Filtrační analogové obvody pro integrovanou výuku VUT a VŠB-TUO

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ

Filtrační analogové obvody pro integrovanou výuku VUT a VŠB-TUO Garant předmětu: Prof. Ing. Kamil Vrba, CSc. Autoři textu: doc. Ing. Jaroslav Koton, Ph.D. Prof. Ing. Kamil Vrba, CSc.

BRNO 2014

Vznik těchto skript byl podpořen projektem č. CZ.1.07/2.2.00/28.0062 Evropského sociálního fondu a státním rozpočtem České republiky.

2

FEKT Vysokého učení technického v Brně

Autor

Jaroslav Koton, Kamil Vrba

Název

Filtrační analogové obvody pro integrovanou výuku VUT a VŠB-TUO

Vydavatel

Vysoké učení technické v Brně Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií Ústav telekomunikací Technická 12, 616 00 Brno

Vydání

první

Rok vydání

2014

Náklad

elektronicky

ISBN

978-80-214-5067-7

Tato publikace neprošla redakční ani jazykovou úpravou


3

Obsah Uvod

9

1 Teorie kmitočtových filtrů

11

1.1

Typy kmitočtových filtrů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2

Základní matematický popis filtrů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.1

Přenosové funkce filtrů 1. řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2.2

Přenosové funkce filtrů 2. řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Pasivní filtry

18

2.1

Dolní propust . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2

Horní propust . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3

Pásmová propust . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4

Pásmová zádrž . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.5

Fázovací článek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.6

Aproximace přenosových funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.6.1

Aproximace přenosové funkce dle Butterwortha . . . . . . . . . . . 40

2.6.2

Aproximace přenosové funkce dle Bessela . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.6.3

Aproximace přenosové funkce dle Čebyševa . . . . . . . . . . . . . . 49

3 Aktivní prvky užívané ve filtrech

61

3.1

Operační zesilovače . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.2

Transadmitanční zesilovače . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.3

Proudové konvejory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.4

Napěťové konvejory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.5

Proudové aktivní prvky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4 Aktivní filtry

78

4.1

Dolní propust 1. řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.2

Horní propust 1. řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.3

Fázovací článek 1. řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.4

Dolní propust 2. řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.5

Horní propust 2. řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.6

Pásmová propust 2. řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.7

Pásmová zádrž 2. řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.8

Fázovací článek 2. řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.9

Multifunkční filtry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4


4.10 Kmitočtové filtry vyšších řádů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.10.1 Realizace kaskádní syntézou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.10.2 Realizace nekaskádní syntézou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5 Metody návrhu aktivních filtrů 5.1

5.2

5.3

128

Návrh pomocí úplné admitanční sítě . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 5.1.1

Úplná admitanční síť a odvozené autonomní obvody . . . . . . . . . 131

5.1.2

Návrh kmitočtového filtru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

Návrh kmitočtových filtrů využívající syntetické prvky . . . . . . . . . . . 137 5.2.1

Teorie syntetických prvků . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

5.2.2

Transformační články . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

Syntéza filtrů pomocí grafů signálových toků . . . . . . . . . . . . . . . . . 140


5

SEZNAM OBRÁZKŮ 1.1

Ideální modulové charakteristiky základních typů kmitočtových filtrů typu (a) dolní propust (DP), (b) horní propust (HP), (c) pásmová propust (PP), (d) pásmová zádrž (PZ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2

Kmitočtová pásma použitelnosti vybraných typů realizací analogových kmitočtových filtrů [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3

Filtr jako dvojbran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4

Závislost modulové charakteristiky filtru typu DP na řádu filtru . . . . . . 15

2.1

Pasivní dolní propust 1. řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2

(a) Modulová a (b) argumentová charakteristika filtru typu dolní propust 1. řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3

Pasivní dolní propust 2. řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4

(a) Modulová a (b) argumentová charakteristika filtru typu dolní propust 2. řádu (𝑄 = 0, 707) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.5

Modulová charakteristika dolní propusti 2. řádu normovaná (a) vzhledem k charakteristickému (𝑓0 ), (b) vzhledem k meznímu (𝑓𝑚 ) kmitočtu . . . . . 24

2.6

Pasivní horní propust 1. řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.7

(a) Modulová a (b) argumentová charakteristika filtru typu horní propust 1. řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.8

Pasivní horní propust 2. řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.9

(a) Modulová a (b) argumentová charakteristika filtru typu horní propust 2. řádu (𝑄 = 0, 707) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.10 Princip tranformace dolní propusti na pásmovou propust [3] . . . . . . . . 29 2.11 Pasivní RC pásmová propust 2. řádu (Wienův člen) . . . . . . . . . . . . . 30 2.12 Realizace pasivní RLC pásmové propusti (a) se sériovým rezonančním obvodem, (b) s paralelním rezonančním obvodem . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.13 (a) Modulová a (b) argumentová charakteristika filtru typu pásmová propust 2. řádu (𝑄 = 1, 𝑄 = 10) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.14 Modulové charakteristiky pásmové propusti 4. řádu aproximované dle Butterwrotha a Čebyševa (zvlnění 2 dB) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.15 Realizace pasivní RC pásmové zádrže . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.16 Realizace pasivní RLC pásmové zádrže . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.17 (a) Modulová a (b) argumentová charakteristika filtru typu pásmová zádrž 2. řádu (𝑄 = 1, 𝑄 = 10) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.18 Realizace pasivního RC fázovacího článku 1. řádu . . . . . . . . . . . . . . 39

6


2.19 Srovnání modulu přenosové funkce dolních propustí navržených dle vybraných aproximací: (a) 4. řád, (b) 10. řád . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.20 Srovnání (a) přechodových charakteristik dolních propustí 4. řádu navržených dle vybraných aproximací, (b) skupinového zpoždění 𝜏 (𝜔) . . . . . . . 42 2.21 Modulové charakteristiky dolní propusti aproximované dle Butterwortha . 43 2.22 Modulové charakteristiky dolní propusti aproximované dle Bessela . . . . . 47 2.23 Modulové charakteristiky dolní propusti aproximované dle Čebyševa se vzlněním Δ𝐾𝑑𝐵 = 2 dB pro filtry lichého řádu

. . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.24 Modulové charakteristiky dolní propusti aproximované dle Čebyševa se vzlněním Δ𝐾𝑑𝐵 = 2 dB pro filtry sudého řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.25 Modulové charakteristiky dolní propusti 4. řádu aproximované dle Čebyševa pro různé hodnoty zvlnění Δ𝐾𝑑𝐵 v propustném pásmu

. . . . . . . . 60

2.26 Charakteristiky skupinového zpoždění dolní propusti 4. řádu aproximované dle Čebyševa pro různé hodnoty zvlnění Δ𝐾𝑑𝐵 v propustném pásmu . . . . 60 3.1

(a) Schematická značka operačního zesilovače, b) lineární model OZ s rušivými zdroji [8]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.2

Bodeův diagram operačního zesilovače s otevřenou smyčkou zpětné vazby s tzv. standardním průběhem kmitočtové charakteristiky . . . . . . . . . . 65

3.3

Schematická značka prvku (a) OTA, (b) BOTA, (c) MOTA . . . . . . . . . 66

3.4

Schematická značka proudového konvejoru (a) 1. generace, (b) 2. generace, (c) 3. generace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.5

Řiditelné proudové konvejory (a) ECCII, (b) CCCII . . . . . . . . . . . . . 69

3.6

Proudové konvejory s diferenčním vstupem (a) DDCC, (b) DVCC . . . . . 69

3.7

Schématická značka UCC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.8

Schématická značka zobecněného proudového konvejoru GCC . . . . . . . 70

3.9

Schématická značka napěťového konvejoru 𝑥té generace . . . . . . . . . . . 72

3.10 Schématická značka zobecněného napěťového konvejoru GVC . . . . . . . . 72 3.11 Schématická značka univerzálního napěťového konvejoru UVC . . . . . . . 73 3.12 Schématická značka zobecněného napěťového konvejoru se svorkou W (GVCW) 74 3.13 Schématická značka proudového sledovače jako trojbranu . . . . . . . . . . 74 3.14 (a) Vícevýstupový proudový sledovač MO-CF, (b) jeho implementace využitím UCC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.15 Schématická značka proudového zesilovače jako trojbranu . . . . . . . . . . 76 3.16 Schématická značka diferenčního proudového sledovače FD-CF . . . . . . . 76 3.17 Schématická značka diferenčního proudového zesilovače DACA . . . . . . . 77 4.1

Obecné struktury ARC filtrů s jedním zesilovačem (𝐾) (a) s jedním trojbranem, (b) se dvěma dvojbrany . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78


7

4.2

Primitivní řešení aktivní dolní propusti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.3

Invertující integrátor s OZ: (a) bezeztrátový, (b) ztrátový . . . . . . . . . . 80

4.4

Realizace neinvertujícího integrátoru pomocí (a) jednoho, (b) dvou operačních zesilovačů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.5

Bezeztrátový integrátor s CCII: (a) invertující, (b) neinvertující . . . . . . 81

4.6

Bezeztrátový integrátor s napěťovým konvejorem: (a) invertující, (b) neinvertující . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.7

Ztrátový integrátor s CCII: (a) invertující, (b) neinvertující . . . . . . . . . 82

4.8

Ztrátový integrátor s napěťovým konvejorem: (a) invertující, (b) neinvertující 82

4.9

Primitivní řešení aktivní horní propusti 1. řádu . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.10 Invertující derivátor s operačním zesilovačem: (a) bezeztrátový, (b) ztrátový 84 4.11 Bezeztrátový derivátor s CCII: (a) invertující, (b) neinvertující . . . . . . . 84 4.12 Bezeztrátový derivátor s napěťovým konvejorem: (a) invertující, (b) neinvertující . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.13 Ztrátový derivátor s CCII: (a) invertující, (b) neinvertující . . . . . . . . . 85 4.14 Ztrátový derivátor s napěťovým konvejorem: (a) invertující, (b) neinvertující 85 4.15 Fázovací článek 1. řádu s OZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.16 Aktivní dolní propust 2. řádu s rozvětvenou smyčkou zpětné vazby . . . . . 87 4.17 Aktivní dolní propust 2. řádu s jednoduchou smyčkou zpětné vazby . . . . 88 4.18 Aktivní dolní propust 2. řádu - Sallen Key . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.19 Aktivní dolní propust 2. řádu s jedním operačním zesilovačem . . . . . . . 90 4.20 Aktivní dolní propust 2. řádu se dvěma operačními zesilovači s vysokým 𝑄

91

4.21 Aktivní dolní propust 2. řádu s nulami v přenosu využívající jeden operační zesilovač . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.22 Aktivní dolní propust 2. řádu s nulami v přenosu využívající dva operační zesilovače . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.23 Aktivní horní propust 2. řádu s rozvětvenou smyčkou zpětné vazby . . . . 95 4.24 Aktivní horní propust 2. řádu s neinvertujícím zesilovačem s konečným zesílením . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.25 Aktivní horní propust 2. řádu s jedním operačním zesilovačem . . . . . . . 97 4.26 Aktivní horní propust 2. řádu se dvěma operačními zesilovači . . . . . . . . 98 4.27 Aktivní horní propust 2. řádu s nulou v přenosu využívající jeden OZ . . . 99 4.28 Jiné řešení aktivní horní propust 2. řádu s nulou v přenosu využívající jeden OZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.29 Aktivní horní propust 2. řádu s nulou vycházející z obr. 4.25 . . . . . . . . 101 4.30 Aktivní horní propust 2. řádu s nulou využívající dva operační zesilovače . 102 4.31 Primitivní řešení aktivní pásmové propusti 2. řádu . . . . . . . . . . . . . . 103

8


4.32 Aktivní pásmová propust 2. řádu s rozvětvenou smyčkou zpětné vazby . . . 104 4.33 Variantní řešení aktivní pásmové propusti 2. řádu se zesilovačem s konečným zesílením . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.34 Aktivní pásmová propust 2. řádu se dvěma operačními zesilovači . . . . . . 108 4.35 Aktivní pásmová zádrž 2. řádu s dvojitým T článkem . . . . . . . . . . . . 109 4.36 Aktivní pásmová zádrž 2. řádu s jedním operačním zesilovačem . . . . . . . 110 4.37 Aktivní pásmová zádrž 2. řádu s Wien-Robinsonovým mostem . . . . . . . 111 4.38 Aktivní pásmová zádrž 2. řádu se dvěma operačními zesilovači . . . . . . . 112 4.39 Aktivní fázovací článek 2. řádu realizovaný pomocí pásmové propusti a sumačního zesilovače . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.40 Aktivní fázovací článek 2. řádu se dvěma operačními zesilovači . . . . . . . 115 4.41 KHN filtr s operačními zesilovači . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.42 KHN filtr s proudovými konvejory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4.43 KHN filtr s napěťovými konvejory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.44 Tow-Thomas filtr s operačními zesilovači . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.45 Akerberg-Mossberg filtr s operačními zesilovači . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4.46 Multifunkční kmitočtový filtr s plně nastavitelnými parametry . . . . . . . 120 4.47 Modulové charakteristiky dílčích bloků a výsledná modulová charakteristika dolní propusti 10. řádu aproximovaná dle Čebyševa se zvlněním 3 dB . 122 4.48 Aktivní dolní propust 𝑛. řádu (a) pro 𝑛 sudé, (b) pro 𝑛 liché . . . . . . . . 123 4.49 Kmitočtový filtr 𝑛tého řádu realizovaný pomocí UVC a OTA [33] . . . . . 126 5.1

Přidružená transformace mezi (a) zdrojem napětí řízeného napětím, (b) zdrojem proudu řízeného proudem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.2

Úplná admitanční síť (a) se čtyřmi uzly, (b) její připojení k GVC

. . . . . 130

5.3

Úplná admitanční síť se dvěma (a) GCC, (b) GVC, (c) GCF . . . . . . . . 133

5.4

Kmitočtový filtr vycházející z autonomního obvodu č. 3 z tab. 5.1 - proudový mód . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

5.5

Kmitočtový filtr vycházející z autonomního obvodu č. 3 z tab. 5.1 - napěťový mód . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5.6

Syntetické dvojpóly typu (a) 𝐷𝑃 , (b) 𝐷𝑆, (c) 𝐸𝑃 , (d) 𝐸𝑆 [36] . . . . . . . 139

5.7

Obecný pohled na realizaci syntetických prvků vyšších řádů (a), (b) s nutností, (c) bez nutnosti použít vnější admitance Y𝐸 . . . . . . . . . . . . . . 140


9

ÚVOD Přestože v současné době elektronických zařízení se mnohem častěji setkáváme s označením "digitální", je nutné mít na paměti, že reálný svět, který nás obklopuje, je analogový. I když je pravdou, že velká většina informací v podobě signálů je zpracovávána v digitální podobě, tyto signály je nutné před vlastním převodem do digitální formy nejprve vhodně upravit. Také pro potřeby zpětné reprodukce se digitální signály musí převádět zpět do analogové podoby a v případě nutnosti je také upravujeme využitím vhodných analogových obvodů. V současnosti se před-zpracování nebo po-zpracování analogových signálů omezuje především na využití kmitočtových filtrů. Jejich úkolem je především výběr určitých kmitočtových složek procházejícího signálu. Filtrací se tedy dosahuje vhodné úpravy spektra signálu podle požadavku konkrétní aplikace. Filtry se nejčastěji používají k odstranění rušivých a nežádoucích signálů vyskytujících se mimo kmitočtové pásmo užitečných signálů. Např. dolní propust se používá k omezení kmitočtového spektra, např. při převodu analogového signálu na digitální pro zajištění podmínky vzorkování a opět při zpětném převodu k obnovení původního signálu. Pásmové propusti se používají v přijímačích pro výběr požadovaného vysílače. Pásmové zádrže se využívají pro potlačení rušivého síťového kmitočtu. Kmitočtovými filtry je tedy vhodně omezeno kmitočtové spektrum signálu, na kterém jsou pak digitálními obvody prováděny nutné matematické operace. Ať už se tedy pro běžného uživatele moderních elektrotechnických zařízení pojem "analogový" může zdát být zastaralý, problematika analogových obvodů stále má a i nadále bude mít své místo v oblasti elektrotechniky. V následujícím textu jsou zájemci seznámeni s problematikou analogových kmitočtových filtrů, kdy v úvodní části jsou tyto funkční bloky popsány využitím vhodného matematického aparátu. Jsou tak uvedeny vztahy přenosových funkcí kmitočtových filtrů 1., 2. a vyšších řádů, které jsou nutné pro správný numerický návrh pasivních prvků realizovaného obvodu. Následně jsou pak diskutovány základní struktury pasivních filtrů 1. a 2. řádu realizovaných prostřednictvím rezistorů, kapacitorů a induktorů. Diskutovány jsou pak i možnosti realizace pasivních filtrů vyšších řádů, kdy jsou uvedeny i možné požadavky kladené na tyto obvody. Jsou popsány používané aproximace a problematika kmitočtové transformace. Samostatná kapitola je pak věnována popisu kmitočtových filtrů využívající aktivních prvků různých typů. Nejprve jsou samy aktivní prvky využívané v kmitočtových filtrech popsány v potřebném rozsahu, který je nutný k pochopení činnosti diskutovaných struktur. Jsou tak zmíněny standardní operační zesilovače (OZ), transkonduktační zesilovače (OTA) a aktivní prvky ze skupiny proudových (CC) a napěťových konvejorů (VC). Ná-

10


sledně jsou pak uvedeny a diskutovány jednotlivé struktury aktivních kmitočtových filtrů pracující nejen ve standardním napěťovém režimu, kdy vstupní a výstupní proměnná je vyjádřena napětím, ale jsou uvedeny i některá zapojení realizující přenosové funkce v proudovém či smíšeném režimu. Jaroslav Koton, Kamil Vrba


1

11

TEORIE KMITOČTOVÝCH FILTRŮ

Velkou skupinou lineárních funkčních bloků využívaných snad ve všech oblastech elektroniky jsou kmitočtové filtry. Jejich úkolem je především výběr určitých kmitočtových složek procházejícího signálu. Filtrací se tedy dosahuje vhodné úpravy spektra signálu podle požadavku konkrétní aplikace. Filtry se nejčastěji používají k odstranění rušivých a nežádoucích signálů vyskytujících se mimo kmitočtové pásmo užitečných signálů. Např. dolní propust (DP, LP - Low-pass) se používá k omezení kmitočtového spektra, např. při převodu analogového signálu na digitální pro zajištění podmínky vzorkování a opět při zpětném převodu k obnovení původního signálu. Pásmové propusti (PP, BP - Band-pass) se používají v přijímačích pro výběr požadovaného vysílače. Pásmové zádrže (PZ, BS Band-stop) se využívají pro potlačení rušivého síťového kmitočtu. Kmitočtové filtry tedy patří do skupiny lineárních obvodů, které vhodným způsobem mění kmitočtové spektrum amplitud a fází jím procházejícího signálu. Některé kmitočtové složky signálu jsou propuštěny bez či s minimálním útlumem (propustné pásmo filtru) a jiné kmitočtové složky jsou potlačeny (pásmo potlačení, pásmo útlumu či nepropustné pásmo filtru). Zvláštním případem kmitočtového filtru je tzv. fázovací článek (FČ, AP All-pass), který je charakteristický tím, že modul přenosové charakteristiky je konstantní, kdy tedy nedochází ke změně amplitudy jednotlivých harmonických složek procházejícího signálu, ale dochází jen ke změně jejich fáze.

1.1

Typy kmitočtových filtrů

Rozdělení kmitočtových filtrů lze provést dle různých hledisek, přičemž primárně se dělí dle přenášeného kmitočtového spektra na [1]: • dolní propust (DP) - propouští nižší kmitočty než mezní 𝑓𝑚 , vyšší potlačuje (obr. 1.1(a)), • horní propust (HP) - propouští vyšší kmitočty než mezní 𝑓𝑚 , nižší potlačuje (obr. 1.1(b)), • pásmovou propust (PP) - propouští vybranou část spektra mezi dolním mezním 𝑓𝑚1 a horním mezním 𝑓𝑚2 kmitočtem, zbývající potlačuje (obr. 1.1(c)), • pásmovou zádrž (PZ) - potlačuje vybranou část spektra mezi dolním mezním 𝑓𝑚1 a horním mezním 𝑓𝑚2 kmitočtem, zbývající propouští (obr. 1.1(d)), • fázovací článek (FČ) - modulová charakteristika je v celém kmitočtovém pásmu konstantní, ale fázová je kmitočtově závislá Zvláštním typem jsou korekční filtry, které slouží pro úpravu přenosu některých bloků přenosového řetězce tak, aby celkový přenos soustavy byl konstantní. Kmitočtové filtry lze dále dělit dle způsobu jejich realizace do několika skupin. Orientačně lze definovat tři hlavní skupiny, kdy kmitočtové filtry lze obecně realizovat za

12


K

K

fm

0

f

0

fm

(a)

0

(b)

B

K

fm1

B

K

fm2 (c)

f

f

0

fm1

fm2

f

(d)

Obrázek 1.1: Ideální modulové charakteristiky základních typů kmitočtových filtrů typu (a) dolní propust (DP), (b) horní propust (HP), (c) pásmová propust (PP), (d) pásmová zádrž (PZ) přímého využití diskrétních prvků, v podobě integrovaného bloku (analogového), či realizací v číslicové podobě. Využití číslicových filtrů má svůj význam v okamžiku, kdy řešíme číslicové zpracování signálů a použitý digitální signálový proces disponuje dostatečným výpočetním výkonem. V případě nutnosti předzpracování vysokofrekvenčních signálů, kde rychlost číslicové části by nebyla dostatečná, či slabých a zašuměných signálů je nutné přistoupit k využití analogových filtrů. V této oblasti je možné využít propracované a ověřené řešení v podobě integrovaného obvodu, či v případě specifických požadavků je nutné navrhnout vlastní řešení. Podle požadovaných vlastností kladených na takový analogový filtr je pak lze rozdělit do několika skupin, podle použitých stavebních prvků [1]: • filtry RC - vznikají vhodným propojením rezistorů (R) a kapacitorů (C), vynikají svou jednoduchostí a nízkou cenou. Praktické využití mají jen jednoduché struktury filtrů 1. a 2. řádů s nízkým činitelem jakosti 𝑄, který je vždy nižší než 0,5. • filtry RLC - využitím rezistorů, kapacitorů a induktorů (L) je možné realizovat obecně jakýkoliv typ kmitočtového filtru. Jsou spíše vhodné pro zpracování signálů o vyšších kmitočtech, protože na nízkých kmitočtech realizace induktorů je dosti neefektivní, kdy takové induktory jsou příliš rozměrné, nákladné a ztrátové s malým činitelem jakosti. Přesto se s nimi lze setkat, např. v audiotechnice při realizaci pasivních výhybek určené pro reproduktorové soustavy. • filtry ARC - umožňují realizovat přenosové funce jako filtry RLC s využitím vhod-


13

ného aktivního prvku, rezistorů a kapacitorů a to bez nutnosti využít induktory. Vzhledem k omezení vlastností aktivních prvků (z pohledu kmitočtových vlastností) se nasazení takto realizovaných kmitočtových filtrů nejčastěji omezuje na kmitočtové pásmo mHz až stovky kHz, kdy vývojem v oblasti mikroelektroniky a návrhem nových typů aktivních prvků se horní hranice použitelnosti těchto kmitočtových filtrů posouvá i na desítky až stovky MHz. • filtry ASC - jsou obvody využívající principu spínaných kapacitorů. Jde o modifikaci ARC filtrů, kdy klasické rezistory jsou nahrazeny přepínanými kapacitory. Hlavní výhodou je možnost poměrně snadného přeladění filtrů změnou přepínací frekvence a poměrně snadné monolitické integrace. Spínací kmitočet bývá 50x až 100x vyšší než mezní kmitočet filtru, což do určité míry minimalizuje spínáním způsobený vznik diskretizace signálu v časové oblasti a možný aliasingový efekt periodizací spektra zpracovávaného signálu. • elektromechanické filtry - vycházejí z principu převodu elektrického signálu na mechanický. Podle typu mechanického rezonátoru je lze dělit na různé skupiny, kdy nejpoužívanější jsou piezokeramické filtry. Zvláštním typem je krystalový filtr, který lze modelovat složeným rezonančním obvodem s vysokým činitelem jakosti a vysokou stabilitou rezonančního kmitočtu. Nejčastěji se využívá ve stabilních oscilátorech, v oblasti realizace kmitočtových filtrů je lze použít pro návrh úzkých pásmových propustí. • mikrovlnné filtry - jsou ve své podstatě pasivní RLC filtry, kdy však pro používanou kmitočtovou oblast (nad 300 MHz) nelze uvažovat pasivní prvky se soustředěnými parametry, ale je nutné pracovat prvky s rozprostřenými parametry. • filtry PAV (s povrchovou akustickou vlnou) - jsou založeny na principu vyzařování,

10-1 100

101

102

103

104

Filtry:

105

106

107

108

109

1010 f [Hz]

RC RLC ARC ASC Mikrovlnné PAV Obrázek 1.2: Kmitočtová pásma použitelnosti vybraných typů realizací analogových kmitočtových filtrů [1] .

14


šíření a fázového, kmitočtově nezávislého skládání povrchových akustických vln. V porovnání s elektromechanickými filtry mohou realizovat více širokopásmovější obvody. Možnost nasazení výše zmíněných typů realizace kmitočtových filtrů s ohledem na kmitočtové pásmo použitelnosti je naznačeno na obr. 1.2.

1.2

Základní matematický popis filtrů

Kmitočtový filtr lze chápat jako dvojbran (obr. 1.3), kdy pro potřeby popisu jeho činnosti je vhodné na vstupu uvažovat harmonický vstupní signál: 𝑢1 (𝑡) = 𝑈𝑚1 · cos(𝜔𝑡 + 𝜙1 ).

(1.1)

Na výstupu kmitočtového filtru je lze pak definovat výstupní napětí 𝑢2 (𝑡) dle vztahu: 𝑢2 (𝑡) = 𝑈𝑚2 · cos(𝜔𝑡 + 𝜙2 ).

(1.2)

Na základě (1.1) a (1.2) lze tedy konstatovat, že průchodem harmonického signálu kmitočtovým filtrem se na jeho výstupu objeví harmonický signál se stejným úhlovým kmitočtem 𝜔, ale s jinou amplitudou 𝑈𝑚2 a fází 𝜙2 (1.2). Důsledkem změny fáze signálu procházejícího filtrem je to, že dochází také k časovému zpoždění signálu. Napěťový přenos K 𝑈 (𝜔) harmonického signálu s úhlovým kmitočtem 𝜔 lze vyjádřit komplexním výrazem: K 𝑈 (𝜔) =

U 2 (𝜔) , U 1 (𝜔)

(1.3)

který lze rozdělit na reálnou a imaginární část, kterých se častěji využívá k vyjádření modulové a argumentové charakteristiky: 𝐾𝑈 (𝜔) = modK 𝑈 (𝜔) =

𝑈2 (𝜔) , 𝑈1 (𝜔)

(1.4)

a 𝜙(𝜔) = argK 𝑈 (𝜔) = 𝜙2 (𝜔) − 𝜙1 (𝜔).

u1

Kmitočtový filtr

Obrázek 1.3: Filtr jako dvojbran .

u2

(1.5)


KdB 1

0

10

100

15

logΩ

-40 n=1

-80 n=2 n=3 n=4

Obrázek 1.4: Závislost modulové charakteristiky filtru typu DP na řádu filtru . Modul přenosu 𝐾𝑈 (𝜔) dle (1.4) je bezrozměrné číslo, který se však častěji vyjadřuje jako zisk v decibelech: 𝐾𝑈𝑑𝐵 (𝜔) = 20 · log 𝐾𝑈 (𝜔).

(1.6)

V praxi se přenosové vlastnosti vyjadřují jako funkce kmitočtu, kdy každému kmitočtu odpovídá vlastní přenos a argument. Závislost přenosu na kmitočtu je komplexní funkcí K (𝜔), K (𝑓 ) (𝜔 = 2𝜋𝑓 ), nebo 𝐾𝑈 ( 𝑝), kde p = 𝜎 + 𝑗𝜔 (přičemž v případě kmitočtových filtrů 𝜎 = 0) je Laplaceův operátor. Na základě teorie lineárních obvodů je pak možné přenosovou funkci vyjádřit jako racionálně lomenou funkci: 𝑚 𝑎𝑖 · p 𝑖 𝐺𝑚 (p) 𝑎𝑚 p 𝑚 + 𝑎𝑚−1 p 𝑚−1 + ...𝑎1 p + 𝑎0 𝐾(p) = = ∑︀𝑖=0 = , 𝑛 𝑖 𝐻𝑛 (p) 𝑏𝑛 p 𝑛 + 𝑏𝑛−1 p 𝑛−1 + ...𝑏1 p + 𝑏0 𝑖=0 𝑏𝑖 · p

∑︀

(1.7)

kde řád polynomu čitatele 𝑚 je menší nebo roven řádu jmenovatele 𝑛 (𝑚 ≤ 𝑛). Přenosovou funkci (1.7) lze opět rozdělit na reálnou a imaginární část a kmitočtový filtr tak popsat jeho modulovou charakteristikou 𝐾(𝜔) a argumentovou kmitočtovou (zkráceně jen argumentovou) charakteristikou 𝜙(𝜔). Číslo 𝑛 udává řád filtru. Strmost (𝑆) přechodu modulové charakteristiky z propustného do nepropustného pásma je dána řádem filtru a platí pro ni: 𝑆 = −𝑛 · 20 dB/dek.

(1.8)

Zjednodušeně je vztah strmosti a řádu kmitočtového filtru pro dolní propust naznačena na obr. 1.4, kde jsou jen uvedeny asymptoty přenosových funkcí. Obecnou přenosovou funkci (1.7) lze rozdělit na jednotlivé dílčí přenosové funkce, kdy pro technickou praxi se nejčastěji využívá rozkladu kaskádního. Obecnou přenosovou

16


funkci 𝑛tého řádu 𝐾(p) lze tak vyjádřit jako: 𝑘 ∏︁

𝐾(p) =

𝐾𝑖 (p),

(1.9)

𝑖=1

kde 𝐾𝑖 (p) jsou dílčí přenosové funkce filtrů nejvýše 2. řádu (výjimečně 3. řádu). Je žádoucí, aby počet dílčích funkcí 𝐾𝑖 (p) byl minimální a současně realizovaný jednoduchými funkčními bloky. Výhodou kaskádní syntézy filtrů vyšších řádů je, že dílčí filtry nižšího řádu jsou méně citlivé na tolerance parametrů použitých obvodových prvků. Často se tak přistupuje k realizaci filtrů požadovaného řádu právě tímto způsobem i za cenu vyššího počtu pasivních a aktivních prvků ve výsledné struktuře než by tomu tam mohlo být v případě přímé syntézy komplexní struktury. Přesto v některých zvláštních případech však je nutné přistoupit na tzv. nekaskádní syntézu filtru. Jde především o aktivní filtry vyššího řádu s několika aktivními prvky, u kterých nelze obvodové řešení rozdělit tak, aby odpovídalo dílčím přenosovým funkcím. Filtr je tak nutné navrhovat komplexně jako jeden celek.

1.2.1

Přenosové funkce filtrů 1. řádu

Jak bylo naznačeno, obecnou přenosovou funkci (1.7) popisující filtr 𝑛tého řádu lze dle (1.9) rozdělit na součin dílčích přenosových funkcí 𝐾𝑖 (p), které jsou nejčastěji 1. nebo 2. řádu. Pro potřeby popisu filtrů 1. řádu lze využít obecnou přenosovou funkce (1.7), která je omezena do tvaru podílu polynomů prvního řádu: 𝐾(p) =

𝑎1 p + 𝑎0 . 𝑏1 p + 𝑏0

(1.10)

Jako filtry 1. řádu lze realizovat pouze dolní a horní propust a fázovací článek, resp. korekční filtr. V tab. 1.1 jsou uvedeny hodnoty koeficientů 𝑎1 a 𝑎0 pro realizaci základních typů kmitočtových filtrů, přičemž pro koeficienty 𝑏𝑖 platí: 𝑏1 = 1,

𝑏0 = 𝜔𝑚 ,

(1.11)

kde 𝜔𝑚 je úhlový mezní kmitočet filtru, tj. kmitočet, kdy modul přenosu klesne o 3 dB od hodnoty v pásmu propustnosti (𝐾0 ).

1.2.2

Přenosové funkce filtrů 2. řádu

Obdobně, pro filtry druhého řádu je obecná přenosová funkce (1.7) redukována ve tvaru podílu polynomů druhého řádu: 𝐾(p) =

𝑎2 p 2 + 𝑎1 p + 𝑎0 . 𝑏 2 p 2 + 𝑏1 p + 𝑏0

(1.12)


17

Tabulka 1.1: Hodnoty koeficientů 𝑎𝑖 pro daný typ kmitočtového filtru 1. řádu Typ filtru

𝑎1

𝑎0

Dolní propust

0

𝐾0 · 𝜔𝑚

Horní propust

𝐾0

0

−𝐾0

𝐾0 · 𝜔𝑚

Fázovací článek

Tabulka 1.2: Hodnoty koeficientů 𝑎𝑖 pro daný typ kmitočtového filtru 2. řádu Typ filtru

𝑎2

𝑎1

𝑎0

Dolní propust

0

𝐾0 · 𝜔02

Pásmová propust

0

−𝐾0 𝜔02

Horní propust

𝐾0

0 𝜔0 𝐾0 𝑄 0

Pásmová zádrž

𝐾0

0

Fázovací článek

𝐾0

𝜔0 −𝐾0 𝑄

0 0 𝐾0 𝜔02

V tab. 1.2 jsou uvedeny hodnoty koeficientů 𝑎2 ,𝑎1 ,𝑎0 pro realizaci daného typu kmitočtového filtru, přičemž pro koeficienty 𝑏𝑖 platí: 𝑏2 = 1,

𝑏1 =

𝜔0 , 𝑄

𝑏0 = 𝜔02 ,

(1.13)

kde 𝑄 je činitel jakosti filtru a 𝜔0 je jeho charakteristický úhlový kmitočet, a 𝐾0 je zesílení v pásmu propustnosti. Jak již bylo uvedeno, při realizaci kmitočtových filtrů vyšších řádů lze vycházet z kaskádní nebo nekaskádní syntézy. Při kaskádní syntéze se komplexní přenosová funkce (1.7) rozkládá na jednotlivé dílčí komplexní přenosové funkce dle (1.9), kde dílčí přenosové funkce obecně popisují filtr 1. řádu (1.10) nebo 2. řádu (1.12). Nekaskádní syntéza se používá tam, kde obvodové řešení nelze rozdělit tak, aby odpovídalo dílčím komplexním přenosovým funkcím. Filtr se pak navrhuje jako celek. Při zadávání požadavků na modulovou charakteristiku se vychází z tzv. tolerančního pole, v němž charakteristika může vykazovat určité nerovnoměrnosti. Pro nalezení přenosové funkce pro zadané toleranční pole jsou využívány aproximující funkce. Nejčastěji způsoby aproximace jsou podle Butterwortha, Bessela a Čebyševa [2].

18


2

PASIVNÍ FILTRY

Pomocí pasivních kmitočtových filtrů je teoreticky možné realizovat libovolný typ filtru. Tyto obvody využívají základní prvky: rezistor R, kapacitor C a induktor L. Na nízkých kmitočtech je však problematické realizovat induktory s velkou indukčností. Induktory jsou rozměrné a mají horší elektrické parametry. V praxi se pasivní filtry realizované pomocí diskrétních součástek nejčastěji využívají v kmitočtovém pásmu 100 kHz až 300 MHz, kde realizace induktoru nepředstavuje vážnější problémy [1]. Lze konstatovat, že základním principiálním obvodem je dělič napětí, jehož napěťový přenos je kmitočtově závislý, bude-li alespoň jedna z impedancí kmitočtově závislá. Matematický popis kmitočtových filtrů uvedený v kap. 1 se věnoval popisu kmitočtových filtrů jen obecně. V této kapitole jsou popsány již konkrétní realizace kmitočtových filtrů, které jsou doplněny bližším matematickým popisem, ze kterých vyplývají závěry uvedené v předešlé části.

2.1

Dolní propust

Jak již bylo uvedeno, dolní propust je charakteristická tím, že kmitočtové složky nižší než mezní kmitočet jsou funkčním blokem propouštěny s minimálním útlumem. Dolní propust je možné realizovat již strukturou 1. řádu, kdy takové filtry se skládají z rezistoru R a jednoho akumulačního prvku (L nebo C). Častěji se používá kapacitor, protože jeho výroba je jednodušší a méně cenově náročná. Zkráceně takové filtry pak označujeme jako RC. Na obr.2.1 je uvedeno zapojení dolní propusti 1. řádu, jejíž napěťový přenos lze vyjádřit jako:

1/j𝜔𝐶 1 U 2 (𝜔) = = . U 1 (𝜔) 𝑅 + 1/j𝜔𝐶 1 + j𝜔𝑅𝐶 Modulová charakteristika tohoto obvodu je pak: K (𝜔) =

𝐾(𝜔) = modK (𝜔) =

√︁

1 [ReK (𝜔)2 ] + [ImK (𝜔)2 ] = √ , 1 + 𝜔 2 𝑅2 𝐶 2

R u1

Obrázek 2.1: Pasivní dolní propust 1. řádu

C

u2

(2.1)

(2.2)


19

a argumentovou charakteristiku lze pak vyjádřit jako: 𝜙(𝜔) = argK (𝜔) = arctan

ReK (𝜔) = − arctan 𝜔𝑅𝐶. ImK (𝜔)

(2.3)

Pro grafické znázornění v tzv. Bodeově diagramu je modul přenosové funkce vyjádřen jako zisk dle (1.6), tzn.: 𝐾𝑑𝐵 (𝜔) = 20 log 𝐾(𝜔) = 20 log √

1 . 1 + 𝜔 2 𝑅2 𝐶 2

(2.4)

Ze vztahu (2.4) vyplývá, že na velmi nízkých kmitočtech se modul přenosové funkce asymptoticky blíží hodnotě 0 dB. Naopak na velmi vysokých kmitočtech se modul řídí 1 a je tedy nepřímo úměrný kmitočtu. Platí tedy, že podle vztahu 𝐾𝑑𝐵 (𝜔) ≈ 20 log 𝜔𝑅𝐶 zvětšením kmitočtu desetkrát se hodnota modulu sníží o 20 dB. Modul přenosové funkce se na vysokých kmitočtech (v nepropustném pásmu) snižuje o 20 dB s každou dekádou kmitočtu, z čehož pak vyplývá již dříve uvedený vztah (1.8). Mezní kmitočet filtru 𝜔𝑚 je definován jako kmitočet, při kterém se modul přenosové √ funkce sníží na hodnotu 1/ 2, tj. o 3 dB. Tento mezní kmitočet je možné určit využitím vztahu (2.2):

1 1 =√ . 𝐾(𝜔𝑚 ) = √︁ 2 𝑅2 𝐶 2 2 1 + 𝜔𝑚

(2.5)

Řešením rovnice (2.5) lze mezní kmitočet 𝜔𝑚 dolní propusti 1. řádu vyjádřit jako: 𝜔𝑚 = 2𝜋𝑓𝑚 =

1 . 𝑅𝐶

(2.6)

Fázové natočení výstupního signálu 𝑢2 (𝑡) vůči vstupnímu signálu 𝑢1 (𝑡) je při tomto kmitočtu podle (2.3) −45°. V praxi se při analýze a syntéze filtrů přenosové funkce vyjadřují využitím Laplaceova operátoru p, kdy p = 𝜎 + j𝜔 (v případě kmitočtových filtrů 𝜎 = 0). Vztah přenosové funkce filtru dolní propusti prvního řádu (2.1) tak přechází na: 1 𝑈2 (p) = , 𝑈1 (p) 1 + p𝑅𝐶

𝐾(p) =

(2.7)

kde 𝑈1 (p) a 𝑈2 (p) jsou Laplaceovy obrazy vstupního napětí 𝑢1 (𝑡) a výstupního napětí 𝑢2 (𝑡). Z hlediska obecnějšího přístupu je vhodné komplexní proměnnou p dále normovat vzhledem k meznímu kmitočtu 𝜔𝑚 , tj.: s=

p , 𝜔𝑚

(2.8)

kde s bývá označován jako normovaný Laplaceův operátor, který lze také vyjádřit jako: s=

j𝜔 j𝑓 = = jΩ, 𝜔𝑚 𝑓𝑚

(2.9)

20


kde Ω = 𝜔/𝜔𝑚 je označován jako normovaný úhlový kmitočet. Využitím normovaného úhlového kmitočtu lze modulovou a argumentovou charakteristiku filtru dolní propusti určit vztahy:

1 , 𝜙(Ω) = − arctan Ω. (2.10) 1 + Ω2 Závislost modulu a argumentu přenosové funkce kmitočtového filtru 1. řádu jsou pak 𝐾(𝜔) = √

uvedeny na obr. 2.2. Z obr. 2.2(a) je vidět, že při jednotkové hodnotě normovaného úhlového kmitočtu Ω dochází k poklesu modulu o 3 dB z hodnoty v pásmu propustnosti (v tomto případě 0 dB). Stejně tak z obr. 2.2(b) je vidět, že při hodnotě normovaného úhlového kmitočtu Ω, tedy při kmitočtu vstupního signálu odpovídajícího meznímu kmitočtu 𝜔𝑚 dochází fázovému posunu právě −45°. Protože mezní kmitočet 𝜔𝑚 dolní propusti z obr. 2.1 je určen vztahem (2.6), bude s = p𝑅𝐶 a přenosová funkce filtru dolní propusti 1. řádu vyjádřená pomocí normovaného Laplaceova operátoru má tvar:

1 . (2.11) 1+s Jak již bylo naznačeno v předešlé části, v případě nutnosti realizovat rychlejší pokles 𝐾(s) =

modulové charakteristiky z propustného do nepropustného pásma, pak je možné zapojit 𝑛 dolních propustí dle obr. 2.1 do kaskády. Přenosovou funkci takovéto soustavy je pak možné zapsat v obecném tvaru: 1 1 = , (1 + 𝑑1 s) (1 + 𝑑2 s) ... (1 + 𝑑𝑛 s) 𝑖=1 (1 + 𝑑𝑖 s)

𝐾(s) = ∏︀𝑛

(2.12)

kde 𝑑𝑖 pro 𝑖 = 1, 2, ...𝑛 jsou kladné reálné koeficienty. Podobně jako v případě analýzy (2.4) lze dojít k závěru, pro normovaný úhlový kmitočet Ω >> 1 se přenosová funkce bude asymptoticky blížit přímce se sklonem 𝑛 · 20 dB/dek (viz (1.8)). Soustava vytvořená kaskádním řazením pasivních RC dolních propustí 1. řádu se stejným mezním kmitočtem 𝜔𝑚 bude mít kritické tlumení a koeficienty 𝑑𝑖 jsou stejné: 𝑑𝑖 =

√︁ √ 𝑛

2 − 1,

(2.13)

z čehož je možné dovodit, že jednotlivé dílčí dolní propusti mají (1/𝑑)krát vyšší mezní kmitočet než je mezní kmitočet výsledného kmitočtového filtru. Označení "filtr s kritickým tlumením"se týká vlastností filtru z pohledu analýzy jeho přechodové charakteristiky, tj. jeho odezvy na jednotkový skok (viz obr. 2.20(a)), kdy nedochází k překmitu výstupního napětí. Nedostatkem filtru s kritickým tlumením, resp. pasivních RC filtrů je skutečnost, že maximální dosažitelná hodnota činitele jakosti 𝑄 je 0,5 a přechod z propustného do nepropustného pásma není dostatečně ostrý. Z tohoto důvodu jsou pro realizaci výhodnější struktury druhého řádu realizované prostřednictvím RLC prvků.


21

0 -5 -10

mod(K) [dB]

-15 -20 -25 -30 -35 -40 -2 10

-1

10

0

10  [-]

1

10

2

10

(a)

arg(K) [deg]

0

-45

-90 -2 10

-1

10

0

10  [-]

1

10

2

10

(b)

Obrázek 2.2: (a) Modulová a (b) argumentová charakteristika filtru typu dolní propust 1. řádu Jako příklad pasivní dolní propusti 2. řádu lze uvést zapojení na obr. 2.3. Také toto zapojení lze obecně považovat za napěťový dělič a přenosovou funkci lze psát ve tvaru: 𝐾(p) =

1 . p 2 𝐿𝐶 + p𝑅𝐶 + 1

(2.14)

Odpovídající modulová a argumentová charakteristika dolní propusti 2. řádu je uvedena na obr. 2.4.

22


L

R

u1

C

u2

Obrázek 2.3: Pasivní dolní propust 2. řádu Využitím normované komplexní proměnné s lze vztah (2.14) vyjádřit jako: 𝐾(s) =

2 𝐿𝐶s 2 𝜔𝑚

resp. 𝐾(s) =

𝑏21

s2

1 , + 𝜔𝑚 𝑅𝐶s + 1

(2.15)

1 . + 𝑎21 s + 1

(2.16)

1 , známého z teorie rezonančních obvodů jako Thomso√︁ 𝐿𝐶 𝐿/𝐶 𝜔0 𝐿 = (činitel jakosti rezonančního RLC obvodu), pak výraz nův vztah, a 𝑄 = 𝑅 𝑅 (2.3) lze upravit do tvaru: Zavedením značení 𝜔0 = √

𝐾(s) =

2 𝜔𝑚 s2 𝜔02

1 . 𝜔𝑚 + s+1 𝜔0 𝑄

(2.17)

Vzájemným porovnáním členů u sobě si odpovídajících mocnin normovaného komplexního operátoru s ve výrazech (2.16) a (2.17) lze koeficienty 𝑎21 a 𝑏21 vyjádřit jako: 𝑎21 =

𝜔𝑚 , 𝜔0 𝑄

𝑏21 =

2 𝜔𝑚 , 𝜔02

(2.18)

ze kterých lze naopak vyjádřit vztah mezi charakteristickým kmitočtem (kmitočtem pólů filtru) 𝜔0 a mezním kmitočtem 𝜔𝑚 filtru, resp. vztah pro činitel jakosti: 𝜔𝑚 𝜔0 = √ , 𝑏21

√ 𝜔𝑚 𝑏21 𝑄= = . 𝜔0 𝑎21 𝑎21

(2.19)

Tvar modulové a argumentové charakteristiky je silně ovlivněn hodnotou činitele jakosti. U dolní a horní propusti je hodnota 𝑄 malá (0,5 až 1). Je-li hodnota 𝑄 = 0, 707, pak modulová charakteristika je maximálně plochá (Butterworthova aproximace, viz dále). Pro vyšší hodnoty 𝑄 se dolní či horní propust chová jako nesymetrická pásmová propust. S rostoucí hodnotou činitele jakosti také dochází k růstu strmosti modulu z propustného do nepropustného pásma. To způsobuje změnu mezního kmitočtu (tj. poklesu o 3 dB).


23

0 -5 -10

mod(K) [dB]

-15 -20 -25 -30 -35 -40 -2 10

-1

10

0

10  [-]

1

10

2

10

(a) 0

arg(K) [deg]

-45

-90

-135

-180 -2 10

-1

10

0

10  [-]

1

10

2

10

(b)

Obrázek 2.4: (a) Modulová a (b) argumentová charakteristika filtru typu dolní propust 2. řádu (𝑄 = 0, 707)

Na obr. 2.5 jsou uvedeny dva případy modulové charakteristiky dolní propusti, kdy kmitočtová osa je normována k charakteristickému kmitočtu 𝑓0 (obr. 2.5(a)) a k meznímu kmitočtu 𝑓𝑚 (obr. 2.5(a)). Kaskádním řazením filtrů 2. řádu popsaných přenosovou funkcí dle (2.18), pak podle

24


20 Q=0.5 Q=1 Q=5

10 0

mod(K) [dB]

-10 -20 -30 -40 -50 -60 -70 -80 -2 10

-1

10

0

10 f/f0 [-]

1

2

10

10

(a) 20 Q=0.5 Q=1 Q=5

10 0

mod(K) [dB]

-10 -20 -30 -40 -50 -60 -70 -80 -2 10

-1

10

0

10

1

10

2

10

f/fm [-]

(b)

Obrázek 2.5: Modulová charakteristika dolní propusti 2. řádu normovaná (a) vzhledem k charakteristickému (𝑓0 ), (b) vzhledem k meznímu (𝑓𝑚 ) kmitočtu (1.9) lze obecnou přenosovou funkci 𝑛tého řádu psát jako: 𝐾0 𝐾0 = , 2 (𝑏𝑛1 s2 + 𝑎𝑛1 s + 1) ... (𝑏𝑛𝐼 s2 + 𝑎𝑛𝐼 s + 1) 𝑖=1 𝑏𝑛𝑖 s + 𝑎𝑛𝑖 s + 1

𝐾(s) = ∏︀𝐼

(2.20)

kde 𝐾0 je přenos filtru v pásmu propustnosti a 𝑎𝑛𝑖 a 𝑏𝑛𝑖 jsou kladné koeficienty 𝑖tého filtru 2. řádu, kdy celý filtru 𝑛tého řádu je složen z 𝐼 dílčích funkčních bloků. Pro lichý řád polynomu je koeficient 𝑏𝑛1 nulový.


25

Tvar výrazu (2.20) je vhodný pro kaskádní syntézu, kdy jmenovatel je v tomto případě rozdělen na součin kořenových činitelů. Roznásobením jednotlivých kvadratických výrazů 𝑏2𝑛𝑖 s2 + 𝑎𝑛𝑖 s + 1 ve výrazu (2.20) lze tento vztah (resp. podobně také (2.12)) vyjádřit jako: 𝐾(s) =

𝑐𝑛𝑛

s𝑛

+ ... + 𝑐𝑛𝑖

s𝑖

𝐾0 , + ... + 𝑐𝑛2 s2 + 𝑐𝑛1 s + 1

(2.21)

kde 𝑐𝑛1 , 𝑐𝑛2 , ...𝑐𝑛𝑛 jsou kladné reálné koeficienty u jednotlivých mocnin normované komplexní proměnné. Jak bude ukázáno, vztah (2.21) je využíván pro potřeby nenaskádní syntézy kmitočtových filtrů vyšších řádů.

2.2

Horní propust

Zapojení pasivní horní propusti 1. řádu je uvedeno na obr. 2.6. Podobně, jako při analýze dolní propusti 1. řádu, přenos zapojení z obr. 2.6 lze určit jako poměr komplexních napětí: 𝐾(p) =

𝑅 𝑈2 (p) = . 𝑈1 (p) 𝑅 + 1/(p𝑅𝐶)

(2.22)

Mezní kmitočet definovaný jako pokles modulu přenosové charakteristiky o 3 dB je shodný s mezním kmitočtem dolní propusti 1. řádu (2.6), tj. 𝜔𝑚 = 1/(𝑅𝐶). Využitím normovaného Laplaceova operátoru s = p/𝜔𝑚 , přenosová funkce (2.22) přechází do tvaru: 𝐾(s) =

1 . 1 + 1/s

(2.23)

Porovnáním přenosové funkce horní propusti 1. řádu (2.23) a přenosové funkce dolní propusti 1. řádu (2.11) je vidět, že přenosovou funkci horní propusti získáme z dolní propusti jednoduchou transformací s → 1/s. Tato transformace je patrná i logaritmického vyjádření modulové charakteristiky, kdy z dolní propusti (obr. 2.2(a)) lze získat modulovou charakteristiku horní propusti (obr. 2.9(a)) jejím zrcadlením kolem mezního kmitočtu 𝜔𝑚 , resp. Ω = 1, čemuž odpovídá transformace Ω → 1/Ω (resp. s → 1/s). Formálně pak i přenos 𝐾0 v pásmu propustnosti dolní propusti přechází na přenos 𝐾∞ v pásmu propust-

C u1

Obrázek 2.6: Pasivní horní propust 1. řádu

R

u2

26


0 -5 -10

mod(K) [dB]

-15 -20 -25 -30 -35 -40 -2 10

-1

10

0

10  [-]

1

10

2

10

(a)

arg(K) [deg]

90

45

0 -2 10

-1

10

0

10  [-]

1

10

2

10

(b)

Obrázek 2.7: (a) Modulová a (b) argumentová charakteristika filtru typu horní propust 1. řádu nosti horní propusti. V praxi se však pro vyjádření přenosu v pásmu propustnosti horní propusti, resp. i ostatních typů kmitočtových filtrů, využívá označení 𝐾0 . Praktická realizace pasivní horní propusti 2. řádu je uvedena na obr. 2.8. Přenosová funkce totoho filtru je dána vztahem: 𝐾(p) =

p 2 𝐿𝐶 , p 2 𝐿𝐶 + p𝑅𝐶 + 1

(2.24)


C

27

R

u1

L

u2

Obrázek 2.8: Pasivní horní propust 2. řádu resp.

2 𝜔𝑚 s2 𝜔02 𝐾(s) = 2 , 𝜔𝑚 2 𝜔𝑚 s + s+1 𝜔02 𝜔0 𝑄 kterou je možné získat z (2.17) využitím zmíněné transformace s → 1/s.

(2.25)

Je tedy zřejmé, že popsanou transformaci lze tak zobecnit i pro horní propusti vyšších řádů. Přenosovou funkci horní propusti 𝑛tého řádu lze tedy z (2.20) odvodit ve tvaru: 𝐾(s) = ∏︀𝐼

𝑖=1 𝑏𝑛𝑖

𝐾0 . + 𝑎𝑛𝑖 /s + 1

/s2

(2.26)

Pro potřeby aproximace lze tak použít stejných postupů, resp. hodnot koeficientů 𝑎𝑛𝑖 a 𝑏𝑛𝑖 jako při návrhu dolní propusti, které jsou popsány v kap. 2.6.

2.3

Pásmová propust

Podobně jako při odvození obecné přenosové funkce horní propusti z přenosové funkce dolní propusti využitím vhodné transformace v kap. 2.2, také pro pro matematický aparát popisující kmitočtové filtry typu pásmová propust lze využít podobnou transformaci: s + 1/s s→ . Touto transformací se původní modulová charakteristika dolní propusti poΔΩ souvá ve směru osy Ω doprava a levá část pásma propustnosti je v logaritmickém měřítku zrcadlovým obrazem pravé části vzhledem ke střednímu kmitočtu pásmové propustnosti Ω = 1 (viz obr. 2.10) [3]. Normovaná šířka pásma ΔΩ vyjadřuje rozdíl horního mezního kmitočtu Ω2 a dolního mezního kmitočtu Ω1 , kdy modulová charakteristika klesne o 3 dB vůči hodnotě modulu na kmitočtu Ω = 1. Mezi hodnotami mezních kmitočtů pak platí: Ω1 = 1/Ω2 . Platí, že normovaná šířka pásma pásmové propustnosti ΔΩ může být volena libovolně. Matematický popis přenosové funkce pásmové propusti 2. řádu lze odvodit z přenosové funkce dolní propusti (2.11) využitím výše uvedené transformace: 𝐾(s) =

𝐾0 𝐾0 ΔΩs = . 1 + (s + 1/s) /ΔΩ 1 + ΔΩs + s2

(2.27)

28


0 -5 -10

mod(K) [dB]

-15 -20 -25 -30 -35 -40 -2 10

-1

10

0

10

1

10

2

10

 [-]

(a) 180

arg(K) [deg]

135

90

45

0 -2 10

-1

10

0

10

1

10

2

10

 [-]

(b)

Obrázek 2.9: (a) Modulová a (b) argumentová charakteristika filtru typu horní propust 2. řádu (𝑄 = 0, 707) Činitel jakosti pásmové propusti je určen jako poměr rezonančního kmitočtu (kmitočtu pólů) 𝑓0 k šířce pásma 𝐵, tedy: 𝑄=

𝑓0 𝑓0 1 1 = = = . 𝐵 𝑓2 − 𝑓1 Ω2 − Ω1 ΔΩ

(2.28)

Po dosazení (2.28) do (2.27) lze přenosovou funkcí pásmové propusti 2. řádu popsat


29

10 DP 1. radu PP 2. radu

mod(K) [dB]

0

3 dB

-10

-20

ΔΩ -30

-40 -2 10

-1

10

Ω1

0

10  [-]

Ω2 101

2

10

Obrázek 2.10: Princip tranformace dolní propusti na pásmovou propust [3] . jako:

(𝐾0 /𝑄)s , (2.29) 1 + (1/𝑄)s + s2 kdy pomocí tohoto výrazu je možné stanovit základní parametry filtru přímo z přeno𝐾(s) =

sové funkce. Substitucí s = jΩ do (2.29) lze pak stanovit modulovou a argumentovou charakteristiku filtru: 𝐾(Ω) =

(𝐾0 /𝑄) Ω , (1 − Ω2 )2 + (Ω/𝑄)2

𝜙(Ω) = arctan

𝑄 (1 − Ω2 ) . Ω

(2.30)

Možná realizace pásmové propusti 2. řádu využívající pouze rezistory a kapacitory je uvedena na obr. 2.11. Jde o strukturu také označovanou jako tzv. Wienův člen. Přenosová charakteristika tohoto zapojení je dána vztahem: 𝐾(p) =

p2𝐶

p𝐶1 𝑅2 . 1 𝐶2 𝑅1 𝑅2 + p (𝐶1 𝑅1 + 𝐶1 𝑅2 + 𝐶2 𝑅2 ) + 1

(2.31)

Charakteristický kmitočet pásmové propusti z obr. 2.11 dle (2.31) je dán vztahem: 𝜔0 = √ a pro činitel jakosti 𝑄 platí:

1 , 𝐶1 𝐶2 𝑅1 𝑅2

(2.32)

√

𝑄=

𝐶1 𝐶2 𝑅1 𝑅2 . 𝐶1 𝑅1 + 𝐶1 𝑅2 + 𝐶2 𝑅2

(2.33)

30


C1

R1 C2

u1

R2

u2

Obrázek 2.11: Pasivní RC pásmová propust 2. řádu (Wienův člen)

L

R

C

u1

u2 u1

R

C

(a)

L

u2

(b)

Obrázek 2.12: Realizace pasivní RLC pásmové propusti (a) se sériovým rezonančním obvodem, (b) s paralelním rezonančním obvodem V případě, že pro hodnoty pasivních prvků platí 𝑅1 = 𝑅2 a 𝐶1 = 𝐶2 , pak hodnota činitele jakosti je pouze 1/3, což zároveň představuje i maximální dosažitelnou hodnotu tohoto parametru filtru. Zesílení v pásmu propustnosti je za právě uvedených podmínek pak také 1/3. Praktická realizace pásmové propusti 2. řádu použitím RLC prvků je uvedena na obr. 2.12. Přenosová funkce řešení z obr. 2.12(a) je dána vztahem: 𝐾(p) =

p𝐶𝑅 , p 2 𝐿𝐶 + p𝐶𝑅 + 1

(2.34)

a přenosovou charakteristiku napětí zapojení z obr. 2.12(b) lze určit jako: 𝐾(p) =

p 2 𝐿𝐶

p𝐶𝑅 , + p𝐿𝐺 + 1

(2.35)

kde 𝐺 = 1/𝑅. Hodnota charakteristického kmitočtu (kmitočtu pólů) 𝜔0 je dána již zmíněným Thomsonovým vztahem, tedy: 𝜔0 = √

1 , 𝐿𝐶

(2.36)

a činitel jakosti 𝑄 dle (2.34) je dán vztahem: 1 𝑄= 𝑅

√︃

𝐿 , 𝐶

(2.37)


31

resp. pro zapojení dle obr. 2.12(b) z (2.35) pro činitel jakosti platí: 1 𝑄= 𝐺

√︃

𝐶 . 𝐿

(2.38)

Při návrhu pásmové propusti 2. řádu je tak, podobně jako u dolní či horní propusti 2. řádu, postačující obecně definovat charakteristický kmitočet 𝜔0 (resp. 𝑓0 ) a činitel jakosti 𝑄. Příklad průběhu modulové a argumentové charakteristiky pásmové propusti 2. řádu s činitelem jakosti 𝑄 = 1 a 𝑄 = 10 je uveden na obr. 2.13. Z obr. 2.13(a) je zřejmé, že u pásmových propustí 2. řádu je průběh modulové charakteristiky tím ostřejší, čím vyšší je hodnota činitele jakosti. Pásmová propust s vysokou hodnotou činitele jakosti je více selektivní (úzkopásmová). V praxi však může nastat situace, kdy je požadován jak dostatečně strmý přechod z propustného do nepropustného pásma a tak současně i dostatečně široké pásmo propustnosti. Takovou situaci lze řešit transformací dolní propusti vyššího řádu na pásmovou propust. Např. pásmovou propust 4. řádu získáme využitím zmíněné transformace z dolní propusti (2.16): 𝐾0 = 𝐾(s) = (︂ )︂2 (︂ )︂ 1 𝑎21 1 𝑏21 + s+ +1 s+ s ΔΩ2 s ΔΩ (ΔΩ2 𝐾0 /𝑏21 ) s2 (︃ )︃ = . 2 ΔΩ𝑎 ΔΩ ΔΩ𝑎21 21 4 2 s + s+ +2 s + s+1 𝑏21 𝑏21 𝑏21

(2.39)

Modulové charakteristiky pásmových propustí 4. řádu aproximovaných dle Butterwortha a dle Čebyševa se zvlněním 2 dB jsou uvedeny na obr. 2.14.

2.4

Pásmová zádrž

Další ze základních filtračních funkcí je pásmová zádrž. Podobně jako pásmová propust je definována až přenosovou funkcí 2. řádu, a dále pak pro vyšší sudé mocniny řádu funkčního bloku. Praktické využití pásmové zádrže spočívá v odfiltrování rušivé složky v užitečném signálu, kdy obecně na rezonančním kmitočtu filtru je jeho přenos nulový a pro nízké a vysoké kmitočty má konstantní hodnotu. Stejně jako tomu je u pásmových propustí, tak i u pásmových zádrží lze hovořit o jejich míře selektivity, kdy se zavádí termín činitel jakosti potlačení signálu 𝑄 = 𝑓0 /𝐵, kde 𝐵 definuje kmitočtové pásmo, na jehož okrajích poklesne modul přenosové funkce o 3 dB. Stejně jako u pásmové propusti pak také platí, že čím větší je činitel jakosti, tím strměji se mění modul přenosu při přechodu z propustného do nepropustného pásma. Pro potřeby matematického popisu pásmové zádrže lze opět vycházet z přenosové funkce dolní propusti 1. řádu, kdy však v tomto případě je využita transformace ve tvaru

32


10 Q= 1 Q=10

5 0

mod(K) [dB]

-5 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -2 10

-1

10

0

10  [-]

1

2

10

10

(a) 80

Q= 1 Q=10

60

arg(K) [deg]

40 20 0 -20 -40 -60 -80 -2

10

-1

10

0

10

1

10

2

10

 [-]

(b)

Obrázek 2.13: (a) Modulová a (b) argumentová charakteristika filtru typu pásmová propust 2. řádu (𝑄 = 1, 𝑄 = 10) ΔΩ 1 . Podobně jako v kap. 2.3, v oblasti matematického popisu pásmové zádrže s+ s ΔΩ = 1/𝑄 označuje normované kmitočtové pásmo zadržení pro pokles o 3 dB. Touto s →

transformací se původní modulová charakteristika dolní propusti posune ve směru osy Ω doleva (do oblasti kmitočtů 0 ≤ Ω ≤ Ω1 ) a pravá část pásma zadržení je v logaritmickém měřítku zrcadlovým obrazem levé části vzhledem ke střednímu kmitočtu pásmové zádrže


33

10

0

3 dB

mod(K) [dB]

-10

-20

-30

ΔΩ

-40

PP 2. radu - Butterwotrh PP 4. radu - Butterwotrh PP 4. radu - Cebysev (2dB)

-50 -2 10

-1

10

Ω1

0

10  [-]

Ω2 101

2

10

Obrázek 2.14: Modulové charakteristiky pásmové propusti 4. řádu aproximované dle Butterwrotha a Čebyševa (zvlnění 2 dB) Ω = 1. Při rezonančním kmitočtu je hodnota přenosové funkce nulová [3]. Jak již bylo naznačeno, stejně jako v případě pásmové propusti, dochází k dvojnásobnému zvýšení řádu výsledné přenosové funkce. Využití výše uvedené transformace na přenosové charakteristice dolní propusti 1. řádu (2.11) tak vede na přenosovou funkci pásmové zádrže 2. řádu ve tvaru: 𝐾0 (1 + s2 ) 𝐾0 (1 + s2 ) 𝐾0 = = . 𝐾(s) = 1 ΔΩ 1 + ΔΩs + s2 1 + s + s2 1+ 𝑄 s + 1/s

(2.40)

Z (2.40) pak modulová a argumentová charakteristika filtru je dána výrazy: 𝐾(Ω) =

𝐾0 (1 − Ω2 ) ⎯ ⎸ ⎸ ⎷Ω4

(︃

+ Ω2

1 −2 +1 𝑄2 )︃

,

𝜙(Ω) = arctan

Ω . 𝑄 (Ω2 − 1)

(2.41)

Příklady praktické implementace pasivní zádrže realizované pomocí rezistorů a kapacitorů jsou uvedeny na obr. 2.15. V případě zapojení z obr. 2.15(a) přenosová funkce má tvar: 𝐾(p) =

p 2 𝑅1 𝑅2 𝐶1 𝐶2 + p𝑅2 (𝐶1 + 𝐶2 ) + 1 , p 2 𝑅1 𝑅2 𝐶1 𝐶2 + p (𝑅1 𝐶2 + 𝑅2 𝐶1 + 𝑅2 𝐶2 ) + 1

(2.42)

34


R1

C1

C1

C2

u1

R1

R2 C2

u2 u1

R2

(a)

u2

(b)

Obrázek 2.15: Realizace pasivní RC pásmové zádrže

L R C u1

R

L

u2 u1

u2 C

(a)

(b)

Obrázek 2.16: Realizace pasivní RLC pásmové zádrže a v případě zapojeni z obr. 2.15(b) lze přenosovou funkci kmitočtového filtru odvodit jako: p 2 𝑅1 𝑅2 𝐶1 𝐶2 + p𝐶1 (𝑅1 + 𝑅2 ) + 1 . (2.43) p 2 𝑅1 𝑅2 𝐶1 𝐶2 + p (𝑅1 𝐶1 + 𝑅1 𝐶2 + 𝑅2 𝐶1 ) + 1 Pro obě varianty řešení pasivní RC pásmové zádrže pro charakteristický kmitočet 𝜔0 𝐾(p) =

platí:

1 𝜔0 = √ . 𝑅1 𝑅2 𝐶1 𝐶2

Činitel jakosti filtru z obr. 2.15(a) je dán vztahem: √ 𝑅1 𝑅2 𝐶1 𝐶2 𝑄= 𝑅1 𝐶2 + 𝑅2 𝐶1 + 𝑅2 𝐶2 a u řešení z obr. 2.15(b) lze činitel jakosti vyjádřit jako: √ 𝑅1 𝑅2 𝐶1 𝐶2 𝑄= . 𝑅1 𝐶1 + 𝑅1 𝐶2 + 𝑅2 𝐶1

(2.44)

(2.45)

(2.46)

V případě, že u obou zapojení z obr. 2.15 bude platit 𝑅1 = 𝑅2 a 𝐶1 = 𝐶2 , pak hodnota činitele jakosti bude jen 1/3, což je maximální hodnota činitele jakosti, které lze v rámci těchto zapojení dosáhnout.


35

10 Q= 1 Q=10

5 0

mod(K) [dB]

-5 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -2 10

-1

10

0

1

10  [-]

2

10

10

(a) 90 Q= 1 Q=10

arg(K) [deg]

45

0

-45

-90 -2 10

-1

10

0

1

10  [-]

10

2

10

(b)

Obrázek 2.17: (a) Modulová a (b) argumentová charakteristika filtru typu pásmová zádrž 2. řádu (𝑄 = 1, 𝑄 = 10) Dále pak porovnáním vztahu (2.42) resp. (2.43) s formálním tvarem přenosové funkce pásmové zádrže (2.40) případně definicí pásmové zádrže popsanou již v tab. 1.2, je jasné, že v (2.42) a (2.43) se v čitateli přenosové funkce také vyskytuje člen první mocniny Laplaceova opeátoru p. Jeho přítomnost způsobuje, že při charakteristickém kmitočtu přenosová funkce nenabývá nulové hodnoty, ale je pouze jení z obr. 2.15(a), případně pouze

𝐶1 (𝑅1 +𝑅2 ) 𝑅1 𝐶1 +𝑅1 𝐶2 +𝑅2 𝐶1

𝑅2 (𝐶1 +𝐶2 ) 𝑅1 𝐶2 +𝑅2 𝐶1 +𝑅2 𝐶2

v případě zapo-

v případě zapojení z obr. 2.15(b).

36


Variantní řešení pasivní RLC pásmové zádrže 2. řádu jsou uvedeny na obr. 2.16. Zapojení z obr. 2.16(a) vyžívá ve své struktuře paralelní rezonanční obvod, zapojení z obr. 2.16(b) pak sériový rezonanční obvod. V případě zapojení z obr. 2.16(a) lze napěťovou přenosovou funkci vyjádřit jako: 𝐾(p) =

p 2 𝐿𝐶 + 1 , p 2 𝐿𝐶 + p𝐿𝐺 + 1

(2.47)

kde 𝐺 = 1/𝑅, a zapojení z obr. 2.16(b) je přenosová funkce určena výrazem: 𝐾(p) =

p 2 𝐿𝐶 + 1 . p 2 𝐿𝐶 + p𝐶𝑅 + 1

(2.48)

V případě zapojení z obr. 2.16 se tedy jedná již o pásmové zádrže v pravém slova smyslu, kdy činitel jakosti může obecně nabývat libovolných hodnot a zesílení filtru je na charakteristickém kmitočtu nulové. Průběhy modulové a argumentové charakteristiky pásmové zádrže dle (2.41) pro hodnotu činitele jakosti 𝑄 = 1 a 𝑄 = 10 jsou uvedeny na obr. 2.17.

2.5

Fázovací článek

Ze skupiny základních typů kmitočtových filtrů jsou pak fázovací články (FČ), v anglické literatuře označované termínem all-pass (AP). Také zde lze pro popis přenosové funkce fázovacího článku obecně 𝑛tého řádu vycházet z přenosové funkce dolní propusti, kdy transformace spočívá v nahrazení čitatele polynomem, který je komplexně sdružený s polynomem jmenovatele. Přenosovou funkci fázovacího článku lze tak v obecném zapsat jako [3]:

𝑏𝑛𝑖 s2 − 𝑎𝑛𝑖 s + 1 = 𝑏𝑛𝑖 s2 + 𝑎𝑛𝑖 s + 1 𝑖=1 √︁ (1 − 𝑏𝑛𝑖 Ω2 )2 + 𝑎2𝑛𝑖 Ω2 · exp [−j𝛼𝑛 (Ω)] ∏︀𝐼 ∏︀𝐼

𝐾(s) = ∏︀𝑖=1 𝐼 =

𝑖=1

√︁

Ω2 )2

𝑎2𝑛𝑖 Ω2

(1 − 𝑏𝑛𝑖 + · exp [j𝛼𝑛 (Ω)] = 1 · exp [−2j𝛼𝑛 (Ω)] = exp [j𝜙𝑛 (Ω)] ,

=

(2.49)

přičemž platí, že: 𝜙𝑛 (Ω) = −2j𝛼𝑛 (Ω) = −2

𝐼 ∑︁ 𝑖=𝑖

arctan

𝑎𝑛𝑖 Ω . 1 − 𝑏𝑛𝑖 Ω2

(2.50)

Jak je vidět z (2.49), charakteristické pro tuto skupinu kmitočtových filtrů je to, že modul přenosové funkce je v celém kmitočtovém pásmu konstantní, ale argument přenosové funkce (viz (2.50)) je na kmitočtu závislý. Tento typ funkčních bloků se využívá


37

především pro korekci fáze a ke zpoždění signálu, kdy je požadováno, aby během zpoždění signálu nedocházelo k jeho zkreslení. V tomto případě, tj. je-li fázovací článek využíván jako zpožďovací člen, je nutné splnit podmínku skupinového zpoždění, které musí být konstantní pro celé kmitočtové spektrum zpožďovaného signálu. Jak bude uvedeno později (kap. 2.6.2), filtr, který vyhovuje podmínce konstantního zpoždění je aproximován podle Bessela. V případě fázovacího článku však transformace modulové charakteristiky nemá smysl a koeficienty 𝑎𝑛𝑖 a 𝑏𝑛𝑖 dle Besselovy aproximace byly v [2] přepočteny tak, aby při normovaném kmitočtu Ω = 1 skupinové zpoždění vykazovalo pokles

√1 2

vůči své hodnotě

při nízkých kmitočtech. Přepočtené koeficienty pro návrh fázovacích článků 1. až 10. řádu jsou uvedeny v tab. 2.1. Skupinové zpoždění vyjadřuje dobu, o kterou je signál zpožděn při průchodu fázovacím článkem. Hodnotu skupinového zpoždění fázovacího článku 𝑛tého řádu normovanou podle převrácené hodnoty mezního kmitočtu 𝑇𝑚 = 1/𝑓𝑚 je možné určit ze vztahu (2.50) jako: 𝑇𝑛 (Ω) =

𝐼 1 ∑︁ 1 d𝜙𝑛 (Ω) 𝑎𝑛𝑖 (1 + 𝑏𝑛𝑖 Ω2 ) 𝜏𝑛 (Ω) = , = 𝑓𝑚 𝜏𝑛 (Ω) = − 𝑇𝑚 𝜋 dΩ 𝜋 𝑖=1 1 + (𝑎2𝑛𝑖 − 2𝑏𝑛𝑖 ) Ω2 + 𝑏2𝑛𝑖 Ω4

(2.51)

kde Ω = 𝜔/𝜔𝑚 , přičemž 𝜔𝑚 = 2𝜋𝑓𝑚 značí kmitočet, při kterém skupinové zpoždění √ poklesne na hodnotu 1/ 2 vůči původní hodnotě skupinového zpoždění. Jak již bylo uvedeno, od fázovacího článku se předpokládá konstantní skupinové zpoždění pro celé kmitočtové spektrum zpožďovaného signálu. Výpočet normovaného skupinového zpoždění 𝑇𝑛 (Ω) dle (2.51) lze značně zjednodušit, kdy je postačující určit pouze jeho hodnotu pro nulový kmitočet (Ω = 0) jako: 𝐼 1 ∑︁ 𝑎𝑛𝑖 . 𝑇𝑛 (0) = 𝜋 𝑖=1

(2.52)

Hodnotu normovaného skupinového zpoždění fázovacího článku 𝑛tého řádu je tedy možné určit pouze z koeficientů 𝑎𝑛𝑖 , které jsou uvedeny v tab. 2.1. V tab. 2.1 jsou kromě koeficientů 𝑎𝑛𝑖 a 𝑏𝑛𝑖 uvedeny i hodnoty poměrů kmitočtů 𝑓𝑖 /𝑓𝑚 , kde 𝑓𝑖 odpovídá kmitočtu při kterém natočení fáze dílčího filtru je −90° resp. −180° v případě dílčího bloku 1. resp. 2. řádu. Znát hodnotu kmitočtu 𝑓𝑖 je vhodné především v případě samotné praktické realizace, neboť daný kmitočet lze určit mnohem snadněji než mezní kmitočet skupinového zpoždění 𝑓𝑚 . Praktická implementace fázovacího článku 1. řádu využívající pouze prvky R a C je uvedena na obr. 2.18. Napěťovou přenosovou charakteristiku tohoto zapojení lze vyjádřit jako:

𝑅1 1 − p𝐶𝑅3 . (2.53) 𝑅1 + 𝑅2 1 + p𝐶𝑅3 Pro řešení fázovacího článku z obr. 2.18 tedy platí, že zesílení 𝐾0 kmitočtových složek 𝐾(p) =

signálu pod mezním a nad mezním kmitočtem je určeno poměrem 𝑅1 / (𝑅1 + 𝑅2 ) a mezní

38


Tabulka 2.1: Koeficienty 𝑎𝑛𝑖 a 𝑏𝑛𝑖 pro návrh fázovacích článků 𝑛

𝑖

𝑎𝑛𝑖

𝑏𝑛𝑖

𝑓𝑖 /𝑓𝑚

𝑄𝑖

1

1

0,6436

0,0000

1,554

-

2

1

1,6278

0,8832

1,064

0,58

1

1,1415

0,0000

0,876

-

2

1,5092

1,0877

0,959

0,69

1

2,3370

1,4878

0,820

0,52

2

1,3506

1,1837

0,919

0,81

1

1,2974

0,0000

0,771

-

2

2,2224

1,5685

0,798

0,56

3

1,2116

1,2330

0,901

0,92

1

2,6117

1,7763

0,750

0,51

2

2,0706

1,6015

0,790

0,61

3

1,0967

1,2596

0,891

1,92

1

1,3735

0,0000

0,750

-

2

2,5320

1,8169

0,790

0,53

3

1,9211

1,6116

0,891

1,66

4

1,0023

1,2743

0,886

1,13

1

2,7541

1,9420

0,718

0,51

2

2,4174

1,8300

0,739

0,56

3

1,7850

1,6101

0,788

0,71

4

0,9239

1,2822

0,883

1,23

1

1,4186

0,0000

0,705

-

2

2,6979

1,9659

0,713

0,52

3

2,2940

1,8282

0,740

0,59

4

1,6644

1,6027

0,790

0,76

5

0,8579

1,2862

0,882

1,32

1

2,8406

2,0490

0,699

0,50

2

2,6120

1,9714

0,712

0,54

10 3

2,1733

1,8184

0,742

0,62

4

1,5583

1,5923

0,792

0,81

5

0,8018

1,2877

0,881

1,42

3 4

5

6

7

8

9

kmitočet tohoto zapojení lze určit jako: 𝜔𝑚 =

1 . 𝐶𝑅3

(2.54)


R1

39

R3 u2

u1 R2

C

Obrázek 2.18: Realizace pasivního RC fázovacího článku 1. řádu Problém nejenotkového zesílení 𝐾0 tohoto filtru lze odstranit vhodným zesilovačem ve struktuře. Zásadní nevýhodou pasivního RC fázovacího článku je skutečnost, že výstupní napěťová odezva je snímána jako plovoucí. Pro zmíněné nevýhody pasivní realizace fázovacích článků 1. řádu je tak výhodnější přistoupit k přímému využití aktivního prvku, jak to bude uvedeno v kap. 4.

2.6

Aproximace přenosových funkcí

Jak již je možné vysledovat z obr. 1.4, tvar přenosové charakteristiky je jednak určen řádem filtru, tak i typem filtru (dolní propust, hodní propust,...). Parametry filtru mohou být definovány dle různých parametrů s ohledem na zpracovávaný signál. Při návrhu kmitočtových filtrů 2. řádu se ve většině případů pracuje pouze s definovanou hodnotou činitele jakosti 𝑄 a charakteristického kmitočtu 𝜔0 . V případě návrhu kmitočtových filtrů vyšších řádů, ať už kaskádní nebo nekaskádní syntézou, pro splnění definovaného průběhu přenosové funkce musí mít koeficienty 𝑎21 a 𝑏21 , resp. 𝑐𝑛𝑖 zcela určitou hodnotu. Kmitočtové filtry (pasivní i aktivní) se tak navrhují dle jisté aproximace, kdy nejčastěji se přenosové funkce aproximují dle Butterwortha, Čebyševa, Bessela, případně i Cauera. Modulová charakteristika kmitočtového filtru aproximovaná dle Butterwortha je maximálně plochá v propustném pásmu kmitočtů a za mezním kmitočtem vykazuje velmi rychlý pokles modulu. Přechodová charakteristika (odezva filtru na jednotkový skok) však vykazuje zákmity, kdy s rostoucím řádem filtru jsou tyto zákmity významnější. Modulová charakteristika filtru s přenosovou funkcí aproximovanou dle Čebyševa za mezním kmitočtem prudce klesá, rychleji, než v případě Butterworthovy aproximace. V pásmu propustnosti však modul není monotonní, ale vykazuje zvlnění s konstantním rozkmitem. Při návrhu flitru lze velikost tohoto zvlnění jasně definovat. Přestože tedy je přechod z propustného do nepropustného pásma strmější, než v případě Butterworthovy

40


aproximace, při buzení jednotkovým skokem jsou zákmity podstatně větší. Optimální přenosovou charakteristiku vykazuje filtr s přenosovou funkcí aproximovanou dle Bessela. Je tomu tak z toho důvodu, že tato aproximace má konstantní skupinové zpoždění 𝜏 (𝜔):

d𝜙(𝜔) , (2.55) d𝜔 v širokém kmitočtovém rozsahu (téměř v celém pásmu propustnosti). Pokles modulové 𝜏 (𝜔) = −

charakteristiky filtrů realizovaných dle Besselovy aproximace však mají méně strmý pokles z propustného do nepropustného pásma než je tomu u Butterworthovy resp. Čebyševovy aproximace. Srovnání průběhů modulových charakteristik výše zmíněných typů aproximací, spolu s RC filtrem s kritickým tlumením, je uvedeno na obr. 2.19. Na obr. 2.20 jsou pak uvedeny přechodové charakteristiky dolních propustí 4. řádu pro různé typy aproximací přenosovoých funkcí a dále pak průběhy skupinového zpoždění určené dle (2.55) z argumentové charakteristiky filtru. Jak bude ukázáno v následující části, změna aproximace při daném řádu filtru spočívá pouze ve volbě jiných hodnot koeficientů 𝑎𝑛𝑖 a 𝑏𝑛𝑖 . Využitím stejného výchozího obvodu realizujícího daný typ kmitočtového filtru (dolní propust, horní propust,...) tak lze realizovat danou aproximaci a to pouze změnou hodnot příslušných pasivních prvků. Dále jsou blíže popsány nejčastěji využívané typy aproximací spolu a uvedeny hodnoty koeficientů 𝑎𝑛𝑖 a 𝑏𝑛𝑖 určených pro návrh filtrů 𝑛tého řádu kaskádní syntézou, resp. hodnoty koeficientů 𝑐𝑛𝑖 využívaných v případě návrhu filtrů 𝑛tého řádu nekaskádní syntézou. Protože všechny typy kmitočtových filtrů lze využitím vhodné transformace definovat na základě popisu přenosové funkce dolní propusti, vychází se při popisu jednotlivých aproximací právě z vyjádření přenosu dolní propusti 𝑛tého řádu.

2.6.1

Aproximace přenosové funkce dle Butterwortha

Absolutní hodnotu napěťového přenosu filtru 𝑛tého řádu dle (2.21) lze vyjádřit jako: 𝐾0 , (2.56) 𝐾𝑛 (Ω) = √ 2 1 + 𝑒𝑛1 Ω + 𝑒𝑛2 Ω4 + ... + 𝑒𝑛𝑛 Ω2𝑛 kdy je vidět, že v modulu chybí liché mocniny normovaného úhlového kmitočtu Ω, což odpovídá skutečnosti, že mocnina 𝐾𝑛2 (Ω) musí být sudá funkce. V případě Butterworthovy aproximace musí být funkce (2.56) maximálně plochá. Tento požadavek má být splněn pro Ω < 1, tj. pro pásmo propustnosti filtru, z čehož vyplývá, že průběh modulové charakteristiky (2.56) bude záviset pouze na nejvyšší mocnině Ω a lze ji zjednodušit na přibližný vztah: 𝐾𝑛 (Ω) = √

𝐾0 , 1 + 𝑒𝑛𝑛 Ω2𝑛

(2.57)


41

10 RC s krit. tlumenim Butterworth Bessel Cebysev 2 dB

0 -10

mod(K) [dB]

-20 -30 -40 -50 -60 -70 -2 10

-1

0

10

10  [-]

1

10

2

10

(a) 10 RC s krit. tlumenim Butterworth Bessel Cebysev 2 dB

0 -10

mod(K) [dB]

-20 -30 -40 -50 -60 -70 -2 10

-1

0

10

10  [-]

1

10

2

10

(b)

Obrázek 2.19: Srovnání modulu přenosové funkce dolních propustí navržených dle vybraných aproximací: (a) 4. řád, (b) 10. řád

kde koeficient 𝑒𝑛𝑛 lze určit z požadavku, že modul při kmitočtu Ω = 1 se musí snížit o 3 dB. Řešením rovnice: 𝐾 𝐾 √0 = √ 0 1 + 𝑒𝑛𝑛 2

(2.58)

tedy platí, že 𝑒𝑛𝑛 = 1 a modul přenosové funkce dolní propustnosti aproximovaný dle

42


1.4

1.2

0.8

2

2

u /U [-]

1

0.6

0.4 RC s krit. tlumenim Butterworth Bessel Cebysev 2 dB

0.2

0

0

0.5

1

1.5

2

2.5 t/Tm [-]

3

3.5

4

4.5

5

(a) 1.8 RC s krit. tlumenim Butterworth Bessel Cebysev 2 dB

1.6 1.4

1

4

T [-]

1.2

0.8 0.6 0.4 0.2 0 -2 10

-1

10

0

10  [-]

1

10

2

10

(b)

Obrázek 2.20: Srovnání (a) přechodových charakteristik dolních propustí 4. řádu navržených dle vybraných aproximací, (b) skupinového zpoždění 𝜏 (𝜔)

Butterwortha má tvar: 𝐾0 𝐾𝑛 (Ω) = √ , 1 + Ω2𝑛

(2.59)

Podle [2] je možné určit póly přenosové funkce 𝑛tého řádu aproximované dle Butterwortha analyticky. Uvažujeme-li obecný vztah přenosové funkce dolní propusti dle


43

(2.20) pak je pro 𝑛 sudé možné koeficienty 𝑎𝑛𝑖 a 𝑏𝑛𝑖 určit na základě vztahů: 𝑎𝑛𝑖 = 2 cos

2𝑖 − 1 𝜋, 2𝑛

𝑏𝑛𝑖 = 1,

pro 𝑖 = 1, 2, ...𝑛/2,

(2.60)

a pro 𝑛 liché jsou koeficienty 𝑎𝑛𝑖 a 𝑏𝑛𝑖 definovány jako: 𝑎𝑛1 = 1, 𝑎𝑛𝑖 = 2 cos

2𝑖 − 1 𝜋, 2𝑛

𝑏𝑛1 = 0, 𝑏𝑛𝑖 = 1,

pro 𝑖 = 2, 3, ...(𝑛 + 1)/2.

(2.61)

Hodnoty koeficientů 𝑎𝑛𝑖 a 𝑏𝑛𝑖 pro Butterworthovu aproximaci jsou pro 𝑛 = 1, ...10 uvedeny v tab. 2.2 [2]. Kromě těchto koeficientů jsou v tab. 2.2 také uvedeny hodnoty normovaného mezního kmitočtu 𝑓𝑚𝑖 /𝑓𝑚 pro každý dílčí článek kaskádní struktury spolu s √ odpovídající hodnotou činitele jakosti 𝑄𝑖 = 𝑏𝑛𝑖 /𝑎𝑛𝑖 . Čím vyšší je hodnota činitele jakosti tím větší má daná sekce sklon ke kmitání. Pro potřeby nekaskádní syntézy jsou v tab. 2.3 uvedeny hodnoty koeficientů 𝑐𝑛𝑖 pro přenosovou funkci aproximovanou dle Butterwortha. Jejich hodnoty jsou odvozeny od koeficientů 𝑎𝑛𝑖 a 𝑏𝑛𝑖 na základě následující úvahy: 𝐻1 (s) = s + 1, 𝐻2 (s) = s2 + 1, 4142s + 1, (2.62)

𝐻3 (s) = (s + 1) (s2 + s + 1) = s3 + 2s2 + 2s + 1, 𝐻4 (s) = (s2 + 1, 8478s + 1) (s2 + 0, 7654s + 1) = = s4 + 2, 613s3 + 3, 414s2 + 2, 613s + 1.

Modulové charakteristiky filtrů s Butterworthovou aproximací pro různé řády filtru jsou uvedeny na obr. 2.21. 10 0 -10

mod(K) [dB]

-20 -30 -40 -50 -60 -70 -80 -1 10

n= 1 n= 2 n= 3 n= 4 n= 5 n= 6 n= 7 n= 8 n= 9 n=10 0

1

10

10

2

10

 [-]

Obrázek 2.21: Modulové charakteristiky dolní propusti aproximované dle Butterwortha

44


Tabulka 2.2: Koeficienty 𝑎𝑛𝑖 a 𝑏𝑛𝑖 přenosové funkce dolní propusti aproximované dle Butterwortha pro kaskádní syntézu 𝑛

𝑖

1 2

𝑏𝑛𝑖

𝑓𝑚𝑖 /𝑓𝑚

𝑄𝑖

1 1,0000

0,0000

1,000

-

1 1,4142

1,0000

1,000

0,71

1 1,0000

0,0000

1,000

-

2 1,0000

1,0000

1,272

1,00

1 1,8478

1,0000

0,719

0,54

2 0,7654

1,0000

1,390

1,31

1 1,0000

0,0000

1,000

-

2 1,6180

1,0000

0,859

0,62

3 0,6180

1,0000

1,448

1,62

1 1,9319

1,0000

0,676

0,52

2 1,4142

1,0000

1,000

0,71

3 0,5176

1,0000

1,479

1,93

1 1,0000

0,0000

1,000

-

2 1,8019

1,0000

0,745

0,55

3 1,2470

1,0000

1,117

0,80

4 0,4450

1,0000

1,499

2,25

1 1,9616

1,0000

0,661

0,51

2 1,6629

1,0000

0,829

0,60

3 1,1111

1,0000

1,206

0,90

4 0,3902

1,0000

1,512

2,56

1 1,0000

0,0000

1,000

-

2 1,8794

1,0000

0,703

0,53

3 1,5321

1,0000

0,917

0,65

4 1,0000

1,0000

1,272

1,00

5 0,3473

1,0000

1,521

2,88

1 1,9754

1,0000

0,655

0,51

2 1,7820

1,0000

0,756

0,56

10 3 1,4142

1,0000

1,000

0,71

4 0,9080

1,0000

1,322

1,10

5 0,3129

1,0000

1,527

3,20

3 4

5

6

7

8

9

𝑎𝑛𝑖


45

Tabulka 2.3: Koeficienty 𝑐𝑛𝑖 přenosové funkce dolní propusti aproximované dle Butterwortha pro nekaskádní syntézu 𝑛

𝑐𝑛1

𝑐𝑛2

𝑐𝑛3

𝑐𝑛4

𝑐𝑛5

𝑐𝑛6

𝑐𝑛7

𝑐𝑛8

𝑐𝑛9

𝑐𝑛10

1

1,0000

-

-

-

-

-

-

-

-

-

2

1,4142

1,0000

-

-

-

-

-

-

-

-

3

2,0000

2,0000

1,0000

-

-

-

-

-

-

-

4

2,6131

3,4242

2,6131

1,0000

-

-

-

-

-

-

5

3,2361

5,2361

5,2361

3,2361

1,0000

-

-

-

-

-

6

3,8637

7,4641

9,1416

7,4641

3,8637

1,0000

-

-

-

-

7

4,4940

10,098

14,592

14,592

10,098

4,4940

1,0000

-

-

-

8

5,1258

13,137

21,846

25,688

21,846

13,137

5,1258

1,0000

-

-

9

5,7588

16,582

31,163

41,986

41,986

31,163

16,582

5,7588

1,0000

-

10 6,3925

20,432

42,802

64,882

74,233

64,882

42,802

20,432

6,3925

1,0000

2.6.2

Aproximace přenosové funkce dle Bessela

Jak již bylo uvedeno, kmitočtové filtry aproximované dle Butterwortha či Čebyševa vykazují významný překmit v případě přechodové charakteristiky (obr. 2.20(a)). Ideální odezva na obdélníkový signál je dosažena u filtrů, které mají kmitočtově nezávislé skupinové zpoždění, tj. mají otáčejí fázi úměrně kmitočtu. Takové chování je nejlépe emulováno filtry navrženými dle Besselovy aproximace, také označovanými jako Thomsonovy filtry. Parametry filtru musí být v tomto případě stanoveny tak, aby skupinové zpoždění bylo pro Ω < 1 přibližně konstantní a na kmitočtu Ω pokud možno nezávislé. Na základě vztahu (2.20) lze dolní propust 2. řádu zjednodušeně vyjádřit jako: 𝐾(s) =

𝑏21

s2

𝐾0𝑖 , + 𝑎21 s + 1

(2.63)

resp. po dosazení s = jΩ: 𝐾(Ω) =

−𝑏21

Ω2

𝐾0𝑖 . + j𝑎21 Ω + 1

(2.64)

Z (2.64) pak argumentová charakteristiky je definována výrazem: 𝜙(Ω) = − arctan

𝑎21 Ω . 1 − 𝑏21 Ω2

(2.65)

Skupinové zpoždění definované dle (2.55) je pro zjednodušení dalšího výkladu normováno vůči převrácené hodnotě mezního kmitočtu 1/𝑓𝑚 = 𝑇𝑚 . Normované skupinové zpoždění tak je: 𝑇 (𝜔) =

𝜏 (𝜔) 𝜔𝑚 = 𝑓𝑚 𝜏 (𝜔) = 𝜏 (𝜔). 𝑇𝑚 2𝜋

(2.66)

46


Normováním i úhlového kmitočtu 𝜔 mezním úhlovým kmitočtem 𝜔𝑚 , pak: (︂

𝑇

𝜔 𝜔𝑚

)︂

=

𝜔 𝜔𝑚 𝜏 2𝜋 𝜔𝑚 (︂

)︂

=−

1 d𝜙(𝜔/𝜔𝑚 ) . 2𝜋 d𝜔/𝜔𝑚

(2.67)

Protože Ω = 𝜔/𝜔𝑚 , výraz (2.65) lze dosadit do (2.67) a psát: 𝑇 (Ω) = −

1 d𝜙(Ω) 1 𝑎21 (1 + 𝑏21 Ω2 ) = , 2𝜋 dΩ 2𝜋 1 + (𝑎221 − 2𝑏21 ) Ω2 + 𝑏221 Ω4

(2.68)

kdy tento výraz lze pro Ω << 1 zjednodušit na: 𝑇 (Ω) =

(1 + 𝑏21 Ω2 ) 𝑎21 . 2𝜋 1 + (𝑎221 − 2𝑏21 ) Ω2

(2.69)

Výraz (2.69) se stane nezávislý na kmitočtu v okamžiku, kdy bude splněna podmínka 𝑏21 = 𝑎221 − 2𝑏21 , tzv. mezi koeficienty 𝑎21 a 𝑏21 musí platit: 𝑏21 =

𝑎221 . 3

(2.70)

Pro potřeby určení koeficientů 𝑎21 a 𝑏21 lze využít druhé podmínky, tj. požadavku, √︁

že normovaná modulová charakteristika 𝐾(Ω) = 𝐾0 / (1 − 𝑏21 Ω2 )2 + 𝑎221 Ω2 na kmitočtu √ Ω = 1 poklesne na hodnotu 1/ 2, tj.: 1 1 , 𝐾(1) = √ = √︁ 2 (1 − 𝑏21 )2 + 𝑎21

(2.71)

z čehož vyplývá druhá podmínka mezi koeficienty 𝑎21 a 𝑏21 : 1 1 = . 2 (1 − 𝑏21 )2 + 𝑎21

(2.72)

Řešením (2.70) a (2.72) jsou pak získány požadované koeficienty dolní propusti 2. řádu aproximované dle Bessela: 𝑎21 = 1, 3617 a 𝑏21 = 0, 6180. Výpočet koeficientů 𝑎𝑛𝑖 a 𝑏𝑛𝑖 pro mnohočleny vyšších řádů je obtížnější, neboť je v takovém případě nutné řešit soustavu nelineárních rovnic. Podle [2] je však možné koeficienty 𝑐𝑛𝑖 určit rekurentními vztahy: ′

𝑐𝑛1 = 1,

′

𝑐𝑛𝑖 =

2(𝑛 − 𝑖 + 1) ′ 𝑐 . 𝑖(2𝑛 − 𝑖 + 1) 𝑛(𝑖−1)

(2.73)

Jmenovatel přenosové funkce dle (2.21) pak vyjadřuje tzv. Besselův polynom. Besselovy polynomy filtrů do 4. řádu mají tento tvar: 𝐻1 (s𝑛 ) = 1 + s𝑛 , 1 𝐻2 (s𝑛 ) = 1 + s𝑛 + s2𝑛 , 3 2 2 1 𝐻3 (s𝑛 ) = 1 + s𝑛 + s𝑛 + s3𝑛 , 5 15 3 2 2 3 1 4 𝐻4 (s𝑛 ) = 1 + s𝑛 + s𝑛 + s𝑛 + s . 7 21 105 𝑛

(2.74)


47

10 0 -10

mod(K) [dB]

-20 n= 1 n= 2 n= 3 n= 4 n= 5 n= 6 n= 7 n= 8 n= 9 n=10

-30 -40 -50 -60 -70 -1 10

0

1

10

2

10

10

 [-]

Obrázek 2.22: Modulové charakteristiky dolní propusti aproximované dle Bessela Tabulka 2.4: Koeficienty 𝑐𝑛𝑖 přenosové funkce dolní propusti aproximované dle Bessela pro nekaskádní syntézu 𝑛

𝑐𝑛1

𝑐𝑛2

𝑐𝑛3

𝑐𝑛4

𝑐𝑛5

𝑐𝑛6

𝑐𝑛7

𝑐𝑛8

𝑐𝑛9

𝑐𝑛10

1

1,0000

-

-

-

-

-

-

-

-

-

2

1,3617

0,6180

-

-

-

-

-

-

-

-

3

1,7556

1,2329

0,3608

-

-

-

-

-

-

-

4

2,1360

1,9323

0,9083

0,1902

-

-

-

-

-

-

5

2,4274

2,6187

1,5891

0,5510

0,0892

-

-

-

-

-

6

2,7034

3,3220

2,3948

1,0790

0,2917

0,0376

-

-

-

-

7

2,9517

4,0213

3,2972

1,7696

0,6268

0,1371

0,0145

-

-

-

8

3,1796

4,7179

4,2859

2,6206

1,1110

0,3211

0,0583

0,0052

-

-

9

3,3917

5,4135

5,3553

3,6328

1,7602

0,6123

0,1484

0,0229

0,0017

-

10 3,5910

6,1082

6,4990

4,8047

2,5880

1,0326

0,3027

0,0627

0,0083

0,0005

V reprezentaci Beselových polynomů dle (2.74) komplexní proměnná s𝑛 není normována vzhledem k meznímu kmitočtu 𝜔𝑚 , ale vzhledem k převrácené hodnotě skupinového zpoždění při Ω = 0. Pro potřeby návrhu kmitočtových filtrů je takový způsob normování nevhodný, a proto v [2] byly koeficienty 𝑐𝑛𝑖 přepočteny pro mezní kmitočet 𝜔𝑚 . Koeficienty 𝑐𝑛𝑖 přenosové funkce aproximované dle Bessela pro nekaskádní syntézu jsou uvedeny v tab. 2.4. Autoři v [2] pak také provedli rozložení polynomu jmenovatele přenosové funkce na

48


Tabulka 2.5: Koeficienty 𝑎𝑛𝑖 a 𝑏𝑛𝑖 přenosové funkce dolní propusti aproximované dle Bessela pro kaskádní syntézu 𝑛

𝑖

1 2

𝑏𝑛𝑖


𝑄𝑖

1 1,0000

0,0000

1,000

-

1 1,3617

0,6180

1,000

0,58

1 0,7560

0,0000

1,323

-

2 0,9996

0,4772

1,414

0,69

1 1,3397

0,4889

0,978

0,52

2 0,7743

0,3890

1,797

0,81

1 0,6656

0,0000

1,502

-

2 1,1402

0,4128

1,184

0,56

3 0,6216

0,3245

2,138

0,92

1 1,2217

0,3887

1,063

0,51

2 0,9686

0,3505

1,431

0,61

3 0,5131

0,2756

2,447

1,02

1 0,5937

0,0000

1,684

-

2 1,0944

0,3395

1,207

0,53

3 0,8304

0,3011

1,695

0,61

4 0,4332

0,2381

2,731

1,13

1 1,1112

0,3162

1,164

0,51

2 0,9754

0,2979

1,381

0,56

3 0,7202

0,2621

1,963

0,71

4 0,3728

0,2087

2,992

1,23

1 0,5386

0,0000

1,857

-

2 1,0244

0,2834

1,277

0,52

3 0,8710

0,2636

1,574

0,59

4 0,6320

0,2311

2,226

0,76

5 0,3257

0,2854

3,237

1,32

1 1,0215

0,2650

1,264

0,50

2 0,9393

0,2549

1,412

0,54

10 3 0,7815

0,2351

1,780

0,62

4 0,5604

0,2059

2,479

0,81

5 0,2883

0,1665

3,466

1,42

3 4

5

6

7

8

9

𝑎𝑛𝑖


49

mnohočleny 2. řádu. Hodnoty koeficientů 𝑎𝑛𝑖 a 𝑏𝑛𝑖 přenosové funkce aproximované dle Bessela pro kaskádní syntézu jsou uvedeny v tab. 2.5. Modulové charakteristiky dolní propusti 1. až 10. řádu aproximované dle Bessela jsou uvedeny na obr. 2.22.

2.6.3

Aproximace přenosové funkce dle Čebyševa

Filtr s přenosovou funkcí aproximovanou dle Čebyševa je charakteristický tím, že pro velmi nízké kmitočty (𝑓 << 𝑓𝑚 ) je přenos 𝐾0 konstantní. V okamžiku, kdy se kmitočet zpracovávaného signálu blíží k meznímu kmitočtu (𝑓 < 𝑓𝑚 ), tj. v blízkosti Ω = 1 má modulová charakteristika definovaný zvlněný charakter. Maximální hodnota zvlnění je dána parametry filtru a je možné ji tak nastavit na libovolnou úroveň. Platí, že zmenšování povoleného zvlnění modulové charakteristiky vede na zmenšení rychlosti poklesu modulové charakteristiky do nepropustného pásma. Přesto v případě Čebyševovy aproximace je rychlost poklesu nejvyšší v porovnání s aproximací dle Butterwortha či Bessela. Polynom, který vykazuje konstantní zvlnění v definovaném rozsahu je označován jako Čebyševův polynom a podle [2] je definován takto: 𝑇𝑛 (𝑥) =

⎧ ⎪ ⎨cos(𝑛 · arccos 𝑥)

pro |𝑥| ≤ 1,

⎪ ⎩cosh(𝑛 · arccosh𝑥)

pro 𝑥 > 1.

(2.75)

V oblasti |Ω| ≤ 1 funkce |𝑇𝑛 (Ω)| kmitá mezi hodnotami 0 a 1, pro Ω > 1 monotónně roste. Pro potřeby návrhu kmitočtových filtrů se využívají Čebyševovy polynomy prvního druhu, které lze určit rekurentními vztahy: 𝑇0 (𝑥) = 1,

𝑇1 (𝑥) = 𝑥,

𝑇𝑛+1 (𝑥) = 2𝑥𝑇𝑛 (𝑥) − 𝑇𝑛−1 (𝑥).

(2.76)

Využitím (2.76) první čtyři Čebyševovy polynomy (𝑛 = 1, ...4) jsou pak tyto: 𝑇1 (𝑥) = 𝑥,

𝑇2 (𝑥) = 2𝑥2 − 1,

𝑇3 (𝑥) = 4𝑥3 − 3𝑥,

𝑇4 (𝑥) = 8𝑥4 − 8𝑥2 + 1.

(2.77)

Modulová charakteristiky kmitočtového filtru dolní propusti využívající Čebyševovy polynomy má tvar:

𝑘𝐾0 , 𝐾(Ω) = √︁ 1 + 𝜀2 𝑇𝑛2 (Ω)

(2.78)

kde koeficient 𝑘 se volí tak, aby pro Ω = 0 byla splněna podmínka 𝐾(0) = 𝐾0 . Znamená √ to tedy, že 𝑘 = 1 pro polynomy lichého řádu, anebo 𝑘 = 1 + 𝜀2 pro polynomy sudého řádu. Činitel 𝜀 udává míru zvlnění charakteristiky filtru: 𝐾𝑚𝑎𝑥 √ = 1 + 𝜀2 . 𝐾𝑚𝑖𝑛

(2.79)

50


V pásmu propustnosti tak pro maximální a minimální hodnotu zesílení modulové charakteristiky filtry sudého řádu platí: √ 𝐾𝑚𝑎𝑥 = 𝐾0 1 + 𝜀2 ,

𝐾𝑚𝑖𝑛 = 𝐾0 ,

(2.80)

a pro filtry lichého řádu platí: 𝐾0 𝐾𝑚𝑖𝑛 = √ . 1 + 𝜀2

𝐾𝑚𝑎𝑥 = 𝐾0 ,

(2.81)

Hodnotu zvlnění v decibelech lze určit jako Δ𝐾𝑑𝐵 = 𝐾𝑚𝑎𝑥𝑑𝐵 − 𝐾𝑚𝑖𝑛𝑑𝐵 , kde 𝐾𝑚𝑎𝑥𝑑𝐵 = 20 log (𝐾𝑚𝑎𝑥 /𝐾0 ) a 𝐾𝑚𝑖𝑛𝑑𝐵 = 20 log (𝐾𝑚𝑖𝑛 /𝐾0 ). Protože Δ𝐾𝑑𝐵 = 20 log (𝐾𝑚𝑎𝑥 /𝐾𝑚𝑖𝑛 ) = √ 20 log 1 + 𝜀2 je možné pro dané zvlnění Δ𝐾𝑑𝐵 určit hodnotu činitele 𝜀: 𝜀=

√︁

10

Δ𝐾𝑑𝐵 10

− 1.

(2.82)

Zvolíme-li hodnotu činitele přenosu, zvlnění a řád filtru, je možné nalézt hodnou komplexního činitele přenosu při aproximaci dle Čebyševa a z něho pak určit odpovídající koeficienty. Pohodlnější však je vyčíslit póly přenosové funkce přímo. Sloučením kom′

′

plexně sdružených pólů přenosové funkce lze pro koeficienty 𝑎𝑛𝑖 a 𝑏𝑛𝑖 v případě filtru sudého řádu 𝑛 psát [2]: 1

′

𝑏𝑛𝑖 =

cosh 𝛾 − 2

cos2

(2𝑖 − 1)𝜋 2𝑛

′

′

𝑎𝑛𝑖 = 2𝑏𝑛𝑖 · sinh 𝛾 · cos

,

(2𝑖 − 1)𝜋 , 2𝑛

(2.83)

pro 𝑖 = 1, ...𝑛/2. ′

′

Koeficienty 𝑎𝑛𝑖 a 𝑏𝑛𝑖 jsou v případě filtru lichého řádu 𝑛 určeny vztahy [2]: 1

′

𝑏𝑛𝑖 =

cosh 𝛾 − 2

cos2

(𝑖 − 1)𝜋 𝑛

,

′

′

′

𝑎𝑛𝑖 = 2𝑏𝑛𝑖 · sinh 𝛾 · cos

(𝑖 − 1)𝜋 , 𝑛

(2.84)

′

pro 𝑖 = 2, ...(𝑛 + 1)/2, kdy 𝑎𝑛1 = 1/ sinh 𝛾 a 𝑏𝑛1 = 0. Ve vztazích (2.83) a (2.84) je 1 1 𝛾 = arsinh . 𝑛 𝜀 ′ ′ Dosadíme-li získané koeficienty 𝑎𝑛𝑖 a 𝑏𝑛𝑖 do vztahu (2.20) za koeficienty 𝑎𝑛𝑖 a 𝑏𝑛𝑖 , pak sice získáme přenosovou funkci dolní propusti aproximovanou dle Čebyševy, ale komplexní proměnná s nebude normována vzhledem k meznímu kmitočtu 𝜔𝑚 odpovídajícímu poklesu o 3 dB, ale vzhledem ke kmitočtu 𝜔𝐶 , při kterém činitel přenosu filtru nabývá naposledy hodnoty 𝐾𝑚𝑖𝑛 . Aby bylo možné snadněji porovnat průběh modulové charakteristiky filtru pro různé typy aproximací, je nutné v případě Čebyševovy aproximace provést transformaci s → 𝛼s, tzn.: ′

𝑎𝑛𝑖 = 𝛼𝑎𝑛𝑖 ,

′

𝑏𝑛𝑖 = 𝛼2 𝑏𝑛𝑖 .

(2.85)


51

Konstanta normování 𝛼 se volí tak, aby činitel přenosu pro s = j měl hodnotu právě √ 1/ 2, tzn. aby modulová charakteristika vykazovala při Ω = 𝜔/𝜔𝑚 = 1 právě pokles o 3 dB. Hodnoty koeficientů 𝑎𝑛𝑖 a 𝑏𝑛𝑖 přenosové funkce dolní propusti aproximované dle Čebyševa pro kaskádní syntézu jsou pro zvlnění Δ𝐾𝑑𝐵 o hodnotách 0, 5 dB, 1 dB, 2 dB, a 3 dB uvedeny v tab. 2.6, tab. 2.7, tab. 2.8 a tab. 2.9. Současně jsou uvedeny i příslušné parametry dílčích filtrů, tj. mezní kmitočty dílčích filtrů vztažené k meznímu kmitočtu celého filtru 𝑓𝑚𝑖 /𝑓𝑚 a činitel jakosti 𝑄𝑖 . Hodnoty koeficientů 𝑐𝑛𝑖 přenosové funkce dolní propusti aproximované dle Čebyševa pro nekaskádní syntézu jsou pro zvlnění Δ𝐾𝑑𝐵 o hodnotách 0, 5 dB, 1 dB, 2 dB, a 3 dB uvedeny v tab. 2.10, tab. 2.11, tab. 2.12 a tab. 2.13. Průběhy modulové charakteristiky se zvlněním Δ𝐾𝑑𝐵 = 2 dB v propustném pásmu jsou uvedeny na obr. 2.23 a obr. 2.24. Pro přehlednost jsou na obr. 2.23(a) uvedeny jen modulové charakteristiky filtrů lichého řádu, kdy na obr. 2.23(b) je uveden detail modulové charakteristiky v pásmu propustnosti. Podobně na obr. 2.24(a) jsou uvedeny jen moduly přenosové charakteristiky dolní propusti sudého řádu. Na obr. 2.24(b) je pak detail průběhu modulové charakteristiky v propustném pásmu. Na obr. 2.25 jsou pak pro porovnání uvedeny modulové charakteristiky dolní propusti 4. řádu aproximované dle Čebyševa pro různé velikosti zvlnění. Je vidět, že pro nižší hodnoty zvlnění v propustném pásmu je také rychlost změny modulu z propustného do nepropustného pásma menší. Pro porovnání je v obr. 2.25 uvedena také modulová charakteristika aproximovaná dle Butterwortha, kdy je vidět, že i pro nejnižší uvažovanou hodnotu zvlnění (tj. Δ𝐾𝑑𝐵 = 0, 5 dB) u Čebyševovy aproximace je rychlost poklesu modulové charakteristiky stále vyšší než je tomu u Butterworthovy aproximace. Z obr. 2.26 je pak vidět vliv velikosti zvlnění v pásmu propustnosti na skupinové zpoždění, které se s rostoucí hodnotou zvlnění také výrazně mění a zásadně ovlivňuje odezvu filtru na jednotkový skok. V případě nutnosti lze přechod z propustného do nepropustného pásma udělat ještě strmější, kdy do přenosové funkce jsou zavedeny nuly v oblasti kmitočtů nad mezním kmitočtem filtru. Pro návrh takových filtrů je vhodné využít tzv. Cauerovu aproximaci [4]. Tento typ aproximace je charakteristický zvlněním pak v propustném (podobně jako je tomu u Čebyševovy aproximace) tak i nepropustném pásmu. Zvlnění v nepropustném pásmu je způsobeno přítomností nulových bodů na konkrétních kmitočtech. Takto navržené filtry jsou pak označovány jako Cauerovy či také eliptické. Mezi další typy aproximací patří např. inverzní Čebyševova aproximace, která má plochou modulovou charakteristiku v propustném pásmu a zvlněnou v pásmu nepropustném

52


10 0 -10

mod(K) [dB]

-20 -30 -40 -50 -60

n= n= n= n= n=

1 3 5 7 9

-70 -2 10

-1

10

0

10

1

10

2

10

 [-]

(a) 3

2

n= n= n= n= n=

1 3 5 7 9

mod(K) [dB]

1

0

-1

-2

-3 -2 10

-1

10  [-]

0

10

(b)

Obrázek 2.23: Modulové charakteristiky dolní propusti aproximované dle Čebyševa se vzlněním Δ𝐾𝑑𝐵 = 2 dB pro filtry lichého řádu s výraznými nulovými body. Tato aproximace vykazuje lepší fázové vlastnosti a přechodnou charakteristiku, která je blízká filtrům navrženým dle Butterworthovy aproximace, ovšem za cenu vyšší složitosti [1]. Další aproximací, se kterou je možné se setkat je tzv. Gaussova aproximace, která je definována s ohledem na ideální průběh časových charakteristik, podobně jako je tomu u Besselovy aproximace. Modulová přenosová charakteristika má tvar Gaussovy křivky


53

10 0 -10

mod(K) [dB]

-20 -30 -40 -50 -60

n= 2 n= 4 n= 6 n= 8 n=10

-70 -2 10

-1

10

0

10  [-]

1

10

2

10

(a) 3

2

mod(K) [dB]

1

0

-1

-2

-3 -2 10

n= 2 n= 4 n= 6 n= 8 n=10 -1

10  [-]

0

10

(b)

Obrázek 2.24: Modulové charakteristiky dolní propusti aproximované dle Čebyševa se vzlněním Δ𝐾𝑑𝐵 = 2 dB pro filtry sudého řádu

a argumentová charakteristika je zcela lineární. Dále lze zmínit tzv. Legendrovu aproximaxi, kdy modulová charakteristika dle této aproximace klesá strměji než v případě Butterworthovy aproximace za cenu ne zcela hladkého průběhu v propustném pásmu. Dalšími aproximacemi jsou pak tranzitivní Besselova-Butterworthova aproximace, či Kasteleinova aproximace [1].

54


Tabulka 2.6: Koeficienty 𝑎𝑛𝑖 a 𝑏𝑛𝑖 přenosové funkce dolní propusti aproximované dle Čebyševa se zvlněním 0, 5 dB pro kaskádní syntézu 𝑛

𝑖

1 2

𝑏𝑛𝑖


𝑄𝑖

1 1,0000

0,0000

1,000

-

1 1,3614

1,3827

1,000

0,86

1 1,8636

0,0000

0,537

-

2 0,6402

1,1931

1,335

1,71

1 2,6282

3,4341

0,538

0,71

2 0,3648

1,1509

1,419

2,94

1 2,9235

0,0000

0,342

-

2 1,3025

2,3534

0,881

1,18

3 0,2290

1,0833

1,480

4,54

1 3,8645

6,9797

0,365

0,68

2 0,7528

1,8573

1,078

1,81

3 0,1589

1,0711

1,495

6,51

1 4,0211

0,0000

0,249

-

2 1,8729

4,1795

0,645

1,09

3 0,4861

1,5676

1,208

2,58

4 0,1156

1,0443

1,517

8,84

1 5,1117

11,961

0,276

0,68

2 1,0639

2,9365

0,844

1,61

3 0,3439

1,4206

1,284

3,47

4 0,0885

1,0407

1,521

11,5

1 5,1318

0,0000

0,195

-

2 2,4283

6,6307

0,506

1,06

3 0,6839

2,2908

0,989

2,21

4 0,2559

1,3133

1,344

4,48

5 0,0695

1,0272

1,532

14,6

1 6,3648

18,369

0,222

0,67

2 1,3582

4,3453

0,689

1,53

10 3 0,4822

1,9440

1,091

2,89

4 0,1994

1,2520

1,381

5,61

5 0,0563

1,0263

1,533

18,0

3 4

5

6

7

8

9

𝑎𝑛𝑖


55

Tabulka 2.7: Koeficienty 𝑎𝑛𝑖 a 𝑏𝑛𝑖 přenosové funkce dolní propusti aproximované dle Čebyševa se zvlněním 1 dB pro kaskádní syntézu 𝑛

𝑖

1 2 3 4

5

6

7

8

9

10

𝑎𝑛𝑖

𝑏𝑛𝑖


𝑄𝑖

1 1,0000

0,0000

1,000

-

1 1,3022

1,5515

1,000

0,96

1 2,2156

0,0000

0,451

-

2 0,5442

1,2057

1,353

2,02

1 2,5904

4,1301

0,540

0,78

2 0,3039

1,1697

1,417

3,56

1 3,5711

0,0000

0,280

-

2 1,1280

2,4896

0,894

1,40

3 0,1872

1,0814

1,486

5,56

1 3,8437

8,5529

0,366

0,76

2 0,6292

1,9124

1,082

2,20

3 0,1296

1,0766

1,493

8,00

1 4,9520

0,0000

0,202

-

2 1,6338

4,4899

0,655

1,30

3 0,3987

1,5834

1,213

3,16

4 0,0937

1,0423

1,520

10,9

1 5,1019

14,761

0,276

0,75

2 0,8916

3,0426

0,849

1,96

3 0,2806

1,4334

1,285

4,27

4 0,0717

1,0432

1,520

14,2

1 6,3415

0,0000

0,158

-

2 2,1252

7,1711

0,514

1,26

3 0,5624

2,3278

0,994

2,71

4 0,2076

1,3166

1,346

5,53

5 0,0562

1,0258

1,533

18,0

1 6,3634

22,747

0,221

0,75

2 1,1399

4,5167

0,694

1,86

3 0,3939

1,9665

1,093

3,56

4 0,1616

1,2569

1,381

6,94

5 0,0455

1,0277

1,532

22,3

56



𝑖

1 2

𝑏𝑛𝑖


𝑄𝑖

1 1,0000

0,0000

1,000

-

1 1,1813

1,7775

1,000

1,13

1 2,7994

0,0000

0,357

-

2 0,4300

1,2036

1,378

2,55

1 2,4025

4,9862

0,550

0,93

2 0,2374

1,1896

1,413

4,59

1 4,6345

0,0000

0,216

-

2 0,9090

2,6036

0,908

1,78

3 0,1434

1,0750

1,493

7,23

1 3,5880

10,465

0,373

0,90

2 0,4925

1,9622

1,085

2,84

3 0,0995

1,0826

1,491

10,5

1 6,4760

0,0000

0,154

-

2 1,3258

4,7649

0,665

1,65

3 0,3067

1,5927

1,218

4,12

4 0,0714

1,0384

1,523

14,3

1 4,7743

18,151

0,282

0,89

2 0,6991

3,1353

0,853

2,53

3 0,2153

1,4449

1,285

5,58

4 0,0547

1,0461

1,518

18,7

1 8,3198

0,0000

0,120

-

2 1,7299

7,6580

0,522

1,60

3 0,4337

2,3549

0,998

3,54

4 0,1583

1,3174

1,349

7,25

5 0,0427

1,0232

1,536

23,7

1 5,9618

28,038

0,226

0,89

2 0,8947

4,6644

0,697

2,41

10 3 0,3023

1,9858

1,094

4,66

4 0,1233

1,2614

1,380

9,11

5 0,0347

1,0294

1,531

29,3

3 4

5

6

7

8

9

𝑎𝑛𝑖


57


𝑖

1 2 3 4

5

6

7

8

9

10

𝑎𝑛𝑖

𝑏𝑛𝑖


𝑄𝑖

1 1,0000

0,0000

1,000

-

1 1,0650

1,9305

1,000

1,30

1 3,3496

0,0000

0,299

-

2 0,3559

1,1923

1,396

3,07

1 2,1853

5,5339

0,557

1,08

2 0,1964

1,2009

1,410

5,58

1 5,6334

0,0000

0,178

-

2 0,7620

2,6530

0,917

2,14

3 0,1172

1,0686

1,500

8,82

1 3,2721

11,677

0,379

1,04

2 0,4077

1,9873

1,086

3,46

3 0,0815

1,0861

1,489

12,8

1 7,9064

0,0000

0,126

-

2 1,1159

4,8963

0,670

1,98

3 0,2515

1,5944

1,222

5,02

4 0,0582

1,0348

1,523

17,5

1 4,3583

20,295

0,286

1,03

2 0,5791

3,1808

0,855

3,08

3 0,1765

1,4507

1,285

6,83

4 0,0448

1,0478

1,517

22,9

1 10,176

0,0000

0,098

-

2 1,4585

7,8971

0,526

1,93

3 0,3561

2,3651

1,001

4,32

4 0,1294

1,3165

1,351

8,87

5 0,0348

1,0210

1,537

29,0

1 5,4449

31,379

0,230

1,03

2 0,7414

4,7363

0,699

2,94

3 0,2479

1,9952

1,094

5,70

4 0,1008

1,2638

1,380

11,2

5 0,0283

1,0304

1,530

35,9

58


Tabulka 2.10: Koeficienty 𝑐𝑛𝑖 přenosové funkce dolní propusti aproximované dle Čebyševa se zvlněním 0, 5 dB pro nekaskádní syntézu 𝑛

𝑐𝑛1

𝑐𝑛2

𝑐𝑛3

𝑐𝑛4

𝑐𝑛5

𝑐𝑛6

𝑐𝑛7

𝑐𝑛8

𝑐𝑛9

𝑐𝑛10

1

1,0000

-

-

-

-

-

-

-

-

-

2

1,3614

1,3827

-

-

-

-

-

-

-

-

3

2,5038

2,3862

2,2235

-

-

-

-

-

-

-

4

2,9930

5,5438

4,2776

3,9523

-

-

-

-

-

-

5

4,4550

8,2123

12,869

8,2501

7,4533

-

-

-

-

-

6

4,7762

13,551

19,244

27,520

15,376 13,885

-

-

-

-

7

6,4957

17,925

40,268

47,054

62,556 30,748

27,513

-

-

-

8

6,6080

25,498

52,400

102,25

103,26 130,99

57,991

51,926

-

-

9

8,5694

31,594

92,840

154,86

272,16 242,02

294,44

118,00

105,16

-

10

8,4609

41,415

111,27

275,63

393,41 641,91

513,97

607,49

223,56

199,39

Tabulka 2.11: Koeficienty 𝑐𝑛𝑖 přenosové funkce dolní propusti aproximované dle Čebyševa se zvlněním 1 dB pro nekaskádní syntézu 𝑛

𝑐𝑛1

𝑐𝑛2

𝑐𝑛3

𝑐𝑛4

𝑐𝑛5

𝑐𝑛6

𝑐𝑛7

𝑐𝑛8

𝑐𝑛9

𝑐𝑛10

1

1,0000

-

-

-

-

-

-

-

-

-

2

1,3022

1,5515

-

-

-

-

-

-

-

-

3

2,7598

2,4114

2,6714

-

-

-

-

-

-

-

4

2,8943

6,0870

4,2851

4,8310

-

-

-

-

-

-

5

4,8863

8,4789

15,192

8,7127

9,6143

-

-

-

-

-

6

4,6025

14,540

19,217

31,878

15,837 17,610

-

-

-

-

7

7,0782

18,486

46,531

49,815

77,174 33,301

36,695

-

-

-

8

6,3458

26,961

51,918

114,69

105,24 156,90

60,654

67,157

-

-

9

9,2929

32,474

105,66

163,14

326,22 260,78

374,05

129,83

142,97

-

10

8,1043

43,367

109,51

302,80

397,06 742,57

531,15

744,31

236,26

260,98

Na základě praktického nasazení realizovaného kmitočtového filtru lze stanovit několik základních pravidel pro výběr vhodné aproximace. Mezi kritéria výběru v zásadě tedy patří zvlnění modulové charakteristiky v propustném pásmu, strmost modulové charakteristiky z propustného do nepropustného pásma a tomu odpovídající řád filtru, linearita fázové charakteristiky či odpovídající závislost skupinového zpoždění v propustném


59


𝑐𝑛1

𝑐𝑛2

𝑐𝑛3

𝑐𝑛4

𝑐𝑛5

𝑐𝑛6

𝑐𝑛7

𝑐𝑛8

𝑐𝑛9

𝑐𝑛10

1

1,0000

-

-

-

-

-

-

-

-

-

2

1,1813

1,7775

-

-

-

-

-

-

-

-

3

3,2294

2,4073

3,3693

-

-

-

-

-

-

-

4

2,6399

6,7462

4,0417

5,9316

-

-

-

-

-

-

5

5,6869

8,6863

19,003

9,0579

12,971

-

-

-

-

-

6

4,1800

15,683

18,024

37,114

15,245

22,230

-

-

-

-

7

8,1799

18,954

57,036

52,113

100,54

35,417

51,034

-

-

-

8

5,7434

28,605

48,310

129,18

100,35

188,07

59,121

86,018

-

-

9

10,684

33,218

127,55

170,20

414,00

276,84

500,23

139,99

202,25

-

10 7,3168

45,521

101,26

333,76

375,21

860,71

512,07

909,36

232,05

337,22


𝑐𝑛1

𝑐𝑛2

𝑐𝑛3

𝑐𝑛4

𝑐𝑛5

𝑐𝑛6

𝑐𝑛7

𝑐𝑛8

𝑐𝑛9

𝑐𝑛10

1

1,0000

-

-

-

-

-

-

-

-

-

2

1,0650

1,9305

-

-

-

-

-

-

-

-

3

3,7055

2,3844

3,9937

-

-

-

-

-

-

-

4

2,3817

7,1640

3,7112

6,6457

-

-

-

-

-

-

5

6,5126

8,7638

22,594

9,1737

15,971

-

-

-

-

-

6

3,7613

16,387

16,483

40,414

14,125

25,204

-

-

-

-

7

9,3320

19,157

67,167

53,095

122,08

35,302

63,871

-

-

-

8

5,1587

29,599

43,994

138,14

92,492

207,72

55,071

98,124

-

-

9

12,155

33,558

149,04

173,41

496,52

284,13

615,67

144,57

255,47

-

10 6,5633

46,808

91,908

352,64

344,18

934,10

474,27

1013,6

216,83

386,14

pásmu, a velikost překmitu odezvy na jednotkový skok a délka doby ustálení této odezvy.

60


10

5

mod(K) [dB]

0

-5

-10

-15

Butterworth Cebysev 0.5 dB Cebysev 1 dB Cebysev 2 dB Cebysev 3 dB

-20 -2 10

-1

0

10

1

10

10

 [-]

Obrázek 2.25: Modulové charakteristiky dolní propusti 4. řádu aproximované dle Čebyševa pro různé hodnoty zvlnění Δ𝐾𝑑𝐵 v propustném pásmu

2.5 Butterworth Cebysev 0.5 dB Cebysev 1 dB Cebysev 2 dB Cebysev 3 dB

2

4

T [-]

1.5

1

0.5

0 -2 10

-1

10

0

10  [-]

1

10

2

10

Obrázek 2.26: Charakteristiky skupinového zpoždění dolní propusti 4. řádu aproximované dle Čebyševa pro různé hodnoty zvlnění Δ𝐾𝑑𝐵 v propustném pásmu


3

61

AKTIVNÍ PRVKY UŽÍVANÉ VE FILTRECH

Jak již bylo uvedeno v kap. 1, využití induktorů pro realizaci pasivních filtrů s nízkým mezním kmitočtem (desítky kHz až jednotky MHz) je problematické pro velikost použitých pasivních prvků. Proto se v těchto případech pasivní RLC filtry nahrazují strukturami, které využívají jen rezistory a kapacitory spolu s vhodným aktivním prvkem. Vzhledem k omezeným kmitočtovým vlastnostem použitých aktivních prvků je omezeno i kmitočtové pásmo, ve kterém lze daný filtr použít, na desetiny až stovky kHz. Díky vývoji v oblasti mikroelektroniky a použití submikronových technologií jsou však k dispozici aktivní prvky, jejich šířka pásma dovoluje návrh kmitočtových filtrů pracujících i v oblastech několika desítek MHz. Z pohledu četnosti nasazení v aktivních RC filtrech, nejznámějším aktivním prvkem je bezesporu operační zesilovač (OZ). Kromě něj jsou však pro potřeby návrhu kmitočtových filtrů využívány i další aktivní prvky, jako je transadmitanční zesilovač (OTA) a dnes se do popředí dostávají i další aktivní prvky, jako jsou proudové (CC) a napěťové (VC) konvejory, jednoduché proudové sledovače (CF) či invertory (CI) a další proudové aktivní prvky, jako např. DACA (Digitally Adjustable Current Amplifier). V souvislosti s vývojem nových struktur netradičních aktivních prvků jsou navrhovány nové aplikace analogových obvodů, které svými vlastnosti umožňují zpracování signálu ve vyšších kmitočtových oblastech a to při podstatně nižším napájecím napětí, než je tomu u klasických operačních zesilovačů. Samotná obvodová řešení aktivních filtrů využívající výše zmíněné aktivní prvky jsou diskutovány v samostatné části, viz kap. 4. V této kapitole jsou jednotlivé prvky v nutném rozsahu popsány pro potřeby pochopení činnosti dále uvedených filtračních struktur.

3.1

Operační zesilovače

Operační zesilovač je nejrozšířenějším analogovým funkčním blokem. Princip operačního zesilovače byl popsán a využíván již před 2. sv. válkou v analogových počítačích k řešení diferenciálních rovnic při řízení námořní dělostřelby [5]. Zesilovač využíval pět pentod. Za první komerčně dostupný operační zesilovač (stále elektronkový), který byl dispozici od roku 1952, je považován Philbrickův K2-W [6]. Po objevení tranzistoru byly operační zesilovače nejprve realizovány ve formě hybridních integrovaných obvodů, např. PP65, ADI HOS-50. První monolitický operační zesilovač na trh v roce 1963 uvedla firma Fairchild pod označením 𝜇A702 [5]. V současné době máme k dispozici množství operačních zesilovačů, které se dle parametru, kterým vynikají, označují jako rychlé, přesné, nízkošumové, výkonové, rail-to-rail.

62


Operační zesilovač (OZ) (obr. 3.1(a)) je stejnosměrný širokopásmový zesilovač s velkým zesílením, který s vhodnou zpětnou vazbou umožňuje realizovat různé lineární a nelineární přenosové funkce. Ideální operační zesilovač nemá na modelované přenosové funkce žádný vliv a jejich přesnost je určena pouze vlastnostmi vnějších obvodů zesilovače. K popisu ideálního operačního zesilovače (IOZ) se využívá výčet hlavních vlastností: • napěťové zesílení 𝐴 diferenčního vstupního signálu 𝑢𝑑 je nekonečné, kmitočtově nezávislé zesílení, • vstupní odpor každého vstupu proti společnému uzlu 𝑅𝐶𝑀 + , 𝑅𝐶𝑀 − a vzájemný (diferenční) odpor 𝑅𝑖 je nekonečně vysoký, • výstupní impedance 𝑅0 je nulová, • vstupní klidové proudy 𝐼𝐵+ a 𝐼𝐵− jsou nulové, proudová nesymetrie 𝐼𝐼0 = 𝐼𝐵+ − 𝐼𝐵− je nulová, • napěťová vstupní nesymetrie-offset (𝑈𝐼0 ) je nulový • dosažitelné hodnoty výstupního proudu a napětí nejsou omezeny, • časové zpoždění signálu při průchodu zesilovačem je nulové. Přestože reálné operační zesilovače nesplňují žádnou z těchto vlastností, jejich parametry jsou natolik dobré, že pro prvotní výpočty obvodů s OZ vždy vycházíme z předpokladu IOZ. Následně kontrolujeme, zda výsledné chování funkčního bloku s reálným OZ je stále přijatelné [7]. V tab. 3.1 je uvedeno numerické srovnání vybraných parametrů ideálního a reálného operačního zesilovače. Operační zesilovač je nelineární. Všechny charakteristiky OZ je však pro malé signály možné linearizovat a sestavit lineární model aktivního prvku. Na obr. 3.1(b) je uvedeno náhradní schéma OZ s rušivými zdroji [8]. Parametry otevřené zpětnovazební smyčky popisuje napěťové zesílení otevřené smyčky (𝐴 = 𝑢0 /𝑒𝑖 ) a vstupní diferenční odpor (𝑅𝑖 = 𝑢𝑑 /𝑖+ při 𝑢+ = 0). Parametry souhlasného signálu 𝑢𝐶𝑀 (nejčastěji 𝑢𝐶𝑀 = 𝑢+ [9]) popisují činitel potlačení souhlasného signálu 𝐶𝑀 𝑅 (𝐶𝑀 𝑅 = |𝑢𝐶𝑀 /𝑢𝑑 |) a vstupní souhlasné odpory R𝐶𝑀 + a R𝐶𝑀 − (𝑅𝐶𝑀 + = 𝑢𝐶𝑀 /𝑖+ , 𝑅𝐶𝑀 − = 𝑢𝐶𝑀 /𝑖− ). Vstupní rušivé parametry popisují napěťovou nesymetrii 𝑈𝐼0 (tj. napětí, při kterém je výstupní napětí nulové při 𝑖0 = 0) a rušivé proudy 𝐼𝐵+ a 𝐼𝐵− , kterým odpovídá nulové napětí na výstupu při 𝑖0 = 0. Vliv nesymetrie vstupů lze obvykle kompenzovat vnějšími obvody. Dalšími parametry, které popisují dynamické chování operačního zesilovače je doba čela (𝑡𝑟 ), která udává časový interval odpovídající změně z 10% na 90% amplitudy výstupního signálu OZ při odezvě na jednotkový skok vstupního napětí, a rychlost přeběhu 𝑆𝑅 (slew rate) udávající maximální rychlost změny výstupního napětí (𝑆𝑅 = max(d𝑢0 /d𝑡)), které může zesilovač dosáhnout při velké skokové změně.


63

Tabulka 3.1: Srovnání vybraných parametrů ideálního a reálného operačního zesilovače [7] OZ

Parametr

Symbol

IOZ

Napěťové zesílení

𝐴0

∞

103

Tranzitní (mezní) kmitočet

𝑓𝑇

∞

103

min

Diferenční vstupní odpor

𝑅𝑖

∞

10

Výstupní odpor

𝑅0

0

1

Proudová nesymetrie

𝐼𝐼0

0

10

Napěťová nesymetrie

𝑉𝐼0

0

10−6

Potlačení souhlasného signálu

𝐶𝑀 𝑅

∞

60

Doba čela

𝑡𝑟

0

10−9

typ 105

5

100

−8

100

max

Rozměr

107

V/V

108

Hz

15

10

Ω

1000

Ω

−15

10

A

10−2

V

150

dB

10−4

s

Rychlost přeběhu

𝑆𝑅

∞

10

10

10

V/s

Nejmenší zatěžovací odpor

𝑅𝑍

0

1

2000

105

Ω

Vstupní rozkmit napětí

𝑢+ , 𝑢− , 𝑢𝑑

∞

±2

±𝑈𝐶𝐶

±𝑈𝐶𝐶

V

Výstupní rozkmit napětí

𝑢0𝑚𝑎𝑥

∞

±2

±10

±𝑈𝐶𝐶

V

±10

A

±200

V

Výstupní rozkmit proudu

𝑖0𝑚𝑎𝑥

∞

Napájecí napětí

𝑈𝐶𝐶

-

4

−3

±10

±2

6

−2

±10

±10

9

Napěťové zesílení operačního zesilovače s otevřenou zpětnovazební smyčkou je kmitočtově závislé a má v prvním přiblížení charakter dolní propusti prvního řádu: A(𝑓 ) =

𝐴0 , 1 + j𝑓 /𝑓0

(3.1)

kde 𝐴0 je napěťové zesílení stejnosměrného signálu operačního zesilovače bez zpětné vazby a 𝑓0 je horní mezní kmitočet, charakterizovaný poklesem o 3 dB. Závislosti (3.1) odpovídá modulová a argumentová charakteristika: modA(𝑓 ) = 𝐴(𝑓 ) = √︁

𝐴0 1 + (𝑓 /𝑓0 )

2

,

𝜙(𝑓 ) = − arctan

𝑓 , 𝑓0

(3.2)

přičemž podobně jako je tomu kmitočtových filtrů, i zde se modul modA(𝑓 ) častěji vyjadřuje v decibelech jako zisk: 𝐴𝑑𝐵 (𝑓 ) = 20 log 𝐴(𝑓 ).

(3.3)

Na obr. 3.2 je Bodeův diagram zesilovače s otevřenou smyčkou zpětné vazby. Při nízkých kmitočtech se zisk asymptoticky blíží hodnotě 20 log 𝐴0 a při vysokých kmitočtech je křivka závislosti 𝐴𝑑𝐵 (𝑓 ) asymptotická k přímce 20 log(𝐴0 𝑓0 /𝑓 ). Obě asymptoty se protínají při kmitočtu 𝑓0 , kde nastává pokles charakteristiky 𝐴𝑑𝐵 (𝑓 ) o 3 dB a dochází

64


OZ

+

ud

_

u+

u0

u-

(a)

OZ

IB+ i+ ud

i-

u+ u-

uCM CMR

UI0

=

= IB-

RCM+

= ei

Ri

=

R0

i0

Aei

=

RCM-

u0

(b)

Obrázek 3.1: (a) Schematická značka operačního zesilovače, b) lineární model OZ s rušivými zdroji [8].

k fázovému posuvu o -45°. Pro kmitočty 𝑓 > 𝑓0 má charakteristika 𝐴𝑑𝐵 (𝑓 ) pokles -20 dB/dek. Kmitočet, při kterém je zisk operačního zesilovače 0 dB, tj, zesílení je právě jednotkové, se označuje jako tranzitní 𝑓𝑇 . Kmitočet 𝑓0 vyjadřuje tzv. první dominantní pól operačního zesilovače. Druhý dominantní pól OZ je na kmitočtu 𝑓2 , kdy pokles modulové charakteristiky již je -40 dB/dek. Pokud platí 𝑓2 > 𝑓𝑇 , pak se jedná o OZ se standardní kmitočtovou charakteristikou (obr. 3.2), a tranzitní kmitočet lze určit pomocí přibližného


65

150

Zisk Au [dB]

100 50 0 -50 -100 -1 10

10

1

f0

3

10 10 Kmitocet f [Hz]

5

10

7

fT f2

0

arg(Au) [deg]

-45 -90 -135 -180 10

-1

10

1

3

10 10 Kmitocet f [Hz]

5

10

7

Obrázek 3.2: Bodeův diagram operačního zesilovače s otevřenou smyčkou zpětné vazby s tzv. standardním průběhem kmitočtové charakteristiky vztahu: 𝑓𝑇 =≈ 𝐴0 · 𝑓0 ,

(3.4)

který je velice užitečný pro správný výběr operačního zesilovače. Zesilovač s takovou charakteristikou je stabilní pro všechny rezistorové zpětnovazební sítě. U operačních zesilovačů s rychlým poklesem modulové charakteristiky je kmitočet 𝑓2 < 𝑓𝑇 . Takové zesilovače, označované jako zesilovače s nestandardní kmitočtovou charakteristikou, nemusí být vždy stabilní pro libovolné zesílení i v případě rezistorové zpětné vazby a je nutné provádět vhodnou kompenzaci modulové charakteristiky funkčního bloku pro potřeby zajištění stability. Aplikační možnosti operačního zesilovače jsou velmi široké a jsou jim věnovány specializované monografie, např. [8] či [9]. V rámci následující kapitoly budou uvedeny příklady základních a nejčastějších aplikací operačního zesilovače při realizaci kmitočtových filtrů. Při analýze se využívá tzv. součtový (invertující vstup OZ) a referenční (neinvertující vstup OZ) bod. V lineárních aplikacích s OZ uvažujeme, že součtový (sumační) bod má stejný potenciál jako referenční bod (tj. 𝑢𝑑 = 0). Operační zesilovač pak na výstupu má takové napětí 𝑢0 , aby tato podmínka byla splněna.

66


3.2

Transadmitanční zesilovače

Transadmitanční (také transkonduktanční) zesilovač OTA (Operational Transconductance Amplifier) je aktivní prvek, který diferenci vstupních napětí 𝑢1 a 𝑢2 převádí na výstupní proud 𝑖0 (viz obr. 3.3(a)). Ve své podstatě se tedy jedná o zdroj proudu řízený napětím, kdy základním parametrem je jeho transkonduktance 𝑔𝑚 : 𝑖0 = 𝑔𝑚 (𝑢1 − 𝑢2 ).

(3.5)

Uvažujeme-li ideální prvek OTA, pak vstupní i výstupní impedance jsou nekonečně veliké. V případě reálného prvku je nutné mít na paměti, že 𝑅𝑣𝑠𝑡 ̸= ∞, 𝑅𝑣𝑦𝑠𝑡 ̸= ∞, a podobně jako v případě operačního zesilovače, i kmitočtovou závislost základního parametru, tj. jeho transkonduktance, kterou lze popsat jednopólovým výrazem: 𝑔𝑚 (p) =

𝑔𝑚0 𝜔0 . p + 𝜔0

(3.6)

Kromě základní podoby transkonduktančního zesilovače s jediným proudovým výstupem jsou v teorii obvodů a při návrhu kmitočtových filtrů využívány i variantní řešení prvku OTA, které disponují několika nezávislými proudovými výstupy. Jde tak o prvek BOTA (Balanced OTA), který má dva proudové výstupy (obr. 3.3(b)), kdy proudy 𝑖0+ a 𝑖0− jsou vzájemně fázově posunuty o 180°. Další variantou původního OTA zesilovače je pak prvek MOTA (Multiple output OTA), který pak disponuje obecně několika samostatnými proudovými výstupy (obr. 3.3(c)), kdy skutečný směr (rozuměj fázové natočení) tekoucího proudu 𝑖0 není pevně stanoven. Obvody s OTA prvky jsou často poměrně jednoduché, kdy v případě návrhu kmitočtových filtrů jsou jako vnější pasivní prvky využívány jen kapacitory. Takové funkční bloky jsou pak často označovány jako OTA-C filtry. Některé OTA zesilovače pak dovolují měnit hodnotu jeho transkonduktance pomocí vnějšího zdroje proudu (𝐼𝑠𝑒𝑡 ) či napětí. Této vlastnosti je možné s výhodou využít při MOTA

BOTA

OTA

+ _

u1

i0

+

gm

u2

(a)

u0

_

u1 u2

(b)

gm

i0+

i0+ i0−

i0+

+ _

u1

gm

i0− i0−

u2

(c)

Obrázek 3.3: Schematická značka prvku (a) OTA, (b) BOTA, (c) MOTA


67

návrhu kmitočtových filtrů, jehož parametry (činitel jakosti, charakteristický kmitočet, či zesílení v pásmu propustnosti) lze elektronicky měnit. V tomto případě je však nutné mít na paměti, často nelineární vztah 𝑔𝑚 = 𝑓 (𝐼𝑠𝑒𝑡 ) mezi velikostí řídícího proudu (popř. řídícího napětí) a aktuální hodnotou 𝑔𝑚 . V současné době jsou transkonduktanční zesilovače komerčně dostupné pod označeními např. LM13700, NE5517, LT1228, OPA860 či OPA 861.

3.3

Proudové konvejory

Proudový konvejor první generace (CCI) prezentovali Smith a Sedra v roce 1968 [10]. Jde o trojbran (obr. 3.4(a)), jehož funkci lze popsat následujícím způsobem: je-li na vstupní bránu Y přivedeno napětí, pak se na vstupní bráně X objeví stejné napětí. Je-li do brány X nucen proud 𝐼, teče do brány Y stejně velký proud. Proud 𝐼 je také přenesen do výstupní brány Z. Brána Z má charakter proudového zdroje proudu 𝐼 s vysokou výstupní impedancí. Napětí na bráně X, které je dáno napětím na Y, je nezávislé na proudu nuceném do brány X. Podobně proud tekoucí bránou Y, který je dán proudem v bráně X, je nezávislý na napětí na bráně Y. Obvod se tedy chová jako virtuální obvod nakrátko s nulovou vnitřní impedancí na bráně X a jako virtuální obvod naprázdno s nekonečnou vnitřní impedancí na bráně Y. Výše uvedené chování proudového konvejoru 1. generace lze popsat hybridní maticí: ⎡

⎤

⎡

𝑖 0 ⎢ 𝑌 ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 𝑢𝑋 ⎥ = ⎢ 1 ⎣ ⎦ ⎣ 𝑖𝑍

⎤⎡

1

0 ⎥ ⎢ 𝑢𝑌 ⎥⎢ ⎢ 𝑖 0 ⎥ ⎦⎣ 𝑋

0

0 ±1 0

𝑢𝑍

⎤ ⎥ ⎥ ⎥. ⎦

(3.7)

Znaménko "+" platí pro CCI, kdy oba proudy v branách Z a X tečou do konvejoru a je označován CCI+ (pozitivní CC). Znaménko "–" platí pro CCI, kde jeden proud teče do konvejoru a druhý ven. Tento je označován jako CCI– (negativní CC).

iY i uY X uX

CCI Y X

(a)

Z

iZ uZ

iY i uY X uX

CCII Y X

(b)

Z

iZ uZ

iY i uY X uX

CCIII Y X

Z

iZ uZ

(c)

Obrázek 3.4: Schematická značka proudového konvejoru (a) 1. generace, (b) 2. generace, (c) 3. generace

68


O proudový konvejor 1. generace nebyl projeven větší zájem, protože v této době byly již široce rozšířeny operační zesilovače a výhody, které proudové konvejory přináší dosud, nebyly známé. Stejní autoři o dva roky prezentují další typ proudového konvejoru (CCII proudový konvejor druhé generace) a ukazují další možnosti jejich uplatnění [11], [12]. Na tyto práce navazují i další vědečtí pracovníci a prezentují další aplikace využívající tyto aktivní prvky, viz např. [13]-[17]. Proudový konvejor 2. generace lze popsat následující hybridní maticí: ⎡

⎤

⎡

0 𝑖 ⎢ ⎢ 𝑌 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 𝑢𝑋 ⎥ = ⎢ 1 ⎣ ⎦ ⎣

0 0

⎤⎡

0 ⎥ ⎢ 𝑢𝑌 ⎥⎢ ⎢ 𝑖 0 ⎥ ⎦⎣ 𝑋

0 ±1 0

𝑖𝑍

𝑢𝑍

⎤ ⎥ ⎥ ⎥, ⎦

(3.8)

ze které vyplývá, že v případě prvku CCII proud tekoucí do brány Y je vždy nulový. Proud tekoucí do X je převáděn na vysokoimpedanční výstupní bránu Z, buď se stejnou polaritou (CCII+) nebo s opačnou polaritou (CCII–). V roce 1995 pak byla definována principiální činnost dalšího typy proudového konvejoru [18], tzv. třetí generace CCIII (viz obr. 3.4(c)). Vztah mezi branovými napětími a proudy je popsán hybridní maticí: ⎡

⎤

⎡

⎤⎡

𝑖 0 −1 0 ⎥ ⎢ 𝑢𝑌 ⎢ 𝑌 ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎢ 𝑢𝑋 ⎥ = ⎢ 1 0 0 ⎥ ⎢ 𝑖 𝑋 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ 𝑖𝑍 0 ±1 0 𝑢𝑍

⎤ ⎥ ⎥ ⎥, ⎦

(3.9)

kdy v tomto případě proud tekoucí branou Y je otočen o 180° vůči proudu tekoucího do brány X. Snaha dále rozšířit oblast využití proudových konvejorů vedla k návrhu mnoha modifikovaných struktur, nejčastěji vycházejících z proudového konvejoru druhé generace. Lze tak např. zmínit elektronicky řiditelný proudový konvejor ECCII [19], u kterého lze obecně měnit proudový přenos mezi branami Z a X (obr. 3.5(a)). Chování proudového konvejoru ECCII je tak možné popsat jako: 𝑖𝑌 = 0,

𝑢𝑋 = 𝑢𝑌 ,

𝑖𝑍 = ℎ · 𝑖𝑋 ,

(3.10)

kde ℎ vyjadřuje poměr přenosu proudu, který lze měnit vnějším stejnosměrným zdrojem proudu či napětí. Dalším proudovým konvejrem, který také vychází z principu CCII, je označován jako proudem řízený proudový konvejor CCCII [20], obr. 3.5(b). Jak už z jeho názvu vyplývá, i zde je možné vnitřní parametry aktivního prvku měnit vnějším stejnosměrným zdrojem proudu. Vztah mezi branovými proudy a napětími je popsán následující hybridní maticí: ⎡

⎤

⎡

⎤⎡

𝑖 0 0 0 ⎥ ⎢ 𝑢𝑌 ⎢ 𝑌 ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎢ 𝑢𝑋 ⎥ = ⎢ 1 𝑅𝑋 (𝐼0 ) 0 ⎥ ⎢ 𝑖𝑋 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ 𝑖𝑍

0

±1

0

𝑢𝑍

⎤ ⎥ ⎥ ⎥, ⎦

(3.11)


iY i uY X uX

ECCII Z Y h X

iZ uZ

iY i uY X uX

(a)

CCCII Y X

69

iZ

Z

uZ

I0 (b)

Obrázek 3.5: Řiditelné proudové konvejory (a) ECCII, (b) CCCII

DDCC± iY1 uY1

iY2 iY3 uY2

uY3

iX uX

Y1 Y2 Y3

Z±

iZ± uZ ±

X

DVCC

iY1 iY2 uY1

uY2

iX uX

(a)

Y1 Y2 X

Z+ Z−

iZ+ iZ− uZ−

uZ +

(b)

Obrázek 3.6: Proudové konvejory s diferenčním vstupem (a) DDCC, (b) DVCC kde 𝑅𝑋 (𝐼0 ) je vstupní odpor brány X a lze jej měnit proudem 𝐼0 . Přestože mezi nejčastěji diskutované proudové konvejory patří CCII není možné jej lehce použít v aplikacích vyžadujících rozdílový nebo plovoucí vstup, jako impedanční konvertory a zesilovače v proudovém režimu, kde návrh vyžaduje dvou a více obvodů CCII. Vzhledem k těmto nevýhodám byly vyvinuty obvody DDCC a DVCC, a později i UCC. Prvek DDCC (Differential Diference Current Conveyor) je obecně pětibranový imitanční konvertor popsaný v [21], přičemž byly definovány dva typy DDCC s pozitivním (DDCC+) a negativním (DDCC–) proudovým převodem z brány X do brány Z. Matematicky lze chování prvku DDCC popsat jako: 𝑖𝑌 1 = 𝑖𝑌 2 = 𝑖𝑌 3 = 0,

𝑢𝑋 = 𝑢𝑌 1 − 𝑢𝑌 2 + 𝑢𝑌 3 ,

𝑖𝑍 = ±𝑖𝑋 .

(3.12)

Druhý typ proudového konvejoru s diferenčním napěťovým vstupem je označován jako DVCC (Differential Voltage Current Conveyor) [22]. Jeho schématická značka je uvedena na obr. 3.6(b) a vzájemný vztah mezi branovými napětími a proudy lze popsat takto: 𝑖𝑌 1 = 𝑖𝑌 2 = 0,

𝑢𝑋 = 𝑢𝑌 1 − 𝑢𝑌 2 ,

𝑖𝑍+ = 𝑖𝑋 ,

𝑖𝑍− = −𝑖𝑋 .

(3.13)

Dalším typem proudového konvejoru, který využívá diferenčních napěťových vstupů je prvek UCC (Universal Current Conveyor), který by bylo možné pro svou univerzálnost

70


UCC iY1 uY1

iY2 iY3 uY2

uY3

iX uX

iZ1+

Y1 Z1+ Y2 Z1Y3 Z2+ X

Z2-

iZ2uZ2-

iZ1iZ2+ uZ1+ uZ1uZ2+

Obrázek 3.7: Schématická značka UCC

GCC

iY i uY X uX

Y X

iZ

Z

uZ

Obrázek 3.8: Schématická značka zobecněného proudového konvejoru GCC zařadit do zcela samostatné skupiny. Jeho univerzálnost spočívá ve skutečnosti, že s jeho pomocí lze realizovat všechny známé typy tříbranových a některé nové vícebranové proudové konvejory první třídy, tj. s jedinou branou X [23]. Jedná se o osmibran (obr. 3.7) a vztah mezi branovými proudy a napětími lze popsat takto: 𝑖𝑌 1 = 𝑖𝑌 2 = 𝑖𝑌 3 = 0, 𝑖𝑍1+ = 𝑖𝑍2+ = 𝑖𝑋 ,

𝑢𝑋 = 𝑢𝑌 1 − 𝑢𝑌 2 + 𝑢𝑌 3 , 𝑖𝑍1− = 𝑖𝑍2− = −𝑖𝑋 .

(3.14)

Přestože lze prvek UCC považovat za vrchol v oblasti tohoto typu aktivních prvků, vznikají další návrhy, převážně mikroelektronických struktur, které si kladou za cíl výrazně omezit velikost vstupní impedance X v širokém kmitočtovém rozsahu. Jak z výše uvedeného vyplývá, do skupiny proudových konvejorů je možné zařadit velké množství typů těchto aktivních obvodů, kdy daný výčet není ani úplný. Pro potřeby analýzy a především syntézy kmitočtových filtrů a obecně i jiných funkčních obvodů je vhodnější v prvních krocích využívat zobecněné podoby proudového konvejoru - GCC (Generalized Current Conveyor). Jeho schématická značka je uvedena na obr. 3.8 a vztah mezi branovými napětími a proudy je určen hybridní maticí: ⎡

⎤

⎡

⎤⎡

𝑖 0 𝑏 0 ⎥ ⎢ 𝑢𝑌 ⎢ 𝑌 ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎢ 𝑢𝑋 ⎥ = ⎢ 𝑎 0 0 ⎥ ⎢ 𝑖𝑋 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ 𝑖𝑍

0 𝑐 0

𝑢𝑍

⎤ ⎥ ⎥ ⎥, ⎦

(3.15)

kde podle (3.7), (3.11), (3.11) je jasné, že koeficienty 𝑎, 𝑏, 𝑐 mohou nabývat hodnot 𝑎 = {−1, 1}, 𝑏 = {−1, 0, 1}, 𝑐 = {−1, 1}. Takto zobecněný aktivní prvek lze pak použit pro


71

potřeby návrhu např. využitím metody autonomních obvodů, kde v počátku návrhu kmitočtového filtru jsou aktivní prvky definovány pouze obecně, a později volbou koeficientů 𝑎, 𝑏, 𝑐 jsou pevně určeny jednotlivé typy proudových konvejorů [24].

3.4

Napěťové konvejory

Napěťové konvejory (VC) doplňují skupinu imitačních konvertorů, jejichž popis byl na principu duality odvozen z proudových konvejorů [25]. V této době se jednalo o zcela teoretický prvek a až v roce 1999 byl prezentován CDBA (Current Differencing Buffered Amplifier) [26], který lze zařadit do skupiny napěťových konvejorů, jehož duálním prvkem je DVCC [22]. Obdobným způsobem lze pro každý proudový konvejor nalézt jeho obraz mezi napěťovými konvejory a popsat tak jednotlivé generace. V porovnání s proudovými konvejory se opět jedná o vhodné spojení zdrojů napětí a proudu (v základní podobě s jednotkovým přenosem) uvnitř aktivního prvku. Hlavní výhoda napěťových konvejorů oproti konvejorům proudovým je skutečnost, že z jedné napěťové brány Z může být veden libovolný počet dopředných a zpětných vazeb, kdežto u proudového konvejoru lze jeden proudový výstup Z použít pouze k realizaci jediné dopředné nebo zpětné vazby. Tato výhoda je především vhodná při realizaci kmitočtových filtrů vyšších řádů. Zde je však nutné podotknout, že u proudových konvejorů jsou zpětné vazby realizovány na uzemněných pasivních prvcích, kdežto u napěťových konvejorů jsou pasivní prvky plovoucí. Z pohledu integrace se tak využití proudových konvejorů jeví jako výhodnější. Podobně jako tomu je v případě proudových konvejorů, pak i zde základní typy napěťových konvejorů jsou definovány jako trojbran s jedním vysokoimpedančním vstupem X, a nízkoimpedančními vstupem Y a napěťovým výstupem Z, přičemž je lze také rozdělit do tří generací. Zjednodušeně lze tedy napěťové konvejory (obr. 3.9) ve své základní podobě popsat maticí:

⎡

⎤

⎡

𝑢 0 ⎢ 𝑌 ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 𝑖𝑋 ⎥ = ⎢ 1 ⎣ ⎦ ⎣ 𝑢𝑍

𝑏 0

⎤⎡

0 ⎥ ⎢ 𝑖𝑌 ⎥⎢ ⎢ 𝑢 0 ⎥ ⎦⎣ 𝑋

0 ±1 0

𝑖𝑍

⎤ ⎥ ⎥ ⎥, ⎦

(3.16)

kde koeficient 𝑏 = {−1, 0, 1} vyjadřuje vztah mezi napětím brány Y a X. Brána X je označována jako vstupní napěťová a je charakteristická nekonečnou vstupní impedancí. Brána Y je vstupní proudová a vnitřní impedance je v ideálním případě nulová. Podobně je i vnitřní impedance brány Z nulová, kdy ovšem charakter této brány je zdroj napětí. V případě, že 𝑏 = 1, pak na bráně Y je stejné napětí jako na bráně X. Lze tak hovořit o tzv. napěťovém konvejoru první generace (VCI). Pro 𝑏 = 0 je napětí na bráně Y vždy

72


VCx

iX i uX Y uY

X Y

iZ

Z

uZ

Obrázek 3.9: Schématická značka napěťového konvejoru 𝑥té generace

GVC

iX i uX Y uY

X Y

iZ

Z

uZ

Obrázek 3.10: Schématická značka zobecněného napěťového konvejoru GVC nulové, což odpovídá chování napěťového konvejoru druhé generace (VCII). Podobně pak pro 𝑏 = −1 je napětí na bráně Y invertováno vůči napětí na bráně X, a pak hovoříme o tzv. napěťovém konvejoru třetí generace (VCIII). Z obecného modelu napěťového konvejoru mohou být dále odvozeny napěťové konvejory s rozdílovým proudovým vstupem. V prvé řadě se tak jedná o již zmíněný prvek DCVC (Differentical Current Voltage Conveyor). Prvek DCVC je duálním nejen k proudovému konvejoru s rozdílovým vstupem (Differential Voltage Current Conveyor – DVCC), ale také ke všem dalším typům proudových konvejorů s více napěťovými vstupy. Dále mohou být definovány i napěťové konvejory se vzájemně inverzními napěťovými výstupy (xVCx±) jako duální prvky k proudovým konvjejorům s více proudovými výstupy. Zde je vhodné podotknout, že pro již zmíněnou výhodu napěťového konvejoru, není nutné ve vnitřní struktuře aktivního prvku vytvářet další napěťové brány. Pro potřeby návrhu kmitočtových filtrů, i dalších funkčních bloků, lze pak popis napěťového konvejoru ještě více zobecnit a pracovat s tzv. zobecněným napěťovým konvejorem GVC (obr. 3.10). Vztah mezi branovými napětími a proudy lze popsat hybridní maticí: ⎡

⎤

⎡

⎤⎡

𝑢 0 𝑏 0 ⎥ ⎢ 𝑖𝑌 ⎢ 𝑌 ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎢ 𝑖𝑋 ⎥ = ⎢ 𝑎 0 0 ⎥ ⎢ 𝑢𝑋 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ 𝑢𝑍

0 𝑐 0

𝑖𝑍

⎤ ⎥ ⎥ ⎥, ⎦

(3.17)

kde také zde koeficienty 𝑎, 𝑏 a 𝑐 mohou nabývat hodnot 𝑎 = {−1, 1}, 𝑏 = {−1, 0, 1}, 𝑐 = {−1, 1}. Na základě návrhu UCC bylo snahou definovat ekvivalentní univerzální napěťový konvejor UVC, který umožňuje realizovat nejrůznější typy a generace napěťových konvejorů [27]. Univerzální napěťový konvejor byl později také realizován v AMI Semiconductor pod


73

UVC iX uX

iYP iYN uYP

uYN

iW uW

X YP ZP YN ZN

iZP iZN

W

uZN

uZP

Obrázek 3.11: Schématická značka univerzálního napěťového konvejoru UVC označením UVC-N1C v technologii CMOS035. Na obr. 3.11 je uvedena schématická značka univerzální napěťového konvejoru, který disponuje rozdílovým proudovým vstupem YP a YN. Rozdíl proudů tekoucích do těchto bran je přenášen na charakterem vysokoimpedanční bránu X. Napětí na bráně X je pak přenášeno na výstupní napěťové brány ZP a ZN buď v neinvertované nebo invertované podobě. Pro potřeby možné realizace různých generací napěťových konvejorů, podobně jako to dokáže i UCC, je prvek UVC doplněn pomocnou napěťovou bránou W. Na základě činnosti prvku UVC pak napětí z brány W je přeneseno na brány YP a YN s jednotkovým přenosem. Výše popsanou činnost prvku UVC lze vyjádřit následující hybridní maticí: ⎡

⎤

𝑖 ⎢ 𝑋 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 𝑖𝑊 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

𝑢𝑌 𝑃 ⎥ ⎥ ⎥

⎡

0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ 0

1 0

0

0 0

0

1 0

0

0 0

1

0 0

0

0 0

−1 0 0

0

0 0

⎢ ⎢

⎢ ⎥=⎢

𝑢𝑌 𝑁 ⎥ ⎥ 𝑢𝑍𝑃 ⎥ ⎦ ⎥

𝑢𝑍𝑁

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤⎡

0 1 −1 0 0 ⎥ ⎢ 𝑢𝑋 ⎥⎢ ⎢ 𝑢 0 0 0 0 0 ⎥ ⎥⎢ 𝑊

⎤

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥ ⎢ 𝑖𝑌 𝑃 ⎥ ⎥⎢ ⎥. ⎥⎢ ⎥ ⎥ ⎢ 𝑖𝑌 𝑁 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥ ⎢ 𝑖𝑍𝑃 ⎥ ⎦⎣ ⎦

(3.18)

𝑖𝑍𝑁

Jak lze z (3.18) vysledovat, vhodným spojením brány W s branami ZP či ZN, resp. se společným uzlem, lze aktivním prvkem UVC realizovat odpovídající generace napěťových konvejorů: • VCI když W je spojeno se ZP, • VCII když W je spojeno se společným uzlem, • VCIII když W je spojeno se ZN. Brána W prvku UVC tedy primárně slouží pro potřeby definice napěťového konvejoru. Bránu W lze však využít i zcela samostatně, jako další nezávislou bránu ve strukturách nejen kmitočtových filtrů. S ohledem na zobecněné postupy při návrhu funkčních bloků využívající napěťových konvejorů byl proto zaveden nový aktivní prvek označovaný jako napěťový konvejor se svorkou W [28]. Schématická značka jeho zobecněné podoby je

74


GVCW iX

X Y

iY iW uW

uX uY

iZ

Z

W

uZ

Obrázek 3.12: Schématická značka zobecněného napěťového konvejoru se svorkou W (GVCW) uvedena na obr. 3.12 a poměr mezi branovými veličinami popisuje matice: ⎤

⎡

⎢ ⎢ ⎣

𝑢𝑍

𝑖𝑊

⎤⎡

⎡

0 0 0 1 ⎥ ⎢ 𝑖𝑌 ⎢ ⎥⎢ ⎢ ⎢ 𝑎 0 0 0 ⎥ ⎢ 𝑢𝑋 ⎥⎢ ⎢ = ⎥⎢ ⎢ ⎥ ⎢ 0 𝑐 0 0 ⎥ ⎢ 𝑖𝑍 ⎥ ⎦⎣ ⎣ ⎦

𝑢 ⎢ 𝑌 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ 𝑖𝑋 ⎥ ⎥ ⎢

0 0 0 0

𝑢𝑊

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥, ⎥ ⎥ ⎦

(3.19)

kde koeficienty 𝑎 a 𝑐 mohou nabývat hodnot 1 nebo −1.

3.5

Proudové aktivní prvky

Základními stavebními prvky jsou zdroje napětí a proudu řízené proudem či napětím. Proudové sledovače (CF) spolu s napěťovými sledovači (VF) představují základ řady aktivních prvků, také popsaných výše. Tyto elementární prvky je však možné použít i samostatně. V základní podobě je v rámci návrhu kmitočtových filtrů popisován proudový sledovač jako trojbran (obr. 3.13) s jedním proudovým vstupem a dvěma proudovými výstupy, kdy výstupní proudy 𝑖2 a 𝑖3 jsou vůči sobě otočeny o 180°. Vztah mezi branovými veličinami lze popsat maticí:

⎡

⎤

⎡

⎤⎡

⎤

𝑖 0 0 1 ⎥ ⎢ 𝑢2 ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ 𝑖3 ⎥ = ⎢ 0 0 −1 ⎥ ⎢ 𝑢3 ⎥ . ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ 𝑢1 0 0 0 𝑖1

i1 u1

DO-CF

i2 i3 u u3 2

Obrázek 3.13: Schématická značka proudového sledovače jako trojbranu

(3.20)


MO-CF i1

i2 i3 i4 i5 i1

(a)

75

UCC Y1 Z1+ Y2 Z1Y3 Z2+ X

Z2-

i2 i3 i4 i5

(b)

Obrázek 3.14: (a) Vícevýstupový proudový sledovač MO-CF, (b) jeho implementace využitím UCC Podobně jako tomu bylo v případě transkoduktančního zesilovače OTA, i zde je možné obecně popisovat základní varianty tohoto proudového aktivního prvku, který pouze disponuje více proudovými výstupy. Jde např. o vícevýstupový prvek MO-CF, jehož schématická značka (varianty se čtyřmi proudovými výstupy) je uvedena na obr. 3.14(a). Také tento prvek disponuje jediným proudovým vstupem, který se chová jako proudová nora, tj. v ideálním případě z pohledu střídavého signálu vykazuje nulovou vstupní impedanci a má potenciál společného uzlu. Vztah mezi branovými proudy je pak dán vztahy: 𝑖2 = 𝑖4 = 𝑖1 ,

𝑖3 = 𝑖5 = −𝑖1 .

(3.21)

Prvek MO-CF lze snadno realizovat např. využitím univerzálního proudového konvejoru UCC, kdy všechny jeho napěťové brány (tj. Y1, Y2, Y3) jsou uzemněny, viz obr. 3.14(b). Jak vyplývá z (3.20) a (3.21), proudové sledovače jsou charakteristické tím, že výstupní proud má vždy stejnou okamžitou hodnotu jako proud vstupní a jejich hlavním úkolem je zpravidla vytvářet dostatečný počet kopií původního proudu, např. pro potřeby realizace dopředných a zpětných vazeb ve funkčním bloku. V oblasti proudových aktivních prvků jsou však popisovány i takové, u kterých přenos proudu není jednotkový. V takovém případě hovoříme o proudových zesilovačích, které okamžitou hodnotu vstupního proudu zesilují (v některých případech i dle potřeb utlumují). Změna zesílení prvku zpravidla není fixní, ale lze ji externě měnit vnějším zdrojem proudu či napětí, případně i digitálně. Na obr. 3.15 je naznačena schématická značka proudového zesilovače pro jeho základní variantu, tj. s jedním vstupem a dvěma výstupy (DO-CA) se znázorněným řízením, které může být různého charakteru. Výstupní proudy prvku DO-CA jsou pak definovány jako: 𝑖2 = 𝐵 · 𝑖1 , 𝑖3 = −𝐵 · 𝑖1 ,

(3.22)

76


i1

DO-CA B

u1

i2 i3 u u3 2

řízení zesílení Obrázek 3.15: Schématická značka proudového zesilovače jako trojbranu

FD-CF u1+

i1+ i1− u1−

+ −

i2+ i2− u u2− 2+

Obrázek 3.16: Schématická značka diferenčního proudového sledovače FD-CF kde 𝐵 je proudové zesílení aktivního prvku. Kromě základní podoby proudového sledovače a proudového zesilovače, který disponuje jedinou vstupní branou, byly definovány i jejich diferenční podoby. Schéma diferenčního proudového sledovače je uvedeno na obr. 3.16. Jak bude uvedeno později z důvodu principu zrcadlení je proudových přenos z individuálních vstupů na výstupy vždy poloviční: 1 1 1 1 𝑖2+ = (𝑖1+ − 𝑖1− ) = 𝑖1𝐷 , 𝑖2− = − (𝑖1+ − 𝑖1− ) = − 𝑖1𝐷 . (3.23) 2 2 2 2 Jednotkový přenos je definován mezi diferenčním vstupním 𝑖1𝐷 proudem a diferenčním výstupním 𝑖2𝐷 proudem:

𝑖2𝐷 = 1. (3.24) 𝑖1𝐷 Podobně jako byl popsán jednoduchý proudový zesilovač, vznikla i definice jeho di-

ferenční podoby. V současnosti je dostupný prvek DACA (Digitally Adjustable Current Amplifier), jehož schématická značka je uvedena na obr. 3.17. Prvek DACA je popsán výrazy pro diferenční vstupní proud, diferenční výstupní proud, jednotlivé výstupní proudy a přenosovou funkci jako:

𝑖2+

𝑖1𝐷 = 𝑖1+ − 𝑖1− , 𝑖2𝐷 = 𝑖2+ − 𝑖2− , 𝐵 𝐵 = (𝑖1+ − 𝑖1− ) , 𝑖2− = − (𝑖1+ − 𝑖1− ) , 2 2 𝑖2𝐷 = 𝐵. 𝑖1𝐷

(3.25)

V oblasti vývoje nových typů aktivních prvků jsou pak definovány i další typy, které ve své vnitřní struktuře vhodným způsobem sdružují konvejory (CC i VC) a především


77

DACA u1+

i1+ i1− u1−

i2+

+ −

B

i2− u u2− 2+

CTR[2:0] Obrázek 3.17: Schématická značka diferenčního proudového zesilovače DACA transkonduktační zesilovače pro potřeby návrhu řiditelných kmitočtových filtrů. Lze tak např. zmínit prvky VDTA (Voltage Differencing Transconductance Amplifier), VDIBA (Voltage Differencing Inverting Buffered Amplifier), CBTA (Current Backward Transconductance Amplifier), CFTA (Current Follower Transconductance Amplifier), CCCITA (Current-Controlled Current Inverting Transconductance Amplifier).

78


4

AKTIVNÍ FILTRY

Druhou velkou skupinou kmitočtových filtrů jsou aktivní RC (ARC) filtry, které pro svoji činnost nevyžadují použití induktorů. Hlavní výhodou je snadná možnost změny základních parametrů filtru. Jejich použití se nejčastěji omezuje na použití v kmitočtové oblasti 0,1 Hz až 100 kHz. Stálý vývoj v oblasti aktivních prvků však dovoluje využití ARC filtrů na stále vyšších kmitočtech (desítky MHz). Existuje nepřeberné množství ARC filtrů, kdy nejčastěji používanými jsou zapojení s jedním aktivním prvkem. V takovém případě se zřejmě vždy jedná o realizace kmitočtových filtrů 1. nebo 2. řádu. K aktivnímu prvku je vždy vhodně připojena zpětnovazební pasivní síť, jak je to zjednodušeně naznačeno na obr. 4.1. Vzhledem k omezeným kmitočtovým vlastnostem použitého aktivního prvku pak dosažitelná hodnota činitele jakosti je omezená ve vyšší kmitočtové oblasti. Platí, že čím vyšší je požadovaná hodnota činitele jakosti na vyšších kmitočtech, tím komplexnější zapojení je nutné použít využívající několik aktivních prvků, které vykazují dostatečné vlastní zesílení i v dané kmitočtové oblasti. Obecně se to týká operačních zesilovačů jejichž zesílení je dle (3.1) významně kmitočtově závislé. Dalo by se předpokládat, že v případě prvků charakteristických jednotkovým přenosem napětí či proudu mezi odpovídajícími si branami (viz např. proudový či napěťový konvejor) takový problém nenastává. Přesto i zde pro dosažení např. vysoké hodnoty činitele jakosti je vhodné použít více aktivních prvků ve struktuře (viz dále). V následující části jsou blíže popsány vybrané struktury kmitočtových filtrů pracujících jak v napěťovém (vstupní a výstupní proměnné funkčního bloku jsou napětí - VM) tak v proudovém (vstupní a výstupní proměnné funkčního bloku jsou proudy - CM) módu.

YB

u2 K

Y

u2

K

YA u1

u1

(a)

(b)

Obrázek 4.1: Obecné struktury ARC filtrů s jedním zesilovačem (𝐾) (a) s jedním trojbranem, (b) se dvěma dvojbrany


79

Prezentované struktury lze velmi často vhodně modifikovat a přizpůsobit tak aktuálním potřebám realizovaného zařízení. Pokud ani vhodná modifikace již existujícího zapojení nevede k cíli, je nutné přistoupit ke zcela původnímu návrhu kmitočtového filtru s daným aktivním prvkem za využití některé z návrhových metod, jako např. autonomní obvody či grafy signálových toků [24].

4.1

Dolní propust 1. řádu

Realizace aktivní dolní propusti 1. řádu může být ve své podstatě primitivní spojení pasivní dolní propusti následované neinvertujícím zesilovačem s operačním zesilovačem, jak je to naznačeno na obr. 4.2. V tomto případě napěťová přenosová funkce tohoto řešení dána vztahem: 𝐾(s) =

𝐾0 , 1+s

(4.1)

1 𝑅2 , a 𝐾0 = 1 + . 𝑅1 𝐶 𝑅3 S řešením aktivní dolní propusti z obr. 4.2 se však v praxi příliš často nesetkáme. Mno-

kde s = p/𝜔𝑚 , 𝜔𝑚 =

hem častěji se v i komplexnějších zapojeních objevuje zapojení invertujícího integrátoru (obr. 4.3(a)) nebo ztrátového invertujícího integrátoru (obr. 4.3(b)). Napěťový přenos invertujícího integrátoru z obr. 4.3(a) je dán vztahem: 𝐾(p) = −

1 . p𝑅𝐶

(4.2)

Teoreticky bezeztrátový integrátor pro signál s nulovým kmitočtem vykazuje nekonečný přenos. Prakticky je však napěťový přenos omezen vlastnostmi požitého aktivního prvku, které v případě operačního zesilovače je 𝐴0 (viz kap. 3). Napěťový přenos ztrátového invertujícího integrátoru z obr. 4.3(b) lze pak vyjádřit jako: 𝐾(s) = −

R1

u1

+ _

𝐾0 , 1+s

(4.3)

OZ

C

R2 u2

R3

Obrázek 4.2: Primitivní řešení aktivní dolní propusti

80


kdy tedy toto zapojení lze z pohledu teorie filtrů již považovat za dolní propust 1. řádu, 1 𝑅2 u které mezní kmitočet je 𝜔𝑚 = a přenos v propustném pásmu je 𝐾0 = . 𝑅2 𝐶 𝑅3 Je-li v případě integrátoru požadován neinvertovaný přenos, pak řešením je buď za stávající invertující integrátor z obr. 4.3 zapojit invertující zesilovač, nebo použít přímo řešení neinvertujícho integrátoru dle zapojení uvedeného na obr. 4.4(a), které také bývá označováno jako Howlandův integrátor. Napěťový přenos tohoto řešení je dán vztahem: 𝐾(p) =

𝑅4 (𝑅1 + 𝑅2 ) , 𝑅1 𝑅3 𝑅4 𝐶p + 𝑅1 𝑅4 − 𝑅2 𝑅3

(4.4)

a v případě, že bude platit 𝑅1 𝑅4 = 𝑅2 𝑅3 , pak se bude jednat o neinvertující bezeztrátový integrátor. Na obr. 4.4(b) je pak uvedeno řešení neivertujícího bezeztrátového integračního článku se dvěma operačními zesilovači, který je využíván ve struktuře multifunkčního kmitočtového filtru, označovaného jako Akerberg-Mossberg (obr. 4.45). Přenosová funkce tohoto

R2 C R

_

u1

C R1

OZ

+

u2

_

u1

OZ

+

(a)

u2

(b)

Obrázek 4.3: Invertující integrátor s OZ: (a) bezeztrátový, (b) ztrátový

R1

R2 R1 _

C

OZ2 R4

u1

C (a)

R3=R

OZ

+

R3

R2=R

u2

u1 + _

_ +

OZ1

u2

(b)

Obrázek 4.4: Realizace neinvertujícího integrátoru pomocí (a) jednoho, (b) dvou operačních zesilovačů


81

zapojení je vyjádřena vztahem: 1 . 𝑅1 𝐶p

𝐾(p) =

(4.5)

Využití proudového konvejoru druhé generace k realizaci invertujícího a neinvertujícího integrátoru je uvedeno na obr. 4.5. Na obr. 4.6 je pak uvedeno řešení integrátorů využívající napěťový konvejor. Pro napěťový přenos invertujícího integračního článku je dán vztahem: 𝐾(p) = −

1 𝑅𝐶p

(4.6)

a v případě neinvertujícího článku pak: 𝐾(p) =

1 𝑅𝐶p

(4.7)

Realizace ztrátového integračního článku, tedy dolní propusti 1. řádu, využívající proudový a napěťový konvejor jako aktivní prvek je uvedeno na obr. 4.7(a) a obr. 4.8(a) 𝐾(p) = −

1 1 + 𝑅𝐶p

(4.8)

CCII+

CCII− Z

Y X

u1

u2

u1

u2

C

R

C

R

Z

Y X

(a)

(b)

Obrázek 4.5: Bezeztrátový integrátor s CCII: (a) invertující, (b) neinvertující

C R

UVC X YP ZP YN ZN W

u1

C R u2

UVC X YP ZP YN ZN W

u2

u1

(a)

(b)

Obrázek 4.6: Bezeztrátový integrátor s napěťovým konvejorem: (a) invertující, (b) neinvertující

82


DVCC+

DVCC− Y1 Y2 X

u1

Y1 Y2 X

Z u2

u1

u2

C

R

C

R

Z

(a)

(b)

Obrázek 4.7: Ztrátový integrátor s CCII: (a) invertující, (b) neinvertující

C R

UVC

UVC

C

X YP ZP YN ZN W

X YP ZP YN ZN W

R u2

u1

u2

u1

(a)

(b)

Obrázek 4.8: Ztrátový integrátor s napěťovým konvejorem: (a) invertující, (b) neinvertující kdy tato zapojení tak realizují invertující dolní propust s mezním kmitočtem 𝜔𝑚 = a jednotkovým zesílením v pásmu propustnosti, tj. 𝐾0 = −1.

1 𝑅𝐶

Neinvertující zapojení ztrátového integračního článku z obr. 4.7(b) resp. obr. 4.8(b) má napěťový přenos definovaný jako: 𝐾(p) =

4.2

1 1 + 𝑅𝐶p

(4.9)

Horní propust 1. řádu

Aktivní horní propusti jsou duální k dolním propustem 1. řádu. Podobně jako to bylo ukázáno na zapojení dolní propusti z obr. 4.2, také za pasivní horní propust je možné zapojit neinvertující napěťový zesilovač s operačním zesilovačem, jak je to uvedeno na obr. 4.9. Napěťovou přenosovou funkci lze definovat ve tvaru: 𝑅2 𝐾(p) = 1 + 𝑅3 (︂

)︂

p𝑅1 𝐶 . p𝑅1 𝐶 + 1

(4.10)


83

Mezní kmitočet horní propusti je tak logicky dán částí pasivní horní propusti, tj. 𝜔𝑚 = 1 a zesílení v pásmu propustnosti je možné nastavit neinvertujícím zesilovačem se 𝑅1 𝐶 𝑅2 . zesílením 𝐾0 = 1 + 𝑅3 Na obr. 4.10(a) je uveden bezeztrátový derivační článek s operačním zesilovačem. Napěťový přenos tohoto řešení je vyjádřen vztahem: 𝐾(p) = −𝑅𝐶p.

(4.11)

Teoreticky pro nekonečný kmitočet zapojení vykazuje nekonečné zesílení. V praxi to vede na nestabilitu základní podoby derivačního článku využívající operační zesilovač a proto se využívá zapojení ztrátového derivačního článku s OZ dle obr. 4.10(b). Napěťový přenos tohoto zapojení je definován jako: 𝐾(p) = −

𝐶1 𝑅2 p , 1 + 𝑅1 𝐶1 p

(4.12)

kdy toto řešení je možné z pohledu teorie kmitočtových filtrů již považovat za horní 1 propust 1. řádu s mezním kmitočtem 𝜔𝑚 = a zesílením v pásmu propustnosti 𝑅1 𝐶1 𝑅2 𝐾0 = − . 𝑅1 Řešení bezeztrátového derivačního článku využívající proudové a napěťové konvejory jako aktivní prvky jsou uvedena na obr. 4.11 a obr. 4.12. Podobně jako tomu je u řešení integračního článku, resp. aktivní dolní propusti, také zde jednoduchou volbou výstupní brány Z+ resp. Z– aktivního prvku lze snadno realizovat invertující či neinvertující podobu derivačního článku, resp. invertující či neinvertující horní propust 1. řádu (ztrátového derivačního článku). Napěťový přenos zapojení invertujícího bezeztrátového derivačního článku dle obr. 4.11(a), resp. obr. 4.12(a) je dáno vztahem: 𝐾(p) = −𝑅𝐶p

C + _

(4.13)

OZ R2

u1

u2

R1 R3

Obrázek 4.9: Primitivní řešení aktivní horní propusti 1. řádu

84


a napěťový přenos zapojení neinvertujícího bezeztrátového derivačního článku dle obr. 4.11(b), resp. obr. 4.12(b) lze určit jako: 𝐾(p) = 𝑅𝐶p

(4.14)

Realizace ztrátového derivačního článku invertující i neinvertující podobě, resp. horní propusti 1. řádu, využívající proudový nebo napěťový konvejor jsou uvedeny na obr. 4.13

R2

R C

_

u1

C R1

OZ

+

_

u1

u2

OZ

+

(a)

u2

(b)

Obrázek 4.10: Invertující derivátor s operačním zesilovačem: (a) bezeztrátový, (b) ztrátový

CCII− u1

CCII+

Z

Y X

u2

C

Z

Y X

u1

R

u2

C

(a)

R

(b)

Obrázek 4.11: Bezeztrátový derivátor s CCII: (a) invertující, (b) neinvertující

UVC

R

C

X YP ZP YN ZN W

UVC

R

C u2

X YP ZP YN ZN W

u2

u1

u1

(a)

(b)

Obrázek 4.12: Bezeztrátový derivátor s napěťovým konvejorem: (a) invertující, (b) neinvertující


DVCC− Y1 Y2 X

u1

85

DVCC+ Y1 Y2 X

Z u1

u2

C

Z u2

C

R

(a)

R

(b)

Obrázek 4.13: Ztrátový derivátor s CCII: (a) invertující, (b) neinvertující R

C

UVC

R

X YP ZP YN ZN W

C u2

u1

UVC X YP ZP YN ZN W

u2

u1

(a)

(b)

Obrázek 4.14: Ztrátový derivátor s napěťovým konvejorem: (a) invertující, (b) neinvertující a obr. 4.14. Napěťový přenos zapojení z obr. 4.13(a) a z obr. 4.14(a) je dáno vztahem: 𝐾(p) = −

𝑅𝐶p , 1 + 𝑅𝐶p

kdy tato zapojení tak realizují invertující horní propust s mezním kmitočtem 𝜔= jednotkovým zesílením v pásmu propustnosti.

(4.15) 1 a 𝑅𝐶

Napěťový přenos neinvertující podoby horní propusti s proudovým (4.13(b)) a napěťovým (4.14(b)) konvejorem lze popsat jako: 𝐾(p) =

4.3

𝑅𝐶p . 1 + 𝑅𝐶p

(4.16)

Fázovací článek 1. řádu

Analýzou chování obvodu uvedeného na obr. 4.15 při limitních hodnotách kmitočtu vstupního signálu lze konstatovat, že pro nulový kmitočet, při kterém kapacitor C vykazuje

86


nekonečnou impedanci, má zapojení přenos 1. Naopak pro vysoké kmitočty, rozuměj nekonečný, má kapacitor C nulovou impedanci a přenos obvodu je −1. V rámci této analýzy se předpokládá, že hodnoty rezistorů R1 a R2 jsou stejné, tj. 𝑅1 = 𝑅2 . Argument přenosové funkce se tedy mění v závislosti na kmitočtu vstupního signálu od 0° do −180°. Toto zapojení bude pracovat jako fázovací článek v případě, že i v oblasti středních kmitočtů bude funkční blok vykazovat jednotkový přenos. To, že tomu tak skutečně je, je možné určit z přenosové funkce, kterou lze vyjádřit jako: 1 − p𝑅3 𝐶 , 1 + p𝑅3 𝐶

(4.17)

1 − 𝜔𝑚 s𝑅3 𝐶 , 1 + 𝜔𝑚 s𝑅3 𝐶

(4.18)

𝐾(p) = resp. 𝐾(s) =

kde si je nutné uvědomit, že v tomto případě 𝜔𝑚 značí úhlový kmitočet, při kterém √ skupinové zpoždění poklesne na hodnotu 1/ 2 vůči hodnotě na nízkých kmitočtech. Ze vztahu (4.17), resp. (4.18) je jasné, že modul přenosové funkce je konstantní, protože čitatel je komplexně sdružený ke jmenovateli, a zesílení je jednotkové. Porovnáním vztahu (4.18) s (2.49) pro koeficient 𝑎11 platí: 𝑎11 = 𝜔𝑚 𝑅3 𝐶.

(4.19)

Použitím (2.52), popisující normované skupinové zpoždění, lze skupinové zpoždění na nízkých kmitočtech určit jako: 𝜏 (0) =

𝑎11 𝜔𝑚 𝑅3 𝐶 = = 2𝑅3 𝐶. 𝜋𝑓𝑚 𝜋𝑓𝑚

(4.20)

Z (4.17) lze pak argumentovou charakteristiku vyjádřit výrazem: 𝜙(𝜔) = −2 arctan 𝜔𝑅3 𝐶.

R1

R2 _

u1

+

R3

(4.21)

C

Obrázek 4.15: Fázovací článek 1. řádu s OZ

OZ u2


4.4

87

Dolní propust 2. řádu

Jak bylo uvedeno v úvodní části této kapitoly, zapojení s aktivními prvky často vycházejí ze zobecněných struktur uvedených na obr. 4.1. Na obr. 4.16 je uvedena struktura dolní propusti 2. řádu, která má svůj základ ve struktuře uvedené na obr. 4.1(a). Toto řešení kmitočtového filtru bývá označováno jako zapojení s rozvětvenou smyčkou zpětné vazby. Napěťový přenos tohoto zapojení je dán vztahem: 𝑅2 𝑅1

𝐾(p) = − 𝐶1 𝐶2 𝑅2 𝑅3

+ 𝐶1

p2

(︂

𝑅2 𝑅3 𝑅2 + 𝑅3 + p+1 𝑅1 )︂

.

(4.22)

Z (4.22) lze stanovit zesílení v pásmu propustnosti a koeficienty 𝑎21 a 𝑏21 jako: 𝐾0 = −

𝑅2 𝑅3 = 𝜔𝑚 𝐶1 𝑅2 + 𝑅3 + , 𝑅1 2 𝐶1 𝐶2 𝑅2 𝑅3 . 𝑏21 = 𝜔𝑚 (︂

𝑎21

𝑅2 , 𝑅1

(4.23)

)︂

Při numerickém návrhu tohoto zapojení je lépe vycházet z volby kapacitorů, kdy pak hodnoty rezistorů jsou určeny vztahy: 𝑅2 =

𝑎21 𝐶2 −

√︁

𝑎221 𝐶22 − 4𝐶1 𝐶2 𝑏21 (1 − 𝐾0 )

4𝜋𝑓𝑚 𝐶1 𝐶2 𝑅2 𝑅1 = − , 𝐾0 𝑏21 𝑅3 = 2 2 . 4𝜋 𝑓𝑚 𝐶1 𝐶2 𝑅2

, (4.24)

Aby hodnota rezistoru R2 byla reálná, pak hodnota pod odmocninou v (4.24) musí být kladná. Znamená to tedy, že při volbě hodnot kapacitorů musí být splněna podmínka: 𝐶2 ≥ 𝐶1

4𝑏21 (1 − 𝐾0 ) . 𝑎221

R2 R1 u1

R3 C2

(4.25)

C1 _ +

OZ u2

Obrázek 4.16: Aktivní dolní propust 2. řádu s rozvětvenou smyčkou zpětné vazby

88


Jiné řešení dolní propusti 2. řádu s operačním zesilovačem uvedené na obr. 4.17 vychází obecně ze struktury z obr. 4.1(b). Bude-li platit: 𝐶1 𝑅1 𝑅2 𝐶3 𝑅3 𝑅4 = , 𝑅1 + 𝑅2 𝑅3 + 𝑅4

(4.26)

pak napěťovou přenosovou funkci obvodového řešení z obr. 4.17 lze určit výrazem: 𝐾(p) = −

(𝑅3 + 𝑅4 ) / (𝑅1 + 𝑅2 ) . 𝐶2 𝐶3 𝑅3 𝑅4 p 2 + 𝐶2 (𝑅3 + 𝑅4 ) p + 1

(4.27)

Vyhodnocením koeficientů u jednotlivých mocnin Laplaceova operátoru p lze stanovit že: 𝑎21 = 𝜔𝑚 𝐶2 (𝑅3 + 𝑅4 ) ,

𝐾0 = −

2 𝐶2 𝐶3 𝑅3 𝑅4 , 𝑏21 = 𝜔𝑚

𝑅3 + 𝑅4 . 𝑅1 + 𝑅2

(4.28)

Pro jednoduchost výpočtu hodnot pasivních prvků je vhodné volit 𝑅1 = 𝑅2 = 𝑅𝑋 a 𝑅3 = 𝑅4 = 𝑅𝑌 , kdy při dodržení podmínky 𝐶1 𝑅𝑋 = 𝐶3 𝑅𝑌 bude platit: 𝑎21 = 2𝜔𝑚 𝑅𝑌 𝐶2 ,

2 𝑏21 = 𝜔𝑚 𝐶2 𝐶3 𝑅𝑌2 ,

𝐾0 = −

𝑅𝑌 . 𝑅𝑋

(4.29)

Ze vztahu (4.29) je pak jednoduchými matematickými operacemi možné vyjádřit výrazy pro výpočet hodnot jednotlivých pasivních prvků, kdy je opět vhodné volit hodnoty kapacitorů. Na obr. 4.18 je uvedena jiná struktura s operačním zesilovačem, která bývá také označována jako Sallen-Key [29]. Struktura filtru se skládá ze dvoučlánkové RC dolní propusti, do které je vhodně zavedena zpětná vazba. Záporná zpětná vazba realizovaná rezistory R3 a R4 definuje napěťový přenos kmitočtového filtru 𝐾0 = 1 + 𝑅3 /𝑅4 . Napěťový přenos celého kmitočtového filtru je pak určen jako: 𝐾(p) =

𝐶1 𝐶2 𝑅1 𝑅2

p2

𝐾0 . + [𝑅1 𝐶1 (1 − 𝐾0 ) + (𝑅1 + 𝑅2 )𝐶2 ] p + 1

(4.30)

C2 R1 u1

R2

C1

R3 OZ _

R4 C3 u2

+

Obrázek 4.17: Aktivní dolní propust 2. řádu s jednoduchou smyčkou zpětné vazby


89

R3 C1 R1

_

R2

OZ

+ u2

u1

C2

R4

Obrázek 4.18: Aktivní dolní propust 2. řádu - Sallen Key Bude-li platit, že 𝐾0 = 1, tj. 𝑅3 = 0Ω a 𝑅4 = ∞Ω, pak přenosová funkce (4.30) se redukuje na: 𝐾(p) =

1 , + (𝑅1 + 𝑅2 )𝐶2 p + 1 a 𝑏21 jako:

p2

𝐶1 𝐶2 𝑅1 𝑅2 ze které je opět možné určit koeficienty 𝑎21

𝑎21 = 𝜔𝑚 (𝑅1 + 𝑅2 )𝐶2 ,

2 𝑏21 = 𝜔𝑚 𝐶1 𝐶2 𝑅1 𝑅2 .

(4.31)

(4.32)

Z (4.32) je pak možné vyjádřit vztahy pro výpočet rezistorů R1 a R2 , jsou-li voleny hodnoty kapacitorů: 𝑅1 =

𝑎21 𝐶1 ±

√︁

𝑎221 𝐶12 − 4𝑏21 𝐶1 𝐶2 , 2𝜔𝑚 𝐶1 𝐶2

𝑅2 =

𝑎21 𝐶1 ∓

√︁

𝑎221 𝐶12 − 4𝑏21 𝐶1 𝐶2 . 2𝜔𝑚 𝐶1 𝐶2

(4.33)

Aby hodnoty rezistorů R1 a R2 byly reálné, musí být výraz pod odmocninou v (4.33) kladný, a proto je v tomto případě nutné splnit podmínku: 𝐶1 4𝑏21 ≥ 2 . 𝐶2 𝑎21

(4.34)

Numerický návrh kmitočtového filtru z obr. 4.18 je možné dále zjednodušit bude-li mezi hodnotami pasivních prvků platit rovnost, tj. 𝑅1 = 𝑅2 = 𝑅 a 𝐶1 = 𝐶2 = 𝐶. V takovém případě je přenosová funkce (4.30) zjednoduší do tvaru: 𝐾(p) =

𝐾0 , 𝑅2 𝐶 2 p 2 + (3 − 𝐾0 ) 𝑅𝐶p + 1

(4.35)

kdy v tomto případě pro koeficienty 𝑎21 a 𝑏21 platí: 2 𝑎21 = 𝜔𝑚 (3 − 𝐾0 ) 𝑅𝐶, 𝑏21 = 𝜔𝑚 𝑅2 𝐶 2 , (4.36) √ Hodnotu rezistorů lze pak určit jako 𝑅 = 𝑏21 / (𝜔𝑚 𝐶). Dle (2.19) lze pak hodnotu činitele

jakosti 𝑄 filtru vyjádřit jako:

√ 𝑄=

𝑏21 1 = , 𝑎21 1 − 𝐾0

(4.37)

90


z čehož vyplývá, že činitel jakosti je možné měnit prostřednictvím změny zesílení 𝐾0 , aniž by docházelo ke změně charakteristického kmitočtu 𝜔0 (kmitočtu pólů). Této vlastnosti je možné využít při návrhu kmitočtových filtrů dle požadované aproximace, tj. vhodným výběrem koeficientů 𝑎21 a 𝑏21 nastavením potřebného zesílení, pak v případě aproximace dle Bessela 𝐾0 ≈ 1, 27. Je však nutné upozornit na skutečnost, že maximální hodnota zesílení 𝐾0 musí být nižší než 3, neboť pak se struktura obvodu stává nestabilní a kmitá na kmitočtu 𝑓 = 1/(2𝜋𝑅𝐶), tedy kmitočtu pólů. Na obr. 4.19 je uvedeno další možné řešení kmitočtového filtru dolní propusti 2. řádu. Přenosovou funkci napětí tohoto obvodu je možné vyjádřit jako: 𝐾(p) =

𝐶1 𝐶2 𝑅1 𝑅2

p2

1 . + 𝑅1 (𝐶1 + 𝐶2 )p + 1

(4.38)

Vyjádřením koeficientů 𝑎21 a 𝑏21 ze vztahu (4.38) je pak možné určit výrazy pro výpočet hodnot rezistorů, pro které v případě shodnosti velikosti kapacitorů (tj. 𝐶1 = 𝐶2 = 𝐶) bude platit:

2𝑏21 𝑎21 , 𝑅2 = . (4.39) 2𝜔𝑚 𝐶 𝑎21 𝜔𝑚 𝐶 Zapojení z obr. 4.19 lze pak s výhodou využít pro návrh nekaskádní struktury filtru 𝑅1 =

dolní propusti obecně 𝑛tého řádu (viz obr. 4.48). Výhdou tohoto filtru je, že je stejnosměrně přesný, tzn. že se neuplatní napěťový ofset operačního zesilovače. Určitou nevýhodou je, že filtr není možné přímo zatížit, resp. vstupní impedance následujícího obvodu musí být velmi vysoká. Struktury kmitočtových filtrů uvedených na obr. 4.16, obr. 4.18 či obr. 4.19 jsou plně vhodné pro potřeby návrhu kmitočtových filtrů vyšších řádů metodou kaskádního řazení dle Butterworthovy či Besselovy aproximace, neboť maximální dosažitelná hodnota činitele jakosti u těchto struktur je cca 20 [1]. V případě návrhu kmitočtových filtrů vyšších řádů dle Čebyševa, nebo že se kmitočtový filtr 2. řádu využívá samostatně a současně

R1

u1

C1 R2

C2 u2

_ OZ +

Obrázek 4.19: Aktivní dolní propust 2. řádu s jedním operačním zesilovačem


91

je požadována vyšší hodnota činitele jakosti, je pak nutné využít zapojení kmitočtových filtrů využívající vyšší počet aktivních prvků. Pro tento účel lze využít zapojení kmitočtového filtru uvedeného na obr. 4.20, který ve své struktuře využívá Antoniův GIC (General Impedance Inverter). Napěťový přenos filtru je dán vztahem: 𝑅4 𝐾(p) = 1 + 𝑅3 (︂

)︂

1/(𝑅1 𝑅2 𝐶1 𝐶2 ) . 1 𝑅4 2 p + p+ 𝑅𝑄 𝐶2 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝐶1 𝐶2

(4.40)

Úhlový kmitočet pólů 𝜔0 je možné určit jako: √︃

𝜔0 =

𝑅4 , 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝐶1 𝐶2

(4.41)

a činitel jakosti lze pak definovat výrazem: 𝑅𝑄 𝑄= √ 𝑅1 𝑅2

√︃

𝐶2 𝑅4 . 𝐶1 𝑅3

(4.42)

Při návrhu je vhodné mezi hodnotami pasivních prvků volit rovnost 𝑅1 = 𝑅2 = 𝑅, 𝑅3 = 𝑅4 , 𝐶1 = 𝐶2 = 𝐶, kdy pak z (4.41) je možné určit velikost rezistoru R1 resp. R2 : 𝑅1 = 𝑅2 = 𝑅 =

1 . 𝜔0 𝐶

(4.43)

Výraz (4.42) pro činitel jakosti se pak také značně zjednoduší: 𝑄=

𝑅𝑄 , 𝑅

(4.44)

ze které je pak snadné určit nutnou hodnotu R𝑄 pro požadovanou hodnotu činitele jakosti 𝑄. Hodnoty rezistorů R3 a R4 se pak volí blízké hodnotě 𝑅. Při doporučené volbě hodnot pasivních prvků je napěťové zesílení kmitočtového filtru v pásmu propustnosti 𝐾0 = 2. Je-li to nutné, lze napěťový přenos snížit využitím rezistoru

C1 R3 R1 u1

OZ1 + _

RX

OZ2 C2

u2

+ _

RQ

R2

R4

Obrázek 4.20: Aktivní dolní propust 2. řádu se dvěma operačními zesilovači s vysokým 𝑄

92


𝑅𝑋 , který je v zapojení z obr. 4.20 naznačen čárkovaně. Při této modifikaci zapojení dochází ke změně napěťového zesílení 𝐾0 , pro který tak bude platit: 𝑅4 = 1+ 𝑅3

𝑅𝑋 , 𝑅1 + 𝑅𝑋

(4.45)

(𝑅1 + 𝑅𝑋 )𝑅4 . 𝑅1 𝑅𝑋 𝑅2 𝑅3 𝐶1 𝐶2

(4.46)

(︂

𝐾0𝑚𝑜𝑑

)︂

a také ke změně uhlového kmitočtu pólů 𝜔0 : √︃

𝜔0𝑚𝑜𝑑 =

V případě, že se stále uvažuje rovnost mezi rezistory R3 a R4 , pak k dosažení jednotkového přenosu je nutné podle (4.45) hodnotu rezistoru R𝑋 jako 𝑅𝑋 = 𝑅1 . Takovou volbou by však došlo ke změně úhlového kmitočtu pólů 𝜔0𝑚𝑜𝑑 . Pokud i po zapojení rezistoru R𝑋 do struktury musí platit rovnost mezi 𝜔0 dle (4.41) a 𝜔0𝑚𝑜𝑑 dle (4.46), pak musí platit 𝑅1 = 𝑅𝑋 = 2𝑅, kdy 𝑅 je určeno vztahem (4.43). Při návrhu kmitočtových filtrů dle Cauera, přenosová funkce kmitočtového filtru je charakteristická přítomností nul v přenosu. Žádné řešení z výše diskutovaných aktivních dolních propustí nulu v přenosu nemá. Na obr. 4.21 je uvedeno řešení dolní propusti 2. řádu s jedním operačním zesilovačem. Napěťová přenosová funkce tohoto řešení je dána vztahem: (𝐶1 + 𝐶2 )(1 + 𝑅 − 2/𝑅𝑁 ) − 𝐶2 𝑅2 𝑅3 /(𝑅1 𝑅4 ) p+ 𝑅2 𝐶1 𝐶2 1 𝑅2 + 𝑅𝑁 + 𝑅𝑁 𝑅1 𝑅2 𝐶1 𝐶2 . 𝐶1 + 𝐶2 1 p2 + p+ 𝑅2 𝐶1 𝐶2 𝑅1 𝑅2 𝐶1 𝐶2

p2 + 𝐾(p) =

𝑅4 𝑅3 + 𝑅4

(4.47)

C1 R2 R1 u1

C2

_

OZ

+

R3

u2

RN

R4

Obrázek 4.21: Aktivní dolní propust 2. řádu s nulami v přenosu využívající jeden operační zesilovač


93

Úhlový kmitočet pólů 𝜔0 je z (4.47) možné vyjádřit jako: 𝜔0 = √

1 , 𝑅1 𝑅2 𝐶1 𝐶2

(4.48)

a uhlový kmitočet nul 𝜔𝑁 je z (4.47) dán vztahem: √︃

𝜔𝑁 = 𝜔0 1 +

𝑅2 = 𝜔0 · 𝑘. 𝑅𝑁

(4.49)

Hodnotu činitele jakosti pólů 𝑄 lze určit dle: 1 𝑄= 𝐶1 + 𝐶2

√︃

𝑅2 𝐶1 𝐶2 , 𝑅1

(4.50)

a zesílení v pásmu propustnosti je: 𝐾0 =

𝑅4 𝑘2. 𝑅3 + 𝑅4

(4.51)

Bude-li platit, že:

𝑅2 𝐶2 𝑅4 = a = 1, (4.52) 𝑅3 𝑅1 𝑘 2 𝐶1 pak člen v čitateli u Laplaceova operátoru p první mocniny bude nulový a činitel jakosti 2

nuly na kmitočtu 𝜔𝑁 je nekonečný. Pro potřeby numerického návrhu hodnot pasivních prvků je pak vhodné volit 𝐶1 = 𝐶2 𝑅2 a = 4𝑄2 [1]. 𝑅1 Protože zapojení z obr. 4.21 využívá pro svoji činnost jen jeden aktivní prvek, dosažitelná hodnota činitele jakosti je omezena na cca 10. V případě potřeby vyšších hodnot činitele jakosti 𝑄, jak tomu může být při návrhu filtrů vyšších řádů aproximovaných dle Cauera je vhodnější využít zapojení uvedené na obr. 4.22(a) [1]. Přenosovou funkci tohoto zapojení lze vyjádřit jako: (︃

)︃

𝑅3 𝑅4 p + 1+ 𝑅1 𝑅2 𝑅4 𝐶1 𝐶2 𝑅𝑄 𝐾(p) = . 1 𝑅3 2 p + p+ 𝑅2 𝑅𝑄 𝑅1 𝑅2 𝑅4 𝐶1 𝐶2 2

(4.53)

Pro uhlový kmitočet pólů 𝜔0 platí: √︃

𝜔0 =

𝑅3 , 𝑅1 𝑅2 𝑅4 𝐶1 𝐶2

(4.54)

a úhlový kmitočet nul 𝜔𝑁 lze vyjádřit pomocí: (︃

𝜔𝑁 = 𝜔0

𝑅4 1+ 𝑅𝑄

)︃

= 𝜔0 · 𝑘.

(4.55)

94


Činitel jakosti pólů 𝑄 je dán vztahem: 𝑅𝑄 𝑄= √ 𝑅1 𝑅2

√︃

𝐶2 𝑅3 , 𝐶1 𝑅4

(4.56)

činitel jakosti nul 𝑄𝑁 je teoreticky nekonečný za všech okolností, tzn. přenos filtru na kmitočtu 𝑓𝑁 je nulový. Jak je vidět z (4.56), činitel jakosti 𝑄 lze nezávisle měnit na kmitočtu pólů 𝜔0 . Přenos v pásmu propustnosti 𝐾0 není jednotkový, ale je určen dle výrazu: 𝐾0 = 1 +

𝑅4 𝑅𝑄

(4.57)

Změnou činitele jakosti 𝑄 filtru tak dochází i ke změně zesílení v pásmu propustnosti a také ke změně úhlového kmitočtu nuly 𝜔𝑁 dle (4.55). V případě nutnosti lze nejednotkové zesílení 𝐾0 filtru korigovat předřazením jednoduchého odporového děliče jak je to naznačeno na obr. 4.22(b), kdy pro nastavení jednotko-

C1 R3

R4

OZ1

R1

OZ2

+ _

u1

u2

+ _

C2

R2

RQ

(a)

C1 R3 R0 u1

R1

R4

OZ1 + _

OZ2 C2

R00

u2

+ _

R2

RQ

(b)

Obrázek 4.22: Aktivní dolní propust 2. řádu s nulami v přenosu využívající dva operační zesilovače


95

vého zesílení celé struktury musí platit: 𝑅00 =

𝑅0 𝑅𝑄 . 𝑅4

(4.58)

Struktury dolních propustí využívající proudové a napěťové konvejory jsou popsány v rámci kapitol věnovaných popisu multifunkčních filtrů a filtrů vyšších řádů.

4.5

Horní propust 2. řádu

V při popisu horních propustí 1. řádu v kap. 4.2 a jejich srovnáním s dolními propustmi 1. řádu z kap. 4.1 bylo možné vypozorovat, že realizace jednoho typu kmitočtového filtru vychází z druhého, kdy pouze dochází ke vzájemné záměně kapacitorů a rezisotrů. Podobně tomu je také u kmitočtových filtrů horních propustí 2. řádu, kdy však provedení popsané vzájemné záměny nemusí být vždy tak primitivní. Na obr. 4.23 je uvedeno řešení aktivní horní propusti 2. řádu využívající rozvětvenou smyčku zpětné vazby. Napěťová přenosová funkce tohoto obvodu je dána vztahem: 𝐶1 𝐶3 p 2 = 𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3 1 𝐶2 𝐶3 p 2 + p+ 𝑅2 𝑅1 𝑅2 𝐶1 2 p 𝐶2 = =− 𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3 1 2 p + p+ 𝑅2 𝐶2 𝐶3 𝑅1 𝑅2 𝐶2 𝐶3 𝐶1 𝐶2 =− . 1 𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3 1 1 + 1+ 𝑅2 𝐶2 𝐶3 p 𝑅1 𝑅2 𝐶2 𝐶3 p 2

𝐾(p) = −

(4.59)

Porovnáním vztahu (4.60) s obecným vztahem přenosové funkce horní propusti (2.26), lze konstatovat, že napěťový přenos v propustném pásmu filtru z obr. 4.23 lze vyjádřit jako: 𝐾0 = −

C2 C1 u1

C3 R1

𝐶1 , 𝐶2

(4.60)

R2 _ +

OZ u2

Obrázek 4.23: Aktivní horní propust 2. řádu s rozvětvenou smyčkou zpětné vazby

96


a pro koeficienty 𝑎21 a 𝑏21 platí: 𝑎21 =

𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3 , 𝜔𝑚 𝑅2 𝐶2 𝐶3

𝑏21 =

1 2 𝑅 𝑅 𝐶 𝐶 𝜔𝑚 1 2 2 3

(4.61)

.

Pro potřeby snadného numerického návrhu pasivních prvků se často volí rovnost hodnot kapacitorů, tj. 𝐶1 = 𝐶2 = 𝐶3 = 𝐶, a hodnoty rezistorů lze pak snadno určit dle: 𝑅1 =

1 2 𝐶 2𝑅 𝑏 𝜔𝑚 2 21

,

𝑅2 =

3 , 𝜔𝑚 𝐶𝑎21

(4.62)

přičemž napěťový přenos v propustném pásmu je jednotkovový, 𝐾0 = −1. Další řešení kmitočtového filtru horní propusti 2. řádu využívající ve své struktuře napěťový zesilovač s konečným zesílením je uvedeno na obr. 4.24. 𝑅3 Zavedením označení 𝐴𝑈 = 1 + lze napěťový přenso kmitočtového filtru vyjádřit 𝑅4 jako: 𝐴𝑈 𝐾(p) = , (4.63) 𝑅2 𝐶2 (1 − 𝐴𝑈 ) + (𝐶1 + 𝐶2 )𝑅1 1 1 1 1+ + 𝑅1 𝑅2 𝐶1 𝐶2 p 𝑅1 𝑅2 𝐶1 𝐶2 p 2 kdy úhlový kmitočet pólů 𝜔0 a činitel jakosti 𝑄 lze vyjádřit jako: √ 𝑅3 𝑅1 𝑅2 𝐶1 𝐶2 1 , 𝑄= . (4.64) 𝜔0 = √ 𝑅2 𝑅3 (𝐶1 + 𝐶2 ) − 𝑅1 𝑅4 𝑅1 𝑅2 𝐶1 𝐶2 Pro snadnou realizaci kmitočtového filtru se obvykle volí 𝐴𝑈 = 1, tj. 𝑅3 = 0Ω a 𝑅4 = ∞Ω, a 𝐶1 = 𝐶2 = 𝐶. V takovém případě se přenosová funkce (4.63) zjednoduší do tvaru: 𝐾(p) =

1 2 1 1 1 1+ + 𝑅2 𝐶 p 𝑅1 𝑅2 𝐶 2 p 2

R3

R1 C1

(4.65)

_

C2

OZ

+ u1

R2

R4

u2

Obrázek 4.24: Aktivní horní propust 2. řádu s neinvertujícím zesilovačem s konečným zesílením


97

V tomto případě pro koeficienty kaskádní syntézy 𝑎21 a 𝑏21 platí: 𝑎21 =

2 , 𝜔𝑚 𝑅2 𝐶

𝑏21 =

1 2 𝑅 𝑅 𝐶2 𝜔𝑚 1 2

(4.66)

,

které lze využít pro výpočet hodnot rezistorů R1 a R2 : 𝑅1 =

𝑎21 , 2𝜔𝑚 𝐶𝑏21

𝑅2 =

2 . 𝜔𝑚 𝐶𝑎21

(4.67)

Jiné řešení kmitočtového filtru horní propusti 2. řádu s jediným operačním zesilovačem je uvedeno na obr. 4.25. Napěťová přenosová funkce kmitočtového filtru z obr. 4.25 je dána vztahem: 𝐾(p) =

p2 p2 +

1 𝑅1 + 𝑅2 p+ 𝑅1 𝑅2 𝐶2 𝑅1 𝑅2 𝐶1 𝐶2

(4.68)

.

Jak je ze vztahu zřejmé, napěťový přenos v pásmu propustnosti 𝐾0 je vždy jednotkový. Úhlový charakteristický kmitočet 𝜔0 a činitel jakosti lze vyjádřit jako: 1 𝜔0 = √ , 𝑅1 𝑅2 𝐶1 𝐶2

1 𝑄= 𝑅1 + 𝑅2

√︃

𝑅1 𝑅2 𝐶2 . 𝐶1

(4.69)

Pro definované hodnoty charakteristického kmitočtu 𝑓0 a činitele jakosti 𝑄 lze pro zvolené hodnoty kapacitorů určit velikosti rezistorů dle vztahů: 1 , 𝑅1 = 2 𝜔0 𝑅2 𝐶1 𝐶2

𝑅2 =

𝐶2 ±

√︁

𝐶2 (𝐶2 − 4𝐶1 𝑄2 )

2𝜔0 𝐶1 𝐶2 𝑄

,

(4.70)

z čehož vyplývá podmínka realizovatelnosti, kdy poměr mezi hodnotami kapacitorů musí být:

𝐶2 ≥ 4𝑄2 . 𝐶1

(4.71)

C1 R1

C2

u1

R2 u2

_ OZ +

Obrázek 4.25: Aktivní horní propust 2. řádu s jedním operačním zesilovačem

98


Výše uvedená zapojení horních propustí 2. řádu vykazují omezení z pohledu dosažitelné hodnoty činitele jakosti, protože obsahují jen jeden aktivní prvek. Pro potřeby kaskádní syntézy kmitočtových filtrů vyšších řádů, např. dle Čebyševa, je vhodnější v případě nutnosti využít zapojení z obr.4.26, který dovoluje realizaci filtrů s vyšší hodnotou činitele jakosti (až 100) [1]. Přenosová funkce zapojení z obr. 4.26 je dána vztahem: (︂

𝐾(p) = 1 +

𝑅3 𝑅4

p2

)︂

p2

1 𝑅3 + p+ 𝑅𝑄 𝐶2 𝑅1 𝑅2 𝑅4 𝐶1 𝐶2

(4.72)

.

Charakteristický úhlový kmitočet 𝜔0 a činitel jakosti 𝑄 jsou dle (4.72) jsou určeny výrazy: √︃

𝜔0 =

𝑅3 , 𝑅1 𝑅2 𝑅4 𝐶1 𝐶2

𝑅𝑄 𝑄= √ 𝑅1 𝑅2

√︃

𝐶2 𝑅3 . 𝐶1 𝑅4

(4.73)

V základní podobě (bez kapacitoru C01 ) je napěťový přenos filtru z obr. 4.26 definován jako:

𝑅3 . (4.74) 𝑅4 Protože rezistory R3 a R4 jsou primárně využívány pro nastavení požadovaného mez𝐾0 = 1 +

ního (resp. charakteristického) kmitočtu a činitele jakosti dle (4.73), pro potřeby nezávislého nastavení zesílení v pásmu propustnosti je nutné použít podobnou techniku, jako tomu bylo u řešení dolní propusti 2. řádu z obr. 4.20, kdy z zapojení horní propusti je vytvořen kapacitní dělič zapojením kapacitoru C01 , jak je to naznačeno na obr. 4.26. V tomto případě je zesílení v propustném pásmu definováno vztahem: 𝑅3 = 1+ 𝑅4 (︂

𝐾0𝑚𝑜𝑑

)︂

𝐶1 . 𝐶1 + 𝐶01

(4.75)

V případě potřeby realizovat i nulu v přenosové funkci je možné použít některé z dále uvedených zapojení využívající operační zesilovače.

R1 R3 C1 u1

OZ1 C01

OZ2

+ _

RQ

R2

C2

+ _

R4

Obrázek 4.26: Aktivní horní propust 2. řádu se dvěma operačními zesilovači


99

Přenosová funkce zapojení z obr. 4.27 je dána vztahem: 𝑅1 (𝐶1 + 𝐶2 ) − [(𝐶1 + 𝐶2 )𝑅1 /𝑅𝑁 + 𝐶2 ]𝑅2 𝑅3 /𝑅4 p+ 𝑅)︂1 𝑅2 𝐶1 𝐶2 (︂ 1 𝑅2 𝑅3 + 1− 𝑅1 𝑅2 𝐶1 𝐶2 𝑅4 𝑅𝑁 . 𝐶1 + 𝐶2 1 2 p + p+ 𝑅2 𝐶1 𝐶2 𝑅1 𝑅2 𝐶1 𝐶2

p2 + 𝐾(p) =

𝑅4 𝑅3 + 𝑅4

(4.76)

Úhlový kmitočet pólů 𝜔0 je dle (4.76) definován jako: 𝜔0 = √

1 , 𝑅1 𝑅2 𝐶1 𝐶2

(4.77)

a úhlový kmitočet nul 𝜔𝑁 lze vypočítat dle vztahu: √︃

𝜔𝑁 = 𝜔0 1 −

𝑅2 𝑅3 = 𝜔0 · 𝑘. 𝑅4 𝑅𝑁

(4.78)

Činitel jakosti pólů 𝑄 je definován jako: 1 𝑄= 𝐶1 + 𝐶2

√︃

𝑅2 𝐶1 𝐶2 . 𝑅1

(4.79)

Aby byl přenos filtru na kmitočtu 𝑓𝑁 nulový, musí být hodnota činitele jakosti nuly 𝑄𝑁 nekonečná. Lze dokázat, že tohoto požadavku lze dosáhnout splněním podmínky: 𝐶2 = 1, 𝐶1

2

𝑅4 𝑅2 = . 𝑅3 𝑅1

(4.80)

Hodnoty rezistorů a kapacitorů určující hodnoty charakteristického kmitočtu 𝜔0 a činitele jakosti 𝑄 je možné odvodit z (4.77) a (4.79), přičemž je vhodnější volit hodnoty kapacitorů. Zbývající hodnotu rezistoru R𝑁 je pak možné určit dle: 2𝑅1 𝑘 2 𝑅𝑁 = . 1 − 𝑘2

(4.81)

C1 RN R1 u1

R2 C2

_ OZ

u2

+

R3 R4

Obrázek 4.27: Aktivní horní propust 2. řádu s nulou v přenosu využívající jeden OZ

100


Jiné obvodové řešení horní propusti 2. řádu s nulou v přenosu využívající jeden operační zesilovač je uvedeno na obr. 4.28. Přenosová funkce napětí zapojení z obr. 4.28 je dána vztahem: 𝐶𝑁 (𝑅1 + 𝑅2 )(𝐶1 + 𝐶𝑁 ) − 𝑅1 𝑅3 𝐶2 /𝑅4 p2 + p+ 𝐶1 𝑅1 𝑅2 𝐶1 𝐶2 1 + 𝑅1 𝑅2 𝐶1 𝐶2 . 𝑅1 + 𝑅2 1 2 p + p+ 𝑅1 𝑅2 𝐶2 𝑅1 𝑅2 𝐶1 𝐶2

(︂

𝐾(p) =

𝑅4 𝑅3 + 𝑅4

1+

)︂

(4.82)

Charakteristický úhlový kmitočet filtru 𝜔0 a činitel jakosti 𝑄 jsou dány vztahy: 1 𝜔0 = √ , 𝑅1 𝑅2 𝐶1 𝐶2

1 𝑄= 𝐶 1 + 𝐶2

√︃

𝑅2 𝐶1 𝐶2 . 𝑅1

(4.83)

Úhlový kmitočet nuly 𝜔𝑁 lze určit dle: √︃

𝜔𝑁 = 𝜔0

𝐶1 = 𝜔0 · 𝑘. 𝐶1 + 𝐶𝑁

(4.84)

Aby byl napěťový přenos filtru na tomto úhlovém kmitočtu nulový, tj. aby činitel jakosti nul 𝑄𝑁 byl nekonečný, je nutné splnit podmínky: 𝑅2 = 1, 𝑅1

2

𝑅4 𝐶2 = 𝑘2 . 𝑅3 𝐶1

(4.85)

Volbou hodnot rezistorů R1 a R2 (splňující podmínku (4.85)) je možné dle (4.83) určit hodnoty kapacitorů C1 a C2 . Na základě požadovaného poměru mezi charakteristickým kmitočtem a kmitočtem nul vyjádřeného koeficientem 𝑘 lze pak určit nutnou hodnotou kapacitoru C𝑁 dle vztahu: 𝐶𝑁 = 𝐶1

(︂

1 −1 . 𝑘2 )︂

(4.86)

R1

C2

C1 R2

u1

_ OZ

u2

+

R3

R4 CN

Obrázek 4.28: Jiné řešení aktivní horní propust 2. řádu s nulou v přenosu využívající jeden OZ


101

Hodnoty rezistorů R3 a R4 jsou pak zvoleny tak, aby jejich poměr splňoval podmínku (4.85). Další zapojení kmitočtového filtru horní propusti 2. řádu vykazující nulu v přenosu je uvedeno na obr. 4.29. Toto řešení kmitočtového filtru vychází z vhodné modifikace obvodu uvedené na obr. 4.25. Přenosová funkce tohoto obvodu je dána vztahem: 𝐾(p) =

𝑅1 + 𝑅2 1 𝐶𝑋 p+ 𝑅1 𝑅2 𝐶𝑁 𝑅1 𝑅2 𝐶1 𝐶2 𝐶𝑋 + 𝐶𝑁 , 𝑅 + 𝑅 1 1 2 p2 + p+ 𝑅1 𝑅2 𝐶𝑋 𝑅1 𝑅2 𝐶1 𝐶𝑋

p2 +

(4.87)

𝐶2 𝐶𝑁 . 𝐶2 + 𝐶𝑁 Charakteristický kmitočet filtru 𝜔0 a činitel jakosti jsou dány vztahy:

kde 𝐶𝑋 =

1 𝑄= 𝐶1 + 𝐶𝑋

1 , 𝜔0 = √ 𝑅1 𝑅2 𝐶1 𝐶𝑋

√︃

𝑅2 𝐶1 𝐶𝑋 . 𝑅1

(4.88)

Úhlový kmitočet nuly 𝜔𝑁 lze z (4.87) vyjádřit jako: √︃

𝜔𝑁 = 𝜔0

𝐶2 = 𝜔0 · 𝑘. 𝐶2 + 𝐶 𝑁

(4.89)

Pro správný numerický návrh hodnot pasivních prvků musí být splněna podmínka poměru hodnot kapacitorů:

𝐶2 ≥ 4𝑄2 . (4.90) 𝐶1 Na základě požadovaného poměru mezi kmitočtem pólů 𝑓0 a nul 𝑓𝑁 vyjádřeného ko𝛽=

eficientem 𝑘, zvolené hodnoty koeficientu 𝛽 dle (4.90) je možné zvolit hodnotu kapacitoru C𝑁 na základě vztahu:

10−7 𝐶𝑁 ≈ 3 𝑘

C2

√︃

𝛽 . 𝑓0

(4.91)

CN R1

C1

R 2 u2

u1 _ OZ +

Obrázek 4.29: Aktivní horní propust 2. řádu s nulou vycházející z obr. 4.25

102


Hodnota 𝐶𝑋 je pak určena dle 𝐶𝑋 = 𝐶𝑁 𝑘 2 , kdy pak hodnota C1 je odvozena na základě (4.90). Využitím (4.88) jsou pkak určeny i hodnoty rezistorů R1 a R2 . Je-li při návrhu kmitočtového filtru obsahující nuly v přenosu požadována vyšší hodnota činitele jakosti než cca 10, je nutné použít strukturu využívající dva aktivní prvky. Jedno z možných řešení takového zapojení je uvedeno na obr. 4.30 [1]. Přenosová funkce napětí 𝐾(p) tohoto obvodu je dána vztahem: 𝑅𝑄2 (𝑅𝑁 + 𝑅3 ) − 𝑅𝑄1 𝑅𝑁 𝑅3 /𝑅4 𝑅3 p+ p2 + 𝑅𝑁 𝑅 𝑅 𝑅 𝐶 𝑁 𝑄1 𝑄2 1 (︂ )︂ 𝑅3 𝑅𝑁 𝑅3 + 1+ 𝑅1 𝑅2 𝑅4 𝐶1 𝐶2 𝑅𝑁 𝑅3 + 𝑅𝑁 𝐾(p) = , )︂ (︂ 1 𝑅3 𝑅3 2 p + p+ 1+ 𝑅𝑄 𝐶1 𝑅1 𝑅2 𝑅4 𝐶1 𝐶2 𝑅𝑁 )︂

(︂

1+

(4.92)

𝑅𝑄1 𝑅𝑄2 . 𝑅𝑄1 + 𝑅𝑄2 Charakteristický úhlový kmitočet a činitel jakosti filtru je dán vztahy:

kde 𝑅𝑄 =

√︃

𝜔0 =

𝑅3 𝑅3 1+ , 𝑅1 𝑅2 𝑅4 𝐶1 𝐶2 𝑅𝑁 (︂

𝑅𝑄 𝑄= √ 𝑅1 𝑅2

)︂

√︃

𝐶1 𝑅3 𝐶2 𝑅4

(︂

𝑅1 + 𝑅4 . 𝑅𝑁 )︂

(4.93)

Úhlový kmitočet pólů lze pak vyjádřit jako: √︃

𝜔𝑁 = 𝜔0

𝑅𝑁 𝑅𝑁 . 𝑅3 + 𝑅𝑁 𝑅4 + 𝑅𝑁

(4.94)

Má-li být napěťový přenos na kmitočtu 𝑓𝑁 nulový, pak musí být splněna podmínka: 𝑅4 𝑅𝑄2 (𝑅𝑁 + 𝑅3 ) = 𝑅3 𝑅𝑄1 𝑅𝑁 .

(4.95)

Pro snadný numerický výpočet hodnot pasivních prvků, je vhodné volit rovnost mezi jednotlivými prvky: 𝑅1 = 𝑅2 = 𝑅, 𝑅3 = 𝑅4 , a 𝐶1 = 𝐶2 = 𝐶.

R4 C1

R1

R3

OZ1 u1

OZ2

+ _

RQ1 RQ2

R2

C2

u2

+ _

RN

Obrázek 4.30: Aktivní horní propust 2. řádu s nulou využívající dva operační zesilovače


103

Volbou hodnot kapacitorů C1 a C2 , a poměru mezi kmitočtem pólů a nul vyjádřeného koeficientem 𝑘, lze hodnoty rezistorů R1 a R2 vypočítat dle: 𝑅1 = 𝑅2 = 𝑅 =

1 . 𝜔0 𝐶𝑘

(4.96)

Na základě zvolených hodnot rezistorů R3 a R4 (𝑅3 = 𝑅4 ) lze hodnotu rezistoru R𝑁 určit jako:

𝑅4 𝑘 . 1−𝑘 jsou dány vztahy: 𝑅𝑁 =

Hodnoty rezistorů R𝑄1 a R𝑄2

√ 𝑅𝑄 = 𝑄𝑅 𝑘,

𝑅𝑄1 =

𝑅𝑄 (1 − 𝑘) , 𝑘

(4.97)

𝑅𝑄2 =

𝑅𝑄 𝑅𝑄1 . 𝑅𝑄1 − 𝑅𝑄

(4.98)

Pro potřeby buzení kmitočtových struktur horních propustní 2. řádu, diskutovaných v této kapitole, které mají na vstupu kapacitor, je nutné v praxi použít na tvrdé napěťové zdroje s velmi nízkou hodnotou vnitřní impedance. Je tomu tak proto, že vnitřní impedance zdroje je v sérii s funkčním kapacitorem kmitočtového filtru, kdy tato impedance působí jako ztrátový odpor a snižuje výslednou hodnotu činitele jakosti 𝑄 filtru [1].

4.6

Pásmová propust 2. řádu

Pro potřeby realizace pásmových propustí by teoreticky postačovalo zapojit dolní a horní propust do kaskády. Primitivní řešení tohoto problému je uvedeno na obr. 4.31, kde pasivní dolní propust 1. řádu je spojena do kaskády s pasivní horní propustí 1. řádu. Tyto dva funkční bloky jsou od sebe odděleny pomocí jednotkového zesilovače realizovaného operačním zesilovačem. Roznásobením dílčích přenosových funkcí dolní a horní propusti je možné určit přenosovou funkci pásmové propusti jako: 𝐾(p) =

𝑅2 𝐶2 p 𝑅2 𝐶2 p 1 = . 2 𝑅1 𝐶1 p + 1 𝑅2 𝐶2 p + 1 𝑅1 𝑅2 𝐶1 𝐶2 p + (𝑅1 𝐶1 + 𝑅2 𝐶2 )p + 1

C1 u1

+ _

R1

OZ

R2 C2

Obrázek 4.31: Primitivní řešení aktivní pásmové propusti 2. řádu

u2

(4.99)

104


Bude-li mezi hodnotami pasivních prvků platit 𝑅1 = pak výraz (4.99) lze dále zjednodušit do tvaru: 𝐾(p) =

𝑅 , 𝑅2 = ℎ · 𝑅, a 𝐶1 = 𝐶2 = 𝐶, ℎ

ℎ𝑅𝐶p . 1 + ℎ2 2 2 2 𝑅 𝐶 p + 𝑅𝐶p + 1 ℎ

(4.100)

Charakteristický (rezonanční) kmitočet filtru 𝜔0 je dán vztahem: 1 . 𝑅𝐶

(4.101)

ℎ , 1 + ℎ2

(4.102)

𝜔0 = Činitel jakosti filtru lze pak vyjádřit jako: 𝑄=

z čehož vyplývá, že činitel jakosti je v tomto případě závislý jen na koeficientu ℎ vyjadřující poměr mezi rezistory R1 a R2 . Lze dokázat, maximální hodnoty činitel jakosti nabude v případě, že ℎ = 1. Maximální hodnota činitele jakosti je pak pouze 0,5, kdy tato vlastnost kaskádně řazených pasivních RC filtrů byla již zmíněna dříve. Obvodové řešení kmitočtového filtru realizující pásmovou propust 2. řádu, pomocí které lze dosáhnout hodnoty činitele jakosti vyšší než 0,5 je uvedeno na obr. 4.32, které bývá označováno jako řešení s rozvětvenou smyčkou zpětné vazby. Jsou-li hodnoty kapacitorů shodné (𝐶1 = 𝐶2 = 𝐶), pak přenosová funkce napětí tohoto obvodu je dána vztahem: 𝑅2 𝑅3 𝐶p 𝑅2 + 𝑅3 . 𝐾(p) = − 𝑅1 𝑅3 𝑅1 𝑅2 𝑅3 2 2 𝐶 p +2 𝐶p + 1 𝑅1 + 𝑅3 𝑅1 + 𝑅3

(4.103)

Charakteristický kmitočet filtru je dle (4.103): 1 𝜔0 = 𝐶

√︃

C1 C2

R1 u1

R3

𝑅1 + 𝑅3 , 𝑅1 𝑅2 𝑅3

(4.104)

R2 _ +

OZ u2

Obrázek 4.32: Aktivní pásmová propust 2. řádu s rozvětvenou smyčkou zpětné vazby


105

a činitel jakosti 𝑄 filtru je lze vyjádřit jako: 1 𝑄= 2

√︃

𝑅2 (𝑅1 + 𝑅3 ) . 𝑅1 𝑅3

(4.105)

Zesílení filtru v propustném pásmu 𝐾0 , resp. na kmitočtu 𝑓0 je pak určeno výrazem: 𝐾0 = −

𝑅2 . 2𝑅1

(4.106)

Ze vztahů (4.104)–(4.106) je vidět, že charakteristický kmitočet, činitel jakosti a přenos v propustném pásmu je možné volit libovolně a nezávisle na sobě. Využitím (2.28) lze šířku pásma 𝐵 filtru stanovit jako: 𝐵=

𝑓0 1 = . 𝑄 𝜋𝑅2 𝐶

(4.107)

Protože tedy šířka pásma není závislá na hodnotách rezistorů R1 ani R3 , a protože 𝐾0 nezávisí na 𝐾3 ,lze snadno rezonanční kmitočet 𝑓0 měnit změnou odporu rezistoru R3 , aniž by došlo ke změně šířky pásma 𝐵 nebo napěťového přenosu v propustném pásmu 𝐾0 . Činnost obvodu z obr. 4.32 bude zachována i v případě nezapojeného rezistoru R3 , tj. 𝑅3 = ∞Ω. Napěťová přenosová funkce takto modifikovaného zapojení je: 𝐾(p)𝑚𝑜𝑑 = −

𝑅1 𝑅2

𝑅2 𝐶p , + 2𝑅1 𝐶p + 1

𝐶 2p2

(4.108)

z čehož vyplývá, že v takovém případě však činitel jakosti bude záviset na hodnotě napěťového zesílení v propustném pásmu: 𝑄𝑚𝑜𝑑

1 = 2

√︃

𝑅2 , 𝑅1

𝐾0𝑚𝑜𝑑 = −

𝑅2 . 2𝑅1

(4.109)

Jiná řešení kmitočtového filtru pásmové propusti 2. řádu využívající napěťový zesilovač s konečným zesílením jsou uvedena na obr. 4.33. V zapojení kmitočtového filtru z obr. 4.33(a) má neinvertující zesilovač napěťové zesí𝑅4 lení dáno zpětnovazebními rezistory R4 a R5 jako 𝐴𝑈 = 1 + . V literatuře je pak často 𝑅5 označována jako Sallen Key struktura. Předpokládá-li se pro jednoduchost 𝑅1 = 𝑅2 = 𝑅, 𝑅 − 3 = 2𝑅, a 𝐶1 = 𝐶2 = 𝐶, pak přenosová funkce napětí je: 𝐾(p) =

𝑅2 𝐶 2 p 2

𝐴𝑈 𝑅𝐶p . + (3 − 𝐴𝑈 )𝑅𝐶p + 1

(4.110)

Jednoduchými matematickými operacemi lze dokázat, že pro charakteristický úhlový kmitočet 𝜔0 , činitel jakosti 𝑄 a zesílení v propustném pásmu 𝐾0 : 𝜔0 =

1 , 𝑅𝐶

𝑄=

1 , 3 − 𝐴𝑈

𝐾0 =

𝐴𝑈 . 3 − 𝐴𝑈

(4.111)

106


Z (4.111) vyplývá, že výhodou obvodového řešení kmitočtového filtru z obr. 4.33(a) je možnost měnit hodnotu činitele jakosti 𝑄 pomocí napěťového zesílení 𝐴𝑈 , aniž by došlo k ovlivnění hodnoty charakteristického kmitočtu 𝑓0 . Změnou 𝐴𝑈 však kromě změny činitele jakosti také dochází ke změně zesílení v propustném pásmu 𝐾0 . Z (4.111) je pak zřejmé,

R4 R2 _

C2

R1

OZ

+ u2

u1

C1

R3

R5

(a)

R3

C2 C1

_

R2

OZ

+ u1

u2

C3

R1

R4

(b)

R4 R2 R1 u1

_

C1

OZ

+

C2

u2

R3

R5

(c)

Obrázek 4.33: Variantní řešení aktivní pásmové propusti 2. řádu se zesilovačem s konečným zesílením


107

že pro 𝐴𝑈 = 3 činitel jakosti, resp. zesílení v propustném pásmu 𝐾0 nabývá nekonečné hodnoty, kdy se tak zapojení kmitočtového filtru stává nestabilním. Přenosová funkce kmitočtového filtru z obr. 4.33(b) je dána vztahem: 𝐾(p) =

𝑅2 𝐶 2 p 2

𝐴𝑈 𝑅𝐶p , + (3 − 𝐴𝑈 )𝑅𝐶p + 1

(4.112)

𝑅3 a dále se předpokládá, že 𝐶1 = 𝐶2 = 𝐶, 𝐶3 = 𝐶/2, 𝑅1 = 𝑅2 = 𝑅. 𝑅4 Přenosové funkce (4.110) a (4.112) obvodových řešení z obr. 4.33(a) a obr. 4.33(b)

přičemž 𝐴𝑈 = 1 +

jsou pro odpovídající rovnosti mezi hodnotami pasivních prvků shodné. Proto pro charakteristický úhlový kmitočet 𝜔0 , činitel jakosti 𝑄 a zesílení v propustném pásmu 𝐾0 kmitočtového filtru z obr. 4.33(b) lze určit dle (4.111) a proto i v tomto případě platí výše uvedené vlastnosti a omezení. Řešení pásmové propusti z obr. 4.33(c) je založeno na využití Wienova článku a přenosovou funkci napětí lze vyjádřit jako: 𝐴𝑈 𝑅1 𝑅2 𝑅3 p , (𝐶1 + 𝐶2 )(𝑅1 + 𝑅2 )𝑅3 + 𝐶1 𝑅1 (𝑅2 − 𝐴𝑈 𝑅3 ) 𝐶1 𝐶2 𝐶1 𝐶2 𝐶3 p 2 + p + 𝑅1 + 𝑅2 𝐶1 𝐶2 𝑅1 𝑅2 𝑅3 (4.113) 𝑅4 kde 𝐴𝑈 = 1 + je zesílení neirvertujícího zapojení operačního zesilovače. Charakteris𝑅5 tický úhlový kmitočet filtru 𝜔0 lze určit jako: 𝐾(p) =

√︃

𝜔0 =

𝑅1 + 𝑅2 . 𝐶1 𝐶2 𝑅1 𝑅2 𝑅3

(4.114)

Činitel jakosti 𝑄 a napěťové zesílení filtru v propustném pásmu 𝐾0 je definováno jako: √︁

𝑄=

(𝑅1 + 𝑅2 )𝐶1 𝐶2 𝑅1 𝑅2 𝑅3

, (𝐶1 + 𝐶2 )(𝑅1 + 𝑅2 )𝑅3 + 𝐶1 𝑅1 (𝑅2 − 𝐴𝑈 𝑅3 ) 𝐴𝑈 𝐶1 𝑅2 𝑅3 𝐾0 = . (𝐶1 + 𝐶2 )(𝑅1 + 𝑅2 )𝑅3 + 𝐶1 𝑅1 (𝑅2 − 𝐴𝑈 𝑅3 )

(4.115)

Volbou vzájemného poměru hodnot pasivních prvků 𝐶1 = 2𝐶2 , 𝑅2 = 𝑅1 /3, a 𝑅3 = 2𝑅1 , vztahy (4.114) a (4.115) se jednodušší na: 𝜔0 =

1 , 𝑅1 𝐶2

𝑄=

1 , 6, 5 − 3𝐴𝑈

𝐾0 =

𝐴𝑈 . 6, 5 − 3𝐴𝑈

(4.116)

Na základě požadované hodnoty charakteristického úhlového kmitočtu 𝜔0 , činitele jakosti 𝑄 a zvolené hodnoty kapacitoru C2 lze pak pomocí (4.116) určit zbývající hodnoty pasivních prvků kmitočtového filtru. Je-li nutné navrhovat pásmovou propust 2. řádu s hodnotou činitele jakosti vyšší než cca 20 jako to nabízí řešení s jedním aktivním prvkem, lze použít zapojení uvedené na

108


R1 R3 RQ1

OZ1

u1

C1

RQ2

OZ2

+ _

R2

C2

u2

+ _

R4

Obrázek 4.34: Aktivní pásmová propust 2. řádu se dvěma operačními zesilovači obr. 4.34 využívající dva operační zesilovače. Přenosová funkce tohoto obvodového řešení je dána vztahem: (︂

𝐾(p) = 1 +

𝑅3 𝑅4

1 p 𝑅𝑄 𝐶1

)︂

p2

1 𝑅3 + p+ 𝑅𝑄 𝐶1 𝑅1 𝑅2 𝑅4 𝐶1 𝐶2

.

(4.117)

Úhlový charakteristický kmitočet 𝜔0 filtru lze tedy vyjádřit jako: √︃

𝜔0 =

𝑅3 , 𝑅1 𝑅2 𝑅4 𝐶1 𝐶2

(4.118)

a činitel jakosti 𝑄 filtru je dán vztahem: 𝑅𝑄 𝑄= √ 𝑅1 𝑅2

√︃

𝐶2 𝑅3 . 𝐶1 𝑅4

(4.119)

přičemž je-li 𝑅𝑄 reprezentován rezistorem R𝑄1 , tj. 𝑅𝑄 = 𝑅𝑄1 a 𝑅𝑄2 = ∞, pak zesílení filtru 𝐾0 v propustném pásmu je definováno jako: 𝐾0 = 1 +

𝑅3 . 𝑅4

(4.120)

Pro snadný numerický návrh je vhodné volit rovnost hodnot mezi vybranými pasivními prvky jako 𝑅1 = 𝑅2 , 𝐶1 = 𝐶2 , 𝑅3 = 𝑅4 . V takovém případě zesílení v propustném pásmu dle (4.120) bude 2. Hodnotu zesílení v propustném pásmu lze snížit zapojením rezistoru R𝑄 2, jak je to již naznačeno v obr. 4.34. V takovém případě je zesílení v propustném pásmu určeno vztahem: (︂

𝐾0𝑚𝑜𝑑 = 1 +

𝑅3 𝑅4

)︂

𝑅𝑄2 . 𝑅𝑄1 + 𝑅𝑄2

(4.121)

Pro snížení napěťového zesílení filtru v propustném pásmu na jednotkový přenos, je nutné volit 𝑅𝑄1 = 𝑅𝑄2 = 2𝑅𝑄 , kde hodnota 𝑅𝑄 je určena ze vztahu (4.119) pro požadovanou hodnotu činitele jakosti 𝑄.


4.7

109

Pásmová zádrž 2. řádu

Využitím pasivního dvojitého T článku je možné realizovat pásmovou zádrž s činitelem jakosti 𝑄 = 0, 25. Jakost pasivní zádrže je možné zvýšit zapojením dvojitého T článku do zpětné vazby zesilovače, jak je to uvedeno na obr. 4.35. Pro zjednodušení numerického návrhu takové pásmové zádrže, je vhodné volit poměr mezi hodnotami pasivních prvků následovně: 𝐶1 = 𝐶2 = 𝐶, 𝐶3 = 2𝐶, 𝑅1 = 𝑅2 = 𝑅, 𝑅3 = 𝑅/2. Pro signály o velmi nízkém a velmi vysokém kmitočtu je přenos pasivní pásmové zádrže jenotkový. Největší útlum článek vykazuje při rezonančním úhlovém kmitočtu, pro který platí:

1 . (4.122) 𝑅𝐶 Zavedením slabé kladné zpětné vazby do dvojitého T článku pomocí rezistoru R3 však celé 𝜔0 =

zapojení kmitočtového filtru z obr. 4.35 dovoluje zvýšit činitel jakosti filtru. Přenosová funkce napětí kmitočtového filtru je dána vztahem: 𝐾(s) =

𝐴𝑈 (1 + s2 ) , s2 + 2(2 − 𝐴𝑈 )s + 1

(4.123)

z čehož vyplývá, že činitel jakosti 𝑄 je možné vyjádřit jako: 𝑄=

1 , 2(2 − 𝐴𝑈 )

(4.124)

kde 𝐴𝑈 je zesílení neinvertujícího zesilovače s OZ, pro které platí 𝐴𝑈 = 1 + také definuje zesílení filtru v propustném pásmu, tzn. 𝐾0 = 𝐴𝑈 .

𝑅4 a současně 𝑅5

Z (4.124) vyplývá, že hodnotu činitele jakosti lze vhodně měnit změnou velikosti napěťového zesílení 𝐴𝑈 . Pro hodnotu 𝐴𝑈 = 1 je hodnota činitele jakosti pásmové zádrže

R3 C1

C2 + _

R1 u1

R2

OZ R4

C3

u2

R5

Obrázek 4.35: Aktivní pásmová zádrž 2. řádu s dvojitým T článkem

110


dle obr. 4.35 0,5. Hodnota činitele jakosti však významně roste se zvyšující se hodnotou napěťového zesílení 𝐴𝑈 , kdy již pro hodnotu 𝐴𝑈 = 2 se struktura stává nestabilní. Jiné řešení pásmové zádrže 2. řádu využívající jeden operační zesilovač je uvedeno na obr. 4.36, které vychází ze zapojení aktivní pásmové propusti 2. řádu z obr. 4.32, kde pro požadovanou změnu tvaru čitatele přenosové funkce došlo k zapojení rezistorů R3 a R4 . Přenosová funkce řešení pásmové zádrže v obr. 4.36 je dáno vztahem: 𝑅4 𝐾(p) = 𝑅3 + 𝑅4

p2 +

1 𝑅1 (𝐶1 + 𝐶2 ) − 𝑅2 𝑅3 𝐶2 /𝑅4 p+ 𝑅1 𝑅2 𝐶1 𝐶2 𝑅1 𝑅2 𝐶1 𝐶2 . 𝐶 + 𝐶 1 1 2 2 p + p+ 𝑅2 𝐶1 𝐶2 𝑅1 𝑅2 𝐶1 𝐶2

(4.125)

Charakteristický kmitočet pásmové zádrže lze vyjádřit jako: √︃

𝜔0 =

1 , 𝑅1 𝑅2 𝐶1 𝐶2

(4.126)

přičemž pro činitel jakosti pólu 𝑄 platí: 1 𝑄= 𝐶1 + 𝐶2

√︃

𝑅2 𝐶1 𝐶2 . 𝑅1

(4.127)

Aby na kmitočtu 𝜔0 byl přenos filtru nulový, musí být hodnota činitele jakosti nuly 𝑄𝑁 nekonečná. Tento požadavek lze splnit na základě podmínek: 𝐶2 = 1, 𝐶1

2

𝑅4 𝑅2 = . 𝑅3 𝑅1

(4.128)

Další řešení pásmové zádrže 2. řádu uvedené na obr. 4.37 využívá ve své struktuře tzv. Wien-Robinsonův most [2]. Zapojením tohoto mostu do do obvodu zpětné vazby zesilovače je možné obecně dosáhnout libovolné hodnoty činitele jakosti. Bude-li mezi hodnotami

C1 R1 u1

R3

C2

R2 _

OZ

+ u2

R4

Obrázek 4.36: Aktivní pásmová zádrž 2. řádu s jedním operačním zesilovačem


111

pasivních prvků platit poměr 𝑅1 = 𝑅/𝑚, 𝑅2 = 𝑅/𝑛, 𝑅3 = 𝑅, 𝑅4 = 𝑅5 = 𝑅0 , 𝑅7 = 2𝑅6 , 𝐶1 = 𝐶2 = 𝐶, pak přenosovou funkci kmitočtového filtru lze vyjádřit jako: 𝑚 (s2 + 1) 𝑛 + 1 𝐾(s) = − , 3 2 s + s+1 𝑛+1

(4.129)

přičemž charakteristický kmitočet filtru je dán vztahem: 1 , 𝑅0 𝐶

𝜔0 =

(4.130)

a pro činitel jakosti 𝑄 filtru a zesílení v propustném pásmu 𝐾0 platí: 𝑄=

𝑛+1 , 3

𝐾0 = −

𝑚 . 𝑛+1

(4.131)

Pro požadované hodnoty charakteristického kmitočtu 𝜔0 , činitele jakosti 𝑄, zesílení v propustném pásmu 𝐾0 a zvolenou hodnotu kapacitoru 𝐶 lze odvodit, že: 𝑅0 =

1 , 𝜔0 𝐶

𝑛 = 3𝑄 − 1,

𝑚 = −3𝐾0 𝑄.

(4.132)

Současnou změnou hodnot rezistorů R4 a R5 (𝑅4 = 𝑅5 = 𝑅0 ) lze měnit charakteristický kmitočet filtru nezávisle na jeho ostatních parametrech. Řešení pásmové zádrže uvedené na obr. 4.38 ve své struktuře využívá princip Antoniova GIC, kdy se jedná o modifikaci zapojení horní propusti z obr. 4.26. Přenosová funkce napětí kmitočtového filtru z obr. 4.38 je dána vztahem: p2 + 𝐾(p) =

𝑅3 𝑅3 𝑅𝑄1 − 𝑅4 𝑅𝑄2 p+ 𝑅4 𝑅𝑄1 𝑅𝑄2 𝐶1 𝑅1 𝑅2 𝑅4 𝐶1 𝐶2 , 1 𝑅3 2 p + p+ 𝑅𝑄 𝐶1 𝑅1 𝑅2 𝑅4 𝐶1 𝐶2

(4.133)

R2 R1

R3 _ OZ1

u1

R6 C1

R4

R7 _ OZ2 +

+

u2

C2 R5 Obrázek 4.37: Aktivní pásmová zádrž 2. řádu s Wien-Robinsonovým mostem

112


R4 RQ1

R1 R3 OZ1

u1

C1

OZ2

+ _

C2

R2

RQ2

u2 + _

Obrázek 4.38: Aktivní pásmová zádrž 2. řádu se dvěma operačními zesilovači 𝑅𝑄1 𝑅𝑄2 . 𝑅𝑄1 + 𝑅𝑄2 Charakteristický kmitočet pólu (resp. i nuly) 𝜔0 lze vyjádřit jako:

kde 𝑅𝑄 =

√︃

𝜔0 =

𝑅3 , 𝑅1 𝑅2 𝑅4 𝐶1 𝐶2

(4.134)

přičemž pro činitel jakosti pólů 𝑄 platí: 𝑅𝑄 𝑄= √ 𝑅1 𝑅2

√︃

𝐶2 𝑅3 . 𝐶1 𝑅4

(4.135)

Z (4.133) je vidět, že aby činitel jakosti nuly 𝑄𝑁 nabýval nekonečné hodnoty, je nutné splnit následující podmínky: 𝑅3 = 𝑅4 ,

𝑅𝑄1 = 𝑅𝑄2 .

(4.136)

Pro snadný numerický návrh je pak dále vhodné volit rovnost mezi hodnotami pasivních prvků 𝑅1 = 𝑅2 , 𝐶1 = 𝐶2 . Vzhledem kapacitě C1 připojené přímo k budicímu zdroji napětí, je nutné kmitočtový filtr budit z dostatečně tvrdého zdroje, jinak dochází k degradaci hodnoty činitele jakosti filtru.

4.8

Fázovací článek 2. řádu

Fázovací článek 2. řádu je možné realizovat např. vzájemným rozdílem vstupního signálu a výstupního signálu pásmové propusti, kdy pak obecně takto realizovaný kmitočtový filtr lze popsat přenosovou funkcí ve tvaru: (︃

)︃

𝐾0 𝐾0 s2𝑛 + 1 − s𝑛 + 1 s𝑛 𝑄 𝑄 = , 𝐾(s𝑛 ) = 1 − 1 1 2 2 s𝑛 + s𝑛 + 1 s𝑛 + s𝑛 + 1 𝑄 𝑄

(4.137)


113

z čehož vyplývá, že pro 𝐾0 = 2 bude přenosová funkce takového funkčního bloku splňovat podmínku pro realizaci fázovacího článku 2. řádu (viz (2.49)). Komplexní proměnná s𝑛 v tomto případě však normována vzhledem k charakteristickému kmitočtu 𝜔0 a nikoliv k meznímu kmitočtu 𝜔𝑚 . Pro potřeby normovat komplexní proměnnou vzhledem k mezníku kmitočtu, je nutné zavést transformaci: s𝑛 =

p p =𝛽 = 𝛽s. 𝜔0 𝜔𝑚

(4.138)

Využitím transformace (4.138) lze pak obecnou přenosovou funkci (4.137) pro 𝐾0 = 2 převést na: 𝛽 s+1 𝑄 𝐾(s) = , 𝛽 2 2 𝛽 s + s+1 𝑄 𝛽 2 s2 −

(4.139)

kdy jejím srovnáním s (2.49) lze stanovit: 𝑎21 =

𝛽 , 𝑄

𝑏21 = 𝛽 2 .

(4.140)

Požadovaná pásmová propust 2. řádu využitá k realizaci fázovacího článku tak musí splňovat následující parametry: 𝐾0 = 2,

𝑓𝑚 𝑓0 = √ , 𝑏21

√ 𝑏21 𝑄= . 𝑎21

(4.141)

Jako příklad realizace fázovacího článku 2. řádu využívající právě popsaný princip je uvedeno zapojení na obr. 4.39. Použitá pásmová propust 2. řádu vychází ze zapojení z obr. 4.32, ve kterém byl původní rezistor R3 vypuštěn a přenosová funkce pásmové propusti je tak dána vztahem (4.108).

R3 R5 C1 R1 u1

C2

R2

R4

_ OZ1

_ OZ2

+

+

u2

Obrázek 4.39: Aktivní fázovací článek 2. řádu realizovaný pomocí pásmové propusti a sumačního zesilovače

114


Bude-li pro jednoduchost zápisu mezi hodnotami pasivních prvků platit 𝑅3 = 𝑅5 = 𝑅, 𝑅 𝑅4 = , a 𝐶1 = 𝐶2 = 𝐶, pak přenosovou funkci napětí kmitočtového filtru realizujícího 𝛼 fázovací článek z obr.4.39 lze odvodit jako: 𝐾(p) = −

𝑅1 𝑅2 𝐶 2 p 2 + (2𝑅1 − 𝛼𝑅2 )𝐶p + 1 , 𝑅1 𝑅2 𝐶 2 p 2 + 2𝑅1 𝐶p + 1

(4.142)

Z (4.142) lze pak hodnoty pasivních prvků určit dle: 𝑎21 𝑅1 = , 2𝜔𝑚 𝐶

2𝑏21 𝑅2 = , 𝑎21 𝜔𝑚 𝐶

𝑎221 1 𝛼= = 2. 𝑏21 𝑄

(4.143)

Z bližší analýzy výrazu (4.142) je jasné, že zapojení z obr. 4.39 lze použít také pro realizaci pásmové zádrže, bude-li platit: 2𝑅1 − 𝛼𝑅2 = 0.

(4.144)

K realizaci fázovacího článku 2. řádu lze pak také použit i zapojení uvedené již na obr. 4.36, které bylo původně analyzováno z pohledu realizace pásmové zádrže 2. řádu, kdy přenosová funkce je dána vztahem (4.125). Aby se však v tomto případě zapojení chovalo jako fázovací článek, musí být splněna podmínka: 𝐶2 , 𝐶1

4

𝑅4 𝑅2 = . 𝑅3 𝑅1

(4.145)

Oproti původnímu návrhu pásmové zádrže tak rozdíl spočívá pouze v návrhu hodnot rezistorů R3 a R4 , kdy prakticky je změnou hodnoty rezistoru R4 nastavován modul napěťového přenosu tak, aby modulová charakteristika byla konstantní. Řešení fázovacího článku 2. řádu využívající dva operační zesilovače je uvedeno na obr. 4.40. Přenosová funkce napětí tohoto filtru je dána vztahem: 𝑅3 𝑅3 p+ 𝑅1 𝑅𝑄 𝐶2 𝑅1 𝑅2 𝑅4 𝐶1 𝐶2 𝐾(p) = . 1 𝑅3 2 p + p+ 𝑅𝑄 𝐶2 𝑅1 𝑅2 𝑅4 𝐶1 𝐶2 p2 −

(4.146)

Charakteristický úhlový kmitočet 𝜔0 a činitel jakosti 𝑄 filtru je pak dle (4.146) vyjádřen výrazy:

√︃

√︃

𝑅3 𝑅𝑄 𝐶2 𝑅3 𝜔0 = , 𝑄= √ . (4.147) 𝑅1 𝑅2 𝑅4 𝐶1 𝐶2 𝑅1 𝑅2 𝐶1 𝑅4 Z výrazu (4.146) je zřejmé, že je nutné dodržet podmínku 𝑅1 = 𝑅3 , aby bylo možné realizovat fázovací článek. Při návrhu je pak vhodné volit rovnost mezi hodnotami pasivních prvků, tj.: 𝑅1 = 𝑅2 = 𝑅3 = 𝑅4 a 𝐶1 = 𝐶2 . Platí tak, že: 1 𝑅= , 𝑅𝑄 = 𝑄𝑅. 𝜔0 𝐶

(4.148)


115

C2 R3 R4 R1 u1

OZ1 + _

OZ2 C1

u2

+ _

R2

RQ

Obrázek 4.40: Aktivní fázovací článek 2. řádu se dvěma operačními zesilovači

4.9

Multifunkční filtry

Při návrhu aktivních filtrů dříve obecně platila zásada minimalizovat strukturu z pohledu použitého počtu aktivních prvků. Ukazuje se však, že takové omezení není příliš vhodné, neboť vyšší počet aktivních prvků ve struktuře často dovoluje zabezpečit lepší vlastnosti filtru. Často pak jsou takové struktury multifunkční, tj. dovolují realizovat více typů kmitočtových filtrů v rámci jedné struktury, aniž by docházelo k jakékoliv modifikaci pasivní části. Snad nejčastěji diskutovaný multifunkční kmitočtový filtr je označován jako KHN (Kerwin-Huelsman-Newcomb), či v anglické literatuře jako "state variable filter"[29]. Struktura KHN filtru využívající tři operační zesilovače je uvedena na obr. 4.41. Jak je již naznačeno na obr. 4.41, kmitočtový filtr realizuje odezvy typu dolní, invertujcí pásmová a horní propust, podle toho, který z výstupů funkčního zapojení je využit: 𝑅4 (𝑅5 + 𝑅6 ) 1 𝑈2𝐷𝑃 (p) 𝑅 (𝑅 + 𝑅4 ) 𝑅1 𝑅2 𝐶1 𝐶2 𝐾𝐷𝑃 (p) = = 5 3 , 𝑈1 (p) 𝐶𝐸(p) 𝑅4 (𝑅5 + 𝑅6 ) 1 p 𝑈2𝐵𝑃 (p) 𝑅5 (𝑅3 + 𝑅4 ) 𝑅1 𝐶1 𝐾𝑃 𝑃 (p) = =− , 𝑈1 (p) 𝐶𝐸(p) 𝑅4 (𝑅5 + 𝑅6 ) 2 p 𝑈2𝐻𝑃 (p) 𝑅5 (𝑅3 + 𝑅4 ) 𝐾𝐻𝑃 (p) = = , 𝑈1 (p) 𝐶𝐸(p) kde 𝐶𝐸(p) = p 2 +

𝑅4 (𝑅5 + 𝑅6 ) 1 𝑅6 p+ . 𝑅5 (𝑅3 + 𝑅4 ) 𝑅1 𝐶1 𝑅1 𝑅2 𝑅5 𝐶1 𝐶2

(4.149)

(4.150)

(4.151)

116


R5 R6

C1

R1

C2

R2

_ OZ1

_ OZ2

_ OZ3

+

+

+

R3

R4

u1

u2HP

u2PP

u2DP

Obrázek 4.41: KHN filtr s operačními zesilovači Charakteristický úhlový kmitočet 𝜔0 a činitel jakosti 𝑄 jsou dány vztahy: √︃

𝜔0 =

𝑅6 , 𝑅1 𝑅2 𝑅5 𝐶1 𝐶2

𝑅4 (𝑅5 + 𝑅6 ) 𝑄= 𝑅5 (𝑅3 + 𝑅4 )

√︃

𝑅2 𝑅5 𝐶2 . 𝑅1 𝑅6 𝐶1

(4.152)

Napěťové zesílení v propustném pásmu jednotlivých kmitočtových odezev lze pak vyjádřit jako: 𝐾0𝐷𝑃 =

𝑅4 (𝑅5 + 𝑅6 ) , 𝑅6 (𝑅3 + 𝑅4 )

𝐾0𝑃 𝑃 = −

𝑅4 , 𝑅3

𝐾0𝐻𝑃 =

𝑅4 (𝑅5 + 𝑅6 ) . 𝑅5 (𝑅3 + 𝑅4 )

(4.153)

Pro potřeby snadného numerického návrhu je vhodné volit poměr mezi hodnotami pasivních prvků: 𝑅5 = 𝑅6 , 𝑅1 = 𝑅2 = 𝑅, a 𝐶1 = 𝐶2 = 𝐶. Vztahy pro charakteristický úhlový kmitočet 𝜔0 a činitel jakosti 𝑄 se tak zjednoduší: 𝜔0 =

1 , 𝑅𝐶

𝑄=

2 𝑅4 1+ 𝑅3

.

(4.154)

Volbou parametrů kmitočtového filtru 𝜔0 a 𝑄 a dále pak hodnot kapacitorů 𝐶 = 𝐶1 = 𝐶2 a rezistorů 𝑅3 = 𝑅5 = 𝑅6 , pak hodnoty zbývajících pasivních prvků se určí dle: 𝑅1 = 𝑅2 =

1 , 𝜔0 𝐶

𝑅4 = (2𝑄 − 1)𝑅3 .

(4.155)

Zesílení 𝐾0 v propustném pásmu v takovém případě pak je: 𝐾0𝐷𝑃 = 𝐾0𝐻𝑃 =

2𝑄 − 1 , 𝑄

𝐾0𝑃 𝑃 = −(2𝑄 − 1).

(4.156)

Ze vztahu (4.152), resp. (4.154) je vidět, že změnou rezistorů R1 a R2 (přičemž 𝑅1 = 𝑅2 = 𝑅) anebo změnou kapacitorů C1 a C2 (přičemž 𝐶1 = 𝐶2 = 𝐶) lze měnit


117

DVCC4 Z

Y1 Y2 X

G4 u2HP

u1

DVCC1

DVCC2

DVCC3

Y1 Y2 X

Y1 Y2 X

Y1 Y2 X

Z

Z

u2PP

Z u2DP

G1

G5

G2

G3

C1

C2

Obrázek 4.42: KHN filtr s proudovými konvejory charakteristický kmitočet nezávisle na činiteli jakosti. Podobně pak změnou hodnoty rezistoru R3 anebo R4 lze měnit činitel jakosti 𝑄, aniž by došlo ke změně charakteristického kmitočtu. Obdobné chování vykazuje i zapojení multifunkčního kmitočtového filtru, který je uveden na obr. 4.42, kde jsou použity proudové konvejory jako aktivní prvky [30]. Přenosové funkce napětí tohoto řešení lze vyjádřit jako: 𝐾𝐻𝑃 (p) =

𝑈2𝐻𝑃 (p) 𝐺1 𝐶1 𝐶2 p 2 = , 𝑈1 (p) 𝐶𝐸(p)

(4.157)

𝐾𝑃 𝑃 (p) =

𝑈2𝑃 𝑃 (p) 𝐺1 𝐺2 𝐶2 p =− , 𝑈1 (p) 𝐶𝐸(p)

(4.158)

𝑈2𝐻𝑃 (p) 𝐺1 𝐺2 𝐺3 = , 𝑈1 (p) 𝐶𝐸(p) kde 𝐶𝐸(p) = 𝐶1 𝐶2 𝐺5 p 2 + 𝐺2 𝐺4 𝐶2 p + 𝐺1 𝐺2 𝐺3 . 𝐾𝐻𝑃 (p) =

(4.159)

Pro charakteristický úhlový kmitočet 𝜔0 a činitel jakosti 𝑄 platí: √︃

𝜔0 =

𝐺1 𝐺2 𝐺3 , 𝐶1 𝐶2 𝐺5

1 𝑄= 𝐺4

√︃

𝐺1 𝐺3 𝐺5 𝐶1 . 𝐺2 𝐶2

(4.160)

Bude-li mezi hodnotami pasivních prvků platit 𝐶1 = 𝐶2 = 𝐶, 𝐺2 = 𝐺3 = 𝐺, a 𝐺1 = 𝐺5 , pak vztahy (4.160) lze upravit do tvaru: 𝜔0 =

𝐺 , 𝐶

𝑄=

𝐺 , 𝐺4

(4.161)

118


G5

UVC1 X YP ZP YN ZN W

G2 u2HP

C2

C1

UVC2

UVC3

X YP ZP YN ZN W

X YP ZP YN ZN W

G3 u2PP

u2DP

G1

u1

G4 Obrázek 4.43: KHN filtr s napěťovými konvejory z čehož vyplývá, že změnou hodnoty kapacitorů C1 a C2 (přičemž 𝐶1 = 𝐶2 = 𝐶) lze měnit charakteristický kmitočet 𝜔0 , aniž by docházelo ke změně činitele jakosti 𝑄. Podobně pak změnou vodivosti G4 dochází jen ke změně činitele jakosti bez vlivu na hodnotu charakteristického kmitočtu. Využití napěťových konvejorů pro potřeby realizace kmitočtového filtru typu KHN je uvedeno na obr. 4.43 [31]. Přenosové funkce napětí obvodového řešení multifunkčního filtru lze popsat výrazy: 𝐾𝐻𝑃 (p) =

𝑈2𝐻𝑃 (p) (𝐺1 + 𝐺4 )𝐶1 𝐶2 p 2 = , 𝑈1 (p) 𝐶𝐸(p)

(4.162)

𝐾𝑃 𝑃 (p) =

𝑈2𝑃 𝑃 (p) (𝐺1 + 𝐺4 )𝐺2 𝐶1 p =− , 𝑈1 (p) 𝐶𝐸(p)

(4.163)

𝑈2𝐻𝑃 (p) (𝐺1 + 𝐺4 )𝐺2 𝐺3 = , 𝑈1 (p) 𝐶𝐸(p)

(4.164)

𝐾𝐻𝑃 (p) =

kde 𝐶𝐸(p) = 𝐶1 𝐶2 𝐺5 p 2 + 𝐺1 𝐺2 𝐶1 p + 𝐺2 𝐺3 𝐺4 . Činitel jakosti 𝑄 a charakteristický úhlový kmitočet 𝜔0 filtru je dán jako: 1 𝑄= 𝐺1

√︃

𝐺3 𝐺4 𝐺5 𝐶2 , 𝐺2 𝐶1

√︃

𝜔0 =

𝐺2 𝐺3 𝐺4 . 𝐺5 𝐶1 𝐶2

(4.165)

Bude-li platit 𝐶1 = 𝐶2 = 𝐶 a 𝐺2 = 𝐺3 = 𝐺, pak lze dokázat, že činitel jakosti filtru lze měnit nezávisle na hodnotě charakteristického kmitočtu pomocí vodivosti G1 . Naopak současná změna charakteristického kmitočtu pomocí kapacitorů C1 a C2 anebo vodivostí


119

R3 R1 C1

R4 u1

C2

R2

_ OZ1 +

R5

_ OZ2 u2PP

R6 _ OZ3

+

u2DP1

+

u2DP2

Obrázek 4.44: Tow-Thomas filtr s operačními zesilovači G2 a G3 nemá žádný dopad na hodnotu činitele jakosti. Další zapojení multifunkčního kmitočtového filtru je uvedeno na obr. 4.44, které také bývá označováno jako Tow-Thomas [29]. Zapojení filtru obecně vychází ze struktury oscilátoru, ve kterém je vytvořena tzv. degenrativní (negativní) zpětná vazba, která pól rezonančního kmitočtu posouvá z osy y komplexní roviny do levé (záporné) části, čímž je zajištěna stabilita systému. Přestože tato struktura také dovoluje získat tři nezávislé napěťové odezvy, dvě jsou pouze vzájemně otočené o 180°. Při odvozování napěťových přenosů se předpokládá, že 𝑅5 = 𝑅6 : 𝑈2𝑃 𝑃 (p) 𝐾𝑃 𝑃 (p) = =− 𝑈1 (p) p2 + 𝑈2𝐷𝑃 1 (p) 𝐾𝐷𝑃 1 (p) = = 𝑈1 (p) p2 + 𝐾𝐷𝑃 2 (p) =

1 p 𝑅4 𝐶1

, 1 1 p+ 𝑅1 𝐶1 𝑅2 𝑅3 𝐶1 𝐶2 1 𝑅2 𝑅4 𝐶1 𝐶2 , 1 1 p+ 𝑅1 𝐶1 𝑅2 𝑅3 𝐶1 𝐶2

𝑈2𝐷𝑃 2 (p) = −𝐾𝐷𝑃 1 (p). 𝑈1 (p)

(4.166)

(4.167)

(4.168)

Charakteristický úhlový kmitočet 𝜔0 a činitel jakosti 𝑄 filtru je dán vztahem: 1 𝜔0 = √ , 𝑅2 𝑅3 𝐶1 𝐶2

√︃

𝑄 = 𝑅1

𝐶1 . 𝑅2 𝑅3 𝐶2

(4.169)

Další ze známých zapojení multifunkčních kmitočtových filtrů je označováno jako Akerberg-Mossberg [29]. Struktura tohoto filtru (obr. 4.45) využívá neinvertující integrační článek uvedený na obr. 4.4(b).

120


R3 R2

R1 C1

R4 u1

C2

_ OZ1

R5 OZ3

u2PP

R6 _ u2DP

+

OZ2 + _

+

Obrázek 4.45: Akerberg-Mossberg filtr s operačními zesilovači Také toto řešení kmitočtového filtru realizuje pouze kmitočtovou odezvu typu pásmová a dolní propust, kdy přenosové funkce jsou dány stejnými vztahy jako v případě TowThomas filtru, tj. pro přenosovou funkci pásmové propusti platí (4.166) a pro přenosovou funkci dolní propusti platí (4.167). Z toho vyplývají i shodné vztahy pro charakteristický úhlový kmitočet 𝜔0 a činitel jakosti 𝑄, kdy v zapojení z obr. 4.45 se předpokládá 𝑅5 = 𝑅6 . Výše uvedené multifunkční kmitočtové filtry byly charakteristické možností vzájemně nezávislé změny činitele jakosti 𝑄 a charakteristického kmitočtu 𝜔0 . Na obr. 4.46 je uvedeno zapojení plně nastavitelného kmitočtového filtru využívající čtyři operační zesilovače. V případě rovnosti hodnot pasivních prvků 𝑅5 = 𝑅6 = 𝑅 a 𝐶1 = 𝐶2 = 𝐶, pak přenosové funkce napětí kmitočtového filtru lze popsat jako: 𝐾𝐷𝑃 (p) =

𝑅2 𝑅4 𝑅7 𝑅8 𝑈2𝐷𝑃 (p) = , 𝑈1 (p) 𝐶𝐸(p)

(4.170)

R7 R8 R1

u1

R2

R3

R4

C1

R5

C2

R6

_ OZ1

_ OZ2

_ OZ3

_ OZ4

+

+

+

+

u2PZ

u2HP

u2PP

Obrázek 4.46: Multifunkční kmitočtový filtr s plně nastavitelnými parametry

u2DP


121

𝐾𝑃 𝑃 (p) =

𝑈2𝑃 𝑃 (p) 𝑅𝐶𝑅2 𝑅4 𝑅7 𝑅8 p =− , 𝑈1 (p) 𝐶𝐸(p)

(4.171)

𝐾𝐻𝑃 (p) =

𝑈2𝐻𝑃 (p) 𝑅2 𝐶 2 𝑅2 𝑅4 𝑅7 𝑅8 p 2 = , 𝑈1 (p) 𝐶𝐸(p)

(4.172)

𝑈2𝑃 𝑍 (p) 𝑅2 𝐶 2 𝑅2 𝑅3 𝑅7 𝑅8 p 2 + 𝑅2 𝑅3 𝑅4 𝑅7 =− , 𝑈1 (p) 𝐶𝐸(p)

(4.173)

𝐾𝑃 𝑍 (p) =

kde 𝐶𝐸(p) = 𝑅2 𝐶 2 𝑅1 𝑅3 𝑅7 𝑅8 p 2 + 𝑅𝐶𝑅1 𝑅2 𝑅4 𝑅8 p + 𝑅1 𝑅3 𝑅4 𝑅7 . Ze vztahů (4.170)– (4.173) vyplývá, že zapojení kmitočtového filtru z obr. 4.46 lze dle napěťového výstupu použít k získání odezvy dolní, pásmové, horní propusti a pásmové zádrže. Charakteristický úhlový kmitočet 𝜔0 a činitel jakosti 𝑄 filtru je dán vztahem: 1 𝜔0 = 𝑅𝐶

√︃

𝑅4 , 𝑅8

𝑄= √

1 𝑅3 𝑅7 . 𝑅4 𝑅8 𝑅2

(4.174)

Zesílení v propustném pásmu 𝐾0 jednotlivých typů kmitočtových filtrů je pak: 𝑅2 𝑅8 𝑅7 , 𝐾0𝑃 𝑃 = − , 𝑅1 𝑅3 𝑅1 𝑅2 𝑅4 𝑅2 = , 𝐾0𝑃 𝑍 = . 𝑅1 𝑅3 𝑅1

𝐾0𝐷𝑃 = 𝐾0𝐻𝑃

(4.175)

Ze vztahů (4.174) a (4.175) vyplývá, že charakteristický úhlový kmitočet 𝜔0 lze měnit nezávisle na ostatních parametrech současnou změnou kapacitorů C1 a C2 nebo současnou změnou rezistorů R5 a R6 , přičemž změna tohoto parametru je v pohledu praktické realizace vhodnější. Činitel jakosti 𝑄 lze měnit pomocí rezistoru R3 nezávisle na kmitočtu 𝜔0 . V takovém případě pak i zesílení v propustném pásmu pásmové propusti 𝐾0𝑃 𝑃 a pásmové zádrže 𝐾0𝑃 𝑍 nebude závislé na změně činitele jakosti.

4.10

Kmitočtové filtry vyšších řádů

Je-li strmost přechodu modulové charakteristiky z propustného do nepropustného pásma nedostačující, je nutné přistoupit k návrhu kmitočtového filtru vyššího řádu. Obecně existují dva přístupy. Prvním z nich je kaskádní syntéza, kdy jednoduché funkční bloky 1. nebo 2. řádu jsou řazeny za sebou, kdy pak celé spojení vytváří výsledný kmitočtový filtr požadovaného řádu, často pak navržen dle dané aproximace. Druhý přístup k návrhu kmitočtových filtrů vyšších řádů spočívá v nekaskádní syntéze, kdy jednotlivé části funkčního celku není obecně možné rozdělit do jednotlivých částí a k jejich návrhu přistupovat odděleně.

122


40 30

mod(K(s)) [dB]

20 10 0 -10 -20 -30 -40 -2 10

-1

10

0

10  [-]

1

10

2

10

Obrázek 4.47: Modulové charakteristiky dílčích bloků a výsledná modulová charakteristika dolní propusti 10. řádu aproximovaná dle Čebyševa se zvlněním 3 dB

4.10.1

Realizace kaskádní syntézou

Výhodou kaskádní syntézy je skutečnost, že k realizaci kmitočtového filtru lze použít stejnou strukturu pro všechny dílčí bloky, které jsou navrhovány odděleně často podle požadované aproximace. Je nutné si však uvědomit, že spojení dvou funkčních bloků 2. řádu, každý navržený dle Butterwortha, sice povede na výsledný filtr 4. řádu ovšem modulová charakteristika nebude odpovídat Butterworthově aproximaci. Třebaže jsou tedy z pohledu topologie dva dílčí bloky identické, musí nutně obsahovat jiné hodnoty pasivních prvků. Pro větší názornost výše uvedené skutečnosti je na obr. 4.47 uvedena modulová charakteristika dolní propusti 10. řádu aproximovaná dle Čebyševa se zvlněním 3 dB. Takový filtr je možné realizovat 5 bloky dolní propusti 2. řádu, kdy koeficienty 𝑎𝑛𝑖 a 𝑏𝑛𝑖 jednotlivých bloků lze nalézt v tab. 2.9. Na obr. 4.47 jsou pro představu znázorněny modulové charakteristiky jednotlivých bloků, kdy až jejich kaskádní spojení vytvoří požadovanou odezvu kmitočtového filtru. Je tedy zřejmé, že pro návrh kmitočtových filtrů kaskádní syntézou postačuje použít některou již dříve popsanou obvodovou topologii filtru 1. či častěji 2. řádu a další popis již proto zde není uveden. Je nutné si však uvědomit, že kaskádním zapojením dílčích bloků nesmí dojít k jejich


123

vzájemnému ovlivnění v důsledku konečné hodnoty vstupní či výstupní impedance. V případě návrhu obvodů pracujících v napěťovém režimu musí být zachována podmínka, že vstupní impedance 𝑍1𝑘 následujícího (𝑘tého) bloku musí být mnohonásobně vyšší, než je výstupní impedance 𝑍2𝑗 bloku předešlého, tj. 𝑍2𝑗 << 𝑍1𝑘 . V případě návrhu funkčního bloku pracujícího v proudovém režimu pak mezi vstupní a výstupní impedancí dílčích bloků musí platit 𝑍2𝑗 >> 𝑍1𝑘 .

4.10.2

Realizace nekaskádní syntézou

Není-li možné jednotlivé části komplexní topologie realizující kmitočtový filtr vyššího řádu oddělit a vyčlenit tak z výsledné přenosové funkce odpovídající část, je pak nutné na celé zapojení pohlížet jako na jeden celek a také jej tímto způsobem numericky navrhovat.

R0 C1

R0 C1

_ OZ1

C2

u1

_ OZ1 u1

u2

+

R1

C2 u2

+

R1

R2

R2 C3 C3

C4 _ OZ2

C4

+

_ OZ2

R3

R4

+

R3

R4 Cn-2 Cn-1

Rn-1

Cn-1

_ OZ2

Cn

+

Rn-2

Rn-1

_ OZn/2

Cn

+ (a)

(b)

Obrázek 4.48: Aktivní dolní propust 𝑛. řádu (a) pro 𝑛 sudé, (b) pro 𝑛 liché

pro 𝑖 < 𝑛 1

(𝐶1 + 𝐶2 )𝑅0 𝜔𝑚

2 𝐶1 𝐶2 𝑅0 (𝑅1 + 𝑅2 )𝜔𝑚

3 𝐶1 𝐶2 (𝐶3 + 𝐶4 )𝑅0 𝑅1 𝜔𝑚

4 𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝐶4 𝑅0 𝑅1 𝑅2 (𝑅3 + 𝑅4 )𝜔𝑚

5 𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝐶4 (𝐶5 + 𝐶6 )𝑅0 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝑅4 𝜔𝑚

6 𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝐶4 𝐶5 𝐶6 𝑅0 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝑅4 (𝑅5 + 𝑅6 )𝜔𝑚

7 𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝐶4 𝐶5 𝐶6 (𝐶7 + 𝐶8 )𝑅0 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝑅4 𝑅5 𝑅6 𝜔𝑚

8 𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝐶4 𝐶5 𝐶6 𝐶7 𝐶8 𝑅0 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝑅4 𝑅5 𝑅6 (𝑅7 + 𝑅8 )𝜔𝑚

9 𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝐶4 𝐶5 𝐶6 𝐶7 𝐶8 (𝐶9 + 𝐶10 )𝑅0 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝑅4 𝑅5 𝑅6 𝑅7 𝑅8 𝜔𝑚

–

𝑖

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2 𝐶1 𝐶2 𝑅0 𝑅1 𝜔𝑚

𝐶1 𝑅0 𝜔𝑚

–

pro 𝑖 = 𝑛

10 𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝐶4 𝐶5 𝐶6 𝐶7 𝐶8 𝐶9 𝐶10 𝑅0 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝑅4 𝑅5 𝑅6 𝑅7 𝑅8 𝑅9 𝜔𝑚

9 𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝐶4 𝐶5 𝐶6 𝐶7 𝐶8 𝐶9 𝑅0 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝑅4 𝑅5 𝑅6 𝑅7 𝑅8 𝜔𝑚

8 𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝐶4 𝐶5 𝐶6 𝐶7 𝐶8 𝑅0 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝑅4 𝑅5 𝑅6 𝑅7 𝜔𝑚

7 𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝐶4 𝐶5 𝐶6 𝐶7 𝑅0 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝑅4 𝑅5 𝑅6 𝜔𝑚

6 𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝐶4 𝐶5 𝐶6 𝑅0 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝑅4 𝑅5 𝜔𝑚

5 𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝐶4 𝐶5 𝑅0 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝑅4 𝜔𝑚

4 𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝐶4 𝑅0 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝜔𝑚

3 𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝑅0 𝑅1 𝑅2 𝜔𝑚

Tabulka 4.1: Koeficienty 𝑐𝑛𝑖 přenosových funkcí pro 𝑛 = 1, ...10 zapojení z obr. 4.48

124 FEKT Vysokého učení technického v Brně


125

Tabulka 4.2: Realizovatelnost aktivní dolní propusti se shodnými odpory rezistorů 𝑅0 = 𝑅1 = ... = 𝑅𝑛−1 [3] 𝑛

Bessel

Butterworth

Čebyšev

2

ne

ne

ne

3

ano

ano

ano

4

ano

ano

ne

5

ano

ano

ano

6

ano

ano

ne

7

ano

ano

ano

8

ano

ano

ne

9

ano

ano

ano

10

ano

ano

ne

Příklad realizace struktury kmitočtového filtru typu dolní propust 𝑛tého řádu je uvedena na obr. 4.48. Základní princip tohoto kmitočtového filtru vychází z pasivní RC dolní propusti, kde původní kapacitor je nahrazen selektivním dvojbranem s imitancí vyššího řádu. Část filtru s aktivními prvky tak realizuje vhodný typ syntetického prvku, jejichž problematika a definice je popsána v následující kapitole. Na obr. 4.48(a) a na obr. 4.48(b) je uvedeno zapojení filtru zvlášť pro sudý a lichý řád filtru. Přenosovou funkci napětí dolní propusti 𝑛tého řádu lze v obecném tvaru vyjádřit jako: 𝐾(s) =

𝑐𝑛𝑛

s𝑛

+ 𝑐𝑛(𝑛−1)

𝐾0 , + ...𝑐𝑛2 s2 + 𝑐𝑛1 s + 1

s𝑛−1

(4.176)

kde koeficienty 𝑐𝑛𝑖 jednotlivých mocnin normované komplexní proměnné s vyjádřených pasivními prvky jsou uvedeny v tab. 4.1 [3]. Vyjádření koeficientů je platné pro přenosové funkce od prvního do desátého řádu. V případě kmitočtového filtru 3. řádu realizovaného dle obr. 4.48(b) tak z tab. 4.1 lze odpovídající přenosovou funkci napětí vyjádřit jako: 𝐾(s) =

1 3 s3 𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝑅0 𝑅1 𝑅2 𝜔𝑚

2 s 2 + (𝐶 + 𝐶 )𝑅 𝜔 s + 1 + 𝐶1 𝐶2 𝑅0 (𝑅1 + 𝑅2 )𝜔𝑚 1 2 0 𝑚

. (4.177)

Pro usnadnění numerického návrhu se často volí stejné hodnoty rezistorů nebo kapacitorů. Takové zjednodušení však vede na omezení v případě návrhu takového kmitočtového filtru dle požadované aproximace. Možnost realizovat kmitočtový filtr daného řádu dle požadované aproximace v případě shodnosti rezistorů nebo kapacitorů je vyjádřena v tab. 4.2 a v tab. 4.3 [3]. V případě nutnosti realizovat horní propust 𝑛tého řádu nekaskádní syntézou, lze použít řešení uvedené na obr. 4.48, kdy kapacitory a rezistory jsou ve struktuře vzájemně

126


Tabulka 4.3: Realizovatelnost aktivní dolní propusti se shodnými kapacitami kapacitorů 𝐶1 = 𝐶2 = ... = 𝐶𝑛 [3] 𝑛

Bessel

Butterworth

Čebyšev

2

ano

ano

ano

3

ano

ano

ne

4

ano

ano

ano

5

ano

ano

ne

6

ano

ano

ano

7

ano

ano

ne

8

ano

ano

ano

9

ano

ano

ne

10

ano

ano

ano

zaměněny. Jiné obvodové řešení kmitočtového filtru realizující napěťovou odezvu obecně 𝑛tého řádu je uvedena na obr. 4.49 [33]. Jako aktivní prvky jsou v tomto případě použity univerzální napěťový konvejor (UVC) a transkonduktační zesilovač (OTA). Jeho využití vede na možnost realizovat kmitočtové filtry s řiditelným charakteristickým kmitočtem při zachování požadované aproximace modulové charakteristiky. Obecný tvar přenosové funkce kmitočtového filtru je dán vztahem: 𝐾(p) =

𝑔𝑚0 p

∏︀ 2 𝑛

𝐶𝑖

𝑖=1

∏︀𝑛−1 𝑖=1

∏︀ ∑︀ + 𝑛−1 p 𝑖 𝑖 𝑖=1

𝑙=1

𝐶𝑙

𝑔𝑚𝑖

∑︀𝑛−1 𝑘=𝑖

𝑔𝑚𝑘 + 𝑔𝑚0

∏︀𝑛−1 𝑖=1

𝑔𝑚𝑖

(4.178)

,

kde 𝑔𝑚0 = 𝑔𝑚01 = 𝑔𝑚02 . Vlastnosti prvku UVC umožňují snímat napěťovou odezvu ve OTA02

gm02

ISET02

+ _

+ _ ISET01 gm01

OTA01

u1

UVC1

UVC2

UVCn-2

UVCn-1

X YP ZP YN ZN

X YP ZP YN ZN

X YP ZP YN ZN

X YP ZP YN ZN

W

ISET1

W

ISET2

_

C1

OTA1

ISETn-2

_

gm1

+

W

gm2

C2

OTA2

+

Cn-2

W

ISETn-1

_

_

gmn-2

gmn-1

OTAn-2

+

Cn-1

Cn

OTAn-1

+

Obrázek 4.49: Kmitočtový filtr 𝑛tého řádu realizovaný pomocí UVC a OTA [33]

u2


127

více bodech, jak je naznačeno na obr. 4.49. Hodnoty kapacitorů lze určit dle vztahů: 𝐶1 =

𝑐𝑛1 , k

𝐶𝑖 =

𝑐𝑛𝑖 𝑐𝑛(𝑖−1) k

pro 𝑖 = 2, ...𝑛, kde 𝑛 je řád realizovaného filtru, k = 𝑔𝑚1 = ... = 𝑔𝑚(𝑛−1) = 𝑔𝑚 .

,

(4.179)

𝜔0 je konstanta, přičemž 𝑔𝑚0 = 𝑔𝑚

128

5


METODY NÁVRHU AKTIVNÍCH FILTRŮ

V předešlých kapitolách byly popsány vybrané struktury pasivních i aktivních kmitočtových filtrů, které je možné použít pro návrh základních typů kmitočtových filtrů. V případě obvodových řešení využívající aktivní prvky, pak v případě operačních zesilovačů je v současné době celá řada osvědčených zapojení. Výhodou operačního zesilovače je velká přesnost na nízkých kmitočtech, ovšem původní vnitřní struktura je pro řadu aplikací příliš pomalá [2]. V posledních několika desetiletích se pozornost vědecké obce soustřeďuje na další aktivní prvky, které z pohledu operačního zesilovače lze považovat za netradiční. Jde o proudové konvejory a z nich odvozené aktivní prvky. Jejich zásadní rozdíl oproti operačním zesilovačům spočívá v konečné (jednotkové) hodnotě proudových a napěťových přenosů mezi jednotlivými branami aktivního prvku. Pro svou činnost aktivní prvek nevyžaduje realizaci zpětné vazby a proto vnější pasivní prvky (nejčastěji rezistory a kapacitory) lze ve většině případů jednou branou připojit do společného uzlu. Redukuje se tak počet plovoucích pasivních prvků, především kapacitorů, ve struktuře funkčního bloku, které nejsou zcela vhodné v případě jeho realizace v integrované podobě. Jak již tedy bylo naznačeno, jsou dnes používány i jiné typy aktivních prvků jako jsou proudové a napěťové konvejory, proudové sledovače či zesilovače. S těmito typy aktivních prvků je počet nabízených řešení kmitočtových filtrů omezený a ne vždy tak může již navržené zapojení využívající nový aktivní prvek vyhovovat aktuálním požadavkům ve funkčním zapojení. Mezi tyto požadavky lze zařadit definovanou velikost vstupní a výstupní impedance, pracovní mód kmitočtového filtru (napěťový mód, proudový mód, či smíšený mód), možnost efektivního řízení některého z parametrů kmitočtového filtru, jako je činitel jakosti 𝑄, charakteristický kmitočet 𝜔0 , zesílení v propustném pásmu 𝐾0 pomocí omezeného počtu pasivních případně již i aktivních prvků. V okamžiku, kdy je pro praktickou realizaci nemožné použít některé z dříve diskutovaných obvodových řešení, je pak nutné přistoupit k vlastnímu návrhu kmitočtového filtru, který využívá vybraný aktivní prvek. Existuje řada metod vhodných pro návrh lineárních funkčních bloků. Jde např. o přidruženou transformaci [32], která dovoluje navrhnout obvod pracující v proudovém režimu vycházející z předlohy pracující v napěťovém režimu a naopak. V případě struktury využívající pouze pasivní prvky přidružená transformace spočívá ve vzájemné záměně vstupní a výstupní brány. Jsou-li však využity aktivní prvky, musí být tyto vhodně nahrazeny svým přidruženým prvkem. Např. klasický operační zesilovač lze považovat za zdroj napětí řízený napětí se zesílením 𝐴 (obr. 5.1(a)). Na základě přidružené transformace lze tento aktivní prvek nahradit zdrojem proudu řízeným proudem se zesílením 𝐵 (obr. 5.1(b)),


1

3

u11

Au11

2

1

u22 4

i22

i11

129

3

-Bi11 2

(a)

4 (b)

Obrázek 5.1: Přidružená transformace mezi (a) zdrojem napětí řízeného napětím, (b) zdrojem proudu řízeného proudem přičemž musí platit 𝐴 = 𝐵. Uvažujeme-li tedy ideální operační zesilovač, pak i zdroj proudu řízený proudem musí mít nekonečné proudové zesílení. Použití přidružené transformace tak z pohledu dostupnosti aktivního proudového prvku s obecně nekonečným proudovým zesílením je komplikované. V literatuře je však možné najít řešení, která vychází z obecného obvodu. Pro zvolenou vstupní a výstupní bránu lze definovat obecnou přenosovou funkci a dle vhodné volby charakteru jednotlivých admitancí realizovat daný typ kmitočtového filtru. Další metoda návrhu kmitočtových filtrů s moderními aktivními prvky je založena na realizaci syntetických prvků s imitacemi vyšších řádů. Ty jsou pak vhodně zapojeny nejčastěji do konfigurace kmitočtově závislého děliče napětí či proudu. Syntetické prvky jsou realizovány transformačními dvojbrany, které zvyšují řád imitační funkce jednobranu připojeného k výstupu. Jednoduchým kaskádním řazením transformačních dvojbranů tak lze realizovat syntetický prvek požadovaného řádu. Při této metodě však může nastat problém obtížné realizovatelnosti, je-li syntetický prvek popsán složitými mnohočleny. Při návrhu aktivních kmitočtových filtrů vyšších řádů lze využít také pasivního RC či RLC prototypu. Vlastní realizace je založena na přímé náhradě induktorů odpovídající ekvivalentem. Takto navržené filtry vykazují prakticky nejnižší citlivosti přenosové funkce na tolerance parametrů součástek. Obtížná je však nastavitelnost jeho parametrů, protože změny hodnot jednotlivých prvků jsou navzájem vázány a ovlivňují celou přenosovou charakteristiku. Dále je pak možné použít Brutonovu transformaci, která vychází z úvahy, že přenos obvodu jako bezrozměrná funkce je určen poměrem impedancí, a proto se při násobení všech impedancí obvodu stejným koeficientem přenos nemění. Jako další způsob návrhu nových kmitočtových filtrů lze uvést metodu grafů signálových toků, přestože častěji je využívána pro analýzu již existujících zapojení. Grafická reprezentace obvodu však představuje snadný nástroj k modifikaci stávajících zapojení, ale i k návrhu nových funkčních struktur. [33] V následující části jsou z výše uvedených blíže popsány vybrané návrhové metody, které lze použít pro jakýkoliv typ aktivního prvku.

130

5.1


Návrh pomocí úplné admitanční sítě

Pro návrh nových obvodových struktur lze s výhodou použít teorii autonomních obvodů, která byla popsána již v [34]. V tomto případě je autonomní obvod prezentován jako struktura pasivních a aktivních prvků, která není buzena zdrojem signálu ani není snímána napěťová, či proudová odezva. Definována je pouze charakteristická rovnice, což je determinant admitanční matice analyzované soustavy. Z tvaru charakteristické rovnice je pak možné usuzovat, jaký řád filtru bude použitím daného autonomního obvodu možné realizovat. Problémem však v tomto případě je nalezení vhodného autonomního obvodu. Pro řešení tohoto problému aje možné vycházet z vlastních zkušeností, kdy se pak a a jedná o

a

intuitivní postup. Tento přístup lze ovšem zobecnit a vycházet při návrhu autonomních obvodů z úplné admitanční sítě připojené ke zvolenému počtu aktivních prvků. Tímto D0

D1

Dn-1

Dn

DP0,n

E0

E1

En-1

způsobem je možné nalézt všechna variantní řešení autonomních obvodů. Předpokládá-li

En

EP0,n

se 𝑚 aktivních prvků s 𝑘 branami, pak počet uzlů úplné admitanční sítě lze určit jako b prvků úplné admitanční b b Příklad 𝑙 = 𝑚(𝑘 + 1). Počet pasivních sítě je pak 𝑙(𝑙 − 1)/2 + 𝑙.

úplné admitanční sítě, kterou lze připojit k aktivnímu prvku se třemi branami, je uveden a

D1 způsobem D0 je možné pro zvolený počet a typ aktivních E1 prvků E0popsat na obr. 5.2(a). Tímto a

b a

a

všechna variantní řešení autonomních obvodů, vyhovující stanoveným podmínkám, jako je především tvar charakteristické rovnice a početDS použitých pasivních prvků. Na základě 0,n

ES0,n

Dn-1 Dn En-1 En citlivostních a tolerančních analýz jsou b pak z množiny autonomních obvodů vybrány ta-b

kové, které nejlépe vyhovují požadavkům návrháře. b

b

Y4 Y3

Y8

Y7

Y9

Y10

Y10 Y7

GVC X Z

Y6 Y4

Y Y5

Y8

Y9

Y1

Y2 Y5 (a)

Y6 Y1

Y2 (b)

Obrázek 5.2: Úplná admitanční síť (a) se čtyřmi uzly, (b) její připojení k GVC


5.1.1

131

Úplná admitanční síť a odvozené autonomní obvody

Zapojení jednoho aktivního prvku k úplné admitanční síti na obr. 5.2(b) umožňuje navrhnout kmitočtové filtry druhého řádu. Ve většině případů však výsledná struktura realizuje pouze jedinou užitečnou přenosovou funkci. Snahou návrhářů integrovaných systémů ovšem je, aby filtr zařazený do knihovny funkčních bloků byl multifunkční či univerzální (tzn. aby realizoval kmitočtové filtry typu horní, dolní, pásmová propust, pásmová zádrž i fázovací článek) a umožňoval práci v napěťovém, proudovém či smíšeném módu. Toho je možné docílit využitím dvou aktivních prvků ve struktuře obvodu. Na obr. 5.3 jsou již uvedeny úplné admitanční sítě se dvěma zobecněnými proudovými (GCC), napěťovými (GVC) konvejory a proudovými prvky (GCF). Úplnou admitanční síť se zvoleným počtem a typem aktivního prvku lze dle požadavků na výslednou strukturu použít pro návrh autonomních obvodů. Požadavky se zde rozumí počet pasivních prvků (uzemněných či neuzemněných). Aby výsledné zapojení vykazovalo minimální citlivosti na změnu parametrů pasivních a aktivních prvků, je výhodné využívat struktury s minimálním počtem pasivních prvků. V případě návrhu kmitočtových filtrů druhého řádu je tedy vhodné použít právě čtyři pasivní prvky. Výhodou pak je i snadný numerických návrh. Z obecného zapojení se dvěma zobecněnými proudovými konvejory (5.3(a)) bylo odvozeno sedm autonomních obvodů se čtyřmi uzemněnými pasivními prvky a padesát tři autonomních obvodů s pěti admitancemi, kdy byla preferována zapojení s maximálním počtem uzemněných prvků. Jedná se o struktury, jejichž použití vede k realizaci kmitočtových filtrů druhého řádu pracujících v proudovém, napěťovém a smíšeném módu. V [35] byly publikovány autonomní obvody s GCC a se čtyřmi uzemněnými pasivními prvky, které jsou uvedeny v tab.5.1. Po nalezení skupiny autonomních obvodů lze vlastní návrh kmitočtových filtrů rozdělit do následujících kroků: 1. Volba jednotlivých dvojpólů a součinů koeficientů zobecněného aktivního prvku pro požadovaný tvar charakteristické rovnice. Pro kmitočtový filtr musí být splněna podmínka, že v charakteristické rovnici se vyskytují všechny mocniny Laplaceova operátoru p, tj. od p 0 až po p 2 , kde 𝑛 je řád filtru. 2. Aby se vlastnosti autonomního obvodu po připojení budicího zdroje nezměnily, je nutné dodržet následující podmínky: • je-li budicí zdroj zdrojem napětí, je nutné jej připojit do větve obvodu mezi dvojpól a společný uzel, • je-li budicí zdroj zdrojem proudu, je nutné jej připojit k uzlu autonomního obvodu a ke společnému uzlu. Podobně při snímání signálové odezvy musí platit: • je-li sledována napěťová odezva, je napětí snímáno v uzlu autonomního obvodu

132


Tabulka 5.1: Autonomní obvody se dvěma GCC a se čtyřmi uzemněnými pasivními prvky [35] Č.

Autonomní obvod GCC1

GCC2

Z

Y X

Charakteristická rovnice

Z

Y X

Y1

Y2

Y3

Y4

1

𝑎1 𝑏 1 𝑎2 𝑏 2 𝑌 1 𝑌 3 − 𝑎1 𝑏 1 𝑌 1 𝑌 2 − −𝑎2 𝑏2 𝑌3 𝑌4 − 𝑎1 𝑐1 𝑎2 𝑐2 𝑌1 𝑌3 + +𝑌2 𝑌4

GCC1

GCC2

Z

Y X

Z

Y X

Y1

Y2

Y3

Y4

2

𝑎1 𝑏 1 𝑎2 𝑏 2 𝑌 3 𝑌 4 − 𝑎1 𝑏 1 𝑌 2 𝑌 4 − −𝑎2 𝑏2 𝑌1 𝑌3 + 𝑐1 𝑎2 𝑐2 𝑌1 𝑌3 + +𝑌1 𝑌2

GCC1

GCC2

Z

Y X

Z

Y X

Y1

Y2

Y3

Y4

3

𝑎1 𝑏 1 𝑎2 𝑏 2 𝑌 2 𝑌 4 − 𝑎1 𝑏 1 𝑌 3 𝑌 4 − −𝑎2 𝑏2 𝑌1 𝑌2 − 𝑐1 𝑐2 𝑌1 𝑌3 + +𝑌1 𝑌3

GCC1

GCC2

Z

Y X

Z

Y X

Y1

Y2

Y3

Y4

4

𝑎1 𝑏 1 𝑎2 𝑏 2 𝑌 1 𝑌 3 − 𝑎1 𝑏 1 𝑌 1 𝑌 2 − −𝑎2 𝑏2 𝑌3 𝑌4 − 𝑐1 𝑎2 𝑏2 𝑌3 𝑌4 + +𝑐1 𝑌2 𝑌4 + 𝑌2 𝑌4

GCC1

GCC2

Z

Y X

Z

Y X

Y1

Y2

Y3

Y4

5

𝑎1 𝑏 1 𝑎2 𝑏 2 𝑌 1 𝑌 3 − 𝑎1 𝑏 1 𝑌 1 𝑌 2 − −𝑎2 𝑏2 𝑌3 𝑌4 + 𝑎1 𝑐1 𝑎2 𝑏2 𝑌1 𝑌3 − −𝑎1 𝑐1 𝑌1 𝑌2 + 𝑌2 𝑌4

GCC1

Y1

GCC2

Z

Y X

Y2

Y X

Z

Y3

Y4

6

𝑎1 𝑏 1 𝑎2 𝑏 2 𝑌 2 𝑌 3 − 𝑎1 𝑏 1 𝑌 2 𝑌 4 − −𝑎2 𝑏2 𝑌1 𝑌3 + 𝑎1 𝑏1 𝑎2 𝑐2 𝑌2 𝑌3 − −𝑎2 𝑐2 𝑌1 𝑌3 + 𝑌1 𝑌4

GCC1 Y X

Y1

7

GCC2

Z

Y X

Y2

Y3

Z

Y4

𝑎1 𝑏 1 𝑎2 𝑏 2 𝑌 3 𝑌 4 − 𝑎1 𝑏 1 𝑌 2 𝑌 4 − −𝑎2 𝑏2 𝑌1 𝑌3 − 𝑐1 𝑎2 𝑏2 𝑌1 𝑌3 + +𝑐2 𝑌1 𝑌2 + 𝑌1 𝑌2


133

Y26

Y26 Y21

Y21 Y7

Y7

Y27

Y27 Y8

Y8

Y22

Y22 Y28

Y28 Y15

Y15 Y9

Y9

Y16

Y16 Y10

Y10

Y29

Y29 Y17

Y17 Y30

Y11

Y19

Y31

Y33

Y12 Y13

Y19

Y20

Y32

Y34

Y14

Y20

Y11

Y30 Y18

Y18 Y12 Y13 Y14

Y23

GCC1 Y Z

Y25

X Y1

Y2

Y3

GVC1 Z X

GCC2 Y Z

Y24

X Y4

Y23

Y1

Y6

Y33

Y24

Y32

Y34

Y25

GVC2 Z X

Y

Y3

Y5

Y31

Y

Y6

Y2

Y4

(a)

Y5

(b) Y9 Y16 Y27 Y10 Y17

Y28

Y11 Y21 Y29 Y22 Y12

Y30 Y23

Y12

Y31 Y24 Y18

Y7

Y14

Y8

Y25

Y15

Y19

GCF1 n11

Y20

n21

Y26

Y32 Y33 Y34 GCF2 n12 n22 Y6

Y3 Y1

Y2

Y4

Y5

(c)

Obrázek 5.3: Úplná admitanční síť se dvěma (a) GCC, (b) GVC, (c) GCF vůči společnému uzlu, • je-li sledována proudová odezva, je snímán proud tekoucí větví mezi dvojpólem a společným uzlem. 3. Určení koeficientů zobecněného aktivního prvku pro variantní řešení splňující podmínky pro výsledný součin těchto koeficientů dle předchozích dvou bodů. 4. Nahrazení zobecněného prvku konkrétním aktivním prvkem. Praktickým omezením metody využívající pro nalezení vhodných autonomních obvodů úplnou admitanční síť však je, že pro velké množství aktivních prvků je tato metoda značně časové náročná a je někdy lépe použít např. metodu rozšiřování autonomních obvodů, která je blíže diskutována v [33]. Tato metoda je vhodná pro návrh kmitočtových

134


filtrů vyšších řádů, či filtrů, kde některý z jeho parametrů je možné nezávisle měnit na ostatních.

5.1.2

Návrh kmitočtového filtru

Názorný postup návrhu kmitočtového filtru bude ukázán na autonomním obvodu č. 3 v tab. 5.1. Obecná charakteristická rovnice tohoto obvodu je: 𝐶𝐸 = 𝑎1 𝑏1 𝑎2 𝑏2 𝑌2 𝑌4 − 𝑎1 𝑏1 𝑌3 𝑌4 − 𝑎2 𝑏2 𝑌1 𝑌2 − 𝑐1 𝑐2 𝑌1 𝑌3 + 𝑌1 𝑌3 ,

(5.1)

kde koeficienty 𝑎𝑖 , 𝑏𝑖 a 𝑐𝑖 pro 𝑖 = 1, 2 popisují proudové a napěťové přenosy mezi odpovídajícími branami aktivního prvku. Na základě hodnot koeficientů 𝑎𝑖 , 𝑏𝑖 a 𝑐𝑖 , kterých mohou nabývat, je nutné zajistit, aby charakteristická rovnice obsahovala pokud možno nejnižší nutný počet členů (tj. tři v případě návrhu filtru 2. řádu) a aby tyto členy byly kladné pro zajištění stabilní činnosti výsledného kmitočtového filtru. Tyto podmínky je možné splnit např. následující volbou součinů koeficientů: 𝑎1 𝑏1 = −1,

𝑎2 𝑏2 = −1,

𝑐1 𝑐2 = 1.

(5.2)

Další podmínkou realizovatelnosti kmitočtového filtru je přítomnost všech mocnin Laplaceova operátoru p v konečné charakteristické rovnici. Volbou charakteru admitancí 𝑌1 = p𝐶1 , 𝑌2 = p𝐶2 , 𝑌3 = 𝐺1 , a 𝑌4 = 𝐺2 a uvažováním podmínek (5.2) lze obecnou charakteristickou rovnici (5.1) vyjádřit jako: 𝐶𝐸(p) = 𝐶1 𝐶2 p 2 + 𝐺2 𝐶2 p + 𝐺1 𝐺2 .

(5.3)

Na obr. 5.4 je uvedeno řešení kmitočtového filtru, který pracuje v proudovém módu, tj. původní autonomní obvod je buzen zdrojem proudu a jsou snímány proudové odezvy.

GCC1

i1

Y X

GCC2

Z

Y X

C1

C2

i2HP

i2PP

G1

Z

G2

i2DP

Obrázek 5.4: Kmitočtový filtr vycházející z autonomního obvodu č. 3 z tab. 5.1 - proudový mód


135

Tabulka 5.2: Variantní kombinace koeficientů GCC splňující (5.2) a (5.7) Varianta

𝑎1

𝑏1

𝑐1

𝑎2

𝑏2

𝑐2

A

1

-1

-1

-1

1

-1

B

-1

1

1

-1

1

1

Přenosové funkce proudu jsou definovány jako: 𝐼2𝐻𝑃 (p) 𝐶1 𝐶2 p 2 =− , 𝐼1 (p) 𝐶𝐸(p)

(5.4)

𝐾𝐼𝑃 𝑃 (p) =

𝐼2𝑃 𝑃 (p) 𝑎1 𝑐1 𝐺2 𝐶2 p =− , 𝐼1 (p) 𝐶𝐸(p)

(5.5)

𝐾𝐼𝐷𝑃 (p) =

𝐼2𝐷𝑃 (p) 𝑎1 𝑐1 𝑏2 𝐺1 𝐺2 = , 𝐼1 (p) 𝐶𝐸(p)

(5.6)

𝐾𝐼𝐻𝑃 (p) =

kde 𝐶𝐸(p) je dáno vztahem (5.3). Jak je vidět, ve vztazích (5.5) a (5.6) figurují součiny koeficientů, jejich hodnoty nebyly v rámci požadovaného tvaru charakteristické rovnice definovány. V tomto okamžiku je již jen na návrháři, jaké hodnoty tyto součiny koeficientů budou nabývat, aby byla realizována kmitočtová odezva požadovaného charakteru, tj. invertující vs. neinvertující. Bude-li např platit: 𝑎1 𝑐1 = −1,

𝑎1 𝑐1 𝑏2 = −1,

(5.7)

pak konečný tvar přenosových funkcí kmitočtového filtru pracujícího v proudovém módu z obr. 5.4 lze vyjádřit jako: 𝐾𝐼𝐻𝑃 (p) =

𝐶1 𝐶2 p 2 𝐼2𝑃 𝑃 (p) 𝐺2 𝐶2 p 𝐼2𝐻𝑃 (p) =− , , 𝐾𝐼𝑃 𝑃 (p) = = , 𝐼1 (p) 𝐶𝐸(p) 𝐼1 (p) 𝐶𝐸(p) 𝐼2𝐷𝑃 (p) 𝐺1 𝐺2 𝐾𝐼𝐷𝑃 (p) = = . 𝐼1 (p) 𝐶𝐸(p)

(5.8)

Koeficienty převodů zobecněných proudových konvejorů GCC splňující podmínky uvedené v rovnicích (5.2) a (5.7) jsou uvedeny v tab. 5.2. Jak je vidět, za základě požadavků kladených na tvar charakteristické rovnice a přenosové funkce jednotlivých kmitočtových odezev je možné pro praktickou realizaci použít jednu ze dvou variant. V případě varianty A je tedy nutné použít proudové konvejory typu CCIII– a ICCI–, v případě varianty B pak dva proudové konvejory ICCI+. Zapojení na obr. 5.4 lze považovat za multifunkční kmitočtový filtr, kdy kromě základních kmitočtových odezev dle (5.8) jej lze také použít k realizaci pásmové zádrže 2. řádu, kterou je možné získat součtem výstupních proudových odezev dolní a horní

136


CCIII– Y X

ICCI–

Z

Z

Y X

C1

C2

u1HP

u1PP

u2

G1

G2

Obrázek 5.5: Kmitočtový filtr vycházející z autonomního obvodu č. 3 z tab. 5.1 - napěťový mód propusti (𝐼2𝐼𝑃 𝑍 (p) = 𝐼2𝐼𝐻𝑃 (p) + 𝐼2𝐼𝐷𝑃 (p)). Dále lze pak filtr také použít jako fázovací článek, kdy výstupní proud filtru je dán součtem všech tří základních odezev, tj. 𝐼2𝐼𝐹 𝐶 (p) = 𝐼2𝐼𝐻𝑃 (p) + 𝐼2𝐼𝑃 𝑃 (p) + 𝐼2𝐼𝐷𝑃 (p). Součet dílčích výstupních proudů je zcela bezproblémový, neboť tato operace v praktické realizaci znamená vzájemné spojení daných uzlů. Konečné řešení autonomního obvodu č. 3, tj. s definovanými typy aktivních prvků a definovaným charakterem admitancí, lze také použít pro návrh kmitočtového filtru pracujícího v napěťovém módu jak je to uvedeno na obr. 5.5. V tomto případě lze budicí zdroj napětí zapojit do dvou větví kmitočtového filtru, kdy odpovídající přenosové funkce napětí jsou dány vztahy: 𝐾𝑈 𝐻𝑃 (p) =

𝐶1 𝐶2 p 2 𝑈2 (p) = , 𝑈1𝐻𝑃 (p) 𝐶𝐸(p)

𝐾𝑈 𝑃 𝑃 1 (p) =

𝑈2 (p) 𝐺1 𝐶2 p = 𝑈1𝑃 𝑃 1 (p) 𝐶𝐸)p)

(5.9)

a zapojení kmitočtového filtru z obr. 5.5 lze tak použit k realizaci horní nebo pásmové propusti. Jak je uvedeno v [35], tak další přenosové funkce napětí jsou možné, jen je nutné zapojit budicí zdroje do jiných větví a snímat napěťovou odezvu v jiných napěťových uzlech. Obdobným způsobem je pak možné získat i přenosové funkce kmitočtového filtru pracujícího ve smíšeném módu. Dle (5.3) charakteristický úhlový kmitočet 𝜔0 a činitel jakosti 𝑄 filtru je dán vztahem: √︃

𝜔0 =

𝐺1 𝐺2 , 𝐶1 𝐶2

√︃

𝑄=

𝐶1 𝐺1 . 𝐶2 𝐺2

(5.10)

Pro zvolené hodnoty činitele jakosti, charakteristického kmitočtu a hodnot kapacitorů


137

C1 a C2 lze hodnoty rezistorů R1 a R2 (𝑅 = 1/𝐺) určit dle: 1 𝑄 , 𝑅2 = . (5.11) 𝜔0 𝑄𝐶2 𝜔0 𝐶1 V případě návrhu kmitočtového filtru dle požadované aproximace, pak hodnoty rezistorů 𝑅1 =

R1 a R2 jsou dány vztahy: 𝑅1 =

5.2

𝑎21 , 𝜔0 𝐶2

𝑅2 =

𝑏21 . 𝑎21 𝜔0 𝐶1

(5.12)

Návrh kmitočtových filtrů využívající syntetické prvky

Jak již bylo uvedeno v úvodu, při realizaci aktivního filtru lze vycházet z jeho pasivní předlohy, kdy induktory jsou nahrazeny jejich ekvivalentem využívající vhodný aktivní prvek spolu s rezistory a kapacitory. Teorii syntetických prvků lze dále zobecnit a navrhovat tak syntetické prvky vyšších řádů, které jsou pak nejčastěji zapojovány do jednoduchého napěťového či proudového děliče. Na tomto principu obecně pracují kmitočtové filtry vyšších řádů, které byly diskutovány v kap. 4.10.2 věnované nekaskádní syntéze kmitočtových filtrů. V této části tak konkrétní obvodová řešení kmitočtových filtrů nejsou příliš řešena, kdy větší pozornost je věnována popisu vhodných struktur transformačních článků, které lze pak využít k návrhu kmitočtového filtru.

5.2.1

Teorie syntetických prvků

Teorie syntetických imitančních prvků se původně věnovala hlavně návrhu klasických induktorů, které jsou na nízkých kmitočtech rozměrné a drahé. V případě návrhu kmitočtových filtrů na vyšších kmitočtech je tento problém odstraněn pouze v případě, jsou-li induktory realizovány v diskrétní podobě. Je-li pak navržená struktura kmitočtového filtru určena pro integraci na chipu, pak realizace induktoru se opět stává problematickou a opětovně je vhodné využít syntetický prvek. Při návrhu nových funkčních bloků není nutné omezovat se pouze na realizaci syntetických induktorů nebo kmitočtově závislých negativních rezistorů (FNDR), ale je možné definovat syntetické prvky vyšších řádů [36], které lze dále zapojit do kmitočtově závislých děličů napětí, či proudu, a realizovat filtry požadovaného řádu. Protože syntetický prvek lze ve své konečné podobě považovat za pasivní, realizované kmitočtové filtry mohou na základě přidružené transformace pracovat jak v proudovém, tak i napěťovém módu, kdy vlastní transformace se omezuje pouze na vzájemnou záměnu vstupu a výstupu navrženého zapojení. Při praktické realizaci je však nutné provést impedanční přizpůsobení, pracuje-li filtr v napěťovém módu.

138


Syntetické prvky s imitacemi vyšších řádů jsou tvořeny sériovým nebo paralelním zapojením elementárních dvojpólů typu 𝐷 a 𝐸. jak je naznačeno na obr. 5.6 lze popsat čtyři základní soustavy syntetických elementárních dvojpólů s imitacemi vyšších řádů, tj. typ 𝐷𝑃 , 𝐸𝑃 , 𝐷𝑆 a 𝐸𝑆 [36]. Tyto struktury lze dále rozdělit na plovoucí a uzemněné. Aby výsledné kmitočtové filtry 𝑛-tého řádu navržené touto metodou byly stabilní, musí daný syntetický prvek obsahovat dvojpóly typu 𝐷 resp. 𝐸 všech řádů, tedy od nejnižšího (0. či 1. řád) po nejvyšší (tj. 𝑛-tý popř. (𝑛 − 1)-tý řád). Při vlastní realizaci je nutné použít soustavu transformačních článků, kdy každý navyšuje řád imitance připojené na jeho výstupní bránu. Postup návrhu a způsobu realizace syntetického prvku se vychází z obecných vstupních impedancí obvodu, přičemž i zde lze pro vyhledávání vhodného transformačního článku využít obecné autonomní obvody s jedním či více aktivními prvky.

5.2.2

Transformační články

Běžné transformační články, označované jako impedanční invertory či konvertory jsou popsány vstupní impedancí: 𝑍VST =

𝑌U . 𝑌V 𝑌W

(5.13)

Aby bylo možné tímto způsobem realizovat syntetické prvky s imitacemi vyšších řádů obsahující všechny členy Laplaceova operátoru, je nutné pak mezi jednotlivé transformační články zapojit externí pasivní prvky Y𝐸 (obr. 5.7(a), obr. 5.7(b)). Transformační články (pro jednoduchost označené jako A) popsané vstupní impedancí dle (5.13) lze v konfiguraci naznačené na obr. 5.7(a) použít k realizaci syntetických prvků s imitancemi vyšších řádů typu 𝐷𝑆 a 𝐸𝑆 (viz obr. 5.6(b) a obr. 5.6(d)). Obecná struktura spojení transformačních článků typu A dle obr. 5.7(b) je naopak určená pro návrh imitančních prvků typu 𝐷𝑃 a 𝐸𝑃 (viz obr. 5.6(a) a obr. 5.6(c)). Nutnost použít externí adminatnci Y𝐸 , která vede na zvýšení celkového počtu pasivních prvků ve struktuře syntetického prvku je možné odstranit cíleným návrhem transformačních článků, které jsou pro jednoduchost značeny jako B (obr. 5.7(c)). Je-li realizován syntetický dvojpól typu 𝐷𝑃 resp. 𝐸𝑃 , pro vstupní impedanci dílčího transformačního článku B musí platit: 𝑍VST =

𝑌W , 𝑌U (𝑌V + 𝑌W )

(5.14)

𝑌U 𝑌V + 𝑌U . 𝑌W

(5.15)

resp. vstupní admitancí: 𝑌VST =

Lze dokázat, že opakovanou náhradou původní admitance 𝑌V transformačním článkem, jehož vstupní admitance je popsána výrazem (5.15), dochází k navyšování řádu syntetic-


aa

ii11

D D00

33

D D11

aa

D Dn-1 n-1

D Dnn

bb

44

139

DP DP0,n 0,n

aa

E E00

bb

bb

(a)

D D11

aa

D D00

D Dn-1 n-1

aa DS DS0,n 0,n

D Dnn

bb

E E11

E E0

E En-1 n-1

E E

bb (b)

aa

D Dnn

1 -1

E E11

aa

DP DP0,n 0,n

E E00

bb

E E11

aa

E En-1 n-1

E Enn

bb

EP EP0,n 0,n bb

(c)

aa

E E11

aa DS DS0,n 0,n bb

E En-1 n-1

aa

E E00

aa ES ES0,n 0,n

E Enn

bb

bb

bb (d)

Obrázek 5.6: Syntetické dvojpóly typu (a) 𝐷𝑃 , (b) 𝐷𝑆, (c) 𝐸𝑃 , (d) 𝐸𝑆 [36]

kého prvku. K navyšování řádu prvku 𝐷𝑃 či 𝐸𝑃 dochází i v případě, kdy admitance 𝑌W v (5.15) je nahrazena transformačním článkem dle (5.17). Podobně při návrhu sériové kombinace elementárních dvojpólů, tj. prvků 𝐷𝑆 či 𝐸𝑆,

140


ZVST

YE1

Transformační článek A


YE2

YEN


Y


Y

Transformační článek B

Y

(a)

ZVST

YE1


YE2


YEN

(b)

ZVST

Transformační článek B

Transformační článek B (c)

Obrázek 5.7: Obecný pohled na realizaci syntetických prvků vyšších řádů (a), (b) s nutností, (c) bez nutnosti použít vnější admitance Y𝐸 vstupní impedance transformačního článku v obecném tvaru musí být [33]: 𝑍VST =

𝑌U 1 + , 𝑌V 𝑌W 𝑌V

(5.16)

𝑌V 𝑌W . 𝑌U + 𝑌W

(5.17)

tj. pro vstupní admitanci platí: 𝑌VST =

Řád syntetického prvku lze navyšovat opakovanou náhradou admitance 𝑌U transformačním článkem se vstupní admitancí (5.15). Možným řešením je nahrazení admitance 𝑌W transformačním článkem se vstupní admitancí dle (5.17).

5.3

Syntéza filtrů pomocí grafů signálových toků

Grafy signálových toků se používají v mnoha různých technických oblastech. Původně byly navrženy Masonem v roce 1953 pro popis a řešení lineárních obvodů. Později se objevily zobecněné Coatesovy grafy. Jejich základní popis je uveden v [37]. Grafy signálových toků tvoří základ teorie obvodů a jsou běžně používány v dalších oblastech jako automatické řízení nebo datová komunikace. Graf je reprezentován jako soustava bodů a úseček nazývaných jako uzly a větve. Každý konec větve je připojen k uzlu. Oba konce větve mohou být připojeny ke stejnému uzlu. Graf signálových toků je diagram, který znázorňuje vzájemný vztah mezi proměnnými. Tyto proměnné jsou reprezentovány uzly grafu a větve definují jejich vzájemný vztah.


141

Použití grafů signálových toků v teorii lineárních obvodů představuje snadný způsob výpočtu přenosových funkcí i relativně složitých obvodů. Pro analýzu struktur jsou v oboru elektroniky nejčastěji využívány smíšené tzv. Masonovy-Coatesovy (M-C) grafy [34]. Na základě pravidla pro analýzu obvodů využitím M-C grafů je možné tuto metodu použít i pro přímý návrh lineárních funkčních bloků s požadovaným tvarem přenosové funkce. Přenosovou funkci grafu signálových toků je možné vyjádřit vztahem, označovaným také jako Masonovo pravidlo [37]: 𝐾=

1 ∑︁ 𝑌 = 𝑃𝑖 Δ𝑖 , 𝑋 Δ 𝑖

(5.18)

kde 𝑃𝑖 je přenos 𝑖-té přímé cesty ze vstupního uzlu 𝑋 do výstupního uzlu 𝑌 , Δ𝑖 je determinant části grafu, které se 𝑖-tá přímá cesta nedotýká a Δ je determinant celého grafu, pro který platí: Δ=𝑉 −

∑︁ (𝑘) (𝑘)

𝑆1 𝑉1

+

∑︁ (𝑙) (𝑙)

𝑆2 𝑉2 −

(𝑘)

Zde 𝑉 je součin vlastních smyček, 𝑆1

𝑆3 𝑉3

nedotýkajících se smyček a

(5.19)

(𝑘)

je součin všech

je přenos 𝑘-té smyčky a 𝑉1

vlastních smyček uzlů, kterých se 𝑘-tá smyčka nedotýká, (𝑙) 𝑉2

+ ....

𝑚

𝑙

𝑘

∑︁ (𝑚) (𝑚)

(𝑙) 𝑆2

je součin přenosů dvou

je součin všech vlastních smyček uzlů, kterých se 𝑙-tá

smyčka nedotýká. Pokud se smyčka nebo 𝑖-tá přímá cesta dotýká všech uzlů, pak součin 𝑉 resp. Δ𝑖 je identicky roven jedné. Při návrhu kmitočtového filtru je rozhodující tvar jmenovatele přenosové funkce, tj. determinant grafu Δ (5.19), jehož tvar do podstatné míry určuje chování analyzovaného či navrhovaného obvodu. Je-li navrhován filtr 𝑛-tého řádu, jmenovatel přenosové funkce se musí skládat alespoň z 𝑛+1 členů s mocninami 0 až 𝑛 Laplaceova operátoru p, přičemž z důvodu stability by všechny měly být kladné. Z důvodu snadné realizovatelnosti a numerického návrhu pasivních prvků je pak vhodné počet členů jmenovatele minimalizovat. Na základě této skutečnosti a znalosti pravidla výpočtu determinantu grafu (5.19) lze definovat podmínky kladené na navrhovaný graf. V [33] jsou uvedeny požadavky na graf signálových toků, které musí být splněny v případě návrhu kmitočtového filtru 2. řádu: • v grafu existuje jediná orientovaná smyčka a dva napěťové uzly, kdy k jednomu či oběma jsou připojeny dva a více pasivních prvků, • v grafu existují dvě vzájemně se dotýkající se orientované smyčky a dva napěťové uzly, ke kterým je připojena jedna admitance. Výhodou metody využívající grafy je skutečnost, že do podmínky zajišťující dostatečný počet členů determinantu lze zahrnout i požadavky na konkrétní tvar jmenovatele přenosové funkce. Tím se rozumí, zda je vyžadováno řídit činitel jakosti 𝑄 filtru nezávisle na charakteristickém kmitočtu 𝑓0 , či vzájemně nezávislé řízení parametrů 𝑄 a 𝑓0 .

142


Postačuje-li měnit pouze činitel jakosti filtru, pak determinant grafu musí mít tvar: Δ = p 2 𝐶1 𝐶2 + p𝐶1 𝐺3 + 𝐺1 𝐺2 ,

(5.20)

Δ = p 2 𝐶1 𝐶2 𝐺3 + p𝐶1 𝐺1 𝐺2 + 𝐺1 𝐺2 𝐺3 .

(5.21)

nebo Analýzou výrazů (5.20) a (5.21) lze dokázat, že činitel jakosti filtru 𝑄 bude možné řídit změnou vodivosti 𝐺3 . Je-li vyžadována vzájemně nezávislá změna parametrů 𝑄 a 𝑓0 , pak determinant grafu obecně musí splňovat tvar: Δ = p 2 𝐶1 𝐶2 𝐺5 + p𝐶1 𝐺1 𝐺2 + 𝐺2 𝐺3 𝐺4 .

(5.22)

V tomto případě činitel jakosti filtru lze měnit vodivostí 𝐺1 a hodnotu charakteristického kmitočtu 𝑓0 vodivostmi 𝐺2 a 𝐺3 , přičemž musí platit 𝐺2 = 𝐺3 . Bude-li platit 𝐺4 = 𝐺5 , pak jejich změnou je možně řídit hodnotu činitele jakosti. Takto lze definovat další obecný tvar determinantu, který respektuje podmínku minimálního počtu pasivních prvků: Δ = p 2 𝐶1 𝐶2 𝐺4 + p𝐶1 𝐺1 𝐺2 + 𝐺2 𝐺3 𝐺4 .

(5.23)

Pro návrh kmitočtového filtru dle (5.21)–(5.23) byly definovány následující podmínky [33]: • v grafu existují dvě vzájemně se dotýkající orientované smyčky a tři napěťové uzly, ke kterým je připojena jedna admitance, • v grafu existuje jeden vysokoimpedanční uzel a tři vzájemně se dotýkající orientované smyčky, které tímto uzlem prochází. Výrazy (5.20)–(5.23) předpokládají změnu parametrů filtru pomocí externích pasivních prvků. V [33] jsou prezentovány i obecné tvary determinantů grafu, kdy 𝑄 anebo 𝑓0 jsou řízeny proudovými či napěťovými přenosy aktivních prvků. Samozřejmou podmínkou metody využívající grafy signálových toků je nutná znalost M-C grafu používaného aktivního prvku. V této oblasti byla pozornost věnována zejména proudovým a napěťovým konvejorům, a prvku CFTA (Current Follower Transconductance Amplifier). Bližší popis syntézy lineárních funkčních bloků na základě grafů může zájemce najít např. v [38]–[42].


143

Reference [1] HÁJEK, K., SEDLÁČEK, J.: Kmitočtové filtry, Technická literatura BEN, 2002, ISBN: 80-7300-023-7. [2] TIETZE, U., SCHENK, C., GAMM, E.: Electronic Circuits - handbook for design and applications, Springer, 2nd edition, 2008, ISBN: 978-3-540-00429-5. [3] FILKA, M. a kol.: Diplomní semináře - telekomunikace, VUT v Brně, 1989, ISBN: 80-214-1020-5. [4] DOSTÁL, T.: Elektrické filtry, VUT v Brně, 1995. [5] JUNG, W. G.: Op amp applications, Analog Devices, 2002. [6] Elektronkový

Operační

zesilovač

K2-W,

dostupné

online:

http://www.philbrickarchive.org/k2-w_refurbished.pdf, cit.: [2014-07-05]. [7] FOIT, J., HUDEC, L.: Základy elektroniky, ČVUT, 2009. [8] PUNČOCHÁŘ, J.: Operační zesilovače v elektronice, BEN technická literatura, 2002. [9] DOSTÁL, J.: Operační zesilovače, BEN technická literatura, 2005. [10] SMITH, K. C.; SEDRA, A. The Current Conveyor: a New Circuit Building Block, IEEE Proc., 1968, Vol. 56, pp. 1368-1369. [11] SEDRA, A., SMITH, K. C. A second-generation current conveyor and its application. IEEE Trans. Circuit Theory, 1970, Vol. 17, pp. 132-134. [12] SEDRA, A., SMITH, K. C. Realization of the Chua family of new nonlinear network elements using the current conveyor, IEEE Trans. Circuit Theory, 1970, Vol. 17, pp. 137-139. [13] NAQSHBENDI, S. F. H., SHARMA, R.S. High input impedance current conveyor filters, Int. J. Electronics, 1983, Vol. 55, No. 3, pp. 499-500. [14] HOU, C., WU, Y., LIU, S. New configuration for single-CCII first-order and biquadratic current-mode filters, Int. J. Electronics, 1991, Vol. 71, No. 4, pp. 637-644. [15] VRBA, K., CAJKA, J., ZEMAN, V. New RC-Active Network Using Current Conveyors, Radioengineering, 1997, Vol. 6, No. 2, pp. 18-21. [16] CICEKOGLU, M. O. Active simulation of grounded inductors with CCII+s and grouded passive elements, Int. J. Electronics, 1998, Vol. 85, No. 4, pp. 455-462.

144


[17] SAGBAS, M., FIDANBOYLU, K., BAYRAM, M. C. Triple-input Single-output Voltage-mode Multifunction Filter Using Only Two Current Conveyors, Trans. Engineering, Computing and Technology, 2005, Vol. 4, pp. 105-108. [18] FABRE, A. Third-generation current conveyor: a new helpful active element. Electronics Letters, 1995, Vol. 31, No. 5, pp. 338-339. [19] SURAKAMPONTORN, W., KUMWATCHARA, K. CMOS - based electronically tunable current conveyor, Electronics Letters, 1992, Vol. 28, pp. 1316-1317. [20] FABRE, A., SAAID, O., WIEST, F., BOUCERON, C. Current coltrolled bandpass filter based on translinear conveyors, Int. J. Electronics, 1995, Vol. 31, No. 20, pp. 1727-1728. [21] CHIU, W., LIU, S. I. CMOS differential difference current conveyors and their applications, IEE Proc.-Circuit Devices Syst., 1996, Vol. 143, No.2, pp.91-96. [22] TEMIZYUREK, C.; MYDERRIZI, I. A novel current-mode universal filter implemented with DVCCs, In Proc. 24th Int. Conf. Microelectronics, 2004, Vol. 2, pp. 581-584. [23] BECVAR, D., VRBA, K. Univerzální proudový konvejor (Universal Current Conveyor), Elektrorevue - Internet Journal (http://www.elektrorevue.cz), 2000, No. 7. ISSN 1213-1539. [24] KOTON, J., VRBA. K.: Zobecněné metody návrhu kmitočtových filtrů, Elektrorevue - Internet Journal (http://www.elektrorevue.cz), 2008, No. 28., pp. 26-1–26-17 [25] DOSTAL, T., POSPISIL, J. Current and voltage conveyors - a family of three port immittance converters. in Proc. Int. Symposium on Circuits and Systems ISCAS, Roma, 1982, pp. 419-422. [26] ACAR, C., OZOGUZ, S. A new versatile building block: current differencing buffered amplifier suitable for analog signal-processing filters, Microelectronics Journal, 1999, Vol. 30, pp. 157-160. [27] VRBA,

K.,

CAJKA,

J.

On

Voltage

Conveyors,

Internet

Journal:

www.ElectronicsLetters.com, 2003, Vol. 11, No. 1, ISSN 1213-161X. [28] MINARČÍK, M.: Návrh koncepce napěťového konvejoru a jeho aplikační možnosti, disertační práce VUT, 2008.


145

[29] HUELSMAN, L.P.: Active and Passive Analog Filter Design: an introduction, McGraw-Hill, 1993. [30] KOTON, J.; HERENCSÁR, N.; VRBA, K.; CICEKOGLU, O. Kerwin-HuelsmanNewcomb Filters Using DVCCs, ElectroScope - http://www.electroscope.zcu.cz, 2009, Vol. 2009, No. 4, pp. 1-4. ISSN: 1802- 4564. [31] KOTON, J.; VRBA, K.; HERENCSÁR, N. Variable 𝑄 and 𝜔0 Multifunction Filter Using Universal Voltage Conveyors, in Proc. 2009 RISP Int. Workshop on Nonlinear Circuits and Signal Processing, 2009, pp. 597-600. ISBN: 978-4-9902856-1- 6. [32] ROBERTS, G.W., SEDRA, A.S.: All Current-mode Frequency Selective Filters, Electronics Lettres, Vol. 25, No. 12, pp. 759-760, 1989. [33] KOTON, J.; VRBA, K.: Zobecněné metody návrhu kmitočtových filtrů, Elektrorevue - Internet Journal (http://www.elektrorevue.cz), 2008, Vol. 2008, No. 26, pp. 1 ISSN: 1213- 1539. [34] ČAJKA, J., KVASIL, J.: Teorie lineárních obvodů, SNTL Praha, 1979. [35] KOTON, J., VRBA. K.: Návrh kmitočtových filtrů pomocí autonomního obvodu s úplnou sítí admitancí, Elektrorevue - Internet Journal (http://www.elektrorevue.cz), 2005, No. 33, ISSN 1213-1539. [36] ŠPONAR, R.: Syntetické dvojpólové prvky s imitancemi vyšších řádů v kmitočtových filtrech s proudovými konvejory (High-Order Imittance Synthetic One-port Elements in Frequency Filters with Current Conveyors), Elektrorevue - Internet Journal (http://www.elektrorevue.cz), 2004, No. 13, ISSN 1213-1539. [37] CHEN, W.-K.: The Circuits and Filters Handbook, New York, CRC Press, 2003, 2. vydání, ISBN 0-8493-0912-3. [38] KOTON, J., USHAKOV, P.: Designing Frequency Filters Using the Signal- Flow Graph Theory, in Proc. First forum of young researches, Izhevsk, Russian Federation, pp. 297-304, 2008. [39] KOTON, J., VRBA, K., HERENCSAR, N.: On the design of controllable frequency filters, in Proc. Int. Conf. Applied Electronics, Pilsen, Czech Republic, pp. 113-116, 2008. [40] KOTON, J., HERENCSAR, N., VRBA, K.: Frequency Filters Synthesis Based on the Signal- Flow Graphs, in Proc. 16th Telecommunications Forum TELFOR 2008, Belgrade, Serbia, pp. 404-407, 2008.

146


[41] KOTON, J., VRBA, K., HERENCSAR, N.: Tuneable filter using voltage conveyors and current active elements, Int. J. Electronics, Vol. 96, No. 8, pp. 787-794, 2009. [42] HERENCSAR, N., KOTON, J., VRBA, K.: Realization of current-mode KHNequivalent biquad using current follower transconductance amplifiers (CFTAs), IEICE Trans. Fundamentals, Vol. E93-A, No. 10, pp. 1816-1819, 2010.

Filtrační analogové obvody pro integrovanou výuku VUT a VŠB-TUO

Recommend Documents