pˇr´ıpadˇe z´ aporn´eho parametru je smˇer opaˇcn´ y. Teˇcn´e vektory tedy smˇeˇruj´ı do stejn´e poloroviny, pokud je s · u > 0. U druh´e rovnice je situace jeˇstˇe jednoduˇsˇs´ı, ˇc´ıslo v ud´ av´ a pˇresn´ y pomˇer mezi teˇcn´ ymi vektory. Je-li v > 0, maj´ı vektory stejn´ y smˇer. Vybereme nyn´ı jen ta ˇreˇsen´ı, kter´ a dodateˇcn´e krit´erium o smˇeru vektor˚ u, stanoven´e v odd´ılu 4.3, splˇ nuj´ı. Pokud je jich v´ıce, vybereme jedno ˇreˇsen´ı tak, aby AB(r) bylo co nejkratˇs´ı, a prohl´ as´ıme u ´seˇcku AB povrˇskou. Nalezenou povrˇsku AB uloˇz´ıme do pole povrˇsek a postup opakujeme v dalˇs´ım bodˇe kˇrivky P. Po zpracov´an´ı cel´e kˇrivky P aplikujeme stejn´ y algoritmus na kˇrivku Q, abychom doc´ılili rovnomˇernˇejˇs´ıho rozloˇzen´ı povrˇsek po obvodu obou kˇrivek.

4.6

Implementace

Algoritmus byl implementov´an v prostˇred´ı Mathematica 8.0 jako soubor notebook s nˇekolika metodami a aktivn´ım prvkem k ovl´ ad´an´ı vstupu a v´ ystupu. Jako hlavn´ı a jedin´ y viditeln´ y v´ ystup je pouˇzito dynamick´e komponenty Manipulate, kter´ a poskytuje interaktivn´ı vyhodnocov´an´ı vnoˇren´eho v´ yrazu na z´ akladˇe ovl´ adac´ıch prvk˚ u. T´ımto v´ yrazem je zobrazen´ı zadan´ ych kˇrivek, slouˇcen´e s vol´an´ım hlavn´ı metody prechod. Zdrojov´ y k´od je pˇr´ımo okomentov´an, program se nach´ az´ı na pˇriloˇzen´em CD (Pˇr´ıloha 1). Nyn´ı n´ asleduje pˇrehled vˇsech implementovan´ ych metod s jejich vstupn´ımi parametry a popisem funkˇcnosti: • method1[AB] - tato metoda m´a za vstupn´ı parametr pouze vektor AB a hled´ a takovou hodnotu parametru r = r0 , aby B = Q(r0 ) = A. • method2[tp, tq, t0] - vstupn´ımi parametry metody jsou teˇcn´e vektory kˇrivek a hodnota t = t0 parametru t v bodˇe A. Hled´a hodnotu parametru r = r0 tak, aby P0 (t0 )||Q0 (r0 ). • method3[Q, tp, tq, t0, Pt0] - vstupn´ımi parametry jsou cel´ a kˇrivka Q, teˇcn´e vektory k obˇema kˇrivk´am, hodnota parametru t = t0 v bodˇe A = P(t0 ) a s´am bod A. Hled´a hodnotu parametru r = r0 takovou, ˇze teˇcna ke kˇrivce Q v bodˇe Q(r0 ) prot´ın´a teˇcnu kˇrivky P v bodˇe A.

38

• plocha1[P, Q] - vytv´aˇr´ı pole povrˇsek, vypoˇcten´ ych z kˇrivky P na kˇrivku π (pˇrednastaven´a hodQ. Krokuje parametr t ∈< 0; 2π > s krokem 20 nota) a v kaˇzd´em kroku hled´ a povrˇsku z bodu A = P(t). Vol´a metody method1,method2 a method3 pro v´ ypoˇcet moˇzn´ ych koncov´ ych bod˚ u povrˇsky. Pot´e zkontroluje, zda ˇreˇsen´ı proch´ az´ı krit´eriem smˇeru teˇcn´ ych vektor˚ u (viz odd´ıly 4,3,4.5) a urˇc´ı bod B, ˇreˇsen´ı nejbliˇzˇs´ı bodu A. Nakonec uloˇz´ı povrˇsku jako dvojici bod˚ u A,B a pokraˇcuje dalˇs´ım krokem. • prechod[P, Q] - hlavn´ı metoda, vstupn´ımi parametry jsou kˇrivky P(t) a Q(r), tˇr´ısloˇzkov´e vektorov´e funkce jedn´e re´aln´e promˇenn´e. Metoda spouˇst´ı metodu plocha1 z jedn´e kˇrivky na druhou a potom naopak. Oba v´ ysledky slouˇc´ı do jednoho pole povrˇsek a pˇriprav´ı k vykreslen´ı. Chybov´e a varovn´e hl´aˇsky jsou oˇsetˇreny pouze nejz´akladnˇejˇs´ım zp˚ usobem, vˇetˇsina z nich je jednoduˇse potlaˇcena. Vzhledem k pouze demonstraˇcn´ım u ´ˇcel˚ um t´eto implementace je to dostateˇcn´e. Samozˇrejmˇe se n´ am ale sniˇzuje schopnost rozpoznat nastalou situaci a vyhodnotit, zda je zad´an´ı ˇreˇsiteln´e. Skuteˇcnˇe d˚ ukladn´e zpracov´an´ı chybov´ ych v´ ystup˚ u by umoˇzn ˇovalo stanovit existenci nebo neexistenci ˇreˇsen´ı s velkou pravdˇepodobnost´ı. Program se spouˇst´ı v prostˇred´ı Mathematica a slouˇz´ı ke konstrukci ˇca´rov´e kostry rozvinuteln´e pˇrechodov´e plochy mezi dvˇema kˇrivkami. Je v nˇem pˇreddefinov´ano nˇekolik kˇrivek, dalˇs´ı m˚ uˇze uˇzivatel pˇridat pˇrips´an´ım do notebooku. Po prvotn´ım vyhodnocen´ı notebooku (funkce Evaluate notebook ) se zobraz´ı panel s ovl´ adac´ımi prvky: Dva posuvn´ıky, k a l, pro v´ ybˇer kˇrivek a tlaˇc´ıtko Generovat. Tak´e je vykresleno zad´ an´ı a ˇreˇsen´ı poˇca´teˇcn´ı konfigurace [k = 1, l = 1]. Uˇzivatel m˚ uˇze zadat nˇekterou z kombinac´ı kˇrivek a klepnout na tlaˇc´ıtko Generovat. V zobrazovac´ım oknˇe jsou vyps´ any hodnoty konfigurace, do jednoho grafu se vykresl´ı zadan´e kˇrivky a ve druh´em grafu se po pˇrepoˇcten´ı objev´ı ˇca´rov´a kostra plochy. Pokud syst´em neum´ı plochu vypoˇc´ıtat, nahl´ as´ı selh´an´ı.

4.7

Zhodnocen´ı v´ ysledk˚ u

Program Gener´ ator ploch je sp´ıˇse uk´azkovou implementac´ı vytvoˇren´eho algoritmu. Je schopen konstruovat povrˇsky rozvinuteln´e pˇrechodov´e plochy mezi dvojicemi pˇreddefinovan´ ych hladk´ ych kˇrivek (obr´azky 4.3, 4.5, 4.6b, 4.7d). Tyto kˇrivky jsou vybr´ any tak, aby reprezentovaly nˇekolik re´aln´ ych moˇznost´ı, aˇc jistˇe ne vˇsechny. Jedn´ a se o kruˇznice, elipsy a ˇsroubovice. Po spuˇstˇen´ı se program pokus´ı naj´ıt co nejvˇetˇs´ı mnoˇzstv´ı povrˇsek pod´el jedn´e i druh´e kˇrivky, a zobrazit je. Nekontroluje parametrizace ani kˇr´ıˇzen´ı povrˇsek, uˇzivatel mus´ı tedy s´am zajistit, aby kˇrivky nebyly parametrizov´any protich˚ udnˇe (viz rozbor v odd´ılu 4.3). Pˇreddefinovan´e kˇrivky jsou parametrizov´any spr´ avnˇe“. Program tak´e nehl´ıd´a ” celistvost ploch, neexistenci ˇreˇsen´ı ozn´am´ı pouze, pokud nenalezne ani jednu povrˇsku. Tyto funkce jsou velmi podstatn´e, co se t´ yˇce dalˇs´ıho rozvoje softwaru, ovˇsem pro demonstraci algoritmu nutn´e nejsou a jejich vynech´ an´ı m´a pozitivn´ı vliv na pˇrehlednost a srozumitelnost k´odu.

39

Gener´ ator ploch v souˇcasn´em stavu je vhodn´ ym z´ akladem pro dalˇs´ı rozˇs´ıˇren´ı a vylepˇsen´ı: Pomˇernˇe jednoduch´ ym krokem by bylo umoˇznit uˇzivateli zad´avat vlastn´ı kˇrivky. D´ale by bylo moˇzn´e pˇrej´ıt od u ´seˇcek ke skuteˇcn´e ploˇse pomoc´ı ˇctyˇru ´heln´ıkov´ ych pl´at˚ u mezi povrˇskami (viz odd´ıl 4.3). Vhodn´ a optimalizace pouˇzit´ ych v´ ypoˇctov´ ych metod i programov´ ych struktur m˚ uˇze sn´ıˇzit v´ ypoˇcetn´ı a ˇcasovou n´ aroˇcnost. Pln´e zprovoznˇen´ı syst´emu rozpozn´an´ı ˇreˇsitelnosti by vyˇzadovalo implementaci apar´atu na podchycen´ı a vyhodnocen´ı chybov´ ych hl´aˇsek a varov´an´ı prostˇred´ı Mathematica. V odd´ılu 4.1 jsme zm´ınili chyby, kter´ ych se dopouˇst´ı pˇri konstrukci ploch syst´em Rhinoceros. Uved’me nyn´ı dalˇs´ı pˇr´ıklady tˇechto chyb a srovnejme je s v´ ysledky naˇseho programu.

(a)

(b)

Obr´azek 4.6: Pˇrechodov´a plocha mezi dvˇema p˚ ulkruˇznicemi Mˇejme dvˇe p˚ ulkruˇznice v rovnobˇeˇzn´ ych rovin´ach (obr. 4.6a). Vid´ıme, ˇze v´ ysledn´a plocha vytvoˇren´ a v prostˇred´ı Rhinoceros obsahuje hranu“ - mnoˇzinu ” singul´arn´ıch bod˚ u. Na obr´ azku 4.6b je stejn´a u ´loha ˇreˇsen´ a programem Gener´ ator ploch, je celistv´a plocha. Protoˇze jednotliv´e u ´seˇcky splˇ nuj´ı krit´eria povrˇsek rozvinuteln´e plochy (coˇz vych´ az´ı ze struktury algoritmu), m˚ uˇzeme ˇreˇsen´ı povaˇzovat za spr´ avn´e. Toto zad´ an´ı je k dispozici pˇreddefinovan´e v programu na pˇriloˇzen´em CD (pˇr´ıloha 1), nastaven´ı [k = 1, l = 1] 40

(b)

(a)

(c)

(d)

Obr´azek 4.7: Pˇrechodov´a plocha dvou kruˇznic v r˚ uznobˇeˇzn´ ych rovin´ach Zad´any jsou dvˇe kruˇznice v r˚ uznobˇeˇzn´ ych rovin´ach. Na obr´ azc´ıch 4.7a-c je opˇet patrn´a chyba (ve skuteˇcnosti dokonce dvˇe chyby, hrana“, a d´ıra“ v ploˇse). ” ” Na takto zadan´ ych kruˇznic´ıch lze totiˇz sestrojit hladkou plochu, jak jsme vidˇeli v odd´ılu 4.4. Program Gener´ ator ploch vytvoˇr´ı plochu na obr´ azku 4.7d. Jedn´ a se opˇet o celistvou plochu, jednotliv´e u ´seˇcky jsou povrˇskami a m´ame tedy ˇreˇsen´ı (Pˇr´ıloha 1, pˇreddefinovan´e zad´an´ı [k = 3, l = 3]). Posledn´ı pˇr´ıklad uvedeme bez srovn´an´ı. Jak je naps´ ano v odd´ılu 4.4, lze sestrojit rozvinutelnou pˇrechodovou plochu i mezi dvˇema B´ezierov´ ymi kˇrivkami, pokud spojnice jejich poˇca´teˇcn´ıch bod˚ u a spojnice koncov´ ych bod˚ u jsou rovnobˇeˇzn´e. M´ ame dvˇe B´ezierovy kˇrivky (nyn´ı nav´ıc v r˚ uznobˇeˇzn´ ych rovin´ach, 41

(a)

(b)

Obr´azek 4.8: Pˇrechodov´a plocha mezi dvˇema B´ezierov´ ymi kˇrivkami obr. 4.8a). Rhinoceros spr´ avnˇe vypoˇcte pˇrechodovou plochu, jej´ı rozvinut´ı (obr. 4.8b) se vˇsak nepochopitelnˇe rozpad´ a na nˇekolik segment˚ u.

42

Z´ avˇ er V bakal´ aˇrsk´e pr´aci Kˇrivosti ploch a jejich aplikace jsme se zaob´ırali nˇekolika hlavn´ımi body: Zavedli jsme pojmy norm´ alov´e, Gaussovy a stˇredn´ı kˇrivosti ploch, popsali tˇr´ıdˇen´ı ploch podle kˇrivosti a uk´azali pˇr´ıklady. Obs´ahleji jsme se vˇenovali minim´ aln´ım, a hlavnˇe rozvinuteln´ ym ploch´ am. D´ale byly jmenov´any a komentov´any internetov´e zdroje, pojedn´avaj´ıc´ı o ploch´ ach, hlavnˇe z hlediska dostupn´eho obrazov´eho materi´ alu. Provedli jsme hodnocen´ı internetov´ ych str´anek s galeriemi ploch na z´ akladˇe nˇekolika krit´eri´ı, jmenovitˇe pˇr´ıstupnosti, kvality, kvantity, ucelenosti a dalˇs´ıch. U kaˇzd´eho zdroje byl pak shrnut celkov´ y pˇr´ınos. Na z´ avˇer jsme prozkoumali t´ema rozvinuteln´ ych pˇrechodov´ ych ploch. Pouk´azali jsme na souvislost mezi modelov´an´ım ploch a technickou prax´ı, tak´e jsme zaznamenali nˇekter´e nedokonalosti pouˇz´ıvan´ ych softwar˚ u. Jako hlavn´ı produkt t´eto ˇca´sti pr´ace se podaˇrilo navrhnout univerz´ aln´ı algoritmus, kter´ y je schopen konstruovat rozvinuteln´e pˇrechodov´e plochy mezi prostorov´ ymi kˇrivkami, a ˇca´steˇcnˇe ho implementovat (v tom smyslu, ˇze, program nedok´aˇze spolehlivˇe urˇcovat celkovou ˇreˇsitelnost a nen´ı stoprocentnˇe u ´ˇcinn´ y). Pr´ ace m˚ uˇze slouˇzit jako pom˚ ucka pˇri studiu z´ aklad˚ u diferenci´ aln´ı geometrie ploch, nebot’ je kladen d˚ uraz na vizu´aln´ı pˇredstavu a pochopen´ı souvislost´ı. T´ema rozvinuteln´ ych pˇrechodov´ ych ploch zde vˇsak nen´ı zdaleka vyˇcerpan´e a je moˇzn´e se j´ım do budoucna d´ ale zab´ yvat.

43

Reference [1] Jeˇzek, F.: Diferenci´ aln´ı geometrie (pomocn´y uˇcebn´ı text). Z´ apadoˇcesk´ a univerzita, Plzeˇ n, 2010 [2] Kozlov´a, I.: Plochy se speci´ aln´ımi hodnotami kˇrivost´ı (bakal´ aˇrsk´ a pr´ ace). Z´ apadoˇcesk´ a univerzita, Plzeˇ n, 2008 [3] Semot´ anov´a, Z.: Gaussova kˇrivost a Gaussovo zobrazen´ı (bakal´ aˇrsk´ a pr´ ace). Z´ apadoˇcesk´ a univerzita, Plzeˇ n, 2006 [4] Pressley, A.: Elementary differential geometry. Springer, London 2001 [5] Sun M., Fiume E.: A Technique for Constructing Developable Surfaces. V: Graphics Interface 1996, s. 176-185. Canadian Human-Computer Communications Society , Toronto 1996 [6] Chu Ch., Chen J.: Geometric design of developable composite Bezier surfaces. V: Computer-Aided Design and Applications, Vol. 1, No. 1-4 (2004), s. 531-539. CAD Solutions, LCC, 2004 [7] Aumann G.: A simple algorithm for designing developable B´ezier surfaces. V: Computer Aided Geometric Design 20 (2003), s. 601–619 , Elsevier Science Publishers B. V. Amsterdam 2003 [8] GeometrieWerkstatt Surface Gallery [online] http://www.mathematik.uni-tuebingen.de/∼nick/gallery

(24.5.2012)

[9] Algebraic surfaces [online] (25.5.2012) http://homepage.univie.ac.at/herwig.hauser/bildergalerie/gallery.html [10] Geometry: Gallery of Surfaces http://virtualmathmuseum.org/Surface/

44

[online]

(25.5.2012)

[11] Curves and Surfaces: A digital library of mathematically interesting and important curves and surfaces [online] (25.5.2012) http://www.math.hmc.edu/∼gu/curves and surfaces/ [12] Wolfram Mathworld [online] (29.5.2012) http://mathworld.wolfram.com [13] Matematick´ a sekce Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulty Univerzity Karlovy v Praze [online] (24.5.2012) http://www.karlin.mff.cuni.cz [14] Wikipedia, The Free Encyclopedia [online] (24.5.2012) http://wikipedia.org

45

Pˇ r´ılohy 1. Gener´ ator ploch.nb - soubor notebooku prostˇred´ı Mathematica, obsahuje program gener´ atoru ˇca´rov´ ych model˚ u ploch. Na pˇriloˇzen´em CD. 2. pics.zip - soubor archivu s obr´ azky, pouˇzit´ ymi v pr´aci, v pln´em rozliˇsen´ı. Na pˇriloˇzen´em CD. 3. BP Hellus.pdf - soubor s elektronickou verz´ı tohoto textu. Na pˇriloˇzen´em CD.

46