x 4,60en y 6,22. Dus de maximale gemiddelde winst is 6,22 euro per mat. Er worden dan 460matten per week geproduceerd. dw dq

15 Differentie«ren bladzijde178 16

a dW ˆ dq

1,5q2 ‡ 8,25q

W

550 matten per week, dus q ˆ 5,5   dW ˆ 1,5
5,52 ‡ 8,25
5,5 ˆ 0 dq qˆ5,5 Uit de schets volgt dat W maximaal is voor q ˆ 5,5. Wmax ˆ 0,5
5,53 ‡ 4,125
5,52 10  31,59. De maximale winst is 3159 euro per week.

O

5,5

q

Dat is 3159  5,74 euro per mat. 550 b GW ˆ W ˆ q c Voer in y1 ˆ

0,5q2 ‡ 4,125q 0,5x2 ‡ 4,125x

10 q 10 x

GW

en y2 ˆ 5. De optie intersect geeft x  3,22 en x  6,05. 5 Uit de schets blijkt: bij een productie tussen 322 en 605 matten per week is de winst per deurmat meer dan 5 euro. d De optie maximum bij y2 geeft O x  4,60 en y  6,22. Dus de maximale gemiddelde winst is 6,22 euro per mat. Er worden dan 460 matten per week geproduceerd.   ˆ 11,25. e q ˆ 3 geeft W ˆ 13,625 en MW ˆ dW dq qˆ3   ˆ 6,75. q ˆ 4,5 geeft W  27,969 en MW ˆ dW dq qˆ4,5 27,969 13,625
100%  105%. Toename winst ˆ 13,625

3,22

De marginale winst neemt af van 11,25 tot 6,75, dat is een afname van 17

6,05

q

4,5
100% ˆ 40%. 11,25

a Bij aantal 0^49, dus aantal < 50, geldt voor het aantal bestellingen n dat n > 1200, 50 dus n > 24. Bestelgrootte ˆ 1200, dus gemiddelde voorraad ˆ 30 ‡ 600. n n   TK ˆ VK ‡ BK ˆ 30 ‡ 600
0,06
50 ‡ n
8 ˆ 90 ‡ 1800 ‡ 8n n n b Bij aantal 50^99, dus 50  aantal < 100 is 12 < n  24.   600 TK ˆ 30 ‡
0,06
45 ‡ 8n ˆ 81 ‡ 1620 ‡ 8n n n   Bij n  12 is TK ˆ 30 ‡ 600
0,06
40 ‡ 8n ˆ 72 ‡ 1440 ‡ 8n n n

Gemengde opgaven 141

c Voor n > 24 is TK ˆ 90 ‡ 1800n dTK ˆ 0 geeft dn

1800n

2

‡8ˆ0

1800n

2

ˆ

1

‡ 8n, dus dTK ˆ dn

1800n

2

‡8

8

ˆ 8 1800 r 2 8 ˆ 15 nˆ 1800 n ˆ 15 voldoet niet, want n > 24. n

2

Voor 12 < n  24 is TK ˆ 81 ‡ 1620n dTK ˆ 0 geeft dn

1620n

2

‡8ˆ0

1620n

2

ˆ

1

‡ 8n, dus dTK ˆ dn

1620n

2

‡8

8

ˆ 8 1620 r 2 8  14,2, dus n ˆ 14 nˆ 1620 n

2

Voor n  12 is TK ˆ 72 ‡ 1440n dTK ˆ 0 geeft dn

1440n

2

‡8ˆ0

1440n

2

ˆ

1

‡ 8n, dus dTK ˆ dn

1440n

2

‡8

8

ˆ 8 1440 r 2 8  13,4, dus n ˆ 13 nˆ 1440 n ˆ 13 voldoet niet, want n  12. n

2

Dus minimale kosten bij 14 bestellingen per jaar. Per keer 1200  85,7, dus 85 of 86 dozen bestellen. 14 TKmin ˆ 81 ‡ 1620 ‡ 8
14  309 euro. 14 d Bij n ˆ 14 zijn de kosten inclusief het papier 309 ‡ 1200
45 ˆ 54 309 euro. Omdat bij n ˆ 12 de prijs per doos 40 euro is, zou het kunnen dat dit goedkoper is. n ˆ 12 geeft kosten inclusief het papier 72 ‡ 1440 ‡ 8
12 ‡ 1200
40 ˆ 48 288 euro. 12 Dus in deze laatste situatie zijn de kosten inclusief het papier lager dan bij de gevonden bestelprocedure.

142 Gemengde opgaven

18

a Voor 1 april 2004 tot 1 december 2004 geldt de formule N ˆ 100 000
1,05t met t in dagen. Tussen 1 april en 1 december zitten 30 ‡ 31 ‡ 30 ‡ 31 ‡ 31 ‡ 30 ‡ 31 ‡ 30 ˆ 244 dagen. Dus op 1 december is N ˆ 100 000
1,05244  1,48
1010 . Voor 1 december 2004 tot 1 april 2005 geldt de formule N ˆ 1,48
1010
0,92t met t in dagen. Tussen 1 december en 1 april zitten 122 dagen. Dus op 1 april 2005 is N ˆ 1,48
1010
0,92122  565 000. b Stel de groeifactor per dag tussen 1 december 2004 en 1 april 2005 is g. Dan is 1,05244
g122 ˆ 1 g122 ˆ 1 244 1,05 1  122 1 gˆ  0,907 1,05244 Dus het moet met 9,3% per dag afnemen.

bladzijde179 19

1

a y ˆ 6 ‡ 24x dy ˆ 0 geeft dx

72x

2

geeft

dy ˆ dx

24x

2

‡ 144x

3

24 ‡ 144 ˆ 0 x2 x3 144 ˆ 24 x3 x2

x ˆ 6 geeft y ˆ 6 ‡ 24 6

5

24x3 ˆ 144x2 24x ˆ 144 xˆ6

x 6ˆ 0

72 ˆ 8, dus A…6; 8†. 62

b d … 24x 2 ‡ 144x 3 † ˆ 48x 3 432x dx   d dy ˆ 0 geeft 48 432 ˆ 0 dx dx x3 x4

 dy c Snelheid ˆ ˆ dx xˆ9

5



48 ˆ 432 x3 x4 4 48x ˆ 432x3 48x ˆ 432 xˆ9

4

24 ‡ 144  92 93

x 6ˆ 0

0,099.

d x ˆ 9 geeft y ˆ 6 ‡ 24 722 ˆ 70, dus B…9; 70 9 †. 9 9 9 A komt op de x-as bij een verschuiving 8 omlaag en B komt op de x-as bij een verschuiving 70 7 9 ˆ 7 9 omlaag. Dus a ligt in h7 79 ; 8i. 20

a Dan zijn de gemiddelde kosten GK minimaal. b t ˆ 4 geeft n ˆ 0,1
41;5 ˆ 0,8, dus 0,8 reparaties. t ˆ 4 geeft K ˆ 20
4 ˆ 80, dus 80 euro per reparatie. Dit geeft reparatiekosten 0,8
80 ˆ 64 euro.

Gemengde opgaven 143

c t ˆ 6 geeft n ˆ 0,1
61;5  1,47. t ˆ 6 geeft K ˆ 20
6 ˆ 120. Reparatiekosten 1,47
120  176 euro. d Reparatiekosten ˆ 0,1t1;5
20t ˆ 2t2;5 . 2;5

Totale kosten ˆ 729 ‡ 2t2;5 , dus GK ˆ 729 ‡ 2t t e GK ˆ 729t

1

h

‡ 2t1;5 , dus dGK ˆ dt

729t

2

ˆ 729 ‡ 2t1;5 . t

‡ 3t0,5

GK

i dGK ˆ 729
9 2 ‡ 3
90,5 ˆ 0 dt tˆ9 Uit de schets volgt dat GK minimaal is voor t ˆ 9.

O

f Je krijgt GK ˆ 1250 ‡ 2t1;5 . t

t

9

GK

Voer in y1 ˆ 1250 ‡ 2x1;5 . x De optie minimum geeft x  11,2 en y  187. Dus vervangen na 11 jaar. O

t

11,2

bladzijde180 21

a V ˆ 4x

1

‡ 0,000625x geeft dV ˆ dx

dV ˆ 0 geeft dx

4x

2

‡ 0,000625

4 ‡ 0,000625 ˆ 0 x2

V

4 ˆ 0,000625 x2 0,000625x2 ˆ 4 4 ˆ 6400 0,000625 x ˆ 80 Uit de schets blijkt dat V minimaal is bij een snelheid van 80 km/uur. b x ˆ 80 geeft V ˆ 0,1 liter/km. Dus verbruik over 400 km is 400
0,1 ˆ 40 liter. De minimale benzinekosten zijn 40
1 ˆ 40 euro. x2 ˆ

O

c Bij een snelheid van x km/uur doe je over 400 km 400 uur. x   Voor 400 km is 4 ‡ 0,000625x
400 ˆ 1600 ‡ 0,25x liter benzine nodig. x x Zo krijg je K ˆ benzinekosten ‡ loonkosten   ˆ 1600 ‡ 0,25x
1 ‡ 150 ‡ 400
5 x x ˆ 1600 ‡ 0,2x ‡ 150 ‡ 2000 x x ˆ 0,25x ‡ 150 ‡ 3600. x

144 Gemengde opgaven

80

x

d K ˆ 0,25x ‡ 150 ‡ 3600x dK ˆ 0 geeft 0,25 dx

1

geeft dK ˆ 0,25 dx

3600x

2

3600 ˆ 0 x2

3600 ˆ 0,25 x2 0,25x2 ˆ 3600 x2 ˆ 14 400 x ˆ 120 Uit de schets blijkt dat K minimaal is bij een snelheid van 120 km/uur.

K

Kmin ˆ 0,25
120 ‡ 150 ‡ 3600 ˆ 210 euro. 120 22

O

120

x

a Maximale voorraad ˆ 600, dus gemiddelde voorraad ˆ 300. n n Dit geeft TK ˆ 750
n ‡ 600
225 ‡ 300
80 ˆ 750n ‡ 135 000 ‡ 24 000. n n b TK ˆ 750n ‡ 135 000 ‡ 24 000n dTK ˆ 0 geeft 750 dn

1

geeft dTK ˆ 750 dn

24 000n

2

24 000 ˆ 0 n2

24 000 ˆ 750 n2 750n2 ˆ 24 000 n2 ˆ 32 p n ˆ 32  5,7 Uit de schets blijkt dat K minimaal is voor n  5,7. Neem dus n ˆ 6.

K

TKmin ˆ 750
6 ‡ 135 000 ‡ 24 000 ˆ 143 500 euro. 6

O

5,7

n

bladzijde181 23

a a ˆ 6 geeft R ˆ 12
62 ‡ 312
6 528 ˆ 912 Opbrengst ˆ 912 kg/100 m2 ˆ 9,12 kg/m2 6 planten per m2 , dus de opbrengst per plant is

9,12 ˆ 1,52 kg. 6

b a ˆ 8 geeft R ˆ 1200 kg/100 m2 a ˆ 8 betekent 800 planten/100 m2 . Opbrengst per plant is 1200 ˆ 1,5 kg. 800 c Zie de vragen a en b. Je krijgt GR ˆ R ; dus 100a GR ˆ

12a2 ‡ 312a 100a

528 ˆ

0,12a ‡ 3,12

5,28 a

Gemengde opgaven 145

d GR ˆ

0,12a ‡ 3,12

dGR ˆ 0 geeft da

5,28a

0,12 ‡

1

geeft dGR ˆ da

0,12 ‡ 5,28a

5,28 ˆ0 a2

2

GR

1,528 5,28 ˆ 0,12 2 a 0,12a2 ˆ 5,28 a2 ˆ 44 a  6,63 Uit de schets volgt dat GR maximaal is bij O ongeveer 6,63 planten per m2 . 2 e Een hectare is 100  100 ˆ 10 000 m . Hierop moet men dus 10 000
6,63 ˆ 66 300 planten poten. Per plant is de opbrengst 1,528 kg. Per ha is de opbrengst 66 300
1,528  101 300 kg.

24

a N ˆ 120

120
0,75t geeft dN ˆ dt ˆ

6,63

120
0,75t
ln…0,75† 120
ln…0,75†
0,75t  34,5
0,75t

0,75t > 0 voor elke t, dus dN > 0 voor elke t, dus N is een stijgende functie. dt b 120…1 0,75t † ˆ 80 1 0,75t ˆ 23 0,75t ˆ 13 log…13†  3,8 tˆ log…0,75† De werknemer heeft 3,8 weken werkervaring. h i c dN ˆ 120
ln…0,75†
0,7510  1,944 dt tˆ10  N ˆ 1,944t ‡ b t ˆ 10 geeft N ˆ 113,24 113,24 ˆ 1,944
10 ‡ b 113,24 ˆ 19,44 ‡ b 93,8 ˆ b Dus N ˆ 1,944t ‡ 93,8. Los op 1,944t ‡ 93,8 ˆ 120 1,944t ˆ 26,2 t  13,5 Dus voor t ˆ 13,5. 25

a t N

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2,92

2,39

1,94

1,56

1,27

1

0,75

0,56

0,42

0,34

De quotie«nten zijn 0,82, 0,81, 0,80, 0,81, 0,79, 0,75, 0,75, 0,75 en 0,81. Neem als gemiddelde groeifactor per 10 jaar 0,79. Je krijgt N  ˆ 2,92
0,79t . b N  ˆ 20

N en N  ˆ 2,92
0,79t geeft N ˆ 20 . N 1 ‡ 2,92
0,79t c Bij 2015 hoort t ˆ 11,5. 20  16,75. 1 ‡ 2,92
0,7911,5 Dus 16,75 miljoen inwoners.

t ˆ 11,5 geeft N ˆ

146 Gemengde opgaven

a

d N ˆ 18, dus

20 ˆ 18 1 ‡ 2,92
0,79t

1 ‡ 2,92
0,79t ˆ 20 18 t 2,92
0,79  0,11 0,79t  0,038 log…0,038†  13,9 t log…0,79† Bij t ˆ 13,9 hoort het jaar 1900 ‡ 139 ˆ 2039. bladzijde 182 26

a De achtste dag is van t ˆ 7 tot t ˆ 8. t ˆ 7 geeft N ˆ 605. t ˆ 8 geeft N ˆ 737. Er zijn dus 737 605 ˆ 132 bij gekomen. 6420 ˆ 2140. 3 ‡ 57
0 De grenswaarde is dus 2140 en de helft van de grenswaarde is dus 1070.

b Voor grote waarden van t is N 

Los op

6420 ˆ 1070 3 ‡ 570,75t 3 ‡ 57
0,75t ˆ 6420 1070 t 57
0,75 ˆ 3 0,75t  0,0526 log…0,0526† ˆ 10,2 t log…0,75†

c Voer in y1 ˆ

6420 . 3 ‡ 57
0,75x

h i dN  99. dt tˆ15 Dus snelheid ˆ 99 fruitvliegjes per dag. d De snelheid is maximaal halverwege de grenswaarde, dus op t ˆ 10,2. h i De optie dy=dx of d=dx geeft dN  154 dt tˆ10;2 De maximale snelheid is 154 fruitvliegjes per dag. De optie dy=dx of d=dx geeft

27

a Stel B ˆ at ‡ 5600 met a ˆ
B ˆ 560 5600 ˆ
t 288 0 Dus B ˆ 17,5t ‡ 5600.

17,5.

b B ˆ 5600
0,99204t geeft dB ˆ 5600
0,99204t ln…0,99204† dt h i dB  44,75 dt tˆ0 Het brandstofverbruik direct na de start is 44,75 liter per uur. h i dB  36,94 dt tˆ24 Het brandstofverbruik na 24 uur is ongeveer 36,94 liter per uur. 36,94 44,75  100%  17,45% 44,75 Dus het brandstofverbruik is met ongeveer 17% afgenomen.

Gemengde opgaven 147

c

h

i dB  4,48 dt tˆ288 Het brandstofverbruik is ongeveer 4,48 liter per uur. Het vliegtuig kan daarna nog 560 ˆ 125 uur vliegen. 4,48

16 Differentievergelijkingen bladzijde183 28

a An ˆ 0,6An b y

1

‡ 1000 met A0 ˆ 1800.

2500

2000

1500

00

y=

=

1000

+ ,6x

10

0

y

x

500

O

500

A0 = 1800 A1 A2 2500

x

De rij An convergeert.  met A ˆ c An ˆA ‡ an …A0 A† Dus An ˆ 2500 ‡ 0,6n …1800 29

a Bn ˆ 1,075Bn

1

b ˆ 1000 ˆ 2500 1 a 1 0,6 2500† ˆ 2500 700
0,6n .

1000 met B0 ˆ geleend bedrag.

b ˆ 1000  13 333 1 a 1 1,075  Als B0 ˆ B is de rij Omdat a ˆ 1,075 > 1 divergeert de rij als B0 > B of als B0 < B. constant. Zo krijg je de volgende schetsen.

b B ˆ

Bn

Bn

B0 B

O

B B0

t

O

Alleen als B0 < B neemt de schuld van Jos af. Dus hij kan maximaal 13 333 euro lenen.

148 Gemengde opgaven

Bn

B0 = B

t

O

t