Analisis Tegangan dan Regangan

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Mata Kuliah Kode SKS

: Mekanika Bahan : TSP – 205 : 3 SKS

Analisis Tegangan dan Regangan Pertemuan – 12, 13

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

• TIU :  Mahasiswa dapat menganalisis tegangan normal dan geser menggunakan lingkaran Mohr

• TIK :  Mahasiswa dapat menganalisis tegangan pada bidang


• Sub Pokok Bahasan :  Tegangan Bidang  Tegangan Utama dan Tegangan Geser Maksimum

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Tegangan Bidang • Jenis-jenis tegangan yang timbul pada batang akibat tarik, tekan, maupun torsi yang sudah dipelajari hingga saat ini adalah merupakan contoh-contoh dari tegangan bidang (plane stress) • Tinjau suatu elemen kubus dalam gambar, dengan sumbu xyz sejajar dengan tepi-tepi elemen • Bila bahan berada dalam keadaan tegangan bidang dalam bidang xy, maka hanya muka x dan y dari elemen yang mengalami tegangan, muka z tidak bertegangan dan sumbu z adalah normal permukaan tersebut Tegangan bukanlah vektor karena tidak dapat dijumlahkan dengan aturan jajaran genjang. Sebenarnya tegangan merupakan besaran yang lebih rumit daripada vektor dan dalam matematika disebut tensor. Besaran tensor lainnya adalah regangan dan momen inersia

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Tegangan Bidang Tegangan Normal • Tegangan normal s, mempunyai subskrip yang menunjukkan muka di mana tegangan normal tersebut bekerja • Tegangan yang bekerja di muka x dari elemen dinotasikan sx • Tegangan yang bekerja di muka y dari elemen dinotasikan sy • Tegangan normal yang sama bekerja di muka yang berlawanan Tegangan Geser • Tegangan geser t, memiliki dua subskrip, subskrip pertama menunjukkan muka di mana tegangan bekerja, subskrip kedua menunjukkan arah di muka tersebut • Tegangan txy bekerja di muka x dalam arah sumbu y • Tegangan tyx bekerja di muka y dalam arah sumbu x

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Tegangan Bidang

Perjanjian Tanda • Tegangan normal bernilai positif untuk tegangan tarik, dan bernilai negatif untuk tegangan tekan • Tegangan geser bernilai positif apabila bekerja di muka positif dalam arah positif, atau bekerja di muka negatif dalam arah negatif. Sedangkan tegangan geser bernilai negatif apabila bekerja dalam muka dan arah yang tidak bertanda sama txy = tyx Untuk memudahkan penggambaran elemen tegangan bidang, biasanya cukup digambarkan dalam bentuk dua dimensi


Tegangan di Potongan Miring • Selanjutnya akan ditinjau tegangan pada elemen kubus tadi, apabila elemen ini diputar berlawanan jarum jam melalui sudut q terhadap sumbu xy • Elemen yang diputar ini terkait dengan sumbu x1,y1 dan z1 • Tegangan normal dan geser pada elemen baru ini diberi notasi sx1, sy1, tx1y1 dan ty1x1 • Pada elemen ini berlaku pula hubungan

t x1 y1  t y1x1


Tegangan di Potongan Miring • • •

Potongan elemen tegangan yang mempunyai muka miring yang sama dengan muka x1 dari elemen miring, ditunjukkan pada gambar kiri Untuk menuliskan persamaan kesetimbangan potongan elemen tersebut, maka dibuat free-body diagram yang menunjukkan gaya-gaya yang bekerja di semua muka Luas muka kiri (muka x negatif) diberi notasi Ao.

Stresses

Forces

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Tegangan Bidang • Susun persamaan kesetimbangan • SFx1 = 0 sx1Aosec q – sxAocos q – txyAosin q – syAotan q sin q – txyAo tan q cos q = 0

• SFy1 = 0 tx1y1Aosec q + sxAosin q – txyAocos q – syAotan q cos q + tyxAo tan q sin q = 0

• Karena txy = tyx, maka dua persamaan di atas dapat disederhanakan : sx1 = sxcos 2q + sysin 2q + 2txysin q cos q tx1y1= −(sx− sy)sin q cos q + txy(cos 2q − sin 2q)

Jika q = 0o atau 90o ??

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Tegangan Bidang • Dari persamaan-persamaan dalam trigonometri : cos 2 q 

1 1  cos 2q  2

sin 2 q 

1 1  cos 2q  2

sin q cos q 

1 sin 2q 2

• Maka persamaan sebelumnya dapat dituliskan menjadi :

s x1 

s x s y

t x1 y1  

2



s x s y 2

s x s y 2

cos 2q  t xy sin 2q

sin 2q  t xy cos 2q

Persamaan ini disebut persamaan transformasi untuk tegangan bidang, karena persamaan ini mentransformasikan komponen tegangan dari satu sistem sumbu ke sistem sumbu lainnya

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Tegangan Bidang • Dengan mengganti nilai q menjadi q+90o, maka akan diperoleh sy1 : s x s y s x s y s y1   cos 2q  t xy sin 2q 2 2 • Dan akhirnya akan didapatkan pula hubungan :

s x1  s y1  s x  s y • Persamaan ini menunjukkan bahwa jumlah tegangan normal yang bekerja di muka-muka yang saling tegak lurus dari elemen tegangan bidang adalah konstan dan tidak bergantung pada sudut q.

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Tegangan Bidang • Jika semua tegangan yang bekerja di elemen xy adalah nol kecuali tegangan normal sx, maka elemen dikatakan berada dalam keadaan tegangan uniaksial • Persamaan transformasi yang berkaitan adalah :

s x1 

sx 2

t x1 y1  

1  cos 2q  sx 2

sx1 atau tx1y1

sin 2q smaks = sx tmaks = 0.5sx

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Tegangan Bidang • Apabila sx= sy = 0, namun txy dan tyx ≠ 0 maka elemen dikatakan berada dalam keadaan geser murni (pure shear) • Persamaan transformasi yang berkaitan adalah :

s x1  t xy sin 2q t x1 y1  t xy cos 2q

sx1 tx1y1

sx1 maks pada q = 45o

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Tegangan Bidang • Bila elemen mengalami tegangan normal dalam arah x dan y, tanpa ada tegangan geser maka elemen dikatakan berada dalam keadaan tegangan biaksial • Persamaan transformasi yang berkaitan adalah :

s x1 

s x s y

t x1 y1  

2



s x s y 2

s x s y 2 sin 2q

cos 2q


Contoh 1 Sebuah elemen yang berada dalam keadaan tegangan bidang mengalami tegangan sx = 110 MPa, sy = 40 MPa dan txy = tyx = 27 MPa, seperti tampak pada gambar. Hitunglah semua tegangan yang bekerja pada suatu elemen yang miring pada sudut q = 45o

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Jawab :

s x s y 2



110  40  75MPa 2

sin 2q = sin 90o = 1

s x1 

sx sy 2

t x1 y1  

s y1 



s x s y 2

s x s y 2



s x s y 2



110  40  35MPa 2

cos 2q = cos 90o = 0

sx s y 2

cos 2q  t xy sin 2q = 75 + 35(0) + 27(1) = 102 MPa

sin 2q  t xy cos 2q =  35(1) + 27(0) = 35 MPa

s x s y 2

cos 2q  t xy sin 2q = 75 – 35(0) = 75 MPa

Soal 5.1 – 5.10

txy = 27 MPa

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Tegangan Utama & Tegangan Geser Maksimum • Tegangan normal maksimum dan minimum (yang disebut dengan tegangan utama), dicari dari persamaan transformasi untuk sx1 yang dideferensial terhadap q dan menyamakannya dengan nol. ds x1  s x  s y  sin 2q  2t xy cos 2q dq • Yang menghasilkan 2t xy tan 2q p  s x s y • Dua harga sudut 2qp yang diperoleh berbeda sebesar 180o, sehingga qp sendiri mempunyai dua nilai yang berbeda 90o. Sudut qp dikenal sebagai sudut utama • Bidang yang berkaitan dengan sudut utama, disebut dengan bidang utama

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Tegangan Utama & Tegangan Geser Maksimum • Dari persamaan untuk tan 2qp, maka dapat diperoleh pula hubungan untuk sin 2qp dan cos 2qp sebagai berikut t xy s x s y sin 2q p  cos 2q p  R 2R • Dengan nilai R adalah :  s x s y 

R   

2

2

  t xy 2 

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Tegangan Utama & Tegangan Geser Maksimum • Dari dua buah nilai qp yang diperoleh, maka akan ditemukan besarnya tegangan – tegangan utama sebagai berikut :

s 1,2 

s x s y 2

 s x s y    t xy 2    2  2

• Dengan s1 merupakan tegangan utama maksimum, dan s2 adalah tegangan utama minimum • Dari persamaan tersebut dapat dilihat pula bahwa berlaku juga hubungan yang menyatakan s1 + s2 = sx + sy Tegangan geser adalah sama dengan nol di bidang-bidang utama

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Tegangan Utama & Tegangan Geser Maksimum • Elemen-elemen yang berada dalam keadaan tegangan uniaksial dan tegangan biaksial, memiliki bidang utama berupa bidang-bidang x dan y itu sendiri (karena nilai tan 2qp = 0, yang dipenuhi oleh qp = 0o dan 90o) • Elemen yang berada dalam geser murni, memiliki bidang utama yang berorientasi 45o terhadap sumbu x (karena tan 2qp = , yang dipenuhi oleh qp = 45o dan 135o). Jika txy positif, maka s1 = txy, da s2 = - txy

Elemen dalam keadaan Tegangan Uniaksial dan Biaksial

Elemen dalam keadaan Geser Murni

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Tegangan Utama & Tegangan Geser Maksimum • Dengan cara yang sama tegangan geser maksimum dan bidang dimana tegangan tersebut bekerja dapat dicari dari persamaan transformasi untuk tx1y1 yang dideferensial terhadap q dan menyamakannya dengan nol. dt x1 y1  s x  s y cos 2q  2t xy sin 2q  0 dq s x s y • Yang menghasilkan tan 2q s   2t xy • Diperoleh pula hubungan antara qs dan qp sebagai berikut : q s1  q p1  45o

q s 2  q p1  45o

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Tegangan Utama & Tegangan Geser Maksimum • Besarnya tegangan geser maksimum yang diperoleh adalah :  s x s y 

t maks   

2

2

  t xy 2 

• Dapat dibuktikan pula bahwa tegangan geser maksimum sama dengan setengah selisih tegangan-tegangan utama s s 2 t maks  1 2 • Bidang-bidang tegangan geser maksimum juga mengandung tegangan normal yang besarnya sama dengan : s x s y s ratarata  2


Contoh 2 Sebuah elemen yang dalam keadaan tegangan bidang mengalami tegangan sx = 85 MPa, sy = −29 MPa dan txy = −32 MPa seperti tampak pada gambar. a. Tentukan tegangan utama dan tunjukkan tegangan tersebut pada suatu gambar elemen yang berorientasi benar b. Tentukan tegangan geser maksimum dan tunjukkan tegangan tersebut pada gambar elemen yang berorientasi benar


Jawab : Tegangan Utama

tan 2q p 

2t xy

s x s y



2(32)  0,5614 85  (29) qp = 75,35o qp = 165,35o

2qp = 150,69o 2qp = 330,69o

s x s y 2



85  29  28MPa 2

s x s y 2



85  29  57MPa 2

txy =  32 MPa

Untuk qp = 165,35o

s x1 

sx sy 2



Untuk qp = 75,35o

s x1 

sx sy 2



sx s y 2

sx s y 2

cos 2q  t xy sin 2q = 28 + 57(0,872)  32(0,4895) = 93,37 MPa

cos 2q  t xy sin 2q = 28 + 57(0,872)  32(0,4895) = 37,37 MPa


Tegangan Geser Maksimum

s x s y 85  29 qs = 30,35o tan 2q s     1,78125 2qs = 60,69o 2t xy 2(32) s s y t maks   x sin 2q  t xy cos 2q = 57(0,872)  32(0,489) = 65,35 MPa

2 Tegangan normal terkait : s  s y 85  29 s ratarata  x   28MPa 2 2

Soal 5.11 – 5.16


• Sub Pokok Bahasan :  Lingkaran Mohr Untuk Tegangan Bidang  Hukum Hooke Untuk Tegangan Bidang

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Lingkaran Mohr Untuk Tegangan Bidang • Persamaan transformasi untuk tegangan bidang dapat dinyatakan dalam bentuk grafis yang sering dikenal dengan Lingkaran Mohr • Sebutan Lingkaran Mohr diberikan untuk menghargai jasa ilmuwan Jerman Otto Christian Mohr (1835-1918) yang menemukannya pada tahun 1882. • Lingkaran Mohr ini sangat berguna dalam analisis tegangan, karena dapat memberikan beragam informasi tegangan normal dan tegangan geser yang bekerja pada setiap bidang dari suatu elemen

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Lingkaran Mohr Untuk Tegangan Bidang

• Persamaan-persamaan transformasi untuk tegangan bidang dapat dituliskan kembali menjadi : s x1 

s x s y 2



s x s y

t x1 y1  

2

cos 2q  t xy sin 2q

s x s y 2

sin 2q  t xy cos 2q

• Jika kedua sisi dikuadratkan, dan jumlahkan keduanya maka akan didapatkan : s s y    s s y   s x1  x   t x1 y12   x   t xy 2 2    2  2

2


• Dengan mengingat bahwa : s ratarata 

s x s y 2

 s x s y    t xy 2 R    2  2

• Maka persamaan tersebut dapat dituliskan ringkas : s x1  s ratarata 2  t x1y12  R 2 • Persamaan tersebut merupakan persamaan lingkaran dalam sistem koordinat x1 dan y1, memiliki radius R dan pusat lingkaran tersebut terletak pada sx1 = srata-rata dan tx1y1 = 0


• Dalam menggambarkan lingkaran Mohr, diambil kesepakatan tegangan geser positif digambar dalam arah sumbu vertikal ke bawah dan sudut positif sebesar 2q digambarkan berlawanan arah jarum jam  s x s y    t xy 2 R    2  2

s x s y  C  ;0  2  

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Lingkaran Mohr Untuk Tegangan Bidang Apabila nilai sx, sy dan txy diketahui, maka dapat digambarkan Lingkaran Mohr dengan langkah sebagai berikut : • Gambarkan sistem koordinat sx1 (absis) dan tx1y1 (ordinat) • Tentukan lokasi pusat lingkaran (titik C) • Tentukan lokasi titik A (q = 0o), yang merepresentasikan tegangan di muka x, dan titik B (q = 90o) yang merepresentasikan tegangan di muka y • Garis yang melalui titik A, B dan pusat C merupakan diameter lingkaran • Dengan menggunakan titik C sebagai pusat, gambarkan lingkaran Mohr melalui titik A dan B


Tegangan Geser Maks

cos 2q p1 

sin 2q p1 

s x s y

t xy

2R

R

Tegangan Utama Maks

cos  

 1  s x s y  cos 2q  t xy sin 2q  R 2 

sin  

 1  s x s y  sin 2q  t xy cos 2q  R 2 

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Tegangan Bidang Contoh 3 Di suatu titik pada permukaan suatu silinder bertekanan, bahannya mengalami tegangan biaksial sx = 90 MPa dan sy = 20 MPa. Dengan menggunakan Lingkaran Mohr, tentukanlah tegangan yang bekerja di suatu elemen yang miring pada sudut q = 30o.


s x s y R   2 

2

  90  20    t xy 2     0  35MPa 2    2

q = 30o

D (sx1;tx1y1)

sx1 = srerata + R cos 60o = 72,5 MPa tx1y1=  R sin 60o =  30,3 MPa

R q=

60o

90o

B (20;0)

q = 120o

tx1y1

C (55;0)

D’ (sy1;ty1x1)

sy1 = srerata  R cos 60o = 37,5 MPa ty1x1= R sin 60o = 30,3 MPa

q = 0o A (90;0)

sx1

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Contoh 4 Sebuah elemen yang dalam keadaan tegangan bidang di permukaan mesin besar, mengalami tegangan sx = 105 MPa, sy = 35 MPa dan txy = 27,5 MPa. Dengan menggunakan Lingkaran Mohr, tentukanlah: a.tegangan yang bekerja di suatu elemen yang miring pada sudut q = 40o b.Tegangan utama c.Tegangan geser maksimum

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship  s x s y R    2

2

  105  35  2   t xy 2     27 ,5  44,51MPa 2    2

qS1 = 64,08o

S1 (70;R)

D (sx1;tx1y1) q = 90o B (35;−27,5)

R

80o 41,84o

q = 109,08o P2 (s2;0) s2 = 70 MPa  44,51 MPa = 25,49 MPa

41,84o

C (70;0)

q = 40o

sx1 = 70 + 44,51(cos 41,84o) = 103,16 MPa tx1y1=  44,51(sin 41,84o) = 29,69 MPa P1 (s1;0) q = 19,08o s1 = 70 MPa + 44,51 MPa

sx1

38,16o

A (105;27,5) q = 0o q = 130o

D’ (sy1;ty1x1)

sy1 = 70  44,51(cos 41,84o) = 36,84 MPa tx1y1= 44,51(sin 41,84o) = 29,69 MPa

tx1y1

S2 (70;+R)

qS2 = 26,92o

= 114,51 MPa


Soal 5.17 – 5.25

Analisis Tegangan dan Regangan

Recommend Documents