Základy elektroniky, součástky a obvody pro integrovanou výuku VUT a VŠB-TUO

VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ - TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA Fakulta elektrotechniky a informatiky

Základy elektroniky, součástky a obvody pro integrovanou výuku VUT a VŠB-TUO Garant předmětu: Zdeněk Tesař Autoři textu: Zdeněk Tesař;Iva Petříková

Ostrava 2014

Vznik těchto skript byl podpořen projektem č. CZ.1.07/2.2.00/28.0062 Evropského sociálního fondu a státním rozpočtem České republiky.

Za odbornou náplň tohoto vydání odpovídají autoři. Autoři jsou pedagogy na Katedře telekomunikační techniky, Fakulty elektrotechniky a informatiky VŠB-Technické univerzity v Ostravě. Vznik skript byl podpořen projektem č. CZ.1.07/2.2.00/28.0062 Evropského sociálního fondu a státním rozpočtem České republiky. Tato publikace neprošla redakční ani jazykovou úpravou. © Zdeněk Tesař;Iva Petříková, 2014, VŠB-Technická univerzita Ostrava

Autor:

Zdeněk Tesař;Iva Petříková

Katedra:

Katedra telekomunikační techniky

Název:

Základy elektroniky, součástky a obvody pro integrovanou výuku VUT a VŠBTUO

Místo, rok, vydání:

Ostrava, 2014, 1. vydání

Počet stran:

131

Vydala:

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava

Náklad:

CD-ROM, 500 ks

Neprodejné ISBN 978-80-248-3628-7

Předmluva Skripta jsou určena pro posluchače 1. ročníku bakalářského studijního programu Informační a komunikační technologie, konkrétně pro studium předmětu Základy elektroniky na Katedře telekomunikační techniky, VŠB-TU Ostrava. Skripta jsou členěna do tří oddílů. Obsahová náplň prvního oddílu byla zvolena s ohledem na různou úroveň počátečních znalostí posluchačů z oblasti elektrotechniky. Představuje stručný úvod do elektrotechniky s odkazy na další vhodnou studijní literaturu. Je určena zejména pro absolventy středních škol bez elektrotechnického zaměření. Druhý oddíl obsahuje řešené příklady. Cílem této části je doplnit přednášenou látku o praktické návrhové postupy při řešení elektronických obvodů. V třetím oddíle jsou uvedena zadání laboratorních úloh. Slouží k seznámení s chováním a vlastnostmi elektronických součástek a elementárních elektronických obvodů, včetně použití měřících přístrojů a vhodných metod měření.

Obsah SEZNAM FYZIKÁLNÍCH VELIČIN A JEJICH JEDNOTEK ............................................................................... 1 SEZNAM OBRÁZKŮ .................................................................................................................................. 3 ODDÍL I - STRUČNÉ ZÁKLADY ELEKTROTECHNIKY ............................................................................ 5 1

Úvod do elektrotechniky........................................................................................................ 5 1.1 Dělení elektrických obvodů................................................................................................... 5 1.1.1 Dělení elektrických obvodů podle parametrů ................................................................ 5 1.1.2 Dělení elektrických obvodů podle povahy elektrických veličin .................................... 5 1.2 Dělení jednobranů ................................................................................................................. 6 1.3 Látka, elektrický náboj, pole ................................................................................................. 6 1.3.1 Stavba látky ................................................................................................................... 6 1.3.2 Elektrický náboj ............................................................................................................. 7 1.3.3 Pole ................................................................................................................................ 8 1.4 Základní veličiny proudového pole ....................................................................................... 8 1.4.1 Elektrický proud ............................................................................................................ 8 1.4.2 Elektrické napětí ............................................................................................................ 8 1.4.3 Proudová hustota ........................................................................................................... 9 1.4.4 Intenzita proudového pole ............................................................................................. 9 1.4.5 Elektrický odpor (rezistance), měrný odpor (rezistivita),

elektrická vodivost

(konduktance), měrná vodivost (konduktivita) ........................................................................ 9 1.5 Základní vztahy ................................................................................................................... 10 1.5.1 Ohmův zákon ............................................................................................................... 10 1.5.2 Kirchhoffovy zákony ................................................................................................... 11 1.6 Zdroje stejnosměrného napětí a proudu .............................................................................. 12 1.6.1 Zdroj napětí.................................................................................................................. 12 1.6.2 Zdroj proudu ................................................................................................................ 13 2

Řešení lineárních elektrických obvodů .............................................................................. 15

2.1 Metoda postupného zjednodušování obvodu ...................................................................... 16 2.1.1 Sériové zapojení rezistorů............................................................................................ 16 2.1.2 Paralelní zapojení rezistorů.......................................................................................... 16 2.1.3 Sériově paralelní kombinace zapojení rezistorů .......................................................... 17 2.1.4 Transfigurace trojúhelník - hvězda (D-Y) ................................................................... 17 2.2 Metoda smyčkových proudů ............................................................................................... 18 2.3 Metoda uzlových napětí ...................................................................................................... 19 2.4 Věty o náhradním zdroji ...................................................................................................... 20 2.4.1 Theveninova věta ......................................................................................................... 20 2.4.2 Nortonova věta ............................................................................................................ 21 3

Řešení lineárních střídavých elektrických obvodů ........................................................... 22 3.1 Základní pojmy a vztahy ..................................................................................................... 22 3.1.1 Doba kmitu , frekvence a úhlová frekvence ............................................................. 22 3.1.2 Okamžitá hodnota střídavé veličiny, maximální hodnota střídavé veličiny, počáteční fáze napětí a proudu, fázový posuv dvou harmonických veličin ........................................... 23 3.1.3 Efektivní a střední hodnota střídavých veličin ............................................................ 25 3.2 Znázorňování harmonických veličin fázory ........................................................................ 27 3.3 Jednoduché střídavé obvody ............................................................................................... 28 3.3.1 Ideální rezistor v obvodu střídavého napětí ................................................................. 29 3.3.2 Ideální cívka v obvodu střídavého proudu................................................................... 29 3.3.3 Ideální kondenzátor v obvodu střídavého proudu........................................................ 30 3.4 Složené střídavé obvody ...................................................................................................... 32 3.4.1 Sériové zapojení ideálního rezistoru a ideální cívky ................................................... 32 3.4.2 Sériové zapojení ideálního rezistoru a ideálního kondenzátoru .................................. 33 3.4.3 Sériové zapojení ideálního rezistoru, ideální cívky a ideálního kondenzátoru ............ 34 3.4.4 Paralelní zapojení ideálního rezistoru a ideální cívky ................................................. 36 3.4.5 Paralelní zapojení ideálního rezistoru a ideálního kondenzátoru ................................ 37 3.4.6 Paralelní zapojení ideálního rezistoru, ideální cívky a ideálního kondenzátoru .......... 38

3.5 Výkon střídavého proudu .................................................................................................... 39 3.6 Rezonance ........................................................................................................................... 41 3.6.1 Sériová rezonance ........................................................................................................ 41 3.6.2 Paralelní rezonance (R-L)C........................................................................................ 41 3.7 Řešení střídavých obvodů symbolicko-komplexní metodou............................................... 42 3.7.1 Komplexní čísla ........................................................................................................... 43 3.7.2 Symboly pro prvky obvodu střídavého proudu ........................................................... 44 4

Stejnosměrné nelineární obvody......................................................................................... 46 4.1 Dělení nelineárních odporů ................................................................................................. 46 4.2 Statický a dynamický odpor nelineárních odporových prvků ............................................. 46 4.3 Řešení nelineárních obvodů ................................................................................................ 47 4.3.1 Analytické metody řešení nelineárních obvodů........................................................... 47 4.3.2 Grafické řešení jednoduchého obvodu s nelineární zátěží ........................................... 49

ODDÍL II - ŘEŠENÉ PŘÍKLADY ............................................................................................................. 50 Příklad 1

Ideální napěťový a proudový zdroj ........................................................................... 50

Příklad 2

Odvoďte vztah pro zatěžovací charakteristiku reálného napěťového zdroje............. 53

Příklad 3

Odvoďte vztah pro zatěžovací charakteristiku reálného proudového zdroje ............ 55

Příklad 4

Odvoďte vztah pro transfiguraci napěťového zdroje na proudový a naopak ............ 57

Příklad 5

Určete podmínky pro výkonové přizpůsobení zdroje zátěží ..................................... 60

Příklad 6

Odvoďte vztah pro výstupní napětí nezatíženého odporového děliče napětí ............ 62

Příklad 7

Odvoďte vztah pro napěťový přenos zatíženého děliče napětí.................................. 64

Příklad 8

Odvoďte vztah pro výstupní proud nezatíženého proudového děliče ....................... 68

Příklad 9

Odvoďte vztah pro výstupní proud zatíženého děliče proudu ................................... 69

Příklad 10

Určete výstupní napětí pasivního součtového členu.................................................. 70

Příklad 11

Určete kmitočtovou závislost impedance typických jednobranů .............................. 73

Příklad 12

Určete parametry a obvodové veličiny sériového rezonančního obvodu .................. 89

ODDÍL III - LABORATORNÍ ÚLOHY ..................................................................................................... 91

Laboratorní úloha 1 Odporový dělič napětí a proudu, princip superpozice ..................................... 91 Laboratorní úloha 2 RLC obvody, sériový a paralelní rezonanční obvod ....................................... 96 Laboratorní úloha 3 Elementární RC dvojbrany - integrační a derivační článek ........................... 100 Laboratorní úloha 4 Měření VA charakteristik polovodičových diod ........................................... 102 Laboratorní úloha 5 Měření VA charakteristik bipolárního tranzistoru ......................................... 105 Laboratorní úloha 6 Měření vlastností stejnosměrných tranzistorových zesilovačů ...................... 110

Laboratorní úloha 7 Měření vlastností střídavého zesilovače ........................................................ 114 Laboratorní úloha 8 Měření zesilovačů s OZ ................................................................................. 117 Laboratorní úloha 9 Měření charakteristik parametrického stabilizátoru napětí ............................ 120 Laboratorní úloha 10 Návrh a měření generátorů periodických signálů ........................................ 124 Laboratorní úloha 11 Měření parametrů dvoustupňového tranzistorového zesilovače (SE-SC) ... 127 BIBLIOGRAFIE ...................................................................................................................................... 130

Seznam fyzikálních veličin a jejich jednotek

1

SEZNAM FYZIKÁLNÍCH VELIČIN A JEJICH JEDNOTEK

VELIČINA

SYMBOL VELIČINY

JEDNOTKA

SYMBOL JEDNOTKY

Admitance

Y

siemens

S

Čas

T

sekunda

s

Elektrická kapacita

C

farad

F

Elektrická práce, energie

W

joule

J

Elektrická vodivost

G

siemens

S

Elektrické napětí

U

volt

V

Elektrický náboj

Q

coulomb

C

Elektrický odpor

R

ohm



Elektrický proud

I

ampér

A

Elektrický výkon

P

watt

W

Frekvence

f

hertz

Hz

Frekvence úhlová

ω

radiány za sekundu

rad s-1

Impedance

Z

ohm



Indukčnost

L

henry

H

Intenzita proudového pole

E

volt na metr

V m-1

Perioda

T

sekunda

s

Seznam fyzikálních veličin a jejich jednotek

VELIČINA

SYMBOL VELIČINY

2

JEDNOTKA

SYMBOL JEDNOTKY

Reaktance

X

ohm



Susceptance

B

siemens

S

Teplota



Kelvin

K

Seznam obrázků

3

SEZNAM OBRÁZKŮ Oddíl I: OBR. 1.1 Příklady kreslení jednobranů a jejich dělení

7

OBR. 1.2 Znázornění stavby látky

7

OBR. 2.1 Příklad sériově paralelního zapojení

17

OBR. 2.2 Schéma transfigurace obvodu trojúhelník - hvězda

18

OBR. 2.3 Složený elektrický obvod a jeho náhradní zapojení pomocí Theveninovy věty

20

OBR. 3.1 Průběhy harmonických napětí s různou dobou kmitu

23

OBR. 3.2 Průběh harmonických proudů stejné frekvence, různé amplitudy a různé počáteční fáze

24

OBR. 3.3 Schéma a fázorový diagram jednoduchých střídavých obvodů

31

OBR. 3.4 Sériové zapojení ideálních obvodových prvků a příslušné fázorové diagramy

35

OBR. 3.5 Paralelní zapojení ideálních obvodových prvků a příslušné fázorové diagramy

39

OBR. 3.6 Schéma zapojení a příslušný fázorový diagram pro sériový obvod v rezonanci

41

OBR. 3.7 Paralelní zapojení skutečné cívky a kondenzátoru a fázorový diagram pro obvod v rezonanci

42

OBR. 4.1 Určování statického a dynamického odporu

47

OBR. 4.2 Metoda linearizace - náhradní schéma a určení U0 a Rd z VA charakteristiky (U0 > 0)

48

OBR. 4.3 Metoda linearizace - náhradní schéma a určení U0 a Rd z VA charakteristiky (U0 < 0)

48

OBR. 4.4 Základní schéma obvodu s nelineární zátěží a jeho grafické řešení

49

Oddíl II: OBR. P 1.1 Ideální napěťový zdroj

50

OBR. P 1.2 Zatěžovací charakteristika ideálního napěťového zdroje

50

OBR. P 1.3 Ideální proudový zdroj

51

OBR. P 1.4 Zatěžovací charakteristika ideálního proudového zdroje

51

OBR. P 2.1 Model reálného napěťového zdroje

53

OBR. P 2.2 Zatěžovací charakteristiky reálného napěťového zdroje

54

OBR. P 2.3 Měření napětí naprázdno a proudu nakrátko reálného napěťového zdroje

54

OBR. P 3.1 Model reálného proudového zdroje

55

OBR. P 3.2 Zatěžovací charakteristiky reálného proudového zdroje

56

OBR. P 3.3 Měření proudu nakrátko a napětí naprázdno reálného proudového zdroje

56

OBR. P 4.1 Napěťový a proudový zdroj se stejným vnějším obvodem RZ

57

OBR. P 4.2 Napěťový a proudový zdroj nakrátko

57

OBR. P 4.3 Napěťový a proudový zdroj naprázdno

57

OBR. P 5.1 Zapojení zdroje a zátěže

60

OBR. P 5.2 Graf závislosti výkonu na zátěži na odporu zátěže

61

OBR. P 6.1 Schéma nezatíženého děliče napětí

62

Seznam obrázků

4

OBR. P 6.2 Odporový dělič jako dvojbran

63

OBR. P 7.1 Schéma zatíženého děliče napětí

64

OBR. P 7.2 Transformace zatíženého děliče na nezatížený

66

OBR. P 7.3 Náhradní napěťový zdroj

66

OBR. P 7.4 Určení vnitřního napětí náhradního napěťového zdroje

66

OBR. P 7.5 Určení vnitřního odporu náhradního napěťového zdroje

67

OBR. P 8.1 Proudový dělič nakrátko

68

OBR. P 9.1 Schéma zatíženého proudového děliče

69

OBR. P 10.1 Pasivní součtový člen

70

OBR. P 10.2 Náhradní zdroj součtového členu (Theveninova věta)

70

OBR. P 11.1 Schéma zapojení R-C

74

OBR. P 11.2 Amplitudová charakteristika zapojení R-C

75

OBR. P 11.3 Fázová charakteristika zapojení R-C

75

OBR. P 11.4 Schéma zapojení R-L

76

OBR. P 11.5 Amplitudová charakteristika zapojení R-L

77

OBR. P 11.6 Fázová charakteristika zapojení R-L

77

OBR. P 11.7 Schéma zapojení R||C

78

OBR. P 11.8 Amplitudová charakteristika zapojení R||C

79

OBR. P 11.9 Fázová charakteristika zapojení R||C

79

OBR. P 11.10 Schéma zapojení R||L

80

OBR. P 11.11 Amplitudová charakteristika zapojení R||L

81

OBR. P 11.12 Fázová charakteristika zapojení R||L

82

OBR. P 11.13 Schéma zapojení R-(R||C)

82

OBR. P 11.14 Amplitudová charakteristika zapojení R-(R||C)

84

OBR. P 11.15 Fázová charakteristika zapojení R-(R||C)

85

OBR. P 11.16 Schéma zapojení R||(R-C)

85

OBR. P 11.17 Amplitudová charakteristika zapojení R||(R-C)

87

OBR. P 11.18 Fázová charakteristika zapojení R||(R-C)

88

OBR. P 12.1 Sériový rezonanční obvod

89

1

Úvod do elektrotechniky

5

ODDÍL I - STRUČNÉ ZÁKLADY ELEKTROTECHNIKY 1 Úvod do elektrotechniky 1.1 Dělení elektrických obvodů Elektrický obvod je soustava elektrických zařízení, které jsou vzájemně elektricky pospojované. Navzájem spojujeme zdroje elektrického proudu a spotřebiče. Spojovací cesty tvoří vodiče. Elektrický obvod tvoří tedy zdroje, spotřebiče a vodiče. 1.1.1

Dělení elektrických obvodů podle parametrů

Parametry jsou obecně funkcí prostoru, času a elektrických veličin; odpovídající dělení elektrických obvodů podle: 1. Prostoru a) Obvody s koncentrovanými parametry - prostorová závislost se zanedbává. b) Obvody s rozloženými parametry - ve shodě se skutečností si představujeme parametry obvodu rozložené po celé délce obvodu. 2. Času a) Obvody neparametrické - parametry obvodu jsou v čase konstantní. b) Obvody parametrické - parametry obvodu se v čase (nebo v závislosti na jiné vnější veličině) mění. 3. Elektrických veličin (napětí, proud) a) Obvody lineární - parametry jsou vzhledem k napětí a proudu konstantní. b) Obvody nelineární - parametry jsou funkcí napětí a proudu. 1.1.2

Dělení elektrických obvodů podle povahy elektrických veličin

Elektrické veličiny jsou funkcí času. Z tohoto pohledu máme: 1. Obvody v ustáleném stavu a) Stejnosměrné - elektrické veličiny jsou v čase konstantní. b) Střídavé - elektrické veličiny se periodicky mění (harmonicky nebo neharmonicky). 2. Obvody v přechodném stavu Jedná se o přechod z daného do jiného ustáleného stavu, elektrické veličiny jsou neperiodické.

1


6

1.2 Dělení jednobranů Jednobrany jsou základní elektrické prvky, z nichž tvoříme elektrické obvody. Jednobran je útvar se dvěma póly (svorkami). Dělení může být následující: 1. a) Jednoduché (základní) - nemůžeme je rozložit na další, např. žárovka. b) Složené - skládají se z libovolného počtu jednoduchých dvojpólů navzájem elektricky spojených (tento pojem se uplatní, pokud se nezajímáme o vnitřní strukturu takového dvojpólu, ale zajímají nás jeho vlastnosti jako celku, tj. z hlediska vnějších svorek). 2. a) Pasivní - zařízení, ve kterém se mění elektrická energie v energii jiného druhu (spotřebič, parazitní prvek). b) Aktivní - zařízení, ve kterém se mění energie jiného druhu na energii elektrickou (zdroje). Příklady kreslení jednobranů a jejich dělení podle bodů 1 a 2 je na OBR. 1.1. 3. a) Ideální - mají jen jedinou elektrickou vlastnost. b) Skutečné - kromě základní vlastnosti mají jednu i více parazitních vlastností (při řešení obvodů to vyjádříme ve schématu kombinací zapojení ideálních dvojpólů, kde každý vyjadřuje jednu elektrickou vlastnost). 4. a) Lineární - matematický vztah mezi napětím a proudem je lineární. b) Nelineární – vztah mezi napětím a proudem je popsán nelineární funkcí (u složeného dvojpólu stačí jen jeden nelineární prvek a dvojpól jako celek je nelineární). Další doporučená literatura [1], [2].

1.3 Látka, elektrický náboj, pole Hmota jako objektivní realita má dvě formy - látku a pole. Látky jsou složeny z částic. Charakteristickou vlastností částic je elektrický náboj. Pole spojuje navzájem částice jedné látky do jedné soustavy a zprostředkovává vzájemné silové působení částic nebo těles. S jeho existencí souvisí všechny elektrické a magnetické vlastnosti látek a polí. 1.3.1

Stavba látky

Stavbu látky lze orientačně znázornit schématem na OBR. 1.2., dle [3].

1


7

OBR. 1.1 Příklady kreslení jednobranů a jejich dělení

OBR. 1.2 Znázornění stavby látky

1.3.2

Elektrický náboj

Nosiči elektrických nábojů v atomu jsou protony (+) a elektrony (-). Počet elektronů v obalu je shodný s počtem protonu v jádře. Náboj protonu a elektronu je stejně velký, a proto se atom jako celek jeví elektricky neutrální. Z elektricky neutrálních atomů mohou vzniknout odtržením nebo připojením elektronu kladně nebo záporně nabité částice, tzv. ionty. Každé těleso, stejně jako atom, má dva druhy elektrických nábojů. Jestliže jsou ve stejném počtu a rovnoměrně rozmístěné, je těleso elektricky neutrální. Jestliže se rovnováha poruší, projeví se kladný nebo záporný elektrický náboj. Dvě tělesa souhlasně nabitá se navzájem odpuzují, dvě tělesa s nesouhlasným nábojem se přitahují. Stejně velký kladný a záporný náboj se neutralizuje. Elektrický náboj je možné přenést z povrchu jednoho tělesa na povrch jiného tělesa dotykem. Elektrický náboj můžeme přemísťovat i v jednom tělese. Látky, v nichž se elektrický náboj snadno přemísťuje, jsou vodiče, látky, v nichž nedochází k přemísťování elektrického náboje, jsou izolanty.

1


8

Náboj tělesa zjišťujeme elektroskopem. Jestliže má elektroskop stupnici, potom ho nazýváme elektrometr. Elektrický náboj označujeme Q, jeho jednotkou je coulomb, symbol jednotky je C. Každý elektrický náboj je násobkem elementárního elektrického náboje:

C;, C

Q   n   e

(1-1)

Elementární náboj označujeme e a jeho hodnota je e  1,602  1019 C . Přebytek elementárních nábojů se označuje +n, nedostatek –n. 1.3.3

Pole

Náboj se projevuje silovým působením a vytváří v prostředí pole - nepohyblivý náboj v nevodivém prostředí elektrostatické pole, pohybující se náboje vytvářejí proudové pole. Elektrické proudové pole se od elektrostatického odlišuje tím, že jeho zachování je spojeno s dodáváním energie ze zdroje. Elektrické proudové pole budí pole magnetické. Elektrický proud a jeho magnetické pole existují vždy současně a jsou jen různými projevy elektromagnetického pole.

1.4 Základní veličiny proudového pole 1.4.1

Elektrický proud

Elektrický proud označujeme písmenem I. Jednotkou je ampér, symbol jednotky je A. Elektrický proud I je dán elektrickým nábojem Q, který projde vodičem za dobu t: I

Q t

A; C, s

(1-2)

Proud jednoho ampéru představuje náboj jednoho coulombu, který projde průřezem vodiče za jednu sekundu. Q  I t

C  A  s A  h  3600 A  s  3600 C

1.4.2

(1-3)

Elektrické napětí

Elektrické napětí označujeme písmenem U. Jednotkou napětí je volt, symbol jednotky je V. Elektrické napětí U je definováno prací A potřebnou k přemístění náboje Q

U

A A  Q I t

V; J, C; J, A, s

(1-4)

Jeden volt je definován prací jednoho joulu, která je potřebná k přemístění náboje jednoho coulombu.

1


1.4.3

9

Proudová hustota

Proudovou hustotu označujeme písmenem J. Udává se v ampérech na metr čtvereční [Am-2]. Proudová hustota je dána podílem proudu I a průřezu vodiče S: J

A  m

I S

2

; A, m 2



(1-5)

Při dané proudové hustotě (Cu, Al: J = 2  4 Amm-2) je oteplení vodiče v povolených mezích. Oteplení vodiče je tím menší, čím větší je jeho průřez (část tepla, vyvinutého průchodem proudu, se odvádí povrchem vodiče do okolí). 1.4.4

Intenzita proudového pole

Intenzitu proudového pole označujeme písmenem E. Jednotkou je volt na metr [Vm-1]. Intenzita proudového pole udává napětí připadající na jednotku délky (spád napětí): E

V  m

U l

1

; V, m



(1-6)

Veličiny napětí a proud se vztahují k určité délce, celému průřezu vodiče a nepodávají přesnou představu o každém místě vodiče. Používají se u vodiče se stálým průřezem a materiálem, tedy pro homogenní proudové pole. Napětí a proud jsou veličiny celkové. Proudová hustota a intenzita proudového pole se vztahují k určitému místu a vyjadřují přesně místní poměry ve vodiči. Používají se tam, kde proudová hustota a intenzita proudového pole není konstantní a místo od místa se určitým způsobem mění - nehomogenní proudové pole. Proudová hustota a intenzita proudového pole jsou veličiny místní. 1.4.5

Elektrický odpor (rezistance), měrný odpor (rezistivita), elektrická vodivost (konduktance), měrná vodivost (konduktivita)

Elektrický odpor, označovaný R a uváděný v jednotkách ohm (symbol jednotky ), vyjadřuje vlastnosti prostředí, kterým prochází elektrický proud. Odpor vodiče závisí na geometrických rozměrech a materiálu. Je přímo úměrný délce vodiče l a nepřímo úměrný průřezu S. R

l S

Ω;   m, m, m  2

(1-7)

Vodič má elektrický odpor jeden ohm, jestliže při napětí mezi koncovými průřezy 1 V prochází vodičem proud 1 A.

1


10

Měrný odpor  (jednotka m) se číselně rovná odporu vodiče, jehož délka je jeden metr a průřez je jeden m2. Vyjadřuje vlastnosti materiálu. Měrný odpor  je pro různé materiály různý a závisí na teplotě :

   0  1    

(1-8)

( je teplotní součinitel odporu v K-1) Pro hliník a měď jsou hodnoty měrného odporu dle [4] následující:

 Al  2,82  108 Ω  m  0,0282 Ωmm2 m 1 Cu  1,68  108 Ω  m  0,0168 Ωmm2 m 1 Elektrická vodivost, označovaná G a uváděná v jednotkách siemens (symbol jednotky S), je převrácená hodnota elektrického odporu. G

1 R

S G   l

S; Ω

S; S  m

-1

2

,m ,m



(1-9)

Vodič má vodivost jeden siemens právě tehdy, má-li odpor jeden ohm. Měrná vodivost  (jednotka Sm-1) je převrácená hodnota měrného odporu.



S  m

1



-1

;Ωm



(1-10)

Součástka, jejíž základní vlastnosti je elektrický odpor, se nazývá rezistor.

1.5

Základní vztahy

1.5.1

Ohmův zákon

Proud je přímo úměrný napětí: I

U R

A; V, Ω

(1-11)

Pro element vodiče délky l odvodíme jiný tvar Ohmova zákona. Z Ohmova zákona nejprve vyjádříme úbytek napětí na tomto elementu: U  R  I

(1-12)

1


11

Úbytek proudu lze vyjádřit ze vztahu (1-5), úbytek napětí lze vyjádřit ze vztahu (1-6) a R ze vztahu (1-7): I  I  J  S S U E  U  E  I l l R    S J

Dosazením do (1-12) dostaneme:

E  l      l   J  S  

(1-13)

S 

Po úpravě: E  J J  E

V  m A  m

 , Vm 

1

; Ω  m, A  m 2

2

;S m

-1

1

(1-14)

Hustota ustáleného proudu v libovolném místě vodiče se rovná součinu jeho měrné vodivosti a intenzity proudového pole. 1.5.2

Kirchhoffovy zákony

Uzel je místo, ve kterém se stýkají dva i více vodičů. Větev je dráha mezi dvěma uzly tvořená jedním prvkem nebo několika prvky spojenými za sebou. Smyčka je uzavřená dráha v části obvodu tvořená větvemi. 1. Kirchhoffův zákon - zákon o zachování elektrických nábojů Algebraický součet proudů v uzlu se rovná nule. (Součet proudů přicházejících do uzlu je roven součtu proudů, které z uzlu odcházejí). n

I

k

0

(1-15)

k 1

2. Kirchhoffův zákon - zákon o zachování energie Algebraický součet všech svorkových napětí zdrojů a všech úbytků napětí na spotřebičích se v uzavřené smyčce rovná nule. n

U k 1

k

0

(1-16)


1

12

Při psaní rovnic podle 2. Kirchhoffova zákona se zachovává následující postup: 

vyznačíme smysl proudu v každé větvi a napětí zdrojů (jde od kladné svorky k záporné),



uvnitř smyčky si vyznačíme směr, podle kterého budeme po obvodu postupovat,



je-li smysl proudu ve spotřebiči stejný jako směr postupu ve smyčce, je úbytek napětí na spotřebiči kladný a naopak,



shoduje-li se napětí zdroje se směrem postupu ve smyčce, je napětí kladné a naopak.

1.6

Zdroje stejnosměrného napětí a proudu

Charakteristickou vlastnosti zdroje je, že může trvale do obvodu dodávat výkon. Svorkové napětí zdroje U2 je napětí na svorkách zdroje, na které je připojena zátěž. 1.6.1

Zdroj napětí

Charakteristické parametry - vnitřní napětí UV, vnitřní odpor RV. Ideální zdroj napětí má vnitřní odpor nulový. Jeho svorkové napětí nezávisí na velikosti odebíraného proudu. Skutečný zdroj napětí se vyznačuje tím, že při odběru proudu poklesne jeho svorkové napětí o úbytek napětí na jeho vnitřním odporu. Skutečný zdroj se zátěží (RZ  0) Odebíraný proud I2 

UV RV  RZ

(1-17)

Svorkové napětí U 2  UV  RV  I 2  UV 

RZ RV  RZ

(1-18)

Zdroj nakrátko (RZ = 0) Odebíraný proud (zkratový proud) I2  IK 

UV RV

(1-19)

Svorkové napětí

U2  0

(1-20)

1


13

Zdroj naprázdno (RZ = ∞) Odebíraný proud

I2  0

(1-21)

Svorkové napětí (napětí naprázdno)

U2  U0 1.6.2

(1-22)

Zdroj proudu

Charakteristické parametry - vnitřní proud IV, vnitřní vodivost GV. Ideální zdroj proudu má vnitřní vodivost nulovou. Proud dodávaný do obvodu je konstantní a nezávisí na zátěži. Skutečný zdroj proudu se vyznačuje tím, že při připojení zátěže, poklesne proud dodávaný do obvodu o proud tekoucí vnitřní vodivostí. Skutečný zdroj se zátěží (RZ  0) Svorkové napětí U2 

IV GV  GZ

(1-23)

Odebíraný proud

I 2  IV  GV U 2

(1-24)

Zdroj naprázdno (RZ = ∞) Svorkové napětí (napětí naprázdno) U2  U0 

IV GV

(1-25)

Odebíraný proud

I2  0

(1-26)

Zdroj nakrátko (RZ = 0) Svorkové napětí

U2  0

(1-27)

1


14

Odebíraný proud (zkratový proud)

I2  I K

(1-28)

2

Řešení lineárních elektrických obvodů

15

2 Řešení lineárních elektrických obvodů Syntéza elektrických obvodů představuje návrh elektrického obvodu, tj. určení hodnoty jednoho nebo více parametrů při daných parametrech zdroje a požadovaných hodnotách proudů a napětí na pasivních prvcích. Analýza elektrických obvodů představuje řešení obvodu, kde 

jsou dané parametry obvodu a charakteristické parametry zdrojů a určujeme neznámé hodnoty proudů a úbytků napětí na pasivních prvcích

nebo 

při známých parametrech obvodu a požadovaných hodnotách napětí a proudů pasivních prvků určujeme napětí zdroje.

Postup při analýze můžeme rozdělit na tři etapy: 1. Skutečnou elektrickou soustavu nahradíme elektrickým schématem.

2. Pro dané schéma sestavíme soustavu lineárních rovnic na základě základních zákonů elektrických obvodů anebo na základě pravidel a pouček, které z nich vyplývají. 3. Vlastní výpočet (i obecný) hledaných veličin. Abychom mohli co nejrychleji a nejúčelněji sestavit soustavu navzájem nezávislých větví, provedeme rozbor pomocí topologických schémat. Topologické schéma charakterizuje dané zapojení bez ohledu na to, jaké prvky obsahuje. Získáme ho tak, že nahradíme všechny větve obvodu spojením uzlů čarami. Topologické schéma (kostru) můžeme rozdělit na: 

úplný strom (souhrn větví, které při nejmenším počtu spojují všechny uzly v souvislý celek),



soustavu nezávislých větví (zbývající větve kostry).

Každá nezávislá smyčka tedy obsahuje jen jednu nezávislou větev. Počet všech nezávislých větví (smyček) je

s  v  u  1  v  u  1 kde u je počet uzlu, v je počet všech větví.

(2-1)

2


2.1

16

Metoda postupného zjednodušování obvodu

Metoda je vhodná pro řešení obvodů složených z jednoho zdroje a zátěže z několika rezistorů. Při zjednodušování převedeme složité zapojení zátěže na zátěž tvořenou jediným rezistorem. Podle Ohmova zákona určíme proud, který dodává proud do obvodu, nebo známe-li proud, určíme napětí zdroje. Jednoduchý obvod převádíme postupně na obvod původní a určujeme v jednotlivých větvích proudy a mezi uzly napětí. 2.1.1

Sériové zapojení rezistorů

Několik rezistorů je zapojeno do série, tvoří-li jednu větev (prochází jimi stejný proud). Můžeme je nahradit jediným rezistorem s odporem, který se rovná součtu odporů jednotlivých rezistorů.

R  R1  R2  R3    Rn 

n

R

(2-2)

k

k 1

Dva rezistory zapojené do série tvoří tzv. dělič napětí, který má tu vlastnost, že dělí celkové napětí U na napětí U1 a U2 na odporech R1 a R2 v poměru těchto odporů. U 1 U 2  R1 R2

(2-3)

U U 1 U 2  R R1 R2

2.1.2

Paralelní zapojení rezistorů

Rezistory jsou zapojeny paralelně, jestliže jsou připojeny mezi dva stejné uzly (jsou připojeny na stejné napětí). Nahrazujeme je jediným rezistorem, jehož převrácená hodnota odporu se rovná součtu převrácených hodnot odporů jednotlivých rezistorů, tj. výsledná vodivost se rovná součtu jednotlivých vodivostí. Výsledný odpor je vždy menší než nejmenší ze všech paralelních odporů. G  G1  G 2  G3    G n 

n

G

k

k 1

1 1 1 1 1      R R1 R2 R3 Rn

n

 k 1

(2-4)

1 Rk

Výpočet výsledného odporu dvou paralelně zapojených rezistorů: R

R1  R2 R1  R2

(2-5)

Výpočet výsledného odporu tří paralelně zapojených rezistorů: R

R1  R2  R3 R1  R2  R2  R3  R1  R3

(2-6

2


17

Z principu duality vyplývají vztahy pro dělení proudů do dvou paralelních větví: I 1 I 2  G1 G2

(2-7)

I I 1 I 2  G G1 G2

2.1.3

Sériově paralelní kombinace zapojení rezistorů

Sériově paralelní zapojení vznikne, jestliže zapojíme část rezistorů do série a k nim připojíme paralelně řazené rezistory. Výsledný odpor obvodu se vypočte postupným zjednodušováním tak, že nejprve určíme výsledný odpor paralelně řazených rezistorů a k nim připočteme hodnoty odporů zapojených do série. Příklad sériově paralelního zapojení je na OBR. 2.1.

R6

R3 R1

R2

R5

R4

OBR. 2.1 Příklad sériově paralelního zapojení

Výsledný odpor obvodu na OBR. 2.1 určíme ze vztahu:   R R R6   R2  3 4  R5  R3  R4   R  R1    R R R6   R2  3 4  R5  R3  R4  

2.1.4

Transfigurace trojúhelník - hvězda (D-Y)

Tři odpory zapojené do trojúhelníku (D) lze nahradit třemi odpory zapojenými do hvězdy (Y) viz OBR. 2.2.

2


18

OBR. 2.2 Schéma transfigurace obvodu trojúhelník - hvězda

Aby byly obě zapojení ekvivalentní, musí být výsledný odpor mezi kterýmikoliv dvěma uzly při obou zapojeních stejný.

R1  R2  R 2  R3  R1  R3 

RC   R A  R B  R A  R B  RC

R A   R B  RC  R A  R B  RC

(2-8)

R B   R A  RC  R A  R B  RC

Řešením těchto tří rovnic získáme vztahy pro výpočet neznámých odporů hvězdy:

2.2

R1 

R B  RC R A  R B  RC

R2 

R A  RC R A  R B  RC

R3 

R A  RB R A  R B  RC

(2-9)

Metoda smyčkových proudů

Pro výpočet neznámých proudů a napětí používá metoda vhodně upravené smyčkové rovnice (2. Kirchhoffův zákon). Smyčkové rovnice sestavujeme pomocí tzv. smyčkových proudů, což jsou zvolené proudy tekoucí každou nezávislou smyčkou. Skutečný proud v nezávislých větvích se potom rovná přímo smyčkovému proudu této smyčky a ve větvích úplného stromu, tj. ve větvích patřících dvěma smyčkám, se rovná algebraickému součtu smyčkových proudů těchto dvou smyček. Obvod s Nnezávislými smyčkami řešíme pomocí soustavy těchto rovnic:

2


19

R11  I S1  R12  I S 2    R1K  I SK    R1N  I SN  U 1  R21  I S1  R22  I S 2    R2 K  I SK    R2 N  I SN  U 2   RK 1  I S1  RK 2  I S 2    RKK  I SK    RKN  I SN  U K

(2-10)

 RL1  I S1  RL 2  I S 2    RLK  I SK    RLN  I SN  U L   R N 1  I S1  R N 2  I S 2    R NK  I SK    R NN  I SN  U N

Kde: RKK

je vlastní odpor k-té smyčky (součet všech odporů zapojených do k-té smyčky),

RKL

je vzájemný odpor k-té a l-té smyčky (výsledný odpor společné větve k-té a l-té smyčky; zvolíme-li ve všech smyčkách stejnou orientaci smyčkového proudu, potečou všemi vzájemnými odpory příslušné dva smyčkové proudy opačným směrem, takže znaménko u všech členů vychází záporné),

ISK

je smyčkový proud k-té smyčky,

UK

je smyčkové napětí k-té smyčky (algebraický součet vnitřních napětí všech zdrojů zapojených do k-té smyčky; je-li vnitřní napětí orientované opačně než smyčkový proud, má znaménko kladné a naopak).

2.3

Metoda uzlových napětí

Metoda uzlových napětí je založena na použití 1. Kirchhoffova zákona. Je to duální metoda k metodě smyčkových proudů a je vhodnější pro analýzu obvodů, ve kterých se vyskytují proudové zdroje. Při této metodě se zvolí jeden z uzlů obvodů za referenční. Napětí ostatních uzlů obvodu proti uzlu referenčnímu jsou tzv. uzlová napětí. Sestavíme-li pro každý uzel obvodu rovnici podle 1. Kirchhoffova zákona, dostaneme soustavu rovnic, kde proudy v prvcích obvodu jsou vyjádřeny pomocí součinu vodivostí a uzlových napětí. Řešením soustavy rovnic se stanoví uzlová napětí, pomocí kterých pak lze vypočíst proudy a napětí na jednotlivých prvcích obvodu. G11  U 1  G12  U 2    G1K  U K    G1N  U N  I 1  G21  U 1  G22  U 2    G2 K  U K    G2 N  U N  I 2   G K 1  U 1  G K 2  U 2    G KK  U K    G KN  U N  I K  G L1  U 1  G L 2  U 2    G LK  U K    G LN  U N  I L   G N 1  U 1  G N 2  U 2    G NK  U K    G NN  U N  I N

(2-11)

2


20

Kde: GKK

je vlastní vodivost k-té větve (součet vodivostí všech větví, připojených ke k-tému uzlu; znaménko členů s vlastní vodivosti je vždy plus),

GKL

je vzájemná vodivost mezi uzly k a l (součet vodivostí všech větví zapojených bezprostředně mezi uzly k a l; pokud je orientace všech uzlových napětí směrem k referenčnímu uzlu nebo všech uzlových napětí směrem od referenčního uzlu, bude znaménko u všech členů se vzájemnou vodivostí záporné),

UK

je uzlové napětí k-tého uzlu,

IK

jsou uzlové proudy k-tého uzlu (algebraický součet vnitřních proudů všech proudových zdrojů zapojených ke k-tému uzlu, přičemž proudy tekoucí směrem do uzlu jsou kladné, směrem z uzlu záporné).

2.4

Věty o náhradním zdroji

Věty o náhradním zdroji umožňují určit proud jediné větve složitějšího obvodu. Obvod řešíme pomocí jednoduchého náhradního zapojení, které získáme tak, že původní schéma rozložíme na dva jednobrany - zkoumanou větev (pasivní jednobran) a zbytek (aktivní jednobran A), který se nahradí ekvivalentním zdrojem. 2.4.1

Theveninova věta

Účinek všech zdrojů uvnitř aktivního jednobranu A můžeme nahradit zdrojem s vnitřním napětím UV, které se rovná napětí naprázdno na svorkách nahrazovaného jednobranu. Pasivní „zbytek“ aktivního jednobranu nahradíme odporem RV a považujeme jej za vnitřní odpor náhradního zdroje. Vypočte se jako výsledný odpor aktivního jednobranu A, ve kterém jsou vyřazeny všechny zdroje. Náhradní zapojení tedy představuje napěťový zdroj s vnitřním napětím UV a vnitřním odporem RV, na který je připojena zátěž R, viz OBR. 2.3.

OBR. 2.3 Složený elektrický obvod a jeho náhradní zapojení pomocí Theveninovy věty

2


21

Odpor R představuje výsledný odpor té větve, ve které určujeme proud. Hledaný proud je: I

2.4.2

UV RV  R

Nortonova věta

Duální obměna Theveninovy věty - složený aktivní jednobran nahradíme proudovým.

(2-12)

3

Řešení lineárních střídavých elektrických obvodů

22

3 Řešení lineárních střídavých elektrických obvodů Největší význam v elektrotechnice mají elektrické veličiny, jejichž průběh matematicky vyjadřujeme funkcí sinus nebo cosinus, tj. veličiny harmonické. Harmonický průběh patří mezi periodické průběhy, tj. průběhy střídavých veličin, které se po určité době T (doba kmitu, perioda) znovu opakují. Jejich mimořádný význam spočívá v tom, že sčítáním nebo násobením dvou i více funkcí stejné periody získáváme opět harmonickou funkci téže periody. Derivováním nebo integrováním harmonické funkce dostáváme opět harmonickou funkci.

3.1

Základní pojmy a vztahy

Harmonický signál je popsán třemi veličinami - amplitudou, frekvencí a fází. 3.1.1

Doba kmitu, frekvence a úhlová frekvence

Doba kmitu (perioda) T určuje dobu, za kterou vytvoří střídavá veličina jeden kmit (cyklus). Frekvence f určuje, kolik kmitů proběhne střídavá veličina za jednu sekundu. f 

Hz; s

1 T

(3-1)

Jednotkou frekvence je hertz (symbol Hz), fyzikální rozměr je s-1. Úhlová frekvence  vyjadřuje v obloukové míře úhel, který opíše rotující úsečka za jednu sekundu.

rad  s

2   2   f T



1

; s; Hz



(3-2)

Úhlová frekvence se vyjadřuje v radiánech za sekundu (symbol rads-1). V časovém průběhu střídavé veličiny odpovídá určitému okamžiku t časový úhel . Časový úhel v radiánech je dán vztahem



2   t  2   f  t    t T

rad; s, s; Hz, s; rad  s , s -1

(3-3)

Pro převod z radiánů na stupně a naopak platí vztahy:

s  r 

180

  180

 r

 ; rad,

 s

rad; 





(3-4)

3


3.1.2

23

Okamžitá hodnota střídavé veličiny, maximální hodnota střídavé veličiny, počáteční fáze napětí a proudu, fázový posuv dvou harmonických veličin

Okamžitá hodnota střídavé veličiny (napětí u nebo proudu i) udává její velikost a smysl v určitém časovém okamžiku. Maximální hodnota střídavé veličiny (napětí Um nebo proud Im) udává největší hodnotu, které veličina v průběhu jednoho kmitu dosáhne, je to tedy největší hodnota ze všech okamžitých hodnot (nazývá se také amplituda). Okamžitá hodnota proudu nebo napětí může být v čase t = 0 nulová i nenulová. Tuto skutečnost vyjadřujeme pomocí počáteční fáze napětí U nebo pomocí počáteční fáze proudu I. Mezi uvedenými veličinami platí vztahy:

u  U m  sin   U m  sin   t  U 

(3-5)

i  I m  sin   I m  sin   t   I 

(3-6)

Vyjadřujeme-li časový průběh graficky, vynášíme na svislou osu okamžité hodnoty harmonické veličiny v příslušných jednotkách (napětí nebo proud) a na vodorovnou osu vynášíme buď časový úhel

 v radiánech, nebo čas t v sekundách. Příklad grafického vyjádření časového průběhu několika harmonických veličin s nulovou počáteční fází a s různou dobou kmitu je na OBR. 3.1. 8

u1, T = 20 ms, f = 50 Hz u2, T = 10 ms, f = 100 Hz u3, T = 5 ms, f = 200 Hz

u [V] 6 4 2

t [s] 0 0,000 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 0,016 0,018 0,020 -2 -4 -6 -8 OBR. 3.1 Průběhy harmonických napětí s různou dobou kmitu

Okamžité hodnoty zobrazených napětí lze vyjádřit vztahy:

3


24

 2    2   u1  6  sin   t   6  sin   t   6  sin 2    f  t   6  sin 2    50  t   T   0,02 

V ,


V ,


V

Velikost fázového posunu odečteme z grafického vyjádření časového průběhu jednoho kmitu harmonické veličiny jako úhel mezi počátkem soustavy souřadnic a bodem, kde sinusovka prochází nulou a roste do kladných hodnot. Pokud bod, kde sinusovka prochází nulou a roste do kladných hodnot, leží na kladné časové poloose, je znaménko fázového posunu záporné, pokud leží na záporné poloose, je kladné (je-li okamžitá hodnota v čase t = 0 nulová, je fázový posun nulový; je-li okamžitá hodnota v čase t = 0 kladná, má fázový posun kladné znaménko a naopak). Časové průběhy proudů s různou počáteční fází, stejné frekvence a různé amplitudy jsou na OBR. 3.2. 8

i1 průběh s nulovou počáteční fázi i2 průběh se zápornou počáteční fázi i3 průběh s kladnou počáteční fázi

i [mA] 6 4 2

ω·t [rad]

0 -1

0

1

2

3

4

5

6

-2 -4 -6 -8

OBR. 3.2 Průběh harmonických proudů stejné frekvence, různé amplitudy a různé počáteční fáze

Okamžité hodnoty zobrazených proudů lze vyjádřit vztahy:

3


25

A ,

i1  I m1  sin   6  103  sin   t 

  i2  I m 2  sin   U 2   5  10 3  sin    t   6 

A ,

  i3  I m 3  sin   U 3   4  10 3  sin    t   4 

A

Rozdíl počátečních fází dvou harmonických veličin je vzájemný fázový posun. Fázový posun mezi proudy na OBR. 3.2:

 I 21   I 2   I 1    I 31   I 3   I 1 

6

 4

0 

0





 6

 4

,

,

5  , 6 4 12     5       4  6  12

 I 23   I 2   I 3    I 32   I 3   I 2







O proudu i2 říkáme, že se zpožďuje za časovým průběhem proudu i1 (I21 < 0), o proudu i3 říkáme, že předbíhá proud i1 (I31 > 0), proud i2 se zpožďuje za i3 (I23 < 0) nebo naopak proud i3 se předbíhá i2 (I32 > 0). Důležitá ve střídavých obvodech je vzájemná poloha mezi napětím a proudem, kterou vyjadřujeme fázovým posunem . Jestliže je  = 0 říkáme, že proud a napětí je ve fázi, jestliže je  = , je proud a napětí v protifázi. 3.1.3

Efektivní a střední hodnota střídavých veličin

Efektivní hodnota střídavého proudu I se rovná stejnosměrnému proudu, který má stejné tepelné účinky jako daný střídavý proud. Protéká-li rezistorem s odporem R stejnosměrný proud po dobu T, vzniká v něm tepelná energie: A  R  I 2 T

(3-7)

(Joulův-Lenzův zákon P  R  I 2 ) Protéká-li tímtéž rezistorem střídavý proud po dobu dt, vzniká v něm tepelná energie:

dA  R  i 2  dt

(3-8)

3


26

Za dobu jedné periody T se vyvine tepelná energie T



A  R  i 2 dt

(3-9)

0

Dle definice efektivní hodnoty se musí teplo vyjádřené rovnicí (3-7) a rovnicí (3-9) shodovat. T



Z rovností pravých stran těchto rovnic R  I 2  T  R  i 2 dt

lze odvodit vztah pro výpočet efektivní

0

hodnoty proudu: T

1 I  i 2 dt T 0



(3-10)

T

I

1 I 2  I m  sin   t  dt  m  0,707 I m T 0 2



(3-11)

Rovnice (3-10) představuje definici efektivní hodnoty proudu pro jakýkoliv periodický proud, rovnice (3-11) představuje výpočet efektivní hodnoty harmonického proudu. Podobně je definována efektivní hodnota napětí: T

1 U  u 2 dt T 0



(3-12)

T

U

1 U 2  U m  sin   t  dt  m  0,707U m T 0 2



(3-13)

Ze známých efektivních hodnot můžeme určit maximální hodnoty: I m  2  I  1,414 I U m  2  U  1,414 U

(3-14)

Střední hodnota harmonického proudu Is se rovná aritmetickému průměru všech okamžitých hodnot proudů za polovinu periody. Tento proud vyvolává stejné chemické účinky jako stejnosměrný proud se stejnou hodnotou za stejnou dobu (T/2). Určíme ji z rovnosti elektrického náboje Q, který projde vodičem za dobu T/2 při průchodu stejnosměrného a střídavého proudu. Náboj, který projde vodičem při průchodu stejnosměrného proudu Is za dobu T/2: Q  Is 

T 2

(3-15)

3


27

Elementární náboj q, který projde vodičem při průchodu střídavého proudu i za dobu t: dq  i  dt

(3-16)

Náboj Q, který projde vodičem při průchodu střídavého proudu za dobu T/2: T /2

Q

 i  dt

(3-17)

0

Náboj vyjádřený rovnicí (3-15) a rovnicí (3-17) se shoduje. Z rovností pravých stran těchto rovnic lze odvodit vztah pro výpočet střední hodnoty proudu:

2 Is   T

T /2

2 i  dt   T 0



T /2

 I

m

 sin(  t )   dt 

0

2



 Im

(3-18)

Střední hodnota napětí: Us 

2



Um

(3-19)

Vztah mezi maximální a střední hodnotou: Im  Um 

3.2

 2

 2

 Is (3-20)

Us

Znázorňování harmonických veličin fázory

Jednotlivé okamžité hodnoty harmonické veličiny určujeme z průmětu rotující orientované úsečky do svislé osy y. Délka úsečky určuje amplitudu harmonické veličiny, úhel mezi kladným směrem osy x a počáteční polohou úsečky určuje počáteční fázi. Úhlová rychlost otáčení úsečky je rovna úhlové frekvenci , smysl otáčení úsečky je proti pohybu hodinových ručiček. Poloha rotující úsečky tedy jednoznačně určuje danou harmonickou veličinu a nazýváme ji fázor (časový vektor). Různé střídavé veličiny stejné frekvence znázorňujeme ve společném fázorovém diagramu. Fázory vynášíme přímo v efektivních nebo maximálních hodnotách. Fázory proudu Fázorové veličiny se v tištěném textu označují většinou tučně I, v psaném textu s pruhem I . Fázor je dán amplitudou I (na rozdíl od fázoru není označena tučně nebo s pruhem) a argumentem fázoru (počáteční fázi harmonické veličiny) .


3

28

Součet fázorů proudů I1 a I2 Výslednice I je dána geometrickým součtem jednotlivých fázorů: I  I1  I 2

(3-21)

Amplituda výsledného fázoru I, jsou-li sčítané fázory 

v přímce:

I  I1  I 2 

kolmé:

I  I12  I 22 

(3-22)

(3-23)

svírají úhel :

I m  I12  I 22  2  I1  I 2  cos 

(3-24)

Rozklad fázoru proudu I Fázor lze rozložit na dvě na sebe kolmé složky Ix a Iy , přičemž platí:

I  Ix  I y I  I x2  I y2

(3-25)

Jednotlivé složky lze vypočítat pomocí amplitudy I a argumentu fázoru :

I x  I  cos I y  I  sin 

(3-26)

Analogické vztahy platí pro fázory napětí. Další studium např. viz [5].

3.3

Jednoduché střídavé obvody

Velikost střídavého proudu v obvodu ovlivňuje odpor rezistoru R, indukčnost cívky L a kapacita kondenzátoru C. Jednotkou indukčnosti je henry (symbol H), jednotkou kapacity je farad (symbol F). Více viz

3


3.3.1

29

Ideální rezistor v obvodu střídavého napětí

Ideální rezistor má následující vlastnosti R  0, R  , L = 0, C = 0. Je-li rezistor připojen ke zdroji střídavého napětí, viz OBR. 3.3, prochází jím střídavý elektrický proud, který je ve fázi s napětím na rezistoru a v protifázi s vnitřním napětím zdroje. Platí: uR  e uR  U m  sin   t

(3-27)

i  I m  sin   t

Pro okamžité, maximální a efektivní hodnoty platí Ohmův zákon: uR R U Im  m R U I R

i

3.3.2

(3-28)

Ideální cívka v obvodu střídavého proudu

Ideální cívka má následující vlastnosti R = 0, L  0, C = 0. Je-li cívka připojena ke zdroji střídavého napětí, viz OBR. 3.3, prochází jí střídavý elektrický proud, který je podle zákona o elektromagnetické indukci příčinou napětí indukovaného v cívce: uL  L

diL dt

(3-29)

Napětí cívky předbíhá proud o /2: i L  I m  sin   t

d I m  sin   t  diL      L    L  I m cos  t    L  I m sin    t    U m  sin    t   dt dt 2 2   Um Um    L  Im  L Im uL  L 

  u L  U m  sin    t   2 

(3-30)

Cívka omezuje proud tekoucí obvodem. Příčinou je její „odpor“, tzv. indukční reaktance XL (induktance):

XL 

Um    L  2   f  L Im

Ω; V, A; rad  s

1

, H; Hz, H



(3-31)

3


30

Převrácená hodnota indukční reaktance je indukční susceptance: 1 1  XL L

BL 

S; Ω; rad  s

1

,H



(3-32)

Pro maximální a efektivní hodnoty platí obdoba Ohmova zákona: Im 

Um XL

(3-33)

U I XL

3.3.3

Ideální kondenzátor v obvodu střídavého proudu

Ideální kondenzátor má následující vlastnosti R = , L = 0, C  0. Je-li kondenzátor připojen ke zdroji střídavého napětí, viz OBR. 3.3, bude se kondenzátor vlivem změn polarity napětí stále nabíjet a vybíjet a kondenzátorem tak bude procházet střídavý elektrický proud: iC  C 

duC dt

(3-34)

Proud bude předbíhat napětí o /2. Platí: uC  U m  sin   t

d U m  sin   t         C  U m  cos  t    C  U m  sin    t    I m  sin    t   dt 2 2   Im I m    C U m    C Um

iC  C 

  iC  I m  sin    t   2 

(3-35)

Kondenzátorem prochází proud i při RC = . Příčinou je jeho „vodivost“, tzv. kapacitní susceptance:

BC    C  2    f  C

S; rad  s

1



, F; Hz, F

(3-36)

Převrácená hodnota kapacitní susceptance je kapacitní reaktance XC: XC 

1 1  BL   C

Ω; S; rad  s

1



,F

Pro maximální a efektivní hodnoty platí obdoba Ohmova zákona:

(3-37)

3


Im 

Um XC

31

(3-38)

U I XC

OBR. 3.3 Schéma a fázorový diagram jednoduchých střídavých obvodů

Další doporučená literatura [1], [2], [3], [6], [7].

3


3.4

32

Složené střídavé obvody

Složené střídavé obvody vzniknou sériovým, paralelním nebo sériově paralelním zapojením ideálních prvků R, L, C. 3.4.1

Sériové zapojení ideálního rezistoru a ideální cívky

Proud procházející obvodem vytvoří úbytek napětí na odporu UR a úbytek napětí na indukčnosti UL. Pro výsledné napětí na svorkách zdroje platí:

U  UR  UL

(3-39)

U  U R2  U L2

(3-40)

Vztah (3-39) uvádí, že napětí se sčítá geometricky. Amplitudu napětí na svorkách zdroje proto určujeme podle Pythagorovy věty ze vztahu (3-40), nikoliv prostým algebraickým součtem

U  U R  U L  . Amplitudy napětí, resp. efektivní hodnoty určujeme z Ohmova zákona: UR  R  I UL  X L  I

(3-41)

U  Z I

Vztah (3-41) dosadíme do (3-40): Z  I  R 2  I 2  X L2  I 2 . Dělením obou stran proudem pak dostaneme výsledný odpor obvodu, který nazýváme impedancí Z: Z  R2  X L2

; , 

(3-42)

Fázový posun vyjadřujeme některou goniometrickou funkcí: tan  

UL X L  I X L   UR RI R

UR R  I R   U Z I Z U X I X sin   X  L  L U Z I Z cos 

(3-43)

Okamžitá hodnota napětí na svorkách zdroje a okamžitá hodnota proudu procházejícího obvodem je: u  U m  sin   t    i  I m  sin   t

(3-44)

3


33

Říkáme, že napětí předbíhá proud o úhel , viz OBR. 3.4. Protože reálná cívka má na rozdíl od ideální cívky nenulový odpor, představuje náhradní schéma skutečné cívky právě uvedené sériové zapojení, které se zkráceně označuje R-L. Další doporučená literatura např. [8]. 3.4.2

Sériové zapojení ideálního rezistoru a ideálního kondenzátoru

Proud procházející obvodem vytvoří úbytek napětí na odporu UR a úbytek napětí na kondenzátoru UC. Pro výsledné napětí na svorkách zdroje platí:

U  U R  UC

(3-45)

U  U R2  U C2

(3-46)

Podobně jako v předchozí kapitole vztah (3-45) uvádí, že napětí se sčítá geometricky. Amplitudu napětí na svorkách zdroje proto určujeme podle Pythagorovy věty ze vztahu (3-46), nikoliv prostým algebraickým součtem ( U  U R  UC ). Amplitudy napětí, resp. efektivní hodnoty určujeme z Ohmova zákona: UR  R  I UC  X C  I

(3-47)

U  Z I

Výsledný odpor obvodu odvodíme opět podobně jako v předchozí kapitole. Impedance Z je: Z  R2  X C2

; , 

(3-48)


UC X C  I X C   UR RI R

UR R  I R   U Z I Z U X I X sin   C  C  C U Z I Z cos 

(3-49)

Okamžitá hodnota napětí na svorkách zdroje a okamžitá hodnota proudu procházejícího obvodem: u  U m  sin   t    i  I m  sin   t

(3-50)

Říkáme, že napětí se zpožďuje za proudem o úhel , resp. proud předbíhá napětí o úhel , viz OBR. 3.4. Uvedené sériové zapojení se zkráceně označuje R-C.

3


3.4.3

34

Sériové zapojení ideálního rezistoru, ideální cívky a ideálního kondenzátoru

Proud procházející obvodem vytvoří úbytek napětí na odporu UR, úbytek napětí na cívce UL a úbytek napětí na kondenzátoru UC. Pro výsledné napětí na svorkách zdroje platí:

U  U R  U L  UC

(3-51)

U  U R2  U X2  U R2  U L  UC 

2

(3-52)

Opět pozor, U  U R  U L  UC !!! Amplitudy napětí, resp. efektivní hodnoty určujeme z Ohmova zákona:

UR  R  I UL  X L  I

(3-53)

UC  X C  I U  Z I

Je-li napětí UL > UC (XL > XC), má obvod indukční charakter a lze jej zjednodušit na zapojení R-L. Jeli napětí UL < UC (XL < XC), má obvod kapacitní charakter a lze jej zjednodušit na zapojení R-C. Vztahy (3-53) dosadíme do (3-52) :

Z  I  R 2  I 2   X L  X C   I 2 . Po vydělení proudem 2

dostaneme výsledný odpor obvodu, impedanci Z:

Z  R 2  X L  X C   R 2  X 2 2



(3-54)


UX X I X   UR RI R

UR R  I R   U Z I Z U X I X sin   X   U Z I Z cos 

(3-55)

Okamžitá hodnota napětí na svorkách zdroje a okamžitá hodnota proudu procházejícího obvodem: u  U m  sin   t    i  I m  sin   t

(3-56)

Napětí předbíhá proud o úhel , jestliže má obvod induktivní charakter ( je v předchozím vztahu kladné), viz OBR. 3.4, a obráceně. Uvedené sériové zapojení se zkráceně označuje R-L-C.

3


OBR. 3.4 Sériové zapojení ideálních obvodových prvků a příslušné fázorové diagramy

35

3


3.4.4

36

Paralelní zapojení ideálního rezistoru a ideální cívky

Proud dodávaný do obvodu se rozdělí do jednotlivých větví obvodu na proud procházející rezistorem IR a proud procházející cívkou IL. Pro celkový proud dodávaný do obvodu platí:

I  IR  IL

(3-57)

I  I R2  I L2

(3-58)

Vztah (3-57) uvádí, že proudy se sčítají geometricky. Amplitudu proudu dodávaného do obvodu proto určujeme podle Pythagorovy věty ze vztahu (3-58), nikoliv prostým algebraickým součtem

I  I R  I L  . Amplitudy proudů, resp. efektivní hodnoty, určujeme z Ohmova zákona: I R  G U I L  BL  U

(3-59)

I  Y U

Vztah (3-59) dosadíme do (3-58): Y U  G 2 U 2  BL2 U 2 . Po vydělení obou stran napětím dostaneme výslednou vodivost obvodu nazývanou admitancí Y:

S; S, S

Y  G 2  BL2

(3-60)

Vztah mezi impedancí a admitancí: Y

1 Z

S ; 

(3-61)


I L BL  U BL   I R G U G

I R G U G   I Y U Y I B  U BL sin   L  L  I Y U Y cos 

(3-62)

Okamžitá hodnota napětí na svorkách zdroje a okamžitá hodnota proudu dodávaného do obvodu: u  U m  sin   t

i  I m  sin   t   

Říkáme, že proud se zpožďuje za napětím o úhel .

(3-63)

3


37

Uvedené paralelní zapojení se zkráceně označuje R||L. 3.4.5

Paralelní zapojení ideálního rezistoru a ideálního kondenzátoru

Proud dodávaný do obvodu se rozdělí do jednotlivých větví obvodu na proud procházející rezistorem IR a proud procházející kondenzátorem IC. Pro celkový proud dodávaný do obvodu platí:

I  I R  IC

(3-64)

I  I R2  I C2

(3-65)

Vztah (3-64) uvádí, že proudy se sčítají geometricky. Amplitudu proudu dodávaného do obvodu proto určujeme podle Pythagorovy věty ze vztahu (3-65), nikoliv prostým algebraickým součtem

I  I R  I L  . Amplitudy proudů, resp. efektivní hodnoty určujeme z Ohmova zákona: I R  G U I C  BC  U

(3-66)

I  Y U

Vztah (3-66) dosadíme do (3-65): Y U  G 2 U 2  BC2 U 2 . Úpravou dostaneme admitanci Y: Y  G 2  BC2

S; S, S

(3-67)


I C BC  U BC   IR G U G

IR G U G   I Y U Y I B  U BC sin   C  C  I Y U Y cos 

(3-68)


i  I m  sin   t   

(3-69)

Říkáme, že proud předbíhá napětí o úhel . Uvedené paralelní zapojení se zkráceně označuje R||C a používá se jako náhradní schéma reálného kondenzátoru.

3


3.4.6

38

Paralelní zapojení ideálního rezistoru, ideální cívky a ideálního kondenzátoru

Proud dodávaný do obvodu se rozdělí do jednotlivých větví obvodu na proud procházející rezistorem IR, proud procházející cívkou IL a proud procházející kondenzátorem IC. Pro celkový proud dodávaný do obvodu platí:

I  I R  I L  IC

(3-70)

I  I R2  I X2  I R2  I L  I C 

2

(3-71)

Opět pozor, I  I R  I L  I C !!! Amplitudy proudů, resp. efektivní hodnoty, určujeme z Ohmova zákona: I R  G U I L  BL  U

(3-72)

I C  BC  U I  Y U

Vztahy

(3-72)

dosadíme

do (3-71):

Y U  G 2 U 2  BL  BC  U 2 . 2

Úpravou

dostaneme

admitanci Y:

Y  G 2  BL  BC   G 2  B 2 2

S 

(3-73)


IX B U B   I R G U G

I R G U G   I Y U Y I B U B sin   X   I Y U Y cos 

(3-74)


i  I m  sin   t   

(3-75)

Proud předbíhá napětí o úhel , jestliže má obvod kapacitní charakter ( je v předchozím vztahu kladné), a obráceně, viz OBR. 3.5. Uvedené paralelní zapojení se zkráceně označuje R||L||C.

3


39

OBR. 3.5 Paralelní zapojení ideálních obvodových prvků a příslušné fázorové diagramy

3.5

Výkon střídavého proudu

Okamžitá hodnota výkonu střídavého proudu p je dána součinem okamžitých hodnot napětí a proudu: p  u i

(3-76)

3


40

V obvodech se střídavým proudem nás zajímá činný výkon P, který je mírou skutečné práce (teplo, světlo, mechanická práce) a jalový výkon Q, který je mírou výměnné energie mezi zdrojem a spotřebičem (cívka a kondenzátor jsou v určitém okamžiku spotřebiči elektrické energie, v jiném okamžiku jsou zase zdrojem elektrické energie). Jakkoliv složitý střídavý obvod lze nahradit např. obvodem R-L nebo R-C. Mezi napětím a proudem je určitý fázový posun. Rozložíme-li napětí na činnou složku Uč a jalovou složku Uj (platí Uč = UR, Uj = UX), získáme vztahy pro činný a jalový výkon.

P  Uč  I  U  cos   I  U  I  cos Q  U j  I  U  sin   I  U  I  sin 

W var

(3-77) (3-78)

Podobně lze každý obvod nahradit obvodem RL nebo RC. Rozložíme-li nyní proud na složky (platí Ič = IR, Ij = IX), získáváme tytéž vztahy:

P  U  I č  U  I  cos   U  I  cos

Q  U  I j  U  I  sin    U  I  sin 

W var

Zdánlivý výkon S střídavého proudu definujeme jako součin výsledných efektivních hodnot napětí a proudu obecné zátěže. Tento výkon charakterizuje horní hranici využití elektrického zařízení.

S U I

VA 

( 3-79)

Je-li v obvodu střídavého proudu zapojen pouze činný odpor, je vzájemný fázový posun mezi výsledným napětím a proudem nulový a činný výkon je maximální. Platí: S  P; Q  0

(3-80)

Činný výkon závisí na charakteru spotřebiče, jehož vliv vyjadřujeme kosinem fázového posuvu - tzv. účiníkem. cos 

P S



(3-81)

Je-li v obvodu střídavého proudu cívka nebo kondenzátor, je mezi napětím a proudem určitý fázový posun, jalový výkon je nenulový. Činný, jalový a zdánlivý výkon můžeme znázornit trojúhelníkem výkonu. Platí:

S  P2  Q2 Další doporučená literatura [1], [2], [9].

(3-82)

3


3.6

41

Rezonance

Jsou-li v obvodu střídavého proudu zapojeny společně cívky a kondenzátory, může nastat situace, kdy se reaktance obvodu rovná nule a celý obvod se chová jen jako činný odpor. Účinky indukčností a kapacit se navzájem ruší. Mluvíme o rezonanci. 3.6.1

Sériová rezonance

Jestliže má sériový obvod R-L-C konstantní parametry, zvětšuje se indukční reaktance s rostoucí frekvencí, ale kapacitní reaktance naopak klesá. Při určité frekvenci f0, která se nazývá rezonanční frekvence, jsou obě reaktance číselně stejné, a proto napětí působící na těchto reaktancích směřují proti sobě a navzájem se tedy ruší, viz OBR. 3.6. Protože X L0  X C 0

f0 

 0  L 

1 0  C

 0 

1 , platí pro rezonanční frekvenci: LC

1 1  2  LC

(3-83)

Rezonance nezávisí na činném odporu. Sériový obvod má při rezonanční frekvenci nejmenší impedanci a obvodem prochází největší proud.

OBR. 3.6 Schéma zapojení a příslušný fázorový diagram pro sériový obvod v rezonanci

3.6.2

Paralelní rezonance (R-L)C

Na OBR. 3.7 je paralelní zapojení skutečné cívky a kondenzátoru a fázorový diagram, který odpovídá obvodu v rezonanci. Podmínka rezonance proudů IL a IC, z níž můžeme vypočítat rezonanční frekvenci, vyplývá z podmínky rovnosti energie cívky a energie kondenzátoru; lze tedy postupně odvodit:

3


42

PL  PC X L  I L2  X C  I C2 XL 

0  L 

R

U C2 U C2  X  C Z2 X C2

1 2

 02  L2



0

C



L  C  R 2  02  L2



02  L2  C  L  C  R 2 02 

1 R2  2 LC L

Z posledního výrazu lze odvodit vztah pro rezonanční frekvenci:

f0 

1 1 R2   2 2  LC L

(3-84)

Ze vztahu (3-84) vyplývá, že na velikost rezonanční frekvence má vliv i činný odpor.

OBR. 3.7 Paralelní zapojení skutečné cívky a kondenzátoru a fázorový diagram pro obvod v rezonanci

3.7

Řešení střídavých obvodů symbolicko-komplexní metodou

Symbolicko - komplexní metoda je pomůcka k řešení složitějších obvodů se sinusovým proudem. Výpočet pomocí fázorů by byl zdlouhavý, protože fázory proudů a napětí svírají libovolné úhly (nevystačíme jen s Pythagorovou větou). Symbolicko - komplexní metoda vyjadřuje fázory elektrických veličin i hodnoty pasivních prvků komplexními čísly.

3


3.7.1

43

Komplexní čísla

Snaha, aby rovnice x 2  y měla řešení i pro y < 0, vedla k zavedení komplexních čísel. Komplexní číslo si zavedeme ve tvaru a1  j  a2  , kde a1, a2 jsou reálná čísla a j je imaginární jednotka definovaná vztahem j 2  1 . Komplexní čísla definujeme jako uspořádané dvojice reálných čísel současně se zavedením základních operací. Definice: Komplexním číslem a nazýváme uspořádanou dvojici reálných čísel (a1, a2), která má tyto vlastnosti:

a1; a2   b1; b2   a1  b1  a2  b2 a1; a2   b1; b2   a1  b1; a2  b2  a1; a2  b1; b2   a1  b1  a2  b2 ; a1  b2  a2  b1  Reálné číslo a1 se nazývá reálná část komplexního čísla a: a1 = Re (a). Reálné číslo a2 se označuje jako imaginární část komplexního čísla a: a2 = Im (a). Komplexní čísla znázorňujeme v Gaussově rovině. Reálnou část vynášíme na vodorovnou osu, imaginární část na svislou osu. Obrazem komplexního čísla v rovině je bod M [a1, a2]. Můžeme však také tvrdit, že obrazem je orientovaná úsečka OM, určená velikostí (vzdáleností od počátku) A a úhlem , který svírá s kladným směrem reálné osy. Dáme-li úsečce orientaci směrem k bodu M, získáme možnost vyjádřit fázory harmonických veličin analyticky, a to komplexním číslem. Absolutní hodnota (modul) komplexního čísla a  a1  j  a2 : A  a12  a22 Argument komplexního čísla a  a1  j  a2 :   arg a Zápis komplexních čísel: algebraický tvar a  a1  j  a2 goniometrický tvar a  A  cos  j  sin   exponenciální tvar a  A  e j Čísla komplexně sdružená jsou dvě komplexní čísla, jejichž reálné části jsou si rovny a imaginární části se liší znaménkem. Operace s komplexními čísly: Mocniny imaginární jednotky: j 2  1,

j 3   j,

j4  1

3


44

Součet:

a1  j  a2   b1  j  b2   a1  b1   j  a2  b2  a1  j  a2   a1  j  a2   a1  a1   j  a2  a2   2  a1 Součin: j  a1  j  a 2   a2  j  a1

 j  a1  j  a 2   a2  j  a1

j 2  a1  j  a 2   a1  j  a2

b1  j  b2   a1  j  a2   a1  b1  a2  b2   j  a2  b1  a1  b2  a1  j  a2   a1  j  a2   a1  a1  a2  a2   j  a2  a1  a1  a2   a12  a22 Podíl:

a1  j  a2   a1  j  a2  

j   j  a1  j  a2   a2  j  a1 j j j a1  j  a2 a1  j  a2 b1  j  b2 a1  b1  a2  b2   j  a2  b1  a1  b2     b1  j  b2 b1  j  b2 b1  j  b2 b12  b22

3.7.2

Symboly pro prvky obvodu střídavého proudu

Harmonické veličiny považujeme za časové vektory - fázory a vyjadřujeme je matematickými symboly ve tvaru komplexních čísel (označujeme je stejně jako fázory, tj. fázor proudu I nebo I , fázor napětí U nebo U ). Vyjádříme-li vhodnými symboly impedanci obvodu (musí platit Ohmův zákon a oba Kirchhoffovy zákony), můžeme řešit střídavé obvody stejně jako stejnosměrné. Ve stejnosměrných obvodech jsme však počítali s reálnými čísly, zatímco ve střídavých budeme počítat s komplexními čísly. Odpor: R Impedance: Z  R  j  X (+ pro induktivní charakter obvodu, – pro kapacitní charakter obvodu). Indukční reaktance: X L    L . Impedance ideální cívky v komplexním tvaru: Z L  j    L . Kapacitní reaktance: X C 

1

 C

.

Impedance ideálního kondenzátoru v komplexním tvaru: Z C 

1 YC



1 j   C

  j

1 .  C

3


45

Admitance: Y  G  j  B (+ pro kapacitní charakter obvodu, – pro induktivní charakter obvodu). Kapacitní susceptance: BC    C . Admitance ideálního kondenzátoru v komplexním tvaru: YC  j    C . Indukční susceptance: BL 

1 . L

Admitance ideální cívky v komplexním tvaru: YL 

Další doporučená literatura [1], [10].

1 ZL



1 1 .   j j   L L

4

Stejnosměrné nelineární obvody

46

4 Stejnosměrné nelineární obvody Pokud bude v obvodu nelineární prvek (může být jen jeden), elektrický obvod je nelineární. Odpor nelineárních prvků není konstantní, ale závisí na velikosti přiloženého napětí nebo na protékajícím proudu. Voltampérová charakteristika není přímková. Ohmův zákon ve tvaru, který respektuje právě tuto skutečnost, vyjadřujeme rovnicemi: U  R I   I

U  RU   I

4.1

(4-1)

Dělení nelineárních odporů 1. Podle tvaru VA charakteristiky a) Souměrné - VA charakteristika je souměrná vzhledem k počátku souřadnicové soustavy, tzn. vlastnosti prvku nezávisí na polaritě přiloženého napětí (termistor). b) Nesouměrné (dioda). 2. Podle teplotní závislosti a) Teplotně závislé (termistor, žárovka). b) Teplotně nezávislé (dioda).

4.2

Statický a dynamický odpor nelineárních odporových prvků

Statický odpor určitého nelineárního prvku Rs v bodě A jeho VA charakteristiky je definovaný podílem příslušné hodnoty napětí a proudu (podobně jako lineární odpor): Rs 

U A mU   tan I A mI

(4-2)

kde  je úhel, který svírá spojnice počátku s bodem A s kladnou poloosou proudu. Dynamický odpor nelineárního prvku Rd v bodě A jeho VA charakteristiky je určený vztahem: U dU mU    tan  dI mI I 0 I

Rd  lim

(4-3)

kde  je úhel, který svírá tečna ke křivce v uvažovaném bodě A se směrem kladné poloosy proudu. Statický odpor je vždy kladný. Dynamický odpor má v rostoucí části VA charakteristiky kladnou hodnotu, v klesající části zápornou hodnotu a ve vrcholu nulovou hodnotu. Určování statického a dynamického odporu je uvedeno na OBR. 4.1.

4


47

OBR. 4.1 Určování statického a dynamického odporu

Zavedeme nyní činitel nelinearity:



 

(4-4)



Rd Rs

(4-5)



Gd Gs

(4-6)

Platí

U lineárních prvků s přímkovou VA charakteristikou má statický a dynamický odpor stejnou hodnotu a platí   1 . Pro nelineární prvky platí   1,   1,   1. Čím víc se  liší od 1, tím je daný odpor v daném pracovním bodě „nelineárnější“.

4.3

Řešení nelineárních obvodů

Při řešení vycházíme z Ohmova zákona a z Kirchhoffových zákonů, avšak nelze použít metody řešení lineárních obvodů, protože parametry nejsou konstantní. 4.3.1

Analytické metody řešení nelineárních obvodů

Jejich základem je náhrada experimentální VA charakteristiky aproximací analytickým výrazem. Nejjednodušším příkladem je náhrada nelineární charakteristiky v předpokládané pracovní oblasti přímkou (metoda linearizace). Nelineární odpor nahrazujeme ekvivalentním sériovým zapojením ideálního zdroje a lineárního odporu - viz OBR. 4.2 a OBR. 4.3. Nelineární charakteristiku tohoto nelineárního odporu nahrazujeme mezi body A a B přímkou, která vytíná na ose napětí úsek U0.

4


48

OBR. 4.2 Metoda linearizace - náhradní schéma a určení U0 a Rd z VA charakteristiky (U0 > 0)

OBR. 4.3 Metoda linearizace - náhradní schéma a určení U0 a Rd z VA charakteristiky (U0 < 0)

Směrnice přímky je dána výrazem: tan  

mI  Rd mU

(4-7)

kde Rd je dynamický odpor (v intervalu A-B je konstantní). Napětí v intervalu A-B je pak dáno vztahem:

U  U 0  Rd  I

(4-8)

Takto vyjádřené napětí můžeme dosadit do rovnic obvodu, jehož součástí je daný nelineární prvek, a obvod řešíme dále jako lineární.

4


4.3.2

49

Grafické řešení jednoduchého obvodu s nelineární zátěží

Grafická metoda vychází přímo z experimentálně získaných VA charakteristik a spočívá v grafickém řešení rovnic vyplývajících z Kirchhoffových zákonů. Nelineární obvod na OBR. 4.4 řešíme tak, že do jednoho grafu a ve stejném měřítku zakreslíme VA charakteristiku zátěže a zatěžovací charakteristiku zdroje. Rovnice VA charakteristiky zátěže:

I  I R (U )

(4-9)

Rovnice zatěžovací charakteristiky zdroje:

U  UV  RV  I I

UV 1  U RV RV

(4-10)

(4-11)

Zatěžovací přímka zdroje se nejjednodušeji zakreslí vynesením proudu nakrátko IK na osu proudu, z rovnice (4-11) pro U = 0, a napětí naprázdno UV na osu napětí, z rovnice (4-11) pro I = 0. Průsečík obou charakteristik udává tzv. pracovní bod P a jeho souřadnice - proud IP a napětí UP představují grafické řešení rovnic (4-9) a (4-11). Vnitřní napětí UV se v tomto bodě dělí na napětí na nelineárním odporu UP a napětí na vnitřním odporu zdroje RV · IP.

OBR. 4.4 Základní schéma obvodu s nelineární zátěží a jeho grafické řešení

Příklad 1

50

ODDÍL II - ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 1 Ideální napěťový a proudový zdroj Napěťový zdroj Ideální napěťový zdroj, viz OBR. P 1.1, je aktivní jednobran (dvojpól, svorky 1-2). Má jediný parametr, a to napětí UV, jehož velikost je nezávislá na odebíraném proudu I2. Velikost proudu I2 je určena vnějším obvodem, který většinou nahrazujeme ekvivalentním zatěžovacím odporem RZ. Obecný vztah (1-17) má pak tvar I 2  UV RZ . Pokud se zatěžovací odpor RZ blíží nule, proud I2 se blíží nekonečnu. Z toho plyne, že ideální napěťový zdroj má nulový vnitřní odpor.

OBR. P 1.1 Ideální napěťový zdroj

Zatěžovací (výstupní) charakteristika ideálního napěťového zdroje je dána vztahem U 2  UV a její graf je na OBR. P 1.2.

OBR. P 1.2 Zatěžovací charakteristika ideálního napěťového zdroje

Příklad 1

51

Proudový zdroj Ideální proudový zdroj, viz OBR. P 1.3, je aktivní jednobran (dvojpól, svorky 1-2). Jeho určující parametr je proud IV, který nezávisí na napětí na svorkách zdroje. Toto napětí je dáno konfigurací vnějšího obvodu a opět ho můžeme nahradit ekvivalentním zatěžovacím odporem RZ. Obecný vztah (1-23) má pak tvar U 2  RZ  IV . Pokud se zatěžovací odpor RZ blíží nekonečnu, pak i napětí U2 se blíží nekonečnu. Z toho plyne, že ideální napěťový zdroj má nekonečně velký vnitřní odpor, resp. nulovou vnitřní vodivost.

OBR. P 1.3 Ideální proudový zdroj

Zatěžovací (výstupní) charakteristika ideálního proudového zdroje je dána vztahem I 2  IV a její graf je na OBR. P 1.4.

OBR. P 1.4 Zatěžovací charakteristika ideálního proudového zdroje

Příklad 1 Rekapitulace a) Napěťový zdroj 

Jediný určující parametr je napětí UV.



Proud I2 tekoucí zdrojem je určen konfigurací vnějšího obvodu.



Vnitřní odpor je nulový, a proto nemůže pracovat ve stavu nakrátko (I2K  ).



Může pracovat ve stavu naprázdno (I2 = 0, U2 = UV). b) Proudový zdroj



Jediný určující parametr je proud IV.



Napětí U2 na svorkách proudového zdroje je dáno konfigurací vnějšího obvodu.



Vnitřní vodivost je nulová, a proto nemůže pracovat ve stavu naprázdno (U20  ).



Může pracovat ve stavu nakrátko (RZ = 0).

52

Příklad 2

53

Příklad 2 Odvoďte vztah pro zatěžovací charakteristiku reálného napěťového zdroje Model reálného napěťového zdroje je tvořen ideálním napěťovým zdrojem UV (vnitřní napětí) a rezistorem RV (vnitřní odpor), viz OBR. P 2.1. Vnější obvod, který odebírá proud I2, nahradíme ekvivalentním zatěžovacím odporem RZ.

OBR. P 2.1 Model reálného napěťového zdroje

Postup řešení:

 UV  U Rv  U2  0 U 2  U Rv  UV U Rv  RV  I 2

2. Kirchhoffův zákon

   U 2   RV  I 2  UV Ohm. zákon 

Poslední vztah udává závislost napětí na svorkách zdroje U2 na odebíraném proudu I2, kde RV a UV jsou určující parametry zdroje. Jedná se o rovnici přímky se směrnicí –RV a úsekem UV na svislé ose. S rostoucím odporem RV strmost přímky roste, viz OBR. P 2.2. Je-li výstup rozpojen, pak RZ   a odebíraný proud I2 je nulový. Napětí při I2 = 0 je napětí naprázdno U20 a platí U 20  UV . Je-li výstup zkratován, pak RZ = 0 a napětí na svorkách zdroje U2 je nulové. Proud při U2 = 0 je proud nakrátko I2K a platí I 2 K 

UV . RV

Měření napětí naprázdno U20 a proudu nakrátko I2K je uvedeno na OBR. P 2.3.

Příklad 2

54

OBR. P 2.2 Zatěžovací charakteristiky reálného napěťového zdroje

Parametry modelu napěťového zdroje určíme ze vztahů UV  U 20 a RV 

U 20 . I2K

Pro ideální napěťový zdroj je RV  0 a grafem zatěžovací charakteristiky je přímka rovnoběžná s osou proudu U 2  UV . Při realizaci napěťových zdrojů volíme taková obvodová řešení, aby vnitřní odpor byl co nejmenší. Pozor - skutečné napěťové zdroje s malým vnitřním odporem nelze provozovat ve stavu nakrátko!

OBR. P 2.3 Měření napětí naprázdno a proudu nakrátko reálného napěťového zdroje

Příklad 3

55

Příklad 3 Odvoďte vztah pro zatěžovací charakteristiku reálného proudového zdroje Model reálného proudového zdroje, viz OBR. P 3.1, je složen z ideálního proudového zdroje o proudu IV a paralelně zapojeného rezistoru RV (vnitřní odpor; často se uvádí místo vnitřního odporu vnitřní vodivost GV  1 RV ). Vnější obvod je nahrazen ekvivalentním zatěžovacím rezistorem RZ. Model proudového zdroje má dva určující parametry - proud IV vnitřního proudového zdroje a vnitřní odpor RV, případně vodivost GV.

OBR. P 3.1 Model reálného proudového zdroje

Postup řešení:

IV  I Rv  I 2  0

1. Kirchhoffův zákon

I 2   I Rv  IV I Rv 

U2 RV

   Ohm. zákon  

I2  

1 U 2  IV RV

nebo

I 2  GV U 2  IV

Poslední vztahy udávají závislost výstupního proudu I2 na svorkovém napětí U2. Grafem této zatěžovací charakteristiky je přímka se zápornou směrnicí  1 RV nebo – GV a úsekem na svislé ose IV, viz OBR. P 3.2. Na

charakteristice

I 2 K  IV

určujeme

dva

body.

Na

svislé

ose

určujeme

(U2  0, RZ  0) a na vodorovné ose napětí naprázdno U20  RV  IV

Určení proudu nakrátko I2K a napětí naprázdno U20 je uvedeno na OBR. P 3.3.

proud

nakrátko

( I 2  0, RZ  ) .

Příklad 3

56

OBR. P 3.2 Zatěžovací charakteristiky reálného proudového zdroje

Parametry modelu proudového zdroje určíme ze vztahů IV  I 2 K a RV 

Pro GV  0

U 20 . I2K

( RV   ) dostáváme zatěžovací charakteristiku ideálního proudového zdroje.

Při realizaci proudových zdrojů se volí taková obvodová řešení, aby vnitřní odpor byl co největší (vodivost co nejmenší).

OBR. P 3.3 Měření proudu nakrátko a napětí naprázdno reálného proudového zdroje

Příklad 4

57

Příklad 4 Odvoďte vztah pro transfiguraci napěťového zdroje na proudový a naopak Vzájemná náhrada zdrojů je možná pouze u reálných zdrojů napětí a proudu. Z hlediska výstupních svorek (1-2) se oba zdroje při stejném vnějším obvodu (rezistor RZ na OBR. P 4.1) musí chovat identicky, tzn. napětí U2 a proudy I2 v obou případech musí být stejné. Z toho vyplývá, že i proudy nakrátko I2K (OBR. P 4.2) a napětí naprázdno U20 (OBR. P 4.3) obou zdrojů jsou stejné.

OBR. P 4.1 Napěťový a proudový zdroj se stejným vnějším obvodem RZ

OBR. P 4.2 Napěťový a proudový zdroj nakrátko

OBR. P 4.3 Napěťový a proudový zdroj naprázdno

Příklad 4

58

Náhrada napěťového zdroje proudovým Vyjdeme ze stavu obou zdrojů nakrátko, viz OBR. P 4.2, a vyjádříme proudy nakrátko obou zdrojů: Proud nakrátko napěťového zdroje: I 2 K 

UV RVN

Proud nakrátko proudového zdroje: I 2 K  IV Protože se oba zkratové proudy rovnají, můžeme určit z rovností pravých stran parametr proudového zdroje: IV 

UV . RVN

Vnitřní odpor proudového zdroje určíme z podmínky, která uvádí, že pro stejný odpor RZ musí být svorkové napětí U2 obou zdrojů stejné, tj. U 2 N  U 2 P . Svorkové napětí napěťového zdroje (ze vztahu pro dělič napětí): U 2 N 

Svorkové napětí proudového zdroje (z Ohmova zákona): U 2 P 

Z rovnosti pravých stran

RVP  RVN

RZ  UV RZ  RVN

RZ  RVP R R U  IV  Z VP  V RZ  RVP RZ  RVP RVN

RZ R R U  UV  Z VP  V dostáváme vnitřní odpor proudového zdroje RZ  RVP RZ  RVP RVN

nebo GVP  1 RVN .

Parametry proudového zdroje jsou IV 

UV a RVP  RVN . RVN

Náhrada proudového zdroje napěťovým Vyjdeme ze stavu obou zdrojů naprázdno, viz OBR. P 4.3, a vyjádříme napětí naprázdno obou zdrojů. Napětí naprázdno proudového zdroje: U 20  RVP  IV Napětí naprázdno napěťového zdroje: U 20  UV Protože se obě napětí naprázdno rovnají, můžeme určit z rovností pravých stran parametr napěťového zdroje: UV  RVP  IV .

Příklad 4

59

Vnitřní odpor napěťového zdroje určíme opět z podmínky, která uvádí, že pro stejný odpor RZ musí být svorkové napětí U2 obou zdrojů stejné, tj. U 2 P  U 2 N . Svorkové napětí proudového zdroje: U 2 P 

RZ  RVP  IV RZ  RVP

Svorkové napětí napěťového zdroje: U 2 N 

RZ RZ  UV   RVP  IV RZ  RVN RZ  RVN

Z rovnosti pravých stran

RZ  RVP RZ  IV  RVP  IV dostáváme vnitřní odpor proudového RZ  RVP RZ  RVN

zdroje RVN  RVP  1 GVP . Parametry proudového zdroje jsou UV  RVP  IV a RVN  RVP  1 GVP .

Příklad 5

60

Příklad 5 Určete podmínky pro výkonové přizpůsobení zdroje zátěží Při výkonovém přizpůsobení dodává napěťový zdroj do zátěže RZ maximální výkon. Budeme tedy hledat odpovídající hodnotu zátěže. Zapojení reálného napěťového zdroje a zátěže je na OBR. P 5.1.

OBR. P 5.1 Zapojení zdroje a zátěže

Výkon dodávaný zdrojem napětí UV : PV  UV  I 2  RV  RZ   I 22 

U2 Výkon na zátěži RZ : PZ  U 2  I 2  2  RZ  I 22  RZ RZ

 UV    RV  RZ

UV2 RV  RZ

2

 RZ    UV2 2 RV  RZ  

Pokud zátěž RZ  0 , bude výkon na zátěži PZ  0 , bude-li RZ   , bude výkon na zátěži PZ  0 . Znamená to, že někde bude maximum výkonu PZ. Graf závislosti PZ  f ( RZ ) je na OBR. P 5.2. Budeme hledat maximum funkce PZ 

RZ

RV  RZ 

2

 UV2 . Pro maximum platí, že derivace funkce se

rovná nule. dPZ 0 dRZ

R  RZ   2  RZ  RV  RZ   U 2  RV  RZ   2  RZ  U 2  RV  RZ dPZ  UV2  V V V dRZ RV  RZ 4 RV  RZ 3 RV  RZ 3 2

dPZ R  RZ  UV2  V 0  dRZ RV  RZ 3

RV  RZ

Příklad 5

61

Pokud

bude

PZ 

RZ

platit

RZ  RZ 2

 UV2 

RV  RZ ,

bude

výkon

na zátěži

maximální

a

jeho

velikost

bude

RZ UV2 2 .  U  V 4  RZ2 4  RZ

Výkon dodávaný zdrojem napětí UV bude PV 

UV2 . 2  RZ

UV2 P 1 4  RZ Účinnost bude   Z  100   100   100  50 % . 2 PV 2 UV 2  RZ

Pro proudový zdroj by bylo výkonové přizpůsobení dáno stejnou podmínkou RZ  RV , protože proudový zdroj můžeme nahradit zdrojem napěťovým, viz příklad Příklad 4 , str. 57.

OBR. P 5.2 Graf závislosti výkonu na zátěži na odporu zátěže

Příklad 6

62

Příklad 6 Odvoďte vztah pro výstupní napětí nezatíženého odporového děliče napětí Odporové děliče napětí a proudu jsou základní (elementární) elektrické obvody používané při analýze a návrhu elektronických obvodů. Řešení řady úloh lze přenést na řešení zatíženého nebo nezatíženého odporového (obecně impedančního) děliče napětí. Zapojení nezatíženého děliče je na OBR. P 6.1.

OBR. P 6.1 Schéma nezatíženého děliče napětí

Výstupní napětí U2 nezatíženého děliče je výstupní napětí naprázdno U20 ( RZ  , I 2  0 ). Řešení pomocí 1. Kirchhoffova zákona: I R1  I 2 U1  U 2 U 2  R1 R2

R2  U1  U 2   R1 U 2 R2 U1  R2 U 2  R1 U 2 R2 U1  R1 U 2  R2 U 2 R2 U1  R1  R2   U 2



U2 

R2 U R1  R2  1

Řešení pomocí 2. Kirchhoffova zákona:  U1  U R1  U 2  0  U1  R1  I R1  R2  I R 2  0 I R1  I R 2  U1  R1  I R 2  R2  I R 2  0 U1   R1  R2  U 2  R2  I R 2  

I R2 



U 2  R2 



I R2 

U1 R1  R2

U1 R2   U1 R1  R2 R1  R2

Příklad 6

63

Řešení pomocí elementárních úprav: R  R1  R2 U1 U1    R R1  R2   U 2  R2  I R 2 

I R2 



U2 

R2  U1 R1  R2

Nezatížený odporový dělič můžeme považovat za dvojbran, OBR. P 6.2, kde jeho přenosová funkce nebo také přenos je dána vztahem FU 

U2 R2 .  U1 R1  R2

OBR. P 6.2 Odporový dělič jako dvojbran

Příklad 7

64

Příklad 7 Odvoďte vztah pro napěťový přenos zatíženého děliče napětí Zapojení zatíženého děliče je uvedeno na OBR. P 7.1. Jedná se o dělič, na jehož výstupu je připojena zátěž RZ a výstup je zatížen odebíraným proudem.

OBR. P 7.1 Schéma zatíženého děliče napětí

Obecně je přenos definován jako poměr výstupní a vstupní veličiny F 

U2 . U1

Řešení metodou zjednodušování obvodu: Zatížený dělič převedeme na nezatížený sloučením paralelně řazených odporů R2 a RZ, viz OBR. P 7.2:

U2  R2 Rz 

R2 RZ R1  R2 RZ

 U1

R2  RZ R2  RZ

R2  RZ R2  RZ U2   U1 R2  RZ R1  R2  RZ R2  RZ U2 R2  RZ   R  R U1 1 2  RZ   R2  RZ R2  RZ U2 R2  RZ  U1 R1  R2  R1  R2   RZ

Příklad 7

65

U2 R2  RZ  U1 R1  R2  R1  R2   RZ U2 R2 RZ   R  R U1 R1  R2 1 2  RZ R1  R2

První člen na pravé straně

RZ R2 je přenos nezatíženého děliče. Druhý člen určuje R1  R2 R1  R2  RZ R1  R2

vliv zatěžovacího odporu RZ na přenos děliče, a pokud platí

RZ 

R1  R2 , druhý člen R1  R2

RZ U R2  1 a přenos zatíženého děliče bude F  2  . R1  R2 U1 R1  R2  RZ R1  R2 Řešení pomocí 1. Kirchhoffova zákona: I R1  I R 2  I 2  0 I R1  I R 2  I 2 U1  U 2 U 2 U 2   R1 R2 RZ

R2  RZ  U1  U 2   R1  RZ  U 2  R1  R2  U 2 R2  RZ  U1  R1  RZ  U 2  R1  R2  U 2  R2  RZ  U 2 U2 R2  RZ  U1 R1  R2  R1  RZ  R2  RZ U2 R2 RZ   R  R U1 R1  R2 1 2  RZ R1  R2

Zvolíme-li RZ  10 

R1  R2 , můžeme pro technickou praxi vliv RZ zanedbat a přenos určit řešením R1  R2

nezatíženého děliče FU 

U2 R2 . Takto vzniklá chyba bude U 2  10  % .  U1 R1  R2

Příklad 7

66

OBR. P 7.2 Transformace zatíženého děliče na nezatížený

Řešení pomocí věty o náhradním zdroji (Theveninova věta), princip viz OBR. P 7.3.

OBR. P 7.3 Náhradní napěťový zdroj

Napětí UV náhradního zdroje je rovno napětí naprázdno - výstupu děliče bez zátěže RZ: UV  U 20 

R2  U1 , viz OBR. P 7.4. R1  R2

OBR. P 7.4 Určení vnitřního napětí náhradního napěťového zdroje

Vnitřní odpor náhradního zdroje RV určíme jako ekvivalentní odpor mezi výstupní svorkou (2), bez zátěže, a společnou zemí při vyřazení zdroje napětí UV (zkratujeme). V našem případě RV 

R1  R2 , viz OBR. P 7.5. Tím přejdeme opět na řešení nezatíženého děliče: R1  R2

Příklad 7

67

U2 

RZ  UV RV  RZ

U2 

RZ R2   U1 R1  R2  RZ R1  R2 R1  R2

U2 R2 RZ   U1 R1  R2 R1  R2  R Z R1  R2

OBR. P 7.5 Určení vnitřního odporu náhradního napěťového zdroje ( pohled z výstupních svorek směrem do obvodu)

Příklad 8

68

Příklad 8 Odvoďte vztah pro výstupní proud nezatíženého proudového děliče Zapojení proudového děliče nakrátko je na OBR. P 8.1.

OBR. P 8.1 Proudový dělič nakrátko

Pro uzel (1) podle 1. Kirchhoffova zákona platí: I1  I R1  I 2  0  I 2  I1  I R1  I1 

U1 R1

    R  R2  R2  1 R1  R2 R2  R1    I1   1   I1   I1  1   I1   I 2  I1   R1  R2 R1 R1  R2 R1  R2  R1  R2  R1  R2    U1   I1 R1  R2  I 2  I1 

U1 R1

I2 

R1  I1 R1  R2

R1 

1 , G1

R2 

1 G2

    G2  I1   I2  G1  G2    

Napěťový a proudový dělič jsou duální obvody. Výstupní veličiny jsou popsány formálně stejnými rovnicemi, ve kterých navzájem nahradíme u  i, R  G a naopak.

Příklad 9

69

Příklad 9 Odvoďte vztah pro výstupní proud zatíženého děliče proudu Zapojení děliče proudu pracujícího do zátěže RZ je na OBR. P 9.1.

OBR. P 9.1 Schéma zatíženého proudového děliče

Pro uzel (1) podle 1. Kirchhoffova zákona platí: I1  I R1  I 2  0  I 2  I1  I R1  I1 

U1 R1

   1 R1  R2  RZ  R2  RZ   I1  1    I 2  I1   R  R2  RZ   R1 R1  R2  RZ R1  R2  RZ  U1  1  I1  R1  R2  RZ  I 2  I1 

U1 R1

 R1   I1   I1 R1  R2  RZ 

Pokud RZ  R1  R2 , pak tento proudový dělič můžeme považovat za dělič nakrátko.

Příklad 10

70

Příklad 10 Určete výstupní napětí pasivního součtového členu Součtový člen je elektrický obvod realizující matematickou operaci U 2  K U11  U12  U13   , kde K je multiplikativní konstanta, která je dána hodnotami prvků součtového členu.

OBR. P 10.1 Pasivní součtový člen

K řešení součtového členu na OBR. P 10.1 použijeme Theveninovu větu, viz OBR. P 10.2. U2 

R2  UV R2  RV

OBR. P 10.2 Náhradní zdroj součtového členu (Theveninova věta)

Příklad 10

71

Výpočet vnitřního odporu náhradního zdroje: RV  R11 || R12 || R13 R11  R12  R13 1  1 1 1 R11  R12  R11  R13  R12  R13   R11 R12 R13

RV 

Výpočet vnitřního napětí náhradního zdroje: Pro stanovení napětí UV využijeme princip superpozice:

UV  UV 1

U 12  0 U 13  0

 UV 2

U 11  0 U 13  0

 UV 3

U 11  0 U 12  0

UV 1 

R12 || R13  U11 R11  R12 || R13 

UV 1 

R12  R13  U11 R11  R12  R11  R13  R12  R13

UV 2 

R11 || R13  U12 R12  R11 || R13 

UV 2 

R11  R13  U12 R11  R12  R11  R13  R12  R13

UV 3 

R11 || R12  U13 R13  R11 || R12 

UV 3 

R11  R12 U 13 R11  R12  R11  R13  R12  R13

Rezistory volíme stejné R11  R12  R13  R1 , pak: RV 

1  R1 3

1 1 1  U11, UV 2   U12 , UV 3   U13 3 3 3 1 UV  UV 1  UV 2  UV 3   U11  U12  U13  3 UV 1 

U2 

R2 R2 1 R2  UV    U11  U12  U13    U11  U12  U13  1 R2  Rv 3 3  R  R 2 1 R2   R1 3

Vztah pro výstupní napětí součtového členu můžeme zobecnit pro n vstupů, pak:

Příklad 10

72

U2 

R2  U11  U12    U1n  n  R2  R1

U2 

n n R2  U1i  K  U1i n  R2  R1 i 1 i 1





R11  R12    R1n  R1

Často volíme R2   , pak K 

1 1 , nebo R2  R1 a K  . n 1 n

Příklad 11

73

Příklad 11 Určete kmitočtovou závislost impedance typických jednobranů Elektrické vlastnosti jednobranů posuzujeme na základě jejich frekvenčních charakteristik. Kmitočtová charakteristika jednobranu je závislost jeho impedance Z na úhlovém kmitočtu ω [rad s-1]. Při měření používáme častěji kmitočet f [Hz], přičemž platí   2    f . Impedance jednobranu v symbolicko-komplexním tvaru je dána

Z  j  

U  j   Z    e j    R   j  X   , kde I  j 

Z    R 2    X 2   je modul impedance (zdánlivý odpor),

    tan

X   je argument impedance (fázový posun mezi napětím a proudem), R 

R  je reálná část Z  j  - odpor, rezistance, X   je imaginární část Z  j  - reaktance (induktivní nebo kapacitní). Frekvenční závislost impedance jednobranu zobrazujeme graficky dvěma způsoby: 1. V komplexní (Gaussově) rovině, kde koncový bod vektoru impedance opisuje trajektorii – hodograf. 2. V Kartézské soustavě souřadnic s vodorovnou frekvenční osou dvěma charakteristikami: a) amplitudovou (modulovou) – kmitočtová závislost modulu impedance, b) fázovou (argumentová) – kmitočtová závislost argumentu impedance. Tyto charakteristiky spolu úzce souvisí. Impedance lineárních pasivních jednobranů (dvojpólů) je dána sériově paralelní kombinací prvků R, L, C. Impedance v symbolicko-komplexním tvaru: Z R  j  

U R  j  R, I R  j 

Z L  j  

U L  j   j   L , I L  j 

Z C  j  

U C  j  1 .  I C  j  j    C

Příklad 11

74

Sériové zapojení rezistoru a kondenzátoru Impedance obvodu dle OBR. P 11.1: Z  j   R 

1 j   C

 R j

1  C

Z  j   Z    e j  

Kmitočet, při kterém je reálná část rovna imaginární, se označuje 0 . Je dán hodnotami součástek a vztahem 0 

1



, kde  je časová

konstanta   R  C .

Frekvenční

OBR. P 11.1 Schéma zapojení R-C

Amplitudová

Fázová

charakteristiky:

1



 1  Z    R 2      C 

Obecně:

    arctan   C 

2

R

  arctan

2

1 Z 0  R 2     R 2   0 Z 0  

Pro  0 :

2

1 Z    R     R 2  Z    R 2

Pro   :

2

Pro  0 

1 : R C

    1 2   Z 0   R    1 C     R C   R2  R2 Z 0   R  2

1   R C

 0   arctan   arctan  0  

1 0

 2

rad,  0  90

     arctan     0

1   arctan0 

 0    arctan

1  1  R C R C   arctan1

 0   

 4

rad,  0   45

Příklad 11

75

Frekvenční

Amplitudová

Fázová

OBR. P 11.2

OBR. P 11.3

charakteristiky: Graf:

16k 15k

10k

5k

0 1k magnitude

5k

10k

50k

100k

500k

frequency OBR. P 11.2 Amplitudová charakteristika zapojení R-C

0

-20

-40

-60

-80 -90 1k phase

5k

10k

50k

100k

frequency OBR. P 11.3 Fázová charakteristika zapojení R-C

500k

Příklad 11

76

Sériové zapojení rezistoru a cívky Impedance obvodu dle OBR. P 11.4:

Z  j   R  j    L Z  j   Z    e j   Časová konstanta:



L R

OBR. P 11.4 Schéma zapojení R-L

Frekvenční

Amplitudová

Fázová

charakteristiky:

Z    R 2    L

    arctan

Z 0  R 2  0  L   R 2

 0  arctan

2

Obecně:

2

Pro  0 :

Z 0  R

 0  0

2

Z    

Graf:

R : L

0 L  arctan0 R

2

R  Z 0   R 2    L   R 2  R 2 L 

R L  0   arctan L  arctan1 R

Z 0   R  2

 0  

OBR. P 11.5

OBR. P 11.6

2

Pro  0 

R

    arctan      rad,     90

Z    R 2    L 

Pro   :

L



4

rad,  0   45

Příklad 11

77

190k

150k

100k

50k

0 1k magnitude

5k

10k frequency

50k

100k

300k

OBR. P 11.5 Amplitudová charakteristika zapojení R-L

90 80

60

40

20

0 1k phase

5k

10k frequency

50k

100k

OBR. P 11.6 Fázová charakteristika zapojení R-L

300k

Příklad 11

78

Paralelní zapojení rezistoru a kondezátoru Impedance obvodu dle OBR. P 11.7: 1

R

R

j   C j   C   1 j   R  C  1 R j   C j   C R  j   R  C  1

Z  j  

Z  j   Z    e j  

Časová konstanta:

  R C

OBR. P 11.7 Schéma zapojení R||C

Frekvenční

Amplitudová

Fázová

charakteristiky:

Z   

Obecně: 

Z 0 

Pro  0 :

Z 0  R

R 2  02

  R  C 2  1   R  C 2  1 R

Pro  0 

1 : R C

 0   arctan0  R  C   arctan0  0  0

0  R  C 2  1

Z    0

Z 0  

 arctan0  arctan  R  C       arctan  R  C 

R

Z   

Pro   :

     čit     jme   



R

  R  C 

2

1



     arctan       rad,     90

R 

2

R 2

 1   R C  1   R C  Z 0   0,707 R



R 2

 1   R C   R C   arctan1

 0   arctan

 0   

 4

rad,  0   45

Příklad 11

79

Frekvenční

Amplitudová

Fázová

OBR. P 11.8

OBR. P 11.9

charakteristiky: Graf:

1.1k 1k 800 600 400 200 0 500 1k magnitude 1

5k

10k frequency

50k 100k

500k

OBR. P 11.8 Amplitudová charakteristika zapojení R||C

0

-20

-40

-60

-80 -90 500 phase

1k

5k

10k frequency

50k 100k

OBR. P 11.9 Fázová charakteristika zapojení R||C

500k

Příklad 11

80

Paralelní zapojení rezistoru a cívky Impedance obvodu dle OBR. P 11.10: Z  j  

j   L  R R  j   L

Z  j   Z    e j  

Časová konstanta:



L R OBR. P 11.10 Schéma zapojení R||L

Frekvenční

Amplitudová

Fázová

charakteristiky: 0    L  R 

2

Z   

2

Z   

 L R  1      R L

Z 0 

Pro  0 : Z 0  0

Platí  

Pro   :

Z   

     čit     jme   

LR



Obecně:



R 2    L 

 arctan

2

   



 0 



 0 



2

LR 0

 arctan

 arctan

L

L R

R

2

 L     1  R 0 L



2

 L 0  1  R

L  1 R L

Z    R

 L     R

2

0 1

 R

L L

 L   arctan 0     0 2  R 2 2



rad,  0  90

 L    arctan      2  R 2 2     0

   

Příklad 11

81

Frekvenční

Amplitudová

Fázová

charakteristiky:

Pro  0 

R : L

Graf:

Z 0  

R L L 2



R L    1  L R R  0,707 R

R 2

OBR. P 11.11

 0  



 0  



R L    arctan     2  L R 2 4 4

rad,  0   45

OBR. P 11.12

11k 10k 8k 6k 4k 2k 0 500 1k magnitude

5k

10k frequency

50k 100k

OBR. P 11.11 Amplitudová charakteristika zapojení R||L

500k

Příklad 11

82

90 80

60

40

20

0 500 phase

1k

5k

10k frequency

50k 100k

500k

OBR. P 11.12 Fázová charakteristika zapojení R||L

Seriově paralelní zapojení rezistoru a kondenzátoru R-(R||C) Impedance obvodu dle OBR. P 11.13: R2 j   C j   C Z  j   R1   R1   1 j    C  R2  1 R2  j   C j   C R2 j    C  R2  R1  R1  R2  R1    j    C  R2  1 j    C  R2  1 R2 

1

j    R1  R2 C 1 R1  R2  R1  R2   j    R2  C  1 Z  j   Z    e j   OBR. P 11.13 Schéma zapojení R-(R||C)

Časové konstanty:

1 

R1  R2 C R1  R2

 2  R2  C   2   1 , 1  2

Příklad 11

Frekvenční

83

Amplitudová

Fázová

charakteristiky:

Z  j  

     čit     jme    2

Obecně:

   R1  R2    C   1  R1  R2 

 R1  R2  

Pro  0 :

  R R  arctan   1 2  C    R1  R2   arctan  R2  C 

  R2  C 2  1 0 1

Z 0  R1  R2  

 0  arctan0  arctan0  0  0

0 1

Z 0  R1  R2

Z       R1  R2    C   R1  R2 

 R1  R2  

Pro   :

2



  R2  C 2

    arctan  arctan   

  R1  R2



C R1  R2  R1  R2      R2  C 

2     0



2

  R1  R2  C   R2  C

Z    R1

Z 1  

 Pro   1 :

1 

R1  R2 R1  R2  C

R1  R2  

11 2

 R1  R2    R2  C   1  R1  R2  C 

R1  R2  

2 2

 R1  R2     1  R1  2

 R  R2    1 Platí  1  R1  R1  R2 Z 1    2 2  R1  R2     R1  Z 1   R1  2



 1    R  R2 R1  R2   arctan 1   C    R1  R2  C R1  R2   R  R2   arctan 1  R2  C   R1  R2  C  R  R2  1   arctan1  arctan 1 R1

 1  



 R   arctan1  2  4 R1  

Příklad 11

84

Frekvenční

Amplitudová

Fázová

charakteristiky: Z  j2   R1  R2   2



 1   R1  R2    R2  C C  1   R1  R2     2

 1    R2  C   1  R2  C 

Pro   2 :

2 



1 R2  C

2

 R1     1  R1  R2   R1  R2   11 2

 R1   << 1 Platí   R1  R2  Z  j2   R1  R2  

 1 R1  R2    C    R2C R1  R2 

 2   arctan

 1   arctan  R2  C   R2C  R1  arctan  arctan1 R1  R2

 2   arctan

R1   R1  R2 4

1

2 Z  j2   0,707 R1  R2 

Graf:

OBR. P 11.14

OBR. P 11.15

4.4k 4k

3k

2k

1k

0 500 1k magnitude

5k

10k frequency

50k 100k

OBR. P 11.14 Amplitudová charakteristika zapojení R-(R||C)

500k

Příklad 11

85

0

-10

-20

-30

-40 100 phase

500 1k

5k 10k frequency

50k 100k

500k 1M

OBR. P 11.15 Fázová charakteristika zapojení R-(R||C)

Seriově paralelní zapojení rezistoru a kondenzátoru R||(R-C) Impedance obvodu dle OBR. P 11.16:  1  j    R2  C  1 R1   R2   R1  j    C j   C   Z  j    1 j    C  R1  R2   1 R1  R2  j   C j   C j    R2  C  1  R1  j    R1  R2   C  1 Z  j   Z    e j  

Časové konstanty:

 1  R2  C  2  R1  R2   C   2   1 , 1  2

OBR. P 11.16 Schéma zapojení R||(R-C)

Příklad 11

Frekvenční

86

Amplitudová

Fázová

charakteristiky:

Z  j  

     čit     jme   

  R2  C   1   R1  R2   C 2  1

 arctan  R2  C  

2

Obecně:

 R1 

Pro  0 :

 arctan  R1  R2   C 

0 1

Z 0  R1 

 0  arctan0  arctan0  0  0

0 1

Z 0  R1

  R2  C 2  1   R1  R2   C 2  1 2 Platí   R2  C   1

Z    R1 

Pro   :

Z    R1 

    arctan  arctan    

  R2  C

2     0

  R1  R2   C



2

R1  R2 R1  R2

Z   

Z 1   2

 R1 

 R1  Pro   1 :

1 

1 R2  C

 1    R2  C   1  R2  C  2



 1   R  C  R1  R2   C   1  2  11



 1  R2  C    R2  C 

 1   arctan

2

 R1  R2     1  R2 

 1   arctan  R1  R2   C    R2  C  R  R2  arctan1  arctan 1 R2

2

 R  R2    1 Platí  1  R2  Z 1   R1 

 1  

2

 R1  R2     R2  R R Z 1   1 2  2 R1  R2

2

 4

 arctan

R1  R2 R2

Příklad 11

87

Frekvenční

Amplitudová

Fázová

charakteristiky:

2

 R2     1  R1  R2  Z  j2   R1   2

Pro   2 :

2 

2

1 R1  R2   C

 R2   << 1 Platí R  R 1 2   Z  j2   R1 

 2   arctan

R2  arctan1 R1  R2

 2   arctan

R2   R1  R2 4

1

2 Z  j2   0,707 R1

Graf:

OBR. P 11.17

OBR. P 11.18

3k

2k

1k

0 100 magnitude

500 1k

5k 10k frequency

50k 100k

OBR. P 11.17 Amplitudová charakteristika zapojení R||(R-C)

500k

Příklad 11

88

0

-10

-20

-30

-40 100 phase

500 1k

5k 10k frequency

50k 100k

OBR. P 11.18 Fázová charakteristika zapojení R||(R-C)

500k

Příklad 12

89

Příklad 12 Určete parametry a obvodové veličiny sériového rezonančního obvodu

Impedance obvodu na obr. OBR. P 12.1 je Z  j   R  j    L 

1 , j   C

po

úpravě

1   Z  j   R  j     L  .  C  

Rezonance nastane, když fázový posun  mezi proudem i1 a napětím u1 je nula, tzn.

L

OBR. P 12.1 Sériový rezonanční obvod

Rezonanční frekvence rez  Z rez  R .

Činitel

jakosti

1 , LC

f rez 

1 0.  C

1

. Pro impedanci při rezonanci platí

2   L  C

rezonančního

Q

obvodu

Pj Pč



  L  i12 R  i12



L R

nebo

1  i12 1   C . Napětí na kondenzátoru uC  Q  u1 , napětí na cívce uL  Q  u1 . Q   2 Pč  C  R R  i1 Pj

Pro

sériový

rezonanční



C  1 nF tan C  103



obvod,

který

je

realizovaný

kondenzátorem

s kapacitou

a cívkou s indukčností L  22 μH QL  30 / 1MHz , určíme rezonanční

frekvenci f rez , činitel jakosti rezonančního obvodu Q , impedanci při rezonanci Z rez , proud i1 , napětí u L a uC pro u1  1 V .

Ztrátové sériové odpory: tan L  tan C    RCS  CS RCS

tan C tan C     CS 2    f rez  CS

RLS   LS

QL 

1   LS  tan L RLS

RLS 

2    f rez  LS QL

Příklad 12

90

Realizovaný sériový rezonanční obvod: f rez 

1 2   L  C



1 2    22  10 6  1  10 9

 1,074 MHz

RCS 

tan C 103   0,148   0,15  2    f rez  CS 2    1,074 106  10 9

RLS 

2    f rez  LS 2    1,074 106  22  106   4,946   5  QL 30

Celkový ztrátový sériový odpor R  RCS  RLS  0,15  5  5,15  . Činitel Q

jakosti

rezonančního

obvodu

Q

2    f rez  LS RLS

nebo Q 

2    f rez  LS 2    1,074 106  22  106   28,8 . RLS 5,15

Pokud platí tan C 

1 1 , pak Q  QL ( je 33x větší než tan C ). QL QL

Napětí U Cm a U Lm při rezonanci a napětí U1m  1 V : U Cm  Q  U1m  28,8  1  28,8 V U Lm  Q  U1m  28,8 V

Impedance Z rez  RCS  RLS  0,15  5  5,15  Proud obvodem při rezonanci a napětí U1m  1 V : I1m 

U1m 1   0,194  0,2 A RCS  RLS 5,15

1 2    f rez  CS  RLS

.

Laboratorní úloha 1

91

ODDÍL III - LABORATORNÍ ÚLOHY Laboratorní úloha 1 Odporový dělič napětí a proudu, princip superpozice I. Odporový dělič napětí 1. Pro nezatížený odporový dělič napětí na OBR. LÚ 1.1 odvoďte vztahy pro výpočet napětí UR1 a UR2. 2. Změřte napětí UR1, UR2 pro napětí U3 = 12 V (nastavíme na ZDR) a hodnoty R1 = 1 k, R2 = 2 k a porovnejte naměřené hodnoty s odvozenými vztahy U R1  U 3

R2 R1 , U R2  U 3 . R1  R2 R1  R2

3. Totéž proveďte pro U3 = 12 V, R1 = 10 k, R2 = 2 k. 4. Měřením napětí U3, UR1, UR2 ověřte platnost 2. Kirchhoffova zákona.

R1 V1

V

UR1

R2 V2

V

UR2

+ =

ZDR

V3

U3

V

-

OBR. LÚ 1.1 LEGENDA K OBR. LÚ 1.1: ZDR - regulovatelný zdroj ss napětí V1, V2, V3 - multimetr M3900 R1, R2 - dvoukolíkový rezistor (hodnoty viz text)

II. Odporový dělič proudu 1. Pro odporový dělič proudu na OBR. LÚ 1.2 odvoďte vztahy pro výpočet proudů I1 a I2. 2. Změřte proudy I1, I2 pro napětí UCC = 10 V (nastavíme na ZDR) a hodnoty R1 = 1 k, R2 = 2 k a porovnejte naměřené hodnoty s odvozenými vztahy I 1  I 3 3. Totéž proveďte pro U3 = 10 V, R1 = 10 k, R2 = 2 k.

R2 R1 , I2  I3 . R1  R2 R1  R2


92

4. Měřením proudů I3, I1, I2 ověřte platnost 1. Kirchhoffova zákona. I3 (1)

mA A3

+ ZDR

A1

=

mA

I1

A2

mA

I2

Ucc

-

R1

R2

(2)

OBR. LÚ 1.2 LEGENDA K OBR. LÚ 1.2: ZDR - regulovatelný zdroj ss napětí A1, A2, A3 - multimetr M3900 R1, R2 - dvoukolíkový rezistor (hodnoty viz text)

III. Princip superpozice: 1. Pro elektrický obvod uvedený na OBR. LÚ 1.3 s využitím principu superpozice odvoďte vztah pro výpočet napětí UR3. 2. Pro hodnoty U1 = 10 V, U2 = 5 V, R1 = 10 k, R2 = 1 k a R3 = 2 k zapojení na OBR. LÚ 1.3 změřte napětí UR1, UR2, UR3, U1, U2 a ověřte platnost 2. Kirchhoffova zákona. 3. Zdroj napětí U2 = 5 V (ZDR2) odpojte a uzly 2 - 4 propojte, viz OBR. LÚ 1.4 a změřte napětí 1UR3, pak odpojte zdroj napětí U1 = 10 V, uzly 1 - 4 propojte a změřte napětí 2UR3, viz OBR. LÚ 1.5. Princip superpozice ověříme platností vztahu U R 3 1 U R 3  2U R 3 a porovnáním zjištěné hodnoty s naměřenou hodnotou UR3 v předcházejícím měřením.


93 V2

V

V (3)

R1

(1)

+ ZDR1

V1

R2

+

UR2

UR1

=

(2)

U1

UR3

R3

V

V3

=

ZDR2

-

U2

(4)

OBR. LÚ 1.3 LEGENDA K OBR. LÚ 1.3, OBR. LÚ 1.4 a OBR. LÚ 1.5: ZDR1, ZDR2 - regulovatelný zdroj ss napětí V1, V2, V3 - multimetr M3900 R1, R2, R3 - dvoukolíkový rezistor (hodnoty viz text)

(3)

R1

(1)

(2)

R2

+ ZDR1

=

U1

1UR3

V

R3

V3

(4) OBR. LÚ 1.4

(1)

(3)

R1

R2

(2)

+ 2UR3

R3

V

V3

=

ZDR2

U2

(4) OBR. LÚ 1.5

IV. Theveninova věta o náhradním zdroji 1. Pro útlumový T-článek na OBR. LÚ 1.6 odvoďte pomocí Theveninovy věty vztah pro výpočet

výstupního napětí U2 (stanovte parametry UV a RV náhradního zdroje). 2. Pro zapojení T-článku a hodnoty U1 = 12 V, R1 = 1 k, R2 = 1 k, R3 = 2 k změřte:


94

a) napětí naprázdno U20, OBR. LÚ 1.6 a), b) výstupní proud nakrátko I2K, OBR. LÚ 1.6 b), c) výstupní napětí U2 pro tyto hodnoty zatěžovacího odporu RZ = 1 k, 5 k a 10 k, OBR. LÚ 1.6 c). 3. T-článek nahraďte náhradním napěťovým zdrojem s parametry UV = U20 a RV 

U 20 . Změřte I2K

výstupní napětí naprázdno OBR. LÚ 1.7 a), výstupní proud nakrátko OBR. LÚ 1.7 b) a napětí U2 pro stejné hodnoty RZ jako v předchozím bodě. 4. Porovnáním naměřených hodnot výstupního napětí U2 v bodě 2 a 3 a vypočtených hodnot v bodě 1 ověřte platnost Theveninovy věty.

OBR. LÚ 1.6 LEGENDA K OBR. LÚ 1.6: ZDR - regulovatelný zdroj ss napětí V - multimetr M3900 mA - multimetr M3900 R1 = 1k, dvoukolíkový rezistor R2 = 1 k, dvoukolíkový rezistor R3 = 2 k, dvoukolíkový rezistor RZ - odporová dekáda R DECADE 2


95

OBR. LÚ 1.7 LEGENDA K OBR. LÚ 1.7: ZDR - regulovatelný zdroj ss napětí V - multimetr M3900 mA - multimetr M3900 Rv1 - dvoukolíkový rezistor Rv2 - odporová dekáda R DECADE 1 RZ - odporová dekáda R DECADE 2

Další doporučená literatura k laboratorním úlohám [11], [12].


96

Laboratorní úloha 2 RLC obvody, sériový a paralelní rezonanční obvod I. Sériový rezonanční obvod Pro sériový rezonanční obvod na OBR. LÚ 2.1 odvoďte vztahy pro rezonanční frekvenci fREZ a velikost impedance ZREZ při fREZ. Změřte napětí uL na cívce L a napětí uC na kondenzátoru C při rezonanci a určete činitel jakosti Q seriového rezonančního kmitočtu. Odvozené vztahy pro f REZ , ZREZ a Q ověřte měřením na sestaveném sériovém rezonančním obvodu. i(t)

u1(t)

C

uC(t)

RS

uRS(t)

L

uL(t)

OBR. LÚ 2.1

1. Schéma zapojení pro měření parametrů sériového rezonančního obvodu je na OBR. LÚ 2.2 a). 2. Na funkčním generátoru FG nastavte výstupní sinusové napětí U1PP = 10 V o frekvenci f = 100 Hz. Postupným zvyšováním frekvence zjistěte při jaké frekvenci f bude napětí U2PP na sériovém rezonančním obvodu minimální, pak f = fREZ a U2PP = U2PPMIN. Dosazením do vztahu

Z REZ  RREZ  RG

U 2 PPMIN určíme impedanci obvodu při fREZ. Zdůvodněte postup. U 1PP  U 2 PPMIN

3. Schéma zapojení pro měření napětí uL na cívce L je na OBR. LÚ 2.2 b) a schéma zapojení pro měření napětí uC na kondenzátoru C je na OBR. LÚ 2.2 c): Q

uL U LPP u U  Q  C  CPP u1 U1PP , u1 U1PP

4. Naměřené hodnoty f REZ , ZREZ a Q porovnejte s vypočtenými hodnotami f REZ 

Z REZ

L C .  RS a Q  RG  RS

1 2   L  C

,


97

OBR. LÚ 2.2 LEGENDA K OBR. LÚ 2.2: FG - funkční generátor (výstup sin) OSC CH1 - osciloskop kanál č. 1 OSC CH2 - osciloskop kanál č. 2 RG - odporová dekáda R DECADE 2 RS - odporová dekáda R DECADE 1 C - kapacitní dekáda C DECADE L - modul indukčnosti L SET


98

II. Paralelní rezonanční obvod Pro paralelní rezonanční obvod na OBR. LÚ 2.3 odvoďte vztahy pro rezonanční frekvenci fREZ, velikost impedance ZREZ při fREZ a činitel jakosti Q. Odvozené vztahy pro f REZ , ZREZ a Q ověřte měřením na sestaveném paralelním rezonančním obvodu. i(t)

iC(t) PZ

C

iRP(t)

RP

iL(t)

L

u(t)

OBR. LÚ 2.3

1. Schéma zapojení pro měření parametrů sériového rezonančního obvodu je na OBR. LÚ 2.4. 2. Na funkčním generátoru FG nastavte výstupní sinusové napětí U1PP = 10V o frekvenci f = 100Hz . Postupným zvyšováním frekvence zjistěte při jaké frekvenci f bude napětí U2PP na paralelním rezonančním obvodu maximální pak f = fREZ a U2PP = U2PPMAX , ekvivalentní je zjišťovat při jaké frekvenci

f

je

fázový

Z REZ  RREZ  RG

posun

U 2 PPMAX U 1PP  U 2 PPMAX

napětí

u1(t)

a

u2(t)

nulový.

Dosazením do

vztahu

určíme impedanci obvodu při fREZ. Zdůvodněte uvedený

postup.

3. Činitel jakosti určíme ze vztahu Q 

f REZ , kde B je šířka pásma. B

Frekvence f h , f d jsou frekvence, při kterých klesne U2PP na hodnotu Šířka pásma B  f h  f d .

U 2 PPMAX 2

 0,707  U 2 PPMAX .


99

OBR. LÚ 2.4 LEGENDA K OBR. LÚ 2.4: FG – funkční generátor (výstup sin) OSC CH1 – osciloskop kanál č. 1 OSC CH2 – osciloskop kanál č. 2 RG – odporová dekáda R DECADE 2 RP – odporová dekáda R DECADE 2 C – kapacitní dekáda C DECADE L – modul indukčnosti L SET


100

Laboratorní úloha 3 Elementární RC dvojbrany - integrační a derivační článek I. Integrační článek (elementární dolní propust 1. řádu): 1. Integrační článek zapojte podle schématu na OBR. LÚ 3.1.

R

CH1 FG

OSC

CH2 u1(t)

C

GND

u2(t)

OSC GND

OBR. LÚ 3.1 LEGENDA K OBR. LÚ 3.1 a OBR. LÚ 3.2: FG - funkční generátor OSC CH1 - osciloskop kanál č. 1 OSC CH2 - osciloskop kanál č. 2 R - odporová dekáda R DECADE 2 C - kapacitní dekáda C DECADE

2. Změřte amplitudovou frekvenční charakteristiku FdB  20  log

kde f1 

1 2   

u2 U 1  20  log 2 PP  20  log , 2 u1 U1PP f    1  f1 

je frekvence zlomu amplitudové frekvenční charakteristiky (pokles o -3 dB) a

  R  C je časová konstanta integračního článku. Při měření volte na FG sinusový průběh U1PP = 4 V, frekvenční rozsah f  100 Hz  100 kHz (100 Hz; 200 Hz; 500 Hz; 1 kHz; 2 kHz; 5 kHz;10 kHz; 20 kHz; 50 kHz;100 kHz) , R = 6,36 k a

C = 5 nF. 3. Určete frekvenci zlomu frekvenční amplitudové charakteristiky f1. Porovnejte naměřenou a vypočtenou hodnotu.


101

4. Zobrazte časový průběh výstupního napětí u2(t) integračního článku pro vstupní napětí u1(t) obdélníkového průběhu U1m = 4 V a f = 2,5 kHz (přechodová charakteristika). Ověřte vliv změny časové konstanty   R  C na průběh výstupního napětí. Časovou konstantu volte

1  ,  , 2 . 2

II. Derivační článek (elementární horní propust 1. řádu): 1. Derivační článek zapojte podle schématu na OBR. LÚ 3.2.

C

CH1 FG

OSC

CH2 u1(t)

GND

R

u2(t)

OSC GND

OBR. LÚ 3.2

2. Změřte amplitudovou frekvenční charakteristiku

FdB  20  log

kde f1 

f f1

u2 U  20  log 2 PP  20  log , 2 u1 U1PP f     1  f1 

1 2   

je frekvence zlomu amplitudové frekvenční charakteristiky (pokles o -3 dB) a

  R  C je časová konstanta derivačního článku. Při měření volte na FG sinusový průběh U1PP = 4 V, frekvenční rozsah f  100 Hz  100 kHz (100 Hz; 200 Hz; 500 Hz; 1 kHz; 2 kHz; 5 kHz;10 kHz; 20 kHz; 50 kHz;100 kHz) , R = 6,36 k a

C = 5 nF. 3. Určete frekvenci zlomu frekvenční amplitudové charakteristiky f1. Porovnejte naměřenou a vypočtenou hodnotu. 4. Zobrazte časový průběh výstupního napětí u2(t) derivačního článku pro vstupní napětí u1(t)

obdélníkového průběhu U1m = 4 V a f = 2,5 kHz (přechodová charakteristika). Ověřte vliv změny časové konstanty   R  C na průběh výstupního napětí. Časovou konstantu volte

1  ,  , 2 . 2


102

Laboratorní úloha 4 Měření VA charakteristik polovodičových diod I. Změřte VA charakteristiku křemíkové usměrňovací diody KY 130/150 v propustném směru IF = f(UF) a závěrném směru IR = f(UR). 1. Schéma zapojení pro měření VA charakteristiky diody v propustném směru je na OBR. LÚ 4.1. 1

A1 mA

Roch 2k

+ IF

= ZDR

Uss

D

V1

V

UF

2 OBR. LÚ 4.1 LEGENDA K OBR. LÚ 4.1 a OBR. LÚ 4.2: ZDR – regulovatelný zdroj ss napětí A1 – multimetr M3900 V1 – multimetr M3900 Roch – omezovací rezistor (odporová dekáda R DECADE 2) D – dioda KY 130/150

Nastavováním velikosti výstupního napětí Uss regulovatelného zdroje ZDR nastavujeme proud diodou D v propustném směru I F = 0; 0,2;0,4;0,6;0,8;1; 2; 4; 6; 8;10 mA (údaj mA-metru A1) a odečítáme hodnotu napětí na diodě v propustném směru UF (údaj V-metru V1). 2. Schéma zapojení pro měření VA charakteristiky diody v závěrném směru je na OBR. LÚ 4.2. 1

IR

+ Uss

Roch 2k

A

A1

= ZDR

V1

-

UR

V

UR

D

2 OBR. LÚ 4.2

Na regulovatelném zdroji ZDR nastavujeme velikost napětí na diodě D v závěrném směru

U R = 0; 2; 4; 6; 8;10,12;14;16;18; 20 V (údaj V-metru V1) a odečítáme proud diodou v závěrném směru IR (údaj A-metru A1).


103

II. Změřte VA charakteristiku světelné diody LQ - červená v propustném směru IF = f(UF) a závěrném směru IR = f(UR). 1. Schéma zapojení pro měření VA charakteristiky světelné diody v propustném směru je na OBR. LÚ 4.3. 1

A1 mA

Roch 2k

+ IF

= ZDR

Uss

V1

V

UF

LED

2 OBR. LÚ 4.3 LEGENDA K OBR. LÚ 4.3 a OBR. LÚ 4.4: ZDR – regulovatelný zdroj ss napětí A1 – multimetr M3900 V1 – multimetr M3900 Roch – omezovací rezistor (odporová dekáda R DECADE 2) LED – světelná dioda LQ

Nastavováním velikosti výstupního napětí Uss regulovatelného zdroje ZDR nastavujeme proud diodou LED v propustném směru I F = 0; 0,2;0,4;0,6;0,8;1; 2; 4; 6; 8;10 mA (údaj mA-metru A1) a odečítáme hodnotu napětí na diodě v propustném směru UF (údaj V-metru V1). 2. Schéma zapojení pro měření VA charakteristiky světelné diody v závěrném směru je na OBR. LÚ 4.4. Roch 2k

1

IR

+ Uss

= ZDR

A

A1 V1

-

UR

V

UR

LED

2 OBR. LÚ 4.4

Na regulovatelném zdroji ZDR nastavujeme velikost napětí na diodě LED v závěrném směru

U R = 0; 2; 4; 6; 8;10;12;14;16;18; 20 V v závěrném směru IR (údaj A-metru A1).

(údaj V-metru V1) a odečítáme proud diodou


104

III. Změřte VA charakteristiku Zenerovy diody BZX838V2 (BZX836V8) v propustném a závěrném směru IZD = f(UZD). 1. Schéma zapojení pro měření VA charakteristiky Zenerovy diody je na OBR. LÚ 4.5. 1

1'

A1

Roch 2k

mA + Izd

= ZDR

Uss

ZD V1

V

Uzd

2

2' OBR. LÚ 4.5

LEGENDA K OBR. LÚ 4.5: ZDR – regulovatelný zdroj ss napětí A1 – multimetr M3900 V1 – multimetr M3900 Roch – omezovací rezistor (odporová dekáda R DECADE 2) ZD – Zenerova dioda BZX838V2

Pomocí regulovatelného zdroje napětí ZDR nastavujeme proud Zenerovou diodou v propustném i závěrném směru I ZD = 0; 0,2;0,4;0,6;0,8;1; 2; 4; 6; 8;10 mA (údaj mA-metru A1) a odečítáme napětí UZD na diodě ZD (údaj V-metru V1). Závěrný nebo propustný proud volíme polaritou napětí Uss zdroje ZDR (1 – 1´, 2 – 2´ závěrný směr; 1 – 2´, 2 – 1´ propustný směr). Změřené závislosti vyneste do grafů a vzájemně porovnejte změřené VA charakteristiky. POZOR ! Nezapomenout zapojit omezovací rezistor Roch = 2 k (nastavíme na odporové dekádě R DECADE 2).


105

Laboratorní úloha 5 Měření VA charakteristik bipolárního tranzistoru I. Změřte výstupní charakteristiky IC = f(UCE) pro IB = konst. bipolárního tranzistoru BC 546B. 1. Schéma zapojení pro měření výstupních charakteristik je na OBR. LÚ 5.1.

mA C

IB

RB 250k

A

T1 E

ZDR1 = -

+ UCC

B

A1

+

IC

= ZDR2 -

V1

V

UCE

UB

OBR. LÚ 5.1 LEGENDA K OBR. LÚ 5.1, OBR. LÚ 5.3 a OBR. LÚ 5.5: ZDR1 – regulovatelný zdroj ss napětí UB ZDR2 – regulovatelný zdroj ss napětí UCE T1 - modul TRANZISTOR BIPOLAR s tranzistorem BC 546B RB – odporová dekáda R DECADE 2 A1 – multimetr M3900 A2 – multimetr M3900 V1 – multimetr M3900

2. Na modulu TRANZISTOR BIPOLAR zasuneme do zdířek C – B – E patici s bipolárním tranzistorem BC 546B, na odporové dekádě RB nastavíme hodnotu RB = 250 k. Velikostí výstupního napětí UB regulovatelného zdroje ZDR 1 postupně nastavíme proud báze tranzistoru

I B = 20; 40; 60;80 μA

(údaj A-metru A1). Pro každou nastavenou hodnotu IB změříme

výstupní charakteristiku IC = f(UCE) - na regulovatelném zdroji ZDR 2 postupně nastavujeme napětí UCE = 0,3;0,5;1; 2; 4; 6; 8;10 V

(údaj V-metru V1) a odečítáme proud kolektoru IC (údaj

mA-metru A2). Během měření charakteristiky udržujeme konstantní proud báze IB. Z naměřených hodnot

sestrojíme

vizOBR. LÚ 5.2.

graf

soustavy

výstupních

charakteristik

IC = f(UCE),

IB = konst.,


106

IB4

IC

IB3

IB2 P'

P

ICP

IBP IC

UCE

IB1

UCE

UCEP

OBR. LÚ 5.2

II. Změřte vstupní charakteristiky IB = f(UBE) pro UCE = konst. bipolárního tranzistoru BC 546B. 1. Schéma zapojení pro měření vstupních charakteristik je na OBR. LÚ 5.3.

IB

C RB 250k

B

A

T1

= ZDR2 -

A1

+ ZDR1 = -

+ UCC

E V1

UB

V

UBE

OBR. LÚ 5.3

2. Na odporové dekádě RB nastavíme hodnotu RB = 250 k, na regulovatelném zdroji ZDR2 nastavíme napětí UCE = 5 V (údaj V-metru na zdroji ZDR2). Velikostí výstupního napětí UB regulovatelného

zdroje

ZDR1

postupně

I B = 10; 20; 30; 40; 60; 70;80; 90;100 μA

nastavujeme

proud

báze

tranzistoru

(údaj A-metru A1) a odečítáme velikost napětí UBE

(údaj V-metru V1). Z naměřených hodnot sestrojíme graf vstupní charakteristiky IB = f(UBE), UCE = 5 V, viz OBR. LÚ 5.4.


107

UCE

IB

P' IB

P

IBP

UBE

UBEP

UBE OBR. LÚ 5.4

III. Změřte převodní charakteristiky IC = f(IB) pro UCE = konst. a IC = f(UBE) pro UCE = konst. bipolárního tranzistoru BC 546B. 1. Schéma zapojení pro měření převodních charakteristik je na OBR. LÚ 5.5.

mA IC C

IB RB 500k A

UCC

B

T1

=

ZDR2

-

A1

+ ZDR1 = -

+

E UB

V1

V

UBE

OBR. LÚ 5.5

2. Na odporové dekádě RB nastavíme hodnotu RB = 500 k, na regulovatelném zdroji ZDR2 nastavíme napětí UCE = 5 V (údaj V-metru na zdroji ZDR2). Velikostí výstupního napětí UB regulovatelného

zdroje

ZDR1

postupně

nastavujeme

proud

kolektoru

tranzistoru

I C = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9;10 mA (údaj mA-metru A2) a odečítáme velikost proudu báze IB (údaj A-metru A1) a napětí UBE (údaj V-metru V1). Při nastavování proudu IC si můžeme pomáhat změnou nastavení odporové dekády RB. Z naměřených hodnot sestrojíme grafy převodních charakteristik

IC = f(IB) pro UCE = 5 V, viz OBR. LÚ 5.6 a), IC = f(UBE) pro UCE = 5 V, viz OBR. LÚ 5.6 b).


108

UCE

IC

UCE

IC

P'

P'

IC

IC P

ICP

ICP

P UBE

IB

IBP

IB

UBEP

a)

UBE

b) OBR. LÚ 5.6

IV. Určete hodnoty dynamických parametrů h11e, h21e, h22e a y11e, y21e, y22e zjednodušených modelů bipolárního tranzistoru pro pracovní bod P [ICP = 4 mA, UCEP = 5 V]. K určení numerických hodnot dynamických parametrů modelů bipolárního tranzistoru použijeme jejich definici a změřené VA charakteristiky tranzistoru: h21e   

I C , U CE  konst. ( UCE  0 ), postup je znázorněn na OBR. LÚ 5.6 a) I B

y21e  g 

I C , U CE  konst.( UCE  0 ), postup je znázorněn na OBR. LÚ 5.6 b) U BE

h11e  rBE 

U BE , U CE  konst.( UCE  0 ), postup je znázorněn na OBR. LÚ 5.4 I B

h22e 

1 I C  , I B  konst.( I B  0 ), postup je znázorněn na OBR. LÚ 5.2 rCE U CE

y11e 

1 I B , U CE  konst.( U CE  0 ), y11e  U BE h11e

y22e 

I C , U BE  konst. ( U BE  0 ), y 22e  h22e U CE


109

Pozor! Při každém měření příslušné charakteristiky bipolárního tranzistoru je nutno dodržet: 1. Těsně před každým měřením vyřadíme ochranný kolektorový odpor propojením svorek „c“ modulu. 2. Při měření nesmí proud kolektoru IC překročit hodnotu 100 mA (A-metr zdroje ZDR2). 3. Proudové omezení regulovatelných zdrojů ZDR1 a ZDR2 nastavíme na minimální hodnotu (levá

krajní poloha knoflíku pro nastavení výstupního proudu).


110

Laboratorní úloha 6 Měření vlastností stejnosměrných tranzistorových zesilovačů I. Vlastnosti stejnosměrného tranzistorového zesilovače v zapojení SE (invertující zesilovač). Změřte převodní charakteristiky U 2  f (U1 ) stejnosměrného tranzistorového zesilovače v zapojení se společným emitorem (SE) a emitorovým rezistorem RE (záporná sériová proudová zpětná vazba) pro různé hodnoty kolektorového rezistoru RC a výstup naprázdno (zatěžovací rezistor RZ   ). Na převodní charakteristice určete pracovní oblast a stanovte napěťové zesílení

AU  U 2 U1 . 1. Schéma zapojení pro měření převodních charakteristik zesilovače U 2  f (U1 ) je uvedeno na OBR. LÚ 6.1. Ucc RC = 2k, 5k, 10k (2) RB

(1)

2k

+ T1 BC546B

-

+ ZDR1 = -

U2 U1

V

V1

= ZDR2

Ucc V

V2

RE 1k

GND

GND OBR. LÚ 6.1

LEGENDA K OBR. LÚ 6.1: ZDR1 – regulovatelný zdroj vstupního ss napětí U1 ZDR2 – regulovatelný zdroj napájecího napětí UCC T1 – modul TRANZISTOR BIPOLAR s tranzistorem BC546B RC – odporová dekáda R DECADE 2 RB – dvoukolíkový rezistor 2k RE – dvoukolíkový rezistor 1k V1 – multimetr M3900 V2 – multimetr M3900

2. Na zdroji ZDR2 nastavíme velikost napájecího napětí UCC  10 V . Na zdroji ZDR1 postupně nastavujeme vstupní napětí U1 = 0 – 5 V s krokem U1 = 0,2 V (údaj V-metru V1) a odečítáme velikost napětí U2 (údaj V-metru V2) pro hodnoty RC = 2; 5; 10 k. Naměřené hodnoty vyneseme do grafů U 2  f (U1 ) , RC = parametr. Na zobrazených převodních charakteristikách vymezíme


111

pomocí krajních bodů A [U1min; U2max] a B [U1max; U2min] pracovní oblast (přibližně lineární část převodní charakteristiky) a v ní pro pracovní bod P [U1P; U2P] určíme napěťové zesílení

AU  U 2 U1 . Pracovní bod P volíme uprostřed pracovní oblasti A-B. Typický průběh převodní charakteristiky s vyznačenou pracovní oblastí A-B a způsobem určení zesílení AU je uveden na OBR. LÚ 6.2.

U2

Ucc U2max

A U1

U2p P

U2 P' B

U2min U2satmin

U1min

U1p

U1max

U1

OBR. LÚ 6.2

3. Z grafu převodní charakteristiky zesilovače určené hodnoty AU a U2satmin porovnejte se zjednodušenými vztahy pro výpočet AU 

RC RE a U 2sat min  U CC . RE  RC RE

II. Vlastnosti stejnosměrného tranzistorového zesilovače v zapojení SC, emitorový sledovač (neinvertující zesilovač). Změřte převodní charakteristiky U 2  f (U1 ) stejnosměrného tranzistorového zesilovače v zapojení se společným kolektorem (SC) - emitorový sledovač pro různé hodnoty rezistoru RE a pro výstup naprázdno (zatěžovací rezistor RZ   ). Na převodní charakteristice určete pracovní oblast a stanovte napěťové zesílení AU  U 2 U1 . 1. Schéma zapojení pro měření převodních charakteristik emitorového sledovače U 2  f (U1 ) je uvedeno na OBR. LÚ 6.3.


112 Ucc

(1)

RB

T1

2k

BC546B

+

(2)

Ucc

+ ZDR1

=

U1

V1

=

ZDR2

V

RE = 1k, 10k

-

U2

V2

V

GND

GND

OBR. LÚ 6.3 LEGENDA K OBR. LÚ 6.3: ZDR1 – regulovatelný zdroj vstupního ss napětí U1 ZDR2 – regulovatelný zdroj napájecího napětí UCC T1 – modul TRANZISTOR BIPOLAR s tranzistorem BC546B RE – odporová dekáda R DECADE 2 RB – dvoukolíkový rezistor 2k V1 – multimetr M3900 V2 – multimetr M3900

2. Na zdroji ZDR 2 nastavíme velikost napájecího napětí UCC  10 V . Na zdroji ZDR1 postupně nastavujeme vstupní napětí (údaj V-metru V1) U1 = 0 – 2 V s krokem U1 = 0,2 V, U1 = 2 – 10 V s krokem U1 = 1 V, U1 = 10 – 12 V s krokem U1 = 0,2 V a odečítáme velikost napětí U2 (údaj V-metru V2) pro hodnoty RE = 1; 10 k. Naměřené hodnoty vyneseme do grafu U 2  f (U1 ) , RE je parametr. Na zobrazených převodních charakteristikách vymezíme pomocí krajních bodů A [U1min; U2min] a B [U1max; U2max] pracovní oblast (přibližně lineární část převodní charakteristiky) a v ní pro pracovní bod P [U1P; U2P] určíme napěťové zesílení AU  U 2 U1 . Pracovní bod P volíme uprostřed pracovní oblasti A-B. Typický průběh převodní charakteristiky s vyznačenou pracovní oblastí A-B a způsobem určení zesílení AU je uveden na OBR. LÚ 6.4. 3. Z grafu převodní charakteristiky zesilovače určenou hodnotu AU porovnejte se vztahem

pro výpočet napěťového zesílení emitorového sledovače AU  1.


113

U2 U1 Ucc B

U2max P'

U2 P

U2p

U2min

A

U1min

U1p

OBR. LÚ 6.4

U1max U1


114

Laboratorní úloha 7 Měření vlastností střídavého zesilovače I. Měření nastavení klidového pracovního bodu P [UCEP, ICP]. Schéma zapojení měřeného střídavého zesilovače s kapacitní vazbou je uvedeno na OBR. LÚ 7.1. Multimetrem M3900 změříme napětí UCEP mezi kolektorem a emitorem tranzistoru T1. Proud ICP určíme výpočtem ze změřeného napětí URC na rezistoru RC a jeho hodnoty podle vztahu

I CP = U RC / RC . Při tomto měření je zdroj vstupního signálu odpojen.

+Ucc = +12V RB1 82k

RC 3k CV2 10n

(1)

CV1 100n

(2)

T1 BC546B

RZ 100k

(1')

RB2 10K

RE 300R (600R)

(2')

OBR. LÚ 7.1 LEGENDA K OBR. LÚ 7.1: T1 – modul TRANZISTOR BIPOLAR s tranzistorem BC546B +Ucc – stejnosměrné napájecí napětí 12V, nastaveno na regulovatelném zdroji P230R51D CV1 – dvoukolíkový kondenzátor 100n CV2 – dvoukolíkový kondenzátor 10n CZpar – dvoukolíkový kondenzátor 1n (simuluje parazitní kapacitu zátěže) RB1 – odporová dekáda R DECADE 2 RB2 – dvoukolíkový rezistor 10k RC – tvořen sériovým zapojením dvoukolíkových rezistorů 1k a 2k RE – odporová dekáda R DECADE 1 RZ – dvoukolíkový rezistor 100k

CZpar 1n


115

II. Měření amplitudové frekvenční charakteristiky AUdB = 20 log AU (f) a určení šířky pásma B. 1. Schéma zapojení pro měření amplitudové frekvenční charakteristiky je na OBR. LÚ 7.2.

+Ucc = +12V RB1 82k

RC 3k CV2 10n

(1) CV1 100n

CH1 FG

OSC

(2)

T1 BC546B

CH2 RZ 100k

u1(t)

CZpar 1n

OSC

u2(t)

GND

GND (1')

RB2 10K

RE 300R (600R)

(2')

OBR. LÚ 7.2 LEGENDA K OBR. LÚ 6.1: FG – funkční generátor OSC CH1 – osciloskop kanál č. 1 OSC CH2 – osciloskop kanál č. 2

2. Na funkčním generátoru FG nastavíme sinusový průběh, úroveň signálu U1PP = 0,5V udržujeme po celou dobu měření konstantní (odečítáme na kanálu č. 1 osciloskopu), frekvenci postupně nastavujeme f = 50 Hz, 100 Hz, 200 Hz, 500 Hz, 1 kHz, 2 kHz, 5 kHz, 10 kHz, 20 kHz, 50 kHz, 100 kHz, 200 kHz, 500 kHz. Pro každou nastavenou frekvenci vstupního signálu změříme úroveň výstupního signálu U2PP (odečítáme na kanálu č. 2 osciloskopu). Pro každou nastavenou frekvenci vypočteme AUdB = 20 log (U2PP/U1PP). Frekvenční charakteristiku změříme pro dvě hodnoty rezistoru RE = 300  a 600 . Naměřené charakteristiky vyneseme do grafu. Typický průběh amplitudové frekvenční charakteristiky je na OBR. LÚ 7.3. 3. Šířka pásma je dána vztahem B = fh – fd , kde fh je horní mezní kmitočet a fd je dolní mezní kmitočet zesilovače. Mezní kmitočty jsou definovány poklesem zesílení zesilovače o -3 dB vůči zesílení ve středu pásma. Poklesu zesílení o -3 dB je ekvivalentní pokles rozkmitu výstupního napětí U2PP na hodnotu ( 1/

2 ) U2 PP = 0,707 U2 PP . Při praktickém měření fh a fd zjišťujeme

kmitočet vstupního signálu, při kterém klesne rozkmit na osciloskopu zobrazeného výstupního signálu na hodnotu  0,7 U2PP. Šířku pásma B změříme pro hodnoty rezistoru RE = 300  a 600 .


116

AudB B Austr

-3dB

fd

fstr

fh log f

OBR. LÚ 7.3

III. Měření maximálního rozkmitu výstupního signálu U2PPmax. Schéma zapojení je totožné s předcházejícím měřením. Na generátoru FG nastavíme kmitočet vstupního signálu f = 10 kHz, postupně zvyšujeme velikost vstupního napětí, až dojde k omezení výstupního signálu (vzroste zkreslení výstupního signálu), a na osciloskopu odečteme maximální rozkmit ještě nelimitovaného výstupního signálu U2PPmax. Opět změříme pro hodnoty rezistoru RE = 300  a RE = 600 .


117

Laboratorní úloha 8 Měření zesilovačů s OZ I. Měření invertujícího zapojení zesilovače s OZ (OZ - operační zesilovač). Změřte stejnosměrnou převodní charakteristiku U2 = f (U1) invertujícího zesilovače s OZ typu OPA132 (RC modul OPERATIONAL AMPLIFIER) pro obě polarity vstupního ss signálu a dvě hodnoty odporu dekády R2 = 60 k a R2 = 120 k. Ověřte platnost vztahu pro výpočet napěťového zesílení AU  

R2 . Určete hodnoty výstupního saturačního napětí U2SAT+ a U2SAT-. R1

1. Schéma zapojení pro měření převodní charakteristiky U2 = f (U1) invertujícího zesilovače je na OBR. LÚ 8.1. R2

(1)

+15V

R1

(2)

+

OZ

=

ZD

V

V1

U1 -15V

-

U2

V

V2

Napájecí napětí +15V/ -15V OZ je generováno měničem DC/DC uvnitř bloku z +5V

OBR. LÚ 8.1 LEGENDA K OBR. LÚ 8.1: ZD – regulovatelný zdroj ss napětí U1 V1 – multimetr M3900 V2 – multimetr M3900 OZ - modul OPERATIONAL AMPLIFIER s OPA132 R1 – dvoukolíkový rezistor 20k R2 – odporová dekáda R DECADE 2

2. Na odporové dekádě R2 nastavíme postupně hodnotu R2 = 60 k a R2 = 120 k, vstupní napětí U1 nastavujeme na zdroji ZD od –5 V do +5 V s krokem 0,5 V (údaj voltmetru V1) a odečítáme výstupní napětí U2 (údaj voltmetru V2). Na změřených převodních charakteristikách vyznačíme pracovní oblast P1 – P2 (lineární část převodní charakteristiky) a pro ni ověříme platnost vztahu pro napěťové zesílení AU  

R2 U 2 . Určíme velikost výstupních saturačních napětí U2SAT+ a  R1 U1

U2SAT-. Typický průběh převodní charakteristiky U2 = f (U1) je na OBR. LÚ 8.2.


118

U2 P1

U2sat+

U1

U2

U2satP2

U1

OBR. LÚ 8.2

II. Měření neinvertujícího zapojení zesilovače s OZ (OZ - operační zesilovač). Změřte stejnosměrnou převodní charakteristiku U2 = f (U1) neinvertujícího zesilovače s OZ typu OPA132 (RC modul OPERATIONAL AMPLIFIER) pro obě polarity vstupního ss signálu a dvě hodnoty R2 = 60 k a R2 = 120 k, ověřte platnost vztahu pro výpočet napěťového zesílení AU  1 

R2 , určete hodnoty výstupního saturačního napětí U2sat+ a U2sat-. R1

1. Schéma zapojení pro měření převodní charakteristiky U2 = f (U1) neinvertujícího zesilovače je na OBR. LÚ 8.3. 2. Na odporové dekádě R2 nastavíme postupně hodnotu R2 = 60 k a R2 = 120 k, vstupní napětí U1 nastavujeme na zdroji ZD od –5 V do +5 V s krokem 0,5 V (údaj voltmetru V1) a odečítáme výstupní napětí U2 (údaj voltmetru V2). Na změřených převodních charakteristikách vyznačíme pracovní oblast P1 – P2 (lineární část převodní charakteristiky) a pro ni ověříme platnost vztahu pro napěťové zesílení AU  1 

R2 U 2 . Určíme velikost výstupních saturačních napětí U2sat+ a  R1 U1

U2sat-. Typický průběh převodní charakteristiky U2 = f (U1) je na OBR. LÚ 8.4.


119 R2

+15V (2) (1)

OZ

+

U2

-15V

=

ZD

V

V1

U1

Napájecí napětí +15V/ -15V OZ je generováno měničem DC/DC uvnitř bloku z +5V

R1

R3

-

OBR. LÚ 8.3 LEGENDA K OBR. LÚ 8.3: ZD – regulovatelný zdroj ss napětí U1 V1 – multimetr M3900 V2 – multimetr M3900 OZ - modul OPERATIONAL AMPLIFIER s OPA132 R1 – dvoukolíkový rezistor 20k R2 – odporová dekáda R DECADE 2 R3 – dvoukolíkový rezistor 1M

U2 P2

U2sat+

U2

U1

U2satP1

U1

OBR. LÚ 8.4

Doporučená literatura [13], [14].

V

V2


120

Laboratorní úloha 9 Měření charakteristik parametrického stabilizátoru napětí I. Měření

převodní

charakteristiky

napěťového

stabilizátoru

se

Zenerovou

diodou

u2 = f(u1 ), RZ = konst. Změřte převodní charakteristiku napěťového stabilizátoru u2 = f(u1) pro RZ = 800 . Určete činitel napěťové stabilizace SU = U1 /U2 pro jednotlivé body převodní charakteristiky a sestrojte závislost SU = f (u1). Na změřené převodní charakteristice vymezte pracovní oblast stabilizátoru (SU co největší). 1. Schéma zapojení pro měření převodní charakteristiky stabilizátoru u2 = f(u1) je uvedeno na OBR. LÚ 9.1. (1 -1 )

R 1 1

R 1 2

1 0 0 R

1 0 0 R

(2 -1 )

+ =

Z D R 1

V 1

U 1

V

Z D

U 2

R z

V

V 2

8 0 0 o h m

(1 -2 )

(2 -2 )

OBR. LÚ 9.1 LEGENDA K OBR. LÚ 9.1: ZDR1 – regulovatelný zdroj vstupního napětí u1 R11, R12 – dvoukolíkový rezistor 100R Rz – odporová dekáda R DECADE 1 (nastaveno 800) ZD – Zenerova dioda BZX83 8V2 nebo 6V2 V1 – multimetr M3900 V2 – multimetr M3900

2. Vstupní napětí u1 = 0 až 20V (údaj V-metru V1) nastavujeme s krokem 2 V na regulovatelném zdroji ZDR1, na V-metru V2 odečítáme výstupní napětí u2. Vyneseme graf změřené převodní charakteristiky u2 = f(u1) pro nastavené RZ = 800  a sestrojíme graf závislosti SU = f(u1). Postup je patrný z OBR. LÚ 9.2.


121

u 2

u 2 = f(u 1 ) P r a c o v n í o b la s t

R z = k o n s t.

n + 1

n + 2

n + 3

n

Δ U 2 n

n -1

4

Δ U 1 n 3

Δ U 1 n S u n

2

=

Δ U 2 n

Δ U 2 2

1

Δ U 1 2

u 1 1

u 1 2

u 1 4

u 1

u 1 n

S u

S u

= f(u 1 )

n

n -1 1

2 S u n

S u 1

u 1 1

S u 2

u 1 2

S u n -1

u 1 n -1

u 1 n

OBR. LÚ 9.2

u 1


122

II. Měření zatěžovací charakteristiky napěťového stabilizátoru se Zenerovou diodou

u2 = f(i2 ), u1 = konst. Změřte zatěžovací charakteristiku stabilizátoru u2 = f(i2) pro u1 = 14 V. Určete vnitřní odpor stabilizátoru RV = U2/I2 pro jednotlivé body zatěžovací charakteristiky a sestrojte závislost RV = f (i2). Na změřené převodní charakteristice vymezte pracovní oblast stabilizátoru (RV co nejmenší). 1. Schéma zapojení pro měření zatěžovací charakteristiky stabilizátoru u2 = f(i2 ) je uvedeno na OBR. LÚ 9.3. I2 (1-1)

R11

R12

100R

100R

(2-1)

A

+ ZDR1

Rz1

=

U1=14V

ZD

U2

-

V

V2 Rz2

(2-2)

(1-2) OBR. LÚ 9.3 LEGENDA K OBR. LÚ 9.3: ZDR1 – regulovatelný zdroj vstupního napětí u1 R11, R12 – dvoukolíkový rezistor 100R Rz1 – odporová dekáda R DECADE 1 Rz2 – odporová dekáda R DECADE 2 ZD – Zenerova dioda BZX83 8V2 nebo 6V2 V2 – multimetr M3900 A2 – multimetr M3900

2. Změnou zatěžovacího odporu RZ (dekády RZ1, RZ2) od stavu naprázdno U20 (RZ  , tj. i2 = 0) do stavu nakrátko I2K ( RZ = 0, tj. u2 = 0) nastavujeme velikost odebíraného proudu i2 s krokem 5 mA (údaj A-metru A2), na V-metru V2 odečítáme velikost výstupního napětí u2. Vyneseme změřenou závislost u2 = f(i2) pro u1 = 14 V a sestrojíme graf závislosti RV = f(i2). Postup je patrný z OBR. LÚ 9.4.


123

u 2 u 2 = f ( i2 ) u 1 = k o n s t.

P r a c o v n í o b la s t

Δ U 2 1

Δ U 2 2

U 2 0

1

2 n -1 n

Δ I2 1

Δ U 2 n

Δ I2 2

n + 1

Δ U 2 n + 1

Δ I2 n Δ U 2 n R v n

Δ I2 n + 1

=

Δ I2 n

i2 1

i2 2

i2 n - 1

i2 n

i2 n + 1

I2 k

i2

S u

R v

= f ( i2 )

n

R v n + 1 n -1 1

2 R v n

R v 1

i2 1

R v 2

i2 2

R v n -1

i2 n - 1

i2 n

OBR. LÚ 9.4

i2 n + 1

i2


124

Laboratorní úloha 10 Návrh a měření generátorů periodických signálů Pro zadané zapojení generátoru a zadané hodnoty generované frekvence fG a rozkmitu napětí uCPP na kondenzátoru vypočtěte hodnoty všech obvodových prvků generátoru. Návrh ověřte měřením fG a uCPP na realizovaném zapojení generátoru. Změřte charakteristiku fG = f(R), kde R1, R2, C jsou konstanty a porovnejte s vypočtenou závislostí. I. Návrh generátoru periodického signálu Základní zapojení generátoru je uvedeno na OBR. LÚ 10.1, příslušné časové průběhy signálů jsou zobrazeny na OBR. LÚ 10.2 a požadované návrhové vztahy pro výpočet hodnot součástek jsou:

U 2 SAT 

U 2 SATH  U 2 SATL 2

U 2 SATH a U 2 SATL odečteme ze změřené převodní charakteristiky OZ (viz Laboratorní úloha 8 ) R

1 2  U 2 SAT  u CPP 2  f G  C  ln 2  U 2 SAT  u CPP

S ohledem na realizaci volte hodnoty kondenzátoru 1n; 10n; 100n a hodnoty rezistorů v rozmezí 1k (100R) – 1M.

R2 2  U 2 SAT  1 R1 u CPP R2  R1 

U 2 SAT I R2

I R 2 volíme 0,1  1 mA


125 R

OZ

uC

R2

C

u2

(uCpp) R1

OBR. LÚ 10.1

u2(t) U2 SATH=+U2SAT ½u CCP

uC(t) t

-½u CCP U2 SATH =-U2SAT

tN

tV T

OBR. LÚ 10.2

II. Měření parametrů generátoru 1. Zapojení měřícího pracoviště pro měření parametrů navrženého generátoru je uvedeno na OBR. LÚ 10.3. 2. Na osciloskopu zobrazíme časové průběhy napětí uC ( t ) – CH2, u2 ( t ) – CH1 a odečteme fG, uCPP, U2SATH, U2SATL. Porovnáme naměřené a vypočtené hodnoty. 3. Změříme charakteristiku fG = f (R), kde R1, R2, C = konst. (vypočtené hodnoty), hodnoty R volíme v intervalu od 2 kΩ do 1 MΩ. Naměřenou charakteristiku fG = f (R) porovnáme s vypočtenou charakteristikou podle vztahu f G 

1 . 2  U 2 SAT  uCPP 2  R  C  ln 2  U 2 SAT  uCPP


126

OBR. LÚ 10.3 LEGENDA K OBR. LÚ 10.3 : OSC CH1 – osciloskop kanál č. 1 OSC CH2 – osciloskop kanál č. 2 OZ – modul OPERATIONAL AMPLIFIER s OPA132 R – odporová dekáda R DECADE 2 C – dvoukolíkový kondenzátor (1n; 10n; 100n) R1 – odporová dekáda R DECADE 2 (R DECADE 1) R2 – odporová dekáda R DECADE 2


127

Laboratorní úloha 11 Měření parametrů dvoustupňového tranzistorového zesilovače (SE-SC) I. Pro uvedené zapojení dvoustupňového zesilovače s BJT v zapojení SE-SC, viz OBR. LÚ 11.1, měřením zjistěte: 1. Nastavte klidové pracovní body jednotlivých stupňů, tranzistory T1, T2 (ICP, UCE, UBE, UB, UE), a odvoďte vztahy pro výpočet obvodových prvků pro nastavení pracovních bodů T1, T2. 2. Pro fG = 5 kHz, U1PP = 200 mV, Rm = 0 Ω a RZ = 10 kΩ změřte napěťové zesílení Au. 3. Pro fG = 5 kHz, Rm = 0 Ω, RZ = 10 kΩ a U1PP  200 mV (zvyšujeme až do limitace výstupního signálu) změřte maximální rozkmit výstupního napětí U2PPMAX. 4. Pro fG = 5 kHz, U1PP = 200 mV, a RZ = 10 kΩ změřte vstupní odpor RVST . Rm nastavíme na hodnotu 0 Ω a odečteme na osciloskopu U2PP, hodnotu Rm postupně zvyšujeme až U2PP klesne na polovinu, pak Rm = RVST , zdůvodněte! 5. Pro fG = 5 kHz, U1PP = 200 mV, a Rm = 0 Ω změřte výstupní odpor zesilovače RVYST. Pro RZ = ∞ odečteme

RVYST 

U20PP,

pro

RZ = 600

Ω

odečteme

U2RZPP.

Výstupní

odpor

pak

bude

U 20PP  U 2 RZPP  RZ , zdůvodněte! U 2 RZPP

6. Pro U1PP = 200 mV, Rm = 0 Ω a RZ = 10 kΩ změřte amplitudovou frekvenční charakteristiku AUdB (f). Určete šířku pásma B = fd - fh . 7. Určete důležité uzly v zapojení zesilovače a zobrazte časové průběhy signálů v těchto bodech. II. S využitím přiložených základních vztahů vypočtěte obvodové parametry zesilovače a porovnejte je s naměřenými údaji.

OBR. LÚ 11.1


128

LEGENDA K OBR. LÚ 11.1: Multimetr Agilent U1241B G – generátor Agilent 33210A OSC – osciloskop Taktronix TDS 1002B Rm – odporová dekáda R DECADE 2 Rz – odporová dekáda R DECADE 2, R DECADE 1 R1 až R7 – dvoukolíkový rezistor Cv1 až Cv3 – dvoukolíkový kondenzátor T1, T2 – tranzistory BC 546

Základní vztahy pro analýzu a návrh zesilovacího stupně SE s BJT 1. Napěťové zesílení zesilovače SE: AU  

AU  

1 1 1 g  RZC   , kde  1  RZC RC RZ 1  RE    g   rBE  R g  RZC pro h21e  1 , pokud bude g  RE  1 pak AU   ZC , pokud RZ  RC 1  g  RE RE

pak AU 

RC RE

2. Vstupní odpor zesilovače SE: 1 rVST



1 1 1 1 1 pro h21e  1 , kde    RB RB1 RB 2 RB rBE  h21e  RE

3. Výstupní odpor stupně SE:

rVYST  RC 4. Vztah pro stanovení R B v závislosti na relativních změnách h21E a I CP :

I CP  I CP

h 1  21E RE h21E 1  h21E RB



 h21E    RE  h21E 1   1   h21E RB  I CP    I CP 

5. Odhad hodnot prvků linearizovaných malosignálových modelů BJT:

h21e  h21E


g

129

I CP k T , m  1  2, U T   25  26 mV m  UT qe

rBE  h11e 

h21e U 1 , rCE   EA h22e I CP g

Základní vztahy pro analýzu a návrh zesilovacího stupně SC s BJT 1.

Napěťové zesílení zesilovače SC:  1  RZC    g   rBE   1 , kde 1  1  1  1 AU   1  RZC RE RZ rCE 1  RZC    g   rBE  AU 

g  RZC  1 pro h21e  1 1  g  RZC

2. Vstupní odpor zesilovače SC: 1 rVST



1 1 1 1 1 pro h21e  1 , kde    RB RB1 RB 2 RB rBE  h21e  RZC

3. Výstupní odpor stupně SC: 1 rVYST



1 1 1   R R 1 1 RE rCE   G B g h21e RG  RB

4. Vztah pro stanovení R B v závislosti na relativních změnách h21E a I CP :

I CP  I CP

h 1  21E RE h21E 1  h21E RB



 h21E    RE  h21E 1   1   h RB  I CP   21E  I CP 

BIBLIOGRAFIE

130

BIBLIOGRAFIE 1.

STOREY, N. Electronics : a Systems Approach. Fifth Edition. Harlow (United Kingdom): Pearson Education, 2013, XX, 832 s.. ISBN: 978-0-273-77327-6.

2.

SZÉKELY, J. a M. NEVESELÝ. Teoretická elektrotechnika I. Prvý diel.. Bratislava: Alfa, 1984, 387 s.. 63 - 734 - 84.

3.

HAJACH, T. A. TUMA a E. ŠELIAROVÁ. Základy elektrotechniky I. Překlad Ing. J. ŘÍHA. Praha: SNTL - Nakladatelství technické literatury, n.p. 1985, 304 s.. 04 - 521 - 85.

4.

WIKIPEDIA CONTRIBUTORS. Electrical resistivity and conductivity - Wikipedia, The Free Encyclopedia [online]. 2014 [cit. 2014-07-22]. Dostupné z: http://en.wikipedia.org/wiki/ Electrical_resistivity_and_conductivity

5.

WIKIPEDIA CONTRIBUTORS. Phasor - Wikipedia, The Free Encyclopedia [online]. 2014 [cit. 2014-07-21]. Dostupné z: http://en.wikipedia.org/wiki/Phasor

6.

WIKIPEDIA CONTRIBUTORS. Inductor - Wikipedia, The Free Encyclopedia [online]. 2014 [cit. 2014-07-23]. Dostupné z: http://en.wikipedia.org/wiki/Inductor

7.

WIKIPEDIA CONTRIBUTORS. Capacitor - Wikipedia, The Free Encyclopedia [online]. 2014 [cit. 2014-07-23]. Dostupné z: http://en.wikipedia.org/wiki/Capacitor

8.

WIKIPEDIA CONTRIBUTORS. Electrical impedance - Wikipedia, The Free Encyclopedia [online]. 2014 [cit. 2014-07-21]. Dostupné z: http://en.wikipedia.org/wiki/Electrical_impedance

9.

WIKIPEDIA CONTRIBUTORS. AC power - Wikipedia, The Free Encyclopedia [online]. 2014 [cit. 2014-07-23]. Dostupné z: http://en.wikipedia.org/wiki/Reactive_power#Reactive_power

10. SZÉKELY, J. a M. PERÉNY. Príklady z teoretickej elektrotechniky. Riešenie obvodov. Bratislava: Alfa, 1966, 361 s..

11. VEDRAL, J. a J. FISCHER. Elektronické obvody pro měřicí techniku. 1. vyd. Praha: ČVUT,

BIBLIOGRAFIE

131

1999, 340 s.. ISBN 80-01-01950-0.

12. VOBECKÝ, J. a V. ZÁHLAVA. Elektronika : součástky a obvody, principy a příklady. 3. rozš. vyd. Praha: Grada Publishing, 2005, 220 s.. ISBN 80-247-1241-5.

13. PUNČOCHÁŘ, J. Operační zesilovače : historie a současnost. 1. vyd. Praha: BEN - technická literatura, 2002, 68 s.. ISBN 80-7300-047-4.

14. PUNČOCHÁŘ, J. Operační zesilovače v elektronice. 5. vyd. Praha: BEN - technická literatura, 2002, 496 s.. ISBN 80-7300-059-8.

Základy elektroniky, součástky a obvody pro integrovanou výuku VUT a VŠB-TUO

Recommend Documents