XIII. METODE ENERGI REGANGAN

[Metode Energi Regangan]

XIII. METODE ENERGI REGANGAN 13.1. Konsep Energi Regangan Konsep energi regangan dijelaskan sebelumnya pada bab batang yang terkena beban normal dan puntir. Konsep-konsep tersebut akan dipakai pada lenturan balok. Hanya balok yang mempunyai sifat elastis linier akan dibahas, sehingga, material harus mengikuti hukum Hooke dan lendutan serta rotasi harus kecil. Ketika suatu batang dibebani, panjangnya bertambah secara berangsurangsur sehingga pada akhirnya tercapai suatu harga pemanjangan maksimum.

13.2. Energi Regangan untuk Batang Lurus yang Dikenai Gaya Tarik P

Gambar 13.1. Balok Dikenai Gaya Tarik

173

[Metode Energi Regangan] 2 L P dx P2L atau U   U 0 2 AE 2 AE

Dimana,

U = Energi regangan (Nm) L = Panjang batang (m) A = Luas penampang batang (m2) P = Gaya (N) E = Modulus young (N/m2)

13.3. Energi Regangan untuk Batang Melingkar

U

2 L T dx T 2L atau U   0 2GJ 2GJ

Dimana,

T = Torsi (Nm) G = Modulus geser (N/m2) J = Momen inersia kutub (m4)

13.4. Energi Regangan untuk Batang yang Dikenai Momen Lentur

U

174

M 2L 2 EI

atau U 



L

0

M 2 dx 2 EI

[Metode Energi Regangan] Dimana,

M = Momenlentur I = Momenareakedua

Persamaan di atas dipakai apabila momen lenturnya diketahui. Bila momen lentur M bervariasi sepanjang balok, maka bisa mendapatkan energi regangan dengan menggunakan persamaan di atas yang kedua pada elemen balok dan mengintegrasi untuk seluruh panjangnya.

13.5. Teori Castigliano Defleksi

di

bawah

titik

gaya

P

dapat

dicari

dengan

teorema

Castigliano. Pada bahan 3 dimensi yang mendapatkan gaya P1, P2,…Pn.

P1 P 1  2  2  ...  ... 2 2 U sehingga   n  Pn

U

Karena

M 2 dx U  2 EI U Mdx  M EI

jadi



M

M P

dx

EI

175

[Metode Energi Regangan]

Contoh-Contoh Soal Dan Pembahasannya 1. Carilah defleksi yang terjadi pada balok karena gaya yang diberikan seperti gambar berikut menggunakan teori Castigliano. x

P

L

Jawab:

M  Px  x 

M P

L Px 2 dx   P 2 x 3   P 2 L3 M 2 dx U     2 EI 2 EI 6 EI  6 EI  0 0 2 L

L

Menurut teori Castigliano

U  P 0 L



M

M  Px  x 

M dx P EI M P L

sehingga     0

Px xdx   Px 3  EI

L

PL3     3EI  0 3EI

2. Sebuah cincin tipis seperti gambar, mendapat gaya yang berlawanan arah pada A dan B, carilah momen lentur dan pertambahan diameter cincin.

176

[Metode Energi Regangan]

Jawab: Berdasarkan teori Castigliano pada bagian (0 /2) didapatkan rumus:

M  M A 

P R  R cos   dengan M  1 2 M A

Rotasi sudut 0o pada A didapatkan :  /2

0

 0

M

M Rd  / 2 M A   EI 0

P    M A  2 R  R cos   1Rd EI

PR   2 PR   2 PR 1  cos   M   2  2  2 M R   2 R   1  cos   P 2  2

MA 

Maka pertambahan diameter CD adalah:  /2



U 4 P

 0

 PR   2 PR  R   2 R   2   2 1  cos    2   2 1  cos   Rd EI

PR 3  2  8 PR 3   0.149 EI 4 EI

3. Sebuah poros pejal berbentuk tirus dengan nilai-nilai a = 20 mm, b = 30 mm, panjangnya 2 m menahan beban torsi sebesar 2 kNm. Bila G = 100 GN/m2, berapa sudut puntir sepanjang poros tersebut. (a dan b adalah jari-jari kedua ujung poros tersebut).

177

[Metode Energi Regangan]

Diketahui: A = 20 mm

G = 100 GN/m2

B = 30 mm

T = 2 kNm

L=2m Ditanya:  Jawab: J

32

J

32





d 

D 4  rx  a  r4 

0

a  2

T dx  GJ

L

 



b  a  x L

b  a  x  4  

L

T

b  a  x   G 2 a   L  

4

dx



L

T

b  a  x   G 2  a   L  

4

dx 

2T dx G 0  b  a  x  4 a   L  

Misal :

b  a  x   u  a   L   du b  a L   dx  du dx L ba L

 2T  L  1 3  2T L  u 4 du     3u   G 0 ba  G  b  a  0 L

L

    2TL 1 2TL 1 1       3   0.075rad 3 3  3G b  a    3G b  a   b a  b  a  x    a   L   0  

178

[Metode Energi Regangan] 4. Kerucut pejal dengan penampang lingkaran tergantung secara vertikal (bagian lancip di bawah) terkena beban beratnya sendiri, memiliki tinggi 2 m, diameter 1 m dan berat jenis 104 N/m3. Tentukan energi regangan yang tersimpan di dalam benda tersebut. E = 250 GN/m2.

D=1m

L=2m

Diketahui: D=1m 4

L=2m 3

 = 10 N/m

E = 250 GN/m2

Ditanya: U Jawab:

 Perubahan diameter

x D xD   D  L D L  Luas dasar

x

 A   D 4L 

2

 Berat kerucut

179

[Metode Energi Regangan] 2

x  P  Q  13 4  D  x L  P 1 Q 2

2   x  Q  13 14  D  x  dx  2 L   P dx  dU   2 2 AE  x   2  4  D  E    L   4

x  2 2 D x  L      L  U    x 2  0 2 4  D  E    L   L 1  x 2 D 2 / L2 x 2  2 U   18 4 dx E 0 1 2  2 3 4

U

D 2  2 72 EL2

L

4  x dx  0

 2 D 2 L3 360 E

 2.79  10 5 Nm

5. Tentukan defleksi yang terjadi dari soal no. 4 Jawab: U 

P2 dU 2 AE

U   Q 0 L

2P

P P dx L P dx Q Q  AE AE 0

2   x  Q  13 4  D  x 1dx L      Q 0 AE 1   x 2    D  x  dx L 3 4 L      2   x   0  4  D E   L  





L

0

180



 xdx  3E  3E

1 2

x2



L

0



L2 6E

 2.67  10 8 m

[Metode Energi Regangan] 6. Tentukan energi regangan dalam sebuah batang prismatik yang salah satu ujungnya digantung, jika disamping beratnya sendiri, ia menyangga pula sebuah beban W pada ujung bawahnya. Jawab: Gaya aksial P yang bekerja:

P  AL  x   W L

U  0

U

AL  x   W  dx P 2 dx  2 EA 0 2 EA 2

L

 2 AL3

WL2

W 2L   6E 2E 2 EA

7. Sebuah batang bundar AB yang salah satu ujungnya dijepit sedangkan yang lainnya bebas, dibebani sebuah momen puntir yang tersebar dalam intensitas konstan q per panjang satuan yang arahnya adalah sepanjang sumbu batang. Hitunglah energi regangan untuk harga-harga numerik berikut: L = 8 m, J = 120 x 10-6 m4, q = 5 kNm/m dan G = 78 GPa.

Jawab: Momen puntir T yang bekerja pada jarak x dari ujung batang yang bebas: T = qx L

T 2 dx 1  2GJ 2GJ 0

U  U

L

 qx  dx 2

0

5 8 q L   228 Nm 6GJ 678 120  10 6 2

2

3



3



181

[Metode Energi Regangan] 8. Tentukan energi regangan elastis yang disebabkan oleh lenturan pada balok berpenampang siku empat yang dibebani secara merata sederhana.

Jawab:

wx L  x  2 L L 2 M x dx 1 2 U   M x dx  2 EI 2 EI 0 0 Mx 

1 U 2 EI U

w2 8 EI



L



w2 x 2 2 2 0 4 L  2 Lx  x dx

 L x



L

2

2

 2 Lx3  x 4 dx

0

w2 L5  1 1 1      8 EI 0  3 2 5  L

U

2

 

 wL2 h  162 bh w2 L5 L  maks2  8  12  U     AL  2 8  30 EI  16 I  h 8  30 E 2 E  45  3

9. Suatu batang kantilever panjangnya 4 m dibebani oleh sebuah momen besar Mo = 30 kNm pada ujung kantilever tersebut. Gunakan E = 200 GN/m2 dan -6

I=

4

25 x 10 mm . a)

Tentukan besarnya energi regangan

b)

Dengan

menggunakan

teorema

Castigliano,

tentukan

besarnya

lendutan pada ujung kantilever

Q

Diketahui: L = 4 m Mo = 30 kNm E = 200 GN/m2 -6

4m 4

I = 25 x 10 mm Ditanya: a) U

182

b) 

Mo

[Metode Energi Regangan] Jawab: a. Besar energi regangan L

2 2 L M o dx  M o x  M 2 dx U     2 EI 0 2 EI 0  2 EI  0 L





2

M L 30  10 3 4 U o   360 Nm 2 EI 2 200  10 9 25  10 6 2







b. Besar lendutan pada ujung kantilever

dU dU dM  dQ dM dQ M  Qx  M o



M x Q L

 0

M

M dx L Qx  M o xdx Q  EI EI 0

Gunakan  Q  0 L





M o xdx  M o x 2  M o L2 30  10 3 4 2     48mm   EI 2 EI 2 200  10 9 25  10 6  2 EI  0 0 L







10. Suatu kantilever tersusun dari dua bahan yang berbeda jenis dan ukurannya. Bahan pertama adalah baja panjangnya 2 m mempunyai modulus elastisitas

E

= 200 GPa dan momen inersia I = 50 x 10 6 mm4. Sedangkan bahan kedua adalah besi tuang yang panjangnya 1 m, mempunyai E = 150 GPa dan I = 80 x 106 mm4.

Tentukan:

P

1m

2m

a)

Besarnya energi regangan yang tersimpan

b)

Besarnya defleksi pada ujung kantilever (gunakan teorema Castigliano)

183

[Metode Energi Regangan] Diketahui:

Ditanya:

P = 20 kN E1 = 150 Gpa

E2 = 200 GPa

I1 = 80 x 106mm4

I2 = 50 x 106mm4

a) U b) 

Jawab: a. Besarnya energi regangan L

U  0

Px  dx  Px  dx M 2 dx  2 EI 2 E 2 I 2 2 2 E1 I 1 0 2

2

2

2

3

3

P 2 x 2 dx P 2 x 2 dx U   2 E 2 I 2 2 2 E1 I 1 0 2

3

 P 2 x 3 dx   P 2 x 3 dx  U       6 E 2 I 2  0  6 E1 I 1  2 U

8P 2 27 P 2 8P 2    13.3  37.5  11.1  39.7 Nm 6 E 2 I 2 6 E1 I 1 6 E1 I 1

b. Besar defleksi pada ujung kantilever 2

3

Px 2 dx Px 2 dx   E 2 I 2 2 E1 I 1 0 2

3

 Px 3   Px 3        3E 2 I 2  0  3E1 I 1  2 8P 27 P 8P     2.7  10 3  7.5  10 3  2.2  10 3  8mm 3E 2 I 2 3E1 I 1 3E1 I 1

11. Carilah defleksi yang terjadi karena gaya yang diberikan seperti gambar berikut dengan menggunakan teori Castigliano.

184

[Metode Energi Regangan]

Jawab: L

U  0

M 2 dx 2 EI

Px 2 dx  L Px 2 dx 0 2EI 1 0 2E 2I1 

L/2

U

Menurut teori Castigliano

U    P

L



M

0

M dx M P  M  Px  x  EI P

sehingga L/2

 

 0

12. Bandingkanlah

Px xdx EI 1

Px xdx  E 2 I 1  L/2 L





9 PL3 48 EI 1

energi regangan pada ketiga batang seperti gambar berikut

nilai P = 150 MPa.

185

[Metode Energi Regangan] Jawab:

U

 A 2 L  A 2 L 2 AE

2E

Untuk batang pertama:

U1

2  1000150 5  10 3  122.5   MNm

2E

2E

Untuk batang kedua:

U2 

1000752 2.5  10 3   5001502 2.5  103   42.2 MNm 2E

2E

2E

Untuk batang ketiga:

U3

2  500150 5  10 3  56.25   MNm

2E

2E

maka perbandingan energi regangannya adalah 8 : 3 : 4 13. Baja memiliki G = 80 GN/m2 memiliki torsi sebesar 5 kN, torsi pada sambungan adalah sebesar 8 kN dan bekerja berlawanan arah, carilah total energi regangan dalamnya.

Jawab: Untuk bagian bawah:

J 186

 32

D  4

 754 32

 3.1  10 6 mm 4

[Metode Energi Regangan] Untuk bagian atas:

J

 32

D4 

 1004 32

 9.81  10 6 mm 4

Maka didapatkan energi regangan sebesar:

T 2L T 2L U  2GJ1 2GJ 2 U

50003 1  10 3 10 3 2  30003 1  10 3 10 3 2





2 80  10 3 3.1  10 6







2 80  10 3 9.81  10 6

  56.1kNm

187

[Metode Energi Regangan]

Latihan Soal 1.

Buktikan bahwa energi regangan elastis yang disebabkan oleh lenturan untuk balok siku empat yang dibebani secara merata sederhana adalah (σ2maks/2E) (8/45 AL) dimana σmaks adalah tegangan lentur maksimum, A adalah luas penampang sedang L merupakan panjang balok.

2.

Dengan menggunakan teorema Castigliano, tentukanlah defleksi titik tangkap gaya P pada balok yang penampangnya berukuran diameter 50 mm dan 30 mm seperti terlihat pada gambar di bawah ini. P

2m

1m 3.

Dengan menggunakan teorema castigliano, tentukanlah persamaan defleksi maksimum untuk sebuah balok sederhana yang dibebani secara merata yang mempunyai EI yang konstan, dalam bentuk-bentuk w, L, dan EI.

4. Suatu batang kantilever panjangnya 3 m dan ukuran penampangnya 50 × 30 mm dibebani oleh sebuah momen besar Mo = 35 kNm pada ujung kantilever tersebut. Gunakan E = 200 GN/m2 a) Tentukan besarnya energi regangan b) Dengan menggunakan teorema Castigliano, tentukan besarnya lendutan pada ujung kantilever

Q 3m

188

Mo

[Metode Energi Regangan] 5. Batas elastik suatu baja tertentu 250 GN/m2 dan modulus elastisitasnya E sama dengan 200 GN/m2. Berapakah besarnya energi mampu kembali yang dapat disimpan pada setiap kubik bahan tersebut?

Kerjakan untuk duniamu seperti akan hidup abadi, kerjakan untuk akheratmu seakan-akan besok pagi akan mati. (Sahabat Ali RA) 189