XV. évfolyam
Megyei döntő - 2016. február 20.
MEGOLDÁSOK - 3. osztály 1. feladat: Jancsi és Juliska Matematikai Memory-t játszik. A játék lényege, hogy négyzet alakú kártyákra vagy műveletsorokat írnak vagy a műveletsorok eredményét. Így kártyapárokat alakítanak ki. Minden műveletsornak szerepel egy másik kártyán az eredménye. A kártyákat lefelé fordítják, és felváltva megfordítanak két kártyát. Ha párt talál valamelyikük (műveletsor és eredménye), akkor nem fordítja vissza a lapokat és kap egy pontot. Ha nem sikerül párt találnia, akkor visszafordítja a lapokat. Juliska már három párt is talált és valamennyi lapot legalább egyszer megfordították. Most éppen Jancsi következik, aki egy lapot már megfordított, amelyen műveletsor volt. Nem tudja pontosan, hogy melyik a párja, de emlékszik néhány információra a kártyákról. Az információk: - Minden oszlopban volt műveletsor és eredmény is. - Volt olyan sor, ahol nem két műveletsor szerepelt. - A 2. sorban csak kétjegyű eredmények szerepeltek. a) Számítsd ki a műveletsorok eredményeit! Milyen szám fog szerepelni a megfordított lapon? b) Melyik kártyát fordítsa meg Jancsi, hogy megtalálja az általa felfordított kártyalap párját? A válaszod indokold! A kártyák jelenlegi látható állapota:
1
Megoldás: a) Számítsd ki a műveletsorok eredményeit! Milyen szám fog szerepelni a megfordított lapon? (11 – 5) ∙7 – 4 = 38 ; 2 + 4 ∙ 9 – 25 = 13 ; 56 – (16 – 7) ∙ 3 = 29
3 pont
4
2 pont
b) Melyik kártyát fordítsa meg Jancsi, hogy megtalálja az általa felfordított kártyalap párját? A válaszod indokold! Az „X”-el jelölt lapot kell megfordítania, mert a 9 4 2 3 műveletsornak hiányzik az eredménye, ami 4. 2 pont Az 1. információ szerint a 2. oszlop hiányzó lapja eredményt, a 3. oszlop hiányzó lapja műveletsort tartalmaz. 2 pont A 2. információ szerint 3. sor hiányzó lapján műveletsor van, hiszen ha a 2. sorban lenne a hatodik műveletsor, akkor minden sorban pontosan két műveletsor kártya lenne, ami a feltétel szerint nem lehet. 2 pont A 3. információ szerint a 2. sor két hiányzó kártyáján kétjegyű számok vannak. Tehát az első sor második oszlopában van az eredményt tartalmazó kártya.
(11 5) 7 4
2 pont
13
X 2 4 9 25
38
56 (16 7) 3
29
9 42 3
Összesen: 13 pont 2. Az öt négyzetbe írd be az 1; 4; 7; 10 és 13 számokat úgy, hogy a három-három négyzetbe sorban és az oszlopban is ugyanannyi legyen a számok összege. Mennyi lehet ez az összeg? Megoldásaid az alábbi ábrákba írhatod. Több ábra van, mint megoldás. Keresd meg az összes megoldást! 2
Megoldás: A számok összege 35, ami páratlan, így a középső négyzetbe páratlan számnak kell kerülni. Ezek az 1; 7; 13 lehetnek. 3 pont 4 7
1
1
10
4
13
7
4 10
1
13
13
10
7
Jó ábránként 3-3 pont, ami összesen: 9 pont, hibás megoldás – 1 pont! Az összes pont nem lehet negatív. Hibátlan megoldás esetén az első 3 pont is jár. Az egyes megoldásokhoz tartozó összegek: 18; 21 és 24.
1 pont Összesen: 13 pont
3. A jelenlegi 2016-os évszám számjegyeit egy-egy számkártyára írtuk. Ezek mindegyikét mindig felhasználva műveleti jelek segítségével állítsd elő az egyjegyű számokat. Az előállításban alkothatsz kétjegyű számokat is, de zárójeleket ne használj! Megoldás: 0=2∙0∙1∙6 1 = 6 – 10 : 2 2=6:2–1+0 3=6–2 –1+0 4=0+6 –2∙1 5=0+6+1–2 6 = 0 + 12 – 6 7=0+6+2 – 1 8=0+6+2∙1 9=2+0+1+6 Megoldásonként 1-1 pont, ami összesen: 10 pont, hibás megoldás – 1 pont! Az összes pont nem lehet negatív. További jó megoldásokért kettőnként adjunk 1-1 pontot. Összesen: 10+ pont 4. Adott nyolc pont: ₓ
ₓ
ₓ
ₓ
ₓ
ₓ
ₓ
ₓ
A következő oldalon ilyen pontnyolcasokat jelöltünk meg a négyzetrácsos papíron. Rajzold le az összes különböző háromszöget! Két háromszög nem különböző, ha mind a három oldaluk páronként egyenlő.
3
Megoldás:
Jó ábránként 1-1 pont, ami összesen: 8 pont, hibás megoldás – 1 pont! Az összes pont nem lehet negatív. Összesen: 8 pont 5. feladat: Kitalált ország tengerpartján két kikötő fekszik: Északi kikötő és Déli kikötő. Mindkét kikötőből egy-egy járőrhajó indul útnak a másik kikötőbe. A járőrözés folyamán a hajók egy képzeletbeli négyzetrácson haladnak, a rácsvonalak mentén metszéspontról metszéspontra. A korábban kihelyezett három viharjelző bóját folyamatosan karban kell tartani (az ábrán pirossal jelölve: A, B, C), ezért időnként fel kell keresni a járőrhajóknak. Az A és B jelű bóját az Északi járőrhajó, míg a C jelű bóját a Déli járőrhajó ellenőrzi. a) Hány féle útvonalon juthat el az Északi járőrhajó az A jelű bójáig az Északi kikötőből indulva, ha csak Keletre és Délre mozoghat? b) Hány féle útvonalon juthat el az Északi járőrhajó a B jelű bójáig az Északi kikötőből indulva, úgy, hogy az A jelű bóját is meglátogatja, ha csak Keletre és Délre mozoghat? c) Rajzold le az Északi járőrhajó összes lehetséges útvonalát az A jelű bójától a B jelű bójáig! Minden útvonalat külön négyzetrácsra rajzolj! (Nem kell a teljes 10x10-es négyzetrácsot felrajzolnod, csak annyit, amennyi szükséges az útvonalak megadásához. A járőrhajó mozgása az a) feladatrészben megadottak szerint lehetséges.)
4
Megoldás: a) Hányféle útvonalon juthat el az Északi járőrhajó az A jelű bójáig az Északi kikötőből indulva, ha csak Keletre és Délre mozoghat? 6 féleképpen
3 pont
b) Hányféle útvonalon juthat el az Északi járőrhajó a B jelű bójáig az Északi kikötőből indulva, úgy, hogy az A jelű bóját is meglátogatja, ha csak Keletre és Délre mozoghat? 6x10=60 féleképpen, vagy az a) válasz 10-szerese.
3 pont
c) Rajzold le az Északi járőrhajó összes lehetséges útvonalát az A jelű bójától a B jelű bójáig! Minden útvonalat külön négyzetrácsra rajzolj! (Nem kell a teljes 10x10-es négyzetrácsot felrajzolnod, csak annyit, amennyi szükséges az útvonalak megadásához. A járőrhajó mozgása az a) feladatrészben megadottak szerint lehetséges.)
Összesen 10 lehetséges útvonal van. Jó ábránként 0,5-0.5 pont, ami összesen: 5 pont, hibás megoldás – 1 pont! Az összes pont nem lehet negatív. Összesen:11 pont
5
