Zadání úloh finále Astronomické olympiády, kategorie CD, 17. a 18. května 2012, HaP J. Palisy v Ostravě

Astronomická olympiáda 2011/2012 kategorie C-D, finále

Zadání úloh finále Astronomické olympiády, kategorie CD, 17. a 18. května 2012, HaP J. Palisy v Ostravě

1. příklad Kdy se naposledy shodoval počátek nového roku v gregoriánském a Juliánském kalendáři? Kdy taková shoda nastane znovu? Předpokládejte, že počátkem roku je v obou kalendářních systémech vždy 1. leden a kalendáře využívaly a i v budoucnosti budou používat systém přestupných roků tak, jak je pro ně specifické. Pro zjednodušení dále předpokládejte, že Juliánský kalendář má přestupný rok v letech dělitelných beze zbytku čtyřmi a gregoriánský má během každých čtyř století tři přestupné roky vynechány (na koncích století, které nejsou beze zbytku dělitelné 400). V současnosti se oba kalendáře rozcházejí o 13 dnů. Řešení: Gregoriánský kalendář se s Juliánským rozchází o 3 dny za 400 let, gregoriánský má za tuto periodu o 3 dny méně. V současnosti se rozcházejí o 13 dnů. Naposledy to bude 13 dnů v roce 2100, který bude přestupný v Juliánském, ale nepřestupný v gregoriánském, takže po konci února 2100 se rozdíl o jeden den zvýší. Rozdíl 12 dnů naroste za 12.(400/3)=1600 let. Tedy naposledy se začátek roku u obou kalendářů lišil o jeden den v roce 2100 – 1600=500. Rok 400 byl přestupný v obou systémech, znamená to tedy, že rozdíl jednoho dne vznikl v únoru roku 300, protože ten byl přestupný v Juliánském, ale nepřestupný v gregoriánském kalendáři. Naposledy byl shodný začátek roku u obou kalendářů dne 1. ledna 300 našeho letopočtu. V budoucnosti se jejich začátky budou shodovat tehdy, až se budou lišit o jeden celý kalendářní rok. Rozdíl 363 dnů vznikne za 363.(400/3)=48400 let. Takže pokud uvážíme, že poprvé začal nový rok shodně v obou systémech dne 1. ledna 201, pak po 1.lednu 48601 bude poprvé rozdíl 363 dnů, po 1. lednu 48701 pak 364 dnů. Rok 48800 bude přestupný v obou kalendářích, takže ke shodě dojde až po roce 48900. Tento rok bude přestupný jen v Juliánském kalendáři. 1. leden 48900 Juliánského kalendáře bude odpovídat 31. prosinci 48900 kalendáře gregoriánského. Další den začne 48901 rok gregoriánského kalendáře. V únoru tohoto roku bude vložen v Juliánském kalendáři další „přestupný“ den. Takže pak 1. leden 48902 gregoriánského kalendáře odpovídá 1. lednu 48901 Juliánského systému.

Pořadatel

Organizátor Hvězdárna a planetárium Johanna Palisy http://planetarium.vsb.cz/


2. příklad V červenci 1969 přistáli američtí astronauté Neil Armstrong a Edwin Aldrin na Měsíci a celková doba jejich pobytu na měsíčním povrchu činila 21 hodin a 36 minut. Kolikrát se mohli dostat do přímého radiového spojení (bez zapojení pozemního střediska) s třetím členem výpravy, Michaelem Collinsem, který byl v orbitálním modulu? Jaká byla maximální možná délka každého spojení? Předpokládejte, že se orbitální modul pohyboval po kruhové dráze přesně nad místem přistání, kde jeho výška nad povrchem byla 111 kilometrů. Orbitální i librační pohyby Měsíce zcela zanedbejte. Řešení: Situaci si můžeme graficky znázornit, místo přistání je označeno jako O. Poloměr Měsíce označíme jako R a vzdálenost modulu od povrchu Měsíce pak jako h. Vypočteme, jaký je úhel γ , tedy úhlová část dráhy, kdy je modul nad obzorem až v zenitu: R γ = arccos = 20o . Takže přímé spojení R+h s modulem je možné během pohybu modulu po 1/9 orbitální dráhy. Čas jednoho oběhu je roven

3 ( R + h) t = 2π

, kde M je hmotnost G.M Měsíce. Numericky je to pak 1,98 hodiny. Během pobytu na Měsíci (21,6 hodiny) tak modul vykonal 11 oběhů, což je maximální možný počet přímých spojení. Maximální délka každé relace pak byla t/9 = 13,2 minuty.

3. příklad Kulová hvězdokupa má viditelný průměr 18,8´. Její plošný jas (cd/arcsec2) je o 40 % vyšší, než plošný jas okolního pozadí oblohy. Vypočtěte celkovou hvězdnou velikost hvězdokupy, pokud víme, že jasnost jedné úhlové vteřiny čtvereční pozadí odpovídá hvězdné velikosti 21,0 magnitud. Řešení: Kulová hvězdokupa má úhlový průměr 18,8', tedy 999328", zaokrouhleme na 1 000 000". Jasnost jedné úhlové vteřiny čtvereční pozadí je 21 magnitud. Kolik tedy bude jasnost pozadí na ploše odpovídající ploše kulové hvězdokupy? Vycházíme z Pogsonovy rovnice provazující zdánlivou jasnost objektu m (v mag) s jeho zdánlivým jasem I (kandela). Budeme-li předpokládat, že objekt má jasnost 0 mag právě když je jeho zdánlivý jas I0, platí

Pořadatel



m = −2,5 log I/I0 . Z toho vyjádříme jas I jako funkci kalibračního jasu I0 a zdánlivé −

m

jasnosti m: I = 10 2,5 I0 . Přispívá-li do celkové jasnosti objektu více objektů, sčítají se jejich jasy I. Pokud jsou všechny objekty stejně jasné (s jasem I) a je jich n, pak je celkový jas IC = n.I . To bude platit například pro výpočet celkové jasnosti plošného objektu při znalosti jasnosti referenční plochy, tedy např. jedné úhlové vteřiny, jak je v zadání. Potom je celková kombinovaná jasnost mc rovna I nI mC = −2,5 log C = −2,5 log = −2,5 log n + m I0 I0 V zadání je dále uvedeno, že plošný jas hvězdokupy je 1,4 jasu pozadí, pak je celková nqI = −2,5(log n + log q) + m , kde q je jasnost hvězdokupy rovna mC = −2,5 log I0 zmíněný poměr jasu hvězdokupy a pozadí (tedy q=1,4). Po dosazení pak vychází celková jasnost hvězdokupy 5,6 magnitud.

4. příklad U hypotetické hvězdy spektrální třídy G2 V byla změřena roční paralaxa π = 0,004′′ . Předpokládejte, že kolem ní obíhá planeta s oběžnou dobou T = 64 roků. Ověřte, zda lze rozlišit od sebe tělesa při sledování dalekohledem o průměru 10 metrů na vlnové délce λ = 510 nm. Problémy plynoucí z rozdílné jasnosti obou objektů v tomto případě zanedbejte. Řešení: Vzdálenost hvězdy je r = 1 / π = 250 pc. Při stejné spektrální třídě jako Slunce můžeme předpokládat obdobnou hmotnost. Dále určíme velikost velké poloosy 2

dráhy planety a = T 3 = 16 AU. Ze vzdálenosti 1 pc bychom pozorovali velkou poloosu dráhy 16 AU pod úhlem 16′′ , tedy ze vzdálenosti 250 pc pod úhlem 0,06′′ . Rozlišovací schopnost dalekohledu je Θ = 1,22λ / D = 0,01′′ , planetu tímto dalekohledem můžeme pozorovat.

5. příklad Pozorovatelka ze skupiny Eridanus, která působí na ostravské hvězdárně, prováděla cvičná astrometrická měření a zjistila, že při CCD pozorování z tzv. východní kopule, je zenitová vzdálenost severního světového pólu z = 40° 10′. a) vypočtěte zeměpisnou šířku φ ostravské „východní kopule“ b) vypočtěte pro toto pozorovací stanoviště výšku Slunce nad horizontem v horní kulminaci v okamžicích „rovnodennosti“, letního a zimního slunovratu.

Pořadatel



Řešení: a) V soustavě horizontálních souřadnic platí vztah h + z = 90o , kde h je výška nad obzorem a z je zenitová vzdálenost, pak také ϕ = 90o − 40o10′ = 49o50′ b) V okamžiku rovnodennosti bude výška Slunce v horní kulminaci h = 40o10′ , v okamžicích slunovratů se k této hodnotě přičte nebo odečte úhel mezi rovinou světového rovníku a rovinou ekliptiky ε = 23o27′ , pak dostaneme hodnoty hLS = 63o37′ a hZS = 16o43′

6. příklad (teorie) Proměnná hvězda, cefeida, se nachází na obloze přesně v rovině ekliptiky. V průběhu roku se vzhledem ke vzdáleným hvězdám pohybuje přesně podél ekliptiky v intervalu o velikosti 0,0020 úhlové vteřiny. V okamžiku opozice se Sluncem se cefeida nachází přesně uprostřed tohoto intervalu. Dále je známo, že je složkou dvojhvězdy s kruhovými oběžnými drahami a periodou 1 rok. Vypočítejte hmotnost druhé složky dvojhvězdy, pokud víte, že má menší hmotnost než cefeida (její hmotnost je 5 hmotností Slunce). K řešení využijte i tyto diagramy. Pohyb soustavy jako celku i mezihvězdnou extinkci můžete zanedbat. Řešení: Interval, ve kterém se hvězda pohybuje v rovině ekliptiky má vlastnosti paralaktického pohybu. Pak tedy hodnota roční paralaxy π 1 = 0,0010′′ . Vzdálenost však můžeme určit také metodou „fotometrické paralaxy“. Ze světelné křivky lze odečíst střední hvězdnou velikost cefeidy m = 5,7 mag a také periodu P = 5 dnů. Perioda světelných změn je u cefeid závislá na jejich absolutní hvězdné velikosti M . Z diagramu této závislosti odečteme hodnotu M = 3,4 mag a po dosazení do vztahu lg π 2 = 0,2(M − m) − 1 vypočteme fotometrickou paralaxu π 2 = 0,0015′′ , což je o 50% vyšší hodnota než je trigonometrická paralaxa. Protože mezihvězdnou extinkci můžeme zanedbat, můžeme udělat závěr, že skutečná vzdálenost odpovídá údaji zjištěnému z fotometrické paralaxy (670 pc) a roční paralaxa je „rušena“ pohybem druhé složky s periodou také 1 rok. Potřebujeme vypočítat velikost „rušivého“ pohybu. Protože vliv druhé složky nezpůsobuje žádný pohyb kolmo na ekliptiku, lze usoudit, že rovina jejího oběhu také leží v rovině ekliptiky. Navíc, pokud je nulová hodnota roční paralaxy, je nulová i složka orbitálního pohybu, z čehož lze usoudit, že orbitální pohyb má shodný směr s paralaktickým nebo přesně opačný (rozdíl fází je buď 0 nebo 180 stupňů). Označme jako α polovinu intervalu odpovídajícího orbitálnímu

Pořadatel



pohybu, pak lze oba případy popsat jako π 2 − α 1 = π 1 a π 2 − α 2 = −π 1 , takže α 2,1= π 2 ± π 1 , tedy 0,0005′′ nebo 0,0025′′ . Protože známe vzdálenost soustavy, lze dopočítat poloměr dráhy aC = 0,3 AU nebo 1,7 AU.

Pro poloměry drah dvou složek dvojhvězdy platí

ac Mc = , kde Mc a Mx jsou ax Mx

⎛ M ⎞ hmotnosti těchto složek. Vzdálenost mezi složkami je pak a = ax + ac = ac ⎜⎜ 1 + c ⎟⎟ . ⎝ Mx ⎠ Pokud hmotnosti vyjádříme v hmotnostech Slunce, velkou poloosu v AU a periodu oběhu v rocích (je rovna 1), lze napsat 3. Keplerův zákon v tomto tvaru: (M + Mc )1 3 , ze zadání víme, že hmotnost druhé složky je a3 = Mx + Mc a pak ac = x M 1+ c Mx

Mx (Mc ) Mc

13

menší než hmotnost cefeidy, takže můžeme vztah upravit ac =

a tedy

Mx = acMc2 3 . Po dosazení dvou možných hodnot velikosti poloosy, dostaneme hmotnost 1 a 5 hmotností Slunce. Druhá hodnota je vyloučena zněním zadání, hmotnost druhé složky je tedy rovna hmotnosti Slunce a skutečnosti odpovídá pouze první situace znázorněná na obrázku.

7. příklad (analýza dat) Tabulka obsahuje údaje o jasnostech naměřených fotoelektrickým fotometrem ve fotometrických filtrech B a V pro 24 hvězd otevřené hvězdokupy Plejády. a) proveďte spektrální klasifikaci hvězd podle jejich barevného indexu a uvedené tabulky spektrálních tříd b) sestavte tzv. barevný diagram pro uvedené hvězdy (je to jedna z variant HR diagramu) c) identifikujte mezi hvězdami ty, ve kterých již neprobíhá jaderné hoření vodíku v centrální části hvězdy d) na základě analýzy barevných indexů těchto hvězd vypočítejte vzdálenost této otevřené hvězdokupy od Země v parsecích i ve světelných letech, hvězdy identifikované v části c) ze souboru vylučte Pořadatel



Naměřené hodnoty Hvězda B V 1 13,30 12,51 2 4,20 4,31 3 8,95 8,60 4 10,25 9,70 5 13,06 12,05 6 15,36 14,39 7 8,47 8,11 8 13,01 12,02 9 11,16 10,53 10 6,82 6,80 11 9,94 9,46 12 13,77 12,61 13 2,78 2,87 14 8,95 7,72 15 16,95 16,48 16 9,95 8,80 17 8,16 6,46 18 5,38 5,44 19 10,58 10,02 20 7,07 6,95 21 12,12 11,35 22 16,90 15,76 23 9,34 9,17 24 7,55 7,42

B-V

sp. klas.

absolutní index spektrální typ hvězdná B - V velikost -5,8 -0,35 O5 -4,1 -0,31 B0 -1,1 -0,16 B5 -0,7 0 A0 2 0,13 A5 2,6 0,27 F0 3,4 0,42 F5 4,4 0,58 G0 5,1 0,7 G5 5,9 0,89 K0 7,3 1,18 K5 Pořadatel



9 11,8 16

1,45 1,63 1,8

M0 M5 M8

Řešení: a) Naměřené hodnoty Hvězda B V 1 13,30 12,51 2 4,20 4,31 3 8,95 8,60 4 10,25 9,70 5 13,06 12,05 6 15,36 14,39 7 8,47 8,11 8 13,01 12,02 9 11,16 10,53 10 6,82 6,80 11 9,94 9,46 12 13,77 12,61 13 2,78 2,87 14 8,95 7,72 15 16,95 16,48 16 9,95 8,80 17 8,16 6,46 18 5,38 5,44 19 10,58 10,02 20 7,07 6,95 21 12,12 11,35 22 16,90 15,76 23 9,34 9,17 24 7,55 7,42

Pořadatel

B-V 0,79 -0,11 0,35 0,55 1,01 0,97 0,36 0,99 0,63 0,02 0,48 1,16 -0,09 1,23 0,47 1,15 1,70 -0,06 0,56 0,12 0,77 1,14 0,17 0,13

sp. klas. G5 B5 F5 G0 K0 K0 F5 K0 G0 A0 F5 K5 B5 K5 F5 K5 M5 A0 G0 A5 G5 K5 A5 A5



b)

B-V(mag) -0,5 -8

0

0,5

1

1,5

2

-3

2

V(mag)

Absolutní Instrumentální 7

12

17

c) červené body v zeleném a oranžovém oválu představují hvězdy, které nejsou na hlavní posloupnosti d) proložením přímek modrými a červenými body v barevném diagramu určíme modul vzdálenosti na cca 5,5 (lze tolerovat hodnoty od 5,0 do 6,0), z toho ⎛ m −M ⎞ +1⎟ ⎜ 5 ⎠

pak vypočteme vzdálenost Plejád v parsecích r = 10⎝ pc tedy 410 ly.

, numericky pak 126

8. praktický úkol v planetáriu specifické zadání zaměřené na orientaci na obloze

(příklad 1 je podle E. N. Fadějeva, příklad 2 podle O. S. Ugolnikova, příklad 3 podle A. M. Tatarnikova, příklad 4 je převzatý z publikace „Úlohy z astrofyziky“, Vladimír Štefl, Daniela Korčáková, Jiří Krtička, Brno 2010, příklad 6 je podle A. A. Tatarnikovové a příklad 7 vychází ze zadání interaktivního modulu CLEA, kompilaci provedl Tomáš Gráf, praktickou úlohu připravil Jan Kožuško, příklady nezávisle recenzovali Miroslav Randa a Michal Švanda)

Pořadatel


Zadání úloh finále Astronomické olympiády, kategorie CD, 17. a 18. května 2012, HaP J. Palisy v Ostravě

Recommend Documents