BAB I TEGANGAN DAN REGANGAN

BAB I TEGANGAN DAN REGANGAN 1.1. Tegangan Mekanika bahan merupakan salah satu ilmu yang mempelajari/membahas tentang tahanan dalam dari sebuah benda, yang berupa gaya-gaya yang ada di dalam suatu benda yang menyeimbangi gaya-gaya luar terpakai. Contoh : tegangan dan regangan. Tegangan dapat didefinisikan sebagai besarnya gaya-gaya yang bekerja pada tiap satuan luas tampang benda yang dikenai suatu besaran gaya tertentu. Tegangan dan regangan hubungannya selalu dipermasalahkan, dihitung dan ditentukan. Hal ini sudah ada sejak hokum Hook dicanangkan, besaran yang menjadi penyambungnya dikenal dengan Modulus Elastis. Untuk membahas permasalahan ini diambil suatu potongan balok sebagaimana tergambar pada gambar 1.1 yang dipotong melintang. Jika balok tersebut dikenai satu gaya diagonal sebesar p dengan kemiringan sebesar sudut , maka akan didapat gaya normal sebesar p sin dan gaya geser sebesar p cos  p

p sin 

 A= x.y

p cos 

Gambar 1.1. Potongan balok yang menerima beban normal dan geser

Besar tegangan rata-rata pada suatu bidang dapat didefinisikan sebagai intensitas gaya yang bekerja pada bidang tersebut.

Sehingga secara matematis

tegangan normal rata-rata dapat dinyatakan sebagai

 

P sin  , A  0 A lim

(1.1)

1

2

Dimana : 

= tegangan normal rata-rata (N/mm2 = MPa)

P = gaya yang bekerja (N) A = luas bidang (mm2) 

= sudut kemiringan

Sedangkan tegangan geser  dapat dinyatakan sebagai

 

P cos  A  0 A lim

(1.2)

y

yy yy

yz xx 

xy zz

xz zx zy zx

zy xz yz

yx z

yx

yy

(a) 3 Dimensi

yx y

zz xy

xy

xx

xx x

x

xx

xy yx yy

(b) 2 Dimensi

Gambar 1.2. Keadaan Tegangan pada Suatu Titik Dari gambar 1.1 jika diambil satu satuan luasan yang sangat kecil maka dapat digambarkan tegangannya seperti terlihat pada gambar 1.2. Tegangan tidak sama dengan vektor tegangan.

Tegangan merupakan tensor derajat dua, sedangkan

vektor, vektor apapun, merupakan tensor derajat satu. Besaran skalar merupakan tensor derajat nol. Tensor ialah besaran fisik yang keadaannya pada suatu titik dalam ruang, tiga dimensi, dapat dideskripsikan dengan 3n komponennya, dengan n ialah derajat tensor tersebut. Dengan demikian, untuk persoalan tegangan tiga dimensi pada suatu titik dalam ruang dapat dideskripsikan dengan 32 komponennya. Pada sistem koordinat sumbu silang, tegangan tersebut adalah xx , yy , zz , xy , yx , xz , zx , yz , dan zy seperti ditunjukkan pada Gambar 1.2(a). Namun demikian, karena xy = yx , xz = zx dan yz = zy , maka keadaan tegangan

3

tersebut dapat dinyatakan dengan enam komponennya, xx , yy , zz , xy , xz , yz. Sedangkan untuk tegangan bidang, dua dimensi, pada suatu titik dapat dideskripsikan dengan 22 komponennya, Gambar 1.2(b), dan karena ij = ji untuk

i  j maka tiga komponen telah dapat mendeskripsikan tegangan bidang pada titik itu. Pada dasarnya, tegangan secara garis besar dapat diklasifikasikan menjadi dua, yakni tegangan normal, dengan notasi ij , i = j, serta tegangan geser dengan notasi ij , i  j . Perhatikan penulisan pada paragrap di atas. Karakter indek yang pertama menyatakan bidang tempat bekerjanya gaya, sedangkan karekter indek yang kedua menyatakan arah bekerjanya vektor tegangan tersebut. Tegangan normal ialah tegangan yang bekerja tegak lurus terhadap bidang pembebanan. Sedangkan tegangan geser ialah tegangan yang bekerja sejajar dengan bidang pembebanan. Jadi keenam tegangan yang mendeskripsikan tegangan pada suatu titik terdiri atas tiga tegangan normal, xx , yy , dan zz , serta tiga tegangan geser, xy , yz , dan zx. Nilai tegangan bisa positif dan bisa pula negatif. Tegangan bernilai positif bila tegangan tersebut bekerja pada bidang positif dengan arah positif, atau bekerja pada bidang negatif dengan arah negatif. Selain itu, nilainya negatif.

1.2. Regangan y x

dx

y y y dy dy

dz z

x

x dx

z (a) 3 Dimensi

(b) 2 Dimensi

Gambar 1.3. Keadaan Regangan Normal pada Suatu Titik

x

4

Seperti halnya tegangan, regangan juga merupakan tensor derajat dua. Dengan demikian keadaan regangan ruang, tiga dimensi, pada suatu titik dapat dideskripsikan dengan kesembilan komponennya. Pada sistem koordinat sumbu silang, regangan tersebut adalah xx , yy , zz , xy , yx , xz , zx , yz , dan zy , sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 1.3(a). Regangan juga dapat diklasifikasikan menjadi dua, yakni regangan normal, dengan notasi ij , i = j, serta regangan geser dengan simbul ij i  j .Sebagaimana dengan tegangan, xy = yx , xz = zx dan yz = zy , maka keadaan regangan ruang pada suatu titik dapat dinyatakan oleh enam komponen, yakni xx , yy , zz , xy , yz , zx. Sedangkan regangan bidang, dua dimensi, dapat dideskripsikan dengan 22 komponennya, dan karena ij = ji maka regangan bidang pada suatu titik dapat dideskripsikan dengan hanya tiga komponen, Gambar 1.4(b).

y

y 0.5 xy

0.5 xy

0.5 xy

x 0.5 xz

x

0.5 yz

z (a) Tiga Dimensi

(b) Dua Dimensi

Gambar 1.4. Kondisi Regangan Geser Pada Suatu Titik

Regangan normal merupakan perubahan panjang spesifik. Regangan normal rata-rata dinyatakan oleh perubahan panjang dibagi dengan panjang awal, atau secara matematis dapat dituliskan

5

 ij 

 li



li

ui , li

i=j

(1.3)

Dimana :  ij = regangan normal rata-rata

l = u = perubahan panjang pada arah (mm) l

= panjang awal pada arah (mm)

i, j = sumbu koordinat pada sistem sumbu silang, x, y, z. Sedangkan regangan geser merupakan perubahan sudut dalam radial. Regangan geser bernilai positif bila sudut pada kuadran I dan atau kuadran III pada sistem koordinat sumbu silang mengecil, Gambar 1.4(a), sedangkan selain itu bernilai negatif. 1.3. Transformasi Tegangan Bidang Tegangan dapat ditransformasi dari suatu set sumbu koordinat ke set sumbu koordinat lainnya. Dengan transformasi pula dapat dicari set sumbu koordinat pada suatu titik yang memberikan tegangan utama dari kondisi tegangan yang telah diketahui di titik itu. Yang dimaksud dengan tegangan utama ialah tegangan yang hanya memiliki nilai tidak nol untuk tegangan normal saja, sedangkan nilai tegangan gesernya nol.

Dengan demikian juga dimungkinkan transformasi tegangan dari

sistem koordinat sumbu silang (x, y, z), Gambar 1.5(a), ke sistem koordinat polar (r, , z), Gambar 1.5(b). y

dy dz

r x

z

dx

dz

z (a) Sumbu Silang

(b) Polar

Gambar 1.5. Sistem Koordinat

6

Transformasi tegangan bidang berdasarkan pada keseimbangan gaya-gaya yang bekerja pada elemen. Perhatikan Gambar 1.6(b). y’

yy

y

y’

xy xx

x’ xy

xy

xx

xx xy xy yy

x xy

x’x’

yy (a)

(b)

Gambar 1.6. Transformasi Tegangan Bidang

 Fx '  0  x ' x ' . A  (  xy . A sin ) cos   ( yy . A sin ) sin   (  xy . A cos ) sin  xx . A cos  cos   0  x' x'   xx cos2    yy sin2  2 xy sin  cos

(1.4a)

Dengan memasukkan harga (90o + ) untuk harga  pada persamaan (1.4a), sehingga dengan identitas-identitas: 2 2 o o o 2 cos (9 0  )  (cos 9 0 cos  sin 9 0 sin  )  si n  2 2 o o o 2 sin (9 0  )  (sin 9 0 cos  cos 9 0 sin  )  co s 

sin(9 0o  )cos(9 0o  )  (sin 9 0o cos  cos 9 0o sin )(cos 9 0o cos  sin 9 0o sin ) =  sin  cos akan didapat

 y' y'   yy cos2    xx sin2  2 xy sin  cos

(1.4b)

7

 Fy '  0  x' y' . A  (  xy . A sin )sin   ( yy .A sin )cos (  xy . A cos)cos  xx .A cos  sin   0  x' y'   xy (cos2   sin2 )  ( xx   yy)sin  cos

(1.4c)

Dengan substitusi identitas trigonometri, persamaan (1.4a, b, c) bisa ditulis  x' x' 

 xx   yy  xx   yy  cos 2   xy sin 2 2 2

(1.5a)

 y' y' 

 xx   yy  xx   yy  cos 2   xy sin 2 2 2

(1.5b)

 x' y'  

 xx   yy sin 2   xy cos 2 2

(1.5c)

1.4. Transformasi Regangan Bidang Perhatikan Gambar 1.7(a). Elemen OABC pada keadaan awal tanpa beban, lalu mengalami deformasi dan distorsi menjadi O’A’B’C’ akibat mendapat beban xx , yy dan xy. Analisis transformasi regangannya ditunjukkan pada Gambar 1.7(b,c,d) yang berturut-turut untuk regangan normal arah sumbu x, regangan normal arah sumbu y serta regangan geser pada bidang xy. Dari Gambar 1.7(b) didapat dx' 

dx dy  , cos sin 

 x1 '  x.cos,

Dari Gambar 1.7(c) akan didapat  x2 '  y.sin ,

Dan dari Gambar 1.7(d) diperoleh  x3 '   xy . dy.cos,

Dengan demikian total perubahan panjang dx’ akibat adanya regangan pada sistem koordinat awalnya adalah x’ = x1’ + x2’ + x3’

8

Sedangkan  x' x' 

x' x.cos  y.sin   xy . dy.cos     dy dy dx' dx cos  sin  sin 

Sehingga  x' x'   xx . cos2    yy .sin2    xy .cos.sin 

(1.6a)

y x’1 0,5 xy

y’

x’

y’

x’

y

y

x’1

dx’ 0,5 xy

dy

x

x dx

x

x

(a) Deformasi Total

(b) Deformasi Arah Sumbu x

x’2

x’3 y

y’

dx’

x

dx

x’3

dx’ x’2

y

y’

xy dy

y xy

x’

x’

y dy

dy x dx

(c) Deformasi Normal Arah y

x dx

xy dy

(d) Deformasi Geser Bidang xy

Gambar 1.7. Transformasi Regangan Normal 2-Dimensi

9

Selanjutnya, y’ dapat diperoleh dengan mensubstitusikan harga (90o + ) untuk harga



pada persamaan (1.6) di atas, kemudian menerapkan identitas

trigonometri. Sehingga akan didapat  y' y'   xx . cos2 (9 0o  )   yy .sin2 (9 0o  )   xy .cos(9 0o  ).sin(9 0o  )

 y' y'   yy . cos2    xx .sin2    xy .cos.sin 

(1.6b)

Analisis transformasi regangan gesernya ditunjukkan pada Gambar 1.8. Sebagaimana pada regangan normal, dalam hal ini perubahan regangan geser oleh masing-masing regangan yang terjadi ditinjau satu per satu. Pada analisis ini, panjang dx dibagi dua oleh sumbu y menjadi dx1 dan dx2. Dari Gambar 1.8 didapat d y'1 

d x1 dy dx2 dy dan d x'2  .   cos  sin  sin  cos 

Selanjutnya perhatikan Gambar 1.8(a), akibat terjadinya deformasi normal pada arah sumbu x saja. AD   x1 .cos   x1   sin .cos    xx .sin .cos d x1 d x1 dy '1 sin  CE   x 2 .sin    x 2   '1b    sin .cos    xx .sin .cos d x2 d x2 dx '2 cos  'x ' y '1   1a   1b  2  xx .sin .cos  '1a 



Akibat deformasi normal arah sumbu y

saja seperti ditunjukkan pada

Gambar 1.8(b) akan diperoleh AD y.sin  y   .sin .cos   yy .sin .cos dy dy '1 dy cos CE y.cos y   .sin .cos   yy .sin .cos   '2 b  dy dy dx '2 sin   '2 a 

 'x ' y '2   2 a   2 b  2 yy .sin .cos

10

Gambar. 1.8. Transformasi Regangan Geser Sedangkan dari Gambar 1.8(c), akibat terjadinya regangan geser saja, akan didapat  3a 

A ' D AA '.cos  xy . dy   . cos2    xy . cos2  dy d y '1 dy cos

 3b 

 xy . dy CE CC''.sin    . sin2     xy . sin2  dy d x'2 dy sin 

 x ' y '3   3a   3b   xy (cos2   sin2 )

Dengan demikian akan diperoleh besarnya regangan geser pada set sumbu koordinat yang baru, sebagai berikut  x' y'   x' y'1   x' y'2   x' y'3  ( xx   yy)sin .cos   xy (cos2   sin2 )

(1.6c)

Selanjutnya, dengan menggunakan identitas trigonometri persamaanpersamaan (1.6a, b, c) dapat ditulis dalam bentuk lain sebagai berikut

11

 x' x'   y' y' 

 x' y' 



xx

  yy 2



xx

  yy 2

 x' y' 2







xx

  yy 2

cos 2 



xx

  yy 2



xx

cos 2    yy 2

sin 2 



 xy 2

 xy 2  xy 2

.sin 2

(1.7a)

.sin 2

(1.7b)

.cos 2

(1.7c)

1.5. Tegangan Utama (Principal Stress) dan Tegangan Geser Maksimum Tegangan Utama (principal stress) adalah tegangan normal yang terjadi pada set sumbu koordinat baru setelah transformasi yang menghasilkan tegangan geser nol. Tegangan-tegangan tersebut ditunjukkan sebagai 1 dan 2 pada Gambar 1.10.

Perlu dicatat bahwa

1

2.

selalu diambil lebih besar dari

Sudut

transformasi yang menghasilkan tegangan utama tersebut dengan sudut utama (principal angle). Secara analitik, besar tegangan utama dan sudut utama dapat diturunkan dari persamaan-persamaan (1.5a, b, c).

Panjang sisi miring =

sin 2 p 

2xy 2p

cos 2 p 

xx yy

( xx  yy)  4  xy 2

2

2  xy ( xx  yy)  4  xy 2

2

 xx   yy ( xx  yy)  4  xy 2

2

Gambar 1.9. Sisi-sisi Pada Sudut Utama

Menurut pengertian tentang tegangan utama, dari persamaan (1.5c) akan didapat 0

atau

 xx   yy .sin 2   xy .cos 2 2

12

2  xy sin 2  p  tan 2  p  cos 2  p  xx   yy

(1.8)

Dari persamaan 1.8 dapat dilukiskan segitiganya sebagaimana gambar 1.9. Dengan substitusi harga-harga sin 2 dan cos 2 pada gambar 1.9 ke persamaan (1.5a) akan didapat

2  xy  xx   yy  xx   yy  xx   yy   2 2 2 2 2 2 ( xx  yy)  4  xy ( xx  yy)  4  xy 1  xx   yy 2 2 ( xx  yy) 4  xy   x' x'  2 2 2 2. ( xx  yy)  4  xy 2

 x' x' 



Sehingga  x' x' 

 xx   yy 1  2 2.

 (

 yy) 4  xy 2

xx





2

Substitusi dan penerapan prosedur yang sama terhadap persamaan (1.5b), akan didapat  y' y' 

 xx   yy 1  2 2.

 (

 yy) 4  xy 2

xx



2

Dengan mengingat bahwa secara matematik haruslah

1  2 , maka kedua

persamaan tersebut di atas dapat dituliskan menjadi satu dengan 1,2 

 xx   yy 1  2 2.

 (

 yy) 4  xy 2

xx



2

Selanjutnya, perhatikan persamaan (1.5c).

(1.9) Untuk suatu titik dan jenis

pembebanan tertentu dari suatu bagian konstruksi, harga-harga xx , yy dan xy adalah tetap atau konstan, sehingga x’y’ merupakan suatu fungsi , atau x’y’ = f().Harga ekstrim fungsi tersebut akan diperoleh bila turunan pertama fungsi tersebut terhadap  sama dengan nol. Jadi  xx   yy d x ' y '  .sin 2   xy .cos 2  0 d 2

atau sin 2  max  xx   yy  tan 2  max   cos 2  max 2  xy

Dari persamaan 1.10 dapat dilukiskan segitiganya pada gambar 1.10.

(1.10)

13

Panjang sisi miring =

2xy

( xx  yy)  4  xy 2

2

2max

2  xy

sin 2 max 

- (xx yy)

( xx  yy)  4  xy 2

2

 xx   yy

cos 2 max 

( xx  yy)  4  xy 2

2

Gambar 1.10. Sisi-sisi Pada Sudut Tegangan Geser Maksimum

Dengan substitusi harga-harga sin 2 dan cos 2 pada gambar di atas ke persamaan (1.5c) akan didapat ( xx   yy) 2  xy  xx   yy  2 2 2 2 2 ( xx   yy)  4  xy ( xx   yy)  4  xy 2

 x' y'   

2. ( xx   yy)  4  xy 2

Sehingga  x' y' 

 (

1

 (

1 2.

 yy) 4  xy 2

xx

2

  yy) 4  xy 2

xx



2



2

Persamaan (1.10) juga dipenuhi bila panjang sisi di depan sudut 2 adalah (xx  yy)

dan panjang sisi di sampingnya adalah

-2xy.

Kondisi ini akan

memberikan  x' y'  

1 2.

 (

 yy) 4  xy 2

xx



2

Dengan demikian kedua persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi satu sebagai  max  

1 2.

 (

 yy) 4  xy 2

xx



2

(1.11)

1.6. Regangan Utama dan Regangan Geser Maksimum Sebagaimana pengertian tentang tegangan utama, maka regangan utama (principal strain) adalah regangan normal yang terjadi pada set sumbu koordinat baru setelah transformasi yang menghasilkan setengah regangan geser nol.

14

Regangan-regangan tersebut ditunjukkan sebagai 1 dan 2 pada Gambar 1.11. Demikian juga, 1 selalu diambil lebih besar dari 2 , serta sudut transformasinya juga disebut sudut utama (principal angle).

Secara analitik, dengan penerapan

prosedur yang sama dengan yang diterapkan untuk persamaan-persamaan (1.7a, b, c), maka akan didapat hasil-hasil berikut.  xy sin 2  p  tan 2  p  cos 2  p  xx   yy

1,2 

 xx   yy 1  2 2.

(

(1.12a)

  yy)   xy 2

xx



2

(1.12b)

Dengan p = sudut utama 1,2 = regangan-regangan utama xy = 2xy = regangan geser sin 2  max  xx   yy  tan 2  max   cos 2  max  xy  max 1  2 2.

(

  yy )   xy 2

xx



2

(1.13a)

(1.13b)

Dengan max = sudut regangan geser maksimum xy = 2xy = regangan geser

1.7. Lingkaran Mohr untuk Tegangan Bidang dan Regangan Bidang Lingkaran Mohr diperkenalkan oleh seorang insinyur Jerman, Otto Mohr (1835-1913). Lingkaran ini digunakan untuk melukis transformasi tegangan maupun regangan, baik untuk persoalan-persoalan tiga dimensi maupun dua dimensi. Yang perlu dicatat adalah bahwa perputaran sumbu elemen sebesar  ditunjukkan oleh perputaran sumbu pada lingkaran Mohr sebesar 2.dan sumbu tegangan geser positif adalah menunjuk ke arah bawah. Pengukuran dimulai dari titik A, positif bila berlawanan arah jarum jam, dan negatif bila sebaliknya. Pada bagian ini kita hanya akan membahas lingkaran Mohr untuk tegangan dan regangan dua dimensi.

15

1.7.1. Lingkaran Mohr untuk Tegangan Bidang   y Pada persamaan (1.5a), bila suku x dipindahkan ke ruas kiri dan 2 kemudian kedua ruasnya dikuadratkan, maka akan didapat 2 2    x  y   x  y  2 2 2    x'    co s 2   xy si n 2   x  y  xy sin 2 cos 2     2 2 (1.14a) Sedangkan pada persamaan (1.5c), bila dikuadratkan akan didapat 2   x  y  2 2 2 2 (1.14b)  x ' y '   xy co s 2    si n 2   x   y  xy sin 2 cos 2  2  Penjumlahan persamaan-persamaan (1.14a) dan (1.14b) menghasilkan 2 2    x  y   x  y  2 2 (1.15)   x '   x'y'      xy     2 2 Persamaan (1.15) merupakan persamaan lingkaran pada bidang  yang pusatnya di

 x  y  ,0 dengan jari-jari   2 

  x y  2     xy .  2  2

Lingkaran tersebut ditunjukkan

pada Gambar 1.12, yang dilukis dengan prosedur sebagai berikut: 1. Buatlah sumbu ij , horisontal. 2. Periksa harga tegangan normal, xx atau yy , yang secara matematis lebih kecil. Bila bernilai negatif jadikanlah tegangan tersebut sebagai titik yang mendekati tepi kiri batas melukis, sedangkan bila positif maka titik yang mendekati batas kiri adalah titik ij = 0. 3. Periksa harga tegangan normal, xx atau yy , yang secara matematis lebih besar. Bila bernilai positif jadikanlah tegangan tersebut sebagai titik yang mendekati tepi kanan batas melukis, sedangkan bila negatif maka titik yang mendekati batas kanan adalah titik ij = 0. 4. Tentukan skala yang akan digunakan sehingga tempat melukis bisa memuat kedua titik tersebut dan masih tersisa ruangan di sebelah kiri dan kanannya. Tentukan titik-titik batas tersebut sesuai dengan skala yang telah ditentukan. 5. Tentukan letak titik-titik ij = 0 dan sumbu , serta ij terkecil dan ij terbesar bila belum terlukis pada sumbu ij . 6. Bagi dua jarak antara tegangan terkecil dan tegangan terbesar sehingga diperoleh pusat lingkaran, P.

16

7. Tentukan letak titik A pada koordinat (ij terbesar , xy ). 8. Lukis lingkaran Mohr dengan pusat P dan jari-jari PA. 9. Tarik garis dari A melalui P sehingga memotong lingkaran Mohr di B. Maka titik B akan terletak pada koordinat (ij terkecil , xy ). Garis AB menunjukkan sumbu asli,  = 0, elemen tersebut.

Gambar 1.12. Lingkaran Mohr untuk Tegangan Bidang Contoh 1.1: Sebuah elemen dari bagian konstruksi yang dibebani, menerima tegangan tarik pada arah sumbu x sebesar 280 MPa, tegangan tekan pada arah sumbu y sebesar 40 MPa serta tegangan geser pada bidang tersebut sebesar 120 MPa. Diminta: a. Lukisan lingkaran Mohr. b. Besar rotasi mengelilingi sumbu z untuk mendapatkan tegangan geser maksimum, menurut lingkaran Mohr. Periksa hasil tersebut dari persamaan (1.10). c. Besar tegangan geser maksimum menurut lingkaran Mohr. Periksa hasil tersebut dengan rumus (1.11) dan hasil yang didapat pada b. di atas.

17

d. Besar perputaran mengelilingi sumbu z untuk mendapatkan tegangan geser bernilai nol, menurut lingkaran Mohr. Periksa hasil ini dengan persamaan (1.8). e. Besar tegangan-tegangan utama menurut lingkaran Mohr. Periksa hasil tersebut dengan persamaan-persamaan (1.9) dan dari hasil pada pada d. di atas. Penyelesaian: a. Lingkaran Mohr: 1) Buat sumbu ij , horisontal. 2) Tegangan normal terkecil, yy = -40 MPa, negatif, sehingga digunakan sebagai titik di dekat batas kiri. 3) Tegangan normal terbesar xx = 280 MPa, positif, sehingga digunakan sebagai titik di dekat batas kanan. 4) Diambil skala 1cm = 40 MPa. Kemudian ditentukan titik yy = -40 MPa di sebelah kiri, dan xx = 280 MPa di sebelah kanan yang berjarak (xx +yy) dari titik yy di sebelah kiri. 5) Lukis sumbu  yang berjarak 40 MPa di sebelah kanan titik yy . 6) Dengan membagi dua sama panjang jarak yy ke xx akan didapat titik P. 7) Menentukan letak titik A pada koordinat (xx , xy ) = (280,120). 8) Dengan mengambil titik pusat di P dan jari-jari sepanjang PA, lingkaran Mohr dapat dilukis. 9) Dengan menarik garis dari A lewat P yang memotong lingkaran Mohr di B, akan didapat kedudukan titik (yy , xy ) = (-40,120). b. Besar rotasi mengellilingi sumbu z menurut lingkaran Mohr, dengan mengukur, didapat max = 0,5 x 2max = 0,5 x (-53o) = 26o 30’. Sedangkan menurut persamaan (1.10) didapat tan 2max =  (280 + 40) / (2 x 120) =  2max =  53o 08’

atau

max =  26o 34’

c. Besar tegangan geser maksimum menurut lingkaran Mohr max =  5 x 40 MPa =

 200 MPa.

Sedangkan menurut persamaan (1.11) akan didapat

 max  

1 2

 280 40 2  1202  200MPa

d. Besar rotasi mengellilingi sumbu z menurut lingkaran Mohr, dengan mengukur, didapat p = 0,5 x 2p = 0,5 x 37o = 18o 30’. Sedangkan menurut persamaan (1.10) didapat tan 2p = (2 x 120) / (280 + 40) =  2p =  36o 52’

atau

max =  18o 26’

18

e. Besar tegangan-tegangan utama menurut lingkaran Mohr 1 = 8 x 40 MPa = 320 MPa. 2 = -2 x 40 MPa = -80 MPa. Sedangkan menurut persamaan (1.11) akan didapat

280  40 1  2 2 280  40 1  2  2 2 1 

 280 40 2  1202  320MPa  280 40 2  1202  80MPa

1.7.2. Lingkaran Mohr untuk Regangan Bidang Pada persamaan (1.7a), bila suku

 xx   yy 2

dipindahkan ke ruas kiri dan ke-

mudian kedua ruasnya dikuadratkan, maka akan didapat 2

2 2   xy    xy     xx  yy   xx   yy   sin 2 2   xx  yy   sin 2 cos 2     x' x'    cos2 2   2    2   2   2 





(1.16a)

Sedangkan pada persamaan (1.7c), bila dikuadratkan akan didapat 2

2

2   x' y'             xy  cos2 2   xx yy  sin 2 2   xx   yy x' y' sin 2 cos 2  2   2  2  2     





(1.16b)

Penjumlahan persamaan-persamaan (1.16a) dan (1.16b) menghasilkan 2

2

2

   x' y'    xx  yy    x' y'   xx   yy    x' x'         2    2   2   2 

2

(1.17)

Persamaan (1.17) merupakan persamaan lingkaran pada bidang    xx   yy  ,0 dengan  2  

  xy    xx   yy      2    2  2

jari-jari

 yang pusatnya di 2

2

. Lingkaran tersebut ditunjukkan

pada Gambar 1.9 di bawah ini, yang dilukis dengan prosedur sebagaimana melukis lingkaran Mohr untuk tegangan dengan menggantixx , yy dan xy berturut-turut menjadi xx , yy dan xy / 2. Penerapannya, lihat Contoh 1.2’

1.8. Hubungan Antara Tegangan Dengan Regangan Untuk deformasi normal, geser maupun gabungan keduanya, hubungan antara tegangan dan regangan untuk bahan-bahan isotropis pada pembebanan dalam batas proporsional diberikan oleh hukum Hooke. Jadi hukum Hooke tidak berlaku

19

untuk pembebanan di luar batas proporsional. Hukum Hooke diturunkan dengan berdasarkan pada analisis tentang energi regangan spesifik. Apabila besar tegangan-tegangannya yang diketahui, maka hukum Hooke untuk persoalan-persoalan tiga dimensi, hubungan antara tegangan normal dengan regangan normal dapat dituliskan secara matematis sebagai berikut: 1  xx    yy    zz E 1  yy    yy    xx    zz E 1  zz    zz    xx    yy  E  xx 

(1.18)

Dengan E dan v berturut-turut adalah modulus alastis atau modulus Young dan angka perbandingan Poisson. Sedangkan pada deformasi geser untuk G adalah modulus geser , hubungannya adalah:  xy 1    xy  2 2G E   xz 1    xz   xz  xz  2 2G E  yz  yz 1    yz    yz  2 2G E  xy 

 xy



(1.19)

Sedangkan untuk mencari tegangan normal yang terjadi bila regangan normal dan sifat-sifat mekanis bahannya diketahui, digunakan persamaan-persamaan:





 xx 

E 1    xx    yy   zz 1  1  2 

 yy 

E 1    yy   xx   zz 1  1  2 

 zz 

E 1    zz    xx   yy 1  1  2 





Selanjutnya untuk deformasi geser, bentuk hukum Hooke adalah:

(1.20)

20

 xy 

E E  xy  G  xy  xy  1  21  

 xz 

E E  xz  G  xz  xz  1  21  

 yz 

E E  yz  G  yz  yz  1  21  

(1.21)

Persamaan-persamaan (1.18) sampai dengan (1.21) dapat juga diberlakukan untuk persoalan-persoalan dua dan satu dimensi, yakni dengan memasukkan harga nol untuk besaran-besaran di luar dimensi yang dimaksud. Contoh 2: Pembebanan seperti pada Contoh 1, untuk bahan dengan sifat-sifat mekanis: modulus Young, E = 200 GPa dan angka perbanding-an Poisson, = 0,29. Modulus geser ditentukan dengan, G = E / 2(1 + ). Diminta: a. Hitunglah regangan-regangan yang terjadi. b. Lukisan lingkaran Mohr untuk regangan yang terjadi. c. Besar rotasi mengelilingi sumbu z untuk mendapatkan regangan geser maksimum, menurut lingkaran Mohr. Periksa hasil tersebut dari persamaan (1.10). d. Besar regangan geser maksimum menurut lingkaran Mohr. Periksa hasil tersebut dengan rumus (1.11) dan hasil yang didapat pada b. di atas. e. Besar perputaran mengelilingi sumbu z untuk mendapatkan regangan geser bernilai nol, menurut lingkaran Mohr. Periksa hasil ini dengan persamaan (1.8). f. Besar regangan-regangan utama menurut lingkaran Mohr. Periksa hasil tersebut dengan persamaan-persamaan (1.9) dan dari hasil pada pada d. di atas. Penyelesaian: a) Dari persamaan (1.18) dan (1.19) akan didapat:

 xx



 yy



 xy 

1  280 0,29.40 0,29.0  0,001458  1458 200000 1  40 0,29.280 0,29.0  0,000606  606 200000

 xy 2



10,29.120 200000

 0,000774  774

atau

 xy  1548

b. Lingkaran Mohr: 1) Buat sumbu ij horisontal. 2) Regangan normal terkecil, yy = -606, sehingga merupakan titik di dekat batas kiri. 3) Regangan normal terbesar xx = 1458, sehingga merupakan titik di dekat batas kanan. 4) Diambil skala 1cm = 250. Kemudian ditentukan titik yy = -606 di sebelah kiri, xx = 1458 di sebelah kanan dan berjarak (xx +yy) dari titik yy di sebelah kiri.

21

5) Lukis sumbu  yang berjarak 606 di sebelah kanan titik yy . 6) Dengan membagi dua sama panjang jarak yy ke xx akan didapat titik P. 7) Menentukan letak titik A pada koordinat (xx , xy ) = (1458,774). 8) Dengan mengambil titik pusat di P dan jari-jari sepanjang PA, lingkaran Mohr dapat di-lukis. 9) Dengan menarik garis dari A lewat P yang memotong lingkaran Mohr di B, akan di dapat kedudukan titik (yy , xy ) = (-606,-774).

xy-max  (yyxy)



yy

p

0

xx



2max

(xxxy)

min

2

1

 Gambar 1.13. Lingkaran Mohr untuk Regangan Bidang c. Besar rotasi mengellilingi sumbu z menurut lingkaran Mohr, dengan mengukur, didapat max = 0,5 x 2max = 0,5 x (-53o) = 26o 30’. Sedangkan menurut persamaan (1.10) didapat tan 2max =  (1458 + 606) / (2 x 774) =  2max =  53o 08’ atau max =  26o 34’ d. Besar regangan geser maksimum menurut lingkaran Mohr xy-max =  5,2 x 250 =  1300.

22

Sedangkan menurut persamaan (1.11) akan didapat  max 1   xy  max   (1458  606) 2 15482  1290 2 2 e. Besar rotasi mengellilingi sumbu z menurut lingkaran Mohr, dengan mengukur, didapat p = 0,5 x 2p = 0,5 x 37o = 18o 30’. Sedangkan menurut persamaan (1.10) didapat tan 2p = (2 x 120) / (280 + 40) =  2p =  36o 52’ atau max =  18o 26’ f. Besar regangan-regangan dasar menurut lingkaran Mohr 1 = 6,9 x 250 = 1725. 2 = -3,5 x 250 = -875 Sedangkan menurut persamaan (1.11) akan didapat 1458 606 1  1  1458 6062 15482  1716 2 2 1458 606 1  2  1458 6062 15482  864 2 2



Elastis Plastis Sempurna

Strain Hardening



 Gambar 1.14. Grafik Tegangan-Regangan Baja

1.9. Modulus Elastis (Modulus Young) Modulus Elastis, sering disngkat E, menyatakan nilai tangent (tg) sudut  pada diagram tegangan-regangan sebagaimana digambarkan pada gambar 1.14, atau dapat ditulis dengan rumus : E  tg 

 

(1.22)

Rumus tersebut ditulis menurut hokum Hook pada daerah elastis, dimana pada daerah tersebut merupakan batas proporsional, yaitu batas daerah dimana antara tegangan dan regangan adalah sebanding, daerah tersebut disebut daerah Elastik.