Ústav fyzikálního inženýrství Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně
Základy geometrické optiky a maticová optika ZAO/1
Doc. Ing. Jozef Kaiser, Ph.D. 1
Obsah Úvod • Základ geometrické (paprskové) optiky Postuláty Index lomu Snellův zákon lomu Jednoduché optické prvky Paraxiální paprsky Zobrazovací rovnice Úplný odraz
• Princip základných optických přístrojů • Maticová optika 2
Úvod
3
Úvod •
Světlo je: Elektromagnetické vlnění. Šíří se ve tvaru dvou navzájem spjatých vektorových vln, vlny elektrického pole a vlny pole magnetického.
•
Mnohé optické jevy je možné popsat skalární teorií, ve které světlo lze popsat pomocí jediné skalární funkce – vlnová optika.
•
Když se světelné vlny šíří skrze předměty jejichž rozměry jsou mnohem vetší něž je vlnová délka, a okolo nich je vlnová podstata slabě rozeznatelná -> jeho chování může být popsáno pomocí paprsků splňující geometrická pravidla – paprsková (geometrická) optika.
4
Paprsková (geometrická) optika - POSTULÁTY •
Světlo se šíří ve formě paprsků. Paprsky jsou emitovány světelnými zdroji a mohou být pozorovány, když dosáhnou optického detektoru.
•
Optické prostředí je charakterizováno veličinou n ≥ 1, který se nazývá index lomu. Je poměrem rychlosti světla ve vakuu c0 a rychlosti světla v prostředí c. V důsledku toho čas, který světlo potřebuje aby prošlo vzdálenost d se rovná d/c = nd/c0. Je tedy úměrné součinu nd, známému jako délka optické dráhy.
•
V nehomogenním prostředí je index lomu n(r) funkcí polohy r = (x,y,z). Délka optické dráhy mezi dvěma body A a B je tedy délka optické dráhy =
B
r ∫ n ( r )ds,
kde
A
ds je diferenční element délky podél dráhy. Čas potřebný k tomu aby světlo prošlo z A do B je úměrný délce optické dráhy.
5
Paprsková (geometrická) optika - POSTULÁTY •
Fermatův princip. Optické paprsky šířící se mezi dvěma body A a B sledují takovou dráhu, aby doba chodu paprsků (nebo délka optické dráhy, poněvadž doba chodu paprsků je úměrná délce optické dráhy) mezi oběma body dosahovala extremální hodnoty vzhledem k sousedním drahám. Extremální hodnota → rychlost změny je nulová, tj. B
r δ ∫ n ( r )ds = 0. A
Extrém může být minimum, maximum nebo inflexní bod. Většinou se je ovšem minimem a v tomto případě světelné paprsky se šíří podél dráhy s nejmenší dobou šíření. Někdy minimální doba přísluší více než jedné dráze, světelné paprsky pak současně sledují všechny tyto dráhy. 6
Paprsková (geometrická) optika
•
Šíření v homogenním prostředí
•
Odraz (od zrcadla)
•
Odraz a lom na rozhraní dvou prostředí (s odlišným indexem lomu) 7
Šíření v homogenním prostředí •
Homogenní prostředí → index lomu n je všude stejný, tak jako rychlost světla.
•
Dráha s minimálním časem (Fermatův princip) je proto dráhou s minimální vzdáleností.
•
Dráha s minimální vzdáleností mezi dvěma body je přímka (Heroův princip), takže v homogenním prostředí paprsky šíří přímočaře.
•
Světelné paprsky se šíří přímočaře. Stíny jsou dokonalými průměty překážek. 8
Odraz od zrcadla •
Světlo se od zrcadel odráží tak, že splňuje zákon odrazu: Odražený paprsek leží v rovině dopadu; úhel odrazu Rovina
se rovná úhlu dopadu.
dopadu
C´
•
Rovina dopadu → rovina vytvořená dopadajícím paprskem a normálou k povrchu v bodě dopadu.
•
Důkaz: Zkoumejme paprsek který se šíří z bodu A do bodu C po odrazu od rovinného zrcadla. Podle Heroova principu musí být vzdálenost │AB│+ │BC│minimální. Je-li C´ zrcadlový obraz C, pak │BC│= │BC´│, takže │AB│+ │BC´│ musí být minimální. To nastane, když je ABC´ přímka, tj. když B je totožné s B´ a θ = θ´.
9
Odraz a lom na rozhraní dvou prostředí •
Na rozhraní mezi dvěma prostředími o indexech lomu n1 a n2 se dopadající paprsek štěpí na dva – odražený paprsek a lomený (nebo procházející) paprsek.
•
Odražený paprsek splňuje zákon odrazu. Lomený paprsek splňuje zákon lomu: Lomený paprsek leží v rovině dopadu; úhel lomu θ2 se vztahuje k úhlu dopadu Snellovým zákonem.
•
Snellův zákon:
n1 sin θ1 = n2 sin θ 2 10
Jednoduché optické prvky - Zrcadla •
Rovinná zrcadla odráží paprsky vycházející z bodu P1 tak, že odražené paprsky jeví jako vycházející z bodu P2, který leží za zrcadlem a nazývá se obraz.
•
Parabolická zrcadla soustřeďují všechny paprsky dopadající rovnoběžně s osou paraboloidu do jediného bodu zvané ohnisko. Vzdálenost │PF│= f se nazývá ohnisková vzdálenost. (kolektory/reflektory světla)
•
Eliptická zrcadla odrážejí všechny paprsky z jednoho z jeho dvou ohnisek (např. P1) a zobrazují toto ohnisko do druhého ohniska. Vzdálenosti které světlo proběhne z bodu P1 do bodu P2 podle kterékoli dráhy, jsou v souladu s Heroovým principem stejné.
11
Jednoduché optické prvky - Zrcadla •
Sférická zrcadla- snadnější výroba, ale: rovnoběžné paprsky protínají osu v různých bodech. Nicméně rovnoběžné paprsky blízké k ose jsou přibližně fokusovány do jediného bodu F ve vzdálenosti (-R/2) od středu zrcadla C. Podle konvence je R záporné pro
•
vydutá zrcadla a kladné pro vypuklá zrcadla. Paraxiální paprsky odražené od sférických zrcadel
•
Paprsky, které svírají malé úhly (sinθ ≈ θ) s osou zrcadla, se nazývají paraxiální paprsky. V paraxiální aproximaci, kdy uvažujeme pouze o paraxiální paprsky, má sférické zrcadlo podobné fokusační vlastnosti jako parabolické zrcadlo a zobrazovací vlastnosti podobné jako eliptické zrcadlo.
•
Sférické zrcadlo o poloměru R proto působí jako parabolické zrcadlo o ohniskové vzdálenosti f = R/2.
•
Všechny paraxiální paprsky vycházející z určitého bodu na ose sférického zrcadla jsou odraženy a soustředěny do jednoho odpovídajícího bodu na ose.
12
Jednoduché optické prvky Zobrazení sférickým zrcadlem
•
Ohnisková vzdálenost sférického zrcadla
f = •
−R . 2
Zobrazovací rovnice (paraxiální paprsky)
1 1 1 + = . z1 z2 f
13
Jednoduché optické prvky - Rovinné rozhraní •
Vztah mezi úhly dopadu a lomu θ1 a θ2 na rovinném rozhraní mezi dvěma prostředí s indexem lomu n1 a n2 se řídí Snellovým zákonem.
•
Vnější/vnitřní lom:
•
Pro paraxiální paprsky jsou vztahy mezi θ1 a θ2 v obou případech přibližně lineární n1θ1 ≈ n2θ2 nebo θ2 ≈ (n1/n2)θ1.
14
Úplný odraz •
Pro vnitřní lom (n1 > n2) je úhel lomu větší než úhel dopadu (θ2 > θ1), takže růstem θ1 dosáhne hodnoty 90° jako první θ2. To nastane pro mezní úhel θc, pro který n1sinθc = n2, takže
•
θ c = arcsin
n2 . n1
Je-li θ1 > θc nemůže být splněn Snellův zákon a nemůže nastat lom. Dopadající paprsek je úplně odražen, jako by rozhraní bylo dokonalým zrcadlem.
•
Úplný odraz je podstatou mnoha optických zařízení a soustav, jako jsou odrazné hranoly a optická vlákna.
15
Jednoduché optické prvky - Sférická rozhraní •
Sledujeme lom paraxiálních paprsků na sférickém rozhraní o poloměru r mezi dvěma prostředími o indexech lomu n a n´. Podle konvence r je kladné pro vypouklé rozhraní a záporné pro rozhraní duté.
•
Platí: sin α ≈ tg α ≈ α, cos α ≈ 1, sin σ ≈ σ, sin σ´ ≈ σ´ │NM│= 0 (bod na ploše M je nahrazen bodem N na rovině kolmé k ose).
•
Snellův zákon n σ = n´ σ´, Z obrázku: σ = α – ω; σ´ = α´- ω´. n (α – ω) = n´(α´- ω´)
⎛1 1⎞ ⎛ 1 1⎞ n ⎜ − ⎟ = n′ ⎜ − ⎟ ; ⎝s r⎠ ⎝ s′ r ⎠
n ′ n n′ − n . − = s′ s r
1 1 2 Odraz: − = (n = n′) s′ s r 16
Ohniska, hlavní roviny, ohniskové vzdálenosti, a ohniskové roviny Obrazem bodu, který leží předmětovém prostoru
na
ose
v
nekonečnu
je
obrazové ohnisko F´. Účinek všech ploch optické p optické soustavy lze nahradit obrazovou hlavní rovinou, při opačném chodu paprsků předmětovou hlavní rovinou. Jejich průsečíky s optickou osou jsou hlavní body H a H´. Předmětové ohnisko F je bod na ose, který se zobrazuje do nekonečna. Ohniskové roviny jsou roviny kolmé k ose procházející ohnisky. Ohniskové vzdálenosti f a f´ jsou vzdálenosti ohnisek od hlavních bodů. Hlavní roviny je možno definovat jako roviny, pro které je příčné zvětšení rovno +1.
17
Jednoduché optické prvky – Tenké čočky (ve vzduchu) •
Sférické čočky jsou vytvořeny dvěma sférickými povrchy. Jsou tedy zcela definovány s poloměry R1 a R2 obou povrchů, jejich vzdáleností Δ a indexem lomu materiálu n.
•
Úhly lomeného a dopadajícího paprsku spolu souvisejí vztahem ve kterém f, ohnisková vzdálenost, je dáno výrazem
•
⎛ 1 1 ⎞ f = ( n − 1) ⎜ − ⎟ . ⎝ R1 R2 ⎠
y , f
Všechny paprsky vycházející z bodu P1 = (y1, z1) se protnou v bodě P2 = (y2, z2) a platí pro ně zobrazovací rovnice
•
θ 2 ≈ θ1 −
1 1 1 + = , z1 z2 f
a zvětšení
z2 y2 = − y1. z1
Ohnisková vzdálenost f čočky tedy zcela určuje její působení na paraxiální paprsky. 18
Princip základních optických přístrojů
•
Zažehnutí ohně fokusací slunečního světla na noviny pomocí spojné čočky zhotoveného z čistého ledu. Čočka byla zhotovena tak, že v mělké nádobě (se zakřiveným dnem) zmrzla voda. Čočka musí mít hodně velký průměr, protože led silně pohlcuje infračervené záření. 19
Princip základních optických přístrojů Zobrazení (tenkou) čočkou Vztah mezi ohniskovou vzdáleností čočky f, předmětové vzdálenosti g a obrazové vzdálenosti b můžeme odvodit na základě poznatků z geometrické optiky (paprskové optiky). Při odvození se soustředíme na tři hlavní paprsky, a to na paprsek paralelní s optickou osou, na paprsek procházející středem čočky a na paprsek protínající optickou osu v ohniskové vzdálenosti čočky.
Využitím věty o podobnosti trojúhelníků dostaneme
f B b zároveň platí G , = = , B b− f G g
Kde B je velikost obrazu a G je velikost předmětu. Úpravou předešlých vztahů dostaneme čočkovou rovnici ve tvaru:
1 1 1 b⋅ g . = + ⇒ f = f b g b+ g
20
Princip základních optických přístrojů Projektor Dráha osvětlovacích paprsků
Stínítko
Diapozitiv Žárovka
L1 Kondenzor
L2 Objektiv Dráha obrazových paprsků
Zobrazení dráhy paprsků v projektoru.
•
Zvětšení definujeme jako poměr velikosti obrazu a velikosti objekt V = B/G. Využitím B b− f vztahu B = b , pro zvětšení dostaneme V = = . f G G g 21
Princip základních optických přístrojů Mikroskop
Objekt Objektiv
Okulár (čočka L2)
Dráha paprsků procházejících mikroskopem.
•
Celkové zvětšení mikroskopu dostaneme jako součin zvětšení objektivu y ′ a′ a′ 250 mm Vobjektiv = = = − 1 a úhlového zvětšení okuláru Γokulár = . f2 y g f1 Vzdálenost 250 mm je tzv. konvenční zraková vzdálenost, což je optimální vzdálenost předmětu resp. jeho obrazu od oka.
22
Princip základních optických přístrojů Dalekohled Galileova typu První dalekohled zhotovil holandský výrobce brýlí Jan Lippershey v roce 1608. Zpráva o tom se dostala do Itálie ke Galileimu, který si zhotovil podobný přístroj v roce 1609, aniž viděl holandskou předlohu. Jeden z Galileových dalekohledů měl zvětšení 33 x, ale jakost obrazu byla malá vlivem nekvalitního skla, nekvalitních optických ploch a otvorové a barevné vady. Přesto jím uviděl a upozornil na soustavu měsíců, obíhajících kolem planety Jupitera a přirovnal ji k sluneční soustavě. Tím zapůsobil hluboce na tehdejší světové názory. Také předvedl pozorování lodí na vzdáleném obzoru. Čočkové dalekohledy mají dva hlavní optické členy, a to objektiv, který vytváří obraz předmětu, a okulár, kterým se tento obraz pozoruje. Galileův dalekohled má okulár záporný, umístěný ještě před obrazovou ohniskovou rovinou objektivu. (zdroj: KŘÍŽEK, M.: Jak vybírat dalekohled? http://www.expodata.cz/optics/history/32000/texty/vyberd.htm)
23
Princip základních optických přístrojů Dalekohled Galileova typu
Směr pozorování Dráha paprsků procházejících Galileovým dalekohledem.
The diagram of the optical principles of the telescope from Sidereus Nuncius
V Galileově dalekohledu se používá jako okulár konkávní čočka L2, která je umístěna před rovinou obrazu vytvořeného pomocí konvexního objektivu L1, tak aby pro ohniska čoček platilo F1´=F2. Pozorovatel vidí virtuální, přímý, zvětšení obraz vzdáleného předmětu. Úhlové zvětšení dalekohledu (pro malé úhly) se určuje vztahem
ΓL =
f1 . f2
Jak vyplývá z chodu paprsků, bod nad osou vidíme dalekohledem opět jako bod nad osou a obraz je proto vzpřímený. Hrubá délka Galileova dalekohledu je rozdílem absolutních hodnot ohniskových vzdáleností objektivu a okuláru. Takže délka tubusu je zkrácená. Díváme-li se okulárem Galileova dalekohledu, vidíme objímku jeho objektivu, její obraz leží uvnitř tubusu a je výstupní pupilou dalekohledu. Proto má tento typ dalekohledu malou světelnost a malé zorné pole. Jeho použití se proto omezuje většinou na divadelní kukátka se zvětšením asi 2,5 x až 4 x. 24
Princip základních optických přístrojů Dalekohled Keplerova typu Pražský astronom Jan Kepler navrhl v roce 1611 jinou konstrukci dalekohledu. Tím byly například pozorovány skvrny na rotujícím Slunci. Keplerův dalekohled má kladný okulár, kterým se pozoruje reálný a převrácený obraz předmětu jako lupou. Proto dává prostý Keplerův dalekohled převrácený obraz, má však četné výhody, např. větší zvětšení, větší zorné pole, větší světelnost, možnost umístění značek v zorném poli apod. Hrubá délka Keplerova dalekohledu se rovná součtu ohniskových vzdáleností objektivu a okuláru. V případě Keplerova dalekohledu, vytvoří objektiv L1 s ohniskovou vzdáleností f1 převrácený obraz vzdáleného předmětu. Vytvořený obraz se pozoruje pomocí okuláru L2 s ohniskovou Okulár Objektiv vzdáleností f2. (čočka L ) Vzdálenost hlavních rovin soustavy tenkých čoček Dráha paprsků procházející Keplerůvým dalekohledem. – okuláru a objektivu se rovná f1 + f2. Úhlové zvětšení dalekohledu (pro malé úhly) lze určit podle vztahu Γ = ε ′ = y1′ f 2 = f1 . 2
L
ε
y2′ f1
f2
25
Princip základních optických přístrojů Největší teleskop na světe
26
Princip základních optických přístrojů An altitude-azimuth design gives each 10-meter Keck telescope the optimal balance of mass and strength. Extensive computer analysis determined the greatest strength andstiffness for the least amount of steel- about 270 tons per telescope. This is critically important, and not only for economic reasons. A large telescope must remain resistant to the deforming forces of gravity as it tracks objects moving across the night sky. Chilling the interior of the insulated dome during the day controls temperature variations that could induce deformation of the telescope's steel and mirrors. This is a big task: The volume of each dome is more than 700,000 cubic feet. Giant air conditioners run constantly during the day, keeping the dome temperature at or below freezing.
Gran Telescopio Canarias – The side of each segment will measure 936mm. This allows a collector area equivalent to a circular aperture of diameter 10m .
27
Maticová optika •
Je technikou stanovení drah paraxiálních paprsků. Předpokládá se, že paprsky šíří pouze v jedné rovině.
•
Formalizmus je použitelný pro systémy s rovinnou geometrií a pro meridionální paprsky (paprsky v rovině nákresu) v osově symetrickém systému.
•
Paprsek je popsán svou polohou a úhlem vzhledem k optické ose. Tyto proměnné se mění při průchodu paprsku soustavou. V paraxiální aproximaci jsou poloha a úhel na vstupní a výstupní rovině optické soustavy navzájem spjaté dvěma lineárními algebraickými rovnicemi.
•
Optická soustava může být popsána maticí 2 x 2 – přenosová matice paprsku.
•
Výhoda: přenosová matice paprsku posloupnosti optických prvků (nebo systémů) je součinem přenosových matic paprsku jednotlivých prvků (nebo systémů).
y2 = Ay1 + Bθ1
θ 2 = Cy1 + Dθ1
⎡ y2 ⎤ ⎡ A B ⎤ ⎡ y1 ⎤ ⎢θ ⎥ = ⎢C D ⎥ ⎢θ ⎥ ⎦ ⎣ 1⎦ ⎣ 2⎦ ⎣ 28
Maticová optika – přenosová matice jednoduchých optických prvků
•
Šíření vakuem. Protože se ve vakuu paprsky šíří podél přímek, změní se souřadnice paprsku, který prošel vzdálenost d podle rovnic y2 = y1 + θ1d a θ2 = θ1.
⎡1 d ⎤ M =⎢ ⎥ 0 1 ⎣ ⎦
29
Maticová optika – přenosová matice jednoduchých optických prvků •
Lom na rovinném rozhraní. Na rovinném rozhraní mezi dvěma prostředími s indexy lomu n1 a n2 se úhly paprsku mění podle Snellova zákonu n1sinθ1 = n2sinθ2. V paraxiální aproximaci n1θ1 ≈ n2θ2. Poloha paprsku se nemění, y2 = y1.
⎡1 M =⎢ ⎢0 ⎢⎣ •
0⎤ n1 ⎥⎥ n2 ⎥⎦
Průchod tenkou čočkou. Vztah mezi úhly θ1 a θ2 pro paraxiální paprsky procházející tenkou čočkou s ohniskovou vzdáleností f je dán vztahem Poloha paprsku se nemění, y2 = y1.
⎡ 1 M =⎢ 1 ⎢− ⎢⎣ f
0⎤ ⎥ 1⎥ ⎥⎦
y θ 2 ≈ θ1 − . f
30
Maticová optika – přenosová matice jednoduchých optických prvků •
Odraz od rovinného zrcadla. Při odrazu od rovinného zrcadla se poloha paprsku nemění (y2 = y1). Budeme užívat konvenci, kdy osa z má směr a orientaci obecného směru šíření paprsků tj. pro dopadající paprsky směřuje k zrcadlu a pro odražené od zrcadla. Z toho plyne θ2 = θ1.
⎡1 0 ⎤ M =⎢ ⎥ 0 1 ⎣ ⎦ •
Odraz od sférického zrcadla.
⎡1 M =⎢2 ⎢ ⎣R
0⎤ ⎥ 1⎥ ⎦ 31
Přenosové matice řady optických prvků •
Posloupnost optických prvků, jejichž přenosové matice paprsku jsou M1, M2, … MN je ekvivalentní jedinému optickému prvku s přenosovou maticí paprsku
→ M1 → M 2 → … → MN →
M = MN … M2M1.
Věnujte pozornost pořadí násobení matic. Matice soustavy, do které vstupuje paprsek jako do první, je umístěna napravo, takže jako první násobí sloupcovou matici popisující dopadající paprsek.
⎡ y2 ⎤ ⎡ y1 ⎤ ⎢θ ⎥ = M N .....M 1 ⎢θ ⎥ ⎣ 2⎦ ⎣ 1⎦
32
