Wiskunde C &M
Schets van een mogelijke invulling van het vak wiskunde binnen het Profiel Cultuur en Maatschappij
INLEIDING
3
Colofon De tekst is geschreven en samengesteld door Jan de Lange met bijdragen van Michiel Doorman. Aan de informele brainstorm hebben deelgenomen: prof. dr. F. van der Blij, prof. dr. D van Dalen, mw. dr. R. Dekker, prof. dr. S. Doorman, drs. M. Doorman, drs. A. Goddijn, mw. G. Gorter, M. Kindt, dr. J. van Maanen, mw. drs. H. Verhage, prof. dr. W. Zwanenburg, P.J. van den Hoven. Vele anderen hebben, gevraagd en ongevraagd, bijdragen en ideeën geleverd. De lay out, grafische verzorging en eindredactie is verzorgd door Sylvia Eerhart, met hulp van Ellen Hanepen.
© Freudenthal Instituut 1998
INLEIDING
4
INHOUD Inleiding
7
Uitgangspunten
9
Thema 1: Statistiek
11
Thema 2: Meetkunde
21
Thema 3: Algebra & Analyse
35
Thema 4: Grafen & Matrices
47
Thema 5: Getal & Code, Taal & Logica
53
Bronnen
59
5
6
INLEIDING Op het laatste moment werd Wiskunde alsnog een verplicht vak voor alle leerlingen in de bovenbouw. Het profiel Cultuur en Maatschappij zou meer profiel krijgen als Wiskunde verplicht werd. Vonden sommigen. Een tegenlobby van velen die de schone kunsten, letteren en filosofie aanhingen strandde op een onwillige Staatssecretaris. De discussie werd gevoerd in alle media met een enthousiasme een betere zaak waardig. Onderdeel van de discussie was de bewering of een zinvolle invulling van het vak Wiskunde wel mogelijk is voor de toch zeer bijzondere groep leerlingen die heel bewust dit Profiel Cultuur en Maatschappij kiezen. De staatssecretaris was gevoelig voor het feit dat je niet klakkeloos iemands anders’ wiskunde (in dit geval van hen die het Profiel Economie en Maatschappij kozen) kon voorschrijven, laat staan geschikt achten voor de meer cultureel geëngageerden. Zij deed de Kamer de belofte te onderzoeken of het mogelijk is een specifiek voor dit Profiel vormgegeven wiskundecurriculum te ontwerpen. In het najaar van 1997 deed zij het Freudenthal Instituut het verzoek met een schets te komen van een mogelijke invulling van zo’n programma.
Deze notitie is niet meer dan een schets, een aanduiding van de richting waarin dit vak zich zou moeten, dan wel zou kunnen ontwikkelen. Het geeft aan welke vijf thema’s centraal zouden kunnen staan, en per thema worden voorbeelden gegeven die in een invulling gebruikt zouden kunnen worden. Er is nadrukkelijk niet voor een ’echte’ curriculum beschrijving gekozen ervan uitgaande dat de voorliggende notitie uitgangspunt zou moeten zijn voor een meer gedetailleerde en op haalbaarheid gebaseerde invulling, waartoe zorgvuldige experimenten een vereiste zijn.
Maar hopelijk biedt het wel houvast voor de wiskundige inhoud en de context die zowel relevant voor de leerlingen als uitdagend zouden moeten zijn.
Alhoewel ondergetekende zijn persoonlijke visie waarschijnlijk een niet onbeduidende rol heeft laten spelen bij de afronding van het stuk zoals het thans voor U ligt dient vermeld te worden dat velen spontaan dan wel op verzoek hun input in het proces
7
hebben gegeven. Er is o.a. een daglange bijeenkomst geweest met deskundigen uit vele windrichtingen, zowel geografisch als wiskundig-filosofisch gesproken. Ook mochten wij ons verheugen in een ruime hoeveelheid ons per post of e-mail toegekomen opvattingen en invullingen. Al deze zaken hebben mede geleid tot de invulling van de schets zoals die thans, een jaar na de opdracht, aan de Staatsecretaris wordt aangeboden.
Utrecht, oktober 1998
prof. dr. J. de Lange hoogleraar-directeur Freudenthal instituut
8
UITGANGSPUNTEN Voor de leerlingen die het profiel Cultuur en Maatschappij kiezen kan het vak wiskunde een verrijking betekenen onder de volgende voorwaarden:
1
Het vak wiskunde is algemeen vormend in de zin dat het leerlingen beter doet functioneren in de (informatie)maatschappij. Termen die gerelateerd worden aan dit doel zijn ‘gecijferdheid’ of ‘mathematical literacy’ alsmede het opvoeden tot ‘intelligent citizenship’.
2
Het vak wiskunde is voorbereidend op het universitaire vervolgonderwijs in brede zin, dat wil zeggen dat het relevantie heeft voor welke studierichting dan ook door de ‘hogere doelen’ die nagestreefd worden zoals: redeneren, argumenteren, het herkennen van mathematische aspecten in andere contexten, visualiseren, communiceren. In smalle zin voor o.a. methodologische aspecten die van nut zijn bij sociale wetenschappen.
3
Het vak wiskunde ontleent zijn relevantie ook aan de gebruikte contexten die passend zullen zijn voor het specifieke van het profiel Cultuur en Maatschappij. Een aspect dat zich daarvoor bij uitstek leent is de cultuur-historische ontwikkeling van de wiskunde.
4
Het beeld dat van wiskunde als discipline geschetst zal worden, wordt niet in de eerste plaats bepaald door technieken, algoritmen en bewijzen, maar meer door de relatie van wiskunde met de werkelijkheid van de leerling, en de rol van wiskunde in de geschiedenis van onze en andere culturen.
9
10
THEMA 1: STATISTIEK I D E E E N , R E D E N E R I N G E N , R E P R E S E NT E R I N G E N
Statistiek heeft een reputatie als een nuttig vak: medici hebben statistiek nodig om hun onderzoek goed te kunnen weergeven en begrijpen, managers hebben statistiek nodig om beslissingen te kunnen nemen omtrent kosten minimalisatie en winst maximalisatie, sociale wetenschappers hebben statistiek nodig om hun data te kunnen verzamelen, interpreteren en de juiste conclusie te kunnen trekken. Maar ook voor de gewone man of vrouw is statistiek ‘nuttig’, al was het alleen maar om de verkiezingsvoorspellingen op hun waarde te kunnen schatten. En, om de Amerikaanse statisticus David Moore te citeren: omdat data en kans overal opduiken, is statistiek nuttig. Zo voldoet statistiek aan het tweede uitgangspunt, dat van een voorbereiding op de vervolgopleiding. Maar de andere uitgangspunten, met name het eerste en vierde, leveren een ander beeld van statistiek op: statistiek gezien als een discipline die studenten blootstelt aan fundamentele intellectuele vaardigheden. De belangrijkste daarvan is het redeneren op grond van onzekere empirische data. Uiteraard moeten er statistische gereedschappen worden aangeboden, ontwikkeld en gebruikt, maar minstens zo belangrijk is het ontwikkelen van een ‘gevoel’ voor data en kans. Het is niet voor niets dat psychologen overtuigend hebben aangetoond dat formele wiskunde weinig bijdraagt aan het verbeteren van onze redeneerkunde betreffende data en kans in het dagelijks leven. Kenmerkend voor de invulling van het thema statistiek binnen het profiel Cultuur en Maatschappij zal de nadruk op statistisch redeneren zijn, of om terug te vallen op eerder gebruikte termen: ‘numeracy’ (gecijferdheid) of ‘mathematical literacy’. Zo kunnen leerlingen zich wapenen tegen ‘statistische intimidatie’.
D E R AC E V AN L O R O UP E
Data verzamelen is al een hele kunst, maar data representeren op een ’eerlijke’ manier ook. Dit kan zowel op een actieve als passieve manier worden opgevat: leerlingen moeten kunnen oordelen of anderen de zaken optimaal voorgesteld hebben, en zo niet wat er dan aan de representatie mankeert (passief), maar ook dienen zij zelf de nodige vaardigheden te bezitten om data duidelijk, objectief en helder te presenteren (actief).
11
Daarbij kan op een eenvoudig niveau worden ingestapt, bijvoorbeeld met het analyseren van de talrijk in de media voorkomende grafische weergaven van data. Een voorbeeld daarvan is de volgende grafiek over het verloop van een marathonrace waarbij de deelneemster, Tegla Loroupe, een nieuw wereldrecord vestigde. De gekozen representatie is nogal suggestief en leent zich bijvoorbeeld goed voor de volgende startvraag op leerlingniveau.
Op grond van de grafiek en de begeleidende tekst lijkt het alsof Loroupe onregelmatig gelopen heeft. Maar is dat ook zo?
STA T I S T I E K O F S TA A TS K U N DE
De grafische representatie van statische materialen heeft een sterke impuls gekregen door het werk van een niet onbekende verpleegkundige: Florence Nightingale. Het volgende is ontleend aan een beschrijving van Ida Stamhuis voor de Nationale Wiskunde Dagen. ‘Een woordenboek uit 1826 omschreef statistiek als volgt: Statenkunde, statenbeschrijving, uit staatkundige oogpunten beschouwd. Zij draagt dus den tegenwoordigen toestand van eenen staat voor. Hierdoor is zij een leerrijk oefenschool voor den staatsman; alleen moet zij in geen bloot tabellenwerk en getalregisters ontaarden’.
12
Niet teveel getallen dus, wel relevante kennis voor een toekomstige ambtenaar of politicus. Statistiek was in het midden van de met cijfers bedekte negentiende eeuw een modieus vakgebied. Statistische gegevens hadden veel gezag en werden dan ook gebruikt om beweringen overtuigingskracht te geven. De ’Lady with the Lamp’, ofwel Florence Nightingale, gebruikte ze dan ook als zodanig. Ze beschouwde statistiek als de belangrijkste wetenschap in de hele wereld, omdat het de ervaring in exacte resultaten omzet. Ze verzamelde getallen en nog eens getallen om aan te tonen dat de sterfte onder soldaten meer veroorzaakt werd door deplorabele hygiënische omstandigheden dan door verwondingen op het slagveld. Om het de politici, voor wie ze haar rapporten schreef, zo makkelijk mogelijk te maken, bedacht ze nieuwe grafische representaties van het statistische materiaal, zodat ze in één oogopslag konden zien waarvan ze hen wilde overtuigen. Een uitvinding van Nightingale was het ’Polar-Area Diagram’ (zie illustratie) waarmee zij op overtuigende wijze aan wilde geven hoeveel nodeloze sterfgevallen er waren in Britse militaire hospitalen tijdens de Krim oorlog (1854 - 1856).
Niet alleen heeft Nightingale veel data verzameld en zeer innovatieve wijze gerepresenteerd, maar zij probeerde ook verbanden te leggen tussen de diverse dataverzamelingen met het doel misstanden op te sporen. Een activiteit die alleen nog maar belangrijker geworden is en vaak niet met voldoende kritische houding gepaard gaat. Als eigentijds voorbeeld noemen we de relatie wijngebruik-hartaanvallen.
13
WIJN IS GOED VOOR JE HART
Het is vaak erg verleidelijk om twee rijtjes data met elkaar te vergelijken, in een grafiek te representeren, en vervolgens een conclusie te trekken die zeer gerechtvaardigd lijkt. Er lijken aanwijzingen te zijn dat het met mate drinken van wijn de kans op een
14
hartaanval verkleint. De data in de tabel geven de jaarlijkse wijnconsumptie (liters alcohol per persoon, ten gevolge van wijn drinken) en de jaarlijkse sterfgevallen door hartaanvallen in 19 ontwikkelde landen.
Het ligt nu voor de hand om een mooie en overtuigende grafiek te tekenen die inderdaad de hypothese lijkt te onderbouwen. Maar de vraag die aan het eind van zo’n proces gesteld dient te worden door een mondig burger luidt: Is nu bewezen dat het drinken van wijn een vermindering van hartaanvallen veroorzaakt?
O P Z O E K NA A R D E O N B E K E N D E S C H RI JV E R
De Federalist Papers is een collectie van vijfentachtig artikelen die in de periode van 1787 - 1788 geschreven zijn door Alexander Hamilton, John Jay en James Madison. Deze artikelen vormen een poging om het volk de Constitutie van de Verenigde Staten te laten ratificeren. Helaas was geen der artikelen door een of meer auteurs ondertekend en historici wilden de namen van diegenen wel graag weten. Eenvoudige wiskundige technieken van statistische aard brachten pas in 1962 het mysterie tot een oplossing. De verantwoordelijken waren Frederick Mosteller en David Wallace. Geschiedkundigen hadden op dat moment al 77 artikelen ’ondergebracht’ bij de drie; maar van twaalf artikelen bleef het een mysterie wie ze had geschreven. De strategie van Mosteller en Wallace was het zoeken naar patronen in de geschriften. Niet de 15
syntactische patronen die door Chomsky en anderen waren bestudeerd, maar simpele numerieke patronen. Zo werd er gezocht naar ander artikelen van de drie auteurs en naar o.a. de gemiddelde zinslengten die ze hanteerden. Deze kwamen uit op 34,5 à 34,6. Wat uiteindelijk wel werkte was het vergelijken van de relatieve frequentie waarmee elke auteur elk van dertig zorgvuldig gekozen gewone woorden, zoals ’by’, ’to’, ’this’, etcetera gebruikte. Toen de frequenties met een computerprogramma werden opgespoord en geanalyseerd bleek dat verrassende resultaten op te leveren. De geschriften van elk van de auteurs vertoonden een duidelijke ’vingerafdruk’. De grafiek toont de verdeling van de frequenties van het voorkomen van het woordje ’by’ in een uitgebreide collectie van 48 artikelen van Hamilton, 50 van Madison en de twaalf betwiste Federalist artikelen.
16
Op zichzelf is dit niet meer dan een aanwijzing, maar een gedetailleerde statistische analyse van de woordfrequenties voor alle dertig woorden was echter wel volledig overtuigend: Madison had de twaalf betwiste artikelen geschreven.
D E C HA L L E N G E R E N O N G E C I J F E RD H E I D
Op 28 januari 1986 explodeerde de spaceshuttle Challenger, door lekkage bij twee zogenaamde O-ringen. Tot op de avond voor de ramp is door deskundigen gedebatteerd over het feit of de ringen de koude temperaturen die voorspeld waren (26-29 graden Fahrenheit) konden weerstaan. Ondanks waarschuwingen van experts is de lancering toch doorgegaan. Zo kreeg NASA de dag voor de lancering – die bij vorst zou plaatsvinden – een fax met het volgende titelblad:
Wat opvalt is dat het met de hand geschreven is en er geen auteur vermeld wordt. Het uiteindelijke rapport was van erbarmelijke kwaliteit. Zo werden van de vierentwintig eerdere lanceerdata er maar twee gebruikt, waarvan de ene bij een temperatuur van 53 graden F en de andere van 75. In beide gevallen was er sprake van beschadiging van O-ringen, en in het geval van de 53 graden zelfs van bijna fatale beschadiging. De data in de fax die relevant waren werden als volgt aan het papier toevertrouwd:
17
Naast de temperaturen van de 15e en 22e lancering bij resp. 53 en 75 graden is ook de voorspelde temperatuur voor de 25e lancering vermeld: 27-29 graden Fahrenheit, afhankelijk van de heersende wind. De aanbevelingen gebaseerd op deze twee (!) waarnemingen en waarschijnlijk op veel intuitie bij de ingenieurs van het vehikel zagen er als volgt uit:
NASA was woedend over de fax en concludeerde terecht dat de data op geen enkele wijze
de
aanbevelingen
onderbouwden.
De
constructeur
trok
daarop
de
aanbevelingen in, de lancering ging door, de raket ontplofte. Onnodig, als de ’numeracy’ ook maar een minimaal peil had bereikt onder de betrokkenen. Eén van de problemen was dat niemand gegevens over O-ring beschadiging en temperatuur had geanalyseerd van de voorgaande 24 lanceringen. Deze gegevens, die dus vooral de relatie temperatuur-beschadiging O-ring moeten betreffen waren wel
18
beschikbaar. In de grafiek hieronder zijn deze gegevens weergegeven. Iedereen ziet direct dat de lancering een enorm risico loopt, als je een kromme door de stippen tekent en die extrapoleert tot aan de voorspelde temperatuur.
Helaas werd deze kromme pas getekend jaren na het ongeluk en zag zelfs de presidentiële commissie ter onderzoeking van de ramp een dergelijke grafiek niet op papier maar kregen zij de gegevens door middel van datarepresentatietechnieken gepresenteerd, die er wel leuk uitzagen qua amusementswaarde maar absoluut geen informatie gaven over de essentiële zaken.
19
20
THEMA 2: MEETKUNDE VI S U E E L AN A L Y S E RE N E N I N T E R P R E T E R E N
Meetkunde heeft een lange traditie binnen het wiskundeonderwijs, maar deze traditie heeft verschillende aspecten van de meetkunde op verschillende momenten benadrukt. De meeste bekendheid heeft de euclidische meetkunde gehad, een meetkunde die het deductief redeneren als hoger doel had. Deze euclidische wiskunde werd vroeger vaak als startpunt genomen van het meetkundeonderwijs maar recent wordt er meer in de ruimte gestart en volgen aspecten van euclidische meetkunde pas later. Daarbij kan vermeld worden dat Nederland in dat proces een katalyserende rol heeft gespeeld. Het ligt voor de hand daarbij Freudenthal aan te halen: ‘Geometry is grasping space.... that space in which the child lives, breathes and moves. The space that the child must learn to know, explore, conquer, in order to live, breathe and move better in it.’
Deze benadering van meetkunde heeft er mede toe geleid dat er een revitalisatie van het meetkundeonderwijs heeft plaatsgevonden maar ook dat er minder aandacht is voor de traditionele euclidische meetkunde. Tevens is de Renaissance van het aspect ‘visualisering’ voor een niet onbelangrijk deel te danken aan de opkomst van de computer die het mogelijk heeft gemaakt allerlei zaken dynamisch op het scherm te reprensenteren. Het ligt dan ook voor de hand zeker ook bij dit domein het gebruik van IT zo snel mogelijk te integreren. ‘Grip krijgen op de ruimte’ is geen eenvoudige zaak. Het veronderstelt begrip over hoe je driedimensionale dingen ziet, hoe je vormen kunt herkennen en de relaties tussen objecten kunt beschrijven, hoe je je weg in de ruimte kunt vinden en deze weg kan beschrijven, hoe je patronen kunt identificeren, hoe je vormen kunt visualiseren en representeren. Al deze zaken spelen een belangrijke rol in het dagelijks leven, maar ook in allerlei disciplines zoals architectuur, beeldende kunst, muziek, techniek, medicijnen etcetera. Het is dan ook uiterst relevant voor leerlingen in het profiel Cultuur en Maatschappij om dieper in dit domein der wiskunde te duiken dan de eerste jaren van het voortgezet onderwijs hen toestaat. Het is in de eerste plaats algemeen vormend, waarbij een heel specifieke manier van denken wordt ontwikkeld die leidt tot een beter ruimtelijk gevoel
21
of inzicht en het inzien van relaties in de ruimte om ons heen en herkennen van structuren. Verder heeft deze meetkunde een rijke cultuur-historische context die zich zeer leent tot het inpassen van dit domein in de belangstellingssfeer van studenten die zich thuis voelen in het profiel Cultuur en Maatschappij. Daarmee voldoet de voorgestelde invulling van de meetkunde aan alle vier uitgangspunten; immers ook het beeld van wiskunde als een discipline komt zeer aan haar trekken als we wiskunde zien als een zoektocht naar patronen, of zoals de Amerikaanse wiskundige Steen zegt: ‘It is natural to try to find the most effective ways to visualize these patterns and to learn to use visualization creatively as a tool for understanding’.
Tenslotte sluit het in bepaalde aspecten nauw aan bij het thema Statistiek voor wat betreft de visualiserings- en representeringsvaardigheden.
D A VI NC I Z A G A L P E R S P E C T I E F I N D E W I S K U N DE
’Van alle studies van natuurlijke oorzaak en rede brengt het licht de aanschouwer het meest in verrukking; van alle grote kenmerken van de wiskunde leidt de zekerheid van bewijsvoering bij uitstek tot verlichting van de geest van de beoefenaar. Daarom zal perspectief de voorkeur moeten krijgen boven alle andere verhandelingen en systemen van menselijke scholing. In deze tak van wetenschap wordt de lichtstraal uitgelegd met bewijsmethoden die niet zozeer de trots zijn van de wiskunde als wel van de natuurkunde, maar zij staan in beide takken van weenschap hoog aangeschreven’.
Leonardo da Vinci (1452-1519) heeft het prachtig gezegd. Aan ons de taak zijn woorden waar te maken binnen het wiskundeonderwijs voor het Profiel Cultuur en Maatschappij. Hij zet ons ook op het spoor met o.a. de volgende citaten: ’Elk probleem op het gebied van perspectief wordt verduidelijkt door de vijf begrippen van de wiskunde: het punt, de rechte lijn, de hoek, het oppervlak en het driedimensionale lichaam.’
Iedere studie naar het perspectief leidt onvermijdelijk naar een studie van verhoudingen en Da Vinci heeft met name de verhoudingen van het menselijk lichaam uitbundig bestudeerd: ’Elke driejarige is de helft van de lengte waar hij uiteindelijk naartoe zal groeien.
22
Neem een man van drie braccia (zes voet) lang en meet hem op volgens de regels die ik U zal geven. De lengte van de hand is een derde van een braccia. Deze maat kan men negenmaal in een man terugvinden. En het gezicht gaat net zo; en van de kuil in de keel naar de schouder, van de schouder naar de tepel, van de ene tepel naar de andere, van beide tepels naar de kuil in de keel’.
Ook heeft Da Vinci al verwezen naar een paradox die ook nu nog intrigerend is, ook of juist ook voor leerlingen van het vwo. Als we voor een rij zuilen staan, zoals bijvoorbeeld voor een tempel met de toen gebruikelijke architectuur, en we zouden die ’correct’ tekenen, dan zullen de zuilen aan de zijkanten er breder uitzien dan die in het midden terwijl deze dichterbij staat. Een dwarsdoorsnede (zie figuur) laat een aantal cirkels zien die de zuilen representeren.
Zoals duidelijk uit de tekening blijkt zijn de beelden van de buitenste twee zuilen groter dan het beeld van de middelste; ofwel: PQ is groter dan SR. Da Vinci, en ook Pierro della Francesco (1416-1492) realiseerden zich terdege dat de grootte van een voorwerp in het geheel niet afhangt van de afstand van het oog tot het voorwerp, maar van de hoek (kijkhoek) die door het voorwerp bij het oog opgespannen wordt. Enkele vragen die gesteld kunnen worden: Verklaar de relatie tussen de ’terug naar de natuur’ beweging van de Renaissance en de ontwikkeling van een wiskundig systeem van perspectief. Wat is het principe van perspectiefprojectie? 23
P E R S P E C T I E F I N D E R E N A I S S A N C E K UN S T
Het perspectief lijkt bij beide volgende taferelen in orde. Toch lijkt er in de tweede iets mis met de vloer. Doordat het verdwijnpunt waarmee dat tafereel geconstrueerd is, rechts van het midden ligt, lijken vooral de tegels linksvoor erg vervormd voor een toeschouwer die middenvoor staat. De schilder, Paolo Uccello, heeft het oogpunt zo ver naar rechts gekozen om ook de scene buiten de deur goed weer te kunnen geven, maar voor het perspectief vanuit de toeschouwer is dit funest. Uccello gebruikte de technieken voor het perspectief die Alberti uitvoerig beschreven heeft. Hieronder een schets van de methode van Alberti zoals geïllustreerd in zijn Della Pitture in 1435, een publicatie die een doorbraak betekende in de behandeling van het perspectief.
24
D ÜR E R S D O O R K I J KM E T H O D E
Velen werkzaam binnen het Nederlandse wiskundeonderwijs kennen de volgende prent van Albrecht Dürer (1471-1528) mede dankzij het werk van met name Goddijn in de jaren zeventig en tachtig. De tekening heet ’Der Zeichner der Laute’ en toont de concretisatie
van
de
kijklijn
als
hulpmiddel
om
een
waarheidsgetrouwe
perspectieftekening te maken.
Door met de vinger steeds aan te geven waar de lijn door het raam van het schildersdoek gaat kan, door het doek dicht te slaan in het frame, de juiste plaats van ieder punt van de luit getekend worden. Deze methode is waarschijnlijk de derde stap in een proces dat begon met het tekenen op een glasplaat in plaats van op het doek – een activiteit die ook al in brugklassen gedaan kan worden, maar waarvoor op dat moment nog niet alle verklaringen in wiskundige zin te geven zijn:
25
De volgende stap wordt gevormd door de methode waarbij de glasplaat voorzien is van een rooster en de kunstenaar roosterpapier voor zich heeft liggen waarop hij overtekent wat hij door het beroosterde raam ziet.
26
Het is interessant te zien dat Dürer zijn eigen techniek niet toegepast heeft op een juiste manier in de tekening van de luit: op het doek van de schilder staat de luit te groot afgebeeld hetgeen mede blijkt uit de volgende figuur die duidelijk aantoont dat het beeld G’H’ van GH op de glasplaat veel kleiner is dan het origineel. Interessant foutje van Dürer met rijke mogelijkheden voor een nadere gedachtenwisseling in de klas.
D I B BE TS E N P E RS P E CT I E F
Eigenschappen van perspectief kunnen ook worden gebruikt om ruimtelijke objecten een onverwacht effect te geven. Hieronder een foto van een beeld van Jan Dibbets. Op de foto zijn de paaltjes even lang, in werkelijkheid zijn de achterste paaltjes veel groter dan de voorste. De breedte van het achterste paaltje is op de foto ongeveer de helft van de breedte van het voorste paaltje. Als in werkelijkheid alle paaltjes even breed zijn, dan is dus het achterste paaltje ongeveer twee keer zo lang als het voorste paaltje.
27
M O O I E V E R HO U DI NG E N : D E G U L D E N S N E D E
Pythagoras werd gedreven door een nieuwsgierigheid naar het schone en de harmonie in de natuur. Zijn waarnemingen brachten hem tot de overtuiging dat bepaalde verhoudingen de absolute waarheid belichaamden van de harmonische wereldstructuur. De ontdekking dat alle muzikale harmonieën rekenkundig zijn uit te drukken in verhoudingen vormden voor leerlingen van Pythagoras de aanleiding om hierin ook de leidende principes van de structuur van micro-en macrocosmos te zien. Dit idee van harmonie der sferen maakt deel uit van het streven om een wet van getalsmatige verhoudingen te vinden voor alle verschijnselen. Een bijzondere verhouding heeft altijd erkenning gevonden vanwege de universele schoonheid. Euclides beschreef deze als ’een lijn verdelen tussen uiterste en gemiddelde verhouding’, Plato noemde het de ’Snede’ en tegenwoordig noemen we het de ’Gulden Snede’. Een deel van de charme ligt in het feit dat er in tegenstelling tot andere verhoudingen slechts twee termen nodig (a en b) zijn om de gulden snede te beschrijven: a : b = b : (a + b). Vooral in de Renaissance werd deze verhouding vaak gebruikt; bijvoorbeeld hier bij de voorgevel van de Santa Maria Novella in Florence.
28
Maar de Gulden snede komt ook uitbundig in de natuur voor. Talrijk zijn de boeken die gesierd worden door een doorgesneden Nautilusschelp als voorbeeld van de wiskundige structuur van de natuur. De kamers van de Nautilusschelp groeien met een vaste factor. Dit soort groei, dat mede centraal staat in het thema: Groei, heet exponentieel en heeft een logaritmische spiraal tot gevolg, die weer het gevolg is van de Gulden Snede.
Als we in a : b = b : (a + b) voor a het getal 1 nemen lezen we: 1 : b = b : (b + 1) of: b2 = b + 1 en een oplossing van deze vergelijking geeft b = ( 1 + V5)/2; het gulden-snede-getal.
29
DE PLATONISCHE FIGUREN
In het dertiende deel van zijn beroemde ’Elementen’ heeft Euclides de platonische lichamen als onderwerp van studie genomen. Dit zijn driedimensionale lichamen begrensd door vlakken die ieder voor zich een regelmatige veelhoek zijn. Alle zijvlakken zijn identiek (congruent) en alle hoeken tussen aan elkaar grenzende zijvlakken zijn gelijk. De Grieken kenden vijf platonische lichamen:
-
het regelmatige viervlak of tetrahedron, met vier zijvlakken, zijnde gelijkzijdige driehoeken.
--
de kubus, begrensd door zes vierkanten het regelmatige achtvlak of octahedron, met acht gelijkzijdige driehoeken het regelmatig twaalfvlak of dodecahedron, met twaalf vijhoeken het regelmatig twintigvlak of isocahedron met twintig gelijkzijdige driehoeken
Plato gebruikte deze lichamen om een theorie te formuleren omtrent de vier elementen. In Timaeus, geschreven rond 350 voor Chr., vinden we de verklaring dat vuur de structuur van een viervlak, aarde die van een kubus, lucht die van het achtvlak, water die van het twintigvlak en het Universum die van een twaalfvlak heeft.
30
Platonische figuren behoren tot de algemene ontwikkeling van een vwo-leerling. Deze figuren hebben in onze geschiedenis een belangrijke rol gespeeld bij pogingen om allerlei fenomenen een logische ordening te geven. Hieronder Keplers versie van ons zonnestelsel.
Het model bestond uit een aantal Platonische lichamen en bollen die ’genesteld’ waren. Alhoewel het model realistischer is dan dat van Plato blijft het verbazingwekkend dat geleerden van het niveau Kepler zo geforceerd te werk gingen in hun drang de wereld te beschrijven in strikt wiskundige structuren en modellen en in die drang bereid waren de werkelijkheid enig geweld aan te doen.
O N T W E R P E N E N V I S UA L I S E R E N M E T DE C O M P U T E R
Uit het voorgaande kan wellicht de indruk ontstaan dat de meetkunde in het vak wiskunde C veel historisch verantwoord materiaal zou moeten bevatten. Niets is minder waar. Er liggen talrijke voorbeelden voor het oprapen van interessante wiskundige patronen en structuren en de visualisaties daarvan in het werk van modernen. Uit de veelheid van voorbeelden op het terrein van kunst en architectuur noemen we slechts: Le Corbusier, Sol LeWitt, Peter Struycken, Maurits Escher, Ludwig Mies van der Rohe, Jan Dibbets (zie eerder) en Victor Vasarely.
31
In bovenstaande plattegrond van het Illinois Institute of Technology van de Amerikaanse architect Ludwig Mies van der Rohe zit een heel bepaald ritme en structuur. Maar ook op andere manieren kan en moet de invulling van zo’n Cultuur en Maatschappij-programma eigentijds zijn en de rol van ICT dringt zich hierbij naar voren. In 4-vwo zijn inmiddels ervaringen opgedaan met projecten waarbij leerlingen met de computer een ruimtelijk object ontwerpen. Het gebruik van de computer is daarbij een wezenlijk onderdeel. Ten eerste omdat de computer een bijna niet meer weg te denken hulpmiddel is voor een ontwerper. Ten tweede omdat daarmee leerlingen hun kennis over ruimtelijke coördinaten en transformaties konden toepassen. Van deze projecten hebben ze verslagen gemaakt. Hieronder het ontwerp van een vaas.
32
Hieronder staan twee fragmenten uit het ontwerpproces van een stoel.
33
34
THEMA 3: ALGEBRA & ANALYSE G R O E I P R O C E S S E N AN A L Y S E RE N , V E R G E L I JK E N E N R E P R E S E NT E R E N
Als het beroemde Rapport van de Club van Rome één verdienste heeft is het wel dat het haarscherp aangaf hoe belangrijk het begrip ‘exponentiële groei’ is. Belangrijk omdat exponentiële groei heel ‘natuurlijk’ is, in de zin dat veel processen in principe zo verlopen. Dat is heel logisch als we naar de volgende fenomenologische beschrijving kijken: ‘Het verschil tussen lineaire en exponentiële groei ligt in het al of niet meedoen van het reeds voorhandene bij nieuwe toename. Bij lineaire groei maakt het niets uit of de voorgaande groei pas begonnen of bijna voltooid is; onafhankelijk hiervan komt er steeds dezelfde portie bij. Bij exponentiële groei daarentegen draagt alles wat reeds eerder gegroeid was actief bij tot de verdere uitbouw. Dit aandeel van de voorafgaande aanwinsten in het produktieproces noemt men in het cybernetisch spraakgebruik: positieve terugkoppeling (feedback). In de geldmarkt heet het: samengestelde interest.’
Dit domein bouwt enerzijds voort op de wiskunde in de onderbouw, maar diept diverse groeiprocessen verder uit waarbij de onderliggende concepten centraal staan. De biologische definitie geeft een helder beeld dat even helder vertaald kan worden naar een wiskundige omschrijving waarbij de begrippen ‘optellen’ (met een vast getal: verschil) en ‘vermenigvuldigen’ (met een vast getal: groeifactor) centraal staan. Lineaire groei is dan een additief proces, exponentiële groei een multiplicatief proces. Maar dit beeld verdient veel meer dan een eenvoudige vergelijking: de relatie naar procenten, zoals al gelegd in de biologische omschrijving dient uitgediept, alsmede de relatie met decimalen, verhoudingen, breuken en de verhoudingstabel als verbeelding van de verbinding tussen additief en multiplicatief redeneren. Het is duidelijk dat in dit domein het algemeen vormende en puur wiskundige hand in hand gaan. Maar de relevantie wordt zeker ook gevonden in de rijke schakering aan contexten waarin met name exponentiële groeiprocessen een rol spelen. Ook bij bijvoorbeeld muziek spelen exponentiële verbanden een grote rol. Behalve lineaire en exponentiële groei kennen we o.a. ook de periodieke verandering met als belangrijk voorbeeld: de getijdenbeweging, of bij muziek: trillingen. Voor alle leerlingen is enig begrip en inzicht in deze processen een verrijking als we denken aan algemene vorming op enig niveau. 35
Bij het beschrijven van zowel exponentiële als periodieke processen kan ook het wiskundig instrument ‘matrix’ gebruikt worden. Op deze wijze zou een mooie verbinding gelegd kunnen worden naar het vierde thema. Verhoudingen zoals de Gulden Snede (ook exponentieel) leggen verbanden met de meetkunde, het tweede thema.
ALLES GROEIT ALTIJD
Hoe raar het ook mag klinken, de titel van deze paragraaf is helemaal zo gek nog niet als we tenminste bereid zijn wat minder hokkerig te denken dan we gewend zijn vanuit ’gewoon’ taalgebruik. Alhoewel, vandaag de dag kan men in de krant ook wel de term NUL-Groei aantreffen, en een enkele keer misschien negatieve groei. Groeiprocessen zijn op vele wijzen te beschrijven: met woorden, met data, met grafieken, met animaties, met formules, met matrices. De meest voorkomende typen groei laten zich visueel illustreren met grafieken – het blijkt daarbij goed mogelijk van fundamenteel verschillende typen te onderscheiden:
36
Met name de lineaire, exponentiële en periodieke groei lenen zich uitstekend voor een behandeling binnen het Cultuur en Maatschappij-profiel.
F I B O NA C C I G RO E I E X P O N E N T I E E L M E T A L S G R O E I F A C T O R D E G U L D E N S N E D E
Het rijtje getallen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... komt velen bekend voor en het zal niet moeilijk zijn de volgende getallen te vinden. De getallen worden steeds groter, en de groei gaat steeds sneller – als je tenminste naar de verschillen tussen opeenvolgende 37
getallen kijkt. Dit rijtje vat een groeipatroon samen dat heel vaak voorkomt in de natuur (plantengroei, schelpengroei, populatiegroei). De rij draagt de naam van Fibonacci en het is verbazingwekkend te zien wat er achter zo’n relatief onnozel rijtje getallen schuil gaat. Als je twee opeenvolgende getallen op elkaar deelt (de volgende door de vorige) krijg je op den duur steeds hetzelfde getal en dat getal is ongeveer 1,618 ofwel de Gulden Snede. Als het quotiënt van twee opeenvolgende getallen steeds hetzelfde is, is dat het teken dat we te maken hebben met exponentiële groei. Het quotient wordt dan de groeifactor genoemd. Fibonacci-getallen vindt men direct terug in bijvoorbeeld het aantal spiralen rechtsom en linksom in de zonnebloem of de dennenappel. Maar de gevolgen van exponentiële groei kunnen ook op wat meer verholen wijze zich uiten. Als we beginnen met een Gulden Rechthoek en we halen daar een vierkant vanaf, houden we een nieuwe, kleinere Gulden Rechthoek over:
Dit proces kan herhaald worden (steeds een vierkant eraf) tot in het oneindige. Door steeds in het afgesplitste vierkant een kwart cirkelboog te tekenen ontstaat een beroemde spiraal: de Gulden Spiraal genoemd.
38
Deze spiraal komt in de natuur heel vaak voor als logisch gevolg van het proces van biologische groei zoals in de inleiding gedefinieerd.
Als dan ook nog bedacht wordt dat veel exponentiële groeiprocessen zich laten beschrijven met relatief eenvoudige hulpmiddelen (zoals matrices uit het vierde thema) en gevisualiseerd kunnen worden op een veelheid aan manieren blijkt eens te meer hoe de diverse thema’s inhoudelijk samen hangen.
G E R E M DE G R O E I : R I T M E E N C H A O S
Exponentiële groei kan met gebruikmaking van de groeifactor als kernbegrip vrij eenvoudig beschreven worden, en op verschillende manieren. Een voorbeeld:
De nieuwe waarde is gelijk aan de groeifactor maal de oude waarde Of, in formule: Wnieuw = g maal Woud 39
Dit is gelijkwaardig met de formule y = gx Een gelijkwaardigheid die voor veel leerlingen al verrassend genoeg is. Maar zuiver exponentiële groei komt in de werkelijkheid niet al te vaak voor omdat er heel vaak van geremde of begrensde groei sprake is. Er is geen voedsel genoeg, of geen land genoeg, of er zijn andere remmingen. Als je de bovengrens bij 1 legt, en er is al x aanwezig, is er dus nog maar ruimte voor 1 – x. Dus, zoals de politiek en economen steeds weer ontdekken: als je al veel hebt is er minder om nog te hebben. Althans in dit model. Het model is te beschrijven met dezelfde formule als boven, met een correctie voor de afnemende beschikbare ruimte: Wnieuw = g maal Woud maal (1 – x) Het tekenen en analyseren van grafieken behorend bij dit verband kan aan de grafische rekenmachine of computer worden overgelaten en leidt tot resultaten die niet onmiddellijk logisch lijken. Wel in het geval de groeifactor 2 is: we krijgen dan een keurige s-kromme. Maar bij een groeifactor van 3,2 krijgen we de volgende grafiek:
Als we de groeifactor langzaam laten stijgen zien we een meer chaotisch karakter, zoals bijvoorbeeld bij groeifactor 3,68:
40
Voor een weer iets grotere waarde wordt de zaak weer wat regelmatiger, na verloop van tijd:
G = 3,83. Op deze wijze kan er met de groeifactor op de computer gespeeld worden en een link gelegd worden met één van de moderne ontwikkelingen in de wiskunde: de chaostheorie. Chaostheorie heeft zeer veel toepassingen in de moderne wetenschap. De grafiek die het verband aangeeft tussen de groeiformule en de waarde van de groeifactor is namelijk een fractal: een afbeelding die hoeveel vergroot of verkleind ook steeds weer het evenbeeld van zichzelf is.
G A M E L A N: T W E E -M AC H T E N I N DE I N DO N E S I S C H E M U Z I E KN O TA T I E
Een analyse van de Indonesische gamelanmuziek brengt ook een fractal structuur aan het licht en de relatie met exponentiële groei met groeifactor 2:
41
De getallenrij 2 1 2 etc. geeft de kernmelodie aan, deze wordt tegelijkertijd op verschillende instrumenten gespeeld, met verschillende snelheden. Het geheel is gevisualiseerd in een graaf of boomdiagram dat op de structuur 2, 4, 8, 16, enzovoort is gebaseerd en een fractalstructuur heeft.
D E W E T V A N Z I PF
Naast allerlei groeiprocessen bestaan er ook wat minder voor de hand liggende exponentiële verbanden die de moeite van een nadere analyse waard kunnen zijn. Zo blijkt dat bij situaties waarbij een rangschikking plaatsvindt naar omvang, zich een merkwaardig fenomeen voordoet. Dit fenomeen heet de wet van Zipf. Voorbeelden van zulke situaties zijn: steden in de VS gerangschikt naar het aantal inwoners of woorden in het boek Ulysses gerangschikt naar het aantal keer dat ze in het boek voorkomen. De wet van Zipf zegt dat er een exponentieel verband is tussen rangnummer en de omvang. In de grafiek hieronder (met een logaritmische schaal) is het verband weergegeven:
42
Wat is dit fenomeen precies? Kun je het verklaren? Wat zijn de consequenties?
P E R I O DI E KE V E R S C HI JN S E L E N
Het dagelijks leven wemelt ervan: periodieke verschijnselen. Van je eigen hartslag met bijbehorende grafiek (ECG):
43
tot eb en vloed, de jaargetijden, temperatuurkrommen, trillingen en nog veel meer. De rotatie van de aarde is een oorzaak, de rotatie van de aarde om de zon een tweede, en die van de maan om de aarde een derde. Dergelijke omgevingsperiodiciteiten hebben tegenpolen in biologische ritmen in plant en dier; gedurende de lange historische evolutie hebben organismen interne ritmes die overeenkomen met de cycli van dag en nacht, van de maan (29 dagen), getijden (12.4 uur), de seizoenen en die tussen opeenvolgende spring-laag-waterstanden (14,7 dagen). Springtij is een periodiek verschijnsel binnen een ander periodiek verschijnsel, namelijk eb en vloed. De periode van eb en vloed is 12,4 uur, dus globaal twee maal per dag. Maar de hoogte van vloed en de diepte van eb variëren daarvan weer onafhankelijk met een periode van 14,7 dagen. De volgende grafiek maakt dat duidelijk:
Getijden lenen zich uitstekend voor het doen van zinvolle en inzichtvolle wiskunde, zeker als we de beschikking hebben over ICT. Maar daarnaast zijn er niet alleen veel andere toepassingen maar vooral ook is het de moeite waard om de verschillende visualiseringen van periodieke processen onder de loep te nemen, zeker in relatie tot het eerste thema.
44
VA N C H AO S T O T RI T M E
Eerder zagen we al dat chaos en ritme dichter bij elkaar kunnen liggen dan de begrippen doen vermoeden. En ritmen die we als vanzelfsprekend aannemen zijn dat ook niet altijd. De gedragingen van de meeste gewervelden vertonen in hun embryonale stadium nogal chaotische kenmerken. Zo lijken menselijke babies in de baarmoeder nog ’at random’ dutjes te doen, een gewoonte die (helaas) direct na de geboorte doorgaat. Maar langzaamaan groeit het random slaapgedrag naar een vast ritme, beginnend zo rond de zes weken en echt vast bij 15 weken. De volgende grafiek toont dit proces:
45
Er zijn echter ook dieren die direct in hun vaste ritme ter wereld komen: een kuiken vertoont direct na het achterlaten van het ei als behuizing zijn volwassen rengedrag. De hele discussie over de verschillende ritmes bij dieren en planten, maar ook die in kunst en muziek lenen zich voor een behandeling binnen dit profiel.
46
THEMA 4: GRAFEN & MATRICES V E R B I N DI NG E N , V E R B A ND E N E N P R O C E S S E N R E P R E S E N T E R E N
Het visualiseren, een belangrijk kenmerk van het voorgestelde programma, speelt ook een grote rol in een relatief nieuw onderdeel van de wiskunde: dat van Grafen & Matrices. Matrices zijn daarbij in de eerste plaats tabellen. Deze tabellen kunnen, afhankelijk van de context, gevisualiseerd worden door middel van grafen: een verzameling van knopen en verbindingen. Dit onderdeel, waarmee ruime ervaring bestaat binnen de huidige wiskunde-A geeft een goed beeld van het proces van ‘modelleren’; een proces dat steeds belangrijker wordt in de informatiemaatschappij. Tabellen, die vaak onoverzichtelijk zijn, komen tot leven als ze als graaf worden gepresenteerd. De visuele analyse, een proces dat ook in andere thema’s zo belangrijk is, levert tal van mogelijkheden op. Het omgekeerde proces, van graaf naar matrix is ook relevant omdat dit de mogelijkheid biedt de data in te voeren in de computer. Behalve het beeldend maken van het mathematiseringsproces, en de daarbij gewenste kritische houding, kan dit onderwerp nieuw licht werpen op exponentiële en periodieke groei en aspecten als discreet en continu tot op zekere hoogte bespreekbaar en begrijpelijk maken. Op deze manier kan het thema Grafen & Matrices voldoen aan de vier uitgangspunten.
ER ZIT MUZIEK IN
De intervallen of toonovergangen zijn één van de karakteristieken voor een componist. De frequenties waarmee de toonafstanden tussen twee opeenvolgende tonen voorkomen zijn in onderstaande matrices afgebeeld. Hoe dikker de stip, hoe groter de frequentie. Van links naar rechts staan de overgangsfrequenties van de eerste viool uit het concert voor twee violen van Bach, de eerste viool van het strijkkwartet opus 74 van Beethoven en van de viool uit het strijktrio opus 20 van Webern.
47
G R A V E N N A AR G E L I JK E N I S
Op verschillende manieren kunnen eenvoudige technieken waarbij matrices (een aantal rechthoekig gerangschikte getallen) een rol spelen gebruikt worden om overeenkomsten en verschillen te ontdekken in zaken waarbij dat op voorhand niet eenvoudig lijkt. Die overeenkomsten en verschillen spelen bijvoorbeeld in de archeologie een grote rol bij het bepalen van de relatieve ouderdom van diverse opgravingen. Zo kan men starten met een heel ruwe verdeling van soorten resten die men opgraaft: menselijke botten, dierlijke botten, aardewerk, kleding, etc. Een vergelijking van de percentages van deze groepen over diverse opgravingen kan al iets zeggen over de gelijkenissen, bijvoorbeeld door het tekenen van eenvoudige grafiekjes en die kwalitatief te vergelijken:
48
Opgraving C en E lijken erg veel op elkaar. Dit kunnen we kwantitatief bevestigen door zgn. Robinson-matrices op te stellen die de relatieve afstanden van de diverse opgravingen in beeld brengt. De ’afstanden’ zijn hier op te vatten in de zin dat grote afstand betekent: die lijken niet veel op elkaar. De Robinson-matrix in het onderhavige geval is:
en het blijkt ook hier dat C en E erg veel op elkaar lijken: de afstand is slechts tien.
GROEN EN GEEL ZIEN
Op soortgelijke wijze kunnen matrices in de medische wetenschap gebruikt worden. In de volgende twee matrices zijn de afstanden tussen kleuren te zien zoals gepercipieerd door twee patiënten.
49
Als we van de matrices kaarten maken (matrices hier zijn immers gewoon afstandstabellen) levert dat de volgende resultaten op:
De gezonde patiënt heeft een kaartje met daarin een evenwichtige verdeling van de kleuren over een cirkel. De tweede kaart is meer ellipsvormig hetgeen hier duidt op een probleem in het onderscheiden van bijvoorbeeld rood R en groen G.
VE R H U I Z E N E N O V E R L E V E N
Matrices lenen zich ook voor het beschrijven van allerlei processen in de geografie, biologie en economie. Vaak zijn die processen van periodieke, exponentiële of geremd exponentiële aard. Zo kennen we migratiematrices (verhuizingsmatrices) en merkovergangsmatrices, waarin blijkt hoe merkentrouw mensen zijn. Maar ook zijn bevolkingsvoorspellingsmatrices
waarin
overlevingswaarschijnlijkheden
en
reproductie een grote rol spelen. Dit soort toepassingen slaat bij leerlingen goed aan, is bij het wiskunde A-programma gebleken. Al deze matrices kunnen visueel als graaf gerepresenteerd worden, hetgeen het inzicht in het probleem vaak verduidelijkt. De matrixnotatie heeft het voordeel dat deze zonder problemen in de computer of grafische rekenmachine ingevoerd kan worden. En niet zelden komen dan exponentiële of periodieke groeiprocessen in beeld. Als voorbeeld kan een verhaal van Maarten ’t Hart als uitgangspunt worden genomen waarin hij de bevolkingsgroei van een populatie ratten onder ideale omstandigheden
50
beschrijft. Men kan ratten in drie bevolkingsgroepen verdelen: de jongen J die tussen 0 en 40 dagen oud zijn. Zij worden allemaal middelbaar na die tijd, tot ze tachtig dagen oud zijn. Vervolgens worden ze weer allemaal ouder dan 80 dagen en reproduceren ze drie jongen als volwassenen. In een graaf kan dit als volgt worden weergegeven:
Dit kan als matrix als volgt worden weergegeven:
51
En leidt tot de volgende grafiek op logaritmisch grafiekenpapier.
De groei blijkt snel exponentieel te worden en wel met groeifactor 1, 863.
52
THEMA 5: GETAL & CODE, TAAL & LOGICA Logisch redeneren, of zelfs gewoon redeneren en argumenteren lijkt een bedreigde discipline te worden voor de gewone burger: de maatschappij lijkt steeds meer te vervlakken. In het voorgaande is reeds duidelijk geworden dat ‘redeneren’ een centrale plaats moet hebben binnen een wiskunde curriculum, en zeker ook voor studenten die het profiel Cultuur en Maatschappij kiezen. Maar enig begrip voor logica is ook van belang voor sommige vervolgstudies voor studenten in dit profiel, waaronder letteren en rechten. Het probleem met dit thema zal waarschijnlijk liggen in het vinden van een evenwichtige invulling, mede omdat er weinig traditie en ervaring bestaat. Prachtige historisch-filosofische (con)teksten zoals van Aristoteles, Spinoza en Lewis Carroll kunnen uitgangspunten bieden voor problemen op het gebied van redeneren en argumenteren. Hierbij is ook het coderen van het cijferen in onze en in andere culturen een mogelijk onderwerp. Opvallend is dat bij de introductie van de huidige, Arabische getallen in Europa in de dertiende eeuw, ook weer Fibonacci (getallen van Fibonacci en gulden snede) een belangrijke rol speelde. Paradoxen lenen zich ook voor een succesvolle behandeling op school, en bovendien zijn hiervan enkele schoolervaringen beschikbaar. Dat er verschillende talen zijn is leerlingen bekend, maar wat overeenkomsten en verschillen zijn al heel wat minder. Computertalen met hun stricte logica, wiskunde als taal en de natuurlijke taal kunnen geanalyseerd worden. Overkomsten en verschillen tussen natuurlijke talen (afstanden) kunnen met behulp van matrices inzichtelijk worden gemaakt. Welke invulling ook gegeven gaat worden – er zijn meerdere mogelijkheden – het zal duidelijk zijn dat ook hier recht wordt gedaan aan de vier uitgangspunten, mits voorkomen wordt dat er teveel in formalismen wordt vervallen, een gevaar dat bij dit onderdeel natuurlijk constant op de loer ligt.
53
DE MU-PUZZEL
Eenvoudige formele systemen zijn illustratief voor verschillen en overeenkomsten tussen logische en natuurlijke talen. Een voorbeeld is het MIU-systeem uit het boek Gödel, Escher, Bach van Hofstädter. Gegeven is een alfabet van drie letters M, I en U, het woord MI en vier regels waarmee je nieuwe woorden kunt maken. De vraag is of je met de gegeven regels het woord MU maken kunt? Een methode is om systematisch alle mogelijkheden na te gaan. Een graaf is hierbij een overzichtelijk hulpmiddel:
M A G I S CH E V I E R KA N T E N
In een magisch vierkant staan getallen zodat alle rijen en kolommen dezelfde som hebben. Voor een 4 bij 4 vierkant zijn een aantal oplossingen bekend om de getallen van 1 tot en met 16. Eén van de oplossingen staat op een gravure van Dürer (Melancholia). Om eigenschappen van de ligging van de getallen te onderzoeken kun je de getallen achtereenvolgens (1, 2, 3, etcetera) verbinden en kijken wat voor plaatje je krijgt. Dat heeft de kunstenaar Paul Panhuizen gedaan bij een vierkant van 8 bij 8. En dan niet alleen met stapjes van 1, maar ook met stappen van 2, 3, 4, . . . , 63. Hieronder staat het resultaat van stappen van 14 en van 53.
54
P R I E M G E TA L L E N
De werkwijze uit het vorige voorbeeld is ook toegepast bij getaltheoretisch onderzoek naar priemgetallen. Als alle getallen spiraalsgewijs in een rooster worden gezet, dan blijkt dat priemgetallen vaak op delen van diagonalen bij elkaar liggen.
Getallen in een spiraal, en de priemgetallen zijn gekruist.
Hier hetzelfde proces. Alleen nu de getallen van 1 t/m 10000 en de priemgetallen zijn de zwarte stippen
E R I S G E E N P L AT T E G R O N D V O O R H E T N E D E R L A N D S
‘Op het kaartje van Amsterdam zijn zeven pleinen aangegeven. Tussen sommige van die pleinen lopen verbindingsstraten. De pijlen daarin geven aan dat het 55
éénrichtingsstraten zijn. Tussen Munt en Weteringplantsoen is de Vijzelstraat twee keer getekend om aan te geven dat die in beide richtingen doorlopen kan worden. Stel, u staat op het Leidsplein met dit kaartje, en u wilt een rondwandeling maken langs de aangegeven straten tot u op het Kleine-Gartmanplantsoen komt. Bij elke gang van plein tot plein schrijft u de eerste letter op van de doorlopen straat. De kortste wandeling die u kunt maken is lsvw. Er is geen langste wandeling! Gegeven de plattegrond, en onvermoeibaarheid, kunt u namelijk een willekeurig aantal malen de lus ruwv rondlopen, of heen en weer de Vijzelstraat, of elke combinatie van die twee. Bij het Koningsplein is zelfs een straat aangegeven, de Heiligeweg, die u in een lus van het Koningsplein naar het Koningsplein voert. Alle wandelingen van Leidseplein naar Kleine-Gartmanplantsoen kunnen we dus niet opschrijven, want het zijn er onbeperkt veel. De handigste manier om al die wandelingen aan te geven is de plattegrond zelf.
Laten we de Amsterdamse straten eens andere namen geven. We noemen voortaan: Leidsestraat: ‘de’ Heiligeweg: ‘zeer’ Singel: ‘oude’ Reguliersbreestraat: ‘man’ Utrechtsestraat: ‘zegt’ Weteringschans tussen Frederiksplein en Weteringplantsoen: ‘dat’ Vijzelstraat in noordelijke richting: ‘een bevriende oude’ Vijzelstraat in zuidelijke richting: ‘vrouw zegt dat’ Weteringschans tussen Weteringplantsoen en Kleine-Gartmanplantsoen: ‘het regent’.
56
Onze kortste wandeling is nu: ‘De oude vrouw zegt dat het regent’, een ommetje over Rembrandtsplein en Frederiksplein geeft de wandeling: ‘De oude man zegt dat het regent’, en er is ook de wandeling ‘De zeer oude man zegt dat een bevriende man oude man zegt dat een bevriende oude vrouw zegt dat het regent.’ Welke wandeling u ook maakt, die wandeling is altijd een goede Nederlandse zin. We weten nu de
•
waarheid nummer een: Er bestaat een plattegrond waarin elke wandeling een goede Nederlandse zin oplevert. Maar er zijn natuurlijk ook Nederlandse zinnen die niet uit de wandelplattegrond zijn af te lezen. Zouden we niet een plattegrond kunnen bedenken waarin alle mogelijke Nederlandse zinnen als wandelingen worden teruggevonden?
•
waarheid nummer twee: Er bestaat een plattegrond waarin elke Nederlandse zin als een wandeling is te vinden.
Kijk maar: De plattegrond zal, naast het Beginplein en het Eindplein maar één ander plein hebben, dat we het Grote Van Dale-plein noemen. Van het Beginplein gaat een straat zonder naam naar het Grote Van Dale-plein. Vanuit het Grote Van Dale-plein gaan een paar honderdduizend straten met een lus weer op datzelfde plein terugkeren. Die straten dragen als namen alle Nederlandse woorden van ‘aai’ tot ‘zwijnsleder’. Ten slotte loopt er nog een straat zonder naam van het Grote Van Dale-plein naar het Eindplein. Elke Nederlandse zin die je maar kunt bedenken, hoe idioot, en hoe lang ook, is als een wandeling in die plattegrond terug te vinden. Nemen we bijvoorbeeld de Nederlandse zin ‘de portier is een invalide’. We kiezen dan als wandeling eerst de straat met de naam ‘de’ die ons weer op het Grote Van Dale-plein brengt, daarna de portier-straat die weer op dat plein uitkomt, daarna de is-straat, die weer op dat plein uitkomt en ten slotte de invalidestraat die op dat plein uitkomt, waarna we via de straat zonder naam naar het Eindplein wandelen. Met elke andere Nederlandse zin kunnen we hetzelfde doen. Maar er zijn natuurlijk ook wandelingen in deze plattegerond die geen goede Nederlandse zinnen opleveren. Bijvoorbeeld de wandeling aai is de zwijnsleder: die vier woorden vormen geen goede Nederlandse zin. Waarheid nummer één leerde ons een plattegrond kenen met de mooie eigenschap dat elke wandeling een goede Nederlandse zin oplevert (maar niet alle Nederlandse 57
zinnen!), terwijl waarheid nummer twee ons een plattegrond leerde kennen met de mooie eigenschap dat elke Nederlandse zin er als een wandeling in is terug te vinden (maar ook onzinnen!). Nu komt natuurlijk bij u de brandende vraag op: is het wellicht mogelijk om een plattegrond te ontwerpen die enerzijds als wandelingen Nederlandse zinnen oplevert, maar anderzijds voor elke Nederlandse zin een wandeling heeft (zoals in waarheid nummer twee)? Zo’n plattegrond zou dus precies alle Nederlandse zinnen, niet meer en niet minder, als wandelingen hebben.’
H. Brandt Corstius. Uit: Hollands Maandblad 308/309 (1973). Het is een uitleg, op één niveau lager, van een stelling die in mijn Algebraïsche Taalkunde (Oosthoek, 1974) bewezen wordt:.
58
Gebruikte en mogelijke bronnen (onvolledig): Brandt Corstius, H. (1974). Algebraïsche Taalkunde, Oosthoek. Centraal Schriftelijk Eindexamen (1994): Passen en Meten, Zoetermeer: Ministerie van O, C en W. Clark, D.C. (1998). Composing with Chaos, Amsterdam: Sweelinck Conservatory. Devlin, K. (1997). Mathematics. The Science of Patterns, Scientific American Library. Emmer, M. (1993). The Visual Mind: Art and mathematics, The International Society for the Arts, Science and Technology. Freedman, D. and R. Pisani, R. Purves: (1978). Statistics, New York: Norton. Garfunkel, S.A. (1998). For All Practical Purposes, New York: W.H. Freeman. Hodson, F.R. and D.G. Kendall, P. Tautu (1971). Mathematics in the Archaeological and Historical Sciences, Edinburgh University Press. Hofstädter, D.R. (1980). Gödel, Escher, Bach, Vintage Books. Kline, M. (1967). Mathematics for the Liberal Arts. Reading: Addison Wesley. Lange, J. de (1987). Mathematics Insight and Meaning. Utrecht: OW & OC. Lauwerier, H. (1987). Fractals, Amsterdam: Aramith. Moore, D.S. (1997). Statistics; Concepts and Controversies, New York: W.H. Freeman. Ollerenshaw, K. and D. Bree (1998). Most-perfect pandiagonal magic squares: their construction and enumeration. Institute of Mathematics and its Applications. Zie artikel in NRC-Handelsblad, 12-9-98. Pedoe, D. (1988). Perspectieven Doorzien, Amsterdam: Aramith. Peterson, I. (1988). The Mathematical Tourist, New York: W.H. Freeman. Stewart, I. (1987). The problems of Mathematics, Oxford University Press. Stewart, (1995). Nature’s Numbers, Basic Books. Steen, L.A. (1990). On the Shoulders of the Giant, Washington: National Academy Press. Thomson, D’Arcy (1942). On Growth and Form, Cambridge, USA: Cambridge University Press. Tufte, E.R (1997). Visual Explanations, Cheshire: Graphics Press. Tufte, E.R (1983). The Visual Display of Quantitative Information, Cheshire: Graphics Press. Verder kan verwezen worden naar veel materiaal gepubliceerd bij het Freudenthal Instituut in het kader van haar Wiskivon-, Hewet-, Hawex-, 12-16-, ProfielProjecten en het voor de USA ontwikkelde Mathematics in Context materiaal (Encyclopedia Brittannica, Chicago).
59
Tijdschriften zoals Scientific American, Nature, Discover, Kijk, Natuur en Techniek zijn ook goede bronnen.
60
61
