Plošné integrály – příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny x + y + z = 1, která leží v prvním oktantu x > 0, y > 0, z > 0. Řešení: Souřadnice těžiště xT , yT a zT homogenní plochy S lze určit pomocí plošných integrálů prvního druhu ZZ ZZ ZZ ZZ 1 1 1 xT = x dS , yT = y dS , zT = z dS , kde S = dS S S S S S S S je obsah plochy S. Abychom našli příslušné plošné integrály, nejprve napíšeme parametrické rovnice dané plochy. Jestliže za parametry zvolíme souřadnice x a y, lze psát x = x,
y = y,
z = 1−x−y,
(x, y) ∈ Ω ⊂ R2 ,
kde množina Ω je dána nerovnostmi x > 0,
y > 0,
1 − x − y > 0.
Ještě musíme v této parametrizaci najít element plochy dS. Postupně dostaneme √ tx = (1, 0, −1) , ty = (0, 1, −1) , n = tx × ty = (1, 1, 1) , n = 3 . Tedy pro souřadnice těžiště platí ZZ √ ZZ √ 1 1 xT = x 3 dx dy , yT = y 3 dx dy , S S Ω ZΩZ √ 3 dx dy . kde S =
1 zT = S
ZZ
√ (1 − x − y) 3 dx dy , Ω
Ω
Ještě musíme najít dvojné integrály přes množinu Ω. Jestliže zapíšeme nerovnosti, které popisují množinu Ω ve tvaru 0 < y < 1 − x,
x > 0 =⇒ 0 < 1 − x ,
x > 0 =⇒ 0 < x < 1 ,
plyne z Fubiniovy věty S=
ZZ √ Ω
ZZ √
3 dx dy =
√ Z 3
√ Z 3x dx dy = 3
Ω
ZZ √ √ Z 3y dx dy = 3 ZZ √ Ω
Ω
√ Z 3(1 − x − y) dx dy = 3
1
√ √ Z 1 3 3 (1 − x) dx = , 2 0 0 √ Z 1−x √ Z 1 3 dx x dy = 3 x(1 − x) dx = , 6 0 √ Z0 1 √ Z 1−x 3 3 dx y dy = (1 − x)2 dx = , 2 0 6 0 √ √ Z Z 1−x 3 1 3 2 (1 − x) dx = . dx (1 − x − y) dy = 2 0 6 0 Z
1−x
dx 0 1 0 1 0 1 0
dy =
A tedy souřadnice těžiště dané plochy jsou xT = yT = zT =
1 . 3
ZZ
1 dS, kde S je hranice čtyřstěnu ohraničeného rovinou x + y + z = 1 a (1 + x + y)2 S souřadnicovými rovinami.
Spočtěte
Typeset by AMS-TEX 1
Řešení: Plocha S je sjednocení čtyř rovin S1 , S2 , S3 , S4 , kde S1 :
x = 0, y > 0, z > 0, y + z < 1,
S2 : y = 0 , x > 0 , z > 0 , x + z < 1 ,
S3 :
z = 0, x > 0, y > 0, x + y < 1,
S4 : z = 1 − x − y , x > 0 , z > 0 , x + y < 1 ,
a hran čtyřstěnu. Protože hrany čtyřstěnu mají míru nula, lze daný integrál můžeme tedy počítat jako ZZ ZZ ZZ ZZ ZZ dS dS dS dS dS = + + + . 2 2 2 2 2 S1 (1 + x + y) S2 (1 + x + y) S3 (1 + x + y) S4 (1 + x + y) S (1 + x + y) Parametrizace jednotlivých ploch jsou S1 : S2 : S3 : S4 :
(y, z) ∈ Ω1 = y > 0 , y = 0, (x, z) ∈ Ω2 = x > 0 , z = 0, (x, y) ∈ Ω3 = x > 0 , z = 1 − x − y , (x, y) ∈ Ω4 = x > 0 ,
x = 0,
z > 0, y + z < 1 ; z > 0, x + z < 1 ; y > 0, x + y < 1 ; y > 0, x + y < 1 ;
dS = dy dz , dS = dx dz , dS = dx dy , √ dS = 3 dx dy ,
kde jsme element plochy dS s parametrickými rovnicemi z = z(x, y) počítali podle vztahu s
1+
dS =
∂z ∂x
2
+
∂z ∂y
2 dx dy ,
resp. z analogických vztahů pro plochy dané rovnicí x = x(y, z) nebo y = y(x, z). Z toho dostaneme ZZ S
dS = (1 + x + y)2
ZZ Ω1
dy dz + (1 + y)2
ZZ
dx dz + (1 + x)2
Ω2
ZZ Ω3
dx dy + (1 + x + y)2
√
ZZ Ω4
3 dx dy . (1 + x + y)2
Dvojné integrály snadno nalezneme podle Fubiniovy věty, když napíšeme nerovnosti ve tvaru x > 0,
y > 0,
x + y < 1 =⇒ 0 < y < 1 − x ,
0 < x < 1.
Když ještě sloučíme první a druhý a třetí a čtvrtý integrál, dostaneme ZZ S
Z 1−z Z 1−x √ Z 1 dy dy dz + 1 + 3 dx = 2 (1 + y) (1 + x + y)2 0 0 0 0 Z 1 √ Z 1 1 1 1 =2 1− dz + 1 + 3 − dx = 2−z 1+x 2 0 0 √ √ √ 3−1 3 + ln 4 . = 2 1 − ln 2 + 1 + 3 · ln 2 − 21 = 12
dS =2 (1 + x + y)2
Z
1
Určete obsah plochy S = (x, y, z) ∈ R3 ; x2 + y 2 = 2z ; 0 < z < 2 . Řešení: Protože je plocha dána rovnicí z=
1 2
x2 + y 2 ,
0
1 2
x2 + y 2 < 2 =⇒ 0 < x2 + y 2 < 4 ,
lze počítat element plochy ze vztahu s dS =
1+
∂z ∂x
2
+
∂z ∂y
2 dx dy = 2
p 1 + x2 + y 2 dx dy
a výpočet plochy převést na dvojný integrál ZZ ZZ p S= dS = 1 + x2 + y 2 dx dy , S 2
2
Ω 2
kde Ω ⊂ R je dána nerovností x + y < 4. Protože je Ω kruh se středem v počátku a poloměrem 2, je při výpočtu dvojného integrálu použít polární souřadnice x = r cos ϕ ,
y = r sin ϕ ,
r > 0,
0 < ϕ < 2π ;
J = r.
Z rovnice, která definuje množinu Ω plyne x2 + y 2 < 4 =⇒ 0 < r < 2 ,
0 < ϕ < 2π .
Podle věty o substituci a Fubiniovy věty pak dostaneme Z 2 p Z 2 Z 2π p h √ 3/2 i2 2 2 = π 5 5−1 . S= dr r 1 + r dϕ = 2π r 1 + r2 dr = 2π 13 1 + r2 3 0 0 0 0 Určete obsah plochy S = (x, y, z) ∈ R3 ; x2 + y 2 + z 2 = R2 , x2 + y 2 < Rx , z > 0 . Řešení: Jestliže se rozhodneme počítat obsah plochy S plošným integrálem prvního druhu, musíme najít nějaké její parametrické rovnice. Protože je z > 0, lze z rovnice, která definuje plochu vypočítat z = z(x, y) a za parametry zvolit x a y. Pak je p z = R2 − x2 − y 2 , (x, y) ∈ Ω = x2 + y 2 < Rx , x2 + y 2 ≤ R2 . Při této volbě parametrických rovnic je s 2 2 ∂z ∂z R dx dy dS = 1 + + dx dy = p . ∂x ∂y R2 − x2 − y 2 Obsah plochy S tedy je
ZZ
ZZ
S=
R dx dy
p
dS = S
R2 − x2 − y 2
Ω
,
kde množina Ω ⊂ R2 je dána nerovnostmi x2 + y 2 < Rx ,
x2 + y 2 ≤ R 2 .
(1)
Abychom našli dvojný integrál přes množinu Ω, je výhodné zavést polární souřadnice x = r cos ϕ ,
y = r sin ϕ ,
r > 0,
−π < ϕ < π ;
J = r.
V těchto souřadnicích dostaneme z rovnic (1) x2 + y 2 < Rx ,
x2 + y 2 ≤ R2 =⇒ 0 < r < R cos ϕ ,
cos ϕ > 0 =⇒ − 12 π ≤ ϕ ≤
1 2
π.
Podle věty o substituci a Fubiniovy věty proto platí Z
Z
π/2
S=
dϕ −π/2
Z
= 2R2
0 π/2
R cos ϕ
Rr dr √ = R2 − r 2
Z
π/2
h −R
p
R2
−π/2
(1 − sin ϕ) dϕ = π − 2 R2 .
0
3
−
r2
iR cos ϕ 0
Z
π/2
= −π/2
R2 1 − sin ϕ dϕ =
ZZ (x2 + y 2 ) dS, kde S je hranice tělesa
Vypočtěte plošný integrál
p
x2 + y 2 ≤ z ≤ 1.
S
Řešení: Plocha S je až na množinu nulové dvourozměrné míry rovna sjednocení S = S1 ∪ S2 , kde p
S1 : Proto platí
x2 + y 2 = z ,
ZZ 2
x +y
2
z < 1;
S2 :
ZZ 2
dS =
x +y
S
2
p
x2 + y 2 ≤ 1 .
z = 1, ZZ
x2 + y 2 dS .
dS +
S1
S2
Obě plochy můžeme parametrizovat jako graf funkce z = z(x, y) s parametry a a y: p x2 + y 2 ,
S1 :
z=
S2 :
z = 1,
(x, y) ∈ Ω1 = x2 + y 2 < 1 ; (x, y) ∈ Ω2 = x2 + y 2 < 1 ;
dS =
√
2 dx dy ,
dS = dx dy ,
kde jsme element plochy dS počítali ze vztahu s dS =
1+
∂z ∂x
2
+
∂z ∂y
2 dx dy .
Protože Ω1 = Ω2 a výraz x2 + y 2 je na obou plochách stejný, převedli jsme daný plošný integrál na dvojný integrál ZZ
√ x2 + y 2 dS = 2
ZZ
S
x2 + y 2 dx dy +
ZZ
Ω1
ZZ √ x2 + y 2 dx dy = 2+1 Ω2
x2 + y 2 dx dy . Ω1
Tento dvojný integrál snadno nalezneme v polárních souřadnicích x = r cos ϕ ,
y = r sin ϕ ,
r > 0,
0 < ϕ < 2π ;
J = r.
Protože v polárních souřadnicích je množina Ω dána nerovností 0 < r < 1, dostaneme podle věty o substituci a Fubiniovy věty ZZ 2
x +y
2
dS =
√
2+1
Z 0
√
2π
dr
S
ZZ
Z
1
3
r dϕ = 0
2+1 π. 2
|xy| dS, kde S = (x, y, z) ∈ R3 ; z = x2 + y 2 , 0 < z < 2 .
Spočtěte S
Řešení: Protože máme plochu vyjádřenou jako graf funkce z = z(x, y), vezmeme za parametry proměnné x a y a za parametrickou rovnici plochy budeme považovat funkci s 2
2
z =x +y ,
2
2
0 < x + y < 2;
dS =
1+
∂z ∂x
2
+
∂z ∂y
2 dx dy =
Takto můžeme daný plošný integrál vyjádřit jako dvojný integrál ZZ S
xy dS =
ZZ
p xy 1 + 4x2 + 4y 2 dx dy , Ω
4
p
1 + 4x2 + 4y 2 dx dy
kde Ω ⊂ R2 je dána nerovností x2 +y 2 < 2. Ve dvojném integrálu se nabízí zavést polární souřadnice x = r cos ϕ ,
J = r. √ Nerovnost, která definuje plochu Ω, má v polárních souřadnicích tvar r < 2, a proto je podle věty o substituci a Fubiniovy věty ZZ
xy dS =
√ 2
Z
Z
2π
dr
S
0
h =4
y = r sin ϕ ,
r > 0,
0 < ϕ < 2π ;
p r3 cos ϕ sin ϕ 1 + 4r2 dϕ = 4
Z
0
1 2
iπ/2 1 Z 9 √ 149 sin ϕ · , (t − 1) t dt = 32 1 30 0
2
cos ϕ sin ϕ dϕ · 0
2
√
Z
π/2
r3
p
1 + 4r2 dr =
0
(možná)
kde jsme při integraci použili substituci 1 + 4r2 = t. RR Spočtěte moment setrvačnosti Jz = S x2 + y 2 dS plochy S vzhledem k ose z, je-li plocha S 3 2 2 2 hranicí tělesa V = (x, y, z) ∈ R ; x + y < z , 0 < z < 1 . Řešení: Plocha S je až na množinu nulové dvourozměrné míry rovna sjednocení S = S1 ∪ S2 , kde x2 + y 2 = z 2 ,
S1 : Proto platí
ZZ 2
Jz =
x +y
2
0 < z < 1;
S2 :
ZZ 2
dS =
S
x +y
2
x2 + y 2 ≤ 1 .
z = 1, ZZ
x2 + y 2 dS .
dS +
S1
S2
Obě plochy můžeme parametrizovat jako graf funkce z = z(x, y) s parametry a a y: p
S1 :
z=
S2 :
z = 1,
x2 + y 2 ,
(x, y) ∈ Ω1 = x2 + y 2 < 1 ; (x, y) ∈ Ω2 = x2 + y 2 < 1 ;
dS =
√
2 dx dy ,
dS = dx dy ,
kde jsme element plochy dS počítali ze vztahu s 2 2 ∂z ∂z dS = 1 + + dx dy . ∂x ∂y Protože Ω1 = Ω2 a výraz x2 + y 2 je na obou plochách stejný, převedli jsme daný plošný integrál na dvojný integrál ZZ ZZ √ ZZ √ Jz = 2 x2 + y 2 dx dy + x2 + y 2 dx dy = 2+1 x2 + y 2 dx dy . Ω1
Ω2
Ω1
Tento dvojný integrál snadno nalezneme v polárních souřadnicích x = r cos ϕ ,
y = r sin ϕ ,
r > 0,
0 < ϕ < 2π ;
J = r.
Protože v polárních souřadnicích je množina Ω dána nerovností 0 < r < 1, dostaneme podle věty o substituci a Fubiniovy věty √ Z Z 2π √ 1 2+1 3 dr r dϕ = 2+1 π. Jz = 2 0 0 ZZ Určete S
dS , kde (1 + x + y)2 S = (x, y, z) ∈ R3 ; x + y + z = 1 , x > 0 , y > 0 , z > 0 . 5
Řešení: Protože je plocha S parametrizována jako graf graf funkce z = 1 − x − y, kde x > 0, y > 0 a z = 1 − x − y > 0, zvolíme za parametry proměnné x a y a s 2 2 √ ∂z ∂z dS = 1 + + dx dy = 3 dx dy . ∂x ∂x Pak lze plošný integrál najít jako dvojný integrál ZZ
dS = (1 + x + y)2
S
√
ZZ Ω
3 dx dy , (1 + x + y)2
kde Ω ⊂ R2 je definována nerovnostmi x > 0,
y>0 a
x + y < 1.
Když zapíšeme tyto nerovnosti ve tvaru 0 < y < 1 − x,
x > 0 =⇒ 0 < 1 − x ,
x > 0 =⇒ 0 < x < 1
a použijeme k výpočtu dvojného integrálu Fubiniovu větu, dostaneme √ √ ZZ Z 1 Z 1−x √ Z 1 dS 3 dy 1 3 1 = = 3 − dx = ln 4 − 1 . dx 2 2 (1 + x + y) 1+x 2 2 S (1 + x + y) 0 0 0
Určete
ZZ p
x2 + y 2 dS, kde S je část šroubové plochy dané parametricky rovnicemi: x = ρ cos ϕ,
S
y = ρ sin ϕ, z = ϕ; 0 < ρ < 1, 0 < ϕ < 2π. Řešení: Protože je plocha S dána parametrickými rovnicemi x = ρ cos ϕ ,
y = ρ sin ϕ ,
z = ϕ,
(ρ, ϕ) ∈ Ω = 0 < ρ < 1 , 0 < ϕ < 2π ,
musíme najít element plochy dS. Ten dostaneme takto: tρ = (cos ϕ, sin ϕ, 0) , tϕ = (−ρ sin ϕ, ρ cos ϕ, 1) =⇒ n = tρ × tϕ = (sin ϕ, − cos ϕ, ρ) =⇒ p =⇒ dS = n dρdϕ = 1 + ρ2 dρdϕ . A protože ne ploše S je
p
x2 + y 2 = ρ, je plošný integrál roven dvojnému integrálu
ZZ p ZZ p Z 2 2 x + y dS = ρ 1 + ρ dρdϕ = S
Z
= 2π
1
ρ
p
2π
dρ 0
Ω
Z
1
1 + ρ2 dρ = 2π
0
h
ρ 0
1 + ρ2
1 3
p
1 + ρ2 dϕ =
3/2 i1
ZZ Určete
(xy + yz + xz) dS, kde S je část kuželové plochy z =
0
=
2 √ 2 2−1 π. 3
p
x2 + y 2 , která leží uvnitř válce
S
x2 + y 2 < 2x. Řešení: Protože je plocha S dána jako graf funkce z =
p
x2 + y 2 , kde (x, y) ∈ Ω,
Ω = (x, y) ∈ R2 ; x2 + y 2 < 2x , 6
najdeme element plochy dS jako s dS =
1+
∂z ∂x
2
+
∂z ∂x
2
√
dx dy =
2 dx dy .
Pak lze plošný integrál najít jako dvojný integrál ZZ
ZZ
p √ xy + (x + y) x2 + y 2 · 2 dx dy .
(xy + xz + yz) dS = S
Ω
Dvojný integrál přes množinu Ω lze najít třeba pomocí polárních souřadnic x = r cos ϕ ,
y = r sin ϕ ,
r > 0,
−π < ϕ < π ;
J = r.
Protože nerovnosti, které definují množinu Ω jsou v souřadnicích r a ϕ x2 + y 2 < 2x =⇒ 0 < r < 2 cos ϕ =⇒ cos ϕ > 0 =⇒ − 12 π < ϕ < 12 π , je podle věty o substituci a Fubiniovy věty ZZ
√ Z (xy + xz + yz) dS = 2 S
Z
π/2
2 cos ϕ
dϕ
−π/2
√ Z =4 2
π/2
r2 cos ϕ sin ϕ + r2 (cos ϕ + sin ϕ) r dr =
0
cos5 ϕ sin ϕ + cos4 ϕ sin ϕ + cos5 ϕ dϕ =
−π/2
√ h = 4 2 − 16 cos6 ϕ − ZZ
1 5
cos5 ϕ
iπ/2
√ 4 2 64 √ +4 2· · ·2= 2. 5 3 15 −π/2
(x + y + z) dS, kde S = (x, y, z) ∈ R3 ; x2 + y 2 + z 2 = R2 , z > 0 .
Určete S
Řešení: Protože je podle zadání z > 0, lze plochu vyjádřit jako graf funkce z=
p
R2 − x2 − y 2 ,
(x, y) ∈ Ω = (x, y) ∈ R2 ; x2 + y 2 < R2 .
Pak je element plochy s dS =
1+
∂z ∂x
2
+
∂z ∂x
2
R dx dy
dx dy = p
R2 − x2 − y 2
a daný plošný integrál lze počítat jako dvojný integrál ZZ
ZZ (x + y + z) dS = S
x+y+ Ω
p
R dx dy R2 − x2 − y 2 p . R2 − x2 − y 2
Abychom našli dvojný integrál přes kruh Ω, je výhodné zavést polární souřadnice x = r cos ϕ ,
y = r sin ϕ ,
r > 0,
0 < ϕ < 2π ;
Protože množina Ω je v těchto souřadnicích definována nerovnostmi 0
a
0 < ϕ < 2π , 7
J = r.
je podle věty o substituci a Fubiniovy věty ZZ
Z
Z
R
(x + y + z) dS =
2π
dr
S
r cos ϕ + r sin ϕ +
0
Z R Rr dϕ R2 − r 2 √ = 2πR r dr = πR3 . R2 − r 2 0
p
0
ZZ Vypočtěte plošný integrál
x dS, kde S je dána parametrickými rovnicemi x = u cos v, y = π u sin v, z = v; 0 < u < a, 0 < v < . 2 S
Řešení: Protože je plocha dána parametrickými rovnicemi n x = u cos v , y = u sin v , z = v , (u, v) ∈ Ω = (u, v) ∈ R2 ; 0 < u < a , 0 < v <
1 2
π ,
najdeme nejprve element plochy dS takto: tu = (cos v, sin v, 0) ,
tv = (−u sin v, u cos v, 1) =⇒ n = tu × tv = (sin v, − cos v, u) =⇒ p =⇒ dS = n dudv = 1 + u2 dudv .
Při této parametrizaci lze zapsat daný plošný integrál pomocí dvojného integrálu jako ZZ ZZ p x dS = u cos v · 1 + u2 dudv S
Ω
a podle Fubiniovy věty platí ZZ
Z S
Z
a
x dS =
π/2
du 0
u cos v ·
p
h 1 + u2 dv =
0
1 3
1 + u2
3/2 ia 0
=
3/2 1 + a2 −1 . 3
ZZ z 2 dS, kde S je část kuželové plochy x = r cos ϕ sin α, y = r sin ϕ sin α, z = r cos α; 0 < r < a, 0 < ϕ < 2π, kde α ∈ 0, 21 π je konstantní.
Vypočtěte plošný integrál
S
Řešení: Protože je plocha dána parametrickými rovnicemi x = r cos ϕ sin α , y = r sin ϕ sin α , z = r cos α , (r, ϕ) ∈ Ω = (r, ϕ) ∈ R2 ; 0 < r < a , 0 < ϕ < 2π , najdeme nejprve element plochy dS takto: tr =(cos ϕ sin α, sin ϕ sin α, cos α) ,
tϕ = (−r sin ϕ sin α, r cos ϕ sin α, 0) =⇒
=⇒ n = (−r cos ϕ cos α sin α, −r sin ϕ cos α sin α, r cos α sin α) =⇒ √ =⇒ dS = n drdϕ = 2 r cos α sin α drdϕ . Při této parametrizaci lze zapsat daný plošný integrál pomocí dvojného integrálu jako ZZ ZZ √ z 2 dS = r2 cos2 α · 2 r cos α sin α drdϕ S
Ω
a podle Fubiniovy věty platí ZZ 2
z dS = S
√
Z 3
2 cos α sin α
Z
a
2π
dr 0
r dϕ = 0
8
√ 3
2 4 πa cos3 α sin α . 2
Najděte obsah části plochy az = xy, která leží uvnitř válce x2 + y 2 = a2 . Řešení: Jestliže napíšeme rovnici plochy S ve tvaru z=
xy , a
x2 + y 2 < a2 .
lze plochu chápat jako graf funkce z = z(x, y). Proto je element plochy dS roven s
1+
dS =
∂z ∂x
2
+
∂z ∂x
r
2 dx dy =
x2 + y 2 1+ dx dx = a2
p
a2 + x2 + y 2 dx dy . a
Tedy dané plochy lze najít jako dvojný Riemannův integrál ZZ p 2 ZZ Z p a + x2 + y 2 1 S= dS = dx dy = a2 + x2 + y 2 dx dy , a a Ω S Ω kde Ω je kruh x2 + y 2 < a2 . Abychom našli integrál pře kruh Ω je výhodné zavést polární souřadnice x = r cos ϕ ,
y = r sin ϕ ,
r > 0,
0 < ϕ < 2π ;
J = r.
Protože množina Ω je v těchto souřadnicích definována nerovnostmi 0
a
0 < ϕ < 2π ,
je podle věty o substituci a Fubiniovy věty S=
1 a
Z
Z
a
dr 0
0
2π
Z p √ ia 2 2π a p 2 2π h 1 2 2 3/2 = πa2 2 2 − 1 . a2 + r2 r ddϕ = a + r r a + r2 dr = 3 a 0 a 3 0
Najděte obsah části plochy z =
p x2 + y 2 , která leží uvnitř válce x2 + y 2 = 2x.
Řešení: Protože je plocha S dána jako graf funkce z =
p
x2 + y 2 , kde (x, y) ∈ Ω,
Ω = (x, y) ∈ R2 ; x2 + y 2 < 2x , najdeme element plochy dS jako s dS =
1+
∂z ∂x
2
+
∂z ∂x
2 dx dy =
√
2 dx dy .
Pak lze obsah plochy S najít jako dvojný integrál ZZ ZZ √ S= dS = 2 dx dy . S
Ω
Dvojný integrál přes množinu Ω lze najít třeba pomocí polárních souřadnic x = r cos ϕ ,
y = r sin ϕ ,
r > 0,
−π < ϕ < π ;
J = r.
Protože nerovnosti, které definují množinu Ω jsou v souřadnicích r a ϕ x2 + y 2 < 2x =⇒ 0 < r < 2 cos ϕ =⇒ cos ϕ > 0 =⇒ − 21 π < ϕ < 12 π , 9
je podle věty o substituci a Fubiniovy věty S=
√ Z 2
Z
π/2
2 cos ϕ
dϕ
−π/2
√ Z r dr = 2 2
0
π/2
cos2 ϕ dϕ =
√
2π.
−π/2
Najděte obsah části plochy x2 + y 2 = 2az, která leží uvnitř válce (x2 + y 2 )2 = a2 x2 − y 2 , x ≥ 0. Řešení: Jestliže napíšeme rovnici plochy S ve tvaru z=
2 (x, y) ∈ Ω = (x, y) ∈ R2 ; x2 + y 2 < a2 x2 − y 2 , x ≥ 0 ,
x2 + y 2 , 2a
lze plochu chápat jako graf funkce z = z(x, y). Proto je element plochy dS roven s dS =
1+
∂z ∂x
2
+
∂z ∂x
r
2 dx dy =
x2 + y 2 1+ dx dx = a2
p
a2 + x2 + y 2 dx dy . a
Tedy dané plochy lze najít jako dvojný Riemannův integrál ZZ S=
ZZ p
ZZ p
Ω
Ω
a2 + x2 + y 2 1 dx dy = a a
dS = S
a2 + x2 + y 2 dx dy .
Abychom našli integrál pře množinu Ω je výhodné zavést polární souřadnice x = r cos ϕ ,
y = r sin ϕ ,
r > 0,
−π < ϕ < π ;
J = r.
Množina Ω je v těchto souřadnicích definována nerovnostmi p r2 < a2 cos2 ϕ − sin2 ϕ , cos ϕ ≥ 0 =⇒ 0 < r < a cos 2ϕ , cos 2ϕ ≥ 0 , − 12 π ≤ ϕ ≤ p =⇒ 0 < r < a cos 2ϕ , − 14 π ≤ ϕ ≤ 14 π .
1 2
π =⇒
Proto je podle věty o substituci a Fubiniovy věty 1 S= a
Z
√ a cos 2ϕ
Z
π/4
−π/4
p
a2 + r2 r dr =
dϕ 0
=
1 a
Z
a2 3
π/4
h
−π/4
Z
π/4
3/2 ia
√ cos 2ϕ
1 3
a2 + r2
3/2 1 + cos 2ϕ − 1 dϕ .
0
dϕ =
−π/4
Když v posledním integrálu použijeme rovnost 1 + cos 2ϕ = cos2 ϕ + sin2 ϕ + cos2 ϕ − sin2 ϕ = 2 cos2 ϕ , dostaneme S=
a2 3
Z
√ a2 h √ 2 2 cos3 ϕ − 1 dϕ = 2 2 sin ϕ − 3 −π/4 π/4
1 3
iπ/4 a2 sin3 ϕ − ϕ = 20 − 3π . 18 −π/4
Najděte obsah části kulové plochy s poloměrem R omezené dvěma poledníky ϕ1 , ϕ2 a dvěma rovnoběžkami θ1 , θ2 . 10
Řešení: Počátek souřadnic umístíme do středu kulové plochy. Pak jsou její parametrické rovnice x = R cos θ cos ϕ ,
y = R cos θ sin ϕ ,
z = R sin θ ,
0 < ϕ < 2π ,
− 12 π < θ <
1 2
π.
Najdeme element obsahu plochy dS: tϕ = (−R cos θ sin ϕ, R cos θ cos ϕ, 0) , 2
2
tθ = (−R sin θ cos ϕ, −R sin θ sin ϕ, R cos θ) =⇒ 2
=⇒ n = tϕ × tθ = (R cos θ cos ϕ, R cos2 θ sin ϕ, R2 cos θ sin θ) =⇒ =⇒ dS = n dθdϕ = R2 cos θ dθdϕ . Protože je dána množina, kterou probíhají parametry ϕ a θ vztahy ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2 ,
θ1 ≤ θ ≤ θ2 ,
je obsah dané části kulové plochy ZZ
Z
Z
ϕ2
dS =
S=
θ2
dϕ
S
ϕ1
R2 cos θ dθ = R2 ϕ2 − ϕ1 sin θ2 − sin θ1 .
θ1
Najděte obsah anuloidu x = (b + a cos ψ) cos ϕ, y = (b + a cos ψ) sin ϕ, z = a sin ψ, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ ψ ≤ 2π, kde 0 < a ≤ b. Řešení: Protože je anuloid S dán parametrickými rovnicemi, určíme element plošného obsahu dS: tϕ = −(b + a cos ψ) sin ϕ, (b + a cos ψ) cos ϕ, 0 ,
tψ = −a sin ψ cos ϕ, −a sin ψ sin ϕ, a cos ψ =⇒ =⇒ n = tϕ × tψ = a(b + a cos ψ) cos ψ cos ϕ, a(b + a cos ψ) cos ψ sin ϕ, a(b + a cos ψ) sin ψ =⇒ =⇒ dS = n dϕ dψ = a(b + a cos ψ) dϕ dψ .
Protože parametry ϕ a ψ probíhají oba interval h0, 2πi, je obsah anuloidu roven ZZ
Z
S= S
Z
2π
dS =
2π
dϕ 0
a(b + a cos ψ) dψ = 4π 2 ab .
0
Najděte hmotnost poloviny kulové plochy x2 + y 2 + z 2 = a2 , z > 0, je-li její hustota v bodě z M = [x; y; z] rovna ρ(x, y, z) = . a Řešení: Hmotnost M plochy S, která má hustotu ρ(x, y, z) je dána plošným integrálem prvního druhu ZZ ZZ z M= ρ(x, y, z) dS = dS , a S S z protože v našem případě je ρ = . Plocha S je polovina kulové plochy a p z = a2 − x2 − y 2 , (x, y) ∈ Ω = (x, y) ∈ R2 ; x2 + y 2 < a2 . Protože je plocha dána jako graf funkce z = z(x, y), lze najít element plošného obsahu jako s dS =
1+
∂z ∂x
2
+
∂z ∂y
s
2 dx dy =
1+ 11
a2
x2 + y 2 a dx dy dx dy = p . 2 2 2 −x −y a − x2 − y 2
Tedy hmotnost plochy S je ZZ p M= Ω
a2 − x2 − y 2 a dx dy ·p = 2 a a − x2 − y 2
ZZ dx dy = πa2 , Ω
protože množina Ω je kruh s poloměrem a. RR Najděte statický moment Sxy = S z dS homogenní trojúhelníkové desky x + y + z = a, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0. Řešení: Jestliže zvolíme za parametry x a y, pak lze plochu S snadno parametrizovat jako graf funkce x = a − y − z, y ≥ 0, z ≥ 0, a − y − z ≥ 0. Pak je element plošného obsahu dS roven s 2 2 √ ∂x ∂x dS = 1 + + dy dz = 3 dy dz ∂y ∂z a plošný integrál lze zapsat jako dvojný integrál ZZ ZZ √ Sxy = z dS = z 3 dy dz , S
Ω
kde je množina Ω ⊂ R2 dána nerovnostmi 0 ≤ z ≤ a−y,
0 ≤ y ≤ a.
Jestliže při výpočtu dvojného integrálu použijeme Fubiniovu větu, dostaneme √ √ h √ Z a Z a−y ia √ Z a 3 3 3 3 3 2 1 Sxy = 3 = − 3 (a − y) a . dy (a − y) dy = z dz = 2 2 6 0 0 0 0 Určete souřadnice těžiště homogenní plochy n o p S = ((x, y, z) ∈ R3 ; Rz = h x2 + y 2 , 0 < z < h .
Řešení: Souřadnice xT , yT a zT těžiště homogenní plochy S lze najít pomocí plošných integrálů prvního druhu ze vztahů ZZ ZZ ZZ ZZ 1 1 1 xT = x dS , yT = y dS , zT = z dS , kde S = dS S S S S S S S je velikost plochy S. Protože je těleso symetrické vzhledem k rovinám yz a xz, tj. nezmění je při zaměně [x; y; z] ↔ [−x; y; z] a [x; y; z] ↔ [x; −y; z] jsou jeho souřadnice xT = yT = 0. Obsah plochy S a souřadnici těžiště zT najdeme pomocí integrálů. Protože je plocha S dána jako graf funkce z=
hp 2 x + y2 , R
0 < z < h =⇒ 0 < x2 + y 2 < R2 ,
najdeme element plošného obsahu dS pomocí vztahu s r √ 2 2 ∂z ∂z h2 R 2 + h2 dS = 1 + + dx dy = 1 + 2 dx dy = dx dy . ∂x ∂y R R 12
Pak můžeme převést plošné integrály prvního druhu na dvojné integrály ZZ √
ZZ S=
dS = S
Ω
ZZ
R 2 + h2 dx dy , R
ZZ z dS =
S
Ω
√ h R 2 + h2 p 2 x + y 2 dx dy , R2
kde Ω je kruh x2 + y 2 < R2 . Abychom našli integrály pře kruh Ω, zavedeme polární souřadnice x = r cos ϕ ,
y = r sin ϕ ,
r > 0,
0 < ϕ < 2π ;
J = r.
Protože je v těchto souřadnicích dán kruh Ω nerovnostmi 0
a
0 < ϕ < 2π ,
dostaneme z věty o substituci a Fubiniovy věty √
ZZ
Z Z 2π p R 2 + h2 R dr r dϕ = πR R2 + h2 , R S 0 0 √ ZZ Z R Z 2π p 2 2 h R +h 2 z dS = dr r2 dϕ = πRh R2 + h2 . 2 R 3 S 0 0
S=
dS =
Tedy souřadnice těžiště daného tělesa jsou xT = yT = 0 ,
zT =
Najděte souřadnici zT těžiště části homogenní plochy z = y 2 = ax.
2 h. 3 p x2 + y 2 , která leží uvnitř plochy x2 +
Řešení: Souřadnici zT těžiště homogenní plochy S lze najít pomocí plošných integrálů prvního druhu ze vztahů ZZ ZZ 1 zT = z dS , kde S = dS S S S je velikost plochy S. Protože je plocha S dána jako graf funkce z=
p
x2 + y 2 < ax ,
x2 + y 2 ,
najdeme element plošného obsahu dS pomocí vztahu s dS =
1+
∂z ∂x
2
+
∂z ∂y
2 dx dy =
√
2 dx dy .
Pak můžeme převést plošné integrály prvního druhu na dvojné integrály ZZ ZZ √ ZZ ZZ p √ S= dS = 2 dx dy , z dS = x2 + y 2 2 dx dy , S
Ω
S
Ω
kde Ω je množina x2 + y 2 < ax. Abychom našli integrály pře kruh Ω, zavedeme polární souřadnice x = r cos ϕ ,
y = r sin ϕ ,
r > 0,
−π < ϕ < π ;
J = r.
Protože je v těchto souřadnicích množina Ω dána nerovnostmi 0 < r < a cos ϕ =⇒ cos ϕ > 0 =⇒ − 12 π < ϕ < 13
1 2
π,
dostaneme z věty o substituci a Fubiniovy věty √ Z π/2 2 dϕ r dr = a2 cos2 ϕ dϕ = 2 −π/2 −π/2 0 √ Z π/2 Z a cos ϕ √ Z π/2 2 2 2 dϕ r dr = a3 cos3 ϕ dϕ = 3 −π/2 0 −π/2
√ Z S= 2
Z
π/2
a cos ϕ
Tedy hledaná souřadnice těžiště je zT = RR
Určete moment setrvačnosti Jz =
S
√
2 2 πa , 4 √ 2 3h a sin ϕ − 3
1 3
3
sin ϕ
iπ/2 −π/2
√ 4 2 3 = a . 9
16 a. 9π
(x2 + y 2 ) dS kulové plochy x2 + y 2 + z 2 = R2 .
Řešení: Parametrické rovnice dané kulové plochy S jsou x = R cos θ cos ϕ ,
y = R cos θ sin ϕ ,
z = R sin θ ,
0 < ϕ < 2π ,
− 12 π < θ <
1 2
π.
Najdeme element obsahu plochy dS: tϕ = (−R cos θ sin ϕ, R cos θ cos ϕ, 0) , 2
2
tθ = (−R sin θ cos ϕ, −R sin θ sin ϕ, R cos θ) =⇒ 2
=⇒ n = tϕ × tθ = (R cos θ cos ϕ, R cos2 θ sin ϕ, R2 cos θ sin θ) =⇒ =⇒ dS = n dθ dϕ = R2 cos θ dθ dϕ . Plošný integrál pak lze vyjádřit přes dvojný integrál a dostaneme ZZ
Z 2
Jz =
(x + y ) dS = S
Z
2π
2
iπ/2 h 8 = πR4 . R2 cos2 θ · R2 cos θ dθ = 2πR4 sin θ − 13 sin3 θ 3 −π/2 −π/2
dϕ 0
Určete moment setrvačnosti Jz =
π/2
RR S
(x2 + y 2 ) dS plochy
n o p S = (x, y, z) ∈ R3 ; Rz = h x2 + y 2 , 0 < z < h .
Řešení: Protože je plocha S dána jako graf funkce z=
hp 2 x + y2 , R
0 < z < h =⇒ 0 < x2 + y 2 < R2 ,
najdeme element plošného obsahu dS pomocí vztahu s dS =
1+
∂z ∂x
2
+
∂z ∂y
r
2 dx dy =
h2 1 + 2 dx dy = R
√
R 2 + h2 dx dy . R
Pak můžeme převést plošný integrál prvního druhu na dvojný integrál ZZ √
ZZ (x2 + y 2 ) dS =
Jz = S
Ω
R2 + h2 2 (x + y 2 ) dx dy , R
kde Ω je kruh x2 + y 2 < R2 . Abychom našli integrály pře kruh Ω, zavedeme polární souřadnice x = r cos ϕ ,
y = r sin ϕ ,
r > 0, 14
0 < ϕ < 2π ;
J = r.
Protože je v těchto souřadnicích dán kruh Ω nerovnostmi 0
a
0 < ϕ < 2π ,
dostaneme z věty o substituci a Fubiniovy věty √ Jz = ZZ Určete S
x2
Z
R2 + h2 R
Z
R
2π
dr 0
r3 dϕ =
0
π 3p 2 R R + h2 . 2
dS , kde S = (x, y, z) ∈ R3 ; x2 + y 2 = R2 , 0 < z < h . 2 2 +y +z
Řešení: Abychom našli daný plošný integrál prvního druhu, budeme nejprve parametrizovat plochu S. Rovnice x2 + y 2 = R2 má parametrické řešení x = R cos ϕ, y = R sin ϕ, kde 0 ≤ ϕ ≤ 2π. Proto jsou parametrické rovnice plochy S například x = R cos ϕ ,
y = R sin ϕ ,
z = z,
kde
0 ≤ ϕ ≤ 2π ,
0 < z < h.
Pro tuto parametrizaci musíme ještě najít element plošného obsahu dS. Pro ten dostaneme tϕ = (−R sin ϕ, R cos ϕ, 0) ,
tz = (0, 0, 1) =⇒
=⇒ n = tϕ × tz = (R cos ϕ, R sin ϕ, 0) =⇒ dS = n dϕ dz = R dϕ dz .
Protože 0 ≤ ϕ ≤ 2π a 0 < z < h je daný plošný integrál roven ZZ S
dS = 2 x + y2 + z2
Z
Z
2π
h
dϕ 0
0
h z h R dz = 2π arctg = 2π arctg . 2 2 R +z R 0 R
Stanovte hmotnostpkulové plochy o poloměru R a středu v počátku, je-li hustota rozložení hmoty rovna ρ(x, y, z) = x2 + y 2 . Řešení: Hmotnost M plochy S, která má hustotu ρ(x, y, z) je dána plošným integrálem prvního druhu ZZ ZZ p M= ρ(x, y, z) dS = x2 + y 2 dS , S
p
S
x2
y2 .
protože v našem případě je ρ = + Abychom našli tento plošný integrál, musíme nejprve najít parametrické rovnice plochy S. Protože se jedné o kulovou plochu se středem v počátku a poloměrem R, můžeme zvolit parametrické rovnice jako x = R cos θ cos ϕ ,
y = R cos θ sin ϕ ,
z = R sin θ ,
− 12 π < θ <
0 < ϕ < 2π ,
1 2
π.
Element obsahu plochy dS je při této parametrizaci tϕ = (−R cos θ sin ϕ, R cos θ cos ϕ, 0) ,
tθ = (−R sin θ cos ϕ, −R sin θ sin ϕ, R cos θ) =⇒
=⇒ n = tϕ × tθ = (R2 cos2 θ cos ϕ, R2 cos2 θ sin ϕ, R2 cos θ sin θ) =⇒ =⇒ dS = n dθ dϕ = R2 cos θ dθ dϕ . Plošný integrál pak lze vyjádřit přes dvojný integrál a dostaneme M=
ZZ p S
Z
Z
2π
x2 + y 2 dS =
π/2
dϕ 0
Z R cos θ · R2 cos θ dθ = 2πR3
π/2
−π/2
−π/2
15
cos2 θ dθ = π 2 R3 .
ZZ Určete
(x + y + z) dS, kde S je hranice krychle (0, 1) × (0, 1) × (0, 1). S
Řešení: Povrch S krychle je až na množinu dvojrozměrné míry nula roven disjunktnímu sjednocení jejich šesti stěn, tj. S = S1 ∪ S2 ∪ S3 ∪ S4 ∪ S5 ∪ S6 , kde ZZ S1 :
x = 0,
(x + y + z) dS = ZZ
S2 :
y = 0, z = 0,
(y + z) dy dz
S1
(x, z) ∈ (0, 1) × (0, 1) = Ω ,
Ω
ZZ (x + y + z) dS =
ZZ S3 :
ZZ
(y, z) ∈ (0, 1) × (0, 1) = Ω ,
(x + z) dx dz
S2
(x, y) ∈ (0, 1) × (0, 1) = Ω ,
Ω
ZZ
(x + y) dx dy
(x + y + z) dS = Z ZS3
S4 :
x = 1,
(y, z) ∈ (0, 1) × (0, 1) = Ω ,
(x + y + z) dS = ZZ
S5 :
y = 1,
Z ZΩ (1 + y + z) dy dz
S4
(x, z) ∈ (0, 1) × (0, 1) = Ω ,
Ω
ZZ
(1 + x + z) dx dz
(x + y + z) dS = Z ZS5
S6 :
z = 1,
(x, y) ∈ (0, 1) × (0, 1) = Ω ,
Z ZΩ (x + y + z) dS =
(1 + x + y) dx dy
S6
Ω
Tedy hledaný integrál je ZZ (x + y + z) dS = S
6 Z X k=1
ZZ
Z (x + y + z) dS = 3
Sk
Z (x + y) dx dy + 3
Ω
(1 + x + y) dx dy = 9 . Ω
z dS, kde S = (x, y, z) ∈ R3 ; z = x2 + y 2 , 0 < z < 1 .
Určete S
Řešení: Protože je plocha S dána jako graf funkce z = z(x, y), kde z = x2 + y 2 ,
0 < z < 1 =⇒ 0 < x2 + y 2 < 1 ,
je přirozené vybrat jako její parametry proměnné x a y. V takovém případě je element obsahu plochy dS dán vztahem s 2 2 p ∂z ∂z dS = 1 + + dx dy = 1 + 4x2 + 4y 2 dx dy ∂x ∂y Při této parametrizaci je daný plošný integrál prvního druhu definován jako dvojný integrál ZZ ZZ p z dS = 1 + 4x2 + 4y 2 dx dy , x2 + y 2 S
Ω
kde Ω je kruh x2 + y 2 < 1. Abychom našli dvojný integrál přes kruh Ω zvolíme polární souřadnice x = r cos ϕ ,
y = r sin ϕ ,
r > 0,
0 < ϕ < 2π ;
J = r.
Nerovnost, která definuje plochu Ω, má v polárních souřadnicích tvar 0 < r < 1, 0 < ϕ < 2π, a proto je podle věty o substituci a Fubiniovy věty ZZ
Z z dS =
S
Z
2π
dϕ 0
0
1
Z 5 p √ √ π π h 2 5/2 2 3/2 i5 π 2 r 1 + 4r dr = (t−1) t dt = 5+1 , t − t = 25 3 16 1 16 5 60 1 3
16
kde jsme při výpočtu integrálu použili substituci t = 1 + 4r2 . Najděte hmotnost části paraboloidu z =
x2 + y 2 , 0 ≤ z ≤ 1, jestliže je jeho hustota ρ(x, y, z) = z. 2
Řešení: Hmotnost M plochy S, která má hustotu ρ(x, y, z) je dána plošným integrálem prvního druhu ZZ ZZ M= ρ(x, y, z) dS = z dS . S
S
Abychom našli tento plošný integrál, musíme nejprve najít parametrické rovnice plochy S. Protože je plocha S dána jako graf funkce z = z(x, y), kde 1 2
z=
x2 + y 2 ,
0 ≤ z ≤ 1 =⇒ 0 ≤ x2 + y 2 ≤ 2 ,
je přirozené vybrat jako její parametry proměnné x a y. V takovém případě je element obsahu plochy dS dán vztahem s dS =
1+
∂z ∂x
2
+
∂z ∂y
2 dx dy =
p 1 + x2 + y 2 dx dy
Při této parametrizaci je daný plošný integrál prvního druhu definován jako dvojný integrál ZZ M= Ω
1 2
x2 + y 2
p
1 + x2 + y 2 dx dy ,
kde Ω je kruh x2 + y 2 < 2. Abychom našli dvojný integrál přes kruh Ω zvolíme polární souřadnice x = r cos ϕ ,
y = r sin ϕ ,
r > 0,
0 < ϕ < 2π ;
J = r. √
Nerovnost, která definuje plochu Ω, má v polárních souřadnicích tvar 0 < r < proto je podle věty o substituci a Fubiniovy věty 1 M= 2
Z
Z
2π
dϕ 0
0
√ 2
Z p √ π 3 π h 2 5/2 2 t − r 1 + r dr = (t − 1) t dt = 2 1 2 5 2
2 3/2 3 t
i3 1
=
2, 0 < ϕ < 2π, a
2π √ 6 3+1 , 15
kde jsme při výpočtu integrálu použili substituci t = 1 + r2 . ZZ Určete F dS, kde F = (x, y, z) a S
S = (x, y, z) ∈ R3 ; h2 (x2 + y 2 ) = R2 (z − h)2 , 0 < z < h .
Řešení: Jedná se o plošný integrál druhého druhu. Proto nejprve parametrizujeme plochu S. Protože je z < h, plyne z rovnice, která definuje plochu z =h−
hp 2 x + y2 , R
0 < z < 1 =⇒ 0 < x2 + y 2 < R2 .
Protože je plocha dána jako graf funkce z = z(x, y) je rozumné zvolit za parametry plochy proměnné x a y a psát parametrické rovnice plochy ve tvaru x = x,
y = y,
z =h−
hp 2 x + y2 , R 17
0 < x2 + y 2 < R 2 .
V této parametrizaci spočítáme vektor normály k ploše S. hy hx tx = 1, 0, − p , ty = 0, 1, − p =⇒ R x2 + y 2 R x2 + y 2 hx hy p =⇒ n = tx × ty = , p ,1 R x2 + y 2 R x2 + y 2 a skalární součin F ·n=
hx2 hy 2 hp 2 p + p +h− x + y2 = h . R R x2 + y 2 R x2 + y 2
Tedy hledaný plošný integrál je
ZZ
ZZ F dS =
h dx dy ,
S
Ω
kde Ω je kruh x2 + y 2 < R2 . A protože jeho obsah je πR2 , je ZZ F dS = πR2 h . S
ZZ Určete
xz dx dy, kde S je část roviny x + y + z = 1, která leží v prvním oktantu, x > 0 , y > S
0 z > 0, orientovaná tak, že n · (1, 0, 0) > 0. RR
Řešení: Jedná se o plošný integrál druhého druhu plocha S m8 rovnice z = 1−x−y,
x > 0,
S
F dS, kde vektorová funkce F = (0, 0, xz) a
y > 0,
z = 1 − x − y > 0.
Protože je plocha dána jako graf funkce z = z(x, y) je rozumné ji parametrizovat pomocí proměnných x a y, tj. položit x = −x ,
y = y,
z = 1−x−y,
x > 0,
y>0
x + y < 1.
Při této parametrizaci najdeme vektor normály. Postupně dostaneme tx = (1, 0, −1) ,
ty = (0, 1, −1) =⇒ n = tx × ty = (1, 1, 1) .
Normála první složku kladnou, tj. (1, 1, 1) · (1, 0, 0) = 1 > 0, a tedy orientuje plochu S souhlasně se zadanou orientací. A protože n · F = xz = x(1 − x − y) , je
ZZ
ZZ xz dx dy = S
x(1 − x − y) dx dy , Ω
kde množina Ω ⊂ R2 je dána nerovnostmi 0 < y < 1 − x,
0 < x < 1.
Tedy podle Fubiniovy věty je ZZ
Z xz dx dy = S
Z
1
dx 0
1−x
x(1 − x − y) dy = 0
18
1 2
Z 0
1
x(1 − x)2 dx =
1 . 24
ZZ Určete
y dy ∧ dz + z dz ∧ dx, kde S
S = (x, y, z) ∈ R3 ; x + z = 1 , x2 + y 2 < 1 RR Řešení: Máme najít plošný integrál druhého druhu S F dS, kde vektorová funkce F = (y, z, 0). Protože plocha S má rovnici x+z = 1, vyjádříme z této rovnice z a za parametry budeme považovat proměnné x a y, tj. parametrické rovnice plochy S budou x = x,
y = y,
x2 + y 2 < 1 .
z = 1 − x,
Nyní najdeme normálu k ploše S v této parametrizaci: tx = (1, 0, −1) ,
ty = (0, 1, 0) =⇒ n = tx × ty = (1, 0, 1) .
Protože F ·n = y, je daný plošný integrál roven ZZ
ZZ y dy dz + z dz dx =
y dx dy ,
S
Ω
kde Ω je kruh x2 + y 2 < 1. Abychom našli tento dvojný integrál, zavedeme polární souřadnice x = r cos ϕ ,
y = r sin ϕ ,
r > 0,
0 < ϕ < 2π ;
J = r.
Protože kruh Ω je v polárních souřadnicích dána nerovnostmi 0 < r < 1 a 0 < ϕ < 2π, dostaneme z věty o substituci a Fubiniovy věty ZZ
Z S
Z
1
y dy dz + z dz dx =
2π
dr 0
r2 sin ϕ dϕ = 0 .
0
ZZ Určete
x dy dz + y dz dx + z dx dy, kde S
S=
x2 y2 z2 (x, y, z) ∈ R ; 2 + 2 + 2 = 1 , x > 0 , y > 0 a b c
3
je orientovaná tak, že n · (1, 0, 0) > 0. RR Řešení: Máme najít plošný integrál druhého druhu S F dS, kde vektorová funkce F = (x, y, z). Protože je plocha S částí elipsoidu, budeme ji parametrizovat pomocí souřadnic x = a cos θ cos ϕ ,
y = b cos θ sin ϕ ,
− 21 π < θ <
z = c sin θ ,
1 2
π
0 < ϕ < 2π .
Z nerovností x > 0 a y > 0 plyne x > 0,
y > 0 =⇒ − 12 π < θ <
1 2
π,
0<ϕ<
1 2
π.
Normála k ploše S ve zvolené parametrizaci je tϕ = (−a cos θ sin ϕ, b cos θ cos ϕ, 0) ,
tθ = (−a sin θ cos ϕ, −b sin θ sin ϕ, c cos θ) =⇒
2
=⇒ n = tϕ × tθ = (bc cos θ cos ϕ, ac cos2 θ sin ϕ, ab cos θ sin θ) . 19
Protože její první složka n1 = n × (1, 0, 0) = bc cos2 θ cos ϕ > 0, je zvolená parametrizace plochy souhlasná se zadanou orientací. A protože F · n = abc cos θ , je hledaný plošný integrál roven ZZ
Z S
Z
π/2
x dy dz + y dz dx + z dx dy =
π/2
dϕ 0
abc cos θ dθ = πabc . −π/2
ZZ xy dy ∧ dz + yz dz ∧ dx + xz dx ∧ dy, kde S je část roviny 2x + 3y + z = 6, která leží v
Určete S
prvním oktantu, x > 0 , y > 0 , z > 0, a je orientovaná tak, že n · (1, 0, 0) > 0. RR Řešení: Máme najít plošný integrál druhého druhu S F dS, kde vektorová funkce F = (xy, yz, xz). Protože plocha S má rovnici 2x + 3y + z = 6, vyjádříme z této rovnice z a za parametry budeme považovat proměnné x a y, tj. parametrické rovnice plochy S budou x = x,
y = y , z = 6 − 2x − 3y , x > 0 , =⇒ x > 0 , y > 0 , 2x + 3y < 6 .
y > 0,
z = 6 − 2x − 3y > 0 =⇒
Nyní najdeme normálu k ploše S v této parametrizaci: tx = (1, 0, −2) ,
ty = (0, 1, −3) =⇒ n = tx × ty = (2, 3, 1) .
Protože je první složka této normály n1 = n · (1, 0, 0) = 2 > 0, dostali jsme orientaci souhlasnou se zadanou orientací. A protože F · n = 2xy + 3y(6 − 2x − 3y) + x(6 − 2x − 3y) = 6x + 18y − 2x2 − 7xy − 9y 2 , lze hledaný plošný integrál najít jako dvojný integrál ZZ ZZ xy dy dz + yz dz dx + xz dx dy = 6x + 18y − 2x2 − 7xy − 9y 2 dx dy , S
Ω
kde množina Ω ⊂ R2 je dána nerovnostmi x > 0,
y > 0,
2x + 3y < 6 =⇒ 0 < y <
1 (6 − 2x) , 3
0 < x < 3.
Podle Fubiniovy věty pak je ZZ
Z
2(3−x)/3
dx 0
S
Z
3
xy dy dz +yz dz dx+xz dx dy =
0
63 6x+18y −2x2 −7xy −9y 2 dy = . (snad) 4
ZZ F dS, kde F = (0, 0, xz 2 ) a
Určete S
S = (x, y, z) ∈ R3 ; x2 + y 2 + z 2 = R2 , z > 0 . Orientaci volte tak, že n · (0, 0, 1) > 0. Řešení: Jedná se o plošný integrál druhého druhu. Nejprve najdeme parametrické rovnice plochy S. Protože se jedná o polokouli, lze použít sférické souřadnice nebo vyřešit rovnici, která plochu 20
p definuje a parametrizovat ji jako graf funkce z = z(x, y) = R2 − x2 − y 2 . Protože se ve druhém případě lépe počítá normála, zvolíme druhý postup. Za parametry proměnné x a y a parametrické rovnice napíšeme jako p x = x , y = y , z = R2 − x2 − y 2 , x2 + y 2 < R2 . Pro tuto parametrizaci jednoduše najdeme normálu −x −y tx = 1, 0, p , ty = 0, 1, p =⇒ R2 − x2 − y 2 R2 − x2 − y 2 y x =⇒ n = tx × ty = p ,p ,1 . R2 − x2 − y 2 R2 − x2 − y 2 Protože její třetí složka n3 = n · (0, 0, 1) = 1 > 0, dostáváme orientaci souhlasnou se zadanou orientací. A protože F · n = x R2 − x2 − y 2 , je
ZZ
ZZ
x R2 − x2 − y 2 dx dy ,
F dS = S 2
2
2
Ω
2
kde Ω ⊂ R je kruh x +y < R . Abychom našli integrál přes tento kruh, je výhodné zavést polární souřadnice x = r cos ϕ , y = r sin ϕ , r > 0 , 0 < ϕ < 2π ; J = r . Protože kruh Ω je v polárních souřadnicích dána nerovnostmi 0 < r < R a 0 < ϕ < 2π, dostaneme z věty o substituci a Fubiniovy věty ZZ
Z F dS = S
Z
R
2π
dr 0
r cos ϕ R2 − r2 r dϕ = 0 .
0
ZZ Určete
yz dy dz + xz dz dx + xy dx dy, kde S je část roviny x + y + z = a, která leží v prvním S
oktantu, x > 0 , y > 0 , z > 0, orientovaná tak, že n · (1, 0, 0) > 0. RR Řešení: Máme najít plošný integrál druhého druhu S F dS, kde vektorová funkce F = (yz, xz, xy). Protože plocha S má rovnici x + y + z = a, vyjádříme z této rovnice z a za parametry budeme považovat proměnné x a y, tj. parametrické rovnice plochy S budou x = x,
y = y, z = a − x − y, x > 0, =⇒ x > 0 , y > 0 , x + y < a .
y > 0,
z = a − x − y > 0 =⇒
Nyní najdeme normálu k ploše S v této parametrizaci: tx = (1, 0, −1) ,
ty = (0, 1, −1) =⇒ n = tx × ty = (1, 1, 1) .
Protože je první složka této normály n1 = n · (1, 0, 0) = 1 > 0, dostali jsme orientaci souhlasnou se zadanou orientací. A protože F · n = y(a − x − y) + x(a − x − y) + xy = ax + ay − x2 − xy − y 2 , lze hledaný plošný integrál najít jako dvojný integrál ZZ ZZ yz dy dz + xz dz dx + xy dx dy = S
Ω
21
ax + ay − x2 − xy − y 2 dx dy ,
kde množina Ω ⊂ R2 je dána nerovnostmi x > 0,
y > 0,
x + y < a =⇒ 0 < y < a − x ,
0 < x < a.
Podle Fubiniovy věty pak je ZZ
Z
Z
a
yz dy dz + xz dz dx + xy dx dy =
a−x
dx
S
0
0
a4 . ax + ay − x2 − xy − y 2 dy = 8
ZZ y dy dz + z dz dx + x2 dx dy, kde
Určete S
S = (x, y, z) ∈ R3 ; x2 + y 2 = z 2 , 0 < z < h . Orientaci volte tak, že n · (0, 0, 1) > 0. RR Řešení: Máme najít plošný integrál druhého druhu S F dS, kde vektorová funkce F = (y, z, x2 ). Ještě musíme najít parametrické rovnice plochy S. Ty lze získat pomocí p cylindrických souřadnic nebo tak, že vyřešíme rovnici, která definuje plochu, tj. napíšeme z = x2 + y 2 a plochu S budeme parametrizovat jako graf funkce. Zvolím druhý postup. Za parametry vyberu proměnné x a y a parametrické rovnice budou x = x,
y = y,
z=
p x2 + y 2 ,
0
p
x2 + y 2 < h =⇒ 0 < x2 + y 2 < h2 .
Pro tuto parametrizaci najdeme normálu x tx = 1, 0, p , x2 + y 2
y −x −y ty = 0, 1, p =⇒ n = tx × ty = p ,p ,1 . x2 + y 2 x2 + y 2 x2 + y 2
Protože je třetí složka normály n3 = n · (0, 0, 1) = 1 > 0, orientuje tato normála plochu S souhlasně se zadanou orientací. A protože F · n = −p
xy x2
+
y2
− y + x2 ,
je hledaný plošný integrál roven dvojnému integrálu ZZ
ZZ xy 2 y dy dz + z dz dx + x dx dy = −p − y + x dx dy , x2 + y 2 S Ω 2
kde Ω ⊂ R2 je kruh x2 + y 2 < h2 . Abychom našli integrál přes tento kruh, je výhodné zavést polární souřadnice x = r cos ϕ , y = r sin ϕ , r > 0 , 0 < ϕ < 2π ; J = r . Protože kruh Ω je v polárních souřadnicích dána nerovnostmi 0 < r < h a 0 < ϕ < 2π, dostaneme z věty o substituci a Fubiniovy věty ZZ
Z y dy dz + z dz dx + x2 dx dy = S
Z
h
2π
dr 0
Z =
−r cos ϕ sin ϕ − r sin ϕ + r2 cos2 ϕ r dϕ =
0 h
πr3 dr =
0
22
π 4 h . 4
ZZ Určete
(x + y + z) dx ∧ dy, kde S
S = (x, y, z) ∈ R3 ; x + y + z = 4 , x > 0 , y > 0 , z > 0 orientovaná tak, že normála má kladné složky. RR Řešení: Máme najít plošný integrál druhého druhu S F dS, kde vektorová funkce F = (0, 0, x + y + z). Protože plocha S má rovnici x + y + z = 4, vyjádříme z této rovnice z a za parametry budeme považovat proměnné x a y, tj. parametrické rovnice plochy S budou x = x,
y = y, z = 4 − x − y, x > 0, =⇒ x > 0 , y > 0 , x + y < 4 .
y > 0,
z = 4 − x − y > 0 =⇒
Nyní najdeme normálu k ploše S v této parametrizaci: tx = (1, 0, −1) ,
ty = (0, 1, −1) =⇒ n = tx × ty = (1, 1, 1) .
Protože tato normála má všechny složky kladné, dostali jsme orientaci souhlasnou se zadanou orientací. A protože F · n = 4, lze hledaný plošný integrál najít jako dvojný integrál ZZ ZZ (x + y + z) dx dy = 4 dx dy , S
Ω
kde množina Ω ⊂ R2 je dána nerovnostmi x > 0,
y > 0,
x + y < 4 =⇒ 0 < y < 4 − x ,
Podle Fubiniovy věty pak je ZZ
Z
S
Z
4
(x + y + z) dx dy =
dx 0
0 < x < 4.
4−x
4 dx dy = 32 . 0
ZZ Určete
x dy dz + y dz dx, kde S
S = (x, y, z) ∈ R3 ; x2 + y 2 + z 2 = R2 , z > 0 orientovaná tak, že n · (0, 0, 1) > 0. RR Řešení: Jedná se o plošný integrál druhého druhu S F dS, kde F = (x, y, 0). Najdeme parametrické rovnice plochy S. Protože se jedná o polokouli, lze k její parametrizaci použít sférické souřadnice nebo vyřešit rovnici, která plochu definuje a parametrizovat ji jako graf funkce z = z(x, y) = p R2 − x2 − y 2 . Protože se ve druhém případě lépe počítá normála, zvolíme druhý postup. Za parametry proměnné x a y a parametrické rovnice napíšeme jako p x = x , y = y , z = R2 − x2 − y 2 , x2 + y 2 < R2 . Pro tuto parametrizaci jednoduše najdeme normálu −x −y tx = 1, 0, p , ty = 0, 1, p =⇒ R2 − x2 − y 2 R2 − x2 − y 2 x y =⇒ n = tx × ty = p ,p ,1 . R2 − x2 − y 2 R2 − x2 − y 2 23
Protože její třetí složka n3 = n · (0, 0, 1) = 1 > 0, dostáváme orientaci souhlasnou se zadanou orientací. A protože x2 + y 2 F ·n= p , R 2 − x2 − y 2 je
ZZ
ZZ
x2 + y 2
p
x dy dz + y dz dx = S
Ω
dx dy ,
R2 − x2 − y 2
kde Ω ⊂ R2 je kruh x2 +y 2 < R2 . Abychom našli integrál přes tento kruh, je výhodné zavést polární souřadnice x = r cos ϕ , y = r sin ϕ , r > 0 , 0 < ϕ < 2π ; J = r . Protože kruh Ω je v polárních souřadnicích dána nerovnostmi 0 < r < R a 0 < ϕ < 2π, dostaneme z věty o substituci a Fubiniovy věty Z
ZZ S
Z
2π
x dy dz + y dz dx =
R
√
dϕ 0
0
r3 dr = 2π R2 − r 2
Z
R2
0
1 2
4 R2 − t t−1/2 dt = πR3 , 3
kde jsme při výpočtu integrálu použili substituci t = R2 − r2 . ZZ Určete x dy ∧ dz + y dz ∧ dx + (z 2 − 1) dx ∧ dy, kde S
S = (x, y, z) ∈ R3 ; x2 + y 2 = 1 , 0 < z < 1 , která je orientovaná tak, že normála má pro x > 0 a y > 0 první složku kladnou. RR Řešení: Jedná se o plošný integrál druhého druhu S F dS, kde F = (x, y, z 2 − 1). Najdeme parametrické rovnice plochy S. To je nejjednodušší pomocí cylindrických souřadnic, kdy dostaneme parametrické rovnice x = cos ϕ ,
y = sin ϕ ,
z = z,
0 < ϕ < 2π ,
0 < z < 1.
Normála v těchto souřadnicích je tϕ = (− sin ϕ, cos ϕ, 0) ,
tz = (0, 0, 1) =⇒ n = tϕ × tz = (cos ϕ, sin ϕ, 0) .
Protože pro x > 0 a y > 0 je 0 < ϕ < 12 π, dostali jsme orientaci souhlasnou s požadovanou orientací. A protože F · n = cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1 , je hledaný plošný integrál roven ZZ
Z x dy dz + y dz dx + (z − 1) dx dy =
S
Z
2π
2
dϕ 0
1
dz = 2π . 0
ZZ Určete
dy ∧ dz − y dx ∧ dz, kde S
S = (x, y, z) ∈ R3 ; z = x2 − y 2 , x2 + y 2 < 1 orientovaná tak, že n · (0, 0, 1) > 0. 24
RR Řešení: Jedná je o plošný integrál druhého druhu S F dS, kde vektorová funkce F = (1, y, 0), protože dx ∧ dz = − dz ∧ dx. Plocha je dána jako graf funkce z = z(x, y) = x2 − y 2 . Proto je přirozené vybrat za parametry proměnné x a y a za parametrické rovnice vzít x = x,
z = x2 − y 2 ,
y = y,
x2 + y 2 < 1 .
V této parametrizaci nalezneme odpovídající normálu k ploše S: tx = (1, 0, 2x) ,
ty = (0, 1, −2y) ,
n = tx × ty = (−2x, 2y, 1) .
Protože je třetí složka této normály n3 = 1 > 0, dává tato orientace plochy S požadovanou orientaci. A protože F · n = −2x + 2y 2 , lze zapsat daný plošný integrál pomocí dvojného integrálu ZZ ZZ dz dy + y dz dx = −2x + 2y 2 dx dy , , S
Ω
kde Ω je kruh x2 + y 2 < 1. Integrál přes kruh Ω najdeme například pomocí polárních souřadnic x = r cos ϕ ,
y = r sin ϕ ,
r > 0,
0 < ϕ < 2π ;
J = r.
Protože kruh Ω je v polárních souřadnicích definována nerovnostmi 0 < r < 1, 0 < ϕ < 2π, dostaneme z věty o substituci a Fubiniovy věty ZZ
Z dz dy + y dz dx =
S
Z
1
2π
dr 0
−2r cos ϕ + 2r sin ϕ r dϕ =
Z
1
2
2
0
0
2πr3 dr =
π . 2
ZZ Určete
z dx dy, kde S
x2 y2 z2 (x, y, z) ∈ R ; 2 + 2 + 2 = R2 , z > 0 a b c 3
S=
,
která je orientovaná tak, že třetí složka normály je kladná. RR Řešení: Jedná je o plošný integrál druhého druhu S F dS, kde vektorová funkce F = (0, 0, z). Protože integrujeme přes polovinu elipsoidu, je výhodné parametrizovat plochu S pomocí rovnic x = a cos θ cos ϕ ,
y = b cos θ sin ϕ ,
z = c sin θ ,
− 12 π < θ <
1 2
π
0 < ϕ < 2π .
Z nerovnosti z > 0 pak plyne sin θ > 0 =⇒ 0 < ϕ < 2π ,
0<θ<
1 2
π.
Normála k ploše S ve zvolené parametrizaci je tϕ = (−a cos θ sin ϕ, b cos θ cos ϕ, 0) ,
tθ = (−a sin θ cos ϕ, −b sin θ sin ϕ, c cos θ) =⇒
2
=⇒ n = tϕ × tθ = (bc cos θ cos ϕ, ac cos2 θ sin ϕ, ab cos θ sin θ) . Protože pro θ ∈ (0, 12 π) je její třetí složka kladná, definuje tato normála orientaci plochy S souhlasnou se zadanou orientací. A protože F · n = abc sin2 θ cos θ , 25
je plošný integrál dán dvojným integrálem ZZ ZZ z dx dy = abc sin2 θ cos θ dϕ dθ . S
Ω
Z Fubiniovy věty pak dostaneme ZZ
Z
S
Z
π/2
z dx dy =
2π
dθ 0
Z abc sin2 θ cos θ dϕ = 2πabc
0
h = 2πabc
π/2
sin2 θ cos θ dθ =
0 1 3
sin3 θ
iπ/2 0
=
2 πabc . 3
ZZ Určete
z dx dy − (x + y) dz dx, kde S
S = (x, y, z) ∈ R3 ; z = x2 + y 2 , 0 < z < 1 , která je orientovaná tak, že n · (0, 0, 1) > 0. RR Řešení: Jedná je o plošný integrál druhého druhu S F dS, kde vektorová funkce F = (0, −x−y, z). Plocha je dána jako graf funkce z = z(x, y) = x2 + y 2 . Proto je přirozené vybrat za parametry proměnné x a y a za parametrické rovnice vzít x = x,
z = x2 + y 2 ,
y = y,
z = x2 + y 2 < 1 .
V této parametrizaci nalezneme odpovídající normálu k ploše S: tx = (1, 0, 2x) ,
ty = (0, 1, 2y) ,
n = tx × ty = (−2x, −2y, 1) .
Protože je třetí složka této normály n3 = 1 > 0, dává tato orientace plochy S požadovanou orientaci. A protože F · n = 2y(x + y) + x2 + y 2 = x2 + 2xy + 3y 2 , lze zapsat daný plošný integrál pomocí dvojného integrálu ZZ ZZ z dx dy − (x + y) dz dx = x2 + 2xy + 3y 2 ) dx dy . S
Ω
kde Ω je kruh x2 + y 2 < 1. Integrál přes kruh Ω najdeme například pomocí polárních souřadnic x = r cos ϕ ,
y = r sin ϕ ,
r > 0,
0 < ϕ < 2π ;
J = r.
Protože kruh Ω je v polárních souřadnicích definována nerovnostmi 0 < r < 1, 0 < ϕ < 2π, dostaneme z věty o substituci a Fubiniovy věty ZZ
Z
S
Z
2π
z dx dy − (x + y) dz dx =
dϕ 0
1 = 4
1
r2 cos2 ϕ + 2r2 cos ϕ sin ϕ + 3r2 sin2 ϕ r dr =
0
Z
2π
2 − cos 2ϕ + sin 2ϕ dϕ = π .
0
ZZ xz dy ∧ dz + x2 y dz ∧ dx + y 2 z dx ∧ dy, kde
Určete S
S = (x, y, z) ∈ R3 ; x2 + y 2 = 1 , x > 0 , y > 0 , 0 < z < 1 26
orientovaná tak, že n · (1, 0, 0) > 0. RR Řešení: Jedná je o plošný integrál druhého druhu S F dS, kde vektorová funkce F = (xz, x2 y, y 2 z). Najdeme parametrické rovnice plochy S. To je v našem případě nejjednodušší pomocí cylindrických souřadnic. Z nich dostaneme x = cos ϕ ,
y = sin ϕ ,
z = z,
0 < ϕ < 2π ,
z ∈ R.
Z podmínek x > 0,
y > 0,
0 < z < 1 =⇒ 0 < ϕ < 21 π ,
0 < z < 1.
Odpovídající normála v těchto souřadnicích tϕ = (− sin ϕ, cos ϕ, 0) ,
tz = (0, 0, 1) =⇒ n = tϕ × tz = (cos ϕ, sin ϕ, 0) ,
má na množině x > 0, tj. cos ϕ > 0, první složku kladnou, a tedy orientuje plochu S souhlasně se zadanou orientací. Protože F · n = z cos2 ϕ + cos2 ϕ sin2 ϕ , je hledaný plošný integrál ZZ
Z 2
2
xz dy dz + x y dz dx + y z dx dy = S
Z = 0
π/2
1 2
cos2 ϕ + cos2 ϕ sin2 ϕ dϕ = ZZ
1
dϕ Z
0 π/2
z cos2 ϕ + cos2 ϕ sin2 ϕ dz =
0
3 1 π 3 1 π 3π cos2 ϕ − cos4 ϕ dϕ = · · − · · = . 2 2 2 4 2 2 16
3 2
0
Vypočtěte plošný integrál
Z
π/2
dz dx dx dy x2 dy dz + + , kde S je vnější strana elipsoidu 2 + x y z a
S
y2 z2 + 2 = 1. 2 b c
RR Řešení: Jedná je o plošný integrál druhého druhu S F dS, kde vektorová funkce F = x−1 , y −1 , z −1 . Protože integrujeme přes elipsoid, je výhodné parametrizovat plochu S pomocí rovnic x = a cos θ cos ϕ ,
y = b cos θ sin ϕ ,
z = c sin θ ,
− 12 π < θ <
1 2
π
0 < ϕ < 2π .
Normála k ploše S ve zvolené parametrizaci je tϕ = (−a cos θ sin ϕ, b cos θ cos ϕ, 0) ,
tθ = (−a sin θ cos ϕ, −b sin θ sin ϕ, c cos θ) =⇒
2
=⇒ n = tϕ × tθ = (bc cos θ cos ϕ, ac cos2 θ sin ϕ, ab cos θ sin θ) . Protože například v bodě [a; 0; 0], kterému odpovídají hodnoty parametrů ϕ = θ = 0, je normála n = (bc, 0, 0), a tedy směřuje vně elipsoidu, odpovídá tato orientace zadané orientaci. A protože F ·n=
ac ab a2 b2 + a2 c2 + b2 c2 bc cos θ + cos θ + cos θ = cos θ , a b c abc
je plošný integrál dán dvojným integrálem ZZ S
dy dz dz dx dx dy + + x y z
ZZ = Ω
27
a2 b2 + a2 c2 + b2 c2 cos θ dϕdθ . abc
Z Fubiniovy věty pak dostaneme ZZ S
dy dz dz dx dx dy + + x y z
a2 b2 + a2 c2 + b2 c2 = abc
Z
Z
2π
0 2 2
= 4π
π/2
dϕ
cos θ dθ = −π/2
a2 b2 + a2 c2 + b c . abc
ZZ x2 dy dz + y 2 dz dz + z 2 dx dy, kde S je vnější strana kulové plochy
Vypočtěte plošný integrál S
(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 . RR Řešení: Protože se jedná o plošný integrál druhého druhu S F dS, kde F = x2 , y 2 , z 2 je spojitě diferencovatelná funkce a S = δV je uzavřená plocha, která je kladně orientovanou hranicí tělesa V, lze použít Gaussovu větu. Podle ní je ZZ ZZZ F dS = div F dx dy dz . δV
V
V daném případě je div F = 2x + 2y + 2z a V je koule (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 < R2 . Proto je ZZ ZZZ x2 dy dz + y 2 dz dx + z 2 dx dy = 2 (x + y + z) dx dy dz . S
V
Integrál přes kouli V najdeme třeba pomocí sférických souřadnic. Protože jde o kouli se středem S = [a; b; c], zvolíme souřadnice x = a + r cos θ cos ϕ , y = b + r cos θ sin ϕ , z = c + r sin θ ,
r > 0 , − 21 π < θ <
1 2
π , 0 < ϕ < 2π ;
2
J = r cos θ . A protože je koule V v těchto souřadnicích určena nerovnostmi 0 < r < R,
− 12 π < θ <
1 2
π,
0 < ϕ < 2π ,
je podle věty o substituci a Fubiniovy věty ZZ x2 dy dz + y 2 dz dx + z 2 dx dy = Z
S R
=2
Z
Z
π/2
dr
dθ
0
−π/2
2π
a + b + c + r cos θ cos ϕ + cos θ sin ϕ + sin θ 0
r2 cos θ dϕ =
8 π(a + b + c) . 3
ZZ Určete
xz dy dz+xy dz dx+yz dx dy, kde S je hranice čtyřstěnu x > 0 , y > 0 , z > 0 , x+y+z < S
1, která je kladně orientovaná, tj. normála směřuje vně. RR Řešení: Protože se jedná o plošný integrál druhého druhu S F dS, kde F = xz, xy, yz je spojitě diferencovatelná funkce a S = δV je uzavřená plocha, která je kladně orientovanou hranicí tělesa V, lze použít Gaussovu větu. Podle ní je ZZ ZZZ F dS = div F dx dy dz . δV
V
28
V daném případě je div F = z + x + y a V je čtyřstěn x > 0, y > 0, z > 0 a x + y + z < 1. Proto je ZZ ZZZ xz dy dz + xy dz dx + yz dx dy = (x + y + z) dx dy dz . S
V
Integrál přes čtyřstěn najdeme pomocí Fubiniovy věty, když napíšeme nerovnosti ve tvaru 0 < z < 1−x−y,
0 < y < 1 − x,
Podle ní je ZZ
Z
Z
1
xz dy dz + xy dz dx + yz dx dy = S
Z
1−x
dx
0 < x < 1.
1−x−y
dy
0
0
0
1 x + y + z dz = . 8
ZZ Spočtěte integrál
f dS, kde f (x, y, z) = (x, y, z) a S
S = (x, y, z) ∈ R3 ; x2 + y 2 + z 2 = a2 , x > 0 , y > 0 , z > 0 , kde normála má všechny složky kladné. Řešení: Nejprve najdeme parametrické rovnice plochy S. Protože se jedná o část kulové plochy se středem v počátku a poloměrem a, jsou její parametrické rovnice x = a cos θ cos ϕ ,
y = a cos θ sin ϕ ,
− 12 π < θ <
z = a sin θ ,
1 2
π,
0 < ϕ < 2π
a z nerovností x > 0,
y>0
z > 0 =⇒ 0 < θ <
1 2
π,
0<ϕ<
1 2
π.
Zbývá ještě najít odpovídající rovnice normály. Ty jsou tϕ = (−a cos θ sin ϕ, a cos θ cos ϕ, 0) , 2
2
tθ = (−a sin θ cos ϕ, −a sin θ sin ϕ, a cos θ) =⇒ 2
=⇒ n = tϕ × tθ = (a cos θ cos ϕ, a cos2 θ sin ϕ, a2 cos θ sin θ) . Protože v oboru hodnot parametrů θ a ϕ jsou složky této normály kladné, zadává tato normála orientaci souhlasnou se zadanou orientací. A protože f · n = a3 cos3 θ cos2 ϕ + a3 cos3 θ sin2 ϕ + a3 cos θ sin2 θ = a3 cos θ , je daný plošný integrál ZZ
Z f dS = S
Z
π/2
π/2
dϕ 0
0
a3 cos θ dθ =
π 3 a . 2
ZZ Vypočtěte integrál x2 dy ∧ dz + z 2 dx ∧ dy, kde S je kladně orientovaná hranice krychle D = S (x, y, z) ∈ R3 ; 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ 1 . RR Řešení: Protože se jedná o plošný integrál druhého druhu S F dS, kde F = x2 , 0, z 2 je spojitě diferencovatelná funkce a S = δV je uzavřená plocha, která je kladně orientovanou hranicí tělesa V, lze použít Gaussovu větu. Podle ní je ZZ ZZZ F dS = div F dx dy dz . δV
V
29
V daném případě je div F = 2x + 2z a V je krychle 0 < x < 1, 0 < y < 1 a 0 < z < 1. Tedy platí ZZ ZZZ 2 2 x dy dz + z dx dy = 2 (x + z) dx dy dz S
V
a podle Fubiniovy věty je ZZ
Z 2
Z
1
2
dx
x dy dz + z dx dy = 2
dz
0
S
Z
1
0
1
(x + z) dy = 2 . 0
ZZ x3 dy dz + y 3 dz dx + z 3 dx dy, kde
Vypočtěte integrál S
S = (x, y, z) ∈ R3 ; x2 + y 2 + z 2 = 1 , z ≥ 0 , která je orientovaná tak, že n · (0, 0, 1) > 0. RR Řešení: Jedná se o plošný integrál druhého druhu S F dS, kde F = x3 , y 3 , z 3 je spojitě diferencovatelná funkce. Kdyby byla plocha S hranicí nějakého tělesa V, mohli bychom použít Gaussovu větu. Plocha S je polovina kulové plochy x2 + y 2 + z 2 = 1, z ≥ 0. Jestliže plochu S uzavřeme plochou S0 , která je dána rovnicí z = 0, x2 + y 2 ≤ 1, dostaneme hranici polokoule V, na kterou již lze použít Gaussovu větu. Ta dává ZZ ZZ ZZ ZZZ F dS = F dS + F dS = div F dx dy dz . S∪S0
S
S0
V
Protože je plocha S0 kruh v rovině z = 0 je její normála n0 = (0, 0, 1), a tedy ploše S0 platí F · n0 = x3 , y 3 , 0 · (0, 0, 1) = 0 . Proto je
ZZ F dS = 0 S0
a platí
ZZ
ZZZ F dS = S
Protože je
div F dx dy dz . V
div F = 3 x2 + y 2 + z 2 , ZZ
ZZZ
x2 + y 2 + z 2 dx dy dz .
x3 dy dz + y 3 dz dx + z 3 dx dy = 3 S
V
Pro výpočet integrálu přes polokouli V použijeme sférické souřadnice x = r cos θ cos ϕ , y = r cos θ sin ϕ , z = r sin θ ,
r > 0 , − 12 π < θ <
2
J = r cos θ . A protože je polokoule V v těchto souřadnicích určena nerovnostmi 0 < r < 1,
0<θ< 30
1 2
π,
0 < ϕ < 2π ,
1 2
π , 0 < ϕ < 2π ;
je podle věty o substituci a Fubiniovy věty ZZ
Z
Z
2π
x3 dy dz + y 3 dz dx + z 3 dx dy = 3
dϕ
S
Z
π/2
1
cos θ dθ
0
0
r4 dr =
0
6 π. 5
Poznámka: Podobné doplnění plochy S na uzavřenou plochu lze použít i v některých dalších příkladech, ale nechtěl jsem to komplikovat.
ZZ f dS, kde f = (x, y, z 2 − 1) a S je kladně orientovaná hranice tělesa
Vypočtěte integrál S
D = (x, y, z) ∈ R3 ; x2 + y 2 ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ 1 . RR Řešení: Protože se jedná o plošný integrál druhého druhu S f dS, kde f = x, y, z 2 − 1 je spojitě diferencovatelná funkce a S = δV je uzavřená plocha, která je kladně orientovanou hranicí tělesa V, lze použít Gaussovu větu. Podle ní je ZZ ZZZ f dS = div f dx dy dz . δV
V
V daném případě je div f = 2 + 2z 2
2
a V je část válce x + y < 1, 0 < z < 1. Proto je ZZ ZZZ f dS = (2 + 2z) dx dy dz . S
V
Integrál přes válec V najdeme třeba pomocí válcových souřadnic. x = r cos ϕ ,
y = r sin ϕ ,
z = z,
r > 0,
0 < ϕ < 2π ,
z ∈ R;
J = r.
A protože je V v těchto souřadnicích určeno nerovnostmi 0 < r < 1,
0 < ϕ < 2π ,
0 < z < 1,
je podle věty o substituci a Fubiniovy věty ZZ
Z f dS = S
Z
2π
dϕ 0
Z
1
1
dr 0
(2 + 2z) r dz = 3π . 0
ZZ Vypočtěte integrál
xz dy dz + xy dz dx + yz dx dy, kde S je kladně orientovaná hranice tělesa S
D = (x, y, z) ∈ R3 ; x2 + y 2 ≤ R2 , 0 ≤ z ≤ h , x ≥ 0 , y ≥ 0 . RR Řešení: Protože se jedná o plošný integrál druhého druhu S F dS, kde F = xz, xy, yz je spojitě diferencovatelná funkce a S = δV je uzavřená plocha, která je kladně orientovanou hranicí tělesa V, lze použít Gaussovu větu. Podle ní je ZZ ZZZ F dS = div F dx dy dz . δV
V
V daném případě je div F = z + x + y 31
a těleso V je část válce x2 + y 2 < R2 , x > 0, y > 0, 0 < z < h. Proto je ZZ ZZZ xz dy dz + xy dz dx + yz dx dy = (x + y + z) dx dy dz . S
V
Integrál přes válec V najdeme třeba pomocí válcových souřadnic. x = r cos ϕ ,
y = r sin ϕ ,
z = z,
r > 0,
0 < ϕ < 2π ,
z ∈ R;
J = r.
A protože je V v těchto souřadnicích určeno nerovnostmi 0 < r < R,
1 2
0<ϕ<
π,
0 < z < h,
je podle věty o substituci a Fubiniovy věty ZZ
Z S
Z =
R
dz
2r +
0
0
1 2
Z
R
dz 0
Z
h
Z
h
xz dy dz+xy dz dx + yz dx dy =
π/2
dr 0
Z
r cos ϕ + r sin ϕ + z r dϕ =
0 h
πz r dr = 0
2 3
R3 +
1 4
hR πR2 z dz = 16R2 + 3πh2 . 24
ZZ f dS, kde f = (x2 , y 2 , z 2 ) a S je část kuželové plochy x2 + y 2 = z 2 , 0 < z < h, která
Vypočtěte S
je orientovaná tak, že n · (0, 0, 1) < 0. Řešení: Nejprve najdeme parametrické rovnice plochy p S. Aby se mi snadno počítala normála, budu ji parametrizovat jako graf funkce z = z(x, y) = x2 + y 2 , tj. za parametry zvolím proměnné x a y. Parametrické rovnice pak jsou p p x = x , y = y , z = x2 + y 2 , 0 < z = x2 + y 2 < h . V těchto souřadnicích je odpovídající normála y −x −y x , ty = 0, 1, p =⇒ n = tx × ty = p ,p ,1 . tx = 1, 0, p x2 + y 2 x2 + y 2 x2 + y 2 x2 + y 2 Ale protože je její třetí složka n3 = 1 > 0, definuje opačnou orientaci plochy S než je požadovaná orientace. Protože x3 + y 3 −f · n = p − x2 − y 2 , 2 2 x +y je
ZZ
ZZ f dS = S 2
2
Ω
x3 + y 3 p − x2 − y 2 dx dy , x2 + y 2
2
kde Ω je kruh x + y < h . Integrál přes tento kruh najdeme například pomocí polárních souřadnic x = r cos ϕ ,
y = r sin ϕ ,
r > 0,
0 < ϕ < 2π ;
J = r.
Protože je kruh Ω dán v polárních souřadnicích nerovnostmi 0
0 < ϕ < 2π ,
plyne z věty o substituci a Fubiniovy věty, že platí ZZ
Z f dS =
S
Z
h
dr 0
2π
2
3
2
3
r cos ϕ + r sin ϕ − r
2
Z
h
r dϕ = −2π 0
0
32
r3 dr = −
π 4 h . 2
Nechť i, j, resp. k, jsou jednotkové vektory ve směru osy x, y, resp. z. Najděte tok vektoru v = xi + yj + zk stěnou kuželové plochy x2 + y 2 = z 2 , 0 ≤ z ≤ h. RR Řešení: Tok Φ vektorového pole v plochou S je dán plošným integrálem druhého druhu Φ = S vdS. V příkladu je pole v = (x, y, z) a plocha S je dána vztahem x2 + y 2 = z 2 , 0 ≤ z ≤ h. Abychom převedli plošný integrál na dvojný, parametrizujeme plochu S. To lze snadno udělat pomocí p cylindrických souřadnic nebo tím, že plochu parametrizujeme jako graf funkce z = z(x, y) = x2 + y 2 . Abych dostal jednoduchý výpočet normály, zvolím druhý způsob. Parametry pak budou proměnné x a y a parametrické rovnice p p x = x , y = y , z = x2 + y 2 , 0 ≤ z = x2 + y 2 ≤ h . Pro normálu při této volbě parametrizace dostaneme x y −x −y , ty = 0, 1, p =⇒ n = tx × ty = p tx = 1, 0, p ,p ,1 . x2 + y 2 x2 + y 2 x2 + y 2 x2 + y 2 A protože je
p x2 + y 2 v · n = −p + x2 + y 2 = 0 , x2 + y 2
je tok vektoru v plochou S roven Φ = 0. Nechť i, j, resp. k, jsou jednotkové vektory ve směru osy x, y, resp. z. Najděte tok vektoru v = yzi + xzj + xyk boční stěnou válce x2 + y 2 ≤ a2 , 0 ≤ z ≤ h. RR Řešení: Tok Φ vektorového pole v plochou S je dán plošným integrálem druhého druhu Φ = S vdS. V příkladu je pole v = (yz, xz, xy) a plocha S je dána vztahem x2 + y 2 = a2 , 0 ≤ z ≤ h. Abychom převedli plošný integrál na dvojný, parametrizujeme plochu S. Tu lze snadno najít pomocí válcových souřadnic a dostaneme x = a cos ϕ ,
y = a sin ϕ ,
z = z,
0 < ϕ < 2π ,
0 < z < h.
Normála v těchto souřadnicích je tϕ = (− sin ϕ, cos ϕ, 0) , A protože je
tz = (0, 0, 1) =⇒ n = tϕ × tz = (cos ϕ, sin ϕ, 0) .
v · n = a2 z sin ϕ cos ϕ + a2 z sin ϕ cos ϕ = 2a2 z cos ϕ sin ϕ ,
je
Z
Z
h
Φ=
dz 0
2π
2a2 z cos ϕ sin ϕ dϕ = 0 .
0
Nechť i, j, resp. k, jsou jednotkové vektory ve směru osy x, y, resp. z. Najděte tok vektoru v = yzi + xzj + xyk povrchem válce x2 + y 2 ≤ a2 , 0 ≤ z ≤ h. RR Řešení: Tok Φ vektorového pole v plochou S je dán plošným integrálem druhého druhu Φ = S vdS. V příkladu je pole v = (yz, xz, xy) a plocha S je povrch válce x2 + y 2 ≤ a2 , 0 ≤ z ≤ h. Protože je plocha S hranice tělesa V, lze při výpočtu integrálu použít Gaussovu větu ZZ ZZZ vdS = div v dx dy dz . S
V
33
V našem případě je div v = 0 , a tedy to vektoru v povrchem válce S je Φ = 0. Nechť i, j, resp. k, jsou jednotkové p vektory ve směru osy x, y, resp. z. Najděte tok vektoru v = xi + yj + zk plochou z = 1 − x2 + y 2 , 0 ≤ z ≤ 1. RR Řešení: Tok Φ vektorového pole v plochou S je dán plošným integrálem druhého druhu Φ = S vdS. V p příkladu je vektorové pole v = (x, y, z) a plocha S je kuželová plocha dána rovnicí z = 1 − x2 + y 2 , 0 ≤ z ≤ 1. Protože je plocha dána jako graf funkce z = z(x, y), použijeme jako parametry proměnné x a y. Parametrické rovnice plochy S jsou v takovém případě x = x,
y = y,
z =1−
Odpovídající normála je −x tx = 1, 0, p , x2 + y 2
p x2 + y 2 ,
0≤z =1−
p x2 + y 2 ≤ 1 =⇒ 0 ≤ x2 + y 2 ≤ 1 .
−y x y ty = 0, 1, p =⇒ n = tx × ty = p ,p ,1 . x2 + y 2 x2 + y 2 x2 + y 2
A protože skalární součin p x2 + y 2 v·n= p + 1 − x2 + y 2 = 1 , 2 2 x +y je tok vektoru v plochou S dán dvojným integrálem ZZ Φ= dx dy , Ω
kde Ω je kruh x2 + y 2 < 1. Poslední integrál je obsah tohoto kruhu, a tedy Φ = π. Nechť i, j, resp. k, jsou jednotkové vektory ve směru osy x, y, resp. z. Najděte tok vektoru v = x2 i + y 2 j + z 2 k částí kulové plochy x2 + y 2 + z 2 = 1, která leží v prvním oktantu, tj. x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0. RR Řešení: Tok Φ vektorového pole v plochou S je dán plošným integrálem druhého druhu Φ = S vdS. V příkladu je vektorové pole v = x2 , y 2 , z 2 a plocha S je část kulové plochy x2 + y 2 + z 2 = 1, x, y, z ≥ 0. Abychom mohli použít k výpočtu integrálu Gaussovu větu, uzavřeme plochu S čtvrtkruhy Sx , Sy a Sz se středem v počátku a poloměrem 1, kde Z Sx :
x = 0,
nx ∼ (1, 0, 0) ,
2
v · nx = x = 0 =⇒
vdS = 0 , Sx
Z Sy :
y = 0,
ny ∼ (0, 1, 0) ,
v · ny = y 2 = 0 =⇒
vdS = 0 , Sy
Z Sz :
z = 0,
nz ∼ (0, 0, 1) ,
2
v · nz = z = 0 =⇒
vdS = 0 . Sz
Protože S ∪ Sx ∪ Sy ∪ Sz = δV , 34
kde V je osmina koule x2 + y 2 + z 2 < 1, x, y, z > 0, je podle Gaussovy věty ZZ ZZ ZZZ vdS = vdS = div v dx dy dz . S
δV
V
Protože div v = 2x + 2y + 2z , je tok roven
ZZZ Φ=2
(x + y + z) dx dy dz . V
Trojný integrál přes osminu koule V najdeme nejsnáze pomocí sférických souřadnic x = r cos θ cos ϕ , y = r cos θ sin ϕ , z = r sin θ ,
r > 0 , − 12 π < θ <
1 2
π , 0 < ϕ < 2π ;
2
J = r cos θ . Naše osmina koule V je v těchto souřadnicích dána nerovnostmi 0 < r < 1,
0<θ<
1 2
π,
0<ϕ<
1 2
π.
Podle věty o substituci a Fubiniovy věty pak dostaneme Z π/2 Z π/2 Z 1 Φ=2 dθ dϕ r3 cos θ cos ϕ + cos θ sin ϕ + sin θ cos θ dr = 0
=
1 2
1 = 2
Z
0
Z
π/2
dθ 0
Z
0 π/2
cos θ cos ϕ + cos θ sin ϕ + sin θ cos θ dϕ =
0 π/2
2 cos2 θ +
0
1 2
1 π π 3 π sin θ cos θ dθ = + = π. 2 2 4 8
Nechť i, j, resp. k, jsou jednotkové vektory ve směru osy x, y, resp. z. Najděte tok vektoru v = yi + zj + xk povrchem čtyřstěnu, který je omezen rovinami x + y + z = a, x = 0, y = 0 a z = 0 (a > 0). RR Řešení: Tok Φ vektorového pole v plochou S je dán plošným integrálem druhého druhu Φ = S vdS. V příkladu je vektorové pole v = (y, z, x) a plocha S je hranice čtyřstěnu V, který je definován nerovnostmi x > 0, y > 0, z > 0 a x + y + z < a. Protože plocha S = δV je hranicí čtyřstěnu V můžeme pro výpočet plošného integrálu použít Gaussovu větu. Podle ní je ZZ ZZZ Φ= vdS = div v dx dy dz . δV
V
A protože pro dané vektorové pole v je div v = 0 , je jeho tok povrchem čtyřstěnu Φ = 0. Nechť i, j, resp. k, jsou jednotkové vektory ve směru osy x, y, resp. z. Najděte tok vektoru v = x3 i + y 3 j + z 3 k kulovou plochou x2 + y 2 + z 2 = z. RR Řešení: Tok Φ vektorového pole v plochou S je dán plošným integrálem druhého druhu Φ = S vdS. V příkladu je vektorové pole v = x3 , y 3 , z 3 a plocha S je hranice koule V definované nerovností x2 + y 2 + y 2 < z, lze při výpočtu integrálu použít Gaussovu větu. Podle ní je ZZ ZZZ Φ= vdS = div v dx dy dz . S
V
35
Divergence daného vektorového pole je div v = 3 x2 + y 2 + y 2 , a tedy
ZZZ
x2 + y 2 + z 2 dx dy dz .
Φ=3 V
Trojný integrál přes kouli V najdeme pomocí sférických souřadnic r > 0 , − 21 π < θ <
1 2
π , 0 < ϕ < 2π ;
0 < ϕ < 2π =⇒ sin θ > 0 =⇒ 0 < θ <
1 2
π.
x = r cos θ cos ϕ , y = r cos θ sin ϕ , z = r sin θ , 2
J = r cos θ . V těchto souřadnicích je koule dána nerovnostmi 0 < r < sin θ ,
Podle věty o substituci a Fubiniovy věty pak dostaneme Z
dθ 0
=
Z
π/2
Φ=3 6 π 5
dr 0
Z
π/2 0
Z
sin θ
2π
Z
0
sin5 θ cos θ dθ =
dθ 0
π . 5
36
Z
π/2
r4 cos θ dϕ = 6π
0
sin θ
r4 cos θ dr =
